S đ N i dungơ ồ ộ :

Ch đủ ề :V phép đ i x ng tâm và phép t nh ti nề ố ứ ị ế

Nh ta đã bi t :phép ư ế đ i x ng tâm, đ i x ng tr c, t nh ti nố ứ ố ứ ụ ị ế hay phép quay đ u ề là các tr ng h p đ c bi tườ ợ ặ ệ c a phép d i hình.ủ ờ

V y ậ đ nghiên c u sâu h nể ứ ơ v phép đ i x ng tâm và phép t nh ti nề ố ứ ị ế tr c tiênướ ta s nghiên c u ẽ ứ s l c m t s v n đơ ượ ộ ố ấ ề c a ủ phép d i hìnhờ .

I­ Phép d i hìnhờ1, Đ nh nghĩaị

M t phép bi n hình f : Eộ ế 2 →E2

đ c g i là ượ ọm t phép d i hìnhộ ờ . V i M,N b t kì ớ ấ thu c Eộ 2

, g i ọ f(M)=M’; f(N)=N’ thì ta luôn có M’N’=MN. Nh n xétậ :

-Phép đ ng nh t là m t phép d i hìnhồ ấ ộ ờ

-N u f là m t phép d i hình thì f cũng là 1 phép d i hìnhế ộ ờ ờ

N’

M

M’

I

N

M ”

N ”

→

V

2. Tính ch tấ

Gi s f là phép d i hình f : Eả ử ờ 2 →E2

V i A,B,C ớ ∈ E2

gi s f(Aả ử )=A’; f(B)=B’; f(C)=C’

Đ nh lí 1ị : (Tính ch t c ng tuy n)ấ ộ ếPhép d i hình bi n 3 đi m A,B,C th ng hàngờ ế ể ẳ (v i B n m gi a A và C) ớ ằ ữ

thành ba đi m A’,B’,C’ th ng hàngể ẳ (v i B’ n m gi a A’ và C’).ớ ằ ữ

V y A’,B’,C’ th ng hàng và B’ n m gi a A’ và C’ ậ ẳ ằ ữ

Ta ch ng minh A,B,C th ng hàng ứ ẳ ⇒ A’ ,B’ ,C’ cũng th ng hàngẳVì B n m gi a A và C nên A,B,C th ng hàng ằ ữ ẳ ⇔ AB+BC=AC (2)

H qu 2ệ ả :Phép d i hình bi n 1 tam giác thành 1 tam giác b ng nó,bi n 1 góc thành 1 góc b ng ờ ế ằ ế ằnó,bi n 1 đ ng tròn thành 1 đ ng tròn b ng nó v i tâm đ ng tròn này bi n thành ế ườ ườ ằ ớ ườ ếtâm đ ng tròn kia.ườ

H qu 1ệ ả :Phép d i hình bi n 1 ờ ế đ ng th ng thành 1 đ ng th ngườ ẳ ườ ẳ ,bi n 1 tia thành 1 tia, ế m t ặph ng thành m t ph ngẳ ặ ẳ ,bi n 1 đo n th ng thành 1 đo n th ng b ng nóế ạ ẳ ạ ẳ ằ

Do f là phép d i hình nênờ ⇒ AB=A’B’

BC=B’C’ CA=C’A’

(1)

Theo (1) và (2) ta có A’B’ +B’C’=A’C’

I

C

A'

C'

A

B B'

Đ nh lí 2ị :Tích c a 2 phép d i hình là 1 phép d i hìnhủ ờ ờ

Ch ng minhứ :

Cho f : E2 → E2

; g : E2 → E2

là 2 phép d i hìnhờ Xét A,B b t kỳ ấ ∈ E2

gi s ả ử f(A)=A’ f(B)=B’ và

g(A’)=A’’ g(B’)=B’’

Vì f và g là 2 phép d i hình nên ờ AB=A’B’ A’B’=A”B” ⇒ AB=A”B”

Ta có: g o f (A) = g(f(A)) = g(A’) = A”

g o f (B) = g(f(B)) = g(B’) =B” th a mãn AB=A”B”ỏ ⇒ g o f là 1 phép d i hìnhờ -Tích c a n phép d i hình là 1 phép d i hìnhủ ờ ờ -Tích c a1 phép d i hình f v i phép đ o ng c c a nó là m t phép đ ng nh tủ ờ ớ ả ượ ủ ộ ồ ấ

H quệ ả :

Đ nh lí 3ị :Tích các phép d i hình có tính ch t k t ờ ấ ếh pợ Ch ng minh :ứ

h

g

M

M'M''

M'''

Gi s f,g,h là các phép d i hình ả ử ờTa c n ch ng minh ( f o g) o h =f o(goh)ầ ứ

Gi sả ử h : E2 → E2

; g : E2 → E2

; f : E2 → E2

M |→ M’ M’|→ M’’ M’’|→ M’’’

Ta có : (f o g) o h (M) = (fog)(h(M)) = fog(M’)

= f(g(M’))

= f(M’’) = M’’’ (1)

L i có : f o(g o h)(M) = fo(goh)(M) = fo(goh(M)) = fo(g(h(M))) = f(g(M’)) = f(M”) = M”’ (2)ạ

T (1) và (2) ta có (fog)oh = fo(goh)ừ

- Ta có tích 2 phép d i hình là 1 phép d i ờ ờ ⇒T p các phép d i hình đóng kín v i ậ ờ ớphép toán đã cho.- T p các phép d i hình có tính ch t k t h p (Đ nh lí 3)ậ ờ ấ ế ợ ị

Đ nh lý 4ị :T p h p các phép d i hình l p thành 1 nhóm các phép bi n hìnhậ ợ ờ ậ ế v i phép ớtoán là tích các phép bi n hình ế

Ch ng minhứ :

- T p các phép d i hình có pậ ờ h n t đ n v là phép d i hình đầ ử ơ ị ờ ng nh t idồ ấ A

vì: fid A = id

Af = f

Th t v yậ ậ : gi s phép d i hình ả ử ờ f: E2 →E2

M →M’ : MN=M’N’ N → N’ Ta có f o id

A(M) = f(id A(M)) = f(M) = M’

id A o f (M) = id

A (f(M)) = id A (M’) = M’

⇒ f o id A = id

A o f

- M i phép d i hình f đ u t n t i phép d i hình đ o fọ ờ ề ồ ạ ờ ả -1 sao cho:

ff-1 = f-1

f = id A

⇒ T p h p các phép d i hình l p thành 1 nhóm ậ ợ ờ ậ

H quệ ả:

-Phép d i hình b o t n tích vô h ng c a 2 véctờ ả ồ ướ ủ ơ

-Phép d i hình b o t n s song song c a 2 đ ng th ng ,2 m t ph ng ,đ ng th ng ờ ả ồ ự ủ ườ ẳ ặ ẳ ườ ẳvà m t ph ng ,b o t n t s c a 2 đo n th ng cùng ph ngặ ẳ ả ồ ỉ ố ủ ạ ẳ ươ

3, Bi u th c t a đ (ể ứ ọ ộ trong m t ph ngặ ẳ ) Trong E2

v i h t a đ Đớ ệ ọ ộ êcác vuông góc, ch n m c tiêu tr c chu n ọ ụ ự ẩ {O;E 1 ,E

2}

V i ớ→

OE

1 = →

e

1 ; →

OE

2 = →

e

2

Cho phép d i hình f : Eờ 2 → E2

M M’ Gi s O’= f(O) ; Eả ử

1’ = f( E 1 ) ; E

2’ = f ( E

2 ) Ta nh n th y ậ ấ { O’; E

1’, E 2’ } cũng là 1 m c tiêu tr c chu n. ụ ự ẩ

Gi s O’| (1) = (xả ử o ,y

o)

Gi s ả ử→

e

1 ’| {→

e

1 →

,e

2 } = (a,b) ; →

e

2 ’| {→

e

1 →

,e

2 } = (c,d)

Ta có →

OO’ = x

o →

e

1 + y o

→

e

2 ; →

e

1 ’ = a →

e

1 + b →

e

2 ; →

e

2 ’ = c →

e

1 + d →

e

2

⇒ A =

a

c b d ⇒ AT

=

a

b c d

⇒ Bi u th c t a đ c a phép d i hình làể ứ ọ ộ ủ ờ : x’=ax+cy+x

o y’=bx+dy+y

o (I)

Vì →

e

1’2 =

→

e

2’2 = 1 và

→

e

1 .→

e

2 = 0 suy ra a2

+b2 =1

c2 +d2

=1 ac+bd=0

(1)

V y (I) là ph ng trình c a phép d i hình th a mãn đi u ki n (1) ậ ươ ủ ờ ỏ ề ệ

Nh n xétậ : f là phép d i hình ờ ⇔ A là ma tr n tr c giao ậ ự ⇒ |A.AT | =1

⇒ |A|=1 ho c |A|=ặ -1 V i |A|=1 suy ra f là phép d i hình (đã xét trên) ớ ờ ở V i |A|=ớ -1 suy ra f là phép ph n d i hình và cũng có tính ch t nh đã xét trên ả ờ ấ ư ở Sau đây ta s nghiên c u c th 2 phép d i hình đ c bi t ẽ ứ ụ ể ờ ặ ệ trong m t ặph ng và không gianẳ đó là phép t nh ti n và phép đ i x ng tâmị ế ố ứ .

Trong m t ph ng P cho vécặ ẳ t ơ→

v , phép bi n hình bi n ế ế m i ỗ

đi m M thành đi m M’ể ể sao cho →

MM’ =

→

v đ c g i làượ ọ phép

t nh ti n theo véc t ị ế ơ→

v .

KH: T

→

v

(Véct ơ→

v đ c g i là véct t nh ti nượ ọ ơ ị ế , T

→

v (M) = M’ )

1, Đ nh nghĩaị (Trong m t ph ng)ặ ẳ

v

M’'MMuuuuur

'MM v=uuuuur r

Nh n xét:ậ

- Phép t nh ti n hoàn toàn xác đ nh đ c khi bi t véc t t nh ti nị ế ị ượ ế ơ ị ế

- Khi →

v =

→

0 thì phép t nh ti n Tị ế

→

0 là 1 phép đ ng nh tồ ấ

II- Phép t nh ti nị ếA­ Phép t nh ti n trong m t ph ngị ế ặ ẳ

Trong m t ph ng P cho vécặ ẳ t ơ→

v , phép bi n hình bi n ế ế m i ỗ

đi m M thành đi m M’ể ể sao cho →

MM’ =

→

v đ c g i làượ ọ phép

t nh ti n theo véc t ị ế ơ→

v .

KH: T

→

v

(Véct ơ→

v đ c g i là véct t nh ti nượ ọ ơ ị ế , T

→

v (M) = M’ )

1, Đ nh nghĩaị (Trong m t ph ng)ặ ẳ

v

M’'MMuuuuur

'MM v=uuuuur r

Nh n xét:ậ

- Phép t nh ti n hoàn toàn xác đ nh đ c khi bi t véc t t nh ti nị ế ị ượ ế ơ ị ế

- Khi →

v =

→

0 thì phép t nh ti n Tị ế

→

0 là 1 phép đ ng nh tồ ấ

II- Phép t nh ti nị ếA­ Phép t nh ti n trong m t ph ngị ế ặ ẳ

M M’

→v 2,Tính ch tấ

Tính ch t 1ấ : Phép t nh ti n là phép d i hìnhị ế ờCh ng minhứ

Gi s Tả ử

→

v : E2

→ E2

V i M,ớ N b t kỳ thu c Eấ ộ 2 : T

→

v (M) = M’ ; T

→

v (N) = N’.

Ta có :

→

MM’=

→

v

→

NN’=

→

v

⇒ →

MM’ =

→

NN’

=> →

MN =

→

MN’

→

+N’N =

→

MN’

→

+M’M =

→

M’N’ ⇒

→

MN =

→

M’N’

Vì phép t nh ti n cũng b o toàn kho ng cách gi a 2 đi m b t kỳ ị ế ả ả ữ ể ấ ⇒ phép t nh ịti n là phép d i hình.ế ờ Nh n xétậ : Phép t nh ti n có m i tính ch t c a phép d i hìnhị ế ọ ấ ủ ờ

Chú ý : - N u vécế t t nh ti n ơ ị ế→

v =

→

0 thì khi đó phép t nh ti n tr thành ị ế ở

. phép đ ng nh t. ồ ấ

3. Tính ch t.ấ

Tính ch t 2ấ : Qua phép t nh ti n bi n 3 đi m th ng hàng thành 3 đi m ị ế ế ể ẳ ểth ng hàng và b o toàn kho ng cách và th t gi a các đi m.ẳ ả ả ứ ự ữ ểH quệ ả:Qua phép t nh ti n bi n đ ng th ng thành đ ng th ng.ị ế ế ườ ẳ ườ ẳ Qua phép t nh ti n bi n đo n th ng thành đo n th ng b ng nó.ị ế ế ạ ẳ ạ ẳ ằ Qua phép t nh ti n bi n tia thành tia.ị ế ế Qua phép t nh ti n bi n góc thành góc b ng nó.ị ế ế ằ Qua phép t nh ti n bi n d ng tròn thành đ ng tròn b ng nó.ị ế ế ườ ườ ằ

C

A

B

C’

B’

A’

vr

A

B

vr

A’

B’O

xvr

O’

x’

O

x

y

vr

O’

x’

y’Or r’

O’

vr

r=r’

Tính ch tấ 3 : N u phép t nh ti n theo véc t ế ị ế ơ→

v ≠

→

0 bi n Mế → M’ thì ta

cũng có phép t nh ti n bi n M’ị ế ế → M v i véc t t nh ti n là ớ ơ ị ế→

-v .

V y ta có Tậ -1

→

v = T (

→

-v ) ⇒ T-1

→

v .T (

→

-v ) = e (là phép đ ng nh t) ồ ấ

Tính ch t ấ 4 : Qua phép t nh ti n theo vécị ế t ơ→

v ≠

→

0 thì các đ ng th ng nh n ườ ẳ ậ

véct ơ→

v làm véct chơ ỉ ph ng đươ ều biến thành chính nó.

Chú ý : Các điểm của đường thẳng trong tính chất 3 không phải là điểm kép.

Tính chất 5 Tích của 2 phép tịnh tiến T

→

a và T

→

b là 1 phép tịnh tiến với véct tơ ịnh

titiến bằng →

a +

→

b .

Chứng minh

Giả sử T

→

a (M) = M’ ; T

→

b (M’) = M’’ suy ra

→

a =

→

MM’ và

→

b =

→

M’M’’

Suy ra (T

→

bT

→

a) (M) = T

→

b(T

→

a(M)) = T

→

b(M’) = M’’

Ta có: →

MM’’ =

→

MM’ +

→

M’M’’ =

→

a +

→

b

Vậy T

→

bT

→

a là phép tịnh tiến theo véct ơ

→

a +

→

b .

Thật vậy : ta có tích của 2 phép tịnh tiến T

→

a , T

→

b là 1 phép tịnh tiến T

→

a +

→

b = T

→

boT

→

a

- Do phép cộng véc t có tính chơ ất kết hợp và giao hoán nên phép toán tích hợp thành các phép tịnh tiến có tính chất giao hoán và kết hợp.

- Phép tinh tiến T

→

0 là phép đồng nhất ( đ n vơ ị của nhóm cộng )

- Phép tịnh tiến (T

→

a)-1

= T

→

-a

thỏa mãn T

→

a + T

→

-a

= T

→

0

Suy ra tập hợp các phép tịnh tiến lập thành 1 nhóm giao hoán.

Tính ch t 6 ấ : T p h p các phép t nh ti n l p thành 1 nhóm giao hoán.ậ ợ ị ế ậ

Ch ng minhứ

Tính chất 7 : Qua phép t nh ti n m i ph ng đ u b t bi n,ị ế ọ ươ ề ấ ế nghĩa là

qua phép t nh ti n bi n đ ng th ng a thành đ ngị ế ế ườ ẳ ườ th ng a’ thì ho c a//a’ ẳ ặ

ho c a trùng v i a’ặ ớ

Chú ý :

+ a ≡ a’ khi →

v =

→

0 hoặc

→

v là vtcp của đường thẳng a.

+ Bài toán liên quan đến ph ng có thươ ể sử dụng T

→

v

M , M’ thay đổi nh ng ph ng MM’ không đư ươ ổi . v

r

u

a

a’

a’’

3. Bi u th c t a đ c a phép t nh ti n (ể ứ ọ ộ ủ ị ế trong ph ng)ẳ

Trong E2 chon mục tiêu trực chuẩn { O ;E

1, E 2 } (1) với

→

OE

1 = →

e

1 và O →

E

2 = →

e

2

Cho T

→

v

: E2 → E2

sao cho 'MMuuuuur

= →

v = (a,b)

M |→ M’

Giả sử T

→

v

(O )= O’ suy ra →

OO’ =

→

v ⇒ O’| (1) = (a,b) ⇒ A =

a

b

Ta có : →

T

→

v

( →

e

i ) = →

e

i ( i = 1,2 ) ⇒ A =

1

0 0 1 ⇒ AT

=

1

0 0 1

Suy ra biểu thức tọa độ của T

→

v

là : x’= AT x + [ ]a hay

x

1’=x 1+a

x 2’=x

2+b .

4, Dấu hiệu để giải bài toán bằng phép tịnh tiến.

- Cho →

v biết trước.

- Cho 1 cặp điểm A, A’ t ng ươ ứng. - Hình bình hành ( với 1 cạnh cố định) - Trong hình hộp

B – Phép t nh ti n trong không gian.ị ế

1.Đ nh nghĩaị : Trong E3 cho

→ u ≠

→ 0 .V i M ớ ∈ E3

ta xác đ nh ị

M’ sao cho →

MM’ = → u , khi đó ta nói M’ là nh cả a ủ M trong phép

t nh ti n ị ế theo → u (

→ u đ c g i là véc t t nh ti n) . KH Tượ ọ ơ ị ế

→

u

Nh n xétậ : Trong E3 cho 1 hình (H).T p h p nh c a m i đi m ậ ợ ả ủ ọ ể

thu c (H) ộ qua T

→

u l p thành 1 hình (H’) đ c g i là nh c a hình ậ ượ ọ ả ủ

(H) qua T

→

u

.

2.Tính ch tấPhép t nh ti n trong không gian có đ y đ nh ng tính ch t t ng t nh trong ị ế ầ ủ ữ ấ ươ ự ưphép t nh ti n trong m t ph ng. ị ế ặ ẳ Ngoài ra còn có 1 s tính ch t khác nh sau:ố ấ ư

Tính ch tấ 1 : N u A’ , B’ là nh c a 2 đi m A,B qua phép t nh ế ả ủ ể ị

ti n Tế

→

u thì

→

A’B’ = →

AB

H quệ ả : Phép t nh ti n bi n ị ế ế - M t đa giác ộ ph ng thành 1 đa giác ph ng có các góc và các ẳ ẳ

c nh t ng ng b ng nhau.ạ ươ ứ ằ - M t c u (O,R) thành m t c u (O’,R)ặ ầ ặ ầ

Tính ch t ấ 2 : Phép t nh ti n Tị ế

→

u bi n 4 đi m n m trong 1 m t ph ng thành 4 đi m ế ể ằ ặ ẳ ể

n m trong 1 m t ph ng.ằ ặ ẳ

Ch ng minhứ : Ta xét A,B,C,D là 4 đi m n m trong (P) và gi s 3 đi m A,B,C không ể ằ ả ử ể

th ng hàng. Kí hi u : A’,B’,C’,D’ là nh c a các đi m A,B,C,D qua Tẳ ệ ả ủ ể

→

u . G i (P’) là ọ

m t ph ng đi qua A’,B’,C’ ( vì A’,B’,C’ không th ng hàng ). Ta s ch ng minh D’ thu c ặ ẳ ẳ ẽ ứ ộ(P’).

Th t v y : t n t i các s th c x,y sao cho ậ ậ ồ ạ ố ự→

AD →

=x.AB + →

y.AC .

Vì →

AD →

=A’D’ ;→

.AB →

=A’B’ ; →

AC = →

A’C’

Do đó →

A’D’ →

=x.A’B’ →

+y.A’C’ ⇒ D’∈ (P’)

H quệ ả : Phép T

→

u

bi n ế

- M t ph ng (P) thành (P’) sao cho (P’) // (P) ho c (P’)ặ ẳ ặ ≡ (P) - Góc nh di n thành góc nh di n b ng nó.ị ệ ị ệ ằ - Mi n đa giác thành mi n đa giácề ề . - Hình tròn (O,R) thành (O’,R) - Hình tr tròn xoay (T) thành hình tr tròn xoay (T’)ụ ụ - Hình nón tròn xoay (N) thành hình nón tròn xoay (N’)

3,Biểu thức tọa độ Trong E3

chọn mục tiêu trực chuẩn { O;E 1 ,E

2 ,E

3 } (1)

Với →

OE

1 = →

e

1 ; →

OE

2 = →

e

2 ; →

OE

3 = →

e

3

T

→

v : E3

→ E3 : M M’ sao cho

→

MM’ =

→

v =(a,b,c)

Giả sử T

→

v (O)=O’

⇒ →

OO’ =

→

v =(a,b,c) ⇒ O’|(1) = (a,b,c) .Suy ra [m] =

a

b c

Ta lại có : →

T

→

v (

→

e

i )= →

e

i với i= 1,2,3

Suy ra A=

1

0 0

0 1 0

0 0 1

⇒ AT =

1

0 0

0 1 0

0 0 1

Vậy biểu thức tọa độ của T

→

v là x’= AT

x + [m] hay x

1’=x 1+a

x 2’=x

2+b x

3’=x 3+c

III - Phép đ i x ng tâm ố ứ ( đ i x ng qua 1 đi m )ố ứ ể

A - Phép đ i x ng tâm trong m t ph ng ố ứ ặ ẳ 1, Đ nh nghĩa ị Trong m t ph ng cho 1 đi m O c đ nh.Phép bi n hình bi n m i đi m M ặ ẳ ể ố ị ế ế ỗ ể thành 1 đi m M’ sao cho ể 'OM OM= −

uuuuur uuuurđ c g i là phép đ i x ng tâm O .KH : Đượ ọ ố ứ

o

Tính ch t 1:ấ Phép đ i x ng tâm là phép d i hìnhố ứ ờ .

Ch ng minhứ Gi s Đả ử o(M)=M’ ; Đ

o(N)=N’ ta có →

OM =

→

-OM’ và

→

ON =

→

-ON’

Do đó →

MN

→

=ON -

→

OM =

→

-ON’

→

+OM’

→

=N’M’

→

=-M’N’

Suy ra | →

MN | =|

→

M’N’|

V y phép đ i x ng tâm là 1 phép d i hìnhậ ố ứ ờ

M M’O M’

'OM OM= −uuuuur uuuuro

2,Tính ch tấ

O

N

N' M'

MNh n xétậ : Phép đ i x ng tâm có đ y đ các tính ch t c a phép d i hìnhố ứ ầ ủ ấ ủ ờ

­ Qua phép đ i x ng tâm O thì O là đi m kép duy nh t.ố ứ ể ấ ­ Tích c a 1 phép d i x ng tâm v i chính nó là phép đ ng nh tủ ố ứ ớ ồ ấ

Nh n xétậ : Đ i x ng tâm là m t phép quay quanh tâm O m t góc ố ứ ộ ộ180 o . Do đó phép đ i x ng tâm có các tính ch t c a phép quay.ố ứ ấ ủ

H quệ ả :

a. Phép đ i x ng tâm b o toàn kho ng cách gi a hai đi m b t kì.ố ứ ả ả ữ ể ấ

b. Phép đ i x ng tâm bi n m t tia thành m t tia.ố ứ ế ộ ộ

c. Phép đ i x ng tâm bi n 3 đi m th ng hàng thành 3 đi m th ng hàng.ố ứ ế ể ẳ ể ẳ

d. Phép đ i x ng tâm bi n m t đ ng th ng thành m t đ ng th ng song ố ứ ế ộ ườ ẳ ộ ườ ẳsong ho c trùng v i nó.ặ ớ

e. Phép đ i x ng tâm bi n m t góc thành m t góc có s đo b ng nó.ố ứ ế ộ ộ ố ằ

f. Phép đ i x ng tâm bi n m t tam giác thành m t tam giác b ng nó.ố ứ ế ộ ộ ằ

A

B

B’

A’

AB=A’B’

OBAABO ''∆=∆Do (c­g­c)O

O

x

O’

x’OA

B A’

C

C’

B’d

A B

O

A’B’ d’

O”d”

A”B”OB

A

C

B’

C’

A’

OA

C

B C’

A’

B’

g, nh c a 1 đ ng tròn là 1 đ ng tròn b ng nóẢ ủ ườ ườ ằ

OII'

M

M'

3,Bi u th c t a ể ứ ọ đ (Trong m t ph ngộ ặ ẳ )

Trong E2 ch n m c tiêu tr c chu n ọ ụ ự ẩ {O;E

1 ,E 2 } (1) sao cho O≠ E

1 ,E 2

Ta có Đ o(E

i) = E

i’ v i i = 1,2 ớ

Đ o (

→

E

0E i) =

→

E

0E i’ = ­

→

E

0E i v i i = 1,2 ớ

Suy ra ta có A =

­1

0 0 ­1 ⇒ AT

=

­1

0 0 ­1

L i có Đạ o(O) = O ⇒ [a]=[0]

V y bi u th c c a Đậ ể ứ ủ o là : x’ = AT

x + [a] = AT x hay

x

1’=­x 1

x 2’=­x

2

T ng quátổ : Trong m t ph ng xOy cho I ặ ẳ (x

0 ,y 0 ).

Khi đó bi u th c t a đ c aể ứ ọ ộ ủ phép đ i x ng tâm ố ứ I bi n M(x,y) thành M’(x’,y’)ế

Ox

y

M’

x’

y M

y’

a

bI

x

là    x’=2x  

0­x y’=2y  

0­y

B­ Phép đ i x ng tâm trong không gianố ứ 1, Đ nh nghĩa ị Trong E3

cho O c đ nh.Phép bi n hình bi n m i đi m M thố ị ế ế ỗ ể ành 1 đi m M’ sao cho ể'OM OM= −

uuuuur uuuur đ c g i là phép đ i x ng tâm O. KH: Đượ ọ ố ứ

o

Nh n xétậ : Trong E3 cho 1 hình (F). T p h pậ ợ nh c a m i đi m ả ủ ọ ể

thu c (Fộ ) qua Đ O l p thành 1 hình (F’) đ c g i là nh c a hình ậ ượ ọ ả ủ

(F) ho c hình đ i x ng v i (F) qua O.N u (F’)ặ ố ứ ớ ế ≡ (F) thì ta nói (F) là hình có tâm đ i x ngố ứ

2.Tính ch tấ Ngoài nh ng tính ch t trong ph ng thì ữ ấ ẳ trong không gian đ i x ng ố ứtâm còn có nh ng tính ch t sau.ữ ấ Tính ch t 1 :ấ N u A,B,C,D là ế 4 đi m cùng n m trong 1 m t ph ngể ằ ặ ẳ và A’,B’,C’.D’ là các nh t ng ngả ươ ứ c a A,B,C,D qua Đủ

O thì 4 đi m A’,B’,C’.D’ ể cũng n m trên 1 m t ph ngằ ặ ẳ Ch ng minh:ứ G i (P) là m t ph ng ch a 4 đi m A,B,C,D.Gi s A,B,C ọ ặ ẳ ứ ể ả ửlà không th ng hàng.Khi đó A’,B’,C’ là không th ng hàng.và t n t i các ẳ ẳ ồ ạ

s th c x,y sao cho ố ự→

AD →

=x.AB + →

y.AC

Vì -→

AD →

=A’D’ ;-→

.AB →

=A’B’ ; -→

AC = →

A’C’

Do đó →

A’D’ →

=x.A’B’ →

+y.A’C’ ⇒ D’ thu c m t ph ng đi qua 3ộ ặ ẳ .

. đi m A’,B’,C’ể

H quệ ả : Phép Đ O bi n :ế

- M t ph ng (P) thành (P’) và (P’) // (P) ho c (P’)ặ ẳ ặ ≡ (P). - N a m t ph ng (P) thành n a m t ph ng (P’) và (P’) //(P) ử ặ ẳ ử ặ ẳ

ho c (P’) và (P) l p thành 1 m t ph ngặ ậ ặ ẳ . - Góc nh di n (P,Q) thành (P’,Q’) và s đo góc ph ng c a 2 ị ệ ố ẳ ủ

nh di n b ng nhau.ị ệ ằ - M t c u (S,R) thành m t c u(S’,R)ặ ầ ặ ầ - Hình nón (N) thành hình nón (N’) có bán kính đáy và đ dài ộ

đ ng sinh b ng các y u t t ng ng trong (N).ườ ằ ế ố ươ ứ - Hình tr (T) thành hình tr (T’) có bán kính và đ dài đ ng ụ ụ ộ ườ

sinh b ng các y u t t ng ng c a (T)ằ ế ố ươ ứ ủ Ch ng minh h quứ ệ ả : Phép Đ

O bi n n a m t ph ng (P) thành n a m t ế ử ặ ẳ ử ặph ng (P’) và (P’) //(P) ho c (P’) và (P) l p thành 1 m t ph ngẳ ặ ậ ặ ẳ B đổ ề: Trong m t ph ng (P) cho đ ng thặ ẳ ườ ng (d) chia (P) thành 2 ẳ n a m t ử ặ

ph ng (Pẳ 1) và (P

2 ).Trên (d) ta l y ấ 1 đi m I và dể ng các ự véc t khác ơ→ 0 sao cho

→

IA n m trên (d) , ằ→

IB n m trong (Pằ 1 ) , và

→

IB ⊥ (d) .V i M b t kỳ thu c (P) t n ớ ấ ộ ồ

t i c p s th c x,y sao cho ạ ặ ố ự→

IM = x →

IA + →

y.IB .Đi u ki n c n và đ đ M ề ệ ầ ủ ể

thu c n a m t ph ng (Pộ ử ặ ẳ 1 ) là y >0

Ch ng minh b đứ ổ ề :N u M ế ∈ (P 1 ) thì M ∉ (d). G i Mọ

1, M 2 là hình chi u c a M ế ủ

lên (d) và IB t ng ng.ươ ứ

Khi đó →

IM 2 cùng ph ng ,cùng chi u v i ươ ề ớ

→

IB ⇔ ∃ y>0 th a mãn ỏ

→

IM 2 = y

→

IB .Vì →

IM = →

IM 1 +

→

IM 2 ⇒

→

IM = x →

IA + y →

IB (y>0)

Ta s d ng b đ trên đ ch ng minh h qu : : ử ụ ổ ề ể ứ ệ ả Phép Đ O bi n ế n a m t ph ng (P) thành ử ặ ẳ

n a m t ph ng (P’) và (P’) //(P) ho c (P’) ử ặ ẳ ặ và (P) l p thành 1 m t ph ngậ ặ ẳ .

Xét →

IA →

,IB ≠ → 0 ,trong đó

→

IA n m trên b c aằ ờ ủ

n a m t ph ngử ặ ẳ (P) . →

IB ∈ (P) và →

IB ⊥ b c a n a ờ ủ ử

m t ph ng (P).V i M b t kỳ thu c (P) phép Đặ ẳ ớ ấ ộ O bi n I,A,B,M ế → I’,A’,B’,M’.G i ọ

(P’) là nửa m t ph ng đ c xác đ nh b i đ ng th ng I’A’ và đi m B’.ặ ẳ ượ ị ở ườ ẳ ể Ta ch ng minh M’ứ ∈ (P’).Th t v y vì Mậ ậ ∈ (P) ⇒ theo b đ ổ ề ∃ x,y (y>0) sao

cho →

IM = x →

IA +y →

IB. T đ nh nghĩa Đừ ị O ta có

→

I’M’ = - →

IM ; →

I’A’ =- →

IA ; →

I’B’ = →

IB suy ra →

I’M’= x →

I’A’ + y →

I’B’ suy ra M’∈(P’).

Ng c l i n u M’ượ ạ ế ∈ (P’) ⇒ ∃ M∈ (P) sao cho Đ O(M)=M’

P

M(d)

A

B

I

Ch ng minh h qu :ứ ệ ả Tích c a 3 phép đ i x ng qua 3 tâm phân bi t là 1 phép đ i x ng tâm. ủ ố ứ ệ ố ứ

Ch ng minhứ : Gi s Đả ử A ,Đ

B ,Đ C. Đ t Đ = Đặ

Co Đ Bo Đ

A .Ta ch ng minh Đ có đi m b t đ ng.ứ ể ấ ộ G i O là điọ ểm b t đ ng c a Đ.Theoấ ộ ủ đ nh nghĩa Đị

A: O→ O’ ; Đ B: O’→ O” ; Đ

C: O”→ O

Và →

AO’ = -

→

AO ;

→

BO” = -

→

BO’ ;

→

CO” = -

→

CO .Ta có

→

BO’ = -

→

BO’’

⇔ →

BA +

→

AO’ =- (

→

BC +

→

CO” )

⇔ →

BA +

→

BC =

→

O’A +

→

O”C =

→

AO +

→

CO

= →

AB +

→

BO +

→

BO -

→

BC

⇔ 2( →

BA +

→

BC ) =

→

2BO ⇔

→

BO =

→

BA

→

+BC ⇔ t n t i đi m c đ nh O.ồ ạ ể ố ị

M b t kỳ ấ ≠ →

0 .Ta có Đ

O : M→ M’ ; O→ O’ do đó →

O’M’ = -

→

OM

Đ B: M’→ M” ; O’→ O” do đó

→

O”M” =-

→

O’M’

Đ C : M’’→ M”’ ; O”→ O do đó

→

OM”’ = -

→

O”M”

T k t qu trên suy ra ừ ế ả→

OM”’ = -

→

OM .

Tính ch t 2:ấ Tích c a 3 phép đ i x ngủ ố ứ l n l t ầ ượ qua 3 m t ph ng đôi 1 ặ ẳvuông góc v i nhauớ là phép đ i x ng qua tâmố ứ .V i tâm là giao đi m ớ ểc a 3 m t ph ng trên.ủ ặ ẳ

z

y

xO

IM’(­x,­y,­z)

M(x,y,z)

M(x,y,­z)

Ch ng minhứ Gi s 3 m t ph ng đôi 1 vuông góc v i nhau.Khi đó 3 giao tuy nả ử ặ ẳ ớ ế

cũng đôi 1 vuông góc v i nhau.V i M b t kỳ ớ ớ ấ→

OM =(x,y,z) qua

phép đ i x ngqua m t ph ng (xOy) bi n M thành Mố ứ ặ ẳ ế 1

và →

OM

1=(x,y,-z).

T ng t phép d i x ng qua m t ph ng (yOz) bi n Mươ ự ố ứ ặ ẳ ế 1

thành M 2 v i ớ

→

OM

2 =(-x,y,-z)

Đ i x ng qua m t ph ng (xOz) bi n Mố ứ ặ ẳ ế 2 thành M’

v i ớ→

OM’ =(-x,-y,-z).T đó ừ

→

OM’

→

=-OM

3, Xây d ng bi u th c t a đ ự ể ứ ọ ộ Trong E3

ch n m c tiêu tr c chu n {O;Eọ ụ ự ẩ 1,E

2,E

3} (1) sao cho Đ

o(O)=O

Suy ra [a] = [0] ; Đ o(E

i) = E

i’ sao cho →

OE

i = - →

OE

i v i i=1,2,3 ớ

A =

-1

0 0

0 -1 0

0 0 -1

⇒ AT =

-1

0 0

0 -1 0

0 0 -1

V y bi u th c t a đ c a Đậ ể ứ ọ ộ ủ o là x’ = AT

x hay x

1’=-x 1

x 2’=-x

2 x

3’=-x 3

⇒ Tr ng h p t ng quát.ườ ợ ổ Trong E 3 Cho M( 1 2 3, ,x x x ), u

r(a,b,c)

1 2 3: '( ' , ' , ' )u

T M M x x x→r

1 1

2 2

3 3

' 2

' 2

' 2

x a x

x b x

x c x

= −⇒ = − = −

H th ng bài ệ ốt pậI­ H th ng bài t p v phép t nh ệ ố ậ ề ị

ti nế Bài toán m đ uở ầ : Hai làng A và B n n 2 bên sông.C n ph i xây c u MN ằ ở ầ ả ầ ởch nào đ đ ng AMNB t làng A đ n làng B là ng n nh t ( 2 b sông ỗ ể ườ ừ ế ắ ấ ờđ c coi là 2 đ ng th ng // và vuông góc v i b )ượ ườ ẳ ớ ờ Gi iả : Xét T

→

MN

v i Tớ

→

MN

(A) = A’.Khi đó A’N = AM.

Do đó : đ dài đ ng AMNB = A’N + NB + MNộ ườ B i vì đ dài MN không đ i.Do đó c n tìm N sao cho A’N + NB ở ộ ổ ầnh nh t.ỏ ấ Rõ ràng AN’ + NB nh nh t khi N thu c A’B t c là đi m N là ỏ ấ ộ ứ ểgiao đi m c a b sông g n v i làng B và đo n th ng A’B.ể ủ ờ ầ ớ ạ ẳ

B

A

N

M

Lo i toán 1ạ :

Xác đ nh nh c a m t đi m ho c m t hình qua phép t nh ti n ị ả ủ ộ ể ặ ộ ị ế

Ph ng pháp gi iươ ả : S d ng ử ụ đ nh nghĩaị , tính ch tấ , bi u th c to để ứ ạ ộ c a ủphép t nh ti n đ xác đ nh ị ế ể ị

Có 4 lo i toán ch y u sauạ ủ ế

Bài toán 1: (Trong m t ph ngặ ẳ ) Cho ),( 21v − ; d : 2x + y - 3 = 0 ;a : x – 2y + 7=0 (C) : x2 +y2 – 2x + 4y – 5 = 0

Tìm các nh ả 'd 'a , )'(C qua Tv

Gi iả : Tìm nh cu đ ng th ng ả ả ườ ẳ 'd và 'a quaTv Cách 1 : Tìm nhả c aủ 2 đi mể b tấ kỳ(thu cộ đ ngườ th ngẳ d) qua phép t nhị ti nế . Vi tế phương trình đ ngườ th ngẳ đi qua 2 đi mể nhả này. -Đ ng th ng d ch n ườ ẳ ọ A(0,3), B(1,1)

Tv (A)= A′ Sao cho vAA =' .Suy ra A′ (1,1)

Tv (B)= B′ Sao cho vBB =' .Suy ra B′ (2,­1)

⇒ Ph ng trình đ ng th ng đi qua ươ ườ ẳ A′ , B′ là 03yx2d =−′+′′ : Đ ngườ th ngẳ a: ch nọ A(-7,0); B(1,4)

Tv (A)= A′ Sao cho vAA =' .Suy ra A′ (­6,­2) Tv (B)= B′ Sao cho vBB =' .Suy ra B′ (2,2) ⇒ Ph ng trình đ ng th ng đi qua ươ ườ ẳ A′ , B′ là: 02y2x =+′−′

Cách 2: D aự vào phương b tấ bi nế ⇒ tìm 1 nhả

Tv có bi uể th cứ toạ độ là:

−=+=

2yy

1xx

'

'

(1)

Tv : 'aa ⇒ 'a : x-2y+m=0

L y M(ấ -7,0) a∈ ⇒ M′ =Tv (M) =(-6,-2) 'a∈ ⇒ -6 + 4 + m =0 ⇒ m=2 Vậy 'a : 02y2x =+′−′

T ng t : ươ ự Tv : 'dd ⇒ 2x+y+n=0

L yấ A(0,3) d∈ ⇒ Tv (A)= A′ (1,1) d′∈ ⇒ 2+1+n=0 ⇒n=-3 ⇒ 03yx2d =−′+′′ : Cách 3 : sử d ng ph ng trình toụ ươ ạ độ c aủ phép t nhị ti nế .

∀ M(x,y) d∈ ⇒ dyxM ′∈′′′ ),( ⇒ M′ =Tv (M)

T ừ (1) :

−=+=

2yy

1xx

'

'

⇒

+′=−=

2yy

1xx '

thay vào ph ng trình đ ng th ng d ta đ cươ ườ ẳ ượ : 03yx2d032y1x2 =−′+′′⇔=−+′+−′ :)()(

T ng t ta cũng đ cươ ự ượ : 02y2xa =+′−′′ :

x-2y+7=0

x-2y+2=0

2x+y-3=0

x

y

-7 -2 32

72

32

-1

- Tìm nh c a đ ng tròn tâm I bán kính R. ph ng trình c a đ ng tròn ả ủ ườ ươ ủ ườ (C): x2 +y2 – 2x + 4y – 5 = 0

Cách1: T ìm nh ả I′ c a I qua ủ Tv . Vi t ph ng trình đ ng tròn tâm ế ươ ườ I′ , bán kính R Ta có(C) : x2+y2­2x+4y­5=0 ⇔ (x­1)2+ (y+2)2=10

Ta có tâm I(1,-2) ; bán kính R= 10

Tv (I)= I′ sao cho ),( 42IvII −′⇒=′ ⇒ Phương trình 104y2xC 22 =+′+−′′ )()(:)( Cách 2 : S d ng bi u th c toữ ụ ể ứ ạ độ

Ta có phương trình Tv :

−=+=

2yy

1xx

'

'

⇒

+′=−=

2yy

1xx '

Thay vào phương trình đ ngườ tròn ta có:

104y2x

010y8x4yx

052y41x22y1x

22

22

22

=+′+−′⇔=+′+′−′+′⇔

=−+′+−′−+′+−′

)()(

)()()()(

c1

c2

O

-4

o

o'

1 2

-2

Bài toán 2: Cho đ ng th ng d và ườ ẳ d′ song song v i nhau. Hãy ch ra m t phép ớ ỉ ột nh ti n bi n d thànhị ế ế d′ có bao nhiêu phép t nh ti n nh th ?ị ế ư ế

Gi iả ch nọ 2 đi mể cổ đ nhị A d∈ ,B d′∈

Xét đi mể M d∈ ( Tuỳ ý)

Gi s :ả ử Tv (M)= M′ ⇒ ABMM =′ ⇒ BMMA ′= ⇒ M′ B song song MA ⇒ dM ′∈′

⇒ ddTBA′=)(

Nh n xét:ậ có vô s phép t nh ti n bi n d thànhố ị ế ế

Bài toán 1: Cho hình h p ABCD.A’B’C’D’ tâm O. Tìm nh c a t di n ADBA’ qua ộ ả ủ ứ ệ

phép t nh ti n T theo ị ế ur

= 'ODuuuur

BÀI TOÁN TÌM NH C A PHÉP T NH TI N TRONG KHÔNG GIANẢ Ủ Ị Ế

Gi iả : BOuuur

= 'ODuuuur

=> UTuur (B) = 0

_V hình bình hành ABD’K và g i E là trung đi m ẽ ọ ể c a AKủ

ta có : AEuuur

= 'ODuuuur

=> UTuur (D) = F

_V hình bình hành BDHD’ và g i F là trung đi m ẽ ọ ể c a DH .ủ

Ta có DFuuur

= 'ODuuuur

=> UTuur (D) = F.

_V hình bình hành A’D’BCẽ 1 và g i I là trung đi m c a A’Cọ ể ủ 1 .D ng G là đ i x ng c a I qua A’.ự ố ứ ủ Ta có 'A G

uuuur = 'OD

uuuur => U

Tuur (A’) = G

V y t di n ÈOG là nh c a t di n ABDA’ qua phép t nh ti n theo vect ậ ứ ệ ả ủ ứ ệ ị ế ơ ur

= 'ODuuuur

O

B'

A'

C'

C

D'

DA

BC1

G

K

I

Lo i toán2ạ : Dùng phép t nh ti n đ gi i m t s bài toán d ng hìnhị ế ể ả ộ ố ự

Ph ng pháp gi iươ ả : Đ d ng m t đi m M ể ự ộ ể ta tìm cách xác đ nh nóị nh là như ả c a m t đi mủ ộ ểc a m t đi mủ ộ ể đã bi t ế qua phép t nh ti nị ế , ho c ặ xem M nh là giao c a m t đ ng c đ như ủ ộ ườ ố ị v i nh c a ớ ả ủm t đ ng đã bi t ộ ườ ế qua phép t nh ti nị ế

Bài toán 1( trong ph ng)ẳ : D ngự hình thang ABCD( AB song song CD)bi tế 2 đ ngườ chéo AC=a, BD=b, góc ABC = α và đ ngườ trung bình MN = c.

1. Phân tích

- Giả sữ đã d ngự đ cượ hình thang ABCD thoã mãn giả thi tế bài toán

- Th cự hi nệ phép t nhị ti nế DDTCA′=)( khi đó tứ giác DACD ′ là

hình bình hành nên ta có : c2MN2DCABDABADB ==+=′+=′ ⇒ ∆ DBD ′ d ngự đ cượ (bi tế 3 c nhạ )

x

y

z

CD

D' BA

MN

2 Cách d ngự - D ngự ∆ DBD ′ v iớ c2DB =′ ; BD =b aDD =′ - D ngự Dx song song DB ′ - D ngự By h pợ v iớ BD’ 1 góc α - By c tắ Dx t iạ C -D ngự Cz song song v i ớ DD ′ - Cz c tắ DB ′ t iạ A v yậ tứ giác ABCD là hình thang c nầ d ngự

3 Ch ng minh:ứ theo cách d ngự ta có: - CD song song AB nên ABCD là hình thang : BD=b, góc ABC= α

AC= DD ′=a(do DACD ′ là hình bình hành) và:

cDB2

1DAAB

2

1CDAB

2

1MN =′=′+=+= )()(

4 Bi n lu nệ ậ : Bài toán có nghi mệ hình ⇔ ∆ DBD ′ d ngự đ cựơ :

⇔ |a­b| <2c <|a=b|

x

y

z

CD

D' BA

MN

Bài toán2( trong không gian). Tìm t p h p các đi m cóậ ợ ể : T ng, hi u các kho ng cách t đó t i 2 đ ng th ng cho ổ ệ ả ừ ớ ườ ẳtr c b ng m t đ i l ng cho tr c.ướ ằ ộ ạ ượ ướ a.Trên đ ng th ng l ườ ẳ 1 có 2 đi m A và C mà ể kho ng cách t A,C đ n lả ừ ế 2=a. Trên l2 ta cũng có 2 đi m B,D mà khoể ngả cách t B,D đ n lừ ế 1=a. ⇒ ABCD là hình ch nh t. ữ ậ Không m t tính t ng quát ta có th coi đi m ấ ổ ể ể M thu c t p h p đi m c n tìm n m trong gócộ ậ ợ ể ầ ằ AOB ( 21 llO ∩= ) - Qua A k lẻ 2’ song song v i lớ 2 - T M h MAừ ạ 1, MA2, MB1 vuông góc xu ng lố 1, l2’,l2 - M thu c mi n xác đ nh b i lộ ề ị ở 2 và l2’ ( n u không thì ếkho ng cách t M đ nả ừ ế l2>a). N u Aế

1M≥ B 1M ta xét đ ng th ng đi qua Bvaf song ườ ẳ

song l 1.Khi đó l p lu n t ng t ta có t p h p ậ ậ ươ ự ậ ợ đi m c n ể ầ

tìm là nh ng đi m n m trên các ph n kéo dài c a các c nh ữ ể ằ ầ ủ ạhình ch nh t ABCD. ữ ậ

l2

l'2

l1

C

D

BB1

A2

M

A1

- Do B1M + MA2 =a nên B1M +A1M=a ⇔ A1M =A2M.T c là M cách đ u lứ ề 1 và l2’ ABM ∈⇒

- L p lu n t ng t cho các đi m n m trong góc ậ ậ ươ ự ể ằ BOC , COD , DOA .Ta chứng minh đ c t p h p c n tìm là biên c a hình ch nh t ABCD.ượ ậ ợ ầ ủ ữ ậ b, D ng các đi m A,B,C,D,M,Aự ể

1,A 2,B

1 và l

2’ nh câu a nh ng M có th n m ư ư ể ằtrong ho c ngoài mi n xác đ nh b i lặ ề ị ở

1 và l 2’.

Gi s Aả ử

1M≤ B 1M.N u M thu c mi n trong.ế ộ ề

Khi đó B

1M+A 2M=a

B 1M-A

1M=a ⇒ A 2M + A

1M = 0 ⇔ M≡ A

- M thu c mi n ngoài.Khi đó ộ ềB

1M-A 2M=a

B 1M-A

1M=a ⇒ A 2M = A

1M

⇒ M n mằ trên ph n kéo dài c a đo n DA v phía A ầ ủ ạ ề

Lo i toán 3ạ : Dùng phép t nh ti n đ gi i 1 s bài toán qu ị ế ể ả ố ỹtíchPh ng pháp gi iươ ả : Ch ng minh qu tích ph i tìm là nh c a 1 hình đã bi t qua 1 ứ ỹ ả ả ủ ế

phép t nh ti nị ế .Bài toán 1

Cho 2 đ ng tròn (O) và (O’) c t nhau t i 2 đi m,g i A là m t giao đi m;1 đ ng ườ ắ ạ ể ọ ộ ể ườth ng d di đ nẳ ộ g qua A và g p l i hai đ ng tròặ ạ ườ n đã cho t i M và N.trên tia AM và ạ

AN l y 2 đi m B và C sao cho ấ ể BAuuur

= ACuuur

= 2

MNuuuur

.Tìm qu tích các đi m B và Cỹ ể

Gi iả D ng OE ự ⊥ (d) ; O’G ⊥ (d). Ta có E,G l n l t là trung đi m c a AM,AN ầ ượ ể ủ

Và EGuuur

= 1

2( MAuuur

+ ANuuur

) = 1

2MNuuuur

= BAuuur

= ACuuur

.

D ng O’I ự ⊥ OE khi đó t giác O’IEG là hình ch nh t.ứ ữ ậ T đó suy ra ừ 'O I

uuur =GE

uuur = AB

uuur ( vì GE

uuur = AB

uuur)

=>O’ABI là hình bình hành => IB

uur= 'O A

uuuur => B =

'O ATuuuur(I)

Vì 'I IO =90O nên t p h p các đi m I là đ ng tròn (ậ ợ ể ườ γ ) đ ng kính OO’, t ườ ừ đó suy ra t p h p các đi m B là đ ng tròn (ậ ợ ể ườ γ 1) v i (ớ γ 1) =

OAT uuur [(γ 1)]

Ch ng minh t ong t ta có t p h p các đi m C la đ ng tròn (ứ ư ự ậ ợ ể ườ γ 2) v i ớ (γ 1) =

OAT uuur [(γ 1)]

NA

OO'

CM GEB

Lo i toán 4ạ : S d ng phép t nh ti n d gi i m t s bài toán khácử ụ ị ế ể ả ộ ốPh ng phápươ :s d ng tính ch t c a phép t nh ti n trong m t s hình đ c bi t ử ụ ấ ủ ị ế ộ ố ặ ệđ gi i toánể ả

Gi iả G i E là tr c tâm tam giác BKH.ọ ự Ta có : EH // KD (Do cùng vuông góc v i BK)ớ

EK // HD (Cùng vuông góc v i BH)ớ Do đó EHDK là hình bình hành. Suy ra EH

uuur = KD

uuur.

Th c hi n phép t nh ti n theo vect ự ệ ị ế ơ KDuuur

, ta có : K D ; E H và B P suy ra : T giác BPDK là hình ch nh t => PK = BD = bứ ữ ậ PH // BE mà BE ⊥ HK nên PH ⊥ HK Xét tam giác vuông PHK ta có

: PH = 2 2PK KH− = 2 2b a−

mà BE = PH => BE = 2 2b a−

Bài toán 1: Cho hình bình hành ABCD k đ ng cao BK,BH. Bi t KH = a,BD = b.Tính ẻ ườ ếd(B,E) (v i E là tr c tâm tam giác BKHớ ự )

B

A D

C

KHE

Bài toán 2: Cho t giác lôiứ ABCD có M,N,P,Q l n l tầ ượ là trung đi m các c nh ể ạAB,BC,CD,DA . Ch ng minh r ng ABCD làứ ằ hình bình hành khi và ch khi ỉ

MP + NQ = 1

2(AB + BC + CD + DA)

Gi iả

Tr c h t ta ch ng minh MP ướ ế ứ ≤ 1

2(BC + AD).

D u b ng x y ra ấ ằ ả ⇔ BC//AD. Th c hi n phép tinh ti n ự ệ ế

BCT uuur : D E,

Khi đó t giác BCED là hình bình hành vì P lứ à trung đi m CDể => P là trung đi m c a BE.Do đó ta cóể ủ

:MP = 1

2AE (tính ch t đ ng trung bình trong tam giác ABE).ấ ườ

MP ≤ 1

2(AD + DE) = 1

2(BC + AD). (vì DE=BC).

D u b ng x y ra ấ ằ ả ⇔ D ∈ AE ⇔ AD//BC.

Ch ng minh t ng t ta có NQ ứ ươ ự ≤ 1

2(AB+CD).

D u b ng x y ra ấ ằ ả ⇔ AB//CD.

V y MP + NQ =ậ 1

2(AB+BC+CD+DA)

⇔ AB//CD,AD//BC ⇔ ABCD là hình bình hành

A

B

ED

C

M

N

Q

M t s bài toán gi i b ng phép t nh ti nộ ố ả ằ ị ế

Bài 1: Trong mÆt ph¼ng täa ®é Oxy, h·y tìm ¶nh cña c c yÕu tè sau qua phÐp tÞnh tiÕn theo vÐct¬

a) ĐiÓm

b) Đ­êng th¼ng

c) Đ­êng trßn 0118622 =−+++ yxyx

( ) 033: =−−∆ yx

( )2,1=→v

( )3,2M

Bµi 2: Chøng minh r»ng: tam gi c cã hai ph©n gi c trong b»ng nhau lµ mét tam gi c c©n.

Các bài toán khác

Bài toán m đ uở ầ : Hai ng i ch i 1 trò ch i nh sau : “ h l n l n l t đ t các ườ ơ ơ ư ọ ầ ầ ượ ặđ ng xu lên m t bàn hình ch nh t,đ ng xu đ c phép đ t vào b t kỳ ch tr ng ồ ặ ữ ậ ồ ượ ặ ấ ỗ ốnào.Ng i nào đ n l t mình đi mà không th đ t đ c đ ng xu vào đâu thì ườ ế ượ ể ặ ượ ồthua”Ch ng minh r ng n u bi t cách ch i thì ng i đi đ u luôn th ng.ứ ằ ế ế ơ ườ ầ ắGi iả :

I

A B

CD

Ng i 1 đ t đ ng xu vào tâm bàn sau đó đ t cácườ ặ ồ ặ đ ng xu ti p theo đ i x ng v i các đ ng xu mà ồ ế ố ứ ớ ồng i th 2 đ t qua tâm bàn.ườ ứ ặV i cách ch i nh v y ng i th 1 luônớ ơ ư ậ ườ ứ đ t đ c đ ng xu khi đ n l t mình đi.ặ ượ ồ ế ượB i vì trò ch i không th kéo dài h n S/s ở ơ ể ơb c đi ( v i S là di n tích m t bàn, s là di n tích đ ng xu) ướ ớ ệ ặ ệ ồ⇒ Trò ch i s k t thúc sau 1 s b c h u h n nào đó và ph n th ng thu c v ơ ẽ ế ố ướ ữ ạ ầ ắ ộ ềng i th nh t.ườ ứ ấ

II ­ H th ng bài t p ph n đ i x ng tâmệ ố ậ ầ ố ứ

Lo i toán 1 ạ * Xác đ nh nh c a m t đi m ho c m t hình qua phép đ i x ng tâmị ả ủ ộ ể ặ ộ ố ứ * M t s bài toán liên quan đ n phép đ i x ng tâm ộ ố ế ố ư

Ph ng pháp gi iươ ả : S d ng đ nh nghĩa,tính ch t,bi u th c to đ đ gi iử ụ ị ấ ể ứ ạ ộ ể ả

Ví d 1ụ (trong m t ph ng)ặ ẳ Cho tam giác ABC v i tr ng tâm G.Tìm nh c a tam giác ABCớ ọ ả ủ qua phép đ i x ng tâmố ứ

Gi i ả G i ọ

GD (A) = A’

GD (B) = B’

GD (C) = C’

=>tam giác A’B’C’là nh c a tam ả ủgiác ABC c n tìm qua phép đ i x ng tâm Gầ ố ứ

G

A

CB

B'C'

A'

Có 5 lo i toán c b nạ ơ ả

Ví d 2ụ ( trong không gian)

Cho hình l p ph ng ABCD.A’B’C’D’ tâm O. Tìm nh c a kh i chóp ậ ươ ả ủ ốO.ABCD qua phép đ i x ng tâm Oố ứ

Gi iả G i f là phép đ i x ng tâm O.ọ ố ứTa có : f(O) = 0, f(A) = C’, f(B) = D’, f(C) = A’, f(D) = B’V y O.C’D’A’B’ là nh c a O.ABCD qua phép đ i x ng tâm Oậ ả ủ ố ứ

B'O

A' D'

C'

B C

DA

Lo i toán 2ạ Tìm tâm đ i x ng c a m t hìnhố ứ ủ ộ

* Ph ng pháp gi iươ ả : Đ i ố v i m t hình b t kỳớ ộ ấ => s d ng đ nh nghĩaử ụ ị V i m t đa giácớ ộ s d ng tính ch tử ụ ấ :M i ỗ đa giác có tâm đ i x ngố ứ thì m i đ nhỗ ỉ c a đa giác, ủ m i c nhỗ ạ c a nó ủ ph i bi n thành chính nóả ế ho c ặ bi n thành m t c nh song song và b ng c nh yế ộ ạ ằ ạ ấ

Ví d 1ụ : Ch ng minh r ng góc to đ là tâm đ i x ng c a đ ng conic có ph ng ứ ằ ạ ộ ố ứ ủ ườ ươ

trình 2

2

x

a +

2

2

y

b = 1

Gi iả : Xét Elip(E) : 2

2

x

a +

2

2

y

b = 1

L y M(x,y) ấ ∈ (E)

Gi s Đả ử o(M)=M’ v i M’=(x’,y’) ớ ⇒

x’=2x

o-x y’=2y

o-y hay

x=-x’ y=-y’

Vì M∈ (E) nên x2

a2 +

y2

b2 =1 ⇔

(-x’)2

a2

+ (-y’)2

b2

= 1

⇔ x’2

a2 +

y’2

b2 = 1 ⇔ M∈ (E)

V y O là tâm đ i x ng c a (E)ậ ố ứ ủ .

T ng t O cũng là tâm đ i x ng c a (H) ươ ự ố ứ ủx2

a2 -

y2

b2 = 1

Ví d 2ụ (Trong không gian ) Ta có hình l p ph ng có tâm đ i x ng chính là ậ ươ ố ứgiao đi m c a 2 đ ng chéo A’C và BD’ể ủ ườ

O

A B

D C

D'

A' B'

C'Lo i toán 3:ạ Dùng phép đ i x ng tâm đ gi i 1 s bài toán d ng hình.ố ứ ể ả ố ựPh ng pháp gi iươ ả : Đ d ng 1 đi m Mể ự ể ta tìm cách xác đ nh nóị nh là nh c a ư ả ủ1 đi m đã bi tể ế qua 1 phép đ i x ng tâm ,ố ứ ho c xem Mặ nh là giao đi mư ể c a ủ1 đ ng th ng c đinh v i nh c a 1 đ ng đã bi tườ ẳ ố ớ ả ủ ườ ế qua 1 phép đ i x ng tâm.ố ứ

Ví d 1ụ Cho đ ng th ng dườ ẳ 1 và d

2 .Hai đi m A,G ể ∉ d 1, d

2 .Hãy d ng 1 tam giác ự

ABC có tr ng tâm G và 2 đ nh B và C l n l t thu c dọ ỉ ầ ượ ộ 1 và d

2 Phân tích : - Gi s đã d ng đ c tam giác ABC có tr ng tâm G ,2 đ nh B và C l n ả ử ự ượ ọ ỉ ầ

l t thu c dượ ộ 1 và d

2 .

G i M là trung đi m c a c nh BC thì M đ c xác đinh b i ọ ể ủ ạ ượ ở→

AM =

32 →

AG .Th c hi n ự ệ

phép đ i x ng tâm Đố ứ M : C |→ B ; d

2 |→ d 2’.Ta có B∈ d

2’.V y B = dậ 2’∩ d

1

Cách d ngự : - D ng ự→

AM =

32

→

AG

- D ng đ ng th ng dự ườ ẳ 2’ v i dớ

2’=Đ M(d

2) - d

2’∩ d 1 = B

- D ng C v i Đự ớ M (B) = C

Thì tam giác ABC là tam giác c n d ngầ ự

d1d2'

d2

B

A

CM

G

Ch ng minhứ : - D a vào cách d ng ta có Bự ự ∈ d

1 ; B∈ d 2’ ; d

2’=Đ

M(d 2) ;

Đ M (B) = C Suy ra C ∈ d

2

- Do M là trung đi m c a cể ủ nh BC và ạ→

AM =

32

→

AG

⇒ G là tr ng tâm c a tam giác ABCọ ủ

d 21d

d

A

I

G

Vô s nghi m hìnhố ệ

d21 d

d

A

I

G

Bài toán vô nghi mệ Bài toán có m t nghi m hìnhộ ệ

2

• N u ế 1d ≡ 2'd t c là khi ứ 1d // 2d và hai đ ng th ng này cách đ u I thì bài toán có ườ ẳ ề

vô s nghi m hình.ố ệ • N u ế 1d // 2d mà không cách đ u I thì ề 1d // 2'd thì bài toán vô nghi m.ệ • Ngoài 2 tr ng h p này ra thì bài toán luôn luôn có 1 và ch 1 nghi m hình.ườ ợ ỉ ệ

Bi n lu nệ ậ : S nghi m hình c a bài toán b ng s đi m chung c a d1 và d2’ ố ệ ủ ằ ố ể ủ

Lo i toán 4ạ Dùng phép đ i x ng tâm đ gi i 1 s bài toán qu tíchố ứ ể ả ố ỹPh ng pháp gi iươ ả : Ch ng minh qu tích ph i tìm là nh c a 1 hình đã ứ ỹ ả ả ủ

bi t qua 1 phép đ i x ng tâmế ố ứ Ví d 1ụ ( Trong m t ph ng)ặ ẳ Trên đ ng tròn (O) cho 2 đi m B,C c đ nh ườ ể ố ị và 1 đi m A thay đ i.G i H là tr c tâm tam ể ổ ọ ựgiác ABC và H’ là đi m th a mãn HBH’C là hình bình hành.Ch ng minh r ng H’ ể ỏ ứ ằ ∈ (O). T đó suy ra qu tích đi m Hừ ỹ ể

I

H

O

A

B C

H'

Gi i:ả T giác HBH’C là hình bình hànhứ ⇒ H’B//CH ⇒ H’B ⊥ AB (vì CH ⊥ AB) Hay 0' 90ABH = T ng t : ươ ự ' 90oACH =

'ABH C⇒ n i ti p ộ ế ⇒ ' ( )H O∈ Mà t giác HBH’C là hình bình hành nên H là đi m đ i x ng c a H’ qua ứ ể ố ứ ủphép đ i x ng tâm I (v i I là trung đi m c a BC).ố ứ ớ ể ủ V y qu tích c a đi m H là nh c a ậ ỹ ủ ể ả ủ cung BC qua phép đ i x ng tâm I ố ứ(Đ I ).

Gi i: ả T giác HBH’C là hình bình hành ứ ⇒ H’B // CH ⇒ H’B ⊥ AB ( vì CH ⊥ AB ) Suy ra 'ABH = 900

T ng t ươ ự 'ACH = 900

⇒ ABH’C n i ti p ộ ế ⇒ H’ ∈ (O) T giác HBH’C là hình bình hành suy ra H’ là đi m đ i x ng c a H qua ứ ể ố ứ ủphép đ i x ng tâm I (I là trung đi m c a BC )ố ứ ể ủ V y qu tích c a H là là nh c a đ ng tròn (O) qua phép đ i x ng tâm I.ậ ỹ ủ ả ủ ườ ố ứ

Ví d 2ụ (trong không gian) Cho M di đ ng trên m t ph ng (P) c đ nh và 4 đi m A,B,C,D c đ nh.Tìm t p h p ộ ặ ẳ ố ị ể ố ị ậ ợ

di m N sao cho ể→

MA

→

+MB

→

+MC

→

+MD

→

=2MN

Lo i toán 5ạ : S d ng phép đ i x ng tâm đ gi i 1 s bài toán khácử ụ ố ứ ể ả ố .Ph ng pháp gi iươ ả : Ch y u s d ng tính ch t c a phép đ i x ng tâm ủ ế ử ụ ấ ủ ố ứ

đ gi i bài toánể ảVí d 1ụ : (Trong m t ph ng )ặ ẳCho ABCD là t giác n i ti p 1 đ ng tròn cho tr c.T M,N,P,Q l n l t là trung ứ ộ ế ườ ướ ừ ầ ượđi m c a các c nh AB,BC,CD,DA ta v cácđ ng th ng vuông góc v i các c nh ể ủ ạ ẽ ườ ẳ ớ ạđ i di n t ng ng.Ch ng minh các đ ng th ng này đ ng quy.ố ệ ươ ứ ứ ườ ẳ ồ

Gi iả : G i O là tâm c a đ ng tròn ngo i ti p ABCD.ọ ủ ườ ạ ế Ta có OM,ON,OP,OQ l n l t vuông góc v i ầ ượ ớ AB,BC,CD,DA c a t giác.ủ ứ MNPQ là hình bình hành .G i I = MPọ ∩ QN suy ra qua phép đ i x ng tâmố ứ I : M |→ P ; Q |→ N và ng c l i; ượ ạ MO đi qua M |→ đ ng th ng đi quườ ẳ a P và // MO (là đ ng th ng đi qua P và ườ ẳ ⊥ AB ). Nh v y qua phép đ i x ng tâm I các đ ng th ng OM,ON,OP,OQư ậ ố ứ ườ ẳ l n l t bi n thành các đ ng th ng đi qua P,Q,M,Nầ ượ ế ườ ẳ và vuông góc v i các c nh đ i di n t ng ngớ ạ ố ệ ươ ứ Các đ ng th ng này đ ng quy t i O’ đ i x ng v i O qua tâm Iườ ẳ ồ ạ ố ứ ớ

I

O'

O

A

B

CD

M

P

Ví d 2ụ : (Trong không gian) Cho m t ph ng (ặ ẳ α)⊥ (β) theo giao tuy n d . ế AB⊂ (α) sao cho AB//d. G i I là trung đi m AB, O là hình chi u vuông góc c a I lên d ọ ể ế ủ và Oz là n a đ ng th ng trong (ử ườ ẳ β) quay quanh O. Ch ng minh ứ AOZ + BOZ không đ iổ

Gi i:ả Trong m t ph ng (ặ ẳ α).G i C là đi m đ i x ng c a A qua dọ ể ố ứ ủ

.Ta có AC//OI (vì cùng ⊥ d) và AC=2OI ⇒ →

AC =2

→

IO

⇒ O là trung đi m c a BCể ủ (α)⊥ (β) và (α) ∩ (β) = d mà AC⊥ d ⇒ AC⊥ (β) ⇒ A và C đ i x ng nhau qua (ố ứ β)

⇒ COZ là nh c a ả ủ AOZ qua phép đ i x ng qua (ố ứ β)

⇒ COZ = AOZ Ta có AOZ BOZ+ = COZ + BOZ = 1800

không đ i (đpcmổ )

dI

z

A

B

CO

d

O

C A

B

I

M t s bài toán s d ng đ i x ng tâm đ gi iộ ố ử ụ ố ứ ể ảBài 1: D ng ngũ giác khi bi t 5 trung đi m c a các c nh c a ngũ giácự ế ể ủ ạ ủ

Bài 2: Ch ng minh r ng m t t giác có tâm đ i x ng thì nó ph i là ứ ằ ộ ứ ố ứ ảm t hình bình hành.ộ

Bài 3:Trong m t ph ng Oxy , tìm ph ng trình đ ng th ng ặ ẳ ươ ườ ẳ ∆ ’ là nh cả ủa đ ng th ng ườ ẳ ∆ qua phép đ i xố ứng tâm là g c t a đ , ố ọ ộbi t ph ng trình đ ng th ng ế ươ ườ ẳ ∆ là 2x + y + 1 = 0

M t s bài toán khácộ ố

Tích (h p thành) c a các phép bi n hìnhợ ủ ế1.H p thành c a 2 phép t nh ti n là m t phép t nh ti nợ ủ ị ế ộ ị ế .

Ch ng minh:ứ

Gi s Tẩ ử 1 và T2 l nầ l tượ là 2 phép t nị h ti nế theo vectơ 1v và 2v : 1vMMT

1

=)( ;

21vMMT

2

=)( thì T2oT1(M)=T2(T1(M)=T2(M1)=M2.

Vì

=

=

221

11

vMM

vMM nên 212112 VVMMMMMM +=+=

V yậ T2oT1 là phép t nhị ti nế

T ngổ quát : G iọ T1,T2,...,Tn là n phép t nhị ti nế theo vectơ n21 vvv ,...,,

Khi đó Tno Tn-1o...oT1 là phép t nhị ti nế theo vectơ n21 vvvv +++= ...

Bi u th cể ứ t a đọ ộ c a h p thành 2 phép t nh ti nủ ợ ị ế

Cho → u (a,b),

→ v (a’,b’) , M(x,y) => Bi u th c t a đ c aể ứ ọ ộ ủ

T

→ u

. T

→ v

: M M” x

M”=x+a+a’ y

M”=y+b+b’

CM: Gi s Tả ử

→ u

: M M’ ,T

→ v

: M M” v i M’(xớ 1, y

1 ) , M”(x

2,y 2 )

Ta có : →

MM’ →

=u x

1-x=a y

1-y=b x

1=x+a y

1=y+b

M’(x 1, y

1 ) = (x+a,y+b)

→

MM’ = → v

x

2-x 1=a’

y 2-y

1=b’

x

2=x+a+a’ y

2=y+b+b’

T

→ u

. T

→ v

: M (x,y) M’(x+a+a’,y+b+b’)

Th t v y ta ch ng minh b ng ph ng pháp quy n pậ ậ ứ ằ ươ ạ Xét n phép t nh ti n ị ế 1uT →

,…, nuT →

V i n=2 : ớ1uT →

1uT → = 1 1u uT →+ ( đúng)

Gi s đúng v i n= k.T c là:ả ử ớ ứ

1uT → 2uT → ……….

kuT → =1 2( .... )ku u u

T + + +uur uur uur

Ta c n ch ng minh ầ ứ đúng v i n=k+1 ớ

Nghĩa là: 1uT →

2uT → ……….kuT →

1kuT →

+=

1 2 1( .... )ku u uT

++ + +uur uur uuuur

Th t v y,ta có:ậ ậ

1uT → 2uT → ……….

kuT → 1kuT →

+=(

1uT → 2uT → ……….

kuT → )1kuT →

+

=1 2( .... )ku u u

T + + +ur uur uur 1kuT →

+ =

1 2( .... )k ku u u uT + + + +

ur uur uur uur=1 2 1( .... )ku u u

T++ + +

ur uur uuuur

V y ậ h p thành c a ợ ủ n phép t nh ti n chính là phép t nh ti n ị ế ị ế

2. H p thành c a n phép t nh ti n 1phép t nh ti nợ ủ ị ế ị ế

Bi u th c t a đ c aể ứ ọ ộ ủ h p thànhợ n phép t nh ti n.ị ế

Cho → u

1 (a 1,b

1) ,

→ u (a

2,b 2),…..,

→ u (a

n,b n) và M(x,y)

T

→ u

n .T

→ u

n-1 …T

→ u

1 : M(x,y) thì

x

n=x+a 1+a

2+…+a n

y n=y+b

1+b 2+…+b

n

C/m: V i n=1 ta có Tớ

→ u

1 : M M

1 (x,y) => x

1=x+a y

1=y+b (đúng )

V i n=1 ta có Tớ

→ u

1 : M M

2 (x,y) => x

2=x 1+x+a

y 2=y

1+y+b (đúng)

Gi s bi u th c đúng voi n=k, nghĩa là :ả ử ể ứ

T

→ u

k .T

→ u

k-1 ….T

→ u

1 : M M

k(x k,y

k) thì x

k=x+a 1+…+a

k y

k=y+b 1+…+b

k

Ta ch ng minh bi u th c đúng v i n=k+1ứ ể ứ ớ

T

→ u

k+1.T

→ u

k ….T

→ u

1) (M) = T

→ u

k+1 (M

k ) = M k+1

→

M kM

k+1 =

→ u

k+1

=> x

k+1-x k=a

k+1 y

k+1-y k=b

k+1 =>

x

k+1=x k+a

1 y

k+1=y k+b

1

=> x

k+1=x+a 1+…+a

k+a k+1

y k+1=y+b

1+…+b k+b

k+1 => ĐPCM

Th t v y ta có : ậ ậ T

→ u

k .T

→ u

k-1 ….T

→ u

1=T

→ u

k+1( T

→ u

k .T

→ u

k-1 ….T

→ u

1 )

Mà T

→ u

k .T

→ u

k-1 ….T

→ u

1 : M M

k

3. H p thành c a ợ ủ m t phép t nh ti n v i m t phép đ i x ng tâmộ ị ế ớ ộ ố ứ ho c ng c l i là m t phép đ i x ng tâmặ ượ ạ ộ ố ứ .

Ch ng minh:ứ Gi s có phép t nh ti n ả ử ị ế T

v và phép đ i x ng tâm Đố ứ O .

Ta xét h p thànhợ c a: TủvĐ O và Đo T

v

Gi s O’ là nh c a O qua phép t nh ti n Tả ử ả ủ ị ếv

2

1 .

Theo ch ng minh trên ta có:ứ

T v = Đ 'o Đ O (1)

Nhân c 2 v c a (1) v phía bên ph i v i Đả ế ủ ề ả ớ O ta có:

T v Đ O = Đ 'O Đo Đ O

⇒ T v Đ O = Đ 'O

Ch ng minh t ng t ta suy ra đ c: Đứ ươ ự ượ o T v = Đ ''O

OO" O'

4. Bi u th c t a đ ể ứ ọ ộ h p thànhợ c a 1 phép đ i x ng tâm vủ ố ứ iớ 1 phép t nh ti n ị ế và ng c l iượ ạ

Gi s I(a,b), ả ử→ u (a’,b’) , M(x,y). Khi đó

T

→ v

.Đ I : M (x,y) M

2(x 2, y

2) v i ớ

x

2=a’+2a-x 1

y 2=b’+2b-y

1

Th t v y : Gi s Mậ ậ ả ử 1=Đ

I(M) => →

IM 1 =

→

-IM => M 1(2a-x,2b-y)

( T

→ v

. Đ I)(M) = T

→ v

(Đ I (M)) = T

→ v

(M 1) = M

2

=> →

M 1M

2 =

→ v =>

x

2-x 1=a’

y 2-y

1=b’ =>

x

2=x 1+a’

y 2=y

1+b’

=> x

2=a’+2a-x y

2=b’+2b-y

4. Tích 2 phép t nh ti n vect Tị ế ơv và T

ulà m t phép t nh ti nộ ị ế

M

M’

M”

Gi s M là đi m b t kìả ử ể ấ . G iọ M’= T

u(M)

M’’= Tv(M’)

Theo đ nh nghĩa ta có :ị 'MM = u '''MM = v Vì ''MM = 'MM + '''MM = u + v Nh v y, tích ư ậ T

v. T

u là phép t nh ti n theo vect ị ế ơ u + v

Tv. T

u=u + v

Gi s M là đi m b t kìả ử ể ấ G i M’=ọ Đ O (M) M’’= Đ 'O (M’)

Vì: ''MM = 'MM + '''MM = MO + 'OM + ''OM + '''MO = 2( 'OM + ''OM ) =2 OO' Nh v y, tích Đư ậ O và Đ 'O là phép t nh ti n theo vecto ị ế v =2 OO' Đ O . Đ 'O = T

OÔ'2

Nh n xét: Đậ O . Đ 'O = e (e: là phép đ ng nh t)ồ ấ

5. Xét tích c a 2 phép đ i x ng tâm Đủ ố ứ O và Đ 'O (O ≠ O’)

M

M’

M’’

O O’

6.H p thànhợ c a ủ n phép đ i x ng tâmố ứ Đ1,Đ2, ..., Đn là f = ĐnoĐn-1o...oĐ1.

Ch ng minh r ng ứ ằ n u n ch nế ẵ thì f là phép t nh ti nị ế và n lẻ thì f là phép đ i x ng tâmố ứ .

Ch ng minhứ :Vì h pợ thành c aủ 2 phép đ iố x ngứ tâm là phép t nhị ti nế nên

N uế ch nẵ thì ta có h pợ thánh c aủ 2

n phép t nhị ti nế là phép t nhị ti nế .

V yậ f là phép t nhị ti nế .

V i n l ta g i g = Đớ ẻ ọ noĐn-1o...oĐ2 (là h pợ thành c aủ n-1 phép đ iố x ngứ tâm).

Do đó g là phép t nh ti nị ế

Xét f= goĐ1 là phép đ i x ngố ứ tâm (đã xét ở m cụ 2)

V y f là phép đ i x ng tâậ ố ứ m

7. Ch ng minh ứ tích c a 2 phép đ i x ng tr củ ố ứ ụ c a 2 tr c vuông gócủ ụ v i nhauớ là 1 phép đ i x ng tâmố ứ .

Ch ng minh:ứ

Cho 2 tr cụ đ iố x ngứ ∆′∆, . ∆ vuông góc v iớ ∆′ t iạ O.

1MM :∆ ; 21 MM :∆′

Ta ch ngứ minh: Đo: 1MM

Th tậ v yậ : 1MM :∆ sao cho MH1=H1M1 v iớ MM1 vuông góc v iớ ∆

21 MM :∆′ sao cho M1H2 = H2M2 v i ớ M1M2 vuông góc v i ớ ∆′

Xét ∆ MM1M2: có OH2 song song v i MMớ 1, H2M2 = H2M1

V y OHậ 2 là đ ng trung bình c a ườ ủ tam giác. 2O2 :Đ MMOMOM ⇒=⇒

N uế 2O1221 :Đ MMMOOMOMMMM ⇒==⇒∆∈⇒∆∈⇒∆∈

a'

a

H1

H2O

M M1

M2

8.Tích 2 phép quay αoQ và α−

'oQ (v i O, O’ là 2 đi m phân bi t) là ớ ể ệphép t nh ti n.ị ế Ch ng minhứ : G i a là đ ng th ng đi qua O và O’ . a’ là đ ng thọ ườ ẳ ườ ẳng qua O

sao cho α α( , ) = α2

. a” là đ ng th ng qua O’ườ ẳ sao cho 'α α( , ) = -α2

.Khi đó a’//a’’ và Q oα = Đ

ao Đ a’ ; Q

o-α = Đ

a”o Đ a

V y Qậ o-α o Q

oα = Đ

a’’ o Đ a o Đ

ao Đ a’= Đ

a”o Đ a’

Vì a’//a’’ nên Đ a”o Đ

a’ là phép t nh ti nị ế

d

a a'

O'O

10.H p thành c a ợ ủ 2 phép đ i x ng tr cố ứ ụ v i 2 tr c song songớ ụ là phép t nh ti nị ế . Ch ng minhứ : Cho 2 đ ng th ng a và b song song v i nhau. V i m i đi m M ườ ẳ ớ ớ ỗ ểta g i Mọ 1 là nh c a M qua phép đ i x ng tr c Đả ủ ố ứ ụ a. .M2 là nh ảc a M qua phép đ i x ng tr c Đủ ố ứ ụ b. G i I, J lọ n l t là trung đi m c a MMầ ượ ể ủ 1, MM2. Các đi m: ểM,M1,M2,I,J cùng n m trên m t ph ng (P) vuông góc v i a và b ằ ặ ẳ ớt i I, J.ạ

Ta có: Đ I(M)=M

1 ⇒ →

MM 1 = 2

→

IM 1

Đ J(M

1)=M

2 ⇒ →

M 1M

2 = 2

→

M 1J

uIJ2JMIM2MM 112 ==+=⇒ )( (không đ i)ổ V y Mậ 2 là nh c a M qua phép t nh ti n theo ả ủ ị ế u .V y h p thành ậ ợc a Đủ boĐa là phéo t nh ti n.ị ế

11.Tích c a 2 phép v t ủ ị ự koV và '

'koV là 1 phép t nh ti nị ế n uế k.k’=1.

Ch ng minhứ : V i đi m M b t kỳ ta g i ớ ể ấ ọ k

oV (M)=M1, ''

koV (M1)=M2.⇒ f(M)=M

2 Ta có OMkOM1 =

11111 OMk

1kOM

k

1OMOMOMMM

−=−=−=⇒ (1)

Ta có 12 MOkMO '' =

111122 MOk

k1MOMOkMOMOMM ''''''

−=−=−=⇒ (vì k’=k

1 ) (2)

C ng v 1 và 2 ta đ c:ộ ế ượ '' OOk

1kMM

−=

V y nh c a M qua phép t nh ti n theo ậ ả ủ ị ế 'OOk

1ku

−= . V y ậ koV o '

'koV là

phép t nh ti n.ị ế

4.Tích T

→ u

o Đ a (u ⊥ a) là phép đ i x ng tr c.ố ứ ụ

a b

KHM

M1

M2

Ch ng minhứ : G i Mọ 1 = )(MT

u, M2=Đa(M). Vì u ⊥ a nên các đi m M, Mể 1, M2

cùng n m trên m t ph ng (P) ằ ặ ẳ ⊥ a. G i K, H l n l t là trung đi m c a Mọ ầ ượ ể ủ 1M2 và MM2 (H ∈ a) Ta có : uMM1 = , u

2

1KH =

Qua a ta d ng đ ng th ng b // a thì b là nh c a a theo phép ự ườ ẳ ả ủt nh ti n theo ị ế u

2

1− nên b là đ ng th ng c đ nh. Ta th y Mườ ẳ ố ị ấ 2 đ i ố

x ng v i M qua đ ng th ng b.ứ ớ ườ ẳ

v y Tậ

→ u

o Đ a là phép đ i x ng tr c Đố ứ ụ b

12.Tích c a ủ m t phép quayộ v i ớ m t phép t nh ti nộ ị ế ho c ặ ng c ượl iạ là m t phép t nh ti n ho c phép quayộ ị ế ặ . Ch ng minhứ : N u ế α

oQ =e ( o0=α ) thì ta có eov

T =v

T oe=v

T N u ế 0≠α thì ta phân tích phép quay thành tích c a 2 phép đ i ủ ốx ng tr c v i các tr c đi qua O.ứ ụ ớ ụ

Q o

α = Đ

a’o Đ a và a⊥

→ v . Khi đó ta có :

Q o

α o T

→ v

= Đ a’o Đ

a o T

→ v

= Đ a’oĐ

a’’ = Q o

α

Trong đó : a’’= T

→

-v

2

(a) và O’= a’∩ a’’

Tư ng tơ ự :αov

oQT

a' a"

a

v

O

O'

Bài toán 1; Cho m t đ ng tròn (O), m t đi m P c đ nh và m t đo n ộ ườ ộ ể ố ị ộ ạth ng AB = a c đ nh. V i m i đi m M thu c (O) ta d ng hình bình ẳ ố ị ớ ỗ ể ộ ựhành ABNM và g i Q là đi m đ i x ng c a N qua P. Tìm t p h p đi m ọ ể ố ứ ủ ậ ợ ểQ khi M thay đ i trên đ ng tròn.ổ ườ

Gi iả : Ta ký hi u ệ

( )ABTuuuuur là phép t nh ti n theo ị ế

ABuuur

, ( )PZ là phép đ i x ng tâm P. Theo ố ứtính ch t ta đã nêu trên phép bi n đ i ấ ở ế ổ

( )PZ ( )ABTuuuuur là phép đ i x ng tâm K, v i K ố ứ ớ

đ c xác đ nh b i công th c: 2ượ ị ở ứ PKuuur

= - ABuuur

. Theo gi thi t : ả ế ( )KZ : M → Q. Do đó đ ng tròn (O) bi n thành đ ng ườ ế ườtròn (O’) là nh c a đ ng tròn (O) qua ả ủ ườphép bi n đ i ế ổ ( )KZ = ( )PZ ( )AB

Tuuuuur .

Bài toán s d ng tích (h p thành) đ gi iử ụ ợ ể ả

Bài toán 2: Cho m = 2n +1 đi m là trung đi m các c nh c a ể ể ạ ủ1 m-giác.Hãy d ng các đ nh c a mự ỉ ủ -giác đó. Gi i : ả Gi s Bả ử

1,B 2,...,B

m là trung đi m các c nh Aể ạ

1A 2,A

2A

3,...,A

mA

1 c a đa giác Aủ

1A 2 ...A

m.

Do Đ B

1(A

1)= A 2 ; Đ

B

2(A

2) = A 3 ; ... ; Đ

B

m ; (A

m) = A 1

Suy ra Đ B

mo...o Đ

B 1(A

1)=A 1.T c là đi m Aứ ể

1 b t bi n qua tích các ấ ế

phép đ i x ng Đố ứ B

mo...o Đ

B 1. Do Đ

B mo...o Đ

B 1 là phép đ i x ng ố ứ

qua tâm ( do m l ) suy ra ch có 1 đi m b t bi n duy nh t đó ẻ ỉ ể ấ ế ấ

chính là trung đi m c a đo n th ng n i X và đi m Để ủ ạ ẳ ố ể B

mo...o Đ

B 1

(X) Do đó X là 1 đi m b t kỳ trể ấ ên m t ph ng .ặ ẳ

M t s bài toán khác s d ng tích (h p thành) đ ộ ố ử ụ ợ ểgi iả

Bµi 1: Chøng minh kh«ng cã h×nh cã ®óng hai t©m ®èi xøng.

Bµi 2: Trong mÆt ph¼ng cho phÐp tÞnh tiÕn ví i vµ mét phÐp ®èi xøng t©m § O

ví i O lµ mét ®iÓm cho trí c. T×m c¸c ®iÓm kÐp cña c¸c tÝch § O vµ § O biÕt r»ng

ví i M bÊt kú ta cã vµ § O(M) = M” .

Bµi 3: Cho ®ưêng trßn t©m (O), mét ®iÓm P cè ®Þnh vµ mét ®o¹n th¼ng AB = a cè ®Þnh. Ví i mçi ®iÓm M thuéc (O) ta dùng h×nh b×nh hµnh ABNM vµ gäi Q lµ ®iÓm ®èi xøng cña N qua P. T×m tËp hî p Q khi M thay ®æi trªn ®ưêng trßn.

C m n m i ng i đã chú ý theo dõi.R t mong nh n ả ơ ọ ườ ấ ậđ c nh ng ý ki n quý báu t th y giáo và các b n !ượ ữ ế ừ ầ ạ

Ph n sau là bài t p đính kèmầ ậ

Gi¶i:a) Gäi lµ ¶nh cña M qua Khi ®ã

( )yxM ,′ →v

T

( )5,35

3

23

12M

y

x

y

xvMM ′⇔

==

⇔

=−=−

⇔=′→

b) LÊy , gäi lµ ¶nh cña A qua

Khi ®ã

( ) ( )∆∈0,3A ( )yxA ,′ →v

T

( )2,42

4

20

13A

y

x

y

xvAA ′⇔

==

⇔

=−=−

⇔=′→

Do kh«ng nhËn lµm vÐct¬ chØ ph­¬ng nªn ¶nh cña qua lµ mét ®­êng th¼ng song song víi => cã vÐct¬ ph p tuyÕn lµ

( )∆→v ( )∆′ ( )∆ →

vT

( )∆( )∆′ ( )3,1 −=

→n

Ph­¬ng trình ®­êng th¼ng ®i qua A’ vµ

cã vÐc t¬ ph p tuyÕn lµ:

( )∆′

( )3,1 −=→n

( ) ( ) ( )023

02341:

=+−⇔=−−−∆′

yx

yx

y

N

x

v

M'

O

y

x0 1 3-2

2

( )( ) ( ) ( ) 3643:

01186:22

22

=+++⇔

=−+++

yxC

yxyxC

=> cã t©m , b n kÝnh R = 6( )C ( )4,3 −−I

Gäi lµ ¶nh cña I qua ( )yxI ,′→v

T

( )2,22

2

24

13

−−′⇒

−=−=

⇔

=+=+

⇔=′⇒→

Iy

x

y

xvII

y

x

I'

I

0 1-1-2

-3

-2

-4

2

¶nh cña ®­êng trßn qua lµ ®­êng trßn t©m I’ vµ b n kÝnh R

( )C′ ( )C →v

T

( ) ( ) ( ) 3622: 22 =+++′⇒ yxC

2. Lêi gi¶i: Trong , hai ph©n gi c Ta xÐt c c tr­êng hîp sau:TH1: hay XÐt vµ cã:

AC chung

ABC∆ 11 CCAA =

∧∧> ACAACC 11 11 AC >

∧

CAC1∆ CAA1∆11 AACC =

11 AC >∧ 11 CAAC >⇒

3

2

221

1

1

K

C

B

A

Thùc hiÖn phÐp tÞnh tiÕn theo vÐct¬ :

1AA

KCTAA

1:1

cã KC1 = AA1 = CC1

=> c©n t¹i C1

CKC1∆CKC1∆

313221ˆˆˆˆˆˆ CCCCKK +=+=+⇒

Do (1)321111121ˆˆˆ,ˆˆˆ CKCKCAAAK >⇒<⇒<==

∧∧∧

Mµ trong cã (do )

(2)

CKA1∆11 CAKA > 111 CAACKA >=

∧>⇒ 23

ˆ KC

Tõ (1) vµ (2) ta cã hai ®iÒu m©u thuÉn => gi¶ thiÕt saiSuy ra kh«ng thÓ cã

11 AC >∧

TH2: Chøng minh t­¬ng tù trªn ta còng cã ®iÒu m©u thuÉn.VËy => c©n t¹i ®Ønh B

CACA ˆˆˆˆ11 =⇒= ABC∆

B5

B4 B3

B2

B6

M3

M4

M5

M2

M1

A5

A1

A2

A3

A4

B1

Gi i:ả Ta có bi u th c t a đ c a phép đ i x ng tâm O(0,0) là:ể ứ ọ ộ ủ ố ứ

'

'

x x

y y

= − = −

hay '

'

x x

y y

= − = −

Khi đó nh c a đ ng th ng ả ủ ườ ẳ : 2x + y +1 = 0 là đ ng th ng ườ ẳ ’ có ph ng trình là: 2(ươ -x’) + (-y’) + 1 = 0 => 2x’ + y’ -1 = 0

Gi i:ả

Gi s t giác ABCD có tâm đ i x ng là Iả ử ứ ố ứ

Khi đó Đ nh A ch có th bi n thành đi m Cỉ ỉ ể ế ể

Đ nh B ch có th bi n thành đi m D.ỉ ỉ ể ế ể

Vì I là tâm đ i x ng nên I là trung đi m c a ố ứ ể ủAC và BD. Mà AC và BD là hai đ ng chéo ươc a t giác nên suy ra t giác ABCD là hình ủ ứ ứbình hành

I

C

A

B

D

Gi i:ả Gi s hình (H) có đúng hai tâm đ i x ng ả ử ố ứ 1 2O O .

G i ọ 3O =Đ2O ( 1O ). Ta ch ng minh Đứ

3O = Đ2O Đ

1O Đ2O

Th t v yậ ậ : V i M b t kì ta cóớ ấ : Đ

2 1:O M M→

Đ1 1 2:O M M→

Đ3 2 3:O M M→

⊕ Đ2O Đ

1O Đ2O = 3M M→

Thep đ nh nghĩa ta cóị : 2 2 1O M O M= −uuuuur uuuuur

1 1 1 2O M O M= −uuuuur uuuuur

2 2 2 3O M O M= −uuuuuur uuuuuur

2 3 2 1O O O O= −uuuuur uuuuur

Suy ra : 3 3 2 2 2 1 2 1 1 1O M O O O M O O O M M O= + = − =uuuuur uuuuur uuuuur uuuuur uuuuur uuuuur

3 3 3 2 2 3 2 1 2 2 2 1O M O O O M O O O M M O= + = − =

Mà : 1 1 2 1M O M O= −uuuuur uuuuur

nên 3 3 3O M O M= − ⇒uuuuur uuuuuur

Đ3O (M)=M 3

Ta l i cóạ : 1 2,O O là tâm đ i x ng c a hình (H), T ố ứ ủ ừ ⊕ suy ra 3O cũng là tâm đ i x ng c a hình ố ứ ủ

(H). Mà 3 2O O≠ , 3 1O O≠ nên đi u gi s là sai.ề ả ử

V y không có hình nào có đúng 2 tâm đ i x ng.ậ ố ứ

Ta cã vµ § O(M) = M”

Do ®ã (§ O )(M) = § O(M’ ) = M1 Nh vËy M1 lµ ®Ønh thø t cña h×nh b×nh hµnh MM’M”M1, nªn ta

cã:

Gäi I lµ ®iÓm kÐp cña tÝch § O

§ O(I’ ) = I =>

Do ®ã * Tương tù trªn ví i M2 lµ ®Ønh thø t cña h×nh b×nh hµnh M’MM”M2 nªn

Gäi K lµ ®iÓm kÐp cña tÝch ta cã:

Gi¶i:

Ký hiÖu lµ phÐp tÞnh tiÕn theo vÐct¬ , § P lµ phÐp ®èi xøng t©m P.

Ta cã : (§ P )(M)= § P(N) = Q Mµ : § K(M) =Q, ví i K lµ trung ®iÓm cña MQ

Nªn : § P = § K

Ta cã K, P lÇn lî t lµ trung ®iÓm cña MQ, NQ nªn => = const Do M thay ®æi trªn ®êng trßn t©m (O), nªn Q thay ®æi trªn ®ường trßn t©m

(O’) ví i O’ lµ ¶nh cña O qua phÐp biÕn ®æi § P = § K ví i K lµ ®iÓm x¸c

®Þnh bëi : = const.

Bài toán 1: Đ (P) là 1 phép t nh ti n v i véc t t nh ti n là 2ị ế ớ ơ ị ế

→ u

.Trong đó T

→

u : bi n (P) thành (Q) và ế

→ u ⊥ (P).

Ch ng minhứ : V i M b t kỳ ta có : Đớ ấ (P) : M → M’ và MM’⊥ (P)

t i trung đi m K. Đạ ể (Q) : M’→ M” và M’M” ⊥ (Q) t i trung đi m ạ ể

H

Ta xét : →

MM” = →

MM’ →

+M’M” = →

MK →

+KM’ →

+M’H + →

HM”

= →

MK + →

KH + →

HM” = →

KM’ + →

M’H + →

KH = →

2KH

Hi n nhiên ể→

KH ⊥ (P) và (Q) và T

→

KH

: K → H .Do đó (P) bi n ế

thành (Q).

Tr l iở ạ

Bài toán 2: Ch ng minh r ng ứ ằ nh c a 1 m t ph ng qua 1 phép t nh ti n là 1 m t ph ng song song ả ủ ặ ẳ ị ế ặ ẳho c trùng v i m t ph ng đã cho.ặ ớ ặ ẳ

Gi i:ả Xét T

→

u

và (P) là m t ph ng nào đó.ặ ẳ Trên (P) l y ấ 3 đi m ể A,B,C không th ng hàng. ẳ

T

→

u(A)= A’ ; T

→

u(B)= B’; T

→

u

(C)= C’ ta đ c ượ→

A’B’ = →

AB ; →

B’C’= →

BC ; →

A’C’= →

AC (1)

Suy ra A’,B’,C’ không th ng hẳ àng. G i (P’) là m t ph ng (A’,B’,C’).ọ ặ ẳ

L y M ấ ∈ (P), g i M’= Tọ

→

u (M) ta có M ∈ (P)

⇒ →

AM =m →

AB + n →

AC suy ra →

A’M’= →

mA’B’ →

+nA’C’

⇒ M’∈ (P’)

Đ o l i: Trên (P’) l y đi m N’b t kỳ thì tả ạ ấ ể ấ ồn t i c p s (x,y) sạ ặ ố ao cho →

A’N’= x →

A’B’+→

yA’C’

L y Nấ ∈(P) sao cho →

AN = →

xAB+ →

yAC .G i K = Tọ

→

u(N) thì

→

A’K = →

xA’B’ + y →

A’C’ suy ra K≡ N ⇒ T

→

u (N)= N’

Do đó T

→

u

( (P) )= (P’).T (1) ta th y (P’)//(P) ho c (P’)ừ ấ ặ ≡ (P)

Nh n xétậ : - N u giá c a ế ủ→ u // ho c n m trên (P) thì (P’)ặ ằ ≡ (P) Tr l iở ạ

Bài toán 3 : Trong hình vuông c nh 1 đ t 1 hình mà kho ng cách gi a 2 đi m b t kỳ ạ ặ ả ữ ể ấkhông b ng 0.001. Ch ng minh r ng di n tích hình đó không l n h nằ ứ ằ ệ ớ ơ : a. 0.34 b. 0.287

Gi iả a,G i hình n m trong hình vuông ABCD c nh 1 là F.Di n tích c a nó là S. ọ ằ ạ ệ ủXét 1AA , 2AA (A1 thu c AD, AAộ 1=0.001, A2 thu c góc BAD sao cho góc ộA2AA1=60o, AA2=0.001)

G i ọ 1AAFFT =)(

1, 2AA

FFT =)(2

- F,F1, F2 không có đi m chung và đ u n m trong hình vuông c nh 1.001.ề ề ằ ạ Do đó 3S < 1.0012 t cứ S< 0.335< 0.34 b.Xét 2A AAAAA 13 += Ta quay 3AA quanh đi m A( ng c chi u kim đ ng h v i góc quay nh n ) ể ượ ề ồ ồ ớ ọsao cho 43 AA và A3A4 =0.001. Xét 5AA và 6AA có 65 AAAA = = 0.001 t o v i ạ ớ

4AA nh ng góc 30ữ 0 và n m khác phía v i nhau so v i ằ ớ ớ 4AA . G i ọ iAA

FFTi

=)( . Không m t tính t ng quát ta coi ấ ổ )()( FFSFFS 34 ∩≤∩ . Khi đó có

S2

1FFS 4 ≤∩ )( .

S2

3FFS 4 ≥∪⇒ )( . Ta có φ=∩ 65 FF và cùng không giao v i F và Fớ 4.

S2

7FFFFS 654 ≥∪∪∪⇒ (

- N u ế )()( FFSFFS 43 ∩≤∩ thì ta xét hình F1 và F2 thay cho F5 và F6 - - Vì | ⇒≤ 3001.0|iAA Các h nh đang xét n m trong hình vuông c nh ị ằ ạ 300201 .+ .

Do đó 2870S300201S2

7 2 .).( <⇒+≤

Tr l iở ạ

Gi i:ả Xét phép t nh ti n:ị ế

1

2

: 'AB

T A C→uuur

'C B→ ' 'B A→

⇒ 1

2' ' ' 'AB

T

AB C C BA∆ →∆

1

2 'AB

T

O O→uuur

1

2 'AB

T

I I→uuur

⇒ OO' ' OO' 'II II= ⇒ =

uuuur uur

T ng t v i các phép t nh ti n ươ ự ớ ị ế 1

2BC

T uuur , 1

2CA

T uuur ta ch ng minh đ c OO’’=II’’,ứ ượ

O’O”=I’I”. Suy ra OO' " ' "O II I∆ = (c-c-c)

Bài toán 4: Cho tam giác ABC . G i A’, B’, C’ l n l t là trung đi m c a các ọ ầ ượ ể ủc nh BC, CA, AB. G i O, O’, O” và I, I’, I” t ng ng là tâm đ ng tròn ngo i ạ ọ ươ ứ ườ ạti p và n i ti p c a 3 tam giác AB’C’, BC’A’, và CA’B’.ế ộ ế ủ Ch ng minh r ng ứ ằ OO' " ' "O II I∆ = ∆ .

I" I'

A'

B' C'

A

CB

O

O'O''

I

Tr l iở ạ

Ví d 6: Cho t giác ABCD có ụ ứ 3AB = , 2 3CD = , 2BC = , 60oBAD CDA= = . Tìm s đo c a ố ủ ABC và BCD Gi i:ả Xét phép t nh ti n:ị ế

: 'DC

T A A→uuuur . Khi đó t giác ADCA’ là hình bình hành.ứ

Do 60 AA ' 120 'AA' 60o o oADC D B= ⇒ = ⇒ = Xét ' 'AB A∆ có AA ' 2 3 2 'AB= = T đó suy ra: ừ ' 'AB A∆ vuông t i Bạ

' ' 30oB A A⇒ = và 2 2' (2 3) ( 3) 9 3BA = − = =

⇒ ' ' 30oB A C = ( Vì AA ' 60oC = ) ⇒ 'BCA∆ cân t i B.ạ Do đó suy ra: 90oDCB = ( Do ' 120oDCA = ) ⇒ 360 (90 60 60 ) 150o o o o oABC = − + + =

3

o30

60o

60o

o60

A'

B

CD

A

Tr l iở ạ

Bài toán 1 Tìm t t c các đi m n m bên trong 1 tam giác nh n sao cho các đi m đ i x ng v i chúng ấ ả ể ằ ọ ể ố ứ ớqua trung đi m các c nh c a tam giác n m trên đ ng tròn ngo i ti p tam giác.ể ạ ủ ằ ườ ạ ế Gi i: ả Gi s X là đi m n m trong tam giác ABC.Đi m đ i x ng v i X qua trung đi mả ử ể ằ ể ố ứ ớ ể c a c nh ủ ạAB c a tam giác ABC n m trên đ ng tròn ngo i ti p. ủ ằ ườ ạ ế ⇔ đi m X n m trên cung đ i x ng ể ằ ố ứv i cung AB ( không ch a đi m C) qua trung đi m c nh AB. ớ ứ ể ể ạ

T c ứ AXB = 1800 - CAB

- Đi m tể h a mãn tính ch t đ u bài n m giao đi m c a 3 cung tròn đ i x ng v i các cung ỏ ấ ầ ằ ở ể ủ ố ứ ớAB,BC,CA qua trung đi m các c nh t ng ng.ể ạ ươ ứ - Ta ch ng minh r ng đi m đó luôn t n t i và duy nh t.ứ ằ ể ồ ạ ấ - Các cung đ i x ng v i cung AB và AC có 2 đi m chung.Gố ứ ớ ể i s là A và H. hi ả ử

đó BHC = 3600 - BHA - AHC

= 3600 -(1800

- ABC ) - (1800 - ACB )

= 1800 - BAC

Do đó H n m trên cung đ i x ng v i BC, t c là đi m c n tìm.( vì ằ ố ứ ớ ứ ể ầ BAC ≠ 1800 -

BAC ,nên đi m A không có tính ch t c a đ u bài)ể ấ ủ ầ

Tr l iở ạ

Bài 2: Trong m t ph ng Oxy , tìm ph ng trình đ ng th ng ặ ẳ ươ ườ ẳ ∆ ’ là nh ảcua đ ng th ng ườ ẳ ∆ qua phép đ i x ng tâm là g c t a đ , bi t ố ư ố ọ ộ ếph ng trình đ ng th ng ươ ườ ẳ ∆ là 2x + y + 1 = 0 Giải: Ta có bi u th c t a đ c a phép đ i x ng tâm O(0,0) là:ể ứ ọ ộ ủ ố ứ

'

'

x x

y y

= − = −

hay '

'

x x

y y

= − = −

Khi đó nh c a đ ng th ng ả ủ ườ ẳ : 2x + y +1 = 0 là đ ng th ng ườ ẳ ’ có ph ng trình là: 2(ươ -x’) + (-y’) + 1 = 0 => 2x’ + y’ -1 = 0

Tr l iở ạ

Bài 3: Trên đ ng tròn (O) cho 2 đi m B,C c đ nh và 1 đi m A ườ ể ố ị ểthay đ i .G i H là tr c tâm ổ ọ ự ABC∆ vàH’ là đi m saocho ể HBH1C là hình bình hành .Ch ng minh rứ ng Hằ 1 n m trên đ ng tròn (O) ằ ườ.T đó suy ra qu tích c a H ừ ỹ ủ Ch ng minh :ứ HBH1C là hình bình hành ⇒ H1 B || CH ⇒ H1B ⊥ AB ( vì CH ⊥ AB) hay ∠ ABH’ = 900 ⇒ t ng t ươ ự ∠ ACH’ = 900 ⇒ t giác ABHứ 1C n i ti p ộ ế ⇒ H1 ∈ (O) ABH1C là hình bình hành nên H là đi m đ i x ng c a Hể ố ứ ủ 1 qua phép đ i x ng tâm I ố ứ (I là trung đi m c a BC) ể ủ V y qu tích đi m H là nh c a đ ng tròn (O) qua phép đ i Ậ ỹ ể ả ủ ườ ốx ng Đứ I

Tr l iở ạ

Bài 3 : cho góc ABC và D trong góc đó . D ng đo n ở ự ạth ng có 2 đi m đ u thu c 2 c nh c a góc và trung đi m ẳ ể ầ ộ ạ ủ ểc a nó trùng v i đi m D ủ ớ ể Gi i : ả D ng các ự đ ng th ng a’ đ i x ng v i đt AB qua Dươ ẳ ố ứ ớ và c’ đ i x ng v i BC qua D.ố ứ ớ G i ọ A’=AB∩ c’ C’=BC∩ a’ B’=a’∩c’ ⇒BA’B’C’ là hình bình hành⇒D là tâm đ i x ngố ứ ⇒D là trung đi m c a A’Cể ủ ’ ⇒vì A’C đo n th ng c n d ngạ ẳ ầ ự .

Tr l iở ạ