Phuong trinh mu t sy

GIẢI BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH MŨ

Biên soạn : Nguyễn Đình Sỹ -ĐT: 0985.270.218 - Tháng 7 năm 2011

Trang 1


Bài 1. Giải các phương trình trình sau :

a.2 3 4 12 4x x x b. 3 1 5 8

2 3 2 3x x

c. 228 36.3x

xx d. 31 2 1 32 4 .8 2 2.0,125x x x GIẢI

a. 2 2 2 13 4 1 3 4 2 2 1

2 4 2 2 3 4 2 1 2 02

xx x x x x xx x x x x

x

b. 3 1 5 8 72 3 2 3 3 1 5 82

x xx x x

.

c. 3 3 22 2 3 2 5 22 2 2

1 1328 36.3 2 2 .3 2 3 5 2 12 02 1 13

x x xx x xx x x

xx x x xx x

.

d.

2 2 11 13 3 131 2 1 3 3 32 3 22

2 2 11 32 4 .8 2 2.0,125 2 2 .5 3 3 log 52 3 2

xx xx x x xx x

22 2

18log 5 648 64 3log 5 8 64 18log 56 8

x x x

Bài 2. Giải các phương trình sau :

a. 13 .2 72x x b. 1 15 6.5 3.5 52x x x

c. 33 2 2 3 2 2

x d.

52 3 10,75 1

3

xx

GIẢI a. 1 1 2 3 23 .2 72 3 .2 3 .2 6 6 2x x x x x x .

b. 1 1 3 55 6.5 3.5 52 5 5 6 52 5 .52 5 15 52

x x x x x x

.

c. 3 3 1 13 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 23

x xx

.

d. 5 2 3 5 2 3 5

2 3 1 3 4 3 30,75 1 2 3 5 23 4 3 4 4

x x x x xx x x x


a. 2 2 3

11 77

x xx

b.

5 177 332 0, 25.125

x xx x

c. 4 2 12 2 5 3.5x x x x d. 2 30,5 2xx



Trang 2

GIẢI

a. 2 2 3

1 2 21 7 2 3 1 2 0 1 27

x xx x x x x x x x

b. 5 5 3 17 5 5 3 175 17 227 3 7 3 7 3

2

5 5 3 1732 0,25.125 2 2 .5 2 5 2 .log 5

7 3

x x x xx xx x x x x x

x xx x

7 11 3 517 3

2

2 22

22 2 2

37 11 3 512 5 log 5 7

7 310 33 3 30 357 log 5

7 3log 5 2 5 15log 5 33 357log 5 0

x xx x

xx x xx x

x x x x

x x

2 22 2 2 1,2

2

5 5 3 17 5 15log 5 '2 .log 5 ' 1296log 5 2448log 5 256 07 3 7 3log 5

x xx

x x

c. 4 2 1 4 2 5 20 52 2 5 3.5 2 2 2 5 5 3 12 8 2

xx x x x x x x

d. 2 3 2 3 2 40,5 2 2 2 2 3 4 5 02 5

xxx x xx x x

* Chú ý : Khi giải các phương trình sau :

a. 1

5 .8 500x

x x

b. 13 .8 36x

x x

c. 5 177 332 0, 25.125

x xx x d. 4 33 4

x x

GIẢI a.

3 1 3 11 23 2 3 2

2 2 235 .8 500 5 .2 5 .2 2 5 3 log 5 log 5 1 3log 5 3 0

x xxx x xx x x x x x x

x

2 2

52 2 2

2 2 22 2

2

3log 5 1 1 3log 5 2log 2log 5

1 3log 5 12log 5 1 3log 53log 5 1 1 3log 5 6

log 5

x

x

b.

31

3 22 2 31 13

3 3 3

1 2 log 423 .8 36 3 2 .3 3 4 log 4 11 log 4 2 log 41 1 log 4

xx

x xx x x

xx xxx

d. 4 33 3 4 3

3

43 4 4 3 .log 4 log 4 log log 43

x xx

x x x

II. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ - ĐẶT ẨN PHỤ Bài 1. Giải các phương trình sau : a. 1 13 3 10x x b. 4 8 2 53 4.3 27 0x x



Trang 3

c. 1 14 6.2 8 0x x d. 2 1 1 13 .5 2.55

x x

GIẢI

a. 1 13 3 10x x . Vì : x+1+1-x=2 suy ra : 2

1 1 2 1 1 3 93 .3 3 3 3x x x xtt t

Vậy phương trình trở thành : 1

21 2

1 3 1 19 10 10 9 09 3 3 1

x

x

t xt t t

t t x

b. 2 2 44 8 2 5 2 43 4.3 27 0 3 4.3 .3 27 0xx x x . Đặt : 2 43 0xt , thì phương trình trở thành

: 2 4

2

2 4 2

33 3 3 2 4 112 27 0 2

9 3 3 2 4 2 1

x

x

t x xt t

t x x

c. 1

2 11 1 12

2 0 04 6.2 8 0 2 6.2 8 0

2 46 8 0

xxx x x t t

t tt t

1

1 2

2 2 2 1 1 04 2 2 1 2 1

x

x

t x xt x x

d. 2 1 1 22

05 01 13.5 2.5 3.5 2.5 1 1 5 1 0

5 3 2 1 0 1 03

xx x x x x

tt t t xt t t


a. 2

51 2 94

xx

b.

35 21 6 12

6

xx

c. 4

3

3 4 72

xx

d.

3 31

25 155

xx

GIẢI a.

2 2

2 25 3 2 2 222

02 01 2 9 2 2 .2 9 9 2 3 2 2log 31

4 8 9 0 9

x xxx x x

tt

t xtt t t

b. 3 2

2 25 2 3 5 2 2 22

6 0 01 6 12 6 6 12 6.6 6.6 12 6 226 2 0

x xxx x x x xt t

tt t

6 62 log 2 2 log 2x x



Trang 4

c. 4

2 4 2 44 3 43 2

02 03 4 7 3.2 2 7 2 6.2 7 0 3 2

2 6 7 03 2

xx xx x x

x

tt

tt t

t

42

42

2 3 2 4 log 3 2

2 3 2 4 log 3 2

x

x

x

x

d. 2

3 3 2 3 11 2

5 025 15 5 2.5 155 5 10 15 0

xx x x

x

tt t

25

03 5 3 2 log 31

3

x

tt xt

t


a. 1 15 5 26x x b. 33 1

8 12 6 2 12 2

x xx x

c. 2 1 11 13 12

3 3x x

d. 27 6.0,7 7

100

xx

x

GIẢI

a. 1

11 1

2 1 2

05 0 0 1 5 1 15 5 26 125 26 25 026 0 25 5 5 125

xx

x xx

tt t t xt

t tt t xtt

b.

3

233 1 1

2 1 08 1 1 22 6 2 1 2 1 2 1 0 2 2 2 0 12 2 2 2 2 2

xx x x x x x

x x x x xx

c.

1

2 1 2 11

1 513

1 4 031 1 1 1 1 13 12 12 0 log 5 log

3 3 3 3 31 53

x

x x x x

x

xx

d.

22

0,7

0,7 1 07 6.0,7 7 0,7 6. 0,7 7 0100 0,7 7 log 7

xxx xx

x x x

Bài 4. Giải các phương trình sau : a. 2 2sin cos16 16 10x x b. 12 2 1x x c. 2 23 3 30x x d. 2 21 15 5 24x x e. 2 13 3 12x x f. 2 21 45 2.5 123 0x x GIẢI



Trang 5

a.

2

2 2

os

sin cos2

016 0 016 16 10 216 10 16 010 0 8

c x

x x

tt tt

t tt tt

2

2

os 2

os 3 2

2 2 2 os 1

8 2 2 os 1

c x

c x

t c x x k

t c x x

b. 21 2 1 022 2 1 2 1 0 2 2 2 0

2 2 2 1 1

xx x x x x

x x x x

c. 2

22 2

2 2 3

03 0 3 3 2 1 13 3 30 381 30 81 030 0 3 3 2 3 127

xx

x xx

tt t x xt

t tt x xtt

d.

2

2 2

1

1 12

05 0 05 5 24 1 025 24 25 024 0 25

x

x x

tt tt

t tt tt

21 2 2 25 5 1 2 1 1x x x x

e. 1

2 1 1 12

03 0 03 3 12 3.3 3 12 0 327 12 27 012 0

9

x

x x x x

tt tt

t tt tt

1

1 2

3 3 1 1 01 2 13 3

x

x

x xx x

f. 2 2 2 2 2

2

21 4 1 1 1

1

2.1255 2.5 123 0 5 123 0 5 123 5 2.125 05

x x x x xx

1. Dạng 2.

( ) ( )( )2 2

( ) ( ) ( )3 2 3

. . 0

. . 0

f x f xf x

f x f x f x

m a n a b p b

m a n a b p b

Bài 1. Giải các phương trình sau : a. 2 2 21 1 12.4 6 9x x x b. 6.4 13.6 6.9 0x x x

c. 3.16 2.81 5.36x x x d. 1 1 1

2.4 6 3.9x x x GIẢI

a.

2 1

2 21 1

2 2 2

2 1

1 1 1 232

3 1 029 62.4 6 9 2 0 1 log 2

4 4 3 22

x

x x

x

x x x x



Trang 6

23 32 2

log 2 1 0 log 2 1x x

b.

3 1 02 39 66.4 13.6 6.9 0 6 13 6 0

4 4 3 3 12 2

x

x xx x x

x

x

c.

9 1 0481 363.16 2.81 5.36 2. 5 3 0 116 16 9 3 24 2

x

x xx x x

x

x

x

d.

1

1 11 1 1

1 1

3 1 029 62.4 6 3.9 3. 2 0

4 4 3 2 3 12 3 2

x

x xx x x

xx

Bài 2. Giải các phương trình sau : a. 8 18 2.27x x x b. 3 35 9.5 27 5 5 64x x x x

c. 3 1125 50 2x x x d. 2 2 21 1 18 18 2.27x x x GIẢI

a. 3 2

3 027 188 18 2.27 2. 1 0 28 8

2 1 0

xx x

x x x t

t t

2

0 31 1 01 2 1 0 2

xtt x

t t t

c. 3 13

3 2

5 0125 50125 50 2 2 0 22 8

2 0

xx x

x x x t

t t

2

0 51 1 01 2 2 0 2

xtt x

t t t

d.

22 2

2 2 2

11 1

1 1 1

3 2

3 027 188 18 2.27 2 1 0 28 8

2 1 0

xx x

x x x t

t t



Trang 7

2 1

22

0 31 1 1 0 11 2 1 0 2

xtt x x

t t t


a. 1 1 1

49 35 25x x x b. 1 1 1

9.4 5.6 4.9x x x

c. 1 1 1

5.25 3.10 24x x x d. 1 1 1

6.9 13.6 6.4x x x GIẢI

a.

11 1

1 1 1

2

0749 35 1 5049 35 25 1 0 5 1 525 25 221 0

xx x

x x x

tt t

tt t

1

7 1 55 2

7 1 5 1 1 5 7log log5 2 2 5

xx

x

b. 1

1 1 1 21 1 1

2

039 6 3 9 3 1109.4 5.6 4.9 4. 5. 9 0 24 4 2 4 2 29

4 5 9 0 4

xx x x

x x x

ttt xtt t

c.

11 1

1 1 1

2

525 10 05.25 3.10 2.4 5. 3 2 0 24 45 3 2 0

xx x

x x x t

t t

1 10

5 2 5 11 0 1 12 5 22

5

x

tt x

xt

d.

11 1

1 1 1

2

39 6 06.9 13.6 6.4 6. 13. 6 0 24 46 13 6 0

xx x

x x x t

t t

1

1 2

0 3 2 1 1 12 2 33

3 9 3 1 19 22 4 2 24

x

x

tx

xt

xt x




Trang 8

a. 4.9 12 3.16 0x x x b. 3.4 2.6 9x x x c. 2 125 10 2x x x d. 27 12 2.8x x x GIẢI

2

03 09 12 3 3 314.9 12 3.16 0 4. 3 0 14

16 16 4 4 434 3 0

4

xx x x

x x x

tt t t x

tt t

b. 2

03 09 6 33.4 2.6 9 2. 3 0 1 1 0124 4 2

32 3 0

xx x x

x x x

tt

t xttt t

c. 2 1

2

05 025 10 525 10 2 2 0 1 1 0124 4 2

22 0

xx x x

x x x

tt

t xttt t

d. 2

3

3 0027 1227 12 2.8 2 0 21 2 08 8

2 0

xx x

x x xttt t t

t t

31 1 02

x

t x

2. Dạng 3. ( ) ( ). . . 1f x f xm a n b p a b


a. 6 35 6 35 12x x

b. 7 3 5 7 3 57 82 2

x x

c. osx osx

7 4 3 7 4 3 4c c

d. 35 21 7 5 21 2x x x

GIẢI

a. 2

06 35 0 06 35 6 35 12 6 35

1 12 1 012 0 6 35

x

x xtt tt

t tt tt

1

2

6 35 6 35 6 35 1 22

6 35 6 35 6 35 2

x

x

x x

x



Trang 9

b.

7 3 52

7 3 5 1 002

17 3 57 7 log 7

2

x

x

xttt x

c. osx

osx osx

2

7 4 3 0 07 4 3 7 4 3 4

1 4 1 04 0

c

c c t tt tt

t

osx 1

osx osx

0 7 4 3 2 3 2 3 osx=-1 x= +k22 3

7 4 3 2 3 2 3 osx=1 x=k22 3

c

c c

t ct

ct

Do : 2 27 4 3 2 3 2 3; 7 4 3 2 3 2 3

d. 3 5 21 5 215 21 7 5 21 2 7. 82 2

x xx x x

5 212 2

5 21 105 21 02012 log 7

5 2177 8 1 0 72

x

x

x

t xtt xtt t


a. sin sin

5 2 6 5 2 6 2x x

b. 7 48 7 48 14x x

c. 3 8 3 8 14x x

d. 2 3 7 4 3 2 3 4 2 3x x

GIẢI

a. sin sinx

2sin sin

2

5 2 6 0 2 3 05 2 6 5 2 6 2

1 2 0 2 1 0

x

x x t t

t t tt

sinx2 3 1 s inx=0 x=k

b. 2

7 48 0 07 48 7 48 14

1 14 1 014 0

x

x x t tt tt

t



Trang 10

17 48 7 48 7 48 1 27 48 2

7 48 7 48 7 48 1 22

x

x

x xtxt x

c. 2

3 8 0 0 7 483 8 3 8 14

1 14 1 0 7 4814 0

x

x x t t tt t tt

t

2 22

2 2 2

2 1 2 33 8 7 48 7 4 3 3 2 2 2 3

3 8 7 48 3 2 2 2 3 2 1 2 3

xx x

x x x

2

2 1

2

2 1

2 1 2 3 2 log 2 3

2log 2 32 1 2 3

x

x

x

x

d.

2

2 3 0

2 3 7 4 3 2 3 4 2 32 3

4 2 3 0

x

x xt

tt

2 22 2

0 1 2 3 1 024 2 3 2 3 0 2 3 2 3 2 3

x

x

t t xxt t t


a. 2 22 1 2 1 42 3 2 3

2 3

x x x x

b. 3 2 2 2 2 1 2 1

x x

c. 2 1 2 1 2 2 0x x

d. 33 5 16 3 5 2x x x

GIẢI

a.

2

2 2

2 1

2 1 2 1

2

2 3 042 3 2 3 1 4 2 3 02 3

2 3

x x

x x x xt

tt

. Do : 2 2 1

2 3x x

=

2

22 2

101 2 32 3 4 2 3 1 0 2 3

tttt t



Trang 11

2

2

2 12

222 1 2

12 3 1 12 1 01 2

2 1 02 1 22 3 2 3 1 2

x x

x x

xxx x

xx xx x

x

b. 23 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1

xx x x

2

02 1 0

1 2 1 1 2 12 2 1 0 1 2

x

xt

tt x

t t t

c.

2

2 1 0 02 1 2 1 2 2 0 1 2 2 1 02 2 0

x

x xt t

t ttt

2 2 1

02 2 1 2 log 2

2 0

xtt x

t

3. Dạng 4. ( ) ( )2 ( ) 2 ( ). . . . 0f x g xf x g xm a n a b p b


a. 2 4 43 8.3 9.9 0x x x x b. 2 22 1 2 22 9.2 2 0x x x x

c. 4 4 18.3 9 9x x x x d.

14 3.2 4x x x x Bài 2. Giải các phương trình sau :

a. 2 3 3 1 42 5.2 2 0x x x x b. 2 3 33 2.2 4 0x x x x

GIẢI

a. 2 4 43 8.3 9.9 0x x x x . Chia hai vế phương trình cho : 4 2 49 3 0x x . Khi đó phương trình trở thành :

4

2 4 4 4 2

2

03 03 8.3 9 0 3 318 9 0 9

x xx x x x x x

tt tt t t

2 2

2 24 2 2 4 5

4 4 4 5 0x x

x x x x xx x x x x

b. 2 2 2 22 1 2 2 2 22 9.2 2 0 2.2 9.2 4.2x x x x x x x x .

Ta chia hai vế phương trình cho : 22 0x . PT trở thành :



Trang 12

2

2 22

2

02 0 12.2 9.2 4 0

22 9 4 04

x xx x x x

tt

tt t

t

2

2

1 2 2

2 22

12 2 1 1 0 12

22 2 02 4 2

x x

x x

x x x x xxx x x x

c. 4 4 4 41 2 28.3 9 9 8.3 9.3 3x x x x x x x x .

Ta chia hai vế phương trình cho : 23 0x . Phương trình khi đó trở thành :

4

44 42 2 42

1

03 0 1 08.3 9.3 1 0 3 3 2

19 8 1 0 99

x xx xx x x x

tt t x xt t t

44

2

00

2 212 0 2

uu x

x xuu u u

d. 1 2 24 3.2 4 2 3.2 4.2x x x x x x x x . Chia hai vế phương trình cho : 22 0x . PT trở thành :

2

2

02 0

2 3.2 4 0 1 03 4 0 4

x xx x x x

tt

tt t t

22

00

2 4 2 2 2 2 412 0 2

x x

uu x

x x u x xuu u u

5. Dạng hỗn hợp Mũ-Logrit :

Chú ý sử dụng công thức : log log loga c cb b aa b a b

Bài 1. Giải các phương trình sau : a. 53 log5 25x x b. 9log 29. xx x

c. 2 2 2log 9 log log 32.3 xx x x d. 3 23 log log 33 100. 10

x xx

GIẢI



Trang 13

a. 5

5

3 log 233 2 2

log

0 05 25 5 5 : 05 5 525

5

x

x

x xx x x do x

xx

b. 9log 29. xx x Lấy log rit cơ số 9 hai vế , ta có phương trình :

2 299 9 9

0 0 09 0

log 11 log 2 log 0 log 1 0

x x xx

xx x x

c. 2 2 2log 9 log log 32.3 xx x x . Sử dụng công thức : log logc cb aa b . Phương trình biến đổi thành :

2

2 2 2 2 2 2

2

loglog log log log log log2 2 2

log 2

3 09 .3 3 0 3 3 1 0 3 1

3 1 0

xx x x x x x

xx x x

x

Đặt : 22log 2 4t tt x x x . Phương trình :

2log 2 3 13 1 3 4 1 1 04 4

t tx t tx

. Xét :

3 1 3 3 1 1( ) 1 '( ) ln ln 04 4 4 4 4 4

t t t t

f t f t t R

.

Chứng tỏ hàm số f(t) là một hàm số nghịch biến : Do f(1)=0 cho nên : - Khi x>1 : f(x) <f(1)=0 : Phương trình vô nghiệm - Khi x<1 : f(x)>f(1)=0 : Phương trình vô nghiệm . Vậy với t=1 thì phương trình có nghiệm duy nhất : 2log 1 2x x .

d. 3 23 log log 33 100. 10

x xx

. Lấy log hai vế , phương trình trở thành :

3 23 log log 333

4 2

log2 1100. 10 3 log log log 2 0 13 3

2 73 03 3

x xt x

x x x x x

t t

73

72 3

2

0 1log

1070 1 log3

101 7log7 39

xt x

xx x

xtx

t

Bài 2. Giải các phương trình sau : a. log9 log9 6xx b. 2 2 2log log 3 3log3 6x xx c. 2

2 2 2log 2 log 6 log 44 2.3x xx d. 2lg 100lg 10 lg4 6 2.3 xx x GIẢI



Trang 14

a. 1

log9 log 2log log log 2log

0 10 1 0 1 0 19 6 10 101log9 9 6 9 3 3 3

2

xx x x x

xx x xx x

x

b. 2

2 2 2 2 2 2 2 2

loglog log 3 3log log log 3log log 3log

3

3 13 6 3 3 6 2.3 66 2

xx x x x x x xx

172

1log2

2 172

1log log 22

x x

c. 22 22 2 2 2 2 2 22 1 log 2 2loglog 2 log 6 log 4 log 2log log 2log4 2.3 2 6 2.3 4.2 6 18.3x xx x x x x xx

2

2 2 2 2 2

log

2log log 2log log 2log

2

0 3 04.2 6 18.3 26 34 18.

4 2 18 4 0

x

x x x x x

xt

t t

2log 2

2

01 3 4 3 10 log 22 2 9 2 4

49

x

t

t x x

t

d. 2lg 100lg 10 lg 1 lg lg 2 2lg 2lg lg 2lg4 6 2.3 4 6 2.3 4.2 6 18.3xx x x x x x x x . Chia hai vế cho : 2lg2 0x

2

lglg 2lg log 2

2

2

03 106 3 3 4 3 104 18. log 22 24 2 2 9 2 4

418 4 09

xx x x

t

t t x xt t t

Bài 3. Giải các phương trình sau : a. 2 2

3 32log 16 log 16 12 2 24x x b. 2

2 21 log 2log2 224x xx c.

2lg 3lg 4,5 2lg10x x xx d. 11 loglog 1 1 2xx xxx x GIẢI

a. 2

32 2 23 3 3

log 162log 16 log 16 1 log 16 2

2

02 02 2 24 2 262 24 0 4

xx x x

tt tt t t

2 2 2 23log 16 2 16 3 9 25 5 : 0x x x x do x

b. 222 2 22 22 2

log2log1 log log2log log

2

2 02 224 2.2 224 22 224 0

xxx xx x txt t



Trang 15

2

2

22log 24

2224

0 1log 2 214 2 2 log 4 4

log 2 2 416 2

x

tx x

t xx xt

c. 2lg 3lg 4,5 2lg10x x xx Lấy lg hai vế

23 10

lg 3lg 4,5 2 2

3 102

1lg 0

3 10lg 2 lg lg lg 3lg 4,5 2 0 lg 102

3 10 10lg2

x xx

xx

x x x x x x

xx

d. 1 1 1 11 log log log loglog 1 1 2 1 1 2 1 1x x x xx x x x xxx x x x x

1

1

0 1 1 1 2 1 2log 1 1 0 1

21 1 2 2

log 1 1 0 1

x

x

x x xx x x

xx x x

x x x


a. 2 2log log 327 30x x b. 1

1

log 2 1log 5 30,12

3

x

x

xx

GIẢI

a.

2

2 2 2 2

loglog log 3 3log log

23

03 027 30 3 3 30 0

3 3 10 030 0

xx x x

ttx

t t tt t

2log23 3 3 log 1 2xt x x

b. 1

1

log 2 1 2 2log 5 3 12 3 3 5 5 3 50,12 0,12 ;

3 100 25 5 33 3

x

x

xx

Nên phương trình trở thành :

1 1 1

1

log 1 2log log 2 1log

1 15 3 5 50,12 2log log 2 1

3 3 3

x x x

x

x x xx

x xx x

3 22

1 12

3 2

2

0 1 11 21 2 1 0 2 11log log 2 1

1 1 21 0 2 12 1

x x

xx

x x xxxx x x

x xxx



Trang 16

13 2

1

23 2

1 21;2

( ) 2 1 (1) 01;2

2( ) 2 1 (2) 11 0

xT

f x x x fT T

xT

f x x x f

III. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH

Bài 1. Giải các phương trình sau : a. 1 12.3 6.3 3 9x x x b. 0,5 0,5 2 14 3 3 2x x x x c. 4 8 2 5

23 4.3 28 2log 2x x d. 2 25 7 35.5 36.7 0x x x x GIẢI

a. 1 1 1 92.3 6.3 3 9 2.3.3 6. .3 3 9 3 3 13 3

x x x x x x x x

b. 2

0,5 0,5 2 1 2 21 1 3 44 3 3 2 2 .2 3.3 .3 .32 23 3

xx x x x x x x x x

34

9 4 3 4 4log4.3 43 3 3

x x

x

c. 2 4

2 44 8 2 5 2 42 2

3 03 4.3 28 2log 2 3 4.3.3 28 1

12 27 0

xxx x x t

t t

2 4

2 4

0 33 3 2 4 13 2

2 4 23 9 19

x

x

tx x

tx xt

d. 2 2 2257

25 35 355 7 35.5 36.7 0 35.7 34.5 log7 34 34

xx x x x x x x

Bài 2. Giải các phương trình sau : a. 3 2 3 42 1 2 1.2 2 .2 2x xx xx x b.

2 2 23 2 6 5 2 3 74 4 4 1x x x x x x c. 8.3 3.2 24 6x x x d. 112.3 3.15 5 20x x x GIẢI a.

3 2 3 4 3 4 3 2 3 22 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2.2 2 .2 2 .2 2 .2 2 2 4 1 2 4 1x x x x xx x x x xx x x x x x

2

3 22 13 2 1

1 1 14 1 02 24 1 2 2 0 2

2 2 0 3 2 1 3 3 3

x xx x

x xx xx

x x x x x

b. 2 2 23 2 6 5 2 3 74 4 4 1x x x x x x . Vì :

2 2 2 23 2 6 5 2 3 7 2 3 7x x x x x x a b x x . Cho nên phương trình trở thành :



Trang 17

2 2 23 2 6 5 2 3 74 4 4 1 4 4 4 1 4 4 4 1 0 4 1 1 4 0x x x x x x a b a b a a b b b a 2

2

4 1 3 2 0 1 21 54 1 6 5 0

b

a

x x x xx xx x

c. 8.3 3.2 24 6 8.3 24 3.2 6 0 8 3 3 2 3 3 0 3 3 8 2 0x x x x x x x x x x x

3

3 3 132 8 2

x

x

xx

d. 1 112.3 3.15 5 20 12.3 20 3.15 5 0 4 3.3 5 5 3.3 5 0x x x x x x x x x

35 53.3 5 4 5 0 3.3 5 0 3 log3 3

x x x x x

Bài 3. Giải các phương trình sau : a. 38 .2 2 0x xx x b. .2 2 2 1 3x xx x x

c. 22 2 114 2 2 1xx x x d. 2 2 22 4.2 2 4 0x x x x x GIẢI

a. 3 3 18 .2 2 0 8 2 .2 0 8 1 2 1 02

x x x x xxx x x x x

8 8 82 1 0 0 ( ) 2 02 2

x xx xx x f x

x

.

Ta thấy : 2

8'( ) 2 .ln 2 0 ( )xf x x R f xx

là một hàm số đồng biến .

Mặt khác : f(2)=0 . Suy ra : - Khi x>2 thì f(x)>f(2)=0 . Phương trình vô nghiệm - Khi x<2 , thì f(x)<f(2)=0 . Phương trình vô nghiệm Vậy x=2 là nghiệm duy nhất của phương trình . b. 2.2 2 2 1 3 .2 2.2 2 3 0 2 2 1 2 0x x x x xx x x x x x x x x

2 0 2 22 2 1 0

(0) 0( ) 2 1 0 '( ) 2 ln 2 1 0x

x x

x x xx x

ff x x f x

- Do hàm số đồng biến , do vậy : +. Khi x>0 thì f(x)>f(0)=0 . Phương trình vô nghiệm + Khi x<0 thì f(x)<f(0)=0 . Phương trình vô nghiệm . Vậy x=0 là nghiệm duy nhất của f(x)=0 . Tóm lại phương trình đã cho có hai nghiệm là x=2 và x=0 . c. 22 2 2 2 211 2 2 1 2 14 2 2 1 2 2 2 1xx x x x x x x x . Đặt : 2 2 22 2 ; 1 2 1a x x b x a b x x . Khi đó phương trình có dạng :

2 1 02 2 2 1 2 1 2 1 2 0 2 1 1 2 0

02 1

aa b a b a b a a b

b

ab



Trang 18

2

2

2 0 0 10; 1

1 11 0

x x x xx x

x xx

Bài 4. Giải các phương trình sau : a. 2 25 6 1 6 52 2 2,2 1x x x x b. 22 212 1 6 14 1 2 2xx x x x c. 2 23 2 6 2 52 3 3 2x x x x x x d. 2 1 1 22 2 2 7 7 7x x x x x x GIẢI a. 2 25 6 1 6 5 2 22 2 2.2 1 6 5 ; 1 5 5x x x x a x b x a b x x . Nên phương trình có dạng :

1 2.22.2 2 2.2 1 2 1 2.2 1 0 2 1 1 02 2

aa b b a b a b

b b

2

1 2

2 1 0 1 0 11 0 2 32 1 5 6 0

b

a b

b x xa b x xx x

b. 22 2 2 2 212 1 6 1 2 4 2 2 1 6 1 2 24 1 2 2 2 1 2 2 . 2 1; 6 1xx x x x x x x x x x a x x b x x 22 4 2a b x x . Vậy phương trình có dạng :

2 1 2 2 2 2 2 1 0 2 1 2 1 0a b a b a b a b b a

2

11 02 1 00 6 1 0 3 2 22 1

a

b

xxab x x x

c. 2 2 2 2 2 23 2 6 2 5 2 5 2 5 2 5 2 2 81 42 3 3 2 8.2 2 .3 3 0 9.2 .3 2 33 3

x x x x x x x x x x x x x x x x x x

Lấy log rít cơ số 3 hai vế , ta chuyển phương trình về dạng :

323 3

log 2 42 log 2 2 log 2 8 0

2x

x xx

d. 2 1 1 2 4.2 2 2.2 49.7 7.7 72 2 2 7 7 74 49

x x x x x xx x x x x x

72

9 57 7 9.49 343 343.2 .7 log4 49 2 4.57 228 228

xx x x

IV. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

1. Dạng 1 : ( ) ( ) ( ). . .f x f x f xm a n b p c


a. 6 8 10x x x b. 5 2 6 5 2 6 10x x

x



Trang 19

c. 2 3 2 3 2x x x d. 1 1 13 2 2 6

3 2 6

x x xx x x

GIẢI a.

6 8 6 8 6 6 8 86 8 10 1 ( ) 1 '( ) ln .ln 010 10 10 10 10 10 10 10

x x x x x xx x x f x f x

Chứng tỏ hàm số f(x) là nghịch biến . Mặt khác , ta có f(2)=0 . - Khi x>2 , thì f(x)<f(2)=0 . Phương trình vô nghiệm - Khi x<2 , thì f(x)>f(2)=0 . Phương trình vô nghiệm - Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là : x=2 .

b. 5 2 6 5 2 65 2 6 5 2 6 10 110 10

x xx x

x

5 2 6 5 2 6( ) 1 010 10

x x

f x

5 2 6 5 2 6 5 2 6 5 2 6'( ) .ln .ln 010 10 10 10

x x

f x

Chứng tỏ hàm f(x) luôn đồng biến :Mặt khác : f(1)=0 - Khi x>1 , thì f(x)>f(1)=0 . Phương trình vô nghiệm - Khi x<1 , thì f(x)<f(1)=0 . Phương trình vô nghiệm - Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là : x=1

c. 2 3 2 3 2 3 2 32 3 2 3 2 1 ( ) 1 02 2 2 2

x x x xx x x f x

2 3 2 3 2 3 2 3'( ) ln ln 02 2 2 2

x x

f x

Chứng tỏ hàm f(x) luôn đồng biến :Mặt khác : f(1)=0 - Khi x>1 , thì f(x)>f(1)=0 . Phương trình vô nghiệm - Khi x<1 , thì f(x)<f(1)=0 . Phương trình vô nghiệm - Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là : x=1

d. 1 1 1 1 1 13 2 2 6 3 2 2 63 2 6 3 2 6

x x x x x xx x x xx

( ) 3 2 2 '( ) 3 ln 3 2 ln 2 0 ; (1) 7x x x xVT f x f x f 1 1 1( ) 63 2 6

x x x

VP g x

. Là một hàm số nghịch biến . Mặt khác :g(1)=7

Cho nên : Khi x>1 f(x)>f(1)=7: VT>7 , còn VP<g(1)=7 . Phương trình vô nghiệm Khi x<1 : f(x)<f(1)=7 . Nhưng VP> g(1)=7 . Phương trình vô nghiệm Chứng tỏ : x=1 là nghiệm duy nhất của phương trình .



Trang 20

Bài 2. Giải các phương trình sau : a. 4 3 1x x b. 2 3 5 10x x x x c. 3 4 12 13x x x x d. 3 5 6 2x x x GIẢI

a. 1 3 1 34 3 1 1 3 4 1 ( ) 1 04 4 4 4

x x x xx x x x f x

1 1 3 3'( ) ln ln 04 4 4 4

x x

f x

.

Chứng tỏ f(x) luôn nghịch biến . Mặt khác : f(1)=0 . Cho nên - Khi x>1 , thì f(x)<f(1)=0 . Phương trình vô nghiệm - Khi x<1 , thì f(x)>f(1)=0 . Phương trình vô nghiệm - Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là : x=1

b. 2 3 5 2 3 52 3 5 10 1 ( ) 1 010 10 10 10 10 10

x x x x x xx x x x f x

2 2 3 3 5 5'( ) ln ln ln 0

10 10 10 10 10 10

x x x

f x

Chứng tỏ f(x) luôn nghịch biến . Mặt khác : f(1)=0 . Cho nên - Khi x>1 , thì f(x)<f(1)=0 . Phương trình vô nghiệm - Khi x<1 , thì f(x)>f(1)=0 . Phương trình vô nghiệm - Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là : x=1

c. 3 4 12 3 4 123 4 12 13 1 ( ) 1 013 13 13 13 13 13

x x x x x xx x x x f x

3 3 4 4 12 12'( ) ln ln ln 013 13 13 13 13 13

x x x

f x

Chứng tỏ f(x) luôn nghịch biến . Mặt khác : f(2)=0 . Cho nên - Khi x>2 , thì f(x)<f(2)=0 . Phương trình vô nghiệm - Khi x<2 , thì f(x)>f(2)=0 . Phương trình vô nghiệm - Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là : x=2 d. 3 5 6 2 ( ) 3 5 6 2x x x xx f x x . Rõ ràng phương trình có hai nghiệm là x-0 và x=1 . Ta có :

: 2 2

'( ) 3 .ln 3 2 ln 2 6''( ) 3 (ln 3) 2 (ln 2) 0

lim ( ) ; lim ( ) 6

x x

x x

x x

f xf x

f x f x

Suy ra f'(x) là một hàm số liên tục , đồng biến và nhận cả giá trị dương lẫn giá trị âm trên R , Nên phương trình f'(x)=0 có nghiệm duy nhất 0x .



Trang 21

Ta lập bảng biến thiên sẽ suy ra hai nghiệm của phương trình , sẽ không còn nghiệm nào khác . 2. Dạng 2. 2 ( ) ( )( ). ( ). ( ) 0f x f xA x a B x a C x .

Bài 1. Giải các phương trình sau : a. 2 1 13 3 3 7 2 0x x x x b. 5 525 2.5 2 3 2 0x x x x c. 9 2 2 .3 2 5 0x xx x d. 25 2 3 .5 2 7 0x xx x GIẢI a. 2 1 13 3 3 7 2 0x x x x . Ta nhân hai vế phương trình với 3 . Ta có :

22

03 0 3 1

3 3 3 7 3 2 0 6 33 7 3 2 0 ( ) 3 3 6 01

x xx x

x

tt

x x t xt x t x f x xt

0'( ) 3 ln 3 3 0x

xf x

.

Chứng tỏ f(x) luôn đồng biến . Mặt khác : f(1)=0 . Cho nên - Khi x>1 , thì f(x)>f(1)=0 . Phương trình vô nghiệm - Khi x<1 , thì f(x)<f(1)=0 . Phương trình vô nghiệm - Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là : x=1 - Kết hợp với x=0 . Chứng tỏ phương trình đã cho có đúng hai nghiệm là : x=0 và x=1 .

b.

55 5

2

05 0

25 2.5 2 3 2 0 12 2 3 2 0

2 3

xx x

tt

x x tt x t x

t x

5 5 55 2 3 ( ) 5 2 3 0 '( ) 5 ln 5 2 0x x xx f x x f x Chứng tỏ f(x) luôn nghịch biến . Mặt khác : f(4)=0 . Cho nên - Khi x>4 , thì f(x)<f(4)=0 . Phương trình vô nghiệm - Khi x<4 , thì f(x)>f(4)=0 . Phương trình vô nghiệm - Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là : x=4

c. 2

03 0

9 2 2 .3 2 5 0 3 5 212 2 2 5 0

5 2

xx x x

tt

x x xtt x t x

t x

( ) 3 2 5 0 '( ) 3 ln 3 2 0x xf x x f x Chứng tỏ f(x) luôn đồng biến . Mặt khác : f(1)=0 . Cho nên - Khi x>1 , thì f(x)>f(1)=0 . Phương trình vô nghiệm - Khi x<1 , thì f(x)<f(1)=0 . Phương trình vô nghiệm - Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là : x=1



Trang 22

d. 2

05 0

25 2 3 .5 2 7 0 5 7 212 3 2 7 0

7 2

xx x x

tt

x x xtt x t x

t x

( ) 5 2 7 0 '( ) 5 ln 3 2 0x xf x x f x Chứng tỏ f(x) luôn đồng biến . Mặt khác : f(1)=0 . Cho nên - Khi x>1 , thì f(x)>f(1)=0 . Phương trình vô nghiệm - Khi x<1 , thì f(x)<f(1)=0 . Phương trình vô nghiệm - Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là : x=1 Bài 2. Giải các phương trình sau : a. 2 3 23 3 10 .3 3 0x xx x b. 2 2 3 2 1 2 0x xx x

c. 3.4 3 10 .2 3 0x xx x d. 2 2log log 22 2 . 2 2 1x x

x x

GIẢI

a.

22 22 3 2 2

2

3 03 3 10 .3 3 0 3.3 3 10 .3 3 0

3 3 10 3 0

xxx x x t

x x x xt x t x

2 12

22

013 31 '( ) 3 ln 3 1 0

( ) 3 3 03 3 33

xx

xx

tx

f xtf x xx

t x

Chứng tỏ f(x) luôn đồng biến . Mặt khác : f(2)=0 . Cho nên - Khi x>2 , thì f(x)>f(2)=0 . Phương trình vô nghiệm - Khi x<2 , thì f(x)<f(2)=0 . Phương trình vô nghiệm Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x=1 và x=2. b. 2 2 3 2 1 2 0x xx x . Ta coi đây là một phương trình bậc hai ẩn là x .

Khi đó : 2 1 2 ( ) 2 1 02 1 '( ) 2 ln 2 1 0

2 2

x xx xx f x x

f xx x

Chứng tỏ f(x) luôn đồng biến . Mặt khác : f(1)=0 . Cho nên - Khi x>1 , thì f(x)>f(1)=0 . Phương trình vô nghiệm - Khi x<1 , thì f(x)<f(1)=0 . Phương trình vô nghiệm Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x=1 và x=2.



Trang 23

1

2

02 0 2 313.4 3 10 .2 3 0

33 3 10 . 3 0 2 33

x xx x

x

tt

x x tt x t x x

t x

2log 3'( ) 2 ln 2 1 0

( ) 2 3 0x

x

xf x

f x x

Chứng tỏ f(x) luôn đồng biến . Mặt khác : f(1)=0 . Cho nên - Khi x>1 , thì f(x)>f(1)=0 . Phương trình vô nghiệm - Khi x<1 , thì f(x)<f(1)=0 . Phương trình vô nghiệm Vậy chứng tỏ phương trình đã cho có hai nghiệm : x=1 và 2log 3x .

d. 2 2log log22 2 . 2 2 1

x xx x .

Vì :

2 2 22

2

log log logloglog2 2 . 2 2 2 2 2

2 2

x x xxx

xx

Vậy : phương trình đã cho trở thành :

2 2

2

log log

2

2 2 2 2 2 log22 2 2

2 2 0 2 2 1 log 00 11 0 log 2 2 2log2 21 0

x x

x

t xt tx t x t x x xt x xt xt

2

11

2 log 0

xx

x

3. Dạng 3. ( ) ( ) ( ) ( )f x g xa a f x g x Bài 1. Giải các phương trình sau :

a. 2 212 2 1x x x x b. 21 2 1 23 3 4 .3x x xx

c. 2 24 2 8 4 25 5 4 2x x x x x d. 2 2 2 2sin sin os os2 3 2 3 2cos2x x c x c x x

GIẢI a. 2 2 21 22 2 1 . 1; 1x x x x a x b x x b a x . Phương trình đã cho có dạng :

2 2 2 2a b a bb a a b . Ta xét một hàm số : ( ) 2 , '( ) 2 ln 2 1 0t tf t t t R f t . Chứng tỏ hàm f(t) luôn đồng biến . Vậy đẻ f(a)=f(b) chỉ xảy ra khi và chỉ khi : a=b , hay b-a=0 21 0 1x x .

b. 2 2 21 2 1 2 2 1 2 13 3 4 .3 3 3 4x x x x x x xx x

Vì : 2 22 1 2 1 4 4x x x x x b a x . Phương trình đã cho có dạng :

3 3 3 3b a a ba b a b



Trang 24

Ta xét một hàm số : ( ) 3 , '( ) 3 ln3 1 0t tf t t t R f t . Chứng tỏ hàm f(t) luôn đồng biến . Vậy đẻ f(a)=f(b) chỉ xảy ra khi và chỉ khi : a=b , hay b-a=0 4 0 0 0x x .

c. 2 24 2 2 8 4 2 2 25 5 4 2 2 8 4 4 2x x x x x x x x x x

2 24 2 2 2 8 4 25 4 2 5 2 8 4x x x xx x x x

Ta xét một hàm số : ( ) 5 , '( ) 5 ln5 1 0t tf t t t R f t . Chứng tỏ hàm f(t) luôn đồng biến . Vậy đẻ f(a)=f(b) chỉ xảy ra khi và chỉ khi : a=b , hay b-a=0

2 4 2 0 2 2 2 2x x x x .

d. 2 2 2 2 2 2 2 2sin sin os os sin sin 2 os os 22 3 2 3 2cos2 2 3 2sin 2 3 2cosx x c x c x x x c x c xx x x .

Ta xét một hàm số : ( ) 2 3 2 , '( ) 2 ln2 3 ln3 2 0t t t tf t t t R f t . Chứng tỏ hàm f(t) luôn đồng biến . Vậy đẻ f(a)=f(b) chỉ xảy ra khi và chỉ khi : a=b , hay b-a=0

os2x=0 2x= ;2 4 2

c k x k k Z


a. 2 5 1 1 12 5 1

x xe ex x

b. 2

2 21 1 2 1 12 2

2

x xx x

x

c. 2 3 1 2 22 2 3 3 0x x x x x x d. 2 3 1 2 22 2 4 3 0x x x x x GIẢI

a. 2 5 12

1 1 1 1( ) ; 0 '( ) 02 5 1

x x t te e f t e t f t ex x t t

.

Chứng tỏ hàm số f(t) đồng biến . Để f(3

2 5 ) ( 1) 2 5 14

xx f x x x

x

b. 2

2 21 1 2 2 2

2 2 2

1 1 1 2 1 2 2 1 12 2 ; 1 22 2

x xx x x x x x

x x x x x x

.

Cho nên phương trình đã cho có dạng :

1 1 12 2 2 . 2 .2 2 2

a b a bb a a b .

Xét một hàm số đặc trưng : 1 1( ) 2 ; '( ) 2.ln2 02 2

t tf t t f t . Chứng tỏ hàm f(t) luôn đồng

biến . Vậy để f(a)=f(b) , chỉ xảy ra khi và chỉ khi : a=b , hay b-a=0 1 1 0 22

xx

.

c. 2 23 1 2 2 3 1 2 22 2 3 3 0 2 3 1 2 2x x x x x xx x x x x x

- Bằng cách xét như các bài trên ta có kết quả :



Trang 25

2 2 3 33 1 2 3 3 3

3 6 9 3x x

x x x x x x xx x x

d. 2 23 1 2 2 3 1 2 22 2 4 3 0 2 3 1 2 2x x x x x xx x x x x .

Tương tự . Kết quả của bài là xảy ra dấu bằng : 2 14 3 0

3x

x xx


a. 2 2os sin2 2 os2xc x x c b.

2 2os sin os2xc x xe e c c. 2 3 3 2 5

x x x d. 0 0os36 os72 3.2

x x xc c

GIẢI :

a. 2 2 2 2os sin os 2 sin 22 2 os2x 2 os 2 sinc x x c x xc c x x . Do : 2 20 sin , os 1 0;1x c x t .

Ta xét : ( ) 2 0;1 '( ) 2 ln2 1 0 0;1t tf t t t f t t .

Chứng tỏ f(t) luôn đồng biến . Vậy để 2 2(sin ) osf x f c x , thì chỉ xảy ra khi :

2 2sin os os2x=0 x=4 2

x c x c k .

b. a. 2 2 2 2os sin os 2 sin 2os2x os sinc x x c x xe e c e c x e x . Do : 2 20 sin , os 1 0;1x c x t .

Ta xét : ( ) 0;1 '( ) 1 0 0;1t tf t e t t f t e t .

Chứng tỏ f(t) luôn đồng biến . Vậy để 2 2(sin ) osf x f c x , thì chỉ xảy ra khi :

2 2sin os os2x=0 x=4 2

x c x c k .

c. 3 2 3 2 5x x x

.

- Ta chứng minh bất đẳng thức sau : 2 0.

2 0

a b a b a b ab a b ab

a b a b a b ab a b ab

* Khi x>0 thì : 3 2 3 2 5x x x

. Vậy phương trình vô nghiệm .

* Khi x<0 thì 3 2 3 2 5x x x

. Phương trình vô nghiệm * Khi x= 0. Phương trình vô nghiệm . Vậy phương trình vô nghiệm . d. 0 0os36 os72 3.2

x x xc c -Do : 0 0 0 0 0os72 sin18 ; os36 sin 54 sin 3.18c c . Cho nên đặt t= 0sin18 0 , và dùng công thức nhân ba ta có : 0 0 2 0 0 3 0 3 2cos36 sin 54 1 2sin 18 3sin18 4sin 18 4 2 3 1 0t t t



Trang 26

2 2 0

0

1 5 05 141 4 2 1 0 4 2 1 0 os3645 1 sin18

4

tt t t t t c

t

Khi đó phương trình có dạng : 5 1 5 1 5 1 5 13.2 34 4 2 2

x x x x

x

.

Xét hàm số : 5 1 5 1 5 1 5 1 5 1 5 1( ) 3 0 '( ) ln ln 02 2 2 2 2 2

x x x x

f x f x

Chứng tỏ hàm số f(x) luôn nghich biến . Mặt khác : f(2)=0 - Khi x>2 , thì f(x)<f(2)=0 . Phương trình vô nghiệm - Khi x<2 , thì f(x) >f(2)=0 . Phương trình vô nghiệm Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = 2 .

4. Dạng 4. Đánh giá hai vế

Bài 1. Giải các phương trình sau : a. 2 4 2 23 4 .3 1x xx b. 2 2sin os3 3 2 2 2x c x x x GIẢI a. 2 4 2 23 4 .3 1x xx

- Khi x>2 , thì x 2 22 2 4 0 4 2 24 4 0 3 3 1 3 4 .3 1x x xx x x . Bất phương trình đúng . Vậy : x>2 là nghiệm. - Khi x<2 thì : 2 22 2 4 0 4 2 24 4 0 3 3 1 3 4 .3 0x x xx x x . Như vậy : x<2 không là nghiệm của bất phưng trình . - Khi x=2 , thay trực tiếp vào phương trình , ta thấy xảy ra trường hợp đẳng thức . Tóm lại : 2x , là nghiệm của bất phương trình . * Trên đây là một số bài giải trong phần " Bài tập về phương trình mũ " . Tuy đã cố gắng , nhưng cũng không sao tránh khỏi những thiếu sót trong phương pháp trình bày cũng như lời giải . Rất mong được sự đóng góp của tất cả các em học sinh , cũng như các đồng nghiệp có kinh nghiệm khác , để cho tôi có thể nâng cao được chuyên môn cũng như kinh nghiệm biên soạn .

Documents

Phuong trinh mu t sy