AUTOR : Dr. Víctor Manuel Alcántara Alza PROFESOR DE LA ESCUELA DE Ing. Mecánica Trujillo - 2010

REPRESENTACIONES DE LOS PLANOS Y DIRECCIONES CRISTALOGRAFICAS

UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO

Conferencia :

CURSO: MECANICA DE MATERIALES

REPRESENTACION DE LOS PLANOS CRISTALOGRAFICOS [INDICES DE MILLER]

Todo plano en el espacio se puede representar si se conocen tres puntos que intersectan a los ejes coordenados (a, b, c), siempre y cuando dicho plano no pase por el origen. En el ejemplo: el plano queda representado por las coordenadas (a, b, c) y cualquier expresión de la forma :

M(a, b, c) donde M es un entero representa una familia de planos paralelos al plano (a, b, c)Si el plano es paralelo a los ejes coordenados , no tiene intersección o la intersección sería en el infinito (α) por lo cual es mas cómodo utilizar las inversas de las intersecciones que para los planos paralelos a los ejes sería cero.

a

c

b

Indices de Miller para celdas Cúbicas

• Los índices de Miller de un plano cristalino están definidos como los recíprocos de las intersecciones que el plano determina con los ejes x, y, z de los tres lados no paralelos del cubo unitario. Las aristas de una celda cúbica unitaria representan longitudes unitarias y las intersecciones de los planos de una red se miden en base a estas longitudes unitarias

representadas por tres números (h, k, l) denominados índices de Miller.

Procedimiento• El procedimiento para determinar los índices de

Miller para un plano de un cristal cúbico es el siguiente: 

• Escoger un plano que no pase por el origen en (0,0,0)

• Determinar las intersecciones del plano en base a los ejes x, y, z cristalográficos para un cubo unitario. Estas intersecciones pueden ser fraccionarias.

• Construir los recíprocos de las intersecciones.• Despejar fracciones y determinar el conjunto más

pequeño de números enteros que estén en la misma razón de las intersecciones. Estos números enteros son los índices de Miller de un plano cristalográfico y se encierran entre paréntesis sin usar comas. La notación (hkl) se emplea para indicar los índices de Miller en sentido general, donde h, k, y l son los índices de Miller para un plano de un cristal cúbico de ejes x, y, y z respectivamente.

ejemplos

Para la Celda HCP. • Se identifican empleando cuatro índices en vez de tres, son

representados por las letras h, k, i, l y encerrados entre paréntesis (h, k, i, l). Estos índices hexagonales están basados en un sistema coordenado de cuatro ejes, tres ejes básicos a1,a2,a3 que forman 120° entre sí, el cuarto eje c es el eje vertical y está localizado en el centro de la celdilla unidad (Ver figura). La unidad a de medida a lo largo de los ejes a1,a2,a3 es la distancia entre los átomos. La unidad de medida a lo largo del eje c es la altura de la celdilla unidad. Los recíprocos de las intersecciones que un plano determina con los ejes a1,a2,a3 proporcionan los índices h, k e i mientras que el reciproco de la intersección con el eje c da el índice l.

Ejemplo:

DENSIDAD LINEAL.Corresponde a la fracción de longitud de línea, de una dirección cristalográfica particular que pasa a través de los centros de los átomos.

DENSIDAD PLANAR.Es la Fracción de área del plano cristalográfico ocupada por átomos; el plano debe pasar a través del centro del átomo para que este se pueda incluir

Ejemplo:

Ejemplo: Calcular la densidad planar del (1 1 0) del Bcc

Ejemplo: Calcular la densidad planar del (1 1 0) del Bcc

SOLIDIFICACIÓN

• El momento que un cristal comienza a crecer se conoce como nucleación y el punto donde ocurre es el punto de nucleación. En la temperatura de la solidificación, los átomos de un líquido, tales como metal derretido, comienzan a enlazar juntos en los puntos del nucleación y comienzan a formar cristales. Los tamaños finales de los cristales individuales dependen del número de los puntos del nucleación. Los cristales aumentan de tamaño en la adición progresiva de átomos y crecen hasta que afectan sobre el crecimiento adyacente cristalinos.

Formación de Dendritas

En los metales, los cristales que se forman en el líquido durante la solidificación siguen un patrón que consiste en un rama principal con muchos accesorios. Un cristal con esta morfología se asemeja levemente a un árbol del pino y se llama una dendrita, que significa la ramificación. La formación de dendritas ocurre porque los cristales crecen en los planos definidos debido al enrejado cristalino que crean. La figura siguiente muestra cómo un cristal cúbico puede crecer en un espaciado tridimensional, que corresponden a las seis caras del cubo. La dendrita secundaria arma la rama del brazo primario, y los brazos terciarios de los brazos secundarios y así sucesivamente.

Durante la solidificación , muchos cristales dendríticos forman y crecen hasta que llegan a ser eventualmente lo bastante grandes para afectarse mutuamente. En realidad , los espacios entre los brazos de la dendrita se cristalizan para producir un cristal más regular. El patrón dendrítico original puede no ser evidente al examinar la microestructura de un material. Sin embargo, las dendritas se pueden ver a menudo en los vacíos de la solidificación .

Procesos de solidificación por nucleación y crecimiento

Crystal Formation

• Crystallization is the transition from the liquid to the solid state and occurs in two stages:

1. Nucleus formation 2. Crystal growth• Atomic motion in the liquid state of a metal is almost

completely disordered. Although the atoms in the liquid state do not have any definite arrangement, it is possible that some atoms at any given instant are in positions exactly corresponding to the space lattice they assume when solidified. As the energy in the liquid system decreases, the movement of the atoms decreases and the probability increases for the arrangement of a number of atoms into a characteristic lattice for that material. The energy level at which these isolated lattices form is called the freezing point.

Now consider a pure metal at its freezing point where both the liquid and solid states are at the same temperature. The kinetic energy of the atoms in the liquid and the solid must be the same, but there is a significant difference in potential energy. Kinetic energy is related to the speed at which the atoms move and is strictly a function of temperature. The higher the temperature, the more active are the atoms and the greater is their kinetic energy. Potential energy, Is related to the distance between atoms. The greater the average distance between the atoms, the greater is their potential energy. The atoms in the solid are much closer together, so that solidification occurs with a release of energy. This difference in potential energy between the liquid and solid states is known as the latent heat of fusion. When the temperature of the liquid metal has dropped sufficiently below its freezing point, stable aggregates or nuclei appear spontaneously at various points in the liquid. These nuclei, which have now solidified, act as centers for further crystallization. As cooling continues, more atoms tend to freeze, and they may attach themselves to already existing nuclei or form new nuclei of their own. Each nucleus grows by the attraction of atoms from the liquid into its space lattice. Crystal growth continues in three dimensions, the atoms attaching themselves in certain preferred directions, usually along the axes of a crystal. This gives rise to a characteristic treelike structure which is called dendrite.   

• Since each nucleus is formed by chance, the crystal axes are pointed at random and the dendrites will grow in different directions in each crystal. Finally, as the amount of liquid decreases, the gaps between the arms of the dendrite will be filled and the growth of the dendrite will be mutually obstructed by that of its neighbors. This leads to a very irregular external shape. The crystals found in all commercial metals are commonly called grains because of this variation in external shape. The area along which crystals meet, known as the grain boundary, is a region of mismatch. The boundaries are formed by materials that are not part of a lattice, such as impurities, which do not show a specific grain pattern. This leads to a noncrystalline (amorphous) structure at the grain boundary with the atoms irregularly spaced.

Esquemas de las etapas de solidificación de un material policristalino