Polymerphysik Zufallsweg & Strukturfaktor ...theorie.physik.uni-konstanz.de/lsfuchs/lectures/seminar...Polymerphysik Zufallsweg & Strukturfaktor Thomas Wiedenmann Einf¨uhrung A Statistik

PolymerphysikZufallsweg &Strukturfaktor

ThomasWiedenmann

Einfuhrung

A Statistik derPolymerkonfigu-ration

Kette ohneWechselwirkung

Kette mit”ein

wenig“Wechselwirkung

Zufallsweg

Verteilungsfunktion

Gausskette

Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur

Seminar - Weiche Materie - WS 07/08

PolymerphysikZufallsweg & Strukturfaktor

Polymerkonfiguration und Streuexperimente

Thomas Wiedenmann

08. Februar 2008

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ThomasWiedenmann

Einfuhrung



Kette mit”ein


Zufallsweg

Verteilungsfunktion

Gausskette

Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur

Beispiele fur Polymere

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Kette mit”ein


Zufallsweg

Verteilungsfunktion

Gausskette

Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur

”roter Faden“

A Statistik der Polymerkonfiguration

• Input: Monomerzahl N und Stabchenlange b=fest

• Input: Modell (freely jointed, freely rotating chain, ...)

• Berechnung: RE Große des Polymers uber end-to-end Vektor

• Diskussion: 〈ri , rj〉 Korrelationsfunktion

• Exkurs: Zufallsweg

• Berechnung: Φ(R) Verteilung von R

• Modell: Gausskette (Stabchenlange b 6= fest)

• Berechnung: RG Gyrationsradius

B Streuexperimente

• Berechnung: P(q) Formfaktor

Theoretische Beschreibung & Messgroßen v. Polymeren

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Zufallsweg

Verteilungsfunktion

Gausskette

Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur

”roter Faden“










B Streuexperimente



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Gausskette

Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur

”roter Faden“










B Streuexperimente



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Gausskette

Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur

”roter Faden“










B Streuexperimente



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Gausskette

Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur

”roter Faden“










B Streuexperimente



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Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur

”roter Faden“










B Streuexperimente



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Gausskette

Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur

”roter Faden“










B Streuexperimente



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B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur

”roter Faden“










B Streuexperimente



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Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur

”roter Faden“










B Streuexperimente



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Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur

”roter Faden“










B Streuexperimente



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B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur

”roter Faden“










B Streuexperimente



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B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur

”roter Faden“










B Streuexperimente



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Gausskette

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B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur

”roter Faden“










B Streuexperimente


Theoretische Beschreibung & Messgroßen v. Polymeren 3 / 31


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Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur

Polymer [poly me:r] (griechisch: πoλν poly”viel“; µερoς meros,

”Teil“)

chemische Verbindung, aus Ketten- oder verzweigten Molekulenbzw. aus gleichen oder gleichartigen Einheiten, den Monomeren

aus: [RUBINSTEIN]

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Gausskette

Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur

Polymer [poly me:r] (griechisch: πoλν poly”viel“; µερoς meros,

”Teil“)

chemische Verbindung, aus Ketten- oder verzweigten Molekulenbzw. aus gleichen oder gleichartigen Einheiten, den Monomeren

aus: [RUBINSTEIN]

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Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur

Beschreibung eines Polymers

Modelle der Darstellung

aus: [TERAOKA]

Statische Beschreibung!

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Gausskette

Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur



aus: [TERAOKA]


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Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur



aus: [TERAOKA]


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Gausskette

Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur



aus: [TERAOKA]


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Gausskette

Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur



aus: [TERAOKA]


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Gausskette

Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur


Modelle der Beschreibung - Ideale Ketten

Stabchen Federn

aus: [TERAOKA]

nun: zwei Modelle mit fester Stabchenlange (spater:Gausskette)

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Gausskette

Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur



Stabchen

Federn

aus: [TERAOKA]


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Gausskette

Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur



Stabchen Federn

aus: [TERAOKA]


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Gausskette

Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur



Stabchen Federn

aus: [TERAOKA]


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Gausskette

Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur


Verschiedenste Modelle

einfachste Beschreibung: Kette ohne Wechselwirkung

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B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur

freely jointed chain - Modell

• N + 1 Monomere an Orten{R} = (R0, . . . ,RN) (Schwerpunkte),verbunden durch Bindungsvektoren

rn = Rn − Rn−1 n = 1, 2, . . . ,N

• rn unabhangig voneinander: 〈rn · rm〉 = 0

• freie Bewegung

• feste Stabchenlange b

• end-to-end Vektor R

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B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur

freely jointed chain - Große der Kette

Definition: end-to-end vector

R = RN − R0 =N∑

n=1

rn

mittlere Orientierung 〈rn〉 = 0

⇒ 〈R〉 = 0

jedoch

R2E = 〈R2〉 =

N∑n,m=1

〈rn · rm〉 =N∑

n=1

〈r2n〉+ 2∑n<m

〈rn · rm〉︸︷︷︸=0

= b2N

oder

RE = b√

N

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Gausskette

Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur



R = RN − R0 =N∑

n=1

rn


⇒ 〈R〉 = 0

jedoch

R2E = 〈R2〉 =

N∑n,m=1

〈rn · rm〉 =N∑

n=1

〈r2n〉+ 2∑n<m

〈rn · rm〉︸︷︷︸=0

= b2N

oder

RE = b√

N

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Gausskette

Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur



R = RN − R0 =N∑

n=1

rn


⇒ 〈R〉 = 0

jedoch

R2E = 〈R2〉 =

N∑n,m=1

〈rn · rm〉 =N∑

n=1

〈r2n〉+ 2∑n<m

〈rn · rm〉︸︷︷︸=0

= b2N

oder

RE = b√

N

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Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur



R = RN − R0 =N∑

n=1

rn

mittlere Orientierung 〈rn〉 = 0 ⇒ 〈R〉 = 0

jedoch

R2E = 〈R2〉 =

N∑n,m=1

〈rn · rm〉 =N∑

n=1

〈r2n〉+ 2∑n<m

〈rn · rm〉︸︷︷︸=0

= b2N

oder

RE = b√

N

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Gausskette

Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur



R = RN − R0 =N∑

n=1

rn

mittlere Orientierung 〈rn〉 = 0 ⇒ 〈R〉 = 0 jedoch

R2E = 〈R2〉 =

N∑n,m=1

〈rn · rm〉 =N∑

n=1

〈r2n〉+ 2∑n<m

〈rn · rm〉︸︷︷︸=0

= b2N

oder

RE = b√

N

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Gausskette

Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur



R = RN − R0 =N∑

n=1

rn


R2E = 〈R2〉

=N∑

n,m=1

〈rn · rm〉 =N∑

n=1

〈r2n〉+ 2∑n<m

〈rn · rm〉︸︷︷︸=0

= b2N

oder

RE = b√

N

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Gausskette

Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur



R = RN − R0 =N∑

n=1

rn


R2E = 〈R2〉 =

N∑n,m=1

〈rn · rm〉

=N∑

n=1

〈r2n〉+ 2∑n<m

〈rn · rm〉︸︷︷︸=0

= b2N

oder

RE = b√

N

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Gausskette

Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur



R = RN − R0 =N∑

n=1

rn


R2E = 〈R2〉 =

N∑n,m=1

〈rn · rm〉 =N∑

n=1

〈r2n〉+ 2∑n<m

〈rn · rm〉︸︷︷︸=0

= b2N

oder

RE = b√

N

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Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur



R = RN − R0 =N∑

n=1

rn


R2E = 〈R2〉 =

N∑n,m=1

〈rn · rm〉 =N∑

n=1

〈r2n〉+ 2∑n<m

〈rn · rm〉︸︷︷︸=0

= b2N

oder

RE = b√

N

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Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur



R = RN − R0 =N∑

n=1

rn


R2E = 〈R2〉 =

N∑n,m=1

〈rn · rm〉 =N∑

n=1

〈r2n〉+ 2∑n<m

〈rn · rm〉︸︷︷︸=0

= b2N

oder

RE = b√

N

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B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur

freely rotating chain - Modell

Beschrankung der Mobilitat des Polymers

aus: [DE GENNES]

• feste Stabchenlange b

• fester Winkel ϑ zwischen denStabchen

• Korrelation zwischen”Stabchen“ rn

und rn+2

• (freie Rotation um die Stabchenmit ϕ)

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Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

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Literatur

freely rotating chain - Große der Kette

〈rn · rm〉 6= 0 fur n 6= m

〈rn〉rm,...,rn−1 fest = rn−1 cos ϑ

〈rn · rm〉 = cos ϑ〈rn−1 · rm〉= cos ϑ cos ϑ〈rn−2 · rm〉= cos3 ϑ〈rn−3 · rm〉 = . . .

= cos|n−m| ϑ〈r2m〉

mit 〈r2m〉 = b2

〈rn · rm〉 = b2 cos|n−m| ϑ

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Gausskette

Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur


〈rn · rm〉 6= 0 fur n 6= m




mit 〈r2m〉 = b2


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Gausskette

Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur


〈rn · rm〉 6= 0 fur n 6= m


〈rn · rm〉 = cos ϑ〈rn−1 · rm〉

= cos ϑ cos ϑ〈rn−2 · rm〉= cos3 ϑ〈rn−3 · rm〉 = . . .


mit 〈r2m〉 = b2


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Verteilungsfunktion

Gausskette

Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur


〈rn · rm〉 6= 0 fur n 6= m


〈rn · rm〉 = cos ϑ〈rn−1 · rm〉= cos ϑ cos ϑ〈rn−2 · rm〉

= cos3 ϑ〈rn−3 · rm〉 = . . .


mit 〈r2m〉 = b2


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Verteilungsfunktion

Gausskette

Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur


〈rn · rm〉 6= 0 fur n 6= m




mit 〈r2m〉 = b2


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Verteilungsfunktion

Gausskette

Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur


〈rn · rm〉 6= 0 fur n 6= m




mit 〈r2m〉 = b2


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Verteilungsfunktion

Gausskette

Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur


〈rn · rm〉 6= 0 fur n 6= m




mit 〈r2m〉 = b2


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Verteilungsfunktion

Gausskette

Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur


〈rn · rm〉 6= 0 fur n 6= m




mit 〈r2m〉 = b2


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Verteilungsfunktion

Gausskette

Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur

Diskussion der Korrelation cos|n−m| ϑ

Korrelation geht schnell gegen null bei”großeren“ Winkeln

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Verteilungsfunktion

Gausskette

Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur


〈R2〉 =N∑

n=1

N∑m=1

〈rn · rm〉 =N∑

n=1

N−n∑k=−n+1

〈rn · rn+k〉

fur N � 1 kann man nahern

〈R2〉 =N∑

n=1

∞∑k=−∞

〈rn · rn+k〉

mit 〈rn · rm〉 = b2 cos|n−m| ϑ

∞Xk=−∞

〈rn · rn+k 〉 = b2

1 + 2

∞Xk=1

cosk ϑ

!

= b2

„1 +

2 cos ϑ

1 − cos ϑ

«= b2 1 + cos ϑ

1 − cos ϑ

um schließlich zu erhalten

R2E = 〈R2〉 = Nb2 1 + cos ϑ

1− cos ϑ

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Gausskette

Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur


〈R2〉 =N∑

n=1

N∑m=1

〈rn · rm〉 =N∑

n=1

N−n∑k=−n+1

〈rn · rn+k〉


〈R2〉 =N∑

n=1

∞∑k=−∞

〈rn · rn+k〉


∞Xk=−∞

〈rn · rn+k 〉 = b2

1 + 2

∞Xk=1

cosk ϑ

!

= b2

„1 +

2 cos ϑ

1 − cos ϑ

«= b2 1 + cos ϑ

1 − cos ϑ


R2E = 〈R2〉 = Nb2 1 + cos ϑ

1− cos ϑ

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Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur


〈R2〉 =N∑

n=1

N∑m=1

〈rn · rm〉 =N∑

n=1

N−n∑k=−n+1

〈rn · rn+k〉


〈R2〉 =N∑

n=1

∞∑k=−∞

〈rn · rn+k〉


∞Xk=−∞

〈rn · rn+k 〉 = b2

1 + 2

∞Xk=1

cosk ϑ

!

= b2

„1 +

2 cos ϑ

1 − cos ϑ

«= b2 1 + cos ϑ

1 − cos ϑ


R2E = 〈R2〉 = Nb2 1 + cos ϑ

1− cos ϑ

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Gausskette

Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur


〈R2〉 =N∑

n=1

N∑m=1

〈rn · rm〉 =N∑

n=1

N−n∑k=−n+1

〈rn · rn+k〉


〈R2〉 =N∑

n=1

∞∑k=−∞

〈rn · rn+k〉


∞Xk=−∞

〈rn · rn+k 〉 = b2

1 + 2

∞Xk=1

cosk ϑ

!

= b2

„1 +

2 cos ϑ

1 − cos ϑ

«= b2 1 + cos ϑ

1 − cos ϑ


R2E = 〈R2〉 = Nb2 1 + cos ϑ

1− cos ϑ

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Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur

Beispiele: fixed angle ϑ mit C = 1+cos ϑ1−cos ϑ

(i) ϑ → 0:

cos ϑ → 1− ϑ2

2C =

2− ϑ2/2

ϑ2/2(C ≈ 500 fur ϑ = 5◦)

〈R2〉 � Nb20

(ii) ϑ → π − δ:

cos ϑ → −1 +δ2

2C =

δ2/2

2− δ2/2≈ 4

δ2(C ≈ 2 · 10−3 fur ϑ = 175◦)

〈R2〉 � Nb20

(iii) ϑ → π2

cos ϑ = 0 C = 1

〈R2〉 = Nb20

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Verteilungsfunktion

Gausskette

Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur


(i) ϑ → 0:

cos ϑ → 1− ϑ2

2C =

2− ϑ2/2

ϑ2/2(C ≈ 500 fur ϑ = 5◦)

〈R2〉 � Nb20

(ii) ϑ → π − δ:

cos ϑ → −1 +δ2

2C =

δ2/2

2− δ2/2≈ 4

δ2(C ≈ 2 · 10−3 fur ϑ = 175◦)

〈R2〉 � Nb20

(iii) ϑ → π2

cos ϑ = 0 C = 1

〈R2〉 = Nb20

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Zufallsweg

Verteilungsfunktion

Gausskette

Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur


(i) ϑ → 0:

cos ϑ → 1− ϑ2

2C =

2− ϑ2/2

ϑ2/2(C ≈ 500 fur ϑ = 5◦)

〈R2〉 � Nb20

(ii) ϑ → π − δ:

cos ϑ → −1 +δ2

2C =

δ2/2

2− δ2/2≈ 4

δ2(C ≈ 2 · 10−3 fur ϑ = 175◦)

〈R2〉 � Nb20

(iii) ϑ → π2

cos ϑ = 0 C = 1

〈R2〉 = Nb20

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Verteilungsfunktion

Gausskette

Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur

freely jointed vs. freely rotating chain

Ergebnisse

RE = b√

N freely jointed chain

RE = b

√1 + cos ϑ

1− cos ϑ

√N freely rotating chain

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Zufallsweg

Verteilungsfunktion

Gausskette

Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur

Zufallsweg - Polymeraufbau

aus: [TERAOKA]

Gitterpunkte

• Zufallsweg hat hier nichts mitBrown’scher Bewegung zu tun

• als Gelenke eines Polymers

• (als Kolloide mit Zeitschritt)

Es folgt die Betrachtung im Eindimensionalen

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Zufallsweg

Verteilungsfunktion

Gausskette

Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur

Zufallsweg - Polymeraufbau

aus: [TERAOKA]

Gitterpunkte

• Zufallsweg hat hier nichts mitBrown’scher Bewegung zu tun

• als Gelenke eines Polymers

• (als Kolloide mit Zeitschritt)

Es folgt die Betrachtung im Eindimensionalen

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Verteilungsfunktion

Gausskette

Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur

Zufallsweg - Polymeraufbau - Verteilungsfunktion

Binomial-Verteilung

W (x , N) =(N+ + N−)!

N+!N−!=

N!

[(N + x)/2]![(N − x)/2]!

wird im Grenzfall N →∞ (N � x) zur Gauss-Verteilung

W (x , N)

2N∼=r

2

πNexp

»− x2

2N

–.

Fur die Verteilungsfunktion gilt

Φ1d(x , N) =1√2πN

exp

»− x2

2N

–mit dem Mittelwert

〈x2〉 =

∞Z−∞

x2Φ1d(x , N)dx =1√2πN

∞Z−∞

x2 exp

»− x2

2N

–dx = N

umgeschrieben zu

Φ1d(x , N) =1p

2π〈x2〉exp

»− x2

2〈x2〉

–also gaussverteilt

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ThomasWiedenmann

Einfuhrung



Kette mit”ein


Zufallsweg

Verteilungsfunktion

Gausskette

Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur


Binomial-Verteilung

W (x , N) =(N+ + N−)!

N+!N−!=

N!

[(N + x)/2]![(N − x)/2]!


W (x , N)

2N∼=r

2

πNexp

»− x2

2N

–.


Φ1d(x , N) =1√2πN

exp

»− x2

2N


〈x2〉 =

∞Z−∞


∞Z−∞

x2 exp

»− x2

2N

–dx = N

umgeschrieben zu

Φ1d(x , N) =1p

2π〈x2〉exp

»− x2

2〈x2〉


17 / 31


ThomasWiedenmann

Einfuhrung



Kette mit”ein


Zufallsweg

Verteilungsfunktion

Gausskette

Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur


Binomial-Verteilung

W (x , N) =(N+ + N−)!

N+!N−!=

N!

[(N + x)/2]![(N − x)/2]!


W (x , N)

2N∼=r

2

πNexp

»− x2

2N

–.


Φ1d(x , N) =1√2πN

exp

»− x2

2N

–

mit dem Mittelwert

〈x2〉 =

∞Z−∞


∞Z−∞

x2 exp

»− x2

2N

–dx = N

umgeschrieben zu

Φ1d(x , N) =1p

2π〈x2〉exp

»− x2

2〈x2〉


17 / 31


ThomasWiedenmann

Einfuhrung



Kette mit”ein


Zufallsweg

Verteilungsfunktion

Gausskette

Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur


Binomial-Verteilung

W (x , N) =(N+ + N−)!

N+!N−!=

N!

[(N + x)/2]![(N − x)/2]!


W (x , N)

2N∼=r

2

πNexp

»− x2

2N

–.


Φ1d(x , N) =1√2πN

exp

»− x2

2N


〈x2〉 =

∞Z−∞


∞Z−∞

x2 exp

»− x2

2N

–dx = N

umgeschrieben zu

Φ1d(x , N) =1p

2π〈x2〉exp

»− x2

2〈x2〉


17 / 31


ThomasWiedenmann

Einfuhrung



Kette mit”ein


Zufallsweg

Verteilungsfunktion

Gausskette

Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur


Binomial-Verteilung

W (x , N) =(N+ + N−)!

N+!N−!=

N!

[(N + x)/2]![(N − x)/2]!


W (x , N)

2N∼=r

2

πNexp

»− x2

2N

–.


Φ1d(x , N) =1√2πN

exp

»− x2

2N


〈x2〉 =

∞Z−∞


∞Z−∞

x2 exp

»− x2

2N

–dx = N

umgeschrieben zu

Φ1d(x , N) =1p

2π〈x2〉exp

»− x2

2〈x2〉

–

also gaussverteilt

17 / 31


ThomasWiedenmann

Einfuhrung



Kette mit”ein


Zufallsweg

Verteilungsfunktion

Gausskette

Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur


Binomial-Verteilung

W (x , N) =(N+ + N−)!

N+!N−!=

N!

[(N + x)/2]![(N − x)/2]!


W (x , N)

2N∼=r

2

πNexp

»− x2

2N

–.


Φ1d(x , N) =1√2πN

exp

»− x2

2N


〈x2〉 =

∞Z−∞


∞Z−∞

x2 exp

»− x2

2N

–dx = N

umgeschrieben zu

Φ1d(x , N) =1p

2π〈x2〉exp

»− x2

2〈x2〉


17 / 31


ThomasWiedenmann

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Kette mit”ein


Zufallsweg

Verteilungsfunktion

Gausskette

Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur

Zur Verteilungsfunktion

Definition:

Φ(R,N) =

∫dr1 . . .

∫drN δ

(R−

N∑n=1

rn

)Ψ({rn})

18 / 31


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Kette mit”ein


Zufallsweg

Verteilungsfunktion

Gausskette

Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur

Zur Verteilungsfunktion

Definition:

Φ(R,N) =

∫dr1 . . .

∫drN δ

(R−

N∑n=1

rn

)Ψ({rn})

18 / 31


ThomasWiedenmann

Einfuhrung



Kette mit”ein


Zufallsweg

Verteilungsfunktion

Gausskette

Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur

Verteilungsfunktion des end-to-end Vektors RE

Φ(R,N) =

∫dr1 . . .

∫drN δ

(R−

N∑n=1

rn

)Ψ({rn})

mit Ψ({rn}) =∏N

n=1 Ψ(rn) der freely jointed chain

und mit der Integraldarstellung der Deltafunktion

Φ(R, N) =1

(2π)3

Zdk

Zdr1 . . .

ZdrN exp

"ik ·

R−

NXn=1

rn

!#NY

n=1

Ψ(rn)

also

Φ(R,N) =1

(2π)3

∫dk eik·R

[∫dr1 eik·r1 Ψ(r1)

]N

19 / 31


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Zufallsweg

Verteilungsfunktion

Gausskette

Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur


Φ(R,N) =

∫dr1 . . .

∫drN δ

(R−

N∑n=1

rn

)Ψ({rn})

mit Ψ({rn}) =∏N



Φ(R, N) =1

(2π)3

Zdk

Zdr1 . . .

ZdrN exp

"ik ·

R−

NXn=1

rn

!#NY

n=1

Ψ(rn)

also

Φ(R,N) =1

(2π)3

∫dk eik·R


]N

19 / 31


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Kette mit”ein


Zufallsweg

Verteilungsfunktion

Gausskette

Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur


Φ(R,N) =

∫dr1 . . .

∫drN δ

(R−

N∑n=1

rn

)Ψ({rn})

mit Ψ({rn}) =∏N



Φ(R, N) =1

(2π)3

Zdk

Zdr1 . . .

ZdrN exp

"ik ·

R−

NXn=1

rn

!#NY

n=1

Ψ(rn)

also

Φ(R,N) =1

(2π)3

∫dk eik·R


]N

19 / 31


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Kette mit”ein


Zufallsweg

Verteilungsfunktion

Gausskette

Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur


Φ(R,N) =

∫dr1 . . .

∫drN δ

(R−

N∑n=1

rn

)Ψ({rn})

mit Ψ({rn}) =∏N



Φ(R, N) =1

(2π)3

Zdk

Zdr1 . . .

ZdrN exp

"ik ·

R−

NXn=1

rn

!#NY

n=1

Ψ(rn)

also

Φ(R,N) =1

(2π)3

∫dk eik·R


]N

19 / 31


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Kette mit”ein


Zufallsweg

Verteilungsfunktion

Gausskette

Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur


Φ(R,N) =

∫dr1 . . .

∫drN δ

(R−

N∑n=1

rn

)Ψ({rn})

mit Ψ({rn}) =∏N



Φ(R, N) =1

(2π)3

Zdk

Zdr1 . . .

ZdrN exp

"ik ·

R−

NXn=1

rn

!#NY

n=1

Ψ(rn)

also

Φ(R,N) =1

(2π)3

∫dk eik·R


]N

19 / 31


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Kette mit”ein


Zufallsweg

Verteilungsfunktion

Gausskette

Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur


Φ(R,N) =1

(2π)3

∫dk eik·R


]N

aus [. . .] wird mit fester Stabchenlange Ψ(r) = 14πb2 δ(|r| − b)

Zdr eik·r Ψ(r) =

1

4πb2

∞Z0

dr r 2

2πZ0

dϕ

πZ0

dϑ cos ϑe−ikr cos ϑδ(r − b)

=sin kb

kb

so wird aus der Verteilungsfunktion

Φ(R,N) =1

(2π)3

∫dkeik·R

[sin kb

kb

]N

20 / 31


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Einfuhrung



Kette mit”ein


Zufallsweg

Verteilungsfunktion

Gausskette

Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur


Φ(R,N) =1

(2π)3

∫dk eik·R


]N


Zdr eik·r Ψ(r) =

1

4πb2

∞Z0

dr r 2

2πZ0

dϕ

πZ0


=sin kb

kb


Φ(R,N) =1

(2π)3

∫dkeik·R

[sin kb

kb

]N

20 / 31


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Kette mit”ein


Zufallsweg

Verteilungsfunktion

Gausskette

Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur


Φ(R,N) =1

(2π)3

∫dk eik·R


]N


Zdr eik·r Ψ(r) =

1

4πb2

∞Z0

dr r 2

2πZ0

dϕ

πZ0


=sin kb

kb


Φ(R,N) =1

(2π)3

∫dkeik·R

[sin kb

kb

]N

20 / 31


ThomasWiedenmann

Einfuhrung



Kette mit”ein


Zufallsweg

Verteilungsfunktion

Gausskette

Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur


Φ(R,N) =1

(2π)3

∫dk eik·R


]N


Zdr eik·r Ψ(r) =

1

4πb2

∞Z0

dr r 2

2πZ0

dϕ

πZ0


=sin kb

kb


Φ(R,N) =1

(2π)3

∫dkeik·R

[sin kb

kb

]N

20 / 31


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Einfuhrung



Kette mit”ein


Zufallsweg

Verteilungsfunktion

Gausskette

Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur

Verteilungsfunktion - Naherungen

Φ(R,N) =1

(2π)3

∫dk eik·R

[sin kb

kb

]N

im Grenzfall N � 1 (kb � 1) kann man nahern[sin kb

kb

]N

'[1− k2b2

6

]N

' exp

[−Nk2b2

6

]somit

Φ(R,N) ' 1

(2π)3

∫dk eik·R exp

[−Nk2b2

6

]und schließlich

Φ(R,N) =

(3

2πNb2

)3/2

exp

[− 3R2

2Nb2

]also gaussverteilt

21 / 31


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Zufallsweg

Verteilungsfunktion

Gausskette

Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur


Φ(R,N) =1

(2π)3

∫dk eik·R

[sin kb

kb

]N


kb

]N

'[1− k2b2

6

]N

' exp

[−Nk2b2

6

]

somit

Φ(R,N) ' 1

(2π)3

∫dk eik·R exp

[−Nk2b2

6

]und schließlich

Φ(R,N) =

(3

2πNb2

)3/2

exp

[− 3R2

2Nb2

]also gaussverteilt

21 / 31


ThomasWiedenmann

Einfuhrung



Kette mit”ein


Zufallsweg

Verteilungsfunktion

Gausskette

Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur


Φ(R,N) =1

(2π)3

∫dk eik·R

[sin kb

kb

]N


kb

]N

'[1− k2b2

6

]N

' exp

[−Nk2b2

6

]somit

Φ(R,N) ' 1

(2π)3

∫dk eik·R exp

[−Nk2b2

6

]

und schließlich

Φ(R,N) =

(3

2πNb2

)3/2

exp

[− 3R2

2Nb2

]also gaussverteilt

21 / 31


ThomasWiedenmann

Einfuhrung



Kette mit”ein


Zufallsweg

Verteilungsfunktion

Gausskette

Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur


Φ(R,N) =1

(2π)3

∫dk eik·R

[sin kb

kb

]N


kb

]N

'[1− k2b2

6

]N

' exp

[−Nk2b2

6

]somit

Φ(R,N) ' 1

(2π)3

∫dk eik·R exp

[−Nk2b2

6

]und schließlich

Φ(R,N) =

(3

2πNb2

)3/2

exp

[− 3R2

2Nb2

]

also gaussverteilt

21 / 31


ThomasWiedenmann

Einfuhrung



Kette mit”ein


Zufallsweg

Verteilungsfunktion

Gausskette

Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur


Φ(R,N) =1

(2π)3

∫dk eik·R

[sin kb

kb

]N


kb

]N

'[1− k2b2

6

]N

' exp

[−Nk2b2

6

]somit

Φ(R,N) ' 1

(2π)3

∫dk eik·R exp

[−Nk2b2

6

]und schließlich

Φ(R,N) =

(3

2πNb2

)3/2

exp

[− 3R2

2Nb2

]also gaussverteilt

21 / 31


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Kette mit”ein


Zufallsweg

Verteilungsfunktion

Gausskette

Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur

Gausskette - Stabchenlange b nicht deltaverteilt

entspricht dem Federmodell (bead-spring model)

von vorher

Ψ({rn}) =N∏

i=1

Ψ(rn)

jetzt gaussverteilte Stabchenlange

Ψ(r) =

(3

2πb2

)3/2

exp

[− 3r2

2b2

]mit 〈r2〉 = b2

nun rn = Rn − Rn−1

somit wird aus der Stabchen-Verteilungsfunktion

Ψ({rn}) =

(3

2πb2

)3N/2

exp

[−

N∑n=1

3(Rn − Rn−1)2

2b2

]

22 / 31


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Einfuhrung



Kette mit”ein


Zufallsweg

Verteilungsfunktion

Gausskette

Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur



von vorher

Ψ({rn}) =N∏

i=1

Ψ(rn)


Ψ(r) =

(3

2πb2

)3/2

exp

[− 3r2

2b2

]mit 〈r2〉 = b2



Ψ({rn}) =

(3

2πb2

)3N/2

exp

[−

N∑n=1

3(Rn − Rn−1)2

2b2

]

22 / 31


ThomasWiedenmann

Einfuhrung



Kette mit”ein


Zufallsweg

Verteilungsfunktion

Gausskette

Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur



von vorher

Ψ({rn}) =N∏

i=1

Ψ(rn)


Ψ(r) =

(3

2πb2

)3/2

exp

[− 3r2

2b2

]mit 〈r2〉 = b2



Ψ({rn}) =

(3

2πb2

)3N/2

exp

[−

N∑n=1

3(Rn − Rn−1)2

2b2

]

22 / 31


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Kette mit”ein


Zufallsweg

Verteilungsfunktion

Gausskette

Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur



von vorher

Ψ({rn}) =N∏

i=1

Ψ(rn)


Ψ(r) =

(3

2πb2

)3/2

exp

[− 3r2

2b2

]mit 〈r2〉 = b2



Ψ({rn}) =

(3

2πb2

)3N/2

exp

[−

N∑n=1

3(Rn − Rn−1)2

2b2

]

22 / 31


ThomasWiedenmann

Einfuhrung



Kette mit”ein


Zufallsweg

Verteilungsfunktion

Gausskette

Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur



von vorher

Ψ({rn}) =N∏

i=1

Ψ(rn)


Ψ(r) =

(3

2πb2

)3/2

exp

[− 3r2

2b2

]mit 〈r2〉 = b2



Ψ({rn}) =

(3

2πb2

)3N/2

exp

[−

N∑n=1

3(Rn − Rn−1)2

2b2

]

22 / 31


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Einfuhrung



Kette mit”ein


Zufallsweg

Verteilungsfunktion

Gausskette

Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur



von vorher

Ψ({rn}) =N∏

i=1

Ψ(rn)


Ψ(r) =

(3

2πb2

)3/2

exp

[− 3r2

2b2

]mit 〈r2〉 = b2



Ψ({rn}) =

(3

2πb2

)3N/2

exp

[−

N∑n=1

3(Rn − Rn−1)2

2b2

]

22 / 31


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Zufallsweg

Verteilungsfunktion

Gausskette

Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur

Ziel: Gyrationsradius RG

Verteilung Φ(Rn − Rm, n −m) des Vektors Rn − Rm zwischen denSegmenten n und m

Φ =

∫dr1 . . .

∫drn δ

(Rn − Rm −

n∑k=m+1

rk

)Ψ({rn})

wiederum mit Integraldarstellung der Deltafunktion

Φ =1

(2π)3

∫dk eik·(Rn−Rm)

[∫drk e−ik·rk Ψ(rk)

]n−m

gelangt man schließlich zu

Φ(Rn − Rm, n −m) =

(3

2πb2|n −m|

)3/2

exp

[−3(Rn − Rm)2

2|n −m|b2

]Ergebnis: gaussverteilte Abstandsvektoren Rn − Rm, somit

〈(Rn − Rm)2〉 = |n −m|b2

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Kette mit”ein


Zufallsweg

Verteilungsfunktion

Gausskette

Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur



Φ =

∫dr1 . . .

∫drn δ

(Rn − Rm −

n∑k=m+1

rk

)Ψ({rn})


Φ =1

(2π)3



]n−m


Φ(Rn − Rm, n −m) =

(3

2πb2|n −m|

)3/2

exp

[−3(Rn − Rm)2

2|n −m|b2


〈(Rn − Rm)2〉 = |n −m|b2

23 / 31


ThomasWiedenmann

Einfuhrung



Kette mit”ein


Zufallsweg

Verteilungsfunktion

Gausskette

Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur



Φ =

∫dr1 . . .

∫drn δ

(Rn − Rm −

n∑k=m+1

rk

)Ψ({rn})


Φ =1

(2π)3



]n−m


Φ(Rn − Rm, n −m) =

(3

2πb2|n −m|

)3/2

exp

[−3(Rn − Rm)2

2|n −m|b2


〈(Rn − Rm)2〉 = |n −m|b2

23 / 31


ThomasWiedenmann

Einfuhrung



Kette mit”ein


Zufallsweg

Verteilungsfunktion

Gausskette

Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur



Φ =

∫dr1 . . .

∫drn δ

(Rn − Rm −

n∑k=m+1

rk

)Ψ({rn})


Φ =1

(2π)3



]n−m


Φ(Rn − Rm, n −m) =

(3

2πb2|n −m|

)3/2

exp

[−3(Rn − Rm)2

2|n −m|b2


〈(Rn − Rm)2〉 = |n −m|b2

23 / 31


ThomasWiedenmann

Einfuhrung



Kette mit”ein


Zufallsweg

Verteilungsfunktion

Gausskette

Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur



Φ =

∫dr1 . . .

∫drn δ

(Rn − Rm −

n∑k=m+1

rk

)Ψ({rn})


Φ =1

(2π)3



]n−m


Φ(Rn − Rm, n −m) =

(3

2πb2|n −m|

)3/2

exp

[−3(Rn − Rm)2

2|n −m|b2

]

Ergebnis: gaussverteilte Abstandsvektoren Rn − Rm, somit

〈(Rn − Rm)2〉 = |n −m|b2

23 / 31


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Einfuhrung



Kette mit”ein


Zufallsweg

Verteilungsfunktion

Gausskette

Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur



Φ =

∫dr1 . . .

∫drn δ

(Rn − Rm −

n∑k=m+1

rk

)Ψ({rn})


Φ =1

(2π)3



]n−m


Φ(Rn − Rm, n −m) =

(3

2πb2|n −m|

)3/2

exp

[−3(Rn − Rm)2

2|n −m|b2

]Ergebnis: gaussverteilte Abstandsvektoren Rn − Rm,

somit

〈(Rn − Rm)2〉 = |n −m|b2

23 / 31


ThomasWiedenmann

Einfuhrung



Kette mit”ein


Zufallsweg

Verteilungsfunktion

Gausskette

Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur



Φ =

∫dr1 . . .

∫drn δ

(Rn − Rm −

n∑k=m+1

rk

)Ψ({rn})


Φ =1

(2π)3



]n−m


Φ(Rn − Rm, n −m) =

(3

2πb2|n −m|

)3/2

exp

[−3(Rn − Rm)2

2|n −m|b2


〈(Rn − Rm)2〉 = |n −m|b2

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Einfuhrung



Kette mit”ein


Zufallsweg

Verteilungsfunktion

Gausskette

Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur

Ergebnisse fur verschiedene Polymermodelle

feste Stabchenlange

〈R2〉 = b2N freely jointed chain

〈R2〉 = b2 1 + cos ϑ

1− cos ϑN freely rotating chain

variable Stabchenlange

〈(Rn − Rm)2〉 = b2|n −m| Gausskette

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Einfuhrung



Kette mit”ein


Zufallsweg

Verteilungsfunktion

Gausskette

Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur

Gyrationsradius RG

• ist ein Maß fur die Ausdehnung des Molekuls im Raum

• kann in Streuexperimenten direkt gemessen werden

Definition:

R2G =

1

2N2

N∑n=1

N∑m=1

(Rn − Rm)2

nach Mittelung y erhalt man

R2G =

1

6R2

E

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Einfuhrung



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Zufallsweg

Verteilungsfunktion

Gausskette

Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur

Gyrationsradius RG



Definition:

R2G =

1

2N2

N∑n=1

N∑m=1

(Rn − Rm)2


R2G =

1

6R2

E

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ThomasWiedenmann

Einfuhrung



Kette mit”ein


Zufallsweg

Verteilungsfunktion

Gausskette

Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur

Gyrationsradius RG



Definition:

R2G =

1

2N2

N∑n=1

N∑m=1

(Rn − Rm)2


R2G =

1

6R2

E

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ThomasWiedenmann

Einfuhrung



Kette mit”ein


Zufallsweg

Verteilungsfunktion

Gausskette

Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur

Gyrationsradius RG



Definition:

R2G =

1

2N2

N∑n=1

N∑m=1

(Rn − Rm)2


R2G =

1

6R2

E

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Einfuhrung



Kette mit”ein


Zufallsweg

Verteilungsfunktion

Gausskette

Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur

Gyrationsradius RG



Definition:

R2G =

1

2N2

N∑n=1

N∑m=1

(Rn − Rm)2


R2G =

1

6R2

E

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Einfuhrung



Kette mit”ein


Zufallsweg

Verteilungsfunktion

Gausskette

Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur

B Streuexperimente

• experimentelle Großen aus Lichtstreuung

• Formfaktor gibt gestreute Intensitat eines einzelnenPolymermolekuls

• verdunnte Polymerlosung

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Einfuhrung



Kette mit”ein


Zufallsweg

Verteilungsfunktion

Gausskette

Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur

Formfaktor - Herleitung

Amplitude des gestreuten Felds eines Polymermolekuls

a(q, t) =N∑

m=1

e−iq·Rm(t)

damit, fur Intensitat gemittelt uber alle Molekulonfigurationen

〈|a(q)|2〉 =∑m,n

⟨e−iq·(Rm−Rn)

⟩fur 〈. . .〉,da Rm − Rn gaussverteilt ist, gilt⟨e−iq·(Rm−Rn)

⟩= e−

q2

6 〈(Rm−Rn)2〉

= e−q2b2

6 |m−n| mit R2E = 〈(Rn − Rm)2〉 = |n −m|b2

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Einfuhrung



Kette mit”ein


Zufallsweg

Verteilungsfunktion

Gausskette

Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur



a(q, t) =N∑

m=1

e−iq·Rm(t)


〈|a(q)|2〉 =∑m,n



⟩= e−

q2

6 〈(Rm−Rn)2〉

= e−q2b2

6 |m−n| mit R2E = 〈(Rn − Rm)2〉 = |n −m|b2

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Einfuhrung



Kette mit”ein


Zufallsweg

Verteilungsfunktion

Gausskette

Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur



a(q, t) =N∑

m=1

e−iq·Rm(t)


〈|a(q)|2〉 =∑m,n



⟩= e−

q2

6 〈(Rm−Rn)2〉

= e−q2b2

6 |m−n| mit R2E = 〈(Rn − Rm)2〉 = |n −m|b2

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Kette mit”ein


Zufallsweg

Verteilungsfunktion

Gausskette

Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur



a(q, t) =N∑

m=1

e−iq·Rm(t)


〈|a(q)|2〉 =∑m,n


⟩

fur 〈. . .〉,da Rm − Rn gaussverteilt ist, gilt⟨e−iq·(Rm−Rn)

⟩= e−

q2

6 〈(Rm−Rn)2〉

= e−q2b2

6 |m−n| mit R2E = 〈(Rn − Rm)2〉 = |n −m|b2

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Zufallsweg

Verteilungsfunktion

Gausskette

Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur



a(q, t) =N∑

m=1

e−iq·Rm(t)


〈|a(q)|2〉 =∑m,n


⟩fur 〈. . .〉,

da Rm − Rn gaussverteilt ist, gilt⟨e−iq·(Rm−Rn)

⟩= e−

q2

6 〈(Rm−Rn)2〉

= e−q2b2

6 |m−n| mit R2E = 〈(Rn − Rm)2〉 = |n −m|b2

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Kette mit”ein


Zufallsweg

Verteilungsfunktion

Gausskette

Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur



a(q, t) =N∑

m=1

e−iq·Rm(t)


〈|a(q)|2〉 =∑m,n


⟩fur 〈. . .〉,da Rm − Rn gaussverteilt ist,

gilt⟨e−iq·(Rm−Rn)

⟩= e−

q2

6 〈(Rm−Rn)2〉

= e−q2b2

6 |m−n| mit R2E = 〈(Rn − Rm)2〉 = |n −m|b2

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Kette mit”ein


Zufallsweg

Verteilungsfunktion

Gausskette

Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur



a(q, t) =N∑

m=1

e−iq·Rm(t)


〈|a(q)|2〉 =∑m,n



⟩= e−

q2

6 〈(Rm−Rn)2〉

= e−q2b2

6 |m−n| mit R2E = 〈(Rn − Rm)2〉 = |n −m|b2

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Zufallsweg

Verteilungsfunktion

Gausskette

Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur

Formfaktor

mit Definition:

P(q) =〈|a(q)|2〉

N2wobei 〈|a(0)|2〉 = N2

erhalten wir

P(q) =1

N2

∑m,n

e−q2b2

6 |m−n|

=1

N2

N∫0

dm

N∫0

dn e−q2b2

6 |m−n| =2

N2

N∫0

dm

m∫0

dn e−q2b2

6 (m−n)

schließlich wiederum mit 6R2G = R2

E

P(q) =2

(q2〈R2G〉)2

[e−q2〈R2

G〉 + q2〈R2G〉 − 1

]Debeye Funktion

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Verteilungsfunktion

Gausskette

Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur

Formfaktor

mit Definition:

P(q) =〈|a(q)|2〉

N2wobei 〈|a(0)|2〉 = N2

erhalten wir

P(q) =1

N2

∑m,n

e−q2b2

6 |m−n|

=1

N2

N∫0

dm

N∫0

dn e−q2b2

6 |m−n| =2

N2

N∫0

dm

m∫0

dn e−q2b2

6 (m−n)


E

P(q) =2

(q2〈R2G〉)2

[e−q2〈R2

G〉 + q2〈R2G〉 − 1

]Debeye Funktion

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Verteilungsfunktion

Gausskette

Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur

Formfaktor

mit Definition:

P(q) =〈|a(q)|2〉

N2wobei 〈|a(0)|2〉 = N2

erhalten wir

P(q) =1

N2

∑m,n

e−q2b2

6 |m−n|

=1

N2

N∫0

dm

N∫0

dn e−q2b2

6 |m−n| =2

N2

N∫0

dm

m∫0

dn e−q2b2

6 (m−n)


E

P(q) =2

(q2〈R2G〉)2

[e−q2〈R2

G〉 + q2〈R2G〉 − 1

]Debeye Funktion

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Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur

Formfaktor

mit Definition:

P(q) =〈|a(q)|2〉

N2wobei 〈|a(0)|2〉 = N2

erhalten wir

P(q) =1

N2

∑m,n

e−q2b2

6 |m−n|

=1

N2

N∫0

dm

N∫0

dn e−q2b2

6 |m−n| =2

N2

N∫0

dm

m∫0

dn e−q2b2

6 (m−n)


E

P(q) =2

(q2〈R2G〉)2

[e−q2〈R2

G〉 + q2〈R2G〉 − 1

]

Debeye Funktion

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Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur

Formfaktor

mit Definition:

P(q) =〈|a(q)|2〉

N2wobei 〈|a(0)|2〉 = N2

erhalten wir

P(q) =1

N2

∑m,n

e−q2b2

6 |m−n|

=1

N2

N∫0

dm

N∫0

dn e−q2b2

6 |m−n| =2

N2

N∫0

dm

m∫0

dn e−q2b2

6 (m−n)


E

P(q) =2

(q2〈R2G〉)2

[e−q2〈R2

G〉 + q2〈R2G〉 − 1

]Debeye Funktion

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Gausskette

Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur

Zusammenfassung








• Gausskette (Stabchenlange b 6= fest)


B Streuexperimente



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Gyrationsradius

B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur

Zusammenfassung










B Streuexperimente



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Formfaktor

Literatur

Zusammenfassung










B Streuexperimente



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B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur

Zusammenfassung










B Streuexperimente



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B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur

Zusammenfassung










B Streuexperimente



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B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur

Zusammenfassung










B Streuexperimente



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Literatur

Zusammenfassung










B Streuexperimente



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Zusammenfassung










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B Streuexperi-mente

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Literatur

Zusammenfassung










B Streuexperimente



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B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur

Zusammenfassung










B Streuexperimente



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B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur

Zusammenfassung










B Streuexperimente



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Formfaktor

Literatur

Zusammenfassung










B Streuexperimente


Theoretische Beschreibung & Messgroßen v. Polymeren 29 / 31


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B Streuexperi-mente

Formfaktor

Literatur

Literatur

KLEIN, RUDOLF: Auszug aus”Aufzeichnungen“: Structural

Properties Of Polymers.

RUBINSTEIN, MICHAEL; COLBY, RALPH H. PolymerPhysics, OXFORD UNIVERSTITY PRESS, 2003.

TERAOKA, IWAO: Polymer Solutions: An Introduction toPhysical Properties, WILEY & SONS, 2002.

DE GENNES, P.-G.: Scaling Concepts in Polymer Physics,CORNELL UNIVERSITY PRESS, London, 1979.

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Vielen Dank fur die Aufmerksamkeit!

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