Vorlesungsskript Integrierter Kurs III - spezielle ...theorie.physik.uni-konstanz.de/lsfuchs/lectures/ik30405/ik3spezrel1101.pdf · Kapitel 2 Spezielle Relativit¨atstheorie 2.1 Einschub:

VorlesungsskriptIntegrierter Kurs III - spezielle Relativitatstheorie

Marcel Indlekofer, Thomas Lauermann, Vincent Peikert und Raphael Straub

11. Januar 2005

2

Inhaltsverzeichnis

2 Spezielle Relativitatstheorie 52.1 Einschub: Konzepte & Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.1 (karthesische) Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.1.2 Minkowski-Raum, Minkowski-Metrik und Einsteinsche Inerti-

alsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.1.3 Definition der Lorentz-Transformationen als ausgezeichnete Ko-

ordiantentransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.1.4 (2.1.4) Tensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Newton’sche Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2.1 Galilei-Invarianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2.2 Widerspruch der Galilei-Invarianz zur Wellengleichung und zu

den Maxwell-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3 Relativitatsprinzip & Lorentztransformation . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3.1 Einstein’sches Relativitatsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3.2 Konstanz von c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3.3 Die spezielle Lorentz-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3.4 Elementare Folgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3.4.1 Addition von Geschwindigkeiten . . . . . . . . . . . . . . 142.3.4.2 Raum-Zeit-Diagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.3.5 Weltlinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.4 Lorenz-invariante Formulierung physikal. Gesetze: 1-tes Bsp. Dopplereffekt 172.5 Relativistische oder Einsteinsche Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.5.1 Vierergeschwindigkeit uµ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.5.2 Viererimpuls pµ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.5.3 Einstein’sche Bewegungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.6 Einsteinsche Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.6.1 (A) Minkowski-Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.6.2 (B) Lorentz-Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3

4 INHALTSVERZEICHNIS

Kapitel 2

Spezielle Relativitatstheorie

2.1 Einschub: Konzepte & Definitionen

2.1.1 (karthesische) Koordinaten

Abbildung 2.1: Raumkoordinaten

Jeder Punkt im Raum besitzt Raumkoordinaten (vgl. Abbildung 2.1):

r =

xyz

=

x1

x2

x3

Jeder Punkt in Raum und Zeit besitzt Raum-Zeit-Koordinaten :

x =

ctxyz

:=

x0

x1

x2

x3

(2.1)

2.1.2 Minkowski-Raum, Minkowski-Metrik und Einsteinsche In-ertialsysteme

Alle Punkte (Ereignisse) in der Raum-Zeit x mit xµ =

(ctr

), xi ∈ R konstituieren einen

Minkowski-Raum M, wenn eine Metrik gegeben ist, so dass das Langenelement einerbeliebigen Kurve lautet:

5

6 KAPITEL 2. SPEZIELLE RELATIVITATSTHEORIE

dl2 = gµν dxµ dxν (2.2)

gµν heißt Minkowski-Tensor oder Minkowski-Metrik. Ein Minkowski-Raum mit ei-nem Koordinatensystem, so dass

gµν =

1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

(2.3)

lautet, heißt Inertialsystem. Denn dann gilt:

dl2 = ( dx0)2 − ( dx1)2 − ( dx2)2 − ( dx3)2 (2.4)

Bemerkung: Vergleichen wir M mit dem euklidischen Raum R3, in dem gilt:

dl2 = dx2 + dy2 + dz2 = gij dxi dxj mit gij =

1 0 00 1 00 0 1

(2.5)

fur ein kartesisches Koordinatensystem. Krummlinige Koordinaten siehe spater.gµν definiert ein Skalarprodukt:

〈a,b〉 = gµνaµbν = a0b0 − a1b1 − a2b2 − a3b3 = aνb

ν (2.6)

zweier kontravarianter Vektoren aµ und bµ mit dem Kovektor

aν = gµνaµ =

3∑µ=0

gµνaµ = (a0,− a) (2.7)

Die Inverse zu gµν ist gµν , also

gµν gνκ = δµκ (2.8)

mit dem Kroneckerdelta, und lautet in Inertialkoordinaten:

gµν =

1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

= gµν (2.9)

2.1. EINSCHUB: KONZEPTE & DEFINITIONEN 7

2.1.3 Definition der Lorentz-Transformationen als ausgezeich-nete Koordiantentransformationen

Eine homogene Koordinatentransformation x′µ = Lµ

νxν heißt ausgezeichnet, wenn sie

Inertialsysteme in Inertialsysteme uberfuhrt, d.h. wenn gilt:

g′µν = L κµ L λ

ν gκλ = gµν (2.10)

In Matrixschreibweise sieht das so aus:

g = L g LT (2.11)

Dazu muss gelten:

δσν = gσµ Lµλ L λ

ν = LσλL

λν (2.12)

Also lautet L−1 = LT und daraus folgt det L = ±1. Eine andere Schreibweise ist:

Lµν =

∂x′µ

∂xν(2.13)

und so kommen wir auf

δµν =

∂x′µ

∂x′ν=

∂x′µ

∂xκ· ∂xκ

∂x′ν= Lµ

κ Lνκ (2.14)

Die Transformationsregel g = L g LT folgt aus der Betrachtung des Langenelementes:

dl2 = gµν dxµ dxν = gµν (L−1)µσ (L−1)ν

τ dx′σ dx

′τ = g′στ dx′σ dx

′τ (2.15)

Bemerkung: Die ausgezeichneten Koordinatentransformationen heißen Lorentztransformationenim Minkowskiraum. Im euklidischen Raum heißen sie Orthogonaltransformationen undsind durch eine Rotationsmatrix gegeben.

2.1.4 (2.1.4) Tensoren

Tensoren sind Verallgemeinerung von Vektoren (Vektorfeldern, ...)Bsp.: Rotation (Abb.2.2): KS −→ KS’(

x′

y′

)=

(cos ϕ − sin ϕsin ϕ cos ϕ

) (xy

)(

q′xq′y

)=

(cos ϕ − sin ϕsin ϕ cos ϕ

) (qx

qy

)

Ein Vektor erfullt also bei einer KT

x′i = Rij xj


Abbildung 2.2: Koordinatentransformation

mit Rotationsmatrix R die Transfromationseigenschaft

q′i(x′) = Rij qi(x)

Verallgemeinert mit der Matrix Dµν der KT (D=R fur euklidischen R3; D= Lorentz-

Transformation fur Minkowski-Raum) nennt man das dN -Tupel (d = 3 in R3; d = 4in M) von Zahlen tµ(1)µ(2)···µ(N)(x) (µi = 0,1,2,3 in M) kontravarianten Tensor N -terStufe, wenn er unter der KT transformiert gemaß

t′µ(1)···µ(N)(x′) = d(D) Dµ(1)ν(1) · · ·D

µ(N)ν(N) tν(1)···ν(N)(x)

genauer fur

d(D) =

1 TensorDet(D) = ±1 PseudotensorL0

0

|L00|

= ±1 zeitartigen Pseudotensor

Bsp.:

• Im R3:

– sind Ladungsdichten ρ(r,t) ein Skalar (-feld) (Tensor 0-ter Stufe, der von r, tabhangt), j(r, t), E(r, t) und ∇ = ∂

∂xVektoren (Tensor 1-ter Stufe), B ein

Pseudovektor (d.h. unter Spiegelung x′i = −xi wird j′(r′, t) = −j(−r, t) und

∇′ = ∂∂x′ = − ∂

∂x= −∇ deswegen muss B′(r′, t) = B(−r, t) damit j′(−r′, t) =

∇′ ×B′(−r′, t) = −∇×B(r, t) = −j(r, t) gilt)

– ist das Kronecker-Delta δij ein Tensor 2-ter Stufe

2.2. NEWTON’SCHE MECHANIK 9

– ist der Levi-Civita-Tensor

εijk =

1 fur ijk = xyz, zxy, yzx−εjik = −εikj = −εkji

0 sonst

ein Pseudotensor 3-ter Stufe.Mit ihm lautet das Vektorprodukt a = b× c ⇒ ai = εijkbjck

– ist ein antysymmetrischer Tensor 2-ter Stufe Mij = −Mji eindeutig verknupftmit einem Pseudovektor m:

Mij =

0 m3 −m2

−m3 0 m1

m2 −m1 0

⇔ Mij xj = (m× x)i

• Im M:

– ist gµν ein Tensor 2-ter Stufe

– ist t νµ = gµν tµν ein gemischter kontra & kovarianter Tensor 2-ter Stufe und wird

transformiert wie t′ νµ = g′µν t′µν = gµν Lµ

σ Lµτ tστ = L σ

µ Lµτ t τ

σ = (L−1)σµ Lν

τ tσ

Bsp.:Die Verjungung eines Tensors 2-ter Stufe heißt Spur:

• in M: gµν tµν = tνν = t νν = t00 − t11 − t22 − t33

• in R3: tii = t11 + t22 + t33 (Summe der Diagonalelemente)

(Bsp.: gµν gµν = g µµ = −2 ; δµ

µ = 4)

2.2 Newton’sche Mechanik

2.2.1 Galilei-Invarianz

Newton: ”Mechanische Vorgange laufen in allen Inertialsystemen gleich ab.”Galilei: ”Zwei Inertialsysteme sind durch eine Galilei-Transformation miteinander ver-knupft.”

xi =3∑

j=1

Rijx

′iγ + ri0 + vit (2.16)

Rij ist eine Drehmatrix.

Bemerkung: Die Indizes fur Koordinaten xi stehen oben und werden mit den Indizes un-ten an Ri

j summiert. Abkurzung: Im folgenden verwenden wir haufig die Einstein’scheSummenkonvention:

3,4∑j=1

Rijx

′j = Rijx

′j (2.17)


Abbildung 2.3: Galileitransformation

doppelt auftauchende Indizes werden absummiert.spezielle Galilei-Transformation:

xi = x′i + vit (2.18)

t = t′

Die spezielle Galilei-Transformation (Abbildung 2.4) ist eine Transformation auf ein

Abbildung 2.4: spezielle Galilei-Transformation

gleichformig, geradlinig bewegtes Bezugssystem.

2.2.2 Widerspruch der Galilei-Invarianz zur Wellengleichung undzu den Maxwell-Gleichungen

• A) Wellengleichung: (∇2 − 1

c2∂2

t

)E(r,t) = 0

Die Wellengleichung ist eine Folge der Maxwell-Gleichungen im Vakuum mit derspeziellen Losung:

E(r,t) = E0 cos(ωt− k · r)

2.3. RELATIVITATSPRINZIP & LORENTZTRANSFORMATION 11

fur ω = ck. Die Galilei-Transformation auf ein mitbewegtes Inertialsystem (mitv = k c

k) ergibt eine stehende Welle:

E(r′,t) = E0 cos(ωt− k · r′ − k2

kct) = E0 cos(k · r′

)

welche keine Losung der Wellengleichung ist.Daraus ”folgern” wir, dass sowohl die Wellengleichung als auch die Elektrodyna-mik nach Maxwell nicht Galilei-invariant sind. Dies ist der Ausgangspunkt derspeziellen Relativitatstheorie.

• B) Versuch von Michelson-MorleyMan verwende ein Michelson-Intzerferometer und benutzt eine Rotation des

Abbildung 2.5: Michelson-Interferometer

Spektrometers, um Unterschiede in der Lichtgeschwindigkeit entlang der Wege 1und 2 zu messen, welche auf Grund der Bewegung der Erde zustande kommen.

Erwarten wurde man, dass die Interfernzmaxima N ≈ L1+L2

λ

(vc

)2mit der Erdge-

schwindigkeit v auf Grund des großen Vorfaktors L1+L2

λmessbar sind. Durch den

Vorfaktor sind selbst feinste Unterschiede messbar. Im Versuch wird aber kein Unter-schied beobachtet, somit existiert keine Galilei-Transformation auf das Erdsystem.Diese Beobachtung ist durch die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit c im bewegtenKoordinatensystem erklarbar.

2.3 Relativitatsprinzip & Lorentztransformation

2.3.1 Einstein’sches Relativitatsprinzip

Die gesamten physikalischen Vorgange laufen in allen Inertialsystemen gleich ab und zweiInertialsysteme sind durch eine Lorentztransformation verknupft.

2.3.2 Konstanz von c

Die Lichtgeschwindigkeit c im Vakuum ist unabhangig vom Inertialsystem und andert sichalso nicht bei Lorentz-Transformation.


2.3.3 Die spezielle Lorentz-Transformation

Abbildung 2.6: spezielle Lorentz-Transformation

Die Wellenfront einer Kugel-Lichtwelle, die vom Ursprung in zwei Inertialsystemeausgeht, muss gleich sein.(vgl. Abb 2.6):

r2 − c2t2 = r2 −(x0)2

= r′2 − c2t

′2 = r′2 −

(x

′0)2

(2.19)

Zur Vereinfachung wahlt man:

x′1 = x1 und x

′2 = x2

Licht, die Wellenfront einer elektromagnetischen Kugelwelle, breitet sich aus in einerWelle, die zum Zeitpunkt t = t′ = 0 am Ort r = r′ = 0 war. Das zweite KoordinatensystemKS’ bewege sich mit v = v z Die Position der Wellenfront, der sogenannte Lichtkegel lasstsich mit folgender Formel beschreiben:

r2 − c2t2 = (r′)2 − (ct′)2 (2.20)

Zur Vereinfachung nehmen wir Bewegung in z-Richtung an: x′ = x und y′ = y

z2 − c2t2 = (z′)2 − (ct′)2 ∗ (2.21)

Wenn wir nun die Lichtgeschwindigkeit in allen Bezugssystemen als konstant postulieren,wie lautet dann die zugehorige Koordiantentransformation(KT)? Wir postulieren weiter-hin:

• KT sei linear: λ1

(ct1z1

)+ λ2

(ct2z2

)= λ1

(ct′1z′1

)+ λ2

(ct′2z′2

)• KT sei homogen: t = z = 0 wird auf t′ = z′ = 0 abgebildet.

Damit konnen wir KT als Matrix Λ schreiben, die Matrix der Lorenzransformation ge-nannt wird und gegeben ist durch:

x′µ = Λµ

ν · xν (2.22)

als die Transformation von KS nach KS’ mit der Relativgeschwindigkeit v.


(ct′

z′

)=

(a bf d

)·(

ctz

)(2.23)

also ist zum Beispiel Λ00 = a oder Λ0

3 = b. Dann lautet die Rucktransformation von KS’nach KS:

(ctz

)=

1

ad− bf

(d −b−f a

)·(

ct′

z′

)(2.24)

und beschreibt die Transformation mit der umgekehrten Relativgeschwindigkeit v′ = −v:

xµ = Λµν(−v) · x′ν (2.25)

Vergleich von Λ(v) und Λ(−v) und die Isotropieforderung ergibt:

det Λ = ad− bf = ±1 sowie a = ±d (2.26)

Sei nun b = vb und f = vf , ergibt sich in Gleichung ∗ eingesetzt:

z2 − c2t2 = (vfct + az)2 − (act + vbz)2 = (a2 − v2b2)z2 − (a2 − v2f

2) + 2avc(f − b)zt

(2.27)

Daraus folgt b = f und somit fallt der gemischte Term weg.

⇒ a2 − v2b2

= 1 (2.28)

Damit konnen wir nun einen Winkel ϕ einfuhren, so dass a = d = cosh ϕ und b = f =sinh ϕ mit cosh2 ϕ− sinh2 ϕ = 1 gilt.

⇒ Λµν(v) =

(cosh ϕ sinh ϕsinh ϕ cosh ϕ

)= cosh ϕ

(1 tanh ϕ

tanh ϕ 1

)(2.29)

Ein winkel ϕ parametrisiert die Lorentztransformation. Mit β = tanh ϕ und γ =cosh ϕ = 1√

1−β2erhalten wir:

Λµν(v) = γ ·

(1 ββ 1

)(2.30)

wobei |β| < 1 gelten muss.Aus dem Vergleich mit den Galilei-Transformationen fur v → 0 folgt: b→ vb(0) und

damit ist β(0) = 1c. Aus der Hintereinanderschaltung mehrerer Lorentztransformationen

kann man zeigen, dass gilt:

β =v

c(2.31)

Damit ist ϕ = artanh vc

und wir haben die speziellen Lorentztransformationen:


Abbildung 2.7: Plot der hyperbolischen Winkelfunktionen

t′ =t + vz

c2√1− v2

c2

(2.32)

(2.33)

sowie

z′ =z + vt√1− v2

c2

(2.34)

welche bei v � in die Galilei-Transformationen t′ = t und z′ = z + vt ubergehen.

2.3.4 Elementare Folgerungen

2.3.4.1 Addition von Geschwindigkeiten

Begrundung: β ist linear in v, weil damit Hintereinanderschaltung zweier LT zu denGeschwindigkeiten u und v wieder eine spezielle LT mit der Geschwindigkeit w ergibt.Dies ist die Gruppeneigenschaft der Lorentztransformationen:

Abbildung 2.8: Wie groß ist w?

Λµν(u) · Λν

κ(v) = Λµκ(w) (2.35)

Fur spezielle Lorentztransformationen gilt also:


1√1− u2

c2

· 1√1− v2

c2

·(

1 uc

uc

1

)·(

1 vc

vc

1

)=

1 + uvc2√(

1− u2

c2

) (1− v2

c2

) · 1

v+uc(1+ uv

c2)

1+uvc2

v+uc(1+ uv

c2)

1+uvc2

1

(2.36)

weil gilt: ((1 +

uv

c2

)− u2 + 2uv + v2

c2

)− 12

=

(1 +

1

c2

(v + u

1 + uvc2

)2)− 1

2

(2.37)

Nun ist

Λ(w) =1√

1− w2

c2

·(

1 wc

wc

1

)(2.38)

mit der Geschwindigkeit

w =u + v

1 + uvc2

(2.39)

Die Transformationen KS → KS’ → KS” sind aquivalent zu einer Transformation KS →KS” mit der nach Einstein additiven Geschwindigkeit w. Nur fur uv

c2� 1 gilt w = u + v

nach Galilei. Ware β = vβ(v2) 6= vc

gewesen, hatten wir nicht zeigen konnen, dass wirKS → KS ” transformieren konnen, ohne KS’ zu kennen.Bemerkung: fur u = v haben wir w = 2v

1+ v2

c2

= c · 2β1−β2 , was in folgendem Plot veranschau-

licht wird. Also ist immer w < c fur alle v < c, c ist die Grenzgeschwindigkeit.

Abbildung 2.9: w-Diagramm

2.3.4.2 Raum-Zeit-Diagramme

Zwei Punkte, sogenannte Ereignisse, x(1) und x(2) haben den Abstand:

xµ = xµ(1) − xµ

(2) (2.40)

Ohne Beschrankung der Allgemeinheit setzen wir x1 = 0 = x2 fest, also ∆x = ∆y = 0.So ist

〈x,x〉 = (x0)2 − (x3)2 = c2∆t2 −∆z2 = c2∆t′2 −∆z

′2 = 〈x′,x′〉 (2.41)

mit ∆t′ = γ(∆t + βc∆z) und ∆z = γ(∆z + βc∆t). Wir konnen also die xµ nach ihren

Skalarprodukten charakterisieren. Wir unterscheiden 3 Falle:


Abbildung 2.10: Lichtkegel

• 1. Fall: 〈x,x〉 > 0, dann heißt x zeitartig, liegt in dem Kegel und es gibt ein Iner-tialsystem, in dem beide Ereignisse am selben Ort stattfinden: ∆z = 0 mit einerZeitdifferenz ∆t. In allen anderen Inertialsystemen gilt:

∆t′ = γ∆t > ∆t (2.42)

Dieses nennt man Zeitdilatation.

• 2. Fall: 〈x,x〉 = 0, der Vektor liegt direkt auf dem Lichtkegel.

• 3. Fall: 〈x,x〉 < 0, dann heißt x raumartig. Der Bereich, in dem diese Ereignisseliegen, heißt Gleichzeitigkeitskegel. Es gibt kein Inertialsystem, in dem man miteinem Lichtsignal diese beiden Punkte verbinden konnte, da das Licht nicht schnellgenug ist, um von x(1) nach x(2) zu kommen. Eine Lange l = ∆z|∆t=0 ist im bewegtenInertialsystem kurzer:

l′ = ∆z′|∆′t=0 = γ

[∆z + β

(c∆t′

γ− β∆z

)]∆′

t=0

=√

1− β2 ∆z =l

γ< l (2.43)

Dieses Verhalten wird Langenkontraktion genannt.

2.3.5 Weltlinien

Eine Kurve x(s) in der Raumzeit mit s als beliebigem Kurvenparameter (zum Beispielder Zeit) heißt Weltlinie, wenn der infinitesimale Abstand

dl2 = c2 dt2 − dx2 − dy2 − dz2 > 0 (2.44)

ist, die Tangente also zeitartig ist und das Teilchen somit nie mit Uberlichtgeschwindigkeitfliegt. Wenn das Teilchen eine eigene Uhr hat, so misst diese nach folgender Gleichung

dl2 = c2 dt2(

1− 1

c2r2

)= c2 dt2

(1− v2

c2

)= c2 dτ 2 (2.45)

die Zeit

dτ =dt√

1− v2

c2

(2.46)

2.4. LORENZ-INVARIANTE FORMULIERUNG PHYSIKAL. GESETZE: 1-TES BSP. DOPPLEREFFEKT17

Abbildung 2.11: Beispiel einer Weltlinie

τ ist seine Eigenzeit, die somit langsamer lauft. Das dτ entspricht einem Zeitelement, daseine auf der Kurve bewegte Uhr messen wurde. Diese Formel spiegelt die Zeitdilatationwider.

Wiederholung:Im Inertialsystem lautet die Metrik

gµν = gµν =

1 0 0 00 −1 0 00 0 −1 00 0 0 −1

so dass das Langenelement:

dl2 = c2 dt2 − ( dx1)2 − ( dx2)2 − ( dx3)2 = gµν dxµ dxν

v =dr

dt

< t, t > > 0 dl2 > 0 ⇒ dτ =1

cdl = dt

(√1− v2

c2

)Eigenzeit (Uhr des MP)

die ausgezeichnete Koordinatentransformation erfullt:

gµν = L σµ L τ

ν gστ ⇔(L−1

)σµ

= L σµ

Bem.:

• Die ausgezeichneten Koordinatentransformationen heißen im Minkowski-RaumLorentztransformationen

• Im euklidischen R3 g = 1 =

1 0 00 1 00 0 1

heißen sie Orthogonaltransformatio-

nen(1 = R RT

)2.4 Lorenz-invariante Formulierung physikal. Geset-

ze: 1-tes Bsp. Dopplereffekt

Umsetzung der spez. Relativitatstheorie: Formulierung der physik. Gesetze mit Tensoren(vor allem 4-Vektoren).


Die Phase einer em-Welle ϕ = ωt − kr entspricht dem Skalarprodukt ϕ = gµν kµ xν

mit 4-er Wellenvektor ki (k0 = ωc, k) der kµ kµ = 0 =

(ωc

)2 − k2 erfullt wegen derDispersionsrelation. Bei Trafo auf bewegtes IS’ geht er uber in

k′µ = Lµν kν sLT←→

ω′ = j(ω + v kz) kz = ωc

cos ϑk′z = j(kz + ωv

c2) kx = ω

csin ϑ

k′x = kx

(A) Longitudinaler Dopplereffekt:

ϑ = 0 (kz =ω

c, kx = 0) ⇒ ω′ =

√1 + v

c

1− vc

ω.=(

1 +v

c

)ω

Frequenz erhoht sich wenn Abstand von Empfanger und Sender wegen der Relativbewe-gung abnimmt.

Wiederholung:

• Definition: Tensor N -ter Stufe:

t′µ1...µN = d(D) ·Dµ1

ν1· · ·DµN

νNtν1...νN

• Die spezielle Relativitatstheorie entspricht der Formulierung physikalischer Gesetzemit Vierertensoren.

• erstes Beispiel: relativistischer Dopplereffekt:Eingefuhrt wurde der Viererwellenwektor kµ (Tensor 1. Stufe) folgendermaßen:

kµ =(ω

c,k)

k′µ = Lµ

νkν

spezielle LT: ⇒ ω′= γ (ω + vkz)

k′

z = γ(kz +

ωv

c2

)k

′

x = kx

Phase ϕ = kµxµ

Die Phase ϕ beschreibt jene Wellenfront, die bei xµ = x′µ = 0 emittiert wurde. Der

Sender ruht im Koordinatensystem KS und bewegt sich relativ zu KS′

Der Winkelvartheta ist der Winkel zwischen k und v, dann gilt:

kz =ω

ccos ϑ

kx =ω

csin ϑ

A) longitudinaler DopplereffektLongitudinal bedeutet, dass der Wellenvektor k in die Richtung von v zeigt, d.h. ϑ = 0.

2.4. LORENZ-INVARIANTE FORMULIERUNG PHYSIKAL. GESETZE: 1-TES BSP. DOPPLEREFFEKT19

Damit folgt, dass auch der Anteil des Wellenvektors in x-Richtung Null ist (kx = 0).

ω′=

√1 + v/c

1− v/c

v�c→(

1 +v

c

)ω (2.47)

Dies gilt auf Grund den Taylorentwicklungen:√

1 + ε ≈ 1 +ε

21√

1− ε≈ 1 +

ε

2

Die Frequenz erhoht sich, wenn der Abstand zwischen Sender und Empfanger wegen derRelativbewegung abnimmt. Es ist nur die Relaticgeschwindigkeit von KS und KS

′wichtig.

B) transversaler Dopplereffekt

ϑ =π

2→ kz = 0 kx =

ω

c

ω′=

ω√1− v2/c2

.= ω ·

(1 +

1

2

v2

c2

)(2.48)

Man spricht vom quadratischen transversalen Dopplereffekt. Dieser fehlt in der klassischenPhysik komplett.

C) Aberation speziell bei Synchrotronstrahlung Ein beschleunigtes Elektron

Abbildung 2.12: bechleunigtes Elektron

strahlt. Sei der Winkel, unter dem das Elektron im Inertialsystem streut ϑ = π2. Unter

welchem Winkel ϑ′

ist das Licht dann im Laborsystem KS′

zu beobachten?

tan ϑ′=

k′x

k′z

=c

γv≈√

1− v2

c2(2.49)

fur v → c.Die Strahlung findet im Laborsystem unter sehr engen Winkeln statt. Beispielsweise wer-den in Grenoble (Frankreich) Forschungen durchgefuhrt, bei welchen γ ≈ 104 ist.

Erinnerung:Wir waren bei der Beobachtung gestartet, dass eine spezielle Galilei-Transformation:

x′i = xi + vit ; t

′= t


eine spezielle Losung der Wellengleichung:(∇2 − 1

c2∂2

t

)E(r,t) = 0

namlich:

E(r,t) = E0 cos(ωt− k · r)

in KS auf eine ”Nicht-Losung” in KS′

abbildet:

E′(r

′,t

′) = E

′

0 cos k · r′

wobei: (∇′2 − 1

c2∂

′2t′

)E = · · · = −E0k

2 cos(k · r′) 6= 0

Dieser Widerspruch wird durch die spezielle Lorentztransformation gelost, in dem nun:

ωt− k · r = kµxµ

= k′

µx′µ

= ω′t′ − k

′ · r′

k′µ = Lµ

νkν

x′µ = Lµ

νxν

Ein Lorentzskalar (Tensor 0.ter Stufe) ist invariant in allen Intertialsystemen.

Bemerkung:Wie sich c bzw. E0 transformieren lasst, sowie die elektromagnetische Wellengleichungwird in Aufgabe 31 behandelt.

2.5 Relativistische oder Einsteinsche Mechanik

Die Bewegung eines Massenpunktes mit Ruhemasse m entspricht einer Weltlinie im Min-kowski-Raum (M).

Abbildung 2.13: Bewegung eines Massenpunktes

dτ 2 = c2 dl2 > 0

2.5. RELATIVISTISCHE ODER EINSTEINSCHE MECHANIK 21

2.5.1 Vierergeschwindigkeit uµ

Wird die Weltlinie mit der Eigenzeit τ des Messenpunktes (Uhr am Massenpunkt) para-metrisiert, dann heißt der Tangentenvektor:

uµ(τ) =d

dτxµ(τ)

.= xµ(τ) (2.50)

Vierergeschwindigkeit.Zwischen der Vierergeschwindigkeit uµ und der Geschwindigkeit im Raum v besteht fol-gender Zusammenhang:

d

dtr(t) = v(t)

dxµ(τ)

dτ=

dxµ(τ(t))

dt· dt

dτ

§2.3.5 =

(cv

)· γ

=1√

1− v2

c2

·(

cv

)(2.51)

Das Skalarprodukt:uµu

µ = γ2(c2 − v2) = c2

ist Lorentzinvariant. Das bedeutet, dass 1cuµ der ”normierte Tensor 0.ter Stufe ist, der

sogenannte ”Tangentenvektor”.

Bemerkung:Daraus folgt fur die Viererbeschleunigung aµ:

aµ =d

dτuµ (2.52)

d

dτc2 = 0 =

d

dτgµνu

µuν

= gµνaµuν + gµνu

µaν = 2gµνaµuν

⇔ aµuµ = 0 = uµuµ (2.53)

⇒ u ⊥ u

2.5.2 Viererimpuls pµ

A) Relativistische Emergie-Impuls BeziehungDer raumliche Impuls p wird durch die nullte Komponente E

cmit der totalen Energie E

zum Viererimpulsvektor:

pµ =

(Ec

p

)(2.54)

mit Lorentzinvarianter Lange (Einstein 1905):

pµpµ =

(E

c

)2

− p2 = (mc)2 (2.55)


mit der Ruhemasse m.Im Ruhesystem (p = 0) gilt also:

E = mc2

Allgemein gilt:

E =√

(mc2)2 + (cp)2

(relativistische e− p-Beziehung)Die verallgemeinerte Newton’sche Beziehung folgt fur p� c:

E → mc2 +p2

2m

Die Energie-Masse-Aquivalenz kann z.B. bei der Kernspaltung oder Kernfusion (Deuteri-um + Tritium → Helium +n mit ∆m

mHe≈ 8 · 10−3 → 18MeV) beobachtet werden.

Bemerkung:Der Ansatz pµ =

(Ec,p)

soll hier nicht bis ins Detail begrundet werden. Es wird lediglicheine Motivation fur diesen Ansatz gegeben:Energie und Impuls charakterisieren die Bewegung eines Massenpunktes. Dieser hat alseinzigen Parameter die Ruhemasse m. Laut Einstein ist die einzige physikalisch wichti-ge Konstante die Lichtgeschwindigkeit c. Also mussen diese beiden Dinge miteinander inVerbindung gebracht werden, was durch obigen Ansatz geschieht.

B) Trage Masse Eine Verbindung zwischen Kinematik (xµ(τ),uµ(τ)) und der Dyna-mik

(E,p)

ist gegeben durch:

Ansatz wie bei Newton: pµ = muµ (2.56)

womit gilt: pµpµ = m2uµu

µ = m2c2 (2.57)

und folgt: pµ =m√

1− v2

c2

·(

cv

)= γm ·

(cv

)(2.58)

Also taucht die trage Masse :

m(v) := mγ(v) =m√

1− v2

c2

(2.59)

im Impuls pµ = m(v) · v und in der Energie E = m(v)c2 auf, wenn der Massenpunkt dieGeschwindigkeit v relativ zum Laborsystem hat.

Bemerkung:Aus pµ

µ = gµνpµpν folgt:

gµνpµ dpν

dτ= 0 (2.60)

2.5.3 Einstein’sche Bewegungsgleichung

A) Minkowski-Kraft F µ

Die Definition der Minkowski-Kraft folgt in Analogie zur Newton’schen Mechanik (nur

2.6. EINSTEINSCHE BEWEGUNGSGLEICHUNGEN 23

dass Vierervektoren genommen werden):

d

dτpµ = F µ (2.61)

Die ”eigenzeitliche Anderung” des Impulses erfolgt auf Grund einer Krafteinwirkung.Daraus und aus den Anfangsbedingungen folgt die Bahn des Massenpunktes.

Bemerkung:Wegen (2.60) muss gelten:

pµFµ = muµF

µ = gµνpµ d

dτpν = 0

⇒ uµFµ = 0 (2.62)

u0F 0 − u1F 1 − u2F 2 − u3F 3 = 0

⇒ F 0 =1

cv · F (2.63)

2.6 Einsteinsche Bewegungsgleichungen

2.6.1 (A) Minkowski-Kraft

In Analogie zu Newton: ddτ

pµ = F µ ”eigenzeitliche” Anderung des Impulses erfolgt auf-grund der Krafteinwirkung.Daraus und aus den Anfangsbedingungen folgt die Bahn des MP. Wegen g

µνpµF ν = 0

muss gelten mvµFµ = 0 Es ergibt sich: F 0 = 1

cvF

2.6.2 (B) Lorentz-Kraft

Bsp. fur F µ: Lorentz-Kraft beschreibt die Kraft, die em-Felder auf Massenpunkt mitLadung q ausubt.

F µLor = qF νµvµ (2.64)

Motivation:

• prop zur Ladung

• muss durch Feldgroßen ausgedruckt werden (Aufgabe 31: Feldtensor F µν)

• muss durch Teilchengroßen ausgedruckt werden (xµvµqµ geht nicht, da das Ergebnisvon der Wahl des KS-Ursprungs abhangen wurde

• Lineare Auskopplung (einfachster Ansatz)


F µLor = γq

(E · vE + v ×B

)0−Komponente

Raumkomponenten(2.65)

Wegen

d

dτ= γ

d

dtfolgt

d

dtmγc2 = qEv︸︷︷︸

Leistung

(2.66)

genauso:

d

dtm(v)v =

d

dt

m√1− v2

c2

v = q(E + v ×B) (2.67)

relativistische Bewegungsgleichung fur MP mit Ladung q in E und B FeldernBeispiel: Exp. Nachweis der relat. Bewegungsgleichung durch Ablenkung von e− im sta-tischen homogenen B-Feld bestatigt unseren Ausdruck fur FLor

Synchrotron:

Abbildung 2.14: Synchrotron

Anfangsbed: v(0) = v0x⊥B

E = 0→ m(v)d

dtv = qv ×B (2.68)

→ Kraft in Ebene senkrecht zu B

→ v(t) = v0(x cos ωLt− y sin ωLt) (2.69)

mit ωL der Lamorfrequenz. Ansatz in Bewegungsgleichung:

m(v0)v0ωL

(− sin ωLt− cos ωLt

)= qv0B

(sinωLtcosωLt

)(2.70)

ωL =qB

m(v0)=

qB

m

√1− v2

c2(2.71)

Massenpunkt macht eine Kreisbahn mit Radius v0

ωL

Documents

Vorlesungsskript Integrierter Kurs III - spezielle ...theorie.physik.uni-konstanz.de/lsfuchs/lectures/ik30405/ik3spezrel1101.pdf · Kapitel 2 Spezielle Relativit¨atstheorie 2.1 Einschub: