Postavka projektnog zadatka - masfak.ni.ac.rs

Postavka projektnog zadatkaPogonske opruge Cilindrične zavojne

parametri kretanja:

- pomeranje koje opruga treba da realizuje sk,

- vreme za koje treba realizovati pomeranje tk,

- eventualno, najmanja i najveća dopuštena vrednost završne brzine

vkmin ≤ vk ≤ vkmax.


parametri opterećenja:

- redukovana masa sklopa koji treba pomeriti m(s),

- redukovana statička otporna sila Fst(s).


konstruktivno-geometrijski zahtevi:

- položaj i promena položaja tačke K u odnosu na nepokretni krajopruge C0,

- oblik i položaj putanje tačke K,

- najveća dopuštena vrednost spoljašnjeg prečnika opruge Ds odn.najmanja dopuštena vrednost unutrašnjeg prečnika opruge Du


Potrebno je poznavati i tehničko-tehnološke zahteve u vezi s karakteristikama materijala od kojih se opruge izradjuju.

Mdt 5.0 σ=τ

Mdt 45.0 σ=τ

Prema hipotezi najvećeg deformacionog rada, dopušteni napon na uvijanje pritisnih cilindričnih zavojnih opruga od okrugle žice može se preračunati izrazom:

dok je kod zateznih cilindričnih zavojnih opruga sa ušicama dobijenim savijanjem završnih zavojaka:

Vrednosti zatezne čvrstoće σM za različite debljine (do d=17 mm)i klase kvaliteta žica definisane su standardom JUS C.B6.018.

Odnos motanjaPogonske opruge Cilindrične zavojne

Odnos naziva se odnos motanja (Wall-ov indeks opruge).

Teškoće izrade (tolerancije) i funkcionisanja opruge uslovile supreporuku dopuštenih vrednosti odnosa motanja:

- kod pritisnih zavojnih opruga w = 4÷8 ⇒ 5d ≤ Ds ≤ 9d

- kod zateznih zavojnih opruga w = 4÷16 ⇒ 5d ≤ Ds ≤ 17d

dDw m=

Oblik završnih zavojakaPogonske opruge Cilindrične zavojne

Prvi i poslednji zavojak opruge nisu pravilni.

Zatezne opruge imaju završetke u obliku ušica dok se kod pritisnihopruga krajnji zavojci obradjuju upravno na osu opruge (stopala) radi boljeg naleganja na podloge opruge.

Da bi opterećenje u zavojcima bilo pravilnije rasporedjenopreporučuje se da ukupni broj zavojaka:

- pritisnih i zateznih opruga n = i ± 0,5 (180o) odn. da kod

- zateznih opruga može biti i n = i ± 0,25 (90o odn. 270o).

Oblik završetaka kod pritisnih opruga odredjuje i dodatne zahteveodn. mere sigurnosti protiv izvijanja.

Varijante postavke zadatkaPogonske opruge Cilindrične zavojne

Dimenzionisanje opruge (mo≠0)Pogonske opruge Cilindrične zavojne

Oprugu treba dimenzionisati tako da se početnim izduženjem fp i sopstvenom kružnom frekvencom ω1 može da realizuje zahtevanopomeranje pokretnog kraja opruge sk u vremenskom intervalu tk:

( ) ( )tcos1fts 1p ω−=

Dimenzionisanje opruge (mo≠0)Pogonske opruge Cilindrične zavojne

Ako se zanemari ugao nagiba zavojaka iu obzir uzme samo naprezanje na torziju,

iz sa i

dobija se za mala pomeranja:tJGlM

⋅⋅

=ϕ2Ds m⋅ϕ

= mDnl ⋅⋅π=

4

3m

t

m

dGDFn8

JG2DlMs

⋅⋅⋅

=⋅⋅⋅

=

a time i krutost opruge:nD8

GdsFc 3

m

4

s ==

Jednačina za dimenzionisanjeopruge

Pogonske opruge Cilindrične zavojne

tp

2m

s

pp Gd

nDcF

f τπ

== ρπ=ω

2G

nDdk 2

m11

Pošto je:

u izrazima za početno izduženje i sopstvenu kružnu frekvencu figurišu dimenzije opruge:

Zamenom ovih izraza u izrazu za zakon puta: ( ) ( )k1p tcos1fts ω−=

3m

3

m

t dDF8

16d2

DF

WM

⋅π⋅

=⋅π

⋅==τ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ρπ=

τπ−

2G

nDdtkcos

nDdGs1 2

m

k12

mtp

k

Normirani oblik jednačinePogonske opruge Cilindrične zavojne

Uvodjenjem smena:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ρπ=

τπ−

2G

nDdtkcos

nDdGs1 2

m

k12

mtp

k

nDdp 2m

= p2Gtktp k

1k1 ρπ=ω=

k

k

tp1 tsG2

k1a ρτ

=

jednačina za dimenzionisanje cilindričnih opruga prelazi u normirani oblik:

p cosp a1 =−

omm

=χ

Grafički postupak rešavanjaPogonske opruge Cilindrične zavojne

amax=0.7246

p cosp a1 =−

omm

=χ

vsr=sk/tk

1

Broj zavojaka cilindrične opruge

π=⇒π=

mm D

LnnDL

πρκ=⇒

πρ=ρ=ρ==

κ

2

2

o

dm4L

L4

dALVmm ⇒m

22 Ddm4n

κρπ=

n – broj zavojaka opruge

m - masa pokretnog sklopa

κ - odnos masa pokretnog sklopa i opruge

ρ - gustina materijala žice opruge

d - prečnik žice opruge

Dm - srednji prečnik opruge

Opruge kao pogonski elementiMehanički elementi u mehatronici

2

Jednačina za dimenzionisanje prečnika žice cilindrične opruge

Opruge kao pogonski elementi

nDdp 2m

=

m22 Dd

m4nκρπ

=

dDD ms +=

⇒

0)dD(mp4d s23 =−

κρπ−

3 s2s Dmp4dDdκρπ

=⇒<<




p - faktor dimenzija opruge


Ds - spoljašnji prečnik opruge

Mehanički elementi u mehatronici

3

Završna brzina i ubrzanje pokretnog kraja cilindrične opruge


)tcos(1sf

k1

kp ω−=

)tsin(fv k1p1k ωω=

2tfv 1p1max

π=ω⇔ω=

ρπ=ω

2G

nDdk 2

m11

tp

2m

p GdnDf τ

π=

fp - početno izduženje opruge

sk - pomeranje pokretnog kraja opruge

tk - vremenski interval

ω1 - sopstvena kružna frekvenca

vk - završna brzina pokretnog kraja opruge

vmax - najveća brzina

k1 - karakteristična vrednost osnovnog harmonika



G - modul klizanja


τtp – napon na uvijanje pri početnom izduženju


4

Završna brzina i ubrzanje pokretnog kraja cilindrične opruge


G2k

v tp1max ρ

τ=

pcospa1 =−

k

k

tp1 tsG2

k1a ρτ

=

max

sr

VVa =

)tcos(fa k1p21k ωω=

vmax - najveća brzina



G - modul klizanja




ω1 - sopstvena kružna frekvenca



5

Napon na uvijanje pri početnom izduženju cilindrične opruge


dtp2m

swtp f

nDGdkV τ≤π

=τ τ


Vτ - faktor poveć. napona usled din. opter. opruge

kw - Göhner-ov fakt. konc. nap. na un. str. zav. opr.

G - modul klizanja

ds - standardni prečnik žice opruge



n – broj zavojaka opruge

τdt – dopušteni napon na uvijanje


6

Napon na uvijanje pri početnom izduženju cilindrične opruge


3

m

s2

m

s

m

sw D

dDd

87

Dd

451k ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛++=

( )1

1

ksinkV =τ


7

Ugradna dužina cilindrične opruge


pmaxmmaxpHtu f)dD(6.1d)1n(fl2ll +−++=++=

lu - ugradna dužina opruge

lt - dužina tela opruge

lH - dužina ušica, merena iznutra


n - broj zavojaka opruge

dmax - najveća dopuštena vrednost prečnika žice opruge prema JUS C.B6.018



8

Granice ostvarljivosti dinamičkih i konstruktivnih zahteva kod cilindrične opruge


Pre nego pređe na dimenzionisanje cilindrične zavojne opruge, konstruktor treba da proveri da li je uopšte moguće realizovati opružnim pogonom postavljene zahteve.


9



pcospa1 =−

7246.0a7246.0aRp

max =⇒≤⇔∈


10



k

k

tp1 tsG2

k1a ρτ

=

)v(kk

tsG2

a1k

srg1g1

k

k

tpmaxg1

=⇒

ρτ

=k1 - karakteristična vrednost osnovnog harmonika


G - modul klizanja




vsr - srednja brzina k

ksr t

sv =


11



g1gg1 kk ctg κ=

k

k

tpmaxg1 t

sG2a

1k ρτ

=k

k

tpmaxg

k

k

tpmax tsG2

a1)

tsG2

a1(ctg ρ

τκ=ρ

τ

)v( srgg κ=κ



G - modul klizanja




vsr - srednja brzina



12



⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ππ

∈=⇔= ,2

33.2p7246.0amax

Realizovanje pomeranja oprugom sa ovom graničnom vrednošću ima nedostatak: potrebna je kruta veza opruge sa sklopom koji treba pomeriti, kao i konstruktivne mere za njegovo zaustavljanje u krajnjem položaju.


13



⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

∈⇔π

≤2

,0p2a )v( sr22ππ

κ=κ


14



G2k

v tp1max ρ

τ=

g1gg1 kk ctg κ=

)(vv gmaxmax κ=⇒

k1 – karakt. vredn. osn. harmonika

τtp – napon na uvijanje pri poč. izd.

G - modul klizanja


κ - odnos masa pokr.sklopa i opruge


15



ρπ

= nDd4

m m2

2

o

1wDd s

+=

ndlt ≈

164w ÷=

2st

2st Dl

m937.0Dlm323.0 ≤κ≤

utu l75.0ll25.0 ≤≤


16



maxk1

mink1

DG2

tkpm4dD

G2

tkpm4 ρ

πκρ<<ρ

πκρ


G - modul klizanja





Dmin - najmanja dopuštena vrednost unutrašnjeg ili

spoljašnjeg prečnika opruge

Dmax - najveća dopuštena vrednost unutrašnjeg ili

spoljašnjeg prečnika opruge




mcs=ω

omm

=χχ

⋅=ω1

mc

o

s

p12Gt

p k ⋅χ

⋅ρ

⋅π

=k

k

pt tsG2

a ⋅χ⋅τρ

=

1001k

110011

11 ⋅

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

χ⋅=⋅

ωω−ω

=ωΔ

Dimenzionisanje opruge (mo=0)

o

snn m

ck ⋅=ω

pcospa1 =−⇒

kk ctg ⋅χ=


1001

31k

11001

1

1*1*

1 ⋅

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+χ⋅

=⋅ωω−ω

=ωΔ

p13

32Gtp k ⋅

+χ⋅

ρ⋅

π=

k

k

pt ts

313G2

a ⋅+χ

⋅τρ

=

Dimenzionisanje opruge (m*)



( )t cos1fs 1s ω−⋅=

Dimenzionisanje opruge (Fst(s))

( )21

K221p1s cc

Ffcfcf

+

+⋅−⋅= 1

11 k ctg

kk =

α−⋅χ

1

2

cc

=α



1p cos1pa

pa

2

1 −=−⋅

⋅

( )1ts

kG 2

ak

k

tp11 +α⋅⋅

τ⋅⋅ρ

=

α⋅+

⋅τ⋅⋅ρ

=k

2

K2

tp12 t

cF

f

kG 2

a

a1max=0.7246



( )k1

ks tcos1

sf⋅ω−

= ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅α+α+⋅=

2

K2s1p c

Ff1ff ( )k1s1k tsinfv ⋅ω⋅⋅ω=

Zbog zaokruživanja vrednosti dimenzija opruge, a time i promene odnosa krutosti α, treba uvek iznova korigovati vrednost ω1.

Izvedenim relacijama posredno je obradjen i sistem sa FK (c2=0). Pri odredjivanju promenljivih p, d i n treba zanemariti uticaj sile FK, a uzeti ga u obzir tek pri izračuna-vanju fp i ostalih veličina opruge i sistema.



( )1313k1 +χ

+α=

χ+α

=1k1

⇒ χ > 10sm1

ts

k

k ≤

Za odnose masa χ > 1 i odnose krutosti α > 1 odn.

za χ ≥ 0.5 i α ≤ 1 može se koristiti i model koji masu opruge aproksimira konstantnom ekvivalent-masom:

Ne preporučuje se primena modela koji zanemaruje masu opruge:

Ovaj model se može koristiti u projektnim zadacima kod kojih je:

11

1 k ctgk

k =α

−⋅χ


Nelinearna dif. jednačina kretanja


Diferencijalna jednačina kretanja biće nelinearna ako:

- masa sklopa m menja svoju vrednost tokom pomeranja za sk,

- veličina otporne sile Fst je nelinearno zavisna od pomeranja ili

- osa opruge tokom pogonskog procesa menja svoj položaj.

Jednačina kretanja sistema se, zbog nelinearnosti, može realizovati:

- formiranjem uprošćenih modela koji vode linearizaciji dif. jedn.

- variranjem vrednosti odredjenih parametara opruge i sistema svedok zahtev ne bude ispunjen (sinteza iterativnom analizom).

Aproksimacija linearnim modelomPogonske opruge Cilindrične zavojne

( )∫ ⋅⋅=ks

0ke dssm

s1m ( )∫ ⋅⋅=

ks

0st

kste dssF

s1F

( ) scFF 20sstste ⋅+= = ( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅⋅⋅= ∫ =

ks

00sstst

kk2 FdssF

s1

s2c


01p1p cosff β⋅=

Da bi eliminisali uticaj promene položaja ose opruge, putanja tačke K se mora uskladiti sa pravcem fiktivne ose opruge, koja tokom pogonskog procesa ne bi menjala svoj položaj.



Za dimenzionisanje pogonske opruge sistema čija je dif. jednačina linearizovana, treba koristiti model koji zanemaruje masu oprugeili model koji je aproksimira konstantnom ekvivalent-masom.

Relativna greška vremenskog intervala tk manja je od 10%.

Predložene aproksimacije je opravdano koristiti samo za približno odredjivanje diskretne vrednosti tk(sk), a ne i za vrednosti t(s) u intervalu 0 < s < sk.

Sinteza iterativnom analizomPogonske opruge Cilindrične zavojne

( )∫ ⋅⋅=ks

0ke dssm

s1m ( )∫ ⋅⋅=

ks

0st

kste dssF

s1F

Pogonske opruge Cilindrične zavojneNelinearna dif. jednačina

kretanjaDinamička analiza pogonskih sistema s nelinearnom diferencijal. jednačinom kretanja pokazala je da:

- promena položaja nepokretnog kraja oprugeC0 u oblasti ograničenoj uglom β≤ 12o odn. yK ≤ 0,2 lu ne dovodi do značajnijih promenadinamike kretanja,

- ukoliko se lučno pomeranje tačke K želirealizovati u što je moguće kraćem intervaluvremena, osa opruge treba sve vreme dagradi sa normalom na putanju veći ugao odprave kroz krajnje položaje tačke K.

Grafički postupak rešavanjaPogonske opruge Cilindrične zavojne

tk = 66 msK1(565 mm, 565 mm)K2(475 mm, 475 mm)K0(675 mm, 365 mm)m1= 0,54 g, m2=0,21 gm3=0,84 gi1=0,107 m, i2=0,069 mFtr=7,85 N, c=1,05 N/mmvk< 3,6 m/s710 mm < lu< 850 mm


Aproksimacija linearnim modelom

me = 1,169 kg

Fste =6,406 N

Programski paket za dimenzionisanje


Različiti pristupi proračunu pogonske opruge kod sistemâ s linearnom i nelinearnom diferencijalnom jednačinom kretanja uslovili su da i pri izradi programâ za dimenzionisanje cilindrične zavojne opruge razdvojimo ova dva postupka.

Daljim raščlanjivanjem strukture programskog paketa omogućili smo korisniku programâ da zahteva ugradnju neke od standardnih opruga koje nude proizvodjači ili da se saglasi sa uvećanim troškovima izrade nestandardne opruge kojom bi se znatno tačnije realizovali postavljeni zahtevi.

Izbor standardne opruge za linernu d.j.k.Pogonske opruge Cilindrične zavojne

DIN 2098/1 DIN 2098/2

n = 3,5 5,5 8,5 12,5 18,5

Dimenzionisanje nestandardne opruge za linernu d.j.k.


Izbor standardne opruge za nelinernu d.j.k.


Putanja pokretnog krajaopruge zadaje se:

- opšteg oblika:koordinatama y(x),

- pravolinijska:odstojanjem od x-ose: yK,

- lučna:koordinatama krajnjihpoložaja tačke K i centrakružnog luka,

Documents

Postavka projektnog zadatka - masfak.ni.ac.rs