93 Band 9, Heft 1 Febmar 1920 Ste in , Potentialtheoretisohe Untersuchungen Iiber Magnetfelder

Potentialtheoretische Untersuchungen fiber Magnetfelder in Transformatoren und fiber ihre Streuinduktivittit

speziell bei Zylinderwicklung.') Von GERHARD ST" In &dln-OberseMneweide.

en urspriingliohen Anlaf3 en der Problemstellnng der vorliegenden Arbeit bot eine Untereuohnng von St . Bergmannu) , die das mine Eisenfeld in einem Reohteok- D rahmen mittels konformer Abbildung behandelt, eine Anfgabe, die vorwiegend

mathematisohen Charakter hat. Da aber in vielen Fllllen [e. B. fiir die in der Elektro- teohnik a111 Streunng 3, bekannten Ereoheinnng] den Lnftfeld mit in die Reohnnng eingeht, mine Kenntnis mitunter eogar allein ansreicht, so maohte en sioh die vorliegende Arbeit sohlie0lioh znr Anfgabe, anch iiber den Verlauf soloher Luftfelder - und zwar ebener Felder - nllheren Anfschlu6 xu gewinnen, insbesondere in solohen Fllllen, in denen ein gesohlossener Eieeniahmen vorliegt wie bei den iibliohen Transformatoren. Der erste Sohritt war der, ein vereinfaohtes Modell diesee Rahmens kreisrlngfirmig und die Strom- belegungen pnnktartig anzunehmen, war dann in Absohnitt 3 der Arbeit mit kreiebogen- fSrmigen Strombelegnngen wirklioh ansgefflhrt wird (vergl. anoh die Feldbild,er der Abb. 19 and 20 S. 46). Es war voransznaehen, daf3 an diesem vereinfaohten Modell, das aber der Reohnnng duroh Reihenentwioklungen nach Kreisfunktionen durohaus zngitnglioh war, die hanptrllohliohsten Oesiohtspnnkte sich sohon iibersehen lassen wiirden.

In der Tat lief3 sich hiernaoh bei endlioher Permeabilitllt p eine exakte Feldunter- suchung, die doh ant die ane Fenster-, Eisen- nnd An0enraum bestehende Gesamtebene beeieht, durohfiihren, und er ergab rich dar ftir die weitere Behandlung wesentliohe Resultst, da6 die Lnfttlelder in dem wirkliohen Falle sehr groEer p in zwei Gmppen zerfallen.

1. Solche, die auf dem Eketiramla senkrccht stehen (ihre Strombelqungssumme in jedem Luftgebiete mu,@ gleich Null sein);

2. solche, die am Eisenrande eine Tangentialkomponente der Feldstdrke besiteen, aber mil eineni durch die Verteilung der Gesamtbelegung auf die einzelrien Luft- gebiete festgeleglen Tangentialuerlauf.

Insbesondere der letzte Gesichtspnnkt ist in der Literatu wold nooh nnerwllhnt. Erst duroh diese Trennung nllmlioh wird man bereohtlgt, die Aufgabe nllhernngrweiee ale eine Randwertanfgabe fiir den Fenster, baw. fiir den Anflenranm aulznfassen.

Naoh Aufstellung dieser allgemeinen Gesiohtspunkte liegt deren Uebertragung auf eine der wirkliohen Traneformatorform mehr entspreohende rechteokige Rahmenform mit den rechteokigen Strombelegnngen der Zylinderwioklnng nahe (vergl. z. B. Abb. 16, 8. 41). Da die dabei angewandte funktionentheoretisohe Methode von Einzelpolen ausgeht, so k6nnfe als Belegongsform hier ebensogut eine Soheibenwioklung gewtlhlt werden. Die Zylinderform war aber nilherliegend, weil bei ihr die Rahmenform sttlrkeren Einfln0 ansiibt, und aeil die Scheibenwloklnng sohon von Hogowski') in anderer Weise behandelt iot.

Wllbrend der zweite Tell der obigen Grnppeneinteilnng hier nnr prlnzipiell die- kutiert wird (I a), ist der erste Fall fur das Innengebiet des Reohteokrahmens wirklloh dnrohgefuhrt (I 5), aie oben erwllhnt als Randwertanfgabe, die tibrigens dnroh elliptisohe Funktionen vollstbdig l6sbar ist. Ale Spezialfall und ear Abeoblltzang dee bei genaner Beriioksiohtigung der reohteokigen Rahmenlorm sohwer EU erfassenden Anf3enft=ldes, wird auoh der eiufaohere Fall, daO das Feldgebiet von einer unendliohen Wand begrenat ist, dnrchgereohnet (I 4).

Ale Anwendong dieser allgemeinen Feldbereohnungen ergibt siah die Bestimmnng derjenigen Teile der Transformrtorindnhtivitilt, die ohne geaanere Kenntnis des Feldes im Eisen bereohenbar rind; das ist in der Hanptraohe die 8treuinduktivitll6, da der Eisen-

'1 Von dsr Fslkultllt fllr Allgemeine Wlssens~bsften der Techniechen Hochschnle Breslau, als H e m m e t r r t.

'1 Be r g m a n n , *Ueber die Berechnmg den magnetlachen Feldes in Elnphsten~~~aformstoren. , '1 Die genaue Fansang dierer Begrlffs findet man in I1 1, 8. 88 f. '1 R o g o w 8 k i , Ueber dam Strenfeld and den Strenlndnktionskoel~l~ten elnes Transtormatori

mlt Soheibenwicklnng oad getailten Endspnlen. Direert.tion, Dansig 1908.

.

Disrertstion mgenommen. Referent: Prof. Dr. Noether, Korreferent: Privatdorent Dr.-In

dtese Zeitrchr., Bd. 5 (1925).

Ztsehr. f. an ew. S t e i n , Potentialtheoretisohe Untersuchungen Uber Magnetfelder Ma&md#mk

flu6 immer ale ein beiden Wicklungen gemeinsamer erecheint. Zom Anechlu6 an die elektrotechnisohe Literatur geht bier elne kurze Diskusdon des Streubegriffes voran (It 1 und 2), die aber nur bezweckt, die aus den behandelten Feldern berechenbaren Qroflen mit den elektriscben Transformatorgleiehungen in Verbindung zu bringen. Die wirkliohe Durohfiihrung der Streuungsbereohnungen benotigt dann nooh eine Reihe von Integrationen (I1 3 nnd 4). Endlich wird ein Teil der berechneten Felder aus den analytischen For- meln auoh mittel6 graphisch nnmeriwher Methoden zeichnerisch hergestellt (111).

Wllhrend in dieeer Arbeit nnr ebene Feldberechnnngen durchgeftihrt werden, mii61e die genauere Erfassung der Transformatorfelder an! riinmlichem Wege erfolgen. Daher riihrt die Abweichung von rd. 10 vH zwirchen der beispieleweiee durchgefuhrten Be- reohnnng und Mescung einer Streulnduktivitnt (111). Immerhin ergibt die Reohnung als Resultat eine Korrektur der bekannten K app sohen Streunngeformel, die qualitativ be- ziiglich der Abhangigkeit von den Transformatorabmeasungen anwendbar sein diirfte.

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I. E b e n e F e l d b e r e c h n u n g e n . 1. Vorbereitende Betrachtungen. Ein Scbnitt senkreoht zur Fensteraohse des

Zwei- bzw. Dreiphasentransformators ergibt ganz allgemein LPngsschniltflachen durch den Eieenrabmen von der Form der Abb. 1 und 2. Sie zerfallen in die drei charak- briEtisChen Bereicbe, den Feneter-, Eisen- und AuBenraum bzw. in dae Innen-, Zwisohen- und Abflengebiet'). Der Suhnitt dnrch die Wioklungedrllhte stellt hierbei die sogenannten Strom- oder Wirbelbelegungen dee zngehorigen Magnetfeldes dar, wlhrend der einzelne Draht einem isolierten, d. b. einem auf einen Pankt zuaammengezogenen Wirbel ent- spreohen 6011. AuDerdem nehmen wir den Transformator in Richtuog der Fensteraohse unendlioh tie! an, ersetzen ihn also dumb einen unendlich langen Sohaoht. Somit ist das Transformatorenproblem auf eine ebene Aufgabe zuruokgefiihrt.

Abb. 1. Abb. 2.

Bei der analytischen Behandlung des Magnetfeldes bleibt die Orientierung einas Koordinatenkreuzes o, y in seiner Ebene zonllchst offen. j sei die Strombelegung pro Fllloheneinheit. Der magnetisohe Feldvektor 8 (in Qaufl) und ebenso der Vektor der magnetiechen Induktion 8 (in GanD) liegen in der xu-Ebene. Es beeitze ferner die Permeabilittlt des Eisens den konstanten Wert p, die der Luft den Wert 1. 6 und 8 htlngen alsdann i m Luflraum dnroh die Qleichung 6 = 8, im Eisenranm dnrch die Be- ziehung p @ = % von einander ab. Aderdem ist bekanntlioh iiberall d ivB=O. But Grund der letzten Qleichuug existiert eine FloDinnktion 1/, (x, y), so daO:

. . . (la).

ist. Wegen dee Amperschen Gesetzes rot @ = -- 0,4 ni kann man daneben aderha lb

(Ib) 8 3 U

.fj --2. . . . . . . Y - der Belegungsgebiete : a y 62=-, 9

sohreiben. Belegungsgebiete definiert und liefert dort mit $0 zusammen die komplexe Funktion :

Die Hllfefunktion cp = f 8 d 1, das magnetische Potentlal, ist 80 ade rha lb der

p(o,y)--i(p(o,y)=S(z), [ z = z + i y ] . . * . . (2). Woraus doh eine komplexe Fnnktion : '

~ ( z ) = - W ~ ) = ~ . - i ~ v dd . . . . I (3)

I) Der Ueberatchtlichkeit halber wurden bier diese Bezelchnangen ein~~emhrt and im Folgendeo verwendet.

26 Band 9 Heft 1 Feb& 1929 Stein , Potentialtheoretisohe Untersuohnngen iiber Magnetielder

ableiten ltlflt. Es gilt dann fflr g ( z ) wie auoh fiir p(o,y) and a(z,y) die Laplaoe- ache Di~erentialgleiohnng: d g = 0 bzw. d p = 0 und d 9 = 0.

Innerhalb der Belegungsgebiete bingegen, wo stets rot @ = - 0 . 4 ’ ~ j ist, hat die Anfstellnng einer Potenttalfnnktion ~p (0, y), also anoh die einer komplexen Funktion 8 (a) keinen Sinn. Es bleibt nnr der Realteil (x, y) eindentig delniert und genw der Gleiohnng : L/ ?,!J = - 0,4 n i.

Deshalb beginnen wtr uberall mit der Bereohnung elementsrer Magnettelder, in welohen nur isolierte Wirbel vorgegeben sind. Sie erscheinen in der Bugebbenden kom- plexen Funktion f (s) als logarithmisohe Pole. Der Uebergang zn den Feldern verteilter Wirbdfltlnhen gesohieht durch Integration tiber jene Elemcntarwirbel. Sie ffibrt znnlohst anf die Felder von Wirbellinten, deren komplexe Funktion speziell mit b 8 (s) bezeiohnet werde. bB(z) let uberall im Magnetfelde bestimmt, wenn wir efnen Dorobgang dnrch die zugehiirken Wirbellinien anssoblieflen. .

Fiir die Fldfunktion p ( x , y ) gelten im Innen-, Buflen- und Zwisohengebiet ge- trennte analytisohe Ansdriioke p1, 91, $08, welohe insgesamt duroh folgende Uebergangs- bedingungen zusammenhtlngen : An der Eisenoberflliohe gebt die Tsngentialkomponente der Feldsttlrke @ t nnd die Normalkomponente der Indnklion stetig iiber, d. h. es ist:

$,tEiseii = @*Luft, g,,Eison = B,,Luft , also @,,Eisen = 1 @,Luft. . (4). P

Soll eine Flnfltunktion in einem abgesohlosseneu aebiete beslimmte Randbedingungen erfiillen, so ltl0t sioh das unter Umstllnden duroh geeignete Fortsetzung eneiohen. Eine solobe kann einer Wirbelverteilung anflerhalb des gerade in Frage kommenden Raames entspreohen.

Bei uns stelle die Grnndfanktion VO das Feld ohne Eisenkiirper dar. Wir nennen eo das Grundfeld. Unter Beriioksichtigung der vorgegebenen Randbedingungen trltt dann fiir das Fenster zu eine Zuaatzfunktion $1, deren Ansatz eine Polverteilnng an0erhalb des Innengebietes zngrnnde gelegt werden muB; d. h.

V 1 = 9 o + K , ‘ P a - Y 1 0 + 6 . . . . . . ‘ (51, wobei q a eine nioht im Auflengebiete liegende Polverteilnng bedentet. Die Flafifunktion 9 8 des Eisengebietes sohliefilioh besitzt ehe Polverteilnng im Innen- nnd Anflengebiet.

Fur die der FlnDfnnktion W zngeordnete komplexe Funktion gilt eine entspreohende Zerlegung; d. h. wir definieren im elementaren Magnetfelde die Qrundfnpktion fo (a) -und bilden fiir das Innen-, Anflen- und Zwisohengebiet die Funktionen:

f i ( z ) = h ( * ) + K ( f d , f p ( * ) = h ( z ) + f i ( a ) , f i ( a ) . . . . (6).

2. Fdd beim Kreirring. Vor der Behandlung der duroh die Abb. 1 und 2 gekennzeiohneten all- meinen Modellformen sol1 eine Beihe von allge- meinen Eigensohaften an dem einer msthematiaohen Behandlong besondere zngtlngliohen konzentrisohen Ereisringe (Abb. 3) entwiokelt nnd veransohaulioht werden. Hierbei gehen wir von einem elementaren

eine ehzige vom Strome J darohflossene Windung, welohe duroh einen positiven Pol im Innen- und einen negativen Pol im Auflengebiet vertreten wird, die beide a d der x-Aohee angenommen sind. pl nnd @a seien ihre Abstllnde vom Punkte M, R, nnd B bezeiohnen die Rrdien den Kreisringes. Seine AuJengebtef

3: Msgnetfeld aus nnd besohrtlnken uns zanliohst an! c

Iruaaozll Ebene sei dnroh z = 8 + i y = r eia gekennzeiohnet. I Dann lantet die Grandfunktion: Abb. 3.

fo (2) = 0,2 J b g (2 - 41) - log (z - pa)] . Wir entwiokeln diesen Ausdrnok in bekannter Weise im Gebiete el < /a1 < es in eiue Lsnrentsohe Reihe, welohe dort konvergiert, und setzen die oben eingefiihrten &&- tionen KI<Z), f a ( Z ) and f s (2) in entspreohender Form an, sohreiben also:

2bMhr.f. 8nRe.W. ~8th. mdMmh. 20 S t e I n , Potentleltheoretirohe Unterruohungen tiber Magnetfelder

m f i ( z ) = n ~ + c a m - z ' n . . . . . . . . . . . . . . . . . (7b),

111 = 1 m

ni=l f i ( z ) = ~ o l O g Z - t 2 r . . . . . . . . . . . . . . . ( 7 0 ) ,

(7d). " 1 g, f i ( ~ ) = ~ o + 2' y , * z " ' + & I o g ~ + X b m . 3 . . . . . . . . .

TI&= 1 m = l Diere Damtellnng kann anch folgendermden gedeatei werden:

Die Felder von t o ( % ) , K (z ) , 62) and .ji (2) Iarren rioh im Qebiete ~9 < ,zi C QI duroh eine Folge von in denspankten 0 nnd 09 gelegenen Ein- nnd Mehrfaobpolen er- aengen. Ee enthlllt nELmlich S. B. eine Funktion QO log 2 je einen einfaohen Pol in jenen beiden Pankhn, eine Funktion al/Z einen Dipol im Nnllpnnkt, eine Fnnktion blz einen gleiohartigen fm Punkte 0 0 , und ellgemein bedentet Urn/%" einen Pmfaohm Pol im Nnll- punkte, h,,, z"' einen gleiohartlgen im Punkte Q,,

Auhrdem bat jedee Qlied in den Reihen ( 5 ) dle Form: Urn = konet. %*.I E konet. prn e*iniB.

Damit hllngt es aeammen, daB man die Randbedingungen (4) bereits erltulen kana, in- dem man nnr je die za gleiohen Index m gehtirigen Glieder der vier Beihen geeignet eueammenfaflt. Die Eindentigkeit dieeer L6snng 1XBt doh mittels bekannter poteniial- lheoretisoher Metboden beweiren I).

Deehalb kennen wlr meere Unterenohangen im allgemeinen a d zwei Elementar- felder beeohrfbken, indem wir einen 2 m faohen Pol einmal in dar Innengebiet, daa rndere Mal in dae Anflengebiet legen. Daneben bedarl nur nooh daa erete Glied uo log 2 einer geronderten Betraohtung, da d i e m gleiohseiPg j e einen einfaohen Pol in beiden Be- reiohen enthlllt.

So wird zunllchrt das Feld eines 2m-faoben Polee im Nullpunkte mit der Gtrand- funktion u ~ ! ~ = ~ nach den (31. (6) apd (7):

I"

(8 a), . . . . . . . . . n., im Innengebiet dnrch: u ~ L = a, z" + - 8-

. . . . . . . . . . . . . im Audengebiet dnroh: ufil = $ (8 b), 8, im Zwisohengebiet daroh: u t i = /b 2'" -+ . . . . . . . . . . (8 0 ) 0"'

dargestellt. In reeller Form rohreiben rioh die zngehtjrigen Flnflhrnktionen : qtLl = u, r m COB m o + a, - r -m coe m o , ?p';l,= 7.. * rm 005 m O + 6, * r - m c o ~ m 0 .

w!?), = om - r-" 008 m 0

S h d nun @(r) and @(a) die Komponenlen der Feldntllrka in Richtong des Radlae and senkreoht dam, no lauten hier die Randbedingungen (4) ftir r = RI baw. 5- - Ra:

9y Shtigkeit von $~(~)=p"' d h. also: Stetlgkeit von @@) = - - etr ' 8 8 ;

Die vorstehenden vier linearem Gleiohungen ftir a,,,, @m, ym, d, Iken wlr naoh dieren (fr6Ben a d , eohredben zur AbkihnuIR:

. . nnd erhalten: 1

S W e R l e m m n - W e b e r , Frank-Mire#, DDle Diflerential- und Integr8lgleiohllaeen dor Yechanlk and P h y # W . Tell 11, 8. BbOi.

27 Rand 9, Heft 1 Febroar im S t e i n , Potentialtheoretirahe Untereuohnagen Uber Magnetfelder

Wir setaen diere Ausdrtioke in die G1. (8) ein und tlnden 10, fflr einen 2m-faohen Pol im Nullpunkte:

. . . . . . . . . . . . . . . . * (toa), J4 - 1 O n - C I m ' -

am

. . . . . . . . * . . * (too),

( l o d ) .

Fur ni = 0 gelten diere Qleiohungen nioht.

Die errtgenannten Ansdrlioke gehen a m dem Qrundfeld hervor, bedenten aleo eir,en 2 m-faohen Pol im Nullpunkte. Die sweiten entspreohen einer SpiegelUnR') diesee Q m d -

.feldes am Kreise m t dem Radius R nod enthrlten so einen 2 mfaohen Pol im Pnnkte 00. So erkennt man, da0 dar im Fenster erzeugte Clrundfeld teilr am Innenheis Rl gespiegelt wird, teils in das Eisen eindriagt, wo am Adlenkreise R, eine zweite Reflektion statt- tindet, nnd da0 nnr der nioht reflektierte Teil des Qrundfeldes in den Au0enraum ge. langt. Dam Eisen sohirmt also einen Teil den Qrundfeldes naoh a d e n hin ab.

Im allgemeinen ragen sie aus: Es erscheinea sowohl Qlieder rnit ehem Faktor a,,, l/an' a18 anoh rolohe mit a,, (2)"'.

Fiir die effektive Wlrknng von Beflektlon nnd Abrohirmung let in den ent- sprechenden Gliedern der Nenner N = 1 + 4 [I-($) ] (yF--k) ' , d. h. aber im

R an&

wesentliohen die Qr66e (" __ isB1) * p iiberall oharakteristisoh 3. Wir sehen ans ihnen, daS bei Vertaurohung p rnit l l p dsr MaB des Reflektion sein Vorzeiohen Ilndert. D. h. beim Uebergange von einem Qebiete rnit kleinerer PermesbiliULt nsoh einem solohen rnit griiderer, aleo z. B. von Luft in Eisen, muS rnit posltivem Vorseiohen gespiegelt werden, im ent- gegengesetzten Falle mit aegativem. Reflektion und Abeohirmung versohwinden fiir jedes y im Falle Rl = Ra und b d endlioher Breite des fieisringer fiir p = 1. Em ersoheint in allen drei Qebieten nur das Qrundfeld u::,. Der Fall p = 0 ist physikalisoh nioht zu verwfrklichen. Dagegen bleibt bei den praktboh vorkommenden Stlttigungegraden im Trsnrformator p im Eisen immer sehr gr00 gegen 1, ~odag im Falle Rl mit dem ideslen Grenzfall p 3 8 gereohnet werden h n and mar naoh (9), rnit um SO gr66erer Qenaulgkeit, je M0er m Ist. Der Grenniall p-+ 8 iet demnaoh Hir nns von ganz be- bwonderer Bedentnng. Fiir ihn beritzt unsere komplexe Fnnktion nnr im Innengebiet endllohe Werte nnd nlmmt dort gemiB Ql. (lob) die Form:

nr u(') ,,, - + a,". (5) . . . . . . . (1 1)

an.

von Inaen- und Aa0engebiet. den Glrenefell ,u+ ~0 a d die komplexe F'unktion:

Qenau entspreohender gilt, wenn der Pol im onenduohen liegt unter Verkurohung EE redusiert doh dann dse Feld den AnBeagebieter fiir

(12). R10 Ill

up,, (a) = bnZm + b, . (,) . . . . . . . . . In den 01. (7) ersoheinen auoh Funktionen a0 log z; 80 log B, welohe nooh nioht behandelt wnrden. Wendet man a d diere Glieder die Randbedlngungen (4) in derselben Weiae wie oben an, eo folgt fflr alle drei Gebiete:

UIO (a) = Uao (a) = (a) = & log 8 . . . . . . . (13). Dle Deftnition dar Yplegelung flndet man s. B. bei H u r s i t z - O o u r a n t , Vorlewngen Uber

Allgemrine Bhnktionentbeorie and elliptirobe Bhnktfonsa, 8. 337. 9 Vergl. aaob Frank-Hirer, Bd. 11, 8. 886 f.

8 tein, Potentlalthmretlsche Unteranchungen Itber Magnetfelder Ztschr.f.an Math.und&&. ew. 28

Mir die Felder der beiden a0 log z entapreohenden Pole im Nnllpunkte und im Punkte m iet also keine Sohirmwirkung des Eisens vorhanden. Wir erhalten ein reines Zirkulations- feld, deesen Feldstllrke mithin anf d e n Rande des Kreieringes konstant ist, tangential verllluft und welches von deeren Permeabilittlt p vollkommen nabhilagig bleibt. En untereoheidet sich demnaoh anoh fiir den Qrensfall p + ~0 nioht vom Grnndfelde.

Fa& man die GI. (1 l), (1 2) und (13) fiir alle m ensammen, setst tiberall 1 1 1 a, = - 0,2 J - - el", b, = 0,2 J - - In m earn'

so kann man sie summieren nnd erhlllt far ,u --t 00 :

and ebenso: fa(e)=O,2J[log(~-e~)+log(z-*)]+konst. e, . . . . . . (14b),

fa (2) = 0,2 J l o g z + kodnt. . . . . . . . . . . . . . . (14C). Diem Resultate fiir den Qrensfall p+ 00 gelten naoh den Superpositionegeeets

fiir jede beliebige Polverteilnng nnd gestatten folgende Sohliisse, die doh spllter auf allgemeinere Bereiohe Iibertragen laasen werden:

Qemllfl den Reinentwioklungen (14 a) kann man die Magnetfelder beim Kreisring in solohe, bei denen das Qlied 0,a J l o g a = a. log z auftritt, nnd in solohe bei denen es nioht vorhanden iet, d. h. in Felder rnit endlioher and mit versohwindender Polsummel) zerlegen.

Bei Feldern mit endlicher Polsumme in jedem Luftgebiele besteht das Eisenfeld nur aus dem reinen Zirkulatlonsfeld a log2 und iet ihr seiner Qr6De naoh proportional.

Die Luftfelder massen demnaoh an! dem Eisenrande eine konstante nnd der Pol- summe gleiohfalls proportionale Tangentialkomponente der Feldsttlrke beeilzen, da diem dort stetig in das Eisen iibergeht.

Bei Feldern mit versohwindender Polsumme in jedem Luftgebiete versohwindet auoh das Eisenfeld und in jedem Lnftbereich die Tsngentialkomponente der Feldstbke auf dem Rande. Er bildet also dort eine Aequfpotentiallinie. Diese Randbedingnng tritt hier an Stelle der Ql. (4). Ds in den Reihenentwioklungen ein W e d ab log2 jetzt weg- filllt, so erhllt man die analytisohe Duetellung der Luftfelder allein dnroh Spiegelung der im Innern vorgegebenen Polverteilnng am Rande [vergl. Gl. (14)].

3. Felder be1 allpemeinen ebenen Rabmenformen. Die Lllngrsohnitte dnroh den Rahmen eines Transformatore enthalten swei- und mehrfaoh zumammenhilngende Eisenberelohe (vergl. Abb. 1 und 2). Fiir die Bereobnung der sngeh6rigen Magnetfelder stehen prinzipiell versohiedene Methoden wr Verfiigang :

Sie k6nnen einmal wie am Kreisring ermittelt werden. Die dort be1 der Behand- lung der allgemeinen Aufgabe anitretenden PotAnmeihen zerfallen bei Zerlegong in Real- und Imagintlrteil in solohe VOD trigonometriachen F'unktionen. An deren Stelle miissen hier andere der jeweiligen Rahmenform angepaflte Eigenfonktionen treten, au8 welohen alsdann die gesnohte komplexe Funktion in bekannter Weiee konstruiert werden kann l).

Ein weiterer Lkungsweg k6nnte mioh daranf sttltsen, da6 die konforme Abbildong die Randbedingangen (4) unverlndert 1Llt. Man m u t e dann von einer Vergleiobsform ausgehen und 5. B. die f i i r den Kreisring bereohneten w e t f e l d e r , rowie die dort gezogenen Sobliisse ant alle die Qebiete tibertragen, welohe sioh an! seine drei Bereiohe gemeinsam konform sbbilden laneen. Nun ist aber eine Funktion, mit deren Hllfe die konforme Abbildung von Fenrter-, Aden- und Eisenranm eine Lllngssohdtteform, Ahb. 1, a d die entapreohenden Absohnitte der Kreieringes in eindeutiger Zuordnung geleistet

Polsumme entapricht dern msthematirchen Begriff *Summe der Reeidien., dem elektrotechniechen *Summe der Amperwindunaena.

a) Vergl. Bergmann. SUeber die Entwiaklung der harmoninchen Funktionen der Ebene und des Raumes nwh Orthogonalfunktionen.. Dissertation. Berlln 1922. Yathematirche Annslen, Bd. 86, 8. 283 f. - B e r g m ann , BUeber die Berechnung der Temperabrverteilang im Rotor einer dynamo mas chine^. Diese Zeitechr. Bd. 8 (1928), 8. 402 bis 418.

hand 9. Heit 1 Februar 19% Stein, Potentialtheoretisohe tfntersuohungen t i b r kagnetielder __ 29

wird, fur Bereiahe mit singolilren Bandpunkten, aleo e. B. fiir den rechteckigen Bahmen, Abb. 4a, nicht vorhanden'). Das Qleiche gilt natiirlioh fiir den Fall Abb. 2, in welahem Ltlngssohnittformen mit dreifach zusammenhtlngenden Eisenbereichen aufeinander abzu- bilden wilren. Auoh hier mtldten wir von einer nooh en wilhlenden Vergleiohsform ausgehen.

Wir besohrgnken uns deshalb von vornherein auf den Qrenzfall y -t - nnd iiber- tragen die beim Kretsring abgeleiteten Prhdpien in folgender Weise :

a) Auf dem Elsenrande ist nach (4): 9ffsen = 8pft. 9y mn9 stets endlioh sein, da in dem Luftranm nur endllahe Eliisse austreten

Dann geht aul dem Eisenrande wegen p + Q) die Normelkomponente der Feld-

Demnach rind die Cfrenren eines jeden Bahmens, Abb. 1 and 2, fiir das Magnetfeld des Eisengebietes als Fluelinien anzasehen. Diese SohluBweise setzt voraus, dai3 die am der Lult in das Eiaen etntretenden Fliisse klein sind gegentiber dem vollkommen im Eisen verlaufenden Flu6.

b) Wir schioken ferner den bekannten Salz aus der Potenttaltheorie voraus, naoh welohem die Geeamtintensitit einer in der ganzen Ebene vorgegebene Polverteilung ver- sohwinden, also z. B. im Falle Abb. 1 die Stilrke der im Innengebiet befindliohen Wirbel- verteilung entgegengesetzt gleioh der entspreohendeo des Adengebietes sein mu6 Dieser Sate deokt sich mlt der selbstverstilndlloheo Vorauesetaung, da6 wir es iiberall mit geeohlossenen Windungen en tnn haben, da6 also die ein Fenster der Abb. 1 und 2 passierenden StrGme durch das Adengebiet bzw. dnroh ein etwa vorhandenes zweites Fenster zuriickkehren miissen.

0) Fiir die Rahmenform, Abb.*l, haben das Ergebnis aus a), sowie der unter b) genannte Sate folgende Bedeutnng:

Das Fdd ihres Zwischengebietes ist seiner Stdrke nach der Gesamtintensitiit einer i m Innen- und Aupengebiet vorgegebenen Wirbdverteilung proportional und unabhtlngig von deren Lage.

Zur Erliiuterung des vorstehenden Satzes bemerken wir, daD zantlohst fiir den Kreisring in der Ql. (140) ein solohes Normalfeld existiert, indem 8s mit dem reinen Xirkulationsfeld 0,2 Jlog 8 identisch ist Es lL6t sioh alsdann mit Hille einer konformen Abbildung, welohe die Randfeldlinien ineinander iiberfiihrt , auf jedes dmoh Abb. 1 gekenneeiohnete Zwisohengebiet iibertragen 3, besitet dort also wie beim Kreisring die eingangs genannten Etgensahaften.

d) Fiir eine Rahmenform, Abb. 2 , also fiir ein dreifaoh zusammenhtlngendes Zwisohengebiet, lassen doh, wenn wir die unter b) nnd a) ausgesprochenen SfItze sinn- gemL6 erweitern, zwei voneinander nnabhllngige Normallelder definieren. Hierliir' legen wir z. B. eine Polverteilung rnit endlicher Gesamtintensittlt einmal in das erste, das andere Ma1 in das eweitb Fenster, wobei jedesmal die Qegenpole im AnBeogebiet ersoheinen

k6nnen.

st&ke ofisen = A B p -+ 0. P

ES kann also als Normalfeld beaeichnet werden.

Abb.-4 a. Abb. 4b.

(vergl. Abb. 4a und 4 b). Bus den beiden ,Normalfeldern k8nnen wir alsdann alle fiir p * im Xwisohengebiet vorkommenden Feldverteilnngen linear zasammensetzen. Von diesem aus der Potentialtheorie bekannten Satze hat bereft8 St. Bergmann bei der

'1 Vsrgl. C a rat h e o d o r y , ~Ueber die gegenseitige Beziehung der RILnder des Inneim einer Jordrnschen Kurve bei der Abbildung auf eilien Kreis..: Yathemuthische Annden, Bd. 75, €3. 805-320.

n, Den Beweie der elndentigen Exletenz soleher Abbildungen findst man be1 80 h o t t k y : SUeber die konforme Abbildung mehrfach zusammenhllngender ebener F1kahen.a Jonrnal far mine und angewrndte Yathrmatlk, Bd. 83 (187?), S. 300 f .

Xtacbr.tan ew. 30 Ste in , Potentialtheoretisohe - Untersuohungen Uber Magnetfelder Ab&.and&&. ._ - .

Bereohnung dee Magnettelden Im rechteoldgen Rahmen eines Dreiphasentransformators Oebrauoh gemaoht I).

e) Far &n p-fach zusammenhlingenda Eisengebid ld$t sich am Anschlup an die unter c) und d) gemaclbten AuafUhrPmnpn leicht die Exidem p - 1 voneinander unabhdlngker Normalfelder nachweisen , welche Ubrigens j e in mindestens zwei getrennten Luflbereichen liegen und dort eine von Null verschiedene Qaamtintensitdlt bedzen mtisuen. Dlese p - 1 Normalfnnktionen sind ein Analogon zn den n-Leiterpotentialen, aus welohen P l e m e l j *) die allgemeine Lhung der zn dem elektrisohen Felde von n getrennt liegenden Induktoren gehgdgen Integralgleiohnnng znsammensetrt.

FUr p = 1, d. h. in elnem einfaoh znsammenhtingenden Elsenbereioh dart naoh dem hier ausgesproohenen Satze kein Normalleld vorhanden sein. Da ngmlioh nar endliohe Fliisee ans dem Eieen in den Luftranm hinaustreten ktjnnen, so mu6 im ersteren fiir den Orenafall bi + 00 die Feldsttlrke iiberall versohwinden.

t) Mit den unter a), d) nnd e) detlnierten Normalleldern iet ant dem Eisenrande Qrisen iiberall beetimmt.

Naoh (31. (4) haben wir @risen = @yft zu retzen. Also ist auf der Qrenxe jedes Lnltbereiohes dle Tangentlalkomponente der FdlditLrke @Pft iiberall unabhilngig von der Laga der Pole im Innern vorgegeben. Diese Verteilang

von Qpft kann statt der Ql. (4) elne notwendige nnd hinrelohende Randbedingnog f l r die Felder dea Innen- und Anflengebietes bflden.

g) Die Normaltelder versohwlnden entipreohend ihrer unter a), d) und e) gegebenen Dafinition, sowie nnter Beriioksiohtlgang den nnter b) genannten &tree nur f l r den Fall, da5 in jedem Lnftbereiohe die Geeamtintensit#t der dort vorgegebenen Polverteilung den Wert Null besitzt. Dann ist naoh (4) ant dem Eisenrande @y = 0. Er bildet also eine Aeqnipotentiallinie des zogeh6rlgen Magnetleldes.

Deshalb ermoglloht die Zerlegung dee fiir einen Lnltbereioh gesnohten Magnetfeldes in ein Feld mlt endlioher and in eln soloher mlt versohwindender Qesamtinteneittit der Pole im Innern, in welohem also der Eisenrand eine Aeqnlpotentialllnie bildet, einen besonders einfaohen Uebergang von den oben am Kreisriog darohgefiihrten Feldbereohnungen zur Lasnng allgemeinerer Aufgaben.

Diese Eigensohaft nilpllioh bleibt erhalten, wenn z. B. dae im Feoeter elner all- gemeinen Lllngssohnittelorm, Abb. 1 und 2, deflnierb Feld a d das Innengebiet den Kreir- ringes abgebildet wird; d. h. das entspreohende Magnetfeld im Kreisringtenster ist ortho- gonal zur Eisenoberfltlche. Betne komplexe Fmktion enthillt also naoh den Austtihrungen auf Seite 28 neben einer Polverteilung im Innern nur deren am Rande gespiegelbs Bild. Das Qleiohe mu6 dann anoh fftr das Lnltgebiet, von welohem wir ansgingen naoh dem Spiegelnngsprinzip von B e r n h a r d R i e m a n n nnd H. A. Schware') gelten, wenn wir

die eben angegebene konlorme Abbil- dung riiokwtlrts verlolgen. Anoh hier werden so wie beim Kreiering alle Funk- tionswerte a m Bande mltgeepiegelt.

Ftir die Bereohnnng der unter o), d) und e) genannten Normalfelder iet be- reits von St. Bergmann') duroh die

Abb. 5. Abb. 6. Anfstellnng des Magnetfeldes eines reoht- __ ') 9 t. B e r g m a n n , BUcber dle Bestlmmung der Verzweigungspunkte elnes Iiyperelllptlschen

Iutegrals aus aeioen Periodicitltsmoduln mlt Anwondunpen auf dic Theorie des Tran8formators.c: Mathematisohe Zeitechrlft 1918, Bd. 19, 8. 8 f.

'1 P l e m e lJ , *Potentialtheoretisohe Untemuchungen.. Preisarbeit. Leipelg 1 9 11. P l e m e l j , mUeber lineere Rmdwertaufgaben der Potentialtheorie.* Monatshefte far Yathemstlk

wid Phystk, Bd. V (1904), 8. 379 f, 8. 889. 3, Vcrgl. HnrwItz-con ran t , BVorlesungen Uber allgepeine Funktionentheorle und slliptische

FunkLionen.* 8. 349 und 874. ') B e r g m a n n , PUeber dle Berechnong des magnetlmhen Feltleg in F.lnphasentrmeformatoren..:

Ztschrft. f angew. Math. n. Mech., Bd. V (L920), 8. 819 f. B e r g m a n n I SUeber die Beetlmmung der Verzweigungspunkte elnen hyperelllptlschen Integrah

nus seinen Perlodioitlltsmoduln mlt Anwendungen ant dle 'rheorie des Transformatore..: Math. Ztschrft., Bd. 18 (1923), 8. 8 i.

81 Band 9 Heft 1

eokf8rmigen Rahmenr mit zwei- nnd dreitaoh zusammenhbgenden Zwischengebiet (siehe Abb. 6 und 6) ein Beispiel geliefert wordeh. Diese Normalfelder nfmlioh kllnnen anoh nilherangawetee mit Hilfe von konformen Abbfldungen zneammengeeetzt werden, in welohen im allgemeinen nnr elliptisohe Funktionen auftreten ').

Die Berechnung der Eisenfelder in den meistens auegefibrten Rahmenformen (Abb. 5 und 6 ) ist also im allgemeinen geklllrt. Deshalb wollen wir une im Folgenden aut die Untersuchnng ihrer Luftfelder besohrllnken, deren Kenntnis anoh mr Ermittlung der Strenung ausreiohen wird.

4. Feld bei ebener Wand. Bei fast allen bisher veroffentlichten Bereohnungen des Magnetfeldes tm Luftbereich elnee Transformators 1st der Einflntl einee Sohenkels und seiner Wicklungen vernaohllssigt und stalt des anderen eine unendlioh grofle nnd ebene Wand betraohtet. Fiir diesen Fall sol1 hier die exakte Feld- berechnnng dorohgefiihrt werden.

Feb& iBa@ Ste in , Potentialtheoretische Untersuchungen Uber Magnettelder - - __

g e p< Wir besohrtinken nus auf den @

Orensfall pEisen+ 0 nnd stellen vorerst G -5 das Feld einer einzigen vom Strome J /

dnrohflossene Windnng auf, d. h. der Pole in den Pankten and [a auf l@@El

der Wand (siehe Abb. 7). Antlerdem denken wir nne voriibergehend das vorliegende Model1 ale Orenzfall einee Kreisringes mit unendlioh groflem Radius. Dementsprechend ergibt die Uebertragnng des Beweisee a d Seite 28, daS die Tangentialkomponente der Feldstllrke auf den Grenzen der einzelnen Bereiche konstant ist. Dann aber versohwindet ele, da des iiber den un- endlich langen Eisenrand erstreokte/.@ d 1 einen endliohen Wert besitzt (Amp eresches Oesetz). Mithin werden die beiden hftgebiete von Aeqnipotentialliiiien begrenzt und ibre Magnetfelder diirfen naoh der Sohluflweise ant Seite 30 (g) mit Hilfe des dort angegebenen Spiegelungsverfahrens ermittelt werden. So konnen wir ansere Untersuohnngen auf den reohts der Wand gelegenen Bereioh besohrllnken nnd dessen Feld duroh Einzelpolpaare naoh Abb. 8 darstellen, wobei die Ordi- nate dee Achsenkrenzes mit dem Eisenrande zusammenftillt. Die

der rechten bzw. anf der linken Seite Abb. 7. Alib. 8.

Y

znbehllrlge komplexe Funktion lautet : .x t

f ( 2 ) = - 0,3 J[Log (2 - 0 -I- log (2 + 411 . (15) . 4 + 4+f "&-

Wir schreiben c = t+i ,r und berechnen znnElchst das Feld einer zur Ordinate parallelen und znr 0-Aohse symme- trisohen Wirbellinie im Abstande E von der Wand mit der

(a. Abb. 9). Zn der entsprechenden komplexen Funktion b 8 (2)

geh6re die FlnDfanktion d p = Realteil { b 8 (z)}. Der Strom eines Streifenelements von der HShe d q hat die G r o h :

Lllnge 2 6, brw. einea Belegungestreifens von der Breite d 5 [ R ~ I

Abli 9 .

J = i . J S . d ~ l . . . . . . . . . . (1 6). Wir gehen wie in (3) zu der b 8 (2) entspreohenden Peldetllrkefunktion b @ (a)

iiber, nennen b 4. nnd b 8, die zngehorigen Komponenten der Feldstlirke, eetzen bei der Integration iiber q an8 Symmetriegrilnden fiir f den Wert von ein nnd bilden mit Hilfe von (16) nnd (16): ?p=+ a . d tb 6 (#)I- - a * -

- [ J f (4 1 b @(z) I b - i b P- 8 -- ~

d a d z , . . (17).

k bedeutet hierbei eine ganre Zahl, wllhrend wir unter den Arcustangenten Hauptwerte verstehen wollen. = 0 versohwinden mu6, so erhillt man k = - 1.

Dlese Zeltschr. Bd. S(19261, 9. 819f.

Da b & ant dem Eitenrande, 5. B. fiir

') yergl. B e r g m 6 n n , Ueber die Berechnung den magnetirchen Feldes in Elnphasentrrnsforlnatoren. *

Ztechr. t an bw. M S ~ . ~ a $ h ,

Die FluBfunktion v einer verteilten reohteokf6rmigen Belegung gegentlber unnerer Wand (Abb. 10a) lMt doh naoh Absohnitt f nur aderhalb der Belegangsflilohen ale Realteil einer komplexen Funktlon ermitteln. Deshalb aerlegen wir be1 der Darstellung von 9 innerhalb des Streifens - A C y < + 1 die Strombelegung entspreohend den Abb. l o b und 100 und ordnen ihnen baw. die Funktionen

Die einem Streifen dieser Belegungen sugeordneten Fanktionen erhalten silmtlloh sinn- gemllfl dieselben oberen Indioes I und 11. Alsdann bilden wir sunUohst ftir das Feld Abb. 1Ob mit Hilfe von (17):

32 $ t ei n, potentidtheoretisohe Untersuchutlgen tiber Magnetielder

und qr rm, d. h. yJ 3 7p + 9" . . . . . . . . . . , (18).

b (@ (2) = b 4' - i b 6: = - 0,2 i d 5 2 i lim

Ftir O < z < a : @ $ = O , y r = 0

Fiir a < z < b : @$ =/ b

Flir b < x :

\= X

- (z - a) 0,4 m i , I,V= - 0,4 n i. (.-')9

=/ b @$= - (b - a) 0,4 n i , ?,or = - 0,4 n i (b - u)[x - "'"1 2

a E=u

E=b

E=a

Abb. 108.

, (19).

f Y

8 Abb. l o b .

8 Abb. 1Oc.

Band 9, Heft 1 Febrnar 19% 9 t e i n , Potentialtheoretische Untersuchungen tiber Magnettelder 88

Die in den Gebieten y < - 1 und + 1 < y der Abb. 10 a giiltige Fludfonkt~on II, hat dann dieselbe Form wie ?pJr in (20).

5. Innenfeld b e h recbteck&jen !hhecht. Bei der Bereohnung des Mrgnet- feldes im Fenster eines rechteoklgen Rahmens (Abb. 5 und 6) beschrknken wir um von vorn herein auf den S. 30 (g) behandelten Fall, daB bet yEt8en-tm die Qe- samtinteneitiit der in jedem Lnftbereiohe vorgegebenen Polverteilnng den Wert No11 be- sitzt. Somit erhlllt man naoh 3s die komplexe Funktion f ( z ) des zugehtirigen elementaren Ysgnetteldes durch fortgesetate Spiegelung seiner beiden Pole [I and [S (siehe Abb. 11) an allen vier Reohtecksseiten. Die Pole [I nnd (9 bedeuten hierbei zwei von den Strtimen + J and - J dnrohflossene Windungen. Qleicherzeit mien alle Abmessungen an! die Fensterbreite D = 1 reduziert, so da6 seine Htihe den Wert

periodisches Polgitter (Abb. 12). Da alle Ehnktionswerte mitgespiegelt werden, so ist f (z) eine doppelperiodisehe Funktion mit einem primitiven Periodenreohteak von der Ltlnge 2 und der Hohe 4 1. Sie 18Bt doh aderdem aus

des Gitters (Abb. 12) liegen, linear miammensetzen. Als Logarithmen von Fnnktionen, deren Nullstellen in den Polen

verteilung die elliptisohen Thetafanktionen l) bekannt. Eine jede von ihnen besitet ein einfaohes Gitter von Nullatellen, von denen also in ein primitives Periodenreohteck (2,4?) immer nnr eine fllllt. Entapreohend der Anzahl der dort vorgegebenen Pole wllren deshalb mr Aufstellong von f ( e ) acht Thetafunktionen

X --c 9 I annimmt. Duroh die Spiegelung entateht efn doppel- - 1 - - -

/ ,'

f ,'/ / / ,, ,, , 1 solohe sind uns mit Hinbliok ant die Periodtzitlt dieser Pol- Abb. 11.

notwend&

Q 0

D Q

0

tztkt"

e m o

Q

0 0

Q 0

E

0 m

m m

Abb. 13.

E) m

0 0

0 0 .

3 - -

d 0

C 8

Diese Zahl lldt sioh auf die HUfte reduzieren, wenn nur Felder von zur xAobae syrnmetrisohen Belegungsfllchen (Abb. 15 a) bereohnet werden. Dann dtirfem wir nlmlioh In f ( z ) mit 51 nnd & mlt (3 vertauiohen, ohne das Reedtat der naohfolgenden bte- grationen zu verbdern. Die 80 definierte neue Funktion von f(z) beeitst ein periodisohes

') Siehe Kraase , DElllptlaoho Funktlonenc 9. 32.

a

ztaohr. f. 3'4 & & ~ ~ ~ ~ ~

Polgitter (Abb. 13) und bat f i r uns nur mathematisohe, nioht aber physikalisohe Bedeu- tung, da sie die eingangs gestellten Randbedingungen nioht mehr erftillt. f(r) bleibt eine doppelperiodisobe Funktion, jedooh mit einem primitiven Periodenreohteok von der Lnnge 2 und der H8he 2z. Es ist also halb so hooh ale in Abb. 1 2 und enthnlt demgemtLl3 nur die vier Pole in den Pankten 51, (9, 1 - 51 nnd 1 - 5 3 . Dementspreohend lllst sioh f(z) aus vier Logarithmen j e einer Thetafunktion linear zusammenietzen. Es liegen nnmlioh I) in den Periodenpnnkten [I+ 2 p + 2 k i 4 die Nnllstellen der Funktion 61 (" ,+ in

a ,z), in 1 - [ 1 + 2 q + 2 k i . r jene von 8 8 '+& ( a 97) [ ~ + 2 q + 2 k i i jene von 6, 3 und endlioh in 1 - (3 + 2 e + 2 k i I jene von %, r -- > ", z). Hierbei verstehen wir nnter I) :

S t e i 9, Potentialtheoretisohe Untersuohnngen Ilber Magnetlelder

m

W=l 61 (0 ) = 2 cq'/a sin II v (1 - q2x e2ine) ( I - qax e-2ina) . . (21a),

wobel (210) q = e--nr = e-n t / D bedentet.

j ( z ) = 0 , 2 ~ [ l o g . 8 1 (.1,k,z)+lOgea (j-,?) a + 51 - logf i i ( -~ ,~) -1og8a c - 59 (7-,i)] a + 53 (22).

Unter Raokkehr en den wirkliohen Dimensionen (Abb. 15) ersoheint QI. (22) in folgender Gestalt:

Aus diesen Funktionen bilden wir :

f) = 0,2 J[log%, (-ZD, a - 5 1 k) + log 6 3 + A , 2 0 D

- log (114, ;) - log @a (-+3, - ')] . . . . (23).s) 2 D 2 D D

Wir setzten 51 = & + i q 1 : (8 = ts + i '13 und bereohnen nun- mehr das Feld zweier 5ur y-Achse paralleler und 5ur 3c-Aohse sym- metrtsoher gleiohlanger Belegungs- streifen (Abb. 14). Die Breite des einen set A & , die des anderen d , wlhrend ihre Stromdiohten il , bzw. - 3 io *) genannt sein sollen. Da naoh unseren Vorsussetzungen

2 die Summe der Strombelegungen versohwinden muB, so folgt fiir den Strom J einem Streirenelementes :

J= i l - d t1 Jg - !!! d & - d g (2 4). na

So kann die Funktion f ( z ) aus 01. (22) einem aus den beiden Streifen ansgesohnittenem Elemen- tenpaare zogeordnet werden, wel- ches dieselbe Ordinate t /~ = gr P g besitzen SOIL Weiterhin gehihe za den beiden Belegnngsstreifen Ab- bild. 14 die FluBfnnktion bq, die

na

I Ahb. 14.

I ) Siehe Krause , *Elliptiache Funktionen* S. 29 f. Dar immer glelchbleihende Periodenverhilltnlr t /D geben wIr in den spllteren Funktionen nicht

beronders an. '1 Der Faktor taihs, das VerhLltnls der den 8trombelegungcu zngcordneten Windungszahleu ni

rind "1, wurde hlnzugelllgt, urn spllbrhln nlle Funktlonen glelchmKl3lg auf elnen in den Wlndangen fileBenden Strom 1 redoderen zu kdnnen.

95 Band 9, Heft 1 Febrnar 1929 Stein, Potentialtheoretisohe Untersuohungen Uber Magnetfelder

komplexe Fuuktion b 8 (2) und die Fnnktion b (2) mit den beiden Komponenten der Feldstllrke b.& und b@,,. J n diesen Bsbmen erhlllt man aus den (31. (3), (23) und (24):

?-+*

b (3 (2) = b @* - i b 4, = - id )J ’ j (s ) l = 0,2

+ log 6, r*u) -log 6 1

a s 1D

(25).

1 sLrombe/euunu 7

2D 2 0

2 0 ’ 2 D

Y Strombe/egung 2 SfrornMegung Z / Stmmbe/eguQg I

firombe/egung 2 I ,/ Strombe/egung 7

Abb. 15b.

\ 9romde/egung 7 Abb. 1 5 0 . Strombe/egung t

Die Fldfunktion p zweier rechleok- f6rmiger Belegangsfl&ohen (Abb. 15 a) iet wieder nur auBerhalb dieaer Gebiete als Realhi1 einer komplexen Funktion dar- stellbar. Deshdb zerlegen wir zur Auf- stellung von p im Streifen - 1 < y < + I jene Btromflltohen in ewei Reohteoke von der Fensterlltnge 2 t (Abb. 15 b) and In den Rest Abb. 150 und ordnen ihnen bnw. die Funktionen und q r r zu. Es heiBt also fih - I < y < + I :

l,O = W r + q z r . . (26). Die Funktionen der den Belegungen Abb. 16b und o entspreohenden Elemen- taratreifen tragen dieselben oberen In- dines I und 11.

Flr die Bereohnung von qr, d. h. der Feldee Abb. 15b, ersetzen wir in (25) u

8.

ztrahr f. 36 mth. b ~ d m

duroh t. Dann ist auf G r n d der Darstellung (21) tiberall b @*I = 0 und alle Logarithmen verrohwinden bin auf eine additive Konstante. 2 k i n. k bedeutet hierbed eine ganze Zahl. Nun steht naoh den eingangs gestellten Randbedingungen unser Magnetfeld senkmoht ani der Einenoberflllohe, d., h. es ist a. B. fiir a = ]Ir, b @ I = 0. Folglioh wird k I 0. Beim Durohgang duroh die Belegungsstreifen in Riohtung der negativen PAohse Wlldert sioh die y-Komponente von b 6 um - 0,4 ni l d &, bzw. + 0,4 n i, d &.. Deshelb ist naoh (24) ewisohen ihnen, d. h. ftir 5 9 < x < 51 : b @,F= - 0,4 n i, d 51 I - 0,4 n i, d t a , und far. - l/2 < x < 5 2 , b @y' - 0. Wenn also swei reohteokftirmige Belegungsslreiten die LUnge des Transformatorfenstem besiteen, so ereeugen sie in den ewinohen ihnen gelegeoen Bereiohe eln reinen Parallelfeld, welohes im tibrigen Teile des Luftraums ver- sohwindet.

8 t ein , Pohntidtheoretlsohe Untereuohungen tiber Magnetfelder

w

DemgemllB sohlie6en wir (vergl. auch Absohnitt 4)

(37). I Die bei der Integration iiber @f auftretende nnbeetimmte Konstante ist hier duroh die Forderung

Bei der Bereohnung von fW, d. b. des Feldes Abb. 15 c im Streifen - 1 < y C + I wird une die Darstellung dadoroh erleiohtert, daB b wr ( Z ) naoh (96) linear in ewei gleiohe Funktionen eerfilllt, von denen die eine nur von der Belegungsvariabeln 51, die andere nur von 5% abhllngt. Es geniigt also, alle Rechnnngen fiir den einen Summanden alleln duroheufilluen, welohem wir in allen seinen Teilen dm Zeiohen a beilegen wollen. Diem Zerlegung kann nur formalen, nioht aber physikalisohen Charaktar tragen, da die mlt ihrer Hille der Belegung a, deren Stromsumme j a von Null verschieden ist, zugeordneten Funktionen b pr, b @f und ~ 1 : die eingangs vorgegebenen Randbedlngungen nioht er- llillen. Jm Besultat dagegen stellt:

= 0 ftir x = bl festgelegt worden.

pII-qy-% v r . . . . . . . . . (28), np

fiir - l < y < + A die Finflfunktlon den Feldes Abb. 150 dar. Demnaoh iat naoh (45):

I (?S).

AuBerdem verrohwinden in ( 2 9 ) mf Urnnd der Darbtehng (21) die emten vier von t abhllngigen Ulieder. FIir die restliohen vier QraBen bilden wir z. B.'):

e . $1, log 91 (v) = log ( i-) f i n v +log ( I - e T * i T a0 m - * (301, + 2 log (1 - $2 x e e i i r ~ ~ ) + 2' log ( 1 - 4a I @ i x c) .

x = l x=L

wobei fitr die folgenden Entwioklungen log sin n v 80 eu eerlegen ist, da6 leFaio/ 5 1 wird. Die Argumente der Thetafunktion in (29) lessen an6erdem erkennen, da6 i m Be- reiobe des Fensters und fiir x > 0 tiberall ' q a K e* < M < 1 i6t. Fur das Qlied e * g f x r eel das Zeiohen w eingeliibrt. Unter diesen Umetgnden kBonen wir fur die Lo-

]) Slehe KFtIIIee, Elllptfeche Fonktlonen, 8. ss.

07 Band 9, Haft 1 Febrnar 1 % ~ 6 tei n , Potentialtheoretisohe Unbrsuoliunren fiber Mmetfelder

garithmen ihrer Beibenentwicklnngen verwenden, und diese sind anoh integrabel. So bildet man zuo&ohst far das erste Glied ans (30) in bekannter Weise log (1 - uv) = - 2 -

n=l m und erhlllt aus ihm bei der Bereohnung von vpf Integrale von der Form:

00

l r o U'd

Die Summe nnter dem eweiten Integral konvergiert fiir w C M < 1 gleiobmllBig, drrf also dort gliedweiee integriert werden. Wenn dagegen !w1 den Wcrt 1 annimmt, was fUr einige Qlieder von ( 2 9 ) zutrifft, so zerlege man:

Mithin gilt mit Einsohlu6 von ,u*i -- 1: 8 1

Die letzte Reihe konvergiert nunmehr fur (to1 5 1 gleiohmllfiig. Die nnendliohen Reihen aus (30) konnen daroh Entwicklnng der einzelnen Qlieder

und Umordnnng in bekannter Weise in folgende- gleiohmih3ig konvergente Reihen nm- geformt werden I):

Wir setzen weiterhin als bekannt voraus, daf3 gleiohmEBig konvergente Reihen glied- weise rddiert und beliebig oft integriert werden diirfen, and bilden von (29 ) nnd (So) snsgehend fur - A < y < + I:

E a = h a Ea="a

~ 7 : = [ b ~ 1 , = / Realteil ) i J' b @f ( z ) d 21

Ea=<r, €,=cia

i r Die Fla6funktione1.1 p' aus (27) und pa aus (31) liefern in der Verbindung:

!lJ = !lJr + (vr" - !!! VY") . * . . . . , . . (3 9) (19

eine analytisohe Darstellung des gesnohten Magnetfeldes Abb. 15 a im Streifen

Um das gesamte Fenrterfeld zu erhalten, reioht en wegen der zur z-Aahse symme- trisohen Anordnnngen am, die FluSfunktion v nur nooh im Qebiete + L < y < t zu ent- wiokeln.

- I < < + 1.

Hierfb zerlegen wir in gleioher Weise wie oben VI anoh:

y = 91 - "1 9 2 . . . . . . . . . . (33), n1

~

'1 Slehe Krauae , Elllptfsche Funktionen, 8.88.

Ztachr. f. anuew. 38 Stein, Potentialtheoretiache Unterruohungen fiber Magnetfolder Math. Illld Meoh.

11 I - ( - l ) " ( s i n m ~ ( ~ + b a ) - ~ i n m - f ~ + a a ~ 9c +konet. D

wird. 11. Berechnnng d e r Strenung.

1. Definitlon der S t r e u w aw den Tranrfonnator&ichu&en. Der tech- nische Traneformator ist in errter Linie dazu beetimmt, eine Weohselspannnrig in einem mogliohst feet vorgegebenen Verhlltnie zu verllndern. Die Uebersetzang vermittelt bekanntlich . der reaultierende magnetisohe Flnfl @p, weloher von den in Primlr- und Sekundlrwioklnng flieflenden zeitlich verllnderlichen Str6men J1 nnd Ja beriihrt. L1 und & ltind die- Selbstindnktivitltten, M- die Qegenindnktivitllt, n1 nnd nl die Windungezablen dieeer beiden Wioklnngen. Unter der Annahme einee Idealfalles, daB fPp slmtliche Windnngen des Transtormators gleiohmlflig durohsetzt, etehen bekanntlich die primlren

1 und sekund€lren Klemmenspannungen El und & in dem festen Verhlltnir -.L = 3. Dle E2 na

Induktivitlten in dem feslen Verblltnie: L1: M: L, I nla: nl no : 113'

Wenn dagegen fP, nioht gleiohmilBig mit allen Windungen verkeltet ist - dieser Fall 8 1 allein ist physikaltech zu verwirkliohen -, so wird das Uebereetzungsverhltltnis - > 3 Ea n2 '

d. h. 8 s findet ein Spannungeverlnst etalt, welohem man mit Streaepannnng beseiohnet. Zu ihrer Daretelltug gehen wir von den elektrircben Gleiohnngen decl Transformators ane, wobei wir unter Vernaohllrsignng den 0 h m sohen Spannungsabfallee infolge Wioklungs- widerstandes, von Hyeteresirverlurten ' eto. Strom- und Spannungsknrven a h siousf6rmlg annehmen kBnnen nnd unter a dle Winkergesohwindigkeit der entsprechenden Vektoren im Kreisdlagramm verstehen. Dann fst:

El=i (uLIJl+i (udZJl . . (36a); E , = i m M J l + i ( u b J y . . (36b). Durch Elimination von J I bezw. Jg bildet man hieraus:

. . . . . . . . . (35).

In diesen Gleiohnngen !a& man: Ma

Ll - - = sI 4

111%

ale die anf den Sekundlrkreis bezogene Cteeamtclbreninduktivitlt auf, worane nnmittelbar die Beriehung

. . . . . . . . . . (37a)

ale die auf den Primlrkreis bezogene Oesamtstreuinduktivitilt, =Sjr .(37b) . . . . . . . . . L-LI

(38) = SJI . . . . . . . . . . . . L1

folgt. Dann gehen die aus den Ql. (38) nnd (37) herzuleitenden Relationen:

El - - Et = i 0) 81 Jl = E81= prim& bezogene Streuspannung . 45%

El = i (u S J ~ Jy = EUII = eekundltr bezogene Streaspannnng dl w-- Ll

I . (39a),

(39 b)

in zwei versohiedenen Formen ein Mlrg far den geramten Spaanungsverlurt im Transformator.

Baud 9 Heft 1 Feb& 1829 8 t e i n , Potentialtheoretisohe Untersuohungen Uber Magnetfelder 39

Far das Verhaltnis zweier Ioduktivittiten kann beim teohnisohen Tranrformator immer die 01. (35) ale N&herungewert eugrundegelegt werden, soweit nioht gerade naoh den Abweiohungen von diesen QriiSen gefragt wird, die fiir die Streuung mdgebend rind. So folgt zuntichst aus 01. (37):

(4 0). SI - - SIX I ) . . . . . . . . . . . nir n 2

Wir zerlegen ferner die Qesamtstreninduktivittiten SI nnd SIX in die bekanoten primlren nnd sekundiren Einrelinduktivitllten :

ni . . . &=&--M ns .(41b), ni ni

S , = L l - - M . (41s). . . . bllden also:

wobei freilioh dieser Zerlegung infolge Einfiihrung des Faktors "1 eine gewisse Willkiir an hafteta).

Die Bereohnung der Strenspannung iet nunmehr identisoh mit der Herleitung der Ioduktivittiten SI, SrI, Sl und Sa ans der oben entwickelten analytisohen Darstellung von Magnetfeldern. Sie wird sloh im Gegensatae zu vielen anderen die Strenspannnng kennzeiohnenden 01 oflen - ioh erinnere nnr an die versohiedenarttgen Kopplungs- und Streafaktoren - als besonders einfach erweisen.

2. Zurammenhan& zwirchen StreuSndukiSvitiit und Ma&neifeld. Die Strea- induktivitliten SI, 811, 81 und SP seteen sioh nach den 01. (37), (41) und (43) aus L1, L.1 nnd M, also aus FluSverkettungen zusammen. Demgeml0 besohtiftigen wir uns mnllohst mit der analytisohen Darstellung von FluSverkettungen speziell ebener Magnetfelder.

Werden zwei Spulen a und $ mit den Windnngsrahlen na und np betraohtet, so verstehe man nnter v a p = L a p Ja die Verkettung des Flnflbildes @a, welohes von einem duroh a gehenden Strome J a erreugt werde, rnit den Windungen von 8. Duroh die Flllohe ihrer i - ten Windnng striime der Flu6 a;). Alsdann bilde man definitionrgemB6:

nr

In den von uns behandelten Spulenquersohnitten (Abb. 10a und 16a) sollen die einzelnen Windungen gleiohmllg in Riohtnng der x-Aohse den Abstand Jx, in Riohtnng der y-Aohse den Abstand d y von einander haben, was eine homogene Stromverteilmg bedeutet. Aulerdem sei Fp die stromdnrohflossene Qnersohnittsllllohe von 8, und es folgt:

(44). . . . . . . . . . . . J ~ * d p = FP - nP

Wir erweitern (49) mit d x d y und erhalten:

Man laare jetzt d x und d y gegen Null gehen; d. b. es werden die Liioken zwisohen den einrelnen Drlihten infolge ihrer Isolation vernlohltissigt. Der hierbei gemaohte Fehler 1st bereits von Rogow s k i ') abgesohatzt und als unwesentlioh erkannt worden. Wir stellen uns demnaoh aui den gleiohen Standpunkt. Also ist der Qrenziibergang gestattet:

Fp

-~ ~-

'1 Das Zeteben - bedeutet hier xaiiullberud gleicli*.

'I Vergl. H e m m e t e r , ~ Z u r Klllroilg lies Btreubegrlffeaa.

Es wird im Folgeuden da, WCI keliie

Archiv for Elcktrotechiilk 1927, S 36 1. Siehe R o g o w s k i t BUeber das Streiifeld uiid den Strcuitlduktlonskoefizienten eines Trans-

Vsrwecbslung entsteheii kaiin, wieder dorch = ersetat.

forinntors mit Scheibenwickloilg mil geteilten Endspulen.. Diseertation, Daneig 1908, 8. 27 f,

2tPahr.f.m ew. MaU.nnddeech.

Unter @a verstehe man im allgemeinen den die Windungsllllchen durchsetzenden Flut3. Statt dessen werden wir bei der Bereohnnng von % p auoh von dem Iquivalenten anfien znrlickstr6menden FloB ansgehen kgnnen, der e!ch dann entweder bis ins Unend- liche oder bie an die Cfrehzen eines geEOhlOES0nen Flnflgebieter hln erstreokt.

SchlieDlich geht durch die Einheit der vom Strome 1 darchflossenen Qoerschnitts- flilche F a der Spule a der Strom:

S te i n , Potentlaltheoretische Untersuchungan Uber Magnetfelder __- 40 .~___.__

weloher mit der Strombelegung pro Fllcbeneinheit der unter I behandelten ebenen Felder identisoh ist.

Wird der eingangs genannte Strom JU = 1 gesetzt, 60 gehen die Flufiverkettangen in Induktivitllten iiber. Im Ranme besitzen sie bekanntlioh die Dimension em. Deshalb sind alle an6 unseren ebenen Feldern herzuleitenden Gelbet-, Qegen- und Streoinduktivi- tllten pro Lnngeneinheit einer senkrecht zur 2- Ebene stehenden Achee dimensiondose Gr66en, welche wir hier duroh die Zeichen Zap, 81, 4, SI und 8rr von den im Raume definierten Elementen L a p , 81, &, 81 und SII unlersoheiden wollen. lap bedeutet hierbei die Verkettnng eines ebenen vom Slrome JG = 1 erzengten Flnflbildes pol mit den Win- dangen von /?, wobei fiir uoeere Rechnongen vcl der Strombelegung a nur formal zu- geordnet zn seln brancht (vergl. (28) und (339. Es laotet also an! Cfrnnd von (52):

Mit diesen Hllfemitteln konnen wir die Streuinduktlvitllten magnetisch in zweierlei Form definieren.

Wir verstehen erstens in der iiblichen Leerlaufdefinition unter 81 = L1 - - M

die Verkettung des PrlmIrflusses @I, weloher von dem PrimIretrome 1 erzeugt werde, mit nI vermindert um selne mit !? reduzierta Verkettnng mit n p . R i r bilden also unter

111

n2

no

VergroOwung von um eine beiiebige Konstante C rnit Hilfe von (16):

. . . (49).

[: L[(@I + C) dz d y] - :: [ z JJ @I + C) d r d y]

= [ :l\ @, d o d y: - [ JJ 01 ds d y] = HI

r; ,i

4 F. Eine zu @I hinzugefiigte Konstante liefert also keinerlei Beitrag zu 81; d. h. es ist ooll- kommen gleicbgiiltig, von welcher Fiufllinie an6 wir @I messen. Wir konnen sie demnach beispielsweise zwieoben Strombelegung und Eisenraod legen. Dann aber erscheint ein Beitrag des im Eisengebiete selbet liegenden Magnetfeldes nioht in der Rechnnng; d. h. 81 und 82 konnen allein aus Form und CfrBfle der Lnftfelder hergeleitet werden nnd sind gegeniiber allen llhnlich deflnierten Streuindnktivitllten, in welohen jedoch M mit einem anderen Faktor als mit 9 reduziert eraoheintl), die einzigen, welohe von der CfroBe des

ns magnetischen Flosses im Eieen nnabbllngig sind.

Naoh einer ZweitenBetraahtungeweise, and zwar in Gegenschaltung naoh Rog o w 6 k i 9),

ist SI = LI - 3 M die Verkettung der eben eingeliihrten Primilrflnsees @I mit ?zl vermehrt,

um die Verkettnng eines Sekuodllrflusses @,, weloher vom Sekundilrstrome - 3 herriihre,

ebenfalls rnit nI; d. h. im resoltierenden hlagnetfelde jener beiden Str6me ist die Summe aller Flufiverketlungen mit nl ein Ma6 far 81, jene rnit ns ein Mafl fiir -382.

na

na

w

l ) Vergl. e U. H a l l o , *Selbst- und gepenseitlpe Induktionr. Elektrotechnik uud Mnschiiiru bau 1914.

a) Rogowski und S l m o n s , *Die Streuuug be1 Wechselstromtrmsformatoreii und Kommutatoren~. Elektroteahniscbe Zeltschrift 1908 und 1810. R o g o w a k i , *UebfJr daa Streufeld und den Streuinduktlons- koefflzienten eines Translormatora rnit Scheibenwicklnng nnd geteilten Endspnlena. Disaertatlon, Dan& 1908.

41

Znr gesoaderten Bereohnnag von SI und Sp nach diesem Verlahren wbe, sofern wir von dem au0ea zurbkstrtimenden Flume auegehen, die Kenntnis der Greazlioie G notwendig, welohe die nl und 113 j e ummohlieBeaden Flarse von einander treant. G h b @ 60 auoh vom Eisenfelde ab und diirfte meimtens sohwer beetimmbar sein. Dagegen zei- gen wlr sofort, dad die Oesamlstreaolng hiervon nnabhlingig bereohnet werden kaan,

Band 9. Heft 1 Febrnm 19% 8 te i n Potentialtheoretisohe Untereuchungen iiber Megnetlelder

Abb. 16.

indem dann die Fliiese von einer beliebigen Feldlinie, z. B. von GI aus gezlihlt werden diirlen. Man vergleiohe znr Erlllnterung Abb. 16. Dort imt niimlioh eine G+egensobaltnng, und zwar das ebene Msgaetfeld den Rahmens Abb. 5 mlt zwei von den StrtJmen JI- 1

nnd JJI =- 60

verslehen wlr nnter @s1 den von G sos gemessenen nl darchsetzendgn primitrea Streo- flu% und nnter IPS, = SI mehe Verkettnng mit nl. der seknndllre Streuflul # 8 3 und die Verkettung 1lJSa = - 3 8,; nod -2 sind die analogen von GI aus gemessenen Verkettungen. @r eei der zwisahen G und GI stromende magnetimohe FiuD.

durchflossenen Spulen von reohteokformigem Quersohnitt skiaziert I). no

In gleioher Weise gehtire za

w

Dann folgt mit Hilfe von (46): - FSI = 3 f/(@sl + @ r ) d x d y = V'sl + nl @ r = SI + nl @rl

F1.

V ' 3 = 3 (@sa + @r) d z d y = 'l'ss + n* @ P = - !!! $8 + n s @r, - F9 ?f ?'a

F¶ Hleraur erhlilt man:

__ ' I r & - ?! = 71Esl - !!! 'crs, = Sl + - ,?$ = SrI q - e d . . . (50 ) .

na "9 w' Die let& Zeile liefert nns nunmehr anob far die Oesamtstreuinduktivitllt SI = 9 Sir

eine uamittelbare magnetisohe Definition. Danaoh last s16h nhl ich S, aus der Verkettung von OBI mit 711 und aus der mit -9 rednzierten Verkettnng von @.YS mit n) linear zusammensetzen, wobei 0 8 1 und @s9 von ein und derselben, im iibrigen aber beliebigen FlaDllnie ~ U E gezllhlt werden.

sohliellioh iet f i r nns von besonderer Wlohtigkeit, dafl iiber die in pa anltretende unbestimmte Konstante bei beiden Bereohnungsarten der Strenung nsch Gntdiinken ver- fit@ werden dart.

'1 HierfUr bildeteu dim welter unten in Abb. 24 koustruierto Feneterfeld uud allgomein, eoweit ea ohne grt)Eere nummerlaohe Rechnongen mUglioh wml dle in I 4 und 6 abgeleiteten FlnBfiuklionen eine Qrondlage.

nag

na

_ - ~

Zteahr.f..n w. S t e i n , Potentialtheoretische Untereuchungen fiber Magnettelder ~ - Idath.andff&, -. - - 48

r"- %jimim Abb. 17.

Mit den hier entwickelten Methoden werden im Folgenden die Streuinduktivitlten der nnter I 4 and 6 behandelten Modelle ermittelt.

3. Sfreuung bei ebener Wand. Fiir den Antoil des Audengebietes eines Translormators an den Streuverkettungen legen wir das Magnetfeld bei ebener Wand aus I 4 zugrunde. Lage und Abmessnngen von PrimPr- und Seknndlrwicklung werden alrdann von Abb. 17 veranechanlicht.

Der Zerlegung einer Flndfnnktion w in W' und W l r [deb0 01. (18) und die Abbildungen lOa, b, c] entspricht eine gleiohartige der Elemente I , 3 (48) and der Streuinduktivitlten s mit denselben oberen Indiees I und 11; d. h.

Alsdann folgt allgemein : s=s'+s" . . . . (51).

Bei Berechnung der dem Teilfeld (Abb. l l b ) entnprechenden StreninduktivitPten sr bildet man e. B. mit Hilfe von (19) und (48):

FI +-x Z I I ~ = " ! / ' d a : J d y g l 1 = - 0,4nljl d l 8 -; usw.

F1 . 6

and 8s folgt auf Grand von (47) und (52): n12 Ja A 2

slr = - 0,1 n - . . . (53b) ,

, (530).

Die Bereohnung der aus dem Teilfeld Abb. 10 c herialeilenden Slreainduktivillten .+I

rednziert sich in der Hauptiache auf die allgemeioe von l$ Hierfiir bildet man nach (48): hQ + A

selzt Iiir vy den Wert aus ( a o ) ein und erhltlt BO Integrale folgender Art I ) :

+ A .bp "P - I

= f 2 - [ ( 1 f i ( Z f a ) ) ' 12 I log ( I f i ( zz tu ) ) - ' /~ ) ] - A I u p

Zu ihrer Zueammenfassung sei die gerade Funklion: 1 G(v) = G(- u) - (v4- 6va + 1) log (1 + va) -I- u4 log - - 8 u ( 1 -v') arctg u (55)

v3

definiert, deren Werte aus der. beigeftigten Tabelle entnommen werden konnen. Dort slehen neben G(u) in derselben Zeile zur Interpolation die erstcn Differenzen d G(r ) .

Diere Hilfemittel erlrrnben u s , doe Reeultat der Integration in (54) nach Einfuhrung von (20) auf folgende Form zu bringen:

Analoge Foqneln findet man far ein Ilhnllchee Yodel1 wie Abb. 17 be1 J. B i e r m a n n , Ucber- str6me in Hoohapannunpanlagen, 8. 340 C.

43 Band 9 Heft 1 Feb& lg28 S t e i n, Potentialtheoretische Untersuchungen Uber Magnettelder

0

0,oo 0,Ol 0,02 0,08 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0 ,OD 0.10 0,11 o, ia 0,13 0,14 0,15 0,16 0,17 0,18 0,19 o,ao o,a i 0 3 2 o,a3

o,a5 o,ae o m o,a8 o,a9 0,SO 0,3 1 1-432 0,33 o,34 0,85 0,86 0,87 0,88 0,39 0,40 0,4 1 0,42 0,43 0,44 0,45 0,46 0,47 0,48 0,49

0,24

0,so

a w

- 0,00000 - 0,00070 - o,ooaeo - 0,006a9 - 0,01117 - 0,01744 - 0,02507 - 0,03407

- 0,05611

- 0,08844 - 0,09906 - 0,11595 - 0,13409 - 0,15847 - 0,17407 - 0,19586

- 0,0444a

- o,n69ia

- 0,11882 - 0,a4994 - o,a6818

- 0,8a104 - 0,29452

- 0,35040 - 0,37989 - 0,41088 - 0,44183

- 0,5075 1 - 0,54168 - 0,57670 - 0,61253 - 0,64914 - 0,68651

- 0,47431

- 0,7345s

- o , ~ a 7 8

- o , ~ a 4 5 i

- 1,008a6

-- 0,76335 - 0,80275

- 0,88837

- 0,96615

- 1,05080 - 1,09873 - 1,13701 - 1,18061 - i ,2a448 - i ,a6859 - 1 ,3 iaa9 - 1,85734 - 1,40193

d a (u)

- 0,00070

- 0,00849 - 0,00488

- 0,0076 L

- 0,01035 - 0,01169 - 0,01801 - 0,01432 - 0,01561 - 0,01689

-o ,ooaio - - 0,00636

- 0,00900

- 0,01814 - 0,01938 - o,oa060

- o,oaa97

- o,oa5a4 - o , o a ~ 4 - 0,03743

- 0,09949

- o,osa39

- 0,02179

- 0,02411

- 0,02841

- 0,03049 - 0,03145

- 0,08830 - 0,03417 - 0,08502 - 0,08584 - 0,08661 - 0,03736 - 0,03808 - 0,03876 - 0,03941 - 0,04002 - 0,04060 - 0,01114 - 0 9 l l 6 4 - 0 ,04a i i - 0,04a54 - 0 , 0 4 m - 0,04sag - 0,04860 - 0,04888 - 0,04411 - 0,04480 - 0,04445 - 0,04469 - 0,04464

v

0,51 0,53 0,53 0,54 0,55 0,56 0,57 0,58 0,59 0,60 0,61 0,62 0,63 O,G4 0,65 0,156 0,67 0,68 O,G9 0,70 0,71 0,72 0,73 0,74 0,75 0,76 4 7 7 0,78 0,79 0,80 0,81 o,8a 0,83 0,84 0,85 0,66 0,87 0,88 0,80 0 ,DO 0,9 1 0,92 0,93 0,94 0,95 0,96 u,97 0,98 0,99 l ,oo

a (u)

- 1,44657 - 1,49124

- i ,6a5oa

- 1,53501 - 1,58011

- 1,66930

- 1,75754

- 1,84460 - 1,88761

- 1,07236

- 2,05511

- 1,71358

- 1,801a3

- J ,gsoao

- a,oi400

- a,o9563

- 2 , a i ~ i 5 - a m 0 8 4 - 1,28770 - 3,33367 - 2,35872 - 2 39979 - a , m 8 7 - a,45786 - a,48873

- 2,546S1 - a , 6 7 4 i i - a,59909 - a,saaaa - 2,6476a - a , ~ m 2 6 - a , 6 8 ~ 3 4 - a,70787 - 3,73476 - a,7400i - 2,75347

- a,78804

- 2,13550 - 2,17470

- 2,81841

- 1,76518 - 2,77506

- 2,78910 - 2,79317 - 2,79518 - 2,79503 - 2 ,79as i

- 2,78163 - 2,78838

- 2,77259

Auf Grnnd yon (47), (52) und (53) erhPt man hieraus 1. B.:

- 0,01467 - 0,04467 - 0,04460

- 0,04437 - 0,04419 - 0,04806

- 0,04337

- 0,04260

- 0,04165

- 0,04451

- 0,04869

- 0,04801

- 0,049 15

- 0,04053

- 0,039ao

-- 0,04111

- 0,03987

- 0,06846 - 0,03768 - 0,08686 - 0,03597 - 0,03505

- 0,08508 - 0,03109 - 0,03087 - 0 , o a o ~ 9 - o,oa849 - o , o m i - o , o a m - 0,09454 - o,oasio - o,oai64 - 0,09008

- 0,03407

- 0,01853 - 0,01689 - 0,01524

- 0,01171 - 0,00988 - 0,00798 - 0,00608 - 0,00407

- 0,01347

- o,ooaiu

+ o,ooaai + 0,00015

+ 0,00444 + 0,00675 + 0,00904

\

44 8 te i n, Potentialtheoretiache Unterauchungen llber Magnetfelder s$dvz and analoge Formen liir : . . . . . . s2 = sax + s p = s,' i- 129"- 2 lllII - (5W, . R1

n13 ms 94pp maa

81 = - 811 = Si + - 81 . . . . . . . . . . . (56 c).

Die hier erreohneten Streuindnktivilllten s rind an8 homogenen Funktionen 0-ten Grades des Transformrtorabmessungen zusammengesetzt and aderdem dimenelonrlose GraSen. Sie hlngen dro nur von dem Verhlltnis jener Bfafle untereinander, dooh nioht von ihrer rbsolnten Gr66e ab.

Weiterhin iet der Quotient der wirkliohen Gesamtstrenindnktivitlt SI und der ent- spreohenden bei unendlioher langer Belegung S I I mlt der von Kapp l) eingeftihrtan Zahl x , dem sogenannten *Kappaohen Faktorr, idenlisoh, d. h. also:

#I 8II %=-a=-- . . . . . . . . . . (57).

a11 axxI

x ersoheint bei Kapp ale Erfrhrungefaktor, wllhrend er fiir die von uns hier behandelten Modelle rtreng bereobnet werden kann. Aderdem irt beiKapp') nur der Wert ftir slr ( 5 3 0 ) wiederzntinden, wlhrend er fiir ,911, 81 und s#, ss infolge einer willkiirllohen Zerlegnn des Streuflureer, Formeln erhnlt, welobe Ton den aue ( 5 3 r und b) nnd (68s und b? erbeblioh abreiohen. Kapp legt nlmlioh die (frenalinie G (Abb. 16) fiir das Feld bei ebener Wand in die Mitte zwisohen beide Belegongen. Naoh uneeren Reedlaten dagegen bildet diese Knrve, wie man mit Hilfe ihrer auf Seite 4 1 gegebenen Definition lelcht eineehen kann, bei uoendlloh langer Stromflllohe den Auflenrand der Bnfleren Belegung und wird sie deehalb bei endlioher Wioklangellnge vorauseiohtlioh dnroheeteen.

4. Innudreuung beim rechteckfsen Schacht. Zur Bereohnong der Streuung im Feurter kennen wir ans I; 5 nur Magnetfelder mit verschwindender Belegungsrnmme, d. b. also iiir Gegenrohaltung von Pdmllr nnd SekundErnioklung. In diesem Falle Iarsen doh nach I1 2 nnr die Geeamtstrenindnktivitlten 81 und 8x1 ermitteln, da die Lage der Grenz- linie G unbekannt ist. Hierftir rind die, StreuUtisse 0 s mit der FlnBfunktion pcI (x, y) aue I 5 idenlisoh. Wir behandeln die beiden FPlle von rwei und vier getrennten Srrom- belegnngen.

Bei rwei Spulen, Abb. 15a, zerlegen wir wieder die Streuinduktivittiten s and die Elemente l a g wie die zogeharigen Magnetfelder [Abb. 16 a, b, o nnd Gl. (26)] und verwenden dlerelben oberen Indioee I nnd 11 (51).

Alsdann folgt mit Hilfe von (27), (46), (47) und (50):

sir= *I s l , J=p l n l f d x a y t p - - = n11 n!, ,PI n

II - ). bs - A

Hiernach Bind ef und UXJI von der horizontalen Entfernung zwischen Strombelegung und Elsenrand unabhltnglg. Analog schliebt man a d Grund von (as) , (46), (48) und (SO):

Hiertiir bilden wir von ( 3 1) und (48) ausgehend unter sinngemllSer VernaohlPssigung aller haheren negativen Potenaen in t m d I , welohe nnmerfsoh nnr einen rehr kleinen Beitrag (im allgemeinen weniger ale 1 vH.) eum Resultate beisleuern :

(ti0).

I) Olehe Krpp, BTransiormatoren far WechseletrOm nnd Drebstrom*, 8. 127.

46 Band 9. Heft 1 Febrnar 1929 :ft!-i-n, Potentialtheoretisohe Unbrsnchnngen ttber Magnetfelder

An! Grund von (47), ( b l ) , (58) bis (60) ergibt sioh jetst das Resultat:

Hierin stimmt das erste Olied XI' , das die Strenverkettungen Abb. 15b rnit den Wick- lungen Abb. 15a darstellt, mit dem entspreohenden aus dem Felde bei ebener Wand hergeleiteten Qliede (530), d. h. mit der Formel von K a p p tiberein. -

Deehalb hat der K a p p sche Faktor x hier die gleiohe Form wie in (57). Setzen wir weiterhin in (61) T = A, d. h. ver- lllngern wir die Wicklnn- gen (Abb. 15a) bis zum Eieenrand, so wird s I = s I I ,

also x = 1. Bei endlichem Abstande -- ist dagegen

such das zweite Olied #XI

von Bedeutung, so dafl dann stets x < 1 wird.

Im Falle von vier Spnlen mit den Windungs- zablen N I , Nz, Ns, N, mu6 man beachten, da0 der Wicklnngssinn jeder Spule maflgebend fiir das Vor- seichen der Strombelegung nnd der dort indneierten elektromotorieohen Kraft irt. So sind sie z. B. in Abb. 18 paarweise hinter-

T - A 2

Abb. 18.

einander gleich-geechaltet. Vertanscht man dort das Vorzeiohen der Belegungen (3) und (4), 80 enthlllt man die ent- eprechende Qegenschaltung. nl nnd n:, seien nach wie vor die Cfeaamtwindnngseablen von Primllr- und SeknndSrwicklong und aderdem :

N s = N t = ? . . . . . . . (62). 111

2 ' a Nl =Ns = -

Zwiscben den Lagenkoordinaten der Strombelegungen beslehe die Symmetrie :

Die resultierende Flnflfunktion aller vier Belegungen sei x (a& g), und es wird die Qe- samtstreuinduktivitEt wie in (6 1) zerlegt. So folgt fiir Oleich- wie ftir Gegennohsltung ebeneo wie in ( 5 8 ) unter Beriioksichtigung von (62):

a1=-b3 , b , = - - 3 , uy=- b4 9 br = - a4 . . . (63).

Bei der Ermittlong von . q P legen wir sinngemliB (28) zugrnnde und bilden 10 bei Oleicbschaltung von j e ewei Spnlen (Abb. 18) ihre resultlerende FluMnnktion :

Zbchr.f.an ew. M*&. and r.kch. 46 S t e.i n, Ootentialtheoretische Untersuohungen liber Magnetfelder

In gleioher Weise wie in (69) tolgt hiermit:

. . . . . . . . (66),

und ebenro erhllt man auf Qrund von (47), (al) , (BO), (62) bin (65) dar Resultat:

. r i m nlD b1- #in am n/D a1 #in a m n/D bg - #in am n / D aq 8 ] . . . . (66). -___- PI Fa

Von diesem Ergebnie untersoheidet sioh J I bet Glegensohaltung daduroh, da0 a m mit 2m - 1 nnd sinus mit oosinus vertausoht wird. I m iibrigen 1Ut sioh hier ein w ebenro wie in (67) definieren. Wie man sohlieBlich nooh anr (61) und (66) ersieht, hilagen wie bei ebener Wand so auoh im Fenrter dtb StreuinduktlvitlLten J nur von dem Verhlltnis der elnzelnen Abmereungen untemeinander und nioht von ihrer absolute11 QrMe ab.

III. Speziel le Ansti ihrungen. Ale Ausfiihrungsbeiapiele fiir die Magnetfelder einer konzentrisohen Kreirringes

sollen die beiden Felder von etn nnd swei viertelkreisf6rmigen Strombelegungen, d. b. mtt endliober und mit versohwtndender Zirkulation, dienen (Abb. 19 und 20).

Abb. 19. Abb. 20.

Die Felder des errten laden demnaoh sohrlg in den Elsenrand eln, wllhrend das zweite Feld, dessen beide Wirbellinien das entgegengeeetzte Vorzeiohen trrgen, uaoh I 2 renkrecht au! der Eieenoberfllohe stebt. R1 irt der Radius des Innenkreises, el = ‘/a R1 der der Wirbelllnien. Naoh GI. (4 a), in welohe an Stelle von 61 eine komplexe BelegungevaFiable t eingesetzt wird, erreobnet man hier die Radial- und Tangentialkomponenten der Feldetllrke b in der- selben Weise wie in I 4, 5, bildet also im Falle Abb. 19:

J , bezeiohne die Strombelegnng pro Winkeleinheit.

und b

1 1 b@(‘) - i b @@)= o,a - log ( Z --i (r: - - Bi) + log ( Z - i 2 RI) a - log ( Z - 2 Rl) - i n 3

und erhllt eine analoge Formel im Falle Abb. 20. Es folgen dann zugeh6rigen Flu& funktionen b (T, S) ale Randtntegrale von b a(”’) tiber die Peripherien der konaentdrohen Kreise T = konst. und werden duroh ein gleiohartiger Integral von b @(@ iiber den Strahl 6 = n/4 miteinander in Verbindung gebraoht. Man setzt also:

r b (T, 0 = n/4) = -J(b $0) d~ ; 6 = ~ / 4

0

47 Rand 9. Heft 1 Februw leas S t ei n , Potentialtheoretisohe Untereuchungen Iiber - Magnetlelder

und hiernach : R b 9 (T, 8 ) =/b 6") . r d 8 + b ( ~ , 8 = n / 4 ) .

xi4 Diem Kurvenschar wurde mit Hilfe des Integraphen aufgezeiohnet. Ihre Sohnittpnnkte mit einer Oeraden b = konst. liefern alsdrnn unmittelbar die Koordinaten dierer Flu& linie. Anf diesem Wege sind die Feldbilder b = konst. in Abb. 19 nnd 20 entrtmden.

Bei der Daretellnng von Magnetfeldern der in I 4 und 5 bebandelten Yodelle sind die speziellen MaBe einem Drehrtromtransformator des Elektroteohnisohen Institutr der technischen Hochschule Breslan entnommen, und zwar 1st fiir dae Innengebiet:

D = 1 2 , 0 c m , T = 3 0 , 0 o m , n = 2 3 , 4 c m

a1 = 4,2 * , bl = 5,6 a , U.J = 2 , l a , h = 3,7 cm dl = 1,4 8 , A:,= 1,6 D , e = 0,5 a 1 (68).

Im Auflengebiet bzw. fiir die ebene Wand gilt: 1 (69). = 23,4 cm , d, = 1,4 om, Aa = 1,6 om, e = 0,5 cm

a1 = 0,5 )) , bl = 1,9 )) , UY = 2,4 D , h = 4,O ))

bedeutet bier einen mlttleren Wert, da die LBngen von Primtlr- nnd Sekundlirwioklung in Wirkliohkeit urn 3,7 VW voneinander abweichen. Im iibrigen enthillt jede Primtlrepule 104 Windungen, jede Sekundlrspule 240 Windungen.

Die graphlsohe Darstelluog der Magnetfelder fur das Model1 einer ebenen Wand (Abb. 17), wofiir die Gl. (18) bis (20) den Ansgangspunkt bilden, macbte so nmfangreiche nnmerische Rechnungen notwendig, da8 sie im Rahmen d i e m Arbeit nioht mehr be- wElltigt werden konnten.

Dagegen wurde fiir dae Fenster, und zwar fiir zwei Strombelegnngen, eine solche Ermittlung durchgeliihrt. Es iet bemerkenewert, daB diem Aufgabe fur die an doh kompliziertere Anordnung des Fensters leiohter zu bewllltigen war. Das hnngt mit den Periodizitlltseigen- schaften des Feldes zusammen. Der Be- reohnung nnd Konstruklion dieses FloB- bildes (Abb. 21) sind die G1. (27), (31) BGGd

Fur den gleiohen Drehetromtrans- bis (34) und (68) zugrunde gelegt. Abb. 21.

formator wird auoh die Streuung bereohnet, und zwar rowohl far zwei auf einem Schenkel sitzende ale auch fur vier auf zwei benaohbarte Sohenkrl verteilte Spulen.

Ftir das AnBengebiet bzw. far die ebene Wand liefern bier die GI. (53), (56), (57), nnd (69):

Henry sl1= 10,24 ~ -- cm ' 1

Henry I . . (70). 8,r = - 8,34 . 10-6 HBn! S: = - .sl j l= 8,68 --

S, = - 0,54 * om ' om

Henry ma Henry S, = -a s j j = 8,oQ . 1 0 - ~ -- m a

npy cm ' n,

cm I x = 0,926

I m Fenster erhsllt man zunlchst im Falle zweier Strombelegnngen aus den GI. (57~), (68), (GI) und (68):

Fiir vier Strombelegungen folgt sodann bei Qleiohschaltnng von j e zwel Spnlen aus den G I . (57), (64), (66) und (6R):

h i Qegenschaltung:

2tscbr.f. engew 48 Ste in , Potentialtheoretfsche Untereuchungen iiber Magnettelder Mati,. rind hieell:

Naoh (70) bis (73) weiohen hier die Qesamtstrenindnktivitlten RI und .vI1 fiir das Feneter von den entsprechenden fiir dae Andengebiet abgeleiteten QrijSen um weniger als 1,5 vH ab. EE sei deshalb in den weiteren Reohnungel1 fiir das ganze Tranziormatorgebiet ale mittlerer Wert der wirkliohen Qesamtstreuindnktlvittlt pro Lllngeneinheit

111' Henry im Falle zweier Spnlen: S I = , , ~ ~ ~ Y I I = 8,08 . -- . . . . . . . . (74), cm

9167 9167 5000

n n von vier Spulen: s1 = nl -- 811 = 16,18 10-6-Hen-ry . . . ns' cm

7,67. lo- ' 0,905 8,03. lo-' 0,940 234 0,1830 8 , 8 2 * 10" 0,862 9,63. lo-' 0,935 1 :XI: ~ 0,220

26,6 * 10'' 0,823 Y1,l * 10'' , 0,957 0,590

. . . . . (76)

0,1935 0,226 0,660

eingesetzt.

gesamte Streuinduktivittlt nllherungsweise aus der Qleichung :

bereohnet werden kann. von Primlr- nnd Sekundlrwicklung:

aus (74), (75) und (77) folgen alsdann die Ntlherungswerte:

Nunmehr wird ein mittlerer Spulenumfang U mit der Ma6gabe eingefiihrt, dai3 die

. . . . . . . . . . S1 = IJ.91 * (76) Als wahrscheinlichsterl Wert von U lietert der mittlere Umtang

U = 4 8 c m . . . . . . . . . . . ( 7 7 ) ;

. . . . . . . . im Falle zweier Spulen: ASI = Sll = 3,58 10" Henry (7J3), n 2

- 5.70 - ?,70 - 11,85

Die Einzelinduktiviillten S1 und S2 konnten hier nioht abgeschltzt werden, da a i r die entspreohenden Qro6en s1 und .VZ nur fiir das AuSengebiet, nioht aber fiir das Fenster berechnet haben.

Zur Kontrolle der vorstehenden Resultate ergab eine Kurzschlulmessung im Falle zweler Spulen:

also einen Untersohied von etwa 10 VH gegenuber der Rechnung. Wllhrend der Druoklegung dieser Arbeit hatte ioh Qelegenheit, in gieioher Weise

wit? in dem eben ausgef8hrten Beispiel die Streuinduktivitlt bei Zylinderwioklung anoh fur einige Transformatoren der AEQ zu berechnen und mit im Versuchslaboratoriom der AEQ-Traneformatorenfabrik angestellten KurzschluSmessungen zu vergleiohen. Die Trans- lormatoren waren einphaeig. Jeder ihrer beiden Sohenkel trug zwei Wicklungen, welohe hooh- und niedervoltseitig gleiohgesohaltet waren.

X I (gemeseen) = 4,35 * 10'' Henry , [SI (berechnet) = 3,88 * 10" Henrv] ,

Die Resultate lauten wie folgt :

Bemerkenswert bei siimtlioh untersuohten Konstruktionen ist zunlohst, daf3 der Auteil des Aulengebietes an der Cfesamtstreuiodnktivittlt stete geringer wird ale der des Fensters. Das gilt einmal far die beiden Streuinduktivitlten 81 bzw. sII. Dariiber hinans liegt 'aber rum zweiten auch die ale Mittelwert aus ihnen gebildete Cfesamtstreuinduktivtllt des ganzen Transformatorgebietes SI bzw. SII mehrere Prozent nnten den MeBergebnissen.

Dieser letztgenannte Untersohied iat in erster Liuie daduroh zu erklllren, da6 w l r den mittleren Spulenumfang U in (77) zu klein gewllblt haben. Jene Qrole U vermittelt aber gerade den Uebergang von der Streuinduktivitllt pro Ltlngeneinheit sI, d. h. allgemein vom ebenen Problem zur Streuinduktivitllt SI des geeamten Transformatorgebietes, also zu elner rluinliohen Aulgabe. Es zeigt sich, dall letztere duroh die obere Wahl von U nur unvollkommen gellist wird, da6 8s sich mithin empfiehlt, diem Abschltzung duroh exakte Untersuohungen an einem geeigneten rllumlichen Model1 zu ersetzen. Ein solohes enteteht z., B., wenn wir einen Traneformatorechenkel in einen unendlioh langen Kreiszylinder ent- arten laesen und die iibrigen Schenkel zunlchst vernachllsdgen. Die Reohnungemethoden,

Band 9, Heft 1 Februar I9B Re u 6, Berechnung der FlleBgrenze von Mischkristallen 49

auf welche sich derartige Untersuchungen stiilzen mhsen , werden von den hier ent- wickelten vollkommen verschieden sein. Deehalb sol1 diesee Problem einer spllteren Arbeit vorbehalten bleiben.

Schliealich ist es fur mich eine angenehme Pflicht, Hrn. Prof. N o e t h e r , weloher diem Arbeit angeregt und mich bei den einaelnen Untersuchungen vielfaoh unterstiitzt hat, hiermit meinen verbindlichen Dank aOEZU6preChen. I n gleicher Weise bin ich dem kiirrlich verstorbenen Hrn. Privatdozenten Dr. Hemm e t e r zu Dank verptliohtet, da er mir bet der Diskuaion des Streubegriffee mit seinem Rate zur Seite stand uud mich Ins- besondere auf das Problem der Streuinduktivittlt bet Zylinderwioklung aufmerksam machte.

8d0

Berechnung der Fliehgrenze von Mischkristallen auf Grund der Plastizittitsbedingung fiir Einkristalle.

Von A. REUSS In Budapest. 1. Allgemeines. Die jungsten Untersuchungen iiber die FlieDgrenze von Ein-

kristallen lawm die Frage aufwerfen, ob &us den Eigenscbaften von Einkristallen nioht unmittel bar Sohlusse auf dae Verbalten einee aus deneelben aufgebauten, sonst aber ohemisch homogenen Korper gezogen werden konnen.

Im vorliegenden Anfsatae will ich unter ganr speziellen Annahmen den Versnch maohen, die FlieSgreoze von Mlschkrietallen zu bereohnen. Es wird dabei vorausgesetzt, daS der RBrper aus vielen, im Verhilltnis zum ganzen Korper kleinen Kristallen aufgebaut ist. Diem Kristalle seien ferner im Kdrper in bezug auf Orientierung, QroBe und An- ordnung im Sinne der Wahrscheinlichkeitsrechnung ideal ungeordnet. Ein Korper mit diesen Eigenechaften heiSe im folgenden quaeilsotrop.

Um eine Berechnung uberhaupt zu ermoglichen, muB ferner voranegesetzt werden, daB fur jeden einzelnen Rristall entweder dsr Spannungs- oder der Deformationstensor im ganzen Kiirper derselbe ist. Beschrhken wir uns auf homogene Deformationen, 60

kann dies auch so ausgedriickt werden, daD in jedem einzelnen Kristalle derselbe Span- nungs- bzw. Deformationszustand herrscht, wie im ganzen Korper. Es bleibe dahin- gestellt, welche dieser beiden, miteioander unvereinbaren Voreussetzungen den tatslich- lichen Verhlltnissen besser entspricht. Sie konnen nur a16 Notbehrlt dienen, bis sie durch eine strenge wahrscheinlichkeitstheoretische Betrachtung uberflussig werden. Bis dahin miissen sie jedoch unseren Rechnungen zugrunde gelegt werden, nm eine Be- rechnung iiberhaupt zu ermgglichen.

Verfolgen wir nun den homogenen Deformationavorgang ins einzelne, so finden wir, daO der Korper zuntlchst nur elastisoh deformiert wird, bis an der nunteren FlieO- grenrea die am nngiinstigsten .orientierteu KristallkSrner die Plastizittltsgrenze erreichen. Von diesem Augenblicke an befinden sich die Kristallkorner rum Teil im plastischen, zum Toil im elastisohen Zustande. Wtlhrend der weiteren Deformation treten immer mehr Kribtalle in den plastischen Zostand iiber, bis an der aoberen FlieEgrenzea sicb auoh die am gunstigsten orientierten Rristallkorner im plastiechen Zizatande beflnden. Ee mussen daher die Orientierungen bestimmt werden, bei welchen der Einkristall bei den gegebenen Hauptepannungen 61, US, 68 bzw. Hauptdehnungen el, er, 8a zuerst bzw. zuletzt die Plastizitlitsgrenze erreicht.

Die FlieDgrenze fiir den einzeloen Kristall wollen wir gemill3 dem Aufsatae von Hrn. v. Mises’) in der speiiellen Gestalt einer quadratisohen Form annebmen. Ee sei mir gestattet, zu bemerken, daS ich diem Qedalt der FlieSgrenze auf Grund einer energetischen Betraahtung unabhtlngig von Hrn. v. M ise B abgeleitet hatie, allerdinga mit den ElastizitUskonetanten als Roeffizienten. Cfleichzeitig hatte ich auch die ersten An- fhnge zum vorliegenden Aufeatze feetgelegt, zu dessen weitere Bearbeiiung ich von Hrn. v. Miees ermutigt wnrde.

Die FlieSgrenze eetzen wir also als eine quadratische Funktion der Spannungen ul, ba, da an, welche den folgenden Forderungen geniigt:

1. Die Funktionswerte bleiben ungegndert, wenn man dem Spannungszustand

2. Die Funktionswerte bleiben ungelndert, wenn man dae zugrunde gelegte eine allseits gleiche Normalspannang hinznfiigt.

Koordinatenkreuz durch ein krietallographisch gleiohwertigee er6etzt.a

I) Dleee Zeitschr. 8 (1928), 9. 181 bia 186.

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