〝相反作用の定理〟(reciprocal theorem)

〝相反作用の定理〟(reciprocal theorem)

〝ベッティの相反作用の定理〟(Betti’s reciprocal theorem)

〝マックスウェルの相反作用の定理〟(Maxwell’s reciprocal theorem)

〝ミューラー・ブレスラウの定理〟(Müller-Breslau’s theorem)

〝カステリアーノの第２定理〟(Castigliano’s second theorem)

〝ベッティの相反作用の定理〟(Betti’s reciprocal theorem)

11U1,iP

1,iv

i

212 2U U1,iP

2,iv

i

jP ,2

2, jv

j

U

1,iPiv

i

2, jP

jv

j

U

1,iPiv

i

2, jP

jv

j

22U

2, jP

2, jv

j

121 1U U1,iP

1,iv

i

2, jP

1, jv

j

(a) 載 荷 順 序 Ⅰ

(b) 載 荷 順 序 Ⅱ図 -26 　外力群の載荷順序と各段階で蓄えられるひずみエネルギー

1) 外力群 1 の載荷

1) 外力群 2 の載荷

2) 外力群 2 の載荷

2) 外力群 1 の載荷

3) 外力群 (1+2) の載荷

3) 外力群 (2+1) の載荷

まず、外力群 P1,i が載荷した段階でなされる仕事 W11は、次に、外力群 P2,j が作用したときに、 P1,i が v2,i になす仕事 W12は、これと同時に、 P2,j が v2,i になす仕事 W22 は、載荷順序Ⅰの場合の全外力仕事 W1 は、

i

ii vPW ,1,111 21

i

ii vPW ,2,112

j

jj vPW ,2,222 21

j

jji

iii

ii vPvPvPWWWW ,2,2,2,1,1,12212111 21

21

載荷順序Ⅱの場合の全外力仕事 W2 は、 i

iij

jjj

jj vPvPvPWWWW ,1,1,1,2,2,21121222 21

21

21 WW

1, 2, 2, 1,i i j ji j

P v P v 弾性線形構造物に 2 組の互いに独立な外力群 1 および外力群 2 が作用して、それぞれの系で釣合状態にあるとき、外力群 1 が外力群 2 により生ずる変位に対してなす仮想仕事は、外力群 2 が外力群 1 により生ずる変位に対してなす仮想仕事に等しい。

ところが、

〝ベッティの相反作用の定理〟(Betti’s reciprocal

theorem)

1,iP

i

1, jv

j 2, jPj

2,iv

i

(a) 外力群 1 の系 (b) 外力群 2 の系図 -27 　 Betti の相反作用の定理 1, 2, 1, 2. 1, 2, 2, 1, 2, 1. 2, 1,i i i i i i j j j j j j

i j

P v M T P v M T

〝ベッティの相反作用の定理〟(Betti’s reciprocal

theorem)

弾性線形構造物に 2 組の互いに独立な外力群 1 および外力群 2 が作用して、それぞれの系で釣合状態にあるとき、外力群 1 が外力群 2 により生ずる変位に対してなす仮想仕事は、外力群 2 が外力群1 により生ずる変位に対してなす仮想仕事に等しい。1, 2, 2, 1,i i j j

i j

P v P v

〝マックスウェルの相反作用の定理〟(Maxwell’s reciprocal theorem)

i ij j jiv vP P jij iv v第 1 添字は、一般変位を生じる点であり、第 2 添字は、一般変位の原因となった一般外力の作用点を意味する。

〝マックスウェルの相反作用の定理〟(Maxwell’s reciprocal theorem)

ijv

(a)単位外力 1iP による

点 jの jP 方向の変位 jiv (b)単位外力 1jP による

点 iの iP方向の変位 ijv

系 1 系 2 1iP

ijiv

j 1jP

i

ijv

j

①並進変位に対して 図-28 Maxwellの相反作用の定理

(a)単位外力モーメント 1iM による点 jの回転変位 ji

(b)単位外力モーメント 1jM

による点 iの回転変位 ij

系 1 系 2

1iM

ji

i

j 1jM

ij

i

j

②回転変位に対して 図-28 Maxwellの相反作用の定理

i ij i ij i ij j ji j ji j jiP v M T P v M T

1i jM M 0i j i jP P T T iji j

(a)単位外力 1iP による

点 jの回転変位 ji (b)単位外力モーメント 1jM

による点 iの iP方向の変位 ijv

系 1 系 2 1iP

i

jij

i

ijv

1jM j

③並進変位と回転変位に対して 図-28 Maxwellの相反作用の定理

i ij i ij i ij j ji j ji j jiP v M T P v M T

1i jP M 0i j i jM P T T iji jv

(a)点 jのたわみ jiv (b)単位荷重 1jP によるたわみ曲線

i

j1iP

i

jijvjiv

1jP

図-29 たわみの影響線

(a)点 jのたわみ角 ji (b)単位モーメント 1jM によるたわみ曲線

1iP

ji

j

i

ijv 1jM

ji

図-29’ たわみ角の影響線

たわみの影響線

たわみ角の影響線

〝ミューラー・ブレスラウの定理〟(Müller-Breslau’s theorem)

A B

i

i

i

ijR

jQjM

1iP

1jP ijv

1jM

,jj Rv

0ijv

1jQ

,jj Mv

, 0jj Qv

j

0ijv

j

j

j

(a)単位荷重 1iP による 反力（断面力）：系 1

(b)単位外力 1jP による たわみ曲線：系 2

(c)単位曲げモーメント 1jM によるたわみ曲線：系 2

(d)単位せん断力 1jQ によるたわみ曲線：系 2

(e)せん断力が生じ得ない状態にするために 設けるリンク機構（シアレス連結） 0, Qjjv

図 -30 　 Müller-Breslau の定理

不静定構造物の不静定反力あるいは不静定断面力の影響線

系 1 の外力が系 2 の変位に対してなす仕事 W12 は、

系 2 の外力が系 1 の変位に対してなす仕事W21 は、

12 ,i ij j jj RW P v R v

jjPW 21

01 , jRjjjij PvRv

ここに、 Δj は点 j の支点変位であり、 Δj = 0 である。ところが、 W12=W21 , Pi=1 であるから、

図 (b) の系：支点反力の影響線 01 , jRjjjij PvRv

,

ijj

jj R

vR

v

A B

i

ijR

1iP

1jP ijv ,jj Rv j

j

系 1

単位外力 1jP によるたわみ曲線

ijR

1iP j

系 2

0 j

系 1 の外力が系 2 の変位に対してなす仕事 W12 は、

系 2 の外力が系 1 の変位に対してなす仕事 W21 は、

ここに、 θL , θR は点 j での左側と右側のたわみ角であり、曲げモーメントの連続条件から θL = θR である。ところが、 W12=W21 , Pi=1 であるから、

図 (c) の系：曲げモーメントの影響線 01 , jMjjjij MvMv

01 , jMjjjij MvMv

12 ,i ij j jj MW P v M v

21 j L RW M

,

ijj

jj M

vM

v

A B

i

i

jM1iP

1jM 0ijv

,jj Mv j

j

単位曲げモーメント 1jM によるたわみ曲線

i

jM1iP

j系 1

系 2

RL

RMjj

LMjjMjj vvv ,,,

系 1 の外力が系 2 の変位に対してなす仕事 W12 は、

系 2 の外力が系 1 の変位に対してなす仕事W21 は、ここに、 Δj は点 j の支点変位であり、 Δj = 0 である。ところが、 W12=W21 , Pi=1 であるから、

図 (d) の系：せん断力の影響線 01 , jQjjjij QvQv

01 , jQjjjij QvQv

12 ,i ij j jj QW P v Q v

jjQW 21

,

ijj

jj Q

vQ

v

A B

i

ijQ1iP

1jQ

, 0jj Qv

j

0ijv

j

単位せん断力 1jQ によるたわみ曲線

ij

jQ系 1

系 2

1iP 0 j

不静定構造物の反力（あるいは断面力）の影響線は、それらの反力（あるいは断面力）が生じ得ない状態にした仮想構造物において、当該反力（あるいは断面力）と逆向きの単位外力を作用させたときに生ずるたわみ曲線と相似で、その縦距を 倍したものである。　ここに、 は仮想構造物の単位外力の作用点における単位外力方向のたわみ（あるいは断面の相対回転角または相対変位）である。

〝ミューラー・ブレスラウの定理〟(Müller-Breslau’s theorem)

,

ijj

jj R

vR

v

,

ijj

jj M

vM

v

,

ijj

jj Q

vQ

v図 (d) の系：せん断力の影響線

図 (c) の系：曲げモーメントの影響線

図 (b) の系：支点反力の影響線

【問題 MB-8 】下図に示す曲げ剛性が一定な１次不静定ゲルバーばりの G 点のせん断力 の〝影響線〟を求めよ。さらに、支点反力 ・曲げモーメント ・せん断力 の〝影響線〟を図示せよ。ただし、図中には、正負の符号を必ず明記すること。

2

2

2

2

2

2

A D G E B F C

C A

B

曲げ剛性 EI=const.

D E F G

AR

BR CR

AM13

23

GQ

AR

BR

CR

AM

2

2

2

2

2

2

A D G E B F C

0.5

0.5

0.5

1.0

0.5

1.0

0.5

1.0

0.5

0.5

0.5

0

0

0

0

0

GQ

DM

EM

FM

AM

2

2

2

2

2

2

A D G E B F C

0.5

0.5

0.5

0.5

0.5

0.5

0

0.5

0.5

0

0

0

0

0

BM

GQ

DQ

EQ

FQ

2

2

2

2

2

2

A D G E B F C

0.5

0.5

0.5

1.0

0.5

0.5

0.5

0.5

0

0

0

0

〝カステリアーノの第２定理〟(Castigliano’s second

theorem)

(a)系 1 (b)系 2

iiv

iP

kv

kkP

11U i

k

2212 UUU ivkv

kP

図 -31 　 Castigliano の第 2 定理（集中外力） kki

ii vPvP 〝ベッティの相反作用の定理〟弾性線形構造物

kk

iii vPvPUUU 21

2212エネルギー増加量

kkkk vPvPU

21

kk

k

vvPU

21 kvk

kP

vvPU

kk

00lim

21lim

k

k

U vP

構造物のひずみエネルギーが外力の関数として与えられているとき、ある点の外力に関するひずみエネルギーの偏導関数は、その点に作用する外力の作用線方向の変位に等しい。

〝カステリアーノの第２定理〟(Castigliano’s second theorem)