G L A V A 6

NUMERIKO RJEAVANJE DIFERENCIJALNIH JEDNAINA

6.0. Osnovni pojmovi o diferencijalnim jednainama

injenica da se mnogi zakoni fizike i drugih nauka/znanosti iskazuju uz pomo diferencijalnih jednaina/jednadbi ukazuje na fundamentalnu ulogu koju teorija diferencijalnih jednaina ima u nauci i tehnici.

Teorija diferencijalnih jednaina je jedna od najopsenijih i najteih matematskih disciplina. Iz klase poznatih diferencijalnih jednaina izdvojimo Thomas Fermijevu diferencijalnu jednainu:

[ ]1 32 2'' ( ) ( )x y x y x = , koja je linearna diferencijalna jednaina drugog reda i koja se pojavljuje pri izraunavanju distribucije elektrona u atomima. Mnoge diferencijalne jednaine su izvor za elementarne i neelementarne funkcije. Tako je, npr., jednaina y'' + y = 0 (R) izvor za trigonometrijske funkcije i hiperbolne funkcije, te jednaina y ' = y je izvor za eksponencijalne funkcije, itd. Intuitivno se pojam predikata esto definira kao izraz ili smislena deklarativna reenica koja sadri jedan ili vie parametara i koji postaje logiki iskaz ako svaki od tih parametara poprimi odreenu vrijednost. Ako je P predikat i za svaki x, P(x) je novi predikat, pri emu P nema drugih parametara, onda je P (x) taan iskaz za svaki x. Analogno vrijedi i za kvantifikator egzistencije . Posmatrajmo izraze f (x) i g (x) u istoj brojevnoj oblasti (ili u optijem skupu) varijable x u kojoj su ta oba izraza definirana. Definicija 6.0.1. Predikat oblika f (x) = g (x) zovemo jednaina (jedne nepoznate x). Svaka vrijednost x : = a za koju predikat f (x) = g (x) postaje taan iskaz, tj. tana brojevna jednakost f (a) = g (a), zove se rjeenje jednaine f (x) = g (x). Rjeenje mora pripadati domenu jednaine (presjek domena od f (x) i g (x)).

1

Analogno se definira pojam jednaine sa vie nepoznatih, ali i pojmovi jednaine vie nepoznatih u nekom ureenom skupu gdje imaju smisla relacije < , , >, .

Definicija 6.0.2. Za jednaine J1 i J2 kaemo da su u nekoj brojevnoj oblasti ekvivalentne ako su im sva rjeenja na toj oblasti zajednika, tj. one su ekvivalentne na posmatranoj oblasti ako je svako rjeenje jednaine J1 iz te oblasti rjeenje jednaine J2 (tada kaemo da je jednaina J2 posljedica jednaine J1 ) i obrnuto.

Definicija 6. 0.3. Diferencijalnom jednainom naziva se svaka jednaina u kojoj se kao nepoznata pojavljuje funkcija jedne ili vie promjenljivih zajedno sa svojim izvodima i / ili diferencijalima. Ako je nepoznata funkcija funkcija od dvije ili vie promjenljivih, onda se diferencijalna jednaina naziva parcijalnom diferencijalnom jednainom, dok u sluaju funkcije jedne promjenljive diferencijalna jednaina se naziva obinom diferencijalnom jednainom. Definicija 6. 0.4. Redom diferencijalne jednaine naziva se red najvieg izvoda (odnosno red najvieg diferencijala) koji figurira u jednaini. Opti oblik obine diferencijalne jednaine n tog reda je

F(x, y, y ', ...., y (n)) = 0, (6.0.1) pri emu je F zadana funkcija promjenljivih x, y, y ', ...., y (n) (odnosno x, y, dy , ...., d ny). Specijalno, opti oblik diferencijalne jednaine prvog reda (tj. za n = 1) je:

F(x, y, y') = 0. (6.0.2) Ograniit emo se na diferencijalnu jednainu oblika (6.0.2), koja se moe rijeiti po izvodu y ' u obliku

y ' = f (x, y), (6.0.3) pri emu je f neprekidna funkcija svojih argumenata ( f (x, y) moe imati samo oblik (x) ili ( y), a moe biti f (x, y) C). Definicija 6.0.5. Za funkciju y = (x) koja je definirana na razmaku a, b (konanom ili beskonanom) kaemo da je rjeenje diferencijalne jednaine (6.0.1) na tom razmaku ako ona ima sve izvode zakljuno do reda n i ako uvrtavanjem izraza funkcije (x) i njenih izvoda u jednainu (6.0.1), jednaina (6.0.1) postaje identitet na tom razmaku. Rijeiti (integrirati) jednainu (6.0.1) znai nai sva njena rjeenja. Ako je y(x) rjeenje jednaine (6.0.1), onda se esto kae da je y = y (x) integralna kriva jednaine (6.0.1). Diferencijalna jednaina prvog reda data sa (6.0.2) ili (6.0.3) ima familiju rjeenja u optem sluaju (jednoparametarsku familiju) koja sadri proizvoljnu realnu konstantu C, tj. to je familija oblika

y = (x, C). (6.0.3)'

2

Definicija 6.0.6. Familija funkcija zadana relacijom (6.0.3)' , kada sadri sva rjeenja jednaine (6.0.2) ili (6.0.3), naziva se optim rjeenjem (optim integralom) te jednaine. Definicija 6. 0.7. Kada u optem rjeenju konstanta C poprimi neku odreenu vrijednost, tada se to rjeenje naziva partikularno rjeenje (partikularni integral). Ako iz opteg rjeenja treba izvojiti partikularno rjeenje, koje za x = x0 uzima vrijednosti y0 : = y (x0), kaemo da su zadani poetni uslovi i piemo:

00|x xy = y= ili y (x0) = y0 . (6.0.4)

Najvanije pitanje vezano za diferencijalnu jednainu (6.0.3) je pitanje postojanja i jedinstvenosti partikularnog rjeenja za zadane poetne uslove (Cauchyjev problem / zadatak). Na ovo pitanje daje odgovor sljedea teorema koja se (kratko) dokazuje primjenom Banachove teoreme o fiksnoj taki ( tj. teoreme 6.0.1). Teorema 6.0.1. (O postojanju i jedinstvenosti rjeenja diferencijalne jednaine prvog reda). Neka je u jednaini (6.0.3) sa poetnim uslovom (6.0.4): a) funkcija f (x, y) neprekidna u pravougaoniku D zadanom sa

D : = {(x, y)R2 : | x x0| a | y y0| b }; b) funkcija f (x, y) u pravougaoniku D zadovoljava Lipschitzov uslov

| f (x, y1) f (x, y 2)| k | y1 y2|, kR+. Tada postoji jedinstveno rjeenje jednaine (6.0.3) na segmentu [x0 h, x0 + h] koje

zadovoljava poetne uslove (6.0.4), pri emu je 0 < h < min {a, bM

, 1k

} i MR+ takav da je | f (x, y)| M za sve (x, y)D ( takav broj M postoji jer je f (x,y) na zatvorenoj i ogranienoj oblasti D ograniena funkcija). Tvrdnja 6.0.1. Klasa funckija f (x, y) koje imaju ogranien po modulu izvod po y (| fy' (x, y)|) na pravougaoniku D zadovoljava Lipschitzov uslov na tom pravougaoniku. Dokaz: Prema Lagrangeovoj teoremi za realne funkcije jedne realne promjenljive vai:

f (b) f (a) = (b a) f '(c), a < c < b. Dakle, vai jednakost

f (x, y1) f (x, y2) = ( y1 y2) fy'(x, y1 + ( y2 y1)), 0 < < 1, za svaki y1, y2 iz odgovarajueg segmenta. Iz posljednje relacije, zbog pretpostave da je | fy'| K, K > 0, dobijemo da vrijedi

| f (x, y1) f (x, y2)| K | y1 y2|, ime je tvrdnja 6.0.1. dokazana. Napomenimo da Lipschitzov uslov obuhvata iru klasu funkcija f (x, y) koje se pojavljuju na desnoj strani jednaine (6.0.3) (nego uslov u tvrdnji 6.0.1), jer Lipschitzov uslov moe biti zadovoljen i tamo gdje parcijalni izvod fy' ne postoji. Tako, npr., funkcija zadana sa y ' = f (x, y) = | y | nema parcijalni izvod fy' u taki (0, 0) (taka (0,

3

0) je ugaona /prelomna/ taka). No, ipak, u nekom pravougaoniku koji u svojoj unutranjosti sadri taku (0, 0) vrijedi Lipshitzov uslov

| | y1| | y2| | | y1 y2|, tj. | f (x, y1) f (x, y2)| 1 | y1 y2|, pri emu je K = 1. Svako rjeenje y = (x) jednaine (6.0.3) se moe geometrijski interpretirati u obliku grafika funkcije (x). (O ovom uvodnom dijelu o diferencijalnim jednainama vidjeti i Dod. Gl.1. iz PMiS.)

6.1. Numeriko rjeavanje diferencijalnih jednaina prvog reda

1.6.1. Eulerova metoda Zadana je diferencijalna jednaina

),( yxfy = (6.1)

uz poetni uslov . Traimo rjeenje diferencijalne jednaina (6.1). Razmislimo ta takva jednaina zapravo znai: u svakoj taki ravnine u kojoj je funkcija f definirana, s (6.1) je zadan nagibni ugao tangente na traenu krivu. Ta e nam injenica, zajedno s poetnim uslovom, omoguiti da naemo traeno rjeenje, odnosno njegovu numeriku aproksimaciju. Nai numeriko rjeenje znai nai aproksimacije rjeenja u odabranim takama 'mree'. Za odabrani korak h 'mrea' je definirana takama

00 )( yxy = )(xy),( yx

0 1 0 2 0, , 2 ,x x x h x x h= + = + K Ideja metode je sljedea: ako je taka na krivoj i ako tangenta u toj taki ima koeficijent smjera , onda je sasvim blizu te take, pravac

dobra aproksimacija traene krive. Stoga moemo smatrati da je taka na pravcu s apscisom

),( 00 yx),( 000 yxfk =

)( 000 xxkyy +=hxx += 01 praktino i na krivoj, tj.

),()( 00011 yxhfyyxy += .

U nastavku elimo dobiti aproksimaciju u sljedeoj taki mree . Budui da

dobivena taka predstavlja aproksimaciju za taku na traenoj krivulji, ponovimo prethodni postupak, tj. pomaknemo se po pravcu s nagibom (koeficijetom smjera)

do sljedee take (Slika 6.1). Dobivena vrijednost

2x),( 11 yx

),( 11 yxf

2 1 1 1( , )y y h f x y= +

4

predstavlja aproksimaciju za vrijednost . Ponavljanjem opisanog postupka dobijemo aproksimacije za vrijednost rjeenja u ostalim takama. Openito moemo pisati

)( 2xy

K,2,1,0),,(1 =+=+ nyxhfyy nnnn (1.10)

Opisana se metoda naziva Eulerova (Euler-Cauchyjeva) metoda.

Slika 6. 1. Primjer 6.1. , yxy += 0)0( =y Analitiko rjeenje: . 1)( = xexy xVrijednosti dobivene Eulerovom metodom s korakom 25.0=h prikazane su u sljedeoj tablici. Takoer su prikazane vrijednosti egzaktnog rjeenja, kao i numerike greke.

nx nnnn yxyxf +=),(

ny )( nxy greka

0 0.000000 0 0 0 0.25 0.250000 0 0.034025 0.034025 0.50 0.562500 0.062500 0.148721 0.086221 0.75 0.953125 0.203125 0.367000 0.163875 1.00 1.441406 0.441406 0.718282 0.276876 1.25 2.051758 0.801758 1.240343 0.438585 1.5 2.814697 1.314697 1.981689 0.666992

5

Na slici 6.2. je prikazano egzaktno rjeenje promatranog problema, te numeriki rjeenja dobivena Eulerovom metodom, za razliite vrijednosti prostornog koraka h. Jasno je da se greka metode smanjuje sa smanjenjem koraka metode.

0

0,4

0,8

1,2

1,6

2

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6

x

y

Egzaktno rjesenjeEulerova metoda h=0,25Eulerova metoda h=0,1Eulerova metoda h=0,05

Slika 6. 2.

Primjer 6.2. yx

xyyxy2

)1)((+

+= , 1)0( =y . Analitiko rjeenje zadanog problema ne znamo nai. Meutim numeriko rjeenje se moe odrediti veoma jednostavno. Za prostorni korak 1.0=h imamo:

M

097.105.121.0

)05.11.01)(05.11.0(1.005.1,2,0

05.1120

)101)(10(1.01,1,0

1,0

22

11

00

=+++==

=+++==

==

yx

yx

yx

6.1.2. Svojstva Eulerove metode Temeljno je pitanje svakog numerikog rjeavanja kolika je greka primijenjene metode? Kada izuzmemo greku zaokruivanja i pogledamo greku zbog same Eulerove metode, treba pogledati sljedee.

6

1) Jedan dio greke je lokalne prirode: ako je neka taka u posmatranom numerikom postupku ak i tana, idua taka vie nee biti, osim ako je kriva ba pravac. Takva lokalna greka zapravo slijedi direktno iz Taylorovog razvoja, tj.

),( ii yx

)(),()(),()()( 2211

hOy

yxhfyhOyxhfxyxyi

iiiiiii ++=++=+

+ 44 344 21 )()(2

11 hOyxy ii = ++

Vidimo da je lokalna greka 2. reda. 2) Drugi dio greke je propagirajue prirode: greka koja je nastala u jednom koraku odrava se i propagira kroz korake koji slijede. Npr. u iduoj taki koja nije tana i tangenta je drugaija. To slabi ukupnu tanost metode te se moe pokazati da je ukupna globalna greka (lokalna + greka propagacije) zapravo 1. reda.

Slika 6. 3.

Kaemo da je Eulerova metoda prvog reda tanosti.

6.1.3. Poboljanja Eulerove metode Ideja je poboljati procjenu nagiba tangente u trenutnoj taki za odreivanje smjera koristiti emo dvije take na promatranom intervalu. Heunova metoda Najprije u prediktor koraku, procijenimo vrijednost u sljedeoj taki na krivoj, tj.

*1 ( , )n n ny y h f x y+ = + n . (6.2a)

7

Nagib pravca s kojim aproksimiramo traenu krivulju zatim odredimo kao srednju vrijednost nagiba u takama i . Na taj nain, u korektor koraku odredimo vrijednost u sljedeoj taki

),( nn yx ),(*

11 ++ nn yx

*11 ( ( , ) ( , ))2n n n n n n

y y h f x y f x y+ = + + 1 1+ + . (6.2b) Razvojem u Taylorov red moe se pokazati da je kod ove metode lokalna greka

, dok je globalna greka 2. reda, odnosno metoda je drugog reda tanosti. )( 3hO Na Slici 6.4. su usporeeni numeriki rezultati i greka dobivena Eulerovom i Heunovom metodom u Primjeru 6.1. Iz te slike je jasno da Heunova metoda za isti prostorni korak daje puno tanije rezultate od Eulerove metode.

0

0,4

0,8

1,2

1,6

2

0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5

x

y

Egzaktno rjesenjeEulerova metoda h=0,25Heunova metoda h=0,25

0

0,15

0,3

0,45

0,6

0,75

0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5

x

gre

ka

Greka-Heunova metoda Greka-Eulerova metoda

Slika 6. 4. Poboljana poligonalna metoda Ideja je slina onoj u prethodnom sluaju. Ovdje najprije procijenimo vrijednost na

krivoj u taki 1/2 2n nhx x+ = + na sredini segmenta [ ]1, +nn xx , tj. odredimo

1/21 ( , )2n n n

y y h f x y+ = + n . (6.3.a)

8

Vrijednost u novoj taki zatim odredimo pomou pravca s nagibom : ),( 2/12/1 ++ nn yxf

1 12 2

( ,n n n ny y h f x y+ + + 1 )= + . (6.3b) Ovako dobivena metoda je takoer drugog reda tanosti.

6.1.4. Runge - Kutta metode U prethodna dva sluaja smo s poboljanim Eulerovim metodama popravili lokalnu greku metode. Usporedbom Taylorovog polinoma s numerikom metodom, moemo zakljuiti da se Eulerova metoda zasniva na zadravanju lanova Taylorovog razvoja do 1. reda, dok se kod poboljanih Eulerovih metoda lanovi zadre do 2. reda. Na osnovu toga moemo zakljuiti da emo veu tanost postii zadravanjem viih lanova Taylorovog razvoja

2 32 3

1 2 3

( ) 1 ( ) 1 ( )2! 3!

n n nn n

dy x d y x d y xy y h h hdx dx dx+

= + + + +K

u numerikoj emi. Ali, to je doslovno mogue samo ako znamo izvode vieg reda koje iz diferencijalne jednaine 1. reda ne proizilaze direktno. Pitanje je da li se ipak poznavanjem izvoda 1. reda takva tanost moe postii? Pretpostavimo da je poetna taka koraka . Koeficijent smjera tangente u toj taki oznaimo s

),( nn yx

),(1 nn yxfk = . Zatim izvrimo pomicanje do take hpxn 1+ , 10 1

Slino kao do sada, ali s tri ake i linearnom kombinacijom triju koeficijenata dobije se lokalna tanost 4. reda i Runge-Kutta metode treeg reda. Najea varijanta zadana je formulama:

( )hkkkyy

hkkyhxfk

hkyhxfk

yxfk

nn

nn

nn

nn

3211

213

12

1

461

))2(,(

)21,

21(

),(

+++=+++=

++==

+ (6.6)

Najea Runge-Kutta metoda etvrtog reda zadana je formulama:

( )

1

2 1

3 2

4 3

1 1 2 3

( , )1 1( , )2 21 1( , )2 2

( , ).1 2 26

n n

n n

n n

n n

n n

k f x y

k f x h y k h

k f x h y k h

k f x h y k h

y y k k k k+

== + +

= + += + += + + + + 4 h

(6,7)

Primjer 6.3. , 5.820122 23 ++= xxxy 1)0( =y . Na Slici 6.5. su prikazana rjeenja dobivena pomou Eulerove i Runge-Kutta metode. Moemo uoiti poboljanja postignuta koritenjem metoda vieg reda.

y'=-2x^3+12x^2-20x+8.5

0

1

2

3

4

5

6

7

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

x

y

Egzaktno rjeenjeRunge-Kutta 2. reda h=0,5Runge-Kutta 4. reda h=0,5Euler h=0,25

Slika 6. 5.

10

6.2. Sistemi diferencijalnih jednaina 1. reda i diferencijalne jednaine vieg reda

Navest emo (bez dokaza) prvo teoremu o egzistenciji i jedinstvenosti rjeenja sistema/sustava n diferencijalnih jednaina prvog reda zadanog u normalnom obliku:

=

=

=

)...,,,(

)...,,,(

)...,,,(

1

122

111

nnn

n

n

yyxfdxdy

yyxfdxdy

yyxfdxdy

LLLLLLLLL

(6. 8) za poetne uslove/uvjete

000)(...,,)(,)( 0202101 nn yxyyxyyxy === .

Ekvivalentan sistem, zadanom sistemu (6. 8) je sistem integralnih jednaina

)..,,2,1(,),...,,(0

0 1nidxyyxfyy

x

x niii=+= . (6.9)

Teorema 6.2.1. Neka u oblasti D, odreenoj nejednakostima

)...,,2,1(,,0000

nibyybyaxxax iiiii =++ desne strane jednaina (6.8) zadovoljavaju uslove: 1. su neprekidne funkcije svojih argumenata, prema tome i ograniene, tj. postoji konstantna M > 0 takva da je | fi |

)...,,,( 1 ni yyxf )...,,2,1( ni = M ; )...,,2,1( ni =

2. funkcije fi zadovoljavaju Lipschitzov uslov: )...,,2,1( ni ==

n

jjjnini zyNzzxfyyxf

111 )(|)...,,,()...,,,(|

Tada postoji jedinstveno rjeenje zadanog sistema ( y1(x), ..., yn(x)), koje zadovoljava zadane poetne uslove nasegmentu 0000 hxxhx + , gdje je

1) ima oblik:

0),...,',,( )( =nyyyxF (6.10) gdje je F neprekidna funkcija, x nezavisno promjenljiva, a y traena funkcija. Pretpostavimo da se jednaina (6.10) moe rijeiti po najstarijem izvodu, pa je moemo napisati u obliku:

.)...,,',,( )1()( = nn yyyxfy (6.11) Za dokaz teoreme o egzistenciji i jedinstvenosti rjeenja jednaine (6.11) za poetne uslove:

)1(00

)1('0000 )(...,,)(',)(

=== nn yxyyxyyxy (6.12) moe se koristit teorema 6.2.1. Zbog toga treba svesti jednainu (6.11) na sistem diferencijalnih jednaina. To postiemo na taj nain, to u jednaini (6.11) nepoznatim funkcijama smatramo ne samo y, ve i y' = y1, y'' = y2, ..., y(n 1) = yn 1. Onda se jednaina (6.11) svodi na sistem jednaina:

),...,,,,(

'

11'

1

1'

2

2'1

1

==

==

nn

nn

yyyxfyyy

yyyy

LLL

(6.13) dat u normalnom obliku. Najvanije pitanje vezano za diferencijalnu jednainu (6.11) je pitanje postojanja i jedinstvenosti njenog partikularnog rjeenja za zadane poetne uslove (6.12) (Cauchyjev problem / Cauchyjev zadatak /Cauchyjeva zadaa). Na ovo pitanje daje odgovor sljedea teorema . Teorema 6.2.2. Postoji jedinstveno rjeenje diferencijalne jednaine n-tog reda oblika (6.11), koje zadovoljava poetne uslove (6.12), ako je u okolini poetnih vrijednosti funkcija f neprekidna funkcija svojih argumenata i ako zadovoljava Lipschitzov uslov po argumentima . )1(...,,', nyyy Dokaz ove teoreme neposredno slijedi iz teoreme 6.2.1., i uinjenih pretpostavki za funkciju f. Optim rjeenjem diferencijalne jednaine n-tog reda naziva se familija rjeenja, koja sadri sva partikularna rjeenja bez izuzetka. Ovo rjeenje sadri n-proizvoljnih konstanti i ima oblik

1( , , ..., )ny x C C= (6.14) ili 1( , , , ..., ) 0nx y C C = . (6.15)

12

Dajui konstantama Ci odreene vrijednosti, dobiju se partikularna rjeenja jednaine (6.10) ili (6.11). Ove konstante najee odreujemo iz uslova da rjeenje zadovoljava zadane poetne uslove. Napomenimo da modeliranje konkretnog znanstvenog (fizikalnog i dr.) problema dovodi i do sistema diferencijalnih jednaina vieg reda. Meutim, iz prethodnog razmatranja slijedi kako se sistem u kojem se pojavljuju izvodi vieg reda moe svesti na sistem u kojem su samo izvodi prvog reda. Cijena za to je poveanje broja jednaina, no to pokazuje da se moemo ograniiti na razmatranje sistema u kojima su samo izvodi prvog reda. Primjer 6.4. Lorentzov atraktor:

3( ), (26.5 ) ,dx dy dzx y x z y xydt dt dt

= + = = bz.

Ovdje t oznaava vrijeme, b parametar koji odreuje oblik atraktora, x(t), y(t), z(t) su koordinate take u prostoru. Ovakav sistem nije mogue rijeiti analitiki. Numeriki dobiveno rjeenje, uz poetne uslove 0)0()0( == zx i 1)0( =y prikazano je na Slici 6.6.

-10-5

05

10

-10

0

1020

0

10

20

30

40

-10-5

05

10

-10

0

1020

Slika 6. 6.

Primjer 6.5. U tehnici se esto pojavljuje i tzv. predator - prey sistem diferencijal-nih jednaina. Sistem je oblika

1 21 1 1 1 2 2 2 2 1 2( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( )

dy dyg y t d y t y t g y t d y t y tdt dt

= = . Njegovo analitiko rjeenje takoer nije poznato.

13

6.3. Numeriko rjeavanje sistema diferencijalnih jednaina prvog reda Za numeriko rjeavanje sistema diferencijalnih jednaina prvog reda moemo primijeniti prethodno opisane numerike eme/sheme, tj. Eulerovu metodu, Runge-Kutta itd. Te se eme primjenjuju po komponentama sistema diferencijalnih jednaina. Sasvim je jasno da e takav pristup biti odgovarajui, jer se u svim promatranim emama, vrijednost u sljedeem koraku izrauna na osnovu poznatih vrijednosti iz prethodnog proraunskog koraka. Primjer 6.6. Diferencijalna jednadba matematikog klatna/njihala, koja slijedi iz drugog Newtonovog zakona, glasi

0sin22

=+ lg

dtd

. To je nelinearna diferencijalna jednaina drugog reda. Analitiko rjeenje ovakve jednaine nije nam poznato. Da bi odredili njeno numeriko rjeenje, prevedemo tu jednainu na sistem dviju jednaina prvog reda, te ga rijeimo numeriki s nekom od numerikih metoda. Vrlo se esto, da bi odredili analitiko rjeenje, provodi linearizacija gornje jednaine. Naime, iz razvoja funkcije sin u Taylorov red, za male uglove slijedi: sin , pa pripadajua linearizirana jednaina glasi: 02

2=+

lg

dtd .

Dobivena je linearna jednaina drugog reda ije analitiko rjeenje znamo odrediti. Meutim, vano je naglasiti pojavu greke koja nastaje kod linearizacije sistema. Takva se greka lijepo moe uoiti na Slici 6.7.

Na Slici 1.14. je prikazano rjeenje za: 0)0(',4

)0(;3.0 === l .

Slika 1.??.

Slika 6. 7

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

rjeenje originalne jednadbe

0.75

rjeenje linearizirane jednadbe

14

6.4. Diferencijalne jednaine 2. reda

Promatrat emo diferencijalne jednaine oblika

)()()()()( xfxyxqxyxpy = . (6.16)

Traimo rjeenje postavljene jednaine na segmentu [ ]ba, . Razlikujemo dvije klase problema: a) problem sa poetnim vrijednostima: zadane su poetne vrijednosti )(),( ayay

Slika 6. 8.

b) problem sa rubnim uslovima: zadane su vrijednosti )(),( byay

Slika 6. 9.

a b

y

)(ay

poetni uslovi

)(aytg =

x

a b

y

)(ay

)(by

rubni uslovi

x

15

6.4.1. Poetni problem

Segment podijelimo na n jednakih podsegmenata takama [ ba, ] bxxax n == ,,, 10 K , gdje je

nabhhixxi

=+= ,0 . Za postavljene poetne uslove zatim traimo aproksimacije rjeenja u tim takama. nyyy ,,, 21 K y )( 1xy

Slika 6.10.

1) Prevoenje na sistem diferencijalnih jednaina prvog reda Kao to je objanjeno u prethodnom dijelu, postavljeni se problem moe prevesti na poetni problem za sistemdiferencijalnih jednaina. 2) Metoda konanih razlika Sistem diferencijalnih jednaina moemo rjeavati direktno, koristei konane razlike za aproksimacije izvoda u promatranoj taki. Naime, kao to znamo, predstavlja koeficijent smjera tangente u taki . S obzirom da tangentu moemo shvatiti kao granini sluaj sekante, oekujemo da e smjerni koeficijent tangente biti dobar pribliak za . Navedenu aproksimaciju moemo dobiti na vie razliitih naina (Slika 6.11). Aproksimaciju

)( ixyix

)( ixy

1( ) ( )( ) iiy x y xy x

h+ i (6,17)

dobijemo diferenciranjem unaprijed (forward differencing). Diferenciranjem unatrag (backward differencing) dobijemo relaciju

1( ) ( )( ) i ii

y x y xy xh

. (6.18)

)( nxy )( 2xy

0x=a bxn = 1x 2x x

2y ny

0)( yay = 1y

16

a centralnim diferenciranjem (central differencing) relaciju

1( ) ( )( )2

ii

1iy x y xy xh

+ . (6.19) y

Slika 6. 11. Razvojem funkcije u okolini take u Taylorov red moe se pokazati da je greka koju napravimo diferenciranjem unaprijed, odnosno unatrag, reda , dok je greka kod centralnog diferenciranja reda .

)(xy ix)(hO

)( 2hO Za numeriku aproksimaciju druge derivacije koristiti emo injenicu da je druga derivacija zapravo prva derivacija prve derivacije funkcije, tj. aproksimacijom

1 2 1 1

2 12

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) 2 ( ) ( )

i i i i i

i i i

y x y x y x y x y x y xh h

y x y x y xh

+ + + +

+ +

ih

+=

(6.20)

dobijemo drugu podijeljenu razliku unaprijed. Na slian nain dobijemo drugu podijeljenu razliku unatrag,

12( ) 2 ( ) ( )( ) i i ii

y x y x y xy xh

2 + = , (6.21) odnosno drugu centralnu podijeljenu razliku.

1 2( ) 2 ( ) ( )( ) i ii

y x y x y xy xh

+ 1i + = . (6.22) Uvrtavanjem definiranih podijeljenih razlika u zadanu diferencijalnu jednainu (6.16) moemo numeriki odrediti njeno rjeenje.

)( ixy

x

centralno diferenciranje

diferenciranje unaprijed

1iy

1+iy

diferenciranje unatragiy

ix1ix 1+ix

17

Najprije, iz zadanih poetnih uslova slijedi

)( 00 xyy = (6.23a) i

hyyh

yyxy += 01010 )( . (6.23b)

Rekurzivno sada moemo u proizvoljnoj taki posmatranog segmenta odrediti aproksimaciju za vrijednost rjeenja. Naime, uvrtavanjem podijeljenih razlika dobijemo relaciju

)()(2

)(2 11

211

iiiii

iiii xfyxq

hyyxp

hyyy =+ ++ (6.23c)

iz koje odredimo vrijednost , koristei vrijednosti i koje smo odredili u prethodnim koracima. Postupak ponavljamo za

1+iy 1iy iy1,,1 = ni K .Primijetimo, da je ovako

dobivena metoda, odreena relacijama (6.23a)-(6.23c) eksplicitna. Koritenjem drugih podijeljenih razlika mogue je, naravno, dobiti i implicitnu metodu.

6.4.2. Rubni problem

Primjer 6.7. Posmatrajmo jednainu ouvanja toplote/topline tankog dugakog homogenog neizoliranog tapa. U stacionarnom stanju jednaina ima oblik

0)(22

=+ TTkdx

Tdok ,

gdje je temperatura tapa na udaljenosti x, je temperatura okoline, a koeficijent toplotne provodljivosti.

)(xTT = okT k

okT

1T 2T

Lx = 0=x

Slika 6.12.

Da bi rijeili ovaj problem, potrebno je postaviti odgovarajue rubne uslove, npr. zadati temperaturu na krajevima tapa

1)0( TT = i 2)( TLT = . Ovdje se dakle radi o rubnom problemu. Problem sa zadanim rubnim uslovima znatno je tei od problema sa zadanim poetnim vrijednostima.

18

1) Metoda gaanja (shooting method) Posmatrajmo diferencijalnu jednainu (6.16) s rubnim uslovima

ba ybyyay == )(,)( . (6.24) Postavljeni problem prevedemo na sistem diferencijalnih jednaina

)()()( xfyxqzxpzzy

++==

. (6.25)

Kod dobivenog sistema jedan nam je poetni uslov poznat, tj. ayay =)( , dok nam je drugi nepoznat. ?)()( == ayaz

Ideja metode gaanja je zapravo metoda pokuaja i pogreaka. Naime, pokuamo pogoditi vrijednost . Za neku odabranu vrijednost naemo rjeenje sistema To e biti rjeenje postavljenog problema samo ako dobiveno rjeenje zadovoljava uslov

)(ay)(~ xy

byby =)(~ , to najee nee biti sluaj. Da bi odredili ispravnu vrijednost )(ay s kojom emo dobiti rjeenje problema odaberemo dvije vrijednosti i )(1 ay )(2 ay , te naemo pripadajua rjeenja i

(Slika 6.13). Pretpostavimo da vrijedi )(1 xy

)(2 xybyby >)(1 i byby

2) Metoda konanih razlika Drugi nain rjeavanja rubnog problema je pomou metode konanih razlika. Kao i kod poetnog problema, segment najprije podijelimo u n dijelova. S obzirom na postavljene rubne uslove, imamo

ayyxy == 00 )( i bnn yyxy ==)( , (6.27) tj. poznate su nam vrijednosti i . Koristei metode konanih razlika (6.17)-(6.22) za svaku taku mree , iz jednaine (6.16) dobijemo

0y ny

ix

)()()(2 1

211

iiiii

iiii xfyxq

hyyxp

hyyy =+ + . (6.28)

Za razliku od poetnog problema, sada rjeenja ne moemo odrediti rekurzivno jer nam vrijednost nije poznata. Umjesto toga, raspisivanjem jednaina oblika (6.28) za svaki

dobijemo sistem jednaina za 1y1,,1 = ni K 1n 1n nepoznatih vrijednosti . 11 ,, nyy K

2 1 0 1 01 1 1 12

3 2 1 2 12 2 2 22

1 2 1 21 1 12

21: ( ) ( ) ( ),

22 : ( ) ( ) ( ),

21: ( ) ( ) ( )n n n n nn n n

y y y y yi p x q x y f xh h

y y y y yi p x q x y f xh h

y y y y yi n p x q x y f xh h

+ = = + = =

+ = =M

1 .n

Grupisanjem koeficijenata uz nepoznanice ovog sistema i prebacivanjem poznatih vrijednosti na desnu stranu sistema, dobijemo sistem u matrinom obliku

bAy = , gdje je

21 1

2 2

22 2 2

2 2 2

22 2 2

2 2 2

21 1

2 2

2 ( ) ( ) 1

1 ( ) 2 ( ) ( ) 1

1 ( ) 2 ( ) ( ) 1

1 ( ) 2 ( ) ( )

0 0

0

,0 0

0

0

n n n

n n

p x h q x hh h

p x h p x h q x hh h h

p x h p x h q x hh h h

p x h p x h q x hh h

A

+ +

+ +

+ +

+ +

=

O O O

1n

=

1

2

1

ny

yy

yMM

,

=

hyxp

hyxf

xf

xfh

yxphyxf

b

nnnn

n

121

2

2

0120

1

)()(

)(

)(

)()(

M

. Primijetimo da je prethodna matrica A trodijagonalna. Rjeenje takvog sistema se prilino jednostavno odredi pomou neke od metoda za rjeavanje linearnog sistema .

20

G L A V A 6 Heunova metoda Na Slici 6.4. su usporeeni numeriki rezultati i greka dobivena Eulerovom i Heunovom metodom u Primjeru 6.1. Iz te slike je jasno da Heunova metoda za isti prostorni korak daje puno tanije rezultate od Eulerove metode.

Poboljana poligonalna metoda1) Prevoenje na sistem diferencijalnih jednaina prvog redaSlika 6. 11.1) Metoda gaanja (shooting method)