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ANÁLISIS DINÁMICO DE SISTEMAS DE UNO
Y VARIOS GRADOS DE LIBERTAD
UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL - HVCA
EXPOSITORES:PIRCA MACETAS, Grover
QUISPE HUAMANI, Richard
PARI QUISPE, Jhony R.
INTRODUCCIÓN
Ante acciones de tipo dinámico una estructura responde modificando su
configuración alrededor de una posición de equilibrio estable.
Cuando un cuerpo se desplaza de una posición de equilibrio estable, el cuerpo tiendea volver a esta posición al verse afectado por la acción de fuerzas que tienden a
restablecer la situación de equilibrio; este puede ser el caso, de las fuerzas
gravitacionales en un péndulo, o de las fuerzas elásticas impuestas por un resorte en el
caso de una masa apoyada en él. En general en el instante que el cuerpo vuelve a su
posición de equilibrio tiene alguna velocidad que lo lleva más allá de esa posición,presentándose una oscilación alrededor del punto de equilibrio. Estas oscilaciones en
el campo de la mecánica se denominan vibraciones mecánicas.
Para poder establecer el comportamiento dinámico de un cuerpo o estructura,
debemos de conocer los conceptos básico necesarios que rigen las vibraciones a
sistemas de uno y varios grados de libertad, estos conceptos nos permitirán idealizar
mediante un modelo matemático una estructura; con el cual podremos predecir el
comportamiento a mayor escala.
CONCEPTOS PRELIMINARES
Grados de libertad: El número de grados de libertad de un sistema, desde el punto de vista de la dinámica, corresponde al número mínimo de coordenadas necesarias para definir la
posición en el espacio y en el tiempo de todas las partículas de masa del sistema.
Rigidez: Todo cuerpo elástico que sea sometido a fuerzas externas, ya sean estáticas o dinámicas, sufre una deformación. La rigidez se define como la relación entre estas fuerzas
externas y las deformaciones que ellas inducen en el cuerpo; que matemáticamente de
expresa de la siguiente forma:
CONCEPTOS PRELIMINARES
Amortiguamiento: El amortiguamiento es el proceso causante de que un movimiento vibratorio disminuya con el tiempo; la razón de esta disminución esta asociada con una perdida de la energía
presente en el sistema.
Formas de Amortiguamiento:
Amortiguamiento viscoso:
Un cuerpo que se encuentra en movimiento dentro de un fluido tiende a perder energía cinética
debido a que la viscosidad del fluido se opone al movimiento.
Amortiguamiento de coulomb:
Este amortiguamiento corresponde al fenómeno físico de la fricción
seca.
Amortiguamiento histerético:
La histéresis es un fenómeno por medio del cual dos, o más, propiedades físicas se relacionan
de una manera que depende de la historia de su comportamiento previo. Este tipo de
amortiguamiento se presenta cuando un elemento estructural es sometido a inversiones en el
sentido de la carga aplicada cuando el material del elemento se encuentra en el rango
inelástico o no lineal.
Tipos de excitación dinámica:Toda estructura se ve afectada
numerosas veces durante su
vida por efectos dinámicos que
van desde magnitudes
despreciables, hasta efectosque pueden poner en peligro su
estabilidad. En la figura se
muestra los tipos de excitación
dinámica al cual puede estar
sometido una estructura.
CONCEPTOS PRELIMINARES
1.0 SISTEMA DE UNGRADO DE LIBERTAD
1.1 Vibración libre no amortiguada
la fuerza que ejerce el resorte por medio de:
La fuerza inercial que se tiene en la masa m debido a la aceleración a, está
dada, según la segunda ley de Newton
Aplicando el principio de D'Alernbert:
Dividiendo por m y llamando ω2 por la constante k/m, se obtiene:
la solución de esta ecuación diferencial
Finalmente la ecuación es :
EJEMPLO DE APLICACION
Un material que tiene una masa de 1000 kg es soltada desde 1 metro de altura la viga tiene una luz L de 10 m y su sección es 20x 50 cm y su modulo de elasticidad E es 25 000 MPa.
Suponiendo que la caja queda totalmente adherida ala viga a partir del momento
del contacto inicial debe encontrarse una descripción del movimiento oscilatorio que se genera
Solucion
La rigidez será igual a:
La deformación es:
La frecuencia natural
La frecuencia en ciclos por segundo
Periodo
La velocidad
La solución final de la ecuación es:
1.2 Vibración libre amortiguada
Los movimientos oscilatorios tienden a disminuir con el tiempo hasta desaparecer. Esto
se debe al amortiguamiento que se presenta, el cual hace que parte de la energía se disipe.
Utilizando el principio de D'Alembert puede plantearse la siguiente ecuación:
La ecuación característica de la ecuación anterior es:
Ecuación general a partir de los raíces :
Raíces
Cuando el radical de la ecuación es igual a cero la cantidad de amortiguamiento ,
se denomina amortiguamiento crítico y se define como cCY se obtiene así:
Definiendo ξ como el coeficiente de amortiguamiento crítico, igual al cociente c/ cC
entonces:
que al ser reemplazado en las ecuaciones se obtiene:
ξ=1 amortiguamiento criticoξ<1 amortiguamiento menor que el criticoξ>1 amortiguamiento mayor que el critico
2.3 Vibraciones forzadas armónicas
se presenta un sistema de un grado de libertad a cuya masa se le aplica una fuerza que varía en
el tiempo con una periodicidad constante. Esta fuerza periódica puede describirse por medio de
Puede suponerse que la solución particular tiene la siguiente forma:
Al derivar contra el tiempo la ecuación
Respuesta a la excitación armónica como vectores que rotan
utilizando el teorema de Pitágoras
y el ángulo de desfase ~ con respecto a la excitación
Realizando las transformaciones apropiadas
2.5 Excitación en la base
El caso en el cual la excitación del sistema proviene de un movimiento en su base es
muy importante en la dinámica estructural, pues la excitación sísmíca induce este tipo
de respuesta del sistema.
x D'Alembert obteniendo
se define la variable u para describir el desplazamiento relativo entre la masa y la
base de apoyo del sistema
Derivando
La cual indica que un sistema al que se le introduce movimiento en su base es
equivalente a un sistema con su base fija al cual se le aplica una fuerza igual a la masa
del sistema multiplicada por el negativo de la aceleración del terreno.
Se obtiene
se obtiene la siguiente solución
para la respuesta del sistema:
EJEMPLO DE APLICACION
Un sistema de un grado de libertad con amortiguamiento es sometido a una aceleración
en su base como se muestra la celerecion del terreno ao es 0.20g y el tiempo ta es 10 s
debe encontrarse la respuesta en términos de desplazamiento para cualquier tiempo
para un sistema con un periodo T de 2s y su amortiguamiento critico es 5%
Utilizando la ecuación de exitacion en la base ,para 0≤t<ta
La solución para el rango 0≤t<ta
Para t≥ta
Para un sistema con un periodo T de 2s y un coef. De amortiguamiento critico de 5% con una
aceleración del terreno ao de 0.20g y un tiempo ta de duración de aceleración de 10s se
obtiene la respuesta mostrada
SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD
Vibración Libre: Para obtener las ecuaciones de movimiento se plantea el siguiente sistema de tres grados de libertad.
1. Plantemos el sistema de ecuaciones para cada masa según D´Alambert: (fr –fi = 0)
2. Lo expresamos en forma matricial de la siguiente manera:
3. Quedando de forma general
Ecuación de equilibrio dinámico en vibración libre para varios grados de libertad
Excitación Arbitraria: Para obtener las ecuaciones de movimiento se plantea el siguiente sistema de tres grados de libertad.
1. Plantemos el sistema de ecuaciones para cada masa según D´Alambert: (fr –fi = 0)
2. Lo expresamos en forma matricial de la siguiente manera:
3. Quedando de forma general
SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD
Ecuación dinámica para un sistema estructural de varios grados de libertad con excitación
arbitraria.
Excitación en la Base: Para obtener las ecuaciones de movimiento se plantea el siguiente sistema de tres grados de libertad.
SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD
1. Si definimos
2. Expresando matricialmente queda de la siguiente manera:
La matriz [y], que en este caso es un vector con
elementos unitarios, indica que el grado de libertad
expresado en la línea del sistema de ecuaciones
simultáneas es colineal con la aceleración del terreno. L
3. Al despejar {x}, se obtiene:
Derivamos la ecuación anterior
Nuevamente la derivamos y obtenemos:
4. Con el D.C.L expresamos las ecuaciones
5. También se deduce que:
6. Por el principio de D´Alambert:
7. Expresando matricialmente
8. Considerando que:
A
9. Remplazando la ecuación A en la anterior obtenemos
IDEALIZACIÓN DINÁMICA DE LA MASA
La masa de una estructura esta distribuida en todos los elementos que la componen, aunque puede ser idealizada como una masa concentrada en los
nudos de la estructura discretizada.
MATRIZ DE MASA DISTRIBUIDA:
La masa y la rigidez corresponden a un elemento continuo con infinitos grados de libertad.
Esta metodología no es muy práctico en la mayoría de los caso de ingeniería.
Ejemplo: se supone un elemento de pórtico plano al cual se le somete aceleraciones en los extremos.
1. Para cada elemento diferencial se presenta fuerzas inerciales diferenciales.
2. Considerando efectos de las fuerzas inerciales en los extremos podemos escribir la siguiente matriz:
MATRIZ DE MASA DISTRIBUIDA:
El procedimiento para encontrar los términos de la matriz de expresada anteriormente es el siguiente: se fijan todos los grados de libertad de los extremos del elemento, excepto uno de ellos, y a este grado de libertad se le impone una aceleración unitaria para
obtener la siguiente matriz.
MATRIZ DE MASA CONCENTRADA
La matriz de masa consistente o concentrada hace una representación más precisa de las propiedades inerciales de la estructura y además produce frecuencias naturales limitadas inferiormente por las
exactas.
La matriz de masa concentrada se utiliza en el análisis dinámico de cuerpos rígidos, cuando el
elemento es muy rígido se desprecia la deformación interna y las propiedades inerciales se referencia
al centro de masa.
El cuerpo rígido sometido a aceleraciones en planta y rotacional respecto al eje z
Las resultantes de las fuerzas inerciales que generan las aceleraciones se evalúan en el origen del sistema de coordenadas y
tiene los siguientes valores:
MATRIZ DE MASA CONCENTRADAECUACIONES:
1. Cuando el sistema coordenado coincide con el centroide de la placa
rígida
CASOS DE MATRIZ CONCENTRADA
2. Para un sistema estructural reticularaporticado con diafragma rígido, se puede
considerar la matriz de masa diagonal,
siempre y cuando la mayor parte de la
masa este concentrada en la placa.
IDEALIZACIÓN MATRIZ DE RIGIDEZ
MATRIZ DE RIGIDEZ PARA UN ELEMENTO DE PORTICO PLANO
PARA LA DETERMINACION DE CADA TERMINO SE PLANTEA DEFORMACIONES
UNITARIA EN CADA DIRECCION DEL
ELEMENTO.
MATRIZ DE RIGIDEZ PARA UN MODELO DINAMICO DE UN SISTEMA
APORTICADO EN VIBRACION:
IDEALIZACION DINAMICA DEL PORTICO PLANO
REPRESENTANDO LASECUACIONES DE MOVIMIENTO
PARA LAS MASA DISCRETIZADAS
Entonces para n pisos con vigas infinitamente rígidas la matriz K queda:
SOLUCION DE LA RESPUESTA DINAMICA PARA SISTEMAS CON VARIOS GRADOS DE LIBERRTAD
Teniendo la ecuación de vibración libre para un sistema de n grados de libertad
Luego remplazando la expresión anterior en la ecuación diferencial
Cuya solución es la determinante de la siguiente expresión sea igual a cero
La solución del sistema anterior dará n raíces reales positivas que serán las
frecuencias correspondientes de cada modo de vibración.
APLICACIÓN A UN SISTEMA DE 4 GRADOS DE LIBERTAD
Sea la estructura aporticado. Determine las frecuencia, periodo y formas de modo
