Inferência BásicaInferência Estatística: decidindo na presença de incerteza

Universidade Federal de Minas Gerais

Instituto de Ciências Exatas

Departamento de Estatística

Aula 10:

Testes de Hipóteses para Duas Médias em

Amostras Emparelhadas e Independentes

Princípios de Bioestatística

Comparação de Dois Grupos

Comparação de drogas, dietas, terapias, métodos cirúrgicos,

fertilizantes, condições experimentais, características físicas ...

• Dois Novos Tratamentos,

• Tratamento Novo com um Tratamento Padrão ou

• Tratamento com a Ausência de Tratamento.

O melhor dentre dois tratamentos é aquele que:

• produz melhores resultados para a maioria da população,

ou seja, fornece os melhores resultados na média.

• produz o efeito desejado em maior proporção de indivíduos

da população.

Tipos de Planejamento

Amostras Independentes:

Temos duas amostras separadas, uma de cada população:

• Tratamento 1 é aos n1 indivíduos da primeira amostra;

• Tratamento 2 é aos n2 indivíduos da segunda amostra.

Amostras Dependentes (ou Emparelhadas ou Pareadas):

A amostra é constituída de n pares de indivíduos:

• Tratamento 1 é aplicado a um elemento do par;

• Tratamento 2 é aplicado ao outro elemento do par.

Exemplo 1: amostras independentes

Um clínico suspeita que o fato de a mãe ter menos de 20 anos

de idade está associado com o nascimento de bebês com

baixo peso ao nascer (< 2500 gramas).

Ele selecionou aleatoriamente alguns registros de uma grande

maternidade e os dividiu em dois grupos:

Grupo 1: bebês de mães com menos de 20 anos e

Grupo 2: bebês de mães com mais de 20 anos.

Para cada bebê em cada grupo, observou a variável:

X: peso ao nascer (em gramas).

Exemplo 2: amostra emparelhadas

Para comparar dois tipos de colírio (A e B) quanto à variável

“tempo para dilatar a pupila para o exame oftalmológico”,20 pacientes receberam um colírio em cada olho

n = 20 pares cada paciente é um par: (Olho D ; Olho E).

Exemplo 3: amostradas emparelhadas

Um pesquisador deseja verificar se uma droga reduz a pressão

sanguínea. A pressão sanguínea foi registrada antes e depois

da aplicação da droga em 15 animais.

Tratamento 1: Ausência da droga (“Antes”)

Tratamento 2: Presença da droga (“Depois”)

n = 15 pares cada animal é um par: (Xantes, Xdepois).

Exemplo 4: amostras independentes

Na fase inicial da pesquisa sobre a eficiência do AZT no

tratamento da AIDS, dois grupos de pacientes soropositivos

em fase terminal foram formados:

Grupo 1: pacientes que receberam o AZT e,

Grupo 2: pacientes que receberam um placebo.

Consumo de chocolate amargo e redução na pressão arterial

Taubert, D. et al. (2007) Effects of Low Habitual Cocoa Intake on Blood Pressure and Bioactive Nitric

Oxide: A Randomized Controlled Trial, JAMA, July 4, 2007—Vol 298, No. 1

44 adultos com

hipertensão

arterial leve

Antes

Depois

18 semanas

Antes

Depois

18 semanas

Chocolate

amargo

Chocolate

branco

Exemplo 5: Múltiplos Planejamentos

Amostras

Pareadas

Amostras

Pareadas

Amostras

independentes

Comparação de Duas Médias em

Amostras Emparelhadas

Amostra com n pares de indivíduos:

• Tratamento 1 é aplicado a um elemento do par (medida x)

• Tratamento 2 é aplicado ao outro elemento do par (medida y)

Par Tratamento 1

x

Tratamento 2

y

Diferenças

d = x - y

1 x1 y1 d1 = x1 - y1

2 x2 y2 d2 = x2 - y2

M M M M

n xn yn dn = xn - yn

Médias populacionais (desconhecidas): μ1 e μ2 , μd = μ1 - μ2

Hipótese nula:

H0: μ1 = μ2

H0: μd = 0

sd = desvio-padrão das diferenças

d = média das diferenças

Hipótese nula: H0: μd = 0

Hipótese alternativa: H1: μd < 0 ou H1: μd > 0 ou H1: μd ≠ 0

sd = desvio-padrão das diferenças

d = média das diferenças

Estatística de Teste:0

obs

d d

d dT

s n s n

n: tamanho da amostra (número de pares)

Distribuição de referência: t com n-1 graus de liberdade

Consumo de chocolate amargo e

redução na pressão arterial*

2.9 0-8.50

1.6 22obsT

Grupo “chocolate amargo”

2.9 e 1.6dd s

Valor P = 2.P(t21< -8.50)

= 2.P(t21> 8.50)

< 2.(0.0005)

Valor P < 0.001

“Ao nível de significância de 5%, foram encontradas evidências

estatisticamente significantes de que a pressão sistólica média

antes e 18 semanas depois do consumo de chocolate amargo

são diferentes (valor p < 0.001)”

μ: média da pressão sistólica

0.025 0.025

0 2.082.08

H0: μDepois – μAntes= 0

HA: μDepois – μAntes ≠ 0

a = 0.05

t21

0.1 0 0.29

1.6 22obsT

Grupo “chocolate branco”

0.1 e 1.6dd s

Valor P > 0.60

“Ao nível de significância de 5%, não foram encontradas

evidências estatisticamente significantes contra a hipótese de

que a pressão sistólica média antes e depois do consumo de

chocolate branco são iguais (valor p > 0.60)”

μ: média da pressão sistólica

0.025 0.025

0 2.082.08

H0: μDepois – μAntes= 0

HA: μDepois – μAntes ≠ 0

a = 0.05

t21

Valor P = 2.P(t21 > 0.29)

> 2.(0.30)

Pela nossa tabela

Hipóteses Região de Rejeição de H0 Valor P

H0: mD = 0

H1: mD < 0P(T(n-1) < Tobs )

H0: mD = 0

H1: mD > 0P(T(n-1) > Tobs )

H0: mD = 0

H1: mD 0 ou 2xP(T(n-1) >|Tobs|)

ns

dTd

obs

);1( a

ntTobs

);1( a

ntTobs

)2

;1( a

ntTobs )

2;1( a

n

tTobs

RESUMO:

Comparação de Duas Médias em Amostras Emparelhadas

Estatística de Teste:

Hipótese nula: H0: μd = 0

μ1 ≠ μ2

σ1=σ2=σ

Comparação de duas Médias

Amostras Independentes

Médias Populacionais (desconhecidas): μ1 e μ2 , μd = μ1 - μ2

Hipótese nula: H0: μ1 = μ2 H0: μ1 - μ2 = 0 H0: μd = 0

Suposição: as amostras dos

grupos 1 e 2 vêm de populações

com distribuição Normal com

desvios-padrão iguais.

Amostras Grupo 1 Grupo 2

Tamanho n1 n2

Média

Desvio-Padrão s1 s2

s1 e s2 são estimativas do desvio-padrão comum σ.

x y

Hipótese nula: H0: μ1 = μ2 H0: μ1 - μ2 = 0 H0: μd = 0

Hipótese alternativa: H1: μ1 ≠ μ2 H1: μ1 - μ2 ≠ 0 H1: μd ≠ 0

ou H1: μ1 < μ2 H1: μ1 - μ2 < 0 H1: μd < 0

ou H1: μ1 > μ2 H1: μ1 - μ2 > 0 H1: μd > 0

Estatística de Teste:

Distribuição de referência: T com gl = n1 + n2 - 2

Supondo que as amostras dos Grupos 1 e 2 tenham vindo de

populações com distribuição Normal e desvios-padrão iguais:

snsns

nncomb2112222

12

11

2

()()

Hipótese nula: H0: μ1 = μ2 H0: μ1 - μ2 = 0 H0: μd = 0

Tabela 2 do artigo

(Taubert et al, 2007)

H0: μCA = μCB

HA: μCA ≠ μCB

0.025 0.025

0 2.022.02

42;0.025 40;0.025 2.02t t

a = 0.05

“Ao nível de significância de 5%, não foram encontradas

evidências estatisticamente significantes contra a hipótese nula

de que as taxas médias de colesterol total são iguais nos dois

grupos de estudo (valor p = 0.83)”

valor p = 0.83 (do artigo)

H0: μCA = μCB

HA: μCA ≠ μCA

valor p = 2.P(t42 > 0.23) 2.P(t40 > 0.23) > 2(0.40) = 0.80

Valor p > 0.80.

Hipóteses Região de Rejeição de H0 Valor P

H0: μ1 = μ2

H1: μ1 < μ2P(T(gl) < Tobs )

H0: μ1 = μ2

H1: μ1 > μ2P(T(gl) > Tobs )

H0: μ1 = μ2

H1: μ1 μ2

ou 2xP(T(gl) >|Tobs|)

);( agltTobs

);( agltTobs

)2

;( agltTobs

)2

;( agltTobs

RESUMO:

Comparação de Duas Médias em Amostras Independentes

Estatística de Teste:

Tx y

sn n

obs

comb

2

1 2

1 1s

n s n s

n ncomb2 1 1

22 2

2

1 2

1 1

2

( ) ( )

gl = n1 + n2 - 2

Hipótese nula: H0: μ1 = μ2

Intervalos de Confiança e Testes de Hipóteses

Intervalos de Confiança podem ser usados

para se fazer Testes de Hipóteses Bilaterais.

H0: μd = 0

HA: μd ≠ 0

A região de não-rejeição de um teste bilateral sobre μd

é o intervalo de confiança para μd.

Se um intervalo com 100(1-α)% de confiança é

usado para se fazer um teste bilateral,

o nível de significância associado ao teste é α%.

H0: μd = m0

HA: μd ≠ m0

Hipótese nula: H0: μ1 = μ2 H0: μ1 - μ2 = 0 H0: μd = 0

Intervalos de Confiança para a diferença de médias

n

stdICd

n)2;1(

)%1(100

21aamm

ICxyt snnnn combmma a12 12

100122

2

12

11

()%( ;/)()

Amostras dependentes:

Amostras independentes:

Como usar um Intervalo de Confiança para fazer um

Teste de Hipóteses Bilateral ?

H0: μd = μ0

HA: μd ≠ μ0

O intervalo de 100(1-α)%

de confiança para μd

contém o valor μ0 ?

NÃO

SIM

rejeitamos H0 ao nível de α% de significância

não rejeitamos H0

ao nível de α% de significância

Exemplo

Num estudo sobre os efeitos da suplementação de vitamina A,

crianças de 4 a 24 meses de idade, com sarampo e complicações

(pneumonia e diarréia grave) foram divididas em dois grupos:

um grupo recebeu vitamina A nas doses recomendadas pela OMS

e

outro grupo recebeu um placebo.

Durante o acompanhamento, foram medidas as seguintes variáveis:

PC – duração da pneumonia clínica (dias),

DI – duração da diarréia (dias) e

GP – ganho de peso após 6 semanas (g).

H0: μA - μP = 0

HA: μA - μP ≠ 0

Média e desvio-padrão (entre parênteses) para as três

características dos grupos de Placebo e Vitamina A

Placebo Vitamina AIntervalo de 99% de

Confiança para (μA – μP)

PC (dias) 4,50 (0,79) 4,10 (0,40) -0,82 a 0,02

DI (dias) 3,60 (0,35) 3,30 (0,71) -0,67 a 0,07

GP (g) 900 (140) 1150 (310) 70 a 430

(não rejeitar H0 a 1% de sig.)

(não rejeitar H0 a 1% de sig.)

(rejeitar H0 a 1% de sig.)