U.T.N. - F.R. Haedo

Guía de ejercicios

de

Física II

Para todas las carreras

2014

UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS 2

PROGRAMA DE FÍSICA II FÍSICA DEL CALOR

1. - INTRODUCCIÓN A LA TERMODINÁMICA - TERMOLOGÍA. Sistemas termodinámicos. Estado de un sistema. Temperatura y termometría: principio cero. Termómetro de gas a volumen constante. Temperatura termodinámica. Escalas termométricas. Dilatación de sólidos y líquidos, esfuerzos de origen térmico. Cantidad de calor. Capacidad calorífica y calor específico, calor molar. Cambios de fase y calor latente. Calorimetría. Gas ideal. Ley de R. Boyle. Ley de J. Charles y L. J. Gay-Lussac. Diagrama p -V. Ecuación de estado. Ejemplos y problemas de aplicación. 2. - PRIMER PRINCIPIO DE LA TERMODINÁMICA. Trabajo de dilatación. Transformaciones reversibles e irreversibles. Equivalente térmico del trabajo. Primer principio de la termodinámica. Energía interna. Calores específicos a volumen constante y a presión constante. Transformaciones isobáricas, isocoras, isotérmicas y adiabáticas. Relación de Mayer. Primer principio en transformaciones abiertas y en transformaciones cerradas. Ejemplos y problemas de aplicación. 3. - SEGUNDO PRINCIPIO DE LA TERMODINÁMICA. Rendimiento térmico. Máquina térmica. Máquina frigorífica. Segundo principio de la termodinámica. La máquina de Carnot. Teorema de Carnot. Entropía. Variaciones de entropía en procesos irreversibles. Principio del aumento de entropía. Ejemplos y problemas de aplicación.

ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO 4. - ELECTROSTÁTICA Carga eléctrica. Estructura atómica de la materia. Fenómenos de electrización. Conductores y aisladores. Conservación de la carga eléctrica. Ley de Coulomb. Campo eléctrico. Líneas de campo eléctrico. Cálculo de campos mediante la Ley de Coulomb. Dipolo eléctrico. Momento de dipolo eléctrico. Distribuciones continuas de carga. Flujo de campo eléctrico. Ley de Gauss. Cálculo de campos mediante la Ley de Gauss. Campo en las proximidades de un conductor. Trabajo sobre una carga en un campo eléctrico. Potencial y diferencia de potencial eléctricos. Superficies equipotenciales. Gradiente de potencial. Ejemplos y problemas de aplicación. 5. - CAPACIDAD. CONDENSADORES. Capacidad. Condensador de armaduras paralelas. Condensador cilíndrico. Acoplamiento de condensadores. Almacenamiento de la energía eléctrica. Ejemplos y problemas de aplicación. 6. - PROPIEDADES ELÉCTRICAS DE LA MATERIA. Dieléctricos. Polarización. Permitividad relativa. Susceptibilidad eléctrica. Ejemplos y problemas de aplicación. 7. - ELECTROCINÉTICA. Corriente eléctrica. Intensidad de corriente. Densidad de corriente. Resistencia y conductancia eléctricas. Ley de Ohm Resistividad, variación con la temperatura. Superconductividad. Fuerza electromotriz. Diferencia de potencial entre bornes de una fuente. Acoplamiento de resistencias. Potencia eléctrica. Ley de Joule. Teorema de máxima transferencia. Circuitos. Leyes de Kirchhoff. Diferencia de potencial entre dos puntos de un circuito. Puente de Wheatstone. Fuentes de corriente. Acoplamiento de fuentes. Circuito R-C. Ejemplos y problemas de aplicación. 8. - MAGNETOSTÁTICA. Fuerza magnética sobre cargas en movimiento relativo. El vector Campo Magnético. Líneas de campo magnético. Movimiento de una carga puntual en un campo magnético. Experiencia de Thomson, relación q/m. Espectrómetro de masas. Fuerza sobre un conductor con corriente en un campo magnético. Momento sobre espiras de corriente en un campo magnético. Momento de dipolo magnético. Motor elemental. Efecto Hall. Campo creado por cargas en movimiento. Ley de Ampere. Ley de Biot - Savart. Ejemplos y problemas de aplicación. 9. - INDUCCIÓN MAGNÉTICA. Flujo del campo magnético. Fenómenos de inducción. FEM. inducida y ley de Faraday-Henry. Ley de Lenz. Generador elemental. Corrientes de

UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS 3Foucault. Inductancia. Circuito R-L. Energía del campo magnético. Oscilaciones de un circuito R-L-C. Ejemplos y problemas de aplicación. 10.- CORRIENTE ALTERNA. Corrientes alternas. Corriente sinusoidal. Valor eficaz de la tensión y de la corriente. Representación de las funciones sinusoidales del tiempo en forma compleja. Representación vectorial. Suma de tensiones y corrientes sinusoidales. Circuitos: resistencia, inductancia y capacitancia puras. Reactancias. Circuito R-L-C serie. Impedancia compleja. Admitancia y conductancias. Ejemplos y problemas de aplicación. 11.- PROPIEDADES MAGNÉTICAS DE LA MATERIA. Magnetización de la materia. El vector magnetización. Permeabilidad magnética. Susceptibilidad magnética. Diamagnetismo. Paramagnetismo. Ferromagnetismo, histéresis. Circuitos magnéticos, resistencia magnética. Imanes permanentes. Ejemplos y problemas de aplicación. 12.- ECUACIONES DE MAXWELL Y ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS. Ley de Ampere para regímenes no estacionarios. Ecuaciones de Maxwell. Ondas electromagnéticas.

ÓPTICA 13.-INTERFERENCIA DE ONDAS LUMINOSAS. Condiciones para la interferencia. Experimento de Young de la doble rendija. Cambio de fase por reflexión. Interferencia en películas delgadas. 14.-DIFRACCIÓN Y POLARIZACIÓN. Introducción a la difracción. Difracción de una sola rendija. Red de difracción. Polarización de la luz. BIBLIOGRAFÍA

Título Autor / es Editorial Existencia en biblioteca

Física, Partes I y II Resnick - Halliday C.E.C.S.A.. Si Física, Tomo II Serway Mc Graw Hill. Si Física, Volumen II Alonso - Finn Addison Wesley Si

Física * y ** P. A. Tipler Reverté Si Física Universitaria (con Física Moderna)

Sears - Zemansky (Young - Freedman)

Pearson Si

Fundamentos de Electricidad y Magnetismo

A. F. Kip Mc Graw Hill. Si

Física, Volumen II R. Feynman Addison Wesley Iberoamericana

Si

Óptica Hecht - Zajac Addison Wesley Iberoamericana

Si

NOTA 1: Los ejercicios marcados con asterisco (*) son de carácter extracurricular. NOTA 2: El tema referido a Corriente Alterna sólo se presenta, indicando las diferencias entre C.C. y C.A.

UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS 4 DILATACIÓN

Valores de coeficientes de dilatación térmica de algunos sólidos

(entre 0 y 100 ºC)

Valores de coeficientes de dilatación térmica de algunos gases y líquidos (entre

0 y 100 ºC) Material )( 1−Kα Material β ( )K−1

Acero 11⋅10-6 Acetona 1,5⋅10-3 Aluminio 24⋅10-6 Agua (20 oC) 0,207⋅10-3

Carbono (diamante) 1,2⋅10-6 Aire 3,67⋅10-3 Carbono (grafito) 7,9⋅10-6 Alcohol 1,1⋅10-3

Cobre 17⋅10-6 Bisulfuro de carbono 1,14⋅10-3 Cristal Std. 9⋅10-6 Alcohol etílico 0,745⋅10-3 Cristal Pirex 3,2⋅10-6 Glicerina 0,485⋅10-3

Plomo 29⋅10-6 Petróleo 0,899⋅10-3 Plata 19⋅10-6 Benzol 1,24⋅10-3

Estaño 27⋅10-6 Mercurio 0,182⋅10-3 Platino 8,9⋅10-6

Hielo (de -10 a 0oC) 51⋅10-6 Invar (Ni-Cr-Co-Fe) 1⋅10-6

Latón 19⋅10-6 Cinc 29⋅10-6

Cuarzo fundido 0,4⋅10-6

1. Exprese el coeficiente de dilatación volumétrica del mercurio en 1/ºF. Rta.: β = 1 x 10-4 1/ºF. 2. Hallar la densidad del mercurio a 300 ºC sabiendo que a 0 ºC su densidad relativa es igual a 13,6. Considere que en el intervalo de temperaturas es βHg = 185 x 10-6 1/ºC. Rta.: ρHg 300 ºC = 12,9 g/cm3. 3. La densidad del mercurio a 100 oC es 13,4 g/cm3. ¿A qué temperatura es 13,1 g/cm3? Rta.: 225,8 oC.

4. El módulo de compresibilidad ( ΔVV

ΔpB = - ) del benzol a 0 oC y a la presión

atmosférica normal es 1,11x105 atm. ¿Qué variación de presión exterior (Δp) habrá que ejercer sobre el benzol para que su volumen no varíe cuando su temperatura aumenta en 1 ºC? Rta.: 138 atm. 5. Cuando cierto metal se calienta desde 0 hasta 500 ºC su densidad disminuye 1,027 veces. Determine el coeficiente de dilatación lineal de este metal suponiendo que es constante en el intervalo dado de temperaturas. Rta.: α = 1,8 x 10-5 1/ºC. 6. Determine el módulo de compresibilidad del mercurio sabiendo que para que su volumen no varíe cuando se lo calienta 1oC es necesario aumentar 47 atmósferas la presión exterior. Rta.: 258 x 103 atm. 7. Un recipiente Pirex se llena al máximo posible con mercurio. La temperatura del conjunto es 0 oC y la masa total es de 1 kg. La masa del recipiente es de 0,1 kg. Calcule

UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS 5la cantidad (en kg) de mercurio a 100 oC que puede contener el recipiente si se desprecia la dilatación del recipiente. Rta.: m = 0,884kg. 8. Resolver el problema anterior si se toma en cuenta la dilatación del recipiente. Rta.: m = 0,885kg. 9. ¿Qué longitudes deberán tener respectivamente a 0 oC, una barra de acero y otra de cobre para que a cualquier temperatura la barra de acero sea 5 cm más larga que la de cobre? Rta.: Lcu = 9,17 cm; Lac=14,17 cm. 10. En el intervalo de temperaturas de 0 a 660 oC se usa un termómetro de resistencia de platino para determinar temperaturas en la escala Celsius. La temperatura está dada por una ecuación para la variación de resistencia con la temperatura:

2= (1 + t + t )⋅ ⋅0R R A B , donde R0, A y B son constantes que se determinan experimentalmente; en el punto de fusión del hielo R = 10,000 Ω, en el punto de ebullición del agua R = 13,946 Ω, y en el punto de ebullición del azufre (444,60 oC) R=24,817 Ω. Encontrar R0, A y B. Rta.: R0 = 10,000 Ω, A = 4,124 x 10-3 1/ºC, B = -1,780 x 10-6 1/ºC2 respectivamente. 11. La tabla indica el volumen de 1 gramo de agua a la presión atmosférica normal. Con estos datos encontrar el coeficiente de dilatación volumétrica medio del agua entre las temperaturas: a) 0 y 2 oC, b) 0 y 4 oC, c) 0 y 20 oC, d) 0 y 100 oC, e) 20 y 100oC. Rta.: a) β = -5 x 10-5 1/ºC, b) β = -3,25 x 10-5 1/ºC, c) β = 8,2 x 10-5 1/ºC, d) β = 4,3 x 10-4 1/ºC, e) β = 5,2 x 10-4 1/ºC.

12. (*) El par bimetálico de la figura está formado por dos láminas de diferentes metales unidas rígidamente en la superficie de contacto. Demuestre que si las láminas son del mismo espesor “d”, el par adopta la forma de una arco de circunferencia cuyo radio es aproximadamente:

( )1 2

dR =Δt × -α α

, donde “Δt” es la

variación de temperatura, α1 y α2 son los coeficientes respectivos de dilatación. 13. Un alambre de 60 cm de longitud se dobla en forma circular

dejando un vano de 1 cm entre sus extremos. Se eleva la temperatura desde 20 ºC hasta 120 ºC, con lo cual la separación aumenta hasta 1,002 cm. ¿Cuál es el coeficiente de dilatación lineal del alambre? Suponer que no se producen tensiones en el alambre. Rta.: α = 2.10-5 oC-1.

14. Considere un cubo de arista l . a) Si todas las aristas varían en una cantidad lΔ , hallar la variación VΔ de su volumen. b) Si todas las aristas varían en una cantidad infinitesimal dl , hallar la variación

diferencial dV de su volumen, definido de manera que 0

liml

dV Vdl lΔ →

Δ=

Δ.

c) A partir de lo anterior, hallar la relación entre el coeficiente de dilación lineal 1 dll dt

α = y

el volumétrico 1 dVV dt

β = .

metal 1

metal 2

t oC volumen de 1 g (en cm3)0 1,00013 2 1,00003 4 1,00000 6 1,00003 10 1,00027 20 1,00177 50 1,01207 75 1,02576 100 1,04343

UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS 615. Considere un disco de radio r . a) Si el radio r varía en una cantidad rΔ , hallar la variación lΔ de su perímetro y la variación sΔ de su área. b) Si el radio r varía en una cantidad (diferencial) dr , calcular la variación dl de su perímetro y la variación ds de su área.

c) Si el coeficiente de dilatación lineal del disco se define como: 1 drr dt

α = , expresar en

función de α su coeficiente de dilatación superficial definido como: 1 dss dt

.

16. Considere una esfera de radio r . a) Si el radio r varía en una cantidad (diferencial) dr , expresar en función de estas dos magnitudes la variación dV de su volumen.

b) Si el coeficiente de dilatación lineal de la esfera se define como: 1 drr dt

α = , expresar en

función de α su coeficiente de dilatación volumétrico definido como: 1 dVV dt

β = .

UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS 7

CALORIMETRÍA

* Estos valores corresponden a la sublimación, pues el CO2 a la presión de 1 atm no se puede encontrar en estado líquido. 1 cal = 4,186 J 1 J = 1x107 erg 1. Un ser humano consume normalmente alimentos con un valor energético total de 2500 kcal por día. a) Determinar la equivalencia en Julios (J). b) Calcule la potencia disipada en vatios (W) si suponemos que esta energía se pierde con un ritmo uniforme en 24 h. Rta.: a) 1,046 x 107 J, b) 121 W. 2. Calcule el calor específico de un metal a partir de los siguientes datos. Un depósito hecho del metal pesa 35,6 N y contiene además 133,5 N de agua. Un trozo del metal de 17,8 N, que está inicialmente a una temperatura de 177 ºC, se sumerge en el agua. El agua y el depósito tenían inicialmente una temperatura de 15,5 ºC y la temperatura final de todo el sistema fue de 18,3 ºC. Rta.: c = 0,137 kcal/kg·ºC. 3. Un termómetro de masa 0,055 kg y de calor específico 0,20 kcal/kg·ºC indica 15,0 ºC. El termómetro se introduce en una masa de agua de 0,3 kg y ambos alcanzan el equilibrio térmico. Si el termómetro indica 44,4 ºC y es exacto. ¿Cuál era la temperatura del agua antes de introducir el termómetro?, no considerando otras pérdidas de calor. Rta.: t = 45,48 ºC. 4. 200 g de plomo se calientan a 90 ºC y se sumergen en 500 g de agua a 20 ºC. Despreciando la capacidad calorífica del recinto, determine la temperatura final del plomo y del agua. Rta.: t = 20,84 ºC. 5. El calor específico de cierto metal se determina midiendo la variación de temperatura que tiene lugar cuando una porción calentada del metal se coloca en un recinto aislado construido del mismo material y que contiene agua. La porción de metal posee una masa de 100g y una temperatura inicial de 100 ºC. El recipiente tiene una

Calor específico de algunos sólidos y líquidos (a 20 0C)

Sustancia c ( )⋅kJ

kg K c ( )⋅kcal

kg K

Agua 4,184 04,184Alcohol etílico 2,4 00,006

Aluminio 0,90 00,090Bismuto 0,123 00,123Cobre 0,386 00,386

Hielo (-100C) 2,05 00,007Mercurio 0,14 00,014

Oro 0,126 00,126Plata 0,233 00,233Plomo 0,128 00,128

Tungsteno 0,134 00,134Zinc 0,387 00,387

Punto de fusión normal (PF), calor latente de fusión (Lf), punto de ebullición normal (PE) y calor latente de vaporización (Lv) de varias sustancias a

1 atm

Sustancia PF (K) Lf ( kJkg ) PE (K) Lv ( kJ

kg )

Agua 273,15 333,5 373,15 2257Alcohol et. 159 109 351 879

Azufre 388 38,5 717,75 287Bromo 266 67,4 332 369Cobre 1356 205 2839 4726

Dióx. de C - - 194,6 * 573 *Helio - - 4,2 21

Mercurio 234 11,3 630 296Nitrógeno 63 25,7 77,35 199

Oro 1336 62,8 3081 1701Oxígeno 54,4 13,8 90,2 213

Plata 1234 105 2436 2323Plomo 600 24,7 2023 858Zinc 692 102 1184 1768

UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS 8masa de 200 g y contiene 500 g de agua a una temperatura de 20 ºC. La temperatura final es 21,4 ºC. ¿Cuál es el calor específico del metal? Rta.: c = 0,0924 kcal/kg·ºC. 6. 200 g de hielo a 0 ºC se introducen en 500 g de agua a 20 ºC. El sistema se encuentra en un recipiente de capacidad calorífica despreciable y aislado térmicamente. a) ¿Cuál es la temperatura final de equilibrio del sistema?, b) ¿qué cantidad de hielo se funde? Rta.: a) 0 ºC, b) 125 g. 7. ¿Qué cantidad de calor se desprende cuando 100 g de vapor de agua a 150 ºC se enfrían y congelan produciendo 100 g de hielo a 0 ºC? Tomar para el calor específico del vapor el valor 2,01 kJ/kg·ºC. Rta.: 74,3 kcal. 8. Si se vierten 500 g de plomo fundido a 327 ºC dentro de una cavidad en un bloque de hielo a 0 ºC. ¿Cuánto hielo se funde? Rta.: 99,8 g. 9. Un recipiente calorimétrico de aluminio de 200 g contiene 500 g de agua a 20 ºC. Se calientan a 100 ºC 300 g de viruta de aluminio y luego se introducen en el calorímetro. a) Determine la temperatura final del sistema suponiendo que no se pierde calor hacia el exterior. b) El error debido a la transferencia de calor desde y hacia el exterior puede reducirse al mínimo si se elige la temperatura inicial del agua y el calorímetro de forma que esté a ½·Δt por debajo de la temperatura ambiente, donde Δt es la variación de temperatura del agua y del calorímetro durante el proceso. Entonces la temperatura final estará a ½·Δt por encima de la temperatura ambiente. ¿Cuál debe ser la temperatura inicial del agua y del calorímetro si el ambiente está a 20 ºC? Rta.: a) 28,5 ºC, b) 15,75 ºC. 10. A temperaturas muy bajas el calor específico de un metal viene dado por:

3TbTac ⋅+⋅= . Para el cobre, a = 0,0108 J/kg·K2 y b = 7,62 x 10-4 J/kg·K4 y. a) Cuál es el calor específico de cobre a 4 K? b) ¿Qué cantidad de calor por unidad de masa es necesario suministrar para calentar el cobre desde 1 K hasta 3 K? Rta.: a) 0,092 J/kg·K, b) 0,0584 J/kg. 11. En un calorímetro que contiene 100 g de hielo a una temperatura de -20 ºC se vierten 150 g de vapor de agua a una temperatura de 100 ºC. ¿Qué temperatura adquirirá el contenido del calorímetro, si su capacidad calorífica es de 300 J/ºC? Rta.: 100 ºC.

UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS 9 ECUACIÓN DE ESTADO Y PRIMER PRINCIPIO Equivalencia entre unidades de presión

bar N/m2 (Pa)

kN/m2 (kPa)

mm Hg (0 oC) (torr)

m H2O (4 oC)

kgf/cm2 lbf/in2

PSI atm

(standard)1 105 100 750,062 10,197 2 1,019 72 14,503 8 0,986 923

1,013 25 101 325 101,325 760 10,332 3 1,033 23 14,695 9 1 Masas moleculares de algunas sustancias

Sustancia Masa molecularM (g/mol)

acetileno (C2H2) 26,038 ácido sulfhídrico (SH2) 34,082

anhídrido carbónico (CO2) 44,011 anhídrido sulfuroso (SO2) 64,066

aire 28,967 amoníaco (NH3) 17,032

argón (A) 39,944 etano (C2H6) 30,07 etileno (C2H4) 28,054

helio (He) 4,003

Sustancia Masa molecular M (g/mol)

hidrógeno (H2) 2,016 isobutano (C4H10) 58,124

metano (CH4) 16,043 nitrógeno (N2) 28,016

monóxido de carbono (CO) 28,011 óxido nitroso (N2O) 44,02 óxido nítrico (NO) 30,008

oxígeno (O2) 32 propano (C3H8) 44,097

Constante universal de los gases: ⋅⋅ ⋅ ⋅

J l atm calR = 8,314 = 0,08206 = 1,9871mol K mol K mol K

.

Número de Avogadro: N = 6,022 x 1023 moléculas/mol. Volumen de 1 mol en CNPT (0 ºC y 101325 Pa): 22,414 dm3. 1. ¿Qué temperatura tienen 2 g de nitrógeno si su volumen es de 820 cm3 y su presión de 2 atm? Rta.: 280 K. 2. ¿Qué volumen ocupan 10 g de oxígeno a la presión de 750 mm de Hg y a la temperatura de 20 ºC? Rta.: 7,6 litros. 3. Una botella de 12 litros está llena de nitrógeno a la presión de 8,1 x 106 N/m2 y a la temperatura de 17 ºC. ¿Qué cantidad de nitrógeno hay en la botella? Rta.: 1,13 kg.

UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS 104. Un recipiente tiene aire a 7 ºC y 1 atm. ¿A qué temperatura se debe llevar para aumentar la presión del aire a 1,3 atm? Rta.: 364 K. 5. ¿Qué capacidad debe tener un recipiente para almacenar 6,4 kg de oxígeno a 20 ºC si sus paredes resisten a lo sumo una presión de 1568 N/cm2? Rta.: V ≥ 3,1 x 10-2 m3. 6. En un recipiente había 10 kg de gas a la presión de 1 x 107 N/m2. Determine la cantidad de gas que se sacó del recipiente si la presión final resultó ser de 2,5 x 106 N/m2, a la misma temperatura. Rta.: 7,5 kg. 7. Determinar la masa de anhídrido sulfuroso que ocupa un volumen de 25 l a la temperatura de 27 ºC y 760 mm de Hg. Rta.: 0,065 kg. 8. Estimando el volumen del aula, determinar la masa de aire que llena el aula si la temperatura es de 17 ºC y la presión de 760 mm de Hg. 9. ¿Cuántas veces más pesa el aire que ocupa un galpón en invierno (7 ºC) que el que lo llena en verano (35 ºC)? Suponer la misma presión de 1 atm. Rta.: 1,1 veces. 10. ¿Qué cantidad de moles de un gas hay en un recipiente de 10 m3 de capacidad a la presión de 720 mm de Hg y a 17 ºC? Rta.: 398 moles. 11. En un recipiente cerrado de 4 l de capacidad hay 5 g de nitrógeno a la temperatura de 20 ºC. El recipiente se calienta hasta la temperatura de 40 ºC. Determine la presión del gas antes y después de calentarlo. Rta.: 108805 Pa y 116230 Pa respectivamente. 12. En la parte central de un tubo capilar de 1 m de longitud, en que se ha hecho el vacío relativo y cuyos extremos se han cerrado, hay una columna de mercurio de longitud l = 20 cm. Si el tubo capilar se coloca en posición vertical, el mercurio se desplaza una distancia Δl = 10 cm. ¿Hasta qué presión se hizo el vacío en el tubo? Sugerencia: aplicar la ley de Boyle-Mariotte a los volúmenes inicial y final. Rta.: 374,9 mm de Hg. 13. Calcule la densidad del hidrógeno a 15 ºC y 730 mm de Hg. Rta.: ρ = 0,081 kg/m3. 14. La densidad de un gas a 10 ºC y 200 kPa es igual a 0,34 kg/m3. Calcule la masa molecular del gas. Rta.: 4 g/mol. 15. ¿Cuál será la densidad del aire que queda dentro de un recipiente luego de provocar en él un enrarecimiento hasta la presión de 1 x 10-11 mm de Hg a 15 ºC de temperatura? Rta.: ρ = 1,6 x 10-14 kg/m3. 16. 12 g de un gas a 7 ºC ocupan un volumen de 4 x 10-3 m3. Después de calentar el gas a presión constante, su densidad se hizo igual a 6 x 10-4 g/cm3. ¿Hasta qué temperatura se calentó el gas? Rta.: 1400K. 17. 10 g de oxígeno están sometidos a una presión de 3 atm a la temperatura de 10 ºC. Después de expandirse por calentamiento a presión constante, ocupa un volumen de 10 l. Calcule: a) el volumen que tenía antes de la expansión, b) la temperatura después

UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS 11de la expansión, c) la densidad del gas antes de la expansión y d) la densidad después de la expansión. Rta.: a) 2,4 x 10-3 m3, b) 1170 K, c) 4,14 kg/m3, d) 1 kg/m3. 18. Dibujar la gráfica de la densidad del oxígeno: a) en función de la presión a la temperatura de 39 K (cte.), con 0 ≤ p ≤ 4 atm, cada 0,5 atm y b) en función de la temperatura a p = 4 atm (cte.) con 200 K ≤ T ≤ 300 K, cada 20 K. 19. Un gas que a la temperatura de 17 ºC y a la presión de 2 x 105 Pa ocupaba un volumen igual a 5 l se calentó y se dilató por vía isobárica. El trabajo de expansión del gas en estas condiciones resultó ser igual a 20 kgf·m. ¿Cuál fue el incremento de temperatura del gas? Rta.: ΔT = 56,95 K. 20. 10,5 g de nitrógeno se expanden por vía isotérmica a la temperatura de -23 ºC desde p1 = 2,5 atm hasta p2 = 1 atm. Calcule el trabajo realizado por el gas al expandirse. Rta.: W = 714 J. 21. Al expandirse isotérmicamente 10 g de nitrógeno que se encontraban a 17 ºC, se realizó un trabajo igual a 860 J. ¿En cuántas veces disminuyó su presión? Rta.: 2,72 veces. 22. Al expandirse isotérmicamente 2 m3 de un gas su presión varía desde p1 = 5 atm hasta p2 = 4 atm. Calcule el trabajo realizado al ocurrir esto. Rta.: W = 226 kJ. 23. Demuestre, aplicando el primer principio (dQ = dU + dW) y la ecuación de estado (p⋅V = n⋅R⋅T), que para una transformación adiabática se cumple:

constanteVpVpVp 2211 =⋅=⋅=⋅ γγγ . Solución: Supongamos que un gas perfecto realiza un proceso adiabático infinitesimal. En tal caso no hay intercambio de calor con el medio, o sea: dQ = 0 Por el primer principio:. dQ = dU + dW = 0 ⇒ dU = - dW

La variación de energía interna dU del gas es, para cualquier caso: dTcmdU v ⋅⋅=

El trabajo realizado por el gas es: dW = p ⋅ dV Reemplazando [2] y [3] en [1]: - p ⋅ dV =m c dTv⋅ ⋅ Por otro lado, partiendo de la ecuación de estado de los gases: p V n R T⋅ = ⋅ ⋅ y diferenciando:

dTRndpVdVp ⋅⋅=⋅+⋅

Dividiendo m. a m. [4] y [5]: dTcmdTRn

dVpdpVdVp

v ⋅⋅⋅⋅

−=⋅

⋅+⋅

vcMR

pdp

dVV

⋅−=+1

Teniendo en cuenta que: vpvp ccMR

MRcc −=⇔+= , reemplazando en [6]:

vcMR

pdp

dVV

⋅−=+1

[1] [2]

[3]

[4]

[5]

[6]

UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS 12

De donde: v

p

cc

pdp

dVV

−=⋅

Si al cociente cc

p

v lo identificamos con el símbolo γ: ⇔−=⋅ γ

pdp

dVV 0=⋅+

VdV

pdp γ

Si aplicamos integral indefinida a la última expresión tenemos:

.cteVlnpln0VdV

pdp

=⋅+⇒=⋅+ ∫∫ γγ

o, lo que es lo mismo: ConstanteVp =⋅ γ Particularizando para dos estados cualesquiera (p1;V1) y (p2;V2) de la transformación adiabática:

γγγ2211 VpVpVp ⋅=⋅=⋅

24. Demuestre, partiendo de la ecuación de estado y de γγγ2211 VpVpVp ⋅=⋅=⋅ , que

en una transformación adiabática se cumplen las relaciones: 122

111 VTVT −− ⋅=⋅ γγ y

γγ

γγ −−

⋅=⋅1

22

1

11 pTpT . Tabla de calores específicos:

Sustancia He H2 O2 N2 Cl2 CO2 Aire

⋅vcalc =

g K 0,754 2,4354 0,1573 0,1776 0,087 0,1573 0,1715

25. Se entregan 400 kcal a un gas que se expande y realiza 800 kJ de trabajo. ¿Cuál es la variación de energía interna del gas? Rta.: 874 kJ. 26. 10 g de oxígeno están a una presión de 3 x 105 Pa y a una temperatura de 10 ºC. Después de calentarlo a p = cte., el gas ocupó un volumen de 10 l. Calcule: a) la cantidad de calor que recibió el gas, b) la variación de energía interna, c) el trabajo realizado por el gas. Rta.: a)Q = 1909 cal, b) 1368 cal, c) 541 cal. 27. 6,5 g de hidrógeno a 27 ºC se dilatan a p = cte. hasta ocupar el doble de su volumen debido al calor que reciben del exterior. Calcule: a) El trabajo de expansión, b) la variación de su energía interna, c) la cantidad de calor entregada al gas. Rta.: a) W = 8,1⋅103 J, b) ΔU = 20,2⋅103 J, c) Q = 28,3⋅103 J.

28. 2 kmol de CO2 se calientan 50 ºC (Δt = 50 ºC) a presión constante. Calcule: a) la variación de su energía interna, b) el trabajo de expansión y c) la cantidad de calor que se comunicó al gas. Rta.: a) ΔU=692,3kcal, b) W = 198,7 kcal , c) Q = 891 kcal.

29. A un gas diatómico (suponer γ = 1,4) se le comunican 500 cal, por lo que el gas se dilata a p = cte. Calcule el trabajo de expansión del gas. Rta.: W = 598 J.

30. Un gas diatómico dilatándose isobáricamente (suponer γ = 1,4) realizó un trabajo igual a 16 kgf·m. ¿Qué cantidad de calor se le comunicó al gas? Rta.: Q = 131,3 cal.

UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS 1331. 7 g de CO2 se calentaron 10 ºC en condiciones que permitieron su expansión libre (a p = cte.). Calcule el trabajo de expansión y la variación de su energía interna. Rta.: W = 13,2 J, ΔU = 11,01 cal. 32. 1 kmol de helio se calienta 100 ºC en condiciones que permiten su dilatación a p = cte. Calcule: a) la cantidad de calor que se le comunica al gas, b) la variación de su energía interna, c) el trabajo de expansión. Rta.: Q = 500536 cal, ΔU = 301826 cal, W = 831403 J. 33. Dentro de un cilindro vertical provisto de un émbolo sin rozamiento hay 1 g de nitrógeno. a)¿Qué cantidad de calor es necesaria para calentar este nitrógeno 10 ºC. b)¿Qué magnitud se elevará el émbolo al ocurrir esto? c)¿Qué trabajo realiza el gas en este proceso? d)¿Cuál es la variación de la energía interna del nitrógeno? El émbolo pesa 9,8 N y el área de su sección transversal es de 10 cm2. La presión que actúa sobre el émbolo es igual a 1 atm. Rta.: a) Q = 2,4827 cal, b) d = 2,7 cm, c) W = 0,7093 cal, d) ΔU = 1,7734 cal. 34. 1 l de helio que se halla en CNPT (0 ºC y 1 atm) se dilata isotérmicamente a costa del calor exterior que recibe hasta ocupar un volumen igual a 2 l. Determinar: a) el trabajo realizado por el gas al expandirse y b) la cantidad de calor que recibió. Rta.: a) W = 70 J, b) Q = 16,8 cal. 35. Hasta qué temperatura se enfriará el aire que se encuentra a 0º C si se dilata adiabáticamente desde el volumen V1 hasta el volumen V2 = 2·V1? Rta.: T = 207 K (-66 ºC). 36. 7,5 l de oxígeno se comprimen adiabáticamente hasta un volumen de 1 l. Al final de la compresión la presión es de 1,6 x 106 Pa. ¿A qué presión estaba el gas antes de comprimirlo? Rta.: 9,5 x 104 Pa. 37. Dentro de los cilindros de un motor de combustión interna el aire se comprime adiabáticamente de manera que su presión varía desde p1 = 1 atm hasta p2 = 35 atm. La temperatura inicial del aire es de 40 ºC. Calcule su temperatura al final de la compresión. Rta.: T2 = 864 K. 38. Un gas diatómico que se encuentra a 27 ºC y a la presión de 2 x 106 Pa se comprime adiabáticamente desde el volumen V1 hasta el volumen V2 = 0,5·V1. Calcule la temperatura y la presión del gas después de comprimirlo. Rta.: T = 123 ºC, p = 5,28 x 106 Pa. 39. Cuando 1 g de agua pasa del estado de líquido al de vapor, a la presión constante de 1 atm, el volumen aumenta desde 1 cm3 hasta 1671 cm3. El calor latente de vaporización del agua es de 539 cal/g. Hállese el trabajo realizado en el cambio de estado y el aumento de la energía interna del agua. Rta.: 168 J y 2087,6 J respectivamente. 40. ¿Qué cantidad de calor ha de eliminarse de 1 mol de oxígeno cuando se comprime isotérmicamente desde un volumen de 20000 cm3 hasta un volumen de 2000 cm3 a la temperatura de 300 K? Rta.: 1380 cal. 41. Un cilindro contiene 3 l de oxígeno a la presión de 2 atm y a una temperatura de 300 K. Se somete al sistema a los siguientes procesos: 1) Se calienta a presión constante hasta una temperatura de 500 K. 2) Se enfría a volumen constante hasta una temperatura de 250 K. 3) Se enfría a presión constante hasta una temperatura de 150 K. 4) Se calienta a volumen constante hasta una temperatura de 300 K. a) Represente en un diagrama p-V estos procesos, indicando los valores de presión y temperatura final de cada transformación. b) Determine el trabajo neto realizado por el gas. c) Calcule el calor neto

UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS 14absorbido por el oxígeno. d) Determine el rendimiento de este ciclo considerándolo como motor térmico. Rta.: b) W = 202,65 J = 48,434 cal, c) Q = 48,434 cal, d) μ = 0,093. 42. Cuando un sistema pasa del estado A al estado B a lo largo de la trayectoria A-C-B recibe 20000 cal y realiza un trabajo equivalente a 7500 cal. a) ¿Cuánto calor recibe el sistema a lo largo de la trayectoria A-D-B si el trabajo es de 2500 cal? b) Cuando el sistema vuelve del estado B al estado A, a lo largo de la trayectoria curva el trabajo es de 5000 cal. ¿Qué cantidad de calor absorbe o libera el sistema? c) Si UA = 0 cal y UD = 10000 cal, calcule el calor intercambiado en los procesos A-D y D-B. Rta.: a) Q = 15000 cal, b) Q = -17500 cal, c) QAD = 12500 cal, QDB = 2500 cal. 43. Una masa “m” de un gas evoluciona reversiblemente según indica el diagrama. AB es isotérmico y BC es isocora. Calcule: a) El trabajo realizado por el sistema, b) la cantidad de calor que el sistema intercambia con el medio exterior en toda la evolución, indicando si es absorbida o cedida, c) la variación de energía interna en toda la evolución y en la indicada en línea de puntos. pA = 2 atm, TA = 120 K, VA = 2 l, m = 100 g, VC = 4 l, TC = 170 K, cv = 0,22 cal/g·ºC. Rta.: a) WABC = 2,77 l· atm, b) Q = 1167,1 cal, c) ΔUAC = 1100 cal = ΔU = ΔUBC. 44. En un motor térmico 0,1 mol de un gas perfecto efectúa el ciclo indicado en el diagrama p-V de la figura. El proceso 1-2 se realiza a volumen constante, el 2-3 es adiabático, y el 3-1 tiene lugar a la presión constante de 1 atm. Para este gas γ = 5/3. a) Determine la presión y el volumen en los puntos 1, 2 y 3, b) calcule el trabajo neto realizado por el gas durante el ciclo. Rta.: a) V1 = 2,46 l, p1 = 1 atm; V2 = 2,46 l, p2 = 2 atm; V3 = 3,73 l, p3 = 1 atm, b) Wneto = 52 J.

45. La figura muestra tres procesos realizados por un gas perfecto. La temperatura en el punto A es de 600 K; la presión 16 atm y el volumen 1 Iitro. En el punto B el volumen es de 4 litros. Uno de los procesos AB o AC es isotermo y el otro adiabático. La razón de los calores específicos del gas vale 1,50. a) ¿Cuál de los procesos AB

o AC es isotermo y cual adiabático? b) Calcule la presión en los puntos B y C. c) Determine las temperaturas en B y C. d) Obtenga el volumen en el punto C. Rta.: a) AB adiabático-mayor pendiente-, b) pB = pC = 2 atm, c) TB = 300 K, TC = 600 K, d) VC = 8 litros.

p

V

AC

B

P

V

BC

DA

UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS 1546. Un gas evoluciona reversiblemente según el ciclo de la figura, donde A-B y C-D son adiabáticas. a) Indique el signo del calor intercambiado y el de la variación de la energía interna en cada una de las etapas del ciclo. b) Calcule el trabajo neto realizado por el gas en el ciclo. c) Calcule el rendimiento del ciclo considerándolo como motor térmico. d) Considere que se invierte el ciclo (es decir se lo recorre en sentido inverso), calcule la eficiencia del mismo. Datos: VC = VB = 2 l, VA = VD = 1 l, γ = 3/2, pD = 1 atm., pA = 2 · pD. Rta.: b) W = 0,586 l·atm, c) η = 29,3 %, d) ε = 24,1 %.

UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS 16 SEGUNDO PRINCIPIO DE LA TERMODINÁMICA 1. Una máquina térmica recibe una cantidad de calor equivalente a 300 J de un foco caliente, realiza trabajo y entrega una cantidad de calor de 240 J a un foco frío. ¿Cuál es su rendimiento? Rta.: η = 0,20 = 20%. 2. Una máquina térmica con el 20% de rendimiento realiza un trabajo de 100 J en cada ciclo. a) ¿Qué cantidad de calor absorbe en cada ciclo?, b) ¿qué cantidad de calor devuelve en cada ciclo? Rta.: a)Qc = 500 J, b) Qf = 400 J. 3. Una máquina térmica ideal que funciona según el ciclo de Carnot recibe del foco caliente 600 cal cada ciclo. La temperatura del foco caliente es de 400 K y la del foco frío de 300 K. Calcule: a) el trabajo que realiza la máquina en cada ciclo y b) la cantidad de calor que en cada ciclo se cede al foco frío. Rta.: a) W=630 J, b) Q=1880 J. 4. Una máquina térmica ideal funciona según el ciclo Carnot. Determinar el rendimiento del ciclo de esta maquina sabiendo que el trabajo que se realiza durante él es igual a 300 kgf⋅m y que el calor que se cede al foco frío es igual a 3,2 kcal. Rta.: η =0,18 = 18 %. 5. Una máquina térmica ideal que funciona según el ciclo de Carnot realiza cada ciclo un trabajo igual a 7,35 x 104 J. La temperatura del foco caliente es de 100 ºC y la del foco frío de 0 ºC. Calcule: 1) el rendimiento de la maquina, 2) la cantidad de calor que la maquina recibe del foco caliente cada ciclo y 3) la cantidad de calor que cede al foco frío cada ciclo. Rta.: 1) η = 26,8 %, 2) Qc = 27,4 x 104 J, 3) Qf = 20,0 x 104 J. 6. Una máquina térmica ideal funciona según el ciclo de Carnot, con la particularidad de que el 80 % del calor recibido del foco caliente lo cede al foco frío. La cantidad de calor que recibe del foco caliente es igual a 1,5 kcal. Calcule: 1) el rendimiento del ciclo y 2) el trabajo que realiza en un ciclo completo. Rta.: 1) η = 20 %, 2) W = 300 cal. 7. Un kilomol de gas perfecto realiza un ciclo compuesto de dos isocoras y dos isobaras. Al ocurrir esto el volumen del gas varia desde V1 = 25 m3 hasta V2 = 50 m3 y la presión desde p1 = 1 atm hasta p2 = 2 atm. ¿Cuántas veces será menor el trabajo realizado con este ciclo que el que se obtiene con el ciclo de Carnot, cuyas isotermas corresponden a las temperaturas máxima y mínima del ciclo que examinamos, si durante la expansión isotérmica el volumen del gas aumenta dos veces? Rta.: 2,1 veces. 8. Una máquina térmica ideal funciona según el ciclo de Carnot empleando aire caliente, el cual se toma a una presión inicial de 7 atm con la temperatura de 127 ºC. El volumen inicial del aire es de 2 x 10-3 m3. Después de la primera expansión isotérmica el aire ocupó un volumen igual a 5 l y después de la expansión adiabática el volumen es de 8 l. Encuentre: 1) las coordenadas de los puntos de intersección de las isotermas y las adiabáticas, 2) el trabajo correspondiente a cada rama del ciclo, 3) el trabajo total realizado durante el ciclo, 4) el

V

B

D

A

C

p

pA

pB

pD

pC

VBVDVA VC

UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS 17rendimiento del ciclo, 5) la cantidad de calor que se toma del foco caliente en cada ciclo y 6) la cantidad de calor que se cede al foco frío cada ciclo. Solución: 1) Tomando como referencia el gráfico p-V de la figura, donde AB y CD son isotérmicas y BC y DA adiabáticas. Para el estado A: p V

m

MRTA A A⋅ = ⋅ ; de donde el n0 de moles es:

nm

M

p V

R TmolesA A

A= =

⋅

⋅= 0 427, .Para el estado B: p

p V

VatB

A A

B=

⋅= 2 8, . ⇒ pB = 2,8 atm

Para la adiabática BC: p V p VB B C C⋅ = ⋅γ γ , donde γ=1,4 para el aire, despejando:

p pV

VatC B

B

C= ⋅

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ =

γ

1 44, entonces: pC = 1,44 atm

Para Calcule la temperatura de la isotérmica CD, aplicamos la ecuación de estado en C: m

MRT p V T

p V

n RKC C C C

C C⋅ = ⋅ ⇒ =⋅

⋅= 3300 ⇒ TC = TD = 330 K.

Conociendo la temperatura de la adiabática DA, si aplicamos la ecuación: V

V

T

TD

A

A

D

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ =

−γ 1

de

donde: VD = 3,22⋅10--3m3.

De aquí que podemos hallar la presión en el estado D: pn R T

VatD

D

D=

⋅ ⋅= 3 6, ⇒ pD =3,6 atm

Resumiendo, la respuesta al punto (1): VA=2 l, pA=7 atm ; VB=5 l, pB=2,8 atm ; VC=8 l , pC=1,44 atm ; VD=3,22⋅10--3m3 , pD=3,6 atm .

2) El trabajo realizado durante la expansión isotérmica AB es: JVVVpW

A

BAAAB 1300ln =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅= .

El realizado durante la expansión adiabática BC es: JVpVpW CCBBBC 620

1=

−⋅−⋅

=γ

.

El realizado durante la compresión isotérmica CD es: J1070VV

lnVpWC

DDDCD −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅= .

El realizado durante la compresión adiabática DA es: JVpVpW AADDDA 620

1−=

−⋅−⋅

=γ

.

3) El realizado durante el ciclo es: JWW iciclo 230== ∑ .

4) El rendimiento del ciclo es: %5,17175,0 ==−

=AB

CDAB

TTTη .

5) La cantidad de calor tomada del foco caliente en cada ciclo es:

calJWQ cicloAB 3121300

175,0=== .

6) La cedida al foco frío en cada ciclo es: cal256J1070WQQ cicloABCD ==−= .

9. Una máquina frigorífica ideal que funciona según el ciclo de Carnot inverso realiza en cada ciclo un trabajo de 3,7 x 104 J. La máquina durante su funcionamiento toma calor de un cuerpo cuya temperatura es de -10 ºC y lo cede a otro cuerpo que tiene una temperatura igual a +17 ºC Calcule: 1) la eficiencia del ciclo, 2) la cantidad de calor que se toma del cuerpo frío cada ciclo y 3) la cantidad de calor que se entrega al cuerpo caliente cada ciclo. Rta.: 1) ε = 9,74, 2) Qf = 360 kJ, 3) Qc = 397 kJ.

UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS 1810. Calcule la variación de entropía al fundirse 1 kg de hielo que se encuentra a 0 ºC. Rta.: ΔS = 1221.6 J/K. 11. 640 g de plomo derretido a la temperatura de fusión se vierten sobre una gran masa de hielo a 0 ºC. a) Calcule la variación que experimenta la entropía del plomo durante esta transformación, b) Calcule la variación de entropía del sistema aislado plomo+hielo, considerando que todo el calor que pierde el plomo funde una parte del hielo. Rta.: a) ΔS = -90,86 J/K; b) ΔSSistema = 65,17 J/K . 12. Calcule la variación que experimenta la entropía cuando 8 g de oxígeno que ocupaban el volumen de 10 l a la temperatura de 80 ºC pasan a ocupar el volumen de 40 l a la temperatura de 300 ºC. Rta.: ΔS = 5,4 J/K. 13. Calcule la variación de la entropía que se observa cuando 6 g de hidrógeno que ocupaban un volumen de 20 l a la presión de 1,5 x 105 N/m2 pasan a ocupar un volumen de 60 l a la presión de 1 x 105 N/m2. Rta.: ΔS = 69,8 J/K. 14. 6,6 g de hidrógeno se expanden por vía isobárica hasta duplicar su volumen. Calcule la variación que experimenta la entropía al producirse esta expansión. Rta.: ΔS = 15,9 cal/K. 15. Calcule la variación de la entropía correspondiente a la expansión isobárica de 8 g de helio desde el volumen V1 = 10 l hasta el volumen V2 = 25 l. Rta.: ΔS = 38,1 J/K. 16. Calcule la variación de la entropía correspondiente a la expansión isotérmica de 6 g de hidrógeno desde 1 x 105 N/m2 hasta 0,5 x 105 N/m2. Rta.: ΔS = 17,29 J/K. 17. 10,5 g de nitrógeno se expanden isotérmicamente desde el volumen V1 = 2 l hasta el volumen V2 = 5 l. Calcule el aumento de la entropía correspondiente a esta transformación. Rta.: ΔS = 2,9 J/K. 18. 10 g de oxigeno se calientan desde la temperatura t1 = 50 ºC hasta la temperatura t2 = 150 ºC. Calcule la variación de la entropía si el calentamiento es: 1) a V = cte., 2) isobárico. Rta.: 1) ΔS = 1,75 J/K, 2) ΔS = 2,45 J/K. 19. Cierta cantidad de gas ideal ha realizado un ciclo reversible 1-2-3-1, representado en el diagrama p-V de la figura. a) Indicar, para cada una de las tres etapas: i) si el gas entrega, recibe, o no intercambia calor con el medio, ii) si el gas realiza trabajo, se realiza trabajo sobre él o no intercambia trabajo con el medio, iii) si su energía interna aumenta, disminuye o permanece constante. b) Indicar si en el balance total del ciclo, el gas entrega calor, recibe calor o recibe tanta cantidad de calor como lo que entrega. Justificar.

p

V1

23

UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS 1920. Un gas realiza un ciclo reversible A-B-C-D-A. Indicar, para cada etapa a) si el gas entrega o recibe calor, b) si el gas realiza trabajo o se realiza trabajo sobre él, c) si su energía interna aumenta o disminuye, d) si en el balance total del ciclo el gas entrega o recibe calor. Justificar.

21. Calcule la variación de entropía por unidad de masa para la evolución entre 1 K y 3 K de la parte b) del problema 10 de calorimetría. Rta.: 0.02363 J/kgK.

UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS 20 CARGA Y CAMPO ELÉCTRICOS Carga y masa del electrón, protón y neutrón Partícula Carga (C) Masa (kg) Electrón -1,6021917 x 10-19 9,1095 x 10-31

Protón 1,6021917 x 10-19 1,6726 x 10-27

Neutrón 0 1,6749 x 10-27

Algunas constantes fundamentales Constante de Gravitación Universal (G) 6,67 x 10-11 Nm2/kg2 Permitividad del vacío (ε0) 8,85 x 10-12 C2/(Nm2) Electrón – volt (eV) 1,6021917 x 10-19 J

1. Sobre la base de la idea de portadores de carga libres, indique qué son los materiales CONDUCTORES y los AISLADORES (dieléctricos). Dé ejemplos. 2. Encuentre la fuerza de repulsión entre dos protones en una molécula de H2, siendo la separación entre ellos de 0,74⋅10-10 m. Compárela con la de atracción gravitatoria correspondiente. Datos: qprot =1,6 x 10-19 C, masadel protón en reposo=1,67 x 10-27 kg, ε0= 8,85 x 10-12 c2/Nm2, Cte. de gravitación: G=6,67 x 10-11 Nm2/kg2. Rta.: Fe = 4,21 x 10-8 N, Fg = 3,4 x 10-44 N, Fe = 1,24 x 1036 Fg. 3. ¿Con qué fuerza interactúan dos cargas puntuales de 1 C, a una distancia de 1 km una de otra? Rta.: Fe = 8987,5 N. 4. Tres cargas puntuales están ubicadas sobre el eje x en las siguientes posiciones: q1 = -4 nC (x1=0); q2= 2 nC (x2=2 m); q3 = ? (x3=5m). ¿Cuál debe ser el valor de q3 para que la fuerza electrostática total ejercida sobre q2 sea de 1 x 10-8 N en el sentido positivo de x? Rta.: q3= -1,4 x 10-8 C. 5. Tres cargas puntuales están ubicadas sobre el eje X: q1=100 nC (x1=0), q2= -5 µC (x2=3 cm), q3=? (x3=11 cm). a) Calcule el valor de la carga q3 para que la carga q2 quede en equilibrio. b) ¿En que otro punto habrá que colocar la carga q2 para que ésta quede en equilibrio? c) ¿Alguna de las respuestas depende del valor de q2? Rta.: a) q3 = +0,711 µC, b) no existe, c) no. 6. Dos esferas (cargas puntuales) igualmente cargadas y de igual masa, están

suspendidas de un mismo punto por dos hilos aislantes de igual longitud. Debido a la repulsión, el equilibrio se establece cuando las esferas se encuentran separadas 10 cm entre sí. Calcule la carga de cada esfera. Datos: mesf=0,5 g; lhilo=15 cm; g=9,8 m/s2. Rta.: q = 4,389x10-8 C.

10 cm

qq

UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS 217. Cuatro cargas iguales están situadas en los vértices de un cuadrado de lado a. Determine la carga Q que es necesario colocar en el centro del cuadrado para que todo el

sistema se encuentre en reposo. Determine si el equilibrio del sistema así formado es estable, inestable o indiferente. Datos: q = 1 µC, a = 50 cm. Rta.: |Q| = 0,95 µC. 8. Una carga positiva y una negativa de igual valor absoluto se encuentran separadas

entre sí una distancia 2a (dipolo eléctrico). a) Determine la expresión de la intensidad de campo en un punto P situado a una distancia r sobre la mediatriz del segmento que une ambas cargas. b) Analice, además, el caso en que r >> a.

Rta.: a)( )

ira

aq2

1E2

3220 +

⋅=

πε, b) i

raq

21E 3

0

⋅=

πε.

9. En dos vértices de un triángulo equilátero de 20 cm de lado se colocan sendas cargas puntuales positivas de 6 µC cada una. Determine el campo E en el tercer vértice y la fuerza que ejercerá sobre otra carga puntual que se colocará allí, si ésta fuera de -10 µC. Rta.: E= 23,3x105 N/C, F= 23,3 N. 10. ¿Cuáles son las características de las líneas de fuerza? Dibuje las L.F. para un dipolo eléctrico. 11. Dos partículas cargadas de igual masa m están suspendidas por cuerdas de

longitud L, de puntos separados una distancia d como se muestra en la figura. Calcule la magnitud de cada carga si la distancia entre ellas es r.

Rta.:

20

12 2

2

42

2

d rm g rq

d rL

πε −⎛ ⎞⋅ ⋅ ⋅ ⎜ ⎟⎝ ⎠=

⎡ ⎤−⎛ ⎞−⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

.

Q

q q

q q

r

-+ a a

P

q -qx

y

d

r+q -q

UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS 2212. Se tiene suspendida una carga eléctrica de m = 2 g mediante un hilo aislante, en un campo eléctrico horizontal uniforme de 200 N/C. Calcule el valor de la carga eléctrica si ésta permanece en reposo y el hilo forma un ángulo de 30º con la vertical. Rta.: q = 5.6575 x 10-5 C. 13. Dos cargas puntuales q se encuentran respectivamente en las posiciones x1 y x2, según muestra la figura. Considerando que el momento dipolar eléctrico de una carga

puntual q en r , con respecto al origen de coordenadas, está definido por rqp = , demuestre que el momento dipolar del sistema es equivalente al de una única carga

puntual Q = 2 q ubicada en 2

21 xxxC+

= .

Rta.: ( ) x+⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

1 22 ˆ2Total

x xp q , donde x es el versor del sentido positivo del eje x.

14. Dos cargas puntuales están colocadas sobre el eje x. Q1 = q en x = a y Q2 = -4q en x = -a (con a > 0). a) Encuentre una expresión vectorial en coordenadas cartesianas para la

fuerza que actúa sobre una carga de prueba Q, ubicada en un punto cualquiera del plano xy; b) Encuentre las coordenadas (x,y) de todos los puntos en los cuales la carga de prueba está en equilibrio; c) Discuta si el equilibrio es estable o inestable.

Rta.: a) / /

ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( )

( ) ( )3 2 3 22 2 2 20

44π ε

⎡ ⎤− + + +⎢ ⎥= −⎢ ⎥⋅ ⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + + +⎣ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎦

qQ x a i y j x a i y j

x a y x a yF ; b)se encuentra un solo punto

de equilibrio, en (3a, 0); c)para un pequeño desplazamiento en el eje x es estable; para un pequeño desplazamiento en el eje y el equilibrio es inestable.

15. Tres cargas puntuales q se ubican en el plano X-Y, posiciones 1r , 2r y 3r

respectivamente, según muestra la figura. Demuestre que el momento dipolar del sistema

es equivalente al de una única carga puntual Q = 3 q ubicada en ( )32131 rrrrC ++= .

0 X

q q

x1 x2

q 1r≡

X

Y

0 q 2r≡

q 3r≡

UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS 23

Rta.: ( ) 1 2 3 1 2 33 ˆ ˆ3 3Total

x x x y y yp q + + + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

x + y , donde x y y son los versores de los

sentidos positivos de los ejes x, y y respectivamente. 16. En cada vértice de un cubo de arista a se coloca una carga puntual q, según

muestra la figura. Demuestre que el momento dipolar eléctrico total equivale al de una única carga puntual Q = 8 q colocada en el punto central del cubo.

Rta.: ( ) x y z⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠

ˆ ˆ ˆ82 2 2Totalp q a , donde x , y y z son los versores de los sentidos positivos

de los ejes x, y y z respectivamente. 17. Considere una varilla, de longitud L y espesor despreciable, uniformemente cargada: ( ) 0r cteλ λ= = . Teniendo en cuenta el sistema de referencia de la figura:

Demuestre que el momento dipolar eléctrico de la distribución está dado por la expresión:

2Lp Q k= , siendo Q la carga total de la varilla.

18. Considere una varilla de longitud L y espesor despreciable. Teniendo en cuenta el sistema de referencia de la figura anterior, la densidad lineal de carga de la varilla está dada por la expresión: ( ) 0r z Lλ λ= , siendo 0 cteλ = . a) Demuestre que la carga total es

0 2Q Lλ= y encuentre la densidad de carga media. b) Demuestre que el momento dipolar

eléctrico con respecto al origen de coordenadas está dado por la expresión: 23

p Q L k= .

19. Considere una distribución de carga semicircular de radio R y homogénea,

( ) 0r cteλ λ= = , como la de la figura.

X

Y

Z

a

a

a

0

UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS 24a) Demuestre que la carga total es 0Q Rλ π= . b) Demuestre que el momento dipolar con respecto al origen de coordenadas está dado por la expresión 2p RQ jπ= .

20. Una distribución de carga semicircular de radio R , como la de la figura anterior, tiene una densidad lineal de carga que, en coordenadas polares, está dada por:

( ) ( )20 cosrλ λ θ= , siendo 0 cteλ = .

a) Demuestre que la carga total es 0 2Q Lλ= , donde L es la longitud de la distribución. b) Demuestre que el momento dipolar con respecto al origen de coordenadas está

dado por la expresión 20

23

p R jλ= .

21. Considere un disco de radio R , centrado en el origen de coordenadas, y tal que su densidad superficial de carga, empleando coordenadas polares, está dada por la expresión ( ) 0r r Rσ σ= , siendo 0 cteσ = . Demuestre que la carga total es 02 3Q Sσ= ,

siendo S la superficie del disco.

22. Considere un disco de radio R centrado en el origen de coordenadas tal que, empleando coordenadas polares, su densidad superficial de carga está dada por la expresión ( ) ( )2

0 cosrσ σ θ= , siendo 0 cteσ = . Demuestre que la carga total es 0 2Q Sσ= ,

donde S es la superficie del disco.

23. Considere una esfera de radio R , centrada en el origen de coordenadas, con una distribución superficial de carga dada por: ( ) ( )2

0 cosrσ σ θ= (coordenadas esféricas),

siendo 0 cteσ = . a) Demuestre que la carga total es 0 3Q Sσ= , siendo S la superficie de la esfera. b) Calcule la densidad de carga media. 24. Considere una esfera de radio R , centrada en el origen de coordenadas, con una distribución volumétrica de carga dada por: ( ) ( )2

0 cosrρ ρ θ= (coordenadas esféricas),

siendo 0 cteρ = . a) Demuestre que la carga total es 0 3Q Vρ= , siendo V el volumen de la esfera. b) Calcule la densidad de carga media. 25. En el interior de una distribución de carga uniforme y esféricamente simétrica de

radio a se encuentra una cavidad también esférica de radio δ < a . Demuestre que el

campo eléctrico en el interior de la cavidad es uniforme y está dado por: 03

=⋅ρε

dE ,

(donde ρ: densidad volumétrica de carga). 26. (*) Un anillo de alambre fino de radio R, es portador de una carga eléctrica q. En el

UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS 25centro del anillo se encuentra otra carga Q >> q. Demuestre que la fuerza de tracción

sobre el anillo está dada por: 20

28 RQqT

επ⋅

= .

27. Una barra cargada de longitud L se encuentra a lo largo del eje x entre x = 0 y

x = L. Su carga por unidad de longitud es: ( )52 2 2λ = +a b x , donde ‘a’ y ‘b’ son

constantes. Encuentre la componente Ey del campo en el punto P=(0, b). Rta.:

π ε⋅ ⋅ ⎛ ⎞= ⋅ +⎜ ⎟⋅ ⋅ ⎝ ⎠

ya b LE b L2 2

0

14 3

.

28. Demuestre que el campo eléctrico creado por un hilo cargado de longitud finita L, en los casos límites se transforma en el campo eléctrico: a) de un hilo infinito para puntos muy cercanos (a<<L), y b) de una carga puntual para puntos alejados (a>>L), donde a es la distancia perpendicular al hilo. 29. En un punto “a” situado a una distancia de 5 cm de un hilo cargado de longitud infinita la intensidad de campo eléctrico es igual a 1500 V/m. a) ¿Para qué longitud límite de un hilo finito, con un error del 2% el valor hallado del campo será exacto, si el punto se halla sobre la perpendicular al hilo y trazada sobre el centro del mismo? b) ¿Cuál será la intensidad de campo en el punto “a” si el hilo tiene una longitud de 20 cm? La densidad lineal de carga del hilo se considera igual en ambos casos. c) ¿Cuál es la densidad lineal de carga del hilo infinito? Rta.: a) L=0,4924 m; b) |Ea|=1341,6 N/m; c) λ = -104,1705×10 C/m .

30. La barra muy delgada de la figura está cargada con λ = cte. Demuestre que el

campo en el punto P está dado por la expresión: ( )0

1 1 ˆ4

E ib L b

λπε

= −+

.

31. Dado un anillo de radio 10 cm, cargado con una carga total Q = 5 x 10-9 C determinar: I) El campo E en puntos ubicados sobre el eje del anillo (⊥ al plano del mismo) en los siguientes casos: (x es la distancia al plano del anillo): a) x = 0; b) x = 5 cm; c) x = 10 cm; d) x = 15 cm; e) x = 20 cm. II) ¿A qué distancia el campo (con un error no mayor del 5 %) es equivalente al creado por una carga puntual Q? Rta.: I) a) E=0; b) 1608,5 N/C; c) 1589,5 N/C; d) 1151 N/C; e) 804,2 N/C. II) x ≥ 0,536 m. 32. Demuestre que el campo eléctrico creado por un disco cargado uniformemente, en puntos ubicados sobre su eje (⊥ al plano del mismo), en los casos límites pasa a ser: a) el campo de un plano infinito y b) el de una carga puntual. 33. Un disco de 25 cm de diámetro tiene una carga Q uniformemente distribuida. a) ¿Para que distancia del centro se lo puede considere como un plano infinito con un error no mayor del 5% en el valor de la intensidad de campo? b) ¿En que caso se lo puede considerar como una carga puntual con un error no mayor del 5% en el valor de la intensidad de campo? Rta.: a) x ≤ 0,626 cm; b) x ≥ 3.806R = 47,6 cm. 34. Se lanza un electrón con una velocidad inicial de 2 x 107 m/s en la dirección de un

P bL

- q

+ q 12 cm4 cm

x

v0

UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS 26eje equidistante de las placas de un tubo de rayos catódicos. El campo eléctrico, uniforme entre las placas, tiene una intensidad de 20.000 N/C y está dirigido hacia arriba. a) ¿Qué distancia “x” perpendicular al eje ha recorrido el electrón cuando pasa por el extremo de las placas? b) ¿Qué ángulo con el eje forma su velocidad cuando abandona las placas? c) ¿A qué distancia por debajo del eje choca con la pantalla fluorescente? La distancia entre las placas es de 2 cm. Rta.: a) x = 0,7035 cm (en el instante que sale de la zona de placas); b) α = 19,38º; c) xTotal = 4.92 cm. 35. ¿Con qué fuerza por unidad de superficie se repelen dos planos infinitos uniformemente cargados con σ = 3 x 10-8 C/cm2? Rta.: 5,085 x 103 N/m2. 36. Calcule la fuerza por unidad de longitud sobre un hilo infinito cargado uniformemente con 3x 10-8 C/m y situado en el campo creado por un plano infinito cargado con σ = 2 x 10-9 C/m². Rta.: 3,39 x 10-6 N/m. 37. a) ¿Con qué fuerza por unidad de longitud se repelen dos hilos de longitud infinita uniformemente cargados con densidad 3 x 10-8 C/cm, situados a la distancia de 2 cm uno de otro? b) ¿Qué trabajo por unidad de longitud hay que realizar para situar estos hilos a una distancia de 1 cm? Rta.: F/l = 8,09 N/m; W/l = 0,112 J/m. 38. Dos distribuciones de cargas lineales, uniformes e iguales de longitud L están situadas sobre el eje X, separadas por una distancia d como se indica en la figura. a) ¿Cuál es la fuerza de interacción entre ellas?; b) demuestre que cuando d>>L, la fuerza

tiende al resultado esperado λπε

Ld

2 2

204

, que es la interacción entre dos cargas puntuales

(para este punto: ln(1+s) ≅ s, cuando s<<1)

Rta.: a) ( ) ˆln( )

22

0

14 2

⎛ ⎞+ ⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠λ

πεd L i

d d LF .

39. Dos cargas lineales uniformes, paralelas e iguales de longitud L están separadas

por una distancia d como se indica en la figura. Si la densidad lineal de carga es λ, ¿Cuál es la fuerza de interacción entre ellas?

d

L

UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS 27

Rta.:2 2

20

1 12

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜= + − ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

λπε

LFd

, de repulsión.

40. Una lámina finita 0 1x≤ ≤ , 0 1y≤ ≤ , situada en el plano 0z = tiene una

distribución de carga: 2 2 3 / 22( 25) , nCxy x y

mσ ⎛ ⎞= + + ⎜ ⎟

⎝ ⎠.

Calcule: a) la carga total en la lámina; b) el campo en (0,0,5); c) la fuerza sobre una carga

1q mC= − , situada en (0,0,5).

Rta.: a) q = 33,15 nC; b) 5 ˆˆ ˆ1,5 1,54

Vm

⎛ ⎞⎛ ⎞= − − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

E i j k ; c) ( ) ( )3ˆˆ ˆ1,5 1,5 11 10 N−= − ×F i + j k .

41. (*)Un dipolo eléctrico de momento dipolo p en un campo eléctrico uniforme E, se rota un ángulo θ de su posición de equilibrio, donde θ es pequeño. El momento de inercia del dipolo es I. Si el dipolo se suelta en esa posición, demuestre que éste tendrá un

movimiento armónico simple de frecuencia2

1

IpE

21f ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

π.

UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS 28 LEY DE GAUSS Y POTENCIAL ELECTROSTÁTICO 1. Calcule la magnitud que debe tener una carga puntual aislada para que el potencial eléctrico a 10 cm de la carga sea de 100 V. Rta.: q = 1,112 x 10-9 C. 2. Dos cargas q1=25 x 10-9 C y q2=-25 x 10-9 C están separadas 6 cm entre sí. Calcule el campo y el potencial eléctricos en un punto A equidistante 5 cm de ambas cargas. Rta.: EA = 107901,9 N/C î, donde î es el versor de la dirección y sentido del eje x, si este se toma paralelo a la recta que une las dos cargas; VA = 0. 3. Dos cargas puntuales q1 = 40 x 10-9C y q2 = -30 x 10-9C están separadas 10 cm. El punto A equidista 5 cm de ambas cargas, el punto B está a 8 cm de q1 y 6 cm de q2. Calcule: a) el potencial en A, b) el potencial en B, c) el trabajo externo necesario para llevar una carga q = 26 x 10-9 C desde B hasta A. Rta.: a) VA = 1800 V; b) VB = 0; c) WBA = 4,68 x 10-5 J. 4. Determine el trabajo externo que se debe realizar sobre una carga positiva q = 5 x 10-9 C, en un campo eléctrico uniforme E = 2 N/C ĵ (donde ĵ es el versor de la dirección y sentido del eje +y), cuando a la misma se la desplaza: a) 60 cm a la derecha, b) 50 cm hacia abajo. c) 2,5 m según una trayectoria que forma 30º con el semieje positivo de las x. Rta.: a) Wext = 0, b) Wext = 5 x 10-9 J, c) Wext = -1,25 x 10-8 J.

5. Para el gráfico de la figura, sabiendo que ˆ2N C=E i :

Determine la d.d.p. VAB = VB – VA. Con A = (2,0) y B = (0,2). Rta.: VAB = 4 V. 6. La expresión del campo eléctrico en una región del espacio es: (4x + 3)î N/C. a) Calcule la d.d.p. entre los puntos: A = (2;0) y B = (7;0). b) Ídem entre A y C (7; 3). (Todas las coordenadas están en metros). Rta.: a) VAB = -105 V, b) VAC = -105 V. 7. El campo eléctrico a la distancia de 2 cm de una carga puntual es de 10 V/m. Calcule: a) La intensidad de campo a 8 cm de la carga. b) El potencial eléctrico en este último punto. Rta.: a) E(8 cm) = 0,625 N/C, b) V(8 cm) = 5 x 10-2 V. 8. Demuestre usando el teorema de Gauss que el campo eléctrico en puntos exteriores a una esfera conductora cargada es el mismo que el que produciría la misma carga concentrada en un punto y ubicada en el centro de la esfera. 9. a) Halle usando el teorema de Gauss el campo eléctrico en puntos exteriores a un conductor cilíndrico muy largo y cargado de radio R. b) Observe que en los puntos exteriores el campo es el mismo que el que produciría la misma carga pero uniformemente distribuida en el eje. c) Halle la diferencia de potencial entre dos puntos exteriores al cilindro ubicados a distancias a y b del eje del mismo, con a < b.

y

B

x A

UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS 29

Rta.: 0

( ) ( ) lnRV V σε

⎛ ⎞− = ⎜ ⎟⎝ ⎠

ba ba

, donde σ es densidad de carga en la superficie del cilindro

conductor. 10. Para una barra cilíndrica de radio R, muy larga, cargada uniformemente con densidad de carga volumétrica ρ0: a) Utilizando la ley de Gauss halle el campo eléctrico producido en todo punto de espacio. b) Si R = 1 cm y ρ0 = 1μC/m3, calcule la intensidad del campo a 5 mm y a 2 cm del eje de la barra.

Rta.: a) ( ) ρε

= ≤ ≤0

0 para 0

2ˆE r r r , r R , ( ) ρ

ε⋅

= ≥2

0

0

1 para 2

R ˆE r r , r Rr

;

b) E(5 mm) = 282,5 N/C, E(2 cm) = 282,5 N/C. 11. Calcule, aplicando el teorema de Gauss, el campo eléctrico producido por un plano infinito cargado con densidad σ = 3 µC/m2. Rta.: E = 1,695 x 105 N/C.

12. Dos planos infinitos paralelos uniformemente cargados con σ = ±3 µC/m2, se encuentran en el vacío y separados una distancia d = 0,1 cm. Calcule: a) La intensidad de campo entre ellos, b) la d.d.p. entre ambos planos. Rta.: a) E = 3,39 x 105 N/C, b) ΔV = 3,39 x 102 V.

13. Una lámina infinita cargada tiene una densidad superficial de carga de σ = 1 x 10-7 C/m². ¿Qué separación tienen dos superficies equipotenciales entre las cuales hay una d.d.p. de 5 Volt? Rta.: 8,85 x 10-4 m. 14. Dos superficies conductoras, cilíndricas, coaxiales y muy largas están cargadas con densidad 0,1 µC/m2. Los radios de las superficies son: R1 = 3 cm (con carga positiva); R2 = 5 cm (con carga negativa). a) Calcule los valores del campo eléctrico en puntos situados a las distancias Ra = 2 cm, Rb = 4 cm y RC = 8 cm del eje. b) Calcule la d.d.p. en los mismos puntos con respecto a la superficie interior. c) Represente gráficamente para 0 ≤ r ≤ 10 cm los valores E y V (tomando V = 0 para la superficie interior) en función de la distancia al eje. Rta.: a) E(Ra) = 0, E(Rb) = 8,475 x 103 N/C ř, E(Rc) = -2,825 x 103 N/C ř; b) V(Ra) = 0, V(Rb) = -97,52 V, V(Rc) = -66,94 V. 15. Una carga puntual q = 2 nC se coloca en el centro de un cubo de arista a = 5 cm. ¿Cuál es el valor del flujo del campo eléctrico para una de sus caras? Rta.: φSobre una de sus caras = 1 q

6 0ε = 37,66 Nm2/C.

16. Un conductor esférico de radio ‘a’ tiene carga Q1. Se encuentra en el interior de una esfera conductora hueca de radio ‘b’. La esfera exterior se halla conectada a tierra por medio de una batería V1. a) ¿Cuál es la carga total sobre la superficie exterior de la esfera hueca y sobre la superficie interior de la misma? b) Determine E y V a una distancia ‘r’ del centro de ambas esferas para: r < a ; a < r < b ; r > b.

UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS 30

Rta.: a) 1int10 ;4 QQVbQext −=⋅⋅= πε , b)

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅+=

⋅=<<

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⋅=

⋅=

>

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅+=

=<

brQ

VV

rQ

Ebra

rbV

Vr

bVE

br

baQ

VV

Ear

114

41

114

0

0

11

21

0

1

21

0

11

πε

πε

πε

17. Una carga puntual Q = 2 µC se encuentra en el centro de una esfera metálica hueca de radio interior a = 5 cm y radio exterior b = 7 cm. Si la esfera posee carga q = 1 µC: a) Calcule las cargas que aparecen sobre la superficie interior de la esfera. b) Calcule las cargas que aparecen sobre la superficie exterior de la esfera. c) Calcule el = el valor de E en un punto situado a una distancia r2= 6 cm del centro de la esfera. e) Calcule el valor de E en un punto situado a una distancia r3= 9 cm del centro de la esfera. f) Represente gráficamente los valores de E y V en función de la distancia al centro de la esfera para puntos situados en 0 ≤ r ≤ 10 cm. Rta.: a) qint = -Q = -2μC, b) qext = Q = 2μC; c) E(3 cm) = 1,998 x 107 N/C, d) E(6 cm) = 0, e) E(9 cm) = 3,330 x 106 N/C. 18. Se tiene un campo cuyas componentes rectangulares son:

0EE;xbE zy2

1

x ==⋅= , donde b N

c m=

⋅800 1

2. Calcule: a) El φE a través del cubo

dibujado de arista a = 10 cm. b) La carga dentro del cubo. Rta.: a) φE = 1,1 Nm2/C, b) q = 9,3⋅10-12 C. 19. Dentro de una esfera de radio R existe una carga volumétrica Q distribuida uniformemente en todo su volumen. Represente gráficamente: a) El valor de E en función de la distancia al centro de la esfera para puntos interiores y exteriores a la misma. b) El valor del potencial en función de la distancia al centro de la esfera para puntos interiores y exteriores a la misma.

Rta.: a) En el interior de la esfera: πε

= ⋅30

Q( )4 R

E r r , en el exterior de la esfera:

πε= 2

0

1 Q( )4

E rr

; b) En el interior de la esfera: πεπε

= − ⋅ − +2 23

00

Q Q 1( ) ( )48 R

V r r RR

, en el

exterior de la esfera: πε

=0

Q 1( )4

V rr

.

O

y

x

z

a

a

a

a

UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS 31

20. La barra delgada de la figura está cargada con λ constante. a) Encuentre la expresión del potencial en el punto P = (0,b). b) Analice el caso: b = 0 y L << a . Tener en cuenta que:

0lim =ln(1+ )α

α α→

.

Rta.: a) ( ) ( )λπε

+ + + +=

+ +

22

2 20ln

4L a b L a

Va b a

, b) λπε

⋅=

⋅04LV

a

21. Dada una esfera de radio R cargada con una densidad volumétrica de carga de la forma ρ ρ= ⋅ 3

0( ) en C/mr r . Halle las expresiones del potencial electrostático para puntos interiores y exteriores de la esfera (considerando → +∞ =( ) 0V r ).

Rta.: Para puntos interiores: ρ ρε ε

⎛ ⎞= − −⎜ ⎟

⎝ ⎠

R r RV r3 3 3

0 0

0 0( )

4 4 3 3, para puntos exteriores:

ρε

=RV r

r

40

0

1( )4

.

22. Una gota de mercurio de 1 mm de radio se carga con un potencial de 106 V. Luego se une con otras 7 gotas de iguales dimensiones y carga formando una sola gota grande. Calcule el potencial de la gota grande. Rta.: 424 V.

23. Considere una anillo de radio a cargado con densidad de carga λ. i) ¿Cuál es el trabajo externo que debe hacerse para traer una carga q desde el infinito hasta un punto

sobre el eje del aro a la distancia a de su centro?; ii) ¿cuál es la velocidad mínima que debe darse a una partícula de carga q y masa m para que viajando desde +∞ , a lo largo del eje, logre traspasar el plano del anillo?

Rta.: i) ,02 2

+∞ =⋅

λεa

qW , ii) min0

=λε

qvm

.

24. Un disco circular de radio R tiene una carga uniformemente distribuida σ (C/m2).

Demuestre que el potencial en un punto ubicado en z sobre un eje perpendicular al disco

y que pasa por su centro (ver figura), esta dado por: 2 2 1/ 2

0

( )2

V R z zσε

⎡ ⎤= + −⎣ ⎦ .

y

xL+a

P

b

a 0

UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS 32Aplicando la definición de gradiente de potencial y considerando la simetría de la distribución de cargas, demuestre que el campo eléctrico producido por el disco del

problema anterior, en puntos sobre el eje, está dado por: 2 2

0

ˆ12

z kR z

σε

⎡ ⎤= −⎢ ⎥

+⎣ ⎦E .

25. Utilizando el concepto de grad V haga una representación cualitativa de superficies equipotenciales en el campo creado por una carga punto para iguales incrementos de potencial.

UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS 33 CONDENSADORES Y DIELÉCTRICOS

1. Demuestre que farad iom etro

equivale a c o u lN m

2

2⋅.

2. El área de cada armadura de un condensador plano con dieléctrico de aire (ε0= 8,85 x 10-12 c2/Nm2) es de 1 m2 y la distancia entre las armaduras de 1,5 mm. Calcule la capacidad de este condensador. Rta.: C = 5,9 nF. 3. Un capacitor plano circular de 5 cm de radio y 1 mm de separación entre placas ha sido cargado con σ = 8,85 x 10-8 C/m2. Calcule: a) La capacidad del capacitor. b) El campo eléctrico entre placas. c) Ddp entre placas. d) La energía almacenada. Rta.: a) C = 695 x 10-13 F, b) E = 104 N/C, c) V = 10 Volt, d) U = 345 x 10-11 J. 4. Demuestre que la capacidad de un condensador cilíndrico cuyas armaduras tienen

radios Rint y Rext respectivamente y longitud L está dada por: πε ⋅⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

0ext

int

LC = 2 Rln R

.

5. Un cable coaxial está formado por un alambre de radio ‘a’ cubierto por un plástico de constante dieléctrica (o permitividad relativa) k. Recubriendo al plástico se encuentra una malla metálica cilíndrica de radio interior ‘b’. a) Encuentre la capacidad por unidad de longitud del conjunto. b) Un fabricante de cables coaxiales da las siguientes especificaciones para un cable del tipo RG 59: Conductor central: alambre único de cobre de 0,60 mm de diámetro. Dieléctrico: polietileno de baja densidad compacto de 3,70 mm de diámetro externo. Capacidad por unidad de longitud 67 pF/m. ¿Qué valor tiene la constante del dieléctrico?

Rta.: a) πε⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

0C 2 k= bL ln a

; b) k = 2,2.

6. Calcule la capacidad equivalente de la conexión de condensadores de la figura entre los puntos A y B, sabiendo que la capacidad de cada uno de ellos es C = 3 x 10-6 F.

Rta.: CEq = 3 x 10-6 F. 7. Calcule la capacidad equivalente del sistema de condensadores de la figura. La capacidad de cada condensador es de 0,5 x 10-6 F.

Rta.: CEq = 0,333 x 10-6 F. 8. Demuestre que la capacidad equivalente de un acoplamiento en paralelo de condensadores es mayor que la mayor de las capacidades acopladas.

C

C

C

C

B

A

BA

UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS 349. Demuestre que la capacidad equivalente de un acoplamiento de condensadores en serie es menor que la menor de las capacidades acopladas. 10. En el circuito indicado calcule la capacidad equivalente entre los puntos A y B. Si una batería externa proporciona una d.d.p. V = 100 V, calcule la d.d.p. entre los bornes del capacitor de 6 µF y la energía total almacenada en los capacitores.

Rta.: Ceq = 6 µF, V(6 µF) = 20 V , U = 0,03 J.

11. Un capacitor C1 de 30 μF se carga a 500 V, luego sus terminales se conectan a otro capacitor C2 descargado, C2 = 10 μF. Calcule: a) La carga de C1 en el estado inicial. b) La diferencia de potencial entre las armaduras de C1 y C2 en el estado final. c) La carga de cada capacitor en el estado final. d) La energía de C1 en el estado inicial. e) La energía total en el estado final. Rta.: a) q1 in = 1,5 x 10-2 C, b) V12 fin = 375 V, c) q1 fin = 1,125 x 10-2 C, q2 Fin = 3,75 x 10-3 C, d) UC1 in = 3,75 J, e) UTot fin = 2,81 J. 12. Un capacitor ,C1, de 2 µF se conecta en serie a otro, C2, de 8 µF, como indica la figura.

a) Al sistema se le aplican 300 V, calcule la carga y la d.d.p. de cada capacitor. b) Finalizada la carga se desconecta la fuente y los capacitores cargados en a) se vuelven a conectar uniendo las placas de igual polaridad entre sí, calcule la carga y la d.d.p. para cada capacitor. c) Los capacitores cargados en a) se vuelven a conecte uniendo las armaduras de polaridad contraria, calcule la carga y la d.d.p. para cada capacitor. d) Calcule en cada caso la energía total almacenada. Explique las diferencias. Rta.: a) q1in = q2in = qTa) = 4,8 x 10-4 C, V1a) = 240 V, V2a) = 60 V; b) q1b)fin = 1,92 x 10-4 C, q2b)fin = 7,68 x 10-4 C, Vb)fin = V1b)fin = V2b)fin = 96 V; c) q1c)fin = q2c)fin = 0, Vc)fin = V1c)fin = V2c)fin = 0; d) en a): UTa) = 7,2 x 10-2 J, en b) Ub)T = 4,608 x 10-2 J, en c) UTc) = 0. 13. Un capacitor de C1 = 100 µF se carga aplicándole una d.d.p. de 50 V, luego se desconecta la fuente y el capacitor se conecta a un segundo capacitor C2. Si la d.d.p. se reduce a 35 V, calcule: a) la capacidad del segundo capacitor; b) la energía inicial; c) la energía en el estado final. Rta.: a) C2 = 42,85 µF, b) U0 = 0,125 J, c) Uf = 0,0875 J.

14. Un capacitor plano ha sido cargado con σ = 17,7 x 10-6 C/m2 y luego desconectado de la fuente. Sabiendo que el dieléctrico tiene: k = 3, área de placa A = 600 cm2 y separación de armaduras d = 1 mm. Determinar: a) el campo eléctrico entre las armaduras, b) la d.d.p. entre armaduras, c) la capacidad por m2 de placa, d) si al capacitor se le separan las placas al doble y suponiendo que el dieléctrico llena completamente el espacio entre las mismas, determine la variación de energía electrostática y explique la causa de dicha variación. Rta.: a) E = 6,67 x 105 N/C, b) ΔV = 667 V, c) 2,654 x 10-8 F/m2, d) U(d=2mm) = 2 U(d=1mm). 15. Resolver el punto d) del problema anterior suponiendo que el capacitor sigue conectado a la fuente.

UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS 35Rta.: U(d=2mm) = (U(d=1mm))/2. 16. En un capacitor plano de A = 100 cm2 y d = 1 cm se aplica una d.d.p. V0 = 100 V cuando no tiene dieléctrico. Luego se desconecta la batería y se introduce una placa dieléctrica de espesor b = 0,5 cm y k = 7. Calcule: a) La capacidad C0 antes de introducir el dieléctrico. b) La carga antes y después de introducir el dieléctrico. c) La intensidad de campo en el hueco. d) La intensidad de campo en el dieléctrico. e) La d.d.p. entre armaduras después de colocar el dieléctrico. f) La capacidad con el dieléctrico colocado. Rta.: a)C0 = 8,85 x 10-12 F, b) q0 = qcon diel = 8,85 x 10-10 C, c) E0 = 10000 N/C, d) Ediel = 1428,6 N/C, e) Ventre armaduras, con diel = 57,14 V, f) Ccon diel = 1,549 x 10-11 F. 17. Determine la expresión de la capacidad de un capacitor plano con dos dieléctricos

distintos según indica la figura. Rta.: ⋅ 0AC = d d1 2+k k1 2

ε , donde A es el área de placa del capacitor.

18. Calcule los valores del campo eléctrico en el capacitor del problema anterior, sabiendo que está cargado con una d.d.p. de V = 100 Volt. y k1 = 2, k2 = 6, d1 = d2 = 0,5 cm. Rta.: E1 = 5000 N/C, E2 = 1666,7 N/C. 19. Una carga puntual q = 2 x 10-12 C está sumergida en un medio material dieléctrico cuya permitividad relativa es k = 2. Sabiendo que la energía eléctrica por unidad de volumen para los medios materiales homogéneos e isótropos está dada por u = ½⋅ε⋅E2, calcule la energía almacenada entre dos superficies concéntricas de radios R1 = 5 cm y R2 = 10 cm. Rta.: U = 8,99 x 10-13 J. 20. El área de placas de un condensador plano es de 100 cm2 y la distancia entre ellas es de 5 mm. Se le aplica una d.d.p. de 300 Volt. Después de desconectar el capacitor de la fuente se introduce un dieléctrico que llena totalmente el espacio entre placas. El dieléctrico es ebonita cuya permitividad relativa es k = 2,6. Calcule: a) La d.d.p. entre armaduras con el dieléctrico. b) La capacidad antes y después de colocar el dieléctrico. c) La energía antes y después de colocar el dieléctrico. Explique la diferencia entre estos dos valores. Rta.: a) Vdiel = 115,38 V, b) C0 = 1,77 x 10-11 F, Cdiel = 4,602 x 10-11 F, c) U0 = 7,965 x 10-7 J, Udiel = 3,063 x 10-7 J.

k1

k2

d1

d2

UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS 36 CORRIENTE CONTINUA Y CIRCUITOS 1. En una resistencia de 10 Ω se establece una i = 5 A durante 4 minutos. a)¿Qué carga atravesará una sección de la resistencia en ese tiempo? b)¿Cuántos electrones pasan? c)¿Cuál es la d.d.p. entre los extremos del conductor? Rta.: a) 1200 C, b) 7,5 x 1021 electrones, c) 50V. 2. La intensidad de corriente en un hilo conductor varía con el tiempo según la relación: i = 4 + 2·t2, donde i está dada en Amperes y t en segundos. a) ¿Qué carga pasa por la sección del conductor en el intervalo comprendido entre t1 = 5 s y t2 = 10 s? b)¿Qué corriente constante transportaría la misma cantidad de carga en el mismo intervalo de tiempo (intensidad media equivalente)? Rta.: a) q = 603,3 C, b) 120,7 A. 3. Si la corriente en un conductor decrece exponencialmente con el tiempo como: ( ) ⋅0

-ti t = i e τ , donde i0 es la corriente inicial (t = 0) y τ una constante. a) ¿Cuánta carga atraviesa la sección transversal del conductor entre t = 0 y t = τ ? b) Cuánta carga pasa entre t = 0 y t = ∞? Rta.: a) ( )τ -1

0q = -i e - 1 , b) τ0q = i .

4. Un alambre de R = 6 Ω se estira de manera que su nueva longitud es 3 veces mayor que su longitud original. Encuentre la resistencia final suponiendo que la resistividad y la densidad del material no cambian durante el proceso de estirado. Rta: 54Ω. 5. Dos conductores cilíndricos uno de Cu y otro de Al, tienen la misma longitud y la misma resistencia. ¿Cuántas veces es más pesado el conductor de Cu que el de Al? (Resistividades: del Cu 1,7 x 10-8 Ω⋅m, del Al 2,8 x 10-8 Ω⋅m. Densidades relativas: del Cu 8,6, del Al 2,6). Rta.: 2 veces. 6. Se aplica la misma d.d.p. a un alambre de Cu y a uno de Al de la misma longitud. a)¿Cuál debe ser la relación entre sus radios para que por los alambres pase la misma corriente? b)¿Puede hacerse igual la densidad de corriente en ambos conductores dando valores adecuados a sus radios? Rta.: a) 1,283, b) No, si la corriente en ambos alambres debe ser igual. 7. Se tiene un bloque rectangular de carbón con las siguientes dimensiones: 1 cm x 1 cm x 50 cm. a)¿Cuál es la resistencia medida entre los dos extremos cuadrados? b)¿Cuál es la resistencia medida entre las dos caras rectangulares opuestas? La resistividad del carbón es 3,5 x 10-5 Ω⋅m. Rta.: a) R = 0,175 Ω, b) R = 7 x 10-5 Ω. 8. El bobinado de un motor eléctrico es de alambre de Cu. Antes de comenzar a trabajar su R1= 100 Ω, después de trabaje 5 h continuas su R2 =140 Ω. ¿Cuál es el incremento de temperatura del bobinado? Datos: αCu = 3,9 x 10-3 ºC-1. Rta.: ∆T = 102,6 ºC. 9. El arrollamiento de una bobina es de hilo de Cu y a la temperatura de 14 ºC tiene una resistencia de 10 Ω. Al pasar la corriente, la resistencia del arrollamiento ha alcanzado el valor de 12,2 Ω. ¿Hasta qué temperatura se ha calentado el arrollamiento? El coeficiente de temperatura para la resistividad del Cu es igual a 4,15 x 10-3 1/ºC. Rta.: tf = 67,01 ºC.

UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS 3710. La intensidad de corriente que circula por un conductor es i = 2 A cuando su temperatura es de 20 ºC. Si la ley de variación de su resistencia con la temperatura es: R = 12 + 0,02⋅t. ¿Cuál será la d.d.p. aplicada entre sus extremos y cual la intensidad de la corriente cuando t = 50 ºC? Rta.: ΔV = 24,8 V, i(50 ºC) = 1,91 A. 11. ¿Cuántas espiras de hilo de nicrom de 1 mm de diámetro hay que arrollar sobre un cilindro de porcelana de 2,5 cm de radio para obtener un horno de 40 Ω de resistencia?. La resistividad del nicrom es de 10-6 Ω⋅m. Rta.: N = 200 espiras. 12. Una barra de un cierto metal tiene 1,00 m de largo, y 0,55 cm de diámetro. La resistencia entre sus extremos (a 20 ºC) es de 2,87 x 10-3 Ω. Se construye otro cilindro con este mismo material de 2,00 cm de diámetro y 8,00 cm de longitud. a)¿Cuál es la resistencia de este nuevo cilindro a 20 ºC? b)¿Cuál es el valor de la resistividad del material a 60 ºC?, su coeficiente para la variación con la temperatura es α = 6 x 10-3 ºC-1. Rta.: a) R = 1,74 x 10-5 Ω, b) ρ(60 ºC) = 8,45 x 10-8 Ω ·m. 13. La resistencia del hilo de volframio de una lámpara eléctrica a la temperatura de 20 ºC es igual a 35,8 Ω. ¿Cuál será la temperatura del hilo de la lámpara, si al conectarla a una fuente de 120 V de tensión, por el hilo circula una corriente de 0,33 A? El coeficiente de temperatura para la resistividad del volframio es α = 4,6 x 10-3 ºC-1. Rta.: t = 2010,8 ºC. 14. Considere dos esferas conductoras perfectas, de radios a y b como se muestra en la figura. El espacio entre ambas se rellena con un medio de resistividad ρ. Calcule la resistencia entre los dos conductores.

Rta.: 1 14

R ρπ

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠a b

15. Dado el circuito que muestra la figura, si el amperímetro señala una corriente de 3 A, calcule: a) las corrientes que circulan por R2 y por R3, b) las caídas de potencial en R1, R2 y R3. Datos: R1 = 4 Ω, R2 = 2 Ω, R3 = 4 Ω.

Rta.: a) i2 = 2 A, i3 = 1 A, b) V1 = 12 V, V2 = V3 = 4 V.

UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS 3816. Dados los circuitos cerrados 1 y 2 representados en la figura: a) Represente gráficamente la variación aproximada del potencial a lo largo de los circuitos. b) Determine la expresión de la intensidad de la corriente para cada circuito y de la d.d.p. entre los puntos A y B; r1 y r2 son las resistencias internas (no dibujadas).

17. Una estufa eléctrica posee una resistencia de 50 Ω. Calcule: a) La corriente que circula al conectarla a una fuente de 220 V. b) Las calorías producidas por hora. Rta.: a) i = 4,4 A, b) P = 832,9 kcal/h. 18. Un calentador de inmersión se conecta a una fuente de 120 V y tarda 4 minutos para llevar 237 g de agua desde 15 ºC hasta su punto de ebullición. Suponiendo que no se pierde calor del agua al medio ambiente, calcule la potencia eléctrica que desarrolla la resistencia del calentador. Rta.: P = 351,2 W. 19. Dado el siguiente circuito: a) Demuestre que la máxima potencia disipada en la

carga se produce cuando R es igual a la resistencia interna de la fuente. b) Demuestre

que dicha potencia máxima vale: ⋅2

maxEP = 4 r .

20. Un motor entrega una potencia de 5 HP (1 HP = 745,7 W) y se lo alimenta con una fuente de 220 V mediante una línea bifilar de cobre, cuya resistividad a la temperatura de trabajo es 1,72 x 10-8 Ω⋅m. Calcule: a) el diámetro mínimo para que la máxima caída de potencial hasta el extremo de la línea no sea mayor del 2 %, b) la potencia disipada en la línea por efecto Joule. La distancia entre la fuente y el motor es de 300 m. Rta.: a) diam ≥ 0,7187 cm, b) PLínea = 152,2 W.

21. Una fuente E1 = 100 Volt y resistencia interna r1 = 1 Ω se usa para cargar una batería de E2 = 68 V y resistencia interna r2 = 2 Ω, intercalando un reóstato de R = 5 Ω en

serie con el circuito (ver figura). Calcule: a) la potencia que entrega la fuente, b) la potencia disipada en cada parte del circuito, c) el rendimiento del circuito.

E1; r1 E2; r2

A

B

E1 = E2 ; r1= r2

Circuito 2 E1; r1 E2; r2

A

B

E1 > E2 ; r1< r2

Circuito 1

r R

E

E1; r1 E2; r2

R

UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS 39Rta.: a) PE1 = 400 W, b) Pr1 = 16 W, Pr2 = 32 W, PR = 80 W, c) η = 0,68.

22. En el circuito de la figura, el amperímetro de resistencia interna ra = 10 Ω registra

una corriente ia = 20 mA, y el voltímetro de resistencia interna rv = 1 x 104 Ω indica Vv = 100 Volt. Calcule: a) La resistencia R. b) La d.d.p. VM - VN. Rta.: a) R = 10000 Ω, b) VM - VN = 100,2 V. 23. ¿Por qué, al conectar a la red un aparato calefactor que regula potencia (por ej. una plancha o estufa), el brillo de las lámparas incandescentes conectadas a la misma red disminuye notoriamente, luego, pasado un breve intervalo de tiempo aumenta, alcanzando prácticamente el brillo anterior? 24. En el circuito de la figura, ¿para que valor de R no circula corriente por E1? Datos: r1 = 1 Ω, r2 = 1 Ω, E1 = 1 V, E2 = 2 V.

Rta.: R = 1 Ω.

25. De la resistencia R se desprenden 9 W de potencia. a) ¿Cuánto vale la d.d.p. entre los bornes de la fuente? b) Calcule el rendimiento del circuito.

Rta.: a) ΔVEntre bornes de fuente = 9 V, b) η = 0,9 o ΔVEntre bornes de fuente = 1 V, b) η = 0,1. 26. En el circuito de la figura encontrar: a) la corriente en cada resistencia, b) la d.d.p.

entre los puntos A y B, c) la potencia que entrega cada fuente. Datos: E1 = 6 V, E2 = 5 V, E3 = 4 V, R1 = 100 Ω, R2 = 50 Ω. Rta.: a) iR1 = 0.05 A, iR2 = 0.06 A, b) VAB = VB-VA = -5 V, c) PE1 = 0,36 W, PE2 = 0,55 W, PE3 = 0,24 W (E1 recibe potencia, E2 y E3 entregan potencia). 27. En el circuito de la figura: a) ¿qué potencia se desarrolla en R1 por efecto Joule?, b) ¿en R2?, c) ¿en R3?, d) ¿qué potencia entrega E1?, e) ¿qué potencia entrega E2? Datos: E1 = 3 V, E2 = 1 V, R1 = 5 Ω, R2 = 2 Ω, R3 = 4 Ω.

A N RM

V

E1

R2

E3E2

R1

A

B

UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS 40

Rta.: a) PR1 = 0,0138 W, b) PR2 = 0,7978 W, c) PR3 = 1,8725 W, d) PE1 = 2,0526 W, e) PE2 = 0,6316 W.

28. Hay dos pilas iguales con una fem de 2 V y una resistencia interna de 0,3 Ω. ¿Cómo hay que unir estas pilas (serie o paralelo) para obtener la mayor intensidad de corriente en una resistencia?, si: a) la resistencia exterior es igual a 0,2 Ω, b) la resistencia exterior es igual a 16 Ω. Calcule la intensidad de corriente en cada uno de estos casos. Rta.: a) paralelo (i=5,7 A), b) serie (i=0,24 A). 29. En el puente de Wheatstone (modificado) de la figura, Rs se ajusta a un valor tal

que los puntos A y B tengan exactamente los mismos potenciales. Demuestre que,

cuando se realiza el ajuste, se verifica la siguiente condición: = 2x s

1

RR RR

.

30. Dado el siguiente circuito calcule: a) la intensidad de corriente que indica el amperímetro, b) d.d.p. entre los puntos A-D y M-B, c) si todos los conductores son de carbono y se hallan a 20 ºC, ¿a qué temperatura hay que colocar el sistema para que su resistencia sea de 21 Ω? Datos: R1 = R2 = 20 Ω, R3 = 4 Ω, R4 = 9 Ω, R5 = 18 Ω, VBA = 100 Volt, α = -5 x 10-4 ºC-1).

Rta.: a) ia = 5 A, b) VAD = 50 V, VMB = 30 V, c) t = -80 ºC. 31. Dados los siguientes circuitos Encuentre: a) distribución de corrientes, b) el potencial en A.

T

TT

T

10Ω

5V

20Ω 20Ω

5V

10Ω

A

10Ω 5Ω 10Ω

A

10V 5V6V

T

UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS 41Rta.: Primer circuito: a) i1 = i2 = i3 = i4 = 0,167 A, b) VA = 3,33 V. Segundo circuito: a) i1 = 0,45 A, i2 = 0,175 A, i3 = 0,275 A, b) VA = 7,75 V 32. (a) Con la llave L abierta: hallar el valor de la fuerza electromotriz E y calcular la potencia entregada por la pila y disipada por los resistores; siendo la caída de tensión en R3 de 2 V. (b) Con la llave L cerrada: hallar las corrientes y el balance de potencias.

Datos: R1 = 2 Ω, R2 = 15 Ω, R3 = 5 Ω, R4 = 2 Ω y R5 = 3 Ω.

Rta.: (a) E = 12 V, PE = 24 W, PR1 = 8 W, PR2 = 2,4 W, PR3 = 0,8 W, PR4 = 5,12 W y PR5 = 7,68 W. (b) i1 = 6 A, PE = 72 W, PR1 = 72 W. 33. Calcular los potenciales VA, VB, VC y VD, de esos puntos respecto de la tierra, (a) con la llave abierta y (b) con la llave cerrada.

Datos: E1 = 10 V, E2 = 20 V, E3 = 30 V, R1 = 10 Ω, R2 = 20 Ω.

Rta.: (a) VA = -10 V, VB = -20 V, VC = -30 V, VD = 0. (b) VA = -10 V, VB = -20 V, VC = -30 V y VD = -10 V. 34. a) Halle las funciones carga, corriente, tensión entre las placas del condensador y tensión entre los bornes de la resistencia, para el proceso de carga de un condensador en el circuito de la figura.

Respuesta: Al cerrar la llave ‘k’ por el circuito circula corriente y el condensador comienza a cargarse. A medida que aumenta la carga del condensador aumenta también su tensión entre

UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS 42placas y la corriente en el circuito decrece. El proceso de carga del condensador continúa hasta que su tensión se iguale a la de la fuente U0. Designemos con ‘q’ la carga de la armadura positiva del condensador. En el proceso de carga este parámetro varía, y su velocidad de variación define la intensidad de corriente ‘I’ en el circuito:

Idq

dt= [1]

La ecuación (1) corresponde a la elección de la dirección de la corriente que se muestra en la figura: el valor positivo de la corriente en la ecuación (1) corresponde al crecimiento de la carga de la armadura superior del condensador, o sea, al valor positivo de la

derivada dq

dt.

En el circuito en serie que consideramos, aplicando la segunda ley de Kirchhoff: Uo = I⋅R + Uc Es decir, la fem del circuito es igual a la suma de las caídas de tensión en la resistencia y en el condensador. Expresando todos los valores en función de la carga ’q’:

U Rdq

dt

q

C

dq

dt

U C q

R C00= ⋅ + ⇒ =

⋅ −

⋅

Esta ecuación diferencial determina la dependencia entre la carga del condensador y el tiempo. En el numerador del segundo miembro, el término (U C0 ⋅ ) se puede considere como la carga Q0 que acumula el condensador cuando la tensión entre armaduras es U0 . Haciendo Q U C0 0= ⋅ , reemplazando y ordenando:

dq

Q q

dt

RC0 −= .

Integrando: dq

Q q

dt

RC

Q q

Q

t

RCQ q Q e

tq t

RC

0 00

0

00 0−

= ⇒−⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ = − ⇒ − = ⋅∫∫

−ln

Despejando q: q Qt

RCe= ⋅ −⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥−

0 1 . El gráfico q(t) es:

c a rg a d e u n c o n d e n s a d o r -G rá f ic o q ( t )

t

q

En la expresión ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −⋅= −e RC

t

0 1Qq , el producto R⋅C es un valor característico del circuito.

El hecho de que R⋅C se exprese en segundos dio lugar a su vinculación con el tiempo. De hecho se denomina constante de tiempo τ = R⋅C. ¿Qué pasaría si en la expresión de q(t)

hacemos t = τ?. La carga del condensador tomaría el valor: 00 Q63,0q)e11(Qq ⋅≅⇒−⋅= .

De esta forma podemos decir que la constante de tiempo τ de un circuito R-C es numéricamente igual, en el proceso de carga, al tiempo que demora el condensador en

[2]

[3]

[4]

[5]

0,63⋅Q0

Q0 τ

UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS 43cargarse al 63% de la carga final Q0 (C⋅U0). Si expresamos q(t) con este nuevo parámetro nos queda:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −⋅= −e

t

0 1Qq τ ó q C Ut

e= ⋅ ⋅ −⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥−

0 1 τ

Para determinar la intensidad de corriente instantánea no tenemos más que derive en ‘t’ esta última función:

eeet

0t

0t

0

RU

CRUCQ

dtdqI τττ

τ−−− ⋅=⋅

⋅⋅

=⋅==

IU

R

t

e= ⋅ −0τ ó I I

t

e= ⋅ −0 τ

Donde IU

R00= es el valor que toma la corriente en el instante ‘t = 0’, que, además, lo

podemos considere como la intensidad de corriente constante que recorrería el circuito si el condensador no existiese. Durante el proceso de carga del condensador, la corriente es máxima en el instante inicial (cuando cerramos la llave ‘k’) y luego decrece en forma exponencial. El gráfico ‘i (t)’ es:

Carga de un condensador-grafico I(t)

t

II0

Ahora podemos relacione a la constante de tiempo con otra característica del circuito. ¿Durante cuánto tiempo (tx) debería circule una corriente igual a I0 , constante, para cargar al condensador hasta su carga final Q0?. En tal caso se cumple que:

IQ

tt

Q

I

C UU

R

R Cx

x00 0

0

0

0= ⇒ = =

⋅= ⋅ = τ .

Es decir, que si la corriente circulara con intensidad I0 constante, cargaría al condensador en un tiempo equivalente al valor de la constante de tiempo τ. Si quisiéramos construir el gráfico UC (t) (tensión entre placas del condensador en función

del tiempo) no tenemos más que relacionarlo con el gráfico q(t) a través de: U tq tCc( )( )

= ,

por lo tanto es un gráfico de igual forma que el de q(t). De igual forma, si queremos conocer el gráfico UR(t) (tensión entre extremos de la resistencia en función del tiempo), lo podemos relacione con el gráfico I(t) a través de: U t R I tR( ) ( )= ⋅ , por lo que es un gráfico similar al I(t).

[6]

[7]

τ

UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS 44b) Halle las funciones carga, corriente, tensión entre las placas del condensador y tensión entre los bornes de la resistencia, para el proceso de descarga de un condensador en el circuito de la figura. Respuesta: Cuando el condensador se encuentra cargado con Q0,, si conmutamos la llave ‘k’ por la resistencia circula la corriente en sentido contrario al anterior y el condensador comienza a descargarse. A medida que disminuye la carga del condensador disminuye también su tensión entre placas (UC) y la corriente en el circuito decrece. El proceso de descarga del condensador continúa hasta que su tensión se anula.

La intensidad de corriente en el circuito es: dtdqI −= .

Aplicando la segunda ley de Kirchhoff:

0Rdtdq

Cq0RI

Cq

=⋅+⇒=⋅−

Ordenando las variables de esta ecuación diferencial: CR

dtqdq

⋅−=

Integrando, teniendo en cuenta que: ⎩⎨⎧

=⇒==⇒=

qqttparaQq0tpara 0

CRt

Qqln

0 CRdt

Q qdq

0

tq

0⋅

−=⇒⋅

−= ∫∫

Aplicando la definición de logaritmo natural y despejando:

RCt

0 eQq−

⋅=

La representación gráfica de la función q(t) es:

Podemos reemplazar en la expresión de q(t), el producto R⋅C por la constante de tiempo, quedando:

q Q et

= ⋅−

0τ

U0

k

C

R

I

[8]

[9]

τ

0,37⋅Q0

Q0

τ

t

[10]

UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS 45

Si aquí hacemos t = τ , obtenemos: qQe q Q= ⇒ ≅ ⋅0

00 37, , es decir, que para este

caso, la constante de tiempo es el tiempo necesario para que la carga del condensador decrezca en 0,63 de su valor inicial, después de un intervalo equivalente a dos constantes

de tiempo, la carga es 020 Q14,0q

eQq ⋅≅⇒= , lo que es una característica de muchos

fenómenos en los que alguna variable decrece en forma exponencial, es decir, cuando la variable crece o decrece continuamente en una magnitud proporcional al valor que tiene en cada instante. La constante de tiempo también la podemos considere como el tiempo que tardaría el condensador en descargarse totalmente si su velocidad de descarga fuera constante e igual a su valor inicial. La intensidad de corriente la obtenemos derivando [10] con respecto al tiempo:

Idq

dt

Q

R Ce

U

Re

t t

= − =⋅

⋅ = ⋅− −

0 0τ τ

Haciendo UR I0

0= : I I e

t

= ⋅−

0τ

Como vemos esta expresión es igual a la [7], que obtuvimos para la carga del condensador, por lo que su representación gráfica es la misma que aquella. Obviamente, tanto el proceso de carga como el de descarga del condensador, continúan en un tiempo infinitamente largo, aunque como en todos los procesos semejantes, en los que la dependencia temporal se describe con un exponente negativo, la variación fundamental se realiza en un lapso relativamente corto (depende de la constante de tiempo), el resto de la variación se desprecia (por supuesto que este “resto” depende de cada caso en particular). Si nos interesamos por el tiempo en el transcurso del cual se produce la variación de la magnitud considerada en una proporción determinada (tan grande como queramos pero finito), este tiempo se diferenciará de “τ“ sólo por un factor numérico (por eso comparativamente pequeño). P. ej. el tiempo que pasa hasta que en las armaduras del condensador que se descarga sólo quede una milésima parte de la carga inicial es igual a

ττ 710ln3 ≅⋅⋅ . En todo sistema real el proceso transitorio continúa en el transcurso de un intervalo finito de tiempo (y no infinitamente grande) ya que hable de semejante proceso sólo tiene sentido hasta el instante en que la magnitud que se considera disminuye hasta el valor correspondiente a las fluctuaciones térmicas del sistema. En la solución del problema, tácitamente hemos supuesto que el valor instantáneo de la corriente es el mismo en cualquier lugar del circuito eléctrico que une las armaduras del condensador, por lo que podemos considere que el campo eléctrico del condensador es igual que en electrostática con esas mismas cargas en las armaduras. Así se puede considere que la propagación de las interacciones eléctricas se produce prácticamente en forma instantánea. En realidad, la propagación del campo electromagnético en medios materiales se realiza a una velocidad finita (aproximadamente la velocidad ‘c’ de la luz), por lo que la suposición de dicha instantaneidad estará justificada sólo si el tiempo de propagación es despreciable con respecto a “τ“.

[11]

[12]

UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS 46Vamos a analice cuál es la respuesta (Usal) de un circuito R-C como el de la figura, que se alimenta con Uent en forma de pulsos rectangulares.

Al comienzo de cada pulso rectangular la corriente sigue la ley dada por la expresión [12] y, por lo tanto, la tensión de salida salta hasta su valor máximo y comienza a decrecer en forma exponencial. Si la constante de tiempo τ=R⋅C es mucho menor que la duración del pulso en la entrada, la corriente de carga cesa antes de que se acabe dicho pulso. En el instante en que llega el frente posterior del pulso rectangular inyectado a la entrada la tensión de entrada salta a cero. Esto significa un cortocircuito en los bornes de entrada, y el condensador se descarga haciendo circule una corriente de sentido contrario al de carga por la resistencia ‘R’, lo que produce la inversión de la tensión de salida, decreciendo en forma exponencial hasta hacerse prácticamente cero. Los pulsos de la tensión de salida ‘Usal’ tienen la misma magnitud tanto en la carga como en la descarga, ya que el condensador tiene tiempo para cargarse y descargarse.

Si el tiempo de carga del condensador es grande (τ >>T/2), el condensador no tiene tiempo para cargarse hasta la tensión ‘U0’ y por ende, toma relativamente poca carga. Al llegar el frente posterior del pulso de entrada, esta pequeña carga produce a su vez una pequeña corriente de descarga por la resistencia, que se traduce en una caída de tensión en dicha resistencia, de polaridad negativa pero de muy pequeña magnitud. Los pulsos de salida de polaridad negativa son ahora menores. De aquí se desprende que si τ >>T/2 la forma de los pulsos de salida prácticamente no difiere de la de los pulsos de entrada. El gráfico correspondiente es el mostrado al comienzo de este párrafo. Al variar el valor de T, haciendo que tome valores similares al de τ, los pulsos de salida de polaridad negativa crecen gradualmente mientras que los de polaridad positiva decrecen, decreciendo a su vez la componente continua de la tensión de salida, desapareciendo esta componente cuando τ <<T/2.

Uent

C

UsalR Usal

t

Uent

t

T/2

U0

τ<<T/2

Usal

t

Uent

t

T/2

U0

τ >>T/2

UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS 47

MAGNETOSTÁTICA 1. Un protón (q=1,60⋅10-19 C), se mueve con velocidad ˆv = 4,46 Mm s i en un campo magnético uniforme B = 1,75 T k . Determine la fuerza magnética sobre el protón. Rta.: ˆ-12F = -1,25 ×10 N j .

2. Una carga q= -2,64 nC se mueve con velocidad v ims= ⋅275 106, . Determine la

fuerza que actúa sobre la carga en un campo magnético: a) B Tj= 0 48, ; b) B Ti Tj= +0 65 0 65, , . Solución: La fuerza magnética, en todos los casos está dada por el producto vectorial: F q v B= ∧ , cuya solución es el producto entre “q” y la matriz del producto vectorial v B∧ : Reemplazando valores para cada caso particular tenemos (no se indican las unidades, pues estamos usando el SI.ME.L.A. y el resultado está dado en N):

a) ( ) kNkNNkji

F ˆ1048,3ˆ48,01075,21064,2048,00001075,2

ˆˆˆ

.1064,2 36969 −−− ⋅−=⋅⋅⋅⋅−=⋅⋅−= kNF ˆ1048,3 3−⋅−=

b) ( ) kNkNNkji

F ˆ1072,4ˆ65,01075,21064,2065,065,0001075,2

ˆˆˆ

.1064,2 36969 −−− ⋅−=⋅⋅⋅⋅−=⋅⋅−= kNF ˆ1072,4 3−⋅−=

3. Un electrón se mueve con ( )i j= + × 55 8 66 10 m sˆ ˆv , en un campo i−= × 21 10 TˆB .

Calcule la fuerza F ejercida sobre el electrón por parte del campo B . Carga del electrón: q = 1,60 x 10-19 C. Rta.: 151 386 10 N ˆF , −= × k .

4. Un electrón se mueve con una velocidad 62 10 m sˆv = × i en un campo magnético 0 5 TˆB ,= − k ¿Qué campo eléctrico hay que aplicar de manera que haga nula la fuerza

total ejercida sobre el electrón? Rta.: 61 10 N C E = − × j .

5. Un electrón tiene una energía U = 5 eV moviéndose en el sentido de las z negativas, y entra en un campo magnético 1 5 TˆB ,= i . a) Determine la fuerza actuante sobre la carga. b) Determine la trayectoria del electrón. Rta.: a) 133 182 10 N m

ˆF , −= × j (en el instante en que el electrón entra en la zona del campo), b) El electrón describe un MCU de radio: 65 028 10 mR , −= × .

6. Un electrón tiene una energía U = 10 eV y se está moviendo en un plano perpendicular a un campo magnético 41 10 TˆB = × i . Determine: a) Su velocidad. b) El radio de su órbita. c) El período de su revolución. Rta.: a) 61 875 10 m sv ,= × , b)

91 066 10 mR , −= × , c) 153 573 10 sT , −= × .

7. Dentro de un ciclotrón se mueve un electrón a lo largo de una circunferencia de radio R = 0,5 m; el valor del campo magnético es B = 1,2T. Calcule la energía cinética y la frecuencia de su movimiento. La masa y la carga del electrón son: 319 1 10 kgem , −= × y

191 6 10 Ceq , −= − × . Rta.: cE , 95 06 10 J−= × , 103 56 10 Hzf ,= × .

zyx

zyx

BBBvvvkji

qF ⋅=

UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS 488. Un electrón inicia una trayectoria circular en un campo magnético perpendicular al plano de la figura (Ciclotrón). En la zona ubicada entre los planos cuyas trazas son x-x

e y-y hay localizado un campo eléctrico que invierte su sentido cada vez que el electrón penetra en él, de tal forma que el electrón es acelerado y su velocidad se duplica cada vez. Calcule: a) El radio de la trayectoria semicircular inicial. b) El tiempo para describirla. c) El radio de la 5ta trayectoria. d) La velocidad angular de la 5ta trayectoria. e) El tiempo que emplea el electrón para atravesar 5 veces la zona del campo eléctrico. vo=106 m/s (velocidad de disparo), 21 10 TB −= × , 11 C1 76 10 kg

e ,m = × .

Rta.: a) 80 6 02 10 mR , −= × , b) 9

0 3 57 10 sT , −= × , c) ta7

5 trayectoria9 64 10 mR , −= × , d)

ta9

5 trayectoria1 76 10 1 s,α = × , e) 0

5 veces 31 vt e Em=

⋅ siendo E el módulo del campo eléctrico.

9. Por un conductor lineal, recto y muy largo, pasa una corriente de 10 A. a) Calcule el módulo del campo magnético en un punto situado a una distancia de 2 cm de dicho conductor. b) Represente gráficamente B = f(r). Rta.: a) B = 1,0 x 10-4 T. 10. Dados dos conductores rectos y muy largos situados en el mismo plano y recorridos por i1 = i2 = 10 A. a) Calcule el valor de B en el punto P. b) Halle la región del plano en la que 0B = . Rta.: a) -6 ˆ1,667×10 T B = k (el sentido de k es saliente de la hoja). b) La recta y = x, tomando como origen de cordeadas el punto en el que se cruzan los conductores.

11. Dos conductores lineales, rectos y muy largos, están separados entre sí una distancia d = 3 mm. Si los conductores llevan corrientes de i = 10 A cada uno y en sentidos contrarios: Representar gráficamente el valor de B para puntos que están sobre el plano de los conductores.

i1 P

i2

0,4

0,3

xy

xy

UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS 4912. Calcule la corriente i1 si en el punto P se quiere obtener un campo B = 2⋅10-6 T,

(suponer conductores muy largos). Rta.: i1 = 1,5 A. 13. Cuatro conductores lineales, paralelos y muy largos están dispuestos a lo largo de

las aristas de un paralelepípedo cuya base es un cuadrado de lado igual a "a". Cada uno lleva una corriente de 20 A. Determine B en el centro del cuadrado. Rta.: B = 8.0 x 10-5 T j .

14. Una carga de +10 μC se mueve a lo largo de una circunferencia de radio r = 10 cm con una frecuencia de 15 revoluciones por seg. Determine B en el centro de la circunferencia. Rta.: B = 9,42 10-10 T. 15. Por una espira circular de 15 cm de radio circula una corriente de 2 A. Calcule B en un punto P situado sobre el eje de la espira y a la distancia de 5 cm del plano de la misma. Rta.: B = 7,15 x 10-6 T. 16. ¿Cuál sería el valor de la corriente que debería circular a lo largo de una espira apoyada sobre el Ecuador terrestre para producir en los polos un campo B = 6,0 x 10-5 T? Para esta intensidad calcule el campo resultante en el centro de la Tierra. Suponga a la Tierra como una esfera de 6370 km de radio. Rta.: i = 1,72 x 109 A, BCentro = 1,697 x 10-4 T. 17. Se tiene un arrollamiento circular de una sola espira conductora. Se aplica en sus extremos una diferencia de potencial V1. ¿Cuál debe ser la d.d.p. V2 que debe aplicarse a otra espira circular construida con el mismo conductor y de radio igual al doble para obtener en el centro el mismo campo magnético? Datos: ρ (resistividad), V1, R (radio de la espira), A (sección del alambre). Rta.: V2 = 4 V1. 18. Un conductor recto y muy largo, de 10 mm de diámetro, es recorrido por una corriente i = 50 A distribuida uniformemente en la sección. a) Determine B en dos puntos ubicados a 4 mm y 8 mm del eje respectivamente. b) Graficar B en función de la distancia al eje. Rta.: B(4 mm) = 1,6 x 10-3 T, B(8 mm) = 1,25 x 10-3 T. 19. Un conductor hueco, muy largo, de pared gruesa, conduce una corriente i saliente y

a

a

a=20cm

a

isal

isal

ient

ient

c5

c1

c4c3c2

60 o

I1 =?

i2= 5A

P0,4m

0,8m

UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS 50uniformemente distribuida en la sección. Indique cuánto vale B dl⋅∫ a lo largo de los cinco recorridos cerrados indicados con líneas de puntos.

Rta.: 1

0C

B dl⋅ =∫ , 2

0CB dl iμ⋅ = −∫ ,

30C

B dl iμ⋅ =∫ , 4

0CB dl iμ⋅ =∫ ,

5

0

6C

iB dl μ⋅ = −∫ .

20. Calcule B en los puntos A, B, C y D debido a las corrientes que circulan por los conductores lineales de la figura, cuyos diámetros son 6 y 4 mm respectivamente.

a) Para el caso en que las corrientes tengan igual sentido (hacia arriba). b) Para el caso en que las corrientes tengan sentidos opuestos. Rta.: a) -9

(A)ˆ 2,50 10 T B = × i , -5

(B)ˆ-4,4442 10 T B = × i , -9

(C)ˆ2,50 10 T B = × i ,

-8(D)

ˆ -4,12 10 T B = × i , b) -9(A)

ˆ-2,50 10 T B = × i , -5(B)

ˆ-4,4446 10 T B = × i , -9

(C)ˆ -7,50 10 T B = × i , -8

(D)ˆ 3,88 10 T B = × i (siendo i el versor del sentido saliente de la

hoja). 21. Un cilindro hueco conductor, de radio interior Ri y radio exterior Re lleva una

corriente i. Demuestre que: a) El campo magnético a distancias r > Re, es Bir

=⋅⋅

μπ

0

2; b) El

campo magnético a distancias Ri < r < Re es ( )( )22

220

2 ie

i

RRrRriB

−−

=πμ

; c) El campo magnético es

nulo para r < Ri. 22. Dos espiras circulares coaxiales de radio R se hallan enfrentadas y en planos paralelos a la distancia d una de otra. Las espiras están recorridas por corrientes que circulan en el mismo sentido y tienen los valores indicados. Deduzca la expresión del campo magnético en el centro de una de ellas y calcule su valor. Datos: R = 5 cm, d = 8 cm, i1 = i2 = 4 A. Rta.: B(en el centro de una de las espiras) = 5,77 x 10-5 T, el campo tiene la dirección de la recta que une las espiras. 23. Calcule B en el punto P de la figura, si por el conductor circula una corriente i = 10 A.

Rta.: -6(P)

ˆ -5,59 10 T B = × k , donde k es el sentido saliente de la hoja.

160m

i2 =2A

i1 =1A

BA D C2mm

10m

80m

P i

40 cm

20 cm

60 cm

UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS 5124. Determine el campo magnético B en el punto P de la figura, creado por un tramo de conductor lineal de longitud b y por una espira circular de radio R. El conductor y la espira son coplanares y el centro de la espira está sobre la mediatriz del conductor lineal. Datos: R = 25 cm, b = 60 cm, a = 80 cm, i1 = 0,5 A, i2 = 20 A.

Rta.: -5

(P)ˆ -5,02 10 T B = × k , donde k es el sentido saliente de la hoja.

25. Dos conductores L.R.I., paralelos, en el vacío transportan corrientes i1 = 2A e i2= ? Si la fuerza de repulsión que por unidad de longitud actúa sobre cada conductor es de 10 dinas/m, determine el valor y el sentido de la corriente i2, si los conductores se encuentran a 1 m de distancia entre sí. Rta.: i2 = 250 A. 26. Calcule la distancia "x" de equilibrio del conductor deslizante de la figura, que pesa

25 dinas y tiene 20 cm de longitud. El conductor inferior es lineal rectilíneo e indefinido (L.R.I.). Rta.: x = 4,8 mm. 27. Un conductor L.R.I. actúa sobre el cuadro rígido de la figura. Si ambos están en el mismo plano y el medio es el vacío, calcule la fuerza de interacción resultante entre conductor y cuadro.

1 2100 A, 10 ADatos

1 cm, 4 cmi ia b c

= =⎧⎨

= = =⎩.

Rta.: 44,0 10 NF −= × , perpendicularmente al conductor L.R.I. y en el sentido de alejarse del mismo. 28. Un alambre curvado como se muestra en la figura lleva una corriente i y va colocado en un campo magnético uniforme B saliente del plano de la hoja.

Calcule la fuerza que actúa sobre el alambre. ˆ0,2 T B = k , L = 20 cm; R = 10 cm; i = 2 A. Rta.: ˆ-0,24 N F = j . 29. Un solenoide recto ideal con núcleo de aire de 2 m de largo y 250 espiras es recorrido por una corriente de 15 A. Determine B en el interior del mismo. Rta.: 32,356 10 TB −= × , a lo largo del eje del solenoide.

i2i1

c

ba

x i2 = 10A

i1 = 3 A

R

y

x L L

i

UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS 52

x

y

bx0

a

30. El arrollamiento de un toroide tiene N = 100 vueltas de alambre conductor, el radio interior es Ri = 8 cm y el radio exterior es Re = 12 cm, el núcleo es de aire y se

establece una corriente i = 2,5 A. Deduzca la expresión de B en el núcleo en función del radio y calcular el valor de B en el radio medio.

Rta.: ( ) 0 1, para 2 i e

NiB r R r Rr

μπ

= ⋅ ≤ ≤ , 4(Radio medio) 5,0 10 TB −= × .

31. Una bobina circular de 12 cm de diámetro y 20 espiras conduce una corriente de 0,5 A. Está montada sobre un eje x-x que pasa por uno de sus diámetros. La bobina se coloca en un campo magnético uniforme 4 TB = con su eje x-x perpendicular al campo,

calcule: a) El momento de dipolo magnético del arrollamiento. b) El momento mecánico máximo que actúa sobre la bobina por parte del campo. c) La posición angular de la bobina (ángulo θ) de forma que el momento actual sea la mitad de dicho momento máximo, (limite el valor a 0<θ<2π). Rta.: a) 1 21,131 10 Ammp −= × , b) 1

max 4,524 10 N mη −= × ⋅ , c) θ = 30º o 150º.

32. Un conductor cilíndrico muy largo tiene un agujero también cilíndrico, paralelo pero no coaxial, como se muestra en la figura. La corriente, longitudinal, se distribuye uniformemente en la sección del conductor. Determine el campo magnético en el hueco para puntos situados en el eje “x”. 33. Determine el momento mecánico sobre una bobina rectangular de 10 cm por 12 cm

y que tiene 40 vueltas de alambre recorridos por una corriente i = 2 A, cuando es suspendida en un campo magnético uniforme B cuyo módulo es B = 0.25 T. El plano de la bobina es paralelo a la dirección del campo. Rta.: 12,40 10 N mη −= × ⋅ .

RiRe

SN

UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS 5334. Halle el campo B sobre el eje de un solenoide finito de longitud L y radio R, bobinado con N vueltas de alambre (). Respuesta:

Supongamos que la distancia entre las diferentes vueltas de alambre del bobinado es pequeña (se puede suponer que los alambres de cada vuelta del bobinado están juntos, sólo separados por la aislación eléctrica de los mismos) y que N es grande. Como se indica en el enunciado el solenoide es de longitud finita L, es decir que no se puede considerar a L >> R. El bobinado se puede aproximar por una distribución continua de espiras circulares coaxiales uniformemente distribuidas con densidad lineal de espiras: n = N/L.

Supongamos un sistema de referencia como el de la figura 1, con el eje z coincidiendo con el eje del bobinado y el plano x-y corta al bobinado por la mitad. Entonces, el bobinado se extiende en el intervalo z− ≤ ≤L L/ 2 / 2 y queremos calcular el campo en un punto del eje z (punto campo) cuyas coordenadas son: 0 0C Cr = ( , ,z ) .

Podemos considerar una porción del bobinado ubicada en una posición z genérica y de longitud dl = dz, como se muestra en la figura 2. Esta porción contendrá una cantidad de espiras dN = ndz. Podemos expresar la contribución al campo de esta cantidad diferencial de espiras, dN, considerando el resultado del campo de una espira de corriente de radio R multiplicado por dN:

( )( ) ( )

2 20 0

3 2 3 22 22 22 2

Nμ μ= =

⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ − + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦z C

C C

d i R n dz i RdB z

R z z R z z (0.1).

El campo total será:

( )( ) ( )

2 22 20 0

3 2 3 22 22 22 222

μ μ

− −

= =⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ − + −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∫ ∫L L

z CL LC C

n i R ni R dzB z dzR z z R z z

(0.2).

La integral se puede resolver con ayuda tablas; pero también se puede realizar un

cambio de variable que conduce a una integral inmediata y nos da una expresión del resultado más fácil de recordar.

UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS 54

Figura 3.

Consideremos el vector d que da la posición del punto campo con respecto a un

punto cualquiera del borde del bobinado ubicado a una altura z, como se muestra en la figura 3. Este vector forma un ángulo θ de elevación con respecto a un plano perpendicular el eje del bobinado. Entonces se tiene:

( ) ( ) ( )C

C 2cosθ θ θ

θ−

= ⇒ − = ⋅ ⇒ − =z z Rtg z z R tg dz d

R (0.3),

( )( )

1 222C

cos θ =⎡ ⎤+ −⎣ ⎦

R

R z z (0.4),

( )( )

C1 222

C

sen θ −=

⎡ ⎤+ −⎣ ⎦

z z

R z z (0.5),

( )( )

( )( )

( ) ( ) ( )

2

1

2

1

2 22 30 0

3 2 3 2222

0 02 1

cos2 2 cos

cos sen sen2 2

θ

θ

θ

θ

μ μ θθ

θ

μ μθ θ θ θ

−

= = − =⎡ ⎤+ −⎣ ⎦

= − = − −⎡ ⎤⎣ ⎦

∫ ∫

∫

L

z CL C

n i R ni Rdz RB z dRR z z

ni n id

(0.6).

Los ángulos 1θ y 2θ corresponden a los extremos inferior y superior del bobinado, respectivamente, y se cumple que

( )( )( )

C1 1 1 222

C

2 sen2 2

Si θ += − ⇒ =

+ +

z LLzR z L

(0.7)

( )( )( )

C2 2 1 222

C

2 sen2 2

Si θ −= ⇒ =

+ −

z LLzR z L

(0.8),

con lo que se tiene:

( )( )( ) ( )( )

0 C CC 1 2 1 22 22 2

C C

2 22 2 2

μ⎛ ⎞

+ −⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟+ + + −⎝ ⎠

z

n i z L z LB zR z L R z L

(0.9)

UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS 55Resuelta la integral, podemos renombrar a la coordenada del punto donde evaluamos el campo como z:

( )( )( ) ( )( )

01 2 1 22 22 2

2 22 2 2

μ⎛ ⎞

+ −⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟+ + + −⎝ ⎠

z

n i z L z LB zR z L R z L

(0.10).

UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS 56 INDUCCIÓN MAGNÉTICA 1. Un solenoide de 20 cm de longitud y sección de radio 2 cm, está formado por 3000 espiras devanadas uniformemente. Por la bobina circula una corriente de 2 A. a) ¿Cuál es el valor de B en el centro del solenoide? b) ¿Cuál es el flujo φ que atraviesa la sección transversal del núcleo? c) ¿Cuál es el flujo que concatenan las 3000 espiras del arrollamiento? Rta.: a) 2

, Centro 3,697 10 TzB −= × , siendo z la dirección del eje del solenoide, b) 54,737 10 Wbφ −= × , c) 11,421 10 Wbφ −= × .

2. En una región del espacio el campo varía según la ley ( )2 ˆ2 3 TB t= + i . Encuentre la fem inducida sobre 20 espiras en el instante t = 2 s. El área de cada espira es

( ) 2ˆ0,5 mA = i .

Rta.: ( )tfem 2 s 80 V= = − .

3. Por el conductor rectilíneo y muy largo de la figura pasa una corriente de 10 A.

Calcule el flujo del campo que atraviesa el área rectangular que se encuentra en el mismo plano del conductor. Rta.: 71,099 10 Wbφ −= × .

4. En el circuito rectangular de la figura: (a) Calcule la fem inducida cuando por el conductor rectilíneo y muy largo circula una corriente variable, cuya intensidad viene dada por: ( )( ) = 10 sen 100 ([i]=A; [t]=s)i t tπ⋅ ⋅ , siendo a = 5 cm; b = 10 cm; d = 5 cm. (b) Determine el coeficiente de inducción mutua entre el circuito rectangular y el conductor rectilíneo. El circuito rectangular y el conductor rectilíneo son coplanares.

Rta.: a) ( )54,4 10 cos 100 t Vε π−= − × ⋅ , b) 1,4 M H= .

5. Una espira rectangular de 5 cm por 20 cm gira alrededor de un eje paralelo y coplanar sus lados mayores a 3000 r.p.m. dentro de un campo B = 1T, uniforme y perpendicular a su eje de giro. a) Determinar la expresión del flujo de campo magnético en función del tiempo. b) Calcule el máximo valor de la fem instantánea que se induce en la espira. Rta.: a) ( ) ( )cost B A tφ ω= ⋅ ⋅ ⋅ , siendo A el área de la espira, b) max Vπ=ε .

6. Una espira gira desde la posición normal a un campo B hasta la posición paralela al mismo, por lo cual en la espira se induce una carga de 10 µC. Si el radio de la espira es de 5 cm y su resistencia eléctrica R = 10 Ω. Calcule el valor de B. Rta.: 21,273 10 TB −= × .

1 cm

5 cm

i

2 cm

UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS 577. Un solenoide recto de longitud L = 15 cm y sección transversal S = 2 cm², está formado por 1000 espiras recorridas por una corriente i = 1A. Si el núcleo tiene una permeabilidad relativa μr = 100: a) Calcule el flujo del campo a través de la sección transversal del núcleo. b) ¿Cuál es el valor del coeficiente de autoinducción L del solenoide? Rta.: a) 41,675 10 Wbφ −= × , b) 11,675 10 H−= ×L .

8. Se tienen dos tubos concéntricos muy largos en los que el espesor de sus paredes es despreciable, de radios R1 y R2 y uno de los cuales sirve de ida y el otro para la vuelta de la corriente. a) Demuestre que la autoinducción por

unidad de longitud del sistema así formado es: 0 2

12RR

μπ

⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

L lnl

. b) La

configuración descripta puede aplicarse a un cable coaxial que se utilice en el rango de frecuencias VHF o UHF, ya que para estas frecuencias se puede considerar que la corriente en el conductor interior circula por su superficie exterior. Considere el cable coaxial del problema 5 de la guía de Condensadores y Dieléctricos y calcule el correspondiente valor de L l . Rta.: b) 0,36 H mμ=L l .

9. Demuestre que la autoinducción en el interior de un tramo de

longitud h de un conductor cilíndrico muy largo está dada por: 8

hL μπ

= suponiendo que la

densidad de corriente que circula es uniforme. μ es la permeabilidad magnética del medio. Respuesta:

Para determinar L aplicamos la definición: LiΦ

= ,

donde Φ es el flujo total concatenado del inductor e i la corriente que circula por él. Para encontrar el flujo necesitamos hallar la expresión del campo B( )r , aplicando

la Ley de Ampere a la curva C de la siguiente figura:

B dl iμ⋅ =∫C

.

En esta integral, por la simetría de la distribución de corriente: B// Bdl dl B dl⇒ ⋅ = ⋅ (producto de los módulos). Reemplazando: B dl iμ⋅ =∫

C

.

En el integrando, el módulo del campo es constante en C, por lo que podemos escribir: 2B dl i B r iμ π μ= ⇒ =∫

C

.

En el segundo miembro la intensidad de corriente es:

2r

iπ=

= ⋅∫A

J dA .

R1

R2

ccR

r

UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS 58

Por ser J uniforme ( 20i RπJ = ) y J//dA se tiene que

2

0 2ri iR

= , con lo que:

022

iB rR

μπ

= .

Determinación del flujo total concatenado, Φ :

Cuando se trata de un arrollamiento con N espiras, el flujo total concatenado lo calculamos como NφΦ = . Pero en este caso no tenemos espiras con distribución discreta de la corriente, ya que está distribuida en todo el volumen del conductor. Esto no nos impide hacer una analogía, en la que en lugar de N utilizamos un factor proporcional al área encerrada por la curva C:

2

02 2 2

0

i i i riR r Rπ π

∧ ⇒ =J = J = ,

donde i es la corriente encerrada por la curva C. Aquí el cociente 2

2rR

cumple la función

de N en nuestra analogía.

El flujo total será:

2

20

BR r dA

RΦ = ⋅∫

Dado que B//dA y que dA hdr= (ver figura anterior), la integral queda:

30 04

0 82

R i h i hr drR

μ μππ

Φ = =∫ .

Entonces, reemplazando:

0 8

hLi

μπ

Φ= = .

Verificación por medio de consideraciones energéticas

Dado que la energía magnética y la inductancia están relacionadas por medio de la expresión:

20

12

U Li=m . (11)

h

dr

r

R

Lineas de campo

UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS 59Y la energía magnética podemos evaluarla a partir de la densidad volumétrica de energía Umv :

( )

22 0

2

22002

0

1 12 2 2

1 22 162

R

iU U dVol B dVol r dVolR

i hr r hdr iR

μμ μ π

μ μπμ ππ

⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫ ∫

∫

m mv

(12)

Igualando (1) y (2) llegamos a:

8

hL μπ

=

10. En un campo magnético uniforme de B = 1 T se encuentra un cuadro móvil de 10 cm² de sección (A), sobre el que están devanadas N = 750 espiras. El cuadro gira a 50 rev/segundo alrededor de un eje perpendicular al campo. a) Encuentre la expresión de la fem inducida en función del tiempo. b) Repetir el cálculo para el caso en que el eje forma con el campo un ángulo de α = 300. Rta.: a) ( ) ( )( ) sen 3,93 sen Vt N B A t tω ω ωε = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ , b)

( ) ( ) ( )( , ) sen sen 1,965 sen Vt N B A t tα ω α ω ωε = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ , siendo ω la velocidad angular de giro del cuadro. 11. Un solenoide recto está formado por dos arrollamientos, primario y secundario. Al primario se le conectan en serie una fuente E y una llave interruptora, y al secundario una resistencia R. Hacer un análisis cualitativo de la corriente a través de R en los siguientes casos: a) Llave abierta; b) Inmediatamente después de cerrar la llave; c) Llave cerrada; d) Inmediatamente después de abrir la llave. 12. Se tiene una espira circular de área A = 0,1 m2 girando alrededor de uno de sus diámetros con velocidad angular constante 10 s-1, dentro de un campo perpendicular al eje de rotación de B = 5 T. a) Calcule la fem inducida entre los extremos de la espira en función del tiempo. b) Encuentre el momento mecánico externo necesario para hacer girar la espira para los tres casos siguientes: i. Cerrando la espira por una resistencia de valor R = 5 Ω. ii. Sin cerrar el circuito de la espira (funcionamiento en vacío). iii. Conectando los extremos de la espira (cortocircuito). Rta.: a) ( )-1

( ) 5 V sen 10 st tε = ⋅ ⋅ , b) i) ( )2 -10,5 J sen 10 s tη = ⋅ , ii) No hay momento

porque en la espira no circula corriente y 0mp = , iii) la corriente en la espira tiende a infinito, lo mismo que mp y η .

13. Una barra conductora AB se mueve con velocidad angular cte. apoyando sus extremos sobre dos circunferencias concéntricas de radios rA y rB respectivamente. Perpendicular al plano de las circunferencias se encuentra un campo B , uniforme y saliente. Encuentre la fem inducida entre los extremos de la barra e indique la polaridad sobre la barra. Datos: rA = 2 cm; rB = 4 cm; B = 10 T; ω = 100 s-1. Rta.: =| | 0,6 Vfem .

UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS 60

14. Una barra AB se mueve con v = cte. en el campo creado por la corriente i que

circula por el conductor L.R.I., coplanar con la barra, como se muestra en la figura. a) Encuentre la fem inducida entre los extremos de la barra. b) ¿Cuál extremo está a mayor potencial? v = 5m/s, i = 100 A, a = 1 cm y b= 20 cm. Rta.: a −= × 4| | 2,996 10 Vfem , b) El extremo B de la barra está a mayor potencial.

15. Demuestre que el coeficiente de autoinducción L de un toroide de sección rectangular cuyas características son: N, número de espiras; a, radio interior; b, radio exterior; h, altura de la sección rectangular; μ, permeabilidad magnética del material del

núcleo, está dado por la expresión: 2 ln2

bN ha

μπ

⎛ ⎞= ⋅ ⋅ ⋅ ⎜ ⎟⎝ ⎠

L . Tener en cuenta la variación del

valor de B en los distintos puntos de la sección del núcleo (ref.: Ley de Ampere). 16. Calcule el coeficiente de inducción mutua M entre dos arrollamientos N1 y N2 alrededor de un núcleo toroidal de permeabilidad constante y sección transversal rectangular. Las otras características son similares a las del problema anterior.

Rta.: = Δ ⋅1 2M L L , siendo 2 ln2 i

bN ha

μπ

⎛ ⎞= ⋅ ⋅ ⋅ ⎜ ⎟⎝ ⎠

iL y Δ el coeficiente acoplamiento

magnético entre los dos arrollamientos. 17. Un solenoide recto de longitud L = 50 cm tiene devanados dos arrollamientos de N1 = 200 esp. y N2 = 10 esp. El núcleo está conformado por un cilindro de sección A = 4 cm² de permeabilidad relativa µr = 5. a) Calcule el coeficiente de inducción mutua entre ambos arrollamientos. b) Calcule la fem inducida en el arrollamiento de N2 espiras cuando la corriente en el otro arrollamiento varía a razón de 10 A cada segundo. Rta.: a) 51,005 10 H−= ×M , b) 4

2 1,005 10 Vε −= − × .

18. Por una bobina de L = 1 H y resistencia interna r = 1Ω circula una corriente i = 10 + 2⋅t. Calcule: a) La energía que por efecto Joule se transformó en calor en el intervalo de 0 a 5 segundos, b) La energía magnética almacenada en el mismo intervalo. Rta.: a) Q = 1166,7 J, b) UL = 200 J. 19. Con un alambre conductor se construye una espira circular de 10 cm de radio. Por el conductor circula una corriente de 100 A. Calcule la densidad de energía magnética en el centro de la espira. Rta.: 3( ) 0,157 J mMu centro = .

B

vb

aA

i

UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS 6120. Un conductor L.R.I. conduce una corriente i = 50 A. Calcule la MagU encerrada entre los límites de dos cilindros rectos coaxiales con el conductor, cuyas dimensiones son: di = 1 mm, de = 10 mm y L = 10 mm. Rta.: 65,76 10 JMU −= × .

21. Un solenoide tiene una inductancia L = 50 H, una resistencia R = 30 Ω y se conecta a una fuente de E = 100 V. Deducir la expresión de la corriente en función del tiempo y calcule cuánto tiempo tarda en alcanzar la mitad de su valor final de régimen.

Rta.: ( ) 1tEi t e

Rτ−⎛ ⎞

⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎝ ⎠

, siendo R

τ =L , 1

21,155 st = .

22. A una bobina de L = 5 H y R = 20 Ω se le aplica una tensión de 100 V. Calcule la energía que queda almacenada después de que la corriente ha aumentado hasta su máximo valor. Rta.: UB = 62,5 J. 23. En el circuito L-C de la figura 1, se carga el capacitor con una diferencia de potencial 0V y una carga inicial 0 0Q C V= ⋅ en la placa izquierda y luego se cierra la llave. a) Deducir la expresión de la carga y la corriente en función del tiempo. b) Calcular la energía instantanea en el capacitor y en el inductor y representar gráficamente.

Figura 1: Circuito L-C, en un instante t.

Respuesta a la parte a): Aplicando la ley de mallas de Kirchhoff al circuito de la figura:

0di qLdt C

− − = (13).

Como i dq dt= , entonces 2 2di dt d q dt= , reemplazando esto en (13) y dividiendo por L− se obtiene:

2

21 0d q q

LCdt+ = (14).

La ecuación (14) tiene la misma forma matemática que la derivada para el

desplazamiento “x” en el movimiento armónico simple de mecánica: ( )2

20+ =

d x k xmdt

.

Siguiendo con la analogía con el oscilador armónico, se tiene que la frecuencia angular, 2 fω π= , del oscilador armónico es igual a 1/ 2( )k mω = y que la posición en función del tiempo esta dada por: ( )cosx A tω φ= ⋅ ⋅ + (15), donde es la amplitud A y el ángulo de fase φ dependen de las condiciones iniciales del problema. En el caso análogo del circuito L-C, la carga en el capacitor q, en el instante t, estará dada por: ( )0 cosq Q tω φ= ⋅ ⋅ + (16), y la frecuencia angular de oscilación por:

UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS 62

12 fLC

ω π= = (17).

Se deja para el alumno verificar que la ecuación (16), con ω dada por (17), satisface la ecuación del circuito, (14). Al hacer esta verificación se tendrá que hallar la corriente instantánea, i, dada por:

( )0dqi Q sen tdt

ω ω φ= = − ⋅ ⋅ ⋅ + (18).

Por lo tanto la carga y la corriente en el circuito L-C oscilan de forma sinusoidal con el tiempo y la frecuencia angular está determinada por los valores de L y C. Las constante 0Q y φ , en las expresiones (17) y (18), están determinadas por las condiciones iniciales del problema: Si a 0t = el lado izquierdo del capacitor de la figura 1 tiene su carga máxima 0Q y la corriente i es cero, entonces 0φ = . O si a 0t = 0q = entonces 2φ π= ± .

24. Una varilla metálica de 50 cm de longitud se mueve con velocidad constante v = 50 m/min., deslizándose sobre dos guías conductoras paralelas, en un campo uniforme y

perpendicular al plano conductor. ¿Cuál será el valor de B si la potencia disipada en la resistencia (R = 2Ω) es de 0,5 W? Discuta cuál es la fuente de la energía disipada en la resistencia. Rta.: B = 2,4 T. 25. Una aplicación de un circuito RL es la generación de una alta tensión variable en el tiempo a partir de una fuente de baja tensión, como se muestra en la figura.

a) ¿Cuál es la corriente en el circuito un largo tiempo después de que el interruptor ha estado en la posición A?; b) luego el interruptor se desplaza rápidamente de A a B. Calcule la ddp en cada resistencia y en la inductancia; c) ¿cuánto tiempo pasa hasta que la ddp en el inductor disminuya hasta 12 V? Rta.: a) i = 1 A; b) VR1 = 12 V, VR2 = 1200 V, VL = 1212 V; c) t = 7,62 ms.

R v 50 cm

UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS 6326. Una masa m se encuentra suspendida de una barra metálica, la cual puede deslizar sin rozamiento a lo largo de dos guías también metálicas, separadas la distancia

L, formando un cuadro conductor cerrado por la resistencia R. El conjunto se sumerge verticalmente en un campo magnético B , constante, uniforme y perpendicular al plano del cuadro. Si la masa con la varilla se encuentran inicialmente en reposo. Demuestre que la masa arrastra a la barra metálica con una velocidad que está dada por:

2 2

2 2 1B L tm Rm R gv e

B L

⎛ ⎞⋅−⎜ ⎟⎜ ⎟⋅⎝ ⎠

⎛ ⎞⋅ ⋅ ⎜ ⎟= −⎜ ⎟⋅⎝ ⎠

¿Cuál es la expresión de la potencia que se desarrolla en R?

Discuta de dónde sale la energía disipada en la resistencia.

Rta.: 2 2 2

2 2

2 2 1B L tm R

Rm R gP e

B L

⎛ ⎞⋅−⎜ ⎟⎜ ⎟⋅⎝ ⎠

⎛ ⎞⋅ ⋅ ⎜ ⎟= −⎜ ⎟⋅⎝ ⎠

.

27. El cubo de la figura tiene 1 m de lado; se encuentra en un campo uniforme de 0,2T

dirigido según el eje y. Los alambres A, C y D se mueven en las direcciones indicadas, todos con una velocidad 0,5 m/s ¿Cuál es la d.d.p. entre los extremos de cada alambre? Rta.: A 0ε = , C 0,0707 Vε = − y D 0,1 Vε = − .

28. Una espira cuadrada de alambre y resistencia R, se mueve con velocidad v constante en dirección transversal a un campo magnético uniforme confinado en una región cuadrada cuyos lados son de longitud doble de los de la espira. Hacer un gráfico esquemático en función de x desde x = -2L hasta x = +2L de: a) la f.e.m. inducida en la espira, representando hacia arriba la f.e.m. en el sentido de las agujas del reloj y hacia abajo la de sentido contrario; b) el flujo total del campo a través del área de la espira; y c) la fuerza

x x x x x x x

x x x x x x x

x x x x x x x

x x x x x x x

x x x x x x x

x x x x x x x

x x x x x x x

x x x x x x x

v

L

2⋅L

x

z

C

D B

y

A

x

L

R

B

m

UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS 64sobre la espira por parte del campo. Rta.: Considerando a x como la variable que indica la posición del centro de la espira y tomando como cero del eje x al centro de la zona con campo magnético. Para

2 3 2L x L− ≤ < − (antes de entrar a la zona del campo): a) 0ε = , b) 0φ = , c) 0F = . Para 3 2 2L x L− ≤ < − (entrando a la zona del campo): a) B L vε = − ⋅ ⋅ , b) ( 3 2)B L x Lφ = ⋅ + , c)

= ⋅ ⋅2 2ˆ( )F i B L v R . Para 2 2L x L− ≤ < (la espira totalmente dentro de la zona del

campo): a) 0ε = , b) 2B Lφ = ⋅ , c) 0F = . Para 2 3 2L x L≤ < (saliendo de la zona del

campo): a) B L vε = ⋅ ⋅ , b) 2 ( 2)B L B L x Lφ = ⋅ − ⋅ − , c) 2 2ˆ( )F i B L v R= ⋅ ⋅ . Para

3 2 2L x L≤ ≤ (afuera de la zona del campo): a) 0ε = , b 0φ = , c) 0F = . Siendo i el versor de la dirección y sentido de las x positivas. 29. Un circuito rectangular es coplanar con un conductor rectilíneo y muy largo que

lleva una corriente i. Si el circuito rectangular se aleja de la corriente rectilínea con velocidad v, hallar la fem inducida. La figura corresponde al instante inicial, es decir t = 0.

Usar dos métodos. Rta.: ( ) ( )

0 12

i b a vc vt a c vt

μπ

ε ⋅ ⋅ ⋅ ⋅=

+ + ⋅ +.

30. Una espira rectangular se mueve en una región donde el campo magnético está

dado por By = Bz = 0, Bx = (6-y)T. Encontrar la f.e.m. inducida en la espira en función del tiempo, poniendo t = 0 cuando la espira está en la posición mostrada en la figura, a) si v = 2 m/s; b) si la espira parte del reposo y tiene una aceleración de 2 m/s2. c) Repetir para cuando el movimiento es paralelo a OZ en lugar de OY. d) Encuentre la corriente si Resp = 2Ω. Rta.: a) 0,2 Vaε = , b) 0,2 en Vb tε = ⋅ , c)a) , 0c aε = , , 0c bε = , d) para el movimiento paralelo al eje OY: 0 1 Aai .= , 0 1 en Abi . t= ⋅ .

31. Un cuadro metálico rectangular se encuentra entre los polos de un electroimán que

iv

b

a

c

v

0,2m

0,5m

o

x

y

z

B

SN

UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS 65crea un campo magnético homogéneo B, dirigido horizontalmente. En cierto momento, el cuadro se suelta y comienza a caer. Describa el posterior movimiento del cuadro. Considere que el campo magnético sólo existe entre los polos del electroimán.

UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS 66 ECUACIONES DE MAXWELL 1. El campo magnético en todos los puntos dentro de la circunferencia de trazos es igual a 0,5 T. Está dirigido hacia el plano del papel, es perpendicular a él y decrece a razón de 0,1 Ts-1. a) ¿Cuál es la forma de las líneas de campo eléctrico inducido dentro

de la circunferencia de trazos?; b) ¿cuáles son el módulo y la dirección de este campo en cualquier punto del anillo conductor y cuál es la fem en el mismo?; c) ¿cuál es la intensidad de corriente en el anillo si su resistencia (distribuida uniformemente) es de 2 Ω?; d) ¿cuál es la ddp entre dos puntos cualesquiera (p.ej. entre a y b) del anillo?; e) si se corta el anillo en un punto y se separan los extremos ligeramente, ¿cuál será la ddp entre ambos extremos?. Rta.: a) Circunferencias concéntricas, con sentido horario; b)

5x10-3 N/C , π x10-3 V, c) i = 1,57x10-3 A, d) V = 0, e) π x10-3 V. 2. La figura muestra las placas (1) y (2) de un capacitor circular de armaduras

paralelas de radio R. Están conectadas a conductores rectos largos en los que existe una corriente de conducción constante. También se muestran tres circunferencias hipotéticas de radio r, dos de ellos fuera del capacitor y uno entre sus placas. Demuestre

que el módulo del campo magnético en cada circunferencia está dado por: 0

2=

μπ

iBr

y

tiene sentido antihorario.

10 cm

a

b

Placa 1 Placa 2

r r

R

UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS 67

INTERFERENCIA DE ONDAS LUMINOSAS - DIFRACCIÓN

Doble rendija

1. Un par de rendijas estrechas paralelas separadas por 0,3 mm se iluminan con luz amarilla de sodio de longitud de onda λ = 5893 Å (1Å = 10-10 m). El patrón de interferencia se observa sobre una pantalla a 1 m del plano de las rendijas (ver figura). Calcule la

distancia a) del máximo central hasta la primera región brillante a cada uno de los lados, y b) entre la primera y la segunda bandas oscuras. Rta.: a) y1 = ±1,96 mm; b) Δy = 1,96 mm. 2. Una fuente de luz monocromática coherente de longitud de onda desconocida ilumina dos rendijas separadas d = 0,2 mm entre sí. En una pantalla, a L = 3 m detrás de las rendijas aparecen bandas brillantes separadas 7 mm entre sí. ¿Cuál es la longitud de onda de la luz? Rta.: λ = 467 nm. 3. Un experimento con doble rendija produce franjas en una pantalla lejana. ¿Cómo varía la separación entre los máximos brillantes en la pantalla cuando (a) se duplica la longitud de onda de la luz?, (b) se duplica la separación entre la rendijas?, (c) se duplica la distancia entre el plano de las rendijas y la pantalla?, (d) se duplica la intensidad de la luz? 4. En un experimento con doble rendija para determinar la longitud de onda de una luz desconocida, la distancia total, medida entre 16 máximos (8 a cada lado del máximo central) es 16,8 cm. La pantalla está a 3,45 m de la doble rendija, y las rendijas están a una distancia de 0,21 mm entre sí. ¿Cuál es la longitud de onda? Rta.: λ = 639 nm.

+y

L

θ 0 f1

f2

d

ymáx θ

r2

r1

UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS 68

5. Suponga que una doble rendija ilumina una pantalla lejana. La luz de las rendijas f1 y f2 proviene de una fuente monocromática f que se encuentra a media longitud de onda más cerca de f1 que de f2. Basándose en la figura, (a) exprese la posición de los máximos y mínimos; (b) el punto en θ = 0 es un máximo o mínimo, o ninguno de los dos?

Rta.: (a) ( )dLmy;

dL1m2y minmax

λ=

λ+= ; (b) mínimo.

6. Un transmisor de radio A, que opera a 50 MHz se encuentra a 10 m de un transmisor similar B que está en oposición de fase con A. ¿Qué distancia debe desplazarse un observador de A hacia B a lo largo de la línea que conecta los dos con el propósito de moverse entre dos puntos en que los dos haces están en fase? Rta.: 3 m. Películas delgadas Índice de refracción para diversas sustancias, medido con longitud de onda λ0 = 589 nm en el vacío Sustancia Índice de refracción Sustancia Índice de refracciónDiamante 2,419 Líquidos a 20 oC Fluorita 1,434 Benceno 1,501 Sílice 1,458 Bisulfuro de carbono 1,628 Vidrio óptico 1,52 Tetracloruro de carbono 1,461 Cristal 1,66 Alcohol etílico 1,361 Hielo (H2O) 1,309 Glicerina 1,473 Poliestireno 1,49 Agua 1,333 Cloruro de sodio 1,544 Gases a 0 oC, 1 atm Circón 1,923 Aire 1,000293

Dióxido de carbono 1,00045

7. Un material de índice de refracción n = 1,30 se usa para recubrir una pieza de vidrio (n = 1,50). ¿Cuál debe ser el espesor mínimo de esta película para minimizar la reflexión de la luz de 500 nm? Rta.: e = 192 nm. 8. Una película de MgF2 (n = 1,38) que tiene un espesor e = 1,00·10-5 cm se usa para recubrir un lente de una cámara. ¿Qué longitudes de onda en el espectro visible se reflejan?

f f1

f2

θ

+y

0

L

d

UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS 69Rta.: ninguna. 9. Una burbuja de jabón cuyo índice de refracción es 1,33 refleja intensamente las componentes tanto roja como verde de la luz blanca. ¿Qué espesor de película permite que esto suceda? (En el aire λroja = 700 nm, λverde = 500 nm). Rta.: 658 nm. 10. Una delgada película de aceite (n = 1,25) cubre un pavimento húmedo y liso. Cuando se observa en dirección perpendicular al pavimento, la película aparece predominantemente roja (640 nm) y no hay color azul (512 nm). ¿Cuál es su espesor? Rta.: 512 nm. 11. Si la longitud de onda de la luz incidente es λ = 572 nm, los rayos a y b de la figura

sobre el margen derecho están fuera de fase por 1,5 λ. Calcule el espesor d de la película. Rta.: d = 215 nm. 12. Una delgada capa de yoduro de metileno líquido (n = 1,756) está atrapada entre dos placas planas paralelas de vidrio. ¿Cuál debe ser el espesor de la capa líquida si luz de 600 nm que incide normalmente se refleja intensamente? Rta.: e = 85,4 nm; 256 nm; 427 nm; 598 nm .... Cuñas

13. Un cabello se coloca entre dos placas de vidrio planas de longitud L, abriendo entre ellas una cuña de aire. Cuando este arreglo se ilumina con luz de 600 nm, se cuentan 121 bandas oscuras, contando la del punto de contacto entre ambas placas. ¿Cuál es el espesor del cabello? Rta.: d = 36 μm. 14. Una cuña de aire se forma entre dos placas de vidrio en contacto a lo largo de un borde y ligeramente separadas en el borde opuesto. Cuando las placas se iluminan con luz monocromática desde arriba, la luz reflejada forma 85 franjas oscuras. Calcule el número de franjas oscuras que aparecerían si en lugar de aire se pusiera agua entre las placas (suponer n = 1,3). Rta.: N = 110 franjas. 15. Un trozo de material transparente que tiene un índice de refracción n se corta en

d

L

h

x

L

n = 1

n = 1,33

n = 1,26

a b

d

UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS 70forma de cuña, como se muestra en la figura. El ángulo de la cuña es pequeño, y desde arriba incide luz monocromática de longitud de onda λ, en dirección normal. Si la altura de la cuña es h y el ancho es L, muestre que las franjas brillantes se producen en las

posiciones ( )

nh2mL

x 21+λ

= y que las franjas oscuras ocurren en las posiciones, para m = 0,

1, 2,... Anillos de Newton 16. Una lente plano convexa de radio R = 3 m se apoya sobre una placa plana de vidrio. Si el sistema se ilumina con luz normal a la superficie, cuya longitud de onda es λ = 560 nm, ¿Cuál es el radio del décimo anillo brillante? Rta.: r = 4 mm. 17. Luz de 560 nm incide sobre un sistema de anillos de Newton, con una lente plano convexa apoyada sobre una placa plana. El 20o anillo brillante se produce a una distancia radial r = 0,98 cm del centro. Calcule: a) el espesor de la película de aire en ese lugar; b) el radio de curvatura R de la lente. Rta.: a) 5,46 μm; b) 8,79 m. 18. Se coloca una lente plano convexa sobre una placa de vidrio plana. Cuando la lente se ilumina a incidencia normal sobre la cara plana, un observador que ve desde arriba distingue anillos brillantes y oscuros centrados respecto del punto de contacto, que es oscuro. Calcule el espesor de la película de aire en el tercer anillo oscuro y en el segundo anillo brillante. Suponga que la luz utilizada tiene una longitud de onda de 500nm. Rta.: 500 nm y 125 nm respectivamente. Difracción 19. Luz de un láser de He-Ne (λ = 632,8 nm) incide sobre una rendija. a) ¿Cuál es su ancho si en una pantalla ubicada a 4 m el primer mínimo se produce a 2,8 cm del máximo central? ; b) ¿Cuál es el ancho mínimo para el cual no se observan mínimos de difracción? Rta.: a) a = 0,09 mm; b) a = 632,8 nm. 20. Una rendija única, de 2,8 10-5 m de ancho, difracta luz de 495 nm de longitud de onda, que va hacia una pantalla. La distancia entre los mínimos a cada lado del máximo central es 1,8 cm. ¿A qué distancia está la pantalla? Rta.: L = 0,51 m. 21. Una rendija única produce una figura de difracción en una pantalla lejana. Demuestre que la distancia entre dos mínimos a cada lado del máximo central es el doble de la distancia entre los demás mínimos. 22. Dos rendijas de ancho a y separación d están iluminadas por un haz de luz coherente de longitud de onda λ. ¿Cuál es la separación lineal de las franjas de interferencia que se observan en una pantalla a una distancia D?

Rta.: dDy λ

=Δ .

23. Diseñar un sistema de dos rendijas en que no aparezca la cuarta franja, sin contar el máximo central. ¿Qué otras franjas estarán ausentes?

UTN – FRHaedo - FÍSICA II - GUÍA DE PROBLEMAS 71Rta.: d = 4·a; las de orden múltiplo de 4. Redes de difracción 24. Sobre una red de difracción incide normalmente un haz de luz monocromática. El máximo de tercer orden se observa bajo un ángulo de 36o 48’ con respecto a la normal. Hallar la constante de la red expresada en longitudes de onda de la luz que incida.

Rta.: 5d=

λ.

25. Hallar el orden mayor que puede tener el espectro de la raya amarilla del sodio (λ = 5890 Å sabiendo que la constante de la red de difracción es d = 2 μm. Rta.: el orden que entra para θ<90o es m = 3. 26. ¿Cuántos trazos por milímetro de longitud tiene una red de difracción si la raya verde del mercurio (λ = 5461 Å) del espectro de primer orden se observa bajo un ángulo de 19o 8’? Rta.: N = 600 mm-1.