Problemas Metodos Numericos V4

METODOS NUMERICOS Ing. YAMIL ARMANDO CERQUERA

Problemas propuestos 1

PRELIMINARES FUNCIONES _____________________________________________________ 3

Selecciones la respuesta correcta _____________________________________________________ 4

TEORIA DE ERRORES _________________________________________________________ 11

RAICES DE ECUACIONES _______________________________________________________ 16

Teora de Descartes _______________________________________________________________ 16

Sturm __________________________________________________________________________ 16

Aproximaciones Sucesivas __________________________________________________________ 17

Biseccin ________________________________________________________________________ 20

Falsa Posicin y Secante ____________________________________________________________ 22

Newton Raphson _________________________________________________________________ 24

Horner __________________________________________________________________________ 27

Muller __________________________________________________________________________ 27

General Todos los mtodos _________________________________________________________ 27

Aplicacin _______________________________________________________________________ 29

INTEGRALES DEFINIDAS _______________________________________________________ 41

Rectangular, Trapecial y Simpson ____________________________________________________ 43

Aplicacin (P4_ParteA_MB535_2006_1-Int) ____________________________________________ 49

MATRICES __________________________________________________________________ 63

ECUACIONES SIMULTANEAS LINEALES ___________________________________________ 65

A. Mtodos Directos _______________________________________________________________ 69 A-1. Eliminacin Gaussiana y Sustitucin Backward _____________________________________________ 69 A-2. Factorizacin LU y Sustitucin Forward ___________________________________________________ 69 A-3. Pivoteo y nmero de dgitos ____________________________________________________________ 70

B. Mtodos Iterativos ______________________________________________________________ 71 B-1. Nmero condicin. Perturbaciones y nmero de dgitos ______________________________________ 71 B-2. Mejoramiento iterativo de soluciones _____________________________________________________ 72

AJUSTE DE CURVAS __________________________________________________________ 79

Interpolacin de Newton ___________________________________________________________ 79

Polinomios de Lagrange ____________________________________________________________ 79

Mnimos Cuadrados _______________________________________________________________ 80

Linealizables _____________________________________________________________________ 84



Hermite _________________________________________________________________________ 84

Trazadores o Splines _______________________________________________________________ 86

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS _______________________________________ 96



PRELIMINARES FUNCIONES Consideraciones especiales: Una funcin es creciente cuando su derivada es positiva; es decreciente cuando su derivada es negativa

)(xf es un mximo si 0)(' xf y )(' xf cambia de signo pasando de positivo a negativo

)(xf es un mnimo si 0)(' xf y )(' xf cambia de signo pasando de negativo a positivo

El nmero de races de una funcin depende del nmero de variaciones de signo en dicha funcin. Al reemplazare el x por (1) las variaciones de signo nos dar el nmero de races positivas, Al reemplazar el x por (-1) las variaciones de signo dar el nmero de races negativas y la mxima potencia dar el nmero total de races. Las imaginarias sern las restantes. Encontrar: Los mximos, Los mnimos, el nmero de races positivas, negativas e imaginarias y decir los rangos para los cuales es creciente y decreciente cada una de las siguientes funciones. Asuma los valores que considere necesarios.

1. 31292)(23 xxxxf 2.

32 )1()1()( xxxf

3. 3/2)()( cxbaxf 4. xxxxf 96)(

23

5. 32 231210)( xxxxf 6. 20152)(

23 xxxxf

7. 422)( xxxf 8. xxxf 4)(

4

9. 1)(34 xxxf 10.

234 1243)( xxxxf

11. 45 5)( xxxf 12.

35 203)( xxxf

13. x

axxf

32 2)( 14.

2

3

2)(x

axxf

15. 2

42)(

x

axxf 16.

22)(

ax

axxf

17. ax

xxf

2

)( 18. 22

2

)(ax

xxf

19. 22

22 2)(

ax

axxf 20.

22 )1()2()( xxxf

21. 32 )1()2()( xxxf 22.

3/2)()( axcbxf

23. 2/1)()( cxbaxf 24.

3/23/1 )1()2()( xxxf

25. 32 )()()( xaxaxxf 26.

3/23/1 )()2()( axaxxf

27. 42

2)(

2 xx

xxf 28.

1

4)(

2

x

xxxf

29. 42

4)(

2

2

xx

xxxf 30.

2

))(()(

x

xbaxxf



31. De una pieza cuadrada de cartn de lado a, se desea construir una caja abierta por encima, del mayor volumen posible, cortando de las esquinas cuadrado iguales y doblando hacia arriba el cartn para formar las caras laterales. Cul debe ser la longitud del lado de los cuadrados cortados?

32. Suponiendo que la resistencia de una viga de seccin transversal rectangular es directamente

proporcional a la anchura y al cuadrado de la profundidad, cules son las dimensiones de la viga de mayor resistencia que puede aserrarse de un tronco redondo de dimetro d.

33. Hallar la altura del cono de volumen mximo que puede escribirse en una esfera de radio r. 34. Hallar la altura del cilindro de volumen mximo que puede inscribirse en un cono circular recto

dado. 35. Se desea construir una valla alrededor de un campo rectangular y dividirlo en dos parcelas por otra

valla paralela a uno de los lados. Si el rea del campo es dada hallar la razn de los lados para que la longitud total de las vallas sea la mnima.

36. Una huerta rectangular ha de proyectarse al lado del solar de un vecino y ha de tener un rea de

10.800m2. Si el vecino paga la mitad de la cerca medianera, Cules deben ser las dimensiones de la huerta para que el costo de cercarla sea para el dueo de la huerta el mnimo?.

37. Un fabricante de Instrumentos electrnicos averigua que puede vender x instrumentos por semana

a p pesos cada uno siendo px 33755 . El costo de la produccin es 2

5

115500 xx pesos.

Demostrar que se obtiene la mxima ganancia cuando la produccin es alrededor de 30 instrumentos por semana.

38. Si el problema anterior se supone que la relacin entre x y p es 5

20100p

x , demostrar que la

produccin que corresponde a una ganancia mxima es la de unos 25 instrumentos por semana. 39. Si en el problema anteriormente planteado se supone que la relacin entre x y p es:

px 2025002 , Cuantos instrumentos deben producir semanalmente para obtener la mxima

ganancia?. 40. Cul es el ancho del rectngulo de rea mxima que puede inscribirse en un segmento dado de una

parbola.

Selecciones la respuesta correcta 41. Es un procedimiento que describe con ambigedades, una serie finita de pasos a realizar en un orden

especifico:

a) Algoritmo b) Seudo cdigo c) a y b son correctas d) Ninguna de las anteriores



42. Uno de los criterios que siempre trataremos de imponer sobre un algoritmo es que los cambios pequeos en los datos iniciales produzcan otros correspondientes en los resultados finales. Un algoritmo que satisface esta propiedad es:

a) Estable b) Inestable c) Condicionalmente estable d) ninguna de las anteriores

43. Un Punto Fijo de una funcin "" g es un numero "" p para el cual:

a) ppg b) pg 0 c) 0pg d) 0pf e) Ninguna de las Anteriores



PRELIMINARES SERIES

1.

Fibonnaci, partiendo de dos valores iniciales (0,1) se contina calculando el siguiente valor con la suma de los dos anteriores. 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34............ Desarrolle un algoritmo que permita encontrar: 1. Los primeros N trminos de dicha serie 2. Los trminos hasta encontrar el primero mayor a Q 3. Los trminos comprendidos entre un valor M y N (con M>N)

2.

Son varios los procedimientos para calcular el resultado de elevar un valor al cuadrado. Ej:

Caso 1: La forma sencilla es multiplicar n*n Caso 2: Otra forma es sumar n veces n: n+n+....nn Caso 3: Otra forma es sumar los primeros n impares: 1+3+5+.....(2*n-1) Desarrolle un algoritmo utilizando estructuras cclicas para resolver el ejercicio por los dos casos ltimos.

3.

Raz n ( n # ) de un nmero(#): Una forma de encontrar la raz n a un nmero es el siguiente: si se

quiere calcular la 7 entonces se puede replantear como ecuacin as: xxfxxf 2)(',7)( 2

Si 93 , se asume a 30x como la raz supuesta de 7 para iniciar el proceso.

La primera iteracin quedar:

333333.0)3(2

73

'

2

0

0

xf

xf 666667.2333333.030xx

Para La segunda iteracin el x0 toma el valor de x y se tendr:

0208333.0)666667.2(2

7)666667.2(

'

2

0

0

xf

xf

6458334.20208333.0666667.20xx

Al igual que el caso anterior, la tercera iteracin quedar:

000820.0)6458334.2(2

7)6458334.2(

'

2

0

0

xf

xf

6457514.2000820.0666667.20xx

Desarrolle un algoritmo que le permita calcular la raz de: 1. Los nmeros primos menores a 100.

2. 543 120,48,75

4.

Para los siguientes ejercicios: a. Sumar los primero N trminos, donde N representa un valor entero que se lee cada vez

que se ejecuta el programa junto con el valor de X (en los casos que se requiera). b. Continuar sumando trminos sucesivos a la serie hasta que el valor del ultimo trmino

sea menor (en magnitud) que 510*1

5. ...!32

1

!22

1

2

11

32e

6. ......!4!3!2

1432 xxx

xe x



7. sinh(x)cosh(x)e x

8. sinh(x)cosh(x)e x

9. ....303

)(53

2 xxxxxsine x

10. ......!4

)(

!3

)(

!2

)()(1

432)( xsinxsinxsinxsine xsin

11. ...8

5

12

132)2( 4322 tttttsine

t

12. )sin()cos( xixeix

13. ...!7!5!3

)(753 xxx

xxSin

14. ...!5!4

3

!3!2

33

2

1)

3(

5432 xxxxxxSin

15. i

eex

ixix

2)sin(

16. ...6!

x

4!

x

2!

x1cos(x)

642

17. 2

)cos(ixix ee

x

18. ....2835

62x

315

17x

15

2x

3

xxtan(x)

9753

19. ....9

x

7

x

5

x

3

xx(x)tanhatan(x)

97531

20. ....9

x

7

x

5

x

3

xx

2

)

x

1atan(

9753

21. ...x112

5x

40

3x

6

1x

2

12k

x1k

2

acos(x) 753

12kk

0k

1/2

22.

12

11122242

1231

40

3

6

12

1253

x

x)n)(n*...(*

)*xn*..(*....

xxx

x

asin(x)n

23. 2

)sinh(xx ee

x

24. ...!7!5!3

753 xxxxsinh(x)



25. ...336

15

40

3

6)

753 xxxx(xsinh 1

26. ...76*4*2

5*3*1

54*2

3*1

32

1)sinh(

753 xxxxxa

27.

28. 1,12)!(2

)!2(1 12

022

xn

x

n

nasinh(x)

n

nn

n

29. 1xxlnasinh(x) 2

30. 2

eecosh(x)

xx

31. ...6

x

2*4*6

1*3*5

4

x

2*4

1*3

2

x

2

1ln(2)acosh(x)

642

32. 1,2)!(2

)!2(1 2

122

xn

x

n

nln(2)acosh(x)

n

nn

n

33. 1xxlnh(x)a 2cos

34. .....315

17

15

2

3)(

753 xxxxxtanh

35.

36.

37.

38. ...66*4*2

5*3*1

44*2

3*1

22

1)(sec

6421 xxxln(2))acosh(xxha

39. 10,2)!(2

)!2(1 2

122

xn

x

n

nln(2)asech(x)

n

nn

n

40.

41.

42. x

xxharc

211ln)(sec



43. x

xxharc

211ln)(csc

44. 12n

1n

nn

2n x2n!

)4(14)(Btan(x) , donde Bs son los nmeros de Bernulli.

45. x1

x1ln

2

1

x1

x1lnatanh(x)

2

46. 1x

1xln

2

1

1x

1xlnacoth(x)

2

47. ....720

61

24

5

21)(

642 xxxxSec

48. ....720

61

24

5

21)(

642 xxxxSech

49. ...96

7

4

11)( 42 xxxSec

50. ...4

x

3

x

2

xx1)ln(x

432

51. ...4

1)(x

3

1)(x

2

1)(x1)(xln(x)

432

52. 1n

1nn

3

3

2

2

1)a(n

x1...

3a

x

2a

x

a

xln(a)x)ln(a

53. ...4

x

3

x

2

xxx)ln(1

432

54. ...45

x

12

x

2

xln(cos(x))

642

55. ....5

1*

5

1

5

1*

3

1

5

12ln(2)ln(3)

53

56. ....)13/111/19/17/15/13/11(4

57. 4*12

)1(

1i

n

n

58. ....2

1

5

1*

4

3*

2

1

2

1

3

1*

2

1

2

1

6

53

59. ....4

1

3

1

2

11

6 222

2

60. ....)5

4*

4

3

4

3*

3

2

3

2*

2

1(x

61. ...)1()1()1(1 321 xxxx



62. ...)4

4

3

3

2

21())1((

32 xxxxLog

dx

de

63. ...4

x

3

x

2

xxx)log(1

432

64. ...1)1( 321 xxxx



TEORIA DE ERRORES

1. ya

Dados 210*2115.0y y 410*4523.0x , en un ordenador decimal con una mantisa normalizada de

cuatro dgitos, al calcular yx en coma flotante:

a) No se produce error generado. b) El error absoluto generado es 0.4523*104. c) El error propagado es nulo. d) El error propagado no se puede calcular pues no conocemos el verdadero valor.

2. ya

El error de cancelacin de cifras significativas se produce: a) Cuando se divide un nmero por otro muy pequeo. b) Cuando se suma dos nmeros de la misma magnitud y distinto signo. c) Cuando se realiza el producto de dos nmeros muy grandes. d) Cuando se restan dos nmeros de la misma magnitud y distinto signo.

3. ya

Dados x = 0.4523*104, e y = 0.2115*10-2 en un ordenador decimal con una mantisa normalizada de cuatro dgitos, al calcular x + y en coma flotante:

a) No se produce error generado.

b) El error absoluto generado es 0.4523*104.

c) El error propagado es nulo.

d) El error propagado no se puede calcular pues no conocemos el verdadero valor.

4. ya

El error de cancelacin de cifras significativas se produce:

a) Cuando dividimos un nmero por otro muy pequeo.

b) Cuando sumamos dos nmeros de la misma magnitud y distinto signo.

c) Cuando realizamos el producto de dos nmeros muy grandes.

d) Cuando restamos dos nmeros de la misma magnitud y distinto signo.

5.

Supongamos que tenemos la siguiente funcin 1)( xxf . Cul de las siguientes afirmaciones es

correcta? a) Si queremos evaluar la funcin en un punto positivo cercano a uno, no habr problemas de

cancelacin de trminos significativos.

b) Debemos utilizar la funcin 1

1)(

x

xxg , que es una funcin equivalente a f(x) y no presenta

problemas en puntos cercanos a uno.

c) Debemos utilizar la funcin 1

1)(

x

xxg , que es una funcin equivalente a f(x) y no presenta

problemas en puntos cercanos a uno. d) Ninguna de las anteriores.

6. ya

Obtener el error absoluto y relativo al considerar 60 mt como la distancia entre dos postes que estn situados a 59,91 mt.

a. 0.25% b. 0.15% c. 0.35%



d. 1.5% e. Ninguna de las anteriores

7. ya

Obtener el error absoluto y relativo al considerar 3,5 mt como longitud de un terreno que mide realmente 3,59 mt.

a. 2.5%

b. 3.5%

c. 1.5%

d. Ninguna de las anteriores

8. ya

Un carpintero tiene que construir una mesa de 136 cm de largo para obtener una superficie de 9.396 cm2. Cuanto medir el otro lado si utiliza una regla que solo aproxima hasta los milmetros.

a. 69.1 b. 69.09 c. 69.0 d. 69.2 e. Ninguna de las anteriores

9.

Calcular las siguientes expresiones, incluyendo sus cotas de error absoluto, donde x=2,00, y = 3,00 y z = 4,00 (estos valores estn correctamente redondeados):

a) 3 x + y - z b) x y / z c) x sen (y / 40)

10. Calcular la siguiente expresin, incluyendo su cota de error absoluto: w = x y / z

Donde x = 2,0 0,1, y = 3,0 0,2 y z = 1,0 0.1. Indicar qu variable tiene mayor incidencia en el error en w.

11.

Con cuntos decimales significativos hay que tomar a pi y e en las siguientes expresiones para que el resultado tenga tres decimales significativos?:

a) 1,3134 b) 0,3761 e c) e

12.

Se tienen las siguientes expresiones algebraicamente equivalentes:

a. 62/1 12f

b. 62/1 121f

c. 32/12*23f

d. 32/12*231f

e. 2/12*7099f

f. 2/12*7099/1f

a) Demostrar que, efectivamente, son algebraicamente equivalentes. b) Utilizando el valor aproximado 1,4 para la raz cuadrada de 2, indicar qu alternativa proporciona el mejor resultado.

13. Se tiene la expresin ]1) - (x -[x ln y

a. Calcular y para x = 30, incluyendo su error absoluto. Suponer que la raz cuadrada se conoce con 6



decimales correctos y que el error en x es despreciable. b. Obtener una expresin matemticamente equivalente a la anterior, pero mejor condicionada desde el

punto de vista numrico, y recalcular el resultado con el nuevo error.

14.

Se realizan observaciones de un satlite para determinar su velocidad. En la primera observacin la distancia al satlite es L = 30.000 10 km. Luego de 5 segundos (medido con 4 dgitos de precisin) la distancia radial ha aumentado en r = 125 0,5 km y el cambio en la orientacin ha sido =0,00750 0,00002 radianes. Calcular la velocidad del satlite, incluyendo su error, suponiendo que el mismo se mueve en lnea recta y a velocidad constante durante ese intervalo de tiempo.

15.

Se dispone de un algoritmo para computar la siguiente integral:

dxebaI xabx1

0

)( 2),(

Utilizando dicho algoritmo se obtuvo la siguiente tabla:

a b I

0.39 0.34 1.425032

0.40 0.32 1.408845

0.40 0.34 1.398464

0.40 0.36 1.388198

0.41 0.34 1.372950

Ahora bien, se midieron las cantidades fsicas z e y, obtenindose:

z = 0,400 0,003 y = 0,340 0,005

Estimar el error en ),( yzI y expresar el resultado final.

16.

En una computadora, una celda de memoria tiene 2 posiciones binarias para almacenar los signos de la mantisa y del exponente, 11 posiciones decimales para la mantisa y 3 posiciones decimales para el exponente. Por ejemplo, el nmero p se almacena de la siguiente forma: +31415926536+001. Indicar cmo se almacenan los nmeros:

a) 2.7182818285 b) -1073741824 c) 0.577216 d) -123E-45

Indicar cul es la cota de error relativo que tiene un nmero almacenado segn esta representacin.

17.

Determinar las cotas para los errores relativos de v y w (que son dos expresiones algebraicamente equivalentes) en los siguientes casos, utilizando la grfica de proceso:

a) b) Suponer que a es positivo y que los nmeros 2 y 3 tienen una representacin exacta en la computadora. Comparar los resultados de las dos expresiones y extraer conclusiones. Calcular dichos errores para a=0,6992 (correctamente redondeado), redondeando a 4 dgitos luego de cada operacin aritmtica.

18.

Considerar las expresiones cbav /)( y )/()/( cbcaw . Suponer que a, b y c son positivos, sin

errores de entrada y que a es aproximadamente igual a b. a) Demostrar que el error relativo por redondeo en w puede ser mucho mayor que el mismo error en v. b) Calcular dichos errores para a = 0,41, b = 0,36 y c = 0,70, utilizando aritmtica de punto flotante con 2

dgitos de precisin.



19.

Mostrar en los siguientes clculos que, trabajando en punto flotante con una precisin de 5 dgitos, no valen las leyes asociativa y distributiva. Usar redondeo simtrico.

0.98765 + 0.012424 - 0.0065432, (4.2832 - 4.2821) * 5.7632

20.

Evaluar el polinomio 0,149 - x 3 x6 - x P(x)23

en 71.4x utilizando aritmtica de punto flotante de 3

dgitos con redondeo truncado. Evaluarlo luego usando la expresin alternativa

149.0)3)6(()( xxxxP (denominada Esquema de Horner). Comparar con el resultado exacto y sacar

conclusiones. Repetir el ejercicio con redondeo simtrico.

21.

Sumar los siguientes nmeros de menor a mayor y luego de mayor a menor utilizando aritmtica de punto flotante con 4 dgitos de precisin. Comparar con el resultado exacto y obtener conclusiones.

0.2897 0.4976 0.2488*10 0.7259*10 0.1638*10 0.6249*10 0.2162*103 0.5233*103 0.1403*104 0.5291*104

22.

Calcular 22 wv usando aritmtica de punto flotante de 4 dgitos de precisin, con v=43,21 y w = 43,11, utilizando los siguientes algoritmos:

a) b) Indicar cul algoritmo es ms conveniente y justificar.

23.

Investigar la estabilidad numrica en el clculo de:

)1/()1()*21/(1 aaax , siendo |a|



sus valores en 2, 1, 1, 2 2112 xxxx .

a. Estimar, mediante la grfica de proceso, los errores en f0 debido al redondeo de los valores de la tabla de f y al redondeo durante los clculos.

b. Suponiendo que la funcin f es par y que 1f y 2f son del mismo orden, y utilizando el resultado del

punto a, obtener una condicin que garantice que el error debido al redondeo en los clculos sea despreciable.

27.

Se desea evaluar )cos( 12z , donde 0005.0345.11 y 0005.0352.12 , ambos medidos

en radianes. Los clculos se efectan con 7 dgitos de precisin. El valor del coseno se obtiene de una tabla con 5 decimales significativos. Se pide:

a. Calcular z y efectuar una estimacin de la cota de error mediante la grfica de proceso. Identificar la principal fuente de error.

b. Repetir el clculo anterior utilizando el algoritmo alternativo 1212 coscos sensenz

Explicar cul de los dos algoritmos es mejor y justificar.



RAICES DE ECUACIONES

Teora de Descartes

1. Dada la ecuacin 05-2x-20x8xP(x)

23, mediante la regla de Descartes, analizar cuntas

races reales positivas y negativas posee.

2.

Estudiar si cada una de las afirmaciones siguientes son verdaderas o falsas, indicando qu resultados o resultados se han utilizado en cada caso:

a) El polinomio -x-1-x2x 23 1) tiene tres races reales positivas 2) no tiene races reales 3) tiene dos o ninguna raz real negativa.

b) Si nos dicen que el cociente de dividir un polinomio )(xP por 2x es 5x-7-4x2x 23

podemos deducir que 1) el valor de la derivada de )(xP en el punto 2 es 10.

2) El valor de la derivada de )(xP en el punto 2 es 49.

3) No podemos deducir nada sobre )2('P

3. Dado el polinomio: 4)(x-1)3x(2xg(x) 35

a. Aplicando la regla de Descartes estima el nmero de races reales de g. Puedes precisar el nmero exacto de races reales de g utilizando slo Descartes?

b. Encuentre un intervalo que asle la raz menor.

Sturm

1.

Dados dos nmeros, ba, con 0a , se considera el polinomio ax-ab-bxxP(x)23

.

a) Encontrar una relacin entre a y b que garantice que la sucesin de Sturm de P tenga slo tres trminos. b) Decidir, en el caso en que a y b verifiquen la relacin anterior, el nmero de races reales y distintas de P.

2. Obtener cotas superiores e inferiores de las races positivas de las siguientes ecuaciones, aplicando un mtodo distinto a cada una de ellas:

a. 01-xx-xx 2345

b. 02x-1-100x2x 25 .

c. 02x7x4x3x27x5x 23567 3. Acotar y separar las races de :

a. 014x-6-7xx 23

b. 0-x-1x3

c. 044x-4x-2xx 234

d. 0-x-32xx 24



Aproximaciones Sucesivas o Punto Fijo

1.

Dada la funcin g(x) de la que se pretende calcular su punto fijo, indicar la respuesta correcta.

a) Si aplicamos el mtodo del punto fijo para 10x , entonces ste converge.

b) Si aplicamos el mtodo del punto fijo para 10x , entonces ste diverge.

c) Si aplicamos el mtodo del punto fijo para 40x , entonces ste converge.

d) Ninguna de las anteriores.

2.

En 1225 Leonardo de Pisa estudi la ecuacin 20102)( 23 xxxxp y obtuvo la raz

x=1,368808107. No se sabe como encontr este valor, pero es un resultado notable para su poca. En este ejercicio se pretende resolver la ecuacin usando varios mtodos. Transforma la ecuacin en una ecuacin equivalente )(xgx , dando dos posibles elecciones de

g(x), de forma que el mtodo de iteracin funcional 0), (1 nxgx nn , sea convergente en un

caso y divergente en el otro.

3.

Para localizar la raz de una funcin en el intervalo 2,1 , comenzando con 2.10P . Determine

cul de las cuatro funciones de iteracin es la conveniente para realizar el mtodo:

3

42

1

3

3

21

2211

111xxg

x

xxg

x

xxg

x

xxg

a) xg1 b) xg2 c) xg3 d) xg4 e) Todas las funciones xg d) Ninguna de las

anteriores.

4.

La ecuacin 0322 xx se puede reformular mediante el mtodo de sustitucin sucesiva como sigue:

a. 2

)3( 2xx

b. 32xx

c. x

xx

32



d. )32(2.02 xxxx

Las soluciones de la ecuacin son 3x y 1x . Determine en forma grfica cuales de las frmulas convergen cuando se utilizan con la sustitucin sucesiva (Punto fijo) para encontrar la

raz 1x .

5.

Para cada una de las siguientes ecuaciones, determinar un intervalo [a,b] en el cual la iteracin de punto fijo sea convergente, analizando el tipo de convergencia.

Estimar el nmero de iteraciones necesarias para obtener aproximaciones con una 510tol y comparar con las que se utilizan en realidad al aplicar el mtodo.

a. )x+e(=x x 223

1

b. 2

18

3 x+

x=x

c. 2

74x1.75

x+=x

d. 3/2 xe=x

6.

Verificar que ax es un punto fijo de la funcin )(xg . Encontrar, sin realizar ninguna iteracin,

los valores de a para los cuales el mtodo de punto fijo converge linealmente o cuadrticamente. a. 2/a)+(x=g(x)

b. 22 2a3-= a+ax+xg(x)

c. 2

2

3

xax+x

a=g(x)

7.

Se desean calcular por iteracin las races positivas de la ecuacin 0)log(xx . Para ello, se

proponen los mtodos siguientes:

(i) )log(1 nn xx , (ii)nx

n ex 1 , (iii) )(2

11

nx

nn exx

a. Hay alguno de ellos cuyo uso no sea aconsejable? b. Cul es el ms adecuado de los tres?

Proporcionar alguna otra frmula mejor que las anteriores.

8. Resuelve la ecuacin )cos(xx con 6 decimales exactos usando una formulacin de punto fijo

del tipo )(xfxx x toma como intervalo inicial [0, 1].

9.

Considere la ecuacin )cos(xx

a. Demuestra que la formulacin 2/))cos(( xxx es adecuada para resolver la ecuacin

mediante iteracin de punto fijo para todo valor inicial 0x en el intervalo [0,1].

b. Determina el nmero de iteraciones necesario para obtener 5 decimales exactos. c. Calcula las 5 primeras iteraciones de forma manual. d. Escribe un programa con MatLab para calcular las iteraciones, verifica el resultado de las

primeras iteraciones con los valores que has obtenido en el apartado anterior.

Verifica el resultado resolviendo la ecuacin con MatLab.

10. Considere la ecuacin xxsenxf )()( .

a. Graficar.



b. Resolver manualmente mediante el mtodo de Punto Fijo. Hacer 5 iteraciones en cada

caso y establecer el error relativo aproximado aE .

c. Adecuar el algoritmo del mtodo de Punto Fijo para que sea un programa y programarlo en Basic, C, Pascal o MatLab, estableciendo un corte en las iteraciones cuando el error

relativo aproximado 0.01%Ea y un nmero mximo de iteraciones. Utilizar como

valor inicial 5.00x

Comparar los resultados obtenidos con los programas, con los correspondientes a los clculos manuales.

11. Hallar la raz de la siguiente funcin xx exexxf 22 2)( Para 10 x

12. Encontrar la raz de la ecuacin 104)(23 xxxf .

13.

Usa el manejo algebraico para demostrar que las siguientes funciones tienen un punto fijo en p

exactamente cundo 0)( pf , donde -x-32xxf(x)24

.

a. 4/12

1 23)( xxxg

b.

2/14

22

3)(

xxxg

c.

2/1

23 2

3)(

x

xxg

d. 144

323)(

3

24

4xx

xxxg

14.

Se proponen los tres mtodos siguientes para calcular 3/121 . Clasifica por orden, basndose para

ello en la rapidez de convergencia y suponiendo que 10p .

a. 21

/2120 2 11 nnn

ppp

b. 2

1

3

11

3

21

n

nnn

p

ppp

c. 21

212

1

1

4

11

n

nnnn

p

pppp

d.

2/1

1

21

n

np

p

15.

En cada una de las siguientes ecuaciones, determine un intervalo [a, b] en que convergir la iteracin de punto fijo. Estima la cantidad de iteraciones necesarias para obtener aproximaciones

con una exactitud de 510 y realiza los clculos.

a. 3

2 2xex

x

b. 25

2xx

c. 2/1)3/( xex d. xx 5

e. xx 6 f. ))cos()(sin(5.0 xxx

16. Utilice los algoritmos desarrollados para verificar el resultado encontrado en los ejercicios

anteriores y para encontrar las races de las siguientes ecuaciones con una exactitud de 510 .



Determine el nmero de pasos para cada mtodo.

a. 21,06cos22 xxexx

b. 23.1,0)1cos()1ln( xxx

c. 4x3y 3x2,0)2x(x2cosx2 2

d. 4xey 2x1,0xln)2x( 2

e. 5x3y 1x0,0x3e 2x

f. 7x6y 4x3 ,1x0 ,0exsen x

17.

Demostrar que la sucesin generada N-R diverge para las siguientes funciones, independientemente del punto inicial elegido:

a. 1xf(x)2

b. 3x7xf(x) 24

18.

En cada una de las siguientes ecuaciones, determine una funcin g y un intervalo [a, b] donde la iteracin de punto fijo convergir en una solucin positiva de la ecuacin.

a. 03 2 xex b. 0)cos(xx

Obtenga las soluciones con una exactitud de 510 .

19.

Ensaya con la iteracin del punto fijo xx nn2

11 para los valores del parmetro

2,9.0,7.0 . Observar que aunque la iteracin )(1 xx nn g genere una sucesin que no

converja, esto no implica necesariamente que la sucesin tienda a infinito. Observar el comportamiento catico para 2 .

20.

La funcin 21.04.0)( xxxg tiene dos puntos fijos ( 2x y 2x ). Calcula los primeros

trminos de la sucesin generada con la iteracin del punto fijo )(1 xx nn g :

a. Comenzando con 9.10x

b. Comenzando con 9.10x

c. Explicar por qu la sucesin generada en a. converge y la generada en b. diverge.

21.

Las races reales de 5432 0,6588,6841,60988357933023 x+xx+x,x,+,=f(x) hasta

cuatro iteraciones, usando el valor inicial de a) 5.3ix b) 4ix c) 5.4ix , tambin calcule

el error aproximado.

22. Determine la raz real mayor de 326x116 x+x+=f(x)

Biseccin

1. Con una precisin de 210 las soluciones de 061423 xxx en los intervalos [0,1], [1, 3,2] y

[3,2, 4].

2. Utiliza el mtodo de biseccin para aproximar 3 con un error absoluto mximo de 10-4 (Ayuda:

considera 3)(2xxf .

3. Demuestra que 1)(

3 xxxf tiene una nica raz en [1,2]. Aproximar dicha raz con 5

decimales exactos utilizando el algoritmo de biseccin

4. Utiliza el algoritmo de biseccin para encontrar soluciones aproximadas con 510tol para los



siguientes problemas:

a. 1,0,02 xx x

b. 2,1,06)cos(22 xxe xx

c. 1,0,0232 xxxe x

5. Sea nxyxxxf n /111,)1()(

10 . Demostrar que 310)( nxf cuando 1n , pero

que 310nxx requiere que 1000n

6.

Considere la ecuacin 0xex . a. Verifica, mediante una representacin grfica esquemtica, que la ecuacin tiene una

solucin en el intervalo [0, 1]. b. Demuestra que la ecuacin tiene una nica solucin en el intervalo [0, 1]. c. Si se usa el mtodo de la biseccin con intervalo inicial [0, 1], cuntas iteraciones hacen

falta para asegurar 4 decimales exactos? Calcule las 5 primeras iteraciones.

7.

Halla una cota del nmero de iteraciones del mtodo de biseccin necesarias para aproximar la

solucin de 043 xx que esta en el intervalo [1, 4] con 3 cifras decimales exactos y calcula dicha aproximacin.

8.

La funcin )sin()( pxxf . Se sabe que tiene ceros en cada nmero entero. Prueba que cuando

3201 bya -el mtodo de biseccin sobre [a, b] converge a:

a. 0, si a+b < 2, b. 2, si a+b > 2, c. 1, si a+b = 2.

9.

Calcular las races de la siguiente ecuacin, mediante los Mtodos de Intervalo.

a. Graficar y establecer el/los intervalo/s. b. Hacer cinco iteraciones en cada caso y establecer el error relativo aproximado. c. Adecuar los logaritmos de los mtodos de Biseccin para que cada uno sea un programa y

programarlo en C, o MatLab, estableciendo un corte en las iteraciones considerando un

%05.0rE (error previamente fijado) y un nmero mximo de iteraciones.

10.

Encuentre la raz de las ecuaciones siguientes en el intervalo (0,1.6). Determnelas con un error menor que 0.02 usando el mtodo de biseccin:

a. ln(x)x*cos(x) ,

b. 0*2 xex ,

c. xe x 12 .

11.

Utilice el mtodo de secante para encontrar las soluciones de 06147 23 xxx con un

error menor que 210 en cada uno los siguientes intervalos: a. [0, 1] b. [1, 3.2] c. [3.2, 4]

12. Encuentre el nmero de iteraciones necesarias para encontrar una solucin de 043 xx ,

mediante el mtodo de biseccin en el intervalo 4,1 con una exactitud de 310 .

13. Usa el mtodo de biseccin para encontrar una solucin exacta dentro de 310 para )tan(xx

en [4, 4.5]

38)1(*675

)( *15. xex

xf



14. Encontrar la raz de la siguiente ecuacin utilizando el mtodo de Intervalo Medio o Biseccin.

xxxf 2)( . Usar como valores iniciales 0, 1 (Resultado 0.6445X7 )

15. Encuentra una aproximacin de 3 correcta con una exactitud de 410 usando el algoritmo de

biseccin. [SUGERENCIA: considere 3)(2xxf ]

Falsa Posicin y Secante

1.

A B C D

Con cual de las Figuras anteriores se describe el Mtodo de Posicin Falsa:

a. Figura 1 b. Figura 2 c. Figura 3 d. Figura 4 e. Figura 1 y 3 f. Ninguna de las Anteriores

2.

Si se calcular una iteracin del mtodo de la secante para calcular un cero de la funcin 3)(3xxf ,

partiendo de 00x y 11x , se tiene como resultado

a. 3 b. 3.2 c. 3.3 d. 2.4 e. Ninguna de las Anteriores

3. Dada la funcin )cos()(

3 xxxf y dados 10x y 01x , calcula tres aproximaciones

sucesivas de la raz de f en [-1,0] usando tanto el mtodo de la secante como el de regula falsi.

4. Hallar la menor raz positiva de la ecuacin 0cos

2

=(x)e x , con una 610tol , utilizando los

algoritmos de biseccin, rgula falsi (False Posicin) y punto fijo (Aproximaciones sucesivas). Establecer una tabla que permita comparar resultados, nmero de iteraciones, etc.

5.

Calcular las races de la siguiente ecuacin, mediante los Mtodos de Intervalo.

a. Graficar y establecer el/los intervalo/s. b. Resolver manualmente mediante los mtodos de Biseccin y el de Falsa Posicin. Hacer

cinco iteraciones en cada caso y establecer el error relativo aproximado. c. Adecuar los logaritmos del mtodo de Falsa Posicin para que cada uno sea un programa y

programarlo en Basic, C, Pascal o MatLab, estableciendo un corte en las iteraciones

considerando un %05.0rE (error previamente fijado) y un nmero mximo de iteraciones.

38)1(*675

)( *15. xex

xf




6.

Sea 6)(2xxf . Con 3op y 21p encuentre 3p

a. Aplique el mtodo de la secante b. Aplique el mtodo de la posicin falsa

c. Est (a) o (b) ms cerca de 6 ?

7.

Sea )cos()(3 xxxf . Con 1op y 01p obtenga 3p

a. Aplique el mtodo de la secante b. Aplique el mtodo de la posicin falsa

c. Est (a) o (b) ms cerca de 6 ?

8. Sea 6)( 2xxf con [2,3] encontrar la raz por el mtodo de la falsa posicin con .

Rta= 2.45454

9.

Si se calculan 2 iteraciones del algoritmo de la regula-falsi para buscar un cero de la funcin

2)( 2xxf , en el intervalo [0, 2]. Se tiene como respuesta.

a. 4/3 b. 5/3 c. 1 d. Ninguna de la anteriores

10.

La funcin )2/()74()( xxxf tiene un cero en 75.1x .

Aplicar el mtodo de la secante con las aproximaciones iniciales

a. 875.1,625.1 10 xx

b. 95.1,5.1 10 xx

c. 4.1,9.1 10 xx

d. 9.1,4.1 10 xx

e. 7.1,3 10 xx

f. 3,7.1 10 xx

11.

Aproxime las soluciones de las ecuaciones siguientes con precisin de 510

a. 3

2 2x+e=x

x

b. 03x2 =ex

c. 062cos2 =(x)++exx

d. 010cos2 =(x)+x

12. La raz real ms alta de 2,6271,7500,874

2 +x+x=f(x) . Emplee como valores iniciales

9.21x y 1.32x , calcule tambin el error aproximado realizando 3 iteraciones.

13. La raz ms pequea de

32 0,6673,16,212,1 x+xx+=f(x) , emplee como valores iniciales

0,41 =x y 0,62 =x e itrese hasta que el error estimado %4a .

14. La raz de 5.0)ln(x , usando como valores iniciales 11x y 22x realice cuatro

iteraciones y calcule el error aproximado despus de cada iteracin

15. La raz cuadrada positiva de 10, con un error aproximado menor al 0,5%, empleando como

001.0



valores iniciales 31 =x y 3,22 =x .

16. La raz real de 1003x=f(x) con un error aproximado del 0,1 %

17. Determine la raz real mayor de

326x116 x+x+=f(x) , (dos iteraciones, 5,21x y

6,32x ).

18. Determine la raz real ms pequea de

32703,3296,16963,2136,9)( xxxxf , Dos

iteraciones, 5,01x y 1,12x

19.

Encuentre la raz real positiva de 432 8,6513546446998 x+xx,x+,=f(x) usando el

mtodo de la secante. Emplee los valores iniciales 71 =xi y 9=xi y realice cuatro iteraciones,

calcule tambin el error aproximado.

20.

Localice la raz positiva de )sin(5.0)( xxxf donde x est en radianes. Use como valores

iniciales a) 0.2ix ; b) 0.1ix . Realice cuatro iteraciones y calcule tambin el error

aproximado. Usando el mtodo de la Secante (Dos iteraciones, 2,51 =xi y 3,6=xi ).

Newton Raphson

1.

Dada la siguiente grfica de la funcin f(x), indicar la respuesta falsa:

a) El mtodo de Newton es convergente si partimos del valor inicial 40x .

b) El mtodo de Newton es convergente si partimos del valor inicial 00x .

c) El mtodo de Newton es convergente si partimos del valor inicial 20x .

d) El mtodo de Newton es convergente si partimos del valor inicial 30x .

2.

Indica la respuesta correcta. Si se aplica el mtodo de Newton para resolver la ecuacin

polinmica 013 xx , partiendo de un valor inicial 10x , entonces el primer trmino

obtenido es:

a) 4

71x

b) 4

11x

c) 11x



d) Ninguna de las anteriores.

3.

Calcular una iteracin del mtodo de Newton-Raphson para calcular un cero de la funcin

3)( 3xxf , partiendo de 10x .

b. 4 c. 5/3 d. 4/3 e. Ninguna de las anteriores

4.

Dado un nmero c, se puede calcular su inverso cx /1 resolviendo la ecuacin 0/1 cx a. Comprueba que si aplicamos el mtodo de Newton-Raphson, podemos calcular inversos sin

hacer divisiones. b. Calcula el valor de 1/9, 1/45, 1/678. Observa que los valores iniciales deben estar prximos

a la solucin para que el mtodo converja.

5. Aproxima el valor de raz de 41 y 23 con 6 decimales exactos usando el mtodo de Newton-Raphson.

6. Hallar la raz cuadrada de 10 usando tres iteraciones mediante el mtodo de Newton y

comenzando con el valor inicial 30x . Utilizar dos decimales redondeados en los clculos.

7.

Calcular las races reales de la siguiente ecuacin 3/1645.0 23 xxx , mediante el

mtodo abierto de Newton-Raphson. Utilizar solo tres cifras significativas.

Hacer:

a. Graficar. b. Resolver manualmente mediante el mtodo de Newton Raphson. Hacer 5 iteraciones en

cada caso y establecer el error relativo aproximado a .

c. Adecuar el algoritmo del mtodo de Newton-Raphson para que sea un programa y programarlo en Basic, C, Pascal o MatLab, estableciendo un corte en las iteraciones considerando un Es= 0.05% (error previamente fijado) y un numero mximo de iteraciones. Utilizar como valores iniciales X=1.2 y x=3.2. Conclusiones.


8.

Demuestre el siguiente teorema: Sea 0)(' xf , 0)(*)( bfaf y )x(''f no cambia de signo en

el intervalo [a,b]. Si abaf

af

)('

)( y ab

bf

bf

)('

)(, entonces el mtodo de Newton converge a

partir de una aproximacin inicial bax ,0 .

6.

Use el mtodo de Newton-Raphson para determinar la raz distinta de cero de:

a. 2xe1x b. 01xln(x) , con cuatro decimales correctos.

7.

La ecuacin 010cos(x)x2

tiene dos soluciones, 1.3793646. Utilice el mtodo de Newton-

Raphson para encontrar una solucin aproximada de la solucin con un error menor a 510

considerando los siguientes valores iniciales:

a. 1000p

b. 250p

c. 10p



d. 00p

8. Calcule 7 con error menor a 410 , con los mtodos de biseccin, de Newton-Raphson y de la

secante.

9.

Dadas las funciones: )cos( x g (x) ) ] / 2, ) ( 1 - x [ (1 - ef (x) - 2.3 x

, utilice los mtodos

de Newton-Raphson y de la secante para encontrar el punto 1,0x tal que )()( xgxf , con

una precisin del orden de 2/10 5 .

10. Hallar la raz de la siguiente funcin }01.0)1/{()1()( 2xxxf para 22 x ,

Experimente el comportamiento del mtodo cuando se elijen diferentes valores iniciales.

11. Hallar la raz de la siguiente funcin xx exexxf 22 2)( Para 10 x ,

12.

Utilizar el programa de Newton para polinomios y la deflacin para encontrar, con una precisin

de 510 , las races de los siguientes polinomios:

a. 1 xxf(x)23 3

b. 324 xxxf(x) 2

c. 51252234 xxxxf(x)

13. La ecuacin 14 18x7.5xxf(x)

23 tiene una raz doble en 2x . Aplicar el mtodo de

Newton-Raphson y observar la lentitud de la convergencia.

14.

Considere la ecuacin 1)cos(xex

a. Estimar grficamente las dos soluciones positivas ms pequeas. b. Utilizar el mtodo de Newton-Raphson y el de la secante para aproximar estas soluciones

con una tolerancia de 610 . Comparar los resultados. c. Analizar la convergencia cuadrtica del mtodo de Newton para esta ecuacin.

15.

La funcin )2/()74()( xxxf tiene un cero en 75.1x . Utilizar el mtodo de Newton-

Raphson con las siguientes aproximaciones iniciales:

a. x0 = 1.625 b. x0 = 1.875 c. x0 = 1.5 d. x0 = 1.95 e. x0 = 3 f. x0 = 7

16.

Aproxime las soluciones de las ecuaciones siguientes con precisin de 510

a. 3

2 2x+e=x

x

b. 03x2 =ex

c. 062cos2 =(x)++exx

d.

17.

Determine la raz real ms pequea de

(dos iteraciones

18. Encuentre la raz real positiva de , calcule

010cos2 =(x)+x32703,3296,16963,2136,9)( xxxxf

5.0ix

432 8,6513546446998 x+xx,x+,=f(x)



tambin el error aproximado. (Dos iteraciones, ).

Horner

1.

Dado el polinomio . Evaluar el polinomio y su derivada en el punto ,

Utilizando el algoritmo de Horner.

Muller

2.

Calcular una iteracin del mtodo de Muller para calcular un cero de la funcin partiendo

de (Calculando las derivadas de la funcin de forma exacta) y quedndonos con la raz ms cercana

a

Solucin:

,

General Todos los mtodos

1. , Con raz en el intervalo .

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9. , [1, 4]

10. , [-3, -2]

11. , [0, /2]

12. [0, /2]

13.

6.3ix

54x3x 2xP(x) 23 2x

54)x3)x((2xP(x)

54)2((7)2P(2)

415(18)2P(2)

187)x(2x(x)P'

40187)2(4(2)P'

3)( 3xxf

10x

0x

0 3(x-1)3(x-1)-2 26333

11x

5.89.0)( 2 xxxf 32 x

22 xxexf 2x)(xexxxf 23)( 2

84.954.523.3)( 23 xxxxf

)ln()2()( 2 xxxf

1 1) e(x xf ( x - 1 ) )(

x xexf 2x )(xexxxf 23)( 2

0-5-2xxxf 23)(

0-x-xxf 23 13)(

0)cos()( xxxf

0)sin(2.08.0)( xxxf

-8 2x-4xxxf 234)(



14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36. Aplicando el mtodo de Laguerre, acotar las races positivas y negativas de la ecuacin:

37.

38.

39.

Acotar y separar las races de :

e.

f.

g.

h.

40. Calcula aproximadamente cada una de las races de los polinomios del ejercicio anterior con un

error como mximo de .

41.

En 1225 Leonardo de Pisa estudi la ecuacin y obtuvo la raz

x=1,368808107. No se sabe como encontr este valor, pero es un resultado notable para su poca. En este ejercicio se pretende resolver la ecuacin usando varios mtodos. Aplique el mtodo que crea le lleva ms rpido a la solucin.

-2 x1 - x - exf )(

1)2()( 4/ xexf x

0),sin()3/exp(5.0)( xxxxf2)1log()( xxxf

25)exp()( xxxf

4)sin()( 2 xxxf

1)cosh()cos()( xxxf

1)cosh()cos()( xxxf

)4sin(3.0))3sin(3()( 5.1 ttetf t

12)( 3 xxxf

2)( xxfxxxf 2)(

46.9984.46451.356.8)( 234 xxxxxf

552.66444.5042.12)( 23 xxxxf

2724.84996.11157.552.12)( 234 xxxxxf

223.10672.0447.13223.7)( 234 xxxxxf

xexxf )(

2/0...,...)cos()( xconxxxf

xx exexxf 22 2)(

xxxf 2)tan()(

12)1()cos()( xxxf

015x17x3x7x2x 2345

)tan(2)( xxxf

)()( x tan 3xxf 2

014x-6-7xx 23

0-x-1x3

044x-4x-2xx 234

0-x-32xx 24

210

20102)( 23 xxxxp



Aplicacin

1.

La variacin de temperatura T en el interior de un material con una fuente de calor interna

satisface la ecuacin , encontrar el valor de T con una

cuando .

2.

La corriente i (en microamperios, ) sobre un diodo est relacionada con el voltaje v (en voltios)

por la ecuacin Ecuacin 1

Donde es la saturacin de corriente (en ) y

el cual y es conectado a un circuito en el que v e i deben satisfacer tambin

. Encontrar la corriente (en ) en el diodo. Obtener una aproximacin inicial

aproximando la Ecuacin 1 por .

3.

Un cable elctrico est sujeto a dos torres separadas 100 m. La curva que describe dicho cable recibe el nombre de Catenaria. Si hacemos pasar el eje Y por el punto ms bajo del cable, esta

curva tiene por ecuacin , donde es un parmetro a determinar. Si

suponemos que el cable desciende 10 metros en el punto ms bajo, determinar el valor de y la longitud del cable.

4.

La ecuacin que describe la variacin de carga en el capacitador de un determinado circuito RLC

es , suponga que y . Determinar la

resistencia adecuada para disipar la carga al 1% de su valor original en .

5. Una corriente oscilatoria en un circuito elctrico se describe mediante la ecuacin

, determinar en qu instantes la corriente es de 2 amperios.

6.

Una droga administrada a un paciente produce una concentracin en la sangre dada por

mg/ml, t horas despus de que A unidades han sido inyectadas. La mxima

concentracin sin peligro es 1 mg/ml. a. Qu cantidad debe ser inyectada para alcanzar esta mxima concentracin de seguridad y

cuando se alcanza este mximo?. b. Una cantidad adicional de esta droga se tiene que administrar al paciente cuando la

concentracin decae a 0.25 mg/ml. Determinar, al minuto ms prximo, cuando debe darse esta segunda inyeccin.

c. Suponiendo que la concentracin de inyecciones consecutivas es aditiva y que el 75% de la cantidad inyectada originalmente es administrada en la segunda inyeccin, cundo es tiempo para la tercera inyeccin?.

7. En el estudio de la radiacin de un cuerpo negro aparece la ecuacin

a. Demostrar que todas las races de la ecuacin se encuentran en el intervalo [0,5].

b. Determinar las races con una

8. El movimiento de una determinada estructura est descrito por la siguiente ecuacin para una

oscilacin amortiguada , Donde y . Determinar el tiempo

)e(=e TcrT 2/2/ 0.5Lcosh 510tol

094.0crL

A

)(eI=i qvs 1/

sI A

20sI 052.0

4104 iv A

/vIi s

)/cosh(xy

t))R

(LC

1cos(eq(t)=q R/2L)t(0

0.52

2LHL 5 FC

410

st 5.0

)(e=I(t) t 2ptsen10

3tAte=c(t) /

5/1 x=e x

610tol

wte=y ktcos10 5.0k 2w



necesario, con una , para que el desplazamiento baje hasta 4.

9.

Aproxima, con un error inferior a , el valor de x para el cual se obtiene el punto de la grafica

de que esta mas cerca del punto (1,0). (Ayuda: minimiza la funcin d(x)2 tomando d(x) la

distancia de cada punto de la grfica al punto (1,0).

10.

11.

Considere la ecuacin

a. Demuestra que la formulacin es adecuada para resolver la ecuacin

mediante iteracin de punto fijo para todo valor inicial en el intervalo [0.5, 1].

b. Determina el nmero de iteraciones necesario para obtener 5 decimales exactos. c. Calcula las 5 primeras iteraciones de forma manual. d. Escribe un programa con MatLab para calcular las iteraciones, verifica el resultado de las

primeras iteraciones con los valores que has obtenido en el apartado anterior. e. Verifica el resultado resolviendo la ecuacin con MatLab.

12. Resuelve la ecuacin con 6 decimales exactos usando una formulacin de

punto fijo del tipo toma como intervalo inicial [3, 4].

13.

Para determinar la constante de nacimientos de una poblacin se necesita calcular el valor de la

constante en la siguiente ecuacin:

, recomendado trabajar con Newton Raphson

partiendo de 0,5

14.

El coeficiente de friccin f para el flujo turbulento en un tubo est dado por:

, correlacin de Colebrook, Donde es el nmero de

Reynolds, es la rugosidad de la superficie del tubo y D es el dimetro del tubo. Determina el valor de para los datos

D = 0.1m, e = 0.0025,

D = 0.1m, e = 0.0001,

Indicacin: El orden de magnitud de f es ; adems es mejor reescribir la ecuacin en la forma

15.

Los problemas relativos al dinero necesario para pagar una hipoteca de una casa durante un

periodo fijo de tiempo requieren la frmula , denominada ecuacin de la

anualidad ordinaria. En esta ecuacin, A es el importe de la hipoteca, P es el importe de cada pago e i es la tasa de inters por periodo para n periodos. Supongamos que se necesita una hipoteca de $135000 por una casa a 30 aos y que los pagos mximos que puede realizar el cliente son de $1000 dlares mensuales. Cul ser el inters ms alto que podr pagar?

16. Si se compra un Osciloscopio cuyo costo es 3.500.000 para pagarlo a cuotas, cancelando $535.000

510tol410

2xy2, xx

xex

2/)( xexx

0x

xex 2.9)1.0tan(

)(xfxx

9.01.0

110*435.0

1010*564.16

66 ee

fRD

ef

e

35.9log214.1/1 10 eR

e

f

43*10Re63*10Re

2102

10

35.9log214.1

fRD

ef

e

nii

PA )1(1



pesos mensuales durante 7 meses. Qu tasa de inters se est pagando?. La frmula que relaciona el costo actual (P), los pagos mensuales (A), el nmero de meses (n) y la tasa de inters (i) es:

17.

Un nuevo centro de diversiones cuesta $10 millones de pesos y produce una ganancia de $2 millones. Si la deuda se debe pagar en 10 aos a qu tasa de inters debe hacerse el prstamo?. El costo actual ( P), el pago anual (A) y la tasa de inters (i) se relacionan entre s mediante la

siguiente frmula:

Sustituyendo datos y simplificando resulta lo siguiente:

a. Calclese i(inters) usando el Mtodo de Biseccin (a = 0.1 y b = 0.2) b. Se puede aplicar el mtodo de Newton Rapshon s o no? y por qu?

18.

El capital A acumulado en una cuenta de ahorro en la que se ingresa peridicamente una cantidad

P viene dado por la frmula , donde i es el inters en cada periodo y n el

nmero de periodos transcurridos. Un empresario deseara jubilarse dentro de 20 aos con un capital acumulado de 7`050,000 Pesos haciendo depsitos mensuales de 10,500 Pesos, cul es el inters mnimo que debe tener la cuenta de ahorro en la que invierta sus ahorros?

19.

La Universidad Surcolombiana est interesada en adquirir un moderno Laboratorio de Electrnica. Hay tres compaas que le cotizan los equipos requeridos con las siguientes condiciones: Compaa 1: Valor de contado 49000.000, a crdito; cuota inicial de 30000.000 y 5 cuotas mensuales de 5000.000 cada una. Compaa 2: Valor de contado 45000.000, valor a crdito; cuota inicial de 25.000.000 y 8 cuotas de 4000.000 cada una Compaa 3: Valor de contado 50000.000. Valor a crdito; Cuota inicial de 40.000.000 y 4 cuotas de 3000.000 cada una.

La Universidad cuenta en estos momentos con 20000.000 para dicha compra. Cada una de las empresas manifiesta financiar el resto al mismo inters de la propuesta. A cual de las tres empresas la universidad debe comprarle de tal forma que salga favorecida econmicamente. Los equipos cotizados son idnticos en las tres empresas

20.

Anlisis de punto de equilibrio: En la prctica de la Ingeniera ptima se requiere que los proyectos, productos y la planificacin de los mismos sean enfocados de tal manera que resulten econmicos. Por lo tanto, a un Ingeniero con experiencia deben serle familiares los anlisis de costos. El problema que se trata en esta seccin se conoce como Problemas de punto de equilibrio. Se usa para determinar el punto en el cual dos alternativas tienen valores equivalentes. Estos problemas se encuentran en todos los campos de la ingeniera. Aunque el problema se enfoca en trminos personales, se puede tomar como prototipo de otros problemas de anlisis de punto de equilibrio, que se encuentran a menudo en la vida profesional. Se est considerando la compra de una de dos microcomputadores: La microcomputadora uno y la microcomputadora dos. En el cuadro 1 se encuentra resumidas algunas de las caractersticas, los costos aproximados y los beneficios de cada una de ellas. Si se puede pedir un prstamo con un inters del 20% (y=0.20). Cunto tiempo se deber poseer las mquinas, de manera que tengan

1)1(

)1(*n

n

i

iiPA

n

n

ii

i

A

P

)1(*

1)1(

05)1(*

1)1()(

10

10

ii

iif

11/n

iiPA



un valor equivalente?. En otras palabras Cul es el punto de equilibrio medido en aos?. Cuadro 1. Costos y beneficios de dos microcomputadores. Los signos negativos indican un costo o una prdida mientras

que un signo positivo indica una ganancia.

C O M P U T A D O R A S

MICRO 1 MICRO 2

Costos de compra -3000 -10000

Incremento en el mantenimiento costo ao -200 -50

Ganancias y beneficios anuales 1000 4000

21.

Encuentre una aproximacin para con una error menor a , para la ecuacin de poblacin

que resulta de la ecuacin diferencial de crecimiento de

poblacin con inmigracin constante : . Utilice este valor para predecir la

poblacin al final del segundo ao, asumiendo que la tasa de inmigracin se mantiene en 435000 ind/ao

22.

Una masa de 1 Kg de CO est contenida en un recipiente a y . Calcule el

volumen del gas utilizando la ecuacin de estado de Van Der Waals, parea un gas no ideal, dada

por [Moran/Shapiro], , donde R=0.08314bar m3/(Kg mol K), a=1.463 bar

m6/(Kg mol)2 y b=0.0394 m3/Kg. Determine el volumen especifico v(en m3/Kg) y compare el resultado con el volumen calculado por la ecuacin del gas ideal.

23.

Una mezcla equimolar de monxido de carbono y oxigeno alcanza el equilibrio a y a una presin de 5 atm. La reaccin terica es:

, la reaccin qumica real de escribe como

, La ecuacin de equilibrio qumico para

determinar la fraccin del CO restante, x, se escribe como

, Donde es la constante de equilibrio para

CO+1/2O2=CO2 a 3000K y P=5 es la presin. Determine el valor de X por medio del mtodo de Newton Raphson.

24.

Un proyectil de 2 gramos de masa ha sido lanzado verticalmente al aire y est descendiendo a su velocidad terminal. La velocidad terminal se puede escribir, despus de evaluar todas las

constantes, como donde v es la velocidad terminal

en m/s. El primer trmino del lado derecho representa la fuerza de friccin y el segundo trmino representa la fuerza de presin.

a. Se sabe por una estimacin grosera, que la velocidad terminal es v (30m/s). Estudia si los intervalos [20, 30], [30, 40] contienen una raz. Verifica el resultado construyendo un grfico.

b. Determinan el nmero de pasos que se necesitan para aproximar la solucin con 2

410

)1e(435000

e10000001564000

)()(

tNdt

tNd

KT 215 barsp 70

RTbvv

aP

2

RTPv

K300

222

1COOCO

222 112

1COxOxxCOOCO

10,1

312/12/1

2/1

xPxx

xxK p 06.3pK

255.15 10*15.110*4.1)81.9)(002.0( vv



decimales usando el mtodo de la biseccin. c. Calcula la aproximacin con un programa, verifica manualmente el valor de los dos

primeros pasos. d. Calcula el valor de la velocidad terminal con MatLab.

25.

El tamao crtico de un reactor nuclear se determina resolviendo una ecuacin de criticalidad 2.

Un ejemplo simple de este tipo de ecuaciones es . La solucin fsicamente

significativa es la menor raz positiva. Se sabe, por experiencia, que la raz se encuentra en el intervalo [3, 4].

a. Demuestra que, efectivamente, la ecuacin tiene una raz en [3, 4] y que tal raz es nica. b. Aproxima el valor de la raz con 5 decimales usando el mtodo de la biseccin. c. Verifica el resultado sustituyendo en la ecuacin. d. Calcula el valor de la raz con MatLab.

Usando el mtodo de Newton-Raphson y el valor inicial . Calcula la solucin con 5

decimales exactos.

26.

LEYES DE LOS GASES IDEALES Y NO IDEALES: La ley de los gases ideales est dada por: , En donde p es la presin absoluta, v es el volumen y n es el nmero de moles. R es la constante universal de los gases y T es la temperatura absoluta. Aunque esta ecuacin la usan ampliamente los ingenieros y cientficos, solo es exacta sobre un rango limitado de presin y temperatura. Ms aun, la ecuacin anterior es ms apropiada para algunos gases que para otros. Una ecuacin alternativa del estado de los gases est dada por:

, a la que se le conoce con el nombre de ecuacin de Van Der Walls.

v=V/n, es el volumen molal y son constantes empricas que dependen de un gas en

particular.

Un proyecto de ingeniera requiere que se calcule exactamente el volumen molal (v) del bixido de carbono y del oxgeno para combinaciones diferentes de temperatura y de presin, de tal forma que se pueda seleccionar una vasija apropiada que los contenga. Asimismo, es importante examinar que tan bien se apega cada gas a la ley de los gases ideales, comparando los volmenes molales calculados con las ecuaciones. Se proporcionan los siguientes datos:

R=0.0820541 atm/(mol*k) A=3.592 B=0.04267 Bixido de carbono A=1.360 B=0.03183 Oxgeno

Las presiones de inters en el diseo son 1,10 y 100 atm. Para combinaciones de la temperatura de 300,500 y 700k

27.

Las frecuencias naturales de vibracin de una varilla uniforme sujetada por un extremo y libre por el otro son soluciones de:

Donde

=1 (longitud de la varilla en metros)

=frecuencia en

EI=rapidez de flexin (Byares/Snyder/Plants) =densidad del material de la varilla

xex 2.9)1.0tan(

5.30x

nRTPv

RTbvvap */ 2

ba,

01)cosh()cos( ll

EI/2

l1seg



Determine tres valores ms pequeos de que satisfagan la ecuacin planteadas mediante el

mtodo de newton raspn.

28. La concentracin de la bacteria contaminante C en un lago decrece de acuerdo a la relacin:

, Determine el tiempo requerido para que la bacteria se reduzca a 10.

29.

Una determinada sustancia se desintegra segn la ecuacin , donde P es la cantidad inicial en el tiempo t=0 y A la cantidad resultante despus de t aos. Si inicialmente se depositan 500 miligramos de dicha sustancia, cunto tiempo habr de transcurrir para que quede el 1 por ciento de esta? Utilizar el Mtodo de Newton.

30.

La temperatura ( kelvin) de un sistema, vara durante el da de acuerdo con:

, en donde t se expresa en minutos. La presin sobre el sistema est

dada por: . Calcule el volumen molal del oxigeno en intervalos de un minuto a lo

largo del da. Tome como referencia para las frmulas el ejercicio anterior.

31.

Una medicina administrada a un paciente produce una concentracin en la sangre dada por

mg/ml, t horas despus de que se hayan administrado A unidades. La mxima

concentracin sin peligro es de 1 mg/ml, y a esta cantidad se le denomina concentracin de seguridad.

a. Que cantidad debe ser inyectada para alcanzar como mximo esta concentracin de seguridad?. Cuando se alcanza este mximo?.

b. Una cantidad adicional se debe administrar al paciente cuando la concentracin baja a 0025 mg/ml. Determnese con un error menor de 1 minuto cuando debe ponerse esta segunda inyeccin.

32.

En un proceso qumico, el vapor de agua se calienta a una temperatura lo suficientemente

alta para que una porcin significativa de l agua se disocie o se rompa en partes para formar

oxgeno (O2) e hidrgeno (H2): , Se supone que es la nica reaccin que se

lleva a cabo, la fraccin molal x, de que se separa puede representarse como:

, En donde es la constante de equilibrio de la reaccin y es la presin

total de la mezcla. Si Atm y =0.04568, determnese el valor de x que satisfaga la

ecuacin anterior.

33.

Diseo de un circuito elctrico: Los ingenieros electrnicos y/o Elctricos, usan a menudo la ley de Kirchoff para estudiar el comportamiento de los circuitos elctricos en estado estacionario (que no varia con el tiempo). Otro tipo de problema son los de corriente momentnea e implica a los circuitos donde sbitamente suceden cambios temporales. Esta situacin ocurre cuando se cierra el interruptor de la figura mostrada abajo. En este caso despus de cerrar el interruptor hay un periodo de ajuste hasta que se alcanza un estado estacionario. La longitud de este periodo de ajuste esta relacionada con las propiedades de almacenamiento de carga del capacitor y con el almacenamiento de energa dentro del inductor. El almacenamiento de energa puede oscilar entre dos elementos durante un periodo transitorio. Sin embargo, la resistencia en el circuito disipa la magnitud de las oscilaciones.

El flujo de corriente a travs de la resistencia causa una cada de voltaje ( ) dado por:

. En donde i es la corriente y R es la resistencia del circuito. Cuando las unidades de R e

tt eeC 1.02 2080tePA 0248.0*

)1440

2cos(200400

tT

1440/tep

3/)( tAtetc

OH2

222 2/1 OHH

OH2

x

p

x

xk tp

2

2

1 pk tp

2p pk

RV

RiVR *



i son Ohm( ) y Amperes(A), respectivamente, entonces la unidad de V es Volt.

De manera semejante, un inductor resiste el cambio en la corriente, de forma tal que la cada de

voltaje al cruzarlo es de:

Figura 1

, en donde L es la inductancia. Cuando las unidades de L e i son Henrios y Amperes, la

unidad de es el voltaje y la unidad de t es el segundo. La cada de voltaje a travs del capacitor

(VC) depende de la carga (q) sobre el mismo: , En donde C es la capacitancia. Cuando las

unidades de carga se expresan en culombio, la unidad C es el Faradio.

La segunda ley de kirchhoff indica que la suma algebraica de las cadas de voltaje en un circuito es

cero. Despus de cerrar el interruptor se tiene: , Sin embargo, la corriente

est dada en funcin de la carga como: , Por lo tanto: , Esta es

una ecuacin diferencial ordinaria de segundo orden que se puede resolver usando los mtodos de clculo. La solucin est dada por:

Donde t=0, y es el voltaje en la batera. La ecuacin anterior describe la

variacin de la carga en el capacitor en funcin del tiempo. La solucin se puede graficar:

34. Determnese el valor de L necesario para que el circuito de la Figura 1 disipe al 1% de su valor

original en , dado R=300 , y

35. Una corriente oscilatoria en un circuito elctrico se describe mediante , En

donde t est dado en segundos. Determnese todos los valores de t tales que .

36.

Un problema de diseo tpico en Ingeniera Elctrica, puede necesitar que se determine la resistencia apropiada para disipar energa a una velocidad constante, con los valores de L y C conocidos. En este caso se supone que la carga se debe disipar al 1% de su valor original

en t=0.05s, con L=5H y .

37. El coeficiente de la friccin f para el flujo turbulento en un tubo esta dado por:

LV

dt

diLV

l

LV

cqVc /

0C

qRi

dt

diL

dtdq

i 02

2

C

q

dt

dqR

dt

qdL

tL

r

LCeqtq LRt

2

2/

02

1cos)(

CVqq 00 0V

)(tq

st 05.0 FC 410

)2(10 tseneI t

2I

01.0/ 0qq FC410



Correlacin de Colebrook, donde es el nmero de Reynolds,

e es la rugosidad de la superficie del tubo y D es el dimetro del tubo. Evale f para los siguientes casos:

a. D=0.1m e=0.0025

b. D=0.1m e=0.0001

38.

Un objeto cayendo verticalmente a travs del aire est sujeto tanto a resistencia viscosa como a la

fuerza de gravedad. Suponiendo que un objeto con masa m es dejado caer desde una altura , y

que la altura del objeto despus de t segundos es:

Donde y k representa el coeficiente de resistencia del aire en lb-s/ft. Suponga

, m=0.25lb, y . Encuentre, con un error de hasta 0.01s, el tiempo

que le toma a est masa tocar el suelo.

39.

Un proyecto de Ingeniera Qumica requiere que se calcule exactamente el volumen molal (v) del bixido de carbono y del oxgeno para combinaciones de diferentes condiciones de temperaturas y de la presin, de tal forma que se pueda seleccionar una vasija apropiada que los contenga.

Asimismo es importante examinar que tan bien se apega cada gas a ley de los gases ideales comparando los volmenes molales.

Los datos para el bixido de carbono son los siguientes:

R = 0.082054 L . atm / (mol. K ) a = 3.592 b = 0.04267 p = 1 atm T = 300 K

Las ecuacin aplicada es la de Van der Waals.. , su derivada.....

- Aplicar el mtodo de Newton Raphson para resolver el problema

usando el valor inicial de

40.

Para calcular se propone el mtodo .

a. Encontrar para que la convergencia local sea al menos cuadrtica. Hay

convergencia cbica en este caso?

b. Se considera el mtodo de NewtonRaphson para . Convergera ms

rpidamente que el mtodo anterior?

c. Tomando y operando con seis cifras decimales, calcular con cuatro cifras

decimales exactas aplicando los dos mtodos anteriores. Comparar con lo observado en (b).

d. Si se aplica el mtodo de biseccin a la ecuacin en [1,2], cuantas iteraciones sern necesarias para alcanzar la misma precisin que en el apartado (c)?

fRD

eLog

fe

35.90.214.1

110 eR

410*3eR

610*5eR

0y

)1()(2

2

0m

kt

ek

gmt

k

mgyty

2/17.32 sftg

fty 3000 ftslbk /1.0

RTbvv

apvf

2)(

32 /2/)(' vabvapvf

100x

33

22

3

1

n

nn

x

xx

y

3)( 2xxf

20x 3

032x



41.

Segn el modelo desarrollado por Malthus, el crecimiento de una poblacin a partir del instante inicial t = 0 con inmigracin a tasa constante puede escribirse por la funcin:

, donde: es la poblacin inicial, k es la tasa de crecimiento y V

tasa de inmigracin. Suponga que una cierta poblacin tiene inicialmente un milln de individuos, durante el primer ao han inmigrado 435.000 individuos y al cabo de un ano hay 1.564.000 individuos.

a. Determine la tasa de crecimiento de dicha poblacin con cuatro decimales correctos. b. Hacer una provisin de la poblacin al cabo de tres aos

42. Sea , y . Demuestre que siempre que ,

pero que , requiere que .

43. Sea la sucesin definida por . Demuestra que diverge aun cuando

44.

La funcin definida por tiene ceros en todos los enteros. Determina un intervalo

[a, b] con y para el cual el mtodo de biseccin converge a: a. 0 b. 2 c. 1

45.

El mtodo de N-R se ha utilizado para realizar la operacin de divisin en muchos computadores,

con lo que se evita el uso de circuitera especfica. Para ello se define la funcin ,

que tiene un cero cuando (considere A una constante positiva).

a. Demuestra que aplicar el mtodo de N-R a f consiste en aplicar iteracin del punto fijo

sobre la funcin .

b. Si una iteracin de punto fijo converge en un lmite diferente de cero, entonces el lmite es , de modo que la inversa de un nmero puede obtenerse usando slo

multiplicaciones y restas.

c. Encuentra un intervalo alrededor de donde converja una iteracin de punto fijo, a condicin de que p0 se encuentre en ese intervalo

46.

Pruebe los algoritmos desarrollados en las siguientes funciones:

a. en los intervalos [-10,-9],[-7,-5.5] y [-4,-2]

b. en los intervalos [-1.3,0] y [-2.5,-1.3]

47.

Una partcula parte del reposo en un plano inclinado liso, cuyo ngulo va aumentando a una

razn constante de d_. Al final de t segundos, la posicin del objeto est dada por

. Se supone que la partcula se ha movido 0.5 metros en un

segundo. Encontrar con un error menor que , la razn w a la cual varia si y

. Considerar que y utilizar el algoritmo de biseccin

48. Se desea disear un tanque de combustible segn la siguiente figura. La forma del tanque es la de

)1()( tktko ek

VeCtC oC

10)1()( xxf 1p 1/n1pn310)( npf 1n

310npp 1000n

npn

k

n kp1

/1np

0)(p lim 1n nn

p

)sin()( xxf

0a 2b

Ax

xf1

)(

Ax /1

22)( Axxxg

Ap /1

A/1

xex)sin(

xx 1)sin(*4

dtd

))sin(2

(2

)(2

wtee

w

gtx

wtwt

510 5.00

1.012/8.9 sgmg



x

x

un cubo y ser fabricado con placas de acero de espesor . Se requiere que la masa total

del tanque lleno (combustible + acero) sea de 0,05 ton. La densidad del acero es 7.85 y la

del 0.83 . Usar cualquier mtodo para hallar el valor de x.

49.

Un fabricante de envases de zumo se dispone a optimizar las dimensiones de sus envases con el objetivo de minimizar el coste de fabricacin (proporcional al material usado). Teniendo en cuenta que la capacidad de los envases debe ser de 1.5litros, calcula las dimensiones ptimas de los mismos (usa los datos de la figura).

Para facilitar la resolucin sigue las etapas siguientes:

a. define la funcin a optimizar (minimizar en este caso); b. busca la(s) relacin(es) que hay entre las variables del problema; b. salas para reducir el numero de variables de la funcin inicial; c. escribe el sistema asociado a la bsqueda de extremos de una funcin de 2 variables. d. Para resolver el sistema anterior elimina una de las variables y expresa la ecuacin

resultante en forma de ecuacin polinmica; e. estima la solucin (ser una de las magnitudes del envase) de la ecuacin polinmica

aplicando 3-veces el mtodo NR con aproximacin inicial 10 cm; f. por ultimo, usando el valor obtenido en el apartado anterior, estima el resto de

magnitudes del envase.

50.

En la siguiente figura se muestra un segmento de un crculo delimitado por la cuerda AB.

Determinar el valor del ngulo para que el rea sombreada sea del rea del crculo. Usar cualquier mtodo de resolucin.

51. En la siguiente figura se muestra la seccin de un tanque esfrico con dimetro interior .

mme 33/ mtt

3/ mtt

4/1

mD 2



h

El tanque se llena con agua salada con densidad 1.025 hasta una altura h. Calcular el valor de h para que la masa total de agua sea 2 ton. Obs.: volumen del casquete esfrico es

52.

El perfil de un abrevadero de longitud L es un semicrculo de radio r (Figura 2). Cuando est lleno hasta una distancia h del borde superior el volumen V de agua que contiene viene dado por

Si L=10m, r=1m y determina la

profundidad de agua que hay en el abrevadero con un error mximo de 1cm. Figura 2

53.

Una partcula parte del reposo y de desliza por un plano inclinado cuyo ngulo de inclinacin

cambia con respecto al tiempo t con velocidad constante , es decir . Se sabe que despus de t segundos la partcula ha recorrido una distancia dada por

donde g es la fuerza de la gravedad que se supone constante

e igual a 9,8m/s2. Si la partcula recorre 1,7m en 1 segundo, determina con una precisin de la velocidad .

54.

Una mquina que infla botellas de plstico necesarias para envasar lquidos, aplica aire comprimido a una pequea porcin de material plstico. Encuentre el nmero de botellas que se

inflan por segundo, si est en funcin a la ecuacin: a. Utilice los valores iniciales de 2, 3, 4 con una tolerancia al error de 0.01 y utilice 4

decimales para sus clculos. b. Evale el criterio de convergencia para los tres valores iniciales especificados y seleccione

el adecuado.

3/ mtt

3/32 hrhV

2222

)(2

hrhr

harcsenr

rLV 34.12 mV

dtd /

)(txx

)sin(22

)(2

tee

w

gtx

tt

510

04*3 23 xx



c. Calcule al menos 4 valores para X.

55.

Un medicamento administrado a un paciente produce una concentracin en el torrente sanguneo

dada por t horas despus de que le fueron inyectadas A unidades del

medicamento. La concentracin mxima segura de medicamento es de 1mg/ml. Donde sea necesario, utilice un mtodo numrico apropiado para responder las siguientes preguntas: a. Qu cantidad de medicamento debe ser inyectada para alcanzar la concentracin mxima

segura y cuando ocurrir ese ultimo. b. Una dosis adicional de este frmaco le ser administrada al paciente despus de que la

concentracin decaiga a 0.25mg/ml. Determine, con un error mximo de un minuto, cundo debe ser proporcionada la segunda inyeccin.

c. Suponiendo que la concentracin de las inyecciones consecutivas es aditiva y que el 75% de la dosis inyectada originalmente se administra en la segunda inyeccin, cundo se presenta el momento para la tercera inyeccin?.

56.

El Principio de Arqumedes establece que el empuje a que est sometido un cuerpo sumergido en un lquido es igual al peso del fluido desplazado. Al plantear esta condicin de equilibrio para una

esfera de radio 1cm y densidad , se consigue la ecuacin ,

donde h es la altura de la parte de la esfera que est sumergida. Se pide aplicar el mtodo de

Newton-Raphson para estimar un valor aproximado de h, usando dos iteraciones. Tomar

(valor inicial).

,/)( 3/1 mlmgAtetc

3/75.0 cmgm 033 23 hh

10h



INTEGRALES DEFINIDAS

Actividades preliminares

1. Para que se utiliza la derivacin numrica y cules son sus ventajas. 2. Cules son los tres tipos de aproximacin por diferencias que es posible obtener por un gradiente

de interpolacin lineal. 3. Cules son las ecuaciones que se obtienen por el gradiente de interpolacin lineal. 4. Deduzca la ecuacin de derivacin mediante el desarrollo de Taylor para la primera derivada por la

aproximacin por diferencias hacia adelante de 3 puntos. 5. Deduzca la ecuacin de derivacin mediante el desarrollo de Taylor para la segunda derivada por

aproximacin por deferencias centrales de 5 puntos. 6. Deduzca la ecuacin de derivacin mediante el desarrollo de Taylor para la segunda derivada por

aproximacin por deferencias centrales de 3 puntos. 7. Qu ventajas presenta el empleo de la integracin numrica, respecto de la integracin analtica. 8. Como se obtienen los mtodos de integracin numrica 9. Describa el mtodo de integracin por la regla trapezoidal. 10. Describa el mtodo de integracin por la regla de 1/3 de Simpson. 11. Como se obtienen las frmulas de integracin de Newton-Cotes. 12. Como se dividen las formulas de integracin de Newton-Cotes. Explique en qu consiste cada una. 13. Cules son las formulas de integracin de Newton-Cotes cerradas para N=1 hasta N=10, 14. Como se obtienen la frmula de integracin de Newton-Cotes abiertas. 15. Como se obtienen la frmula de integracin de Newton-Cotes abiertas para N=1 hasta N=6. 16. Como es el error de las formulas abiertas de Newton Cotes respecto de las cerradas. 17. Describa el mtodo de integracin por la regla del trapecio compuesto. 18. Describa el mtodo de integracin por la regla de 1/3 de Simpson compuesta.

Calcule las siguientes derivadas

Obtener la derivada de las siguientes funciones en el punto . Considerar el incremento h. Emplear las frmulas para 3 y 5 puntos.

a. b. c.

d.

e.

f. g.

h. i. j.



1. Determina una aproximacin a la derivada de una funcin en el punto utilizando el polinomio interpolador de Newton de grado 2 que coincide con f en los puntos Cul es el error cometido en la aproximacin?

2. Determina una aproximacin a la derivada de una funcin en el punto utilizando los puntos . Cul es el error cometido en la aproximacin?

3. Determina una aproximacin a la derivada de una funcin en el punto utilizando los

puntos Cul es el error cometido en la aproximacin?

4. Determina una frmula en diferencias finitas centrada para la segunda derivada de cuarto orden de precisin.

Calcule las siguientes integrales. Asuma la funcin f(x).

1. Jacobi polynomials :

2. Legendre Polynomials :

3. Legendre polynomials :

4. Chebyshev Polynomials :

5. Chebyshev Polynomials :

6. Laguerre Polynomials :

7. Hermite Polynomials :

8. Special Polynomials :

9.

10.

11.

Obtener las siguientes integrales, empleando los algoritmos de integracin simple por la regla del trapecio y de Simpson, los mtodos de integracin compuesta del trapecio y de Simpson y las formulas de integracin de Newton-Cotes para N=1 a 10 cerradas y para N=1 a 6 abiertas.

a.

b.

c.

d.

2-N1-NN x y x ,x

1

0

)( dxxfxk

b

a

dxxbxf )(

dxxb

xfb

a

)(

1

121

)(dx

x

xf

b

a

dxbxax

xf )(

0

)( dxxfe x

dxxfe x )(2

1

0

)(log)( dxxxf e

dxx 2)tan(1

1

2

2

2

)(

)( cbx

aexf



e.

f.

g.

h.

Rectangular, Trapecial y Simpson

1.

A partir de la siguiente tabla de valores x 1 2 3 4 5 6 7 f (x) 2.0000 4.2500 9.1111 16.0625 25.0400 36.0277 49.0204

determinar la mejor aproximacin posible al valor del la integral

2.

Utilice medios analticos para evaluar

a)

b)

c)

Evale las integrales

a)

b)

c)

a. aplicando la regla trapezoidal simple. b. aplicando la regla trapezoidal de segmentos mltiples, con n = 2, 4 y 6. c. aplicando la regla de Simpson 1/3 simple. d. aplicando la regla de Simpson 1/3 de segmentos mltiples, con n = 4 y 6. e. aplicando la regla de Simpson 3/8 simple. f. aplicando la regla de Simpson 3/8 con segmentos mltiples, con n = 5

3.

Aproximar las siguientes integrales aplicando la regla del trapecio y de Simpson, y calcular el error que se comete:

a. (con m=4, m=6)

b. (con m=4, m=10)

4.

Determinar el valor necesario de puntos que hay que tomar para aproximar la integral

por la regla de los Trapecios compuesta y la regla de Simpson compuesta con

precisin .

)dx++( 42 5x6x2x10

)dx+x( 53x4x1

senx)dx+( 58

)dx++( 42 5x6x2x10

)dx+x( 53x4x1

senx)dx+( 58

dxx

x6.1

1

2 4

2

1

0

2dxxe x

5

0

)sin( dxxe x

510



5. Aplicar la regla de Simpson compuesta a la integral para obtener una aproximacin de

logaritmo neperiano de 2, determinando el nmero de subintervalos necesario para que el error cometido en esa aproximacin sea inferior a 10-3.

6.

Se desea calcular el valor aproximado de y se conoce la siguiente tabla:

1 1.05 1.1 1.15

1 1.0247 1.0488 1.0724

Utilizar la formula de los trapecios y la de Simpson.

7.

Calcular con un valor aproximado de utilizando la frmula de los trapecios y la de

Simpson compuestas, sabiendo que

8.

Encontrar el rea comprendida entre las curvas y

en el intervalo [1, 3], aplicando la regla de Simpson compuesta con

. Calcular una cota del error cometido

9.

Dada la integral y trabajando con redondeo a 6 cifras decimales, aplicar

sucesivamente la regla del Trapecio para encontrar una aproximacin a la integral anterior con m=2,4 y 8 intervalos.

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Problemas Metodos Numericos V4