PROBLEMS - ssmrmh.ro€¦ · PROBLEMS /27 PROBLEMS Readers are invited to submit solutions, comments and generalizations to any problem in this section. Moreover, readers are encouraged

PROBLEMS /27

PROBLEMSReaders are invited to submit solutions, comments and generalizations to any problem inthis section. Moreover, readers are encouraged to submit problem proposals. Please seesubmission guidelines inside the back cover or online.

To facilitate their consideration, solutions should be received by the editor by March 1,2016, although late solutions will also be considered until a solution is published.

The editor thanks Andre Ladouceur, Ottawa, ON, for translations of the problems.

4001. Proposed by Cristinel Mortici and Leonard Giugiuc.

Let a, b, c, d ∈ R with d > 2 such that

(2d+ 1) · a6

+b

2+

c

d+ 1= 0.

Prove that there exists t ∈ (0, d) such that at2 + bt+ c = 0.

4002. Proposed by Henry Aniobi.

Let f be a convex function on an interval I. Let x1 ≤ x2 ≤ . . . ≤ xn andy1 ≤ y2 ≤ . . . ≤ yn be numbers such that xi + yj is always in I for all 1 ≤ i, j ≤ n.Let z1, z2, . . . , zn be an arbitrary permutation of y1, y2, . . . , yn. Show that

f(x1 + y1) + . . .+ f(xn + yn) ≥ f(x1 + z1) + . . .+ f(xn + zn)

≥ f(x1 + yn) + f(x2 + yn−1) + . . .+ f(xn + y1);

4003. Proposed by Martin Lukarevski.

Show that for any triangle ABC, the following inequality holds

sinA sinB sinC

Å1

sinA+ sinB+

1

sinB + sinC+

1

sinC + sinA

ã≤ 3

4(cosA+ cosB + cosC).

4004. Proposed by George Apostolopoulos.

Let x, y, z be positive real numbers such that x+ y + z = 2. Prove that

x5

yz(x2 + y2)+

y5

zx(y2 + z2)+

z5

xy(z2 + x2)≥ 1.

Copyright c© Canadian Mathematical Society, 2015

28/ PROBLEMS

4005. Proposed by Michel Bataille.

Let a, b, c be the sides of a triangle with area F . Suppose that some positive realnumbers x, y, z satisfy the equations

x+ y + z = 4 and

2xb2c2 + 2yc2a2 + 2za2b2 −Å

4− yzx

a4 +4− zxy

b4 +4− xyz

c4ã

= 16F 2.

Show that the triangle is acute and find x, y, z.

4006. Proposed by Dragolijub Milosevic.

Let x, y, z be positive real numbers such that xyz = 1. Prove that

2

xy + yz + zx− 1

x+ y + z≤ 1

3.

4007. Proposed by Mihaela Berindeanu.

Show that for any numbers a, b, c > 0 such that a2 + b2 + c2 = 12, we have

(a3 + 4a+ 8)(b3 + 4b+ 8)(c3 + 4c+ 8) ≤ 243.

4008. Proposed by Mehmet Sahin.

Let ABC be a triangle with ∠ACB = 2α, ∠ABC = 3α, AD is an altitude andAE is a median such that ∠DAE = α. If |BC| = a, |CA| = b, |AB| = c, provethat

a

b= 1 +

…2(cb

)2− 1.


Let ma,mb,mc be the lengths of the medians of a triangle ABC. Prove that

1

ma+

1

mb+

1

mc≤ R

2r2,

where r and R are inradius and circumradius of ABC, respectively.

4010. Proposed by Ovidiu Furdui.

Let f : [0, π2 ]→ R be a continuous function. Calculate

limn→∞

n

∫ π2

0

Åcosx− sinx

cosx+ sinx

ã2nf(x)dx.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Crux Mathematicorum, Vol. 41(1), January 2015

PROBLEMS /29

4001. Propose par Cristinel Mortici et Leonard Giugiuc.

Soit a, b, c et d des reels, avec d > 2, tels que

(2d+ 1) · a6

+b

2+

c

d+ 1= 0.

Demontrer qu’il existe un nombre t, t ∈ (0, d), tel que at2 + bt+ c = 0.

4002. Propose par Henry Aniobi.

Soit f une fonction convexe sur un intervalle I. Soit x1, x2, . . . , xn et y1, y2, . . . , yndes nombres tels que x1 ≤ x2 ≤ . . . ≤ xn, y1 ≤ y2 ≤ . . . ≤ yn et xi + yj esttoujours sur I pour tous i et j avec 1 ≤ i, j ≤ n. Soit z1, z2, . . . , zn une permutationquelconque de y1, y2, . . . , yn. Demontrer que

f(x1 + y1) + · · ·+ f(xn + yn) ≥ f(x1 + z1) + · · ·+ f(xn + zn)

≥ f(x1 + yn) + f(x2 + yn−1) + · · ·+ f(xn + y1)

et que les inegalites sont renversees lorsque f est concave.

4003. Propose par Martin Lukarevski.

Demontrer que pour n’importe quel triangle ABC, on a toujours

sinA sinB sinC

Å1

sinA+ sinB+

1

sinB + sinC+

1

sinC + sinA

ã≤ 3

4(cosA+ cosB + cosC).

4004. Propose par George Apostolopoulos.

Soit x, y, z des reels strictement positifs tels que x+ y + z = 2. Demontrer que

x5

yz(x2 + y2)+

y5

zx(y2 + z2)+

z5

xy(z2 + x2)≥ 1.

4005. Propose par Michel Bataille.

Soit a, b, c les longueurs des cotes d’un triangle et F l’aire du triangle. Soit x, y, zdes reels strictement positifs qui verifient les equations

x+ y + z = 4 et

2xb2c2 + 2yc2a2 + 2za2b2 −Å

4− yzx

a4 +4− zxy

b4 +4− xyz

c4ã

= 16F 2.

Demontrer que le triangle est acutangle et determiner x, y, z.


30/ PROBLEMS

4006. Propose par Dragolijub Milosevic.

Soit x, y, z des reels positifs tels que xyz = 1. Demontrer que

2

xy + yz + zx− 1

x+ y + z≤ 1

3.

4007. Propose par Mihaela Berindeanu.

Soit a, b, c des reels strictement positifs tels que a2 + b2 + c2 = 12. Demontrer que

(a3 + 4a+ 8)(b3 + 4b+ 8)(c3 + 4c+ 8) ≤ 243.

4008. Propose par Mehmet Sahin.

Soit ABC un triangle avec ∠ACB = 2α et ∠ABC = 3α. La hauteur AD et lamediane AE sont telles que ∠DAE = α. Sachant que |BC| = a, |CA| = b et|AB| = c, demontrer que

a

b= 1 +

…2(cb

)2− 1.


Soit ma,mb,mc les longueurs des medianes d’un triangle ABC. Demontrer que

1

ma+

1

mb+

1

mc≥ R

2r2,

r etant le rayon du cercle inscrit dans le triangle et R etant le rayon du cerclecirconscrit au triangle.

4010. Propose par Ovidiu Furdui.

Soit f une fonction a valeurs reelles definie et continue sur l’intervalle [0, π2 ]. Cal-culer

limn→∞

n

∫ π2

0

Åcosx− sinx

cosx+ sinx

ã2nf(x)dx.

Crux Mathematicorum, Vol. 41(1), January 2015

PROBLEMS /71

PROBLEMSNous invitons les lecteurs a presenter leurs solutions, commentaires et generalisationspour n’importe quel probleme presente dans cette section. De plus, nous les encourageonsa soumettre des propositions de problemes. S’il vous plaıt vous referer aux regles desoumission a l’endos de la couverture ou en ligne.

Pour faciliter l’examen des solutions, nous demandons aux lecteurs de les faire parvenirau redacteur au plus tard le 1 avril 2016 ; toutefois, les solutions recues apres cette dateseront aussi examinees jusqu’au moment de la publication.

La redaction souhaite remercier Rolland Gaudet, professeur titulaire a la retraite a l’Uni-versite de Saint-Boniface, d’avoir traduit les problemes.

3960. Propose par George Apostolopoulos. Correction.

Soient a, b, c des nombres reels non negatifs tels que a+ b+ c = 4. Demontrer que

a2b

3a2 + b2 + 4ac+

b2c

3b2 + c2 + 4ab+

c2a

3c2 + a2 + 4bc6

1

2.

4011. Propose par Abdilkadir Altinas.

Dans un triangle non equilateral ABC, soient H l’orthocentre de ABC et J l’or-thocentre du triangle orthique DEF de ABC (c’est-a-dire le triangle forme parles altitudes de ABC). Si ∠BAC = 60◦, montrer que AJ ⊥ HJ .

4012. Propose par Leonard Giugiuc.

Soit n un entier tel que n > 3. Considerer des nombres reels ak, 1 6 k 6 n telsque

a1 > a2 > . . . > an−1 > 1 > an > 0 etn∑k=1

ak = n.

Demontrer que

(n− 2)(n+ 1)

26

∑16i<j6n

aiaj 6n(n− 1)

2.

4013. Propose par Mehmet Sahin.

Soient a, b et c les cotes du triangle ABC, D le pied de l’altitude emanant de A etE le mi point de BC. Poser θ = ∠DAE et supposer que ∠ACB = 2θ. Demontrerque les cotes du triangle verifient

(a− b)2 = 2c2 − b2.


72/ PROBLEMS

4014. Propose par Mihaela Berinedanu.

Soit n un nombre naturel et soient x, y et z des nombres reels positifs tels quex+ y + z + nxyz = n+ 3. Demontrer que

(1 +y

x+ nyz)(1 +

z

y+ nzx)(1 +

x

z+ nxy) > (n+ 2)3.


Determiner tous les nombres reels a tels que

a cosx+ (1− a) cosx

3>

sinx

x

pour tout x non nul dans l’intervalle (− 3π2 ,

3π2 ).


Soient x, y et z des nombres reels positifs. Determiner la valeur maximale del’expression

x+ 2y

2x+ 3y + z+

y + 2z

2y + 3z + x+

z + 2x

2z + 3x+ y.


Soit P un point sur le cercle inscrit γ du triangle ABC. Les perpendiculaires versBC,CA etAB, passant par P , rencontrent γ aux points U , V etW respectivement.Demontrer qu’un des nombres PU · BC,PV · CA,PW · AB est egal a la sommedes deux autres.


Soit

In =

∫ 1

0

· · ·∫ 1

0

ln(x1x2 · · ·xn) ln(1− x1x2 · · ·xn)dx1dx2 · · · dxn,

ou n > 1 est entier. Demontrer que l’integrale converge et determiner sa valeur.


Un triangle avec longueurs de cotes a, b et c possede un perimetre de longueur 3.Demontrer que

a3 + b3 + c3 + a4 + b4 + c4 > 2(a2b2 + b2c2 + c2a2).

Crux Mathematicorum, Vol. 41(2), February 2015

PROBLEMS /73

4020. Propose par Leonard Giugiuc et Daniel Sitaru.

Soit ABC un triangle. Supposer que les bissectrices internes de A,B et C inter-sectent les cotes BC,CA et AB en D,E et F respectivement. Le cercle inscrit de∆ABC touche les cotes BC,CA et AB en M,N et P respectivement. Demontrerque [MNP ] 6 [DEF ], ou [·] denote la surface du triangle en question.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3960. Proposed by George Apostolopoulos. Correction.

Let a, b, c be nonnegative real numbers such that a+ b+ c = 4. Prove that

a2b

3a2 + b2 + 4ac+

b2c

3b2 + c2 + 4ab+

c2a

3c2 + a2 + 4bc6

1

2.

4011. Proposed by Abdilkadir Altinas.

In non-equilateral triangle ABC, let H be the orthocenter of ABC and J be theorthocenter of the orthic triangle DEF of ABC (that is the triangle formed bythe feet of the altitudes of ABC). If ∠BAC = 60◦, show that AJ ⊥ HJ .

4012. Proposed by Leonard Giugiuc.

Let n be an integer with n > 3. Consider real numbers ak, 1 6 k 6 n such that

a1 > a2 > . . . > an−1 > 1 > an > 0 andn∑k=1

ak = n.

Prove that(n− 2)(n+ 1)

26

∑16i<j6n

aiaj 6n(n− 1)

2.

4013. Proposed by Mehmet Sahin.

Let a, b, c be the sides of triangle ABC, D be the foot of the altitude from A andE be the midpoint of BC. Define θ = ∠DAE and suppose that ∠ACB = 2θ.Prove that the sides of the triangle satisfy

(a− b)2 = 2c2 − b2.

4014. Proposed by Mihaela Berinedanu.

Let n be a natural number and let x, y and z be positive real numbers such thatx+ y + z + nxyz = n+ 3. Prove that

(1 +y

x+ nyz)(1 +

z

y+ nzx)(1 +

x

z+ nxy) > (n+ 2)3

and determine when equality holds.


74/ PROBLEMS


Find all real numbers a such that

a cosx+ (1− a) cosx

3>

sinx

x

for every nonzero x of the interval (− 3π2 ,

3π2 ).


Let x, y, z be positive real numbers. Find the maximal value of the expression

x+ 2y

2x+ 3y + z+

y + 2z

2y + 3z + x+

z + 2x

2z + 3x+ y.


Let P be a point of the incircle γ of a triangle ABC. The perpendiculars toBC,CA and AB through P meet γ again at U, V and W , respectively. Prove thatone of the numbers PU ·BC,PV · CA,PW ·AB is the sum of the other two.


Let

In =

∫ 1

0

· · ·∫ 1

0

ln(x1x2 · · ·xn) ln(1− x1x2 · · ·xn)dx1dx2 · · · dxn,

where n > 1 is an integer. Prove that this integral converges and find its value.


A triangle with side lengths a, b, c has perimeter 3. Prove that

a3 + b3 + c3 + a4 + b4 + c4 > 2(a2b2 + b2c2 + c2a2).

4020. Proposed by Leonard Giugiuc and Daniel Sitaru.

Let ABC be a triangle and let the internal bisectors from A,B and C intersectthe sides BC,CA and AB in D,E and F , respectively. The incircle of ∆ABCtouches the sides BC,CA and AB in M,N , and P , respectively. Prove that[MNP ] 6 [DEF ], where [·] denotes the area of the specified triangle.

Crux Mathematicorum, Vol. 41(2), February 2015

PROBLEMS /119


To facilitate their consideration, solutions should be received by the editor by May 1,2016, although late solutions will also be considered until a solution is published.


An asterisk (?) after a number indicates that a problem was proposed without a solution.

4021. Proposed by Arkady Alt.

Let (an)n≥0 be a sequence of Fibonacci vectors defined recursively by a0 = a,a1 =

b and an+1 = an + an−1 for all integers n ≥ 1. Prove that, for all integers n ≥ 1,the sum of vectors a0 + a1 + · · ·+ a4n+1 equals kai for some i and constant k.


In a triangle ABC, let internal angle bisectors from angles A,B and C intersectthe sides BC,CA and AB in points D,E and F and let the incircle of ∆ABCtouch the sides in M,N , and P , respectively. Show that

PA

PB+MB

MC+NC

NA≥ FA

FB+DB

DC+EC

EA.

4023. Proposed by Ali Behrouz.

Find all functions f : R+ 7→ R+ such that for all x, y ∈ R with x > y, we have

f

Åx

x− y

ã+ f(xf(y)) = f(xf(x)).


Let a, b, c and d be real numbers such that a2 + b2 + c2 + d2 = 4. Prove that

abc+ abd+ acd+ bcd+ 4 ≥ a+ b+ c+ d

and determine when equality holds.

4025. Proposed by Dragoljub Milosevic.

Prove that for positive numbers a, b and c, we have

3

Åa

2b+ c

ã2

+3

Åb

2c+ a

ã2

+3

Åc

2a+ b

ã2

≥ 3√

3.


120/ PROBLEMS

4026. Proposed by Roy Barbara.

Prove or disprove the following property: if r is any non-zero rational number,then the real number x = (1 + r)1/3 + (1− r)1/3 is irrational.


Let a, b and c be positive real numbers such that a+ b+ c = 3. Prove that

ab

a+ ab+ b+

bc

b+ bc+ c+

ac

a+ ac+ c≤ 1.


In 3-dimensional Euclidean space, a line ` meets orthogonally two distinct parallelplanes P and P ′ at H and H ′. Let r and r′ be positive real numbers with r ≤ r′;let C be the circle in P with center H, radius r, and let C′ in P ′ be similarlydefined. For a fixed point M ′ on C′, find the maximum distance between the lines` and MM ′ as M moves about the circle C (where the distance between two linesis the minimum distance from a point of one line to a point of the other).

4029. Proposed by Paul Bracken.

Suppose a > 0. Find the solutions of the following equation in the interval (0,∞):

1

x+ 1+∞∑n=1

n!

(x+ 1)(x+ 2) · · · (x+ n+ 1)= x− a.

4030. Proposed by Paolo Perfetti.

a) Prove that 4cos t + 4sin t ≥ 5 for t ∈ [0, π4 ].

b) Prove that 6cos t + 6sin t ≥ 7 for t ∈ [0, π4 ].

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4021. Propose par Arkady Alt.

Soit (an)n≥0 une suite de vecteurs definie de facon recursive a la maniere de

Fibonacci : a0 = a,a1 = b et an+1 = an + an−1. Demontrer que la sommea0 + a1 + ·+ a4n+1 est egale a kai pour un i quelconque et une constante k.


Dans un triangle ABC, les bissectrices internes des angles A,B et C coupent lescotes BC,CA et AB aux points respectifs D,E et F . De plus, le cercle inscrit dans

Crux Mathematicorum, Vol. 41(3), March 2015

PROBLEMS /121

le triangle touche ces memes cotes aux points respectifs M,N et P . Demontrerque

PA

PB+MB

MC+NC

NA≥ FA

FB+DB

DC+EC

EA.

4023. Propose par Ali Behrouz.

Determiner toutes les fonctions f (f : R+ 7→ R+) pour lesquelles

f

Åx

x− y

ã+ f(xf(y)) = f(xf(x))

pour tous reels x et y (x > y).


Soit a, b, c et d des reels tels que a2 + b2 + c2 + d2 = 4. Demontrer que

abc+ abd+ acd+ bcd+ 4 ≥ a+ b+ c+ d

et determiner les conditions auxquelles il y a egalite.

4025. Propose par Dragoljub Milosevic.

Soit a, b et c des reels strictement positifs. Demontrer que

3

Åa

2b+ c

ã2

+3

Åb

2c+ a

ã2

+3

Åc

2a+ b

ã2

≥ 3√

3.

4026. Propose par Roy Barbara.

Demontrer ou infirmer l’enonce suivant: Si r est un nombre rationnel non nul,alors le nombre x defini par x = (1 + r)1/3 + (1− r)1/3 est irrationnel.


Soit a, b et c des reels strictement positifs tels que a+ b+ c = 3. Demontrer que

ab

a+ ab+ b+

bc

b+ bc+ c+

ac

a+ ac+ c≤ 1.


Dans l’espace euclidien a trois dimensions, on considere une droite ` orthogonale adeux plans paralleles distincts, P et P ′, qui coupe ces plans aux points respectifsH et H ′. Soit r et r′ des reels strictement positifs tels que r ≤ r′. Soit C le cercledans P de centre H et de rayon r. De meme, C′ est le cercle dans P ′ de centre


122/ PROBLEMS

H ′ et de rayon r′. Etant donne un point fixe M ′ sur C′, determiner la distancemaximale entre les droites ` et MM ′ lorsque M se meut autour du cercle C. (Ladistance entre deux droites est la distance minimale entre un point d’une droite etun point de l’autre droite.)

4029. Propose par Paul Bracken.

Soit un reel a (a > 0). Resoudre l’equation suivante dans l’intervalle (0,∞):

1

x+ 1+∞∑n=1

n!

(x+ 1)(x+ 2) · · · (x+ n+ 1)= x− a

4030. Propose par Paolo Perfetti.

a) Demontrer que 4cos t + 4sin t ≥ 5, pour tout t dans l’intervalle [0, π4 ].

b) Demontrer que 6cos t + 6sin t ≥ 7, pour tout t dans l’intervalle [0, π4 ].

Math Quotes

Numbers written on restaurant bills within the confines of restaurants do notfollow the same mathematical laws as numbers written on any other pieces ofpaper in any other parts of the Universe.

This single statement took the scientific world by storm. It completely revolu-tionized it. So many mathematical conferences got held in such good restaurantsthat many of the finest minds of a generation died of obesity and heart failureand the science of math was put back by years.

Douglas Adams, “Life, the Universe and Everything.” New York: HarmonyBooks, 1982.

Crux Mathematicorum, Vol. 41(3), March 2015

PROBLEMS /169


Pour faciliter l’examen des solutions, nous demandons aux lecteurs de les faire parvenirau redacteur au plus tard le 1 juillet 2016 ; toutefois, les solutions recues apres cettedate seront aussi examinees jusqu’au moment de la publication.

Un asterisque (?) signale un probleme propose sans solution.

La redaction souhaite remercier Andre Ladouceur, Ottawa, ON, d’avoir traduit lesproblemes.

4031. Propose par D. M. Batinetu-Giurgiu et Neculai Stanciu.

Demontrer que

2F 41 + F 4

2 + F 43

F 21 + F 2

3

+2F 4

2 + F 43 + F 4

4

F 22 + F 2

4

+ · · ·+ 2F 4n + F 4

1 + F 42

F 2n + F 2

2

> 2FnFn+1,

Fn etant le nieme nombre de Fibonacci (F0 = 0, F1 = 1 et Fn+2 = Fn + Fn+1 pourtout n ≥ 0).

4032. Propose par Dan Stefan Marinescu et Leonard Giugiuc.

Soit un triangle ABC ayant pour longueurs de cotes a, b et c. Soit r le rayon ducercle inscrit dans le triangle et ra, rb et rc les rayons des cercles exinscrits dutriangle. Demontrer que

√ab+

√bc+

√ca ≥ 2

»3r(ra + rb + rc).

4033. Propose par Salem Malikic.

Soit α1, . . . , αn, β1, . . . , βn des reels strictement positifs et x1, . . . , xn des reels telsque x1 + · · ·+ xn = 1 et αixi + βi ≥ 0 pour tout i (i = 1, 2, . . . , n). Determiner lavaleur maximale de l’expression√

α1x1 + β1 +√α2x2 + β2 + · · ·+

√αnxn + βn.


Evaluer∞∑n=0

(−1)n

16n

2n∑k=0

(−1)k

2n+ 1− k

Ç2k

k

åÇ4n− 2k

2n− k

å.


170/ PROBLEMS

4035. Propose par Daniel Sitaru et Leonard Giugiuc.

Determiner toutes les solutions X de l’equation matricielle suivante, X etant unematrice 2× 2 de nombres reels :

X3 − 5X2 + 6X =

Å15 ab 15

ã.


Soit a, b et c des reels positifs ou nuls. Demontrer que

k(ab+ bc+ ca)(a+ b+ c)− (a2c+ b2a+ c2b) ≤ (3k − 1)(a+ b+ c)3

9

pour tout reel k ≥ 1124 .


Soit P un point quelconque sur le cercle γ inscrit dans le triangle ABC. Lesperpendiculaires a BC, CA et AB, issues du point P , coupent γ de nouveauaux points respectifs U , V et W . Demontrer que l’aire du triangle UVW estindependante de la position du point P sur γ.

4038. Propose par George Apostopoulos.

Soit x, y et z des reels strictement positifs tels que x+ y+ z = xyz. Determiner lavaleur minimale de l’expression…

1

3x4 + 1 +

…1

3y4 + 1 +

…1

3z4 + 1.


Soit un triangle ABC dans lequel ∠CAB = 48◦ et ∠CBA = 12◦ et soit D unpoint sur AB tel que CD = 1 et AB =

√3. Determiner ∠DCB.

4040. Propose par Ali Behrouz.

Determiner toutes les fonctions f (f : N 7→ N) telles que

(f(a) + b)f(a+ f(b)) = (a+ f(b))2, ∀a, b ∈ N.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Crux Mathematicorum, Vol. 41(4), April 2015

PROBLEMS /171

4031. Proposed by D. M. Batinetu-Giurgiu and Neculai Stanciu.

Prove that

2F 41 + F 4

2 + F 43

F 21 + F 2

3

+2F 4

2 + F 43 + F 4

4

F 22 + F 2

4

+ · · ·+ 2F 4n + F 4

1 + F 42

F 2n + F 2

2

> 2FnFn+1,

where Fn represents the nth Fibonacci number (F0 = 0, F1 = 1 and Fn+2 =Fn + Fn+1 for all n ≥ 0).

4032. Proposed by Dan Stefan Marinescu and Leonard Giugiuc.

Prove that in any triangle ABC with sides a, b and c, inradius r and exradiira, rb, rc, we have:

√ab+

√bc+

√ca ≥ 2

»3r(ra + rb + rc).

4033. Proposed by Salem Malikic.

Let α1, . . . , αn, β1, . . . , βn be positive real numbers and x1, . . . , xn be real numberssuch that x1 + · · · + xn = 1 and αixi + βi ≥ 0 for all i = 1, . . . , n. Find themaximum value of√

α1x1 + β1 +√α2x2 + β2 + · · ·+

√αnxn + βn.


Evaluate∞∑n=0

(−1)n

16n

2n∑k=0

(−1)k

2n+ 1− k

Ç2k

k

åÇ4n− 2k

2n− k

å.

4035. Proposed by Daniel Sitaru and Leonard Giugiuc.

Let a and b be two real numbers such that ab = 225. Find all real solutions (inreal 2× 2 matrices) to the matrix equation

X3 − 5X2 + 6X =

Å15 ab 15

ã.


Let a, b and c be non-negative real numbers. Prove that for any real k ≥ 1124 we

have:

k(ab+ bc+ ca)(a+ b+ c)− (a2c+ b2a+ c2b) ≤ (3k − 1)(a+ b+ c)3

9.


172/ PROBLEMS


Let P be a point of the incircle γ of a triangle ABC. The perpendiculars toBC,CA and AB through P meet γ again at U, V and W , respectively. Prove thatthe area of UVW is independent of the chosen point P on γ.

4038. Proposed by George Apostopoulos.

Let x, y, z be positive real numbers such that x+ y+ z = xyz. Find the minimumvalue of the expression…

1

3x4 + 1 +

…1

3y4 + 1 +

…1

3z4 + 1.


In a triangle ABC, let ∠CAB = 48◦ and ∠CBA = 12◦. Suppose D is a point onAB such that CD = 1 and AB =

√3. Find ∠DCB.

4040. Proposed by Ali Behrouz.

Find all functions f : N 7→ N such that

(f(a) + b)f(a+ f(b)) = (a+ f(b))2 ∀a, b ∈ N.

Crux Mathematicorum, Vol. 41(4), April 2015

212/ PROBLEMS


To facilitate their consideration, solutions should be received by the editor by August 1,2016, although late solutions will also be considered until a solution is published.



Let a, b and c be the side lengths of a triangle ABC. Let AA′, BB′ and CC ′ bethe heights of the triangle and let ap = B′C ′, bp = C ′A′ and cp = A′B′ be thesides of the orthic triangle. Prove that:

a) a2 (bp + cp) + b2 (cp + ap) + c2 (ap + bp) = 3abc;

b) ap + bp + cp ≤ s, where s is the semiperimeter of ABC.

4042. Proposed by Leonard Giugiuc and Diana Trailescu.

Let a, b and c be real numbers in [0, π/2] such that a + b + c = π. Prove theinequality

2√

2 sina

2sin

b

2sin

c

2≥√

cos a cos b cos c.


Suppose that the lines m and n intersect at A and are not perpendicular. LetB be a point on n, with B 6= A. If F is a point of m, distinct from A, showthat there exists a unique conic CF with focus F and focal axis BF , intersectingn orthogonally at A. Given ε > 0, how many of the conics CF have eccentricity ε?

4044. Proposed by Dragoljub Milosevic.

Let x, y, z be positive real numbers such that x+ y + z = 1. Prove that

x+ 1

x3 + 1+

y + 1

y3 + 1+

z + 1

z3 + 1≤ 27

7.

4045. Proposed by Galav Kapoor.

Suppose that we have a natural number n such that n ≥ 10. Show that by changingat most one digit of n, we can compose a number of the form x2 +y2 +10z2, wherex, y, z are integers.

Crux Mathematicorum, Vol. 41(5), May 2015

PROBLEMS /213


Let a, b, c be nonnegative real numbers such that√a+√b+√c ≥ 1. Prove that

a2 + b2 + c2 + 7(ab+ bc+ ca) ≥»

8(a+ b)(b+ c)(c+ a).


Let ABC be a triangle with circumcircle O, orthocenter H and ∠BAC = 60◦.Suppose the circle with centre Q is tangent to BH, CH and the circumcircle ofABC. Show that OH ⊥ HQ.


Let n ≥ 2 be an integer and let ak ≥ 1 be real numbers, 1 ≤ k ≤ n. Prove theinequality

a1a2 · · · an −1

a1a2 · · · an≥Åa1 −

1

a1

ã+

Åa2 −

1

a2

ã+ · · ·+

Åan −

1

an

ãand study equality cases.


Evaluate ∫sinx− x cosx

(x+ sinx)(x+ 2 sinx)dx

for all x ∈ (0, π/2).

4050. Proposed by Mehtaab Sawhney.

Prove that2n∑k=0

Ç4n

k, k, 2n− k, 2n− k

å=

Ç4n

2n

å2

for all nonnegative integers n.


214/ PROBLEMS

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


Soit a, b et c les longueurs des cotes du triangle ABC et soit AA′, BB′ et CC ′

les hauteurs du triangle. De plus, soit ap = B′C ′, bp = C ′A′ et cp = A′B′ leslongueurs des cotes de son triangle orthique. Demontrer que:

a) a2 (bp + cp) + b2 (cp + ap) + c2 (ap + bp) = 3abc;

b) ap + bp + cp ≤ s, s etant le demi-perimetre du triangle ABC. (On a utilises au lieu de p pour eviter la confusion avec l’indice p.)

4042. Propose par Leonard Giugiuc et Diana Trailescu.

Soit a, b et c des reels dans l’intervalle [0, π/2] tels que a + b + c = π. Demontrerque

2√

2 sina

2sin

b

2sin

c

2≥√

cos a cos b cos c.


Soit m et n deux droites non perpendiculaires qui se coupent en A. Soit B unpoint sur n, B 6= A. Etant donne un point F sur m, distinct de A, demontrer qu’ilexiste exactement une conique CF , ayant pour foyer F et pour axe focal BF , quicoupe n perpendiculairement en A. Etant donne ε (ε > 0), combien des coniquesCF ont pour excentricite ε?

4044. Propose par Dragoljub Milosevic.

Soit x, y et z des reels strictement positifs tels que x+ y + z = 1. Demontrer que

x+ 1

x3 + 1+

y + 1

y3 + 1+

z + 1

z3 + 1≤ 27

7.

4045. Propose par Galav Kapoor.

Soit un entier n (n ≥ 10). Demontrer qu’en changeant au plus un des chiffres den, il est possible d’obtenir un nombre de la forme x2 + y2 + 10z2, x, y et z etantdes entiers.


Soit a, b et c des reels non negatifs tels que√a+√b+√c ≥ 1. Demontrer que

a2 + b2 + c2 + 7(ab+ bc+ ca) ≥»

8(a+ b)(b+ c)(c+ a).

Crux Mathematicorum, Vol. 41(5), May 2015

PROBLEMS /215


Soit un triangle ABC avec ∠BAC = 60◦, H son orthocentre et O le centre ducercle circonscrit au triangle. On considere le cercle de centre Q qui est tangent aBH, a CH et au cercle circonscrit au triangle ABC. Demontrer que OH ⊥ HQ.

4048. Propose par Leonard Giugiuc and Daniel Sitaru.

Soit n un entier (n ≥ 2) et soit ak des reels (ak ≥ 1, 1 ≤ k ≤ n). Demontrer que

a1a2 · · · an −1

a1a2 · · · an≥Åa1 −

1

a1

ã+

Åa2 −

1

a2

ã+ · · ·+

Åan −

1

an

ãet considerer les cas ou il y a egalite.


Evaluer ∫sinx− x cosx

(x+ sinx)(x+ 2 sinx)dx

pour tout reel x dans l’intervalle (0, π/2).

4050. Propose par Mehtaab Sawhney.

Demontrer que2n∑k=0

Ç4n

k, k, 2n− k, 2n− k

å=

Ç4n

2n

å2

pour tout entier non negatif n.


260/ PROBLEMS


Pour faciliter l’examen des solutions, nous demandons aux lecteurs de les faire parvenirau redacteur au plus tard le 1 aout 2016 ; toutefois, les solutions recues apres cette dateseront aussi examinees jusqu’au moment de la publication.



Soit a, b et c les longueurs des cotes d’un triangle. Demontrer que

(a+ b+ c)(a2b2 + b2c2 + c2a2

)≥ 3abc

(a2 + b2 + c2

).


Soit k un reel fixe, k < 0, et soit a, b, c et d des reels tels que a+ b+ c+ d = 0 etab+ bc+ cd+ da+ ac+ bd = k. Demontrer que abcd ≥ −k2/12 et determiner lesconditions pour qu’il y ait egalite.

4053. Propose par Sefket Arslanagic.

Demontrer que

cosα cosβ

cos γ+

cosβ cos γ

cosα+

cosα cos γ

cosβ≥ 3

2,

α, β et γ etant les angles d’un triangle acutangle.


Determiner un nombre premier p tel que la somme des chiffres du nombre(p2 − 4)2 − 117(p2 − 4) + 990 soit minimale.


Sachant que x, y > 0, x 6= y et 0 < a < b < 12 < c < d < 1, demontrer que

x[(yx

)a+(yx

)d−(yx

)b−(yx

)c]> y[(xy

)b+(xy

)c−(xy

)a−(xy

)d].

Crux Mathematicorum, Vol. 41(6), June 2015

PROBLEMS /261

4056. Propose par Idrissi Abdelkrim-Amine.

Soit n un entier, n ≥ 2. On considere des reels ak, 1 ≤ k ≤ n, tels quea1 ≥ 1 ≥ a2 ≥ . . . ≥ an > 0 et a1a2 . . . an = 1. Demontrer que

n∑k=1

ak ≥n∑k=1

1

ak.

4057. Propose par Eeshan Banerjee.

Soit ABC un triangle non obtusangle ayant pour aire ∆. Soit R le rayon de soncercle circonscrit et r le rayon de son cercle inscrit. Demontrer que

∆ <

Ç1r + 3R+ 3

7

å7

.

4058. Propose par Francisco Javier Garcıa Capitan.

Soit un triangle ABC. Pour tout X sur la droite BC, soit Xb et Xc les centresrespectifs des cercles circonscrits aux triangles ABX et AXC et soit P le pointd’intersection de BXc et de CXb. Demontrer que le lieu geometrique du pointP , lorsque X se deplace sur la droite BC, est la conique qui passe par le centrede gravite, l’orthocentre et les sommets B et C du triangle et dont les tangentesa ces sommets sont les symmedianes correspondantes. (A chaque sommet d’untriangle, la symmediane est l’image de la mediane par une reflexion par rapport ala bissectrice de l’angle.)

4059. Propose par Marcel Chirita.

Soit a, b ∈ (0,∞), a 6= b. Determiner les fonctions f : R 7→ R \ {0} telles que

f(ax) = exf(bx), ∀x ∈ R.


Soit

f(x, y) =xy(x+ y)

(1− x− y)3.

Determiner l’image de f lorsque son domaine est le cercle S defini par l’equationx2 + y2 = 1− 2x− 2y.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


Let a, b and c be the side lengths of a triangle. Prove that

(a+ b+ c)(a2b2 + b2c2 + c2a2

)≥ 3abc

(a2 + b2 + c2

).


262/ PROBLEMS


Let k < 0 be a fixed real number. Let a, b, c and d be real numbers such thata+ b+ c+ d = 0 and ab+ bc+ cd+ da+ ac+ bd = k. Prove that abcd ≥ −k2/12and determine when equality holds.

4053. Proposed by Sefket Arslanagic.

Prove thatcosα cosβ

cos γ+

cosβ cos γ

cosα+

cosα cos γ

cosβ≥ 3

2,

where α, β and γ are angles of an acute triangle.


Find a prime p such that the number (p2−4)2−117(p2−4) + 990 has a minimumdigit sum.


Prove that if x, y > 0, x 6= y and 0 < a < b < 12 < c < d < 1 then :

x[(yx

)a+(yx

)d−(yx

)b−(yx

)c]> y[(xy

)b+(xy

)c−(xy

)a−(xy

)d].

4056. Proposed by Idrissi Abdelkrim-Amine.

Let n be an integer, n ≥ 2. Consider real numbers ak, 1 ≤ k ≤ n such thata1 ≥ 1 ≥ a2 ≥ . . . ≥ an > 0 and a1a2 . . . an = 1. Prove that

n∑k=1

ak ≥n∑k=1

1

ak.

4057. Proposed by Eeshan Banerjee.

Let ABC be a non-obtuse triangle with circumradius R, inradius r and area ∆.Prove that

∆ <

Ç1r + 3R+ 3

7

å7

.

4058. Proposed by Francisco Javier Garcıa Capitan.

Let ABC be a triangle. For any X on line BC, let Xb and Xc be the circumcentersof the triangles ABX and AXC, and let P be the intersection point of BXc

and CXb. Prove that the locus of P as X varies along the line BC is the conicthrough the centroid, orthocenter, and vertices B and C, and whose tangents at

Crux Mathematicorum, Vol. 41(6), June 2015

PROBLEMS /263

these vertices are the corresponding symmedians. (Recall that a symmedian is thereflection of a median in the bisector of the corresponding angle.)

4059. Proposed by Marcel Chirita.

Let a, b ∈ (0,∞), a 6= b. Determine the functions f : R 7→ R \ {0} such that

f(ax) = exf(bx), ∀x ∈ R.


Let

f(x, y) =xy(x+ y)

(1− x− y)3.

Find the range of f(x, y) when its domain is restricted to the circle S that satisfiesthe equation x2 + y2 = 1− 2x− 2y.

Math Quotes

The discovery in 1846 of the planet Neptune was a dramatic and spectacularachievement of mathematical astronomy. The very existence of this new mem-ber of the solar system, and its exact location, were demonstrated with penciland paper ; there was left to observers only the routine task of pointing theirtelescopes at the spot the mathematicians had marked.

James R. Newman in J. R. Newman (ed.) “The World of Mathematics”,New York : Simon and Schuster, 1956.


302/ PROBLEMS


To facilitate their consideration, solutions should be received by the editor by September1, 2016, although late solutions will also be considered until a solution is published.



Let ABC be a non-obtuse triangle none of whose angles are less than π4 . Find the

minimum value of sinA sinB sinC.


Let Ln denote the nth Lucas number defined by L0 = 2, L1 = 1 and Ln+2 =Ln+1 + Ln for all n ≥ 0. Prove that

L4n + L4

n+1

LnLn+1+L4n+1 + L4

n+3

Ln+1Ln+3+L4n+3 + L4

n

Ln+3Ln≥ 2

3L2n+4.

4063. Proposed by Marcel Chirita.

Let a, b, c be real numbers greater than or equal to 3. Show that

min

Åa2b2 + 3b2

b2 + 27,b2c2 + 3c2

c2 + 27,a2c2 + 3a2

a2 + 27

ã≤ abc

9.


In the plane of a triangle ABC, let Γ be a circle whose centre O is not on thesidelines AB,BC,CA. Let A′, B′, C ′ be the poles of the lines BC,CA,AB withrespect to Γ, respectively. Prove that

OA′ ·B′C ′

OA ·BC=OB′ · C ′A′

OB · CA=OC ′ ·A′B′

OC ·AB.

4065. Proposed by Martin Lukarevski.

Let ABC be a triangle with a, b, c as lengths of its sides and let R, r, s denote thecircumradius, inradius and semiperimeter, respectively. Prove that

1

(s− a)2+

1

(s− b)2+

1

(s− c)2≥ 2

r

Å1

r− 1

R

ã.

Crux Mathematicorum, Vol. 41(7), September 2015

PROBLEMS /303


Prove that for a, b, c > 0 and ab+ ac+ bc = 2016,Åa+

1

b

ã2

+

Åb+

1

c

ã2

+

Åc+

1

a

ã2

≥ 20192

2016.


Consider a graph G such that between any three vertices in G there are either 0or 2 edges. Classify all such graphs G.


Let a, b, c be positive real numbers. Prove that

a+ 2b

2a+ 3b+ c+

b+ 2c

a+ 2b+ 3c+

c+ 2a

3a+ b+ 2c≤ 3

2.


Let (un)n≥0 be an arithmetic progression with a positive common difference d andwith u1 > 0. Let (xn)n≥0 be a sequence with x0 = 0, x1 = x2 = 1 and

n∑k=1

ukxk = unxn+2 + d(x4 − xn+3)− x2u1, ∀n ≥ 0.

Prove that (xn)n≥0 is the Fibonacci sequence.


Compute

limn→∞

ï1

lnn

Åarctan 1

n+

arctan 2

n− 1+ · · ·+ arctan (n− 1)

2+ arctann

ãò.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


Soit ABC un triangle non obtusangle dont la mesure de chaque angle est superieureou egale a π

4 . Determiner la valeur minimale de sinA sinB sinC.


304/ PROBLEMS


Soit Ln le nieme nombre de Lucas defini par L0 = 2, L1 = 1 et Ln+2 = Ln+1 + Lnpour tout n ≥ 0. Demontrer que

L4n + L4

n+1

LnLn+1+L4n+1 + L4

n+3

Ln+1Ln+3+L4n+3 + L4

n

Ln+3Ln≥ 2

3L2n+4.

4063. Propose par Marcel Chirita.

Soit a, b et c trois reels, chacun superieur ou egal a 3. Demontrer que

min

Åa2b2 + 3b2

b2 + 27,b2c2 + 3c2

c2 + 27,a2c2 + 3a2

a2 + 27

ã≤ abc

9.


Dans le plan d’un triangle ABC, soit Γ un cercle dont le centre O n’est pas situesur les droites AB, BC ou CA. Soit A′, B′ et C ′ les poles respectifs des droitesBC, CA et AB par rapport a Γ. Demontrer que

OA′ ·B′C ′

OA ·BC=OB′ · C ′A′

OB · CA=OC ′ ·A′B′

OC ·AB.

4065. Propose par Martin Lukarevski.

Soit ABC un triangle et a, b et c les longueurs de ses cotes. Soit R le rayon ducercle circonscrit au triangle, r le rayon du cercle inscrit dans le triangle et p ledemi-perimetre du triangle. Demontrer que

1

(p− a)2+

1

(p− b)2+

1

(p− c)2≥ 2

r

Å1

r− 1

R

ã.


Soit a, b et c des reels strictement positifs tels que ab+ ac+ bc = 2016. Demontrerque Å

a+1

b

ã2

+

Åb+

1

c

ã2

+

Åc+

1

a

ã2

≥ 20192

2016.


On considere un graphe G de maniere qu’entre n’importe quels trois sommets deG il existe 0 arc ou 2 arcs. Classifier tous les graphes G de cette sorte.

Crux Mathematicorum, Vol. 41(7), September 2015

PROBLEMS /305


Soit a, b et c des reels strictement positifs. Demontrer que

a+ 2b

2a+ 3b+ c+

b+ 2c

a+ 2b+ 3c+

c+ 2a

3a+ b+ 2c≤ 3

2.


Soit (un)n≥0 une suite arithmetique dont la raison d est strictement positive etu1 > 0. Soit (xn)n≥0 une suite telle que x0 = 0, x1 = x2 = 1 et

n∑k=1

ukxk = unxn+2 + d(x4 − xn+3)− x2u1, ∀n ≥ 0.

Demontrer que (xn)n≥0 est la suite de Fibonacci.


Calculer

limn→∞

ï1

lnn

Åarctan 1

n+

arctan 2

n− 1+ · · ·+ arctan (n− 1)

2+ arctann

ãò.

Math Quotes

Games are among the most interesting creations of the human mind, and theanalysis of their structure is full of adventure and surprises. Unfortunately there isnever a lack of mathematicians for the job of transforming delectable ingredientsinto a dish that tastes like a damp blanket.

James R. Newman in J. R. Newman (ed.) “The World of Mathematics”,New York : Simon and Schuster, 1956.


352/ PROBLEMS


Pour faciliter l’examen des solutions, nous demandons aux lecteurs de les faire parvenirau redacteur au plus tard le 1 octobre 2016 ; toutefois, les solutions recues apres cettedate seront aussi examinees jusqu’au moment de la publication.



Prove that if a, b, c ∈ (0, 1), then aa+1bb+1cc+1 < e2(a+b+c)−6.


Let a, b be distinct positive real numbers and A = a+b2 , G =

√ab, L = a−b

ln a−ln b .Prove that

L

G>

4A+ 5G

A+ 8G.

4073. Proposed by Daniel Sitaru.

Solve the following system :®sin 2x+ cos 3y = −1,√

sin2 x+ sin2 y +√

cos2 x+ cos2 y = 1 + sin(x+ y).


Consider the triangle ABC with the following measures :

Show that a+ b = c ; that is, |AE|+ |AC| = |AB|.

Crux Mathematicorum, Vol. 41(8), October 2015

PROBLEMS /353


Prove that in any triangle ABC with BC = a, CA = b, AB = c the followinginequality holds :

3√abc ·

√a2 + b2 + c2 ≥ 4[ABC],

where [ABC] is the area of triangle ABC.


Prove that(x2 + y2 + z2)3 ≥ (x3 + y3 + z3 + 3(

√3− 1)xyz)2

for all nonnegative reals x, y, and z.


Let ABC be a triangle. Prove that

sinA

2· sinB · sinC + sinA · sin B

2· sinC + sinA · sinB · sin C

2≤ 9

8.


Given θ such that π3 ≤ θ ≤ 5π

3 , let M0 be a point of a circle with centre O andradius R and Mk its image under the counterclockwise rotation with centre O andangle kθ. If M is the point diametrically opposite to M0 and n is a positive integer,show that

n∑k=0

MMk ≥ (2n+ 1) · R2.


Let x, y, z > 0 and x+ y + z = 2016. Prove that :

x

…yz

y + 2015z+ y

…xz

z + 2015x+ z

…xy

x+ 2015z≤ 2016√

3.

4080. Proposed by Alina Sıntamarian and Ovidiu Furdui.

Let a, b ∈ R, with ab > 0. Calculate∫ ∞0

x2e−(ax− bx )

2

dx.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


354/ PROBLEMS


Soit a, b, c ∈ (0, 1). Demontrer que

aa+1bb+1cc+1 < e2(a+b+c)−6.


Soit a et b des reels strictement positifs distincts et soit A = a+b2 , G =

√ab et

L = a−bln a−ln b . Demontrer que

L

G>

4A+ 5G

A+ 8G.

4073. Propose par Daniel Sitaru.

Resoudre ce systeme d’equations :®sin 2x+ cos 3y = −1,√

sin2 x+ sin2 y +√

cos2 x+ cos2 y = 1 + sin(x+ y).


On considere le triangle ABC dans la figure suivante :

Demontrer que a+ b = c.


Soit un triangle ABC avec BC = a, CA = b et AB = c. Demontrer que

3√abc ·

√a2 + b2 + c2 ≥ 4[ABC],

[ABC] etant l’aire du triangle ABC.


Demontrer que pour tous reels non negatifs x, y et z,

(x2 + y2 + z2)3 ≥ (x3 + y3 + z3 + 3(√

3− 1)xyz)2.

Crux Mathematicorum, Vol. 41(8), October 2015

PROBLEMS /355


Etant donne un triangle ABC, demontrer que

sinA

2· sinB · sinC + sinA · sin B

2· sinC + sinA · sinB · sin C

2≤ 9

8.


Soit θ tel que π3 ≤ θ ≤

5π3 , soit M0 un point sur un cercle de centre O et de rayon

R et soit Mk son image par une rotation de centre O et d’angle kθ dans le senscontraire des aiguilles d’une montre . Sachant que M est le point diametralementoppose a M0 et que n est un entier strictement positif, demontrer que

n∑k=0

MMk ≥ (2n+ 1) · R2.


Soit x, y et z des reels strictement positifs tels que x + y + z = 2016. Demontrerque

x

…yz

y + 2015z+ y

…xz

z + 2015x+ z

…xy

x+ 2015z≤ 2016√

3.

4080. Propose par Alina Sıntamarian et Ovidiu Furdui.

Soit a et b des reels tels que ab > 0. Determiner la valeur de∫ ∞0

x2e−(ax− bx )

2

dx.


PROBLEMS /397


To facilitate their consideration, solutions should be received by the editor by November1, 2016, although late solutions will also be considered until a solution is published.


An asterisk (?) after a number indicates that a problem was proposed without a solution.


Determine all A,B ∈M2(R) such that:A2 +B2 =

Ç22 44

14 28

å,

AB +BA =

Ç10 20

2 4

å.


Let ABC be a right-angle triangle with ∠A = 90◦ and BC = a, AC = b and AB =c. Consider the Fibonacci sequence Fn with F0 = F1 = 1 and Fn+2 = Fn+1 + Fnfor all non-negative integers n. Prove that

F 2m

(bFn + cFp)2+

F 2n

(bFp + cFm)2+

F 2p

(bFm + cFn)2≥ 3

2a2

or all non-negative integers m, n, p.


Calculate

limn→∞

1

n√n

∫ n

0

x

1 + n cos2 xdx.


In the plane, let Γ be a circle and A,B be two points not on Γ. Determine whenMAMB is not independent of M on Γ and, in these cases, construct with ruler andcompass I and S on Γ such that

IA

IB= inf

ßMA

MB: M ∈ Γ

™and

SA

SB= sup

ßMA

MB: M ∈ Γ

™.


398/ PROBLEMS

4085. Proposed by Jose Luis Dıaz-Barrero. Correction.

Let ABC be an acute triangle. Prove that

4

»sin(cosA) · cosB + 4

»sin(cosB) · cosC + 4

»sin(cosC) · cosA <

3√

2

2.


Let be f : [0, 1]→ R; f twice differentiable on [0, 1] and f ′′(x) < 0 for all x ∈ [0, 1].Prove that

25

∫ 1

15

f(x)dx ≥ 16

∫ 1

0

f(x)dx+ 4f(1).

4087. Proposed by Lorian Saceanu.

If S is the area of triangle ABC, prove that

ma(b+ c) + 2m2a ≥ 4S sinA,

where b and c are the lengths of sides that meet in vertex A, and ma is the lengthof the median from that vertex; furthermore, equality holds if and only if b = cand ∠A = 120◦.

4088. Proposed by Ardak Mirzakhmedov.

Let a, b and c be positive real numbers such that a2b + b2c + c2a + a2b2c2 = 4.Prove that

a2 + b2 + c2 + abc(a+ b+ c) ≥ 2(ab+ bc+ ca).


Let a, b, c and d be real numbers with 0 < a < b < c < d. Prove that

b

a+c

b+d

c> 3 + ln

d

a.

4090. Proposed by Nermin Hodzic and Salem Malikic.

Let a, b and c be non-negative real numbers such that a2 + b2 + c2 = 3. Prove that

a

3b2 + 6c− bc+

b

3c2 + 6a− ca+

c

3a2 + 6b− ab≥ 3

8.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Crux Mathematicorum, Vol. 41(9), November 2015

PROBLEMS /399


Determiner toutes les matrices A,B ∈M2(R) telles que:A2 +B2 =

Ç22 44

14 28

å,

AB +BA =

Ç10 20

2 4

å.


Soit ABC un triangle rectangle tel que ∠A = 90◦, BC = a, AC = b et AB = c.Soit Fn la suite de Fibonacci definie par F0 = F1 = 1 et Fn+2 = Fn+1 + Fn pourtout entier non negatif n. Demontrer que

F 2m

(bFn + cFp)2+

F 2n

(bFp + cFm)2+

F 2p

(bFm + cFn)2≥ 3

2a2

pour tout entier non negatif m, n et p.


Evaluer

limn→∞

1

n√n

∫ n

0

x

1 + n cos2 xdx.


Dans le plan, soit un cercle Γ et deux points, A et B, qui ne sont pas sur Γ.Determiner les conditions qui font que MA

MB n’est pas independant d’un point Msur Γ. De plus, construire avec compas et regle deux points I et S sur Γ tels que

IA

IB= inf

ßMA

MB: M ∈ Γ

™et

SA

SB= sup

ßMA

MB: M ∈ Γ

™.

4085. Propose par Jose Luis Dıaz-Barrero. Correction.

Soit ABC un triangle acutangle. Demontrer que

4

»sin(cosA) · cosB + 4

»sin(cosB) · cosC + 4

»sin(cosC) · cosA <

3√

2

2.


Soit une fonction f : [0, 1] → R qui est deux fois derivable sur [0, 1] et telle quef ′′(x) < 0 pour tout x ∈ [0, 1]. Demontrer que

25

∫ 1

15

f(x)dx ≥ 16

∫ 1

0

f(x)dx+ 4f(1).


400/ PROBLEMS

4087. Propose par Lorian Saceanu.

Soit S l’aire d’un triangle ABC, b = AC, c = AB et ma la longueur de la medianeissue de A. Demontrer que

ma(b+ c) + 2m2a ≥ 4S sinA

et demontrer qu’il y a egalite si et seulement si b = c et ∠A = 120◦.

4088. Propose par Ardak Mirzakhmedov.

Soit a, b et c des reels strictement positifs tels que a2b + b2c + c2a + a2b2c2 = 4.Demontrer que

a2 + b2 + c2 + abc(a+ b+ c) ≥ 2(ab+ bc+ ca).


Soit a, b, c et d des reels tels que 0 < a < b < c < d. Demontrer que

b

a+c

b+d

c> 3 + ln

d

a.

4090. Propose par Nermin Hodzic et Salem Malikic.

Soit a, b et c des reels non negatifs tels que a2 + b2 + c2 = 3. Demontrer que

a

3b2 + 6c− bc+

b

3c2 + 6a− ca+

c

3a2 + 6b− ab≥ 3

8.

Crux Mathematicorum, Vol. 41(9), November 2015

PROBLEMS /441


Pour faciliter l’examen des solutions, nous demandons aux lecteurs de les faire parvenirau redacteur au plus tard le 1er decembre 2016 ; toutefois, les solutions recues aprescette date seront aussi examinees jusqu’au moment de la publication.



Determiner le plus grand nombre strictement positif k de maniere que

a+ b+ c+ 3k − 3 ≥ kÇ

3

…b

a+ 3

…c

b+ 3

…a

c

åpour tous nombres strictement positifs a, b et c tels que abc = 1.


Demontrer queña2 + 16a+ 80

16 (a+ 4)+

2√2 (b2 + 16)

ô ñb2 + 16b+ 80

16 (b+ 4)+

2√2 (a2 + 16)

ô≥ 9

4

pour tous reels a et b strictement positifs. Quelles sont les conditions pour qu’il yait egalite ?

4093. Propose par Dragolijub Milosevic.

Soit ABC un triangle quelconque. Soit r le rayon du cercle inscrit dans le triangleet R le rayon du cercle circonscrit au triangle. Soit ma la longueur de la medianedu sommet A au cote BC et wa la longueur de la bissectrice de l’angle A jusqu’aucote BC. Les longueurs mb,mc, wb et wc sont definies de la meme facon. Demontrerque

a2

mawa+

b2

mbwb+

c2

mcwc≤ 4

ÅR

r− 1

ã.


Soit x1, x2, . . . , xn des reels tels que 0 ≤ x1 ≤ x2 ≤ · · · ≤ xn. Demontrer que

n− 1 + cosh

(n∑k=1

(−1)k−1xk

)≤

n∑k=1

coshxk ≤ n− 1 + cosh

(n∑k=1

xk

).


442/ PROBLEMS


Soit a, b et c des reels positifs tels que 1a + 1

b + 1c = 3. Demontrer que

ab(a+ b) + bc(b+ c) + ac(a+ c) ≥ 2

3(a2 + b2 + c2) + 4abc.

4096. Propose par Abdilkadir Altintas.

Soit ABC un triangle heptagonal, BC = a, AC = b et AB = c. Soit CN labissectrice de l’angle BCA et BM la mediane issue du sommet B, N et M etantdes points sur les cotes respectifs AB et AC. Soit K le point de Lemoine (pointd’intersection des symedianes) du triangle ABC. Demontrer que les points N,Ket M sont alignes.


Soit ai des reels, 1 ≤ i ≤ 6, tels que

6∑i=1

ai =15

2et

6∑i=1

a2i =45

4.

Demontrer que∏6i=1 ai ≤

5

2.

4098. Propose par Ardak Mirzakhmedov.

Soit α, β et γ des angles aigus tels que α+ β = γ. Demontrer que

cosα+ cosβ + cos γ − 1 ≥ 2√

cosα · cosβ · cos γ.

4099. Propose par Lorian Saceanu.

Soit ABC un triangle acutangle. Les bissectrices des angles A, B et C coupentles cotes du triangle ABC aux points respectifs A′, B′ et C ′ et elles coupent le

Crux Mathematicorum, Vol. 41(10), December 2015

PROBLEMS /443

cercle circonscrit au triangle ABC aux points respectifs L, M et N . Soit I le pointd’intersection de ces bissectrices. Demontrer que :

a)AI

IL=IA′

A′L,

b)

…AI

IL+

…BI

IM+

…CI

IN≥ 3.


Soit ABC un triangle quelconque avec ∠A < 90◦. Soit S l’aire du triangle, BC = a,AC = b et AB = c. Demontrer que

c cosB

ac+ 2S+

b cosC

ab+ 2S<

a

2S.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


Find the greatest positive number k such that

a+ b+ c+ 3k − 3 ≥ kÇ

3

…b

a+ 3

…c

b+ 3

…a

c

åfor any positive numbers a, b and c with abc = 1.


Show thatña2 + 16a+ 80

16 (a+ 4)+

2√2 (b2 + 16)

ô ñb2 + 16b+ 80

16 (b+ 4)+

2√2 (a2 + 16)

ô≥ 9

4

for all a, b > 0. When does equality hold ?

4093. Proposed by Dragolijub Milosevic.

Let ABC be an arbitrary triangle. Let r and R be the inradius and the circum-radius of ABC, respectively. Let ma be the length of the median from vertex Ato side BC and let wa be the length of the internal bisector of ∠A to side BC.Define mb,mc, wb and wc similarly. Prove that

a2

mawa+

b2

mbwb+

c2

mcwc≤ 4

ÅR

r− 1

ã.


444/ PROBLEMS


Let x1, x2, . . . , xn be real numbers such that 0 ≤ x1 ≤ x2 ≤ · · · ≤ xn. Prove that

n− 1 + cosh

(n∑k=1

(−1)k−1xk

)≤

n∑k=1

coshxk ≤ n− 1 + cosh

(n∑k=1

xk

).


Let a, b and c be positive real numbers with 1a + 1

b + 1c = 3. Prove that

ab(a+ b) + bc(b+ c) + ac(a+ c) ≥ 2

3(a2 + b2 + c2) + 4abc.

4096. Proposed by Abdilkadir Altintas.

Let ABC be a heptagonal triangle with BC = a, AC = b and AB = c. SupposeCN is the internal angle bisector of ∠BCA, BM is the median of triangle ABCand K is the symmedian point of ABC. Show that N,K and M are collinear.


Let ai, 1 ≤ i ≤ 6 be real numbers such that

6∑i=1

ai =15

2and

6∑i=1

a2i =45

4.

Prove that∏6i=1 ai ≤

5

2.

4098. Proposed by Ardak Mirzakhmedov.

Let α, β and γ be acute angles such that α+ β = γ. Show that

cosα+ cosβ + cos γ − 1 ≥ 2√

cosα · cosβ · cos γ.

Crux Mathematicorum, Vol. 41(10), December 2015

PROBLEMS /445

4099. Proposed by Lorian Saceanu.

Let ABC be an acute angle triangle. Suppose the internal bisectors of angles A,Band C intersect the sides of ABC in points A′, B′ and C ′ and they intersect thecircumcircle of ABC in points L,M and N respectively. Let I be the point ofintersection of all internal bisectors. Show that :

a)AI

IL=IA′

A′L,

b)

…AI

IL+

…BI

IM+

…CI

IN≥ 3.


Let ABC be an arbitrary triangle with area S, ∠A < 90◦ and sides BC = a,AC = b and AB = c. Show that

c cosB

ac+ 2S+

b cosC

ab+ 2S<

a

2S.


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PROBLEMS - ssmrmh.ro€¦ · PROBLEMS /27 PROBLEMS Readers are invited to submit solutions, comments and generalizations to any problem in this section. Moreover, readers are encouraged