GUIA No. 11: ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES

MATEMÁTICAS BÁSICAS

COMPETENCIA:Utilizar adecuadamente las expresiones algebraicas, sus propiedades básicas y operaciones para resolver situaciones problema en distintos contextos.

Ecuaciones y Sistemas de Ecuaciones

Mejora de guía de Juan Guillermo Arango

Introducción:

Generalmente: a, b, c, d, … son constantes números x, y, z, w, … son incógnitas variables.

En nuestro curso de Matemáticas Básicas, para resolver un sistema de ecuaciones, debemos tener el mismo número de ecuaciones que el mismo número de incógnitas.

Tipos de ecuaciones:

Una ecuación lineal con una incógnita

Función lineal

Una ecuación cuadrática con una incógnita

Función cuadrática

Dos ecuaciones lineales con dos incógnitas Son dos rectas que se cortan en el plano cartesiano.

Tres ecuaciones lineales con tres incógnitas Son tres planos que se cortan en el espacio.

2

X

cbxax 20Y

(x1,0) (x2,0)3

)2(

)1(

222

11

cybxa

cybxa

X

Y

),( III yxp

1l

2l

4

)3(

)2(

)1(

3333

2222

1111

dzcybxa

dzcybxa

dzcybxa

X

Y

),( IIII zyxp

Z

1

0 = ax + b

x

Y

(-b/a,0)

4.1 ECUACIONES LINEALES CON UNA INCOGNITA

Ejemplo 1: Resolver para x. (Hallar los valores de x que satisfacen la ecuación original):

a)

Solución:

c) (se saca un denominador común para ambas

Solución: partes de la ecuación)

e)

Solución:

f) Solución:

g)

h)

no satisface sol:

i) Resolver para . Solución:

j) Resolver para . Solución: k) Resolver para . Solución:

Ejemplo 2: Resolver para x. (Hallar los valores de x que satisfacen la ecuación original):

a. d.

b. e.

c. f.

Soluciónes:

a.

___________________________________________________________________

b.

______________________________________________________________________

c.

_________________________________________________________

d.

_____________________________________________________________

e.

_______________________________________________________________________

f.

4.2 SISTEMA DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS

Una ecuación con dos incógnitas y de grado 1; o sea de la forma

ax + by + c = 0; donde “x” y “y” son las variables o incógnitas; y a, b, c

son constantes, es una ecuación lineal, o sea una línea recta en el plano cartesiano.

Cuando resolvemos un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, lo que

estamos haciendo es hallar el punto donde se cortan las dos rectas.

4.2.1 Método gráfico: Hacemos una tabla de valores para cada ecuación, y graficamos

ambas en el mismo plano cartesiano, y a “ojo” miramos donde se cortan dichas rectas.

Ejemplo 3: Resolver gráficamente:

(1) Le damos a la “x” el valor de “cero” y

X06Y60X012/5=2 +2/5Y-30

Hallamos el valor de “y”; luego le

(2) damos a la “y” el valor de “cero” y

Hallamos el valor de “x”.

No hay solución (I = ). Las rectas son paralelas.

x

y

(0,6)

(6,0)

(0,-3)

I(4,2)5x-4y=12

x+y=6

xy

(0, -6-2/5)

(3+2/3,0)(0,-2-1/2)

I(-3,-4)

3x-5y=11

4x+5y= -32

X0 -8Y-32/5= -6-2/5 0X011/3=3+2/3Y-11/5= -2-1/5 0

X06Y-30X05/2=2+1/2Y-5/4= -1-1/4 0

x

y

(0, -3)

(2+1/2,0)

(0,-1-1/4)

2x-4y=5

x-2y=6

X05Y- 5/2= -2-1/20X05Y-5/2= -2-1/20Hay infinitas soluciones. Las dos rectas están superpuestas.

x

y

(0, -2-1/2)

(5,0)x-2y=5

2x-4y=10

4.2.2 Método de igualación: Se despeja en las dos ecuaciones la misma incógnita, y

luego se igualan, quedando una ecuación con una sola incógnita. Se despeja la

incógnita que tenga los oeficientes más pequeños.

Ejemplo 4: Resolver por igualación:

4.2.3 Método de sustitución: Se despeja una incógnita en cualquier ecuación (la que se

vea más fácil de despejar) y se sustituye en la otra ecuación.

Ejemplo 5: Resolver por sustitución:

4.2.4 Método de reducción: Se multiplica toda una ecuación por un valor,

y la otra ecuación por otro valor, de tal forma que al sumar las dos

ecuaciones se elimina una variable; entonces se puede despejar la otra

variable.

Ejemplo 6: Resolver por reducción:

4.2.5 Método de determinantes:

Ejemplo 7: Resolver por determinantes:

Determinante general

+ -

Resolver para “x” y “y” por cualquier método:

Ejemplo 8:

Ejemplo 9:

Ejemplo 10:

Ejemplo 11:

Ejemplo 12:

Ejemplo 13:

Ejemplo 14:

Ejemplo 15:

Ejemplo 16:

Ejemplo 17:

Ejemplo 18:

Ejemplo 19:

Ejemplo 20:

Ejemplo 21:

Ejemplo 22:

Ejemplo 23:

Ejemplo 24

Ejemplo 25:

4.4 PROBLEMAS QUE SE RESUELVEN POR MEDIO DE ECUACIONES SIMULTANEAS.

Ejemplo 31:Si un rectángulo tiene una longitud 3 cm menor que 4 veces su anchura, y su perímetro es 19 cm, ¿cuáles son sus dimensiones?

Solución: Se desea determinar el numero de centímetros en cada una de las dimensiones del rectángulo. Procedemos a definir ciertos números:

Numero de centímetros de anchura de rectángulo Numero de centímetros de la longitud del rectángulo.

Véase la figura. El perímetro del rectángulo es la medida total de su contorno. Por consiguiente, el numero de centímetros del perímetro puede representar como

o sea 19; tenemos así la ecuación

Por tanto, la anchura del rectángulo es cm, y su longitud, 7cm.

Comprobación. El perímetro es cm, que es igual a19 cm.

El problema verbal del siguiente ejemplo puede clasificarse como un problema de inversión, pues implica el ingreso proveniente de una inversión financiera. El ingreso puede tomar la forma de un interés, en cuyo caso usamos la formula

Donde unidades monetarias (u.m.) es el interés anual recibido cuando se invierten P(u.m.) a una tasa anual R. La tasa suele expresarse en porcentaje, por lo que si la tasa es de 8%, R = 0.08.

Ejemplo 32: Una persona invierte parte de $15000 (dólares) al 12% y el resto al 8%. Si su ingreso anual proveniente de las dos inversiones es $1456, ¿cuánto habrá invertido según cada interés?

Solución: Puesto que se desea determinar la cantidad de dólares invertida a cada tasa, establecemos las siguientes definiciones:

Cantidad invertida al 12%Cantidad invertida al 8%

Usamos la formula y se obtiene la Tabla:

TABLA

Puesto que el ingreso anual de las inversiones es $1456, la suma de las cifras de la última columna de la tabla debe ser 1456; por consiguiente, resulta la ecuación

De esta forma, la persona invirtió $6400 al 12% y $8600 al 8%.Comprobación. El monto del interés anual de la inversión de $6400 al 12% es 0.12(6400) = 768, y de la inversión de $8600 al 8% es 0.08(8600) = 688 y 768 + 688 = 1456.

Un problema de mezclas puede referirse a mezclar soluciones que contengan diferentes porcentajes de una sustancia para obtener una solución que contenga un cierto porcentaje de la misma sustancia. Por ejemplo, un químico desea obtener 6 litros (L) de una solución de ácido al 10%, mezclando una solución de ácido al 7% con otra del mismo ácido al 12%. Otro tipo de problemas de mezclas con un método de resolución similar, se basa en mezclar productos de diferente valor para obtener una combinación que valga una suma especifica de dinero.

Ejemplo 33: Determinar cuántos litros (L) de una solución de ácido al 7% y de una solución de ácido al 12% deben mezclarse para obtener 6L de una solución ácida al 10%.

Solución: Se necesita determinar el número de litros de cada solución que deben usarse. Por consiguiente, establecemos las siguientes definiciones:

Numero de litros de la solución al 7%.Numero de litros de la solución al 12%.

El diagrama que se muestra en la figura proporciona una interpretación visual del problema. La información de la figura se incorpora a la tabla:

TABLA

En la ultima columna de la tabla puede apreciarse que el numero total de litros de ácido en la mezcla se representan como 0.10(6), o bien como . Se obtiene la ecuación

Ahora unos cuantos ejercicios y problemas propuestos:

ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONESECUACIONES CON RADICALES Y PROBLEMAS RELACIONADOS

1. Resolver las siguientes ecuaciones.

2. Resolver por los métodos conocidos, los siguientes sistemas de ecuaciones.

3. Resolver las ecuaciones dadas, factorizando completando cuadrado o por formula general.

4.

5. Resolver las ecuaciones

6.

PROBLEMAS QUE CONDUCEN A ECUACIONES

1. Hállense dos números cuya suma es 20. Y cuya diferencia es 4.2. Hallar un número sabiendo que su duplo supera a su mitad en 9.3. Hallar un numero sabiendo que su mitad excede a su duplo en 14. Hallar un número tal que si se divide por 3 y se le suma 2 da el mismo resultado de

su duplo se resta 8.5. Divídase 60 en dos partes, de modo que el triple del mayor exceda a 100, en lo que

le falta a 8 veces el menor para 200.6. Dividir $ 41 entre ,B y C de modo que A tenga $10 mas que B y B. 48 mas que C7. El número de votantes en una asamblea fue de 58. En ella el presidente fue elegido

con una mayoría de 20 votos y hubo 12 votos en blanco. ¿Cuántos votos en contra hubo?

8. Una barra de 60m de longitud se corta en dos pedazos, uno de ellos es 5m mas corto que el otro. Hallar la longitud de cada pedazo.

9. La suma de tres números es -3. El segundo es la mitad del primero y el tercero es 28 menos que el primero. Hallar los números.

10.Una persona efectúa un recorrido de 308km en siete horas. Durante 4 horas viaja a lo largo de una carretera pavimentada y el resto del tiempo por un camino de herraduras. Si la velocidad media en el de herradura es 25km/h menor que la velocidad media en la carretera. Hallar la velocidad media y la distancia recorrida en cada uno de los tramos.

11.Una persona juega con otra 20 partidas estableciendo que la primera paga 50 centavos por cada partida que pierda y recibe 75 centavos por cada uno de los que gane¿ cuantos partidas gano y cuantos partidas perdió si al terminar el juego no recibe ni debe nada?

12.Hallar cuatro números enteros consecutivos sabiendo que su suma es 6213.Hallar cuatro números pares consecutivos sabiendo que su suma es 4414.Descomponer el número 72 en dos partes tales que: la tercera parte de la primera

supera a la quinta parte de la segunda en 8.15.223 veces cierto numero es tanto mayor que 14 16, respecto veces respecto a 7

veces el numero. Hallar dicho número.16.En un corral hay gallinas y conejos, se cuentan 72 patas y 22 cabezas ¿cuantas

gallinas y cuantos conejos hay?

17.A un banquete asisten 50 personas y pagan $ ¿Cuántas señoras y cuantos caballeros asistieron, si las primeras pagaron $8000 por cada una y los segundos $ 10000?

18.¿a qué hora entre las 4 y las 5. Las manecillas del reloj coinciden?19. ¿a qué hora entre las 4 y las están opuestas las manecillas del reloj?20.¿a que hora forman por primera vez un ángulo recto las manecillas de un reloj entre

las 3 y las 4?21.Dos trenes salen a la ves de dos ciudades A y B, separados a una distancia de

500km. Y se dirigen uno hacia al otro. ¿al cabo de cuantas horas se encontraran, si el primero va a 75km/h y el segundo a 50 km/h.?

22.Dos ciclistas A y B recorren una carretera en el mismo sentido. En cierto instante están separados 15 km. ¿después de cuanto tiempo A alcanza a B, si A marcha a 20km/h, B a 18km /h y B precede a A?

23.Un carro que viaja hacia el norte sale de una ciudad al mismo tiempo que un avión parte hacia el sur. La velocidad del avión es 2.5 veces la del carro y al cabo de 1 hora, 15 minutos se encuentran 210 km. Uno del otro. Halle la velocidad de cada uno.

24.Un tren va de la ciudad A al ciudad B con velocidad constante V. si esa velocidad se aumentará en 10km/h, el viaje requeriría una hora menos y si la velocidad se disminuyera en 10 km/h, el viaje se demoraría 3/2 horas mas. Calcular la distancia entre A y B.

25.El propietario de una tienda desea mezclar arroz tipo A de $120 el kilo con 30 kilos de arroz tipo B de $150el kilo, y vender la mezcla a $138 el kilo. ¿Cuantos kilos de arroz tipo A necesita?

26.Una persona dispuso que sus hijos repartieran su herencia así: el primero recibiría $1000 mas un decimo del resto; el segundo $2000 mas un decimo del resto; el tercero $3000 mas un decimo del resto, y así sucesivamente. Se encontró que de esa manera la herencia quedaba totalmente repetida y que todos los hijos reciban la misma suma. ¿a cuanto ascendía la herencia? ¿Cuántos eran los hijos?

27. Una persona puede hacer cierto trabajo en 6 días, y otra en 4 días ¿Cuántos días tardaran haciéndolo juntos?

28.Un agricultor puede ara un terreno empleando un tractor en 4 días; un ayudante puede hacer el mismo trabajo con un tractor más pequeño en 6 días. ¿en cuantos días terminaran arar el campo si trabajan conjuntamente?

29.Si el problema anterior el ayudante trabajo un día solo, y el segundo día el agricultor empezó ayudarle ¿en cuantos días terminaran de arar el resto del campo?

30.Una vasija contiene una mezcla de vino y agua. Si el 30% es agua. ¿Qué cantidad de mezcla debe eliminarse por agua para la mezcla resultante tenga 5% de agua?

31.Dos canillas pueden llevar un tanque en cierto tiempo cuando se las deja abiertas. La primera pueda llenarlo en 4 minutos más y la segunda en 9 minutos más. ¿Cuándo tiempo tardaran en llenarlo juntas?

32.¿Qué cantidad de alcohol puro es necesario agregar a un litro de alcohol de 3% para obtener alcohol al 90%?

33. ¿Cuántos litros de un líquido que tiene 74% de alcohol se debe mezclar con 5 litros de otro líquido que tiene 90% de alcohol, si se desea obtener una mezcla del 84% de alcohol?

34.Calcular las longitudes de las bases de un trapecio sabiendo que la superficie del mismo es 720cm , su altura de 30cm y la base menor de 3/5 de la mayor.

35.Hallar la base y la altura de un rectángulo sabiendo que la primera supera a la segunda en 2 m. y que si a la primera se le aumenta 3m se mantiene constante la altura, la superficie aumenta 15m.

36.Las cifras de las unidades de un número de dos cifras es el doble de las docenas. Si se invierten esas cifras se obtiene un numero que excede en el primero ¿Cuál es este numero?

37.Un número tiene 3 cifras. la de las centenas es el de las unidades y la delas decenas el doble del mismo. Hallar ese número sabiendo que las sumas de sus cifras es 18.

38. Un señor tiene 50 años de edad. Y su hijo 10 años. ¿dentro de cuantos años la edad del padre será el doble del hijo?

39.A tiene el doble de edad de B, hace diez años tenias una edad cuatro veces mayor. ¿Cuáles son sus edades actuales?

40.Un padre tiene actualmente el doble de la edad de su hijo y 15 años la edad la edad del padre en triplo de su hijo. ¿Cuáles son las edades del padre y el hijo?

41.Hállense dos números cuya diferencia sea 11, y un quinto de cuya suma sea 942.Hallar la edad del padre y de su hijo sabiendo que la de el padre es cuádruplo de la

de su hijo y el padre tiene 24 años masque su hijo43.Hallar dos números sabiendo que la mitad de la suma es de los mismos es 9 y la

cuarta parte de la diferencia entre e3l mayor y menor es 144. Si se aumenta en 2 el numerador de una fracción y el denominador en 1, es igual a

5/8; y, si el numerador y el denominador se disminuyen cada uno en 1 es igual a ½. Halle la fracción

45. El digito del medio de un numero entre el 100 y 1000 es cero, y la suma de los demás es 11. Si se invierten los dígitos, el número así formado excede del original en 495. Hallar dicho numero

46. Repartir el número 320 en partes inversamente proporcionadas a los números 2 y 3 47.

47.A y B formaron una compañía colocando A $500000 y B $ 600000. Dejando dichos capitales durante el mismo tiempo. Habiéndose obtenido al cabo de ese tiempo $154000 de ganancia. ¿Cuánto le corresponde a cada uno?

48.Una embarcación recorre 10 millas en 40 minutos, cuando navega a favor de la corriente. ¿Cuáles son las velocidades en millas por horas, de la embarcación y de la corriente?

49.Un corredor recorre una carretera con velocidad de 80km/hora a partir de un punto A de la misma. Media hora más tarde parte de ese punto A otro corredor a velocidad de 90km/h. ¿al cabo de cuánto tiempo y a qué distancia se encuentra A?

50.Hallar las edades de dos personas sabiendo que la primera le dice a la segunda. Yo tengo el doble de edad que tu tenias cuando yo tenía la edad que tú tienes, y cuando tengas la edad que yo tengo nuestras edades suman 72.años

51.Un obrero y su hijo pueden realizar un trabajo en 15 días. Después de trabajar juntos 6 días, el hijo solo termina el trabajo en 30 días. ¿en cuánto tiempo podría terminar cada uno de ellos trabajando solo?

52.Un tren recorre 300km a velocidad uniforme; si la velocidad es hubiese sido 5km mas por hora, hubiera tardado el recorrido 2 horas menos. Hallar la velocidad del tren.

53.Una persona vende un caballo en 72 libras esterlinas ve que su perdida por cien libras es un octavo del numero de libras que pago por dicho caballo. ¿Cuál fue el precio de costo?

54. Un edificio rectangular cuyo fondo es el doble de su frente, se divide en dos partes mediante una pared situada a 0m del frente y paralela a esta . si la parte trasera del edificio comprende 3500m cuadrados. Encontrar las dimensiones del edificio.