Upload
vannga
View
217
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
PAW basics 29/08/2005 1
PROJECTOR AUGMENTED-WAVE (PAW) BASICS
F. Jollet, M. Torrent
Commissariat à l'Energie AtomiqueCentre d’Etudes de Bruyères le Châtel
France
Summer School on First Principles Calculations for Condensed Matter and NanoscienceAugust 21 – September 3, 2005
University of CaliforniaSanta Barbara, California
PAW basics 29/08/2005 2
Summary
� ��������� ������
� ����� ������������
� �������������������
� ����������������������
� �������
� ��������
PAW basics 29/08/2005 3
Historical context
� ����� ������������������������������������������������ �����!���������"��������������#�$
� %�������������� ������&���� ������ �������������$�
� '������������ ������������������ ��������� ��������&���� ������ ��������������������
� ()*)+(),-.���������/����!/������0����0����1���"
� (),-.���������2/�!2����0/�����"
� ())3.���������4'�!4�����0�'������"
� ())(.���������� ��������!5���� ��"
� ())6.��7 ��������!/���"
PAW basics 29/08/2005 4
Historical context
Wavefunctions are developped on a basis which is…
Localized Delocalized
Spherical harmonics + special functions
Plane waves
All electrons are taken into account Only valence electrons are taken into account
Pseudopotentials
Pb: - The atomic basis ismoving with atoms
Pb: - Use of pseudos wavefunctions- Big size of the plane wave basis
PAW« The Projector Augmented-Wave method is an extension of augmentedwave methods and the pseudopotential approach, which combine theirtraditions into a unified electronic structure method »
Peter Blöchl
PAW basics 29/08/2005 5
References
� � Projector augmented wave method », P. Blöchl, Phys. Rev. B 50, 17953 (1994) [Ref 1]
� « Comparison of the projector augmented-wave, pseudopotential, and linearized
augmented-wave plane-wave formalisms for density-functional calculations of solids », N. Holzwarth et al., Phys. Rev. B 55, 2005 (1997) [Ref 2]
� « From ultrasoft pseudopotentials to the projector augmented-wave method », G. Kresseand D. Joubert, Phys. Rev. B 59, 1758 (1999) [Ref 3]
PAW basics 29/08/2005 6
����%����&����������� ��������������ττττ �� ���� .
����������� � ��� � ���������� ���
������������������������� �������������� ��
A linear transformation I
nn Ψ=Ψ ~τ 8�������������� ��������
������������������ ��������
PAW basics 29/08/2005 7
����8�+����������������� ������� �������������������� �
�������&����.
����9�����������0�������������� ���������������� ���0����������������
�������������������������������������
����:������������������0���������������������������������� �����0�����
���������������������� ��������� ��������$
��������������������������������������������������������.
A linear transformation II
iφiφ~
iiiRS φφφ ~~ −=
�+=R
RS1τ
iiii φφφφ ~~ −+=
iφ
PAW basics 29/08/2005 8
����9���������������� ����������������0������������.
������������
����9�����������0��������;������0��������������������������
���������������������0��� �����.
��
��������
A linear transformation III
ip~
� ⋅=i
iin cφψ ~~
� Ψ=i
niin p~~~~ φψ
( )�� Ψ−=Ψ=i
niiii
niiRnR ppSS~~~~~~~ φφφψ
( )� Ψ−+Ψ=Ψi
niiinn p~~~~ φφ
jijip ,~~ δφ =
PAW basics 29/08/2005 9
The PAW method
����������.
�
%��������.
<�����. �����.
� � ΨΨ=ΨΨ=n n
nnnnnn AfAfA~~ * ττ
( )� −+=R
RR nnnn )(~)()(~)( 11 rrrr ( )� −+=R
RR EEEE 11 ~~
( ) ni
niiinn p �~�~~~�~� τφφ =−+= � (1)
Plane wave part All electron spherical part Pseudized spherical part
PAW basics 29/08/2005 10
Notations
( )� −+=R
RR EEEE 11 ~~
��
� :
��
��������
��
�
��
��
��������������� ������ ;����� ����� ��������#����
��������������� � ;����������������
���������������� ����� �
����� ������
���� : ��������� ��� �=�������� ����������� ����� ��������
PAW basics 29/08/2005 11
Calculation of the energy I
9� �� ���������0������������������������������������.
����
rr
( )� −+=R
RR nnnn )(~)()(~)( 11 rrrr
�=n
nnnfn ψψ ~~)(~ rrr
jji
iRijRn φφρ rrr �=
,
1 )(
jji
iRijRn φφρ ~~
)(~,
1 rrr �=
�=n
njinnRij ppf ψψρ ~~~~
�������������� �������
'������� �����������������������.xcHartree EETE ++=
>�����������0� �� ����������������������� nψ~
(2)
PAW basics 29/08/2005 12
Calculation of the energy II
������������������������!���?���@A".
)~ˆ~()()~ˆ~( 11ZcZcZcZcT nnnnnnnnnnn ++−++++=+=
Tn~ 1Tn 1~
Tn
'���������������������������������������� ������� ���� ����������������.
)(ˆ rn
( ) 0rRrRr))r(ˆ)r(~)r(( *11 =⋅−⋅−⋅−−� dYnnn lml
R
�������� ������0���������������� ������� ������� �������������������������� #��� ����������������B$
RRR nnn ˆ~11 −−
� ++=
lml
lmlm
rlrYM
V 1)12()ˆ(
4)( πr
PAW basics 29/08/2005 13
Calculation of the energy III
( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )�� ��� ��������������
(3)(2)(1)
111111 ~~21
)~(~~~21
21
'rr'rr
)'r()r(21
TTTTTTTTTTTTT
Hartree nnnnnnnnnnnddnn
E −−+−+==−
= ��
9���������0������������������������� �����������������������������( )11 ~TT nn −
������ ��� �In (2), is replaced byTn~ 1~
Tn
���������� ���������������
9� �� �������� ��������������.
[ ] [ ][ ][ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] rˆ~~ˆ~r
),R(rˆ~~ˆ~
1111 dnnnvnnEdnnvnE
ZUdnnnvnnEE
RZcHH
RZcHH
ionZcHHHartree
+−+−++
++++=
��
�
PAW basics 29/08/2005 14
Calculation of the energy IV
���������������������������������������
( )� −+=R
RR EEEE 11 ~~
����
[ ] [ ] [ ][ ] ),(ˆ~~ˆ~~ˆ~~2
~~ionZcHHcxcn
nnn ZUdnnnvnnEnnnEfE Rr ++++++++Ψ∆−Ψ= ��
[ ] [ ] [ ][ ] rdnnnvnnEnnnEE RRR
RZcHRRH
RcRRxci
iji
RijR ˆ~~ˆ~~ˆ~~
2~~ 1111 +++++++∆−= �� φφρ
[ ] [ ] [ ][ ] rdnnvnEnnEE RR
RZcHRH
RcRxci
iji
RijR
1111 ~2 �� ++++∆−= φφρ
PAW basics 29/08/2005 15
Calculation of the energy V
� �������!�
� �������!�
9������ ������� �����������������������0��������. �=Lji
LijijQn
),,(
)()(ˆ rr ρ
���� ( ) ( )RrRrr −−= LlLij
Lij YgqQ )(
[ ] rRrRrrrrr dYq Ll
Rjiji
Lij )()(
~)(
~)()( *** −−−= � φφφφ 1)( 2 =� drrrrg
R
ll
'�������������������������� ������� ����������������$
'���������� �����������?B��@A� ��2�������C�� ���$
[ ]ZcH nv ~
9� �� ���������������������������/��� ��?B��(A0���������.
cionR
ccK
Zc nZdnnrg
n ~)~(4
)(~ 0 +��
���
�−−= � r
π
[ ] )(~ KZcHZcH nvvnv +=
����
v �� ���� ����������#��������� ��������� ��/���
PAW basics 29/08/2005 16
Calculation of the Hamiltonian I
'���������������������.���������������������������
�����.
nmmn δ=ΨΨ
nmmn S δ=ΨΨ ~~
����
�����������������������.
����
( ) Rj
Rj
Ri
Rj
Ri
ijR
Ri ppS ~~~~1
,
φφφφ −+= �
nnn SH �~
�~~ ε=
jijji
ieff pDpvnd
dEH ~~~
21
~~
,�++∆−==
PAW basics 29/08/2005 17
Calculation of the Hamiltonian II
[ ] [ ]cxcZcHeff nnnvnnnvv ~ˆ~~ˆ~~ +++++=
��� +++=L
Lijeff
xcij
klijklklijij dQvDEDD rrr )(ˆ)(~0 ρ
�����
[ ] [ ][ ] [ ] ��
��
−++++++∆−−
++++∆−+
=
L
LijeffjcxcZcHi
jcxcZcHi
L
Lijeffij
dQvnnnvnnnv
nnvnnv
dQvD
rrr
rrr
)(ˆ)(~~~ˆ~~ˆ~2
~2
)()(~
111
11
φφ
φφ
!�� �����������.
jijji
ieff pDpvnd
dEH ~~~
21
~~
,�++∆−==
PAW basics 29/08/2005 18
The PAW method - overview
"##�$�%&"'%$()
� :��#������������������
� '�������������� ������� ��������
� '���������� ������� ��������
"*+"('",-)
� '������������������������� ����������� ���������� ������� ���
� 7��������������������� �������+�������������������!�����+����������������"
� '��7 ���������� ���������������������������������$����������� ��������$
� 9� �� ����������������������"������ �������� ������������������������7 ��������$
PAW basics 29/08/2005 19
9������ ������������7 ����������0������������� ��������������.
{ } { } { } [ ] ccZcHRi
Ri
Ri nnnVp ~,,~,~,
~, φφ
#���������$�%����� ��������������
&��������������� �
All electron partial waves
Pseudized soft partial waves Hartree potential due to nuclueusand core electrons (local pot.)
Core densityPseudizedcore density
The PAW method – atomic data
Projectors (dual of )iφ~
Riφ~
PAW basics 29/08/2005 20
Approximations: ultrasoft and norm-conserving
D�������������ρρρρ�� ����������� ���������������������������������������������������� ��.
��� +++=L
Lijeff
xcij
klijklklijij dQvDEDD rrr )(ˆ)(~0 ρ
r)r(ˆ)r(~,
,0 dQvDDL
Ljieff
USijij ��+= '������������������ ��
������� �
(" &���$�%����������������������� ���
�
)" &���$�%�������"������ ������������ ���
0)(ˆ, =rQLji �
KBijij DD ,0=
IS=
*���"������ �������������� ��������� �
jijji
ieff pDpvnd
dEH ~~~
21
~~
,�++∆−==
PAW basics 29/08/2005 21
PAW-uspp
Example of fcc Ca
����� ���������.
� 8���+������������E�
� 7 ������>�77
� 7 ������ ���7 �
������������������.�∆!�����"F�(����
������������� ��������.
� �E� .��G�63���
� 7 �+>�77 .��-3���
� 7 �+ ���7 � .��-3���
B�����.
� �E� .�����+ =�(3$@��$�$
� 7 �+>�77.�����+ =�(3$-��$�$
PAW basics 29/08/2005 22
Example of fcc oxygen
����� ���������.
� 8���+�����������'����
� 8���+�����������'4
� 7 ������>�77
������������������.�∆!�����"F�(����
������������� ��������.
� '���� .��@3���
� '4 .��@@���
� 7 �+>�77 .��(H���
B�����.
� '���� .� �+ =�H$*I��$�$,+ =�-(3�E7�
� 7 �+>�77.�����+ =�H$,3��$�$,+ =�-3,�E7�
PAW-uspp
PAW basics 29/08/2005 23
Example of BaTiO3
����� ���������.
� 8���+�����������'����
� 7 ������>�77
������������������.�∆!�����"F�(����
������������� ��������.
� '���� .��HI���
� 7 �+>�77 .��-@���
B�����.
� '���� .� �+ =�*$6H��$�$
� 7 �+>�77.�����+ =�*$6,��$�$
PAW-uspp
�7>�����7�+/�J��.
� '���� .�-$'=�-I3��$
� 7 �+>�77. -$'=�(33��$
PAW basics 29/08/2005 24
Conclusions
� '��7 ������������� ������ ������K ����L��������������������� ������
� ����������� ��������
� ������������������������������������������������ �������������� ��������
� �����0�������0���������0�������� ������� ��7 �
� D���� ���������7 ���� �����M
�� �� ��������������������