24
PAW basics 29/08/2005 1 PROJECTOR AUGMENTED-WAVE (PAW) BASICS F. Jollet, M. Torrent Commissariat à l'Energie Atomique Centre d’Etudes de Bruyères le Châtel France Summer School on First Principles Calculations for Condensed Matter and Nanoscience August 21 – September 3, 2005 University of California Santa Barbara, California

PROJECTOR AUGMENTED-WAVE (PAW) BASICS F. Jollet… · PAW basics 29/08/2005 1 PROJECTOR AUGMENTED-WAVE (PAW) BASICS F. Jollet, M. Torrent Commissariat à l'Energie Atomique Centre

  • Upload
    vannga

  • View
    217

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: PROJECTOR AUGMENTED-WAVE (PAW) BASICS F. Jollet… · PAW basics 29/08/2005 1 PROJECTOR AUGMENTED-WAVE (PAW) BASICS F. Jollet, M. Torrent Commissariat à l'Energie Atomique Centre

PAW basics 29/08/2005 1

PROJECTOR AUGMENTED-WAVE (PAW) BASICS

F. Jollet, M. Torrent

Commissariat à l'Energie AtomiqueCentre d’Etudes de Bruyères le Châtel

France

Summer School on First Principles Calculations for Condensed Matter and NanoscienceAugust 21 – September 3, 2005

University of CaliforniaSanta Barbara, California

Page 2: PROJECTOR AUGMENTED-WAVE (PAW) BASICS F. Jollet… · PAW basics 29/08/2005 1 PROJECTOR AUGMENTED-WAVE (PAW) BASICS F. Jollet, M. Torrent Commissariat à l'Energie Atomique Centre

PAW basics 29/08/2005 2

Summary

� ��������� ������

� ����� ������������

� �������������������

� ����������������������

� �������

� ��������

Page 3: PROJECTOR AUGMENTED-WAVE (PAW) BASICS F. Jollet… · PAW basics 29/08/2005 1 PROJECTOR AUGMENTED-WAVE (PAW) BASICS F. Jollet, M. Torrent Commissariat à l'Energie Atomique Centre

PAW basics 29/08/2005 3

Historical context

� ����� ������������������������������������������������ �����!���������"��������������#�$

� %�������������� ������&���� ������ �������������$�

� '������������ ������������������ ��������� ��������&���� ������ ��������������������

� ()*)+(),-.���������/����!/������0����0����1���"

� (),-.���������2/�!2����0/�����"

� ())3.���������4'�!4�����0�'������"

� ())(.���������� ��������!5���� ��"

� ())6.��7 ��������!/���"

Page 4: PROJECTOR AUGMENTED-WAVE (PAW) BASICS F. Jollet… · PAW basics 29/08/2005 1 PROJECTOR AUGMENTED-WAVE (PAW) BASICS F. Jollet, M. Torrent Commissariat à l'Energie Atomique Centre

PAW basics 29/08/2005 4

Historical context

Wavefunctions are developped on a basis which is…

Localized Delocalized

Spherical harmonics + special functions

Plane waves

All electrons are taken into account Only valence electrons are taken into account

Pseudopotentials

Pb: - The atomic basis ismoving with atoms

Pb: - Use of pseudos wavefunctions- Big size of the plane wave basis

PAW« The Projector Augmented-Wave method is an extension of augmentedwave methods and the pseudopotential approach, which combine theirtraditions into a unified electronic structure method »

Peter Blöchl

Page 5: PROJECTOR AUGMENTED-WAVE (PAW) BASICS F. Jollet… · PAW basics 29/08/2005 1 PROJECTOR AUGMENTED-WAVE (PAW) BASICS F. Jollet, M. Torrent Commissariat à l'Energie Atomique Centre

PAW basics 29/08/2005 5

References

� � Projector augmented wave method », P. Blöchl, Phys. Rev. B 50, 17953 (1994) [Ref 1]

� « Comparison of the projector augmented-wave, pseudopotential, and linearized

augmented-wave plane-wave formalisms for density-functional calculations of solids », N. Holzwarth et al., Phys. Rev. B 55, 2005 (1997) [Ref 2]

� « From ultrasoft pseudopotentials to the projector augmented-wave method », G. Kresseand D. Joubert, Phys. Rev. B 59, 1758 (1999) [Ref 3]

Page 6: PROJECTOR AUGMENTED-WAVE (PAW) BASICS F. Jollet… · PAW basics 29/08/2005 1 PROJECTOR AUGMENTED-WAVE (PAW) BASICS F. Jollet, M. Torrent Commissariat à l'Energie Atomique Centre

PAW basics 29/08/2005 6

����%����&����������� ��������������ττττ �� ���� .

����������� � ��� � ���������� ���

������������������������� �������������� ��

A linear transformation I

nn Ψ=Ψ ~τ 8�������������� ��������

������������������ ��������

Page 7: PROJECTOR AUGMENTED-WAVE (PAW) BASICS F. Jollet… · PAW basics 29/08/2005 1 PROJECTOR AUGMENTED-WAVE (PAW) BASICS F. Jollet, M. Torrent Commissariat à l'Energie Atomique Centre

PAW basics 29/08/2005 7

����8�+����������������� ������� �������������������� �

�������&����.

����9�����������0�������������� ���������������� ���0����������������

�������������������������������������

����:������������������0���������������������������������� �����0�����

���������������������� ��������� ��������$

��������������������������������������������������������.

A linear transformation II

iφiφ~

iiiRS φφφ ~~ −=

�+=R

RS1τ

iiii φφφφ ~~ −+=

Page 8: PROJECTOR AUGMENTED-WAVE (PAW) BASICS F. Jollet… · PAW basics 29/08/2005 1 PROJECTOR AUGMENTED-WAVE (PAW) BASICS F. Jollet, M. Torrent Commissariat à l'Energie Atomique Centre

PAW basics 29/08/2005 8

����9���������������� ����������������0������������.

������������

����9�����������0��������;������0��������������������������

���������������������0��� �����.

��

��������

A linear transformation III

ip~

� ⋅=i

iin cφψ ~~

� Ψ=i

niin p~~~~ φψ

( )�� Ψ−=Ψ=i

niiii

niiRnR ppSS~~~~~~~ φφφψ

( )� Ψ−+Ψ=Ψi

niiinn p~~~~ φφ

jijip ,~~ δφ =

Page 9: PROJECTOR AUGMENTED-WAVE (PAW) BASICS F. Jollet… · PAW basics 29/08/2005 1 PROJECTOR AUGMENTED-WAVE (PAW) BASICS F. Jollet, M. Torrent Commissariat à l'Energie Atomique Centre

PAW basics 29/08/2005 9

The PAW method

����������.

%��������.

<�����. �����.

� � ΨΨ=ΨΨ=n n

nnnnnn AfAfA~~ * ττ

( )� −+=R

RR nnnn )(~)()(~)( 11 rrrr ( )� −+=R

RR EEEE 11 ~~

( ) ni

niiinn p �~�~~~�~� τφφ =−+= � (1)

Plane wave part All electron spherical part Pseudized spherical part

Page 10: PROJECTOR AUGMENTED-WAVE (PAW) BASICS F. Jollet… · PAW basics 29/08/2005 1 PROJECTOR AUGMENTED-WAVE (PAW) BASICS F. Jollet, M. Torrent Commissariat à l'Energie Atomique Centre

PAW basics 29/08/2005 10

Notations

( )� −+=R

RR EEEE 11 ~~

��

� :

��

��������

��

��

��

��������������� ������ ;����� ����� ��������#����

��������������� � ;����������������

���������������� ����� �

����� ������

���� : ��������� ��� �=�������� ����������� ����� ��������

Page 11: PROJECTOR AUGMENTED-WAVE (PAW) BASICS F. Jollet… · PAW basics 29/08/2005 1 PROJECTOR AUGMENTED-WAVE (PAW) BASICS F. Jollet, M. Torrent Commissariat à l'Energie Atomique Centre

PAW basics 29/08/2005 11

Calculation of the energy I

9� �� ���������0������������������������������������.

����

rr

( )� −+=R

RR nnnn )(~)()(~)( 11 rrrr

�=n

nnnfn ψψ ~~)(~ rrr

jji

iRijRn φφρ rrr �=

,

1 )(

jji

iRijRn φφρ ~~

)(~,

1 rrr �=

�=n

njinnRij ppf ψψρ ~~~~

�������������� �������

'������� �����������������������.xcHartree EETE ++=

>�����������0� �� ����������������������� nψ~

(2)

Page 12: PROJECTOR AUGMENTED-WAVE (PAW) BASICS F. Jollet… · PAW basics 29/08/2005 1 PROJECTOR AUGMENTED-WAVE (PAW) BASICS F. Jollet, M. Torrent Commissariat à l'Energie Atomique Centre

PAW basics 29/08/2005 12

Calculation of the energy II

������������������������!���?���@A".

)~ˆ~()()~ˆ~( 11ZcZcZcZcT nnnnnnnnnnn ++−++++=+=

Tn~ 1Tn 1~

Tn

'���������������������������������������� ������� ���� ����������������.

)(ˆ rn

( ) 0rRrRr))r(ˆ)r(~)r(( *11 =⋅−⋅−⋅−−� dYnnn lml

R

�������� ������0���������������� ������� ������� �������������������������� #��� ����������������B$

RRR nnn ˆ~11 −−

� ++=

lml

lmlm

rlrYM

V 1)12()ˆ(

4)( πr

Page 13: PROJECTOR AUGMENTED-WAVE (PAW) BASICS F. Jollet… · PAW basics 29/08/2005 1 PROJECTOR AUGMENTED-WAVE (PAW) BASICS F. Jollet, M. Torrent Commissariat à l'Energie Atomique Centre

PAW basics 29/08/2005 13

Calculation of the energy III

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )�� ��� ��������������

(3)(2)(1)

111111 ~~21

)~(~~~21

21

'rr'rr

)'r()r(21

TTTTTTTTTTTTT

Hartree nnnnnnnnnnnddnn

E −−+−+==−

= ��

9���������0������������������������� �����������������������������( )11 ~TT nn −

������ ��� �In (2), is replaced byTn~ 1~

Tn

���������� ���������������

9� �� �������� ��������������.

[ ] [ ][ ][ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] rˆ~~ˆ~r

),R(rˆ~~ˆ~

1111 dnnnvnnEdnnvnE

ZUdnnnvnnEE

RZcHH

RZcHH

ionZcHHHartree

+−+−++

++++=

��

Page 14: PROJECTOR AUGMENTED-WAVE (PAW) BASICS F. Jollet… · PAW basics 29/08/2005 1 PROJECTOR AUGMENTED-WAVE (PAW) BASICS F. Jollet, M. Torrent Commissariat à l'Energie Atomique Centre

PAW basics 29/08/2005 14

Calculation of the energy IV

���������������������������������������

( )� −+=R

RR EEEE 11 ~~

����

[ ] [ ] [ ][ ] ),(ˆ~~ˆ~~ˆ~~2

~~ionZcHHcxcn

nnn ZUdnnnvnnEnnnEfE Rr ++++++++Ψ∆−Ψ= ��

[ ] [ ] [ ][ ] rdnnnvnnEnnnEE RRR

RZcHRRH

RcRRxci

iji

RijR ˆ~~ˆ~~ˆ~~

2~~ 1111 +++++++∆−= �� φφρ

[ ] [ ] [ ][ ] rdnnvnEnnEE RR

RZcHRH

RcRxci

iji

RijR

1111 ~2 �� ++++∆−= φφρ

Page 15: PROJECTOR AUGMENTED-WAVE (PAW) BASICS F. Jollet… · PAW basics 29/08/2005 1 PROJECTOR AUGMENTED-WAVE (PAW) BASICS F. Jollet, M. Torrent Commissariat à l'Energie Atomique Centre

PAW basics 29/08/2005 15

Calculation of the energy V

� �������!�

� �������!�

9������ ������� �����������������������0��������. �=Lji

LijijQn

),,(

)()(ˆ rr ρ

���� ( ) ( )RrRrr −−= LlLij

Lij YgqQ )(

[ ] rRrRrrrrr dYq Ll

Rjiji

Lij )()(

~)(

~)()( *** −−−= � φφφφ 1)( 2 =� drrrrg

R

ll

'�������������������������� ������� ����������������$

'���������� �����������?B��@A� ��2�������C�� ���$

[ ]ZcH nv ~

9� �� ���������������������������/��� ��?B��(A0���������.

cionR

ccK

Zc nZdnnrg

n ~)~(4

)(~ 0 +��

���

�−−= � r

π

[ ] )(~ KZcHZcH nvvnv +=

����

v �� ���� ����������#��������� ��������� ��/���

Page 16: PROJECTOR AUGMENTED-WAVE (PAW) BASICS F. Jollet… · PAW basics 29/08/2005 1 PROJECTOR AUGMENTED-WAVE (PAW) BASICS F. Jollet, M. Torrent Commissariat à l'Energie Atomique Centre

PAW basics 29/08/2005 16

Calculation of the Hamiltonian I

'���������������������.���������������������������

�����.

nmmn δ=ΨΨ

nmmn S δ=ΨΨ ~~

����

�����������������������.

����

( ) Rj

Rj

Ri

Rj

Ri

ijR

Ri ppS ~~~~1

,

φφφφ −+= �

nnn SH �~

�~~ ε=

jijji

ieff pDpvnd

dEH ~~~

21

~~

,�++∆−==

Page 17: PROJECTOR AUGMENTED-WAVE (PAW) BASICS F. Jollet… · PAW basics 29/08/2005 1 PROJECTOR AUGMENTED-WAVE (PAW) BASICS F. Jollet, M. Torrent Commissariat à l'Energie Atomique Centre

PAW basics 29/08/2005 17

Calculation of the Hamiltonian II

[ ] [ ]cxcZcHeff nnnvnnnvv ~ˆ~~ˆ~~ +++++=

��� +++=L

Lijeff

xcij

klijklklijij dQvDEDD rrr )(ˆ)(~0 ρ

�����

[ ] [ ][ ] [ ] ��

��

−++++++∆−−

++++∆−+

=

L

LijeffjcxcZcHi

jcxcZcHi

L

Lijeffij

dQvnnnvnnnv

nnvnnv

dQvD

rrr

rrr

)(ˆ)(~~~ˆ~~ˆ~2

~2

)()(~

111

11

φφ

φφ

!�� �����������.

jijji

ieff pDpvnd

dEH ~~~

21

~~

,�++∆−==

Page 18: PROJECTOR AUGMENTED-WAVE (PAW) BASICS F. Jollet… · PAW basics 29/08/2005 1 PROJECTOR AUGMENTED-WAVE (PAW) BASICS F. Jollet, M. Torrent Commissariat à l'Energie Atomique Centre

PAW basics 29/08/2005 18

The PAW method - overview

"##�$�%&"'%$()

� :��#������������������

� '�������������� ������� ��������

� '���������� ������� ��������

"*+"('",-)

� '������������������������� ����������� ���������� ������� ���

� 7��������������������� �������+�������������������!�����+����������������"

� '��7 ���������� ���������������������������������$����������� ��������$

� 9� �� ����������������������"������ �������� ������������������������7 ��������$

Page 19: PROJECTOR AUGMENTED-WAVE (PAW) BASICS F. Jollet… · PAW basics 29/08/2005 1 PROJECTOR AUGMENTED-WAVE (PAW) BASICS F. Jollet, M. Torrent Commissariat à l'Energie Atomique Centre

PAW basics 29/08/2005 19

9������ ������������7 ����������0������������� ��������������.

{ } { } { } [ ] ccZcHRi

Ri

Ri nnnVp ~,,~,~,

~, φφ

#���������$�%����� ��������������

&��������������� �

All electron partial waves

Pseudized soft partial waves Hartree potential due to nuclueusand core electrons (local pot.)

Core densityPseudizedcore density

The PAW method – atomic data

Projectors (dual of )iφ~

Riφ~

Page 20: PROJECTOR AUGMENTED-WAVE (PAW) BASICS F. Jollet… · PAW basics 29/08/2005 1 PROJECTOR AUGMENTED-WAVE (PAW) BASICS F. Jollet, M. Torrent Commissariat à l'Energie Atomique Centre

PAW basics 29/08/2005 20

Approximations: ultrasoft and norm-conserving

D�������������ρρρρ�� ����������� ���������������������������������������������������� ��.

��� +++=L

Lijeff

xcij

klijklklijij dQvDEDD rrr )(ˆ)(~0 ρ

r)r(ˆ)r(~,

,0 dQvDDL

Ljieff

USijij ��+= '������������������ ��

������� �

(" &���$�%����������������������� ���

)" &���$�%�������"������ ������������ ���

0)(ˆ, =rQLji �

KBijij DD ,0=

IS=

*���"������ �������������� ��������� �

jijji

ieff pDpvnd

dEH ~~~

21

~~

,�++∆−==

Page 21: PROJECTOR AUGMENTED-WAVE (PAW) BASICS F. Jollet… · PAW basics 29/08/2005 1 PROJECTOR AUGMENTED-WAVE (PAW) BASICS F. Jollet, M. Torrent Commissariat à l'Energie Atomique Centre

PAW basics 29/08/2005 21

PAW-uspp

Example of fcc Ca

����� ���������.

� 8���+������������E�

� 7 ������>�77

� 7 ������ ���7 �

������������������.�∆!�����"F�(����

������������� ��������.

� �E� .��G�63���

� 7 �+>�77 .��-3���

� 7 �+ ���7 � .��-3���

B�����.

� �E� .�����+ =�(3$@��$�$

� 7 �+>�77.�����+ =�(3$-��$�$

Page 22: PROJECTOR AUGMENTED-WAVE (PAW) BASICS F. Jollet… · PAW basics 29/08/2005 1 PROJECTOR AUGMENTED-WAVE (PAW) BASICS F. Jollet, M. Torrent Commissariat à l'Energie Atomique Centre

PAW basics 29/08/2005 22

Example of fcc oxygen

����� ���������.

� 8���+�����������'����

� 8���+�����������'4

� 7 ������>�77

������������������.�∆!�����"F�(����

������������� ��������.

� '���� .��@3���

� '4 .��@@���

� 7 �+>�77 .��(H���

B�����.

� '���� .� �+ =�H$*I��$�$,+ =�-(3�E7�

� 7 �+>�77.�����+ =�H$,3��$�$,+ =�-3,�E7�

PAW-uspp

Page 23: PROJECTOR AUGMENTED-WAVE (PAW) BASICS F. Jollet… · PAW basics 29/08/2005 1 PROJECTOR AUGMENTED-WAVE (PAW) BASICS F. Jollet, M. Torrent Commissariat à l'Energie Atomique Centre

PAW basics 29/08/2005 23

Example of BaTiO3

����� ���������.

� 8���+�����������'����

� 7 ������>�77

������������������.�∆!�����"F�(����

������������� ��������.

� '���� .��HI���

� 7 �+>�77 .��-@���

B�����.

� '���� .� �+ =�*$6H��$�$

� 7 �+>�77.�����+ =�*$6,��$�$

PAW-uspp

�7>�����7�+/�J��.

� '���� .�-$'=�-I3��$

� 7 �+>�77. -$'=�(33��$

Page 24: PROJECTOR AUGMENTED-WAVE (PAW) BASICS F. Jollet… · PAW basics 29/08/2005 1 PROJECTOR AUGMENTED-WAVE (PAW) BASICS F. Jollet, M. Torrent Commissariat à l'Energie Atomique Centre

PAW basics 29/08/2005 24

Conclusions

� '��7 ������������� ������ ������K ����L��������������������� ������

� ����������� ��������

� ������������������������������������������������ �������������� ��������

� �����0�������0���������0�������� ������� ��7 �

� D���� ���������7 ���� �����M

�� �� ��������������������