Quadrados Mínimos

Cristina Ota Guilherme Aguiar

Análise Numérica II, 1o Semestre 2013

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Quadrados Mínimos

Muito usado para aproximação de dados vindos deexperimentos físicosInicialmente foi usado em cálculos de astronomia

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Quadrados Mínimos

Aproximar uma função f (x) conhecida em um polinômiog(x) no intervalo [a,b].Queremos minimizar o erro E(x) da aproximação.Caso discreto:

E(x) =n∑

i=0

[f (x) − g(x)]2

Caso contínuo:

E(x) =∫ b

a[f (x) − g(x)]2dx

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Quadrados Mínimos

Há algumas formas de resolver o problema de quadradosmínimos:

Equações NormaisFatoração QRDecomposição de Valores Singulares

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Equações Normais

A solução de quadrados mínimos satisfaz as equaçõesnormais.É o método mais rápido, mas menos preciso, adequadoquando o número de condição é pequeno.

AT Ax = AT b

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Fatoração QR

É o método mais usado. O custo é o dobro do primeiro.

A = QR

Figure : Fatoração QR

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SVD

Utilizado quando o problema é mal condicionado, isto é,quando a matriz A não é de posto completo . Muitas vezesmais caro.

An×p = Un×nΣn×pV Tp×p

onde:

σ1 ≥ σ2 · · · ≥ σn > 0

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Um exemplo simples

Vamos considerar a equação da onda sonora do tipo serra,com uma frequência básica de 5000 Hz:

p(t) =(

2AT

)(T2− t)

onde:T é o período básico da onda: T (s) = 15000A é a amplitude da onda: A = 5.

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Um exemplo simples

Para resolvermos esse problema usamos os coeficientes deFourier que trazem a melhor aproximação para um polinômiotrigonométrico. A seguir enunciamos um Teorema.

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Um exemplo simples

TeoremaSe f(x) é contínua em [0,T], então a função trigonométrica g(x)dada por:

g(x) =12

a0 +n∑

i=1

ai cos(2iπT

)x +n∑

i=1

bi sin(2iπT

)x

que minimiza o erro da média quadrática :

E(x) =∫ T

0[f (x) − g(x)]2dx

tem coeficientes dados por:ak =

∫ T0 f (x) cos(

2kπT )dx , k = 0,1,2 . . . n

bk =∫ T

0 f (x) sin(2kπT )dx , k = 1,2 . . . n

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Um exemplo simples

O resultado do Teorema anterior é provado usando algunsconceitos de Álegra Linear , como a projeção ortogonal relativaao produto interno da integral.

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Um exemplo simples

Voltando ao nosso problema, usando o teorema teremos:

a0 = 0

ak = 0, k = 1,2,3 . . .

bk =2Tkπ

, k = 1,2,3 . . .

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Um exemplo simples

A tabela abaixo tras a frequência audível nas variadasespécies animais.

Espécie Frequência Mínima (Hz) Frequência Máxima (Hz)Homem 20 20 000Morcego 10 000 120 000Golfinho 10 000 240 000Cachorro 15 50 000

Gato 60 65 000

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Um exemplo simples

Como a onda sonora é percebida até a frequência de 20.000Hz para o ouvido humano, teremos que o valor de k noexemplo vai até 4.Assim:

q(t) =2Aπ

(4∑

k=1

1k

sin2kπT

t

)

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Um exemplo simples

considerando k = 1 teremos :

q(t) =2Aπ

sin2πT

t

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Um exemplo simples

considerando k = 2 teremos :

q(t) =2Aπ

(sin

2πT

t + sin4πT

t)

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Um exemplo simples

considerando k = 3 teremos :

q(t) =2Aπ

(sin

2πT

t + sin4πT

t + sin6πT

t)

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Um exemplo simples

considerando k = 4 teremos :

q(t) =2Aπ

(sin

2πT

t + sin4πT

t + sin6πT

t + sin8πT

t)

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Um exemplo simples

Tabela comparativa

n Erro1 0,352 0,233 0,174 0,14

A aproximação melhora à medida que aumenta o número determos do polinômio

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Outros exemplos

Outros exemplos de uso são:

Energia de deformação de uma barra.Energia elétrica transferida ao resistor durante um períodoT.Energia potencial elástica do deslocamento vertical deuma corda.

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Complicando o problema

O Exemplo sugerido para o projeto foi sobre a audiçãohumana. O som é uma onda sonora. A equação geral de umaonda é dada por:

y(x , t) = A sin(kx − ωt)

k =2πλ

e ω =2πT

= 2πf .

A equação acima é bidimensional, e trabalha com as variáveisposição e tempo.No exemplo dado anteriormente usamos uma equação para operíodo da onda.

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Complicando o problema

Para facilitarmos o problema , vamos tomar um t fixo etrabalharmos apenas com a variação da posição.Entãoteremos a seguinte equação:

y(x) = A sin(kx)

k =2πλ

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Chebfun

Para resolvermos o problemas vamos utilizar o Chebfun.O Chebfun é uma coleção de algoritimos open-sourceUsa Matlab orientado à objetoDesenvolvido pelo gurpo do professor Nick Trefethen daUniversity of Oxford

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Bibliografia I

A. Bjork.Numerical methods for least squares problems.SIAM, Philadelphia, 1996.

M. C. C. Cunha.Métodos Númericos.2a edição revista e ampliada.Editora Unicamp, Campinas, 2000.

J. W. Demmel.Applied Numerical Linear Algebra.SIAM, Philadelphia, 1997.

M. A. G. Ruggiero & V. L. R. Lopes.Cálculo Numérico - Aspectos Teóricos eComputacionais.2a edição.Pearson, 1997.

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Bibliografia II

H. Anton & C. Rorres.Álgebra Linear com Aplicações. 8aEdição.Bookman, Porto Alegre, 2001.

L. N. Trefethen.Householder triangularization of a quasimatrix.IMA Journal of Numerical Analysis, (30):887–897, 2010.

L. N. Trefethen et al.Chebfun Version 4.2.The Chebfun Development Team, 2011.http://www.maths.ox.ac.uk/chebfun/.

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