��r�ur J�nssonE LISFR� IR�UMS OG T�IMAFyrirlestrar umtakm�rku�u afst��iskenninguna

H�sk�la�tg�fanReykjav k 1996Lj�sritun og �nnur fj�lf�ldun �heimil�n skriflegs leyfis h�fundar

Form�liTakmarka�a afst��iskenningin er mikilv�gur hluti af almennri menntun e�lis-fr��inga, �� a� kenningin gegni ekki veigamiklu hagn�tu hlutverki nema kjarn-e�lisfr��i, �reindafr��i og stjarne�lisfr��i. �I H�sk�la �Islands hefur til skammst ma einkum veri� fjalla� um afst��iskenninguna n�mskei�i � 3. kennslumisseriog yfirleitt fari� hratt yfir s�gu �v a� n�mskei�i� er a� mestu helga� frumatri�umskammtafr��innar.Fyrir nokkrum �rum var s� n�breytni tekin upp a� kenna s�rstakt tveggja ein-inga n�mskei� afst��iskenningu � 2. misseri. Af �v tilefni var teki� saman lesefni� slensku sem h�r birtist birtist. �I �essu n�ja n�mskei�i hefur veri� fjalla� tarlegarum afst��iskenninguna en ��ur var gert � 3. misseri og m.a. �ess vegna var tali��skilegt a� setja saman b�k � slensku um efni�.Nau�synlegur undirb�ningur undir lestur �essarar b�kar er klass sk aflfr��i,st�r�fr��igreining og l nuleg algebra eins og �essi f�g eru kennd � fyrsta misseri H�sk�lanum. �� er vonast til a� b�kin ver�i a�gengileg m�rgum sem einhverjanasasj�n hafa af �essum f�gum, t.d. nemendum � s �asta n�ms�ri e�lisfr��ideildummenntask�lanna.S�rst�k �hersla er l�g� � umr��u um grunnhugt�kin t ma og r�m ��ur en fjalla�er um nokkrar lykiltilraunir er s�na a� klass skar hugmyndir um t ma og r�m eru�fulln�gjandi. A� ��ru leyti eru efnist�kin hef�bundin: Lorentz-ummyndanir eruleiddar �t fr� forsendum Einsteins og nota�ar til a� gera grein fyrir hreyfifr��iog aflfr��i afst��iskenningarinnar. H�r er �� e.t.v. l�g� meiri �hersla � notkunfj�rvektora en t tt er byrjendab�kum. �I kaflanum um rafsegulsvi� er Lorentz-ummyndun svi�anna fundin og �ar er �skilegt a� lesandinn kunni nokku� fyrir s�r klass skri rafsegulfr��i.Um sum atri�i hef �g haft gagn af �birtum fyrirlestragl�sum um takm�rku�uafst��iskenninguna eftir Jakob Yngvason. �orsteinn Vilhj�lmsson las handriti� yfiraf stakri al�� og benti � fj�lmargt m�li, st l, framsetningu og or�avali sem beturm�tti fara. Gunnlaugur Bj�rnsson og Sk�li Sigur�sson g�fu einnig margar gagnlegar�bendingar. Allar amb�gur og missagnir eru �� a� sj�lfs�g�u m nar. KristinnJohnsen teikna�i myndirnar me� PicTex og veitti margh�tta�a a�ra a�sto�. Kann�g �eim �llum bestu �akkir fyrir.Kennslum�lasj��ur H�sk�lans og Almanakssj��ur hafa styrkt �tg�fu b�karinnarog �hugi og undiretktir nemenda hafa sannf�rt mig um a� samning b�karinnar varfyrirhafnarinnar vir�i.Raunv sindastofnun H�sk�lans, 9. jan�ar 1996��r�ur J�nssoniii

Efnisyfirlit1 R�m og t mi aflfr��i Newtons 11.1 Inngangur : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 11.2 Treg�ukerfi : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 31.3 Afst��isl�gm�li� : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 41.4 L�gm�l Machs : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 51.5 Vi�mi�unarkerfi sem sn�st : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 61.6 �fingad�mi : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 72 Lj�s og klass sk e�lisfr��i 92.1 Lj�svakinn : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 92.2 Lj�svik : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 102.3 Tilraun Michelsons og Morleys : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 112.4 �fingad�mi : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 143 Undirst��ur afst��iskenningarinnar 153.1 Forsendur : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 153.2 Afst��i samt mans : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 163.3 Lorentz-ummyndanir : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 183.4 �fingad�mi : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 214 Ger� t mar�msins 234.1 Lorentz-gr�pan : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 234.2 Poincar�-gr�pan : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 244.3 Minkowski-r�mi� : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 254.4 �fingad�mi : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 295 Hreyfifr��i 315.1 Samlagning hra�a : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 315.2 Lorentz-ummyndun hra�a : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 315.3 T malenging : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 335.4 Lengdarsamdr�ttur : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 345.5 Hlutur � hreyfingu : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 345.6 �fingad�mi : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 356 Lj�s afst��iskenningu 386.1 Hra�asamlagning og lj�svik : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 386.2 Tilraun Fizeaus : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 396.3 Doppler-hrif : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 406.4 �fingad�mi : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 427 Enn um hreyfifr��i 447.1 Eigint mi : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 447.2 Tv bura�vers�gnin : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 457.3 Eiginhra�i og fj�rvektorar : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 467.4 Hr��un : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 47iv

7.5 �fingad�mi : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 498 Orka og skri��ungi 508.1 Skri��ungi klass skri e�lisfr��i : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 508.2 Skri��ungi afst��iskenningu : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 518.3 Orku-skri��ungavektorinn : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 538.4 �fingad�mi : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 549 �Arekstrar og var�veislul�gm�l 559.1 Fullkomlega �fja�urmagna�ur �rekstur : : : : : : : : : : : : : : : : 559.2 Massalausar agnir : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 559.3 Massami�jukerfi : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 569.4 Hr�rnun : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 579.5 Myndun n�rra agna : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 599.6 Fja�urmagna�ir �rekstrar : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 619.7 Orka og t �ni lj�seinda : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 629.8 �fingad�mi : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6310 Kraftar og vinna 6510.1 Kraftar klass skri aflfr��i : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6510.2 Krafthugtaki� afst��iskenningunni : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6510.3 Lorentz-ummyndun krafts : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6610.4 Hr��un, kraftur og vinna : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6810.5 �fingad�mi : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6911 Rafsegulfr��i og afst��iskenning 7011.1 Rafsvi� fr� sj�narh�li athuganda � hreyfingu : : : : : : : : : : : : : 7011.2 Ummyndun rafsegulsvi�s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7311.3 �fingad�mi : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7612 Frumatri�i almennu afst��iskenningarinnar 7712.1 Jafngildisl�gm�li� : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7712.2 �yngdarrau�vik : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7812.3 Sveigja lj�ss : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7912.4 Sveigt r�m : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8012.5 Almenna afst��iskenningin : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8212.6 Heimsmynd afst��iskenningarinnar : : : : : : : : : : : : : : : : : : 8312.7 �fingad�mi : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 84v

1 R�m og t mi aflfr��i Newtons1.1 InngangurMargir hugsa s�r r�mi� sem eins konar l�t er inniheldur alla efnislega hluti. Flest-um vir�ist sj�lfsagt a� allir hlutir s�u � tilteknum sta� og r�mi� er �� mengi allrahugsanlegra sta�a. Einnig m� l kja r�minu vi� leiksvi� �ar sem atbur�ar�s ver-aldarinnar fer fram. Leikendurnir eru, fr� sj�narh�li e�lisfr��innar, efni og orka margv slegu samspili og birtingarformum. Samkv�mt �essum skilningi er r�mi��a� sem eftir er �egar allt efni hefur veri� fjarl�gt, r�tt eins og leiksvi�i� stendureitt og autt �egar s �asti leikandinn er genginn �t. Erfitt hefur reynst a� festahendur � �essu r�mhugtaki, ��tt �a� samr�mist hversdagslegum hugmyndum ogs� vissulega nytsamlegt m�rgum tilvikum.A�rir halda �v hins vegar fram a� r�m �n efnis s� merkingarleysa e�a bestafalli ��arft hugtak. Samkv�mt �essari sko�un er r�mi� hj�lpart�ki hugsunarinn-ar til a� gera grein fyrir innbyr�is afst��u atbur�a og efnispunkta en � s�r engasj�lfst��a tilvist. �I �essum fyrirlestrum kemur fram a� s �ara vi�horfi� er sennilegan�r sj�narmi�um n�t ma e�lisfr��inga, ��tt strangt teki� teljist �a� utan verksvi�se�lisfr��innar a� f�st vi� spurningar um r�m og t ma sem ekki er unnt a� svarame� tilraunum.Auk r�ms er t mi lykilhugtak allri e�lisfr��i. �An v sunar til t ma getum vi�ekki r�tt um hreyfingu hluta, breytingu � �standi e�a orsakavensl atbur�a. Erfitter a� hugsa um t ma � n�kv�man h�tt nema tengslum vi� lotubundin ferli n�tt�runni sem skilgreina t maeiningar, svo sem �r, tunglm�nu�i og s�larhringa.Menn hafa s �an l�rt a� notf�ra s�r t�ki me� lotubundna hreyfingu, t.d. pendla,til a� sm �a klukkur. Einhver kann a� spyrja: Hvernig vitum vi� a� �ll �r s�uraunverulega jafnl�ng e�a a� sveiflut mi pend�ls s� �t � hinn sami? ��tt undarlegtkunni a� vir�ast fyrstu er �essi spurning raun �t h�tt, �v a� t mi er einmittskilgreindur �annig a� �ll �r s�u jafnl�ng og sveiflut mi pend�ls s� �t � hinn sami.Og vi� sm �um �r og klukkur til a� m�la �ennan sama t ma. �rj�skur spyrjandimyndi �rei�anlega ekki gera sig �n�g�an me� �etta svar og benda � a� �au stj�rnu-fr��ilegu fyrirb�ri sem skilgreina t maeiningarnar a� ofan geta veri� breytingumundirorpin. J�r�in g�ti til d�mis rekist � st�ran loftstein me� �eim aflei�inguma� b��i brautar- og m�ndulsn�ningur trufla�ist. �ar me� myndi lengd b��i �rs ogs�larhrings breytast. Gangur g��rar at�mklukku yr�i �� hinn sami eftir sem ��urog vi� getum beitt aflfr��i Newtons me� �g�tri n�kv�mni til a� reikna �t lengdn�ja �rsins og n�ja s�larhringsins ef skri��ungi lofsteinsins er �ekktur. T mi er �v einfaldlega �a� sem r�ttar klukkur m�la og r�ttar klukkur eru kvar�a�ar �annig a�l�sing � hreyfingu hluta s� sem einf�ldust.Til a� gera grein fyrir hreyfingu er nau�synlegt a� r��a yfir hnitakerfi og klukkum�annig a� l�sa megi sta�setningu hluta og hvernig h�n breytist me� t ma. Til a�l�sa sta�setningu munum vi� yfirleitt velja Kartesarhnit, �.e. �rj� stjarfa hnita�sa,sem standa hornr�tt hver � annan. Vi� gerum r�� fyrir a� einkv�m samsv�run s�milli hnita (x1; x2; x3) 2 R3 og r�mpunkta, hvernig svo sem vi� kj�sum a� hugsaum r�mi�. Vi� gerum einnig r�� fyrir a� r�mfr��i Evkl �s gildi um punkta ogl nur. Me� stj�rfum hnita�sum er �tt vi� a� �sarnir s�u l nur. Lesandanum er1

v�ntanlega fullkunnugt a� r�mfr��i Evkl �s gildir me� mikilli n�kv�mni � j�r�uni�ri, en ekki ef liti� er � stjarnfr��ilegar vegalengdir. Vi� v kjum n�nar a� �essuefni s �asta kafla. A� sj�lfs�g�u m�tti velja �nnur hnit en Kartesarhnit til a� l�sasta�setningu, t.d. k�luhnit, en Kartesarhnit eru oftast ��gilegust takm�rku�uafst��iskenningunni.Hnitakerfi �samt samstilltum klukkum til a� t masetja atbur�i nefnist vi�mi�un-arkerfi e�a einfaldlega vi�mi�. ��gilegt er a� mynda s�r a� s�rhverjum r�mpunktis� klukka og allar �essar klukkur s�u samstilltar. H�r er e�lilegt a� spurt s� af hverju�urfi svo margar klukkur. Er ekki n�g a� hafa eina klukku? Svari� er nei, �v a�vi� viljum tileinka s�rhverjum atbur�i �kve�inn t ma og ekki er lj�st hvernig skulit masetja atbur�i sem gerast langt fr� klukku. Vi� fj�llum tarlega um �etta atri�i 3. kafla og r��um �ar einnig hvernig klukkur eru samstilltar.S�rhverjum atbur�i eru �v tileinku� 4 hnit, �rj� r�mhnit og eitt t mahnit. Einaf meginforsendum klass skrar aflfr��i var tilg�ta Newtons um a� t minn s� einnog hinn sami alls sta�ar ver�ldinni og fyrir alla athugendur hvernig svo sem �eirhreyfast hver gagnvart ��rum. �essi ,,algildi og sanni st�r�fr��ilegi t mi l �ur jafntog ��tt af sj�lfs s n v�ldum �llu �h��ur\, ef vi� leyfum okkur a� snara frj�lslegal�singu Newtons � t mahugtakinu.1 Fyrir daga Newtons var �essari sko�un � e�lit mans teki� sem auglj�sri sta�reynd. Dj�phygli Newtons kemur gl�ggt fram �v a� hann ger�i s�r lj�st a� eiginleikar t mans eru ekki sj�lfgefnir.Hinn algilda t ma Newtons skulum vi� nefna alt ma. �I meira en tv�r aldir varliti� � �a� eins og hvert anna� n�tt�rul�gm�l a� g��ar klukkur m�ldu alt ma. �Igrein sinni Um rafsegulfr��i hluta � hreyfingu2 sem Albert Einstein rita�i �ri� 1905,s�ndi hann fram � a� alt mahugtak Newtons f�r ekki sta�ist. Tveir athugendur semhreyfast hvor mi�a� vi� annan eru almennt �samm�la um hva�a atbur�ir gerastsamt mis. �I s�mu grein �tsk�r�i Einstein hvernig er skynsamlegast a� hugsa umr�m og t ma �eim tilvikum �egar engir �yngdarkraftar eru til sta�ar. �etta erhin takmarka�a afst��iskenning Einsteins. Almenna afst��iskenningin er alh�fing� takm�rku�u afst��iskenningunni. Einstein setti hana fram fullm�ta�a �ri� 1915,sj� [8], og henni �arf a� beita ef �yngdarsvi� er fyrir hendi.Afst��iskenningin hefur s�rst��u innan e�lisfr��innar, �v a� h�n fjallar umr�m og t ma. R�m og t mi er vettvangur allra atbur�a og �ar me� allrar e�lisfr��i.Afst��iskenningin er �v eins konar yfirkenning sem allar a�rar kenningar ver�a a�vera samr�mi vi�, eigi ��r a� teljast g��ar og gildar.Takmarka�a afst��iskenningin er tv m�lalaust ein af sk�rustu perlum v sind-anna. Forsendur kenningarinnar eru einfaldar og allar r�ksemdaf�rslur eru krist-alt�rar ��tt ni�urst��ur �eirra komi vissulega oft � �vart. Til a� gera grein fyrirkenningunni er ekki nau�synlegt a� beita mikilli st�r�fr��i. En til a� n� t�kum �henni �arf a� l�ra a� hugsa um t ma og r�m � n�jan h�tt. Frumhugt�kin sta�urog stund ver�a a� v kja fyrir hugtakinu atbur�ur. Almenna afst��iskenningin er� hinn b�ginn sn�in og ver�ur t�past skilin til hl tar �n talsver�rar st�r�fr��i.Takmarka�a afst��iskenningin er vi�fangsefni okkar h�r, en viki� ver�ur a� grunn-hugmyndum almennu afst��iskenningarinnar s �asta kafla.1Sj� [22] bls. 6.2Zur Elektrodynamik bewegter K�rper, Annalen der Physik 17 (1905) 891. Enska ���ingu �greininni er a� finna [8]. 2

1.2 Treg�ukerfiFyrir daga Newtons haf�i Galileo Galilei bent � a� tiltekin vi�mi�unarkerfi v�ruhentugust vi� l�singu � hreyfingu hluta. �essi vi�mi� eru svonefnd treg�ukerfi. �Itreg�ukerfum gildir treg�ul�gm�li� (einnig nefnt 1. l�gm�l Newtons):S�rhver hlutur sem ekki er undir �hrifum krafta hreyfist me� f�stumhra�a eftir beinni l nu.L�gm�l Newtons gilda treg�ukerfum. �I ��rum vi�mi�unarkerfum verka hr��unar-kraftar � hluti, svo sem mi�fl�ttakraftur og Coriolis-kraftur, sem n�nar ver�ur r�ttum lok �essa kafla.Newton �urfti au�vita� a� gera grein fyrir �v hva�a vi�mi�unarkerfi v�rutreg�ukerfi. Hann setti fram �� tilg�tu a� r�mi� �tti s�r sj�lfst��a tilvist og tilv�ri kyrrst�tt hnitakerfi r�minu. R�m Newtons skulum vi� nefna alr�m. Me�or�um Newtons3: ,,Alr�mi� er alltaf, e�li s nu samkv�mt, sj�lfu s�r l kt, �haggan-legt og �n tengsla vi� ytri �hrif.\ Hann vir�ist �v hafa hugsa� s�r r�mi� sem l�te�a leiksvi� eins og viki� var a� upphafi.Newton sta�h�f�i og ger�i a� forsendu fyrir kenningum s num a� kyrrst�tthnitakerfi alr�minu �samt klukkum sem m�la alt ma v�ri treg�ukerfi. Hnita-kerfi sem hreyfast me� f�stum hra�a eftir beinni l nu mi�a� vi� alr�mi� eru einnigtreg�ukerfi. Au�velt er a� s�na, a� �etta eru einu treg�ukerfin. Tv� treg�ukerfihreyfast �vinlega me� f�stum hra�a hvort mi�a� vi� anna�. �a� n�gir �v a� finnaeitt treg�ukerfi �� �ekkjum vi� �ll.Er unnt a� gefa d�mi um ��reifanlegt vi�mi�unarkerfi sem er treg�ukerfi skiln-ingi Galileos og Newtons? Vi�mi�unarkerfi sem er fast � yfirbor�i jar�ar er ekkitreg�ukerfi �v a� m�lanlegir Coriolis-kraftar verka � hluti � hreyfingu og pend-�ll Foucaults4 sn�st. Hi� klass ska d�mi um treg�ukerfi er hnitakerfi me� upp-hafspunkt mi�ju s�lar og hnita�sa tilteknar stefnur mi�a� vi� fastastj�rnurnar� himinhvolfinu. Sl kt vi�mi� getur �� ekki strangt teki� veri� treg�ukerfi �v a�fastastj�rnurnar hreyfast innbyr�is � l�ngum t ma og er s� hreyfing sk�r� me� �v a� s�lin og a�rar s�nilegar stj�rnur sn�ist um mi�ju vetrarbrautarinnar. Sk�stad�mi� um alheims treg�ukerfi er sennilega vi�mi�unarkerfi sem er kyrrst�tt mi�a�vi� svonefnda �riggja gr��u geislun sem berst til jar�ar �r �llum �ttum utan �rgeimnum. �riggja gr��u geislunin er afar veik �rbylgjugeislun sem tali� er eigauppruna sinn � �skuskei�i alheimsins �egar hann var ��ttur og heitur. Hreyfingvetrarbrautarinnar mi�a� vi� �riggja gr��u geislunina hefur veri� m�ld. Nafn sittdregur geislunin af r�finu sem er hi� sama og �tgeislunarr�f fr� sv�rtum hlut vi�hitastigi� 3�K.Algilt treg�ukerfi er ekki til. �I reynd er treg�ukerfi �t � afmarka� og endan-legt sv��i t ma og r�mi �ar sem treg�ul�gm�li� gildir me� tiltekinni n�kv�mni.Klass ska treg�ukerfi� me� fastan upphafspunkt s�lmi�ju er �� afar n�l�gt �v a�vera fullkomi� og �a� er n�gu gott til a� st�ra megi geimskipum um s�lkerfi� �rumsaman me� �tr�legri n�kv�mni og gera �v sem n�st fullkomna grein fyrir gangireikistjarnanna. ��tt algild treg�ukerfi s�u hugarsm � og eigi s�r enga samsv�run3Sj� [22] bls. 6-12.4Um tilraun Foucaults sj� t.d. [23] bls. 101-102 e�a [16] bls. 350-353.3

..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... .....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................x2 x1x02 x01........................................................................................................................ .............vMynd 1. Vi�mi�unarkerfi� S 0 hreyfist me� hra�a v stefnu x1-hnita�ssins s�� fr� S. raunveruleikanum eru �au afar nyts�m sm �. �I �llu meginm�li �essara fyrirlestramunum vi� til ��ginda hugsa okkur a� vi� r��um yfir treg�ukerfum, sem eru ekkitakm�rku� r�mi e�a t ma.1.3 Afst��isl�gm�li�E�lisfr��ingur A gluggalausu geimskipi me� sl�kkt � hreyflunum getur ekki me�nokkru m�ti �kvar�a� hra�a geimskipsins mi�a� vi� fastastj�rnurnar. Tilraunastofainni geimskipinu er treg�ukerfi me� g��ri n�kv�mni og �ar getur A beitt t�lum s n-um og t�kjum til a� uppg�tva n�tt�rul�gm�lin. E�lisfr��ingur B ��ru geimskipisem hreyfist me� f�stum hra�a mi�a� vi� hi� fyrra getur gert hi� sama. Ef A og Bhittast a� ranns�knum loknum og bera saman b�kur s nar �� yr�u �eir � einu m�lium hver n�tt�rul�gm�lin eru. �essi sta�reynd er venjulega nefnd afst��isl�gm�li�:L�gm�l e�lisfr��innar eru eins �llum treg�ukerfum.Au�vita� eruA og B ekki samd�ma um hreyfingu einstakra hluta e�a t �ni einstakralj�sgjafa, en �eir eru � einu m�li um �au l�gm�l er �kvar�a hreyfingu og lj�st �ni.L tum n� n�nar � hvernig m�lini�urst��ur A og B eru tengdar. Gerum r�� fyrir,a� (x1; x2; x3; t) s�u r�m- og t mahnit atbur�ar vi�mi�unarkerfi A og (x01; x02; x03; t0)hnit sama atbur�ar vi�mi�unarkerfi B. Gerum r�� fyrir a� hnitakerfi athugend-anna A og B falli saman �egar klukkur �eirra s�na b��ar 0 og hnita�sarnir s�usams �a. Gerum enn fremur r�� fyrir, a� B hreyfist me� hra�a v stefnu x1-�ss s��fr� A. �� gildir samkv�mt klass skri e�lisfr��i:x01 = x1 � vt (1.1)x02 = x2 (1.2)x03 = x3 (1.3)t0 = t: (1.4)Hnitaskiptav�rpunin (x1; x2; x3; t) 7! (x01; x02; x03; t0) nefnist Galilei-ummyndun, n�n-ar tilteki� Galilei-ummyndun um hra�a v stefnu x1-�ss. Samkv�mt hugmyndum4

Newtons um r�m og t ma sem vi� h�fum reifa� a� framan er n�sta lj�st a� Galilei-ummyndanir hlj�ta a� tengja saman atbur�i vi�mi�unarkerfum e�lisfr��ingannaA og B.Vi� innlei�um rith�ttinn r = (x1; x2; x3). Treg�ul�gm�li� gildir vi�mi�unarkerfiA ef og a�eins ef �a� gildir vi�mi�unarkerfi B, �v a� samkv�mt (1.1) og (1.4) erd2r0dt02 = d2rdt2 : (1:5)Gerum r�� fyrir a� fr� sj�narh�li A verki kraftur F � hlut me� massa m. Massihlutar er �h��ur athuganda, svo a� hreyfingarl�gm�l Newtons,F = md2rdt2 ; (1:6)gildir b��um vi�mi�unarkerfunum ef og a�eins ef A og B eru samd�ma um hva�akraftur verkar � hlutinn. Gerum n� enn fremur r�� fyrir, a� krafturinn F s� �yngd-arkraftur fr� hlutum me� massa mi og sta�setningu ri, i = 1; : : : N . �� erF = G NXi=1mmi (ri � r)jri � rj3 ; (1:7)�ar sem G er �yngdarstu�ull Newtons. Au�velt er a� sj� a� krafturinn F er �breytt-ur ef r og ri er breytt me� Galilei-ummyndun. Vi� h�fum �ar me� s�nt a� afst��-isl�gm�li� gildir aflfr��i Newtons. Klass sk aflfr��i er �v fullkomlega g�� oggegn ,,afst��iskenning\ �eim skilningi a� afst��isl�gm�li� gildir ef hnitaskipti erugefin me� Galilei-ummyndunum! �essi kenning er hins vegar ekki r�tt ��tt h�ns� sj�lfri s�r samkv�m. H�n br�tur b�ga vi� tilraunir, einkum �egar athuga�ireru hlutir sem hreyfast mj�g hratt. �essi kenning er heldur ekki samr�mi vi�rafsegulfr��i, eins og fjalla� ver�ur um n�sta kafla. Fyrst hugum vi� eil ti� n�nara� alr�mshugtaki Newtons.1.4 L�gm�l MachsGalileo og Newton ger�u s�r m�tavel lj�st a� afst��isl�gm�li� gildir um aflfr��ilegfyrirb�ri og �v er �kleift a� �kvar�a hra�a hluta mi�a� vi� alr�mi� me� aflfr��ileg-um a�fer�um. Allir athugendur treg�ukerfum eru hins vegar samd�ma um hr��unhluta eins og vi� r�ddum s �ustu grein svo a� safn allra treg�ukerfa er vel skil-greint ��tt �kleift s� a� �kvar�a hvert �eirra er ,,raunverulega\ kyrrst�tt. �a� varhins vegar dularfullt, og er kannski enn, hvers vegna einmitt �essi kerfi eru treg�u-kerfi en ekki einhver �nnur, sem hafa hr��un me� tilliti til treg�ukerfanna. Newtonfannst a� l kindum einfaldast a� �tsk�ra tilvist treg�ukerfanna me� tilg�tunni umalr�mi�.Newton haf�i a� auki eftirfarandi r�k fyrir tilvist alr�msins: �Imyndum okkura� vi� s�um st�dd treg�ukerfi me� tv�r n�kv�mlega eins hreyfingarlausar k�lur�r fja�urm�gnu�u efni. N� gefum vi� annarri k�lunni sn�ningshra�a um �s semliggur gegn um mi�ju beggja k�lnanna. �� f�r k�lan sem sn�st eil ti� �valal�gun. Mi�fl�ttakrafturinn veldur spennu k�lunni svo a� h�n bjagast. Hin k�lan5

er �breytt. Hvernig er unnt a� skilja a� �nnur k�lan er �v�l en hin ekki? ��rhafa s�mu afst��u hvor til annarrar og til umheimsins. J�, segir Newton, �a� ervegna �ess a� �nnur k�lan sn�st me� tilliti til alr�msins en hin ekki. Newton benti�v � a� vi� g�tum me� �tv r��um h�tti m�lt sn�ningshra�a hluta me� tilliti tilalr�msins.Fyrir daga Einsteins var austurr ski e�lisfr��ingurinn Ernst Mach skarpskyggn-asti gagnr�nandi alr�mstilg�tu Newtons.5 Mach lag�i �herslu � a� sta�a hluta mi�a�vi� a�ra, �.e. afst�� sta�setning, v�ri hi� eina sem vi� g�tum m�lt e�a skynja�og �v v�ri �t h�tt a� tala um a�ra sta�setningu e�a hreyfingu hluta en afst��a.Vi� getum ekki tala� um sta�setningu nema hafa vi�mi� og �ll raunveruleg vi�mi�eru hlutir. �I grein um afst��iskenninguna �ri� 1913 or�a�i �Olafur Dan elsson �essahugsun svo [24]:V�r segjum, a� til �ess a� v sa � punkt r�minu �urfi �rj� mi�; eg t�k tild�mis, a� til �ess a� v sa � punkt herberginu m nu, m�tti nefna fjarl�g�irhans fr� su�urvegg, austurvegg og g�lfi. �a� er n� au�vita� r�tt; en �� a�punkturinn s� �kve�inn herberginu, �� er sj�lft herbergi� � hreyfingu me�j�r�unni; �a� er sj�lfu s�r aldrei r�tt, a� gera r�� fyrir a� neinn hlutur s�kyr, ekki heldur �eir hlutir sem vi� er mi�a�; gagnvart hverju �ttu �eir a�vera kyrrir? �eir eru kyrrir hver gagnvart ��rum; um kyr� ��rum skilningigetur ekki veri� a� r��a.Mach gat s�r �ess til a� efnisdreifing alheimsins sem heildar hlyti a� �kvar�ahva�a vi�mi�unarkerfi eru treg�ukerfi. �essi tilg�ta nefnist l�gm�l Machs. Machfullyrti a� jafngilt v�ri a� hugsa s�r a� k�la sn�ist me� tilliti til fastastjarnannaog a� k�lan s� hreyfingarlaus en alheimurinn sn�ist um k�luna. R�k Machs vorueinkum heimspekilegs e�lis. Hann setti ekki fram neina kenningu um hvernig e�ahvers vegna efnisdreifing alheimsins �kvar�ar treg�ukerfin.Einstein las rit Machs ungur a� aldri og segir sj�lfur svo fr� a� �au hafi haft mikil�hrif � sig og veri� ein kveikjan a� afst��iskenningunni. Almenna afst��iskenninginfelur l�gm�l Machs s�r vissum skilningi, �v a� efnis- og orkudreifing alheimsins�kvar�ar ger� t mar�msins.1.5 Vi�mi�unarkerfi sem sn�st�I �essari grein athugum vi� stuttlega l�singu � hreyfingu hluta vi�mi�unarkerfisem sn�st me� tilliti til treg�ukerfis. Sl k vi�mi� eru mikilv�g e�lisfr��i m.a.vegna �ess a� vi�mi�unarkerfi f�st � yfirbor�i jar�ar sn�ast � �ennan h�tt.Gerum r�� fyrir a� S s� treg�ukerfi me� r�mhnit x1; x2; x3. L�tum S 0 vera anna�vi�mi�unarkerfi me� r�mhnit x01; x02; x03 sem sn�st me� f�stum hornhra�a ! um x3-�sinn s�� fr� S. Vi� gerum r�� fyrir a� upphafspunktar og hnita�sar kerfanna fallisaman � t manum t = t0 = 0 og einn og sami t mi gildi b��um kerfum. Tengslin5Kenningar Machs er einkum a� finna riti hans um s�gu aflfr��innar [15]. Hvassa og bein-skeytta �r�s anda Machs � alr�mstilg�tu Newtons er a� finna [1] bls. 310-11 �ar sem benter � a� ��r sta�reyndir sem taldar eru sty�ja tilg�tuna um tilvist alr�msins eru hinar s�mu ogalr�minu er �tla� a� �tsk�ra. 6

......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. x1x2x3; x03......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................ ............................................................ !t!t x01x02

Mynd 2. Vi�mi�unarkerfi� S 0 sn�st um x3-�s s�� fr� S.milli hnita S og S 0 eru �� gefin me�x01 = x1 cos(!t) + x2 sin(!t) (1.8)x02 = x2 cos(!t)� x1 sin(!t) (1.9)x03 = x3: (1.10)L tum n� � hlut sem hreyfist me� f�stum hra�a v stefnu x1-hnita�ssins S. Efhluturinn er upphafspunkti S kl. t = 0 f�st hnit hlutarins S sem fall af t me�r(t) = (vt; 0; 0): (1:11)Samkv�mt treg�ul�gm�linu verka engir kraftar � �ennan hlut en ef kyrrst��urathugandi S 0 reynir a� l�sa hreyfingu hans samr�mi vi� klass ska aflfr��i vir�isthonum hluturinn ver�a fyrir hr��un. Athugum �a� n�nar. Hnit hlutarins S 0 erur0(t) = vt(cos(!t);� sin(!t); 0); (1:12)samkv�mt (1.8)-(1.10). �ar af lei�ird2r0dt2 = �!2r0(t)� 2!v(sin(!t); cos(!t); 0): (1:13)Fyrri li�urinn h�gri hli� (1.13) er mi�s�knarhr��unin en hinn s �ari er Coriolis-hr��unin sem er hornr�tt � hreyfingarstefnu og stendur r�ttu hlutfalli b��i vi�hra�a hlutarins S og hornhra�ann !. Ef lesandinn �ekkir ekki Coriolis-kraft afeigin raun er tilvali� a� kynnast honum me� �v a� hreyfa sig � hringekju sem sn�st.Coriolis-kraftur gegnir mikilsver�u hlutverki ve�urfr��i og haffr��i.1.6 �fingad�mi1.1 Gluggalaust geimskip fellur frj�lst til jar�ar eftir l��r�ttri braut. E�lisfr��-ingur fylgist me� tveimur kyrrst��um hlutum inni geimfarinu sem eru 1m fjarl�g� hvor fr� ��rum �egar geimfari� er 100 km h��. Hve n�kv�mar7

fjarl�g�arm�lingar �arf e�lisfr��ingurinn a� gera til a� uppg�tva a� hann erekki staddur fullkomnu treg�ukerfi? (Ekki taka �hrif lofthj�ps jar�ar me� reikninginn!)1.2 Gerum r�� fyrir a� vi�mi� S 0 hreyfist me� hra�a v s�� fr� ��ru vi�mi�i S. Ger-um enn fremur r�� fyrir a� upphafspunktar vi�mi�anna falli saman � t manumt = 0. Finni� Galilei-ummyndunina sem tengir r�mhnit vi�mi�unarkerfanna.1.3 Hver er mi�fl�ttahr��unin � mi�baug vegna sn�nings jar�ar?1.4 Orrustuskip er statt � nor�urp�lnum. �Ur einni af byssum skipsins er skoti�fallbyssuk�lu a� skotmarki 50 km fjarl�g�. Hra�i k�lunnar er 5 km/sek.Skyttunni er ekki kunnugt um Coriolis-kraftinn. Hve langt fr� skotmarkinufer k�lan? (H�r m� til einf�ldunar gera r�� fyrir a� k�lan fari eftir beinni l nuog loftm�tsta�a s� engin.)1.5 �Imyndum okkur a� vi� s�um st�dd vi�mi�unarkerfi sem sn�st me� f�stumhornhra�a ! mi�a� vi� treg�ukerfi. Finni� Coriolis-kraftinn sem verkar � hlutsem hreyfist me� f�stum hra�a v stefnu sem myndar horni� � vi� sn�nings-�sinn. (�Abending: Hentugt er a� l�sa �essum krafti me� krossfeldi vektora.)

8

2 Lj�s og klass sk e�lisfr��iM�tsagnir hugmyndum e�lisfr��inga 19. aldar um heg�un lj�ss leiddu til afst��is-kenningarinnar. H�r k�nnum vi� �ann a�draganda og l�sum nokkrum mikilsver�umathugunum og tilraunum er komu vi� s�gu.2.1 Lj�svakinnNewton taldi lj�s vera straum �rsm�rra agna og gat sk�rt �msa eiginleika lj�ss me��eim h�tti. Er lei� � 19. �ldina og tarlegar ranns�knir h�f�u fari� fram � lj�si var��� s�nt a� �a� hlyti a� vera bylgjuhreyfing einhverjum skilningi. Ekki er h�gt a�sk�ra lj�sbognun og lj�sv xl � sannf�randi h�tt me� agnatilg�tunni.Um 1860 setti Maxwell fram hlutaflei�uj�fnur sem vi� hann eru kenndar og s�nahvernig rafhle�slur og rafstraumar �kvar�a rafsvi� og segulsvi�. Maxwell s�ndi ennfremur fram � a� rafsvi� og segulsvi� geta veri� til ��tt engar hle�slur e�a straumars�u fyrir hendi. Sl k svi� hl ta bylgjuj�fnu og ur�u e�lisfr��ingar flj�tlega samm�laum a� lj�s hlyti a� vera rafsegulbylgjur me� �ldulengd � tilteknu bili, enda gatMaxwell reikna� �t �tbrei�sluhra�a rafsegulbylgna og kom s� hra�i m�tavel heimog saman vi� m�ld gildi � lj�shra�anum.6Bylgjuhugtaki�, eins og vi� �ekkjum �a� �r daglegri reynslu, felur s�r a� bylgj-ur flytjast eftir einhvers konar bur�arefni. Hlj��bylgjur berast lofti, skj�lftabylgjur f�stu efni og undir�ldur � yfirbor�i sj�var. �a� var �v e�lileg tilg�ta e�lisfr��-inga 19. aldar a� lj�s v�ri sveiflur einhverju efni, sem listask�ldi� g��a gaf hi�hlj�mfagra nafn lj�svaki � slensku:Margt er �lit manna um �a� hva� s�larlj�si� s� og allt lj�s. Sumir haldalj�si� streymi �t �r hinum l�sendu l k�mum; aftur halda sumir �a� komiaf skj�lfta e�ur bylgjugangi harla sm�gj�rvu frumefni �v er kalla m�ttilj�svaka (�ter); hyggja menn a� lj�svaki fylli allan himingeiminn og segjalj�si� kvikni �ar vi� hristinginn, a� s nu leyti eins og hlj��i� kviknar vi�hristingu jar�lofts vors.7N� virtist sem traustum sto�um hef�i veri� skoti� undir tilg�tu Newtons umtilvist alr�msins: Alr�mi� er fullt af lj�svaka sem er kyrrst��ur alr�minu. Fr�sj�narh�li klass skrar e�lisfr��i gildir afst��isl�gm�li� ekki um rafsegulfyrirb�ri,�v a� j�fnur Maxwells gilda einungis hnitakerfi sem er kyrrst�tt lj�svakanum.Hra�i lj�ss er c vi�mi�unarkerfi lj�svakans en annar vi�mi�unarkerfi sem hreyf-ist me� tilliti til lj�svakans. Maxwell og fleiri veltu au�vita� fyrir s�r hvort ekkiv�ri h�gt a� m�la hra�a jar�arinnar lj�svakanum og �ar me� �kvar�a hreyfingu6�r�tt fyrir a� kenning Maxwells gefi afar g��a sk�ringu � allflestum eiginleikum rafsegulbylgnaheg�a ��r s�r �� stundum eins og agnir! �I raun er lj�s og �nnur rafsegulgeislun hvorki bylgju-hreyfing n� straumur af litlum �gnum heldur hvort tveggja senn og �� hvorugt. �etta tv e�lim� sk�ra me� skammtafr��i. Hvort r�ttara er a� l ta � lj�s sem bylgjur e�a agnir fer eftir �v hva�a eiginleika �ess vi� viljum sk�ra. Bylgjue�li� r��ur meiru um heg�un rafsegulbylgna me�langa �ldulengd, s.s. �tvarpsbylgna, en agnae�li� kemur gl�ggt fram heg�un gammageisla semhafa afar stutta �ldulengd.7Stj�rnufr��i l�tt og handa al���u eftir Dr. G. F. Ursin ���ingu J�nasar Hallgr mssonar.Ritverk J�nasar Hallgr mssonar III. Bindi, bls. 322. Svart � hv tu, Reykjav k (1989).9

jar�arinnar me� tilliti til alr�msins. Samkv�mt kenningu Maxwells og klass skumhugmyndum um r�m og t ma var lj�st a� sl k m�ling �tti a� vera gerleg, en h�nvar jafnframt afar vandas�m � �eim t ma, �v a� allir hra�ar eru svo �rsm�ir samanbur�i vi� lj�shra�ann.Michelson og s �ar Michelson og Morley reyndu �� a� m�la straumhra�a lj�svak-ans, og s�ndi tilraun �eirra a� lj�svakinn st��i kyrr tilraunastofunni. A�rarm�lingar, m.a. � svok�llu�u lj�sviki, g�fu hins vegar til kynna, a� j�r�in �yti �nhindrunar um lj�svakann og v�ri �v umlukin lj�svakavindi. Til a� sk�ra �essartilraunani�urst��ur og �msar fleiri �urfti a� tileinka lj�svakanum afar s�rkennilegaeiginleika. Gera var� r�� fyrir a� sum efni dr�gju hann me� s�r og � mismun-andi hra�a eftir eiginleikum efnanna, en gegnum �nnur efni �tti lj�svakinn a� rennahindrunarlaust.Einstein greiddi �r �essum �vers�gnum me� �v a� s�na fram � a� tilg�tan umtilvist lj�svakans er ���rf. Lj�s hefur �t � einn og sama hra�a t�mi hvernig svosem lj�sgjafi og athugandi hreyfast innbyr�is og �a� berst um t�mi� �n nokkursbur�arefnis. Afst��isl�gm�linu og rafsegulfr��i Maxwells var �ar me� borgi� enhugmyndir Newtons um r�m og t ma reyndust �fulln�gjandi og ur�u a� v kja.�A�ur en vi� s�num hvernig Einstein f�r a� skulum vi� l ta � tilraunir 19. aldarmanna til a� m�la hra�a jar�ar mi�a� vi� lj�svakann.2.2 Lj�svikEf vi� g�ngum �ti logni og rigningu falla regndroparnir ekki l��r�tt � h�fu� okkarheldur undir �kve�nu horni sem r��st af g�nguhra�anum. Ef lj�s v�ri straumuragna �tti hi� sama a� gilda um lj�s og regndropa og s�ndarsta�a n�gilega fjar-l�gra stjarna �tti �v a� breytast �rst �abundi� � himinhvelfingunni eftir �v semhreyfingarstefna jar�arinnar � braut hennar um s�lu breytist.8Til a� �tta okkur betur � �essu fyrirb�ri skulum vi� gera r�� fyrir a� sj�nl nafr� s�lu til fjarl�grar stj�rnu myndi horni� � vi� brautarplan jar�ar, s�� vi�mi�-unarkerfi �ar sem s�lin er kyrrst��, og stjarnan s� svo fjarl�g a� sj�nl nan myndime� g��ri n�kv�mni einnig horni� � vi� brautarplani� fjarl�g� jar�ar, R, fr� s�lu.Gerum enn fremur r�� fyrir a� lj�si� s� straumur agna me� hra�a c. Tvisvar � �rier hreyfingarstefna jar�ar hornr�tt � sj�nl nuna til stj�rnunnar, sj� mynd 3. Til a�mynd stj�rnunnar s� brennipunkti stj�rnusj�nauka � �essum t ma �arf �v a� hallasj�naukanum um horn , �ar sem tan = v=c, og v � 30 km/sek er brautarhra�ijar�ar, sj� mynd 4. �� f�st a� � 20 bogasek�ndur. Me� einfaldri r�mfr��i s�sta� stjarnan vir�ist hreyfast yfir �ri� eftir sporbaug � himinhvolfinu me� lang�s 20bogasek�ndur, en skamm�s 20 sin � bogasek�ndur. �essi hreyfing, nefnd lj�svik, varfyrst m�ld af breska stj�rnufr��ingnum Bradley �ri� 1727 og sk�r� me� agnakenn-ingu Newtons. �A �eim t ma var lj�shra�inn ekki �ekktur me� mikilli n�kv�mni,en brautarhra�i jar�ar var vel �ekktur, svo a� nota m�tti lj�sviki� til a� sta�festafyrri m�lingar � lj�shra�anum.Ef vi� l tum � lj�s sem bylgjuhreyfingu lj�svaka er ekki unnt a� sk�ra lj�sviknema gera r�� fyrir �v a� lj�svakinn �j�ti hindrunarlaust gegn um stj�rnusj�nauk-8H�r er um anna� fyrirb�ri a� r��a en svonefnd s�ndarhli�run sem stafar af �v a� sj�nl na tiln�l�gra stjarna breytir um stefnu eftir st��u jar�ar � braut hennar um s�lu.10

.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. ...........................................................................................................................................................................................................................................................................A B............................................................................................................................. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ...?............................................................................................................. ........................................................ .............� ............................................. �RMynd 3. Sj�nl na til fjarl�grar stj�rnu myndar horni� � vi� brautarplan jar�ar. Tvisvar� �ri, punktunum A og B, er hreyfingarstefna jar�ar hornr�tt � beina l nu til stj�rnunnar.ann. Lj�sviki� s�nir a� hreyfingarstefna lj�ssins er �h�� brautarhreyfingu jar�ar r�tteins og hra�i regndropanna vi�mi�unarkerfi �ar sem andr�mslofti� er kyrrst�tter �h��ur g�nguhra�a okkar �egar vi� erum �ti rigningu. V�ri j�r�in kyrrst�� lj�svakanum myndi ekkert lj�svik m�last. Lj�sviki� og fleiri fyrirb�ri ur�u til�ess a� e�lisfr��ingar t�ldu a� j�r�in v�ri umlukin lj�svakavindi � fer� sinni umgeiminn..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... .............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. ..................................................................................................................................................................... .............................................................................................. .............v................... .......................................................................................................... ..........................................................................................................L

Mynd 4. Halla �arf stj�rnusj�nauka sem hreyfist �vert � beina l nu til �eirrar stj�rnu semveri� er a� sko�a. Ef hra�i sj�naukans �vert � stefnu lj�ssins er v �� er Lv cos = Lc sin .2.3 Tilraun Michelsons og MorleysEf lj�s hreyfist me� hra�a c lj�svakanum og tilraunastofa ��tur gegn um lj�svak-ann � hra�a v �� �� vir�ist lj�shra�inn, m�ldur vi�mi�unarkerfi �ar sem tilrauna-stofan er kyrr, vera c� v hreyfingarstefnu tilraunastofunnar en c+ v gagnst��a11

............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................ ................................................. ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... .............� �A B CDE..................................................................................... .............v

Mynd 5. Yfirlitsmynd af lj�sv xlunarm�li Michelsons. Vi� hugsum okkur a� lj�svaka-vindurinn bl�si sams �a l nunni ABC.stefnu. Michelson t�k s�r fyrir hendur a� m�la �ennan hra�amun og skulum vi�n� l ta � t�ki hans, sj� mynd 5.Einlitur lj�sgjafi A me� bylgjulengd � sendir fr� s�r lj�sgeisla sem er klofinn tvennt af h�lfsilfru�um spegli B. Annar hluti lj�sgeislans heldur �fram a� spegli C�ar sem hann endurvarpast a� B, en hinn hlutinn hreyfist eftir l nu sem er hornr�tt� BC a� spegli D og endurkastast a� B. �egar lj�sgeislarnir koma til baka a� Bhalda �eir �fram a� E �ar sem komi� er fyrir sm�sj� til a� sko�a v xlunarmynsturgeislanna tveggja. T�knum fjarl�g�irnar BC og BD me� L1 og L2. N� gerumvi� r�� fyrir a� lj�sv xlunarm�lirinn hreyfist gegnum lj�svakann stefnu l nunnarABC me� hra�a v. S� t mi sem �a� tekur lj�si� a� fara fram og til baka fr� B tilC er �v T1 = L1c� v + L1c+ v ; (2:14)en t minn sem �a� tekur lj�si� a� fara fr� B til D og til baka erT2 = 2L2pc2 � v2 ; (2:15)�v a� lj�shra�inn hornr�tt � lj�svakavind me� hra�a v er pc2 � v2 samkv�mtvenjulegum reglum um hra�asamlagningu. Vi� sj�um a� t mamunurinn � geislunumtveimur er �v �T = T1 � T2= 2c 0@ L11 � v2=c2 � L2q1� v2=c21A : (2.16)Ef v � c �� er �T � 2(L1 � L2)c + v2c3 (2L1 � L2) : (2:17)Lj�sv xlunarmynstri� E er ��ekkt �v sem f�st fr� tveimur mj�um raufum �v a� lj�sgeislarnir tveir koma fr� �l kum punktum � h�lfsilfra�a speglinum vegnasm�v�gilegs lj�sbrots honum. 12

Ef t�kinu er n� sn�i� um 90� um �s hornr�tt � plani� ACD, �annig a� armarnirtveir BC og BD skipti um afst��u gagnvart lj�svakavindinum, �� ver�ur t mamun-urinn � geislunum tveimur�T 0 = 2c 0@ L1q1� v2=c2 � L21� v2=c21A� 2c (L1 � L2) + v2c3 (L1 � 2L2): (2.18)Lj�sv xlunarmynstri� E hli�rast �v um n r�kir �ar semn = c�(�T ��T 0)� v2(L1 + L2)c2� : (2.19)�essa hli�run �tti a� vera h�gt a� greina me� berum augum sm�sj�nni �egart�kinu er sn�i�. Michelson vissi a� sj�lfs�g�u ekki �r hva�a �tt lj�svakavindurinnbl�s. Hann vissi heldur ekki hver vindhra�inn v�ri. Hann gat �� veri� �ruggurum a� vindhra�inn myndi breyta um stefnu og styrk, b��i � hverjum s�larhringvegna sn�nings jar�ar, og � lengri t ma vegna brautarhreyfingar jar�ar. Lj�sv xl-unarmynstri� �tti �v a� hli�rast fyrr e�a s �ar v�ri tilraunin endurtekin. �I hinuupprunalega t�ki Michelsons fr� 1881 var lengd armanna L1 og L2 einungis r�murmetri, en n hef�i eigi a� s �ur �tt a� vera m�lanleg st�r� ef vi� t�kum brautarhra�ajar�ar sem v. Michelson og samstarfsmanni hans Morley t�kst ekki a� finna hli�run� lj�sv xlunarl nunum �r�tt fyrir �ratuga starf. Tilraunin hefur veri� endurtekinmargoft s �an en aldrei hefur m�lst hli�run � l nunum.Tilraun Michelsons s�nir a� lj�shra�inn t�mar�mi er �t � hinn sami allar �ttir.Skyldar tilraunir (Kennedy og Thorndyke 1932, sj� [11]) s�na a� gildi lj�shra�anser hi� sama �llum treg�ukerfum og ni�ursta�a Michelsons er ekki h�� �v a�lj�sgjafinn s� kyrrst��ur tilraunastofunni. Me� n�t ma t�kni er unnt a� s�na a�lj�shra�inn er �h��ur stefnu r�minu me� hlutfallslegri n�kv�mni 10�15 [4].Samkv�mt e�lisfr��i 19. aldar var ekki unnt a� t�lka m�lini�urst��u Michel-sons ��ru v si en svo a� j�r�in st��i kyrr lj�svakanum e�a lj�svakinn l mdi sig me�einhverjum h�tti vi� yfirbor� jar�ar svo a� lj�svakalogn r kti �vinlega tilrauna-stofu Michelsons. �essi sk�ring braut hins vegar b�ga vi� allar einfaldar sk�ringar� lj�sviki.Fitzgerald og s �ar Lorentz reyndu a� sk�ra m�lini�urst��u Michelsons me��eirri tilg�tu a� hlutir sem hreyfast lj�svakanum dragist saman hreyfingarstefn-una hlutfallinu q1� v2=c2. �� s�st af j�fnu (2.16) a� ofan, a� �T = �T 0, �v a�armurinn sem er sams �a lj�svakavindinum v�ri raun styttri en vi� h�ldum. Enginhli�run yr�i �v � lj�sv xlunarmynstrinu. �essi tilg�ta var lokatilraunin til a� bjargaklass skum hugmyndum um r�m og t ma en dug�i ekki til a� lengja l fdaga lj�svak-ans. Samdr�tturinn kemur �� fyrir annarri mynd afst��iskenningu Einsteins oger stundum kalla�ur Fitzgerald-Lorentz samdr�ttur, sj� 5. kafla.S �ari t ma e�lisfr��ingar hafa gjarnan liti� svo � a� tilraun Michelsons s� einnaf traustustu hornsteinum takm�rku�u afst��iskenningarinnar. �a� er �v athyglis-vert a� Einstein l�t �au or� falla � efri �rum a� s�r hef�i veri� �kunnugt um tilraun13

Michelsons �egar hann setti kenninguna fram �ri� 1905.9 Einstein sag�ist �t � hafaliti� � �a� sem nau�synlega forsendu fyrir skynsamlegri heimsmynd a� afst��isl�g-m�li� gilti um rafsegulfyrirb�ri og �v hlyti lj�shra�inn a� vera hinn sami �llumtreg�ukerfum.2.4 �fingad�mi2.1 Reikni� �t hli�run v xlunarmynstursins v xlunarm�li Michelsons ef L1 =L2 = 1 m og � =3000 �A.2.2 Hugsum okkur a� �sinn ABC lj�sv xlunarm�li Michelsons myndi horni� �vi� lj�svakavindinn. Finni� �� hli�run � v xlunarmynstrinu sem v�nta m��egar t�kinu er sn�i� um 90�.2.3 Hj�lrei�ama�ur �arf a� fer�ast 3 km rigningu og logni. Geri� einfalt l kan afhj�lrei�amanninum og finni� �t � hva�a hra�a hann blotnar minnst � lei�inni.2.4 Hlj��bylgjum sem hreyfast sams �a stefnu x3-hnita�ss m� l�sa me� hlutaf-lei�uj�fnunni @2P@x23 � c�2h @2P@t2 = 0 (2:20) vi�mi�unarkerfi S �ar sem lofti� er kyrrst�tt og P er fr�viki� fr� jafnv�gis-�r�stingi.10 Finni� samsvarandi j�fnu vi�mi�unarkerfi S 0 sem hreyfist me�hra�a v stefnu x3-�ss s�� fr� S. Geri� r�� fyrir a� hnitaskiptum s� l�st me�Galilei-ummyndun. H�r t�knar ch hlj��hra�ann vi�mi�unarkerfi �ar semlofti� er kyrrst�tt.9Um �etta efni m� lesa n�nar [25] bls. 111-119.10Sj� t.d. [23] bls. 418. 14

3 Undirst��ur afst��iskenningarinnar��tt r�tur takm�rku�u afst��iskenningarinnar liggi rafsegulfr��i Maxwells einsog vi� r�ddum s �asta kafla �� felur afst��iskenningin ekki s�r neinar breytingar� l�gm�lum rafsegulfr��innar. Hi� eina sem breytist er sta�a t ma og r�ms gagnvartrafsegulfr��i og ��rum l�gm�lum e�lisfr��innar.3.1 ForsendurFyrir daga Einsteins var afst��isl�gm�li� vel �ekkt aflfr��i, en �ar var �a� leitt�t fr� forsendum aflfr��innar. Einstein setti afst��isl�gm�li� � n�jan stall11 ogger�i �a� a� forsendu fyrir allri e�lisfr��i:L�gm�l e�lisfr��innar eru eins �llum treg�ukerfum.Skilgreining Einsteins � treg�ukerfi er raun jafngild skilgreiningu Newtons: Treg�u-kerfi er vi�mi�unarkerfi �ar sem treg�ul�gm�li� gildir. R�k Einsteins fyrir afst��-isl�gm�linu voru einkum �au a� einf�ld m�lanleg fyrirb�ri rafsegulfr��i v�rueinungis h�� innbyr�is hreyfingu hluta, en au�vita� �arf ekki a� r�ksty�ja forsend-ur kenningar heldur �urfa ��r fyrst og fremst a� vera samr�mi vi� tilraunir.R�ttl�ting forsendnanna felst �eim �rangri sem n�st me� �v a� beita kenning-unni til a� �tsk�ra efnisheiminn. Taki� eftir a� afst��isl�gm�li� hefur f�r me�s�r a� r�mi� er b��i einsleitt og eins�tta. Me� ��rum or�um: L�gm�l e�lisfr��-innar eru eins alls sta�ar og allar stefnur r�minu eru jafngildar. Ekki er til neinnalgildur �ttaviti. L�gm�li� segir enn fremur a� t minn s� einsleitur, �.e. l�gm�le�lisfr��innar eru �h�� t ma.S �ari forsenda Einsteins fyrir takm�rku�u afst��iskenningunni er eftirfarandi:Lj�s hreyfist eftir beinum l num �llum treg�ukerfum me� hra�a c semer �h��ur stefnu lj�ssins og hreyfingu lj�sgjafans.Forsendurnar h�r � undan kunna a� vir�ast sakleysislegar. Taki� �� eftir a� lj�sieru tileinka�ir eiginleikar sem gera �a� fr�brug�i� ��rum samb�rilegum fyrirb�rum:Hlj��hra�inn er h��ur hreyfingu hlustanda me� tilliti til loftsins og hra�i byssuk�lugagnvart skotmarki er h��ur innbyr�is hreyfingu byssu og skotmarks. Me� lj�s-hra�anum c er h�r og eftirlei�is �tt vi� lj�shra�a t�mi nema �egar anna� er teki�fram.Vi� sj�um strax a� seinni forsenda Einsteins sk�rir ni�urst��u Michelson-Morleytilraunarinnar. �Utsk�ring afst��iskenningarinnar � lj�sviki og ��rum lj�sfr��ileg-um fyrirb�rum ver�ur r�dd 6. kafla. Vi�fangsefni okkar �essum kafla og hinumn�stu er a� gera grein fyrir beitingu hugtakanna r�ms og t ma takm�rku�u af-st��iskenningunni og finna hva�a breytingar �arf a� gera � aflfr��i Newtons til a�h�n ver�i samr�mi vi� forsendur Einsteins.11Um l kt leyti varpa�i Poincar� fram�eirri tilg�tu a� l�gm�l e�lisfr��innar v�ru �annig �r gar�iger� a� ekki v�ri unnt a� m�la a�ra hreyfingu en afst��a og r�tt v�ri a� l ta � afst��isl�gm�li�sem n�tt�rul�gm�l. �v m� segja a� Poincar� hafi stigi� fyrsta skrefi� �tt a� afst��iskenningunni�h�� Einstein, sj� n�nar [25, 19]. 15

�I fyrsta kafla kom fram a� afst��isl�gm�li� gildir aflfr��i Newtons, en einungisa� �v gefnu a� unnt s� a� skilgreina einn og sama alt ma fyrir alla athugendur.Vi� byrjum � a� s�na a� forsendur Einsteins hafa f�r me� s�r a� athugendursem hreyfast hvor gagnvart ��rum geta ekki veri� samm�la um t masetningu allraatbur�a.3.2 Afst��i samt mansE�lisfr��in fjallar fyrst og fremst um atbur�i og innbyr�is tengsl �eirra. Afst��ilege�lisfr��i fjallar ekki um r�mpunkta; �eir eiga s�r enga raunverulega tilvist �h��aefnis�gnum �v a� enginn lei� er a� a�greina eina sta�setningu fr� annarri nemame� einhvers konar efnisvi�mi�un. Atbur�ur er til d�mis �rekstur tveggja �reinda,geislavirk hr�rnun at�mkjarna e�a almennar eitthvert ferli sem varir mj�g skammastund samanbur�i vi� �nnur ferli sem vi� h�fum �huga �.Er vi� h�fum vali� vi�mi�unarkerfi eru atbur�um tileinku� 4 hnit eins og r�ttvar a� framan: �rj� r�mhnit sem mi�ast vi� stjarfa �sa Kartesarhnitakerfis og eittt mahnit. T mahniti� er gefi� me� klukku sem hefur s�mu r�mhnit og atbur�urinn.T mahniti� ��last ekki merkingu fyrr en klukkur vi�mi�unarkerfisins hafa veri�samstilltar, r�tt eins og kv�r�un hnita�sa er forsenda �ess a� unnt s� a� r��a umsta�setningu atbur�a hnitakerfi. Safn allra atbur�a er nefnt t mar�mi�.Einstein benti � a� ekki er sj�lfgefi� hvernig beri a� samstilla klukkur sem ekkieru � sama sta�. �a� m� l�ta s�r detta hug a� samstilla klukkur vi�mi�unarkerfisme� �v a� safna �eim saman � einn sta�, til d�mis upphafspunkti hnitakerfisinsog samstilla ��r �ar, �v a� �a� fer ekki milli m�la hvort klukkur sem eru hli� vi�hli� eru samstilltar e�a ekki. A� samstillingu lokinni m�tti s �an flytja klukkurnar� �ann sta� hnitakerfinu �ar sem �eim er �tla� a� m�la t ma. Hvernig vitumvi� hvort klukkurnar eru samstilltar a� loknum flutningnum? Kannski er sj�lfgefi�a� ��r s�u samstilltar eftir tilf�rsluna? �a� t�ldu flestir e�lisfr��ingar fyrir dagaEinsteins og l�tu �ar vi� sitja.Hins vegar er au�velt a� ganga �r skugga um hvort klukkurnar eru raunverulegasamstilltar. Vi� myndum okkur a� hverri klukku fylgi athugandi og athugendurnirkomi s�r saman um a� einn �eirra ver�i eftir upphafspunkti hnitakerfisins og sendi�t lj�sblossa �egar hans klukka s�nir t = 0. Hinir athugendurnir taka s�r st��u� fyrirfram �kve�num st��um hnitakerfinu og b �a makindum eftir a� �eir sj�ilj�sblossann. �eir vita hve langt �eir eru fr� upphafspunktinum �v a� engumvandkv��um er bundi� a� m�la fjarl�g�ir me� kyrrst��um stj�rfum m�listikum.Athugandi A me� r�mhnit (x1; x2; x3) er fjarl�g�r = qx21 + x22 + x23 (3:21)fr� upphafspunktinum. �egar A s�r lj�sglampann � klukka hans a� s�na t = r=c�v a� lj�shra�inn er c allar stefnur.Tilraunin sem vi� l�stum gr�fum dr�ttum a� ofan hefur veri� ger� og ni�ur-sta�an er s� a� flutningur � samstilltum klukkum ruglar samstillingu �eirra! At-hugandinn A s�r ekki lj�sblossann klukkan t = r=c samkv�mt sinni klukku heldur�rlitlu fyrr. Vi� munum s �ar r��a sm�atri�um hve miki� samstillingin raskast16

............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... t xABS.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................a=c ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... t0 x0ABS0........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ ..............................................................................................................................................................................................................................tB tAMynd 6. �I S eru A og B kyrrst��ir og st��u �eirra er �v l�st me� l��r�ttum l num.�I S 0 hreyfast A og B gagnst�tt stefnu x01-hnita�ssins. Uppt�k lj�sblossans hafa s�mut mar�mshnit S 0 og S og blossinn brei�ist �v �t � sama h�tt S 0 og S. M�lt me�klukkum S 0 s�r A blossann kl. tA en B s�r blossann kl. tB. Samkv�mt myndinni erauglj�st a� tB > tA.vi� f�rsluna. Hin r�tta a�fer� vi� a� samstilla klukkur er a� nota lj�sblossa. Eflj�sblossi er sendur �t fr� upphafspunkti vi�mi�unarkerfis � t manum t = 0, sam-kv�mt klukku sem er kyrrst�� upphafspunktinum, og kyrrst�� klukka punktin-um (x1; x2; x3) s�nir t = r=c �egar lj�sblossinn s�st �ar �� er h�n samstillt klukkunni upphafspunktinum, en annars ekki. �etta er skilgreining Einsteins (og okkar) �samstilltum klukkum. Taki� eftir a� �etta er eina skilgreiningin sem er samr�mivi� forsendur Einsteins. �a� er �� engin r�kleg nau�syn a� nota lj�smerki til a�samstilla klukkur. �a� m�tti a� sj�lfs�g�u nota annars konar merkjasendingar efvi� vissum a� merkin b�rust me� sama hra�a allar �ttir eins og t.d. hlj��bylgjur kyrrst��u lofti.Gerum n� r�� fyrir a� vi� h�fum tv� treg�ukerfi, hvort um sig me� samstilltumklukkum eins og l�st var h�r � undan. K�llum anna� vi�mi�unarkerfi� kyrrst��akerfi� og t�knum �a� me� S. Hitt vi�mi�unarkerfi�, S 0, hreyfist me� hra�a veftir x1-�s s�� fr� S. Vi� gerum r�� fyrir a� upphafspunktar hnitakerfanna oghnita�sarnir falli saman �egar klukkan upphafspunkti S s�nir 0. Gerum r�� fyrira� klukkan upphafspunkti S 0 s�ni einnig 0 �egar hnitakerfin falla saman. Taki�eftir a� engum vandkv��um er bundi� a� bera klukkurnar tv�r upphafspunktumhnitakerfanna saman � �essu augnabliki �v a� �� eru ��r � sama sta�. Hvernig bert mam�lingum S saman vi� t mam�lingar S 0 a� ��ru leyti? Til a� svara �essarispurningu skulum vi� gera r�� fyrir a� lj�sblossi s� sendur �t fr� upphafspunktikyrrst��a kerfisins S kl. t = 0. Athugandi A staddur (a; 0; 0), a > 0, S s�rlj�sblossann kl. t = a=c. Kyrrst��ur athugandi B S sem er sta�settur punktinum(�a; 0; 0) s�r lj�sblossann � sama t ma.�I vi�mi�unarkerfinu S 0 hreyfast A og B gagnst�tt stefnu x01-�ssins, sj� 6. mynd.Lj�sblossinn brei�ist �t me� hra�a c S 0 alveg eins og S, svo a� samkv�mthinum samstilltu klukkum vi�mi�unarkerfinu S 0 s�r athugandi A lj�sblossann �undan athuganda B, �v a� A hreyfist �tt a� lj�suppt�kunum en B fjarl�gistuppt�kin. Hven�r A og B sj� lj�si� samkv�mt klukkum vi�mi�unarkerfisins S 0�kvar�ast af kyrrst��um klukkum S 0 sem hafa s�mu sta�setningu og athugendurnir17

� �v augnabliki sem �eir sj� blossann. Atbur�irnir ,,A s�r lj�sblossa\ og ,,B s�rlj�sblossa\ eru �v samt maatbur�ir S en ekki S 0.3.3 Lorentz-ummyndanirVi� sn�um okkur n�st a� �v a� reikna �t samband t mar�mshnita atbur�a tveim-ur vi�mi�unarkerfum sem hreyfast me� f�stum hra�a hvort gagnvart ��ru. �ettasamband er gefi� me� svonefndum Lorentz-ummyndunum sem koma sta� Galilei-ummyndananna er gilda aflfr��i Newtons og r�tt var um 1. kafla.Vi� byrjum � a� kanna n�nar �tbrei�slu lj�sblossans sem fjalla� var um s �ustugrein. L�tum S og S 0 t�kna s�mu vi�mi�unarkerfi og �ar var r�tt um. �A t ma t > 0er lj�sblossinn S � yfirbor�i k�lu me� rad us ct. �eir athugendur S sem sj� lj�s� �eim t ma eru staddir punktum (x1; x2; x3) sem hl ta j�fnunnix21 + x22 + x23 = c2t2: (3:22)Ef (t; x1; x2; x3) 2 R4 eru t mar�mshnit atbur�ar S �� l�tum vi� (t0; x01; x02; x03) 2R4 t�kna t mar�mshnit sama atbur�ar S 0. Vi� h�fum �egar s�� s �ustu grein a�samband (t; x1; x2; x3) og (t0; x01; x02; x03) getur ekki veri� gefi� me� Galilei-ummyndun.Ef (t; x1; x2; x3) fulln�gir j�fnu (3.22) �� fulln�gir (t0; x01; x02; x03) j�fnunnix021 + x022 + x023 = c2t02 (3:23)og �fugt.�I afst��iskenningu er hentugt a� m�la lengdir og t ma s�mu einingum. Vi�skilgreinum einn metra af t ma sem �ann t ma ( sek�ndum) sem �a� tekur lj�si�a� fara einn metra. T mahniti� m�lt metrum er �v x0 = ct: (3:24)T mar�mshnit atbur�ar S er �v venjulega t�kna� me�x = (x0; x1; x2; x3) 2 R4: (3:25)Fyrir x; y 2 R4 er ��gilegt a� skilgreina svokalla� Minkowski-innfeldi me�x � y = x0y0 � x1y1 � x2y2 � x3y3: (3:26)Minkowski-innfeldi� er ekki innfeldi venjulegum skilningi �v a� �a� getur teki�neikv�� gildi. Skilyr�i� sem felst j�fnum (3.22) og (3.23) m� ritax � x = 0 �� og �v a�eins a� x0 � x0 = 0: (3:27)Vi� vitum a� hlutir sem hreyfast eftir beinni l nu S fara einnig eftir beinni l nu S 0 (treg�ul�gm�li�). Af �essu lei�ir a� v�rpunin x 7! x0 er l nuleg,12 �.e. til er4 � 4 fylki L �annig a� x0 = Lx: (3:28)12�etta er aflei�ing afst��isl�gm�lsins. Einf�ld s�nnun er gefin [37] bls. 26-27 �ar sem gert err�� fyrir a� v�rpunin s� tvisvar diffranleg. N�kv�mari umfj�llun m� t.d. finna [2] og [3].18

Fylki� L er andhverfanlegt �v a� v�rpunin x 7! x0 er auglj�slega gagnt�k.Til a� �kvar�a st�k fylkisins L byrjum vi� � a� taka eftir a� atbur�ur me� x2-hnit 0 S hefur einnig x02-hnit 0 S 0, �.e. pl�nin x2 = 0 og x02 = 0 falla saman. �Asama h�tt falla pl�nin x3 = 0 og x03 = 0 saman. Samkv�mt j�fnu (3.28) erx02 = 3Xj=0L2jxj; (3:29)�ar sem Lij eru st�k fylkisins L, svo a� L2j = 0 nema j = 2. Vi� ritum L22 = �(v),�v a� fylkisstaki� getur ekki veri� h�� ��ru en v, �.e.x02 = �(v)x2: (3:30)N� hreyfist S me� hra�a �v stefnu x01-�ssins s�� fr� S 0 svo a�x2 = �(�v)x02 (3:31)sem hefur f�r me� s�r a� �(v)�(�v) = 1: (3:32)Vegna afst��isl�gm�lsins ver�ur �(v) a� vera jafnt �(�v), �v a� annars v�ru vi�-mi�in S og S 0 ekki jafngild. �� f�st �(v) = �1. St�r�in �(v) hl�tur a� verasamfellt fall af v, og �(0) = 1, svo a� �(v) = 1 fyrir �ll gildi � v. Vi� h�fum �v s�nt a� x02 = x2: (3:33)Me� hli�st��um r�kum f�st a� x03 = x3: (3:34)Vi� t�kum n�st eftir a� x1-hnit upphafspunkts S 0 s�� fr� S er vt, og sama gildirum alla punkta x02x03 planinu S 0. Me� ��rum or�um: Atbur�ur hefur x1-hnit vt�� og �v a�eins a� hann hafi x01-hnit 0. �ar af lei�ir a� til er fasti sem venjulegaer t�kna�ur me� �annig a� x01 = (x1 � vt): (3:35)Vegna afst��isl�gm�lsins getur ekki veri� h�� ��ru en jvj og einnig hl�tur a� gildax1 = (x01 + vt0) (3:36)�v a� vi�mi�unarkerfi� S hreyfist me� hra�a �v stefnu x01-�ss s�� fr� S 0.Til a� lei�a �t j�fnur (3.35) og (3.36) h�fum vi� einungis nota� fyrri forsendu Ein-steins, �.e. afst��isl�gm�li�. Ef hef�i gildi� 1 fengjum vi� Galilei-ummyndanirnar.Vi� beitum n� s �ari forsendu Einsteins og athugum lj�sblossa sem brei�ist �t fr�upphafspunktum vi�mi�unarkerfanna S og S 0 � t manum t = t0 = 0. Vi� mun-um a� klukkurnar upphafspunktum vi�mi�unarkerfanna eru samstilltar � 0 �egarupphafspunktarnir falla saman. S� punktur � j�kv��a x1-�snum �ar sem lj�s s�st� t manum t samkv�mt klukkum S er x1 = ct. Tilsvarandi punktur �kvar�ast af19

j�fnunni x01 = ct0 vi�mi�unarkerfinu S 0. Vi� beitum n� j�fnum (3.35) og (3.36) ��ennan atbur� og f�um ct0 = t(c� v) (3.37)ct = t0(c+ v): (3.38)Ef vi� margf�ldum �essar j�fnur saman og deilum gegn me� tt0 6= 0 f�stc2 = 2(c2 � v2): (3.39)�a� er lj�st a� er j�kv�� st�r�, svo a� = 1q1� v2=c2 : (3.40)St�r�in undir r�tinni ver�ur a� vera j�kv�� svo a� vi� h�fum s�r lagi s�nt a�hra�i eins treg�ukerfis mi�a� vi� anna� er �vallt minni en lj�shra�inn. St�r�in nefnist Lorentz-stu�ull og er oft ritu� (v) ef vi� viljum leggja �herslu � a� h�ner h�� hra�anum v. Lorentz-stu�ullinn er einnig nefndur -��ttur. Vi� getum n�loki� vi� a� rita j�fnurnar sem tengja t mar�mshnit atbur�a S og S 0 me� �v a�ey�a x01 �r j�fnum (3.35) og (3.36):t0 = (t� vx=c2): (3:41)��gilegt er a� skilgreina � = vc : (3:42)�� m� rita L = 0BBB@ �� 0 0�� 0 00 0 1 00 0 0 1 1CCCA (3:43)svo a� x00 = (x0 � �x1) (3.44)x01 = (x1 � �x0) (3.45)x02 = x2 (3.46)x03 = x3: (3.47)Reikningarnir a� ofan s�na a� l nulega v�rpunin L var�veitir Minkowski-innfeldis�rhverra tveggja vektora, �.e. x0 � x0 = x � x (3:48)fyrir �ll x 2 R4. L nulegar varpanir � : R4 7! R4 sem hl ta skilyr�inu�x ��x = x � x (3:49)fyrir �ll x 2 R4 nefnast Lorentz-ummyndanir. Samband x og x0 er �v gefi� me�sl kri ummyndun. Lorentz-ummyndunin L nefnist hra�aummyndun um hra�a v stefnu x1-�ss. �I n�sta kafla ver�ur fjalla� um almennari Lorentz-ummyndanir.20

Taki� eftir a� ummyndunin L ver�ur a� Galilei-ummyndun markgildinu c !1. �I �eim tilvikum �egar allir hra�ar eru miklu minni en lj�shra�inn eru Galilei-ummyndanir �v g��ar n�lganir � ummynduninni (3.44)-(3.47).Oft er ��gilegt a� nota st�r�ina ' sem er skilgreind me�tanh' = vc : (3:50)Falli� tanh er gagnt�kt fall fr� R yfir � opna bili� (�1; 1) svo a� ' er �tv r�tt�kvar�a� af v. N� er cosh' = 1q1 � tanh2 ' (3.51)sinh ' = tanh'q1 � tanh2 ' (3.52)svo a� vi� getum einnig rita� fylki� L � forminuL = 0BBB@ cosh' � sinh ' 0 0� sinh' cosh' 0 00 0 1 00 0 0 1 1CCCA : (3:53)St�r�in ' nefnist hra�astu�ull Lorentz-ummyndunarinnar L. Varpanir af �essariger� eru oft kalla�ar h�perb�lskir sn�ningar.3.4 �fingad�mi3.1 �etta verkefni felst a� lei�a �t form�lu fyrir Lorentz-ummynduninni L �annan h�tt en gert var a� framan.Byrji� � a� nota (3.27) til a� s�na a� til er fasti � sem er einungis h��ur v�annig a� Lx � Lx = �x � x (3:54)fyrir �ll x 2 R4. �etta byggist � sta�reynd �r l nulegri algebru: Ef tv�ferningsform P og Q hafa sama n�llr�m og a.m.k. anna� �eirra er hvorkij�kv�tt n� neikv�tt �� er til er fasti � �annig a� P = �Q. Sanni� �essani�urst��u ef �i� geti�.Noti� n�st afst��isl�gm�li� til a� s�na a� � = 1.Noti� afst��isl�gm�li� aftur til s�na a�x02 = x2 og x03 = x3: (3:55)Dragi� �� �lyktun a� fylki� L megi rita � forminuL = 0BBB@ a b 0 0c d 0 00 0 1 00 0 0 1 1CCCA (3:56)21

og �ar af lei�andi x00x01 ! = a bc d ! x0x1 ! : (3:57)S�ni� n�st a� x002 � x012 = x20 � x21; (3:58)svo a� (ax0 + bx1)2 � (cx0 + dx1)2 = x20 � x21 (3:59)fyrir �ll gildi � x0 og x1, og �ar af lei�ira2 � c2 = 1 (3.60)b2 � d2 = �1 (3.61)ab� cd = 0: (3.62)S�ni� a� j�fnurnar a� ofan lei�a til a2 = d2 (3.63)b2 = c2 (3.64)a2 � c2 = 1: (3.65)Geri� r�� fyrir a� a; b; c; d s�u samfelld f�ll af v og �ess vegna era = d (3.66)b = c (3.67)a2 � b2 = 1: (3.68)Dragi� �� �lyktun a� til s� ' 2 R �annig a�a = cosh' (3.69)b = � sinh ': (3.70)S�� fr� S fylgir upphafspunktur vi�mi�unarkerfisins S 0, O0, t mar�msbrautinni(x0; x1; x2; x3) = (x0; vx0c ; 0; 0) (3:71)ef vi� l tum � t mar�mshnit O0 S sem fall af x0. S�ni� a� �etta lei�ir til0 = cosh'x1 � sinh'x0 (3:72)og ' �kvar�ast �v af j�fnunni tanh' = vc : (3:73)22

4 Ger� t mar�msins�I s �asta kafla s�ndum vi� hvernig forsendur Einsteins fyrir afst��iskenningunnilei�a til sambands milli t mar�mshnita atbur�a tveimur vi�mi�unarkerfum semhreyfast hvort me� tilliti til annars sams �a x1-�s. Au�vita� er ekkert s�rstaktvi� x1-�sinn og skulum vi� n� huga a� almennari Lorentz-ummyndunum en hra�a-ummynduninni (3.44) - (3.47).4.1 Lorentz-gr�panEf vi�mi�unarkerfin S og S 0 eru eins og s �asta kafla a� ��ru leyti en �v a�hreyfingarstefna S 0 s�� fr� S er ekki eftir x1-�s heldur me� einhverjum �tilteknumhra�a13 v, �� er lj�st a� Lorentz-ummyndun �ess hluta sta�arvektorsins x sem ersams �a v er eins og Lorentz-ummyndun x1 (3.45), en ��ttur x hornr�tt � � v er�breyttur. Vi� getum �v rita�:x00 = (x0 � v � x=c) (4.1)x0k = (xk � vx0=c) (4.2)x0? = x?; (4.3)�ar sem xk = (v � x)v=v2, x? = x � xk og hli�st��ar skilgreiningar gilda fyrirmerktu r�mhnitin. Ummyndunin sem gefin er me� (4.1)-(4.3) er hra�aummyndunum hra�a v.Auk afst��isl�gm�lsins skipti h�fu�m�li s �asta kafla a� lj�sblossi brei�ist eins�t �llum treg�ukerfum. Vi� or�u�um �etta skilyr�i st�r�fr��ilega � �ann h�tta� Lorentz-ummyndanir breyta ekki gildi Minkowski-innfeldisins x � x. Ef upp-hafspunktar tveggja vi�mi�unarkerfa falla saman � einhverjum t ma og klukkurupphafspunktanna eru samstilltar � 0 � �v augnabliki, �� eru tengsl hnita kerf-unum gefin me� Lorentz-ummyndun. Ef R er sn�ningur R3, �.e. hornr�tt l nulegv�rpun me� �kve�u 1, og vi� skilgreinumx0 = (x0;x0) = (x0; Rx) (4:4)�� er v�rpunin x 7! x0 Lorentz-ummyndun samkv�mt skilgreiningu okkar s �astakafla �v a� venjulegt innfeldi vektora R3 breytist ekki s� �eim b��um sn�i� �sama h�tt. Varpanirnar T : (x0;x) 7! (�x0;x) (4.5)P : (x0;x) 7! (x0;�x) (4.6)sem l�sa speglunum t ma og r�mi eru auglj�slega einnig Lorentz-ummyndanir.Taki� eftir a� r�mspeglun breytir h�gri handar hnitakerfi vinstri handar hnita-kerfi og klukkur t maspeglu�u vi�mi�unarkerfi vir�ast ganga aftur � bak s�� fr��speglu�u kerfi.13Vi� notum or�i� hra�i b��i um vektorgildan hra�a, sem � ensku nefnist velocity, og um lengd�essa vektors, sem nefnist speed � ensku. Um s �arnefnda hugtaki� er stundum haft or�i� fer� envi� notum �a� ekki h�r. 23

Mengi allra Lorentz-ummyndana er gr�pa. �a� merkir a� s�rhver Lorentz-ummyndun � s�r andhverfu sem einnig er Lorentz-ummyndun, hlutlausa v�rpuniner Lorentz-ummyndun og ef vi� framkv�mum fyrst eina Lorentz-ummyndun og s �-an a�ra �� er ni�ursta�an Lorentz-ummyndun. Andhverfa hra�aummyndunarinnarL sem l�st er me� (3.44)-(3.47) f�st greinilega me� �v a� setja �v sta� v. �A samah�tt f�st andhverfa ummyndunarinar (4.1)-(4.3) me� �v a� skipta um formerki �v. Sn�ningar r�mhnitunum eiga s�r auglj�sar andhverfur og speglanirnar T ogP eru andhverfur sj�lfra s n. Vi� t�knum Lorentz-gr�puna me� L. Ekki er erfitta� s�na a� s�rhvert � 2 L m� rita sem margfeldi af hra�aummyndun, sn�ningiog speglun t ma og/e�a r�mi.14 Ef � er Lorentz-ummyndun sem ekki felur s�rspeglun, �� eru til sn�ningar R1 og R2 �annig a�� = R1LR2 (4:7)�ar sem L er hra�aummyndunin stefnu x1-�ssins sem vi� leiddum �t s �asta kafla.Taki� eftir a� gr�pan L er �v xlin � sama h�tt og sn�ningsgr�pan: Ef �1;�2 2 L�� gildir almennt �1�2 6= �2�1. Vi� vekjum enn fremur athygli � a� Lorentz-ummyndanir var�veita Minkowski-innfeldi s�rhverra tveggja vektora R4, �.e.�x � �y = x � y (4:8)fyrir �ll x; y 2 R4 og � 2 L, sj� �fingad�mi 4.2.L�tum n� L(') t�kna hra�aummyndun stefnu x1-�ss me� hra�astu�ul '. Ein-faldur reikningur me� samlagningarform�lur fyrir h�perb�luf�ll lei�ir lj�s a�L('1)L('2) = L('1 + '2): (4:9)Jafnan a� ofan � s�r al�ekkta hli�st��u fyrir venjulega sn�ninga: Ef vi� sn�umfyrst um horn � um einhvern �s og s �an um horn � um sama �s �� er �a� hi� samaog a� sn�a einu lagi um horni� �+� um �sinn. S�rtilvik af (4.9) er L(')L(�') =L(0) = I, �ar sem I t�knar hlutlausu v�rpunina. Hra�astu�ullinn ' er �v einfaldurm�likvar�i � hra�a. Taki� eftir a�vc = tanh' � ' (4:10)ef v � c. �a� er einungis fyrir hra�a sem n�lgast lj�shra�ann a� v stendur ekki�v sem n�st r�ttu hlutfalli vi� '. �Ast��a �ess a� jafna (4.9) er ekki eins auglj�sog tilsvarandi sta�reynd um horn evkl �skri r�mfr��i er a� sj�lfs�g�u s� a� vi�h�fum enga beina skynreynslu af hra�a sem n�lgast lj�shra�ann.4.2 Poincar�-gr�panHinga� til h�fum vi� einungis r�tt um tengsl milli hnita vi�mi�unarkerfum semhafa �annig afst��u a� upphafspunktar �eirra falla saman � einhverju augnabliki.L�tum x t�kna t mar�mshnit vi�mi�unarkerfi sem vi� k�llum kyrrst��a kerfi� og14S�nnun � �essari sta�h�fingu m� t.d. finna [21] bls. 41-43.24

x0 hnit ��ru treg�ukerfi sem vi� k�llum geimskipskerfi�. Almennustu tengsl millihnita vi�mi�unarkerfanna eru gefin me�x0 = �x+ a (4:11)�ar sem � 2 L og a er einhver fastur punktur R4, �v a� vi� getum hli�ra� ��rukerfinu t ma og r�mi �annig a� upphafspunktar kerfanna falli saman a� hli�runafsta�inni me� samstilltar klukkur sem s�na 0. Atbur�ur sem � s�r sta� upp-hafspunkti kyrrst��a kerfisins � t manum t = 0 hefur t mar�mshnitin a geimskips-kerfinu. V�rpun af ger�inni x 7! x0 eins og (4.11) nefnist Poincar�-ummyndun.S�rhver Poincar�-ummyndun er Lorentz-ummyndun a� vi�b�ttri hli�run. Mengiallra Poincar�-ummyndana er auglj�slega gr�pa. �essi gr�pa nefnist Poincar�-gr�pan og l�sir t mar�mssamhorfi takm�rku�u afst��iskenningarinnar, �.e. l�gm�le�lisfr��innar hafa sama form hnitunum x og x0.Ef x og y eru t mar�mshnit tveggja atbur�a kyrrst��a kerfinu og x0; y0 hnits�mu atbur�a geimskipinu �� er(x� y) � (x� y) = (x0 � y0) � (x0 � y0): (4:12)K�llum x � y bili� milli x og y. Vi� sj�um �v a� Minkowski-innfeldi af bili millitveggja atbur�a vi� sj�lft sig er �h�� �v hva�a vi�mi�unarkerfi innfeldi� er reikna�.Ef x 2 R4 skulum vi� til ��ginda t�kna x � x me� x2. St�r�in (x� y)2 er �h��vi�mi�unarkerfi og hefur innfeldi� (x� y)2 �v svipa�a eiginleika og fjarl�g� millitveggja punkta evkl �skri r�mfr��i sem er �h�� hnitakerfi. �� er s� reginmunur� Minkowski-innfeldi og venjulegu innfeldi vektora R3 a� x2 er ekki nau�synlegaj�kv�� st�r� og getur veri� neikv��.4.3 Minkowski-r�mi�T mar�mi� R4 �samt Minkowski-innfeldinu er oft nefnt Minkowski-r�m. Vi� t�kn-um �a� eftirlei�is me�M. Oft er til ��ginda a� teikna myndir Minkowski-r�minutil a� �tta sig � venslum atbur�a og sl kar myndir eru �missandi vi� a� byggja uppinns�i afst��iskenninguna.Vi� skilgreinum lj�skeiluna M sem mengi�V0 = fx 2M : x2 � 0g: (4:13)Yfirbor� lj�skeilunnar er @V0 = fx 2M : x2 = 0g: (4:14)Atbur�ir sem liggja � yfirbor�i lj�skeilunnar eru n�kv�mlega �eir atbur�ir semunnt er a� tengja vi� 0 2 M me� lj�sgeisla. Framt �arlj�skeilan, V +0 , eru �eiratbur�ir V0 sem hafa j�kv�tt t mahnit, en fort �arlj�skeilan, V �0 , eru atbur�ir V0 me� neikv�tt t mahnit, sj� mynd 7. Almennar skilgreinum vi� lj�skeilu me�upphafspunkt a: Va = fx 2M : (x� a) 2 V0g: (4:15)Fort �ar- og framt �arlj�skeilur me� upphafspunkt a eru skilgreindar � tilsvarandi25

................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... x1x0x2...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... .............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. ........................................................................................................V +0 V �0@V +0 @V �0................................................................ ............. .............................................................................Mynd 7. Lj�skeilan.h�tt.Lorentz-ummyndanir varpa lj�skeilunni � lj�skeiluna og sama gildir um yfir-bor� lj�skeilunnar, �v a� x2 er �breytt vi� Lorentz-ummyndun. ��r Lorentz-ummyndanir sem fela ekki s�r t maspeglun varpa fort �ar- og framt �arlj�skeilun-um hvorri um sig � sj�lfa sig. �A sama h�tt varpa Lorentz-ummyndanir atbur�umutan lj�skeilunnar atbur�i utan lj�skeilunnar. Eftirlei�is munum vi� �t � gerar�� fyrir a� Lorentz-ummyndanir var�veiti stefnu t ma�ssins, �.e. feli ekki s�rt maspeglun, nema anna� s� beinl nis teki� fram.Ef s 7! x(s) er v�rpun fr� R yfir M sem l�sir t mar�msferli fer�alangs Mog x(0) = 0 �� liggur allur t mar�msferillinn lj�skeilunni V0. Ferillinn er innan lj�skeilunni nema fer�alangurinn s� lj�seind e�a �nnur massalaus �gn �v a� mestihugsanlegi hra�i afst��iskenningu er lj�shra�inn c og einungis massalausar agnirgeta n�� lj�shra�a eins og vi� r��um betur s �ar. Ferill agnar e�a annars hlutar M er oft nefndur s�guferill��tt athugendur afst��iskenningu s�u almennt �samm�la um t masetninguatbur�a er �eir samt samm�la um orsakavensl atbur�a. Atbur�ur sem gerist 0 2Mgetur haft �hrif � alla atbur�i V +0 og allir atbur�ir sem gerast V �0 geta haft �hrif................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... x1x0x2...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... .............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. ........................................................................................................ ............................................................... ........................................................ ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................Mynd 8. T mar�msferill fer�alangs Minkowski-r�minu.26

� atbur� 0. Atbur�ir M utan lj�skeilunnar standa � hinn b�ginn ekki neinuorsakasambandi vi� atbur� 0, �v a� engin �hrif geta borist � milli. Til a� komastfr� atbur�i 0 til atbur�ar utan lj�skeilunnar �yrfti a� fer�ast me� hra�a sem ermeiri en lj�shra�inn.Til a� or�a �etta n�kv�mar skulum vi� innlei�a eftirfarandi skilgreiningar:Punktur x 2 M er lj�sl�gur ef x2 = 0, hann er r�ml�gur ef x2 < 0 og t mal�guref x2 > 0. Vi� sj�um a� yfirbor� lj�skeilunnar samanstendur af �llum lj�sl�gumpunktum, innvi�ir lj�skeilunnar eru t mal�gir punktar og �eir punktar sem liggjautan lj�skeilunnar eru r�ml�gir.Gerum r�� fyrir a� x og y s�u t mar�mshnit tveggja atbur�a A og B vi�mi�un-arkerfi S. (Taki� eftir a� vi� gerum greinarmun � atbur�um og hnitum atbur�anna.Atbur�ir hafa e�lisfr��ilega merkingu: At�mkjarni klofnar, �reindir rekast � o.s.frv.Hnit atbur�anna eru hins vegar fj�rar raunt�lur og ��r eru h��ar vi�mi�unarkerfiathugandans en breytast me� Poincar�-ummyndun ef vi� skiptum um vi�mi�.) L�t-um z = y � x og gerum r�� fyrir a� z s� t mal�gur punktur. Ef A gerist � undanB vi�mi�unarkerfinu S, �.e. x0 < y0, �� er z 2 V +0 og A gerist � undan B �llum vi�mi�unarkerfum, �v a� Lorentz-ummyndanir varpa framt �arlj�skeilunni� sj�lfa sig (vi� leyfum ekki t maspeglanir!). Ef z er r�ml�gur punktur �� eruengin orsakavensl hugsanleg milli x og y. �I sumum vi�mi�unarkerfum er t mahnitA minna en t mahnit B en ��rum vi�mi�unarkerfum sn�st �etta vi�. Vi� k�llumV +x orsakaframt � A en V �x er orsakafort � A.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. x1x0

x2 ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... .............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. ........................................................................................................� B2 � B1� C � AMynd 9. Orsakaframt � og orsakafort � atbur�ar A. Atbur�urinn B1 er orsakafort � A,B2 er orsakaframt � A, en C stendur ekki orsakasambandi vi� A.L tum n�st � mengi� Hk = fx 2M : x2 = kg; (4:16)sem liggur inni lj�skeilunni ef k > 0 en utan hennar ef k < 0. �I tv v �u t mar�miv�ri Hk h�perb�la, en M eru �essi mengi h�perb�lufletir, sj� 10. mynd. Ef � 2 L�� er �Hk = Hk. Ef k > 0 �� eru allir punktar Hk t mal�gir og Hk hefur tvo27

............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ x1x0H1 H1 H�1H�1..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................Mynd 10. H�perb�lufletir Minkowski-r�minu er �breyttir gagnvart Lorentz-ummyndunum.samhengis��tti, einn framt �arlj�skeilunni og annan fort �arlj�skeilunni. Ef �hinn b�ginn k < 0 �� eru allir punktar Hk r�ml�gir og Hk er samanhangandi(nema ef r�mv ddin er einingis ein). Vi� sj�um a� Lorentz-ummyndanir f�ra tilpunkta � h�perb�lufl�tum r�tt eins og venjulegir sn�ningar �r v �u r�mi f�ra tilpunkta � k�luhvelum.N� sko�um vi� hvernig tengslum tveggja vi�mi�unarkerfa er l�st me� mynd Minkowski-r�minu. L�tum S og S 0 vera vi�mi�unarkerfi sem hreyfast hvort gagn-vart ��ru sams �a x1-�s eins og l�st var s �asta kafla. Upphafspunktur S 0 hreyfisteftir beinni l nu me� hallat�lu ��1 Minkowski-r�minu s�� fr� S. Atbur�ir semgerast � t manum t0 = 0, fr� sj�narmi�i S 0, liggja � l nu me� hallat�lu �, sj� mynd11. Af myndinni m� lesa beint hnit atbur�ar S 0 ef hnitin S eru �ekkt. Til d�mis

.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... x1x0 x01x00

H�1............................................................................................................................................... � �� A......................................................................... ............................................................ �....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.........................Mynd 11. Tengsl hnita�sa vi�mi�unarkerfanna S og S 0 Minkowski-r�minu, tan � = �.Athugi� a� kv�r�un �sanna � myndinni er ekki hin sama.f�st x01-hnit atbur�ar A me� �v a� draga l nu sams �a x00 �snum fr� A og finnahvar h�n sker x01-�sinn. �A sama h�tt f�st x00-hniti� me� �v a� draga l nu sams �ax01-�snum. �I �essari mynd eru au�vita� engar frekari uppl�singar en koma fram 28

form�lunum (3.44)-(3.47). Taki� eftir a� kv�r�un hnit�sa S 0 � mynd 11 er �nnuren kv�r�un �sa S. Til a� finna kv�r�un �sa S 0 er einfaldast a� l ta � skur�punkta�sanna vi� h�perb�lufl�t. Fl�turinn H�1 er hinn sami S og S 0, svo a� x01 = 1 �arsem H�1 sker x01-�sinn, sj� 11. mynd.Ef A og B eru tveir atbur�ir og bili� milli �eirra er t mal�gt, �� er til vi�mi��ar sem atbur�irnir gerast � sama sta�. Ef bili� � milli A og B er r�ml�gt �� ertil vi�mi� �ar sem A og B gerast � sama t ma, sj� 12. mynd............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... .....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... x1x0 x01x00............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. .........................................................................................................................................................................................................................

��� � A1B1A2 B2Mynd 12. Bili� � milli atbur�anna A1 og B1 er t mal�gt. �eir hafa sama r�mhnit vi�mi�unarkerfinu S 0. Bili� � milli atbur�anna A2 og B2 er r�ml�gt. �eir hafa samat mahnit S 0.4.4 �fingad�mi4.1 Finni� fylki sem l�sir Lorentz-ummyndun sem f�st me� hra�aummyndun umhra�a v fyrst stefnu x1-�ss en s �an stefnu x2-�ss. Finni� einnig fylkiummyndunarinnar ef hra�aummyndanirnar eru framkv�mdar �fugri r��.Er ni�ursta�an hin sama?4.2 Ef L : R4 7! R4 er l nuleg v�rpun �annig a� Lx � Lx = x � x fyrir �ll x 2 R4,s�ni� �� a� Lx � Ly = x � y fyrir �ll x; y 2 R4.4.3 L�tum P (�; a) t�kna Poincar�-ummyndunina x 7! �x+ a. Finni� andhverfuP (�; a) og ummyndunina sem f�st me� �v a� framkv�ma fyrst P (�1; a1) ogs �an P (�2; a2). Er sama hva�a r�� Poincar�-ummyndanir eru ger�ar?4.4 Tveir atbur�ir gerast � sama t ma vi�mi�unarkerfi S. S�ni� a� ��rumvi�mi�unarkerfum getur li�i� hva�a t mi sem er milli atbur�anna. S�ni� a�fjarl�g�in milli atbur�anna ��rum vi�mi�unarkerfum en S er alltaf meiri enfjarl�g�in milli �eirra S og getur veri� hve st�r sem vera skal.4.5 L�tum x vera hnit vi�mi�unarkerfi S og x0 hnit vi�mi�unarkerfi S 0. Gerumr�� fyrir a� hnita�sar kerfanna falli saman �egar klukkurnar upphafspunkt-um �eirra s�na 0. Gerum r�� fyrir a� S 0 hreyfist me� hra�a v s�� fr� S.29

L�tum � = v=c. S�ni� a� x00 = (x0 � � � x) (4:17)og x0 = x+ � 1�2 (� � x)� � �x0: (4:18)H�r er x = (x1; x2; x3) og tilsvarandi gildir fyrir merktu hnitin.

30

5 Hreyfifr��i�I s �asta kafla k�nnu�um vi� ger� t mar�msins allr�kilega, ger�um okkur grein fyrirafst��i samt mahugtaksins og ranns�ku�um orsakavensl atbur�a. H�r athugum vi�n�nar hvernig hreyfingu hluta er l�st afst��iskenningu, hvernig gangur klukknaog �tlit og l�gun hluta er h�� athuganda.5.1 Samlagning hra�aGerum r�� fyrir a� S, S 0 og S 00 s�u �rj� vi�mi�unarkerfi og �sar �eirra og upp-hafspunktar falli saman �egar klukkurnar upphafspunktunum s�na 0. T�knumhnit vi�mi�unarkerfunum �remur me� x, x0 og x00. Gerum r�� fyrir a� S 0 hreyfist stefnu x1-�ss s�� fr� S me� hra�a v1. Gerum enn fremur r�� fyrir a� S 00 hreyfisteftir x01-�s s�� fr� S 0 me� hra�a v2. Hver er hra�i S 00 s�� fr� S? Vi� h�fum �egars�nt a� x0 = L('1)x (5.1)x00 = L('2)x0 (5.2)�ar sem vi=c = tanh'i, i = 1; 2. �ar af lei�irx00 = L('2)L('1)x (5.3)= L('1 + '2)x; (5.4)samkv�mt (4.9). Me� ��rum or�um: Tengsl x vi� x00 eru gefin me� hra�aummyndunme� hra�a v �ar sem vc = tanh('1 + '2): (5:5)Ef vi� notum samlagningarform�lunatanh('1 + '2) = tanh'1 + tanh'21 + tanh'1 tanh'2 (5:6)�� f�st v = v1 + v21 + v1v2=c2 : (5:7)Ef hra�arnir v1 og v2 eru b��ir minni en c er v einnig minni en c. Ni�ursta�an (5.7)er a� sj�lfs�g�u jafngild j�fnu (4.9) s �asta kafla.Taki� eftir a� v � v1 + v2 ef v1 e�a v2 eru miklu minni en lj�shra�inn. Efanna�hvort v1 e�a v2 er jafn c �� er v = c samr�mi vi� �� forsendu a� lj�shra�inns� hinn sami �llum vi�mi�unarkerfum. Til a� leggja saman hra�a sem eru ekki s�mu stefnu er betra a� fara ��ruv si a� eins og fram kemur n�stu grein.5.2 Lorentz-ummyndun hra�aGerum r�� fyrir a� vi�mi�unarkerfin S og S 0 s�u eins og venjulega og u = (u1; u2; u3)s� hra�i hlutar S. Ef x eru r�mhnit hlutarins sem fall af t ma �� eru = dxdt : (5:8)31

Vi� t�knum r�mhnit hlutarins vi�mi�unarkerfinu S 0 me� x0. Hra�i hlutarins S 0er u0 = (u01; u02; u03) = dx0dt0 : (5:9)Ef vi� diffrum Lorentz-ummyndunina (3.44)-(3.47) sem tengir hnit S vi� hnit S 0f�st dx00 = (dx0 � �dx1) (5.10)dx01 = (dx1 � �dx0) (5.11)dx02 = dx2 (5.12)dx03 = dx3: (5.13)Innsetning (5.9) lei�ir til u01 = u1 � v1� u1v=c2 (5.14)u02 = u2 (1� u1v=c2) (5.15)u03 = u3 (1� u1v=c2) (5.16)sem gerir okkur kleift a� finna u0 ef u er �ekkt. J�fnurnar (5.14)-(5.16) nefnum vi�Lorentz-ummyndun hra�a.Ef � hinn b�ginn hra�i hlutar S 0, u0, er gefinn �� f�st hra�i hans, u, vi�mi�-unarkerfinu S me� �v a� skipta � merktum og �merktum st�r�um (5.14)-(5.16)og skipta um formerki � v, �v a� S hreyfist me� hra�a �v eftir x01-�s s�� fr� S 0:u = 11 + u01v=c2 (u01 + v; �1u02; �1u03): (5:17)�Asar vi�mi�unarkerfanna S og S 0 ver�a a� vera sams �a til a� samlagningarform�lan(5.17) s� r�tt. Vi� l�tum �hugas�mum lesanda eftir a� lei�a �t samlagningarform�lufyrir hra�a ef vi�mi�unarkerfin hafa almenna afst��u hvort til annars.J�fnur (5.14)-(5.17) eru ekki h��ar �v a� hra�arnir u og u0 s�u fastir. ��r gildaeinnnig um Lorentz-ummyndun hra�a � reiknu�um punktum sem hreyfast hra�ar enlj�si�, t.d. hra�a lj�sbletts � tunglinu fr� leysi � j�r�u sem hreyfist, sj� �fingad�mi5.3.Ef u er hra�i agnar vi�mi�unarkerfi S �� er Lorentz-stu�ull agnarinnar skil-greindur sem (u), �ar sem u = juj. Oft er ��rf � a� �ekkja Lorentz-stu�ulls�mu agnar ��ru vi�mi�unarkerfi. Ummyndun stu�ulsins m� reikna �t fr� hra�a-ummynduninni (5.14)-(5.16), en eftirfarandi a�fer� er e.t.v. flj�tlegri: Gerum r��fyrir a� �gnin f�rist um �x S � t ma �t og tilsvarandi f�rsla vi�mi�unarkerfinuS0 s� �x0 � t ma �t0 �ar sem vi�mi�unarkerfin S og S 0 eru sem fyrr. N� erc2(�t)2 � (�x)2 = c2(�t0)2 � (�x0)2 (5:18)�v a� bil � milli atbur�a er �h�� vi�mi�unarkerfi. �ar af lei�ir:(�t)2 c2 � (�x)2(�t)2 ! = (�t0)2 c2 � (�x0)2(�t0)2 ! : (5:19)32

N� er �t0 = (v)�t� v (v)�x1=c2 (5:20)svo a� (�t0)2 = (�t)2 (v)2 �1 � �x1v�tc2 �2 : (5:21)Ef vi� t�kum n� markgildi� �t! 0 lei�a j�fnur (5.19) og (5.21) tilc2 � u02 = c2 � u2 (v)2(1 � u1v=c2)2 ; (5:22)sem einnig m� rita (u0) = (u) (v)(1� u1v=c2): (5:23)Eina st�r�in (5.23) sem er h�� ��ru en lengd hra�avektoranna er u1, svo a�samkv�mt afst��isl�gm�linu gildir fyrir �tiltekna stefnu hra�ans v (u0) = (u) (v)(1� u � v=c2): (5:24)Vi� munum hafa not fyrir �essa form�lu �egar r�tt ver�ur um rafsegulsvi� 11.kafla.5.3 T malengingL�tum vi�mi�unarkerfin S og S 0 vera sem fyrr. �A t manum x0 = 0 ber klukkum upphafspunktum vi�mi�unarkerfanna saman. �A t manum x0 = cT er klukkan upp-hafspunkti S 0 sta�sett x = (vT; 0; 0) s�� fr� S. Atbur�urinn me� t mar�mshnitin(cT; vT; 0; 0) S hefur hnitin (cT 0; 0; 0; 0) S 0 samkv�mt Lorentz-ummynduninni(3.44)-(3.47), �ar sem T 0 = �1T . Vi� h�fum �v s�nt a�T 0 = q1� v2=c2 T: (5:25)Klukkan upphafspunkti S 0 vir�ist ganga h�gar en klukkurnar S, s�� fr� S.Sama ni�ursta�a gildir um a�rar klukkur S 0 me� s�mu r�kum. �essi ni�ursta�aer a� sj�lfs�g�u �h�� hreyfingarstefnu S 0 s�� fr� S vegna afst��isl�gm�lsins, svo a�athuganda S 0 vir�ast klukkur vi�mi�unarkerfisins S ganga h�gar en s nar klukkur.Mikilv�gt er a� sannf�ra sig um a� �essu felist ekki m�ts�gn! Klukka gengur�vinlega hra�ast fr� sj�narmi�i athuganda sem er kyrrst��ur mi�a� vi� klukkuna.T malenging hefur veri� sta�fest mj�g vel tilraunum, b��i me� beinni m�l-ingu � klukkum og einnig �beint, t.d. me� athugun � hr�rnunart ma �st��ugra�reinda. �Ost��ugar �reindir eru �eim mun langl fari �v hra�skrei�ari sem ��reru fr� sj�narh�li athuganda. Ef � er helmingunart mi kyrrst��rar �reindar �� erhelmingunart mi s�mu �reindar me� hra�a v gefinn me� � samkv�mt (5.25).Vi� t�kum n� aftur til umr��u athugendurna tvo A og B sem vi� r�ddum um 3. kafla �egar s�nt var fram � afst��i samt mahugtaksins. �eir voru sta�settir punktum me� r�mhnit (�a; 0; 0) S. �eir s�u samt mis lj�sleiftur sem �tti uppt�ks n upphafspunkti S � t manum x0 = 0. Atbur�irnir ,,A s�r lj�s\ og ,,B s�r lj�s\hafa hnitin (a;�a; 0; 0) S en samkv�mt Lorentz-ummyndun eru hnit s�mu atbur�a S 0 gefin me� (a��a; a��a; 0; 0) sem eru ekki samt maatbur�ir nema � = 0 e�aa = 0. Vi� h�fum �v reikna� �t hnitin � skur�punktum s�guferla athugendanna Aog B vi� lj�skeiluna S 0, sj� mynd 6. 33

5.4 Lengdarsamdr�ttur�A sama h�tt og athugendur vi�mi�unarkerfunum S og S 0 eru �samm�la um t ma-setningu atbur�a og ganghra�a klukkna eru �eir �samm�la um fjarl�g�ir, lengd ogl�gun hluta. Vi� l tum fyrst � einfalt tilvik.Gerum r�� fyrir a� kyrrst�� st�ng hafi lengd l0 vi�mi�unarkerfinu S 0 og st�nginliggi sams �a x01-�snum me� annan endapunktinn x01 = 0 en hinn x01 = l0. Hverer lengd stangarinnar s�� fr� vi�mi�unarkerfinu S? Til a� svara �essari spurn-ingu er nau�synlegt a� gera s�r lj�st vi� hva� er �tt me� lengd hluta � hreyfingu.Vi� skilgreinum lengd stangarinnar S, l, sem fjarl�g�ina milli endapunkta henn-ar � einhverjum f�stum t ma x0 vi�mi�unarkerfinu S. �essi skilgreining lei�ir�hj�kv�milega til �ess a� st�ngin hefur a�ra lengd S en S 0. ��tt atbur�irn-ir ,,annar endapunktur stangar er x1 = 0\ og ,,hinn endapunktur stangar er x1 = l\ s�u samt maatbur�ir S �� eru �eir ekki samt maatbur�ir S 0. Vi� velj-um t mann x0 = 0 til a� reikna fjarl�g�ina milli endapunkta stangarinnar S, �v a� lengdin hl�tur a� vera �h�� t ma. Atbur�urinn ,,annar endapunktur stangarer x1 = 0\ hefur �ll t mar�mshnit 0 b��um vi�mi�unarkerfunum, en atbur�ur-inn ,,hinn endapunktur stangar er x1 = l\ hefur t mar�mshnit (0; l; 0; 0) S ensamkv�mt Lorentz-ummyndun eru t mar�mshnit �essa atbur�ar S 0x0 = (�� l; l; 0; 0): (5:26)St�ngin er kyrrst�� vi�mi�unarkerfinu S 0 svo a� allir atbur�ir sem eiga s�r sta� endapunktum stangarinnar hafa x00 hnit sem er �h�� t ma S 0. �ess vegna hefuratbur�urinn sem l�st er me� t mar�mshnitunum (5.26) x01-hniti� l0, svo a� l0 = le�a l = q1� v2=c2 l0: (5:27)Flj�tlegt er a� sannf�ra sig um a� st�ngin m�list jafnl�ng S og S 0 ef h�n liggurhornr�tt � x01-�sinn S 0 �v a� hra�aummyndanir breyta ekki hnitum atbur�a me�tilliti til �sanna hornr�tt � innbyr�is hreyfingarstefnu vi�mi�unarkerfanna.5.5 Hlutur � hreyfingu�I s �ustu grein s�um vi� hvernig hlutur � hreyfingu vir�ist dragast saman hreyf-ingarstefnuna. �essi samdr�ttur var reiknu� st�r�. Til a� �tta sig � henni �arftvo athugendur vi�mi�unarkerfinu S. �eir spyrja hvor annan: Hva� var klukkanhj� ��r �egar endi stangarinnar f�r framhj�? Ef klukkan var �a� sama hj� b��um,�� er lengd stangarinnar S fjarl�g�in � milli athugendanna. Ef vi� h�fum hinsvegar einn athuganda og spyrjum hva� hann sj�i me� berum augum jar�bundn-asta skilningi �ess hugtaks, �� er svari� fl�knara. Lj�s sem berst til athugandans �tilteknu augnabliki lag�i af sta� fr� hlutnum � �msum t mum �v a� mismunandista�ir � hlutnum eru mislangt fr� athugandanum. Hluturinn l tur �v v�ntanlega�t fyrir a� vera bjaga�ur. Vi� athugum n� �etta fyrirb�ri eil ti� n�nar.15Gerum r�� fyrir a� ferk�ntu� plata me� kyrrst��ulengd l og kyrrst��ubreidd bliggi x1x2-planinu og hreyfist sams �a x1-�snum S me� hra�a v, sj� mynd 13.15Sj� [13, 39]. 34

Gerum r�� fyrir a� athugandi x1x2-planinu horfi � pl�tuna �r mikilli fjarl�g�16 ogsj�nl na fr� athugandanum a� pl�tunni s� hornr�tt � x1-�sinn. Vi� gerum r�� fyrir................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ........................ ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ........................x1 x1................................................................................................................................................................................................................................................................ ..................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................� � ��C 0 C D.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................ ................................................................................................l...................................... �................................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ............. ............. ��� l= ���! "jbj#�x1.................................................. ..................................................................................... .............vC 0C D��� �Til athugandaMynd 13. Plata � hreyfingu l tur �t eins og henni hafi veri� sn�i� um horn � = arcsin�.a� platan s� uppl�st og athugum hvernig h�n l tur �t fr� sj�narh�li athugandans ��v augnabliki �egar lj�s berst til hans sem lag�i af sta� samt mis fr� hornpunkt-unum C og D. �A �essu augnabliki berst l ka til athugandans lj�smerki fr� aftarihornpunktinum C 0, en C 0 er fj�r athugandanum en C svo a� �etta lj�smerki lag�i afsta� fyrr en lj�smerkin fr� C og D. �egar lj�smerki� fr� C 0 lag�i af sta� var platanekki komin jafnlangt eftir x1-�snum. T�knum me� �t t mamuninn � atbur�unum�egar lj�si� lag�i af sta� fr� C og �egar lj�si� lag�i af sta� fr� C 0. �� er �t = b=c og�x1 = �t v er vegalengdin sem platan f�rist � �essum t ma. Athugandanum vir�istfjarl�g�in milli C og D a� sj�lfs�g�u samdregin um hlutfalli� �1. Athugandinns�r �v hli�ina CD samdregna og hann s�r jafnframt hli�ina CC 0. Platan l tur �v �t fr� sj�narmi�i athugandans alveg eins og henni hafi veri� sn�i� um horn �, �arsem sin � = �, en enginn Lorentz-samdr�ttur hafi �tt s�r sta�! Ef hra�i pl�tunn-ar n�lgast lj�shra�ann �� stefnir Lorentz-stu�ullinn � 1, svo a� athugandanumvir�ist platan sn�in um �v sem n�st 90�.�r�tt fyrir �essa umr��u um hvernig einn athugandi s�r pl�tuna �� er Lorentz-styttingin raunveruleg ef lengd hluta � hreyfingu er skilgreind eins og ��ur varr�tt. Sn�ningurinn er raun skynvilla sem kemur til vegna �ess a� lj�shra�inn erendanlegur en tauganetin heila okkar sem b�a til skynmynd �r uppl�singum fr�lj�snemum augans vir�ast gera r�� fyrir �endanlegum lj�shra�a. Bl�antur h�lffulluvatnsglasi er ekki brotinn ��tt hann vir�ist vera �a�.5.6 �fingad�mi5.1 Duls�larfr��ingur f�st vi� ranns�knir � hugsanaflutningi og uppg�tvar n�jager� af bylgjum, �-bylgjur, sem berast milli manna me� f�stum hra�a � 16Athugandinn er svo langt burtu a� gera m� r�� fyrir a� allar l nur fr� athugandanum tilpl�tunnar s�u sams �a. 35

�llum treg�ukerfum �h�� innbyr�is hreyfingu sendanda og m�ttakanda. S�ni�a� � = c.5.2 Nemandi hefur kynnt s�r afst��iskenninguna og kemur me� eftirfarandi m�t-b�rur: ,,Ef athugandi A s�r klukku � hreyfingu vir�ist honum, samkv�mtafst��iskenningunni, klukkan ganga of h�gt. �A sama h�tt vir�ist athugandaB sem er � hreyfingu me� klukkunni a� klukka athugandans A gangi of h�gt.�a� er �hugsandi a� tv�r klukkur gangi hvor um sig h�gar en hin. �ess vegnaer afst��iskenningin vitlaus.\ Svari� nemandanum.5.3 Gerum r�� fyrir a� leysigeisla s� beint til tunglsins fr� j�r�u. �O�rum endaleysit�kisins er haldi� f�stum � yfirbor�i jar�ar en hinn endinn sem v sar tilhimins er hreyf�ur me� hornhra�a 180�=sek. Finni� hve hratt lj�sbletturinnhreyfist � yfirbor�i tunglsins. Af hverju br�tur �essi ni�ursta�a ekki b�gavi� �� sta�h�fingu afst��iskenningarinnar a� lj�shra�inn s� mesti hugsanlegihra�i?5.4 Athugandi er kyrrst��ur upphafspunkti vi�mi�unarkerfis. Hann horfir �hlut hreyfast me� hra�a 3c=4 tiltekna stefnu og annan hlut hreyfast me�sama hra�a gagnst��a �tt. Hve hratt fjarl�gjast hlutirnir hvor annan fr�sj�narh�li athugandans? Af hverju br�tur �essi ni�ursta�a ekki b�ga vi�afst��iskenninguna?Hve hratt vir�ist athuganda sem er samfer�a ��rum hlutnum hinn fjarl�gjast?5.5 Tv�r agnir hreyfast hornr�tt hvor � a�ra me� f�stum hra�a v treg�ukerfi.Hver er hra�i annarrar agnarinnar s�� fr� hinni?5.6 �etta verkefni felst �tlei�slu � hra�asamlagningarform�lunni (5.7) sem snei�-ir hj� notkun Lorentz-ummyndana en notar �ess sta� forsendur Einsteinsmillili�alaust.17J�rnbrautarlest hreyfist eftir beinni l nu me� hra�a v vi�mi�unarkerfi S. �Ivi�mi�unarkerfinu S m�list lengd lestarinnar L. �A t ma t = 0 leggur hluturaf sta� fr� afturenda lestarinnar me� hra�a w ( S) hreyfingarstefnu lest-arinnar og � sama t ma leggur lj�sblossi af sta� s�mu stefnu. Lj�sblossinnendurkastast fr� spegli fremst lestinni og m�tir hlutnum fjarl�g� fL fr�framendanum, 0 � f � 1. Noti� afst��isl�gm�li� og l�gm�li� um fastan�tbrei�sluhra�a lj�ss til a� s�na a�f = (c+ v)(c� w)(c� v)(c+ w) : (5:28)Dragi� �� �lyktun a� f = c� uc+ u (5:29)17Sj� [17]. �Onnur �hugaver� grein um hra�asamlagningu er [18].36

�ar sem u er hra�i hlutarins vi�mi�unarkerfi �ar sem lestin er kyrrst��.Noti� n� (5.28) og (5.29) til a� f�w = u+ v1 + uv=c2 : (5:30)

37

6 Lj�s afst��iskenningu�I �essum kafla hugum vi� n�nar a� l�singu � lj�si takm�rku�u afst��iskenningunni.Vi� gerum �mist r�� fyrir �v a� lj�s s� straumur agna sem fer�ast me� hra�a ceftir beinni l nu �llum treg�ukerfum e�a a� lj�s s� �lduhreyfing sem hefur hra�a c �llum treg�ukerfum. Hvort sj�narmi�i� vi� veljum fer eftir �v hva�a eiginleika lj�ssvi� viljum r��a. Ef hreyfingarstefna lj�ss er til umfj�llunar er hentugast a� notaagna myndina en bylgjuhugtaki� er nau�synlegt ef vi� viljum r��a um �ldulengd.6.1 Hra�asamlagning og lj�svikH�r r��um vi� um lj�svik sem ��ur var fjalla� um 2. kafla. Lj�s berst til s�lkerfisinsfr� fjarl�gri stj�rnu, sem er svo langt burtu a� vi� getum gert r�� fyrir a� geislarnirsem berast til jar�ar s�u sams �a �eim sem berast til mynda�s athuganda � s�linni.Gerum r�� fyrir a� vi� h�fum vali� treg�ukerfi S me� upphafspunkt fastan s�l-mi�ju, lj�si� fr� stj�rnunni sk ni sams �a x2-�snum og j�r�in hreyfist x1x2-planinu.J�r�in er a� sj�lfs�g�u ekki kyrr neinu treg�ukerfi, en ef vi� framkv�mum athugunsem varir einungis mj�g skamma stund m� gera r�� fyrir �v a� athugandi � j�r�us� kyrrst��ur treg�ukerfi S 0 sem hreyfist � f�stum hra�a me� tilliti til s�lar. �essihra�i er a� sj�lfs�g�u jafn hra�a jar�ar s��um fr� s�lu � �eirri stundu er athuguninfer fram. Treg�ukerfi jar�arb�ans er sagt vera � samhreyfingu me� j�r�inni. �ettaer kannski ekki heppileg m�lnotkun �v a� treg�ukerfi � samhreyfingu vi� j�r� ers breytilegt; h�r er �v ekki um a� r��a neitt eitt treg�ukerfi. Svona m�lnotkun er�� hef�bundin og oft ��gileg svo a� vi� tileinkum okkur hana. Almennt er sagta� treg�ukerfi s� � samhreyfingu me� hr��u�u vi�mi�unarkerfi (t.d. eldflaug me�hreyflana gangi) ef treg�ukerfi� fer me� sama hra�a og hra�a�a vi�mi�unarkerfi�.Samhreyfingin varir a� sj�lfs�g�u ekki nema andartak.Gerum r�� fyrir a� hra�i jar�ar me� tilliti til s�lar s� v stefnu x1-�ss � ein-hverjum t ma, svo a� tengsl hra�a S og S 0 s�u eins og r�tt var grein 5.2. Ef vi�................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... x1x2..................................................................................... .............v................................................................................................................ ................................................................................................................Lj�s fr� fjarl�gri stj�rnu� ................................................................................................................Mynd 14. Afst��umynd af j�r�u, s�lu og lj�si fr� fjarl�gri stj�rnu.t�knum hra�avektor lj�ssins S me� u, �� eru = (0; c; 0) (6:1)38

en hra�inn � j�r�u er samkv�mt ummynduninni (5.14)-(5.16)u0 = (�v; c �1; 0): (6:2)Lj�sgeislarnir mynda �v horni� vi� x02-�sinn � j�r�u, �ar sem sin = �. Vi�minnumst �ess a� tilsvarandi ni�ursta�a um lj�svik klass skri e�lisfr��i var tan =� sem er mj�g n�l�gt fors�gn afst��iskenningarinnar, �v a� � � 10�4 ef v erbrautarhra�i jar�ar.�I d�minu sem vi� r�ddum hreyf�ist j�r� �vert � sj�nl nu til stj�rnu. Almennarmyndar sj�nl nan horn � vi� hreyfingarstefnu jar�ar vi�mi�inu S. Vi� getum vali�stefnur hnita�sanna �annig a� hra�i jar�ar s� sem fyrr v stefnu x1-�ss s�� fr� s�lu,en hra�avektor stj�rnulj�ssins s� u = (�c cos �;�c sin �; 0) S. Tilsvarandi hra�i vi�mi�unarkerfi jar�ar, S 0, er u0 = (�c cos �0;�c sin �0; 0), �ar semcos �0 = cos � + �1 + � cos � (6:3)samkv�mt (5.14)-(5.16). H�r m� nota samlagningarform�lur fyrir hornaf�ll til a�rita j�fnu (6.3) � samhverfari h�tttan 12�0 = s1� �1 + � tan 12�: (6:4)6.2 Tilraun Fizeaus�Ari� 1851 ger�i Fizeau m�lingu � hra�a lj�ss streymandi v�kva. Ni�ursta�an varafar s�rkennileg: Ef v�kvi streymir me� f�stum hra�a v og hra�i lj�ss v�kvanumkyrrst��um er c0 < c, �� er lj�shra�inn v�kvanum straumstefnuna gefinn me�c00 = c0 + kv (6:5)�ar sem k er stu�ull � bilinu 0 til 1 og gildi stu�ulsins er h�� v�kvategund. �A�essum t ma hugsu�u menn s�r lj�s sem �lduhreyfingu lj�svaka eins og r�tt var upphafi 2. kafla og var ekki unnt a� skilja ni�urst��u Fizeaus ��ru v si en svo a�v�kvinn dr�gi lj�svakann me� s�r a� hluta. Ef lj�svakinn hreyf�ist me� v�kvanum�tti k a� vera 1 en hef�i hreyfing v�kvans engin �hrif � lj�svakann �tti k a� vera0. Me� takm�rku�u afst��iskenningunni er au�velt a� sk�ra tilraun Fizeaus. L�t-um S vera vi�mi�unarkerfi tilraunastofu og S 0 vi�mi�unarkerfi sem er kyrrt v�kvasem streymir me� hra�a v s�� fr� S. Ef lj�shra�inn v�kvanum S 0 er c0, �� erlj�shra�inn straumstefnuna s�� fr� S gefinn me� samlagningarform�lunni (5.7)svo a� c00 = c0 + v1 + c0v=c2 (6.6)� c0 + v(1� c02=c2) (6.7)ef v � c (n�lgunin tekur til fyrsta veldis af v=c). N� er c0 = c=n �ar sem n erbrotstu�ull v�kvans svo a� k er einfaldlega 1 � n�2.39

6.3 Doppler-hrifT �ni hlj��bylgna er h�� innbyr�is hreyfingu hlustanda og hlj��gjafa. Gott d�mium �essi hrif m� heyra ef sj�krab ll ekur fram hj�. T �ni hlj��merkisins er h�rrien t �ni fr� kyrrst��ri s renu me�an sj�krab llinn n�lgast en s renan hlj�mar l�graeftir a� b llinn er farinn hj� og fjarl�gist. Hli�st�� breyting ver�ur � t �ni lj�ss ogannarra rafsegulbylgna ef lj�sgjafi og athugandi hreyfast innbyr�is. T �nihli�run af�essu tagi nefnist Doppler-hrif. Vi� vekjum athygli � a� kennileg l�sing � Doppler-hrifum fyrir hlj��bylgjur er fr�brug�in l�singu � Doppler-hrifum fyrir lj�s, �v a�hlj��bylgjur berast bur�arefni, andr�msloftinu, en rafsegulbylgjur hafa sama hra�a �llum treg�ukerfum, svo a� Doppler-hrif fyrir lj�s geta einungis veri� h�� innbyr�ishreyfingu lj�sgjafa og athuganda.18Lj�sgjafi upphafspunkti vi�mi�unarkerfis S sendir �t einlitt lj�s me� �ldulengd�. Tilsvarandi lj�st �ni er � = c=�. Athugandi hreyfist eftir x1-�s me� f�stum hra�av. T �ni �ess lj�ss sem athugandinn s�r �kvar�ast af �eim t ma sem l �ur � milli�ess a� hann s�r tvo �ldutoppa.19 Gerum r�� fyrir a� athugandinn sj�i �ldutopp� t manum t1 samkv�mt klukkum S og n�sta �ldutopp klukkan t2 samkv�mtklukkum S. T�knum x1-hnit athugandans � �essum t mum me� a1 og a2. �� era2 � a1 = v(t2 � t1) (6:8)og (c� v)(t2� t1) = �: (6:9)T�knum t mamuninn t2 � t1 me� �t og tilsvarandi t mamun vi�mi�unarkerfiathugandans me� �t0. Ritum enn fremur a2 � a1 = �a. Samkv�mt hra�aum-................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... .....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................................................. tx1.................................................................................................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ ...................................................................................................................................................................................................................................."j��1j# .......................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................... ..................................................................................................

.......................................................................................................................................................................� �(t1; a1)(t2; a2) 1. toppur2. toppurMynd 15. Minkowski-mynd af atbur�unum tveimur �egar athugandinn s�r �ldutoppa.18Um Doppler-hrif klass skri e�lisfr��i sj� t.d. [23] bls. 446 e�a [11] bls. 134.19Au�vita� s�r athugandinn ekki �ldutoppa b�kstaflegum skilningi en hann getur m�lt �ldu-lengd lj�ssins t.d. me� lj�sgrei�u. 40

mynduninni sem tengir saman hnit athugandans og hnitin S �� erc�t0 = c�t� � �a (6.10)= c�t� c�2 �t: (6.11)(6.12)�ar af lei�ir 1�t0 = 1�t 1 (1� �2) : (6:13)Ef vi� notum n� (6.9) f�st form�la fyrir t �ni lj�ssins � 0 = 1=�t0 vi�mi�unarkerfiathugandans: � 0 = � c� vc (1 � �2) (6.14)= �s1� �1 + � : (6.15)Taki� eftir a� ni�ursta�an (6.15) er einungis h�� afst��ri hreyfingu lj�sgjafa ogathuganda. Vi� getum �v allt eins gert r�� fyrir �v a� athugandinn s� kyrrst��uren lj�sgjafinn hreyfist. T �nin minnkar ef athugandinn fjarl�gist lj�sgjafann (1 >� > 0) en eykst ef athugandinn n�lgast lj�sgjafann (�1 < � < 0).L tum n� � almennari innbyr�is hreyfingu athuganda og lj�sgjafa. Vi� l�tumvi�mi�unarkerfi� S vera eins og ��ur en gerum r�� fyrir a� athugandinn hafi hra�a vsem er ekki nau�synlega sams �a beinni l nu til lj�suppsprettunnar upphafspunktiS. �A tilteknum t ma getum vi� rita� v = vr + vt �ar sem vr er sams �a beinnil nu til lj�sgjafans og vt er hornr�tt � vr. Vi� getum a� sj�lfs�g�u vali� hnit �anniga� sj�nl nuhra�inn vr s� sams �a x1-�snum. Ef vi� gerum r�� fyrir a� fjarl�g�athugandans fr� lj�suppsprettunni s� � �, svo a� �ldutoppar myndi sl�tt pl�nhornr�tt � x1-�s, �� getum vi� beitt sams konar r�ksemdaf�rslu og ��ur til a� s�naa� (c� vr)�t = �: (6:16)H�r er vr er hra�i athugandans �tt fr� lj�sgjafanum og �t er sem fyrr t minn S milli �ess a� athugandinn s�r �ldutoppa. Me� Lorentz-ummyndun f�st a�t mamunur s�mu atbur�a vi�mi�unarkerfi athugandans er�t0 = �t� vr �x1=c2 (6.17)= �t� v2r �t=c2 (6.18)�ar sem �x1 er mismunur � x1-hnitum atbur�anna tveggja �egar athugandinn s�r�ldutoppa. Af (6.16) og (6.18) lei�ir a� lj�st �nin sem athugandinn s�r er�0 = �(1 + �r) (6:19)�ar sem �r = vr=c. Taki� eftir a� (6.19) ver�ur a� (6.15) ef v = vr.Doppler-hrif afst��iskenningu eiga s�r raun tv�r orsakir. �Onnur er s� a�athuganda sem fjarl�gist lj�suppsprettu vir�ist togna � bylgjunni. �A sama h�tt41

................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ x2 x1................................................ ............................................................................................... ............................................................................................................................................... .............................................................................................................................................................................................. ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ ............. ............. ............. ............. .............�Lj�sgjafi .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................� �� � ��! � �tvr �! ������ c�t ������!................................................................................................................................................................................................................................................................................................................�tv

Mynd 16. Athugandi hreyfist eftir beinni l nu sem er ekki sams �a sj�nl nu til lj�sgjafans.Ef fjarl�g� athuganda fr� lj�sgjafa er � � �� eru �ldutopparnir �v sem n�st sl�tt pl�n.vir�ist bylgjan �jappast saman ef athugandinn n�lgast uppsprettuna. �essu er l�stme� ��ttinum (1+�r) nefnara (6.19). Hin ors�kin er t malengingin. Athugandan-um vir�ast allar klukkur S ganga of h�gt. L ta m� � einlitan lj�sgjafa sem klukkume� t maeiningu ��1 og �a� sk�rir ��ttinn fyrir ne�an strik (6.19). ��tt athug-andi hreyfist hornr�tt � sj�nl nu til lj�suppsprettu s�r hann samt Doppler-hli�runvegna t malengingarinnar.Doppler-hrif eru afar mikilv�g m�rgum greinum e�lisfr��i, m.a. stjarne�lis-fr��i, �ar sem kerfisbundin ranns�kn � Doppler-hli�run litr�fsl na fr� fjarl�gumvetrarbrautum hefur s�nt fram � �t�enslu alheimsins: �v fjarl�gari sem vetrar-brautir eru �eim mun meiri er Doppler-hli�run litr�fsl nanna og �eim mun st�rri ervr, hra�i vetrarbrautanna burt fr� okkur. A� me�altali stendur vr r�ttu hlutfallivi� fjarl�g� vetrarbrautanna fr� okkur. Ef Doppler-hli�run veldur minnkun � t �nier h�n oft nefnd rau�vik, en bl�vik ef t �nin eykst.Erfitt er a� greina Doppler-hli�run af v�ldum t malengingar fr� Doppler-hli�runaf v�ldum sj�nl nuhra�a �v a� s �arnefndu hrifin eru � st�r�ar�repinu vr=c en hinfyrrnefndu � st�r�ar�repinu v2=c2 og �ess vegna n�r alltaf miklu minni nema vr s�n�nast 0. �� hefur reynst unnt a� m�la Doppler-hli�run af v�ldum t malengingareinnar � eftirfarandi h�tt: Athugandi horfir � gas hylki. Gasat�min eru �rvu�,f�ra sig milli orkustiga og gefa fr� s�r rafsegulbylgjur me� tiltekna �ldulengd. A�jafna�i eru jafnm�rg at�m � hreyfingu �tt til athugandans og fr� honum. Vi�sj�um �v a� vr-hluti Doppler-hrifanna veldur einungis breikkun � litr�fsl num enekki hli�run. T malengingin veldur hins vegar hli�run � litr�fsl num �v a� Lorentz-stu�ullinn er �h��ur hreyfingarstefnu. �I reynd er erfitt a� gera �essa tilraun me�litr�fsl nur fr� at�mum �v a� ��r eru ekki n�gu skarpar. �A�ekk tilraun hefur hinsvegar veri� ger� me� gammageislum fr� at�mkj�rnum (sem hafa afar skarpar l nur)og ni�ursta�an er samr�mi vi� (6.19).6.4 �fingad�mi6.1 �I vi�mi�unarkerfi S er kyrrst��ur lj�sgjafi upphafspunktinum me� t �ni �.42

Athugandi hreyfist S �annig a� sta�arvektor hans sem fall af t (t manum S) er x = (a; vt; 0). Geri� r�� fyrir a� a� c=� og reikni� t �ni �ess lj�ss semathugandinn s�r sem fall af t.6.2 Spegill hreyfist me� hra�a v eftir l nu hornr�tt � spegilfl�tinn vi�mi�unarkerfiS. Lj�sgeisli me� t �ni �1 lendir � speglinum undir horni � og endurvarpastfr� speglinum me� t �ni �2 undir horni �, �.e. hornin milli normal vektors �spegilfl�tinn og hreyfingarstefnu lj�sgeislanna eru � og �. S�ni� a�(c � v) tan 12� = (c+ v) tan 12� (6:20)og �2=�1 = sin �= sin �: (6:21)(�Abending: Leysi� verkefni� fyrst vi�mi�unarkerfi �ar sem spegillinn er kyrr-st��ur og svari� auglj�st og ummyndi� s �an svari�.)6.3 Gerum r�� fyrir a� vi�mi�unarkerfi S 0 hreyfist me� hra�a v stefnu x1-�ss s��fr� vi�mi�i S. �Ogn hreyfist me� hra�a u S stefnu sem myndar horni� � vi�x1-�sinn. S�ni� a� vi�mi�unarkerfinu S 0 myndar hreyfingarstefna agnarinnarhorni� �0 vi� x01-�sinn �ar semtan�0 = sin� (v)(cos� � v=u) : (6:22)R��i� marktilviki� u! c og beri� saman vi� j�fnu (6.3).6.4 L�tum vi�mi�in S og S 0 vera eins og s �asta d�mi. �I S 0 er kyrrst��urlj�sgjafi sem sendir fr� s�r lj�s me� sama styrk allar �ttir. L ti� � lj�s semagnastraum og finni� lj�sstyrkinn sem fall af stefnu S. S�ni� a� helmingurlj�ssins sk n inn keilu me� �s hreyfingarstefnu S 0 og topphorn 2� �ar semcos � = v=c.43

7 Enn um hreyfifr��i�I �essum kafla r��um vi� �fram um hreyfifr��i afst��iskenningu og beinum sj�n-um okkar m.a. a� hr��un. Hinga� til hefur n�r eing�ngu veri� fjalla� um hlutime� fasta hra�a treg�ukerfum ��tt sumar ni�urst��ur okkar hafi v �t�kara gildi.Lorentz-ummyndun hra�a sem leidd var �t 5. kafla gildir til a� mynda fyrir hluti� hvers konar hreyfingu. Vi� s�um einnig s �asta kafla nau�syn �ess a� n�lgahreyfingu vi�mi�unarkerfis, sem hefur hr��un mi�a� vi� treg�ukerfi, me� hreyfingutreg�ukerfis sem hefur sama hra�a og hra�a�a vi�mi�unarkerfi� � tilteknum t ma.H�r gerum vi� �essu efni n�nari skil.7.1 Eigint miL�tum K vera klukku � hreyfingu treg�ukerfi S. Gerum r�� fyrir a� klukkan s� upphafspunkti S � t manum t = 0 S og s�ni �� 0. Gerum r�� fyrir a� sta�setningklukkunnar sem fall af t s� x(t). Hra�i klukkunnar S erv(t) = dxdt : (7:1)T�knum t mann sem K s�nir me� � . �essi t mi er nefndur eigint mi klukkunnar.Fyrir l til gildi � t h�fum vi� � = (v(0))�1t+O(t2); (7:2)a.m.k. ef v er diffranlegt fall af t, samkv�mt umr��u okkar um t malengingu grein5.3. �ar af lei�ir d�dt �����t=0 = (v(0))�1: (7:3)Au�vita� er ekkert s�rstakt vi� t mann t = 0 svo a�d�dt = (v(t))�1 (7:4)e�a � = Z t0 (v(t0))�1 dt0 (7.5)= Z t0 q1 � v2(t0)=c2 dt0: (7.6)Taki� eftir a� vi� �tlei�slu � (7.6) h�fum vi� beitt �eirri tilg�tu a� ganghra�a Kmegi l�sa me� �v a� Lorentz-ummynda � hverjum t ma yfir treg�ukerfi sem er �samhreyfingu me� klukkunni. �etta er ekki bein aflei�ing af forsendum Einsteins,�v a� klukkan ver�ur fyrir hr��un og m� �v gera s�r hugarlund a� ganghra�ihennar geti breyst vi� hr��unina. Au�vita� eru sumar klukkur �annig a� ganghra�i�eirra breytist vi� hr��un, t.d. pend�lklukkur. G��ar klukkur, t.d. at�mklukkure�a �st��ugar �reindir, eru hins vegar �n�mar fyrir hr��un. M�lingar me� sl kumklukkum hafa sta�fest (7.6) � �yggjandi h�tt. �I �reindahr��lum hefur (7.6) veri�pr�fu� fyrir agnir sem ver�a fyrir hr��un allt a� 1018g.44

............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ x1x0

............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ......................................................................................BActMynd 17. Minkowski-mynd af s�guferlum tv buranna A og B.7.2 Tv bura�vers�gninT malengingin sem vi� r�ddum 5. kafla kemur ekki mj�g ���gilega vi� okkur �v a� klukkur sem hreyfast innbyr�is me� f�stum hra�a m�tast einungis einum punkti t mar�minu. Klukkur me� breytilegan hra�a geta hins vegar m�st hversu oft semvera skal og samkv�mt (7.4) gengur klukka sem ver�ur fyrir hr��un treg�ukerfi�vinlega h�gar en klukka sem er kyrrst�� treg�ukerfinu �v a� (v)�1 < 1 ef v > 0.�etta er undirr�t hinnar svonefndu tv bura�versagnar sem hlj��ar svo: Gerum r��fyrir a� tv burar A og B samstilli klukkur s nar upphafspunkti treg�ukerfis ogannar �eirra, B, fari geimfer� (eftir beinni l nu s�� fr� A) me� hra�a v en A ver�ieftir � j�r�inni (sem vi� gerum r�� fyrir a� s� kyrrst�� treg�ukerfi). Gerum einnigr�� fyrir a� eftir t ma t=2, samkv�mt klukkum A, sn�i geimfarinn vi� og haldi afturtil jar�ar me� hra�a �v. �egar A og B m�tast a� n�ju �� hefur t mi t li�i� hj�A en klukkur B s�na t0 = (v)�1t, svo a� B er yngri en A. �vers�gnin er n� s�g�felast �v a� fr� sj�narh�li B hefur A fer�ast me� hra�a �v og s �an jafnlengi me�hra�a v svo a� A �tti l ka a� vera yngri en B.H�r er �� engin �vers�gn, �v a� einungis annar tv buranna ver�ur fyrir hr��un,�.e. s� sem fer til stjarnanna. Tv burinn sem ver�ur fyrir hr��un veit a� sj�lfs�g�uaf �v og getur m�lt hana me� vi�eigandi t�kjum. ��tt hreyfing A s�� fr� B s�eins og hreyfing B s�� fr� A �� er s� reginmunur � hreyfingu A og B a� A er kyrr einu og sama treg�ukerfi, en geimfarinn B skiptir um treg�ukerfi �egar hra�i hansmi�a� vi� j�r� breytist �r v �v. A� auki f�rir B sig � milli treg�ukerfa upphafiog vi� lok fer�ar.Taki� eftir a� �a� er ekki hr��unB sem seinkar klukkum hans mi�a� vi� A heldurhra�i B mi�a� vi� A. Hr��unin er hins vegar forsenda �ess a� A og B hittist � n�janleik eftir a� B er lag�ur af sta�. Hafi hr��un B einhver truflandi �hrif � klukkurhans er s� skekkja �h�� �v hve lengi fer�in varir heild en aldursmunur tv burannaeykst r�ttu hlutfalli vi� t malengd fer�arinnar samkv�mt (7.6). Au�vita� er ekkih�gt a� koma B � hra�a v � einu augabrag�i eins og vi� ger�um r�� fyrir. Hra�a�arf geimskipinu h�gt og r�lega ��tt ekki v�ri til annars en kremja ekki �h�fnina.�etta breytir �� engu um meginni�urst��u okkar og reikna m� n�kv�mlega �t �hrifmismunandi hr��unara�fer�a me� (7.6), sj� [27].45

Tv bura�vers�gnin hefur veri� pr�fu� beint me� m�lingum og eru ni�urst��ur fullu samr�mi vi� (7.6). �I fyrstu tilrauninni af �essu tagi voru tv�r at�mklukkursamstilltar en s �an var annarri �eirra flogi� me� far�egaflugv�lum. Flugfreyja fullu starfi eldist a� jafna�i einum millj�nasta �r sek�ndu minna � �ri en stallsystir kyrrst��uvinnu.7.3 Eiginhra�i og fj�rvektorarT�kum aftur til athugunar klukkuna K sem vi� r�ddum grein 7.1. Eiginhra�ihennar er skilgreindur sem u = dxd� (7:7)�ar sem � er eigint mi klukkunnar. Samkv�mt (7.4) eru = dtd� v (7.8)= (v)v (7.9)�ar sem v er hra�i klukkunnar treg�ukerfinu S. Eiginhra�i hlutar er oft hentugrist�r� til a� vinna me� afst��iskenningu en venjulegur hra�i �v a� � er �h��vi�mi�unarkerfi svo a� u breytist vi� Lorentz-ummyndun � sama h�tt og r�mhnitklukkunnar. H�r eftir mun u �vinlega t�kna eiginhra�a og veldur �a� vonandi ekkimisskilningi a� sama t�kn st�� stundum fyrir venjulegan hra�a fyrri k�flum.Ef x er t mar�mshnit klukkunnar S sem fall af � �� er fj�rhra�i hennar skil-greindur sem u = dxd� (7.10)= (v)(c;v): (7.11)Ef vi� skiptum um vi�mi�unarkerfi �� breytist fj�rhra�inn eins og t mar�mshniti�x �v a� � er �h�� vi�mi�unarkerfi. Fj�rhra�i er ��gilegt hugtak a� vinna me� afst��iskenningu og munum vi� sj� �a� best �egar vi� f�rum a� r��a um skri��ungaog �rekstra.Fj�rhra�ahugtaki� gefur tilefni til eftirfarandi skilgreiningar: Gerum r�� fyrira� s�rhverju treg�ukerfi S s� skilgreindur vektor aS 2 R4. Gerum r�� fyrir a��(S; S 0) s� Lorentz-ummyndun sem tengir saman t mar�mshnit atbur�a S og ��ruvi�mi�unarkerfi S 0, �.e. ef x er t mar�mshnit atbur�ar S �� er x0 = �(S; S 0)xt mar�mshnit sama atbur�ar S 0. Vi� segjum a� aS s� fj�rvektor ef hann hl tirLorentz-ummyndun �egar fari� er milli vi�mi�unarkerfa, �.e.aS0 = �(S; S 0)aS (7:12)fyrir s�rhver tv� vi�mi�unarkerfi S og S 0. T mar�mshnit atbur�a og fj�rhra�i hlutaeru auglj�s d�mi um fj�rvektora.St�r�ir sem taka sama gildi �llum vi�mi�unarkerfum, t.d. Minkowski-innfeldi� bili milli tveggja atbur�a vi� sj�lft sig, nefnast skalarst�r�ir. Um t�lulegt gildi46

�eirra eru allir athugendur samm�la. Anna� d�mi um skalarst�r� er rafhle�sla �r-eindar. A� skalarst�r�um fr�t�ldum eru fj�rvektorar einf�ldustu st�r�ir sem komafyrir afst��iskenningunni. Taki� eftir a� a � b er skalarst�r� ef a og b eru fj�rvek-torar. Ef til d�mis u er fj�rhra�i agnar �� er u � u = c2 samkv�mt (7.11). �I �llume�lisfr��ikenningum sem eiga a� samr�mast takm�rku�u afst��iskenningunni erreynt a� vinna sem mest me� skalarst�r�um og fj�rvektorum.7.4 Hr��unVenjuleg hr��un agnar treg�ukerfi A = dvdt (7:13)er ekki heppileg til a� l�sa hreyfingu afst��iskenningu �v a� h�n breytist ekki� einfaldan h�tt vi� Lorentz-ummyndun, ��tt vissulega megi �kvar�a Lorentz-ummyndun hr��unar � l kan h�tt og vi� fundum Lorentz-ummyndun hra�a 5.kafla.20Eiginhr��un agnar er skilgreind sem hr��un agnarinnar m�ld treg�ukerfi semer � samhreyfingu vi� �gnina. �A l kan h�tt er fj�rhr��un agnarinnar, a, skilgreindme� a = d2xd� 2 : (7:14)Ekki er erfitt a� ganga �r skugga um a� fj�rhr��un er fj�rvektor.Eiginhr��un geimskips er hr��unin sem m�list tilraunastofu inni geimskipinu.L tum n� � einfalt d�mi. Gerum r�� fyrir a� hreyflar geimskips s�u gangi me�f�stu afli svo a� eiginhr��un geimskipsins s� f�st st�r� a �h�� t ma. Gerum r��fyrir a� geimskipi� s� kyrrst�tt upphafspunkti treg�ukerfis S � t manum t = 0 treg�ukerfinu. Finnum sta�setningu geimskipsins S sem fall af t. Vi� getum gertr�� fyrir �v a� geimskipi� hreyfist eftir x1-�s treg�ukerfisins svo a� a = (�; 0; 0).T�knum hra�a geimskipsins S (eftir x1-�s) sem fall af t me� v. �I vi�mi�unarkerfi� samhreyfingu mi�a� vi� geimskipi� er fj�rhr��unin a0 = (0; �; 0; 0). �I vi�mi�un-arkerfinu S er fj�rhr��un geimskipsins gefin me� Lorentz-ummyndun af a0:a = �(')a0 (7:15)�ar sem tanh' = �v=c. �ar af lei�ira = (� �; �; 0; 0): (7:16)Einnig gildir samkv�mt skilgreiningu (7.14)a = d2d� 2 (x0;x); (7:17)�ar sem x = (x0;x) er t mar�mshnit geimskipsins. Af j�fnum (7.16) og (7.17) lei�ira� dd� ( (v)v) = �: (7:18)20Sj� [11] bls. 152. 47

................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ x1x0

............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ..................................... .................................... ....................................�x1 = �c2=� ...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................Mynd 18. Minkowski-mynd af s�guferli geimskips me� fasta hr��un.N� er dd� = ddt (7:19)svo a� (v)v = �t+ k (7:20)�ar sem k er fasti. Vegna upphafsskilyr�anna er k = 0 sem lei�ir tilv21 � v2=c2 = �2t2 (7:21)e�a v = �tq1 + �2t2=c2 : (7:22)J�fnu (7.22) m� heilda og f� �annig x1-hnit geimskipsins sem fall af t:x1(t) = c2� �q1 + �2t2=c2 � 1� : (7:23)Vi� sj�um a� braut geimskipsins t mar�minu er h�perb�la eins og l�st er � mynd18. T minn geimskipinu �egar klukkan er t � j�r�u er� = Z t0 q1� v(t0)2=c2 dt0 = c� sinh�1 ��tc � (7:24)samkv�mt (7.6). Fyrir st�r gildi � t f�st� � c� ln 2�tc : (7:25)48

7.5 �fingad�mi7.1 R�ksty�ji� sta�h�finguna um flugfreyjur grein 7.2.7.2 Anna og D sa eru tv burar. Anna tekur s�r far me� Geimlei�um til stj�rnunnar�-Centauri sem er 4 lj�s�ra fjarl�g� fr� j�r�u. H�n sn�r vi� til jar�ar umlei� og komi� er � �fangasta�. Geimskip Geimlei�a fer�ast me� hra�a 0,6c s��fr� j�r�u. Anna sendir D su skeyti (me� lj�shra�a) n�kv�mlega 100 sinnum� �ri samkv�mt klukkum geimskipsins. D sa sendir �Onnu sams konar skeyti100 sinnum � �ri samkv�mt jar�art ma.(a) Hve m�rg skeyti f�r Anna � lei�inni til �-Centauri?(b) Hve m�rg skeyti f�r Anna � heimlei�inni?(c) Hve m�rg skeyti sendir Anna til D su ��ur en h�n kemur � �fangasta�?(d) Hve m�rg skeyti f�r D sa alls?(e) Hver er aldursmunur tv buranna a� afloknu fer�alaginu?(f) R��i� ni�urst��urnar (a)-(c) me� hli�sj�n af Doppler-hrifum.7.3 �I treg�ukerfi S hreyfist �gn eftir beinni l nu me� eiginhr��un �. T�knumhra�astu�ul agnarinnar S me� '. S�ni� a�d'd� = �c (7:26)�ar sem � er eigint mi agnarinnar.

49

8 Orka og skri��ungiFram til �essa h�fum vi� einskor�a� okkur vi� l�singu � hreyfingu hluta og ekkir�tt um aflfr��i. �I �essum kafla s�num vi� hvernig nau�synlegt er a� endursko�askilgreiningu � grunnhugt�kum aflfr��innar, skri��unga og hreyfiorku, til a� l�gm�laflfr��innar ver�i samr�mi vi� afst��iskenningunna.8.1 Skri��ungi klass skri e�lisfr��iSkri��ungi agnar me� massa m og hra�a v er skilgreindur aflfr��i Newtons semp = mv: (8:1)�Ast��a �ess a� skri��ungi er mikilv�gt hugtak er s� a� hann er var�veittur. Rifjumupp hva� vi� er �tt vi� me� var�veislu skri��ungans. �Imyndum okkur a� N agnirme� skri��unga pi, i = 1; : : : N , hreyfist vi�mi�unarkerfi S. Gerum r�� fyrira� agnirnar v xlverki fyrir tilstilli krafta sem fulln�gja 3. l�gm�li Newtons, �.e.Fij = �Fji �ar sem Fij er s� kraftur sem �gn i ver�ur fyrir af v�ldum agnar j.Til ��ginda getum vi� hugsa� okkur a� agnirnar hafi veri� frj�lsar (�.e. fer�astme� f�stum hra�a eftir beinni l nu) upphafi, v xlverkunin vari endanlegan t maog agnirnar ver�i a� lokum aftur frj�lsar. Ef qi er skri��ungi agnar i eftir a�v xlverkunin er afsta�in, �� gildir P = Q (8:2)�ar sem P = NXi=1pi og Q = NXi=1 qi (8:3)eru heildarskri��ungarnir fyrir og eftir v xlverkunina. Ef vi� skiptum um vi�mi�un-arkerfi og athugum agnirnar vi�mi�unarkerfi S 0 sem hreyfist me� hra�a v mi�a�vi� S er skri��unginn einnig var�veittur S 0, ef tengsl t mar�mshnita atbur�a Sog S 0 eru gefin me� Galilei-ummyndun. Vi� t�knum skri��unga agnar i m�ldan S 0 me� p0i, og heildarskri��ungann me� P0 og notum sams konar t�knm�l fyrirskri��ungana eftir �rekstur. �� gildirp0i = pi �miv og q0i = qi �miv (8:4)svo a� P0 = P�Mv og Q0 = Q�Mv (8:5)�ar sem M = NXi=1mi (8:6)er heildarmassi agnanna. �I klass skri aflfr��i er �t � gert r�� fyrir a� heildarmassis� var�veittur �llum ferlum. Vi� munum sj� a� anna� ver�ur uppi � teningn-um aflfr��i afst��iskenningarinnar. Tvennt einkennir var�veislu skri��ungans klass skri aflfr��i: Var�veislan er aflei�ing af 3. l�gm�li Newtons og forsenda �essa� var�veisla skri��ungans s� ekki h�� vi�mi�unarkerfi er a� Galilei-ummyndanirtengi saman hnit �l kum vi�mi�unarkerfum.50

8.2 Skri��ungi afst��iskenningu�I afst��iskenningunni eru t mar�mshnit atbur�a mismunandi vi�mi�unarkerfumtengd me� Lorentz-ummyndun svo a� skri��ungi eins og hann er skilgreindur klass skri aflfr��i getur ekki veri� var�veitt st�r� �llum vi�mi�unarkerfum. �a�liggur �v beinast vi� a� �lykta sem svo a� breyta ver�i skilgreiningu skri��ungans.�I afst��iskenningunni er heldur engin hli�st��a vi� 3. l�gm�l Newtons. �a�hefur enga merkingu a� segja a� �gn i verki � �gn j me� einhverjum tilteknum krafti� gefnu augnabliki �v a� samt minn er h��ur vi�mi�i og engin �hrif geta borist �milli agna me� hra�a meiri en lj�shra�anum. �I afst��iskenningu er �v ekki unnta� lei�a �t l�gm�l um var�veislu skri��unga � sama h�tt og klass skri aflfr��i ogr�kr�ttast a� setja l�gm�li� um var�veislu skri��unga fram sem grundvallarl�gm�lsem ekki er leitt af neinu ��ru l�gm�li. Eftir stendur spurningin hver s� hin r�ttaskilgreining � skri��unga. Til a� svara �essari spurningu er e�lilegt a� velta fyrir s�rtilraun me� fja�urmagna�an �rekstur tveggja agna og krefjast �ess a� skri��unginns� var�veittur �rekstrinum �llum vi�mi�unarkerfum og auk �ess a� hin klass skaform�la fyrir skri��unga (8.1) s� n�nast r�tt fyrir agnir sem hreyfast miklu h�garen lj�si�.�Onnur lei� og flj�tlegri er a� sj� af hyggjuviti s nu a� skynsamlega skilgreindurskri��ungi afst��iskenningu hl�tur a� vera fj�rvektor og s� einfaldasti sem kemurtil greina er fj�rhra�inn margfalda�ur me� massa. Hvort �essi st�r� er var�veitt �rekstrum er s �an spurning sem svara ver�ur me� tilraunum.�a� er hins vegar l�rd�msr kt a� athuga sm�tilraun og sj� hvernig h�n lei�irtil �tv r��rar skilgreiningar � skri��unga. Vi� gefum okkur eftirfarandi: S�rhverri�gn m� tileinka skri��ungavektor p 2 R3 sem er sams �a v, �.e.p = f(m; jvj)v (8:7)�ar sem m er massi agnarinnar, jvj er lengd hra�avektorsins v, falli� f er �h��vi�mi�unarkerfi (nau�synlegt vegna afst��isl�gm�lsins), �a� er samfellt ogf(m; 0) = m: (8:8)Falli� f getur einungis veri� h�� lengd v en ekki stefnunni, �v a� r�mi� er eins�tta(afst��isl�gm�li� aftur). N� krefjumst vi� �ess a� skri��unginn s� var�veittur �llum treg�ukerfum og s�num a� �ar me� er falli� f �tv r�tt �kvar�a�.Gerum r�� fyrir a� tv�r jafn�ungar agnir me� massa m rekist � tilraunastofu�ar sem ��r hreyfast me� sama hra�a en gagnst��ar stefnur. K�llum vi�mi�-unarkerfi tilraunastofu S. Vi� veljum stefnur hnita�sa �annig a� hra�i agnar 1er v1 = (V1;�V2; 0) (8:9)og hra�i agnar 2 er v2 = �v1 fyrir �reksturinn. Vi� gerum r�� fyrir a� V2 � V1 ogeftir �reksturinn s�u hra�avektorar agnannaw1 = (V1; V2; 0) og w2 = (�V1;�V2; 0): (8:10)�I vi�mi�unarkerfi S 0 sem hreyfist me� hra�a V1 stefnu x1-hnita�ssins s�� fr� S m�rita hra�a agnar 1 v01 = (0;�v0; 0); (8:11)51

..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ........................ ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ........................ ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ........................x1 x01 x001............................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ .............Sv1 w1w2 v2 .......................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................................................................................................................ ..................................................................................................S0v01 w01w02 v02 ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ............................................................................................................... ..................................................................................................S00v001 w001w002 v002Mynd 19. �Arekstur tveggja jafn�ungra agna sko�a�ur �l kum vi�mi�unarkerfum.og vi� t�knum hra�a agnar 2 me�v02 = (�v;w; 0) (8:12) sama vi�mi�unarkerfi. Vi� getum reikna� gildi v0, v og w �t fr� V1 og V2 en vi�h�fum ekki ��rf fyrir �a�. Eftir �reksturinn eru hra�avektorar agnanna vi�mi�-unarkerfinu S 0 w01 = (0; v0; 0) og w02 = (�v;�w; 0); (8:13)sj� mynd 19. Skri��unginn stefnu x02-hnita�ss S 0 fyrir �rekstur er �v e02 � pfyrir = �f(m; v0)v0 + f(m;pw2 + v2)w (8:14)og heildarskri��unginn stefnu x02-�ssins eftir �rekstur ere02 � peftir = �e02 � pfyrir (8:15)samkv�mt (8.13). N� gerum vi� r�� fyrir a� skri��unginn s� hinn sami fyrir ogeftir �reksturinn og f�um �v e02 � pfyrir = 0 sem hefur f�r me� s�rf(m;pw2 + v2)w = f(m; v0)v0: (8:16)Ef vi� sko�um sama �rekstur vi�mi�unarkerfi S 00 �ar sem �gn 2 hreyfist stefnux002-hnita�ssins fyrir og eftir �rekstur, skipta agnir 1 og 2 um hlutverk svo a� hra�a-vektorarnir v01 og v02 eru tengdir me� Lorentz-ummyndun um hra�a �v stefnux1-�ss og �ar af lei�ir w = v0= (v) (8:17)samkv�mt (5.14)-(5.16). Vi� sko�um n� s�rstaklega markgildi� v0 ! 0. �� stefnirv0=w � (v) svo a� (8.16) og (8.8) lei�a tilf(m; v) = m (v) (8.18)= mq1 � v2=c2 : (8.19)Samkv�mt (8.7) m� �v rita skri��unga agnar me� massa m � forminup = mdxd� (8:20)52

�ar sem � er eigint mi agnarinnar.Stundum er tala� um hra�ah��an e�a afst��ilegan massa afst��iskenninguog er �� �tt vi� m(v) = m (v). Hinn venjulegi massi er �� nefndur hv ldar- e�akyrrst��umassi, m = m(0). �essi m�lnotkun er � undanhaldi og munum vi� ekkibeita henni.8.3 Orku-skri��ungavektorinnVi� t�kum n� sem forsendu fyrir aflfr��i afst��iskenningu a� skri��unginn (8.20)s� var�veittur �llum ferlum. �essi sta�h�fing er eitt af �eim l�gm�lum e�lisfr��-innar sem hafa fengi� n�kv�masta pr�fun. �I d�miger�um �reindahra�li eru oftskr��ir m�rg ��sund �rekstrar � sek�ndu og alla �� �rekstra �arf a� greina me�l�gm�lum afst��iskenningarinnar �v a� agnirnar eru mj�g hra�fara. Aldrei hafafundist hin minnstu fr�vik fr� l�gm�linu um var�veislu skri��ungans afst��iskenn-ingu.Vi� h�fum s�� a� munur skri��unga klass skri aflfr��i og skri��unga einsog hann er skilgreindur afst��iskenningu er einfaldlega s� a� afst��iskenningudiffrum vi� sta�setningu me� tilliti til eigint ma en ekki t ma. Ef vi� skiptum umvi�mi�unarkerfi breytist skri��unginn eins og r�m��ttir fj�rvektorsinsp = mu (8:21)�ar sem u er fj�rhra�inn. Fj�rvektorinn p nefnist orku-skri��ungavektor. Eins ognafni� gefur til kynna er t ma��ttur �essa vektors t�lka�ur sem orka. T ma��tturp er p0 = mc . Vi� skilgreinum E = cp0 (8:22)og segjum a� E s� orka agnar me� orku-skri��ungavektor p. Taki� eftir a� orkaskilgreind me� (8.22) er �tv r�tt �kv�r�u� af skri��unga agnarinnar og massa. Ef per heildar orku-skri��ungavektor samsetts kerfis me� margar agnir (fenginn me� �v a� leggja saman orku-skri��ungavektora einstakra agna) k�llum vi� E heildarorkukerfisins.En hver er r�ttl�ting �ess a� kalla E orku? �a� er einkum eftirfarandi:Ef skri��ungi er var�veittur �llum ferlum �llum treg�ukerfum �� erorkan E einnig var�veitt.S�nnun �essarar sta�h�fingar er n�stum auglj�s: Gerum r�� fyrir a� p1 og p2 s�ufj�rvektorar sem l�sa heildar orku-skri��unga fyrir og eftir eitthvert ferli. Ritump = (p0;p) = p1 � p2. �� er r�mhluti p, p = 0, �llum vi�mi�unarkerfum, �.e.�(p0; 0) = (p00; 0) fyrir allar Lorentz-ummyndanir �. Af �essu lei�ir (sj� �fingad�mi8.1) a� p0 = p00 = 0 og �ar me� er heildarorkan fyrir og eftir ferli� hin sama �llumvi�mi�unarkerfum.Innfeldi orku-skri��ungavektorsins vi� sj�lfan sig erp � p = m2c2 (8:23)sem m� umrita E = qc2p2 +m2c4: (8:24)53

Ef vi� li�um form�luna fyrir E a� ofan p2 f�stE = mc2 + p22m � 18 p4c2m3 +O p6c4m5! : (8:25)Vi� sj�um a� orkan getur aldrei or�i� minni en mc2, en n�sti li�ur orkunni ereinfaldlega hin klass ska hreyfiorka. L�gmarksorkan mc2, oft nefnd kyrrst��uorkaagnarinnar, � s�r enga hli�st��u klass skri e�lisfr��i. Mismunur E og kyrrst��u-orkunnar nefnist hreyfiorka: T = E �mc2: (8:26)L�gm�li� um var�veislu skri��ungans afst��iskenningu hefur f�r me� s�r l�g-m�li� um var�veislu orkunnar og �fugt, sj� �fingad�mi 8.2. �I klass skri aflfr��ier oft sagt a� orkan s� ekki var�veitt nema fja�urm�gnu�um �rekstrum. �ettaer ekki r�tt �v a� �fja�urm�gnu�um �rekstrum breytist hreyfiorka innri orku,t.d. varma. �I afst��iskenningu er greinarmunur � fja�urm�gnu�um og �fja�ur-m�gnu�um �rekstrum me� ��rum h�tti. Orka er alltaf var�veitt, en vi� segjuma� �reksturinn s� fja�urmagna�ur ef massar allra agna eru �breyttir. Agnir semtaka ��tt �fja�urm�gnu�um �rekstrum breyta �v um massa e�a einhverjar agnirbreytast a�rar.8.4 �fingad�mi8.1 Ef p = (p0; 0; 0; 0) 2M og r�m��ttir �p eru 0 fyrir allar Lorentz-ummyndanir�, s�ni� a� p0 = 0.8.2 Ef orkan (8.24) er var�veitt �llum ferlum �llum treg�ukerfum, s�ni� a�ski��unginn (8.20) er einnig var�veittur.8.3 Ef T er hreyfiorka, p er lengd skri��ungavektors og v er lengd hra�avektorsagnar me� massa m s�ni� a� pvT = T + 2mc2T +mc2 : (8:27)8.4 Orka s�lar � uppruna sinn kjarnahv�rfum �ar sem massaorka breytist a�mestu hreyfiorku lj�seinda. �A j�r�u er geislunarorka s�lar u.�.b. 1,35 kW/m2.Reikni� �t hve miklum massa s�lin tapar � sek�ndu. Fjarl�g� jar�ar fr� s�luer 1; 5 � 108 km.54

9 �Arekstrar og var�veislul�gm�l�I �essum kafla ver�a r�dd d�mi um �mis ferli n�tt�runni �ar sem var�veislaorku og skri��unga kemur vi� s�gu. Vi� k�llum �essi ferli einu nafni �rekstra��tt einungis sum �eirra s�u �rekstrar hef�bundnum skilningi �ess or�s. �I �eim�rekstrum sem h�r ver�a til umr��u geta n�jar agnir myndast en a�rar horfi�.9.1 Fullkomlega �fja�urmagna�ur �reksturVi� l tum � fullkomlega �fja�urmagna�an �rekstur fr� sj�narh�li afst��iskenningar-innar. Gerum r�� fyrir a� tv�r agnir sem b��ar hafa massa m rekist � og myndi einan�ja �gn me� massa M . Vi� skulum l�sa �essum �rekstri massami�jukerfi agn-anna �ar sem ��r hafa jafnst�ra en gagnst��a skri��unga, �p, fyrir �reksturinn.Heildar orku-skri��ungavektorinn fyrir �rekstur er �v pfyrir = (2qp2 +m2c2; 0): (9:1)Eftir �reksturinn er n�mynda�a �gnin a� sj�lfs�g�u kyrrst�� �ar sem skri��ungihennar er 0. Orku-skri��ungavektor hennar er �v peftir = (Mc; 0): (9:2)Var�veisla orkunnar lei�ir til Mc2 = 2qm2c4 + p2c2 (9:3)sem einnig m� rita Mc2 = 2mc2 + T (9:4)�ar sem T er heildarhreyfiorka agnanna fyrir �rekstur. Vi� sj�um a� massi n�-myndu�u agnarinnar er meiri en nemur massa upprunalegu agnanna og munurinnstendur r�ttu hlutfalli vi� hreyfiorku upprunalegu agnanna. �I �essu tilviki er �v stundum sagt a� orka hafi breyst massa. �etta er �n�kv�mt or�alag �v a� orkaner var�veitt. R�ttara er a� segja a� hreyfiorka upprunalegu agnanna hafi breyst massa. Auk skri��unga er s� st�r� sem var�veitt er ferlinu hvorki massi n�hreyfiorka heldur p0, t ma��ttur orku-skri��ungavektorsins, og orkan er E = cp0eins og s�nt var s �asta kafla. Sem s�: Massi getur breyst hreyfiorku og �fugt.9.2 Massalausar agnirVi� h�fum s�� a� innfeldi orku-skri��ungavektors agnar vi� sj�lfan sig er m2c2�ar sem m er massi agnarinnar. �Ogn me� massa 0 hl�tur �v a� hafa orku-skri��ungavektor p sem uppfyllir p2 = 0. Tengsl orku og skri��unga sl krar agnareru E = cjpj: (9:5)Jafnan p = mvq1 � v2=c2 (9:6)55

hefur ekki merkingu fyrir massalausa �gn og vi� sj�um a� sl k �gn hl�tur a� fer�ast� lj�shra�a �llum vi�mi�unarkerfum.Lj�seindir eru mikilv�gasta d�mi� um massalausar agnir. Svonefndar fiseindirsem koma fyrir �msum kjarnahv�rfum en v xlverka afar veikt vi� a�rar �reindireru taldar massalausar og eru �� einu �ekktu massalausu �reindirnar a� lj�seindumfr�t�ldum. Tali� er a� til s� massalaus �yngdareind tengslum vi� �yngdarbylgjur �sama h�tt og lj�seindin er tengd rafsegulbylgjum. �yngdarbylgjur og �yngdareindireru enn �fundnar ��tt �mis �bein r�k s�u fyrir tilvist �eirra [38].9.3 Massami�jukerfiVi�mi�unarkerfi �ar sem heildarskri��ungi agna er 0 nefnist massami�jukerfi. �Id�minu sem vi� r�ddum grein 9.1 var auglj�st hvert massami�jukerfi� er. Efvi� h�fum mikinn fj�lda agna blasir ekki vi� a� til s� vi�mi�unarkerfi �ar semheildarskri��unginn er 0. Vi� skulum n� s�na a� svo s� a� �v tilskildu a� a.m.k.ein �gn kerfinu hafi massa m > 0.Gerum r�� fyrir a� vi� h�fum N agnir me� massa mi og orku-skri��ungavektorapi = (p0i;pi), i = 1; : : : ; N , vi�mi�unarkerfi S. Orku-skri��ungavektor kerfisins erp = NXi=1 pi (9:7)og heildarskri��unginn er p = NXi=1 pi: (9:8)N� l tum vi� � agnirnar vi�mi�unarkerfi S 0 sem hreyfist me� hra�a v stefnu ps�� fr� S. Orku-skri��ungavektorinn (9.7) er fj�rvektor svo a� orku-skri��ungavektoragnanna S 0 er gefinn me� p0 = �p �ar sem � er hra�aummyndun um hra�a v stefnu p. Ef p0 er heildarskri��ungi agnanna S 0 �� erjp0j = jpj � � p0 (9:9)�ar sem p0 er t ma��ttur p. Vi� sj�um a� jp0j = 0 �� og �v a�eins a�� = jpjp0 : (9:10)N� ver�ur � a� vera < 1, �.e. ���PNi=1 pi���PNi=1 p0i < 1; (9:11)sem gildir vissulega alltaf ef a.m.k. ein agnanna hefur j�kv��an massa mi, �v a�p0i = qp2i +m2i c2 > jpij (9:12)ef mi > 0. Ef agnirnar eru allar massalausar er flj�tlegt a� sannf�ra sig um a�til er massami�jukerfi svo framarlega sem skri��ungavektorar �eirra eru ekki allir56

sams �a. Vi� l�tum lesandanum eftir a� sannf�ra sig um a� massami�jukerfi� er�t � einhl tt �kvar�a� ef �a� er til.Hra�i vi�mi�unarkerfisins S 0 fr� sj�narh�li S er oft nefndur massami�juhra�i ( S) og t�kna�ur vCM = cpp0 : (9:13)Massami�juhra�inn S 0 er a� sj�lfs�g�u 0.Athugum n� agnirnar a�eins n�nar massami�jukerfinu S 0. Vi� h�fum p0 =(Mc; 0) �ar sem M er heildarmassi agnanna. Taki� eftir a� heildarmassi agnannaM = NXi=1qm2i + p02i =c2; (9:14)�ar sem p0i er skri��ungi agnar i massami�jukerfi, er meiri en nemur summunniaf m�ssum einstakra agna, nema allar agnirnar s�u kyrrst��ar S 0. �essi heg�-un massa afst��iskenningu er aflei�ing af skilgreiningu okkar � skri��unga �samt�eirri tilg�tu a� heildarskri��ungi margra agna s� summan af skri��ungum ein-stakra agna. Vi� sj�um �annig a� massi hlutar vex vi� upphitun �v a� hitastighlutar er m�likvar�i � me�alhreyfiorku efnisagnanna.�I klass skri aflfr��i er massi margra agna kerfis �vinlega summan af m�ssumeinstakra agna svo a� ef til vill er e�lilegt a� s� spurning vakni hvort massi samsettskerfis hl ti raunverulega j�fnu (9.14). �A�ur en vi� sv�rum �eirri spurningu er ekki�r vegi a� rifja stuttlega upp notkun massahugtaksins e�lisfr��i. �I klass skri e�lis-fr��i kemur massi vi� s�gu 2. l�gm�li Newtons, F = ma, og er m�likvar�i � treg�uhluta til a� breyta hra�a, �.e. taka vi� hr��un, af v�ldum krafta. �essi massi nefnisttreg�umassi. A� auki er massi uppspretta �yngdarsvi�s samkv�mt �yngdarl�gm�liNewtons og nefnist �v vi�fangi �yngdarmassi. Eitt h�fu�atri�i klass skrar �yngd-araflfr��i er a� vi� getum vali� �yngdarstu�ul Newtons �annig a� �yngdarmassis�rhvers hlutar er hinn sami og treg�umassi hans. �etta jafngildi hefur veri� pr�f-a� tilraunum me� g furlegri n�kv�mni.21 �I takm�rku�u afst��iskenningunni erhins vegar e�lilegt a� skilgreina massa me� innfeldi orku-skri��ungavektorsins vi�sj�lfan sig �n v sunar til 2. l�gm�ls Newtons e�a �yngdarafls. �I n�sta kafla r��umvi� hvernig alh�fa m� 2. l�gm�l Newtons afst��iskenningu og �ar munum vi�sj� a� (9.14) er treg�umassi. A� afst��iskenningu og �yngdarafli ver�ur viki� s �asta kafla og �ar munum vi� sannf�rast um a� orka en ekki massi er uppspretta�yngdarsvi�s.9.4 Hr�rnunFerli �ar sem ein efnis�gn breytist tv�r e�a fleiri a�rar nefnist hr�rnun e�a sundr-un. Mikilv�gustu d�min um hr�rnun eru kjarne�lisfr��i og �reindafr��i �egar�st��ugir at�mkjarnar e�a �reindir sundrast. Vi� getum einnig tala� um hr�rnun21Fyrstur manna til a� gera n�kv�mar m�lingar � jafngildi �yngdarmassa og treg�umassa varungverski e�lisfr��ingurinn E�tv�s �ri� 1889. Hann komst a� �v a� hlutfall �yngdarmassa ogtreg�umassa var 1 me� n�kv�mni 10�9. S �ari t ma m�lingar hafa b�tt �essa ni�urst��u umm�rg st�r�ar�rep, sj� [6] og [37] bls. 69-70. 57

�egar at�m e�a sameind f�rist af einu orkustigi � anna� og sendir fr� s�r lj�seind.Vi� skulum n� kanna hva� unnt er a� segja um hr�rnunarferli me� beitingu l�g-m�lsins um var�veislu orku-skri��unga.Gerum r�� fyrir a� �gn me� massa M klofni tv�r a�rar agnir me� massa m1og m2. Vi� athugum ferli� massami�jukerfi �ar sem upphaflega �gnin er kyrrst��fyrir hr�rnun. Vi� t�knum orku-skri��ungavektora myndagnanna me� p1 og p2.Var�veisla skri��ungans hefur f�r me� s�r a�p1 = �p2: (9:15)Orkuvar�veisluna m� rita Mc2 = E1 + E2 (9:16)�ar sem Ei = qm2i c4 + p2i c2 (9:17)er orka agnar i. Ef vi� t�knum hreyfiorku agnar i me� Ti m� rita (9.16)Mc2 = m1c2 +m2c2 + T1 + T2 (9:18)svo a� nau�synlegt skilyr�i fyrir �v a� hr�rnun geti �tt s�r sta� erM � m1 +m2: (9:19)Notum n� orku-skri��ungavar�veislu til a� reikna �t orku hvorrar myndagnarfyrir sig. Vi� h�fum E22 = p22c2 +m22c4 (9.20)= p21c2 +m22c4 (9.21)= E21 �m21c4 +m22c4 (9.22)= (Mc2 � E2)2 �m21c4 +m2c4: (9.23)Vi� getum leyst s �ustu j�fnuna fyrir E2 og f�umE2 = c22M (M2 �m21 +m22): (9:24)�A sama h�tt f�st auglj�slegaE1 = c22M (M2 �m22 +m21): (9:25)Hreyfiorkuna er n� au�velt a� finna:T1 = E1 �m1c2 (9.26)= c22M �(M �m1)2 �m22� (9.27)og hli�st�� jafna gildir um T2. Vi� getum ekki sagt til um stefnu skri��ungavek-toranna p1 og p2 en allt anna� er �kvar�a�.58

Mikilv�gt d�mi um hr�rnun er �tgeislun fr� at�mi e�a at�mkjarna. �I �v tilvikier �nnur mynd�gnin lj�seind en hin me� n�stum sama massa og upphaflega �gnin.Til a� var�veita skri��unga hefur �unga mynd�gnin skri��unga 6= 0 massami�ju-kerfi og er �v sagt a� �tgeislunin valdi bakslagi. Vegna bakslagsins hefur lj�seindinheldur minni orku en nemur mismun � kyrrst��uorku �ungu eindanna tveggja.�etta sk�rist ef vi� notum fr��in a� ofan me� m2 = 0. Orka lj�seindarinnar erE2 = c22M (M2 �m21) (9:28)samkv�mt (9.24). Ef vi� skilgreinum �E = (M �m1)c2 m� ritaE2 = �E �1 � �E2Mc2� : (9:29)S �ari li�urinn sviganum a� ofan er orkutap lj�seindarinnar vegna bakslags. Bak-slagi� veldur �v a� t �ni sogsl na at�ma er eil ti� �nnur en t �ni �tgeislunarl na.Sama gildir um gammageislun at�mkjarna, sj� n�nar grein 9.7.9.5 Myndun n�rra agnaEin helsta ranns�knara�fer� �reindafr��i er athugun � �rekstrum �reinda vi� mj�gh�a orku. S� orkan n�gilega mikil geta myndast n�jar agnir: Hreyfiorka breytist massa. N�myndun �reinda er h�� �msum skilyr�um sem yfirleitt eru einhvers konarvar�veislul�gm�l. Mikilv�gasta var�veislul�gm�li� er var�veisla orku og skri��ungavegna �ess a� l�gm�li� er algilt, tekur til hvers kyns �reinda og v xlverkana. �Onnurvar�veislul�gm�l eru til d�mis var�veisla hverfi�unga, rafhle�slu og �missa annarrast�r�a sem koma vi� s�gu v xlverkun �reinda.22Vi� byrjum � a� l ta � einfalt d�mi. Gerum r�� fyrir a� tv�r agnir rekist � ogeftir �reksturinn s�u til sta�ar �rj�r agnir, upphaflegu agnirnar tv�r og ein n�. Tila� agnirnar hafi einhver n�fn skulum vi� gera r�� fyrir a� upphaflegu agnirnar s�utv�r r�teindir me� massa m en n�ja �gnin s� p eind me� massa m0. Ekkert af �v sem h�r ver�ur sagt um �ennan �rekstur er �� h�� �v a� agnirnar s�u r�teindir ogp eindir. Sem fyrr skulum vi� athuga ferli� massami�jukerfi.Orkan fyrir �rekstur er Efyrir = 2mc2 (9:30)�ar sem er gamma��ttur r�teindanna fyrir �rekstur. Til a� orkan s� var�veitt ferlinu �arf hreyfiorka r�teindanna a� vera a.m.k. jafnmikil og massaorka p eindar-innar. L�gmarkshreyfiorku hvorrar r�teindar um sig m� reikna me� �v a� gera r��fyrir a� allar agnirnar �rj�r s�u kyrrst��ar eftir �reksturinn. L�gmarkshreyfiorkaner �v T = mc2( � 1) (9:31)�ar sem 2mc2 = 2mc2 +m0c2: (9:32)22Sj� n�nar t.d. [23] 46. kafla. 59

Vi� getum n� fundi� l�gmarkshra�a r�teindanna �t fr� (9.32) me� einf�ldum reikn-ingi: � = pm02 + 4mm02m+m0 (9:33)og tilsvarandi l�gmarkshreyfiorka erT = m0c22 : (9:34)�essi l�gmarksorka nefnist �r�skuldsorka ferlisins. Ef m0 er � sama st�r�ar�repi ogm (sem gildir ef m er massi r�teindar og m0 er massi p eindar) er l�gmarkshra�ir�teindanna �v � sama st�r�ar�repi og lj�shra�inn.Hafi r�teindirnar upphafi meiri orku en sem nemur �r�skuldsorkunni ��lastmyndagnirnar a� sj�lfs�g�u skri��unga eftir �rekstur. Var�veisla orku-skri��ung-ans segir ekkert um hvernig skri��unginn dreifist � agnirnar �rj�r. Hi� eina semunnt er a� fullyr�a er a� heildarskri��ungi myndagnanna er 0.Athugum �etta sama ferli n� vi�mi�unarkerfi S 0 �ar sem �nnur r�teindin(r�teind 1) er kyrrst�� fyrir �rekstur og spyrjum hver s� l�gmarksorka hinnarr�teindarinnar (r�teind 2). Vi� finnum l�gmarkshra�a r�teindar 2 me� einfaldrihra�asamlagningu: �0 = 2�1 + �2 (9:35)�v a� r�teind 2 hreyfist me� hra�a � massami�jukerfi og S 0 hreyfist gagnst��a�tt vi� r�teind 2 me� hra�a �. Tilsvarandi Lorentz-stu�ull er 0 = 1 + �21 � �2 : (9:36)Hreyfiorka r�teindar 2 vi�mi�unarkerfinu S 0 er �v T 0 = mc2( 0 � 1) (9.37)= 2m0c2 1 + m04m! (9.38)samkv�mt (9.33) og (9.36). �essi ni�ursta�a er athyglisver�. �I massami�jukerfistendur l�gmarksorkan r�ttu hlutfalli vi� m0 en S 0 vex l�gmarksorkan eins og m0 ��ru veldi. �a� er �v miklu erfi�ara a� koma kring �rekstrum til n�myndunaragna me� �v a� nota kyrrst�� skotm�rk. S� skotmarki� kyrrst�tt fer mesturhluti af hreyfiorku skotagnanna a� var�veita skri��ungann. �I massami�jukerfi erheildarskri��unginn hins vegar 0 svo a� n�ta m� alla hreyfiorkuna til n�myndunaragna.�Oreindafr��ingar vilja hafa sem mesta orku til umr��a til n�myndunar agnaog sm �a �v t�ki sem gera �eim kleift a� rannsaka �rekstra massami�jukerfi.Algengast er a� kanna �rekstra r�teinda og andr�teinda e�a rafeinda og j�einda.Andr�teind hefur neikv��a rafhle�slu og hra�ast �v rangs�lis sams konar hring-hra�li og r�teind hra�ast r�tts�lis og sama gildir um rafeindir og j�eindir. Allarhelstu ni�urst��ur �reindafr��itilraunum undanfarna �ratugi hafa fengist �rekstr-um �ar sem �reindir rekast � andeindir s nar massami�jukerfi.60

9.6 Fja�urmagna�ir �rekstrar�I s �asta kafla athugu�um vi� fja�urmagna�an �rekstur tveggja eins agna til a� lei�ar�k a� skynsamlegri skilgreiningu � skri��unga afst��iskenningu. H�r k�nnum vi�fja�urmagna�a �rekstra tveggja agna n�nar.Gerum r�� fyrir a� tv�r agnir me� orku-skri��unga p1 og p2 rekist � og hafiorku-skri��unga q1 og q2 eftir �reksturinn. �� gildirp1 + p2 = q1 + q2 (9:39)og p21 = q21 = m21c2, p22 = q22 = m22c2, �ar sem m1 og m2 eru massar agnanna tveggja.�Areksturinn er fja�urmagna�ur svo a� massar agnanna breytast ekki �rekstrinum.Ef vi� t�kum Minkowski-innfeldi af j�fnu (9.39) vi� sj�lfa sig f�stp1 � p2 = q1 � q2: (9:40)Taki� eftir a� jafna (9.40) er sta�h�fing um jafngildi tveggja skalarst�r�a sem takasama gildi �llum vi�mi�unarkerfum. �essi ni�ursta�a kemur stundum a� g��umnotum. Ef vi� t.d. beitum j�fnunni vi�mi�unarkerfi �ar sem �gn 2 er kyrrst��fyrir �rekstur, �.e. p2 = (p20; 0), f�stq1 � q2 = q10q20 � p10p20: (9:41)Orku-skri��ungavar�veisla �kvar�ar ekki hreyfingarstefnu agnanna massami�ju-kerfi eftir �rekstur. Hi� eina sem vi� getum sagt er a� massami�jukerfi eru skri�-�ungavektorar agnanna jafnlangir og gagnst��ir. Gerum r�� fyrir a� horni� millivektoranna p1 og q1 s� � massami�jukerfi. Hvert er horni� milli hreyfingarstefnuagnanna eftir �rekstur s�� vi�mi�unarkerfi S 0 �ar sem �gn 2 er kyrrst�� fyrir�rekstur? �etta horn er au�velt er a� m�la beint tilraunum me� �v a� skj�tahra�fara �gnum a� kyrrst��u skotmarki. Vi� skulum gera r�� fyrir a� agnirnartv�r s�u jafn�ungar. Til a� finna umbe�i� horn er ekki til nein einfaldari a�fer� en............................................................................................................................................................ ............. ........................................................................................................................................................... ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................v1 w1w2 v2.................................................................... �� ...................................................................................................................................................................................................................................................................... ............. ................................................................................................................................................................................................................................................................................................... .............v01 w01w02............. ............. ............. ............. ............................................... ........................................ ................................................................................................................ �0�0Mynd 20. Fja�urmagna�ur �rekstur tveggja agna s��ur massami�jukerfi og tilrauna-stofu �ar sem �nnur �gnin er kyrr fyrir �rekstur.a� beita Lorentz-ummyndun fyrir hra�a. T�knum hra�avektora agnanna me� v1og v2 massami�jukerfi fyrir �rekstur og l�tum hra�avektorana eftir �rekstur veraw1 og w2. T�knum tilsvarandi vektora S 0 me� w01, w02. Velja m� hnit �annig a�v1 = (v; 0; 0) (9.42)v2 = �v1 (9.43)w1 = (v cos �; v sin �; 0) (9.44)w2 = �w1 (9.45)61

og �ar af lei�ir samkv�mt (5.14)-(5.16)w01 = v cos � + v1 + �2 cos � ; v sin � (1 + �2 cos �) ; 0! (9.46)w02 = �v cos � + v1 � �2 cos � ; �v sin � (1� �2 cos �) ; 0! (9.47)�ar sem = (v). Ef vi� ritumw01 = w01(cos �0; sin �0; 0) (9.48)w02 = w02(cos'0; sin'0; 0) (9.49)f�st tan �0 = sin � (1 + cos �) (9.50)tan'0 = sin � (1 � cos �) (9.51)sem hefur f�r me� s�r tan �0 tan'0 = 1 (v)2 : (9:52)Jafna (9.52) s�nir a� horni� milli hreyfingarstefna agnanna er minna en 90� ogn�lgast 0 �egar v! c. Tilsvarandi horn er �vinlega 90� klass skri aflfr��i.9.7 Orka og t �ni lj�seindaGerum r�� fyrir a� �gn me� massa M og hra�a v sendi fr� s�r lj�seind og hreyfing-arstefna lj�seindarinnar myndi horni� � vi� v. Vi� getum nota� var�veislu orku ogskri��unga til a� finna hvernig orka lj�seindarinnar, E, er h�� v, massatapi �ungueindarinnar og �. �I grein 9.4 reiknu�um vi� �t orku lj�seindarinnar ef �gnin er kyrr-st�� fyrir �tgeislun. T�knum einingarvektor hreyfingarstefnu lj�seindarinnar me�n. T�knum massa agnarinnar eftir �tgeislun me� m1 eins og grein 9.4. L�tump og q vera skri��unga agnarinnar fyrir og eftir �tgeislun og l�tum og 0 veragamma��tti agnarinnar fyrir og eftir �tgeislun. J�fnurnar sem l�sa var�veislu orkuog skri��unga eru M c2 = m1 0c2 + E (9.53)p = q+ nE=c: (9.54)Af �essum j�fnum lei�ir(M c2)2 � 2M c2E + E2 = (m1 0c2)2 (9.55)c2p2 + E2 � 2cEjpj cos � = c2q2 (9.56)�v a� � er horni� milli p og n. Ef vi� dr�gum n� j�fnu (9.56) fr� j�fnu (9.55) ognotum (M c2)2 � c2p2 = (Mc2)2 (9.57)(m1 0c2)2 � c2q2 = (m1c2)2 (9.58)jpjM c = � (9.59)62

................................................................................................................................................................................................................................... ............. .................................................................................................................................................................................... ..................................................... �p nE=cq......................................................................................................................................................................................................................................................................... ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. .............Mynd 21. �Ogn � hreyfingu sendir fr� s�r lj�seind undir horni �.f�st (Mc2)2 � 2M c2E(1 � � cos �) = (m1c2)2 (9:60)sem m� rita E = E2 (1� � cos �) (9:61)�ar sem E2 er orka lj�seindarinnar grein 9.4 sem send var �t fr� kyrrst��ri �gn me�massa M . �essa ni�urst��u hef�i m�tt f� me� �v a� Lorentz-ummynda tilsvarandiorku massami�jukerfi (9.29).Jafna (9.61) er afar athyglisver�. H�n s�nir a� orka lj�seindarinnar breytistme� v og � alveg eins og t �nin form�lunni fyrir Doppler-hrifum (6.19). �a�liggur �v beint vi� a� �lykta sem svo a� orka lj�seinda standi r�ttu hlutfalli vi�t �ni tilsvarandi rafsegulbylgju. Einstein dr� �essa �lyktun fyrstur manna �ri� 1905samt mis �v a� hann setti fram takm�rku�u afst��iskenninguna. Sambandi� milliorku og t �ni lj�seinda, E = h�; (9:62)er undirsta�a kenningar Einsteins um lj�sr�fun. Fastinn h er n�tt�rufasti (l kt oglj�shra�inn) sem einkennir skammtafr��i og nefnist Planck-stu�ull. Hann var fyrstnota�ur af Planck �ri� 1900 kenningu um svarthlutargeislun, sj� n�nar t.d. [23]bls. 1027-1031.9.8 �fingad�mi9.1 Lj�seind rekst � kyrrst��a rafeind og n� rafeind myndast �samt j�eind svo a� loka�standinu eru tv�r rafeindir og ein j�eind. Hver er �r�skuldsorka �essaferlis vi�mi�unarkerfi �ar sem rafeindin er kyrrst�� fyrir �rekstur?9.2 �Ogn 1 me� massa m1 lendir fja�urm�gnu�um �rekstri vi� �gn 2 sem hefurmassa m2. Gerum r�� fyrir a� �gn 2 s� kyrrst�� fyrir �rekstur og hreyfingar-stefna agnar 1 eftir �rekstur s� hornr�tt � hreyfingarstefnuna fyrir �rekstur.L�tum T1 t�kna hreyfiorku agnar 1 fyrir �rekstur og p01 skri��unga agnar 1eftir �rekstur.(a) S�ni� a� horni� � milli hreyfingarstefnu agnar 2 eftir �rekstur og hreyf-63

ingarstefnu agnar 1 fyrir �rekstur er � �ar semtan � = jp01jq2T1m1 + T 21 =c2 :(b) S�ni� a� eftir �rekstur er lengd skri��ungavektors agnar 2qjp01j2 + 2T1m1 + T 21 =c2:9.3 �Ogn me� massa m1 og hra�a v lendir �rekstri vi� kyrrst��a �gn me� massam2. Agnirnar renna saman og mynda eina n�ja �gn me� massaM sem hreyfistme� hra�a V . S�ni� a� V = v1 + m2 (v)m1 (9:63)og �kvar�i� M .9.4 Geri� r�� fyrir a� tv�r agnir me� massa m1 og m2 rekist � og tv�r n�jar agnirme� massa m3 og m4 myndist. T�knum orku-skri��ungavektora agnanna me�pi = (Ei=c;pi), i = 1; 2; 3; 4. �essu ferli er �v alls l�st me� 16 raunt�lum (4fj�rvektorum).(a) S�ni� a� (p1 + p2)2 + (p1 � p3)2 + (p1 � p4)2 = 4Xi=1m2i c2og r��i� hversu margar st�r�ir �h��ar vi�mi�unarkerfi �arf til a� l�sa�rekstrinum. H�r er �tt vi� hversu margar st�r�ir �arf a� gefa tilteknuvi�mi�unarkerfi til a� unnt s� a� reikna �t alla eiginleika �rekstursins ��rum vi�mi�unarkerfum.(b) Geri� r�� fyrir a� allir massarnir mi = m. S�ni� a� vi�mi�unarkerfi�ar sem �gn 1 er kyrrst�� fyrir �rekstur gildirp3 � p4 = E3E4c2 �mE2:9.5 Hlutur me� massa M er kyrrst��ur vi�mi�unarkerfi S. Hann sendir fr�s�r tv�r lj�seindir me� t �ni � gagnst��ar stefnur. Geri� r�� fyrir a� jafna(9.62) gildi um orku lj�seindanna.(a) Finni� massa hlutarins M 0 eftir �tgeislun.(b) Athugi� ferli� vi�mi�unarkerfi S 0 sem hreyfist me� hra�a v s�mu stefnuog �nnur lj�seindin, s�� fr� S. Finni� t �ni lj�seindanna S 0. Noti� s �anorkuvar�veislu og j�fnu (9.62) til a� �kvar�a hreyfiorku hlutarins S 0 fyrirog eftir �tgeislun. Beri� saman vi� ni�urst��una (a). �etta d�mi err�tt [8] bls. 69-71. 64

10 Kraftar og vinna�I �essum kafla athugum vi� beitingu krafthugtaksins afst��ilegri aflfr��i. H�rgegna kraftar �� mun veigaminna hlutverki en klass skri e�lisfr��i.10.1 Kraftar klass skri aflfr��iFlestum er gjarnt a� l ta � 2. l�gm�l Newtons F = ma sem hornstein klass skraraflfr��i. �I l�gm�linu eru �� engar uppl�singar f�lgnar nema vi� �ekkjum F. �Ahinn b�ginn m� l ta � l�gm�li� sem skilgreiningu � krafti sem verkar � hlut efhreyfing hlutarins og �ar me� hr��un hans er �ekkt. �essi skilgreining er au�vita�gagnslaus nema vi� h�fum vitneskju um kraftinn fr� einhverju ��ru l�gm�li. �Ast��a�ess a� krafthugtaki� er jafnnytsamt klass skri aflfr��i og raun ber vitni er s�a� vi� vitum �msilegt um F annars sta�ar fr�. Vi� �ekkjum t.d. �yngdarl�gm�lNewtons og rafsegulfr��i Maxwells segir okkur hva�a rafsegulkraftar verka � hlutme� rafhle�slu e, F = e(E+ v�B); (10:1)ef E og B t�kna �ekkt rafsvi� og segulsvi�. �essi jafna er venjulega k�llu� kraft-l�gm�l Lorentz og F Lorentz-kraftur.Ef vi� hn�tum reipi utan um stein og togum er venja a� segja a� toga� s� steininn me� krafti. �ennan kraft m� m�la me� einf�ldum kraftm�li. Vi� fyrstus�n kann a� vir�ast sem kraftur af �essu tagi s� hvorki �yngdarkraftur n� rafseg-ulkraftur. Ef grannt er sko�a� m� �� sannf�ra sig um a� togkraftur reipisins �s�r rafsegulfr��ilegan uppruna. Sameindir �ess hrinda sameindum steinsins fr� s�rme� rafsegulkr�ftum en hanga sj�lfar saman me� sams konar kr�ftum. Uppsprettakraftsins v��vum reiptogarans er efnahv�rfum sem stj�rnast af rafsegulv xlverk-un. Allir kraftar sem vi� �ekkjum �r daglegu l fi eru rauninni rafsegulkraftar e�a�yngdarkraftar.10.2 Krafthugtaki� afst��iskenningunni�I afst��iskenningunni er venja a� skilgreina kraft sem verkar � tiltekna efnis�gnsem t maaflei�u skri��ungans eins og hann er skilgreindur (8.20), �.e.F = dpdt = m ddt( v): (10:2)Mismunur �essa krafts og tilsvarandi st�r�ar klass skri aflfr��i er �v � st�r�ar-�repinu v2=c2. Vi� sj�um strax a� F breytist ekki � einfaldan h�tt vi� skipti �vi�mi�unarkerfi. �a� er heldur ekki sj�lfgefi� a� ��r form�lur �r �yngdaraflfr��iog rafsegulfr��i sem beitt er klass skri e�lisfr��i eigi vi� kraft eins og hann erskilgreindur me� (10.2). �a� er �� sta�reynd sem vi� lei�um r�k a� n�sta kafla a�rafsegulsvi�in E og B breytast vi� Lorentz-ummyndun �annig a� jafna (10.1) gildir �llum treg�ukerfum. L�sing � �yngdarkr�ftum liggur hins vegar utan verksvi�stakm�rku�u afst��iskenningarinnar. Ekki er unnt a� l�sa �eim me� neinni snjallriform�lu fyrir F. 65

�yngdarl�gm�l Newtons og l�gm�l Coulombs um rafkraft milli rafhle�slna f�luupphaflega s�r hugmyndina um fjarverkun e�a fjarhrif, �.e. �� hugmynd a� fjar-l�gir massar og rafhle�slur �kvar�i samstundis kraftana sem verka � agnir h�r ogn�. Sl k l�sing � kr�ftum br�tur b�ga vi� afst��isl�gm�li�: �I fyrsta lagi geta engin�hrif borist � milli efnisagna me� hra�a sem er meiri en lj�shra�inn og ��ru lagi ersamt mahugtaki� afst�tt svo a� enga merkingu hefur a� segja a� kraftar �kvar�istsamstundis af fjarl�gum efnis�gnum.Til a� l�sing � kr�ftum ver�i samr�mi vi� afst��iskenninguna ver�ur a� notahugtaki� svi�. Allar efnisagnir mynda �yngdarsvi� r�minu kringum sig og a�rarefnisagnir v xlverka vi� �yngdarsvi�i� en ekki beint vi� agnirnar sem eru uppsprettasvi�sins. Sama m�li gegnir um rafsvi�, segulsvi� og �nnur svi� er l�sa v xlverkun �r-einda. Svi�in eiga s�r �v raunverulega tilvist: �au verka � efnisagnir me� krafti ogefnisagnir eru jafnframt uppsprettur svi�a. �ar sem svi� flytja v xlverkun milli agnaer lj�st a� svi� bera b��i orku og skri��unga �v a� �essar st�r�ir eru var�veittar �llum v xlverkunum. Efnis�gn v xlverkar einungis vi� svi� sama t mar�mspunktiog h�n er st�dd og �a� eru �v einungis svi� fort �arlj�skeilu agnarinnar sem getahaft �hrif � hana. �A sama h�tt hefur �gnin sj�lf einungis �hrif � svi� framt �ar-lj�skeilu sinni. Ef s�lin v�ri skyndilega fjarl�g� myndum vi� ekki ver�a v�r vi��a� h�r � j�r�u fyrr en a� li�num 8 m n�tum. R�tt er a� l�sa �llum v xlverkun-um e�lisfr��i me� svi�um en au�vita� er unnt a� n� mikilli n�kv�mni m�rgumtilvikum me� �v a� notast vi� klass ska fjarverkun.Eins og minnst var � a� framan hefur �ri�ja l�gm�l Newtons um verkun oggagnverkun enga merkingu afst��iskenningu en �� me� einni undantekningu. �A�v augnabliki sem tv�r agnir me� skri��unga p1 og p2 rekast � m� mynda s�ra� ��r verki hvor � a�ra me� kr�ftum F1 og F2. �essi kraftverkun br�tur ekki b�ga vi� afst��isl�gm�li� �v a� agnirnar eru sama t mar�mspunkti. �ar semskri��unginn er var�veittur gildir ddt(p1 + p2) = 0 (10:3)sem er jafngilt F1 + F2 = 0 (10:4)� �rekstursaugnablikinu. H�r erum vi� a� hugsa um markgildi� �egar kraftverkuniner �endanlega sterk en varir �endanlega skamma stund. Taki� eftir a� l�gm�li� umverkun og gagnverkun er h�r aflei�ing af l�gm�linu um var�veislu skri��ungans en klass skri aflfr��i er �essu �fugt fari�.10.3 Lorentz-ummyndun kraftsTil a� kanna hvernig kraftur breytist �egar skipt er um vi�mi�unarkerfi er hent-ugt a� skilgreina hugtaki� fj�rkraftur. Gerum r�� fyrir a� �gn me� massa m hafiorku-skri��ungavektor p vi�mi�unarkerfi S. Ef � er eigint mi agnarinnar �� erfj�rkrafturinn sem verkar � �gnina skilgreindur semf = dd� p: (10:5)66

�a� er lj�st a� f er fj�rvektor og f = ma �ar sem a er fj�rhr��unin sem vi�skilgreindum 7. kafla. Vi� h�fumf = ddtp (10.6)= 1c dEdt ;F! : (10.7)H�r er = (w) �ar sem w er hra�i agnarinnar. Vi� sj�um �v a�f = F (10.8)f0 = c dEdt (10.9)�ar sem f t�knar r�m��tti fj�rvektorsins f og f0 t ma��ttinn. Taki� eftir a� f0 ermargfeldi af afli kraftsins F �v a�dEdt = ddtqm2c4 + p2c2 (10.10)= c2E�1p � F (10.11)= w � F: (10.12)�essir reikningar s�na a� orkubreyting agnarinnar � t maeiningu er j�fn �eirri vinnu� t maeiningu sem krafturinn F framkv�mir � �gnina. H�r og annars sta�ar �essarigrein er gert r�� fyrir a� massi agnarinnar s� �h��ur t ma.Athugum n� kraftinn vi�mi�unarkerfi S 0 sem hreyfist me� hra�a v stefnux1-�ss s�� fr� S. �I S 0 er fj�rkrafturinn gefinn me�f 0 = �f (10:13)�ar sem � er Lorentz-ummyndunin sem tengir vi�mi�in S og S 0. �I lj�s mun komaa� ummyndunin tengir kraftvektorinn F vi� afl kraftsins. Samkv�mt (10.13) gildirf 01 = (v)f1 � � (v)f0 (10.14)f 02 = f2 (10.15)f 03 = f3: (10.16)Ef vi� t�knum kraftinn vi�mi�unarkerfinu S 0 me� F0, hra�a agnarinnar me� w0 ognotum (10.8), (10.9) og (10.12) m� rita (10.14) (w0)F 01 = (v) (w)F1� � (v) (w)c�1w � F: (10:17)Vi� notum n�st j�fnu (5.24) sem gerir okkur kleift a� rita (10.17)F 01 = F1 � vw � F=c21 � w1v=c2 : (10:18)�A sama h�tt s�nir jafna (10.15) a� (w0)F 02 = (w)F2 (10:19)67

sem lei�ir til F 02 = F2 (v)(1�w1v=c2) : (10:20)�ri�ji ��ttur F ummyndast auglj�slega � sama h�tt og annar ��tturinn, �.e.F 03 = F3 (v)(1�w1v=c2) : (10:21)Vi� h�fum �v leitt �t ummyndunarreglurnar fyrir kraft og sj�um a� ��r eru ekkieinfaldar.10.4 Hr��un, kraftur og vinnaEf �gn hreyfist me� hra�a w er venjuleg hr��un hennar skilgreind sem23A = dwdt : (10:22)Rita m� F = ddt(m w) (10.23)= m A+md dtw (10.24)= m A+ c�2(w � F)w: (10.25)�I s �asta skrefinu notu�um vi� d dt = 1mc2 dEdt (10.26)= 1mc2w � F: (10.27)Jafna (10.25) s�nir a� kraftur og hr��un eru almennt ekki sams �a vektorar af-st��iskenningu.Ef krafturinn F er sams �a hra�avektor agnarinnar w f�stF = m A+w2c�2F (10:28)svo a� F = m 3A: (10:29)Ef � hinn b�ginn krafturinn stendur hornr�tt � hreyfingarstefnu agnarinnar hverfurs �ari li�urinn h�gri hli� (10.25) og vi� f�um einfaldlegaF = m A: (10:30)Tengsl milli orku agnar og �eirrar vinnu sem kraftur framkv�mir � henni erugefin me� (10.12). �essi tengsl eru n�kv�mlega hin s�mu og milli samsvarandi23Vi� t�knum venjulegu hr��unina me� A en ekki a svo a� enginn freistist til a� rugla samanvenjulegu hr��uninni og r�m��ttum fj�rhr��unarinnar a.68

st�r�a klass skri aflfr��i. Ef �gn hreyfist milli tveggja punkta r1 og r2 undir�hrifum krafts F breytist orka hennar �r E1 E2 �ar semE2 �E1 = Z r2r1 F � dr: (10:31)Jafna (10.31) f�st me� �v a� heilda (10.12). Ef r�F = 0 er heildi� (10.31) �h��vegi fr� r1 til r2 � sama h�tt og klass skri aflfr��i.10.5 �fingad�mi10.1 Athugandi hreyfist me� fj�rhra�a u tilteknu vi�mi�unarkerfi S. �Ogn hefurorku-skri��ungavektor p sama vi�mi�i. S�ni� a� vi�mi�unarkerfi athug-andans er orka agnarinnar u � p.10.2 L�si� hreyfingu agnar me� massa m sem hreyfist hornr�tt � segulsvi� B. �Ahva�a h�tt er hreyfing agnarinnar fr�brug�in tilsvarandi hreyfingu klass skriaflfr��i?10.3 Ef f er fj�rkraftur sem verkar � �gn og u er fj�rhra�i agnarinnar, s�ni� a�u �f = 0. Hvernig breytist �etta samband ef massi agnarinnar er h��ur t ma?10.4 �Ogn hreyfist eftir beinni l nu undir �hrifum krafts F. L ti� � kraftinn vi�mi�-unarkerfi sem er � samhreyfingu me� �gninni � tilteknu augnabliki og s�ni�a� massi agnarinnar sinnum eiginhr��un hennar er j�fn kraftinum.10.5 Hlutur me� massa m hreyfist eftir x1-�s treg�ukerfis. �A hlutinn verkar a�-dr�ttarkraftur a� upphafspunktinum F = �m!2x1 � sama h�tt og klass sk-um hreint�na sveifli. Hluturinn sveiflast fram og aftur um upphafspunktinn afv�ldum F me� �tslagi a, �.e. mesta fjarl�g� hlutarins fr� upphafspuntinumer a. S�ni� a� lota sveifilsins samkv�mt afst��ilegri aflfr��i er4! Z a0 1 + !2(a2 � x21)=2c2qa2 � x21 q1 + !24c2 (a2 � x21) dx1: (10:32)S�ni� a� �essi ni�ursta�a er hin sama og f�st klass skri aflfr��i �egar c!1.69

11 Rafsegulfr��i og afst��iskenning�I 2. kafla r�ddum vi� hvernig �mis fyrirb�ri rafsegulfr��i, einkum heg�un lj�ss,ur�u kveikjan a� afst��iskenningunni. �egar Einstein setti fram kenninguna varhonum efst huga a� grei�a �r m�ts�gnum og fl�kjum sem upp koma �egar liti�er � rafsegulfr��i Maxwells fr� sj�narmi�i klass skra hugmynda um t ma og r�m.�Arinu ��ur en Einstein birti hina fr�gu grein s na Um rafsegulfr��i hluta � hreyfingut�kst Lorentz a� s�na a� j�fnur Maxwells hafa sama form �llum vi�mi�unarkerfuma� �v gefnu a� t ma- og r�mhnit breytist samkv�mt Lorentz-ummyndun �egarskipt er um vi�mi�. Lorentz kom �etta sp�nskt fyrir sj�nir �v a� hann taldi tilvistalt ma sj�lfgefna. �a� er einkar athyglisvert a� Maxwell rita�i j�fnur s nar meira en40 �rum ��ur en afst��iskenningin var sett fram og engu �urfti a� breyta til a� ��rsamr�mdust afst��iskenningunni. Uppg�tvanir v sindum eru ekki alltaf ger�ar �eirri r�� sem kann a� vir�ast r�kr�tt eftir �.�I �essum kafla lei�um vi� �t reglur fyrir ummyndun rafsvi�s og segulsvi�s �egarskipt er um vi�mi�unarkerfi. Vi� notum afst��isl�gm�li� og eina vi�b�tarforsendu:Rafhle�sla er skalarst�r�Vart �arf a� taka fram a� �essi forsenda er samr�mi vi� allar tilraunani�urst��ur.H�r �urfum vi� ekki a� gera r�� fyrir a� lj�shra�inn s� hinn sami �llum vi�mi�um.�a� er aflei�ing afst��isl�gm�lsins og �eirrar tilg�tu a� j�fnur Maxwells gildi �llumtreg�ukerfum.�I �essum kafla er [29] til fyrirmyndar um margt og gert er r�� fyrir a� lesandinns� kunnugur rafsegulfr��i eins og h�n er venjulega kennd � fyrsta h�sk�la�ri. Vi�notumst vi� MKSA einingakerfi�.11.1 Rafsvi� fr� sj�narh�li athuganda � hreyfingu�I vi�mi�unarkerfi S er til sta�ar rafsvi� E en ekkert segulsvi�. Til a� �tta okkur �ummyndun E er hentugt a� b�a til l kan af uppsprettu rafsvi�sins. Tengslum E vi�uppsprettuna er l�st me� j�fnum Maxwells sem vi� gerum r�� fyrir a� gildi �llumtreg�ukerfum. Ummyndun uppsprettunnar mun lei�a lj�s ummyndunarreglunafyrir E.Gerum r�� fyrir a� hornr�tt � x2-�sinn liggi �endanlegur pl�tu��ttir me� flat-arhle�slu��ttleika �. Rafsvi�i� ��ttinum milli platnanna erE = ��0e2 (11:1)en 0 utan ��ttisins. L tum n� � ��ttinn fr� sj�narh�li athuganda treg�ukerfi S 0sem hreyfist me� hra�a v stefnu x1-�ss s�� fr� S. �I S0 vir�ast pl�tur ��ttisinssamdregnar stefnu x1-�ss hlutfallinu �1 en heildarhle�slan � ��ttinum24 er hinsama �v a� rafhle�sla er skalarst�r� svo a� flatarhle�slu��ttleikinn fr� sj�narh�liathuganda S 0 er �0 = �: (11:2)24Ef lesandanum er ekki tamt a� hugsa um hle�slu � �endanlega st�rum ��tti er best a� hugsas�r endanlegan en afar st�ran ��tti. Rafsvi�i� sem vi� erum a� athuga er langt fr� br�n ��ttis-platnanna svo a� ja�ar�hrif eru hverfandi. 70

....................................................................................................................................................................... .....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................... .............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ........ x2x3x1 ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................................................................................................................. ............. ......................... .......................... ............. ......................... .......................... ............. ......................... .......................... ............. ......................... .................................................................................................................E .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................Mynd 22. Rafsvi� �endanlegum pl�tu��tti sem liggur hornr�tt � x2-�s.L�gm�l Gauss gildir S 0 eins og S vegna afst��isl�gm�lsins svo a� ��ttur raf-svi�sins stefnu x02-�ss s�� fr� S 0 erE 02 = �0�0 (11.3)= E2: (11.4)H�r skiptir ekki m�li a� athugandinn hreyfist stefnu x1-�ss. Svi�i� breytist � samah�tt svo framarlega sem athugandinn hreyfist sams �a ��ttispl�tunum.Ef S 0 hreyfist stefnu hornr�tt � ��ttinn vir�ist athugandanum a� sj�lfs�g�ufjarl�g�in milli platnanna minnka. Rafsvi�i� ��ttinum er hins vegar �h�� fjar-l�g�inni milli platnanna svo a� �essu tilviki er svi�i� hi� sama S og S 0. Vi�dr�gum ni�urst��ur okkar saman eftirfarandi j�fnum:E0? = E? (11.5)E0k = Ek: (11.6)H�r er E? svi�i� hornr�tt � hreyfingarstefnu athugandans og Ek er svi�i� sams �ahreyfingarstefnunni.Ummyndun svi�sins hl�tur a� vera �h�� �v hver uppspretta �ess er svo a�(11.5) og (11.6) gefa okkur almenna form�lu fyrir rafsvi�inu S 0 a� �v gefnu a�ekkert segulsvi� s� S. �essar ummyndanir eru einnig �h��ar �v hvort rafsvi�i� erfast eins og d�minu um ��ttinn e�a hvort �a� breytist fr� einum punkti til annarsvegna �ess a� svi�i� tilteknum t mar�mspunkti m�lt S 0 getur einungis veri� h��svi�inu sama t mar�mspunkti eins og �a� m�list S.Rafhle�slur � hreyfingu orsaka segulsvi� og n�st athugum vi� hva�a segulsvi�m�list S 0. Gerum sem ��ur r�� fyrir a� S 0 hreyfist stefnu x1-�ss s�� fr� S. L tum� a�ra ��ttispl�tuna og segulsvi�i� sem myndast af v�ldum rafstraumsins henni.�I pl�tunni er flatarstraum��ttleiki K 0 = v�0 (11:7)71

....................................................................................................................................................................... .....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ............. ............. ............. x02x03x01 ......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

................................................................................................................................................................................................................................................................................................ ..................................................................................................................................... .....................................................................................................................................B ................................................................................................................. .............................................................................................................. B.................................................................................................. ............................................................................................................... .............KMynd 23. Segulsvi� af v�ldum rafstraums �endanlegri pl�tu. �A myndinni er gert r��fyrir a� straumurinn s� stefnu neikv��a x1-�ssins. stefnu neikv��a x01-�ssins. Sm�umhugsun og l�gm�l Biot-Savart lei�a lj�s a��essi rafstraumur veldur segulsvi�i sams �a x03-hnita�snum og svi�i� ��ru megin vi�pl�tuna er gagnst��a stefnu vi� svi�i� hinum megin, sj� mynd 23. Vi� notum n�l�gm�l Amp�eres I B � dl = �0I (11:8)� r�tthyrnda lykkju me� tv�r hli�ar me� lengd L sams �a x03-�s; �nnur �essarahli�a er inni ��ttinum en hin utan hans. Hinar tv�r hli�arnar liggja hornr�tt ���ttispl�tuna, sj� mynd 24. L�tum B3 t�kna segulsvi�i� milli ��ttisplatnanna afv�ldum straumsins annarri pl�tunni. �� f�st2LB3 = ��0v�0L (11:9)svo a� B3 = ��0�0v E2=2 (11.10)= � v 2c2E2 (11.11)�ar sem E2 er rafsvi�i� stefnu 2. hnita�ss m�lt S og vi� h�fum nota� j�fnuna�0�0 = c�2 (11:12)sem l�sir samabandi rafsv�runarstu�uls, segulsv�runarstu�uls og lj�shra�a. Segul-svi�i� af v�ldum rafstraumsins hinni ��ttispl�tunni er a� sj�lfs�g�u af sama styrkog segulsvi�i� (11.11) og s�mu stefnu milli ��ttisplatnanna en gagnst��a �tt utan��ttisins svo a� heildarsegulsvi�i� sem athugandinn S 0 m�lir � milli platnann erB0 = � c2v �E (11:13)72

......................................................................................................................... ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... x02x03........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................. .............................................................. "jjLjj# ..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................B B

Mynd 24. L nuheildi B eftir lykkjunni gefur samband milli styrks segulsvi�sins og hra�a��ttispl�tunnar.en utan ��ttisins er heildarsegulsvi�i� 0.Afst��isl�gm�li� s�nir a� jafna (11.13) gildir ef athugandinn hreyfist sams �a��ttispl�tunum. Ef athugandinn hreyfist hornr�tt � ��ttispl�turnar m�lir hannekkert segulsvi� svo a� (11.13) gildir einnig �v tilviki. �essi s �asta ni�ursta�akemur sk�rar fram n�stu grein �egar vi� athugum hvernig segulsvi� breytist vi�skipti � vi�mi�unarkerfi.11.2 Ummyndun rafsegulsvi�sVi� alh�fum n� umr��u s �ustu greinar og gerum r�� fyrir a� segulsvi� B m�list vi�mi�unarkerfi S. Vi� veljum hnita�sa �annig a� segulsvi�i� s� sams �a x3-�snumog gerum sem fyrr r�� fyrir a� S 0 hreyfist me� hra�a v stefnu x1-�ss s�� fr� S. Vi�beitum ��ekkri r�ksemdaf�rslu og s �ustu grein, gerum r�� fyrir a� segulsvi�i� s�mynda� af flatarstraumi ��ttispl�tum � hreyfingu og athugum ummyndun �essastraums til a� finna segulsvi�i� S 0. ��ttispl�turnar hreyfast me� hra�a v0 stefnu1. hnita�ss �annig a� B3 = �0v0� (11:14)�ar sem � er flatarhle�slu��ttleikinn � ��ttispl�tunum eins og hann m�list S.Tilsvarandi rafsvi� er stefnu 2. hnita�ss:E2 = �=�0: (11:15)�I vi�mi�unarkerfinu S 0 hreyfast ��ttispl�turnar me� hra�av00 = v0 � v1� �0� (11:16)�ar sem �0 = v0=c og � = v=c. Ef ~� er flatarhle�slu��ttleikinn vi�mi�unarkerfi�ar sem pl�turnar eru kyrrst��ar er � = 0~�; (11:17)73

samkv�mt j�fnu (11.2), �ar sem 0 = (v0) og vi� ritum til ��ginda = (v) og 00 = (v00). Flatarhle�slu��ttleikinn S 0, �0, er�0 = 00~� (11.18)= 00 0�: (11.19)N� er 00 = 0 (1 � �0�) (11:20)samkv�mt (5.24) svo a� �0 = (1� �0�)�: (11:21)Flatarstraum��ttleikinn S 0 er stefnu x01-�ss me� styrkK 0 = �0v00 (11.22)= � (v0 � v) (11.23)samkv�mt (11.16) og (11.21). Vi� �ekkjum n� b��i flatarstraum��ttleikann ogflatarhle�slu��ttleikann S 0 og getum �v rita� svi�in:E 02 = �0=�0 (11.24)= �=�0 � ���0=�0 (11.25)= (E2 � vB3) (11.26)�ar sem vi� h�fum nota� (11.14) og (11.12). �A svipa�an h�tt f�stB03 = �0K 0 (11.27)= �0 v0� � �0 v� (11.28)= (B3 � �cE2): (11.29)Ef �treikningarnir a� ofan eru endurteknir me� upphaflega segulsvi�i� stefnu2. hnita�ss og rafsvi� stefnu 3. hnita�ss breytast formerki �v a� tengsl stefnurafstraums og segulsvi�s hl ta h�gri handar reglu. Ni�ursta�an erE 03 = (E3 + vB2) (11.30)B02 = (B2 + �c E3): (11.31)N� er einungis eftir a� kanna ummyndun �ess ��ttar segulsvi�sins sem er sam-s �a hreyfingarstefnu S 0. Til a� s�na a� �essi ��ttur svi�sins m�list hinn sami Sog S 0 er flj�tlegt a� beita eftirfarandi r�ksemdaf�rslu: Gerum r�� fyrir a� segul-svi� stefnu x1-�ss s� mynda� af sp�lu sem liggur sams �a x1-�s me� n vafninga �lengdareiningu og straum I. �� er B1 = �0In: (11:32)�I vi�mi�unarkerfinu S 0 vir�ist sp�lan samdregin hlutafallinu �1 svo a� h�n hefurn0 = n (11:33)74

vafninga � lengdareiningu. �A hinn b�ginn ganga klukkur S h�gar en klukkur S 0,s�� fr� S 0, svo a� straumurinn fr� sj�narh�li athuganda S 0 er25I 0 = �1I: (11:34)J�fnur (11.33) og (11.34) s�na a� B01 = B1: (11:35)�I s �ustu grein s�um vi� a� E 01 = E1: (11:36)J�fnur (11.26), (11.29), (11.30), (11.31), (11.35) og (11.36) l�sa ummyndun raf-segulsvi�s �egar breytt er um vi�mi�unarkerfi. �essar j�fnur eru r�ttar fyrir �llrafsegulsvi� �v a� gildi E0 og B0 tilteknum t mar�mspunkti er einungis h�� gild-um E og B sama t mar�mspunkti.Ef vi�mi�unarkerfi� S 0 hefur hra�a v �tiltekna stefnu s�� fr� S m� rita um-myndun svi�anna � eftirfarandi h�tt:E0 = (E+ v�B)� 2c2( + 1)v(v �E) (11.37)B0 = (B� c�2v�E)� 2c2( + 1)v(v �B): (11.38)Athyglisvert er a� ummyndunarreglurnar fyrir rafsvi� og segulsvi� eru n�stumhinar s�mu. Rafsvi� eins athuganda er segulsvi� annars og �fugt. �I raun felstmunurinn � rafsvi�i og segulsvi�i fyrst og fremst tengslum �essara svi�a vi� upp-spretturnar. �I n�tt�runni eru til rafskaut og rafstraumar en engin segulskaut e�asegulstraumar.St�r�fr��ilega einf�ld l�sing � ummyndun rafsegulsvi�s f�st me� �v a� l ta ��a� sem fylki. Gerum r�� fyrir a� E og B s�u rafsvi� og segulsvi� vi�mi�unarkerfiS. Skilgreinum fylki� F = 0BBB@ 0 �E1 �E2 �E3E1 0 �cB3 cB2E2 cB3 0 �cB1E3 �cB2 cB1 0 1CCCA : (11:39)�etta fylki nefnist tensor rafsegulsvi�sins S og tilsvarandi tensor ��ru vi�mi�un-arkerfi S 0 hefur fylkisst�k F 0�� = 3X�;�=0������F�� (11:40)�ar sem � er fylki Lorentz-ummyndunarinnar sem tengir saman t mar�mshnit vi�-mi�unarkerfunum S og S 0. Au�velt er a� ganga �r skugga um a� (11.40) er jafngiltummyndunarreglunum sem vi� leiddum �t h�r � undan ef � er hra�aummyndunum hra�a v stefnu 1. hnita�ss. Fylki sem ummyndast � sama h�tt og F vi� skipti� vi�mi�i nefnist 2. stigs tensor, sj� n�nar t.d. [30] bls. 150.25�a� m� hugsa s�r rafstraum sem fj�lda rafeinda sem fara fram hj� athuganda � t maeiningu.Gangi klukka S0 hra�ar en klukka S m�list �v minni rafstraumur S0 en S og hlutfalli� millirafstraumanna eins og �eir m�last vi�mi�unarkerfunum tveimur er �fugt vi� hlutfalli� milliganghra�a klukknanna. 75

11.3 �fingad�mi11.1 S�ni� a� st�r�irnar E �B og E2 � c2B2 eru skalarst�r�ir.11.2 Finni� rafsvi� og segulsvi� sem myndast af v�ldum rafhle�slu me� hra�a v stefnu x1-�ss. Geri� r�� fyrir a� rafhle�slan s� st�dd upphafspunkti vi�mi�-unarkerfis S og riti� svi�in sem f�ll af hnitunum S.11.3 Geri� r�� fyrir a� vi�mi�unarkerfi S s� B = 0. �I S hreyfist rafhla�in �gnme� rafhle�slu q og hra�a w. L�tum S 0 vera vi�mi�unarkerfi sem hreyfistme� hra�a v stefnu 1. hnita�ss s�� fr� S. Reikni� Lorentz kraftinn � �gn-ina vi�mi�unarkerfinu S 0 me� �v a� finna rafsegulsvi�i� S 0. Noti� s �anummyndunarform�lurnar fyrir kraft til a� finna kraftinn � �gnina S 0 �t fr�kraftinum eins og hann m�list S og s�ni� a� �i� f�i� s�mu ni�urst��u.11.4 �Ogn me� hle�slu q1 er upphafspunkti vi�mi�unarkerfis S og hreyfist me�hra�a v stefnu x1-�ss. Hva�a kraftur verkar � hle�slu q2 punkti r me�hra�a u?11.5 Geri� r�� fyrir a� kyrrst��ur �endanlega langur v r hafi rafhle�slu��ttleika �.Rafsvi�i� punkti P fjarl�g� r fr� v rnum erE = �r2��0r2 (11:41)�ar sem r er fjarl�g�arvektor P fr� v rnum (s�ni� a� svo s�!). Noti� n�Lorentz-ummyndun rafsegulsvi�s til a� s�na a� ef rafstraumur I er v rnum�� er segulsvi�i� P B = In� r2��0c2r2 (11:42)�ar sem n er einingarvektor stefnu rafstraumsins.11.6 Lei�i� �t j�fnur (11.37) og (11.38).76

12 Frumatri�i almennu afst��iskenningarinnar�I 1. kafla r�ddum vi� um treg�ukerfi og komumst a� �eirri ni�urst��u a� strangtteki� v�ru engin treg�ukerfi til. �Ast��an er s� a� einungis � takm�rku�um sv��-um t ma og r�mi er unnt a� l�sa e�lisfr��ilegum fyrirb�rum �n �ess a� taka�hrif �yngdarkrafta me� reikninginn. �A stjarnfr��ilegum vegalengdum, og oft��tt skemmra s� skyggnst, r��a �yngdarkraftar samt mestu um hreyfingu hluta.Grunnhugmyndin almennu afst��iskenningunni er tengd �eirri sta�reynd a� at-hugandi frj�lsu falli, �.e. far�egi geimskipi me� sl�kkt � hreyflunum, ver�ur ekkivar vi� �hrif �yngdaraflsins � n�gilega litlum sv��um t ma og r�mi.12.1 Jafngildisl�gm�li�Gerum r�� fyrir a� athugandi A s� tilraunastofu � yfirbor�i jar�ar og stilli �arupp hnita�sum �annig a� x1x2-plani� s� sams �a yfirbor�i jar�ar en x3-�sinn v sitil himins. �essum athuganda vir�ast hlutir sem ekki ver�a fyrir �hrifum annarrakrafta en a�dr�ttarafls jar�ar falla l��r�tt me� hr��un g, �.e.d2xdt2 = �ge3 (12:1)er hreyfingarjafna frj�lsrar agnar. H�r gerum vi� r�� fyrir a� �gnin hreyfist svo h�gta� ekki �urfi a� taka �hrif takm�rku�u afst��iskenningarinnar me� reikninginn.Hugsum okkur n�st a� annar athugandi B s� tilraunastofu geimskipi sem sigl-ir fjarri �llum stj�rnum me� eiginhr��un g. Gerum einnig r�� fyrir a� x3-hnita�sB v si hr��unarstefnu geimskipsins. Athugandanum B vir�ast frj�lsir hlutir, �.e.hlutir sem hann sleppir �r hendi s�r, falla g�lfi� me� hr��un g og hann tileinkar�eim �v s�mu hreyfingarj�fnu (12.1) og A gerir. �I �yngdaraflfr��i Newtons ersk�ringin s� a� �yngdarmassi er jafn treg�umassa. Jafngildi �essara tveggja massa-hugtaka kemur � sama h�tt fram �v a� athugandi sem er frj�lsu falli til jar�ar�n loftm�tst��u getur ekki gert neinar sta�bundnar tilraunir til a� �kvar�a hvorthann er raunverulega a� falla til jar�ar e�a fl�tur t�minu fjarri �llum vetrarbraut-um. Enga sk�ringu er a� finna aflfr��i Newtons � �v a� �yngdarmassi er jafntreg�umassa.Einstein gat s�r �ess til a� vi�mi�unarkerfi� � yfirbor�i jar�ar og kerfi� geim-skipinu v�ru fullkomlega jafngild vi� l�singu � �llum e�lisfr��ifyrirb�rum. Eftilraunastofur athugendanna A og B eru n�gilega litlar og gluggalausar er �kleiftfyrir �� a� ganga �r skugga um hvort �eir eru raunverulega geimskipi me� hr��ung e�a kyrrst��ir � yfirbor�i jar�ar. Fr� �essu sj�narmi�i er auglj�st a� allir hlutirfalla jafnhratt til jar�ar �h�� efnasamsetningu �v a� okkur er �vallt frj�lst a� l tasvo � a� �eir flj�ti �yngdarleysi en vi� s�um a� horfa � �� �r vi�mi�unarkerfime� hr��un. Vi� getum sem s� alltaf liti� svo � a� �hrif �yngdarafls � takm�rk-u�u sv��i s�u til komin vegna �ess a� vi� erum hr��u�u vi�mi�unarkerfi. �ettal�gm�l er hin e�lisfr��ilega undirsta�a almennu afst��iskenningarinnar og nefnistjafngildisl�gm�li�. Jafngildisl�gm�li� er oft sett fram � annan jafngildan h�tt:�Oll vi�mi�unarkerfi eru jafngild vi� l�singu � l�gm�lum e�lisfr��innar77

Taki� eftir a� �essarri framsetningu er jafngildisl�gm�li� �tv kkun � afst��isl�g-m�li takm�rku�u afst��iskenningarinnar.L ta m� svo � a� fast �yngdarsvi� s� til komi� vegna hr��unar. S� svi�i� hinsvegar ekki fast er almennt ekki unnt a� finna hr��un sem jafngildir �v , nema einumt mar�mspunkti. �Ahrif �yngdarsvi�s koma �v einungis �tv r�tt fram � �ann h�tta� hlutir me� mismunandi st��u hafa �l ka hr��un.Til a� l�sa hreyfingu hlutar sem er ekki undir �hrifum neinna krafta nema�yngdarkrafta er einfaldast a� velja vi�mi�unarkerfi �ar sem hluturinn er alltafkyrrst��ur, �.e. vi�mi�unarkerfi frj�lsu falli. Sl kt vi�mi�unarkerfi nefnist sta�-bundi� treg�ukerfi (og �ll vi�mi�unarkerfi sem hreyfast me� f�stum hra�a eftir beinnil nu s�� fr� �essu kerfi). �essi vi�mi�unarkerfi eru �� au�vita� ekki treg�ukerfi skilningi takm�rku�u afst��iskenningarinnar nema �egar �yngdarsvi�i� er fasti. Efvi� viljum l�sa hreyfingu tveggja hluta er almennt ekki h�gt a� velja vi�mi�unar-kerfi �ar sem b��ir eru kyrrst��ir. Ef vi� veljum sta�bundi� treg�ukerfi �ar semannar hluturinn er kyrr �� hreyfist hinn og �v koma �hrif �yngdaraflsins fram.Athugandi frj�lsu falli ver�ur ekki var vi� neina �yngdarkrafta og sta�bundnutreg�ukerfi hreyfist hann me� f�stum hra�a eftir beinni l nu. Til a� l�sa hreyfinguhluta almennu afst��iskenningunni er �v hentugt a� l ta svo � a� beinar l nur s�u��r brautir sem hlutur frj�lsu falli hreyfast eftir. �Ahrif �yngdaraflsins koma ��einungis fram �v a� �a� �kvar�ar hva�a l nur eru beinar, e�a me� ��rum or�um:�yngdarafli� �kvar�ar ger� r�msins�etta kann a� vir�ast r�tt�k fullyr�ing. Getur leiki� einhver vafi � hva�a l nureru beinar? Er okkur frj�lst a� kalla hva�a feril sem er sem er beina l nu? Tila� svara �essum spurningum �urfum vi� a� �tta okkur � greinarmun r�mfr��i oge�lisfr��i. �I h�ndum e�lisfr��inga er r�mfr��i t�ki til a� l�sa n�tt�runni en ekkista�reynd um r�mi� sem gefin er fyrirfram. Ef vi� k�llum lj�sgeisla beinar l nur erekki sj�lfgefi� a� sl kar l nur uppfylli frumsetningar Evkl �s. Vi� munum reyndarsj� a� svo er ekki. R�mfr��i Evkl �s gildir ekki nema t�mu r�mi �ar sem engir�yngdarkraftar verka. Vi� reynum a� l�sa �essu �rl ti� betur h�r � eftir en fyrstskulum vi� l ta � einfaldar aflei�ingar jafngildisl�gm�lsins sem m� pr�fa beint tilraunum.2612.2 �yngdarrau�vikTilraunastofa er frj�lsu falli �yngdarsvi�i g. L�tum A vera athuganda tilrauna-stofunni, en B athuganda sem er kyrrst��ur �yngdarsvi�inu. Vi� athugum n�nokkur einf�ld ferli til a� kanna hva�a �hrif �yngdarafli� hefur. Vi� notf�rum okk-ur jafngildisl�gm�li� sem segir a� �ll e�lisfr��i vi�mi�unarkerfi A s� hin sama og tilraunastofu �ar sem engir �yngdarkraftar verka.Gerum r�� fyrir a� afsta�a hnita�sa athugendanna A og B s� eins og s �ustugrein, �.e. �sar �eirra eru sams �a ogA hreyfist stefnu neikv��a x3-�ssins s�� fr�B.Gerum r�� fyrir a� lofth�� tilraunastofunni s� L og fr� loftinu s� sendur lj�sblossi26Um �essi fyrirb�ri er fjalla� � a�d�unarver�an og einfaldan h�tt grein Einsteins Um �hrif�yngdarafls � �tbrei�slu lj�ss � bls. 99 [8] �ar sem jafngildisl�gm�li� var fyrst sett fram.78

beint ni�ur � g�lf me� t �ni �. �A g�lfinu m�list sama lj�st �ni og uppi vi� loftsamkv�mt jafngildisl�gm�linu. Vi� getum gert r�� fyrir a� loft tilraunastofunnar s�kyrrst�tt s�� fr� B � �v augnabliki sem lj�sblossinn er sendur �t. �I vi�mi�unarkerfitilraunastofunnar tekur �a� lj�sblossann t mann t = L=c a� komast ni�ur � g�lf.�A �eim t ma f�r B hra�a v = gL=c stefnu x3-�ss s�� fr� A. H�r h�fum vi� beitta�fer� klass skrar aflfr��i til a� finna hra�a B. Takmarka�a afst��iskenninginveldur breytingu � �essari ni�urst��u � st�r�ar�repinu L2=c2 og vi� sleppum hennih�r. Athugandinn B hreyfist �v � m�ti lj�sinu ( vi�mi�unarkerfi A) og s�r �ar aflei�andi Doppler-hli�run � t �ni lj�ssins samr�mi vi� j�fnu (6.19). Vi� f�um me�1. stigs n�lgun L=c: � 0 = � �1 + gLc2 � : (12:2)Lj�s sem fer�ast stefnu �yngdarsvi�sins vir�ist �v bl�rra er ne�ar dregur svi�inu,s�� fr� athuganda sem er kyrrst��ur �yngdarsvi�inu, og me� s�mu r�kum ver�urlj�s rau�ara er ofar dregur svi�inu fr� sj�narmi�i sl ks athuganda.Ef vi� l tum � h�� tilraunastofunnar L r�ksemdaf�rslunni a� ofan sem �rsm��dL m� rita d�� = gdLc2 : (12:3)Ef vi� gerum n� r�� fyrir a� �yngdarsvi�i� s� ekki nau�synlega fasti en �a� s�aflei�a af �yngdarm�tti � �annig a�g = � @�@x3 ; (12:4)�� f�st me� heildun �(x3) = �0e���=c2 (12:5)�ar sem �� = �(x3)� �0 og �0 er t �ni lj�ssins punkti �ar sem �yngdarsvi�i� er�0. Einstein benti � fyrstu grein sinni um �etta efni a� hugsanlegt v�ri a� m�la�yngdarrau�vik litr�fsl num fr� �ungum s�lstj�rnum. S �ari t ma ranns�knir hafaleitt lj�s a� svo er og sta�fest (12.5) mj�g vel. �yngdarrau�vik hefur einnig veri�m�lt beint tilraunastofu [28].Vi� minnumst �ess a� l ta m� � einlitan lj�sgjafa sem klukku me� t maeiningu��1. Vi� �lyktum �ess vegna a� klukkur gangi �v h�gar �eim mun ne�ar sem��r eru sta�settar �yngdarsvi�i samr�mi vi� j�fnu (12.5). �essi hrif nefnast�yngdart malenging og hafa veri� sta�fest beini m�lingu me� at�mklukkum [4].12.3 Sveigja lj�ssAthugandinn A tilraunastofunni sendir n� lj�sgeisla �vert � x3-�sinn gegnum til-raunastofuna. Samkv�mt jafngildisl�gm�linu fer�ast lj�si� eftir beinni l nu venju-legum evkl �skum skilningi �ess hugtaks. Fr� sj�narh�li athugandans B hefur til-raunastofan fasta hr��un g svo a� B vir�ist lj�si� hreyfast eftir parab�lulaga braut( 1. n�lgun v=c) og sveigja ni�ur � vi� stefnu �yngdarsvi�sins. Vi� jar�neskara�st��ur er �essi sveigja svo l til a� h�n er ekki m�lanleg en Einstein benti � a�h�n �tti a� vera m�lanleg fyrir lj�sgeisla fr� fjarl�gum stj�rnum sem fara n�l�gt79

s�linni. �I s�lmyrkva �ri� 1919 var fors�gn Einsteins sta�fest me� gl�silegum h�tti.Lengi framan af �ldinni var ekki unnt a� gera m�lingar af �essu tagi nema vi�s�lmyrkva �v a� � ��rum t mum sj�st engar stj�rnur vi� s�lja�arinn fyrir s�lar-lj�sinu. �A s �ustu �rum hafa m�lingar � sveigju rafsegulbylgna veri� endurteknarme� �tvarpsbylgjum fr� dulstirnum. �Utvarpsbylgjurnar er h�gt a� athuga � �llumt mum og hafa ��r athuganir sta�fest fyrri m�lingar og �ar me� jafngildisl�gm�li�.Me� jafngildisl�gm�li� eitt a� vopni er ekki hlaupi� a� �v a� reikna �t n�kv�m-lega hve mikil lj�ssveigjan er vi� s�lja�arinn; til �ess �arf st�r�fr��it�l almennuafst��iskenningarinnar. Flj�tlegt er �� a� sannf�ra sig um a� h�n er � st�r�ar-�repinu �� = GMc2R (12:6)bogam�lseiningar, �ar sem M er massi s�lar og R er rad us s�lar. �etta er um �a�bil ein bogasek�nda.12.4 Sveigt r�mTil a� sk�ra hutaki� sveigt fj�rv tt t mar�m er hentugt a� l ta � einfaldar hli�st��ursem vi� �ekkjum vel �r daglegri reynslu. Flugumfer� � slenska flugstj�rnarsv��inuer talsvert meiri en �tla m�tti. Sk�ringin er s� a� stysta lei� milli tveggja punkta� k�luyfirbor�i er st�rbaugur og st�rbaugar fr� Evr�pu til Nor�ur-Amer ku sveigjatalsvert nor�ur � b�ginn.Yfirbor� jar�ar er sveigt tv v tt r�m og vir�ist engum neitt s�rkennilegt a� stystulei�ir milli punkta � yfirbor�i jar�ar hl ti ��rum l�gm�lum en beinar l nur r�m-fr��i Evkl �s. Til d�mis skerast s�rhverjir tveir st�rbaugar n�kv�mlega tveimurpunktum ef �eir eru framlengdir. Ef vi� l tum � �r hyrning � yfirbor�i k�lu me�hli�ar sem eru hlutar st�rbauga �� er hornasumman �vinlega meiri en 180 gr��ur.Hornasumman er hins vegar �v n�r 180 gr��um �eim mun minni sem �r hyrning-urinn er. �eir sem m�la �t knattspyrnuvelli �urfa ekki a� taka sveigju jar�ar me� reikninginn en sveigjan skiptir miklu m�li fyrir kortager�armenn. Vi� k�nnumstvi� bj�gun landsv��a � �tj��rum landabr�fa, en vi� getum alltaf fengi� n�kv�mtkort af n�gilega litlu landsv��i. �A l kan h�tt eru sta�bundin treg�ukerfi alltaf g��vi�mi�unarkerfi ef vi� l tum � n�gilega l til sv��i t mar�minu.K�luyfirbor� er au�vita� mj�g s�rstakt d�mi um sveig�an tv v �an fl�t. Al-mennara d�mi er yfirbor� beygla�rar pl�tu �ar sem sveigjan breytist fr� einumpunkti til annars. �A sl kri pl�tu er stysta lei� milli tveggja punkta yfirleitt fl�kinnferill. Vi� getum �� gert kort af litlum sv��um � sl ku yfirbor�i � sama h�tt ogvi� gerum landabr�f me� �v a� leggja sl�tt plan a� yfirbor�inu tilteknum punktiog ofanvarpa yfirbor�inu � plani�. R�tt er a� hugsa s�r sta�bundin treg�ukerfi sem,,ofanv�rp\ af sv��um sveig�u t mar�mi � sv��i fj�rv �u Minkowski-r�mi.Hvernig eigum vi� a� hugsa um �r v �a sveig�a fleti e�a fj�rv tt sveigt t mar�m?Vi� eigum au�velt me� a� setja okkur fyrir sj�nir sveig�an tv v �an fl�t vegna �essa� vi� getum liti� � hann utan fr�, �.e. vi� getum sett okkur fl�tinn fyrir sj�nir sembeygla�a pl�tu. �I h�rri v ddum er �etta ekki h�gt. Til a� finna l�singu � tv v �umsveig�um fleti sem m� alh�fa fyrir h�rri v ddir skulum vi� athuga hvernig tv v �arverur sem b�a � beygla�ri pl�tu geta komist a� raun um ger� hennar �n �ess a� hafa80

t�kif�ri til a� l ta � hana utan �r �ri�ju v ddinni. Verurnar geta m�lt fjarl�g�irmilli punkta og kanna� hva�a afst��u gagnvegir (�.e. skemmstu lei�ir milli punkta)� fletinum hafa hver til annars. Verurnar geta enn fremur gert s�r kort af n�gjanlegalitlum sv��um og ��r myndu komast a� raun um a� r�mfr��i Evkl �s gildir me�g��ri n�kv�mni � stuttum vegalengdum en almennt ekki ef lengra er haldi�.St�r�fr��ilega l�singu � fletinum myndu landm�lingamenn tv v �unga f� me��v a� skipta fletinum m�rg l til sv��i S1; S2; : : : og velja hnit xi og yi � sv��i Si�annig a� hnitin v�ru Kartesarhnit 1. n�lgun. Fjarl�g�in d fr� (0; 0) til (xi; yi)er �� d2 = x2i + y2i +O(3) (12:7)�ar sem O(3) t�knar li�i af �ri�ja stigi og h�rri hnitunum og skemmsta lei� fr�(0; 0) til (xi; yi) er 1. n�lgun bein l na xiyi-hnitakerfinu venjulegum skilningi.Heildarmynd af fletinum fengist me� �v a� kanna hvernig hnit �l kra kortasv��atengjast �ar sem �au liggja saman.S� grein st�r�fr��innar sem fjallar um l�singu � sveig�um r�mum nefnist diff-urr�mfr��i. Grunnhugtak �eirrar fr��igreinar er metrunartensor sem vi� l�sumn� stuttlega. Gerum r�� fyrir a� vi� h�fum vali� hnitakerfi � einu af sv��unum Si,�.e. gagnt�ka diffranlega v�rpun yfir � takmarka� sv��i R2. Vi� getum hugsa�okkur hnitin sem Kartesarhnit 1. n�lgun umhverfis upphafspunktinn eins og fyrrvar r�tt, en �a� er ekki nau�synlegt. K�llum hnitin x1 og x2. Ef tveir punktareru mj�g n�l�gt hvor ��rum �annig a� l ta m� � mismun hnita �eirra sem �rsm��(dx1; dx2) �� er fjarl�g�in � milli �eirra einnig �rsm�� sem vi� t�knum me� ds.Metrunartensorinn g er samhverft, j�kv�tt 2�2 fylki (me� fylkisst�k gij) skilgreintme� d2s = 2Xi;j=1 gijdxidxj : (12:8)Metrunartensorinn g breytist almennt fr� einum punkti til annars og er �v fallaf hnitunum x1 og x2. Ef hnitakerfi� er Kartesarhnitakerfi 1. n�lgun vi� upp-hafspunktinn �� er gij(0; 0) = 1 ef i = j en 0 ef i 6= j. Allar uppl�singar umr�mfr��i flatarins eru f�lgnar metrunartensornum g. Ef vi� �ekkjum g m� reikna�t fjarl�g�ir me� �v a� heilda ds. Fjarl�g�ir milli punkta � fletinum eru a� sj�lf-s�g�u �h��ar vali � hnitakerfi. Allir helstu eiginleikar g eru �v �h��ir vali � hnitumen til a� rita form�lur fyrir g �arf a� velja hnit � sama h�tt og val � grunni er for-senda �ess a� vi� getum l�st l nulegum v�rpunum milli vektorr�ma me� fylkjum.Athugum n� yfirbor� k�lu me� rad us a � �ann h�tt sem vi� h�fum l�st a� fram-an. Vi� notum tv� kort, anna� af "nor�urhveli\ k�lunnar en hitt af "su�urhveli\. �Anor�urhveli skulum vi� innlei�a k�luhnit (�; '), �ar sem � er breidd, 0 � � � �=2,og ' er lengd, 0 � ' < 2�. Fjarl�g�ir milli punkta sem eru �rsm��arfjarl�g�hvor fr� ��rum m� n� rita d2s = a2(sin2�d2'+ d2�): (12:9)Sams konar l�sing � su�urhveli k�lunnar f�st me� �v a� l�ta � taka gildi � bilinu[�=2; �].Fj�rv �u sveig�u t mar�mi er l�st � svipa�an h�tt og sveig�um tv v �um fleti. Eft mar�minu er skipt upp l til sv��i og r�tthyrnd hnit eru valin m� l�sa innbyr�is81

afst��u atbur�a � einfaldan h�tt. T mar�msfjarl�g�in27 s milli tveggja atbur�ame� t mar�mshnit (0; 0; 0; 0) og (x0; x1; x2; x3) ers2 = x20 � 3Xi=1 x2i +O(3) (12:10)ef hnitin eru sta�bundnu treg�ukerfi me� upphafspunkt (0; 0; 0; 0). Almenntnotum vi� metrunartensor fyrir t mar�mi� og �rsm��ir til a� l�sa t mar�msfjarl�g�milli atbur�a: d2s = 3X�;�=0 g��dx�dx� (12:11)� hli�st��an h�tt og � tv v �um fleti.�� er s� reginmunur � venjulegum metrunartensor og metrunartensor t mar�ms-ins a� fjarl�g�ir milli punkta � beygla�ri pl�tu eru alltaf j�kv��ar en st�r�in d2s (12.11) getur veri� j�kv��, neikv�� e�a 0, eftir �v hvort bili� milli atbur�anna ert mal�gt, r�ml�gt e�a lj�sl�gt.Minkowski-r�mi� er a� sj�lfs�g�u d�mi um fj�rv tt t mar�m en �a� er ekkisveigt. �v m� l�sa me� einu landabr�fi, R4, og tilsvarandi metrunartensor ereinfaldlega g = 0BBB@ 1 0 0 00 �1 0 00 0 �1 00 0 0 �1 1CCCA : (12:12)12.5 Almenna afst��iskenninginHin almenna afst��iskenning Einsteins gefur sv�r vi� tvenns konar spurningum:Hver er metrunartensor t mar�msins g? Hvernig hreyfast hlutir ef metrunartensor-inn er gefinn? Fyrri spurningunni er svara� me� svi�sj�fnum Einsteins. ��r eru�l nulegar hlutaflei�uj�fnur sem gera okkur kleift a� reikna �t g ef dreifing orku ogskri��unga er �ekkt. Massaorka gegnir h�r sama hlutverki og hreyfiorka. Svi�sj�fn-ur Einsteins eru �v sem n�st einhl tt �kvar�a�ar af jafngildisl�gm�linu og st�r�-fr��ilegum einfaldleika. Ekki eru t�k � a� fjalla n�nar um �a� efni h�r, en almennter afar vandasamt a� leysa �essar j�fnur, sj� n�nar [20, 37].Svari� vi� s �ari spurningunni er einfaldara. Ef hlutur hefur vi�komu tveim-ur atbur�um �� er bili� milli atbur�anna t mal�gt (e�a lj�sl�gt ef hluturinn ermassalaus �reind) �v a� annar atbur�urinn liggur orsakaframt � hins. Brautinsem hluturinn fer eftir h�markar heildi�s = Z ds (12:13)milli atbur�anna. H�r er engum vandkv��um bundi� a� skilgreina ds �v a� bili�milli tveggja atbur�a � s�guferli agnar er alltaf t mal�gt svo a� t mar�msfjarl�g�-in er j�kv�� st�r�. Jafngilt er a� l�sa brautinni sem lausn � tiltekinni �l nulegri27�etta er e.t.v. h�pin notkun � or�inu fjarl�g� �v a� s2 getur veri� neikv�� st�r�.82

hlutaflei�uj�fnu. �a� kann e.t.v. a� vir�ast undarlegt a� hluturinn velji �ess-um skilningi lengstu brautina en �a� sk�rist af �v a� formerki� fyrir r�mhnitun-um metrunartensornum er neikv�tt. Ekki er mj�g erfitt a� sannf�ra sig um a� Minkowski-r�minu eru ��r brautir sem h�marka heildi� (12.13) beinar l nur �r v �a r�minu.�I almennu afst��iskenningunni kemur hugtaki� �yngdarmassi ekki vi� s�gu! �arme� er r��g�tan um jafngildi �yngdarmassa og treg�umassa leyst. Frj�lsir hlutirhreyfast einfaldlega eftir gagnvegum t mar�minu �ar sem gagnvegir eru��r lei�ir sem h�marka heildi� (12.13).�yngdaraflfr��i Newtons m� lei�a �t fr� almennu afst��iskenningunni mark-gildinu �egar �ll �yngdarsvi� eru veik e�a lj�shra�inn stefnir � �endanlegt. Fremurf�ar tilraunani�urst��ur e�a beinar m�lingar greina � milli klass skrar �yngdarafl-fr��i og almennu afst��iskenningarinnar. Auk �yngdarrau�viks og lj�ssveigju erbrautarsn�ningur Merk�rs mikilv�gasta sta�festingin � almennu afst��iskenning-unni. Samkv�mt hreyfij�fnum Einsteins eru brautir pl�netnanna ekki sporbaugarnema 1. n�lgun. Lei�r�tting almennu afst��iskenningarinar lei�ir til �ess a� spor-baugarnir sn�ast og �v meira �eim mun lengri sem �eir eru. �egar Einstein settifram almennu afst��iskenninguna h�f�u stj�rnufr��ingar broti� heilann um nokk-urt skei� vegna �e�lilegs brautarsn�nings Merk�rs28 en almenna afst��iskenningingerir grein fyrir sn�ningnum � fulln�gjandi h�tt. Sams konar sn�ningur, en minni,hefur s �ar m�lst � brautum fleiri reikistjarna. Endurkastm�lingar � radarmerkjumfr� reikstj�rnum eru einnig pr�fsteinn � almennu afst��iskenninguna. Ef merkinfara mj�g n�l�gt s�lu eru �au lengur � lei�inn en ella samkv�mt klukkum � j�r�u.�a� sem h�r hefur veri� tali� af r�kum fyrir almennu afst��iskenningunni kanna� vir�ast heldur magurt. Styrkur kenningarinnar felst �� ekki eing�ngu �tsk�r-ingu � �rsm�um fr�vikum fr� �yngdaraflfr��i Newtons heldur einnig fegur� oggl�sileik auk �ess sem kenningin er n�stum �v �vingu� af jafngildisl�gm�linu ogst�r�fr��ilegum einfaldleika. Almenna afst��iskenningin hefur einnig gert okkurkleift a� sm �a l k�n af alheiminum sem koma vel heim og saman vi� athuganir.Margs konar bein og �bein r�k eru fyrir tilvist fyrirb�ra sem almenna afst��is-kenningin ein getur �tsk�rt svo sem svarthola og �yngdargeislunar.12.6 Heimsmynd afst��iskenningarinnarSvi�sj�fnur Einsteins �kvar�a ger� t mar�msins sem heildar. R�m og t mi eru �v ekki vettvangur e�lisfr��innar heldur fullgildir ��tttakendur henni. Til a� f� ein-hl tt �kvar�a�ar lausnir �arf �� a� gera tilg�tur um upphafsskilyr�i. Ein af fyrstuni�urst��um um alheimslausnir � svi�sj�fnum Einsteins var s� a� e�lilegar tilg�t-ur um efnisdreifingu alheimsins lei�a ekki til st��ugra lausna. Lausnir byrja, ogenda jafnvel l ka, s�rst��upunkti �ar sem sveigja r�msins og orku��ttleiki eru �-endanlegar st�r�ir.29 �etta olli Einstein og samt mam�nnum hans sem fengust vi�heimsfr��i nokkrum �hyggjum fyrstu �v a� tali� var a� alheimurinn �tti a� vera28Fr�viki� fr� �yngdaraflfr��i Newtons er �� mj�g l ti�. Afbrig�ilegi brautarsn�ningurinn eru.�.b. 43 bogasek�ndur � �ld.29Vi� segjum a� lausn � svi�sj�fnunum eigi s�r byrjun ef allir gagnvegir byrja einum og samaatbur�i og lausnin � s�r endalok ef allir gagnvegir enda einum atbur�i.83

st��ugur.Athuganir Hubbles og fleiri stj�rnufr��inga � 3. og 4. �ratug aldarinnar me�n�jum og langdr�gum sj�naukum breyttu hins vegar heimsmyndinni. �eir komusta� �v a� fjarl�gar vetrarbrautir eru a� jafna�i � fleygifer� burt fr� okkur og ��rfjarl�gjast me� hra�a sem stendur beinu hlutfalli vi� fjarl�g� �eirra, sj� [35, 10].Af �essu m� ekki draga �� �lyktun a� vetrarbraut okkar s� mi�ju alheimsins.Samkv�mt heimslausnum almennu afst��iskenningarinnar blasir sama mynd vi�athugendum ��rum stj�rnu�okum. Vetrarbrautirnar eru eins og deplar � bl��rusem er a� �enjast �t. �Ut�enslan h�fst a� l kindum fyrir u.�.b. 15 millj�r�um �ra. S�tala er fengin me� stj�rnufr��ilegum athugunum en er ekki aflei�ing afst��iskenn-ingarinnar einnar. Atbur�urinn sem markar upphaf �t�enslunnar er oft nefndurst�ri hvellur.�riggja gr��u geislunin sem viki� var a� 1. kafla er talin lj�mi fr� �eim t ma�egar alheimurinn var l till og ��ttur.30 Efni alheimsins var ekki eldhn�ttur st�ruytra r�mi, heldur fyllti heitt efni allan alheiminn en hann �andist s �an �t og k�ln-a�i. �yngdarafli� h�gir � �t�enslunni vegna a�dr�ttarkraftsins milli vetrarbrauta.Hvort a�dr�ttarkrafturinn n�gir til a� st��va �t�ensluna svo a� alheimurinn dragista� lokum saman lokaatbur� er ekki enn fulllj�st. Til eru lausnir � j�fnum Einsteinser l�sa hvoru tveggja.12.7 �fingad�mi12.1 Hver er aldursmunur tv bura ef annar �eirra dvelur �rlangt geimst�� � brautum j�r�u 500 km h�� en hinn er kyrrst��ur � yfirbor�i jar�ar?12.2 �A einkaleyfisskrifstofu r kisins er ums�kn um einkaleyfi fyrir n�rri ger� orku-vers sem byggist � eiginleikum rafeinda, j�einda og lj�seinda. �I ums�kninnisegir m.a.: "Rafeind og j�eind, sem vi� skulum nefna raftvennd, geta ey�st ogmynda� tv�r lj�seindir. �A sama h�tt geta tv�r n�gilega orkur kar lj�seindirmynda� raftvennd ef vi� l�tum var�veislu skri��ungans liggja milli hluta. �Ireynd er �t � h�gt a� var�veita skri��unga me� �v a� hafa einhvern n�gilegamassamikinn hlut til sta�ar. Vi� komum n� raftvennd fyrir f�stu �yngdar-svi�i g, l�tum raftvenndina mynda lj�seindapar sem fer�ast upp � vi� svi�inuvegalengd L. �ar mynda lj�seindirnar n�ja raftvennd. Rafeindin og j�eind-in eru n� l�tnar s ga ni�ur vegalengd L og framkv�ma vinnu W = 2mgL�ar sem m er massi rafeindar og j�eindar. �egar ni�ur er komi� myndar raf-tvenndin n�tt lj�seindapar sem fer�ast upp � vi� og svo koll af kolli. Me� �essum�ti getum vi� dregi� orku �t �r �yngdarsvi�inu og h�fum raun �t�mandiorkuuppsprettu\. Setji� ykkur spor starfsmanns einkaleyfisskrifstofunnar oghafni� ums�kninni me� r�kum.12.3 Lei�i� r�k a� j�fnu (12.6).30N�legar m�lingar � �riggja gr��u geisluninni s�na sm��reglu henni sem kann a� n�gja tila� sk�ra myndun vetrarbrauta og rennir �ar me� n�jum og styrkari sto�um undir st�rahvellskenn-inguna. Sj� n�nar Scientific American, j�l 1992, bls. 9-12.84

12.4 L�si� nor�urhveli einingark�luyfirbor�s me� ofanvarpi � einingardiskinn �anniga� hnitin s�u Kartesarhnit 1. n�lgun grennd vi� nor�urp�l k�lunnar.

85

�Abendingar me� ritaskr��A slensku eru til tv� gagnleg rit um afst��iskenninguna. Fyrst ber a� nefnaal���lega framsetningu Einsteins sj�lfs [7] sem slakar hvergi � n�kv�mni ��ttst�r�fr��ilegum a�fer�um s� l ti� beitt. Kennsluhefti �orsteins Vilhj�lmssonar[40] er efnisminni en �essir fyrirlestrar en hefur veri� notu� um skei� vi� kennslu H�sk�la �Islands n�mskei�inu E�lisfr��i I.B�k Borns [1] er efnismikil h�lfal���leg framsetning � afst��iskenningunni. �I[23] m� finna einfalda umfj�llun.Um a�draganda og s�gu afst��iskenningarinnar er fjalla� [19, 25]. S �ar nefndab�kin er jafnframt �visaga Einsteins og afar skemmtilega skrifu�. Riti� [8] hefura� geyma enska ���ingu � m�rgum af upprunalegu greinunum um almennu ogtakm�rku�u afst��iskenninguna.Byrjendab�kur � svipu�u stigi og �essi eru [11, 33, 34, 36]. �I [11] eru tilraunumger� einkar g�� skil en [36] er l�g� �hersla � fj�rv �a r�mfr��i og myndr�naframsetningu. Strembnari b�kur eru [30, 32]. �I [14, 20, 21, 26, 31, 37] er a� finna�g�ta sam�jappa�a kafla um takm�rku�u afst��iskenninguna ��tt fyrsttalda b�kinfjalli um rafsegulfr��i en hinar einkum um almennu afst��iskenninguna. B�kin[9] fjallar � skemmtilegan h�tt um r�mfr��i afst��iskenningarinnar og inniheldurmargar myndir.Um heimsmynd almennu afst��iskenningarinnar er fjalla� [12, 20, 31, 35, 37].B�k Hawkings [12] er �tlu� almenningi og notar enga st�r�fr��i og �ar er jafnframtr�tt um tengsl skammtafr��i og heimsfr��i. [35] hefur a� geyma a�gengilega s gildaumfj�llun um heimsmyndina, en [31, 20, 37] eru mun tarlegri.

86

Ritaskr�a[1] M. Born, Einstein's theory of relativity, Dover, New York (1965).[2] H. J. Borchers og G. C. Hegerfeldt, The structure of space-time transformati-ons, Commun. Math. Phys. 28 (1972) 259.[3] L. C. Baird, Linearity of the Lorentz transformation, Am. J. Phys., 44 (1976)167.[4] A. Brillet og J. L. Hall, Phys. Rev. Lett. 42 (1979) 549.[5] J. Bronowski, The clock paradox, Scientific American (Feb. 1963) 134-144.[6] R. H. Dicke, The E�tv�s experiment, Scientific American (December 1961)84-94.[7] A. Einstein, Afst��iskenningin, Hi� slenska b�kmenntaf�lag, Reykjav k(1970).[8] A. Einstein, H. A. Lorentz, H. Minkowski og H. Weyl, The principle of relati-vity, Dover, New York (1952).[9] G. F. R. Ellis og R. M.Williams, Flat and curved space-times, Clarendon Press,Oxford (1988).[10] W. L. Freedman, The expansion rate and size of the universe, ScientificAmerican, (Nov. 1992) 30-36.[11] A. P. French, Special Relativity, Chapman and Hall, London (1990).[12] S. W. Hawking, Saga t mans, Hi� slenska b�kmenntaf�lag, Reykjav k (1990).[13] D. Hollenbach, Appearance of a rapidly moving sphere: A problem for und-ergraduates, Am. J. Phys. 44 (1976) 91.[14] J. D. Jackson, Classical electrodynamics, Wiley, New York (1975).[15] E. Mach, The science of mechanics: A critical and historical account of itsdevelopment, Open court, LaSalle (1960).[16] J. B. Marion og S. T. Thornton, Classical dynamics, Harcourt BraceJovanovich, Orlando (1988).[17] N. D. Mermin, Relativistic addition of velocities directly from the constancyof the velocity of light, Am. J. Phys. 51 (1983) 1130.[18] N. D. Mermin, Relativity without light, Am. J. Phys. 52 (1984) 119.[19] A. I. Miller, Albert Einstein's special theory of relativity, Addison-Wesley, Rea-ding (1981). 87

[20] C. W. Misner, K. S. Thorne og J. A. Wheeler, Gravitation, W. H. Freeman,San Francisco (1973).[21] C. M<ller, The theory of relativity, Clarendon Press, Oxford (1952).[22] I. Newton, Principia, University of California Press, Berkeley (1934).[23] H. C. Ohanian, Physics, W. W. Norton, New York (1989).[24] �Olafur Dan elsson, �Ymsar sko�anir � e�li r�msins, Sk rnir (1913) 361-370.[25] A. Pais, \Subtle is the lord ...\ The science and life of Albert Einstein, OxfordUniversity press, Oxford (1982).[26] W. Pauli, Theory of relativity, Dover, New York ( 1981).[27] R. Perrin, Twin paradox: A complete treatment from the point of view of eachtwin, Am. J. Phys. 47 (1979) 317.[28] R. V. Pound og G. A. Rebka, Phys. Rev. Lett. 4 (1960) 274-278.[29] E. M. Purcell, Electricity and magnetism, McGraw-Hill, New York (1965).[30] W. Rindler, Introduction to special relativity, Clarendon Press, Oxford (1991).[31] W. Rindler, Essential relativity, special, general and cosmological, SpringerVerlag, New York (1977).[32] W. G. V. Rosser, Introductory special relativity, Taylor and Francis, London(1991).[33] W. G. V. Rosser, An introduction to the theory of special relativity,Butterworths, London (1964).[34] U. E. Schr�oder, Special relativity, World Scientific, Singapore (1990).[35] D. W. Sciama, Modern Cosmology, Cambridge University Press, Cambridge(1971).[36] E. F. Taylor og J. A. Wheeler, Spacetime Physics, 2. �tg., Freeman, New York(1992).[37] S. Weinberg, Gravitation and cosmology: Principles and applications of thegeneral theory of relativity, Wiley, New York (1972).[38] J. M. Weisberg, J. H. Taylor og L. A. Fowler, Gravitational waves from anorbiting pulsar, Scientific American (Oct. 1981) 66-74.[39] V. F. Weisskopf, The visual appearance of rapidly moving objects, PhysicsToday (September 1960) 24-30.[40] �orsteinn Vilhj�lmsson, Frumatri�i takm�rku�u afst��iskenningarinnar, H�-sk�la�tg�fan, Reykjav k (1989). 88

Atri�isor�askr�1. l�gm�l Newtons 32. stigs tensor 753. l�gm�l Newtons 50afst��isl�gm�li� 4, 15alr�m 3alt mi 2andr�teind 60atbur�ir 16�rekstrar 55bakslag 59bil 25brautarsn�ningur Merk�rs 83brotstu�ull 39Coriolis-hr��un 7Doppler-hli�run 79Doppler-hrif 40, 63efnisdreifing alheimsins 6eiginhra�i 46eiginhr��un 47eigint mi 44Einstein 2, 6, 14, 15E�tv�s 57fer� 23Fitzgerald-Lorentz samdr�ttur 13Fizeau 39fja�urmagna�ur �rekstur 61fjarverkun 66fj�rhra�i 46fj�rhr��un 47fj�rkraftur 66fj�rvektor 46flatarhle�slu��ttleiki � 70flatarstraum��ttleiki 71fort �arlj�skeila 25framt �arlj�skeila 25frj�lst fall 77 -��ttur 20gagnvegur 81

gagnverkun 66Galilei-ummyndun 4gr�pa 24hra�astu�ull 21hra�aummyndun 20, 31hra�i 23hreyfingarl�gm�l Newtons 5hreyfiorka 54hr��un 68hr�rnun 57Hubble 83h�perb�lufl�tur 27jafngildisl�gm�l 77j�eind 60Kartesarhnit 1klass sk aflfr��i 5kraftl�gm�l Lorentz 65kraftur 65kyrrst��uorka 54lengdarsamdr�ttur 34lj�sbognun 9lj�seind 62lj�skeila 25lj�sl�gur 27lj�sr�fun 63lj�ssveigja 80lj�svakavindur 12lj�svaki 9, 39lj�svik 10lj�sv xl 8lj�sv xlunarmynstur 12Lorentz-gr�pa 24Lorentz-kraftur 65Lorentz-stu�ull 20Lorentz-ummyndun 20Lorentz-ummyndun hra�a 32l�gm�l Amp�eres 72l�gm�l Coulombs 66l�gm�l Machs 6massalaus �gn 5589

massami�juhra�i 57massami�jukerfi 56Maxwell 9metrunartensor 81Michelson 13mi�s�knarhr��un 7Minkowski-innfeldi 18Minkowski-r�m 25Morley 13Newton 2orka 53orku-skri��ungavektor 53�fja�urmagna�ur �rekstur 55pend�ll Foucaults 3Planck-stu�ull 63pl�tu��ttir 70Poincar� 15Poincar�-ummyndun 25rafeind 60rafsvi� 70r�teind 60r�m 1, 83r�ml�gur 27r�mspeglun 23samhreyfing 38samstilla klukkur 16segulsvi� 70sj�nl nuhra�i 41skalarst�r� 46, 70skri��ungavektor 51skri��ungi 51sta�bundi� vi�mi�unarkerfi 78st�ri hvellur 84sundrun 57s�ndarhli�run 10svarthlutageislun 63svarthol 83sveigt lj�s 79sveigt r�m 80svi� 66s�guferill 26tensor rafsegulsvi�s 75

t malenging 33t mal�gur 27t mar�mi� 16t mar�msferill 26t mar�msfjarl�g� 82t maspeglun 23t mi 1, 83treg�ukerfi 3treg�ul�gm�li� 3treg�umassi 57, 83tv bura�vers�gn 45var�veislul�gm�l 55, 59verkun 66vi�mi� 2vi�mi�unarkerfi 2vinna 68�riggja gr��u geislun 3, 84�r�skuldsorka 60�yngdarafl 77�yngdarbylgja 56�yngdareind 56�yngdargeislun 83�yngdarkraftur 77�yngdarmassi 57, 83�yngdarrau�vik 78�yngdart malenging 79

90