Áramkör számítási példák és feladatok - uni-miskolc.huelkrad/Villamossagtan I - peldak_feladatok.pdf · MISKOLCI EGYETEM Elektrotechnikai-Elektronikai Intézeti Tanszék VILLAMOSSÁGTAN

MISKOLCI EGYETEM

Elektrotechnikai-Elektronikai Intzeti Tanszk

VILLAMOSSGTAN I.

ramkr szmtsi pldk s feladatok

sszelltotta:

Dr. Radcs Lszl

Gpszmrnki s Informatikai Kar

Villamosmrnki Intzet

MISKOLCI EGYETEM

2014

1

TARTALOM 1 ramkr szmtsi alapfogalmak, alaptrvnyek ............................................................... 2

1.1 ramkri elemek, ramkrk rszei, teljestmnyek .................................................. 2

1.1.1 Aktv elemek ........................................................................................................ 2

1.1.2 Passzv elemek ..................................................................................................... 4

1.1.3 Teljestmnyek ..................................................................................................... 4

1.1.4 ramkrk rszei ................................................................................................. 5

1.2 Kirchhoff trvnyei ..................................................................................................... 6

1.2.1 Mintaplda ............................................................................................................ 7

1.2.2 Gyakorl feladatok ............................................................................................... 8

1.3 Feszltsg- s ramoszt sszefggsek ..................................................................... 9

1.3.1 Mintaplda ............................................................................................................ 9

1.3.2 Gyakorl feladatok ............................................................................................. 10

2 ramkr szmtsi ttelek ................................................................................................. 12

2.1 A szuperpozci elve ................................................................................................. 12

2.1.1 Mintaplda .......................................................................................................... 12


2.2 Helyettest genertorok ttelei ................................................................................. 15

Thevenin ttel ................................................................................................................... 15

2.2.1 Mintaplda .......................................................................................................... 16


Norton ttel ....................................................................................................................... 19

2.2.3 Mintaplda .......................................................................................................... 19


3 Hromfzis rendszerek .................................................................................................... 21

3.1 Elmleti sszefoglal ................................................................................................. 21

3.2 Mintapldk ............................................................................................................... 24

3.2.1 Szimmetrikus csillag kapcsols .......................................................................... 24

3.2.2 Szimmetrikus delta kapcsols ............................................................................ 24

3.2.3 Aszimmetrikus csillag kapcsols ....................................................................... 25

3.2.4 Aszimmetrikus delta kapcsols .......................................................................... 26

3.3 Gyakorl feladatok .................................................................................................... 28

Irodalom ................................................................................................................................... 30

2

1 ramkr szmtsi alapfogalmak, alaptrvnyek

Az ramkr az elektromgneses trnek olyan egyszerstett lersa, amely csak az ertr nhny

jellemz mennyisge kztti kapcsolatra vonatkozik, ezek rendszerint az ram s a feszltsg.

Az ram a tltsek villamos tr hatsra bekvetkez rendezett mozgsa, amelynek

megllapods szerinti irnya a pozitv tltsek valsgos, vagy ltszlagos elmozdulsi irnya.

A feszltsg az egysgnyi tlts ltal vgzett munka, amelynek megllapods szerinti irnya a

potencil (munkavgz kpessg) cskkensnek az irnya.

1. bra: A legegyszerbb villamos ramkr

1.1 ramkri elemek, ramkrk rszei, teljestmnyek

1.1.1 Aktv elemek

Az ramkrk (villamos hlzatok) aktv elemei a villamos energia ms energiaformbl

trtn ellltst szimbolizljk. Az aktv elemek tbbsgben valamilyen kls energia

(mechanikai, vegyi, stb.) hatsra megtrtnik a klnbz nem tltsek sztvlasztsa,

aminek kvetkeztben energira tesznek szert s munkavgzsre lesznek kpesek. Ezek a

feszltsg genertorok. Az aktv elemek kisebb rszben a kls energia hatsra kzvetlenl

tltsek injektldnak a hozzjuk kapcsold ramkrbe, ezek az ramgenertorok.

Feszltsg genertor ramgenertor

Uk = Ug Rb I I = Ig Uk

Rg

2. bra: A valsgos genertorok ramkri jellse s kapocsmennyisgei

Ha a genertorok vesztesgei elhanyagolhatan kicsik az ramkr tbbi teljestmnyhez

kpest, akkor idelis genertorokrl beszlnk. Ez a modellekben azt jelenti, hogy feszltsg

genertornl Rb = 0, azaz Uk = Ug, ramgenertornl pedig Rb = , azaz I = Ig.

Az ramkrk szmtsi mdszereinek matematikai eszkzei a genertorok

forrsmennyisgeinek idfggvnytl fggenek.

3

3. bra: A genertorok forrsmennyisg idfggvnye szerinti csoportostsa

Az idben lland egyenram hlzatok esetn a szmts a legegyszerbb, vals szmokkal

dolgozhatunk. Amennyiben idben vltoz egyenram hlzattal van dolgunk, akkor

rendszerint az egyenram szempontbl egyenrtk kzprtkeket hasznljuk, amit lineris

kzprtknek neveznk s szintn vals szm.

Egy T peridusidvel vltoz f (t) fggvny lineris kzprtknek matematikai defincija:

dt(t)fT

1=F

T

0

lin

A mindennapjainkban leginkbb hasznlt szinuszosan vltakoz ram mennyisgek idbeli

vltozsnak lersra pldul feszltsgnl ltalnos alakban az u(t)= Um sin(t+)

fggvny alkalmas. Egy lineris ramkrben, ha a genertor forrsmennyisge szinuszos, akkor

az ramkr valamennyi mennyisge azonos krfrekvencij szinuszos mennyisg lesz, teht

a jellemzskre elegend 2 adat: a nagysgra utal jellemz s a vizsglat kezdetekor felvett

rtk, a kezdfzis. Mivel a lineris kzprtkk nulla a ngyzetes kzprtkket (effektv

rtk) adjuk meg:

T

0

2

ngyz dt(t)fT

1=F

Szinuszos mennyisgeknl a ngyzetes kzprtk (effektv rtk) a maximlis pillanatrtk

2-ed rsze. A szinuszos mennyisgek nagysgnak s egymshoz kpesti fzisviszonyainak lersra

tkletesen alkalmasak a komplex effektv rtkek.

Az u(t)= Um sin(t+) alak szinuszos feszltsg komplex effektv rtke:

sinUj+cosU=eU=e2

U=U jjm

A komplex effektv rtkek hasznlatval a vltakoz ram ramkrk szmtsnl

ugyanazok az sszefggsek s mdszerek alkalmazhatk, mint az egyenram ramkrknl.

Forrsmennyisg

idfggvnye

szerint

Egyenram

lland Vltoz

Folyamatos Szaggatott

Vltakoz ram

(Periodikus, lineris kzprtke=0)

SzinuszosEgyb

(Pl. ngyszg)

4

A tbbi periodikus, de nem szinuszos mennyisg matematikai lerst Fourier sorfejtsi

ttelnek segtsgvel vezetjk vissza a szinuszos mennyisgek szmtsra, de jelen

munkafzetben ezt nem trgyaljuk.

1.1.2 Passzv elemek

Energia fogyaszt:

Ellenlls: a villamos energia ms energiaformv (h, mechanikai, stb.) val talakulsnak

lersra.

Energia trolk:

Induktivits: a mgneses tr formjban trolt energia ramkri lekpezsre.

Kapacits: a villamos tr formjban trolt energia ramkri lekpezsre.

1. tblzat: Passzv ramkri elemek alapsszefggsei

Ellenlls Induktivits Kapacits

ramkri jells

Tetszleges

idfggvny

mennyisgek esetn

u = R i u = L di

dt i = C

du

dt

lland egyenram

esetn U = R I rvidzr szakads

Szinuszos vltakoz

ram esetn U = R I U = jL I I = jC U

1.1.3 Teljestmnyek

Idben lland egyenram ramkrkben a villamos ram teljestmnye

P = U I [W] (watt).

Vltakoz ram ramkrkben, mivel a feszltsg s az ram is szinuszosan vltozik, a

szorzatuk, azaz a pillanatnyi teljestmny is szinuszosan vltozik (ktszeres frekvencival).

Ennek az idfggvnynek a jellemzsre hromfle teljestmnyt hasznlunk.

A fggvny tlagrtke (lineris kzprtk) az idegysg alatt vgzett munkra jellemz, ezt

hvjuk hatsos teljestmnynek:

P = U I cos [W] (watt).

Az sszefggsben U s I effektv rtkek, a pedig a kt mennyisg kztti fziseltrs.

A nulla kzprtk, a termel s a fogyaszt kztt leng teljestmny-komponenst a

cscsrtkvel rjuk le, ezt medd teljestmnynek nevezzk s az ramkr trol elemeihez,

az induktv s kapacitv reaktancikhoz trsthat:

Q = U I sin [var] (volt-amper-reaktv)

A fenti defincik utn megrajzolhat egy derkszg hromszg a teljestmnyekre (4.bra),

5

4. bra: Induktv jelleg fogyaszt fazorbrja s az ebbl szrmaztathat teljestmny-

hromszg

A hromszg tfogja is egy teljestmny, amelynek kifejezsben nem szerepel a fzisszg,

s az egyenram teljestmnyhez hasonlan szmthat az effektv rtkekbl, ez a ltszlagos

teljestmny:

S = U I [VA] (volt-amper)

A gyakorlatban mindhrom teljestmnynek megvan a maga szerepe s jelentsge s amint

fentebb lthat mrtkegysgkkel is megklnbztetjk ket.

A teljestmnytnyez a hatsos s a ltszlagos teljestmny viszonya, azaz szinuszos

vltakoz ram esetn:

= cos

Amennyiben a feladat megoldst a feszltsgek s ramok komplex effektv rtkeivel

vgeztk el, akkor a teljestmnyeket ezekbl kzvetlenl is meghatrozhatjuk.

A komplex teljestmny:

S = U I = U I ej = S ej = S cos + j S sin = P + j Q, teht egy komplex alakban elvgzett szorzssal valamennyi teljestmny meghatrozhat, de

nyomatkosan felhvnm a figyelmet arra, hogy helyes eredmnyt akkor kapunk, ha nem az

ram komplex effektv rtkvel, hanem annak a konjugltjval szorzunk.

1.1.4 ramkrk rszei

Csompont: kettnl tbb hlzati elem kapcsoldsi pontja. A csompontokat ltalban nagy

betkkel jelljk meg, az 5. brn pl. A, B, C. Ha kt csompont kztt nulla ellenlls

vezet (rvidzr) tallhat, akkor a kt pont azonos potencil s nem szmt j

csompontnak.

g: kt csompont kztti hlzatrsz, amelyen ugyanaz az ram folyik. Ugyanazon kt

csompont kztt tbb g is lehet, de a klnbz ramok miatt kln gnak kell

tekinteni. Az 5. brn pl. az A s C csompontok kztt kt g tallhat: az Ue1-R1

feszltsg genertor s az R3 ellenlls.

Hurok: azon gak s csompontok sszessge, amelyeken vgighaladva a kiindulsi pontba

jutunk anlkl, hogy brmely gon tbbszr haladtunk volna. Az 5. brn pl. a I. hurok

az A-B-C-A tvonalat jelenti, mg a II. hurok a B-C-B tvonalat.

6

5. bra: Az ramkrk rszeinek bemutatsa

Megllapods szerinti (valsgos) irnyok:

ram: a pozitv tltsek valsgos vagy ltszlagos mozgsirnya.

Feszltsg: a potencilcskkens irnya.

Vonatkozsi (referencia, mr) irnyok:

Az irnyukkal meg nem adott ramok s feszltsgek elre, az ramkr szmts szmra

nknyesen felvett irnya. Ha a szmts eredmnye pozitv, akkor az ltalunk felvett irny

megegyezik a megllapods szerinti irnnyal, ha negatv, akkor azzal ellenttes.

1.2 Kirchhoff trvnyei

I. Csomponti trvny: a tlts megmaradsnak trvnyt fejezi ki. Egy csompontba be- s kifoly ramok vonatkozsi irny szerinti sszege zrus. A

csompontba be-, illetve az onnan kifoly ramok eljelt klnbzre kell vlasztani.

0i

n

1k

k

i1 i2 + i3 + i4 i5 = 0

6. bra: A csomponti trvny alkalmazsa

II. Hurok trvny: az energia megmaradsnak trvnyt fejezi ki. Egy hurokban mkd feszltsgek vonatkozsi irny szerinti sszege zrus. A hurok felvett

krljrsi irnyval megegyez, illetve azzal ellenttes irny feszltsgek eljelt

klnbzre kell vlasztani.

7

0u

n

1k

k

uL1 + uR1 uG2 + uC2 uR3 +uM3 + uG3

uC4 + uG4 uR4 = 0

7. bra: A hurok trvny alkalmazsa

1.2.1 Mintaplda

Megjegyzs: Az ramkr szmtsi mintapldkat az elvek hangslyozsa rdekben minden

esetben egyenram ramkrk esetre mutatjuk be, a vltakoz ram ramkrk ugyanazon

elvek alkalmazsval szmthatk a komplex impedancikkal s a mennyisgek komplex

effektv rtkeivel.

Szmtsa ki az albbi ramkr valamennyi gnak ramt!

U0 = 10 V

I0 = 10 A

R1 = 2

R2 = 4

R3 = 3

R4 = 3

Megolds:

Mivel az ramkrben a 4 gram ismeretlen, ezeknek meghatrozshoz 4 fggetlen Kirchhoff

egyenletet kell felrnunk, az gak feszltsgt ha szksges az gegyenletek segtsgvel

mr ki lehet szmolni.

Az ramkrben 3 csompont tallhat, a fggetlen csomponti egyenletek szma ennl mindig

1-gyel kevesebb, esetnkben kett. A megoldshoz teht mg kt hurokegyenletre van

szksgnk.

A csompontra: I1 I2 I3 = 0

B csompontra: I2 I4 + I0 = 0

I. hurokra: I1R1 + I3R3 U0 = 0

II. hurokra: I2R2 + I4R4 I3R3 = 0

Az adatok behelyettestse utn valamilyen tbb-ismeretlenes egyenletrendszer megoldsra

tanult matematikai mdszerrel az gramok meghatrozhatk. A rszletes szmtsok

mellzsvel az eredmnyek:

I1 = 0,242 A; I2 = 2,93 A; I3 = 3,17 A; I4 = 7,07 A.

rdemes megjegyezni, egy ilyen, viszonylag egyszer ramkr esetn is jelents szmtsi

munkt ignyel a mennyisgek meghatrozsa, ezrt a legritkbb esetben hasznljuk a

Kirchhoff egyenletek felrst ignyl mdszert. sszetettebb ramkrk esetn a szmtsi

munka sokszorozdik, gy inkbb valamilyen egyszerst mdszert hasznlunk, amelyek

termszetesen a Kirchhoff egyenleteken alapulnak.

8

1.2.2 Gyakorl feladatok

1. Kt eltr forrsfeszltsg s bels ellenlls genertor tpll prhuzamosan egy fogyasztt. Hatrozza meg az ramkr mindhrom gnak ramt s a kzs

kapocsfeszltsget!

(Eredmnyek: I1 = 1,54 A, I2 = 0,23 A,

I = 1,31 A, U = 10,47 V)

2. Hatrozza meg az albbi ramkr ellenllsainak az ramt!

(Eredmnyek: I1 = 3 A, I2 = 1 A, I3 = 2 A,

I4 = 2,5 A, I5 = 0,5 A)

3. Szmtsa ki az bra szerinti ramkr valamennyi gnak ramt!

(Eredmnyek: I1 = 1,5 A, I2 = 1,1 A,

I3 = 0,33 A, I4 = 1,44 A, I5 = 1,17 A)

9

1.3 Feszltsg- s ramoszt sszefggsek

ramkr szmtsi feladatok sorn gyakran tallkozunk olyan esettel, hogy csak egy genertor

mkdik az ramkrben s csak egy gnak a jellemzi rdekesek a szmunkra. Ilyenkor

elkerlhet a Kirchhoff trvnyekkel meghatrozott tbb-ismeretlenes egyenletrendszer

felrsa, illetve megoldsa, helyette az ezekbl (az Ohm-trvny felhasznlsval) levezethet

feszltsg- s ramoszt sszefggsek hasznlata a clszer. Soros elemek rama azonos, a

feszltsg az ellenllsokkal egyenes arnyban oszlik meg, prhuzamos elemek feszltsge

azonos, az ram az ellenllsokkal fordtottan arnyos.

21

22

21

11

RR

RUU

RR

RUU

21

12

21

21

RR

RII

RR

RII

Az sszefggsek alkalmazsa kt elem esetn trivilis, sszetett ramkrknl a hasznlatuk

nehzsgeket okozhat. Ennek elkerlsre az ramkrket mindig kt rszre bontva kell

elkpzelni, az egyik, ahol szeretnnk meghatrozni az ismeretlen mennyisget, a msik, ahol

nem rdekel. Ilyenkor az sszefggsekbe az egyes ramkri rszek eredjt kell helyettesteni.

Tbbszrs soros, illetve prhuzamos kapcsols esetn az sszefggseket lncszeren (a

krdses gra kzeltve) lehet alkalmazni.

1.3.1 Mintaplda

Hatrozza meg az brn lthat hlzat U3 feszltsgt, valamint I2 s I4 ramt! Valamennyi

ellenlls rtke 5 , a genertor feszltsge U = 16 V.

Megolds:

A genertor fell nzve az R1 ellenlls sorba kapcsoldik az ramkr tbbi ellenllsnak az

eredjvel, amelyen keressk az U3 feszltsget, teht alkalmazhat a feszltsgoszt

sszefggs:

U3 = U R3 (R2 + R4 R5)

R1 + R3 (R2 + R4 R5)= 16

5 (5 + 5 5)

5 + 5 (5 + 5 5)= 6 V

Az U3 ismeretben a keresett I2 ram Ohm trvnye alapjn szmthat:

10

I2 = U3

R2 + R4 R5=

6

5 + 5 5= 0,8 A

I2 meghatrozsa utn az I4 ram az ramoszt sszefggssel:

I4 = I2 R5

R4+ R5 = 0,8

5

5+5= 0,4 A

Amennyiben csak az I4 ram a krds, akkor a feszltsgoszt lncszer alkalmazsval az R4

ellenlls feszltsge kzvetlenl felrhat, majd az Ohm trvny alapjn az rama is.

I4 = U R3 (R2 + R4 R5)

R1 + R3 (R2 + R4 R5)

R4 R5R2 + R4 R5

1

R4= 16

3

8 2,5

7,5 1

5= 0,4 A


1. Szmtsa ki valamennyi ellenlls feszltsgt a feszltsgoszt sszefggs segtsgvel a vonatkozsi irnyok felvtele utn!

Uo = 10 V

R1 = 2

R2 = 3

R3 = 4

R4 = 3

(Eredmnyek: U1 = 4,88 V, U2 = 5,12 V, U3 = 2,93 V, U4 = 2,19 V; a feszltsgek

eljele a felvett irnyoktl fgg.)

2. Szmtsa ki valamennyi ellenlls ramt az ramoszt sszefggs segtsgvel a vonatkozsi irnyok felvtele utn!

Io = 6 A

R1 = 2

R2 = 3

R3 = 4

R4 = 3

(Eredmnyek: I1 = 3,2 A, I2 = 1,6 A, I3 = 2,8 A, I4 = 1,6 A az ramok eljele a

felvett irnyoktl fgg.)

11

3. Hatrozza meg az ramkrben az U4 feszltsget! U = 10 V

R1 = 2,5

R2 = 5

R3 = 2,5

R4 = 5

R5 = 5

(Eredmny: U4 = 1,43 V)

4. Hatrozza meg az ramkrben az I5 ramot!

Io = 6 A

R1 = 2

R2 = 3

R3 = 4

R4 = 3

R5 = 3

(Eredmny: I5 = 1 A)

5. Hatrozza meg valamennyi ramkri elem feszltsgt, ha a szinuszos genertor feszltsgnek effektv rtke U = 12 V, frekvencija f = 50 Hz (ennek a kezdfzist

tekintse nullnak)!

R1 = 6

R2 = 8

L = 15,9 mH

C = 318 F

(Eredmnyek: UL = 12/0o V, UR1 = 6,23/19,7o V, UR2 = UC = 6,49/18,9o V)

6. Hatrozza meg az albbi ramkr valamennyi ramkri elemnek ramt, ha a szinuszos genertor ramnak effektv rtke I = 5 A, frekvencija f = 50 Hz (ennek a kezdfzist

tekintse nullnak)!

R1 = 10

R2 = 30

L = 63,7 mH

C = 106 F

(Eredmnyek: IR1 = 3,1/7,1o A, IL = 1,96/11,3o A, IR2 = 1,38/56,3o A,

IC = 1,38/33,7o A)

12

2 ramkr szmtsi ttelek

2.1 A szuperpozci elve

A szuperpozci elve lineris hlzatok szmtsaihoz alkalmazhat. Egy hlzat akkor

lineris, ha valamennyi eleme lineris, vagyis az elemek karakterisztikja, azaz az i = f (u)

kapcsolat egyenes. Akkor lehet s clszer alkalmazni, ha a hlzatban tbb genertor

mkdik.

Tbb forrst tartalmaz lineris, reciprok hlzatokban a forrsok egyttes hatsa

meghatrozhat egyenknti hatsaik sszegzsvel.

Az egyes forrsok hatsnak vizsglatakor a tbbit dezaktivizlni kell. (Feszltsg genertornl

Ug = 0, ramgenertornl Ig = 0).

2.1.1 Mintaplda

Hatrozza meg az brn lthat hlzat R3 ellenllsnak ramt s feszltsgt a szuperpozci

elvnek felhasznlsval!

U0 = 10 V

I0 = 10 A

R1 = 2

R2 = 4

R3 = 3

R4 = 3

Megolds:

1. szuperpozcis lps az U0 feszltsg genertor mkdik, I0 dezaktivizlva

U3 = U0

R3 (R2 + R4)

R1 + R3 (R2 + R4)= 10

3 (4 + 3)

2 + 3 (4 + 3)= 5,12 V

I3 =

U3

R3=

5,12

3= 1,71 A

2. szuperpozcis lps az I0 ramgenertor mkdik, U0 dezaktivizlva

13

I3 = I0

R4R4 + R2 + R1 R3

R1

R1 + R3= 10

3

3 + 4 + 2 3

2

2 + 3= 1,46 A

U3 = I3

R3 = 1,46 3 = 4,39 V

3. lps az egyes genertorok hatsainak sszegzse

U3 = U3 + U3

=5,12 + 4,39 = 9,51 V

I3 = I3 + I3

= 1,71 + 1,46 = 3,17 A


1. Hatrozza meg az brn lthat hlzatban az I2 s I5 ram, valamint az U2 s U5

feszltsg rtkt a szuperpozci elv felhasznlsval!

Ug1 = 150 V

Ug2 = 120 V

R1 = 15

R2 = 5

R3 = 20

R4 = 10

R5 = 10

(Eredmnyek: U2 = 37,5 V, I2 = 7,5 A, U5 = 5 V, I5 = 0,5 A)

2. Hatrozza meg az brn lthat hlzat R4 ellenllsnak ramt s feszltsgt a

szuperpozci elvnek felhasznlsval!

U1= 100 V

U2= 60 V

R1= 2,5

R2= 5

R3= 2,5

R4= 5

R5= 5

(Eredmnyek: I4 = 0,57 A, U4 = 2,86 V)

14

3. Szmtsa ki az albbi ramkr I2 ramt a szuperpozci elv segtsgvel!

U = 100 V

I = 5 A

R1 = 30

R2 = 14

R3 = 10

R4 = 30

R5 = 16

(Eredmny: I2 = 2,57 A)

4. Hatrozza meg az brn lthat hlzat R2 ellenllsnak ramt s feszltsgt a

szuperpozci elvnek felhasznlsval!

Ug = 12 V

Ig = 2 A

R1 = 4

R2 = 3

R3 = 6

R4 = 6

(Eredmnyek: I2 = 1,69 A, U2 = 5,07 V)

5. Hatrozza meg az brn lthat hlzat A - B gnak ramt s feszltsgt a szuperpozci elv segtsgvel!

U1 = 120 V

U2 = 100 V

I = 12 A

R1 = 10

R2 = 50

R3 = 20

R4 = 30

(Eredmnyek: IAB = 0,692 A, UAB =20,8 V)

15

6. Hatrozza meg az brn lthat ramkrben a C4 kapacits ramnak s feszltsgnek az idfggvnyt!

io = 7,07 sin 314t [A]

uo = 14,1 sin (314t + /4) [V]

R1 = 2

L2 = 12,7 mH

R3 = 3

C4 = 1060 F

(Eredmnyek: iC = 4 sin (314t + 86o

180)) A, uC = 12 sin (314t 4

o

180) V)

Megjegyzs: az idfggvnyek argumentumban a kezdfzist matematikailag helyesen

radinban kell szerepeltetni, de gyakran eltekintnk az tvltstl s fokban rjuk, mivel gy

jobban tudjuk rtelmezni a szgeket.

2.2 Helyettest genertorok ttelei

Brmely lineris, invarins, aktv hlzat tetszleges kt pontja fell nzve helyettesthet egy

valsgos genertorral.

Alkalmazsa akkor clszer, ha az ramkrnek csak egy rsze vltozik, vagy vltoztathat.

Ilyenkor a vltozatlan hlzatrszt egy valsgos genertorral helyettestjk, majd ennek a

helyettest genertornak a klnbz terhelsi llapotait egyszeren szmolhatjuk.

A valsgos genertor kt paramtere a kvetkez megfontolsok alapjn hatrozhat meg.

Lineris elemekbl ll hlzat valamennyi egyenlete lineris, teht tetszleges kt pontja

kztti feszltsge s rama kztti kapcsolata is lineris. U s I kapcsolatt kizrlag a lezrs

hatrozza meg. (

Matematikailag az egyenest kt pontja meghatrozza, teht elegend, ha az eredeti hlzat s a

helyettest genertor kt klnbz terhels esetn egyenrtk, akkor valamennyi terhelsi

llapotban azok lesznek.

8. bra: A helyettest genertorok ttelnek szemlltetse

Thevenin ttel

A Thevenin ttel szerint a lineris, invarins, aktv hlzat helyettesthet egy valsgos

feszltsg genertorral.

resjrsban a vizsglt g kt vgpontja kztti lezrst eltvoltva a helyettest feszltsg

genertor resjrsi feszltsge s az eredeti hlzat A - B pontjai kztt mrt feszltsg meg

kell, hogy egyezzen, azaz Ug = UAB0. Ugyancsak meg kell, hogy egyezzen az eredeti

dezaktivizlt hlzat A - B pontjai fell nzett ered ellenlls a helyettest genertornl

mrhetvel, azaz Rb = RABer.

16

A dezaktivizls azt jelenti, hogy eltvoltjuk a forrsmennyisgeket: Ug = 0, Ig = 0 s csak a

genertorok bels ellenllsa szerepel az ramkrben.)

2.2.1 Mintaplda

Alkossa meg az brn lthat hlzat A - B pontokra vonatkoz Thevenin helyettest kpt, majd

ennek segtsgvel hatrozza meg a bejellt I2 ramot!

U = 120 V

R1 = 20

R2 = 14

R3 = 20

R4 = 10

R5 = 15

Megolds:

Az R2 ellenllst eltvoltva az A - B pontok kzl, feszltsgosztval meghatrozzuk az

resjrsi feszltsget, ez lesz a helyettest genertor forrsfeszltsge. Mivel az R3 s R4

ellenllsokon nem folyik ram, a kt pont kztt az R3 ellenlls feszltsge mrhet:

Ug = UAB0 = U R3

R1 + R3= 120

20

20 + 20= 60 V

A helyettest genertor bels ellenllsa a dezaktivizlt ramkr A - B pontok fell nzett

ered ellenllsa lesz:

Rb = RABer = R1 R3 + R4 R5 = = 20 20 + 10 15 = 16

A helyettest genertor paramtereinek ismeretben visszahelyezzk az R2 ellenllst, mint

terhelst, majd kiszmtjuk a krdses I2 ramot:

17

I2 = Ug

Rb + R2=

60

16 + 14= 2 A

Amennyiben az R2 vltozik, akkor mr csak ez utbbi sszefggst kell jra kiszmolni.


1. Alkossa meg az brn lthat hlzatnak elszr az R3, majd R5 ellenllsok vgpontjaira vonatkoz Thevenin helyettest modelljt, majd ezek segtsgvel

hatrozza meg a bejellt U3 s U5 feszltsgeket!

U = 120 V

R1 = 30

R2 = 26

R3 = 45

R4 = 60

R5 = 40

(Eredmnyek: Ug3 = 75 V, Rb3 = 18,75 , U3 = 52,9 V, Ug5 = 41,5 V, Rb5 = 25,4 ,

U5 = 25,4 V)

2. Hatrozza meg az brn lthat hlzat A - B gban lv R4 ellenlls ramt s feszltsgt a Thevenin ttel felhasznlsval!

U = 100 V

R1 = 30

R2 = 20

R3 = 30

R4 = 28

R5 = 40

(Eredmnyek: Ug = 40 V, Rb = 12 , I4 = 1 A, U4 = 28 V)

18

3. Hatrozza meg az brn lthat hlzat A - B gban lv R4 ellenlls ramt s feszltsgt a Thevenin ttel felhasznlsval!

U = 120 V

I = 10 A

R1 = 10

R2 = 20

R3 = 5

R4 = 15

(Eredmnyek: Ug = 146,7 V, Rb = 11,67 , I4 = 5,5 A, U4 = 82,5 V)

4. Hatrozza meg az brn lthat hlzat R1 ellenllsnak ramt s feszltsgt a Thevenin ttel felhasznlsval!

I = 6 A

R1 = 16

R2 = 6

R3 = 12

R4 = 10

(Eredmnyek: Ug = 24 V, Rb = 14 , I1 = 0,8 A, U1 = 12,8 V)

5. Hatrozza meg az bra szerinti kapcsols A - B pontokra vonatkoz Thevenin helyettest kpt, majd ennek segtsgvel hatrozza meg az R2 ellenlls ramnak

idfggvnyt, ha az A-B kapcsokra u = 33,9 sin 314t [V] feszltsget kapcsolunk!

R1 = 6

R2 = 8

L = 15,9 mH

C = 318 F

(Eredmnyek: Ug = 20,6/31o V, Zb = 5,14/31

o , i2 = 2,3 sin (314t 18,9o) A

19

6. Alkossa meg az brn lthat hlzat A - B pontokra vonatkoz Thevenin helyettest kpt, majd ennek segtsgvel hatrozza meg az R2 ellenlls ramnak idfggvnyt!

u(t) = 28,3 sin 314t [V]

R1 = 5

R2 = 1

R3 = 3

L = 9,55 mH

C = 637 F

(Eredmnyek: Ug = 14,1/45o V, Zb = 4,12/14

o , i2 = 2,77 sin (314t 33,7o) A

Norton ttel

A Norton ttel szerint a lineris, invarins, aktv hlzat helyettesthet egy valsgos

ramgenertorral.

Rvidzrsban a vizsglt g kt vgpontjt nulla ellenlls vezetvel sszektve a

helyettest ramgenertor rvidzrsi rama s az eredeti dezaktivizlt hlzat A - B pontjai

kztt mrt rvidzrsi ram meg kell, hogy egyezzen, azaz Ig = IABz. Ugyancsak meg kell,

hogy egyezzen az eredeti hlzat A-B pontjai fell nzett ered ellenlls a helyettest

genertornl mrhetvel, azaz Rb = RABer (termszetesen a rvidzr nlkl).

Ha egy ramkr egyenrtken helyettesthet egy valsgos feszltsg genertorral, vagy egy

valsgos ramgenertorral, akkor a kt genertor is egyenrtk lehet egymssal. Ennek

felttele, hogy a kt genertor bels ellenllsa (Rb) megegyezzen s a forrsmennyisgek

kztt fennlljon az Ug = Rb Ig sszefggs. Ebbl az is kvetkezik, hogy egy feszltsg

genertor egyenrtken talakthat ramgenertorr s viszont.

2.2.3 Mintaplda

Oldjuk meg a Thevenin ttelnl kitztt mintapldt a Norton helyettest genertor

segtsgvel. Ezzel megtakartjuk a bels ellenlls meghatrozsnak munkjt, hiszen

ugyangy kell itt is meghatrozni, teht az rtke is ugyanaz lesz.

Megolds:

Az A - B pontok kztti rvidzron foly ramot meghatrozva kapjuk a helyettest genertor

forrsramt.

IABz =U

R1 + R3 R4 R5

R3R3 + R4 R5

=

= 120

20 + 20 10 15

20

20 + 10 15= 3,75 A

20

A helyettest genertor paramtereinek ismeretben visszahelyezzk az R2 ellenllst, mint

terhelst, majd kiszmtjuk a krdses I2 ramot:

I2 = IgRb

Rb+R2= 3,75

16

16 + 14= 2 A

A kt helyettestssel kapott eredmny termszetszeren megegyezik s ellenrizhetjk a kt

genertor forrsmennyisgei kztti Ug=Rb Ig kapcsolatot: 60 = 16*3,75.


1. Hatrozza meg az brn lthat hlzat R1 ellenllsra vonatkoz Norton helyettest kpet! A modell segtsgvel szmtsa ki az R1 ellenlls ramt s feszltsgt!

I = 10 A

R1 = 24

R2 = 60

R3 = 40

R4 = 12

(Eredmnyek: Ig = 6,67 A, Rb = 36 , I1 = 4 A, U1 = 96 V

2. Hatrozza meg az brn lthat hlzat R3 ellenllsra vonatkoz Norton helyettest kpet! A modell segtsgvel szmtsa ki az R3 ellenlls ramt s feszltsgt!

U = 120 V

R1 = 30

R2 = 18

R3 = 10

R4 = 30

R5 = 20

Eredmnyek: Ig = 4 A, Rb = 15 , I3 = 2,4 A, U3 = 24 V)

3. Hatrozza meg az albbi ramkr R4 ellenllsnak ramt s feszltsgt a Norton

helyettest genertor segtsgvel!

U1 = 120 V

U2 = 90 V

R1 = 20

R2 = 10

R3 = 30

R4 = 50

R5 = 40

(Eredmnyek: Ig = 4,2 A, Rb = 25 , I4 = 1,4 A, U4 = 70 V

21

4. Hatrozza meg az brn lthat hlzat A B gban lv R3 ellenllsra vonatkoz Norton helyettest kpet! A modell segtsgvel szmtsa ki az R3 ellenlls ramt s

feszltsgt!

U1 = 60 V

U2 = 50 V

I = 6 A

R1 = 10

R2 = 50

R3 = 20

R4 = 30

(Eredmnyek: Ig = 12,63 A, Rb = 8,89 , I3 = 3,88 A, U3 = 77,7 V

5. Hatrozza meg a hlzat Z impedancijra vonatkoz Norton helyettest kpet, majd ez alapjn szmtsa ki az impedancia ramnak komplex effektv rtkt. Adja meg az

ram idfggvnyt is, ha a genertor feszltsgnek frekvencija 60 Hz.

Ug = 12 V (vals)

Z1 = 3

Z2 = -j3

Z3 = j6

Z = j2,4

(Eredmnyek: Ig = 4/0o A, Zb = 2,68/27

o , I = 1.2/53o A, i = 1,7 sin (377t 53o) A

3 Hromfzis rendszerek

3.1 Elmleti sszefoglal

A villamos energiatermels, eloszts s felhasznls terletn a legelterjedtebbek vilgszerte a

hromfzis rendszerek. A szleskr felhasznls az egyfzis rendszerekhez kpesti albbi

elnykkel magyarzhat:

- egy- s hromfzis fogyasztk egyarnt ellthatk a rendszerrl, - az egy fzisra jut vezetkek szma kevesebb, - az egyik kapcsolsi mdnl kt klnbz nagysg feszltsgrendszer ll

rendelkezsre,

- egyszer forg mgneses teret ltrehozni vele (a villamos forggpek mkdsnek alapja),

- szimmetrikus rendszerben a hrom fzis egyttes hatsos teljestmnye idben lland.

22

ltalnos esetben a hrom feszltsg idfggvnye:

uL1 = UL1m sin (t + 1)



Szimmetrikus a hromfzis feszltsgrendszer, ha a fzisok feszltsgei egyenl nagyok

UL1m = UL2m = UL3m = Um

s egymshoz kpest azonos szggel vannak eltolva

12 = 23 = 31 =120o =

2

3 rad

gy a hrom feszltsg (az uL1 kezdfzist nullnak vlasztva):

uL1 = Um sin t

uL2 = Um sin (t 2

3)

uL3 = Um sin (t 4

3) = Um sin (t +

2

3)

9. bra: A szimmetrikus hromfzis rendszer feszltsgeinek idfggvnye

A szimmetrikus feszltsgrendszer komplex effektv rtkei:

UL1 = U (valsnak vlasztva)

UL2 = U ej120o

UL3 = U ej120o

Ha a fenti kt felttel kzl valamelyik nem teljesl, akkor aszimmetrikus a rendszer.

Megjegyzend, hogy a szabvnyos L1, L2, L3 fzisjellsek helyett a gyakorlatban s az

oktatsban is elterjedten hasznlatosak az 1,2,3 vagy az R, S, T, valamint az A, B, C

bethrmasok is.

A hromfzis fogyaszt fzisainak kapcsolsi mdjai

Csillag (ipszilon, Y) kapcsols, amely lehet 3 vagy 4 vezetkes, ebben az esetben a fzisok egy-

egy kivezetst kzs pontba fogjuk ssze, mg a maradk hrom kivezets adja a rendszer

3 fzist (10. bra). Amennyiben a kzs pontot is kivezetjk, akkor kapjuk a 4 vezetkes

rendszert.

Csillag kapcsols esetn ktfle feszltsgrendszer ll a rendelkezsnkre, a fziskivezetsek

s a csillagpont kztt mrhet fzisfeszltsgek rendszere, valamint a fziskivezetsek kztt

mrhet vonali feszltsgek rendszere. A negyedik (null-, nulla) vezet szoksos jellse N

vagy 0.

23

10. bra: A csillag kapcsols rendszer feszltsgei

Szimmetrikus rendszer esetn UA=UB=UC=Uf s UAB=UBC=UCA=Uv. A kt feszltsg

nagysga kztti kapcsolat egy fazorbra alapjn belthat, hogy:

Uv= 3 Uf A kapcsolsi mdbl kvetkezen a vonali s a fzis ramok azonosak:

Iv = If

Delta (hromszg, ) kapcsolsnl az egyes fzisok vgeit a kvetkez fzis kezdethez

kapcsoljuk, s ezekhez csatlakozunk. gy a rendszer csak 3 vezetkes lehet, ezrt a

fzisegysgeken s a kivezetsek kztt mrhet feszltsgek azonosak.

Uv = Uf

11. bra: A delta kapcsols rendszer ramai

Az ramokat tekintve ktfle ramrendszerrl beszlhetnk: a kt indexszel elltott

fzisramokrl, amelyek az egyes fzisegysgekben folynak, s az egy indexes vonali

ramokrl, amelyek a fziskivezetsekhez csatlakoz vezetkben folynak (11. bra).

Szimmetrikus rendszer esetn IAB=IBC=ICA=If s IA=IB=IC=Iv jellsekkel, a kt ram nagysga

kztti kapcsolat egy fazorbra alapjn belthat, hogy:

Iv= 3 If Egy fogyaszt szimmetrijnak a felttele, hogy mindhrom fzisban, komplex alakban azonos

legyen az impedancia:

Csillag kapcsols fogyasztnl: ZA = ZB = ZC = Z ej

Delta kapcsols fogyasztnl: ZAB = ZBC = ZCA = Z ej

A szimmetrikus rendszerek szmtsai azzal az elnnyel jrnak, hogy csak egy fzis jellemzit

szksges kiszmolni, mivel tudjuk, hogy a msik kt fzis mennyisgei ugyanakkork, de

kezdfzisaik 2

3-mal eltrnek.

Aszimmetrikus fogyaszt esetn a feszltsgek s ramok szmtst fzisonknt, komplex

alakban kell elvgezni az Ohm-trvny s a Kirchhoff-trvnyek alapjn. Egyszerbb

esetekben lehetsges a mennyisgek fazorbrn trtn brzolsa utn a nagysgok s fzisok

geometriai ton val meghatrozsa.

24

A hromfzis teljestmnyek szmtsakor szimmetrikus fogyasztnl elegend egy fzis

teljestmnyt meghatrozni, majd a hromszorost venni, ami kifejezhet a vonali

mennyisgekkel is.

P3f = 3 Pf = 3 Uf If cos = 3 Uv Iv cos

Q3f = 3 Qf = 3 Uf If sin = 3 Uv Iv sin

S3f = 3 Sf = 3 Uf If = 3 Uv Iv A teljestmnytnyez az egy fzis esethez hasonlan:

P3f

S3f = cos

Aszimmetrikus fogyaszt esetn a hromfzis hatsos s medd teljestmnyek az egyes

fzisok teljestmnyeinek sszegzsvel nyerhetk.

P3f = PA + PB + PC = UAf IAf cos A + UBf IBf cos B + UCf ICf cos C

Q3f = QA + QB + QC = UAf IAf sin A + UBf IBf sin B + UCf ICf sin C A hromfzis ltszlagos teljestmny nem a fzisteljestmnyek sszegzsvel, hanem a

Pitagorasz-ttel segtsgvel szmthat:

S3f = P3f2 + Q3f

2

Ebben az esetben a hromfzis hatsos s ltszlagos teljestmnyek viszonynak nincs fizikai

tartalma.

A hromfzis rendszerek s fogyasztk jellemzsre a gyakorlatban mindig a vonali

mennyisgeket s a hromfzis teljestmnyeket hasznljuk.

3.2 Mintapldk

3.2.1 Szimmetrikus csillag kapcsols

Egy hromfzis szimmetrikus csillag kapcsols fogyaszt felvett ltszlagos teljestmnye

6 kVA. A vonali feszltsg U400V, a fogyaszt teljestmny tnyezje cos 0,8 (induktv). Mekkora a fzisfeszltsg, a hatsos s medd teljestmny, a fzisram, a vonali ram, egy

fzis impedancija? Meghatrozand annak az ellenllsnak s reaktancinak az rtke,

amelyeket sorosan kapcsolva, eredknt a krdses impedancit kapjuk!

Megolds:

A fzisfeszltsg: Uf = Uv

3=

400

3= 230 V

A hatsos teljestmny: P = S cos = 6*0,8 = 4,8 kW

A medd teljestmny: Q = S sin = 6*0,6 = 3,6 kvar

A fzisram: If = S

3 Uf=

6000

3230= 8,7 A

A vonali ram: Iv = If = 8,7 A

Egy fzis impedancija: Z = Uf

If=

230

8,7= 26,4

Az ellenlls: Rs = Z cos = 26,4*0,8 = 21,1

A reaktancia: Xs = Z sin = 26,4*0,6 = 15,9

3.2.2 Szimmetrikus delta kapcsols

Egy hromfzis delta kapcsols szimmetrikus fogyaszt felvett hatsos teljestmnye 3 kW.

A vonali feszltsg U 400 V, a fogyaszt teljestmny-tnyezje cos 0,6.

25

Mekkora a fzisfeszltsg, a ltszlagos s medd teljestmny, a fzisram, a vonali ram, egy

fzis impedancija? Meghatrozand annak az ellenllsnak s reaktancinak az rtke,

amelyeket prhuzamosan kapcsolva, eredknt a krdses impedancit kapjuk!

Megolds:

A fzisfeszltsg: Uf = Uv = 400 V

A ltszlagos teljestmny: S = P

cos =

3

0,6= 5 kVA

A medd teljestmny: Q = S sin = 5*0,8 = 4 kvar

A fzisram: If = S

3 Uf=

5000

3400= 4,17 A

A vonali ram: Iv= 3 If = 3 * 4,17 = 7,21 A

Egy fzis impedancija: Z = Uf

If=

400

4,17= 95,9

Az ellenlls: Rp = Z

cos =

95,9

0,6= 160

A reaktancia: Xp = Z

sin =

95,9

0,8= 120

3.2.3 Aszimmetrikus csillag kapcsols

Egy hromfzis, U100V vonali feszltsg, ngyvezets hlzatra az bra szerinti

fogyasztkat kapcsoljuk. Szmtsuk ki a fzisramokat, majd a kapcsols fazorbrja

segtsgvel, a nulla vezetben foly ramot!

Adatok: R10 , XL30 , XC30

Megolds:

A fzisfeszltsg: Uf = Uv

3=

100

3= 57,7 V

Az egyes fzisok rama: IA = Uf

XL=

57,7

30= 1,92 A

IB = Uf

XC=

57,7

30= 1,92 A

IC = Uf

R=

57,7

10= 5,77 A

A csillagpontra felrva Kirchhoff csomponti trvnyt:

IN = IA + IB + IC

26

A fazorbra:

Az bra elksztsnek menete:

- kiindulsknt felvesszk a fzisfeszltsgek szimmetrikus rendszert (UA , UB , UC), - berajzoljuk a fzisramokat (IA 90

o-ot ksik UA-hoz kpest, IB 90o-ot siet UB-hez

kpest, ICfzisban van UC-vel.) - ha a fzisramok sszegzst IA + IB-vel kezdjk, akkor eredjk egy egyenesbe

esik az IC-vel, gy algebrai klnbsgknt szmthatjuk az IN nagysgt.

IN = IC 2*IA*cos 30o = 5,77 2*1,92*

3

2 = 2,44 A

3.2.4 Aszimmetrikus delta kapcsols

A brn lthat hromfzis fogyaszt rendszer adatai: U400 V, R23 , XL40 ,

XC40 . Mekkork a fzisramok? Rajzoljon fazorbrt, majd ez alapjn hatrozza meg a

vonali ramok nagysgt!

Megolds:

Az egyes fzisok rama: IAB = Uf

R=

400

23= 17,4 A

IBC = Uf

XC=

400

40= 10 A

ICA = Uf

XL=

400

40= 10 A

27

A fazorbra:

Az bra elksztsnek menete:

- kiindulsknt felvesszk a vonali feszltsgek szimmetrikus rendszert

(UAB , UBC , UCA), - berajzoljuk a fzisramokat (IAB fzisban van UAB-vel, IBC 90

o-ot siet UBC-hez kpest, ICA 90

o-ot ksik UCA-hoz kpest.) - a vonali ramok a csomponti trvnyek alapjn:

IA = IAB ICA IB = IBC IAB IC = ICA IBC A fzisramok nagysga s a fzishelyzetek alapjn az IA, IB, IC vonali ramok szablyos hromszget alkotnak, nagysguk:

IA = IB = IC = 10 A

A feladat megoldsa a komplex szmtsi mdszer alkalmazsval:

A fzisfeszltsgek:

UAB = 400 V (vals)

UBC = 400 ej

2

3

UCA = 400 e+j

2

3

A fzisramok:

IAB = UAB

R=

400

23= 17,3 A

IBC = UBC

XC=

400 ej23

40 ej2

= 10 ej 6 A = (8,66 j 5) A

ICA = UCA

XL=

400 e+j23

40 e+j2

= 10 e+j 6 A = (8,66 + j 5) A

A vonali ramok:

IA = IAB ICA = 17,3 8,66 j5 = 8,66 j5 = 10 ej

6 A

IB = IBC IAB = 8,66 j5 17,3 = 8,66 j5 = 10 ej

5

6 A

IC = ICA IBC = 8,66 + j5 8,66 + j5 = j10 = 10 ej

2 A

28

3.3 Gyakorl feladatok

1. Egy hromfzis, szimmetrikus, csillag kapcsols fogyaszt fzisonknti

impedancija komplex alakban Z=(16 + j12) . A hlzatbl felvett rama 11,5 A. Hatrozza meg a fogyaszt:

a) fzisramt,

b) fzisfeszltsgt,

c) vonali feszltsgt,

d) hatsos, medd s ltszlagos teljestmnyt

e) teljestmnytnyezjt.

(Eredmnyek: If = 11,5 A, Uf = 230 V, Uv = 400 V, P = 6350 W, Q = 4760 var, S = 7940 VA,

cos = 0,8.)

2. A 400 V-os, hromfzis hlzatra kapcsolt, szimmetrikus csillag kapcsols fogyaszt hatsos teljestmnye 8 kW, teljestmnytnyezje 0,8 (induktv).

a) Szmtsa ki a fogyaszt ltszlagos s medd teljestmnyt!

b) Mekkora a fogyaszt fzisfeszltsge?

c) Mekkora a fogyaszt fzisrama?

d) Mekkora a vonali ram?

e) Hatrozza meg a fogyaszt egy fzisnak ellenllst s induktv reaktancijt soros

sszetevk felttelezsvel! (Eredmnyek: S = 10 kVA, Q = 6 kvar, Uf = 230 V, If = 14,5 A, Iv = 14,5 A, R = 12,7 ,

XL = 9,52 .)

3. Egy hromfzis, szimmetrikus, delta kapcsols fogyaszt fzisonknti impedancija

Z = (60 + j80) . A fogyasztt 400 V vonali feszltsg hlzatra kapcsoljuk. Szmtsa ki a fogyaszt:

a) fzisfeszltsgt,

b) fzisramt,

c) vonali ramt,

d) ltszlagos, hatsos s medd teljestmnyt,

e) teljestmnytnyezjt.

(Eredmnyek: Uf = 400 V, If = 4 A, Iv = 6,93 A, S = 4,8 kVA, P = 2,88 kW,

Q = 3,84 kvar, cos = 0,6.)

4. Egy hromfzis, szimmetrikus delta kapcsols fogyaszt ltszlagos teljestmnye 9 kVA, a hlzat vonali feszltsge 400 V. A kapacitv fogyaszt teljestmnytnyezje

cos =0,6. Mekkora:

a) a vonali ram,

b) a fzisram,

c) a hatsos s a medd teljestmny,

d) az egy fzisban lv impedancia? Meghatrozand az az ellenlls s reaktancia,

amelyek prhuzamosan kapcsolva eredl a krdses impedancit adjk!

(Eredmnyek: Iv = 13 A, If = 7,5 A, P = 5,4 kW, Q = 7,2 kvar, Z = 53,3 , R = 88,9 ,

XC = 66,7 .)

A kvetkez, aszimmetrikus hromfzis fogyasztra vonatkoz feladatok mindegyike

megoldhat mind a komplex lersmd segtsgvel, mind pedig fazorbrk segtsgvel, az

ramok nagysgnak s fzishelyzetnek rajz alapjn trtn meghatrozsval.

29

5. A 190 V-os hromfzis, ngyvezets rendszerre csatlakoztatjuk az bra szerinti fogyasztt. Hatrozza meg az egyes fzisok, valamint a nulla vezet ramt.

Adatok: XL = 220 , XC = 110 .

(Eredmnyek: IA = 0,5 A, IB = IC = 1 A, IN = 1,5 A.)

6. Az brn lthat hromfzis fogyaszt adatai: U = 141 V, R = XL = XC = 100 .

a) Hatrozza meg a fzis s a vonali ramokat. b) Mekkora a fogyaszt ered medd teljestmnye?

(Eredmnyek: IAB = IBC = ICA = 1 A, IA = 1,94 A, IB = 1,73 A, IC = 0,518 A, Q = 100 var.)

7. Hrom darab 1000 W-os ellenlls csillag kapcsolsban csatlakozik a 400 V-os

hlzatra. Mekkork az egyes vezetkben

foly ramok, ha az A fzis vezetje

megszakad s (a) a csillagpont ssze van

ktve a nullvezetvel, (b) nincs sszektve.

(Eredmnyek: (a) IA = 0, IB = IC = IN = 4,38 A, (b) IA = 0 A, IB = IC = 3,81 A)

30

8. A gyakorlatban sokszor szksges a hrom fzis sorrendjnek megllaptsa, ennek az egyik lehetsges mdja az optikai fzissorrend mutat, amely tulajdonkppen egy

specilis aszimmetrikus terhels. (Pozitv a fzissorrend, ha az U1-hez kpest 120o-ot

ksik az U2 s 240o-ot az U3. Negatv sorrend esetn az U1-hez kpest az U3 ksik 120

o-

ot az U2 s 240o-ot.) Kssnk egy kondenztort s kt azonos nagysg ellenllst

hrom vezetkkel a hlzatra az brn lthat kapcsolsban. Alkossanak a hlzat U1,

U2, U3 fzisfeszltsgei szimmetrikus rendszert, ahol a feszltsgek nagysga Uf,

azonkvl a fogyasztra teljesl az R = XC felttel. Mivel a csillagpontok nincsenek

sszektve, azok kztt U00 feszltsgklnbsg lp fel. Hatrozza meg az fogyaszt

aszimmetrikus fzisfeszltsgeit!

(Eredmnyek: UA = 1,34Uf /-270o,) UB = 1,5 Uf /-102

o, UC = 0,4 Uf /139o; a szmtsok sorn

az U1 feszltsget tekintettk valsnak. Az eredmnyekbl ltszik, hogy amennyiben az

ellenllsokat 1-1 izz kpviseli, akkor a B fzisban lv sokkal ersebben vilgt, mint a C

fzisban lv. Az is belthat, hogy fordtott fzissorrend esetn a C fzisban lv izz fog

ersebben vilgtani, gy a kapcsols alkalmas a fzissorrend indiklsra.)

Irodalom

1. Uray Vilmos dr. Szab Szilrd: Elektrotechnika, Tanknyv, Tanknyvkiad, Budapest, 1981.

2. Tevann Szab Jlia: Feladatgyjtemny I., Kzirat, Tanknyvkiad, Budapest, 2000.

3. Demeter Krolyn Dn Gbor Szekr Kroly Varga Andrea: Villamossgtan I.

(buda) 4. vltozatlan utnnyoms, BMF-KVK, 2006.

Documents

Áramkör számítási példák és feladatok - uni-miskolc.huelkrad/Villamossagtan I - peldak_feladatok.pdf · MISKOLCI EGYETEM Elektrotechnikai-Elektronikai Intézeti Tanszék VILLAMOSSÁGTAN