RECREACIN VIRTUAL EN CATIA V5 DEL PRIMER RELOJ DE PENDULO DE CHRISTIAAN HUYGENSBERMEJO HERRERO, Miguel; DEL RO CIDONCHA, M Gloria; GONZLEZ CABANES, Francisco Javier; MARTNEZ PALACIOS, Juan; Universidad de Sevilla, Espaa Escuela Superior de Ingenieros, Departamento de Ingeniera Grfica e-mail: mbermejo@esi.us.es, cidoncha@esi.us.es, fjgonzalez@endesaingenieria.es, juanmp@esi.us.es

RESUMENEl objetivo de este trabajo ha sido la reconstruccin grfica tridimensional del primer reloj de pndulo, diseado en el ao 1657, por el astrnomo holands Christiaan Huygens, y materializado un ao despus por el relojero de La Haya, Salomn Coster, quin lo patento con el consentimiento de su inventor. Partiendo de la descripcin que hace Huygens en su libro Horologium Oscillatorium, y del nico dibujo de conjunto que lo ilustra, se ha realizado un completo diseo de todas las piezas, generado todos los montajes necesarios para componer el mecanismo y verificado su correcto funcionamiento, gracias a la simulacin de la cinemtica de sus movimientos, elaborada con la herramienta DMU Kinematics Simulator de la aplicacin CATIA V5 R11, con la que se han materializado todos los diseos. Independientemente de la propia comprensin del funcionamiento del mecanismo, los principales retos que se han afrontado son: los diseos en los engranajes de diferentes perfiles de dientes, para los que se ha utilizado el mtodo del Odontgrafo de Grant; el diseo de las piezas de chapa de forma cicloidal; la simulacin del movimiento del pndulo, y en especial el comportamiento de las cuerdas que soportan la masa. Palabras clave: Realidad Virtual, Simulacin Cinemtica, Animacin, Investigacin histrica, CAD, CATIA.

ABSTRACTThe aim of this project was the three-dimensional graphic reconstruction of the first grandfather clock, designed in 1657, by the Dutch astronomer Christian Huygens, carried out, a year later, by the clockmaker Salomon Coster from The Hague, who patented it with its creator authorization. Taking as the starting point the description made by Huygens in his book Horologium Oscillatorium, and the only draw of the group which illustrates it, a full design of every pieces was created, generating all required assembly to compose the mechanism and verifying its proper operation, thanks to the kinematics of its movements simulation, made with DMU Kinematics Simulator tool from CATIA v5, the one used in the working out of every design. Regardless of the understanding of the mechanism working, the main challenges faced are: different cogs profile design in the gear, designed by the Grants odontographist; the design of the pieces of plate in a cycle form; pendulum movement simulation; and specially the behaviour of the ropes that support the mass. Key words: Virtual Reality, Cinematic Simulation, Animation, Historical research, CAD, CATIA.

1. IntroduccinEl trabajo que se presenta, consiste en la investigacin histrica, posterior modelado y animacin con CATIA V5 de un mecanismo clsico, el primer reloj de pndulo diseado en 1657 por Christiaan Huygens. Su eleccin se debe al inters histrico que an despierta, y al importante avance que supuso ser el primer medidor fiable del tiempo, gracias especialmente al uso que hace de las propiedades de la cicloide.

2. Evolucin histrica de la HorologaEn la Antigedad no se tena otra medida del tiempo ms que la salida, el cenit o la cada del sol (maana, medioda y noche). Los primeros relojes fueron, por tanto, el de sol o Gnomon, con posterioridad el de arena, y en Asia el de agua. Pero no es hasta el siglo XI, cuando aparecen los primeros relojes con engranajes, y en el siglo XV Brunelleschi fabrica el primer reloj impulsado por un resorte. Los grandes descubrimientos geogrficos, y los avances estratgicos derivados por las necesidades polticas y econmicas del siglo XVI, desarrollan el inters por la exactitud en la medida del tiempo y paralelamente la precisa determinacin de la longitud en altamar. Como consecuencia de esto, se inventan el reloj lunar y los de estrellas o astronmicos. El punto de inflexin en la horologa de precisin, llega en el XVII de la mano de avances como: el pndulo regulador de engranajes de Huygens, los descubrimientos de Hooke referentes al Escape de Ancora, y la ley de la elasticidad o el primer cronmetro de bolsillo con resorte en el escape de Hooke y Huygens. En el siglo XVIII, John Harrison resuelve el problema de la longitud y los matemticos, relojeros e ingenieros se dedican al perfeccionamiento de elementos como el perfil de los dientes o la compensacin del pndulo. Ya en el siglo XIX, la tecnologa relojera llega a lo ms alto, alcanzando una precisin inimaginable aos atrs, al beneficiarse de los desarrollos mecnicos surgidos durante la Revolucin Industrial. La historia del reloj est en sincrona con la evolucin del ingenio humano. El reloj mecnico es el mecanismo puro, la mquina excelsa. Todos los ingenios y artilugios que hicieron realidad la automatizacin, derivan de este primitivo mecanismo.

3. Horologium Oscillatorium. El reloj de pndulo de Christiaan HuygensChristiaan Huygens, fsico, matemtico y astrnomo holands, naci en La Haya en 1629. Las contribuciones de Huygens a la Astronoma son muchas y muy importantes: perfecciona el ocular del telescopio de Kepler, descubre Titn, el mayor satlite de Saturno y la nebulosa de Orin. En 1656 invent, patentado en 1657 por Salomn Coster, el reloj de pndulo, tras agregar un pndulo a un reloj impulsado por pesas, de modo que el reloj mantiene en movimiento al pndulo y ste regula la marcha de aquel. En 1673 public su obra Horologium Oscillatorium, en la que presenta importantes aspectos de la teora del pndulo y la frmula:

la cual, constituye un mtodo prctico para medir la aceleracin de la gravedad, y sus variaciones con la altura y la latitud. Construy luego un cronmetro porttil, basado en la doble suspensin del pndulo entre chapas cicloidales, destinado a facilitar a los marinos la determinacin de la longitud geogrfica en el mar, pero no tuvo xito. Es considerado por muchos el inventor del escape con resorte espiral. En 1674, en seria competencia con Hooke, lo aplico al primer reloj-cronmetro de bolsillo.

El Horologium Oscillatorium o The Pendulum Clock en su traduccin al ingls, es la obra cumbre de Christiaan Huygens, en la que describe el primer reloj de pndulo iscrono y estudia las propiedades de la cicloide y las curvas geomtricas en general. Est dividido en: I. II. Una descripcin del Reloj de Pndulo La cada libre de cuerpos y su movimiento sobre la cicloide.

III. La Evolvente y dimensiones de lneas curvas. IV. El Centro de Oscilacin.V.

Otra construccin del reloj en la cual el movimiento del pndulo es circular y tambin enuncia algunos Teoremas sobre la Fuerza Centrfuga.

El trabajo, aqu presentado, se apoya en los tres primeros apartados. Resaltar que el libro original se escribi en latn, y aunque existe una traduccin al ingls de la obra, no se ha tenido acceso a ella. La investigacin se ha realizado con un ejemplar en latn, de la biblioteca de la Facultad de Filosofa de Sevilla. En la primera parte se habla en general de las piezas que componen el reloj, del nmero de dientes que tiene cada engranaje, de la velocidad a la que se debe mover cada eje; pero nada de la forma y dimensin de cada pieza. Indicar que las dimensiones de cada pieza son decisiones tomadas en la elaboracin de este trabajo, y que el diseo ha tratado de ajustarse en la medida de lo posible al nico dibujo que aparece del conjunto en el libro, y que es mostrado en la figura 1.

Figura 1: Reloj de Pndulo Iscrono de C. Huygens. Extrado del Horologium Oscillatorium En la segunda y tercera partes de la obra, se enuncian y demuestran los fundamentos tericos para conseguir la isocrona del pndulo:

Tautocrona de la cicloide: si un punto se desplaza a lo largo de la curva invertida, en cada libre, llegar al punto mnimo de la cicloide en un tiempo que no depende del punto desde el que comenz a caer. Isocrona: los movimientos iscronos son aquellos que se producen en tiempos iguales Evoluta de una cicloide: es la misma cicloide, desplazada con respecto a la primera

Con ellos, Huygens oblig al pndulo a moverse tangente a dos chapas cicloidales, as el extremo describe esa misma cicloide y por tanto una trayectoria tautcrona, lo que se traduce en un movimiento iscrono del mismo, consiguiendo que el pndulo tenga un periodo constante e independiente de la amplitud.

4. Dimensionado y diseo de las piezas.En cuanto a dimensionamiento, podemos considerar en el reloj dos partes bien diferenciadas: el tren de engranajes, y el pndulo con las chapas cicloidales y la sujecin (Gnomon P), cuyo dimensionamiento si queda explicado detalladamente en el libro. En este apartado se ha usado el mdulo Part Design auxiliado del Sketcher 4.1. Tren de engranajes Por razones estticas se decidi que el tren de engranajes en su conjunto midiera verticalmente un tercio o a lo sumo la mitad de la longitud del pndulo, por tanto, suponiendo que el dibujo est al menos proporcionado (suposicin que apreciando el resultado final del diseo, result ser correcta), se estim que el dimetro primitivo de la rueda de mayor tamao, la C, que es de 80 dientes, sea de unos 200mm, con lo que:

m=

p d 200 mm = = = 2.5 3 80 z

Se toma un mdulo para los engranajes de 3, aunque despus variar en algunos casos cuando se realice el dimensionamiento fino y el diseo de las distintas piezas. El resto de parmetros y piezas no precisan de un predimensionado, pues, una vez que se tienen diseados los diversos engranajes y ruedas especiales, queda fijada la distancia entre ejes y, por tanto las dimensiones necesarias. Se procede a realizar su diseo en 3D, haciendo uso del mdulo Assembly Design A la hora de seleccionar el perfil de los dientes del engranaje se necesita que, el movimiento uniforme de uno de ellos en un par, transmita otro movimiento uniforme, y adems la transmisin debe producirse de manera continua. Estas condiciones son cumplidas por varias curvas, como: la cicloide, la epicicloide, la hipocicloide y la evolvente del crculo. La razn de mayor peso para la eleccin de los engranajes con perfil de evolvente es que se pueden trazar con arcos de circunferencia, prescindiendo de su trazado terico a mano alzada y del consecuente error que ello produce; y los resultados, verificados con el mdulo de simulacin de movimientos DMU Kinematics de CATIA han sido buenos, no producindose contactos ni penetraciones entre los distintos engranajes. De entre los mtodos existentes para el trazado del perfil de los dientes, se ha elegido el Odontgrafo de Grant. Este mtodo aproxima el perfil evolvente de los dientes por arcos de circunferencias, pero la curva resultante difiere muy poco del perfil terico y, los resultados satisfacen bien los requerimientos del proyecto.

Los parmetros de diseo de ruedas y piones se han elegido teniendo en cuenta los requerimientos del mtodo de trazado elegido, as como las condiciones bsicas de ruedas y piones que engranan. Como excepcin, los engranajes del EJE 4: y S, y los dos ltimos del EJE 1: y ; se han tenido que disear con un mdulo no normalizado, porque engranan en ejes paralelos dos a dos; por lo tanto, dichos engranajes deben de cumplir una condicin ms, a parte de tener mismo mdulo, la suma de sus dimetros primitivos debe ser la misma, y ser el doble de la distancia entre los ejes.

A excepcin de los que se engloban como Ruedas Especiales, el diseo del resto de engranajes es anlogo. Todos siguen ms o menos este patrn de diseo, que tambin queda reflejado en la figura 2: Un boceto o Sketch en el que se traza el perfil de un diente. Una extrusin o Pad de ese boceto. Una matriz circular o Circular Pattern de la extrusin anterior. Un agujero o Hole para alojarse en el eje correspondiente.

Figura 2: Patrn de diseo de engranajes De entre todas los engranajes que siguen este patrn de diseo merece la pena destacar la rueda C, de 80 dientes. El trazado de sus dientes no tiene nada de particular; pero al ser la rueda ms grande, para aligerar el Eje1, que soporta las pesas, y tambin por esttica, pues introduce dinamismo al reloj en su movimiento; se ha diseado como una rueda con brazos y nervios tanto en la llanta como en el cubo. Su resultado se muestra en la figura 3:

Figura 3: Rueda C 4.2. Lminas Cicloidales Estas piezas son la clave del xito de este reloj, y las causantes de que sea considerado el primer reloj fiable de la historia. El trazado de la cicloide se realiza siguiendo fielmente el mtodo que explica Christiaan Huygens en su libro; resultado sin ms de aplicar la definicin de esta curva como: la que describe un punto de una circunferencia que rueda sin deslizar sobre una recta.

Figura 4: Trazado de la cicloide segn Horologium Oscillatorium con CATIA V5

El comando Trace

de la barra

en

el

mdulo

DMU

Kinematics Simulator. como el de la figura 4.

es el utilizado para su trazado en CATIA con un modelo

Se indica a CATIA que dibuje la trayectoria de un punto de la circunferencia previamente definido, y se crea dicha curva en un archivo (.CATPart), con el que se puede trabajar. La aplicacin genera esta curva por una sucesin de puntos unidos por un spline como se observa en la figura 5.

Figura 5: Generacin de la cicloide Una vez obtenida la curva, elaborar las chapas es fcil por extrusin de un boceto cerrado que se crea a partir de la cicloide. El resultado queda reflejado en la figura 6:

Figura 6: Chapa cicloidal

5. Ensamblaje de subconjuntos y representacin del conjunto montadoEn el mdulo Assembly Design se genera el ensamblaje, es decir, se colocan las piezas en su posicin definitiva; proceso que se hace en dos pasos tras insertar las piezas. Primero se sitan aproximadamente, y luego se aplica una seria de restricciones que las deja en su posicin definitiva en relacin con el resto de piezas. Se muestra el ensamblaje, al igual que todas las piezas vistas hasta ahora, en modo constructivo, tal y como se obtienen directamente en CATIA, sin aplicarle ningn tipo de material. Siempre hay que fijar una pieza del ensamblaje, aplicndole la restriccin Fixing Component; en este caso se aplica a una chapa.

5.1. Subconjunto Pndulo El pndulo esta suspendido mediante dos cuerdas entre las lminas cicloidales, como muestra la figura 7 extrada del libro. Debido a la imposibilidad, que presenta CATIA V5 para el modelado de elementos flexibles como la cuerda, se modela el pndulo asemejndolo a una cadena simple, como se detalla en el apartado de Simulacin Cinemtica, donde tambin se crean unas animaciones en las cuales se aprecia que el comportamiento del modelo, se asemeja mucho a la realidad.

Figura 7: Pndulo segn Horologium Oscillatorium El conjunto del pndulo se representa en la figura 8, que incluye una captura del rbol de la geometra, donde se aprecian las diferentes piezas de este subconjunto:

Figura 8: Conjunto del pndulo y captura del rbol de su geometra En una aproximacin ms cercana, como la de la figura 9, se aprecian mejor los eslabones de la cadena que simulan la cuerda; y la mordaza, que une la cuerda con la parte rgida del pndulo.

Figura 9: Conjunto del pendulo montado con detalles de cadena y mordaza El peso conductor del pndulo, como explica Huygens en la obra, tiene la forma que se muestra en la figura 10 por motivos aerodinmicos, y lo describe como un cilindro que se alarga en punta hacia sus extremos

Figura 10: Peso conductor del pndulo 5.2. Ensamblaje completo El ensamblaje completo del reloj, se ha realizado por partes, es decir, haciendo pequeos montajes que despus se introducen en el ensamblaje del conjunto completo, como si fueran una pieza ms. Es lo que se llama en CATIA: Subensamblaje, y se ha llevado a cabo con las esferas, el disco segundero y el pndulo. CATIA considera cada subensamblaje rgido, con la posibilidad de flexibilizarlo usando el correspondiente comando, pero una vez flexibilizado se estima como un mecanismo independiente sin posibilidad de relacionarlo con otro. Por tanto, para la Simulacin Cinemtica, esto no es til. El resultado final, tras introducir todas las piezas con sus respectivas restricciones, es el que se muestra a continuacin en la figura 11.

Figura 11: Ensamblaje completo del reloj en modo constructivo

Figura 12: Ensamblaje completo del reloj renderizado En la imagen de la figura 12 ya se ha realizado un leve renderizado. Dando propiedades de material a cada pieza y jugando con el punto de luz, el efecto es mucho ms real. A lo que sera el modelo de la cuerda, es decir, a la cadena, se le ha dado aspecto visual de cuerda (figura 13), obteniendo un resultado satisfactorio.

Figura 13: Detalle de la cuerda y la esfera retocados virtualmente

Por ltimo, con el mdulo generador de planos de CATIA V5, Drafting, vista del perfil del reloj.

se ha creado una

Figura 14: Dibujo del libroHorologium Oscillatorium y Perfil del reloj realizado en CATIA Se puede apreciar comparando ambas vistas, que se ha conseguido, lo que desde un principio se pretenda: obtener un diseo proporcionado y lo ms parecido posible al modelo original.

6. Simulacin de la cinemtica de los montajes y animacin del relojEn este apartado se sintetizan las diferentes animaciones realizadas durante la ejecucin de este proyecto, usando el mdulo DMU Kinematics. El aspecto que presenta, en general, la rama del rbol de un mecanismo es:

Figura 15: Rama del rbol de un mecanismo

Para realizar la simulacin de un mecanismo, es condicin necesaria la existencia de una parte fija. Lo ms prctico es establecerla al principio y luego pasar a definir las uniones entre las distintas piezas. 6.1. Simulacin del movimiento del pndulo Realizar la simulacin del movimiento del pndulo con CATIA, presenta los siguientes problemas: La imposibilidad de modelar elementos flexibles, lo cual se soluciona modelando el pndulo como una especie de cadena de siete eslabones. Hacer que dicha cadena se adapte a las chapas cicloidales en su movimiento peridico; pues CATIA tiene la posibilidad de detectar contactos, pero si se tiene activada esta opcin, en el momento que lo hace detiene la simulacin.

Teniendo en cuenta lo anterior, el pndulo ha sido simulado de las dos formas que permite CATIA: por comandos, y a travs de funciones. La primera consiste en mover discretamente cada grado de libertad, a conveniencia; y la segunda, en imponer una funcin a cada grado de libertad conductor del mecanismo. Como se ha modelado el pndulo como una cadena, aunque se ha procurado que la apariencia sea la de una cuerda, en cada punto de unin entre eslabones habr un grado de libertad de giro, que sern los conductores del pndulo. Se ha usado la simulacin por comandos para demostrar, o ms bien comprobar, una de las importantes propiedades de la cicloide descubierta por Huygens, la evoluta de una cicloide es la propia cicloide desplazada y tambin de paso, verificar la buena aproximacin que supone el modelo realizado para el pndulo. El escenario sera el que se muestra en la figura 16 donde la cicloide de la base de madera y la de las chapas cicloidales es la misma pero desplazada.

Figura 16: Simulacin por comandos La utilizacin de la simulacin por funciones va a permitir animar el reloj en su conjunto; pues debido a la cantidad de piezas que se mueven a diferente velocidad cada una, y respecto a las dems; se hace prcticamente imposible, una sincronizacin discreta mediante comandos del mecanismo completo. Se empieza por recordar la funcin que describe el movimiento de un pndulo simple:

y= A sen (wt + )+B

A

B

o

t

Figura 17: Funcin que describe el movimiento de un pndulo simple Para que el pndulo comience a moverse en su punto de amplitud mxima = 90, y como debe marcar segundos:

= 180

seg

En este caso, se ha modelado la cadena como un pndulo compuesto, en el que cada eslabn describe un movimiento peridico simple respecto al anterior (figura 18):

modelo de pndulo

1

1(t)= 1 sen (180t -90)+ 1

2Chapa cicloidal

2(t)= (21) sen (180t - 90)+ ( 21)

3 3(t)= ( 32) sen (180t - 90)+ ( 32)

Figura 18: Modelado de la cadena como pndulo Para tener totalmente definidas las ecuaciones bastar con acotar los ngulos que en la posicin inicial, forman con la vertical los distintos eslabones. En las capturas mostradas de la animacin (figura 19), se aprecia lo aproximado de este modelo. La cuerda se va curvando antes de llegar a la chapa cicloidal, y justo en el momento de llegar ya tiene la forma de la chapa.

Aunque la cadena no se mueve exactamente como una cuerda, el fuste del pndulo si lleva el movimiento necesario para regular la marcha del reloj.

Figura 19: La cuerda se va curvando antes de llegar a la chapa cicloidal En la simulacin del tren de engranajes regulado por el pndulo, no se van a incluir la totalidad de las piezas, prescindiendo de las que dificultan la visualizacin del mecanismo, y de las que no desempean ninguna funcin en lo que a movimiento respecta, como el subensamblaje de Esferas y algn gnomon. Para establecer las relaciones entre ejes que engranan, uniones rgidas, etc., se muestra en la figura 20 un extracto del rbol donde aparece la unin del tipo engranaje o gear entre los ejes 1 y 2, que se compone a su vez de dos uniones de revolucin o revolute joints.

Figura 20: Extracto del rbol donde aparece la unin del tipo engranaje Adems, de las funciones ya vistas para el pndulo, se usan las siguientes funciones de simulacin de movimiento para el resto de grados de libertad conductores:para el giro del Eje 1 : = 360 hora 12 para el giro del Eje 5 : = seg Angulo de Palas para el giro del eje LM : = seno( 180t + 90 ) 25.09 2

El eje 1, obviamente ha de moverse a esa velocidad pues da los minutos, y el minutero da una vuelta por hora. El eje 5 se mueve a esa velocidad, simplemente deducindolo de las relaciones de transmisin entre ejes; y se ha tenido que usar ese grado de libertad como conductor por la imposibilidad de definir una Unin de Engranajes entre ejes perpendiculares. Por otro lado, el eje LM gira solidario con el pndulo, y el Angulo de Palas es igual a la amplitud del movimiento peridico de la varilla S. Una vez se fijan estos grados de libertad, el reloj se puede simular y generar los correspondientes videos. Para conseguir simulaciones en tiempo real lo que se hace es, en el momento de editarla, capturar tantos "Steps" como segundos tenga la animacin, porque CATIA inserta un "Step" cada segundo y despus a la hora de compilar el video, se disminuye el "Time Step".

Figura 21: Compile Simulation de CATIA El inverso de ese nmero es el nmero de "Steps" de interpolacin que CATIA introduce entre cada uno capturado al editar la simulacin, y stos no hacen ms que mejorar la calidad del video, con el consecuente aumento de tamao del archivo, sin aumentar la duracin de la pelcula.

7. ResumenComo se han puesto de manifiesto, los criterios de dimensionamiento adoptados han resultado acertados, obtenindose un Reloj proporcionado y bastante parecido al que Christiaan Huygens describe en su obra Horologium Oscilatorium. Destacar, la adecuada decisin de trazar el perfil de los dientes de los engranajes por el mtodo del Odontgrafo de Grant, que a pesar de ser aproximado ha cubierto perfectamente las necesidades. Puede resultar exagerado y poco esttico, el hecho de que la amplitud de oscilacin del pndulo sea tan amplia, pero es consecuencia del tipo de mecanismo de escape que usaba este reloj, el ms primitivo, como ya se ha comentado; pero era absolutamente necesaria una gran amplitud para su correcto funcionamiento. Indicar la complicacin que ha supuesto simular el pndulo por el pequeo tramo de cuerda que posee, y la imposibilidad de CATIA de modelar elementos flexibles, que se ha resuelto exitosamente con un mecanismo de cadena. Como conclusin final, destacar que las aplicaciones CAD, incorporan nuevas y potentes herramientas destinadas a la animacin y a la representacin de la realidad virtual; sirvindose de ellas se ha conseguido simular el movimiento completo del reloj, hacindolo funcionar y comprobando su puntualidad. Los autores de este artculo ponen a disposicin de museos, y otras entidades interesadas, el video demostrativo.

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The Science Museum en Londres (United Kingdom): http:// www.sciencemuseum.org.uk