Rasyonel ve RRasyonel say laR n İ ı ıFaRk ı

Rasyonel Sayı: a, b Z ve b≠0 olmak üzere

şeklinde yazılabilen sayılara Rasyonel sayı denir.

a

b

Rasyonel sayıların oluşturduğu küme Q (QuotientOran) ile gösterilir.

İrrasyonel Sayı: İrrasyonel sayı rasyonel olmayan sayı anlamına gelir.

Bu anlamda: a, b Z ve b≠0 olmak üzere

şeklinde yazılamayan sayılara İrrasyonel sayı denir.

a

b

Devirli ondalık açılımı

olmayan bir sayı nasıl

bir sayıdır?

Ö n e M l İ !

Her rasyonel sayıya karşılık gelen bir devirli ondalık açılım mutlaka vardır.

İrrasyonel sayılar kümesi Qı ile gösterilir.

Örnek: 3,574 Q

Q2,14

Verilen sayıları a, b Z ve b≠0 olmak üzere şeklinde yazmak istersek;

a

b

3,574=3,574 1000

1000x =

3574

1000

2,14=2,14141414… = x olsun.

2,1414141414… =

x100x

Burada; 2,14=x iken;

214,14=100x oldu Şimdi elde edilen verileri alt alta yazıp taraf tarafa çıkarma yaptığımızda:

214,14=100x

2,14= x

212,0 = 99x

212 = 99x 99 99

99

212x =

Burada taraf tarafa çıkardığımızda devreden sayının 0 olması amacıyla virgülden sonrası sadece devirli olan

14,2 14,214

ve devredeni aynı olan iki sayı elde ettik.

Bu amaçla yeni sayılar elde etmek için genişletme kullanıldığına dikkat edelim.

Örnek: açılımını rasyonel sayı şeklinde yazalım.

38,2

Örnek: açılımını rasyonel sayı şeklinde yazalım.

7,1

Ö N E M L İ !

Her rasyonel sayıya karşılık gelen bir devirli ondalık açılım mutlaka vardır.

Örnek: 1,565758596061… açılımını rasyonel sayı şeklinde yazalım.

Burada verilen açılımın devirli bir açılım olmadığı görülmektedir. Yani bu açılım rasyonel sayı olarak yazılamaz.

ıQ∈...615657585960,1

Bir Tam Sayının Negatif Kuvvetini Bulma

ETKİNLİK:Üslü sayılarla bölme yapalım.• Tabanları aynı üsleri 2 ile 10 arasında

olan iki üslü sayı alalım.

• Bu üslü sayıları (b>c) şeklinde yazalım.

• Her bir üslü sayıyı tekrarlı çarpım şeklinde açık ifade edelim.

• Şimdi elimizdeki ifadede sadeleştirmeleri yapalım.

• Elde edilen sonucu üslü olarak yazalım.

c

b

a

a

ÖNCELİKLE ÜSLÜ SAYILARLA YAPILAN İŞLEMLERİ ELE ALALIM TIKLAYINIZ

Etkinlikte istenenleri sırasıyla yerine getirelim:

72 42

2.2.2.2.2.2.22.2.2.2

2.2.2

32=

Bu etkinlikte gördük ki: Tabanları eşit olan iki üslü sayıdan biri diğerine bölünürken, bölünenin üssünden bölenin üssü çıkarılır.

ETKİNLİK: Bir üslü sayıyı iki üslü sayının bölümü şeklinde yazalım.

• Kuvveti 2 ile 10 arasında olan bir üslü sayı alalım.

• Bu sayının üssünü iki doğal sayının farkı şeklinde yazalım.

• Kuvvetteki fark işleminden yararlanarak ifadeyi bölme işlemi şeklinde yazalım.

255 7- 2

Etkinlikte istenenleri sırasıyla yerine getirelim:

=

2 =

7222

Örnek:

Örnekten de görüldüğü gibi bir tam sayının negatif kuvveti alınırken tabandaki sayının çarpma işlemine göre tersi alınıp kuvvet pozitif yapılır. Aynı durum rasyonel sayıların tümü için geçerlidir.

7

7 3

1

3

1

==

3.3.3.3.3.3.3.3.3

3.3

3

333

9

2927 === −−

Ondalık Kesirlerin veya Rasyonel Sayıların Kuvveti

Öncelikle rasyonel sayıların kuvvetini ele alalım.

dir. Yani ' n

nn

b

a

b

a =

olur. ......

.........

tan

tan

tan

n

n

en

en

en

n

b

a

bbb

aaa

b

a

b

a

b

a

b

a

==⋅⋅⋅=

∈

ba

üzere; olmak Q

Örnek:81

16

3

2

3

24

44

==

Örnek: ?7

52

=

Örnek: ?5

23

=

−

Negatif

bir rasy

onel sa

yının

tek kuv

veti alın

ırsa son

ucun

işareti

ne olur?

Negatif

bir rasy

onel sa

yının

çift kuv

veti alın

ırsa son

ucun

işareti

ne olur?

Şimdi ondalık sayıların kuvvetini ele alalım

Bir ondalık sayının kuvveti istendiğinde, öncelikle verilen ondalık sayıyı rasyonel hale getirirsek kuvvet almamız daha kolay olur.

Örnekler:

( ) 09,0100

9

10

3

10

33,0

2

222 ===

=1.)

2.) ( ) ?2,12

=

Sayıların Bilimsel Gösterimi

DÜNYA

AYGÜNEŞ

150000000 km 384403 km

Şekilde bir DNA modeli görülmektedir.

Yapılan araştırmalar DNA’nın genişliğinin:2,4 nanometre civarında olduğunu göstermektedir.

1 nanometre 1 milimetrenin milyonda biridir. Yani elimizdeki bir DNA’nın kaç milimetre olduğunu bulmak için 2,4’ü 1000000’a bölmek gerekir sonuç olarak:

mm1000000

4,2DNA’nın genişliği=

Bilimsel çalışmalarda bazen çok büyük ya da çok küçük sayılarla işlemler yapmak gerekebilir. Böyle bir durumda işlemlerde kolaylık sağlaması açısından sayıların bilimsel gösteriminden yararlanılır.

r.gösterimdi bilimsel gösterim şeklindeki 10.a

üzere;olmak Zn ise, 10a1 veRan

∈<≤∈

Şu ana kadar gördüğümüz çok büyük ve çok küçük sayıları bilimsel olarak gösterelim.

Dünya ile Güneşin arasındaki mesafe km. 150000000

tane8

000000001.5,1= 810.5,1=

DNA’nın genişliği mm. 1000000

4,2

tane6

0000001

4,2= 66

10.4,210

4,2 −==

Örnekler:

1.) ?03500000000 =2.) ?75,0 =3.) ?0035,0 =4.) ?10.3,110.2,7 135 =×−

5.) ( ) ( ) ?10.6,110.2,3 85 =÷−