“REFINAMIENTO DE MALLAS DE ELEMENTOS

“REFINAMIENTO DE MALLAS DE ELEMENTOS

FINITOS MEDIANTE FUNCIONES DE FORMA

SERENDIPITY”

Tesis para optar al título de:

Ingeniero Civil en Obras Civiles.

Profesor Patrocinante:

Sr. Pablo Oyarzún Higuera

Dr. Ing. Civil en Obras Civiles

SEBASTIAN ALONSO CERDA OJEDA

VALDIVIA – CHILE

2014

AGRADECIMIENTOS

Agradezco a Dios por darme salud y vida.

A mi Madre Juliana por su incondicional apoyo, amor y paciencia en todo este proceso.

A mi Abuela Loida por ser prácticamente mi segunda Madre, brindándome a su manera todo el amor y

cariño.

A mi Padre Ronaldo por sus sabios consejos y darme esa tranquilidad tan necesaria en estos días.

A mi polola Ángela por compartir conmigo esa gran alegría, fuerza y energía que la caracteriza.

A mi Profesor Guía por su generosa disposición y apoyo en la elaboración de esta memoria.

A todas las personas que me han acompañado y acogido bajo su alero otorgándome de manera

desinteresada valiosas enseñanzas (muchas veces sin siquiera saberlo) guiándome siempre por un buen

camino.

INDICE

RESUMEN ................................................................................................................................................................................. I

ABSTRACT............................................................................................................................................................................... II

CAPITULO 1: ANTECEDENTES GENERALES ................................................................................................................. 1

1.1 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ...................................................................................................................... 1

1.2 ESTADO DEL ARTE.................................................................................................................................................... 2

1.3 CONSIDERACIONES PRELIMINARES. ................................................................................................................... 3

1.4 OBJETIVOS .................................................................................................................................................................. 8

1.4.1 Generales ............................................................................................................................................................. 8

1.4.2 Específicos ........................................................................................................................................................... 8

1.5 METODOLOGÍA.......................................................................................................................................................... 8

CAPITULO 2: PROBLEMA DE VALOR DE CONTORNO EN ELASTICIDAD PLANA............................................ 10

2.1 PROBLEMA DE VALOR DE CONTORNO PARA UN SOLIDO BIDIMENSIONAL ............................................ 10

2.2 FORMULACIÓN VARIACIONAL ........................................................................................................................... 13

2.2.1 Método de Residuos Ponderados ....................................................................................................................... 14

CAPITULO 3: FORMULACIÓN VARIACIONAL DEL PROBLEMA DISCRETO .................................................... 16

3.1 FORMULACIÓN VARIACIONAL DISCRETA ....................................................................................................... 16

3.2 MATRIZ DE RIGIDEZ ............................................................................................................................................... 17

3.3 INTEGRACIÓN NUMÉRICA .................................................................................................................................... 19

3.4 MÉTODO DE RESOLUCIÓN DE ECUACIONES .................................................................................................... 20

CAPITULO 4: FUNCIONES DE FORMA ........................................................................................................................... 22

4.1 INTRODUCCIÓN ....................................................................................................................................................... 22

4.2 ESQUEMA DE INTERPOLACION USUAL PARA LA FORMULACIÓN DE FUNCIONES DE FORMA............ 22

4.3 ELEMENTOS ISOPARAMÉTRICOS ....................................................................................................................... 25

4.4 FAMILIA DE LAGRANGE ......................................................................................................................................... 26

4.5 FAMILIA SERENDIPITY ........................................................................................................................................... 32

4.5.1 Generación de funciones de forma Serendipity.................................................................................................. 34

4.6 FUNCIONES DE FORMA PARA ELEMENTOS DE TRANSICIÓN ....................................................................... 37

4.6.1 Elemento de transición de 5 nodos..................................................................................................................... 38

4.6.2 Elemento de transición de 6 nodos..................................................................................................................... 39

4.6.2.1 Elemento de transición de 6 nodos; configuración 1 .......................................................................................................39 4.6.2.2 Elemento de transición de 6 nodos; configuración 2 .......................................................................................................40

CAPITULO 5: IMPLEMENTACIÓN ................................................................................................................................... 41

5.1 LENGUAJE DE PROGRMACIÓN; FORTRAN ........................................................................................................ 41

5.2 ENTORNO; MICROSOFT VISUAL STUDIO 2010 .................................................................................................. 41

5.2.1 Características generales de Microsoft Visual Studio ........................................................................................ 42

5.2.1.1 Página de inicio ..................................................................................................................................................................42 5.2.1.2 Creación de subrutinas en código FORTRAN ..................................................................................................................42 5.2.1.3 Compilación ........................................................................................................................................................................44 5.2.1.4 Ejecución .............................................................................................................................................................................44

5.2.1.5 Herramientas de depuración..............................................................................................................................................45 5.3 FUNCIONAMIENTO PROGRAMA MEF .................................................................................................................. 46

5.4 SUBRUTINAS IMPLEMENTADAS ......................................................................................................................... 50

5.4.1 Subrutina “Elmt09.for” ..................................................................................................................................... 52



5.4.4 Subrutinas “Elmt12.for”, “Elmt13.for” y “Elmt14.for” ................................................................................... 55

5.5 VECTOR SKYLINE Y ENSAMBLAJE DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL ................................................... 56

CAPITULO 6: VALIDACIÓN ............................................................................................................................................... 59

6.1 INTRODUCCIÓN ....................................................................................................................................................... 59

6.2 FUNCIÓN DE AIRY .................................................................................................................................................... 59

6.3 FLAMANT PROBLEM .............................................................................................................................................. 60

6.3.1 Modelos propuestos ........................................................................................................................................... 64 6.3.1.1 IN_4-5_806N. ......................................................................................................................................................................65 6.3.1.2 IN_4_5243N. .......................................................................................................................................................................66 6.3.1.3 Abaqus_779Nquad. .............................................................................................................................................................67 6.3.1.4 Abaqus_779Ntri. .................................................................................................................................................................68 6.3.1.5 IN_4-6_9N y IN_4-6_9Nv2 ................................................................................................................................................69

6.3.2 Resultados y discusiones.................................................................................................................................... 70

6.3.3 Resumen............................................................................................................................................................. 77

6.4 PLACA BIDIMENSIONAL CON CARGA LATERAL ............................................................................................. 78

6.4.1 Modelos propuestos ........................................................................................................................................... 79

6.4.1.1 IN_4-5-6_715N ...................................................................................................................................................................79 6.4.1.2 IN_4-5_341N .......................................................................................................................................................................81 6.4.1.3 IN_4_2501N ........................................................................................................................................................................82 6.4.1.4 Abaqus_704Nquad ..............................................................................................................................................................83 6.4.1.5 Abaqus_704Ntri ..................................................................................................................................................................84 6.4.1.6 IN_4-6_12N y IN_4-6_12Nv2 ............................................................................................................................................85

6.4.2 Resultados y discusiones.................................................................................................................................... 86

6.4.3 Resumen............................................................................................................................................................. 89

CONCLUSIONES ................................................................................................................................................................... 90

RECOMENDACIONES PARA TRABAJOS FUTUROS ................................................................................................... 91

BIBLIOGRAFIA ..................................................................................................................................................................... 92

ANEXO A ................................................................................................................................................................................. 94

ANEXO B ............................................................................................................................................................................... 103

i

RESUMEN

En la presente memoria se estudia un procedimiento que permite efectuar refinamientos de malla

de forma sencilla empleando elementos geométricamente regulares. Esto se logra a través de elementos

de transición consistentes en aproximar la incógnita a nivel de elemento mediante funciones de

interpolación Serendipity, las cuales permiten el acoplamiento entre una malla altamente densa y una

menos refinada sin recurrir a la distorsión de elementos.

La investigación se enfoca en los resultados obtenidos a partir de dos problemas de elasticidad

plana, cuyos resultados numéricos son comparados con los resultados analíticos de diversos modelos

propuestos, con el fin de estudiar la conveniencia de emplear dichos refinamientos en zonas de

concentración de tensiones.

Algunos de los resultados indican que el empleo de elementos de transición para el refinamiento

de mallas simples, permiten obtener resultados satisfactorios que pueden ser utilizados como una

primera aproximación y/o para verificar modelos altamente densos de problemas de elasticidad lineal

bidimensional.

ii

ABSTRACT

A simple mesh refinement procedure is studied by using geometrically regular elements. The

unknown on the element (u) was approximated by serendipity shape functions, which allowed the

coupling between dense and poor meshes without distorted elements.

The analytic solutions of two plane elasticity problems were compared with the numerical

solutions of different kinds of meshes, studying the benefits of such refinements in stress concentration

areas.

The results indicated that simple meshes with transition elements were successful, allowing a first

approximation or verifying of dense meshes models in plane elasticity problems.

CAPITULO 1 – ANTECEDENTES GENERALES

1

CAPITULO 1: ANTECEDENTES GENERALES

1.1 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

Desde su aparición en la década del 50, el método de elementos finitos ha demostrado ser una

poderosa herramienta en diversas áreas de la ciencia, pudiéndose resolver de manera discreta y

aproximada problemas reales donde se dificulta el uso de una solución analítica.

Debido a la gran capacidad de los microprocesadores actuales el uso de este método se ha

masificado y establecido en una gran comunidad de ingenieros y científicos.

Paralelamente, igual de masiva ha sido la difusión de software, tales como SAP2000, Etabs,

PRO/Engineer, ABAQUS y muchos otros, que permiten a los ingenieros modelar y estudiar complejos

problemas con tal de predecir el comportamiento real que tendrá un prototipo en el futuro mediante un

entorno amigable. Una característica de dichos programas es la imposibilidad de visualizar o modificar

el código con el que operan actuando en forma de “caja negra”, relegando al usuario a confiar en sus

resultados. Sin embargo actualmente numerosos experimentos y modelos han permitido validar estos

programas, consolidándolos como las herramientas de uso más frecuente en diversos sectores del ámbito

profesional.

Las herramientas de discretización que poseen dichos programas permiten al usuario generar

mallas de elementos finitos de manera automática, requiriendo sólo de algunos parámetros como la

longitud tentativa del elemento, o el tipo de elemento (rectangular, triangular, hexaédrico, tetraédrico,

etc). Algunos algoritmos son capaces de efectuar refinamientos locales, siendo las mallas resultantes

caracterizadas por poseer forma altamente irregular. En otras aplicaciones el refinamiento local debe

llevarse a cabo manualmente, ya que la discretización es homogénea y con elementos de igual orden de

aproximación. Esto constituye una desventaja, puesto que disminuir el error implica aumentar la

densidad de malla en todo el modelo y, por lo tanto, aumentar también el costo computacional.

Resulta interesante proponer un modelo sencillo de discretización de elementos regulares que

permita al usuario corroborar resultados u obtener una primera aproximación mediante un modelo de

fácil implementación, pero que a su vez posibilite el refinamiento local mediante el acoplamiento de

elementos de transición en zonas de concentración de tensiones.


2

1.2 ESTADO DEL ARTE

En problemas de elasticidad plana, la bibliografía existente y el conocimiento general es muy

extenso, tornando al método de elementos finitos en una de las herramientas más utilizadas. Por ello,

muchas investigaciónes se han enfocado en el proceso de discretización de mallas, análisis del

comportamiento de elementos con distinto orden de aproximación, familias de elementos (Lagrange,

Serendipity, etc), formas geométricas, etc.

Lee & Bathe (1993) estudiaron la influencia de varios tipos de elementos cuadriláteros Serendipity

y Lagrangianos de alto orden en mallas distorsionadas, concluyendo que los elementos de la familia de

Lagrange presentan mayor estabilidad en la mayoría de los casos. Zienkiewicz & Taylor (1989) llegaron

a la misma conclusión, sin embargo la mayoría de los elementos de dicha familia presentan nodos

interiores que aumentan el costo computacional en relación a los elementos Serendipity. Además, se

menciona que los elementos de esta última familia permiten utilizar distinto orden de aproximación en

las caras o aristas de un mismo elemento, favoreciendo la generación de elementos de transición en zona

de concentración de tensiones, tornando a tal tipología como la más adecuada para efectuar

refinamientos de malla.

Respecto a la forma geométrica de los elementos que conforman una malla, en problemas de

tensión plana Celigüeta (2008) compara la precisión entre el elemento de forma rectangular y triangular

(ambos lineales), concluyendo que el elemento rectangular es más preciso que el triangular debido a que

el estado de deformación unitaria es aproximado por términos lineales, mientras que en el elemento

triangular posee solo términos constantes, debiéndose aumentar significativamente la densidad de la

malla para obtener una precisión similar. Sin embargo el autor también menciona la desventaja del

elemento rectangular de adoptar formas curvas en problemas de flexión, recomendando el uso de éste en

problemas de tracción o compresión pura.

Para el caso tridimensional Benzley et al. (1995) y Blacker (2001), mencionan que según las

situaciones de investigación y aplicación actuales sucede algo similar al caso bidimensional, ya que las

mallas de elementos hexaédricos presentan ventajas por sobre las mallas tetraédricas como resultados

más precisos, así como mejores tiempos de remallado. Sin embargo Stricklin et al. (1977) y Lee & Bathe

(1993) mencionan que cuando las mallas rectangulares o hexaédricas presentan elementos de geometría

altamente irregular, la precisión se ve altamente afectada, incluso en algunas ocasiones el proceso de

análisis debe ser detenido.

Frente a la situación no trivial de la elección de un tipo de elemento frente a determinado

problema, en la actualidad existen investigaciones que se enfocan en analizar nuevas metodologías que

permitan sortear estas dificultades, tales como el meshless method donde los problemas son modelados

utilizando un método que no requiere de la conformación de una malla, definiendo el dominio de un

problema utilizando solo las coordenadas nodales. Entre las principales formulaciones de este método se

pueden mencionar el método de Galerkin libre de elementos (EFG) desarrollado por Belytschko et al.

(1994), método de puntos finitos desarrollado por Oñate et al. (1996), método de los elementos difusos

(DAE) expuesto por Nayroles et al. (1992). La idea de este último es a partir de una de red de nodos y

una descripción de la frontera, sustituir la interpolación por partes que se realiza en el método de


3

elementos finitos, por un ajuste local a través de mínimos cuadrados ponderados que logre definir el

campo de aproximaciones alrededor de un punto o nodo.

1.3 CONSIDERACIONES PRELIMINARES.

La mecánica de los medios continuos permite formular gran parte de los problemas de Ingeniería a

nivel macroscópico donde el medio se considera continuo y por lo tanto los efectos de la constitución

molecular del material no son considerados. La mayoría de los problemas asociados a esta rama de la

mecánica están gobernados por ecuaciones diferenciales y su solución en la mayoría de los casos se hace

posible únicamente mediante algún método numérico como el MEF, diferencias finitas, etc. (Ribeiro,

2004).

La generación de mallas para la discretización de un continuo mediante elementos finitos es una

etapa importante, previa al análisis, ya que de ella dependerán dos factores relevantes para cualquier

estudio numérico: precisión y costo computacional. De esta manera, aumentando el número de

elementos generalmente lo hará también la precisión y el costo computacional (Chandrupatla &

Belegundu, 1999).

Por ello, diversos estudios se han realizado con el objetivo de desarrollar algoritmos que sean

capaces de optimizar y tornar más eficiente el proceso de generación de malla de elementos finitos.

Dichos algoritmos son altamente demandados en áreas como la industria aeronáutica, automotriz,

biomecánica, etc. donde los modelos son altamente complejos y el tiempo de análisis es un factor

fundamental.

Como primer intento de clasificar los diferentes enfoques y métodos para la creación de mallas de

elementos finitos, Ho-Le (1988) propone el esquema señalado en la Figura 1.1:

Figura 1.1: Clasificación métodos para generación de mallas.

Fuente: Ho-Le, 1988.


4

Los diferentes enfoques se describen sucintamente a continuación.

Enfoque de descomposición por tipologías (Topology docomposition approach): El objeto se

descompone en grandes elementos unidos por sus vértices que posteriormente son refinados para

cumplir con la densidad de malla deseada.

Figura 1.2: Topology Decomposition Approach.


Enfoque por conexión de nudos (Nodes conection approach): Método donde inicialmente se

generan los nodos para posteriormente unirlos y conformar los elementos.

Figura 1.3: Nodes Conection Approach.


Método basado en enmallado (Grid-Based Method): Método donde se genera una grilla que es

superpuesta en el objeto para formar una malla. Mediante ésta técnica se generan elementos interiores de

forma relativamente regular, sin embargo los elementos de contorno deben ser truncados y ajustados

manualmente. Puede observarse en la Figura 1.4 que en el contorno se generan elementos rectangulares

y triangulares distorsionados.

Figura 1.4: Grid-Based Method.



5

Actualmente este método es utilizado en el desarrollo de varios algoritmos para el refinamiento

local y presenta a su vez diferentes enfoques que pueden observarse en la Figura 1.5:

Figura 1.5: Comparación Grid-based. a) Grilla propuesta b) Método outside-in b) Método inside-out c) Método hibrido.

Fuente: Zhang et al., 2007.

Enfoque por elemento asignado (Mapped Element Approach): el objeto es subdividido en macro

elementos, posteriormente cada macro elemento se subdivide asignándoles una planilla unitaria de malla

(ver Figura 1.6). Este enfoque es utilizado por muchos generadores automáticos comerciales en la

actualidad.


6

Figura 1.6: Mapped Element Approach. a) Objeto dividido en 2 macro elementos b) Planilla unitaria de malla mapeada para

cada macro elemento c) Objeto con malla final.


Enfoque de mapeamiento conforme (Conformal Mapping Approach): Método donde se

construye un polígono “Q” en un espacio paramétrico con la misma cantidad de vértices que el objeto

“P” que se desea mallar, luego mediante la transformación de Schwarz-Christoffel esta malla es

superpuesta en el objeto P para conformar la malla final. Es un método que no presenta grandes

desarrollos en la actualidad.

Figura 1.7: Conformal Mapping Approach.


Enfoque de descomposición de geometría (Geometry Decomposition Approach): Este enfoque

presta más atención a la forma y tamaño de los elementos que conformarán el mallado final del objeto.

Existen algoritmos de tipo recursivos e iterativos. El método recursivo, por ejemplo, realiza una

descomposición geométrica subdividiendo el dominio en subdominios convexos. El contorno de cada

subdominio es dividido colocando nodos formando segmentos de la longitud que se desea tengan los

elementos. Luego se divide el subdominio mediante un segmento dividido por nodos trazado en el eje de

mayor longitud del subdominio. Finalmente se repite este paso hasta que solo triángulos o rectángulos

conformen el objeto.

En la actualidad se han desarrollado más métodos para la generación de mallas 2D y 3D tales

como Sweeping Method, Medial Surface Method, Whisker Weaving Method, Plastering Method, Hex-

dominant Method, Block-decomposition Methods, etc. que pueden caer fuera de la clasificación

propuesta por Ho-Le (1988).


7

Debido que la densidad y calidad de las mallas juegan un rol importante en la precisión y

eficiencia de los análisis numéricos, muchos estudios apuntan a la automatización completa de esta tarea

dejando en manos de los ordenadores el trabajo de los refinamientos locales.

Los trabajos de Zhang et al. (2007) y Sun et al. (2012) apuntan a esta labor creando algoritmos

que permiten el refinamiento local de sólidos empleando mallas hexaédricas a partir del Grid-Based

Method, como se muestra en las Figuras 1.8 y 1.9, respectivamente;

Figura 1.8: Refinamiento contorno malla hexaédrica.

Fuente: Zhang et al., 2007.

Figura 1.9: Refinamiento contorno y superficies interiores malla hexaédrica.

Fuente: Sun et al., 2011.


8

Pese a la dificultad en la generación de mallas de problemas geométricamente complejos, en la

actualidad el desarrollo y la investigación del análisis computacional mediante métodos de

procesamiento en paralelo junto a la gran capacidad que se espera tengan la siguiente generación de

microprocesadores, llevará al método de los elementos finitos a un nivel aún más sofisticado en un

futuro próximo.

1.4 OBJETIVOS

1.4.1 Generales

Proporcionar esquemas de refinamiento de elementos geométricamente regulares a través de

elementos de transición formulados con diferentes órdenes de aproximación, evitando la discretización

mediante elementos distorsionados.

1.4.2 Específicos

Incorporar subrutinas en el código FORTRAN entregado que permitan realizar refinamientos

locales de formas geométricamente regulares acoplando elementos de transición de 5 y 6 nodos.

Validar las subrutinas implementadas resolviendo problemas prácticos de tensión plana,

comparando resultados con el Software Comercial Abaqus/CAE versión Estudiante y los resultados

analíticos.

1.5 METODOLOGÍA

Como etapa previa a la implementación de las subrutinas de los elementos de transición en el

código FORTRAN entregado por el profesor guía, son determinadas las funciones de forma de los

elementos de 5 y 6 nodos verificando las exigencias de continuidad interelemental 𝐶0 mediante el

software Mathcad.

Posteriormente son estudiadas las funciones de las distintas subrutinas que componen el código

FORTRAN, principalmente aquellas que determinan la matriz de rigidez a nivel de elemento, ya que la

codificación de éstas representará la base para la elaboración de las subrutinas propuestas en la presente

memoria. En esta etapa son estudiadas también algunas herramientas para la edición, depuración y

compilación que posee el entorno de desarrollo integrado Microsoft Visual Studio 2010.

Una vez implementadas las subrutinas se procede a la depuración del código con el fin de evaluar

la estabilidad del programa verificando que las subrutinas implementadas no generen conflictos con las

subrutinas previamente confeccionadas, realizando para ello ejemplos sencillos mediante acoplamientos

de distintos tipos de elementos e introduciendo puntos de interrupción de ejecución en las líneas del

código con el objetivo de verificar valores numéricos de algunas constantes.


9

Luego de finalizado el proceso de depuración, se procede a estudiar las soluciones analíticas de

dos problemas de elasticidad lineal a fin de comparar dichas soluciones con los resultados numéricos

obtenidos de los modelos constituidos con elementos de transición y los modelos propuestos en

Abaqus/CAE.

.

CAPITULO 2 – PROBLEMA DE VALOR DE CONTORNO DE ELASTICIDAD PLANA

10

CAPITULO 2: PROBLEMA DE VALOR DE CONTORNO EN ELASTICIDAD PLANA

2.1 PROBLEMA DE VALOR DE CONTORNO PARA UN SOLIDO BIDIMENSIONAL

El problema de valor de contorno consiste en determinar una solución que satisfaga una ecuación

diferencial en un dominio dado, conociendo los valores que dicha función y/o sus derivadas adquieren

en el contorno del dominio. Un tipo de enfoque para la formulación integral equivalente surge a partir

del cálculo variacional.

Esta rama del análisis matemático permite disponer de técnicas consistentes para la obtención de

soluciones aproximadas, para ello es necesario como requisito previo conocer el funcional equivalente a

la ecuación que gobierna el problema.

Los métodos variacionales pueden resolver problemas siempre y cuando las soluciones a dicho

problema permitan una formulación variacional. Esto significa determinar funciones que además de

satisfacer las condiciones de borde, sean diferenciables hasta el orden necesario y que encuentren un

punto estacionario del funcional. Lo anterior corresponde a la definición de funciones admisibles.

Algunos métodos como el método de los trabajos virtuales o el método de la energía potencial total son

muy usados en problemas estructurales. El método de los residuos ponderados es también otro método

de uso más general que permiten obtener la formulación variacional del problema de valor de contorno.

A continuación se presentan las ecuaciones del problema de valor de contorno correspondiente a

un sólido elástico bidimensional, homogéneo, de acuerdo a lo señalado en la Figura 2.1:

Figura 2.1: Sólido bidimensional.

Fuente: Ribeiro, 2004.


11

Ecuación de equilibrio:

0 en T bL (2.1.1)

Relación constitutiva:

= D (2.1.2)

Relación Deformación-Desplazamiento:

= uL (2.1.3)

Condición de contorno natural:

; en subdominio qn T t (2.1.4)

Condición de contorno esencial:

; en subdominio uu u (2.1.5)

donde:

; Fuerzas de volumenx

y

b

b

b

; Campo de desplazamientos (incognitas)x

y

u

u

u

; Deformaciones específicas

x

y

xx

; Desplazamientos prescritos en el contorno (restricción de apoyo)x

u

y

u

u

u

0

0 ; Operador diferencial

x

y

y x

L


12

; Tensor de tensiones de elemento bidimensionalx xy

yx y

T

; Vector de tensiones

x

y

xy

; Tracciones de superficie en el contorno qt

; Matriz constitutiva del materialD

Aplicando el operador diferencial a la ecuación de equilibrio (2.1.1) se tiene;

0xyx

xbx y

(2.1.6)

0y yx

yby x

(2.1.7)

De la relación constitutiva (2.1.2) se obtienen las componentes del tensor de tensiones:

x xD (2.1.8)

y yD (2.1.9)

xy xyD (2.1.10)

De la relación deformación-desplazamiento (2.1.3), se obtienen las componentes del vector de

deformaciones unitarias:

xx

u

x

(2.1.11)

y

y

u

y

(2.1.12)

+yx

xy

uu

y x

(2.1.13)

De la ecuación de condición de contorno natural (2.1.4), considerando el caso bidimensional se tiene;

x x xy y xn n t (2.1.14)

y y yx x yn n t (2.1.15)


13

Para las condiciones de contorno esenciales, de la relación (2.1.5) ;

x xu u (2.1.16)

y yu u (2.1.17)

2.2 FORMULACIÓN VARIACIONAL

Muchos de los fenómenos físicos son descritos por ecuaciones diferenciales cuyas soluciones

muchas veces no pueden ser determinadas directamente. La formulación variacional de un problema

gobernado por dichas ecuaciones, es una alternativa para encontrar una solución planteando las

ecuaciones en forma integral con el objetivo de reducir las restricciones propias del problema diferencial

haciendo más adecuado su tratamiento. La idea puede esquematizarse planteando la formulación

variacional de la siguiente ecuación diferencial.

Dados f(x) y g, determinar u(x) tal que;

2

2( ) 0 en [0,1]

d uf x

dx (2.2.1)

donde

(1) 0 ; (condición de contorno esencial)

(0) ; (condición de contorno natural)

u

dug

dx

Dados f(x) y g, determinar ( ) | ( )u x U w x W

1 1

0 0

(0)du dw

dx fw dx gwdx dx

(2.2.2)

donde

21

0

( ) | (1) 0, du

U u x u dxdx

21

0

( ) | (1) 0, dw

W w x w dxdx

conforman espacios de funciones admisibles y de ponderación, respectivamente. De esta manera la

ecuación (2.2.2) representa la formulación variacional de la ecuación diferencial (2.2.1).

Dentro de los métodos más conocidos para la formulación variacional podemos mencionar el

método de Rayleigh-Ritz y el método de residuos ponderados, que a su vez se subdivide en método de

los momentos, de colocación, subregiones, Galerkin, entre otros, diferenciándose en las funciones de

ponderación utilizadas.


14

En la sección siguiente se detalla este último método y se realiza la formulación variacional del

sólido elástico bidimensional homogéneo mostrado en la Figura 2.1.

2.2.1 Método de Residuos Ponderados

El MRP es un método variacional que posee la característica de tener una aplicación más general

en relación a otros métodos y puede ser utilizado en muchos de los problemas relacionados con la

mecánica del continuo. La idea es ajustar parámetros y funciones de base (también llamadas de forma),

reduciendo en sentido promedio, el error que se genera al resolver un problema de ecuaciones

diferenciales, utilizando para ello funciones aproximadas del tipo:

1

( )n

i i

i

u x

(2.2.3)

donde

i ; parámetros ajustables

i ; funciones de base

Para plantear la idea de éste método, empleamos la función ( )u x para aproximar la ecuación

(2.2.1) en lugar de la solución exacta u(x), de lo anterior se obtiene un error o residuo definido como:

( ) ( )R u x u x (2.2.4)

Para reducir dicho residuo sobre el dominio Ω, se plantean expresiones integrales que ponderan a

𝑅Ω de distintas maneras y cuya forma general se describe a continuación:

( ) 0 ; con 1,...,i iW u u d W R d i n

(2.2.5)

donde iW es el conjunto de funciones de peso o funciones de ponderación.

Siguiendo el esquema planteado, se realiza la formulación variacional del problema de contorno

para el caso del solido bidimensional descrito anteriormente.

Aplicando el MRP a las ecuaciones (2.1.6) y (2.1.7) se tiene:

0xy y yxx

x x y yb w b w dx y y x

(2.2.6)

donde ,x yw w son las funciones de ponderación.

Integrando por partes la ecuación (2.2.6) se tiene:


15

x xx x x x x

ww d n w d d

x x

(2.2.7)

xy x

x xy y x xy

ww d n w d d

y y

(2.2.8)

yx y

y yx x y yx

ww d n w d d

x x

(2.2.9)

y y

y y y y y

ww d n w d d

y y

(2.2.10)

Sustituyendo (2.2.7), (2.2.8), (2.2.9) y (2.2.10) en (2.2.6) y reordenando términos se obtiene:

xy y yxx

x x y y x x xy y x y y yx x yb w b w d n n w n n w dx y y x

y yx x

x xy y yx x x y y

w ww wd b w b w d

x y y x

(2.2.11)

Escribiendo la ecuación (2.2.11) en notación matricial se llega a:

T T TT Td n d d d

b w T w w b w L L (2.2.12)

Finalmente, introduciendo las condiciones de contorno (2.1.4), expresando (2.1.2) de la forma

D D uL y reemplazando en (2.2.12) se obtiene la formulación variacional del problema

continuo.

( )T T Td d d

w D u t w b w L L (2.2.13)

Cabe señalar que u y w pertenecen al mismo espacio de funciones admisibles, o sea:

2

2

|

= ( , ) | en , ,

= ( , ) | 0 en , ,

x y u

x y u

U W

u uU u u u L

x y

w wW w w L

x y

u w

u u

w w

CAPITULO 3 – FORMULACION VARIACIONAL PROBLEMA DISCRETO

16

CAPITULO 3: FORMULACIÓN VARIACIONAL DEL PROBLEMA DISCRETO

3.1 FORMULACIÓN VARIACIONAL DISCRETA

La formulación variacional discreta es obtenida asumiendo aproximaciones de la incognita

mediante funciones de interpolación a nivel de elemento, conformando una malla de n puntos nodales.

De esta forma ( , )x yu uu constituye ahora una solución aproximada representada por ( , )x yu uu . Lo

mismo ocurre con las funciones de ponderación ( , )x yw ww que deberán ser aproximadas por

( , )x yw ww . De manera discreta se tiene lo siguiente:

1

n

j j

j

N U U

u u u (3.1.1)

1

n

i i

i

W W

w w w (3.1.2)

donde:

y j jN son funciones de interpolación para y j iu w , respectivamente.

y U W son bases de dimensión finita de los espacios de funciones admisibles U y W, respectivamente.

Dentro de los métodos de ponderación, el método de Galerkin considera iguales funciones de

interpolación para y j jN . Por lo tanto, la aproximación de la función vectorial de ponderación (3.1.2)

puede escribirse como:

1

n

i i

i

N W W

w w w (3.1.3)

Reemplazando las funciones (3.1.1) y (3.1.3) en la ecuación (2.2.13), se llega a:

1 1 1 1

T Tn n n nT

i i j j i i i i

i j i i

N w N u d N w d N w d

D t bL L (3.1.4)

Considerando lo siguiente:

1 0 0

; ; ( ) para 1...0 1 0

i i jw w w j i i n

se obtiene un sistema de 2n ecuaciones y 2n incógnitas:


17

1

( ) ( ) ( 1,..., )

q

nT

i j j i i

j

N N d u N d N d i n

D b tL L (3.1.5)

Denominando la matriz B como operador diferencial, aplicado a las funciones de interpolación N;

0

0

i

ii i

i i

N

x

NB N

y

N N

y x

L (3.1.6)

la ecuación (3.1.5) queda como;

1

( ) ( ) ; ( 1... )

q

nT

i j j i i

j

B B d u N d N d i n

D b t (3.1.7)

La ecuación anterior es equivalente al sistema de ecuaciones lineales siguiente:

1

( 1... )n

ij j i

j

k u f i n

(3.1.8)

3.2 MATRIZ DE RIGIDEZ

La integral del lado izquierdo de la ecuación (3.1.7) corresponde a la definición general de la

matriz de rigidez de un elemento finito. En notación matricial ésta se determina según la siguiente

expresión:

v

dv T

K B DB (3.2.1)

Debido a que la matriz constitutiva D posee coeficientes constantes, para problemas de elasticidad,

la dificultad en determinar dicha matriz radica en cuantificar el campo de deformaciones unitarias B

representado por la expresión (3.1.6). Los términos de esta última matriz corresponden a las derivadas

parciales de las funciones de forma respecto a coordenadas cartesianas (x,y), sin embargo, las funciones

de forma en numerosas aplicaciones se representan en coordenadas naturales ( , ) , con tal de enfrentar

las complicaciones inherentes a los elementos distorsionados. Este cambio de variables supone también

la formulación de elementos isoparamétricos, en este caso el dominio de integración varía entre -1 y 1.

(En capitulo 4 se ahonda más al respecto).

Usando la regla de la cadena, de forma matricial, se expresan las derivadas en coordenadas

naturales en función de las derivadas en coordenadas cartesianas:


18

i i i

i ii

N x y N N

x x

N NN x y

y y

J (3.2.2)

donde J representa la matriz Jacobiana de transformación de coordenadas. Despejando se obtienen los

términos de la matriz B:

1

ii

i i

NN

x

N N

y

J (3.2.3)

El dominio de integración queda representado por:

dv t dxdy t J d d (3.2.4)

donde J es el determinante de la matriz Jacobiana y t representa el espesor, que puede ser aproximado

de manera discreta como la variación del espesor entre los nodos de un elemento:

1

n

i i

i

t N t

(3.2.5)

Cabe destacar que para que sea posible la transformación de coordenadas el determinante de la

matriz Jacobiana debe ser distinto de cero y de signo constante en todo el elemento. Adoptando la

convención de enumerar los nodos de un elemento en sentido antihorario, se asegura que el determinante

sea siempre positivo.

Resumiendo se obtiene la siguiente expresión para la matriz de rigidez:

1 1

1 1

t d d

T

ij i jK B DB J (3.2.6)

Resulta evidente que si el determinante de la matriz Jacobiana |J| no es contante, el integrando de

esta expresión representa un producto de polinomios. En elementos como el triángulo lineal, el campo

de deformaciones unitarias queda representado por términos constantes, sin embargo en los elementos

rectangulares que se estudian en esta memoria, los términos de la matriz B dificultan la integración

analítica, optándose por técnicas de integración numérica.


19

3.3 INTEGRACIÓN NUMÉRICA

A continuación se explica de manera sencilla y breve el método de cuadratura de Gauss-Legendre,

procedimiento usualmente utilizado para la integración aproximada de coeficientes de influencia en el

método de elementos finitos y que se encuentra implementado en una subrutina del código entregado

para el desarrollo de esta tesis.

La idea general del método consiste en expresar la integral como una sumatoria del producto entre

la función evaluada en un punto predeterminado z y la función peso w correspondiente a dicho punto;

para un elemento bidimensional resulta:

1 1

1 11 1

( , ) ( , )n n

i j i j

i j

I f d d g z z w w

(3.3.1)

La representación esquemática de un algoritmo de cálculo para la ecuación (3.3.1) se indica en la

Figura 3.1:

I = 0

Desde j = 1 hasta n

Desde i = 1 hasta n

( , )i j i jI I g z z w w

Lee I

Figura 3.1: Representación cuadratura de Gauss - Legendre.

Fuente: Elaboración propia.

Tanto las coordenadas z como sus correspondientes funciones peso w pueden encontrarse en

numerosas fuentes bibliográficas.

La elección de la cantidad de puntos n a utilizar no es una situación trivial ya que de ella

dependerá el coste computacional y la precisión. Por ello es pertinente destacar que con n puntos Gauss

es posible obtener la integral exacta de un polinomio de grado P=2n-1. Por ejemplo, si se requiere

obtener la matriz de rigidez de un elemento que contenga 3 nodos por arista (elemento cuadrático)

bastará con elegir 2 puntos, puesto que 2 2*2 1P .


20

3.4 MÉTODO DE RESOLUCIÓN DE ECUACIONES

Los métodos para la resolución de ecuaciones se clasifican normalmente en directos e iterativos.

Mediante la primera tipología es posible obtener la solución análitica de un problema (sin contar los

errores de redondeo propios de la asistencia computacional). Dentro de estos métodos podemos

mencionar el método de Gauss, método de Crout, método de Choleski, entre otros. Sin embargo para

sistemas muy grandes los métodos directos resultan desventajosos ya que elevan el consumo

computacional de forma considerable.

Para sistemas de ecuaciones que posean gran cantidad de incógnitas, o aquellos que involucren

matrices “esparcidas” (muchos valores nulos), resultan más adecuados los métodos iterativos. Dentro de

estos métodos podemos mencionar podemos mencionar método de Jacobi, método de Gauss-Seidel,

método de relajación, método de los gradientes, entre otros.

El tamaño del sistema de ecuaciones generado por el MEF está condicionado por la cantidad de

grados de libertad y dimensión del problema. Si consideramos que por lo general para obtener resultados

más precisos se debe aumentar la densidad de una malla, es posible obtener fácilmente un número

elevado de incógnitas, cuyas soluciones convenientemente pueden ser resueltas por un método iterativo.

La idea general de los métodos iterativos consiste en construir una sucesión de vectores ( )kx que

converjan a la solución a partir de un vector inicial, por lo general escogido arbitrariamente (0)x . La

ventaja de estos métodos por sobre los directos radica en la simplicidad y uniformidad de las

operaciones que se realizan, ya que suelen utilizar repetidamente un proceso sencillo que puede ser

fácilmente implementado en un programa.

El método que se emplea en esta memoria para la resolución del sistema generado por el MEF

corresponde al método iterativo de los gradientes conjugados y se encuentra implementado en la

subrutina Gradconj.for del código facilitado por el profesor guía. El método selecciona los residuos ( )ir

como vectores linealmente independientes haciendo ( ) ( )i iu r , ya que el vector de residuos posee la

característica de ser ortogonal a la dirección de búsqueda ( )kd , donde 1,..., 1k i . De esta forma se

garantiza un nueva dirección de búsqueda a menos que el módulo de ( 1)ir sea menor a una tolerancia

especificada. En tal caso la iteración se detiene y el problema quedaría resuelto.

A continuación en la Figura 3.2 se muestra de manera simplificada el algoritmo de este método:


21

Figura 3.2: Diagrama de flujo método de los gradientes conjugados.


Inicio.

Valor inicial para incógnita (0)x

Se obtiene dirección y residuo inicial. (0) (0) (0) d r b - Ax

Calcula ( )i :

( ) ( )

( )

( ) ( ) ; con 1,...,

Ti i

i

Ti i

i n r r

d Ad

Determina residuo para iteración

(i+1) ( 1) ( ) ( ) ( )

( 1) ( ) ( ) ( )

i i i i

i i i i

x x d

r r Ad

Condición: ( 1) Tolerancia ?i r

Fin

Imprime solución

si

no

Condición:

Nº iter. = N° máx. iter.?

no

N° máx. iter.

insuficiente

para cumplir

tolerancia!

si

Determina ( 1)i y nueva dirección:

( 1) ( 1)

( 1)

( ) ( )

( 1) ( 1) ( 1) ( )

Ti i

i

Ti i

i i i i

r r

r r

d r d

CAPITULO 4 – FUNCIONES DE FORMA

22

CAPITULO 4: FUNCIONES DE FORMA

4.1 INTRODUCCIÓN

Una etapa determinante para definir las características de la aproximación consiste en establecer

las funciones de forma que permiten definir el esquema de interpolación para los desplazamientos al

interior de cada elemento.

En este capítulo se describen 3 métodos para la obtención de las funciones de interpolación; el

primero de ellos consiste en una técnica sencilla que será representada mediante un ejemplo.

Los dos métodos restantes (Lagrange y Serendipity) permiten engendrar familias de funciones de

forma resultando conveniente la representación de un sistema de coordenadas intrínsecas. En particular,

se establece la obtención de las funciones de interpolación para elementos de transición de 5 y 6 nodos

de la familia Serendipity, que constituyen las subrutinas implementadas en FORTRAN durante el

desarrollo del presente trabajo.

Por último se mencionan los requerimientos generales de las funciones de forma y se evalúan las

ventajas y desventajas de cada uno de los métodos expuestos.

4.2 ESQUEMA DE INTERPOLACION USUAL PARA LA FORMULACIÓN DE

FUNCIONES DE FORMA

A modo de introducción a la temática, se describe un método sencillo para obtener las funciones

de forma de un elemento uni-dimensional de aproximación cuadrática, como se muestra en la Figura

4.1:

Figura 4.1: Elemento lineal de 3 nodos.


La expresión del desplazamiento u es dada por un polinomio de 2do grado:

2

1 2 3u q q x q x (4.2.1)

que puede escribirse como:

1

2

2

3

1 ·

q

x x q

q

u Pq (4.2.2)

Sustituyendo las coordenadas de los distintos nodos se obtiene un sistema de ecuaciones, que de

forma matricial resulta:

1x 2x 3x

1q 3q 2q


23

2

1 1 1 1

2

2 2 2 2

2

3 3 3 3

1

1

1

u x x q

u x x q

u x x q

(4.2.3)

En notación matricial, el sistema (4.2.3) puede escribirse como:

e u Cq (4.2.4)

Despejando q de la ecuación (4.2.4) y reemplazando en (4.2.2) se obtiene:

-1 eu = PC u (4.2.5)

A partir de la aproximación de elemento finito:

eu Nu

se deducen las funciones de forma como:

-1N = PC (4.2.6)

Por lo tanto, de la ecuación (4.2.6) es posible obtener directamente las funciones de forma para

los 3 nodos:

12

1 1

2 2

1 2 3 2 2

2

3 3

1

1 1

1

x x

N N N x x x x

x x

(4.2.7)

3 2

1

1 3 1 2

x x x xN

x x x x

(4.2.8)

3 1

2

2 3 1 2

x x x xN

x x x x

(4.2.9)

2 1

3

2 3 1 3

x x x xN

x x x x

(4.2.10)

Cabe mencionar que utilizando el polinomio interpolador de Lagrange, como se muestra en la

sección 4.4, es posible obtener las mismas expresiones expuestas anteriormente.


24

Introduciendo valores a las coordenadas nodales y reemplazando en las funciones de forma

obtenidas, se verifica la exigencia de continuidad interelemental 𝐶0 . Lo anterior se ilustra en la Figura

4.2;

1 ; en

0 ; en i

i jN

i j

x

2

3

5

i 1 3

N1 xi

x1

x2

x3

1

0

0

N2 xi

x1

x2

x3

0

1

0

N3 xi

x1

x2

x3

0

0

1

Figura 4.2: Verificacion de unicidad con Mathcad.


En el gráfico de la Figura 4.3 se aprecia la forma de cada función, adoptando valor 1 en el nodo al

que hace referencia y anulándose en los demás:

Figura 4.3: Representación gráfica funciones de forma cuadrática para elemento uni-dimensional.


2 1 0 1 2 3 4 50.5

0

0.5

1

Funcion de forma N1

N1 x( )

x

2 1 0 1 2 3 4 50

0.5

1

1.5

Funcion de forma N2

N2 x( )

x

2 1 0 1 2 3 4 50.5

0

0.5

1

Funcion de forma N3

N3 x( )

x


25

De esta manera el campo de desplazamiento u dentro del elemento, queda definido en función de

los desplazamientos nodales:

1 1 2 2 3 3u N q N q N q (4.2.11)

La obtención de las funciones de forma siguiendo este procedimiento no siempre resulta sencillo

como en el caso expuesto anteriormente, sobre todo cuando la función de aproximación de

desplazamientos nodales u está definida por polinomios de mayor grado, ya que obtener la inversa de la

matriz C no siempre está excento de dificultades. Debido a esto último, obtener funciones de forma para

elementos bidimensionales de mayor orden de aproximación utilizando este método resulta

desventajoso.

Antes de detallar los 2 métodos siguientes para la generación de funciones de forma, resulta

conveniente describir el sistema de coordenadas intrínsecas.

4.3 ELEMENTOS ISOPARAMÉTRICOS

Para facilitar la generación de las funciones de forma se transforman las coordenadas cartesianas a

un plano idealizado de coordenadas naturales o intrínsecas, como se aprecia en la Figura 4.4.

Figura 4.4: Mapeo de coordenadas.


El objetivo de realizar esta transformación radica en facilitar en el proceso de integración dentro

del dominio, ya que generalmente los elementos representados en coordenadas cartesianas presentan

formas distorsionadas o sus lados presentan diversos grados de inclinación respecto a sus ejes, lo que

trae consigo cierta dificultad al momento de realizar dichas integraciones.

El término isoparamétrico apunta básicamente que para la representación tanto de la geometría

como del campo de desplazamientos del elemento se usan los mismos parámetros, o sea las mismas

funciones de forma 𝑁𝑖 . Sin la formulación de los elementos isoparametricos el MEF no hubiese

alcanzado el nivel de desarrollo que presenta actualmente.

De esta manera la geometría queda representada por las ecuaciones (4.3.1) y (4.3.2). El campo de

desplazamientos por las ecuaciones (4.3.3) y (4.3.4):


26

1

( , )·n

i i

i

x N x

(4.3.1)

1

( , )· n

i i

i

y N y

(4.3.2)

1

( , )·n

x i xi

i

u N u

(4.3.3)

1

( , )· n

y i yi

i

u N u

(4.3.4)

donde:

n ; Nº de nodos

( , )iN ; Función de forma para el nodo “i” en función de coordenadas naturales

,i ix y ; Coordenadas cartesianas para el nodo “i”

,xi yiu u ; Componentes de desplazamiento del nodo “i”

4.4 FAMILIA DE LAGRANGE

Se ha mencionado que para la generación de funciones de forma de orden más elevado se torna

complejo obtener la inversa de C en la ecuación (4.2.6). A continuación se establece un sencillo padrón

que permite en forma sistemática obtener funciones de forma de cualquier orden y dimensión, utilizando

el polinomio interpolador de Langrange:

1 10

0, 0 1 1

( )n

j j nij

i i j j i j j j j j j n

N

(4.4.1)

Resulta evidente evidente que para obtener las funciones de forma bi o tridimensionales bastará

con efectuar el producto de los polinomios en las 2 o 3 dimensiones según corresponda.

Con tal de facilitar el razonamiento se obtienen las funciones de forma para un elemento

bidimensional cuadrático de 9 nodos, como se muestra en la Figura 4.5:


27

Figura 4.5: Elemento rectangular cuadrático de 9 nodos


Como se explicó anteriormente las funciones de forma bi y tridemensionales resultan del producto

de los polinomios que se obtienen en cada dirección. Por lo tanto, primero se obtienen los polinomios a

lo largo de la dirección ξ y luego en η, obteniendose 18 polinomios en total, como se muestra a

continuación.

Polinomios eje horizontal ;

Figura 4.6: Polinomios nodos 1, 2 y 6.


6 2

1

1 6 1 2

( )N

(4.4.2)

1 2

6

6 1 6 2

( )N

(4.4.3)

1 6

2

2 1 2 6

( )N

(4.4.4)


28



9 7

5

5 9 5 7

( )N

(4.4.5)

5 7

9

9 5 9 7

( )N

(4.4.6)

5 9

7

7 5 7 9

( )N

(4.4.7)



8 3

4

4 8 4 3

( )N

(4.4.8)

4 3

8

8 4 8 3

( )N

(4.4.9)

4 8

3

3 4 3 8

( )N

(4.4.10)


29

Polinomios eje horizontal ;



5 4

1

1 5 1 4

( )N

(4.4.11)

1 4

5

5 1 5 4

( )N

(4.4.12)

1 5

4

4 1 4 5

( )N

(4.4.13)



9 8

6

6 9 6 8

( )N

(4.4.14)

6 8

9

9 6 9 8

( )N

(4.4.15)

6 9

8

8 6 8 9

( )N

(4.4.16)


30



7 3

2

2 7 2 3

( )N

(4.4.17)

2 3

7

7 2 7 3

( )N

(4.4.18)

2 7

3

3 2 3 7

( )N

(4.4.19)

Multiplicando para cada nodo los polinomios correspondientes en ambas direcciones, se

encuentran las funciones de forma buscadas:

1 1 1

1 1( , ) ( ) ( )

4N N N

(4.4.20)

2 2 2

1 1( , ) ( ) ( )

4N N N

(4.4.21)

3 3 3

1 1( , ) ( ) ( )

4N N N

(4.4.22)

4 4 4

1 1( , ) ( ) ( )

4N N N

(4.4.23)

2

5 5 5

1 1( , ) ( ) ( )

2N N N

(4.4.24)

2

6 6 6

1 1( , ) ( ) ( )

2N N N

(4.4.25)

2

7 7 7

1 1( , ) ( ) ( )

2N N N

(4.4.26)

2

8 8 8

1 1( , ) ( ) ( )

2N N N

(4.4.27)

2 2

9 9 9( , ) ( ) ( ) 1 1N N N (4.4.28)


31

Mediante los siguientes gráficos que se ilustran en la Figura 4.12 puede verificarse el requisito de

continuidad interelemental de las funciones de forma de los nodos de vértice, borde y central, 1, 5 y 9

respectivamente.

Figura 4.12: Representación gráfica funciones de forma nodos 1, 5 y 9 de elemento bidimensional cuadrático de 9 nodos.


Si bien las funciones de interpolación elaboradas mediante el polinomio interpolador de Lagrange

son fáciles de obtener, la desventaja radica en la gran cantidad de nodos interiores que se presentan,

donde además interviene un número elevado de términos polinómicos, muchas veces excesivos respecto

de los necesarios para un desarrollo polinómico completo (Zienkiewicz, 2007).

Lo anterior queda clarificado en la Figura 4.13 donde se puede apreciar que para una

aproximación cuadrática el polinomio interpolador de Lagrange incluirá una serie de términos cuya

incorporación se hace innecesaria.

Representación gráfica Función de forma N1

Representación gráfica Función de forma N5 Representación gráfica Función de forma N9


32

Figura 4.13: Monomios presentes en un elemento de Lagrange de grado p


4.5 FAMILIA SERENDIPITY

Una solución al problema de monomios excesivos que genera el polinomio interpolador de

Lagrange se da a través de la combinación lineal de funciones de interpolación de diferentes grados, de

la cual nacen las funciones de forma de la familia Serendipity.

En la Figura 4.14 se puede apreciar los términos que se generan mediante estas funciones de

interpolación y puede apreciarse también que a partir de aproximaciones de orden p=2 se deben

incorporar apenas unos pocos monomios adicionales.


33

Figura 4.14: Monomios presentes en un elemento Serendipity de grado p


En la Figura 4.15 se compara un elemento bidimensional rectangular de cuarto orden,

apreciándose visualmente la conveniencia de utilizar aproximaciones por elemento Serendipity.

Figura 4.15: Elemento rectangular de cuarto orden


Reflexionando que en modelos reales, por lo general consideran cientos y hasta miles de

elementos, la ventaja de usar elementos Serendipity es considerable. También se percibe que en este


34

caso el elemento Serendipity incluye un nodo central, el cual es necesario para incluir el monomio

faltante para un desarrollo polinómico completo.

4.5.1 Generación de funciones de forma Serendipity

La generación de funciones de forma Serendipity puede establecerse a través de un procedimiento

sistemático, donde las funciones de los nodos de vértice o de borde se vayan permutando hasta cumplir

con los requisitos de continuidad interelemental.

A continuación se generan las funciones de forma de un elemento rectangular cuadrático de 8

nodos, como se muestra en la Figura 4.16;

Figura 4.16: Elemento rectangular cuadrático de 8 nodos


Este elemento es similar al utilizado en el ejemplo de generación de funciones de forma de la

familia de Lagrange, con la excepción de que en la familia de elementos Serendipity un elemento de

grado p=2 posee 8 y no 9 nodos. El proceso de generación de estas funciones de forma puede dividirse

en 3 etapas.


35

1.- Nodos de esquina: Se establecen las funciones de forma de los nodos de esquina de un elemento

rectangular lineal como muestra la Figura 4.17.

Figura 4.17: Elemento rectangular lineal


Este elemento es idéntico en ambas familias (Lagrange y Serendipity) y sus funciones de forma

son lineales, como se muestran a continuación;

1

11 1

4PN (4.5.1)

2

11 1

4PN (4.5.2)

3

11 1

4PN (4.5.3)

4

11 1

4PN (4.5.4)

2.- Nodos de tramo: Se establecen las funciones de forma de los nodos de tramo, obtenidas mediante el

polinomio de Lagrange en cada una de las direcciones. Por ejemplo la función de interpolación del nodo

8 se determina como el producto del polinomio de Lagrange grado p=2 en dirección ξ y grado p=1 en

dirección η. Para los nodos 5,6 y 7 se realiza de forma similar.

Las funciones de forma de los nodos de tramo 5, 6, 7 y 8 quedan expresados como;

2

5

11 1

2N (4.5.5)

2

6

11 1

2N (4.5.6)


36

2

7

11 1

2N (4.5.7)

2

8

11 1

2N (4.5.8)

3.- Sustracción sistemática: Se realiza el ajuste de las funciones de forma de los nodos de vértice

mediante la sustracción sistemática de las funciones de forma de los nodos de tramo, con el objetivo de

cumplir con el requisito de continuidad interelemental. Lo anterior queda clarificado en la Figura 4.18

Figura 4.18: Sustracción sistemática para la generación de funciones de forma Serendipity.

Fuente: Zienkiewicz, 2000.

Finalmente para los nodos de vértice se tiene lo siguiente:

1 1 5 6

1 1

2 2PN N N N (4.5.9)

2 2 6 7

1 1

2 2PN N N N (4.5.10)

3 3 7 8

1 1

2 2PN N N N (4.5.11)

4 4 8 5

1 1

2 2PN N N N (4.5.12)

En Anexo A se detalla el desarrollo y verificación de las funciones de forma anteriores.

Concluyendo, puede apreciarse que el proceso de generación de funciones de forma es

relativamente sencillo y sistemático, por lo tanto siguiendo el esquema anterior pueden encontrarse las

funciones de forma de otros elementos de la familia Serendipity tales como los elementos de transición

utilizados en los ejemplos del presente trabajo en zonas donde se requiera refinar la malla de

discretización.


37

4.6 FUNCIONES DE FORMA PARA ELEMENTOS DE TRANSICIÓN

Se denomina elementos de transición a aquellos que poseen la característica de permitir el

acoplamiento de otros elementos mediante nodos ubicados en sus bordes. Dichos elementos pueden

tener variaciones de distinto orden en sus lados; así por ejemplo, un elemento rectangular podría

definirse con una variación lineal en un lado y cuadrático en otro, como es el caso del elemento

rectangular de 5 nodos.

Los elementos de transición surgen como una alternativa conveniente para realizar refinamientos

locales en zonas de un continuo que posea ciertas singularidades o en zonas de concentración de

tensiones (cargas concentradas, etc).

De esta manera, en aquellas zonas donde no se espere variación repentina de esfuerzo pueden

efectuarse discretizaciones con elementos de mayor tamaño, mientras que a medida que se aproxima a la

singularidad se puede ir refinando la malla, conservando la homogeneidad del modelo a través de

elementos geométricamente regulares. Lo anterior puede representarse en la Figura 4.19:

Figura 4.19: Representación de refinamiento regular mediante elementos de transición.



38

4.6.1 Elemento de transición de 5 nodos

A continuación, siguiendo el esquema descrito en la sección 4.5.1 son determinadas las funciones

de forma para el elemento de transición de 5 nodos que se muestra en la Figura 4.20, que ha sido

implementado en el programa en código FORTRAN.

Figura 4.20: Elemento de transición de 5 nodos


Para este elemento las funciones de forma de los nodos 2, 3 y 5 quedan representadas por las

ecuaciones (4.5.2), (4.5.3) y (4.5.5), respectivamente. Sin embargo las funciones de los nodos 1 y 4

deben ser obtenidas a partir de la diferencia entre la función de forma de vértice y la mitad de la función

de forma del nodo de tramo.

Para mayores detalles del cálculo de estas funciones de forma, así como de la verificación de sus

propiedades de continuidad, se ha confeccionado una planilla Mathcad, descrita en el Anexo A.

1

1 1

4N

(4.6.1)

2

1 1

4N

(4.6.2)

3

1 1

4N

(4.6.3)

4

1 1

4N

(4.6.4)

2

5

1 1

2N

(4.6.5)


39

4.6.2 Elemento de transición de 6 nodos

Las funciones de forma del elemento de transición de 6 nodos, también implementadas en el

programa escrito en FORTRAN, presentan dos configuraciones según la disposición de sus nodos de

tramo, tal como se muestra en la Figura 4.21.

Figura 4.21: Configuración elementos de transición de 6 nodos.


4.6.2.1 Elemento de transición de 6 nodos; configuración 1

Para esta configuración sólo la función de forma del nodo 3 permanece lineal y se obtiene a partir

de la ecuación (4.5.3). Las funciones de interpolación para los nodos de borde 5 y 6 se obtienen de las

ecuaciones (4.5.5) y (4.5.6), respectivamente. La función de forma para el nodo 1 es idéntica a la del

nodo 1 para el elemento de 8 nodos, según la ecuación (4.5.9). Para los nodos 2 y 4 se debe realizar la

sustracción sistemática. Mayores detalles se muestran en Anexo A.

Resumiendo lo anterior, se tiene:

1

1 1 1

4N

(4.6.6)

2

1 1

4N

(4.6.7)

3

1 1

4N

(4.6.8)

4

1 1

4N

(4.6.9)

2

5

1 1

2N

(4.6.10)

Configuración 1 Configuración 2


40

2

6

1 1

2N

(4.6.11)

4.6.2.2 Elemento de transición de 6 nodos; configuración 2

La enumeración nodal de los elementos se realiza de forma antihoraria, lo cual trae como

consecuencia que la configuración de las funciones de forma del nodo 5 y 6 correspondan a las

funciones de forma del nodo 6 y 5 del elemento de 8 nodos, según ecuaciones (4.5.6) y (4.5.5),

respectivamente. Las demás funciones de forma deben calcularse por sustracción sistemática de los

nodos de borde. Mayores detalles se muestran en el Anexo A.

Resumiendo, se tiene:

1

1 1

4N

(4.6.12)

2

1 1

4N

(4.6.13)

3

1 1

4N

(4.6.14)

4

1 1

4N

(4.6.15)

2

5

1 1

2N

(4.6.16)

2

6

1 1

2N

(4.6.17)

CAPITULO 5 – IMPLEMENTACION

41

CAPITULO 5: IMPLEMENTACIÓN

5.1 LENGUAJE DE PROGRMACIÓN; FORTRAN

FORTRAN es el lenguaje de alto nivel más antiguo, fue desarrollado por IBM a fines de los años

50, bautizado en un comienzo como IBM FORMULA TRANSLATION SYSTEM (IBMFORTRANS)

que luego se comprimió simplemente a FORTRAN.

Es un lenguaje muy utilizado en aplicaciones científicas y matemáticas que requieren de un alto

grado de precisión, por ello está especialmente adaptado para el cálculo numérico y es utilizado en áreas

donde los cálculos están dominados por cómputos intensivos como la predicción numérica del tiempo,

análisis de elementos finitos, dinámica de fluidos computacionales, física computacional, entre otros.

Además es el lenguaje más utilizado en el área de la computación de alto rendimiento, de hecho los

programas usados para la evaluación de ranking y desempeño (Benchmark) de los supercomputadores

más rápidos del mundo por lo general son escritos en este lenguaje.

Las versiones estandarizadas y validadas por ANSI X3.9 e ISO 1539 son las siguientes:

FORTRAN 66, FORTRAN 77, FORTRAN 90, FORTRAN 95, FORTRAN 2003 y FORTRAN 2008.

Estas versiones estandarizadas surgieron para promover la portabilidad, fiabilidad, facilidad de

mantenimiento y ejecución eficiente de los programas.

En el presente trabajo las subrutinas están escritas utilizando el entorno de desarrollo integrado

Microsoft Visual Studio Ultimate 2010 y bajo la sintaxis de FORTRAN 77.

5.2 ENTORNO; MICROSOFT VISUAL STUDIO 2010

El código elaborado en FORTRAN puede ser escrito mediante cualquier editor de texto para luego

compilarlo y ejecutarlo, sin embargo para proyectos relativamente complejos este procedimiento es

ineficiente y se opta por confeccionar los códigos en un entorno de desarrollo integrado (IDE, Integrated

Development Environment) debido a la gran cantidad de herramientas que poseen, permitiendo permiten

editar, compilar, ejecutar y depurar los códigos, tornando más sencillo y ágil el desarrollo de soluciones.

Microsoft Visual Studio es un IDE para los sistemas operativos de Windows, posee un conjunto

completo de herramientas para el desarrollo de aplicaciones, servicios webs y creación de soluciones en

varios lenguajes, como Visual C++, Visual J#, Visual C# y Visual Basic .NET. Por defecto no viene

instalado ningún compilador para FORTRAN, por lo tanto para poder usar este entorno se requiere de la

instalación de un compilador externo. El compilador utilizado en el presente trabajo de titulación y que

funciona especialmente para Visual Studio es el Intel® Visual Fortran Compiler XE 12.0.


42

5.2.1 Características generales de Microsoft Visual Studio

En los siguientes apartados se mencionan las principales características y herramientas de Visual

Studio utilizadas para la elaboración de las subrutinas de este trabajo

5.2.1.1 Página de inicio

En la Figura 5.1 se presenta la página de inicio del entorno, en el que se tiene acceso directo a los

proyectos en los que se ha trabajado últimamente, además de otras funcionalidades y recursos. Puede

observarse también el explorador de soluciones, el cual obviamente en esta etapa se encuentra vacío.

Figura 5.1: Página principal Visual Studio 2010.


5.2.1.2 Creación de subrutinas en código FORTRAN

Para la creación o edición de una subrutina en lenguaje FORTRAN se debe tener instalado

previamente el compilador descrito anteriormente (en este caso Intel® Visual Fortran Compiler XE

12.0). Posteriormente se debe crear o abrir un proyecto (en este caso “Programa MEF” facilitado por el

profesor guía) y hacer click secundario en alguna de las carpetas donde se desee implementar la

subrutina como se muestra en la Figura 5.2.

Proyectos

recientes

Explorador de

soluciones


43

Figura 5.2: Creación de nuevo elemento.


A continuación se abre una ventana con los diferentes tipos de archivos que es posible crear como

se muestra en la Figura 5.3.

Figura 5.3: Creación de subrutinas en un proyecto FORTRAN.


Al seleccionar “Fortran Free-Form“ o “Fortran Fixed-Form“ se despliega el editor de texto como

se muestra en la Figura 5.4.

Archivo en

formato libre .f90

Archivo en

formato fijo

(sintaxis

restringida).


44

Figura 5.4: Editor de texto Visual Studio 2010.


5.2.1.3 Compilación

Una vez terminada la edición del código se procede a la compilación de éste. Para ello puede

optarse por la compilación en modo “Debug”, que permite cargar herramientas que facilitan la

depuración en tiempo real, o puede optarse por la compilación en modo “Release”, donde dichas

herramientas no son cargadas y por ende se realiza una compilación más liviana.

Posteriormente se procede a “Generar” la solución, para lo cual desde el menú se selecciona la

opción Generar Generar solución.

En caso que el código no arroje errores de sintaxis u otros, se despliega la ventana ilustrada en la

Figura 5.5:

Figura 5.5: Información referente al estado de la compilación.


5.2.1.4 Ejecución

Una vez compilado el código de manera exitosa puede ejecutarse éste desde el menú

seleccionando la opción Depurar Iniciar depuración o Iniciar sin depurar. También es posible ejecutar

el código de manera externa a Visual Studio, dirigiéndose a la carpeta donde haya sido creado el

proyecto.


45

5.2.1.5 Herramientas de depuración

El entorno Visual Studio posee herramientas que posibilitan la detección de errores que hayan

surgido durante la etapa de ejecución o simplemente cuando los resultados arrojados no hayan sido los

esperados, a continuación se describen aquellas utilizadas en la presente tesis.

Control de ejecución: cuando se ha insertado un punto de interrupción o se ha seleccionado la

opción “Ejecutar hasta el cursor” y se haya compilado en modo “Debug”, es posible controlar la

ejecución del código hasta el punto deseado de 3 maneras diferentes;

Paso a paso por instrucciones: analiza línea a línea, ingresando a los ciclos iterativos, si

es que los hubiera, o dirigiéndose a las subrutinas que son llamadas.

Paso a paso por procedimientos: analiza línea a línea sin dirigirse a otros subprogramas

que sean llamados.

Paso a paso para salir: en caso de ingresar a un ciclo iterativo, esta opción permite

ejecutar todas las iteraciones hasta salir de dicho proceso y continuar con la ejecución del

programa.

Inspección de variables: Es posible mediante el control de la ejecución, ir inspeccionando los

valores numéricos que van adquiriendo las variables a medida que se ejecutan las líneas del

código, de la forma que se indica en la Figura 5.6.

Figura 5.6: Inspección de variable correspondiente a una matriz.


Visual Studio 2010 cuenta con numerosas herramientas que hacen más eficiente y sencilla la

programación, sin embargo no es objetivo de esta tesis profundizar en este aspecto.


46

5.3 FUNCIONAMIENTO PROGRAMA MEF

El “programa MEF”, escrito en FORTRAN y facilitado por el profesor guía, posee rutinas que

podrían clasificarse en 6 categorías; “Biblioteca de elementos”, “Lectura e impresión”, “Pre-

procesamiento”, “Programa principal”, “Solver” y “Subrutinas auxiliares”. El objetivo de esto es

organizar los distintos subprogramas que realizan acciones específicas.

Las subrutinas implementadas en esta tesis (“elmt09.for”, “elmt10.for”, “elmt11.for”, “elmt12.for”,

“elmt13.for” y “elmt14.for”) corresponden a la categoría “Biblioteca de elementos”. En dicha categoría

encontramos todas las subrutinas que permiten la determinación de la matriz de rigidez de diferentes

tipos de elementos (lineales, triangulares o rectangulares), diferente cantidad de nodos por elemento (Ej.

Elementos de transición) y diferentes hipótesis de comportamiento (tensión o deformación plana).

En términos generales el funcionamiento del programa se basa en la comunicación de subrutinas

cuyo orden de ejecución es comandado por una subrutina de control principal “Contr.for”; el proceso

puede resumirse en la Figura 5.7.

Figura 5.7: Esquema básico de funcionamiento programa MEF.

Fuente: Elaboración Propia.

Cada subrutina realiza tareas específicas, tales como lectura de datos, dimensionamiento de

variables, etc, que a su vez pueden efectuar llamados a otras subrutinas.

El ingreso de datos se lleva a cabo mediante la preparación de un archivo externo generalmente en

formato “txt” o “dat”; la sintaxis de este archivo debe ser respetada para una correcta lectura, debido a

las múltiples especificaciones de formato a lo largo del código.

El archivo de datos tipo se muestra en la Figura 5.8. Este debe contener todas las características

que describen al modelo, esto es, el número de nodos, número de elementos, numero de materiales, la


47

cantidad de nodos por elemento, número de grados de libertad por nodo, dimensión del problema, la

cantidad de puntos Gauss a considerar en la integración numérica, las propiedades mecánicas,

coordenadas nodales, conectividad de elementos, identificación de los nodos con grados de libertad

restringidos e identificación de los nodos con cargas o desplazamientos. Cabe señalar que el programa

no especifica las unidades de trabajo, por lo tanto las unidades de los datos ingresados deben ser

consistentes.

Figura 5.8: Archivo entrada de datos.


1 = restringido

0 = libre

Fuerza

dirección X

Mod. Elasticidad,

mod. de Poisson,

espesor de placa y

peso específico,

respectivamente.

Tipo de elemento referente a

la “Biblioteca de elementos”.

En este caso se invoca al

elemento 4 correspondiente a

la subrutina “Elmt04.for”.


48

Las subrutinas del programa utilizan una gran cantidad de variables, principalmente para nombrar

matrices, vectores, contantes, etc. en la Tabla 5.1 se describe el significado de cada una de ellas:

Constante Descripción

e Propiedades mecánicas asociadas a cada material

f Vector de valores prescritos (0 = Condición natural ; 1 = Condición

esencial)

fl Vector de fuerzas nodales a nivel de elemento

id Matriz que contiene los códigos que indican si el GDL es libre o

restringido

ie Forma del elemento asociada a cada material (según biblioteca de

elementos)

iel Tipo de elemento

ix Matriz de conectividad

jdiag Vector apuntador del vector "Skyline", de acuerdo a los valores de

la diagonal de la matriz de rigidez del sistema

ld Numeración de las ecuaciones vinculadas a los grados de libertad

no restringidos de los nudos del elemento

ma Numero de material asociado al elemento

ncs Nº de componentes del vector "Skyline"

ndf GDL por nodo

ndm Dimensión del problema

nen Nº máximo de nodos por elemento

nnode Nº de nodos

nst Número total de grados de libertad asociados a los nudos del

elemento

numat Nº de materiales

numel Nº de elementos

sk Matriz de rigidez del sistema

skl Matriz de rigidez del elemento

u Vector de fuerzas nodales

ul Valores de condición esencial prescrita a nivel de elemento

x Matriz de coordenadas nodales del sistema

xl Matriz de coordenadas nodales a nivel de elemento

Tabla 5.1: Descripción de variables.


El diagrama ilustrado en la Figura 5.9, muestra de forma general la función que cumple cada

subrutina y como conforman el programa MEF:


49

Figura 5.9: Descripción general funcionamiento subrutinas.



50

5.4 SUBRUTINAS IMPLEMENTADAS

Tal como fue mencionado anteriormente, las subrutinas implementadas corresponden a la

categoría “Biblioteca de elementos”. Todas las subrutinas de esta categoría poseen un algoritmo similar,

cuya función es determinar la matriz de rigidez a nivel de elemento skl para su posterior ensamblaje

dentro de la matriz de rigidez global sk. El algoritmo se describe en el diagrama de la Figura 5.10.

Figura 5.10: Funcionamiento subrutina de elemento.


(1)

(2)

(3)


51

Para los elementos bidimensionales implementados la matriz de rigidez se determina según la

expresión (3.2.6). Para ello es necesario determinar las componentes de la matriz de deformación

unitaria B según la expresión (3.1.6), cuyos términos deben ser transformados a coordenadas naturales

mediante la expresión (3.2.3). Por lo tanto, los pasos 1, 2 y 3 del diagrama de la Figura 5.10 conllevan

las siguientes operaciones:

1. Determinar términos de matriz Jacobiana:

11 12

21 22

x y

J J

J J x y

J (5.4.1)

Los términos de dicha matriz quedan representados por:

1 1

n ni

i i i

i i

x Nx c x

(5.4.2)

1 1

n ni

i i i

i i

y Ny c y

(5.4.3)

1 1

n ni

i i i

i i

x Nx f x

(5.4.4)

1 1

n ni

i i i

i i

y Ny f y

(5.4.5)

donde:

n ; Nº de nodos del elemento

,i ix y ; Coord. nodales a nivel de elemento

,i ic f ; Derivadas parciales funciones de forma

2. Determinar términos de inversa de J:

* *

22 121 11 12

* *21 11 21 22

( ) 1

det( ) det( )

J J J Jadj JJ

J JJ J J J

(5.4.6)

3. Determinar términos de matriz deformación unitaria B según ecuación:


52

0

0

i

ii i

i i

N

x

NB N

y

N N

y x

L (5.4.7)

Los términos de esta matriz quedan representados según:

* * * *

11 12 11 12i i i

i i

N N NJ J J c J f

x

(5.4.8)

* * * *

21 22 21 22i i i

i i

N N NJ J J c J f

y

(5.4.9)

Del esquema anterior se hace evidente que una vez determinadas las derivadas parciales de las

funciones de forma para el elemento (representadas por y i ic f ), el resto del algoritmo sigue un

procedimiento similar.

A continuación se detalla la obtención de las derivadas parciales de las funciones de forma para

los elementos de transición implementados.

5.4.1 Subrutina “Elmt09.for”

Esta subrutina corresponde al elemento de transición de 5 nodos cuyas funciones de forma se

determinaron en el capítulo 4, sección 4.6.1, por lo que resta únicamente determinar las derivadas

parciales de dichas funciones para su implementación. El código de esta subrutina se ilustra en el Anexo

B.

Aplicando las derivadas parciales ,

a las funciones de forma (4.6.1), (4.6.2), (4.6.3), (4.6.4)

y (4.6.5) se obtiene lo siguiente:


53

1 11 1

2 22 2

3 33 3 2

44

( 1) (2 1)( 1) ;

4 4

( 1) ( 1) ;

4 4

( 1) ( 1) ;

4 4

( 1)

4

N Nc f

N Nc f

N Nc f f

Nc

44

5 55 5

(2 1)( 1) ;

4

( 1) 1 ; (2 1)

2

Nf

N Nc f

Cabe señalar que el orden en que son ingresados los nodos en el archivo de entrada, cuya

numeración conformará la matriz de conectividad ix, debe ser respetado en concordancia a como fue

implementada la subrutina; de lo contrario las funciones de forma deben ser recalculadas y la subrutina

modificada para su correcto funcionamiento. Esto último no se hace necesario con los elementos que

presenten simetría nodal (como es el caso del elemento rectangular lineal) donde solo basta con que los

nodos sean ingresados de manera antihoraria para asegurar que el determinante del Jacobiano sea

siempre mayor a cero y asegurar el funcionamiento de la subrutina.

En la Figura 5.11 puede observarse que el nodo 2 del elemento (a) presenta una variación lineal

entre los nodos 1 y 3, el elemento (b) también cumple con dicha linealidad; no así el elemento (c) donde

el nodo 2 es lineal respecto al nodo 1 pero presenta una variación cuadrática respecto al nodo 3.

Figura 5.11: (a) elemento implementado, (b) conectividad correcta, (c) conectividad incorrecta.

Fuente: Elaboración Propia

(a)

(b) (c)


54


Esta subrutina corresponde al elemento de transición de 6 nodos (configuración 1) cuyas funciones

de forma se determinaron en el capítulo 4, sección 4.6.2.1. Detalles del código de esta subrutina se

presentan en el Anexo B.

Aplicando las derivadas parciales ,

a las funciones de forma (4.6.6), (4.6.7), (4.6.8), (4.6.9),

(4.6.10) y (4.6.11) se obtiene lo siguiente:

1 11 1

2 22 2

3 33 3

44

( 1)(2 ) ( 1)( 2 ) ;

4 4

( 1)(2 1) ( 1) ;

4 4

( 1) ( 1) ;

4 4

( 1)

4

N Nc f

N Nc f

N Nc f

Nc

44

5 55 5

6 66 6

(2 1)( 1) ;

4

( 1) 1 ; ( 1)

2

( 1)( 1)( 1) ;

2

Nf

N Nc f

N Nc f

Similarmente al elemento anterior, el orden de los nodos para la conectividad de elementos debe

ser respetado, ya que no existe simetría nodal y dichos datos deben ser ingresados de la forma que se

indica en la Figura 5.12.

Figura 5.12: Orden implementado para la conectividad de elementos.



55


Esta subrutina corresponde al elemento de transición de 6 nodos (configuración 2) cuyas funciones

de forma se determinaron en el capítulo 4, sección 4.6.2; por ello, sólo resta determinar las derivadas

parciales. Por lo tanto, aplicando ,

a las funciones de forma (4.6.12), (4.6.13), (4.6.14), (4.6.15),

(4.6.16) y (4.6.17) se obtiene:

1 11 1

2 22 2

3 33 3 2

44

( 1)(2 1) ( 1) ;

4 4

( 1)(2 1) ( 1) ;

4 4

( 1)(2 1) ( 1) ;

4 4

( 1)(2 1)

4

N Nc f

N Nc f

N Nc f f

Nc

44 1

5 55 5

6 66 6 5

( 1) ;

4

( 1)( 1)( 1) ;

2

( 1)( 1)( 1) ;

2

Nf f

N Nc f

N Nc f f

El orden de la conectividad nodal debe ser ingresado de la forma indicada en la Figura 5.13.

Figura 5.13: Orden implementado para la conectividad de elementos.


Detalles acerca del código de esta subrutina se presentan en el Anexo B.

5.4.4 Subrutinas “Elmt12.for”, “Elmt13.for” y “Elmt14.for”

Estas subrutinas corresponden a los elementos de transición de 5 y 6 nodos (configuraciones 1 y

2), poseen las mismas funciones de forma que los elementos implementados en las subrutinas

“Elmt09.for”, “Elmt10.for” y “Elmt11.for”. La diferencia radica en que son utilizadas para problemas

de deformación plana y por ello la matriz constitutiva D es diferente. El resto del algoritmo no sufre


56

alteraciones, por lo que no se hace necesario ahondar más en esta sección. Los códigos correspondientes

se presentan en Anexo B.

5.5 VECTOR SKYLINE Y ENSAMBLAJE DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ GLOBAL

El método de perfil o método skyline consiste en almacenar los términos de las columnas de la

parte triangular superior de una matriz simétrica, comenzando cada fila desde el primer elemento no

nulo hasta la diagonal, evitando así almacenar los términos redundantes que conforman la simetría de la

matriz. Por lo general, este método requiere de un vector auxiliar que permita indicar la posición de los

términos diagonales dentro del perfil skyline.

El objetivo de dicho método, es reducir espacio en la memoria del computador y por ende los

tiempos de cómputo resultantes de la resolución de grandes sistemas de ecuaciones, como son los que

caracterizan a un análisis realizado por el MEF.

La idea del método de almacenamiento mediante perfil skyline puede resumirse en el siguiente

ejemplo para una matriz simétrica de 4x4;

2 7 4 0

7 9 3 5

4 3 8 0

0 5 0 1

2 7 9 4 3 8 5 0 1

1 3 6 9

K

sk

jdiag

donde:

K ; Matriz simétrica

sk ; Vector skyline

jdiag ; Vector apuntador de posición de términos diagonales

El método de almacenamiento skyline es utilizado por el programa MEF para la representación de

la matriz de rigidez global sk, ensamblando en dicho perfil, la rigidez que aporta cada elemento del

modelo discretizado. Esto puede esquematizarse en el siguiente ejemplo.

Considérese una viga en voladizo discretizado mediante una malla compuesta de 2 elementos

finitos rectangulares lineales con 2 grados de libertad por nodo, como se ilustra en la Figura 5.14.


57

Figura 5.14: Problema de tensión plana y discretización.


De lo anterior se observa que el modelo posee 12 grados de libertad, siendo los grados 1, 2, 7 y 8

con condición esencial prescrita. Dichos términos, si bien forman parte de la matriz de rigidez del

modelo, se excluyen del sistema global de ecuaciones para evitar la singularidad. Por lo tanto, la matriz

de rigidez global presenta 8 filas y 8 columnas, como se ilustra esquemáticamente en la Figura 5.15.

Figura 5.15: Representación esquemática matriz de rigidez global.


Puede notarse, que el elemento 2 al no tener grados de libertad con condición esencial prescrita,

posee una mayor participación en la conformación de la matriz de rigidez global.

GDL con

condición

esencial prescrita


58

Finalmente, el vector skyline de este ejemplo está compuesto por 36 términos (correspondientes a

la parte triangular superior de la matriz ilustrada) e involucra principalmente las siguientes subrutinas

del programa MEF:

Profil.for: construye vector puntero jdiag cuyos componentes son indicadores de posición en la

diagonal de la matriz de rigidez sk. En la Figura 5.16 se aprecia parte del código y los valores del

vector jdiag del problema anterior.

Figura 5.16: Valores vector jdiag en entorno VS2010.


Pform.for: comanda el cálculo de las matrices a nivel de elemento, posteriormente de manera

iterativa van siendo ensamblados los términos en la matriz de rigidez del sistema sk por medio de

la subrutina Addstf.for.

Addstf.for: Subrutina encargada de capturar solo aquellos términos de las matrices de elemento

relevantes para la resolución del sistema de ecuaciones ensamblándolos en la matriz sk. En la

Figura 5.17 se muestra parte del código y como los términos de la matriz de rigidez del elemento

1 son ensamblados en distintas posiciones de la matriz sk.

Figura 5.17: Términos elemento 1 ensamblado en matriz global sk.


CAPITULO 6 – VALIDACION

59

CAPITULO 6: VALIDACIÓN

6.1 INTRODUCCIÓN

Con el objetivo de corroborar y realizar un análisis de las ventajas que ofrecen los elementos de

transición se desarrollan 2 problemas ilustrativos de tensión plana, comparándose los resultados

numéricos de los modelos propuestos con sus respectivas soluciones analíticas.

6.2 FUNCIÓN DE AIRY

Muchos de los problemas de tensión plana donde las fuerzas de campo son constantes pueden

resolverse analíticamente resolviendo la siguiente ecuación:

4 4 44

4 2 2 4

22 2

4

2 2 2

2 0 ; (coord. cartesianas)

1 10 ; (coord. polares)

x x y y

r r r r

(6.2.1)

donde ( , )x y es una función arbitraria llamada función de tensión de Airy.

Las componentes del tensor tensión se expresan como:

2 2 2

2 2

2 2

2 2 2

; ; ; (coord. cartesianas)

1 1 1+ ; ; ; (coord. polares)

x y xy

r r

y x x y

r r r r r r

(6.2.2)

Para determinar dichas componentes se escoge una función de Airy donde algunas constantes

deben ser ajustadas para cumplir con las condiciones de equilibrio y biarmonicidad. Sin embargo, esto

no siempre es posible ya que la determinación de una solución analítica depende muchas veces de la

geometría y las condiciones de borde, por lo que apenas un número reducido de problemas de

elasticidad plana pueden resolverse de esta forma. En la literatura especializada es posible encontrar

tanto las funciones de Airy como las constantes de ajuste para problemas de elasticidad clásicos, no

siendo objetivo de esta tesis su determinación.


60

6.3 FLAMANT PROBLEM

Este problema consiste en la aplicación de una carga puntual sobre la superficie de un semi-

espacio, tal como se muestra en la Figura 6.1. La solución analítica fue desarrollada por M. Flamant en

1892, modificando la solución tridimensional de Boussinesq publicada en 1885. La solución de Flamant

puede aplicarse a estado plano de tensiones si se considera un espesor unitario, como también extenderse

al caso de deformación plana considerando un espesor indefinido de placa.

Figura 6.1: Flamant Problem.

Fuente: M. Sadd, 2005.

La función de Airy de este problema y sus parámetros se señalan a continuación:

1 2 3 4( log )cos ( log )sinc r r c r c r r c r (6.3.1)

donde:

1 3 2 40 ; ; c =Y X

c c c

Las componentes del tensor tensión en coordenadas polares queda expresado como:

2

cos sinr X Yr

(6.3.2)

0r (6.3.3)

Considerando carga normal y dejando X = 0, el campo de tensiones queda definido por:

2

sinr

Y

r

(6.3.4)


61

Mediante una transformación de coordenadas cilíndricas a cartesianas, el campo de tensiones

queda representado como:

2

2

2 2 2

2cos

( )x r

Yx y

x y

(6.3.5)

3

2

2 2 2

2sin

( )y r

Yy

x y

(6.3.6)

2

2 2 2

2sin cos

( )xy r

Yxy

x y

(6.3.7)

El campo de desplazamientos de la solución de Flamant para el problema tridimensional de

Boussinesq está dado por las siguientes expresiones:

[(1 )( )cos 2log sin ]2

r

Yu r

E

(6.3.8)

[ (1 )( )sin 2log cos (1 )cos ]2

Yu r

E

(6.3.9)

Por lo tanto, los desplazamientos bajo la carga puntual se obtienen de la siguiente expresión:

2 log

( , )2

r

Y ru r

E

(6.3.10)

Para la solución de este problema mediante el método de los elementos finitos, deben establecerse

los límites del dominio en el semi-espacio ilustrado en la Figura 6.1 que se desea estudiar, para

posteriormente establecer las condiciones de contorno esencial.

De lo anterior se opta por establecer el límite del dominio en la zona donde se registre una tensión

normal menor o igual al 1% de las tensiones registradas en la zona de la aplicación de la carga. Si se

considera una carga puntual Y = 10 kN y se registran las tensiones normales a distintas profundidades,

se obtiene el gráfico señalado en la Figura 6.2:

NOTA: Los términos logarítmicos son propios de este modelo bidimensional para el problema de carga

puntual, y no aparecen en el correspondiente problema tridimensional de Boussinesq. El desarrollo de

las expresiones antes señaladas se muestran con mayor detalle en la sección 8.4.7 pag. 171 de la obra

Elasticity; Theory, Applications and Numerics de M. Sadd (2005).


62

Figura 6.2: Influencia carga puntual en placa bidimensional a distintas profundidades.


Puede observarse que a medida que aumenta la profundidad, las tensiones disminuyen

rápidamente. Por ejemplo, a 1 metro de profundidad la tensión vertical es aproximadamente de un 10%

respecto a la tensión registrada en la zona cercana a la carga. También puede observarse que al aumentar

la profundidad también aumenta la influencia en la componente horizontal, aunque con valores muy

bajos. Al registrar la tensión a una distancia horizontal de 2.4 m del punto de aplicación de la carga y a

una profundidad de 10 m, se obtiene una tensión normal de -0.5691637 kPa (signo negativo indica

compresión), resultado menor al 1% que se registra en la zona donde se aplica la carga. En la Tabla 6.1

se muestran las tensiones registradas a distintas profundidades:

x (m) y (m) σy (kPa)

0 0.1 -63.6619702

0 0.5 -12.732394

0 1 -6.36619702

0 5 -1.2732394

0 10 -0.6366197

Tabla 6.1: Tensiones verticales bajo carga puntual.


Considerando el gráfico de la Figura 6.2 y las tensiones de Von Mises obtenidas mediante un

modelo implementado en Abaqus, ilustrado en la Figura 6.3, se determina fijar las condiciones de

-65

-60

-55

-50

-45

-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

-5 -4,5 -4 -3,5 -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

x (m)

σy (kPa)

Zona influencia carga puntual

σy (y = 0.1 m)

σy (y = 0.5 m)

σy (y = 1 m)

σy (y = 5 m)

σy (y = 10 m)


63

contorno esencial de desplazamiento prescrito a una distancia horizontal y vertical de 2,4 m y 10.6 m,

respectivamente, desde el punto de aplicación de la carga.

Figura 6.3: Tensiones de Von Mises problema propuesto.


En la Figura 6.4 se muestra de forma esquemática el problema propuesto: sus condiciones de

borde y contantes mecánicas.

2,4 m 2,4 m

10,6 m

Límite dominio

(GDL con condición

esencial prescrita).


64

Figura 6.4: Placa bidimensional con carga puntual (Flamant Problem).


6.3.1 Modelos propuestos

A continuación se describen los modelos propuestos obteniéndose una solución aproximada

mediante el MEF.


65

6.3.1.1 IN_4-5_806N.

Este modelo presenta un refinamiento de malla utilizando elementos de transición de 5 nodos,

permitiendo aumentar la densidad de elementos en la zona cercana a la aplicación de la carga y la

transición hacia una malla menos refinada en zonas de baja concentración de tensiones. Las Figuras 6.5

y 6.6 ilustran los elementos empleados en dicho modelo.

Elementos Serendipity

Figura 6.5: Elementos Serendipity que componen modelo IN_4-5_806N.


Elementos rectangulares lineales

Figura 6.6: Elementos rectangulares lineales modelo IN_4-5_806N.


El mallado del modelo se realizó en Autocad y mediante una “AutoLisp Application” se

exportaron las coordenadas nodales hacia el archivo de entrada. En la Tabla 6.2 se resume la

información de este modelo.

IN_4-5_806N

Nº elementos 726

Nº nodos 806

Nº elementos Serendipity de

5 nodos 60

Nº GDL 1612

Nº GDL restringidos 52

Nº total de ecuaciones 1560

Tabla 6.2: Características modelo IN_4-5_806N.



66

Finalmente en la Figura 6.7 se muestra el modelo discretizado, donde los elementos en gris

representan a los elementos de transición.

Figura 6.7: Modelo IN_4-5_806N.


6.3.1.2 IN_4_5243N.

En este modelo se emplea un mallado homogéneo de elementos rectangulares de 10x10 cm, como

se aprecia en la Figura 6.8. El presente ejemplo fue concebido con el propósito de obtener resultados

más precisos que el modelo anterior y, de ser correcta esta hipótesis, determinar si la diferencia en los

resultados justifica el mayor coste computacional en el que se incurre.


67

Figura 6.8: Modelo IN_4_5243N.


En la Tabla 6.3 se detalla más información respecto al modelo:

IN_4_5243N

Nº elementos 5088

Nº nodos 5243

Nº GDL 10486



Tabla 6.3: Características modelo IN_4_5243N.


6.3.1.3 Abaqus_779Nquad.

Este modelo elaborado en el software Abaqus/CAE, presenta elementos rectangulares lineales. Si

bien, el programa permite la lectura de los datos desde un archivo de entrada, se optó por utilizar la

interfaz gráfica para conformar la geometría e ingresar las propiedades del modelo, debido a la exigencia

de sintaxis que sugiere la elaboración de dicho archivo.


68

La malla de este modelo se ajustó de tal manera de obtener un número similar de elementos

respecto al modelo IN_4-5_806N. La malla de este modelo se ilustra en la Figura 6.9.

Figura 6.9: Modelo Abaqus_779Nquad


Las principales características de este modelo se resumen en la Tabla 6.4:

Abaqus_779Nquad

Nº elementos 720

Nº nodos 779

Nº GDL 1558



Tabla 6.4: Características modelo Abaqus_779Nquad.


6.3.1.4 Abaqus_779Ntri.

Este modelo posee características similares al anterior, salvo que la discretización se ha llevado a

cabo mediante elementos triangulares lineales. Dichos elementos son generados a partir de los

rectángulos del modelo anterior, por lo que resulta la misma cantidad de nodos pero el doble de

elementos. El propósito es establecer una base comparativa entre los resultados arrojados por ambas

mallas. En la Figura 6.10 se muestra el modelo descrito.


69

Figura 6.10: Modelo Abaqus_779Ntri


La Tabla 6.5 muestra las principales características de este modelo:

Abaqus_779Ntri

Nº elementos 1440

Nº nodos 779

Nº GDL 1558



Tabla 6.5: Características modelo Abaqus_779Ntri.


6.3.1.5 IN_4-6_9N y IN_4-6_9Nv2

Por último se proponen 2 modelos sencillamente discretizados constituidos solo de 3 elementos (2

elementos rectangulares lineales y 1 elemento de transición de 6 nodos correspondiente a la

configuración 2 vista en el capítulo 4, sección 4.6.2.2). El objetivo es evaluar si se consigue una buena

aproximación a la solución exacta mediante una malla pobre. En la Figura 6.11 se presentan ambos

modelos.


70

Figura 6.11: Modelos sencillamente discretizados.


Se detalla más información respecto a ambos modelos en la Tabla 6.6:

IN_4-6_9N y IN_4-6_9Nv2

Nº elementos 3

Nº nodos 9

Nº GDL 18



Tabla 6.6: Características modelos IN_4-6_9N y IN_4-5_9Nv2.

Fuente: Elaboración propia

6.3.2 Resultados y discusiones.

En esta sección se presentan resultados de tensiones y desplazamientos verticales bajo el punto de

aplicación de la carga.

En la Figura 6.12 se muestran las curvas de todos los modelos descritos con anterioridad a

excepción de los modelos IN_4-6_9N y IN_4-6_9Nv2, que se ilustran posteriormente con tal de no

generar distorsión visual y otorgar mayor claridad a los gráficos.

IN_4-6_9N IN_4-6_9Nv2


71

Figura 6.12: Tensiones verticales problema de Flamant.


Como puede apreciarse, a partir de los 2 m de profundidad prácticamente todas las curvas (a

excepción de la Flamant Solution) se superponen. En el grafico de la Figura 6.13 se analizan los

resultados de dicha zona.

Figura 6.13: Tensiones verticales problema de Flamant.


0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

-70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0

y (m)

σy (kPa)

Tensión Vertical

Flamant Solution

IN_4-5_806N

IN_4_5243N

Abaqus_779Nquad

Abaqus_779Ntri

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

2

-70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0

y (m)

σy (kPa)

Tensión Vertical

Flamant Solution

IN_4-5_806N

IN_4_5243N

Abaqus_779Nquad

Abaqus_779Ntri


72

A partir de gráfico ilustrado en la Figura 6.13 se observa que la curva obtenida por el modelo con

elementos de transición IN_4-5_806N se aproxima satisfactoriamente a la curva generada por la

solución de Flamant, resultando similar a la obtenida por el modelo homogéneo de 5243 nodos. Puede

inferirse por lo tanto, que en este caso el gran número de nodos de dicho modelo homogéneo no ha sido

determinante en la precisión de los resultados.

Además cabe resaltar que las tensiones verticales obtenidas del modelo constituido con elementos

de transición presentan distorsiones a partir de 1 m de profundidad aproximadamente (lo anterior se

aprecia con mayor claridad en la Figura 6.14).

Respecto a las curvas obtenidas con los 2 modelos realizados en Abaqus, se aprecia una buena

aproximación desde los 0.5 m, sin embargo en la zona cercana a la carga dichos modelos requieren de

un mayor refinamiento para poder representar de mejor forma las tensiones que allí ocurren, ya que

pierden significativa precisión.

Figura 6.14: Distorsiones generadas por elementos de transición.


La Figura 6.14 muestra con mejor detalle las distorsiones mencionadas anteriormente en la curva

generada por el modelo IN_4-5_806N. Estas distorsiones se producen en todas aquellas zonas donde

exista una transición de elementos de distinto orden de aproximación, sin embargo dichas distorsiones

no afectan de manera significativa la precisión del resto de la curva.

A continuación en el gráfico de la Figura 6.15 se efectúa la comparación de los modelos IN_4-

5_806N y IN_4-5_806N_G10. Ambos son idénticos salvo que utilizan distintos número de puntos para

llevar a cabo la integración numérica. El primero realiza la integración numérica utilizando 2 puntos

Gauss, mientras que el segundo modelo lo hace con 10. El objetivo de aumentar el número de puntos

Gauss es determinar si es posible disminuir las distorsiones mencionadas anteriormente.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

2

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

y (m)

σy (kPa)

Tensión Vertical

Flamant Solution

IN_4-5_806N

IN_4_5243N


73

Figura 6.15: Comparación de modelos con diferentes números de puntos Gauss.


Al observar las curvas generadas por ambos modelos se aprecia que una prácticamente se

superpone a la otra, por lo que el costo computacional de aumentar los puntos de integración no se

justifica en este caso. El aumento de la precisión, relativa a la elección de puntos Gauss para la

integración numérica, está condicionado, entre otros aspectos, por el grado de aproximación de las

funciones de interpolación en elementos. Para ambos modelos el elemento que posee mayor orden de

aproximación es el de 5 nodos que presenta una variación cuadrática en uno de sus lados, por lo que

bastará con 2 puntos para obtener resultados satisfactorios (esto se detalló en capítulo 3, sección 3.3).

Para finalizar el análisis de los resultados de tensiones verticales obtenidos para este problema, en

el gráfico de la Figura 6.16 se ilustra la comparación de los resultados obtenidos para los modelos IN_4-

6_9N y IN_4-6_9Nv2.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

1,8

2

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

y (m)

σy (kPa)

Tensión vertical diferentes puntos Gauss

Flamant Solution

IN_4-5_806N

IN_4-5_806N_G10


74

Figura 6.16: Modelos de baja densidad de malla.


Al poseer únicamente 3 nodos en la dirección vertical, sólo es posible determinar las tensiones en

las zonas intermedias de cada elemento, esto es a 2.65 m y 7.95 m de profundidad. Pese a la ello, los

resultados en dichos puntos son satisfactorios, considerando la simplicidad de ambos modelos. Puede

inferirse que si se divide el elemento 3 del modelo IN_4-6_9N en 2 porciones idénticas, o dividimos de

igual forma los elementos 2 y 3 del modelo IN_4-6_9Nv2, permitiendo ubicar un cuarto nodo a una

profundidad intermedia entre 0 - 2.65 m, los resultados podrían mejorar considerablemente.

A continuación en el gráfico de la Figura 6.17 se muestran los desplazamientos verticales

obtenidos para cada modelo, así como también la solución analítica dada por la relación (6.3.10).

0

2

4

6

8

10

-70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0

y (m)

σy (kPa)

Tensión Vertical

Flamant Solution

IN_4-6_9N

IN_4-6_9Nv2


75

Figura 6.17: Desplazamientos verticales Flamant Problem.


Puede apreciarse que las curvas generadas por los modelos IN_4-5_806N, IN_4_5243N y

Abaqus_779Ntri prácticamente se superponen una a la otra. Por otra parte la curva generada por el

modelo Abaqus_779quad, si bien presenta una tendencia similar a los modelos mencionados

anteriormente, posee una curva oscilante que se debe a la incapacidad del elemento rectangular lineal del

programa Abaqus/CAE (versión Estudiante), de representar de mejor forma la geometría del cuerpo

deformado, dificultad que es sorteada por los elementos triangulares en dicho programa. En la Figura

6.18 se representa la parte superior (zona cercana a la carga) de los modelos Abaqus deformados,

apreciándose dicho efecto.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-3E-06 -2,5E-06 -2E-06 -1,5E-06 -1E-06 -5E-07 8E-21

y(m)

u2(m)

Desplazamientos verticales

Flamant Solution

IN_4-5_806N

IN_4_5243N

Abaqus_779Nquad

Abaqus_779Ntri


76

Figura 6.18: (a) Abaqus_779Nquad. (b) Abaqus_779Ntri.


Por último, en la Figura 6.19 se muestran las curvas obtenidas con los modelos de baja densidad

de mallas, comparándolas con la solución exacta y el modelo de malla triangular implementada en

Abaqus.

Figura 6.19: Comparación curvas de desplazamiento vertical entre modelos de malla sencilla y modelo Abaqus.


0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-3E-06 -2,5E-06 -2E-06 -1,5E-06 -1E-06 -5E-07 1E-20

y(m)

u2(m)

Desplazamientos verticales

Flamant Solution

IN_4-6_9N

IN_4-6_9Nv2

Abaqus_779Ntri

(a)

(b)

Gran desplazamiento

Pequeño

desplazamiento

Desplazamiento

“uniforme”


77

Puede apreciarse que a partir de los 2 m, aproximadamente, la curva generada por el modelo IN_4-

6_9N prácticamente se superpone a la curva generada por Abaqus_779Ntri. Por lo tanto puede

establecerse que para obtener una primera aproximación, no se requeriría de una malla altamente densa

en la determinación de desplazamientos verticales, destacando como ventaja el ahorro en

implementación que ello supone. Por otra parte, similarmente a lo inferido en el gráfico de la Figura

6.16, los resultados podrían mejorar considerablemente al incluir un cuarto nodo en dirección vertical en

la zona cercana a la aplicación de la carga.

6.3.3 Resumen

Tensión vertical a 25 cm bajo la carga

Modelo Nº Ecuaciones σy (kPa) Dif.

Porcentual

Dif. Porcentual

(respecto a

malla más

densa)

Flamant Solution 1 -26.526 0.00 -

IN_4_5243N 10176 -27.923 5.27 0.00

IN_4-5_806N 1560 -25.708 3.08 7.93

IN_4-5_806N_G10 1560 -25.662 3.26 8.10

Abaqus_779Nquad 1440 -18.779 29.20 32.75

Abaqus_779Ntri 1440 -15.733 40.69 43.66

IN_4-6_9N 8 - - -

IN_4-6_9Nv2 8 - - -

Tabla 6.7: Resumen resultados tensión vertical a 25 cm bajo la carga.


Desplazamiento vertical inmediatamente bajo la carga

Modelo Nº Ecuaciones u2 (mm) Dif.

Porcentual

Dif. Porcentual

(respecto a

malla más

densa)

Flamant Solution 1 -2.792E-03 0.00 -

IN_4_5243N 10176 -2.191E-03 21.55 0.00

IN_4-5_806N 1560 -2.400E-03 14.04 9.57

IN_4-5_806N_G10 1560 -2.400E-03 14.05 9.55

Abaqus_779Nquad 1440 -3.042E-03 8.94 38.86

Abaqus_779Ntri 1440 -1.745E-03 37.50 20.34

IN_4-6_9N 8 -1.027E-03 63.22 53.12

IN_4-6_9Nv2 8 -1.177E-03 57.85 46.28

Tabla 6.8: Resumen resultados desplazamiento vertical bajo la carga.



78

6.4 PLACA BIDIMENSIONAL CON CARGA LATERAL

Este problema conlleva una solución analítica más sencilla que el problema anterior, ya que puede

concebirse como una viga alta en voladizo como se muestra la Figura 6.20:

Figura 6.20: Viga Cantilever.

Fuente: M. Sadd, 2005.

Para determinar las componentes del tensor tensión se emplea la siguiente función de Airy:

3

2

2

3

4 3 4

P xy Nxy y

c c c

(6.3.11)

Aplicando segundas derivadas parciales (6.2.2) a la función de Airy (6.3.11), se determinan las

componentes del tensor tensión como:

3

3

2 2x

Pxy N

c c (6.3.12)

0y (6.3.13)

2

2

3(1 )

4xy

P y

c c (6.3.14)

Los desplazamientos horizontales y verticales están dados por las siguientes expresiones:

2 3 3

3 3 2

3 3(1 )( , ) ( )

4 2 4 2 3o o

Px y N P y P yu x y x y y u

Ec Ec Ec cE c

(6.3.15)

2 3

3 3

3( , )

4 2 4o o

P xy N Pxv x y y x v

Ec Ec Ec

(6.3.16)

donde:

2 3

3 3

3 ;

4 2o o

PL PLv

Ec Ec


79

Cabe señalar que las expresiones mencionadas anteriormente son idénticas a las desarrolladas en el

capítulo 3 de la obra Theory of Elasticity de Timoshenko y Goodier (1951).

En la Figura 6.21 se representa esquematicamente el problema propuesto a resolver:

Figura 6.21: Placa bidimensional de espesor unitario con carga puntual lateral.


6.4.1 Modelos propuestos

A continuación se describen los modelos propuestos para obtener una solución aproximada

mediante el MEF.

6.4.1.1 IN_4-5-6_715N

En el presente modelo se emplean elementos de transición de 5 y 6 nodos para realizar el

refinamiento. Se emplea una malla de mayor densidad de elementos en las zonas del extremo izquierdo

y derecho de la placa, ya que se intuye que en dicha zona las tensiones deben ser mayores a las

registradas en la zona central de ésta. En la Figura 6.22 se ilustra la discretización de este modelo:


80

Figura 6.22: Modelo IN_4-5-6_715N.


Los elementos en gris oscuro corresponden a los elementos de transición de 5 nodos, mientras que

en gris claro los elementos de 6. En la Tabla 6.9 se resumen las características del modelo:

IN_4-5-6_715N

Nº elementos 630

Nº nodos 715

Nº elementos Serendipity de 5

nodos 6


nodos 24

Nº GDL 1430



Tabla 6.9: Características modelo IN_4-5-6_715N.



81

6.4.1.2 IN_4-5_341N

En el presente modelo la malla más fina se empleó en el primer tercio de la placa y posteriormente

mediante elementos Serendipity de 5 nodos se procede a emplear una malla menos densa. El objetivo ha

sido obtener un modelo sencillo, constituido de pocos elementos, cuyo archivo de entrada fuese fácil de

generar y al mismo tiempo proporcione un análisis computacional económico sin perjuicio en los

resultados. El modelo se muestra en la Figura 6.23:

Figura 6.23: Modelo IN_4-5_341N.


En la Tabla 6.10 se resumen las propiedades de este modelo:

IN_4-5_341N

Nº elementos 300

Nº nodos 341


nodos 10

Nº GDL 682



Tabla 6.10: Características modelo IN_4-5_341N.



82

6.4.1.3 IN_4_2501N

En este modelo se presenta una malla homogénea de elementos rectangulares lineales de 5x5 cm

por lo que se trata de una malla densa. El objetivo consiste en comparar los resultados de este modelo en

relación a los descritos anteriormente y, analizar la conveniencia de utilizar mallas densas para analizar

todo el problema. El modelo discretizado se esquematiza en la Figura 6.24:

Figura 6.24: Modelo IN_4_2501N.


En la Tabla 6.11 se resumen las características de este modelo:

IN_4_2501N

Nº elementos 2400

Nº nodos 2501

Nº GDL 5002



Tabla 6.11: Características modelo IN_4_2501N.



83

6.4.1.4 Abaqus_704Nquad

El presente modelo corresponde al elaborado en el programa Abaqus utilizando elementos

rectangulares lineales, cuya dimensión se ha calibrado de tal manera de obtener similar número de nodos

que en el modelo IN_4-6-5_715N, estableciendo de esta manera una base comparativa entre ambos (tal

como se hizo en el problema de Flamant desarrollado en la sección anterior). El modelo se muestra en la

Figura 6.25:

Figura 6.25: Modelo Abaqus_704Nquad.


En la Tabla 6.12 siguiente se resumen las características de este modelo:

Abaqus_704Nquad

Nº elementos 651

Nº nodos 704

Nº GDL 1408



Tabla 6.12: Características modelo Abaqus_704Nquad.



84

6.4.1.5 Abaqus_704Ntri

Con el objetivo establecer una base comparativa entre los modelos con elementos triangulares y

rectangulares implementados en Abaqus, se conforma el presente modelo con idénticas características al

modelo anterior. El modelo se muestra en la Figura 6.26 y sus propiedades se resumen en la Tabla 6.13.

Figura 6.26: Modelo Abaqus_704Ntri.


Abaqus_704Ntri

Nº elementos 1302

Nº nodos 704

Nº GDL 1408



Tabla 6.13: Características modelo Abaqus_704Ntri.



85

6.4.1.6 IN_4-6_12N y IN_4-6_12Nv2

Por último, tal como se efectuó en el problema de la sección anterior, se proponen 2 modelos con

una malla pobre, constituida solo de 5 y 4 elementos respectivamente. En tales esquemas de

discretización se incluye un cuarto nodo en dirección vertical en la zona cercana al empotramiento,

como que propuso en los modelos de mallas pobres del problema de Flamant. El objetivo es evaluar si

es posible mediante estos sencillos modelos, obtener resultados fidedignos como primera aproximación

a los resultados deseados economizando recursos computacionales.

En la Figura 6.27 se presentan ambos modelos. Las características se resumen en la Tabla 6.14.

Figura 6.27: Modelos sencillamente discretizados.


IN_4-6_12N y IN_4-6_12Nv2

Nº elementos 5, 4

Nº nodos 12

Nº GDL 24



Tabla 6.14: Características modelos IN_4-6_12N y IN_4-6_12Nv2.


IN_4-6_12N IN_4-6_12Nv2


86

6.4.2 Resultados y discusiones.

A continuación se presentan los resultados obtenidos de los distintos modelos expuestos en esta

sección. Se grafican curvas de tensión vertical obtenidas en el extremo izquierdo de la placa ya que es en

dicha zona se encuentran las tensiones máximas. También se muestran las curvas de desplazamientos

horizontales 1u obtenidos para los puntos ubicados en la zona central de la placa.

Figura 6.28: Tensiones verticales modelos programa MEF.


En la Figura 6.28 se aprecia que las curvas se ajustan de forma satisfactoria a la solución exacta.

Otro rasgo característico radica en la aparición de pequeñas distorsiones en los modelos

constituidos con elementos de transición, tal como ocurrió en el problema de la sección anterior. Sin

embargo, pese a que el modelo IN_4-5-6_715N es el que posee las mayores distorsiones, la curva que

genera es la que más se acerca al modelo densamente refinado IN_4_2501N, resultado favorable si se

considera que fue generado a partir de un 72% menos de ecuaciones.

A continuación, en el gráfico que se ilustra en la Figura 6.29 se comparan las curvas de tensión

vertical obtenidas con los modelos de mallas pobres y los modelos analizados en el programa Abaqus.

0

0,25

0,5

0,75

1

1,25

1,5

1,75

2

2,25

2,5

2,75

3

-75 -70 -65 -60 -55 -50 -45 -40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0

σy (kPa)

y (m)Tensión Vertical

Airy

IN_4-5-6_715N

IN_4-5_341N

IN_4_2501N


87

Figura 6.29: Comparación tensiones verticales entre modelos de mallas sencillas y modelos Abaqus.


Se observa que los modelos conformados por mallas pobres obtienen resultados bastante

satisfactorios. El modelo IN_4-6_12N no presenta distorsiones pese a que contiene un elemento de

transición de 6 nodos, sin embargo el modelo IN_4-6_12Nv2 posee una leve distorsión a una

profundidad de 1.25 m, lo que resulta esperable, ya que el primer modelo presenta un mayor

refinamiento en la zona empotrada. Aun así los resultados de ambos modelos son similares y representan

una buena aproximación para determinar las tensiones verticales del problema.

Los modelos implementados en Abaqus presentan curvas que prácticamente se superponen una a

la otra, siendo éstas muy similares a las observadas en el grafico de la Figura 6.28.

En los gráficos ilustrados en las Figuras 6.30 y 6.31se representan las curvas para los

desplazamientos horizontales de los distintos modelos.

0

0,25

0,5

0,75

1

1,25

1,5

1,75

2

2,25

2,5

2,75

3

-75 -70 -65 -60 -55 -50 -45 -40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0

σy (kPa)

y (m)Tensión Vertical

Airy

IN_4-6_12N

IN_4-6_12Nv2

Abaqus_704Nquad

Abaqus_704Ntri


88

Figura 6.30: Comparación curvas de desplazamiento horizontal entre modelos de mallas intermedias y modelo Abaqus.


Figura 6.31: Comparación curvas de desplazamiento horizontal entre modelos de malla pobre y modelo Abaqus.


0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

-3,22E-2 1E-06 2E-06 3E-06 4E-06 5E-06 6E-06 7E-06 8E-06 9E-06

y(m)

u1(m)

Desplazamientos horizontales

Airy

IN_4-5-6_715N

IN_4_2501N

Abaqus_704Nquad

Abaqus_704Ntri

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

0 0,000001 0,000002 0,000003 0,000004 0,000005 0,000006 0,000007 0,000008 0,000009

y(m)

u1(m)

Desplazamientos horizontales

Airy

IN_4-6_12N

IN_4-6_12Nv2

Abaqus_704Ntri


89

Del grafico de la Figura 6.30 se distingue nuevamente la curva de carácter oscilante del modelo

Abaqus con elementos rectangulares (al igual que la curva de desplazamientos del problema de la

sección anterior), también se percibe que el modelo implementado con elementos de transición se ajusta

satisfactoriamente a las demás curvas, infiriéndose de ello, que el refinamiento denso homogéneo del

modelo IN_4_2501N no permitió aumentar la precisión de los resultados.

Las curvas de los modelos de mallas pobres exhibidas en el gráfico de la Figura 6.31 presentan

una precisión similar a las demás curvas, resultado satisfactorio si se considera que ambos modelos

representan un numero de ecuaciones 99.63% menor al sistema de ecuaciones generado por la malla más

densa del modelo IN_4_2501N.

6.4.3 Resumen

Tensión vertical a 10 cm del empotramiento

Modelo Nº Ecuaciones σy (kPa) Dif.

Porcentual

Dif. Porcentual

(respecto a malla más

densa)

Airy 1 -43.500 0.00 -

IN_4_2501N 4920 -51.406 18.18 0.00

Abaqus_704Nquad 1364 -48.180 10.76 6.28

Abaqus_704Ntri 1364 -49.581 13.98 3.55

IN_4-5-6_715N 1352 -51.420 18.21 0.03

IN_4-5-6_715N_G10 1352 -51.420 18.21 0.03

IN_4-5_341N 640 -50.843 16.88 1.10

IN_4-6_12N 18 - - -

IN_4-6_12Nv2 18 - - -

Tabla 6.15: Resumen resultados tensión vertical a 10 cm bajo la carga.


Desplazamiento horizontal en el tope de la placa

Modelo Nº Ecuaciones u1 (mm) Dif.

Porcentual

Dif. Porcentual

(respecto a malla más

densa)

Airy 1 6.429E-03 0.00 -

IN_4_2501N 4920 9.444E-03 46.90 0.00

Abaqus_704Nquad 1364 1.024E-02 59.30 8.44

Abaqus_704Ntri 1364 9.033E-03 40.51 4.35

IN_4-5-6_715N 1352 9.022E-03 40.34 4.47

IN_4-5-6_715N_G10 1352 9.021E-03 40.33 4.47

IN_4-5_341N 640 9.004E-03 40.06 4.66

IN_4-6_12N 18 7.390E-03 14.96 21.74

IN_4-6_12Nv2 18 7.654E-03 19.07 18.95

Tabla 6.16: Resumen resultados desplazamiento horizontal partesuperior placa.


CONCLUSIONES

CONCLUSIONES

El refinamiento local utilizando elementos de transición geométricamente regulares, permite

obtener resultados satisfactorios sin la necesidad de conformar un modelo de malla altamente densa

en todo el modelo. Por lo tanto es una metodología sencilla que puede ser utilizada para la

verificación aproximada de resultados.

Se prevé que la convergencia de los desplazamientos nodales en mallas homogéneas altamente

densas, puede obtenerse a partir de mallas con un número mucho menor de elementos. Esto a partir

de los resultados obtenidos de las mallas pobres conformadas por 9 y 12 nodos. Sin embargo, para

el estudio detallado de zonas con alta concentración de tensiones, dichos modelos no son

satisfactorios.

La transición entre elementos de distinto orden debe ser gradual debido a que pueden ocasionar

pequeñas distorsiones, sin embargo traspasada la “zona de transición”; es interesante rescatar que

los desplazamientos nodales retoman precisión.

El proceso sistemático y sencillo de obtener las funciones de forma Serendipity da pie para la

implementación de nuevos elementos de alto orden y/o nuevos elementos con distinto orden de

aproximación (sin simetría nodal) como los implementados en esta memoria.

Las diferencias porcentuales máximas para las tensiones verticales obtenidas entre el modelo con

malla más y menos densa para el problema de Flamant fue de 43.66%, sin embargo para el

problema de la placa con carga lateral esta diferencia fue de solo 1.1%. Posiblemente dicha

diferencia pueda deberse principalmente a la inclusión del cuarto nodo en dirección vertical. Otra

razón posible, es que en el primer caso se comparan las tensiones justo bajo la carga (zona de

mucha sensibilidad), mientras que en el segundo se comparan lejos del punto de aplicación de la

carga. Aun así, debe rescatarse que los modelos menos densos (9 y 12 nodos), poseen un número de

ecuaciones aproximadamente 99.63% menor al sistema conformado por los modelos de mallas más

refinadas.

Los modelos con refinamiento de mallas mediante elementos de transición de densidad “media”

(IN_4-5_806N y IN_4-5-6_715N) obtuvieron resultados más satisfactorios que sus correspondientes

modelos implementados en Abaqus que contenían similar número de GDL. La diferencia porcentual

promedio entre los modelos de transición y la malla más densa fue de 5.5%.

RECOMENDACIONES PARA TRABAJOS FUTUROS

RECOMENDACIONES PARA TRABAJOS FUTUROS

Como proyección del trabajo podría indicarse la necesidad de una interfaz de usuario más amigable

que permita el ingreso de datos de forma más expedita y no tan rigurosa como lo es actualmente

mediante un archivo txt. Resulta de interés la interacción con características propias del programa

Autocad para automatizar el proceso de generación de coordenadas nodales.

Otra línea de investigación posible de desarrollar, es la implementación de nuevas subrutinas

avocadas a la reformulación de la matriz de rigidez global para realizar análisis no lineales, y

subrutinas que posibiliten el análisis dinámico.

BIBLIOGRAFÍA

92

BIBLIOGRAFIA

BELYTSCHKO, T.; Y. LU; L. GU. 1994. Element-free Galerkin methods. Int. J. Numerical Methods in Engineering. 37(2):

229-256

BENZLEY, S.E.; E. PERRY; K. MERKLEY; B. CLARK; G. SJAADAMA. 1995. A Comparison of all Hexagonal and all

Tetrahedral Finite Element Meshes for Elastic and Elasto-Plastic Analysis. Proceedings of the 4th International Meshing

Roundtable. 179–191.

BLACKER, T. 2001. Automated Conformal Hexahedral Meshing Constraints, Challenges and Opportunities. Engineering

with Computers. 17(3): 201–210.

BOUSSINESQ, M.J. 1885. Application des potentiels à l'étude de l'équilibre et du mouvement des solides élastiques,

principalement au calcul des déformations et des pressions que produisent, dans ces solides, des efforts quelconques exercés

sur une petite partie de leur surface ou de leur intérieur : mémoire suivi de notes étendues sur divers points de physique

mathématique et d'analyse. Francia, L. Danel. 721p.

CELIGÜETA, J. 2008. Método de los Elementos Finitos para Análisis Estructural. 3ed. España, Tecnun. 272 p.

CHANDRUPATLA, T.; A. BELEGUNDU. 1999. Introducción al estudio del Elemento Finito en Ingeniería. 2 ed. México,

Prentice Hall. 462 p.

CRAIG, R. F. 2004. Craig’s Soil Mechanics. 7ed. Canada, Spon Press. 447 p.

FLAMANT, M. 1892. Sur la répartition des pressions dans un solide rectangulaire chargé transversalement. Comptes Rendus

à L’Académie des Sciences. 114 (1): 1465-1468.

HELWANY, S. 2007. Applied Soil Mechanics; with ABAQUS Applications. New Jersey, John Wiley & Sons, Inc. 385 p.

HO-LE, K. 1988. Finite Element Mesh Generation Methods: A Review And Classification. Computer-Aided Design. 20(1):

27-38.

LEE, N.S.; K. BATHE. 1993. Effects of Element Distortion on the Performance of Isoparametric Elements. . Int. J.

Numerical Methods in Engineering. 36 (1): 3553-3576.

NAYROLES, B.; G. TOUZOT ; P. VILLON. 1992. Generalizing the finite element method: Diffuse approximation and

diffuse elements. Computational Mechanics. 10(5): 307-318

OÑATE, E.; S. IDELSOHN; O. ZIENKIEWICZ; R. TAYLOR. 1996. A finite point method in computational mechanics.

Applications to convective transport and fluid flow. Int. J. Numerical Methods in Engineering. 39(22): 3839-3866

RIBEIRO, F. 2004. Introdução ao método dos elementos finitos. Rio de janeiro, COPPE/UFRJ. 93 p.

SADD; M. 2005. Elasticity; Theory, Applications, and Numerics. S.l, Elsevier. 461 p.

SALARI-RAD, H.; M. RAHIMI. 2012. Meshless Simulation of Rock Mechanics Problems by Element Free Galerkin

Method. EN: QIAN, Q.; Y. ZHOU. Harmonising Rock Engineering and the Environment. London, CRC Press. 271-272 p.

BIBLIOGRAFÍA

93

STRICKLIN, J.A.; W. HO; E. RICHARDSON; W. HAISTER. 1977. On Isoparametric vs Linear Strain Triangular Elements.

Int. J. Numerical Methods in Engineering. 11 (6): 1041–1043.

SUN, L.; G. ZHAO; X. MA. 2012. Adaptive Generation and Local Refinement Methods of Three-Dimensional Hexahedral

Element Mesh. Finite Elements in Analysis and Design. 50:184-200

TIMOSHENKO, S.; J. GOODIER. 1951. Theory of Elasticity. 2ed. Palo Alto, McGraw-Hill. 506 p.

YOUNG, W.; R. BUDYNAS. 2002. Roark’s Formulas for Stress and Strain. 7ed. USA, McGraw-Hill. 852 p.

ZHANG, H.; G. ZHAO; X. MA. 2007. Adaptive Generation of Hexahedral Element Mesh using an Improved Grid-Based

Method. Computer-Aided Design. 39(10): 914-928.

ZIENKIEWICZ, O.C.; R.L. TAYLOR. 2000. The Finite Element Method; The Basis. 5ed. Usa, Butterworth-Heinemann.

Vol. 1, 689 p.

ZIENKIEWICZ, O.C.; R.L. TAYLOR. 2000. The Finite Element Method; Solid Mechanics. 5ed. Usa, Butterworth-

Heinemann. Vol. 2, 459 p.

ZIENKIEWICZ, O.C.; R.L. TAYLOR. 1989. The Finite Element Method; Basic Formulation and Linear Problems. 4ed.

London, McGraw-Hill. Vol. 1, 648 p.

ANEXOS

94

ANEXO A

Este anexo contiene el desarrollo realizado con asistencia del programa Mathcad para la obtención

de las diferentes funciones de forma presentes en esta memoria.

A.1. Elemento rectangular Serendipity de 8 nodos.

Figura A.1: Elemento rectangular 8 nodos familia Serendipity.


A.1.1 Funciones de forma; elemento principal (lineal de 4 nodos):

Np1 ( )1

41 ( ) 1 ( )

Np2 ( )1

41 ( ) 1 ( )

Np3 ( )1

41 ( ) 1 ( )

Np4 ( )1

41 ( ) 1 ( )

A.1.2 Definición funciones de forma; nodos de tramo:

N5 ( )1

21 ( ) 1

2

N6 ( )1

21

2 1 ( )

N7 ( )1

21 ( ) 1

2

N8 ( )1

21

2 1 ( )

ANEXOS

95

A.1.3 Definición funciones de forma; nodos de vertice:

N1 ( ) Np1 ( )1

2N5 ( )

1

2N6 ( )

N2 ( ) Np2 ( )1

2N6 ( )

1

2N7 ( )

N3 ( ) Np3 ( )1

2N7 ( )

1

2N8 ( )

N4 ( ) Np4 ( )1

2N8 ( )

1

2N5 ( )

A.1.4 Funciones de forma; elemento rectangular de 8 nodos:

N1 ( )s implificar

factor

1( ) 1( ) 1( )

4

N2 ( )s implificar

factor

1( ) 1( ) 1( )

4

N3 ( )s implificar

factor

1( ) 1( ) 1( )

4

N4 ( )s implificar

factor

1( ) 1( ) 1( )

4

N5 ( )s implificar

factor

1( ) 1( ) 1( )

2

N6 ( )s implificar

factor

1( ) 1( ) 1( )

2

N7 ( )s implificar

factor

1( ) 1( ) 1( )

2

N8 ( )s implificar

factor

1( ) 1( ) 1( )

2

ANEXOS

96

A.1.5 Verificación; requisito de continuidad interelemental :

1

1

1

1

1

0

1

0

1

1

1

1

0

1

0

1

i 1 8

N1 i i

1

0

0

0

0

0

0

0

N2 i i

0

1

0

0

0

0

0

0

N3 i i

0

0

1

0

0

0

0

0

N4 i i

0

0

0

1

0

0

0

0

N5 i i

0

0

0

0

1

0

0

0

N6 i i

0

0

0

0

0

1

0

0

N7 i i

0

0

0

0

0

0

1

0

N8 i i

0

0

0

0

0

0

0

1

ANEXOS

97

A.2. Elemento rectangular Serendipity de 5 nodos.

Figura A.2: Elemento de transición de 5 nodos.



N1p ( )1

41 ( ) 1 ( )

N2p ( )1

41 ( ) 1 ( )

N3p ( )1

41 ( ) 1 ( )

N4p ( )1

41 ( ) 1 ( )

A.2.2 Definición función de forma; nodo 5 (nodo de tramo):

N5 ( )1

21 ( ) 1

2


N1 ( ) N1p ( )1

2N5 ( )

N2 ( ) N2p ( )

N3 ( ) N3p ( )

N4 ( ) N4p ( )1

2N5 ( )

ANEXOS

98

A.2.4 Funciones de forma; elemento rectangular de 5 nodos:

N1 ( )factor

s implificar

1( ) 1( )

4

N2 ( )factor

s implificar

1( ) 1( )

4

N3 ( )factor

s implificar

1( ) 1( )

4

N4 ( )factor

s implificar

1( ) 1( )

4

N5 ( )factor

s implificar

1( ) 2

1

2

A.2.5 Verificación; requisito de continuidad interelemental:

1

1

1

1

1

1

1

1

1

0

i 1 5

N1 i i

1

0

0

0

0

N2 i i

0

1

0

0

0

N3 i i

0

0

1

0

0

N4 i i

0

0

0

1

0

N5 i i

0

0

0

0

1

ANEXOS

99

A.3. Elemento rectangular Serendipity de 6 nodos (configuración 1).

Figura A.3: Elemento de transición de 6 nodos configuración 1.



N1p ( )1

41 ( ) 1 ( )

N2p ( )1

41 ( ) 1 ( )

N3p ( )1

41 ( ) 1 ( )

N4p ( )1

41 ( ) 1 ( )

A.3.2 Definición funciones de forma; nodos de tramo (5 y 6):

N5 ( )1

21 ( ) 1

2

N6 ( )1

21

2 1 ( )


N1 ( ) N1p ( )1

2N5 ( )

1

2N6 ( )

N2 ( ) N2p ( )1

2N6 ( )

N3 ( ) N3p ( )

N4 ( ) N4p ( )1

2N5 ( )

ANEXOS

100

A.3.4 Funciones de forma; elemento rectangular de 6 nodos (configuración 1):

N1 ( )factor

s implificar

1( ) 1( ) 1( )

4

N2 ( )factor

s implificar

1( ) 1( )

4

N3 ( )factor

s implificar

1( ) 1( )

4

N4 ( )factor

s implificar

1( ) 1( )

4

N5 ( )factor

s implificar

1( ) 2

1

2

N6 ( )factor

s implificar

1( ) 2

1

2


1

1

1

1

1

0

1

1

1

1

0

1

i 1 6

N1 i i

1

0

0

0

0

0

N2 i i

0

1

0

0

0

0

N3 i i

0

0

1

0

0

0

N4 i i

0

0

0

1

0

0

N5 i i

0

0

0

0

1

0

N6 i i

0

0

0

0

0

1

ANEXOS

101

A.4. Elemento rectangular Serendipity de 6 nodos (configuración 2).

Figura A.4: Elemento de transición de 6 nodos configuración 2.



N1p ( )1

41 ( ) 1 ( )

N2p ( )1

41 ( ) 1 ( )

N3p ( )1

41 ( ) 1 ( )

N4p ( )1

41 ( ) 1 ( )

A.4.2 Definición funciones de forma; nodos de tramo (5 y 6):

N5 ( )1

21

2 1 ( )

N6 ( )1

21

2 1 ( )


N1 ( ) N1p ( )1

2N5 ( )

N2 ( ) N2p ( )1

2N5 ( )

N3 ( ) N3p ( )1

2N6 ( )

N4 ( ) N4p ( )1

2N6 ( )

ANEXOS

102

A.4.4 Funciones de forma; elemento rectangular de 6 nodos (configuración 2):

N1 ( )factor

s implificar

1( ) 1( )

4

N2 ( )factor

s implificar

1( ) 1( )

4

N3 ( )factor

s implificar

1( ) 1( )

4

N4 ( )factor

s implificar

1( ) 1( )

4

N5 ( )factor

s implificar

1( ) 2

1

2

N6 ( )factor

s implificar

1( ) 2

1

2


1

1

1

1

0

0

1

1

1

1

1

1

i 1 6

N1 i i

1

0

0

0

0

0

N2 i i

0

1

0

0

0

0

N3 i i

0

0

1

0

0

0

N4 i i

0

0

0

1

0

0

N5 i i

0

0

0

0

1

0

N6 i i

0

0

0

0

0

1

ANEXOS

103

ANEXO B

En este anexo se muestra el código de las subrutinas implementadas en FORTRAN.

B.1. Elemento de transición de 5 nodos Elmt09.for:

subroutine elmt09 (e,x,u,p,skl,nel,ndm,nst,isw,nin) ************************************************************************ * * Estado plano de tensión - elemento cuadrilátero de 5 nodos: * * x: Coordenadas de los nudos del elemento (dimensión * "ndm x nen") * iel: Forma o tipología del elemento * ma: Número de material del elemento * nst: Número total de grados de libertad del elemento * (nst = ndf x nen) * ul -> u: Vector que contiene valores de desplazamientos * prescritos en los nudos del elemento * (dimensión "ndf x nen") * fl -> p: Vector corrector del vector de fuerza nodal * skl: Matriz de rigidez del elemento * ************************************************************************ implicit real*8 (a-h, o-z) common / bgauss / ngauss real*8 my, nu, ksi dimension e(*), x(ndm,*), u(nst), p(nst), skl(nst,nst), hx(5), 1 hy(5), gauss(ngauss), alfa(ngauss) goto (1,2) isw * * Lectura de propiedades mecánicas * 1 continue read(nin,100) e(1), e(2), e(3), e(4) ! E, v, t, ro return * * Inicio * 2 continue do i = 1, nst do j = 1, nst skl(i,j) = 0.d0 enddo enddo * * Puntos Gauss para integración numérica, factores de ponderación * call pgauss(ngauss,gauss,alfa) do m = 1, ngauss ksi = gauss(m)

ANEXOS

104

alfai = alfa(m) do n = 1, ngauss eta = gauss(n) alfaj = alfa(n) * * Calcula el determinante de la matriz Jacobiana * c1 = eta*(eta + 1)/4 ! 2-----------------1 c2 = -(eta + 1)/4 ! | | c3 = (eta - 1)/4 ! | | c4 = eta*(eta - 1)/4 ! | | c5 = -(eta - 1)*(eta + 1)/2 ! | 5 ! | | f1 = (2*eta + 1)*(ksi + 1)/4 ! | | f2 = -(ksi - 1)/4 ! | | f3 = -f2 ! 3-----------------4 f4 = (2*eta - 1)*(ksi + 1)/4 f5 = -eta*(ksi + 1) xj11 = c1*x(1,1) + c2*x(1,2) + c3*x(1,3) + c4*x(1,4) + c5*x( + 1,5) xj12 = c1*x(2,1) + c2*x(2,2) + c3*x(2,3) + c4*x(2,4) + c5*x( + 2,5) xj21 = f1*x(1,1) + f2*x(1,2) + f3*x(1,3) + f4*x(1,4) + f5*x( + 1,5) xj22 = f1*x(2,1) + f2*x(2,2) + f3*x(2,3) + f4*x(2,4) + f5*x( + 2,5) det = xj11*xj22 - xj12*xj21 ! = J(1,1)*J(2,2) - J(1,2 * )*J(2,1) if (det. le. 0.d0) then write(*,110) nel stop endif * * Calcula la inversa de la matriz Jacobiana * _ _ ! | | xji11 = xj22/det ! | J(2,2) -J(2,1) | xji12 = - xj12/det ! 1/det * | | xji21 = - xj21/det ! | -J(2,1) J(1,1) | xji22 = xj11/det ! |_ _| * * Derivadas de las funciones de interpolación * hx(1) = (xji11*c1 + xji12*f1) ! = d(N1)/d(x) hx(2) = (xji11*c2 + xji12*f2) ! = d(N2)/d(x) hx(3) = (xji11*c3 + xji12*f3) ! = d(N3)/d(x) hx(4) = (xji11*c4 + xji12*f4) ! = d(N4)/d(x) hx(5) = (xji11*c5 + xji12*f5) ! = d(N5)/d(x) hy(1) = (xji21*c1 + xji22*f1) ! = d(N1)/d(y) hy(2) = (xji21*c2 + xji22*f2) ! = d(N2)/d(y) hy(3) = (xji21*c3 + xji22*f3) ! = d(N3)/d(y) hy(4) = (xji21*c4 + xji22*f4) ! = d(N4)/d(y) hy(5) = (xji21*c5 + xji22*f5) ! = d(N5)/d(y)

ANEXOS

105

* * Matriz constitutiva * my = e(1) nu = e(2) thic = e(3) a = my/(1.d0-nu*nu) * _ _ * | 1 nu 0 | d11 = a ! | | d12 = a*nu ! E/(1-nu^2) * | nu 1 0 | d21 = d12 ! | | d22 = a ! |_ 0 0 (1-nu)/2 _| d33 = my/(2.d0*(1.d0+nu)) * * Matriz de rigidez * wt = det*thic*alfai*alfaj do j = 1, 5 k = (j-1)*2 + 1 ! k = 2j-1 do i = 1, 5 l = (i-1)*2 + 1 ! l = 2i-1 * * _ _ * | hx(1) 0 hx(2) 0 hx(3) 0 hx(4) 0 hx(5) 0 | * | | * B = | 0 hy(1) 0 hy(2) 0 hy(3) 0 hy(4) 0 hy(5) | * | | * |_ hy(1) hx(1) hy(2) hx(2) hy(3) hx(3) hy(4) hx(4) hy(5) hx(5) _| * * _ _ * | d11 d12 0 | * | | t * D = | d21 d22 0 | , K = B * D * B * Area * | | * |_ 0 0 d33 _| * * * ------------------------------------------------------------------ skl(l,k) = skl(l,k) + (hx(i)*d11*hx(j) 1 + hy(i)*d33*hy(j))*wt * ------------------------------------------------------------------ skl(l,k+1) = skl(l,k+1) + (hx(i)*d12*hy(j) 1 + hy(i)*d33*hx(j))*wt * ------------------------------------------------------------------ skl(l+1,k) = skl(l+1,k) + (hy(i)*d21*hx(j) 1 + hx(i)*d33*hy(j))*wt * ------------------------------------------------------------------ skl(l+1,k+1)= skl(l+1,k+1) + (hy(i)*d22*hy(j) 1 + hx(i)*d33*hx(j))*wt * ------------------------------------------------------------------ enddo enddo

ANEXOS

106

enddo enddo * * Producto p = s u (vector corrector del vector de fuerza nodal, * a nivel de elemento) * call lku (skl,u,p,nst) * * Formatos de lectura e impresión * 100 format(5x,4(4x,d11.5)) 110 format(' ERR: Subrutina ELMT09; determinante asociado al elemento +resulta nulo o negativo para ',i5,/) * * Fin de la unidad de programa * return end

ANEXOS

107

B.2. Elemento de transición de 6 nodos configuración 1 Elmt10.for:

subroutine elmt10 (e,x,u,p,skl,nel,ndm,nst,isw,nin) ************************************************************************ * * Estado plano de tensión - elemento cuadrilátero de 6 nodos: * * x: Coordenadas de los nudos del elemento (dimensión * "ndm x nen") * iel: Forma o tipología del elemento * ma: Número de material del elemento * nst: Número total de grados de libertad del elemento * (nst = ndf x nen) * ul -> u: Vector que contiene valores de desplazamientos * prescritos en los nudos del elemento * (dimensión "ndf x nen") * fl -> p: Vector corrector del vector de fuerza nodal * skl: Matriz de rigidez del elemento * ************************************************************************ implicit real*8 (a-h, o-z) common / bgauss / ngauss real*8 my, nu, ksi dimension e(*), x(ndm,*), u(nst), p(nst), skl(nst,nst), hx(6), 1 hy(6), gauss(ngauss), alfa(ngauss) goto (1,2) isw * * Lectura de propiedades mecánicas * 1 continue read(nin,100) e(1), e(2), e(3), e(4) ! E, v, t, ro return * * Inicio * 2 continue do i = 1, nst do j = 1, nst skl(i,j) = 0.d0 enddo enddo * * Puntos Gauss para integración numérica, factores de ponderación * call pgauss(ngauss,gauss,alfa) do m = 1, ngauss ksi = gauss(m) alfai = alfa(m) do n = 1, ngauss eta = gauss(n) alfaj = alfa(n)

ANEXOS

108

* * Calcula el determinante de la matriz Jacobiana * c1 = (eta + 1)*(2*ksi + eta)/4 ! 2----------6----------1 c2 = (eta + 1)*(2*ksi - 1)/4 ! | | c3 = (eta - 1)/4 ! | | c4 = eta*(eta - 1)/4 ! | | c5 = -(eta - 1)*(eta + 1)/2 ! | 5 c6 = -ksi*(eta + 1) ! | | ! | | f1 = (ksi + 1)*(ksi + 2*eta)/4 ! | | f2 = ksi*(ksi - 1)/4 ! 3---------------------4 f3 = (ksi - 1)/4 f4 = (2*eta - 1)*(ksi + 1)/4 f5 = -eta*(ksi + 1) f6 = -(ksi - 1)*(ksi + 1)/2 xj11 = c1*x(1,1) + c2*x(1,2) + c3*x(1,3) + c4*x(1,4) + c5*x( + 1,5) + c6*x(1,6) xj12 = c1*x(2,1) + c2*x(2,2) + c3*x(2,3) + c4*x(2,4) + c5*x( + 2,5) + c6*x(2,6) xj21 = f1*x(1,1) + f2*x(1,2) + f3*x(1,3) + f4*x(1,4) + f5*x( + 1,5) + f6*x(1,6) xj22 = f1*x(2,1) + f2*x(2,2) + f3*x(2,3) + f4*x(2,4) + f5*x( + 2,5) + f6*x(2,6) det = xj11*xj22 - xj12*xj21 ! = J(1,1)*J(2,2) - J(1,2 !)*J(2,1) if (det. le. 0.d0) then write(*,110) nel stop endif * * Calcula la inversa de la matriz Jacobiana * _ _ ! | | xji11 = xj22/det ! | J(2,2) -J(2,1) | xji12 = - xj12/det ! 1/det * | | xji21 = - xj21/det ! | -J(2,1) J(1,1) | xji22 = xj11/det ! |_ _| * * Derivadas de las funciones de interpolación * hx(1) = (xji11*c1 + xji12*f1) ! = d(N1)/d(x) hx(2) = (xji11*c2 + xji12*f2) ! = d(N2)/d(x) hx(3) = (xji11*c3 + xji12*f3) ! = d(N3)/d(x) hx(4) = (xji11*c4 + xji12*f4) ! = d(N4)/d(x) hx(5) = (xji11*c5 + xji12*f5) ! = d(N5)/d(x) hx(6) = (xji11*c6 + xji12*f6) ! = d(N6)/d(x) hy(1) = (xji21*c1 + xji22*f1) ! = d(N1)/d(y) hy(2) = (xji21*c2 + xji22*f2) ! = d(N2)/d(y) hy(3) = (xji21*c3 + xji22*f3) ! = d(N3)/d(y) hy(4) = (xji21*c4 + xji22*f4) ! = d(N4)/d(y) hy(5) = (xji21*c5 + xji22*f5) ! = d(N5)/d(y) hy(6) = (xji21*c6 + xji22*f6) ! = d(N5)/d(y) *

ANEXOS

109

* Matriz constitutiva * my = e(1) nu = e(2) thic = e(3) a = my/(1.d0-nu*nu) * _ _ * | 1 nu 0 | d11 = a ! | | d12 = a*nu ! E/(1-nu^2) * | nu 1 0 | d21 = d12 ! | | d22 = a ! |_ 0 0 (1-nu)/2 _| d33 = my/(2.d0*(1.d0+nu)) * * Matriz de rigidez * wt = det*thic*alfai*alfaj do j = 1, 6 k = (j-1)*2 + 1 ! k = 2j-1 do i = 1, 6 l = (i-1)*2 + 1 ! l = 2i-1 * * _ _ * | hx(1) 0 hx(2) 0 hx(3) 0 hx(4) 0 hx(5) 0 hx(6) 0 | * | | * B = | 0 hy(1) 0 hy(2) 0 hy(3) 0 hy(4) 0 hy(5) 0 hy(6) | * | | * |_ hy(1) hx(1) hy(2) hx(2) hy(3) hx(3) hy(4) hx(4) hy(5) hx(5) hy(6) hx(6) _| * * _ _ * | d11 d12 0 | * | | t * D = | d21 d22 0 | , K = B * D * B * Area * | | * |_ 0 0 d33 _| * * * ------------------------------------------------------------------ skl(l,k) = skl(l,k) + (hx(i)*d11*hx(j) 1 + hy(i)*d33*hy(j))*wt * ------------------------------------------------------------------ skl(l,k+1) = skl(l,k+1) + (hx(i)*d12*hy(j) 1 + hy(i)*d33*hx(j))*wt * ------------------------------------------------------------------ skl(l+1,k) = skl(l+1,k) + (hy(i)*d21*hx(j) 1 + hx(i)*d33*hy(j))*wt * ------------------------------------------------------------------ skl(l+1,k+1)= skl(l+1,k+1) + (hy(i)*d22*hy(j) 1 + hx(i)*d33*hx(j))*wt * ------------------------------------------------------------------ enddo enddo enddo

ANEXOS

110

enddo * * Producto p = s u (vector corrector del vector de fuerza nodal, * a nivel de elemento) * call lku (skl,u,p,nst) * * Formatos de lectura e impresión * 100 format(5x,4(4x,d11.5)) 110 format(' ERR: Subrutina ELMT10; determinante asociado al elemento +resulta nulo o negativo para ',i5,/) * * Fin de la unidad de programa * return end

ANEXOS

111

B.3. Elemento de transición de 6 nodos configuración 2 Elmt11.for:

subroutine elmt11 (e,x,u,p,skl,nel,ndm,nst,isw,nin) ************************************************************************ * * Estado plano de tensión - elemento cuadrilátero de 6 nodos: * * x: Coordenadas de los nudos del elemento (dimensión * "ndm x nen") * iel: Forma o tipología del elemento * ma: Número de material del elemento * nst: Número total de grados de libertad del elemento * (nst = ndf x nen) * ul -> u: Vector que contiene valores de desplazamientos * prescritos en los nudos del elemento * (dimensión "ndf x nen") * fl -> p: Vector corrector del vector de fuerza nodal * skl: Matriz de rigidez del elemento * ************************************************************************ implicit real*8 (a-h, o-z) common / bgauss / ngauss real*8 my, nu, ksi dimension e(*), x(ndm,*), u(nst), p(nst), skl(nst,nst), hx(6), 1 hy(6), gauss(ngauss), alfa(ngauss) goto (1,2) isw * * Lectura de propiedades mecánicas * 1 continue read(nin,100) e(1), e(2), e(3), e(4) ! E, v, t, ro return * * Inicio * 2 continue do i = 1, nst do j = 1, nst skl(i,j) = 0.d0 enddo enddo * * Puntos Gauss para integración numérica, factores de ponderación * call pgauss(ngauss,gauss,alfa) do m = 1, ngauss ksi = gauss(m) alfai = alfa(m) do n = 1, ngauss eta = gauss(n) alfaj = alfa(n)

ANEXOS

112

* * Calcula el determinante de la matriz Jacobiana * c1 = (eta + 1)*(2*ksi + 1)/4 ! 2----------5----------1 c2 = (eta + 1)*(2*ksi - 1)/4 ! | | c3 = -(eta - 1)*(2*ksi - 1)/4 ! | | c4 = -(eta - 1)*(2*ksi + 1)/4 ! | | c5 = -ksi*(eta + 1) ! | | c6 = ksi*(eta - 1) ! | | ! | | f1 = ksi*(ksi + 1)/4 ! | | f2 = ksi*(ksi - 1)/4 ! 3----------6----------4 f3 = -f2 f4 = -f1 f5 = -(ksi - 1)*(ksi + 1)/2 f6 = -f5 xj11 = c1*x(1,1) + c2*x(1,2) + c3*x(1,3) + c4*x(1,4) + c5*x( + 1,5) + c6*x(1,6) xj12 = c1*x(2,1) + c2*x(2,2) + c3*x(2,3) + c4*x(2,4) + c5*x( + 2,5) + c6*x(2,6) xj21 = f1*x(1,1) + f2*x(1,2) + f3*x(1,3) + f4*x(1,4) + f5*x( + 1,5) + f6*x(1,6) xj22 = f1*x(2,1) + f2*x(2,2) + f3*x(2,3) + f4*x(2,4) + f5*x( + 2,5) + f6*x(2,6) det = xj11*xj22 - xj12*xj21 ! = J(1,1)*J(2,2) - J(1,2 !)*J(2,1) if (det. le. 0.d0) then write(*,110) nel stop endif * * Calcula la inversa de la matriz Jacobiana * _ _ ! | | xji11 = xj22/det ! | J(2,2) -J(2,1) | xji12 = - xj12/det ! 1/det * | | xji21 = - xj21/det ! | -J(2,1) J(1,1) | xji22 = xj11/det ! |_ _| * * Derivadas de las funciones de interpolación * hx(1) = (xji11*c1 + xji12*f1) ! = d(N1)/d(x) hx(2) = (xji11*c2 + xji12*f2) ! = d(N2)/d(x) hx(3) = (xji11*c3 + xji12*f3) ! = d(N3)/d(x) hx(4) = (xji11*c4 + xji12*f4) ! = d(N4)/d(x) hx(5) = (xji11*c5 + xji12*f5) ! = d(N5)/d(x) hx(6) = (xji11*c6 + xji12*f6) ! = d(N6)/d(x) hy(1) = (xji21*c1 + xji22*f1) ! = d(N1)/d(y) hy(2) = (xji21*c2 + xji22*f2) ! = d(N2)/d(y) hy(3) = (xji21*c3 + xji22*f3) ! = d(N3)/d(y) hy(4) = (xji21*c4 + xji22*f4) ! = d(N4)/d(y) hy(5) = (xji21*c5 + xji22*f5) ! = d(N5)/d(y) hy(6) = (xji21*c6 + xji22*f6) ! = d(N5)/d(y) *

ANEXOS

113

* Matriz constitutiva * my = e(1) nu = e(2) thic = e(3) a = my/(1.d0-nu*nu) * _ _ * | 1 nu 0 | d11 = a ! | | d12 = a*nu ! E/(1-nu^2) * | nu 1 0 | d21 = d12 ! | | d22 = a ! |_ 0 0 (1-nu)/2 _| d33 = my/(2.d0*(1.d0+nu)) * * Matriz de rigidez * wt = det*thic*alfai*alfaj do j = 1, 6 k = (j-1)*2 + 1 ! k = 2j-1 do i = 1, 6 l = (i-1)*2 + 1 ! l = 2i-1 * * _ _ * | hx(1) 0 hx(2) 0 hx(3) 0 hx(4) 0 hx(5) 0 hx(6) 0 | * | | * B = | 0 hy(1) 0 hy(2) 0 hy(3) 0 hy(4) 0 hy(5) 0 hy(6) | * | | * |_ hy(1) hx(1) hy(2) hx(2) hy(3) hx(3) hy(4) hx(4) hy(5) hx(5) hy(6) hx(6) _| * * _ _ * | d11 d12 0 | * | | t * D = | d21 d22 0 | , K = B * D * B * Area * | | * |_ 0 0 d33 _| * * * ------------------------------------------------------------------ skl(l,k) = skl(l,k) + (hx(i)*d11*hx(j) 1 + hy(i)*d33*hy(j))*wt * ------------------------------------------------------------------ skl(l,k+1) = skl(l,k+1) + (hx(i)*d12*hy(j) 1 + hy(i)*d33*hx(j))*wt * ------------------------------------------------------------------ skl(l+1,k) = skl(l+1,k) + (hy(i)*d21*hx(j) 1 + hx(i)*d33*hy(j))*wt * ------------------------------------------------------------------ skl(l+1,k+1)= skl(l+1,k+1) + (hy(i)*d22*hy(j) 1 + hx(i)*d33*hx(j))*wt * ------------------------------------------------------------------ enddo enddo enddo

ANEXOS

114

enddo * * Producto p = s u (vector corrector del vector de fuerza nodal, * a nivel de elemento) * call lku (skl,u,p,nst) * * Formatos de lectura e impresión * 100 format(5x,4(4x,d11.5)) 110 format(' ERR: Subrutina ELMT11; determinante asociado al elemento +resulta nulo o negativo para ',i5,/) * * Fin de la unidad de programa * return end

Documents

“REFINAMIENTO DE MALLAS DE ELEMENTOS