Mallas Eléctricas

Topología de redes: Conceptos fundamentales

1) NODO: Es un punto de unión entre tres o más elementos del circuito.

2) RAMA: Es un elemento o grupo de elementos conectados entre dos nudos.

3) RED PLANA: Es una red que puede dibujarse sobre una superficie plana sin que se cruce ninguna rama

4) LAZO: Es un conjunto de ramas que forman una línea cerrada, de forma que si se elimina cualquier rama del lazo, el camino queda abierto.

5) MALLA: Este concepto se aplica normalmente a circuitos planos y es un lazo que no contiene ningún otro en su interior. En un circuito plano, existen obviamente tantas mallas como “ventanas” tiene la red.

ANÁLISIS DE NODOS Y MALLAS

Componentes Electrónicos

Análisis de nodosEn el análisis nodal se aplica la ley de Kirchhoff de corrientes para determinar los voltajes presentes en los nodos.

•Es conveniente dibujar la red utilizando valores de conductancias y colapsando los nodos a un solo punto.

•Defina un nodo de referencia

•Etiquete los nodos restantes de 1 en adelante.

•Defina los voltajes de cada nodo (excepto el de referencia)

•Escriba LKC para cada nodo

•Resuelva el sistema de ecuaciones resultante

Circuitos con fuentes independientes de corriente

Consideremos el circuito de la figura a.

La figura 1b es el mismo circuito en donde se hace resaltar la existencia de tres nodos.

Dado que los voltajes se definen en pares de nodos, debemos elegir un nodo como referencia para medir dichos voltajes.

En la figura c se muestra el mismo circuito con la referencia tomada como el nodo inferior.

La figura d muestra la misma red en la que se han eliminado los signos de referencia del voltaje por resultar redundantes.

Aplicando la ley de Kirchhoff de corrientes a cada nodo obtenemos para el nodo 1.

0.5v1 + 0.2(v1 - v2) = 30.7v1 - 0.2v2 = 3

y para el nodo 2.

v2 + 0.2(v2 - v1) = 2- 0.2 v1 + 1.2v2 = 2

La solución de este sistema de ecuaciones es:

v1 = 5 Vv2 = 2.5 V

La tensión del nodo 1 respecto al dos será: (v1 – v2) = 2.5 V. con estos valores se puede determinar la potencia disipada por cualquiera de los elementos del circuito.Para circuitos que solo contienen fuentes independientes de corriente se obtiene una matriz de sistema simétrica, llamada matriz de conductancia.

El supernodo

Supernodo

La fuente de voltaje puede considerarse como un “supernodo”.

La LKC se sigue cumpliendo si se aplica a las corrientes que entran y salen de este supernodo.

La fuente de voltaje suministra una ecuación para poder resolver el sistema.

4 W

Fuentes controladas

Supernodo

Supernodo

ref.

v1

v2

v3

v4

Ecuaciones

–2 v1 + 2.5 v2 – 0.5 v3 = 14

0.1v1 – v2 + 0.5 v3 + 1.4 v4

= 0

v1 = –12

0.2 v1 + v3 – 1.2 v4 = –2

Solución:

v1 = –12, v2 = –4, v3 = 0, v4 = –2,

Análisis de mallas

El análisis de mallas se aplica a redes planas.

Una red plana es aquella que se puede dibujar sin que se cruce ningún conductor.

Definimos un lazo con cualquier camino cerrado que recorre solo una vez cada elemento del mismo.

Se define una malla como un lazo que no contiene otros lazos.

Ejemplo

Considere el circuito de la figura.

Aplicando la ley de tensiones de Kirchhoff a cada malla obtenemos:

-42 + 6i1 + 3(i1 – i2) = 0 o

9 i1 – 3i2 = 42 y para la malla derecha

- 3(i1 – i2) + 4i2 – 10 = 0 o

-3 i1 + 7 i2 = 10 La solución de este sistema de ecuaciones es: i1 = 6 A, i2 = 4 A e (i1- i2)= 2 A. Las tensiones y potencias en cada elemento se pueden calcular fácilmente con estos valores.

Corriente de malla

Definimos corriente de malla como la corriente que circula alrededor del perímetro de una malla.

En la figura se muestran las corrientes de malla de la red anterior.

La ecuación de malla para la malla 1 es:

6i1 + 3(i1 – i2) = 42

La ecuación de malla para la malla 2 es:

3(i2 – i1) + 4i2 = 10

9i1 – 3i2 = 42

– 3i1 + 7i2 = 10

La solución es la misma que la anterior.

SupermallasLa fuente de corriente se puede manejar mediante una supermalla.

Las ecuaciones para la red de la derecha son:

Para la supermalla:

– 7 + 1(i1 – i2) + 3(i3 – i2) + i3 = 0

i1 – 4i2 + 3i3 = 7

para la malla 2:

1(i2 – i1) + 3(i2 – i3) + 2i2 = 0

– i1 + 6i2 – 3 i3 = 0

Ecuación de la fuente de corriente:

i1 – i3 = 7

Solución: i1 = 9 A, i2 = 2.5 A, i3 = 2 A.

i1

i1i2

i3

Método de las corrientes de malla

Consiste en asignar arbitrariamente un sentido a la intensidad de corriente en cada malla del circuito problema, aplicando la RKV y teniendo en cuenta aquellas corrientes de mallas vecinas que circulan por resistencias pertenecientes a la malla en consideración, con el fin de conseguir el planteamiento de un sistema de n ecuaciones con n incógnitas (una ecuación por malla y una intensidad desconocida por malla)

nnnnnn

n

n

V

V

V

I

I

I

RRR

RRR

RRR

..

..

..

..

......

...............

...............

......

......

2

1

2

1

21

22221

11211

Pasos que se deben seguir:

1.- Encontrar el máximo número de mallas linealmente independientes

2.- Construcción del vector intensidades: En cada malla situar una corriente ficticia, que recorra todas sus ramas en el sentido de las agujas del reloj.

3.- Construcción del vector de fuerzas electromotrices: se debe obtener ei para cada malla, sumando el valor de todas las fem que son atravesadas por su intensidad correspondiente, anteponiendo a cada generador el signo del polo por donde sale dicha corriente.

4.- Construcción de la matriz de resistencias: Rii es la suma de todas las resistencias de la malla i; Rij es la suma de resistencias comunes a las mallas i y j, con signo menos

Divisores de tensión y de corriente

Divisor de tensión: Es un conjunto de dos o mas resistencias en serie, de modo que entre los elementos de cada resistencia la ddp existente es una fracción del voltaje aplicado al conjunto.

Vo

V1

V2

Vn

I

R1

R2

Rn

R

VIRI o

oV

R

RVIR i

oiiV

Divisor de corriente: Es un conjunto de dos o mas resistencias en paralelo de modo que la corriente que circula por cada resistencia es una fracción de la intensidad de corriente total.

R1 R2 RnI1 I2In

I

io

i

oii

RVI

R

VIII

1

siendo

IR

RI

i

paraleloi

Para un divisor de dos resistencias

IRR

RI

RRRR

RI

IRR

RI

RRRR

RI

21

1

21

21

22

21

2

21

21

11

1

1

FUENTES DE VOLTAJE Y DE INTENSIDAD.

Fuente de tensión: se caracteriza por tener una tensión entre terminales que es completamente independiente de la corriente que pasa por él. Con excepción del circuito abierto, toda fuente de voltaje tiene una pérdida de voltaje a través de su resistencia interna.

Fuente de corriente: es un elemento que suministra una corriente constante independientemente de la tensión existente. Con excepción del cortocircuito, toda fuente de corriente tiene una pérdida de corriente a través de su resistencia interna.

TRANSFORMACIONES ENTRE FUENTES

a

b

a

b

R

VRI=V/R

a

b

RI

a

b

R

V=IR

V R V

IR

I

MÉTODO DE LOS NODOS

Pasos que se deben seguir:

1.- Encontrar el número de nodos que posee la red

2.- Seleccionar uno de estos nodos como tierra

3.- Aplicar para cada uno de los nodos restantes el siguiente proceso con el fin de obtener la ecuación correspondiente a cada nodo:

a) Elegido un nodo, “pintar” que de él salen todas las intensidades, por cada una de sus ramas.

b) Aplicar la RKC

c) Obtener la intensidad que circula por cada rama aplicando la siguiente regla:

atravesada

nudonudo

R

VVVI atravgen llegada salida

A la tensión de cada generador atravesado se le debe anteponer el signo del polo por donde sale la corriente de él.

4.- De esta forma obtenemos un sistema de n ecuaciones con n incógnitas para una red de n+1 nodos

PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN

La respuesta de un circuito lineal que contenga varias fuentes independientes puede hallarse considerando por separado cada generador y sumando luego las respuestas individuales.

Debe hacerse notar que para que deje de actuar un generador de tensión debe anularse su tensión (V=0), es decir, se ha de cortocircuitar en serie con su resistencia interna; mientras que para anular un generador de corriente (I=0), se debe sustituir por un circuito abierto en paralelo con su resistencia interna.

TEOREMA DE THÈVENIN

Cualquier red lineal puede sustituirse, respecto a un par de terminales, por un generador de tensión VTh (igual a la tensión en circuito abierto) en serie con la resistencia RTh vista desde esos terminales.

Red Lineal

a

b

R

b

a

RVTh

RTh

Reglas de aplicación:

1.- Para determinar RTh deben cortocircuitarse todas las fuentes de tensión y sustituir por circuitos abiertos las fuentes de corriente.

2.- La tensión VTh se determina calculando la ddp entre los terminales a y b cuando se aísla la red lineal del resto del circuito (ddp entre a y b en circuito abierto)

TEOREMA DE NORTON

Cualquier red lineal puede sustituirse, respecto a un par de terminales, por un generador de corriente, IN (igual a la corriente de cortocircuito) en paralelo con la resistencia RN vista desde esos terminales.

Red Lineal

a

b

R

a

b

RRNIN

Reglas de aplicación:

1.- Para determinar RN se procede exactamente igual que para calcular RTh. De hecho, RTh = RN

2.- Para determinar IN se establece un cortocircuito entre los terminales a y b y se calcula la corriente de cortocircuito Icc

resolviendo el sistema correspondiente. Entonces IN = Icc

TEOREMA DE MÁXIMA TRANSFERENCIA DE POTENCIA

Una carga resistiva recibe la máxima potencia de un circuito de corriente continua lineal si la carga resistiva es igual a la resistencia de Thevenin de dicho circuito.

TEOREMA DE MILLMAN

Permite reducir una asociación de fuentes de tensión reales en paralelo a una sola fuente, es decir:

.....r1 r2 rn

e1 e2 enVM

rM

a

b

a

b

n

ii

n

iii

m

rV

1

1/

n

i iM rr 1

11