Regressão linear simplesRegressão linear simplesVariável independente,

XVariável dependente,

YTemperatura do forno (0C) Resistência mecânica da cerâmica (MPa)

Quantidade de aditivo (%) Octanagem da gasolina

Renda (R$) Consumo (R$)

Memória RAM do computador (Gb) Tempo de resposta do sistema (s)

Área construída do imóvel (m2) Preço do imóvel (R$)

Exemplo 11.2:Exemplo 11.2:• X = % de aditivo

• Y = Índice de octanagem da gasolina

X Y

1 80,5

2 81,6

3 82,1

4 83,7

5 83,9

6 85,0

Resultados de n = 6 ensaios experimentais:

Exemplo 11.2:Exemplo 11.2:

80,0

81,0

82,0

83,0

84,0

85,0

86,0

0 1 2 3 4 5 6 7

quantidade de aditivo (%)

índi

ce d

e oc

tana

gem

Regressão - ModeloRegressão - Modelo

Y =Predito por X, se-gundo uma função Efeito aleatório+

Parâmetros

RegressãoLinear

Simplesyi .xi ei

Modelo de regressão linear simplesModelo de regressão linear simples• Em termos das variáveis: XYE

• Em termos dos dados: Yi = + xi + i

• Suposições:– os termos de erro (1, 2, ..., n) são variáveis aleatórias

independentes;– E{i} = 0;– V{i} = 2; e i tem distribuição normal (i = 1, 2, ..., n).

Método dos mínimos quadrados para estimar Método dos mínimos quadrados para estimar e e

• Minimizar em relação a e :

yi

xi

i

22iii xYS

0S

0S

Método dos mínimos quadrados para estimar Método dos mínimos quadrados para estimar e e

• Resultado das derivadas parciais:

22

ii

iiii

x xn.

yx yxn.b =

nxby

a = ii

Estimativa de :

Estimativa de :

Reta de regressão construída com os dados:

bxay ˆ

Qualidade do ajusteQualidade do ajuste

• Ajustou-se uma equação de regressão entre X e Y. E a qualidade do ajuste?– análise de variância do modelo– análise dos resíduos

Reta de regressão e resíduosReta de regressão e resíduos• Valores preditos:

• Resíduos:

ii bxay ˆ

iii yye ˆ

yi

xi

ei

iybxay ˆ

Análise de variância do modeloAnálise de variância do modelo

yi

xi

eidi bxay ˆ

y

yyd ii

iii yye ˆ

Desvio em relação à média aritmética:

Desvio em relação à reta de regressão(resíduo da regressão):

Somas de quadradosSomas de quadrados

SQT

variação total

SQR

variação explicadapela equação de

regressão

SQE

variação nãoexplicada

2yyi = 2ˆ yyi + 2ˆ ii yy

Somas de quadradosSomas de quadrados

ny

yyySQT iii

222

iiiiii yxbyayyySQE 22ˆ

SQESQTSQR

Coeficiente de determinação:SQTSQE

SQTSQR

R 12

Medida da qualidade do ajuste:Medida da qualidade do ajuste:Coeficiente de determinação (R2)

R2 = Variação

total

Variaçãoexplicada

= (yi - y)2

(yi - y)2^

0 R2 1 Matematicamente, R2 é o quadrado do Coef. de Correlaçãode Pearson.

Exemplo 11.2:Exemplo 11.2:

Quantidade de aditivo (%)

Índi

ce d

e oc

tana

gem

80

81

82

83

84

85

86

0 1 2 3 4 5 6 7

xy )886,0(7,79ˆ

%5,97975,008,1473,132 R

Interpretar.

Fonte de variação

gl SQ QM Razão f

Regressão 1

Erro n – 2

Total n – 1

Análise de variância do modeloAnálise de variância do modelo

2ˆ yySQR i 1SQRQMR

QMEQMRf

2ˆii yySQE

2yySQT i

2 nSQEQME

Teste de significância do modelo Teste de significância do modelo

• H0: = 0 e H1: 0

• Distribuição de referência para a razão f : distribuição F com gl = 2 no numerador e gl = n – 2 no denominador (Tabela 6).

XYE .

Exemplo 11.2:Exemplo 11.2:Fonte de variação gl SQ MQ Razão f

Regressão 1 13,73 13,729 156,26

Erro 4 0,35 0,088

Total 5 14,08

Usar a Tabela 6 e fazer o teste de significância do modelo.

Suposições do modeloSuposições do modelo

– os termos de erro (1, 2, ..., n) são variáveis aleatórias independentes;

– E{i} = 0;– V{i} = 2; e i tem distribuição

normal (i = 1, 2, ..., n).

• Modelo: Yi = + xi + i

x

E{Y}= +x y

Análise dos resíduos:Análise dos resíduos:um diagnóstico das suposições do um diagnóstico das suposições do

modelomodelo• Valores preditos:

ii bxay ˆ

iii yye ˆ

• Resíduos:

yi

xi

ei

iybxay ˆ

Análise dos resíduosAnálise dos resíduos

x

y e

x

Gráfico dos dados:(xi, yi)

Gráfico dos resíduos:(xi, ei)

As suposições do modelo parecem satisfeitas?

Análise dos resíduosAnálise dos resíduos

Gráfico dos dados:(xi, yi)

Gráfico dos resíduos:(xi, ei)

As suposições do modelo parecem satisfeitas?O que pode ser feito? (Ver livro)

x

yresíduo

0x

Análise dos resíduosAnálise dos resíduos

Gráfico dos dados:(xi, yi)

Gráfico dos resíduos:(xi, ei)

As suposições do modelo parecem satisfeitas?O que pode ser feito? (Ver livro)

x

y e

0x

Análise dos resíduosAnálise dos resíduos

Gráfico dos resíduos: (xi, ei)

As suposições do modelo parecem satisfeitas?O que pode ser feito? (Ver livro)

resíduo

0 x