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1 Regressão linear múltipla Modelos de regressão linear múltipla Em um estudo com 67 escritórios de uma rede financeira, a variável resposta foi o custo

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  • 1 Regresso linear mltipla Modelos de regresso linear mltipla Em um estudo com 67 escritrios de uma rede financeira, a varivel resposta foi o custo operacional no ano que se findou. Haviam 4 variveis preditoras: o valor mdio emprestado aos clientes durante o ano, o nmero mdio de emprstimos, nmero total de novos emprstimos processados, e ndice de salrios dos escritrios. (Temos um levantamento). Num estudo sobre a produtividade de trabalhadores ( em aeronave, navios) o pesquisador deseja controlar o nmero desses trabalhadores e o bnus pago (remunerao). (Aqui temos um experimento). Num estudo sobre a resposta uma droga, o pesquisador deseja controlar as doses da droga e o mtodo de aplicao. (Tambm temos um experimento). Num estudo sobre o tempo de CPU, para avaliar a demanda por recursos, o pesquisador decidiu verificar o efeito de X1=disk I/O e X2=memory size. Exemplos :
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  • 2 Em todos os exemplos foram necessrias vrias variveis preditoras no modelo para um bom ajuste do mesmo. Um modelo contendo vrias variveis preditoras resulta numa estimao mais precisa. As anlises aqui desenvolvidas so vlidas para o delineamento inteiramente casualizado.
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  • 3 Modelo de regresso de primeira ordem com duas variveis preditoras O modelo de regresso linear dado por: Onde Y i a resposta no i-simo ensaio, X i1 e X i2 so os valores das duas variveis preditoras no i-simo ensaio. Os parmetros do modelo so 0, 1, 2 e o termo do erro i. Vamos assumir que E( i )=0, portanto, a funo de regresso do modelo de primeira ordem : A representao grfica desta funo um plano no espao. A figura, na pgina seguinte, mostra este plano para a funo: A funo de regresso na regresso mltipla chamada de superfcie de resposta.
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  • 4 0 Plano de resposta (1,33;1,67) E(Y i ) = 20,00 YiYi i
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  • 5 Significado dos coeficientes de regresso: O parmetro 0 o intercepto do plano de regresso. Se a abrangncia do modelo inclui X 1 =0 e X 2 =0 ento 0 =10 representa a resposta mdia E(Y) neste ponto. Em outras situaes, 0 no tem qualquer outro significado como um termo separado no modelo de regresso. O parmetro 1 indica a mudana na resposta mdia E(Y) por unidade de acrscimo em X 1 quando X 2 mantido constante. Da mesma forma 2 indica a mudana na resposta mdia por unidade de aumento em X 2 quando X 1 mantido constante. Neste modelo, o efeito de X 1 sobre a resposta mdia no depende de X 2 e vice- versa, assim, dissemos que as variveis preditoras tem efeito aditivo ou no interagem. Temos um modelo de primeira ordem sem interao. Exemplo: considerar o modelo de regresso da figura anterior. Y = vendas no mercado (em 10.000 unidades monetrias); X 1 = despesas com o ponto de venda (em 1.000 u.m.); X 2 = gastos com TV (em 1.000 u.m.). Como 1 =2, se o gasto em uma localidade aumenta em 1 unidade (1.000 u.m.), enquanto o gasto com TV mantido constante, espera-se um acrscimo nas vendas de 2 unidades (20.000 u.m.).
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  • 6 Exerccio: faa a interpretao para 2. Resposta: como 2 =5 se o gasto com TV em uma localidade aumenta em 1 unidade (1.000 u.m.) e o gasto com o ponto mantido constante, as vendas esperadas aumentam 50.000 u.m. Exerccio: no modelo Faa a interpretao do parmetro k. Resposta: indica a mudana na resposta mdia E(Y) com o acrscimo de uma (1) unidade na varivel preditora X k, quando todas as outras variveis preditoras so mantidas constantes.
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  • 7 Modelo linear geral de regresso Vamos supor que temos X 1, X 2,..., X p-1 variveis preditoras. Vamos definir o modelo de regresso, com erros normais, em termos das variveis preditoras: Onde: 0, 1,..., p-1, so os parmetros; X i1,..., X i,p-1 so constantes conhecidas; i so independentes com distribuio N(0, 2 ) i=1,2,...,n. A funo resposta para o modelo, como E( i )=0, dada por: Algumas situaes em que podemos usar o modelo em considerao.
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  • 8 1) Temos p-1 variveis preditoras: todas as variveis preditoras apresentam efeito aditivo, ou seja, no apresentam um efeito de interao entre elas (o efeito de uma varivel preditora no depende dos nveis da outra varivel preditora). 2) As variveis preditoras so qualitativas: neste caso temos variveis como: sexo, invalidez (normal, parcialmente invlido, invlido). Usamos variveis indicadoras, que recebem valores 0 e 1 para identificar as categorias de uma varivel qualitativa. Exemplo: desejamos fazer uma anlise de regresso para estimar a distncia de um hospital (Y), baseado na idade dos pacientes (X 1 ) e sexo (X 2 ). O modelo de regresso : Onde:
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  • 9 A resposta mdia do modelo (6) : Para pacientes do sexo masculino, X 2 =0, temos: Para pacientes do sexo feminino, X 2 =1, temos: As duas funes respostas representam duas retas paralelas com diferentes interceptos. Exerccio: faa a representao grfica das funes 8 e 9. Outro exemplo: vamos considerar uma terceira varivel no modelo, o status sobre a invalidez dos pacientes, a qual apresenta trs categorias. Em geral, representamos uma varivel qualitativa com c categorias, por meio de c-1 variveis indicadoras. Portanto, no exemplo, vamos definir as variveis X 3 e X 4 como:
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  • 10 O modelo com idade, sexo e status da invalidez fica: Neste curso, temos um captulo somente para o estudo de variveis qualitativas. Como modelar e interpretar os coeficientes de regresso? 3) Regresso polinomial: contm termos quadrticos e de maior ordem nas variveis preditoras. Exemplo:
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  • 11 O grfico deste modelo uma parbola. Apesar da natureza curvilnea da funo resposta do modelo (11) ele um caso especial do modelo (4). Fazendo-se X i1 =X i e X i2 =X i 2, temos o modelo (1).
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  • 12 4)Variveis transformadas: uma transformao bastante utilizada a logartmica: O modelo fica: Exerccio: coloque o modelo (13) na forma do modelo de regresso linear geral (4). Basta fazer: A funo resposta complexa. Porm, o modelo (12) da forma do modelo linear geral de regresso.
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  • 13 6) Combinando modelos: Exemplo: Fazendo-se: temos o modelo linear geral de regresso (4). Observe que fazendo-se X i3 =X i1 X i2 obtemos o modelo linear geral de regresso (4). 5) Modelos com efeito da interao entre variveis preditoras. O efeito de uma varivel preditora depende dos nveis das outras variveis preditoras. Exemplo:
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  • 14 A figura ilustra um desses modelos mais complexos.
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  • 15 Modelo de regresso linear mltipla em termos matriciais A expresso do modelo linear geral de regresso dada por: Em termos matriciais, precisamos definir:
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  • 16 Em termos matriciais, o modelo de regresso linear geral dado por: um vetor de variveis aleatrias independentes e normalmente distribudas com esperana (mdia), E( )=0 e matriz de varincia-covarincia dada por: Assim, o vetor das observaes Y tem esperana e varincia dadas por: (17) = 2 I (18)
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  • 17 Exerccio: uma empresa opera estdios fotogrficos para crianas em 12 cidades. A empresa deseja expandir seus estdios para outras cidades semelhantes e deseja investigar se as vendas (Y) podem ser estimadas atravs do nmero de pessoas com 16 anos ou menos (X 1 ) e a renda per capita na cidade (X 2 ). Os resultados foram:
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  • 18 A) Escreva o modelo de regresso linear de primeira ordem (sem efeito quadrtico e interao). B) Faa um grfico de disperso (Scatterplot) entre vendas e nmero e outro para vendas e renda. C) Mostre a matriz X, os vetores Y e para os dados do exerccio. D) calcule os valores mdios (esperanas) das observaes, E(Y).
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  • 19 Respostas: A) B)
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  • 21 C)
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  • 23 Estimao dos coeficientes de regresso O sistema de equaes normais para o modelo (17) : E os estimadores de mnimos quadrados so dados por: Mtodo de mxima verossimilhana Vamos considerar o modelo com erros normais (17). A funo de mxima verossimilhana dada por: Os estimadores de mxima verossimilhana so exatamente os mesmos obtidos com o mtodo de mnimos quadrados. (21)
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  • 24 Continuao do Exerccio do estdio fotogrfico. Dados os resultados: E) Encontre as estimativas dos parmetros do modelo. F) Apresente a funo de regresso estimada. G) Faa a interpretao das estimativas dos parmetros do modelo.
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  • 25 Valores estimados e resduos Os valores estimados so obtidos por: Os resduos so obtidos atravs da expresso matricial: Exerccio: H) para verificar o ajuste do modelo de regresso para os dados, necessrio encontrar os valores estimados e os resduos. Encontre estes resultados para os dados da empresa de estdio fotogrfico.
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  • 26 Anlise de varincia Soma de quadrados e quadrados mdios Onde J uma matriz n x n de uns e H=X(XX) -1 X a matriz de projeo. Os quadrados mdios so dados por:
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  • 27 Teste F para regresso Hipteses em teste: A estatstica de teste dada por: Se F * > F( ; p-1,n-p), rejeitamos a hiptese nula, caso contrrio, aceitamos a hiptese. No devemos esquecer de usar o valor p. Exemplo: continuao do exerccio sobre a empresa de estdio fotogrfico.
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  • 28 Exerccio: interprete o teste F da anlise de varincia com o uso do valor p. Se a hiptese nula for rejeitada, isto garante que podemos fazer estimao (predio) vlidas? Resp. no.

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