Rendszertechnika És Rendszeranalízis

7/21/2019 Rendszertechnika s Rendszeranalzis

1/116

B U D A P E S T I M S Z A K I SG A Z D A S G T U D O M N YI E G Y E T E M

K Z L E K E D S M R N K I S J R MM R N K I K A R

V A S T I J R MV E K S J R M -

R E N D S Z E R A N A L Z I S T A N S Z K

RENDSZERTECHNIKA S

RENDSZERANALZISa jrmmrnki MSc szak hallgati szmra

Prof.Dr. Zobory Istvnegyetemi tanr

BUDAPEST2011


2/116

TARTALOMJEGYZK

1. Rendszertechnikai alapfogalmak............................................................................ 1Mszaki rendszerekkel kapcsolatos problmk ......................................................... 7

Analzis tpus rendszerproblma .............................................................................. 7

Szintzis tpus rendszerproblma ............................................................................. 8

Rendszeridentifikci ................................................................................................. 9

Gp-konfigurcik szerkezeti hierarchija............................................................... 11

2. Rendszerek jellemzse, hatsvzlat, struktragrf, jelfolyambra (JF) ........ 13Logikai hatsvzlat ................................................................................................... 13

Struktragrf Dinamikai hlzatok ....................................................................... 35

Jelfolyambra (JFA) ................................................................................................. 50

3. Dinamikai rendszerek mozgsegyenletnek analitikus meghatrozsa ............ 55Plda a Lagrange-fle msodfaj egyenletek alkalmazsra ................................... 58

A mozgsegyenletek alakja a Hamilton-fle formalizmus szerint........................... 61

4 A lineris dinamikus rendszerek mozgsegyenletei ............................................. 645. Lineris idinvarins dinamikus rendszerek jellemzse az idtartomnyban...... 70

A slyfggvny SISO esetn.................................................................................... 70

Az tmeneti fggvny SISO esetn .......................................................................... 76

Lineris idinvarins SISO vlasznak meghatrozsa az idtartomnyban .......... 78

A vlasz meghatrozsa a slyfggvnyre tmaszkodva A konvolcittel ............ 78

A vlasz meghatrozsa az tmeneti fggvnyre tmaszkodva A Duhamel

integrl ...................................................................................................................... 79

A vlasz meghatrozsa az idtartomnyban sztochasztikus gerjeszts esetn....... 81

6. Lineris idinvarins dinamikus rendszerek jellemzse a frekvenciatartomnyban .. 83A vlasz meghatrozsa periodikus gerjeszts esetn Fourier sorok alkalma-

zsa a dinamikban................................................................................................... 89

A vlasz meghatrozsa aperiodikus gerjeszts esetn A lineris dinamika

alapttele................................................................................................................... 91

A vlasz meghatrozsa gyengn stacionrius sztochasztikus gerjeszts

esetn A lineris statisztikai dinamika alapttele .................................................. 94

Msodrendben gyengn stacionrius gerjesztsek................................................... 95

A msodrendben gyengn stacionrius folyamat integrl ellltsa ...................... 96

7. Tbb bemenets tbb kimenetlineris idinvarins dinamikai rendszerekkezelse az idtartomnyban ............................................................................... 101A slyfggvny MIMO esetn ............................................................................... 101

Az tmeneti fggvny MIMO esetn ..................................................................... 101Lineris idinvarins MIMO vlasznak meghatrozsa az idtartomnyban...... 102

A vlasz meghatrozsa a slyfggvny-mtrixra tmaszkodva A konvol-

cittel .................................................................................................................... 102

A vlasz meghatrozsa az tmenetifggvny-mtrixra tmaszkodva A Du-

hamel integrl ......................................................................................................... 102

A vlasz meghatrozsa az idtartomnyban sztochasztikus gerjeszts esetn..... 102

Sztochasztikus gerjesztsfolyamatok ..................................................................... 102

8. Tbb bemenet, tbb kimenetlineris idinvarins dinamikai rendszer ke-zelse a frekvenciatartomnyban .......................................................................... 104

Komplex frekvenciafggvny MIMO esetn......................................................... 104Plda MIMO rendszer komplex frekvenciafggvny-mtrixra............................ 104


3/116

A lineris idinvarins MIMO vlasznak meghatrozsa a frekvenciatarto-

mnyban periodikus gerjeszts esetn Vektoros Fourier-sorok alkalmazsa ..... 107


mnyban aperiodikus gerjeszts esetn A lineris dinamika alapttele.............. 108


mnyban gyengn stacionrius sztochasztikus gerjeszts esetn A statisz-

tikai dinamika alapttele......................................................................................... 109

Gyengn stacionrius sztochasztikus vektorfolyamatok koherenciaviszonyai...... 112


4/116


5/116


6/116


7/116


8/116


9/116


10/116


11/116


12/116


13/116


14/116


15/116


16/116


17/116


18/116


19/116


20/116


21/116


22/116


23/116


24/116


25/116


26/116


27/116


28/116


29/116


30/116


31/116


32/116


33/116


34/116


35/116


36/116


37/116


38/116


39/116


40/116


41/116


42/116


43/116


44/116


45/116


46/116


47/116


48/116


49/116


50/116


51/116


52/116


53/116


54/116


55/116


56/116


57/116


58/116


59/116

56

i

n

i i

i

n

i i

qq

Eq

q

E

dt

dE&&&

&

==

+

=11

.

A msodik lpsben a kinetikus energia konkrtabb fizikai tartalm 2

12

1i

n

i

i qmE &=

= fel-

rst tekintjk. Figyelembe vve a koordintnknt rvnyesi

iiq

Eqm

&

&

= ssze-

fggst a kinetikus energia sszegkifejezsben szereplkettes osztval tszorozva a

derivlsi feladat kitzse a kvetkezalakot lti:

i

n

i i

qq

E

dt

d

dt

dE&

&=

=

1

2 .

Az idszerinti differencilst a szummn bell tagonknt a szorzatfggvnyekre rv-

nyes szably szerint elvgezve:

i

n

i i

i

n

i i

qq

Eq

q

E

dt

d

dt

dE&&

&

&

&

==

+

=

11

2 .

Tekintetbe vve az elbbi kt lpsben kapott kifejezseket, a keresett kinetikus ener-

giaramot ad derivlt a kvetkezalakot nyeri:

i

n

i i

i

n

i i

i

n

i i

i

n

i i

qq

Eq

q

Eq

q

Eq

q

E

dt

d

dt

dE

dt

dE

dt

dE&&&

&

&&

&

&

&

====

+

==

1111

2 ,

egyszersts utn pedig a tovbbi levezetshez vglegesnek tekintett kvetkezssze-

fggs ll el:

i

n

i i

i

n

i i

qq

Eq

q

E

dt

d

dt

dE&&

&

==

=

11

.

A potencilis energiaram

A teljes dinamikai rendszerben trolt ssz-potencilis energit felrva az energiaramot

szolgltat derivlt-fggvny felrhat. A rugalmas elemekben trolt potencilis ener-

gia csak a szabad koordintk fggvnye: U=U(q1,q2,.,qn). Ennek figyelembevtel-vel a tbbvltozs fggvnyekre vonatkoz lncszably alkalmazsval a keresett

energiaram:

i

n

i i

qq

U

dt

dU&

&=

=

1

.

A dissziplt energiaram

Tovbbi vizsglatainkban a dissziplt energiaram felrsnak trgyalsa sorn az lta-lnossg bizonyos megszortsval lnk. Csupn olyan esetre szortkozunk, amikor a


60/116

57

dissziplt energiaram (teljestmny) elvonsban szerepet nyererhats a koordin-

tasebessgek lineris fggvnye, azaz az i-edik tmegre hat energiaelvon er

j

n

j

iji qdF &=

=1

alakban rhat fel. Ebben az esetben az i-edik tmegrl elvont energia-

ram ij

n

j

iji qqdP &&== 1 . A teljes rendszerbl elvont dissziplt energiaram a szabad koor-

dintk szerinti sszegzssel:

i

n

i

j

n

j

ij qqddt

dW&&

= =

=1 1

.

A trgyals egysges szerkezetnek tovbbi kialaktsa rdekben clszerbevezetni a

i

n

i j

n

j ijn

qqdq.,,q,qD &&&&&

= ==

1 121 2

1)(

disszipcifggvnyt (mskpp: disszipcis potencilt). Knnybeltni, hogy a disz-

szipci fggvny koordintasebessgek szerinti parcilis derivltjaira fennll a

j

n

j

ij

i

qdq

D&

&

=

=

1

sszefggs. Ezen utbbi sszefggs figyelembevtelvel a disszipcis energiaram

a potencilis energiaramhoz hasonl szerkezetkifejezssel adhat meg:

i

n

i i

qq

D

dt

dW&

&=

=

1

.

A kvlrl bevitt energiaram

A rendszerbe kvlrl bevitt energiaram a q1,q2,,qnelmozduls-koordintk irny-

ban mkd Q1,Q2,,Qn erk ill. nyomatkok teljestmnyeknt rhat fel a

nq,,q,q &&& 21 koordintasebessgek figyelembevtelvel:

i

n

iiqQdt

dL

&== 1 .

Az energiaram mrlegben szereplsszes tag meghatrozsa utn a kvetkezalakot nye-

ri:

i

n

i

ii

n

i i

i

n

i i

i

n

i i

i

n

i i

qQqq

Dq

q

Uq

q

Eq

q

E

dt

d&&

&

&

&

&&

&

=====

=

+

+

11111

.

Kzs szumma al rva a bal oldali tagokat:

tqQqq

D

q

U

q

E

q

E

dt

di

n

iii

iii

n

i i =

+

+

== ,&&

&&& 11 )( .


61/116

58

A kapott kifejezs mindkt oldaln n-tag sszeg szerepel, azonban mindkt oldalon a

iq& koordintasebessgek szorzknt ki vannak emelve. Ilyen felttelek mellett az

egyenlet ltal megkvetelt minden trtkre fennll azonos egyenlsg csak gy ll-

hat fenn, ha a iq& koordintasebessgek szorzi is minden i-index mellett minden tid-

pontra azonosak. Ez a felttel n szm msodrend differencilegyenletet szolgltat,amivel elllt a vizsglt dinamikai rendszer keresett mozgsegyenlet-rendszere:

ni

tQq

D

q

U

q

E

q

E

dt

di

iiii

,...,2,1=

=

+

+

,&&& .

A kiaddott n egyenletbl ll differencilegyenlet-rendszer neve: a Lagrange-fle

msodfaj mozgsegyenletek rendszere. A fentiek szerint nyert differencilegyenlet-

rendszer ltalnos karakterisztikj rugalmas elemek s lineris karakterisztikj csil-

laptk jelenltben rvnyes, termszetes azonban, hogy a legegyszerbb szerkezetmozgsegyenlet rendszer lineris karakterisztikj rugalmas elemek jelenlte esetn

addik.

Plda a Lagrange-fle msodfaj egyenletek meghatrozsra

Elsnek az brn lthat elemi jrmfzr linearizlt modelljre mutatjuk be az anali-

tikus mdszerrel trtnmozgsegyenlet generlst.

m2

d2

q2

m1

d1

q1

Fvs12

d12

A rendszerben szereplkt jrma forg alkatrszek kerk kerletre reduklt tme-

gekkel megnvelt tmege legyen m1s m2. A kt tmeg legyen sszektve egymssal

a prhuzamosan kapcsolt s12merevsg rugval s d12 lineris csillaptsi tnyezj

csillaptval. A kt jrmtmegre hat menetellenllsert linearizlssal kzeltve a

krnyezethez kapcsolt lineris csillaptk csillaptsi tnyezi: d1s d2. Az m1tmegre

a 1q& sebessgtl s az )(tu s vezrlstl fgg ),( 1 uqFv & vonerfggvny mkdik.

A dinamikai rendszerben jelen lvssz-kinetikus energia az

2

22

2

11212

1

2

1),( qmqmqqE &&&& +=

msodfok fggvnnyel rhat fel. A dinamikai rendszerben jelenlvssz-potencilis

energia a rugban troldik s az

2

121221 )(2

1),( qqsqqU =


62/116

59

msodfok fggvnnyel adhat meg. A trgyalsunkban bevezetett disszipci-

fggvny pedig a kvetkezktvltozs msodfok fggvny alakjt lti:

2

22

2

1212

2

1121 11 2

1)(

2

1

2

1),( qdqqdqdqqD &&&&&& ++= .

A msodfajLagrange-egyenletek felrsnak elksztsekpp elksztjk a megfele-lderivltakat:

.)1)((

)1)((

121211

1

1212

1

1111

1

,

,

+=

=

==

qqdqdq

D

qqsq

U

qmqmdt

d

q

E

dt

d

&&&&

&&&

&

.)(

)(

121222

2

1212

2

2222

2

,

,

qqdqdq

D

qqsq

U

qmqmdt

d

q

E

dt

d

&&&&

&&&

&

+=

=

==

A fent kiszmtott derivltakat behelyettestve a Lagrange-egyenletbe, addik a dina-mikai rendszer mozgsviszonyait ler msodrenddifferencilegyenlet-rendszer:

,))(,()1)(()1)(( 1121211121211 tuqFqqdqdqqsqm v &&&&&& =+++

.0)()( 121211121222 =+++ qqdqdqqsqm &&&&&

A szoksos mtrixos rsmd alkalmazsval az Mtmegmtrix, aDcsillaptsi mt-

rix s az S merevsgi mtrix bevezetsvel a q(t) = Ttqtq )](),([ 21 ismeretlen kitrs-

fggvnyre vonatkoz msodrend differencilegyenlet-rendszer a kvetkez alakot

lti:

=

+

+++

0

))(,(

0

0 1

2

1

1212

1212

2

1

12212

12121

2

1

2

1 tuqF

q

q

ss

ss

q

q

ddd

ddd

q

q

m

m v &&

&

&&

&& .

A bevezetett mtrix s vektor jellsekkel a rendszer mozgst ler differencilegyen-

let-rendszer vgl is a kvetkezalak:

))(,( tu=++ &&& .

A msodik plda az brn lthat fogaskerekes kapcsolatot tartalmaz egyszer haj-

tsdinamikai rendszer vizsglatt clozza, spedig a jrmvek hajtslncban sokszor

megjelen torzis rendszer esetre mutatjuk be a mozgsegyenletek analitikus szr-maztatst. A 0 tehetetlensgi nyomatk trcst s01 torzis merevsg tengely kap-

csolja a 1 tehetelensgi nyomatk s r1osztkrsugar fogaskerkhez, amely a 2tehetetlensgi nyomatk s r2osztkrsugar fogaskerkkel ll merev fogazat feltte-

lezse mellett i = r1/r2 mdostskinematikai knyszerkapcsolatban. A 2 tehetetlen-

sgi nyomatk fogaskereket s23torzis merevsgtengely kapcsolja a 3 tehetetlen-

sgi nyomatk trcshoz. A 0 trcsraMhhajtnyomatk, mg a 3 trcsraMffke-

znyomatk mkdik. A torzis dinamikai rendszerben rtelmezett 3210 s,,

szgelforduls-koordintk kzl a merev fogazat miatt fennll 12112 )/r(ri == ki-

nematikai knyszer kvetkeztben csak a 310 s, szgelfordulsok kpviselnekszabad koordintkat.


63/116

60

s01

kapcsold fogaskerkpr

merev fogazat

2

3

1

0

s23

3

2

1

0

Mf

Mh

r1

r22

1

r

ri=

A vizsglt dinamikai rendszerben a forgs miatt jelen lvssz-kinetikus energia az

2

33

2

12

2

1

2

003102

1)(

2

1

2

1),,( &&&&&& +++= iE

msodfok fggvnnyel rhat fel. A dinamikai rendszerben jelenlvssz-potencilis

energia a tengelyeket lekpeztorzis rugkban troldik s az

2

3123

2

1001310 )(2

1)(

2

1),,( += issU

msodfok fggvnnyel adhat meg. A trgyalsunkban bevezetett disszipcifgg-

vny pedig a kvetkezhromvltozs msodfok fggvny alakjt lti:

2

3123

2

1001310 )(2

1)(

2

1),,( &&&&&&& += iddD .

A msodfajLagrange-egyenletek felrsnak elksztsekpp elksztjk a megfele-

lderivltakat:

.)(

)(

1001

0

1001

0

0000

0

,

,

&&&

&&&&

=

=

==

dD

sU

dt

dE

dt

d

.

,

,

iiddD

iissU

iidt

dE

dt

d

)()1)((

)()1)((

)()(

31231001

1

31231001

1

12

2

112

2

1

1

&&&&

&

&&&&

+=

+=

+=+=

.)1)((

)1)((

3123

3

3123

3

3333

3

,

,

=

=

==

&&&

&&&&

idD

isU

dt

dE

dt

d

A fent kiszmtott derivltakat behelyettestve aLagrange-egyenletbe, addik a dina-

mikai rendszer mozgsviszonyait ler msodrenddifferencilegyenlet-rendszer:

,))(,()()( 10100111100100 tuMdqds h=+++ &&&&&

,0)()1)(()()1)(()( 3123100131231001122

1 =+++++ iiddiissi &&&&&&

.))(,()1)(()1)(( 233123312333 tuMidis f &&&&& =++


64/116


65/116

62

Figyelembe vve az impulzusra bevezetettpjellst, az elstag trhat, s a Hamil-

ton-fggvnyre most mr az indirekt idfggs mdjt is rgztfelrst adhatunk:

H = 22 )(2

1)(

2

1))(),(( tsqtp

mtqtpH += .

Az gy rtelmezettHamilton-fggvnybl knnyen szrmaztathatjuk a vizsglt lineris

oszcilltor mozgsllapotnak idbeli vltozst feltr elsrenddifferencilegyenlet

rendszert. A koncentrlt tmeg mozgsllapott a sebessgllapota s helyzete hat-

rozza meg. Nyilvnval, hogy a sebessgllapot vltozsai a vizsglt rendszernkben

szereplkonstans mtmeg esetn apimpulzus vltozsval egyrtelmen meghatro-

zottak am

pq=& sszefggs szerint. A vizsglt rendszer q(t)-vel s p(t)-vel jellemzett

mozgsllapotra vonatkozan rvnyes sszefggs levezetshez, tekintsk a Ha-milton-fggvny qill.p szerinti parcilis derivltjait a qszerinti parcilis szmtsnl

a rendszerre rvnyes 0)()( =+ tsqtqm&& mozgsegyenletet is figyelembe vve:

q

))(),(( tqtpH =q

])(

2

1)(

2

1[ 22 tsqtp

m+ = )(tsq = p

m

pmqm &

&&& == .

p

))(),(( tqtpH =p

])(2

1)(

2

1[

22 tsqtpm

+ = )()(

tqm

tp&=

A kt kifejezs elejt s vgt nzve a sorrend megvltoztatsval addik, hogy a moz-

gsllapotot jellemzp(t) impulzus fggvnynek s a q(t) helyzetjellemzfggvny-

nek ki kell elgtenie az ltalnosabban fogalmaz, tmrebb alak

p

qpHq

q

qpHp

=

=

),(

),(

&

&

Hamilton-fle elsrendkznsges differencilegyenlet-rendszert.

A vizsglt harmonikus oszcilltor esetn a fenti ltalnos fogalmazs Hamilton-

rendszer termszetszeren visszaadja az llapottr mdszerrel is nyerhet lineris dif-

ferencilegyenlet rendszert:

qp

qpHq

sqq

qpHp

&&

&

=

=

=

=

),(

),(

,

figyelembe vve apimpulzus jelentst:


66/116

63

qq

sqqmqm

&&

&&&&

=

==)(

Az elsegyenlet mindkt oldalt az m> 0tmeggel osztva s alkalmazva az llapottr

mdszerbeli

T

qq ][ &

=

rsmdot s bevezetve a 2x2-esArendszermtrixot, az ismert

=

=

=

q

qm

s

q

q &

&

&&&

01

0

elsrenddifferencilegyenlet-rendszer addik az egyszabadsgfok csillaptatlan s

gerjesztetlen lengrendszer mozgsfolyamatnak lersra.


67/116

64

4. Alineris dinamikus rendszerek mozgsegyenletei

A jrmvek folyamatelemzsben - de a gpszeti rendszertechnikban ltalban is -az elzekben bevezetett homogn lineris R rendszeropertor igen sok-szor msodrend lineris inhomogn differencilegyenlettel vagy diffe-

rencilegyenlet-rendszerrel hozhat kapcsolatba. Tovbbi trgyalsunkban felt-telezzk, hogy a vizsglt koncentrlt paramterdinamikai rendszer szabad koordin-

tit az x( ) ( ), ( ),..., ( )t x t x t x t RnT n= 1 2 n-dimenzis vektorba foglaltuk, s a rendszer-

re mkdgerjeszthatsok koordintit - esetleg bizonyos szm zrus beiktatsval

- a szintn n-dimenzis g( ) ( ), ( ),..., ( )t g t g t g t RnT n= 1 2 vektorba foglaltuk. A rend-

szerben szereplvges sok tmeg, tehetetlensgi nyomatk, rugmerevsg, csillaptsitnyez, geometriai jellemzs esetleges tovbbi zemi paramter rendre a mozgs-egyenlet-rendszer Mtmegmtrixban, Dcsillaptsi mtrixban ill. Smerevsgi mt-rixban jelenik meg azon sszefggseknek megfelelen, amelyek a mozgsegyenlet-

rendszer szintetikus vagy analitikus meghatrozsakor az aktulis rendszert azonost-jk. Az n-szabadsgfok rendszer mozgst ler lineris inhomogn differencil-egyenlet-rendszer mrmost a kvetkezalakban rhat fel:

Mx Dx Sx g (t) + (t) + (t) = (t) .

A felrt mozgsegyenlet-rendszerhez termszetszeren kapcsoldik a kezdeti rtkekelrt rendszere, azaz a t0megadott kezdeti idponthoz tartoz elrt x x( )t0 0= helyzet-s ( ) x xt0 0= sebessgvektor. A dinamikai feladat megoldst a mozgsviszonyokat lerlineris inhomogn differencilegyenlet-rendszer (D.E.R.) s a hozz kapcsolt kezdeti rt-kek alkotta un. "kezdetirtk problma" (K..P.) megoldsa jelenti. Ismeretes, hogy a line-ris inhomogn differencilegyenlet-rendszer X( )t ltalnos megoldst a jobboldali za-varfggvny (most a g(t)vektorrtkfggvny) elhagysval add

Mx Dx Sx 0 (t) + (t) + (t) =

homogn rsz xh t( ) ltalnos megoldsnak s az inhomogn egyenlet egy X1( )t par-tikulris megoldsnak sszege szolgltatja, azaz:

X x X( ) ( ) ( )t t th= + 1 .

Az inhomogn egyenletre vonatkoz K..P. megoldsnak keressekor clszergy eljr-

ni, hogy a homogn rsz xh t( ) megoldst mindjrt a megadott x x( )t0 0= s

( )

x xt0 0= kezdeti rtkekhez illesztjk, s gy elegendaz inhomogn egyenletnek az adott t0 -nl az

X 01 0( )t = s ( )X 01 0t = sszefggsprral meghatrozott un.zr kezdeti feltteleknekmegfelel partikulris megoldst hozzadni. A ksbbi trgyalsunkban ltni fogjuk,hogy ezenzr kezdeti feltteleknekeleget tevegy partikulris megoldsa az inhomognegyenletnek ltalban nagyobb nehzsg nlkl meghatrozhat lesz.

Tovbbi trgyalsunkban bevezetjk a vizsglt dinamikai rendszer y( )t llapotvektort, sa megoldand msodrendlineris differencilegyenlet-rendszernket nagyobb mret -de mr csupnelsrendlineris differencilegyenletekbl felpl- rendszerrrjuk t.

Ezen transzformci clja ketts. Egyrszt ilyen formban a homogn rsz megoldsnakkeressekor kzvetlenl jutunk el a matematikbl ismert szoksos sajtrtk-feladathoz,


68/116

65

msrszt a rendelkezsre llstandard szoftverek(pl. MATLAB) ezen elsrenddifferen-cilegyenlet-rendszerek kezelsre knlnak fel megoldsi eljrsokat.Az llapotteres trgyals elkszt lpseknt a lineris idinvarins jrmdinamikairendszer fentiekben megfogalmazott differencilegyenlet-rendszert explicit alakra hoz-zuk:

x M Dx M Sx M g(t) = (t) (t) + (t) 1 1 1 .

Vezessk be most a 2ndimenzis y x x( ) ( ), ( )t t t Rdef

T n= 2 (mozgs-) llapotvektort!Ezen hipervektorelsnsorban a dinamikai rendszer sebessgkoordinti, mg a m-sodik n sorban a rendszer elmozdulskoordinti llnak. Ksztsk el most az lla-

potvektor idszerinti elsderivltjt, s vegyk figyelembe, hogy az gy kapott deri-vltvektor elsnsorban a dinamikai rendszer gyorsulskoordinti, mg msodik nso-rban a rendszer sebessgkoordinti llnak. Ezek szerint az:

( ) ( )

( )

( )

( )y

x

xM Dx M Sx M g

xM D M S

E O

x

xM g

0t

t

t t

t=LNM OQP= LNM OQP= LNM OQPLNM OQP +LNM OQP

1 1 1 1 1 1

(t) (t) + (t) (t) (t)

kifejezs addik, ahol azonnal felismerhet, hogy a megjelent egytthat hipermtrixszor-zvektora ppen a rendszer y( )t llapotvektora! Az egytthatknt fellpett hipermtrix 4db nxn-es blokkbl pl fel, a kt felsblokk dinamikai jelentse nyilvnval, az Eblokkaz nxn-es egysgmtrixot, mg az Oblokk az nxn-eszrmtrixotjelli. A szban forgegytthat hipermtrixot a lineris idinvarins dinamikai rendszer rendszermtrixnaknevezzk, s A -val jelljk. A dinamikai rendszerre hat g( )t Rn gerjesztsvektorM1-szeresbl s egy n-dimenzis zrusvektorbl felplhipervektort f( )t -vel jellve,

valamint megfogalmazva az llapotvektorra vonatkoz y y x x( ) ,t RT n0 0 0 0 2= = kezdetirtk vektort, a dinamikai rendszer elsrendre reduklt differencilegyenlet-rend-szerhez rendelt kezdetirtk problma a kvetkeztmr alakban rhat fel:

( ) ( ) ( )

( )

y y f

y y

t t t

t

= +

=

A

0 0

.

Tekintettel a kapott kezdeti rtk problma jrmdinamikban jtszott fontos szerepre, je-lentst egy hatsvzlat alapjn is szemlltetjk!

A

f(t) y(t). y(t)

+

Ay(t)

+

A hatsvzlat kiemeli azon ltalnos elv rvnyeslst, hogy a kls f(t)gerjeszthatshoz tartoz mozgsokat a visszacsatol gban elhelyezkedArendszermt-rix mintegy koordinlja, meghatrozva azon Ay(t) kapcsolati erket s nyomatkokat,amelyek a rendszerben lvtmegek mozgsra a szomszd tmegek jelenltbl kvet-kezen hatnak.


69/116

66

Mivel a bevezetett konstans elemArendszermtrix a rendszerparamterektl fgg, szo-ksos az A(M,S,D) jells alkalmazsa. A rendszermtrix paramterei bizonyos zemidelteltvel nmikpp megvltozhatnak, s ez a paramtervltozs a rendszer llapotvek-torban jelents vltozsokat okozhat. A dinamikai analzis htterjrmrendszer-dia-

gnosztikappen ezen paramtervltozsok okozta mozgs- s terhelsllapotvltozsokatvizsglja, hogy behatrolhatv tegye a rendszerparamterekben az zemels sorn bel-l vltozsok megengedhetmrtkt.Fordtsuk ismt figyelmnket a kapott elsrendlineris inhomogn differencilegyenlet-rendszerre vonatkoz kezdetirtk problma (K..P.) megoldsra. Ezen problma meg-oldst is gy konstrulhatjuk meg, hogy elszr keressk a differencilegyenlet-rendszerhomogn rsznek az adott y y( )t0 0= kezdeti rtkeket kielgt y yh t( , )0 partikulrismegoldst, s ehhez hozzadjuk az inhomogn (gerjesztett) egyenlet y 0g t( )0 = kezdeti

rtk vektornak eleget tev y 0g t( , )partikulris megoldst. gy a jrmdinamikai rend-

szernk gerjeszts hatsra el

ll mozgsviszonyait az adott kezdeti rtkekhez illeszke-d

y y y y 0( ) ( , ) ( , )t t t Rh gn= + 0

2

llapotvektor-idfggvnnyel - mint partikulris megoldssal - egyrtelmen jellemezni le-het!

Az elmondottak szerint elsknt az llapotvektorra felrt lineris inhomogn (gerjesztett)differencilegyenlet-rendszer gerjesztetlen ( ) ( )y yt t= A homogn rsznek az adotty y( )t0 0= kezdeti vektorhoz tartoz y yh t( , )0 partikulris megoldst kell meghatroz-

nunk! Keressk a megoldst y h( )t e t= alakban, azaz egy egyelre hatrozatlan h C n2

komplex elemvektor, s az egyelre hatrozatlan Ckomplex egytthat mellett kp-zett e t exponencilis fggvny szorzataknt. Derivlva a felttelezett alak megolds-fggvnyt az ( )y ht e t= fggvnyt kapjuk. Visszahelyettestve a homogn lineris diffe-rencilgyenletnkbe, az

h h e et t= A

vektoregyenletet kapjuk. tekintve, hogy a mindkt oldalon szerepl e t fggvny seholsem lesz zr a szmegyenesen, ezrt mindkt oldalt el szabad osztani e t -vel, gy azegyenlet kt oldalt felcserlve a szoksos alak

A h h= sajtrtk-feladatrajutunk. Keresni kell azon Cszmokat, amelyek mellett a felrt sa-jtrtk-feladatnak ltezik h 0 - .n. nemtrivilis - megoldsa. Kismrtkben trendezvea sajtrtk-feladat egyenlett a

A Ah- h - E h 0 = ( ) =

homogn lineris algebrai egyenletrendszert kapjuk az ismeretlen h C n2 vektor megha-trozsra. Itt Ea 2nx2nmretegysgmtrixot jelli. Mivel bennnket csupn a h 0 nem trivilis megoldsok rdekelnek, ezrt elszr az ezek ltezst biztost felttelnekmegfelel Cszmokat - az un.sajtrtkeket- kell meghatroznunk. Ismeretes, hogyegy ngyzetes egytthatmtrix homogn lineris algebrai egyenletnek akkor s csak ak-


70/116

67

kor van nem trivilis megoldsa, ha egytthatmtrixa szingulris, azaz az egytthat-mtrix determinnsa zrus. Ez a felttel esetnkben az jelenti, hogy meg kell hatroznunkaz A rendszermtrix det( ) - E karakterisztikus polinomjnak gykeit. A gykkmeghatrozsa a

det( ) 0 =- E

karakterisztikus egyenletmegoldsval trtnik. Tekintettel arra, hogy a tbb-szabadsg-fok dinamikai rendszerek esetn a karakterisztikus polinom fokszma a kettt meghalad-

ja, ezrt a karakterisztikus egyenlet megoldsa ltalban numerikus mdszerrel trtnik.Szerencsre napjainkban szmos igen gyors megold szoftverll rendelkezsre az ilyenfeladatok kezelshez. Mivel az A rendszermtrix mrete 2nx2n, ezrt az algebra alapt-telvel sszhangban 2ndb - nem felttlenl klnbz- komplex gyk addik sajtrtk-knt. Ha a 1 2 2, ,..., n C gykk - amelyek kztt lehetnek zrus kpzetes rsszel b-rak, azaz vals gykk is - rendelkezsre llnak, akkor meg kell hatrozni ezen sajtrt-kekhez tartoz hi

nC i n =2 1 2 2, , ,..., un.sajtvektorokatis az

( ) , , ,..., - E h = 0i i i n= 1 2 2

homogn lineris algebrai egyenletrendszerek megoldsval. A "Matematika" c. trgyblismeretes, hogy a homogn lineris egyenletrendszerek nemtrivilis megoldsasohasemegyrtelm! Az egyenletrendszerre tekintve azonnal ltszik ugyanis, hogy brmely hi megoldssal egytt tetszleges c C egytthat (szorz) mellett a c ih vektor is kielgtiaz egyenletet. Ez gyakorlatilag azt jelenti, hogy ha az ( ) - Ei egytthat mtrix rangjari , akkor a lineris egyenletrendszer megoldsakor 2n-ri szm ismeretlennek tetszleges(clszeren egysgnyi) rtket lehet adni, s ezen felttel mellett a tbbi ismeretlenre ki-add lineris inhomogn egyenletrendszert mr a szoksos mdszerek valamelyikvelmeg lehet oldani, s gy a hi sajtvektorok rendre meghatrozhatk.

A tovbbi trgyalsunkban felttelezzk, hogy a vizsglt dinamikai rendszer minden sajt-

rtke klnbz. Ebben az esetben ai

n

i ite

=1

2h n s fggvnyrendszer a homogn lineris

differencilegyenlet-rendszernk n. alaprendszertadja, elemei linerisan fggetleneksgenerljk az homogn lineris differencilegyenlet-rendszer sszes megoldsa alkotta li-neris teret. Az ilyen tulajdonsg alaprendszer a megoldsok lineris ternek egy bzistszolgltatja. Ismeretes azonban, hogy valamely lineris tr elemei egyrtelmen elllt-

hatka bziselemek lineris kombincijaknt. Most teht a homogn lineris differencil-egyenlet-rendszernk brmely megoldsa elll

y hh ii

n

itt c e i( )=

=

1

2

alakban, alkalmas c C i ni =, , ,...,1 2 2 komplex egytthatkkal. Tekintettel arra, hogy afenti kifejezs szerinti bzisellltsban a sajtrtkek s a sajtvektorok ismerteknek te-kinthetk a sajtrtk feladat megoldsa utn, most mr csak a kezdeti rtk feladatunkmegoldst biztost "alkalmas" c C i ni =, , ,...,1 2 2 egytthatk meghatrozsa marad

htra. Foglaljuk a szban forg ci egytthatkat a c= c c c C nT n

1 2 22, ,..., oszlopvektor-

ba, s vegyk figyelembe az elrt y y( )t0 0= kezdeti rtkeket! Ezekkel a homogn diffe-


71/116

68

rencilegyenlet-rendszer elbb felrt megoldsra a t0 helyen elrva az y y( )t0 0= kezdetivektor felvtelt, az

y h h h h Bc0 1

2

1 2 2

1

2

2

0 1 0 2 0 2 0= =

L

N

MMMM

O

Q

PPPP

==

c e e e e

c

c

c

ii

n

i

t t t

n

t

n

i n , ,...,

nemszingulris B-mtrix lineris inhomogn algebrai egyenlet addik az ismeretlen cvektor elemeinek meghatrozsra. A fenti eljrs sorn kihasznltuk azt a tnyt, hogy arelis dinamikai problmt ler lland egytthats homogn lineris differencilegyen-let-rendszerek a teljes llapottren eleget tesznek a Lipschitz-felttelnek, s gy akezdetirtk feladat egyrtelmen oldhat meg.A fenti trgyalsunk sorn lttuk, hogy a 1 2 2, ,..., n C sajtrtkek a homogn rszmegoldsnak ellltsban kulcsfontossg szereppel brnak. Tovbb nvekszik ezen sa-

jtrtkek jelentsge, ha tekintetbe vesszk, hogy a sajtrtkek kpzetes rsze megadja adinamikai rendszernk sajtkrfrekvenciit, s gy a rendszer sajtfrekvencii abszolt-rtk kpzs s 2-vel val oszts utn

f i nii= =

Im, , ,...,

2

1 2

alakban addnak. A sajtfrekvencik - pontatlanul fogalmazva - megadjk azon frekvenciartkeket, amelyekkel az egyenslybl kitrtett rendszer "magtl rezegni szeretne", gyegyben arra nzve is alapinformcit adnak, hogy milyen frekvencij gerjesztsekre fog arendszer esetleg veszlyes nagysg kitrsrtkekkel "rezonlni".

A sajtrtkek msik - nem kevsb fontos - szerepe a lineris dinamikai rendszerstabili-tsnak indiklsban van. Mivel a homogn differencilegyenlet-rendszer megoldsaiexponencilis idfggvnyek lineris kombincijaknt llnak el, ahol az exponencilisidfggvnyek kitevjben szerepelnek a sajtrtkek, azonnal addik, hogy ha valamelysajtrtk vals rsze pozitv vals szmrtket vesz fel, akkor az a megolds-sszetevexponencilis sebessggel vgtelenhez fog tartani, s ez a tulajdonsg a mozgs-amplitdk veszlyes megnvekedshez, a rugalmas elemek rugalmassgi hatrnak ki-merlshez, az anyag megfolyshoz, majd elmletileg trshez vezet. Az elmondottakmiatt jrmvekben - de ltalban tetszleges gpben - a megvalstott lineris dinamikairendszer nem rendelkezhet olyan paramterekkel, amelyek mellett a stabilitsvesztst jelz

pozitv vals rszsajtrtkek alakulnak ki. Ezen okok miatt a 1 2 2, ,..., n C sajtr-tkek

i i i n= =Re , ,..., 1 2 2

vals rszeinek negatvszmrtkeit mintstabilitstartalkokatrtelmezhetjk, mgzrvagypozitvrtkk astabilits hatrtill. astabilitsvesztstindiklja. Minl nagyobb astabilitstartalk, annl kisebb a stabilitsvesztssel jr veszlyes mozgs- s terhelsl-lapotok kialakulsa a vizsglt lineris dinamikai rendszernkben.

A fenti lineris idinvarins dinamikai rendszerekre vonatkoz sszefggseket egy egy-

szabadsgfok jrmdinamikai modellen rzkeltetjk. Az bra szerint a jrmnek csupn


72/116


73/116


74/116

71

( ),

,t

ha t

ha t=

RS|T|

0 01

0

a fa f .

Az gy rtelmezett ngyszglks-fggvny okozta impulzusvltozs egysgnyi, hi-

szen:

( )t dt dt dt = = = =

+

z z z1 1 1 10 0

.

A fenti rtelmezsbl nyilvnval, hogy amennyiben a ( )t fggvnyt a zrushoz lo-kalizlniszeretnnk, akkor az tartintervallum hossznak jobbrl zrushoz kell tar-tania, s ezzel egyidejleg az 1/ jelmagassg egyre nvekszik s -hez tart. Ezszemlletesen azt jelenti, hogy az impulzusbevezets lokalizlsakor vgzett hatrt-menet sorn az egysgnyi impulzusvltozsi rtk fenntartsa rdekben a jelmagassgegyre nvekszik, azaz igen kicsi tartintervallum hossz mellett igen magas - 1/

magassg - tszerjeletkapunk. A mr igen kicsi, de mg a hatrtmenettel el nemtnt idintervallum-hossz esett gondolatban rgztve, szemlletesen tlthat dina-mikai tartalmat olvashatunk ki az gy rgztett ( )t egysgnyi impulzusvltozst adngyszglksre nzve. Az a helyzet ugyanis, hogy ezt az igen rvid idtartamrakorltozd ( )t ngyszglkst valamely kezdeti llapotknt nyugalomban lvmtmegre kls gerjeszterknt alkalmazva a vizsglt tmeg ugyan knytelen ezenigen rvid idalatt tvenni az egysgnyi impulzusvltozst s ennek megfelelen akezdeti zrus mozgsmennyisgt mv = 1 -re nvelni, ami a vizsglt m tmegnek azimpulzuskzls utni v = 1/m sebessgt belltja, azonban tekintettel az idtartam

igen kicsi (elhanyagolhatan kicsi) voltra, "nincs elegend

id

" arra, hogy az id

-tartam alatt az mtmeg kezdeti helyzete is megvltozzon, azaz nagyon j kzeltsselfennll, hogy a ngyszglks mkdsi ideje alatt befutott t:s 0!

A fentiek elrebocstsval mrmost az egysgnyi impulzusvltozst okoz Dirac-gerjeszts hatrtmenettel volna felrhat:

( ) lim ( )t t=0

,

mely hatrtmenet formlis vgrehajtsval a

( ) ( )t

ha t

ha t t dt=

= =

RST

+

z0 0

0 1

esetsztvlasztsos sszefggs addik, s az itt szereplesetsztvlaszts szerint rtel-mezett fggvny integrlja csak zrus lehetne, s gy nem kapnnk egysgnyi impulzus-vltozst! Jelen trgyalsunkban nincs lehetsgnk a fentiekben kibukott matematikai el-lentmonds disztribcielmleti keretekbentrtnlehetsgesfeloldsra, ezrt az Di-rac- -val kapcsolatos egysgnyi impulzusbevezetsi alkalmazsok biztostsa rde-kben a hatrtmenet elvgzse eltti igen kis (elhanyagolhatan kicsi) vges idtar-tam felttelezse melletti meggondolsokat elfogadva a Dirac-fggvnyt "szimboli-kusan" rtelmezzk, spedig mint egy elenysz idalatt a rendszerre hat egy-sgnyi impulzusbevezetst ad tszerngyszglkstfogjuk fel.


75/116

72

b) A szigoran lokalizlt Dirac- egysgimpulzus msik szemlletes kzelt fgg-vnyt kapjuk ha bevezetjk az egysgnyi impulzust ad ta fGauss-lkst, amelytulajdonkppen egy zr vrhat rtks szrs Gauss fle srsgfggvny:

t e

t

a f=

12

2

22 ,

melynek a ,a f intervallumon vett idintegrlja (=az ltala okozott impulzusvltozs)egysgnyi. A fentiek elrebocstsval az egysgnyi impulzusvltozst okoz Dirac-(rviden: egysgimpulzus) fggvny ismt hatrtmenet segtsgvel lenne felrhat:

( ) lim ( )t t=0

.

A hatrtmenet formlis vgrehajtsa itt is a fentiekben mr vzolt ellentmondsos hely-

zethez vezet, ezrt a Dirac-lnyegt szimbolikus rtelemben ezen kzelts sorn isegy, mg a hatrtmenet teljes vgrehajtsa eltti esethez tartoz - mr igen kicsi demg vges paramter mellett add - igen rvid (6 hosszsg) tartinterval-lummal br tszerv hegyesedett Gauss-grbvel ragadhatjukmeg .

A szigoran lokalizlt Dirac- egysgimpulzus "fggvnyt" diagramban egy az ori-gban merlegesen felvett egysgnyi hosszsg, felfel mutat resfejnyl brzol-

ja, amely az origban kiemelkedik a vzszintes tengelyre illeszked, az orign kvlmindentt zrus rtket felvevfggvnyvonalbl. A ta fegysgimpulzus bementre alineris idinvarins rendszer ltal adott h(t) vlaszfggvnyt, a rendszer slyfggv-

nyt diagramban szemlltetjk.

Linerisidinvarins

SISO

t

() h(t)

h

t

A slyfggvny meghatrozst egy egyszabadsgfok lineris lengrendszeresetremutatjuk be. Jellje a vizsglt lineris idinvarins rendszer opertort R , ekkor rha-

t, hogyh t t( ) ( )= R ,

mikzben kiktjk, hogy a t = 0 idpontban (=kezdeti idpont) a h(0)=0 s a ( )h 0 0= felttelek (=kezdeti felttelek) teljeslnek.

Az Rrendszeropertor R 1inverzt lehet egyszeren megfogalmazni a h(t) slyfgg-vnyre mint ismeretlen fggvnyre vonatkoz msodrend lineris inhomogn dif-ferencilegyenlettel, nevezetesen a (t) -vel gerjesztett lineris lengrendszer mozgs-egyenletvel, melynek alakja:

mh t dh t sh t t ( ) ( ) ( ) ( )+ + = .


76/116

73

Vezessk be a differencilhnyados kpzst kijellp differencilopertort, akkor aktszeri derivls a popertor ktszeri egyms utni alkalmazst kvnja, mely kt-szeri egyms utni alkalmazst apopertor ngyzeteknt azonosthatunk. Ezzel:

mh t dh t sh t t

m h t d h t sh t t

m d s h t t

a h t t a s a d a m

h t t

ii

i

( ) ( ) ( ) ( ),

( ) ( ) ( ) ( ),

( ) ( ) ( ),

( ) ( ) ( ), , , ,

( ) ( ).

+ + =

+ + =

+ + =

= = = =

=

=

p p

p p

p

2

2

0

2

0 1 2

1

R

A fenti elkszletek sorn a rendszeropertor R 1inverzvel megfogalmazott diffe-rencilegyenlet megoldsseregbl a szmunkra rdekes slyfggvnyt a kezdeti fel-

ttelek figyelembevtelvel kaphatjuk meg. Tekintsk teht azmh t dh t sh t t

h h

( ) ( ) ( ) ( ),

( ) ( )

+ + =

= =

0 0 0 0

lineris msodrend inhomogn differencilegyenletre vonatkoz kezdetirtk prob-lmt. Figyelembe vve a Dirac- gerjeszts elzekben trgyalt kzelt interpre-tcijt, gy tekinthetjk, hogy az elhanyagolhatan rvid idalatt a rendszerbe "t-szeren" bevitt egysgnyi impulzus a kezdeti llapotknt nyugalomban lvmtmegkezdeti zrus sebessgt elhanyagolhat id alatt a megvalsul mh( )0 1+ = moz-gsmennyisg vltozs kvetkeztben ( ) /h m0 1+ = sebessgre vltoztatja, ahol a 0+ idpont a zrustl elhanyagolhat mrtkben klnbzpozitv idpontot jell. Az el-hanyagolhat idtartam impulzusbevitel utn a klsgerjeszts azonosan zrus rtkmarad. sszegezve a most mondottakat, a slyfggvny meghatrozshoz konstrult in-homogn differencilegyenletre a zrus kezdeti rtkek hozzfzsvel megadott kez-deti rtk feladat t>0 idpontokra rvnyes megoldst a

mh t dh t sh t

h h h m

( ) ( ) ( ) ,

( ) ( ) ( ) /

+ + =

= =+0

0 0 0 0 1

homogn lineris differencilegyenletre vonatkoz - az elhanyagolhat id alatti im-

pulzusbevitel hatsra elll - zrustl klnbz ( ) ( ) /h h m0 0 1 =+ kezdeti sebes-sg elrsval megfogalmazott kezdetirtk problma (K..P.) megoldsval is meg-kaphatjuk, s ez a homogn egyenletre vonatkoz K..P. jval egyszerbb.

Keressk mrmost a homogn lineris differencilegyenlet megoldst h t e t( )= alak-ban, ahol egyelre ismeretlen konstans. Ktszer derivlva ezt a hipotetikus meg-oldsfggvnyt, s visszahelyettestve a differencilegyenletbe a jl ismert

m d s 2 0+ + =

karakterisztikus egyenlet addik, melynek mint msodfok algebrai egyenletnek a

gykei:


77/116

74

1 2

2

2 2, =

FHG

IKJ

d

m

d

m

s

m.

Az gy kiadd, nem egybees 1s 2gykkkel meghatrozott - egybknt gy li-

nerisan fggetlen - e t1

s e t2

fggvnyek s ezek brmely lineris kombincija iskielgti a megfogalmazott homogn differencilegyenletnket. Ezzel az ltalnosmegoldst jelent fggvnysereg rendelkezsnkre ll, azonban a konkrt dinamikai

problma megoldshoz az elzekben elrt h h h m( ) ( ) ( ) /0 0 0 0 1= =+ kezdetifeltteleket kielgt partikulris megolds rdekes, ez fogja szolgltatni ugyanis avizsglt lineris idinvarins rendszer ltalunk keresett h t( )slyfggvnyt.

A kvetkez trgyalsunkat az ltalnossg bizonyos szktsvel azon lineris id-invarins rendszerek vizsglatra korltozzuk, amelyeknl a h t( ) slyfggvnynek van

periodikus sszetevje is. Ez az eset az .n. "gyengn csillaptott" rendszerekre jellem-

z

, amelyek a jrm

dinamikai feladatokban felmerl

rendszerek tlnyom tbbsgtalkotjk. A gyengn csillaptott rendszerek matematikai azonostsa a karakterisztikusegyenlet D diszkriminnsnak vizsglata alapjn vgezhet el. Ha D 0, akkor -amint az nyilvnval - az exponencilis megoldsok kitevibe vals szmok lpnek

be. Ilyen esetben a slyfggvny nem rendelkezhet periodikus sszetevvel, azaz a ki-alakul slyfggvny aszimptotikusan cskkenve zrushoz fog tartani - a rendszer ek-kor tlcsillaptott, a slyfggvny ltal jellemzett mozgs zrhoz tart un. ksz moz-

gslesz. Az ersen csillaptott rendszereknl, amelyekre D >>0 jellemz, ez a kszmozgs kizrlagos. A ksz s a lengjellegslyfggvnyek sokasga kztt az el-vlaszt esetet a D = 0 teljeslse hatrozza meg. Vgl - szmunkra ez a legfontosabb

eset - a lengmozgst is tartalmaz slyfggvnyek kialakulst a D


78/116


79/116

76

h

t

d = 0d 0

Az tmeneti fggvny SISO esetn

AzA(t) tmeneti fggvny a lineris idinvarins dinamikai rendszer msik szleskrenfelhasznlhat rendszerjellemz fggvnye, amelynek ismeretben a rendszer bemenetrerkez idfgg gerjesztsek igen szles osztlyra a rendszervlasz meghatrozhat.Magt azA(t) tmeneti fggvnyt a vizsglt - kezdetben nyugalmi llapotban lv- line-ris idinvarins rendszer specilis gerjesztsre adott vlaszval rtelmezzk. Ez a specilisgerjesztfggvny az .n. egysgugrs-vagy Heaviside-fggvny. A t= 0 pontban m-kdtetett, s minden vals t-re rtelmezett U(t) egysgugrs fggvny esetsztvlasztsosdefincija a kvetkez:

U t ha t

( )= RST

0 0

1

klnben .

Az egysgugrsfggvny fenti bevezetse utn clszeraz U t ( )egysgugrskzelt(t-

rttvonal-) fggvnyt is bevezetni a kvetkezdefincival:

U t t

( )=

RS|

T|

0 ha t 0

ha 0 t

1 ha t

1 .

A megadott defincik alapjn leolvashat az 0 esetn rvnyeslkapcsolat a kt ug-rsfggvny kztt, nevezetesen minden t 0 esetn:

lim ( ) ( )

=0U t U t .

Az U t ( ) fggvny = 0 esetn a t= 0 pontban tbbrtkvvlik, gy a hatrrtk rtel-mezse t= 0 -ban nehzsgbe tkzik. Azonban a mg pozitv rtkek esetn az U t ( )fggvny derivlt fggvnye megegyezik a ( )t Dirac- -kzelt ngyszglks fgg-vnnyel, azaz:

d

dtU t t ( ) ( )= , ha 0 .

A megfordts is igaz, vagyis a Dirac- -kzelt ngyszglks fggvnynek a ,ta intervallumon vett improprius integrlja megadja az U t ( ) fggvnyt:


80/116


81/116

78

Lineris idinvarins SISO vlasznak meghatrozsa az idtartomnyban

A vlasz meghatrozsa a slyfggvnyre tmaszkodva - A konvolci-ttel

Legyeng(t) a lineris idinvarins rendszer bemenetre mkdgerjesztst megad id-fggvny, melytl megkveteljk, hogy a szmegyenes minden vges idintervallumn

integrlhat legyen (=loklis integrlhatsg). Ksztsk el a tidtengely egy nem felttle-nl egyenlkz (nem felttlenl ekvidisztns) felosztst az egymshoz kzelfekvnektekintett idpontokbl ll ti i Il q pontsorozattal, ahol I egy megfelel indexhalmaz. Azgy felvett pontsorozatra tmaszkodva definiljuk a g(t) fggvny "durvtst", ami azt je-lenti, hogy egy a g(t) fggvnyt kzelt jl meghatrozott g t ( ) lpcss fggvnyt ho-

zunk ltre, spedig olymdon hogy a g t g t ( ) ( )kzelts a felosztselemekt t ti i i= +1 tvolsgnak cskkentsvel tetszlegesen javthat legyen. Tekintsk mosta ti i Il q pontsorozaton felvett g ti i I( )l q fggvnyrtkek sorozatt (=mintavteli soro-zat), s definiljuk a kvetkez-g(t) -vel kapcsolatban ll - ngyszglks-fggvnyeket:

g t g t t t t

i Iii i i( )

( )=

RST +

ha,1

0 klnben .

A kvetkezeljrsunk gondolatmenete azon alapul, hogy a fent meghatrozott g ti( ) ma-gassg ngyszglks fggvnyeket visszavezetjk = ti mellett rtelmezett s at i Ii , pontokba eltolt Dirac -kzeltngyszglks fggvnyekre. Mivel a ti t( )

Dirac -kzelt ngyszglks magassga 1/ti , ezrt a t ii t t( ) ngyszglks

fggvny mr egysgnyi magassg lesz, ebbl pedig a g ti( ) helyettestsi rtkkel szo-

rozva a t i ii t g t t ( ) ( ) az orig jobboldali krnyezetben elhelyezkedg ti( ) magassgngyszglks lesz. Ahhoz, hogy a kvnt g ti ( )a ti pontba tolt ngyszglkst megkap-

juk, a kifejezsben szereplDirac -kzeltngyszglkst is el kell tolni a ti pontba.Ezzelg t t t g t ti t i i ii( ) ( ) ( )= ,i I alakban kapjuk a g t

( )lpcss fggvnyt sszeg alak-

ban elllt ngyszglksek sorozatt. Az emltett elllts konkrt alakja:

g t g t t t g t ti t i i ii Ii I

i

= = ( ) ( ) ( ) ( ) .

A vizsglt id

invarins lineris rendszer kimenetn megjelen

y tg( ) vlaszfggvnyt azR rendszeropertor g t( ) -re val alkalmazsval y t g tg( ) ( )= R alakban kapjuk. Mivel

elegenden finom ti i Il q feloszts esetn g t g t ( ) ( ), ezrt a vlaszfggvnyt kzeltfelrst a g t ( ) lpcss "durvts" figyelembevtelvel konstrulhatjuk meg, majdti 0 hatrtmenettel finomtva a kzelteredmnyt, nyerjk a pontos y tg( ) rendszer-

vlaszt. A kzeltfelrs tnyleges alakja a kvetkez:

y t g t g t g t t t g t t

t t g t t h t t g t t

g i t i i ii Ii I

t i i i t i i ii Ii I

i

i i

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

= = = =

= =

R R R R

R

.


82/116


83/116

80

felttlenl egyenlkz (ekvidisztns) felosztst az egymshoz kzelfekvnek tekintettidpontokbl ll ti i Il q pontsorozattal, aholIegy megfelelindexhalmaz. Az gy felvett

pontsorozatra tmaszkodva ismt definiljuk a g(t) fggvny "durvtst", azaz megintegy, a g(t) fggvnyt kzelt jl meghatrozott g t ( ) lpcss fggvnyt hozunk ltre,

azonban most ezt a kzelt lpcss fggvnyt a ti i Il q felosztspontokba eltoltU t t i I i( ), egysgugrs fggvnyek lineris kombincijaknt lltjuk el. A lineriskombinciban szerepl egytthatk a g(t) gerjesztfggvnybl szrmaz rtkek lesz-nek. Az elmondottaknak megfelelen ellltott g t ( )lpcss fggvny a kvetkezala-k lesz:

g t U t t g t g tii

i i

=

+

= ( ) ( ) ( ) ( )1 .

A szgletes zrjelben lv mennyisg a tekintetbevett g(t) gerjesztfggvny nvek-

mnyeit adja az egyes t t ti i i= 1 felosztselemeken. Az gy elksztett g t g t

( ) ( )kzeltfggvny annl pontosabb lesz, minl finomabb a ti i Il q feloszts, mskpp fo-galmazva a felosztselemek t t ti i i= 1tvolsgnak cskkentsvel a lpcss kzeltstetszlegesen javthat.

A vizsglt idinvarins lineris rendszer kimenetn megjeleny tg( )vlaszfggvnyt el-

vileg az R rendszeropertor t( ) -re val alkalmazsval y t g tg( ) ( )= R alakban kapjuk.

Mivel elegenden finom ti i Il q feloszts esetn g t g t ( ) ( ) , ezrt a vlaszfggvnytkzelt felrst a g t ( ) lpcss "durvts" figyelembevtelvel konstrulhatjuk meg,

majd , a ti 0hatrtmenettel finomtva a kzelteredmnyt, nyerjk a pontos y tg( )rendszervlaszt. A kzeltfelrs tnyleges alakja a kvetkez:

y t g t g t g t U t t g t g t

U t t g t g t A t t g t g t

g ii

i i

ii

i i ii

i i

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

= = = =

= =

=

+

=

+

=

+

R R R R

R .

1

1 1

A fenti eredmny msodik sorban kihasznltuk az R opertor linearitst s idin-variancijt. A kpletbe belpett t ti( ) kifejezs a vizsglt lineris rendszer A(t) t-

meneti fggvnynek eltoltja, nevezetesen a ti -be eltolt U t ti( ) egysgugrsfggvnyreadott vlaszfggvny. Most vgrehajtva a ti 0 hatrtmenetet, s figyelembevve,hogy a jelzett hatrtmenet sorn a ti i Il q felosztsrendszerben lv elemek n szma avgtelenhez tart, kapjuk a kvetkezintegrl-kifejezst:

y t A t t g t A t dggt

n

i ii Ii

( ) lim ( ) ( ) ( ) ( )= =

+

z

0

.

A most kapott integrl-kifejezs egy Stieltjes-fle integrl, mivel az integrls most ag(t)

gerjeszt

fggvnyre nzve trtnik. Ha a g(t) gerjeszt

fggvny minden t -re differen-


84/116


85/116

82

dik vltozt rgztjk, azaz felttelezzk, hogy egy w Wi elemi esemny realizldott,

akkor a sztochasztikus folyamatunk a wdef

iit t w( ) ( , )= - mr csupn a t I idtl fgg-

egyvltozs vals realizcis fggvnyt (v. mintafggvnyt) kapjuk. Ezt a gon-dolatmenetet kvetve kapjuk a sztochasztikus folyamat horizontlis lerst, miszerint a( , )t w folyamat nem ms mint a klnbz (esetleg vgtelen sok) w Wi elemiesemnynyel meghatrozott, azIintervallumon rtelmezett realizcis fggvny egybefo-

gott w w Wi it( )n s

serege.A sztochasztikus folyamat .n. vertiklis lerstakkor kapjuk,

ha a lehetsges t Ii idparamterekhez hozzrendeljk a tdef

iiw t w( ) ( , )= valszns-

gi vltozkat - a sztochasztikus folyamat u.n. "perem valsznsgi vltozit". A ( , )t w sztochasztikus folyamatot gy a Wesemnytren rtelmezettperem valsznsgi vltozi-

nak egyparamteres t t Ii iw( )n s

seregekntjellemezhetjk.

A sztochasztikus folyamatok realiazcis fggvnyei alakulsnak rzkeltetse s a je-lentkezfggvnysereg svszersgben "megbj" vltozsi tendencia szemlltetse cl-

jbl legyen az idtengelyen (=paramtertr) fekvI intevallum a vges 0,T intervallum.Ezen intervallum felett csupn hrom realizcis fggvnyt rajzoltunk fel. Mr ezen hromrealizcis fggvny is jl mutatja a folyamat svszerjellegt, s ezen svba "k-zpvonalknt" berajzolhat az egyes t I idpontokhoz tartoz perem-valsznsgi vl-tozk vrhat rtkeivel rtelmezett

),()( wttm

E=

vrhat rtk fggvny. IttEa vrhat rtk kpzs funkcionljt jelli. A kiadd szem-lletes kp alapjn azt mondjuk, hogy a sztochasztikus gerjesztfolyamat realizcis fgg-vnyei a vrhat rtk fggvny krl ingadoznak.

tT0

w w w1 2

1

3

E (t,w)

Termszetesen minden t I idponthoz kiszmthat a perem valsznsgi vltozk sz-rsa is az ismert

22 ))(),((),()( tmwtwttd

== ED

kplet szerint. Itt D2 a szrsngyzet-kpzs (variancia kpzs) funkcionljt jelli.


86/116


87/116

84

ugyanis vilgos, hogy az krfrekvencihoz hozz tartozik egy f = / 2 frekvencia-rtk (mrtkegysge: f s Hz= =1/ ), ebbl pedig a T= 1 / fsszefggs alapjn egy

peridusid( T s= ) addik ki! Az teht nem ktsges, hogy egy "krfrekvencij jel-sszetev" T szerint periodikus fggvny kell hogy legyen, azonban az idfggs konkrt

jelformja ezzel mg nem rgztett. Az elvileg szbajhetszmos jelforma kzl szem-lletes tartalma miatt a szinuszos ill. koszinuszos jellefuts vlasztsa kerlhet elssorbanszba. A rendszerelmleti vizsglatok matematikai kezelst azonban nagyon megknnytia szinusz ill. koszinusz fggvnybl az Euler-relci alapjn

e t i t i t = +cos sin

alakban nyerhet n. elemi komplex harmonikus fggvny bevezetse. Figyeljk meg,hogy ez a kt vals vltozs komplexrtk

f t e Ci t( , ) =

fggvny minden strtkre rtelmezve van, s hogy rtkei- az e

i t

= 1 minden vals -ra s t -re rvnyesl azonossg miatt - a komplex szmsk egysgkrre esnek. Le-gyen rgztett, zrustl klnbzkrfrekvencia, akkor t= 0 esetn e Ri0 1= lvnaz elemi komplex harmonikus fggvny ppen a vals tengelyen lv egysgnyi rtketveszi fel. Ha t 0, akkor a ( )t t= idfggszgrtk bevezetsvel knnyen addik,hogy az elemi komplex harmonikus fggvny most az ei t( ) komplex szmot veszi fel azegysgkrn, azt a komplex szmot amelyhez az origbl hzott egyenes a vals tengely-lyel ppen (az ramutat jrsval ellenkezrtelemben pozitvnek rtelmezett) ( )t t= szget zr be. Ezzel eljutottunk az elemi komplex harmonikus fggvny elemi fazorkntval interpretcijhoz.Az elemi fazor defincijaa kvetkez: elemi fazornaknevezzk a komplex szmsk ori-gjbl felrakott, a t = 0 idpontban a vals egysgnek megfelel pontbl indulva akomplex szmsk origja krl = llandszgsebessggel forg egysgnyi abszolt r-tk komplex szmot. Az szgsebessg pozitv, ha a forgs az ramutat jrsval el-lenttes.Ezen definci szerint az f t ei t( , ) = elemi komplex harmonikus fggvny elemi fazor-kntazonosthat.Az elemi fazor fogalmbl kiindulva jutunk el az ltalnos fazorfogalmhoz: a t= 0 id-

pontban a vals tengellyel az ramutat jrsval ellenkezrtelemben felmrt pozitv

szget bezr fzishelyzetbl indul, = llandszgsebessggel forg r > 0 abszoltrtk f t r rea

i t( , , , ) ( ) = + komplex szmot ltalnos fazornak nevezzk.Tovbbi trgyalsunk sorn az gy rtelmezett fazorokra tmaszkodva szmos lnyegesmegllapts lesz levonhat a lineris dinamikai rendszerek jeltviteli tulajdonsgaira vo-natkozan. Most csupn kt fontos sszefggsre utalunk a fazorokkal kapcsolatban.1. Ha kt elemi fazor krfrekvencija (szgsebessge) ellentetten egyenl, akkor a kt

fazor sszege az idvalsrtkfggvnye lesz:

e e ei t i t i t + = 2 Re .


88/116

85

Ezen szably alapjn mltn vrhatjuk, hogy sikerl majd a valsrtkg(t) gerjeszt-fggvnyeket egymssal szemben forg elemi fazorok lineris kombincijaknt el-lltani.

2. A fenti sszefggs alapjn a jl ismert e t i t i t = +cos sin Euler-relciktszeri al-kalmazsval (ti. msodszor -mellett) kapjuk az krfrekvencij valsrtk ko-szinusz- s szinuszfggvnyek elemi komplex harmonikus fggvnyekre tmaszkodellltst:

cos sin

t e e

t e e

i

i t i t i t i t

= +

=

2 2 .

A H i( ) komplex frekvenciafggvny tnyleges rtelmezse a fenti elkszletek utnmrmost a kvetkezkpp vgezhet el. Ttelezzk fel, hogy a vizsglt lineris idin-varins rendszernk h(t) slyfggvnye ismert, s a rendszer bemenetre a g(t)=ei t elemikomplex harmonikus gerjeszts mkdik. Ekkor a rendszer vlaszt a konvolcittelalkal

mazsval

y t h t e dgt

i( ) ( )= z

alakban kapjuk. A fellpintegrlt u t du d = = , helyettestssel s az integrlsi ha-trok megfeleltszmtsval

dueuhedueuhe

dueuhdueuhty

uitiuiti

utiutig

==

===

)()(

)()()(

0

)(

0

)(0

alakra hozhatjuk. Az utols kifejezsben az integrls als hatrt azrt vehettk -nek,mert a slyfggvny az ltalunk kizrlagosan vizsglt kezdetben nyugalomban lvrend-szerek esetn negatv argumentumokra zrus rtket vesz fel. A nyert vgeredmnyben arendszert gerjeszt ei t mellett szorzknt megjelent komplexrtk improprius integrl-kifejezst a H i( ) komplex frekvenciafggvnynek az adott -hoz tartoz rtkeknt is-merhetjk fel:

H i h u e dui u( ) ( ) =

+

z .

A H i( ) rtelmezst ilymdon megad integrlkifejezsben egybknt a h(t) slyfgg-vny

F

-1 1

2( ( )) ( )h t h t e dt i t=

+

z

inverz Fourier transzformltjnak 2 -szerest ismerhetjk fel , azaz:

H i h t( ) ( ( )) = 2 1F .


89/116


90/116

87

vny szintn fontos rendszerjellemz fggvny, neve: a lineris idinvarins dinamikairendszer tviteli fggvnye. A rendszer tviteli fggvnye teht a slyfggvny Laplacetranszformltja. A lineris idinvarins dinamikai rendszerek g t( )bemen (=gerjeszt)s y tg( ) kimen (=vlasz) jellemzi kztti kapcsolat a Laplace transzformci

figyelembev telvel is megfogalmazhat a kvetkezkppen:

H sy t

g t

g t

g t

Y s

G s

g( )

( )

( ) ( ) ( )= = =

L

L R )

L

n sk p

k pk p

a fg .

A megadott sszefggsbl vilgos, hogy az tviteli fggvny a rendszer kimenetnmegjelenvlasz Y sg( )Laplace-transzformltjnak s a rendszer bemenetre mk-

dgerjesztfggvny (nemzr) rtkG s( )Laplace transzformltjnak a hnyado-sa.

Az tviteli fggvnnyel kapcsolatos kitrutn visszatrve a fazoros trgyalshoz, az ed-digi vizsglataink eredmnyeit abban sszegezhetjk, hogy a vizsglt lineris idinvarinsdinamikai rendszer (SISO) elemi fazorgerjesztsre a kimenetn ugyanolyan krfrek-vencij de mr ltalnos fazorralvlaszol, ezen vlaszknt add ltalnos fazor abszo-lt rtke ppen a komplex frekvenciafggvny abszolt rtkvel egyezik meg, fzissz-ge pedig a gerjeszts fzisszghez kpest ppen a komplex frekvenciafggvny adott -hoz tartoz fzisszgvel van eltolva!

Linerisidinvarins

SISO Im

ei t

Im

Re Re

H(i ) ei t

=+

1 rt

A komplex frekvenciafggvny meghatrozst egyszabadsgfok lineris lengrend-szer esetre mutatjuk be. Jellje a vizsglt lineris idinvarins dinamikai rendszeropertort R , ekkor rhat, hogy

R e H i ei t i t

= ( ) .A vizsglt lengrendszer most is msodrend lineris inhomogn differencilegyenlettel,az ei t elemi komplex harmonikus fggvnnyel gerjesztett lineris lengrendszer moz-gsegyenletvel rhat le, melynek alakja:

my t dy t sy t ei t( ) ( ) ( )+ + = .

Az elzrendszeropertorral megfogalmazott sszefggsnk szerint a mozgsegyen-let egy partikulris megoldsa az egyelre ismeretlen komplex frekvenciafggvnnyely t H i ei t( ) )= ( alakban rhat fel.

Az gy kapott megoldst tszerint ktszer derivlva az


91/116


92/116

89

A komplex frekvenciafggvny abszolt rtkt s fzisszgt sokszor az krfrek-vencia fggvnyben brzoljuk. A pldnkban vizsglt lineris csillaptott lengrendszer esetn a most mondott kt diagram alakja az albbi brban lthat:

IHI

s/m- s/m 0

arg H

A vizsglt gyengn csillaptott rendszer komplex frekvenciafggvnye abszolt rt-knek a krfrekvencia fggvnyben val lefutsa a rezonanciafggvny jellegzetes"kiemelsi" tulajdonsgval rendelkezik a csillaptsmentes rendszer sajtkrfrekven-cijnak krnyezetben, tkrzve azt a tnyt, hogy ha a rendszer a sajtkrfrekvenci-jhoz kzeli krfrekvencij gerjesztst kap, akkor a kimenjel - a rendszervlasz -amplitudnvekedsvel kell szmolni.

A vlasz meghatrozsa periodikus gerjeszts esetn Fourier-sorok alkalmazsa a

dinamikban

Legyen most a vizsglt lineris idinvarins SISO bemenetre rkezg(t) gerjesztfgg-vny T szerint periodikus. Ez azt jelenti, hogy minden a g(t) fggvny rtelmezsi tar-tomnyba ests t + Tidpontprra ag(t) =g(t+T) egyenlsg fennll. Ekkor ag(t) va-

lsrtk, T-periodikus gerjesztfggvny azj

e Ti jt

=

+/{ } komplexrtk teljes

ortonormlt fggvnyrendszermint bzisfggvny-rendszer figyelembevtelvel komplexFourier-sorba fejtheta kvetkezk szerint:

g t c e cT

g t e dt

j

ji t

jj

i t

T

Tj j( ) ( ) ,

... , , , , ,.../

/

= =

=

=

+

z , 1

2 1 0 1 22

2

.

A megadott cj jn s =+ komplexelem vgtelen sorozat a sorfejtsben szerepl Fourier

egytthatk sorozata. Mivel feltettk, hogy a g(t) gerjesztfggvny valsrtk, ezrt aFourier-egytthatkra fennll a

c c jj j = = , ... , , , , ,...2 1 0 1 2

.n. konjugltsgi felttel. Termszetes tovbb az = j j j, egyenlsg-rendszer.

Alkalmazzuk most a vizsglt dinamikai rendszer vlasznak meghatrozsa cljbl az Rrendszeropertort a komplex Fourier-sorval felrtg(t) gerjesztfggvnyre. Ekkor az


93/116

90

y t g t c e c eg ji t

ji tj j( ) ( )= = =

R Rj =- j =-

+ +

egyenlsgsor utols tagjban megjelent az j gerjesztkrfrekvencij elemi komplex

harmonikus Rszerinti kpe. Mivel R e H i e

i t

j

i tj j

= ( ) , a keresett rendszervlasz

y t c H i e d eg j ji t

ji tj j( ) ( )= =

j =- j =-

+ +

alakban, a dj jn s

=

+ komplex egytthatsorozattal br Fourier-sor alakjban addik. A

nyert sszefggsbl leolvashat a gerjeszts s a vlasz komplex Fourier-sornak Fou-rier-egytthati kztt fennll igen egyszers logikus

d H i c jj j j= = ( ) , ... , ,. , , ,... 2 1 0 1 2

sszefggs, amely kzvetlenl mutatja a komplex Fourier-soros trgyals elnyta rend-szerdinamikai vizsglatokban. sszefoglalva: Ha ismerjk a gerjeszts Fourier-egytt-hatit s a rendszer komplex frekvenciafggvnyt, akkor a vlaszfggvny Fourier-

egytthatit egyszeren kiszmtva azonnal elllthatjuk a vlasz Fourier-sort. Ter-mszetesen a gyakorlati dinamikai feladatok jelents rszben a fenti Fourier sorok vges,-N s N indexhatrok kztt kpzett csonktott vltozataival dolgozunk, mivel ezek is ki-elgten pontos eredmnyt szolgltatnak.

A periodikus gerjesztsre adott vlasz komplex frekvenciafggvny segtsgvel trt-n meghatrozst a mr vizsglt egyszabadsgfok lineris lengrendszer esetre

mutatjuk be. Legyen a periodikus gerjesztfggvny nagyon egyszer, egyetlenkoszinuszfggvny: g t t( ) = cos . Ennek komplex Fourier-sora az Euler-relci alap-

jn:

g t t e e

e e ei t i t

i t i t i t ( ) = cos

= +

= + +

2

1

20

1

20 ,

gy a bemenet zrustl klnbz Fourier-egytthati: c c c = = =1 0 11 2 0 1 2/ , , / . Arendszer komplex frekvenciafggvnynek figyelembevtelvel a rendszervlasz nem-zrus Fourier-egytthati a kvetkezk lesznek:

d H i cm di s

d H i cm di s

= = +

= = + +1 1 2 1 1 2

1 12

1 12

(- , (

) ) .

A rendszervlasz ezrt most a kvetkezalakot nyeri:

.)(

sincos)(

2

1

)(

)())((

2

1

)(

)()()(

2222

2

2222

2

2222

221

01

dsm

tdtsm

dsm

eedieesm

dsm

esdimesdimededty

titititi

titij

jj

ti

j

ti

jgjj

++++

=++

+++=

=++

++++===

=

=

+

-


94/116

91

A vlasz meghatrozsa aperiodikus gerjeszts esetn - A lineris dinamika alapttele

Legyen most a vizsglt lineris idinvarins SISO bemenetre rkezg(t) gerjesztfgg-vny aperiodikus, azonban az idtengely feletti viselkedst tekintve megkveteljk, hogya teljes szmegyenesen legyen abszolt integrlhat, azaz teljesljn az

( )g t dt+

<

felttel. Ez a felttel szemlletesen azt kveteli meg, hogy a g(t) fggvny nagy abszoltrtkargumentumokra elg gyorsan tartson zrhoz. Nyilvnval, hogy az olyan gerjesz-tfggvnyek esetn, amelyek egy vges idintervallumon kvl azonosan eltnnek, az ab-szolt integrlhatsg felttele automatikusan teljesl. Az ilyen vges idintervallumon k-vli eltngerjesztsfggvnyek a gyakorlati jrmdinamikai feladatokban legtbbszr azadott alak egyedi t- vagy plyaegyenetlensgen val thalads keltette dinamikai folya-matok elemzsekor merlnek fel. A dinamikai elemzs matematikai feltteleit tekintve az

aperiodikus gerjeszts abszolt integrlhatsgnak megkvetelse azzal kapcsolatos,hogy az ilyen gerjesztfggvnyeknek ltezik (vges) a Fourier-transzformltjuk az albbiegyszer(a hromszg-egyenltlensgen alapul) sszefggssor szerint

( ) ( ) ( ) ( )i t i t i t g t e dt g t e dt g t e dt g t dt + + + +

< .

Ag(t) aperiodikus gerjesztsreadott vlasz meghatrozshoz elslpsben elksztjk ag(t) gerjesztssel "rokon"g t( ) periodikus fggvnyt, melynek T peridusidejt a ksb-

biekben majd minden hatron tl nvelni fogjuk. A jelzett g t( ) periodikus fggvnyt ag(t) fggvnynek a -T/2 s T/2 kztti szakaszval generljuk, majd az gy generlt fgg-vnyt =kT k, , ,...1 2 rtkekkel eltolva s sszeadva kapjuk meg. A viszonyokat br-

ban szemlltetjk:

g(t) g (t)*

tT/2-T/2 (T/2)+T (T/2)+2T-(T/2)-T-(T/2)-2T 0

g, g*

Fejtsk most komplex Fourier-sorba a g t ( ) valsrtk, T-periodikus gerjeszt-

fggvnyt ismt azj

e Ti jt

=

+/{ } komplexrtkteljes ortonormlt fggvnyrendszer

mint bzisfggvny-rendszerfigyelembevtelvel! Ekkor a

g t c e cT

g t e dt

j

ji t

jj

i t

T

Tj j

=

+

= =

=

z( ) ( ) ,... , , , , ,...

/

/ ,

1

2 1 0 1 22

2

kifejezseket kapjuk. rjuk be a Fourier-egytthatk formuljt a sor cj egytthati hely-be s ksztsk ela formult a T hatrtmenet elvgzsre a gerjesztfggvny in-


95/116

92

verz Fourier-transzformltjnak nyerse cljbl! Az emltett elkszlet sorn a Fourier-sor tagjait egy egysgnyi rtk2 2 / tnyezvel is bvtjk:

g tT

g t e dt e g t e dt eT

i t

T

Ti t

j

i t

T

Ti t

j

j j j j

=

+

=

+= =z z( ) ( ) ( )

/

/

/

/1 1

2

2

2

2

2

2

.

A most nyert kpletben megjelent 2 /T tnyezrl kimutatjuk, hogy az a sorfejtsbenszereplszomszdos harmonikusok krfrevencijnak klnbsge. Tekintsk ugyanis aj-edik s a j-1 -edik harmonikus komponens krfrekvencijnak klnbsgt:

j j j

j

T

j

T T= =

=1

2 1 2 2( ) ,

gy addik a mondott llts. A fentiekben megtett elkszletek utn vgre lehet hajtani aT hatrtmenetet. A hatrtmenet hrom lnyeges dolgot eredmnyez:

1. A g t

( ) periodikus fggvny (a vgesben) ag(t) aperiodikus fggvnybe megy t2. A kpletben szereplszumma egy -szerinti improprius integrlba megy t.3. A kpletben szerepl1/(2) egytthats integrlkifejezs az eredeti g(t) gerjeszt-

fggvny inverz Fourier-transzformltjba megy t.

Az elmondottak alapjn az eredeti g(t) aperiodikus gerjesztfggvny a kvetkezkppenll el:

g t g t e dt e d i e di t i t i t ( ) ( ) ( )= =

+

+

+

z z z12

g .

A kapott kplet szerint a vizsglat trgyt kpezg(t) aperiodikus gerjesztfggvny ismtelllt az ei t elemi komplex harmonikus fggvnyek - mint ptkvek - segtsgvel, s-

pedig lineris kombinciknt, hiszen az integrls "folytonos sszegzst" jelent, s a line-ris kombinci egytthati pedig a bevezetett g i( ) komplexrtkfggvny, a ger-

jeszts komplex "amplitudsrsg-spektruma" helyettestsi rtkeivel van megha-trozva. A g(t) igy nyert ellltst Fourier-integrl ellltsnak nevezzk. Magt a g(t) -re nyert integrlkifejezst a g i( ) amplitd srsg-spektrum krfrekvencia szerinti

Fourier-transzformltjakntazonostjuk.

Az albbiakben felrjuk a dinamikai feladatok esetn az ismert g(t) -bl kiindulva idsze-

rini inverz Fourier-transzformltknt (kiindulsi lpsknt) szmtand komplexrtkamplitudsrsg-spektrum kplett:

gi ti g t e dt ( ) ( )

=

+

z12

, (- , ) .

Alkalmazzuk most a vizsglt dinamikai rendszer vlasznak meghatrozsa cljbl az Rrendszeropertort a Fourier-integrllal felrtg(t) gerjesztfggvnyre. Ekkor az

y t g t i e d i e dg gi t

gi t( ) ( ) ( ) ( )= = =

z z R R-

-


96/116

93

egyenlsgsor utols tagjban megjelent az gerjesztkrfrekvencij elemi komplexharmonikus Rszerinti kpe. Mivel R e H i ei t i t = ( ) , a keresett y tg( ) rendszervlasz

y t i H i e dg gi t( ) ( ) ( )=

z -

alakban, a g i H i( ) ( ) szorzatknt megjelent komplex fggvny krfrekvencia sze-

rinti Fourier-transzformlt alakjban addik. Nyilvnvalan bevezetheta y i( ) komp-

lexrtkfggvny, mint az y tg( ) rendszervlasz amplitdsrsg-spektruma, amely-

lyel maga a vlaszfggvny krfrekvencia szerinti Fourier-transzformltknt

y t i e dg yi t( ) ( )=

z -

alakban addik. Az y tg( ) -ra nyert kt kifejezs egybevetsvel kapjuk a "lineris dina-

mika alapttele"-knt ismert

y gi H i i( ) ( ) ( ) =

nevezetes sszefggst, miszerint a dinamikai rendszer vlasznak amplitudsrsg-spektruma elll a rendszer komplex frekvenciafggvnye s a gerjeszts amplitud-

srsg-spektruma szorzataknt.

Ms szval aperiodikus gerjeszts esetn a gerjeszts s a vlasz amplitdsrsg-spekt-rumai kztt van olyan egyszersszefggs, mint periodikus gerjeszts esetben a ger-

jeszts s a vlasz komplex Fourier-egytthati kztt. Ilyen rtelemben aperiodikus ger-jeszts esetn a komplexrtkg i( ) s y i( ) amplitudsrsg-fggvnyek mintegy

tveszik a periodikus esetben kezelt cj jn s

=

+s dj j

n s=

+komplex Fourier-egytthat

sorozatok szerept. Figyeljk meg, hogy mg periodikus gerjeszts esetn egy diszkrt (brmegszmllhatan vgtelen elem) krfrekvenciasorozathoz tartoz Fourier egytthatk

jttek szba, most, az aperiodikus esetben "kontinuum sok", folytonosan eloszlkrfrekvenciartken rtelmezett amplitudsrsg-fggvnyek, mint "folytonosspektrumok" kezelse szksges.

A lineris dinamika alapttelnek alkalmazsakor teht viszonylag knnyen megkap-juk a rendszervlasz y i( ) inverz Fourier-transzformltjt, azonban a vlasz id-

fggvnynek meghatrozshoz mg egy Fourier transzformcira van szksg:

y t i e dg yi t( ) ( )=

z -

.

rkezzen az elzekben is pldaknt vizsglt egyszabadsgfok lineris lengrendszerbemenetre az aperiodikus g t t( ) ( / ) exp= 1 2 22 2 n s .n. Gauss-lks! Ennekinverz Fourier-transzformltja ismert mdon ltezik, teht a gerjeszts amplitudsr-

sg-fggvnye felrhat:


97/116

94

g

t

i ti e e dt e( )( ) /

= =

+ z1

2

1

23 22 2

2

2

2 2

.

Figyelembevve a vizsglt lengrendszer komplex frekvenciafggvnyt, a vlasz - a len-gtmeg kitrse - amplitudsrsg-fggvnye:

y gi H i im d i s

e( ) ( ) ( )( )

= = + +

1 1

222

2 2

.

A kitrs idfggvnyt ezen kifejezs krfrekvencia szerinti Fourier-transzformltjaszolgltatja:

y t i e dm d i s

e e dg yi t i t ( ) ( )

( )= =

+ +

+

+

z z

1 1

222

2 2

.

A vlasz meghatrozsa gyengn stacionrius sztochasztikus gerjeszts esetna frekvenciatartomnyban - A lineris statisztikai dinamika alapttele

A sztochasztikus gerjesztfolyamatok jrmdinamikai fontossgrl mr az idtartomnyivizsglatok kapcsn rviden szltunk. Most a frekvenciatartomnybeli vizsglatok elk-sztsekpp foglalkoznunk kell a sztochasztikus folyamatok tovbbi fontos jellemzfgg-vnyvel az autokorrelcis (nkorrelcis)fggvnnyel. Az autokorrelcis fggvny asztochasztikus folyamat kt egymstl eltrI -beliss t (s t ) idponthoz tartoz pe-rem-valsznsgi vltozjnak kapcsolatt jellemzi a

),(),(),( wtwstsB E=

mdon rtelmezett ktvltozs fggvny rtkeivel, amely azIxIktdimenzis ngyzetenvan rtelmezve. Amennyben azss t(s t ) idpontokhoz tartoz ( , )s w s ( , )t w pe-rem valsznsgi vltozk fggetlenek, akkor rvnyes a

)()(),(),(),(),(),( tmsmwtwswtwstsB === EEE

sszefggs. Amennyiben a szereplperem valsznsgi vltozkat sajt vrhat rtkklevonsval centrljuk, akkor ezek szorzatnak vrhat rtkeknt a jl ismert autokovari-ancia-fggvnytkapjuk:

)()(),(),()](),()][(),(),( tmsmwtwstmwtsmwstsC == EE[ .

A felrt kpletbl lthatan fggetlen ( , )s w s ( , )t w perem valsznsgi vltozk ese-tn a kovarianciafggvny zr rtket vesz fel! Mint ismeretes, a kovarianciafggvnyszrsszorzattal val normlsval kapjuk az .n. normlt autokorrelcis fggvnyt:

R s tC s t

d s d t

( , )( , )

( ) ( )= ,

melyre rvnyes, hogy

1 1 1R s t R s t ( , ) , ( , )mskpp: .


98/116

95

A kovarianciafggvny tulajdonsgbl kzvetlenl addik, hogy fggetlen ( , )s w s( , )t w perem valsznsgi vltozk esetn a normlt autokorrelcis fggvny - hason-lan az autokovarianciafggvnyhez - zrus rtket vesz fel. Az is ismeretes, hogy ha( , )t w a ( , )s w lineris fggvnye, akkor a normlt korrelcis fggvny abszolt rtke

egysgnyi. Ha t w a s w b, ,a f a f= + rvnyes, akkor a 0 esetn R s t ( , ) ,= 1 mg a 0esetn R s t ( , ) .= 1 A fentebb mondottak szerint a normlt autokorrelcis fggvny,vagy akr csak az autokovariancia-fggvny eltnse (az u.n. korrellatlansg) a figye-lembe vett idpontokhoz tartoz perem valsznsgi vltozk fggetlensgnek szks-ges felttele. Felmerl a krds, hogy a korrellatlansg teljeslse elgsges is-ea vizsglt

perem valsznsgi vltozk fggetlensghez? A krdsre csak akkor lehet igenlv-laszt adni, ha a szban forg perem valsznsgi vltozk normlis(Gauss-fle) eloszl-sak. Egyb esetekben a valsznsgi vltoz-pr korrellatlansga ltalban nem bizto-

stja a fggetlensget!

Figyeljk meg, hogy a fentiekben megadott m t d t B s t C s t s R s t ( ), ( ), ( , ), ( , ) ( , ) fggvnyek mindegyike determinisztikus, hiszen a defincijukban szereplvrhat rtkkpzs avletlen ingadozst "kikzepeli". Eddigi trgyalsunkbl kitnik a kovariancia- ill.korrelcis fggvnyek szerepe a vizsglt sztochasztikus folyamat perem valsznsgivltoz prjainak fggsgi viszonyainak megtlse tekintetben. Meg kell azonban mrmost emlteni, hogy korrelcis fggvnyek igen jelents tovbbi alkalmazst nyernek alineris rendszerek sztochasztikus gerjesztsre adott vlasznak jellemzsben, nevezete-sen a rendszerdinamikt ler sztochasztikus differencilegyenlet megoldsfolyamatnakautokorrelcis fggvnye ill. a gerjesztfolyamattal vett keresztkorrelcis fggvnye arendszerparamterek ismeretben knnyen felrhat - a vletlentl mr nem fgg-parci-lis vagy kznsges differencilegyenletnektesz eleget.

A kvetkezkben a jrmdinamikai alkalmazsok szempontjbl kivteles jelentsggyengn stacionrius sztochasztikus folyamatok vizsglatra sszpontostjuk figyelmn-ket, mely folyamatoknl a jelen lvstabilis valsznsgi mechanizmus miatt a vrhatrtk fggvny idfggetlenn, a kovariancia- ill. a korrelcis fggvnyek pedig egyvl-tozsakkegyszersdnek.

Msodrendben gyengn stacionrius sztochasztikus gerjesztsek

A ( , )t w sztochasztikus gerjeszt

folyamatot msodrendben gyengn stacionriusnakne-vezzk, ha a folyamat vrhat rtk fggvnyres autokorrelcis fggvnyrevonatko-zan teljesl a kvetkezkt felttel:

1. mwttm == ),()( E = lland, minden t I idpontra,

2. )()(),(),(),( BstBwtwstsB ===E .

A fenti defincibl kvetkezik, hogy a msodrendben gyengn stacionrius sztochaszti-kus folyamat kovarianciafggvnyeis csak a = t sideltolstlfgg:

)()(]),(][),(),( 2

CmBmwtmwstsC === [E .


99/116

96

A dinamikai folyamatok trgyalshoz az ltalnossg megszortsa nlkl feltehetjk,hogy a vizsglt ( , )t w folyamat mvrhat rtke namcsak hogy konstans, de zr is!

Ebben az esetben nyilvnvalan fennll a C B ( ) ( ),= azonossg is.

t

0

m=0

B =C

0

=t - s

D2

A msodrendben gyengn stacionrius gerjesztfolyamat integrl-ellltsa

A gyengn stacionrius gerjesztfolyamatok felrsa is lehetsges az ei t elemi komplexharmonikus fggvnyek "ptkvekknt" val felhasznlsval. Tekintettel arra, hogymost sztochasztikus folyamat ellltsrl van sz, az ei t elemi komplex harmonikusfggvnyekhez tartoz egytthatk valsznsgi vltozk kell, hogy legyenek. Valban, azr vrhat rtk ( , )t w msodrendben gyengn stacionrius gerjesztfolyamat ell-lthat a klnbz krfrekvencikhoz tartoz elemi komplex harmonikus komponen-

sek megfelelvletlen slyozs "folytonos sszegzsvel" - azaz integrlsval - a k-vetkezalakban:

( , ) ( , )t w e d wi t=

z ,

ahol ( , )d w a differencilisan kicsi dkrfrekvencia-intervallumhoz rendelt komplex-rtk, zr vrhat rtk, ugyancsak differencilisan kicsislyoz valsznsgi vltoz.A most bevezetett ( , )d w slyoz valsznsgi vltoz jellemzsre - annak msodikabszolt-momentumbl kpezve - bevezetjk a ( , )t w folyamat valsrtkspektrlis

srsgfggvnynekaz krfrekvencihoz rendelt rtkt a kvetkezkplettel:

( )

=

-,,

)(2

d

wds

defE.

Szavakban kifejezve a kvetkezdefinicit adhatjuk: az krfrekvenciartkhez rendelts ( ) spektrlis srsget(az autospektrumot)gy kapjuk, hogy tekintjk az krfrek-

vencit tartalmaz, differencilisan kicsi dhosszsg intervallumhoz tartoz ( , )d w komplexrtkslyoz valsznsgi vltoz abszolt rtke ngyzetnek vrhat rtkt,

s ezt normljuk a tekintett intervallum dhosszval.A definici alapjn lthat, hogy itttulajdonkppen egy differencilhnyadoskerlt bevezetsre, s az s ( ) spektrlis sr-


100/116

97

sgfggvnyhez megadhat egy differencilhat S ( ) monoton nemcskkenfggvny

amellyel a kvetkezkt egyenlsg rvnyes:

sdS

d

S s d

( )( )

( ) ( )= =

z, , - .

A S ( ) fggvny neve: a ( , )t w folyamat spektrlis eloszlsfggvnye.

As ( )spektrlis srsgfggvny mrmost a kvetkezegyszeren belthat tulajdon-

sgokkal br:1.s ( ) 0, azaz nemnegatv

2.s s ( ) ( ) = , azaz pros fggvny

3. s d S t w C

( ) ( , ) ( )

+

z = =(+ ) = D2 0 .

A felsorolt tulajdonsgok kzl csupn a harmadikkal kapcsolatban emeljk ki, hogy aspektrlis srsgfggvny alatti terlet a vizsglt msodrendben gyengn satcionriussztochasztikus folyamatszrsngyzetnekszmrtkt adja meg. Ezen utbbi szmrtkegyben a vizsglt folyamat C ( ) autokovariancia fggvnynek az origban = 0mel-

lett felvett helyettestsi rtkt s S ( ) spektrlis eloszlsfggvnynek + -beli hatr-

rtkt is megadja.

Az elmondottakbl ltszik, hogy a spektrlis srsgfggvny ismeretben a sztochasz-

tikus folyamat szrsngyzete meghatrozhat.

0

0

s

S

D2 (t,w)

Magnak a szrsnak az ismerete az ltalnos struktrj gyengn stacionrius folyamatrlcsak viszonylag keveset mond. Azonban a jrmdinamikban nagyon sokszor fellpGauss-folyamatok esetn, mikoris minden peremeloszls normlis eloszls, a szrs isme-rete mr elgsges a zr vrhat rtkfolyamat perem valsznsgi vltozi kzs va-lsznsgi srsgfggvnynekfelrshoz:

f x e t w

x

( ) ( , )= =

1

2

2

22 , D .

Trjnk vissza a msodrendben gyengn stacionrius gerjesztsfolyamat integrlel

llt-st megad kifejezs diszkusszijhoz! A szbanforg integrlkifejezst gy magyarzhat-


101/116

98

juk, hogy az a vizsglt sztochasztikus folyamatot vgtelen sok (egy intervallumot kitlt,kontinuum-sok klnbz krfrekvencij) elemi komplex harmonikus fggvny val-sznsgi vltoz-egytthats lineris kombincijaknt lltja el, s a lineris kombin-ci kpzsben szereplsszegzs - tekintettel a kontinuum-sok sszetevre -folytonos sz-

szegzssel, azaz integrlssaljelentkezik.Az eddigi trgyalsunkban szereplperiodikus s aperiodikus, de ltezFourier transz-formlttal br gerjesztsi esetekhez kpest a sztochasztikus folyamat esete abban kln-

bzik, hogy itt komplexrtkvalsznsgi vltozk lpnek be slyoz egytthatkknt,szemben az eddigi komplex Fourier egytthatkkal vagy a komplex amplitud srsgspektrummal. A komplexrtkslyoz valsznsgi vltozk jellemzsre elvileg val-sznsgi eloszlsfggvnyk megadsa lenne szksges, azonban az ezzel kapcsolatosmatematikai bonyodalmak a problma kezelst ltalnos esetben nagyon megnehezte-nk. Ezrt a gyakorlati alkalmazsokban a slyoz valsznsgi vltozknak csak bizo-nyos korltozott rendszmigfutmomentumaithasznljuk fel.

A ( , )d w slyoz valsznsgi vltoz els momentumazrus, lvn vrhat rtkedefinici szerint zrus. Vals szmrtk nyerse cljbl a msodik momentumhelyett amsodik abszolt momentumottekintjk, ez azonban a mr bevezetett spektrlis srsg-fggvny segtsgvel felrhat a kvetkezalakban:

dswd )(),(

2=E .

A most nyert sszefggs rvilgt a bevezetett spektrlis srsgfggvny gyakorlatiszempontbl val clszersgre! Mit jelent ugyanis ezek szerint a spektrlis srsgfgg-vny egy ordintja? A vlasz a kvetkez: ha valamely krfrekvencihoz tekintjk az

s ( ) spektrlis srsg-ordintt, akkor a vizsglt sztochasztikus folyamat e i t elemikomplex harmonikus komponenst slyoz ( , ) w valsznsgi vltoz abszolt r-tke ngyzetnek vrhat rtkt az s ( ) szorzat adja meg, vagyis az krfrekven-

cit tartalmaz igen rvid intervallum s a spektrum grbje kztti keskeny felletda-rab. Igy azonos esetn has ( ) nagyobb, akkor az e

i t elemi komplex harmonikus

komponens nagyobb sllyal van jelen a folyamat felptsben, ha pedig azs ( ) kisebb,

akkor megfordtva, az e i t elemi komplex harmonikus komponens kisebb sllyal szere-pel.

Az elmondottak egybevgnak a spektrlis srsgfggvny fentebb megismert azon tulaj-donsgval, hogy a teljes krfrekvenciatengely mentn vett integrlja a vizsglt szto-chasztikus folyamat szrsngyzett adja meg. Tekintettel arra, hogy az igen gyakran el-fordul zr vrhat rtk Gauss-folyamatok esetn a szrs ismerete elgsges avalsznsgeloszls reproduklshoz, a gyakorlatban nem terjedt el a kettnl magasabbrendmomentumok felhasznlsa. R kell azonban mutatni, hogy amennyiben nem csu-

pn Gauss-folyamat vizsglata s a valsznsg-eloszls meghatrozsa a feladat, hanema ( , )t w folyamat analitikus tulajdonsgait is jellemezni kell (pl. a folyamat bizonyos deri-vltjai is szerepelnek a vizsglatban) akkor ezen feladathoz a spektrlis srsgfggvnyismerete nem elegend, hanem tovbbi jellemzk figyelembevtele is szksgess vlik.

7/21/2019 Rends

Documents

Rendszertechnika És Rendszeranalízis