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HACIA UNA REORGANIZACIN Y RENOVACIN DE LOS PROGRAMES CURRICULARES DE MATEMTICAS Fernando Zalamea Mayo 2012 Este breve texto resume diversas propuestas del suscrito y su amplia discusin y mejoramiento con los colegas del Departamento de Matemticas por correo electrnico, durante el Primer Semestre 2012, as como en una Jornada Abierta de Discusin, a final del Semestre en lo que respecta a una eventual reorganizacin y renovacin del conjunto de Programas Curriculares de Matemticas. (1) Situacin de la matemtica colombiana (ver figura siguiente, p. 2). La comunidad matemtica colombiana se encuentra situada extremadamente lejos de lo que podramos llamar el "Primer Mundo" matemtico (USA, Francia, Rusia, Japn, etc.) y muy lejos tambin de "Mundos Emergentes" intermedios (Brasil, Canad, Australia, etc.) Una comparacin de la cantidad de artculos nos sita cerca del milsimo de la produccin mundial registrada en MathSciNet. Una comparacin de la cualidad podra ser an ms grave, ya que tal vez ningn artculo matemtico producido en el pas ha llegado a ser considerado como un transformador radical de su campo de accin. Infortunadamente, la fractura de nuestra comunidad con el Mundo va tambin acompaada de otra fractura con el Pas, donde los maestros y estudiantes de los colegios se encuentran muy mal formados. Un breve anlisis de nuestro distanciamiento con el Mundo puede explicarse, en parte, por una sub-sub-subespecializacin de nuestros matemticos. En contra de lo SUBdisciplinar, los grandes trabajos matemticos del siglo XX consisten, en cambio, en profundos ejercicios TRANSdisciplinares, como lo demuestran todos los Medallistas Fields. Por un lado, la variedad del conocimiento matemtico es esencial, algo que debe reflejarse en los Programas Curriculares (renovacin de los contenidos de la Carrera). Por otro lado, la rapidez y la puesta al da son igualmente imprescindibles, algo que tambin debe reflejarse en parte en los Programas Curriculares (agilidad de la Maestra y el Doctorado). En lo que respecta a nuestro distanciamiento con el Pas, es importante que el Departamento de Matemticas de la Universidad Nacional pensando en la Nacin como un todo retome su tarea de formar integralmente a los maestros de matemticas. Para ello, sera fundamental volver a ofrecer una Licenciatura orientada a la enseanza de las matemticas, que a su vez coordine y conecte una red de Semilleros avanzados (a nivel escolar) donde se detecte y apoye la excelencia matemtica.

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(2) Evolucin de los Programas Curriculares de Matemticas (ver figura siguiente, p. 4). La enseanza de las matemticas en la Universidad Nacional de Colombia ha pasado por muy diversas etapas, reflejadas en los cinco primeros diagramas de Hasse de la p. 4. Despus de la construccin de la Carrera de Matemticas (diagrama 1), se pasa a una Carrera y una Maestra (diagrama 2), para luego abrir la formacin intermedia de las Especializaciones, como alternativa a la Carrera y la Maestra (diagrama 3). La aparicin del Doctorado y la eliminacin de las Especializaciones linealiza el espectro de los Programas Curriculares en tres niveles bien definidos (diagrama 4). Actualmente, la Maestra se subdivide en un rango Puro y Aplicado (figura 5). En cualquiera de estas cinco opciones, se observa que los rdenes se construyen sobre un solo elemento mnimo (Carrera) que debe soportar todo lo dems. La renovacin de los Programas Curriculares pretendera ampliar ese suelo fundacional, pasando a tres elementos minimales, que permitan construir una conformacin piramidal, triangular, ms acorde con las necesidades de la enseanza y la investigacin matemtica en el Pas. La base de la pirmide estara conformada por la Carrera de Matemticas (con un currculum renovado, ver pginas 5-8), por una Licenciatura de Matemticas (orientada a mejorar sensiblemente la enseanza escolar) y por una nueva Carrera de Ciencias de la Computacin (orientada a conectarse con la agenda industrial). Los diversos caminos naturales de entronque entre los Programas Curriculares se exhiben en la figura p. 4.

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(3) Renovacin del Currculum de la Carrera de Matemticas (ver figura p. 6). El currculum actual de la Carrera de Matemticas aparece fechado y obsoleto. Aunque el ncleo de la matemtica contempornea sigue situndose an alrededor del giro cualitativo iniciado por Galois, Riemann, Lie, Poincar, en el siglo XIX, mucho se ha avanzado desde entonces, sin que casi nada de ello se refleje en las asignaturas de la Carrera (o del Magister). Por otro lado, el nfasis actual del currculum est demasiado orientado al anlisis (mirando desde el IV semestre: Ecuaciones Diferenciales, Anlisis Real, Probabilidad, Integracin y Series, Topologa, Anlisis Numrico, Anlisis Vectorial, Variable Compleja: 8 de las 13 materias ofrecidas con nombre propio, allende optativas), lo que le sita en una SUBdisciplina con pocas conexiones hacia el resto de las regiones matemticas (casos aparte: Topologa, Variable Compleja). El espectro de las matemticas contemporneas es mucho ms amplio y debera intentar restaurarse un equilibrio perdido (en dcadas anteriores el currculum era ms extenso). La "nueva" propuesta de currculum intenta recuperar esa amplitud, con asignaturas imprescindibles que se han olvidado, y que estn en el centro de algunas preocupaciones mayores de la matemtica en el siglo XX (ver materias sealadas en azul, p. 6): Teora de Nmeros, Geometra Algebraica, Geometra Diferencial, Anlisis Funcional. Se pretende impulsar adems una nueva asignatura, ejemplo de enorme TRANSdisciplinariedad, la Teora de Modelos, cuyo desarrollo en los ltimos treinta aos ha sido impactante. Si se compara el "ncleo" curricular TRANSdisciplinar de la "nueva" Carrera propuesta con la ausencia de una visin estructural y multiforme en la Carrera actual, se ve cmo, con el simple hecho de adecuar nuestro currculum, nos podramos acercar mejor a la realidad matemtica contempornea. Finalmente, el "nuevo" currculum dara la oportunidad para tener todo un semestre con materias de punta (en rojo, p. 6) en muchos dominios de fortaleza del Departamento: lgica (Teora de Conjuntos, Teora de la Prueba, Lgicas No Clsicas), lgebra (Teora de Categoras, lgebra Homolgica, rdenes y Representaciones), anlisis (Ecuaciones Diferenciales Parciales, Sistemas Dinmicos, Anlisis No Lineal), geometra (Variedades Complejas, Geometra No Conmutativa), etc. Los trabajos publicados y referenciados en MathSciNet en los ltimos treinta aos indican que las reas fundamentales de produccin matemtica se encuentran en: (i) grupos, anillos y campos, (ii) topologa, (iii) medida y probabilidad, (iv) teora de nmeros, (v) anlisis funcional, (vi) geometra diferencial, (vii) geometra algebraica, (viii) variable compleja (ver parte inferior de la figura p. 6). Slo 4 de esos 8 campos estn presentes en la Carrera actual y es perfectamente posible incluir 8 de 8 en la "nueva" Carrera. Es de notar que los ndices mayores de TRANSdisciplinariedad yacen exactamente (!) en los 4 campos que no se encuentran ahora considerados explcitamente en la Carrera.

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(4) Carrera de Ciencias de la Computacin y Licenciatura de Matemticas (ver figura, p. 8). La reorganizacin del sistema de Programas Curriculares pretende expandir la base de la formacin, como hemos indicado en el segundo apartado (2). La Carrera de Ciencias de la Computacin ha sido liderada por el Profesor Humberto Sarria. Sus ventajas han sido expuestas en otras presentaciones que no viene al caso repetir aqu y a las cuales reenvamos. La Licenciatura de Matemticas pretende ayudar a mejorar la mala formacin de profesores y estudiantes a nivel escolar. Contrariamente con otras Licenciaturas de Matemticas en el pas, la Licenciatura de la Universidad Nacional no dejara olvidado el nivel fundamental de contenidos que se requiere para poder ser un correcto, o buen, profesor de matemticas. El currculum de la Licenciatura se producira como natural de/formacin del currculum de la Carrera, enfatizando un buen espectro elemental de contenidos (cercano a la formacin actual de la Carrera) y un inters decidido por los modos de enseanza. La especificidad de la Licenciatura, adems de incluir una buena formacin tcnica, consistira en la inclusin de una serie "Enseanza matemtica", ligada a perspectivas conceptuales en historia y filosofa de la matemtica (primeras asignaturas en rojo, p. 8), y de otra serie "Lecciones de Matemticas", dirigida por conocedores de sus campos de accin (lgebra, anlisis, geometra, lgica), donde se explicitaran paradigmticos modos creativos, formas de prueba y error, ejemplos y modelos, en la actividad matemtica (segundas asignaturas en rojo, p. 8). La preparacin de los maestros en la Licenciatura estara a su vez ligada a la conformacin de Semilleros Avanzados a lo largo del Pas, donde se fomentara el talento matemtico de los estudiantes en el colegio. ------------------------------- La tarea de conformar la Licenciatura de Matemticas es difcil, pero con consecuencias del ms alto valor pedaggico. En comparacin, la renovacin de la Carrera de Matemticas es muy fcil y no debera ser postergada.

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(5) Postgrados (ver figura, p. 10). Es claro que una renovacin y reorganizacin de los Programas Curriculares en Pregrado es slo un fragmento de una tarea que atae tambin al Postgrado. La Maestra podr aprovechar los cursos ms avanzados de la Carrera (en rojo, p. 6) para renovar su Currculum. Pero el punto esencial para cubrir la distancia de nuestro Pas con el Mundo (seccin (1) de este documento) consiste en producir un Doctorado realmente TRANSdisciplinar. Algunos ejemplos de trnsito se presentan en la parte superior de la siguiente figura, p. 10. El Departamento debera combinar un estudio juicioso de las tendencias mayores de la matemtica contempornea y de sus oportunidades menos exploradas (trabajo ya realizado en parte por el suscrito en Synthetic Philosophy of Contemporary Mathematics, Londres / New York, Urbanomic / Sequence, 2012), con un correspondiente anlisis de las fortalezas actuales (y a venir) de nuestro profesorado. En el vaivn entre una postulacin de programas ideales de desarrollo y una percepcin de fortalezas y debilidades reales, el Departamento debe planear sus cursos de accin a 20 y 40 aos vistas. Slo con un Norte bien definido, podr la matemtica colombiana elevarse de su pobre condicin actual, y acercarse a algunos pases intermedios latinoamericanos mejor organizados (Chile o Mxico en primera instancia, Brasil en ltima instancia). En esa "elevacin", la renovacin y reorganizacin de nuestros Programas Curriculares es una condicin necesaria (aunque no suficiente) para acercarse al Ideal.

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