Repartido 1_2010_soluciones

Física II - Licenciaturas Física, Matemática – FCIEN-Udelar Curso 2011

REPARTIDO N°1Ejercicio 1.- Todos los objetos que nos rodean cotidianamente son eléctricamente neutros. Esto no nos permite apreciar el alcance y la magnitud de la fuerza electrostática. Para poner de manifiesto esto realice el siguiente cálculo. Determine la fuerza electrostática entre dos personas de 70 kg ubicadas a un metro si se quita a cada una el 0,01% de sus electrones. Ayuda: suponga que las personas están compuestas por agua (Peso molecular 18 g/mol) y utilice la relación

, donde N representa el número de partículas (moléculas de agua) y NA el

número de Avogadro.

La fuerza de repulsión valdrá:

Moléculas de agua de la persona: 2,342×1027 moléculas

Carga de cada persona q = 0,01%N e =(1,00×10-4)( 1,602×10-19)( 2,342×1027)= ) 3,752×104 C

= 1,27×1019 N

El peso de la Tierra es de 5,86×1025 N y el de la Luna 7,22×1023 N , por lo que si en lugar de ser haber sido 0,01% los electrones quitados a cada molécula, se hubiese quitado el 1%, la fuerza sería 1,27×1023 N (del orden del peso de la Luna)

Ejercicio 2.- (R.H.K 27.3) En el trayecto de retorno de un rayo típico (véase la figura) fluye una corriente de 2,5 ×104A durante 20 µs. ¿Cuánta carga se transfiere en este proceso?.

= (2,5×104A) (205×10-6s)= 0,50 C

Ejercicio 3.- (R.H.K 27.3) ¿Qué cantidades iguales de carga positiva tendrían que ponerse sobre la Tierra y sobre la Luna para neutralizar su atracción gravitatoria? ¿Necesita usted conocer la distancia a la Luna para resolver este problema?

Fuerza gravitatoria (de atracción)

Fuerza electrostática (de repulsión si la carga es del mismo signo)

Igualando ambas fuerzas:

= 5,72×1013C

Ejercicio 4.- (R.H.K 28.4) En el experimento de Millikan, una gota de 1,64 µm de radio y 0,851g/cm3 de densidad se encuentra en equilibrio cuando se aplica un campo eléctrico de 1,92 × 10 5 N/C. Determine la carga en la gota, en términos de la carga de un electrón.

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Densidad = 0,851g/cm3 = 851 kg/m3

Hay equilibrio entre el peso de la gota y la fuerza eléctrica: mg = FE= qE

La masa de la gota vale

= =8,03×10-19 C = 5e

Ejercicio 5.- (R.H.K- 27.7) Tres partículas cargadas se encuentran en una línea recta y están separadas por una distancia d como se muestra en la figura. Las cargas q1 y q2 se mantienen fijas. La carga q3, la cual puede moverse libremente, está en equilibrio bajo la acción de las fuerzas eléctricas. Halle q1 en términos de q2.

Como q3 está en equilibrio, las fuerzas debido a q1 y q2 (sobre q3) deben ser iguales y opuestas.

Ejercicio 6.- Suponga tres cargas como en la figura del ejercicio anterior. Las caras q1 y q3 son positivas e iguales. a) Si q2 es negativa, ¿Está en equilibrio?, Si q2 es positiva, ¿Está en equilibrio? b) ¿El equilibrio es estable o inestable? Considere que q2 se puede mover

en cualquier dirección. c) Si q2 está confinada a moverse sobre la recta que une las tres cargas,

¿qué tipo de equilibrio tiene?

Primeramente veamos en qué posiciones q2 puede estar en equilibrio.Como la fuerza coulombiana entre dos cargas eléctricas es central (la dirección de la misma es según la recta que une las 2 cargas), para que F12 y F32 se puedan anular, las tres cargas deben estar alineadas, de lo contrario no hay equilibrio. El punto de equilibrio, será por tanto el punto medio del segmento que une a las cargas q1 y q3.

Si q2 puede moverse en cualquier dirección, el equilibrio no puede ser estable, como se verá en los análisis siguientes.

Supongamos que q2 está restringida a moverse en la mediatriz (perpendicular que pasa por el punto medio). Si q2 es positiva, las fuerzas entre las cargas son repulsivas. Si desplazo a q2 en sentido de la mediatriz, la fuerza neta tiende a alejarla, por lo que en este caso el equilibrio es inestable. Si q2 es negativa, y se restringe a moverse sobre la mediatriz, entonces el equilibrio es estable (la fuerza neta es de restauración).

Supongamos que q2 se restringe a moverse en la dirección de la recta de las cargas.Si es positiva (fuerzas entre las cargas de repulsión), y la acerco hacia q3 (disminuye su distancia con respecto a la de q1), prima la fuerza que ejerce q3 sobre la que ejerce q1, entonces la fuerza neta será hacia la izquierda (fuerza de restauración). Si por el contrario q2 es negativa (fuerzas entre las cargas de atracción) y la muevo hacia la derecha (la acerco a q3), prima la fuerza que ejerce esa carga, por tanto la atrae y la sigue alejando del punto de equilibrio. Nota: De acuerdo al teorema de Earnshaw (se probará más adelante, luego de ver la ley Gauss): en una región en la que hay un campo eléctrico creado por cargas fijas, ningún punto es de equilibrio estable, excepto sobre una de las cargas creadoras del campo).Ejercicio 7.- (R.H.K. 27.16 y18) Dos diminutas bolas semejantes de masa m están colgando de hilos de seda de longitud L y portan cargas iguales q como en la figura. Suponga que θ es tan pequeño que tan θ puede ser reemplazado por su igual aproximado, sen θ.

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a) Para esta aproximación demuestre que, para el equilibrio, que

en donde x es la separación entre las bolas. Si L = 122 cm, m= 11,2g, y x=4,70 cm, ¿cuál es el valor de q?b) Suponga ahora que cada bola está perdiendo carga a razón de 1,20 nC/s. ¿Con qué velocidad relativa instantánea (=dx/dt) se acercan entre sí las bolas inicialmente?

a) En equilibrio, la sumatoria de fuerzas es nula.x: Tsin = FE

y: Tcos = mg

Por hipótesis

q= 2,28×10-8 C

b)

= 1,65×10-3 m/s

Ejercicio 8.- (R.H.K. 28. 8) Halle el campo eléctrico (módulo dirección y sentido) en el centro del cuadrado de la figura. Suponga que q=11,8nC y a = 5,20 cm. Sugerencia: Coloque su sistema de referencia en una posición conveniente.

El campo que crea la carga +2q tiene la misma dirección y sentido contrario al que crea la carga +q. Además su módulo es el doble. Análogamente sucede con las cargas -2q y –q.Por tanto la configuración resulta, como se muestra en la figura, además sus módulos son iguales.El campo resultante será por tanto en la dirección vertical (según el versor

). La distancia d de cada una de las cargas al centro del cuadrado vale

El módulo del campo que crea la carga +q vale:

ET= E+q + E-2q + E+2q + E-q = (E-2q + E+2q)/2 = E0((cos 45º i + sen 45º j) +(-cos 45º i +sen45º j))

ET= 2E0(sen 45º j) = j= j = = =1,11 ×103

N/C jEjercicio 9.- (R.H.K. 28. 11) a) En la figura de la izquierda, considere un punto a una distancia z desde el centro de un dipolo a lo largo de su eje. Demuestre que, para valores grandes de z, el campo eléctrico está dado por

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mg

T

FE


b) Compare con el campo en un punto de la bisectriz perpendicular c) ¿Cuál es la dirección de E?

a)

Desarrollo en serie de: con

Para nuestro caso:

Desarrollando hasta el término de u2, resulta:

=

b) Según la figura que se muestra

≈ =

Ejercicio 10.- (R.H.K. 28. 13) Un tipo de cuadripolo eléctrico esta formado por cuatro cargas colocadas en los vértices de un cuadrado de lado 2a. El punto P se encuentra a una distancia x del centro del cuadripolo en una línea paralela a los lados del cuadrado como se muestra en la figura. Para x>>a, demuestre que el campo eléctrico en P está dado, aproximadamente, por

. Sugerencia: considere el cuadripolo como dos dipolos.

Consideremos a las dos cargas de la derecha como el dipolo 1 que apunta hacia arriba (situado a una distancia x-a), y las dos cargas de la izquierda como el dipolo 2 que apunta hacia abajo y a una distancia x+a.

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=

Desarrollando hasta el primer orden:

≈

Ejercicio 11.- (R.H.K. 28. 31) Una varilla no conductora de longitud finita L contiene una carga total q, distribuida uniformemente a lo largo de ella. a) Demuestre que E en el punto P sobre la bisectriz perpendicular en la figura está dado por

b) Intente repetir el cálculo para un punto P’ cualquiera.

Consideremos un elemento de carga dq situado a una distancia x’ del origen (situado en el punto de medio de la varilla)dq = dx’

ya que el

integrando es una función impar y se integra entre –L/2 y +L/2.

(ya que el integrando es par)

Usando la siguiente expresión:

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r

x’

dq

y


b) Para un punto P cualquiera¸

Ejercicio 12.- (R.H.K. 27. 19) Dos cargas puntuales positivas iguales q se mantienen separadas por una distancia fija 2a. Una carga puntual de prueba se localiza en un plano que es normal a la línea que une a estas cargas y a la mitad entre ellas.Determine el radio r del círculo en este plano para el cual la fuerza sobre la partícula de prueba tiene un valor máximo.

Equivale a determinar el R para el cual el campo total debido a las dos cargas es máximo.Las componentes horizontales del campo se cancelan entre sí.El campo total resultante es:

j

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=

Ejercicio 13.- (R.H.K. 28. 46) Un electrón está limitado a moverse a lo largo del eje del anillo de carga. Demuestre que el electrón puede realizar oscilaciones pequeñas, cuando pasa por el centro del anillo, con una

frecuencia dada de

Para que el electrón realice pequeñas oscilaciones en un M.A.S. debe verificar la ecuación del oscilador armónico:

(o una constante)

Calculemos el campo que crea un anillo de carga.Por la simetría del problema, la componente de dE perpendicular al eje del anillo (dE ) se anula, como se muestra en la segunda figura.

Sobre el electrón, al apartarlo del centro del anillo, experimentará una fuerza de restauración que tiende a llevarlo nuevamente.

Haciendo x<<1.

por lo que la ecuación de movimiento resulta

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Ejercicio 14.- Considere un aro de material plástico de radio R tal que, una carga q1 positiva está distribuida uniformemente en una mitad del aro, mientras que en la otra mitad se distribuye otra carga q2 también positiva (q2 ≠ q1) también uniforme.a) Calcule el vector campo eléctrico en un punto sobre el eje perpendicular al plano del anillo que pasa por su

centro (eje de simetría).b) Se coloca una carga -q sobre el eje del anillo, a una distancia z=l de su plano. Calcule el trabajo que debe

realizar un agente externo para mover la carga sobre el eje hasta z=0 y dejarla ahí en reposo. ¿En qué dirección y sentido tiene que actuar la fuerza externa para que este movimiento sea posible?

c) ¿Cuál sería la fuerza externa de módulo mínimo necesaria para que al liberar la carga en z=l, su movimiento sea sobre el eje? ¿En qué sentido se movería?

a) El campo del anillo lo consideramos como la suma de una componente según la dirección del eje del anillo (z) (E) y otra perpendicular a dicho eje (E, paralelo al 0xy) E = E + E E = EkConsideraremos que la mitad superior tiene la carga q1 y la inferior q2 (q1> q2)A su vez E = E1+ E2

Análogamente a lo visto en el ejercicio anterior: dE1= dE1 cos =

E= =

E= =

E=

q1 se extiende desde = 0 a =

dE1= dE1.sin que tiene dirección radial, pero por simetría la componente x

(dE.cos) se anula, y solo aporta la componente según la dirección y (dE.sin). Además un elemento simétrico de q2, tendrá una componente que se opondrá al correspondiente a q1, por tanto deberemos integrar entre 0 y la siguiente expresión

E=

E= (si q1> q2 entonces E= -Ej)

E= k - j

b) El desplazamiento será según la dirección z, por lo que la fuerza perpendicular a esta dirección será nulo (sólo importará la fuerza según el versor k). Ante la acción del campo del anillo, la carga -q experimentará una fuerza de origen eléctrico que la acelerará en el sentido –k (por ser la carga negativa). Por tanto para que la carga no se acelere, el agente externo debe realizar una fuerza igual y contraria a la de origen eléctrico (es decir igual a qE k). Como el desplazamiento va desde z=l a z= 0 (en dirección –k), y la fuerza del agente externo es

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según +k, el trabajo efectuado por el agente externo es negativo.

Para calcular esta primitiva hacemos: u= R2+z2 du = 2z dz

c) La fuerza mínima que debe hacer el agente externo para empezar el movimiento es qE(z=l).Ejercicio 15.- (R.H.K. 28. 47) Un electrón es proyectado como en la figura con una velocidad de vo = 5,83×106 m/s y a un ángulo de θ =39,0º; E=1870 N/C (dirigido hacia arriba), d= 1,97 cm, y L=6,20 cm. ¿Golpeará el electrón a cualquiera de las placas? Si golpea a una placa, ¿a cuál de ellas golpeará y a qué distancia del extremo izquierdo?

Las fuerzas que actuarán sobre el electrón son el peso (mg hacia abajo) y la debida al campo eléctrico (eE también hacia abajo, pues el campo es hacia arriba pero la carga es negativa).

ma = mg +eE (debido a la diferencia de órdenes)

Movimiento del proyectil

t* instante en que alcanza la altura máxima:

Altura máxima:

2,14×10-2 m > d= 1,97×10-2 m

ymax > d choca con la placa superior

Debo tomar el menor de los dos…

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8,9987×10-9 s

Distancia de impacto: x*= x(t)= = 4,0771×10-2 m

Distancia de impacto: x*= 4,08×10-2 m

Ejercicio 16.- (R.H.K. 28. 52) Suponga un dipolo eléctrico en un campo eléctrico uniforme. Las dos cargas del dipolo están unidas por una varilla rígida y de masa despreciable comparada con las masas de las cargas. Determine la frecuencia de las pequeñas oscilaciones del dipolo en función de su momento dipolar p, su inercia rotacional I, y la magnitud del campo eléctrico E.

Segunda cardinal:

Para pequeñas oscilaciones

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