Introduccin al programa

Mathematica .

Introduccin.

En esta prctica abordaremos el estudio de las diversas tcnicas para resolver ecuaciones y sistemas

de ecuaciones (lineales y no lineales), que aparecen frecuentemente tanto en el Algebra como en la resolu-

cin de diferentes problemas de Clculo de una y varias variables.

Veremos en primer lugar la resolucin de una ecuacin con una incgnita: esta resolucin se puede

hacer en algunos casos de forma exacta, pero en ocasiones tendremos que utilizar algn tipo de aproxi-

macin numrica. Mostraremos los distintos comandos de Mathematica que resuelven los distintos proble-

mas. En el caso de las ecuaciones no algebraicas, Mathematica posee instrucciones que resuelven directa-

mente el problema, utilizando versiones adecuadas de diferentes mtodos numricos.

A continuacin, abordaremos el estudio de los sistemas de ecuaciones.Adems de las instrucciones

para hallar las soluciones exactas y aproximadas, abordaremos tambin algunas instrucciones que permiten

simplificar los sistemas de ecuaciones, eliminar determinadas variables entre las distitnas ecuaciones, etc.

Resolucin exacta de ecuaciones: Solve y Reduce.

Primero estudiaremos la resolucin simblica, representada por la instruccin:

Solve@ecuacin, variableD

Esta instruccin nos da la solucin, si existe, como una lista de sustituciones

Ejemplo: Encontrar las soluciones exactas de la ecuacin 3 x3 - 2 x2 + bx = 0. Examinar el caso particular

b=0.

SolveA3 x3 - 2 x2 + b * x == 0, xE

:8x 0, :x 1

3I1+ 1- 3 b M>>

Tenemos las tres races de la ecuacin polinmica de grado tres en funcin del parmetro b. Si le

damos un valor concreto b=0, resultar:

Departamento de Matem 1

% . b 0

:8x 0

Tambin proporciona las soluciones complejas, si las hay. Por ejemplo, si consideramos b=1, vemos que

hay una sola raz real y dos races complejas conjugadas:

SolveA3 x3 - 2 x2 + b * x == 0, xE . b 1

:8x 0, :x 1

3I1+ 2 M>>

Para ecuaciones algebraicas de orden superior a 5, en general no podemos dar soluciones en forma de

radicales, pero Mathematica s puede proporcionar una solucin simblica, utilizando la expresin

Root[f,k], que da la k-sima solucin de la ecuacin f. Esas races slo tomarn valores numricos cuando

se lo indiquemos:

SolveAx5 + 2 x2 + 3 == 0, xE

99x RootA3+ 212 +15 &, 1E=,9x RootA3+ 212 +15 &, 2E=, 9x RootA3+ 212 +15 &, 3E=,9x RootA3+ 212 +15 &, 4E=, 9x RootA3+ 212 +15 &, 5E==

SolveAx5 + 2 x2 + 3 == 0, xE N

88x -1.49511

Ejemplo: Dar las soluciones de una ecuacin genrica de segundo grado utilizando Solve y Reduce.

SolveAa x2 + b x+ c 0, xE

::x -b- b2 - 4 a c

2 a>, :x -b+ b

2 - 4 a c

2 a>>

ReduceAa x2 + b x+ c 0, xE

a 0 && x 1

2 a-b- b2 - 4 a c x 1

2 a-b+ b2 - 4 a c

Ka 0 && b 0 && x - cbO Hc 0 && b 0 && a 0L

Otra diferencia entre Solve y Reduce es cuando no existe solucin, Solve devuelve un conjunto vaco,

mientras que Reduce indica explcitamente que la ecuacin es irresoluble:

Solve@8x 1, x 2>ReduceAx2 + y2 == 1, xE

x - 1- y2 x 1- y2ReduceAx2 + y2 == 1, x, RealsE

-1 y 1 && Kx - 1- y2 x 1- y2 O

Introduccion al programa Mathematica Practica 4

Departamento de Matem 3

ReduceAx2 + y2 == 1, x, IntegersE

Hy -1 && x 0L Hy 0 && x -1L Hy 0 && x 1L Hy 1 && x 0LLas restricciones ms habituales son Reals, Integers, x>0, etc.

Inecuaciones y restricciones lgicas

Reduce permite adems trabajar con inecuaciones y con expresiones lgicas:

Reduce@8x+ y 4, 2 x- y 1

Ya vimos que si intentamos resolver la ecuacin con el comando Solve, nos devuelve una expresin

simblica, puesto que no puede calcular las cinco soluciones de forma exacta:

SolveAx5 + x4 - 4 x3 + 2 x2 - 3 x- 7 == 0, xE

99x RootA-7- 31+ 212 - 413 +14 +15 &, 1E=,9x RootA-7- 31+ 212 - 413 +14 +15 &, 2E=,9x RootA-7- 31+ 212 - 413 +14 +15 &, 3E=,9x RootA-7- 31+ 212 - 413 +14 +15 &, 4E=,9x RootA-7- 31+ 212 - 413 +14 +15 &, 5E==

Podemos entonces calcular su valor nmerico

SolveAx5 + x4 - 4 x3 + 2 x2 - 3 x- 7 == 0, xE N

88x -2.74463

Solve@Cos@xD 2 x, xDSolve::tdep : The equations appear to involve the variables to be solved for in an essentially non-algebraic way.

Solve@Cos@xD 2 x, xDNSolve@Cos@xD 2 x, xDSolve::tdep : The equations appear to involve the variables to be solved for in an essentially non-algebraic way.

NSolve@Cos@xD 2 x, xDPara poder utilizar la instruccin FindRoot, necesitamos conocer un punto de comienzo para el algoritmo

numrico, que bsicamente es una modificacin del mtodo de Newton-Raphson. Para encontrar ese punto

podemos seguir un camino matemtico en el que comprobemos las condiciones del mtodo de Newton-

Raphson y encontremos un punto adecuado de comienzo. Otra opcin ms sencilla es utilizar un mtodo

grfico para localizar un punto inicial.

Representamos las funciones Cos[x] y 2x, y veamos donde se cortan:

Plot@8Cos@xD, 2 x

Plot@8Cos@xD, Tan@xD

Solve@8x^2+ y^2 == 4, 4 x- 3 y == 0>

Ejemplo: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

x - 2 y + z = 7

2 x - 5 y + 2 z = 6

3 x + 2 y - z = 1

Solve@8x- 2 y+ z == 7, 2 x- 5 y+ 2 z == 6, 3 x+ 2 y- z == 1

Eliminate[{ecuacion1,...,ecuacionn},{variables}]

Ejemplo: Hallar la proyeccin en el plano XY de la figura resultante de la interseccin entre el elipsoide y

el plano siguientes:

x2 + 4 y2 + 9 z2 = 1

x + 2 y + 3 z = 0

Eliminate@8x^2+ 4 y^2+ 9 z^2 1, x+ 2 y+ 3 z 0