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RESUMEN de la tesis de Saúl Alonso Zavala Ortíz presentada como
requisito parcial para la obtención del grado de MAESTRO EN CIENCIAS en
FISICA APLICADA con opción en OPTICA. Ensenada, Baja California, México.
Julio de 1994.
DISEÑO, CONSTRUCCION Y CALIBRACION DE BOBINAS DE
STOREY-PURCELL PARA ESTUDIOS DE QUIMIO Y BIO-LUMINISCENCIA.
Resumen aprobado por:
Se presenta el diseño, la construcción y la calibración de unas
bobinas para el control del campo magnético sobre una región de 1 cm 3•
Con esta herramienta se puede realizar un análisis exploratorio de los
efectos que produce el campo magnético sobre muestras luminiscentes.
El arreglo diseñado encierra de manera efectiva el flujo magnético
interno por cancelación de todos los momentos magnéticos externos arriba
del quinto orden, de tal manera que la influencia del campo externo
resultante es muy débil. Con argumentos de reciprocidad puede mostrarse
que el arreglo es prácticamente insensible a las fuentes distantes
debido a que el campo lejano que genera es muy débil.
Se presentan dos formulaciones matemáticas para el análisis del
campo magnético externo producido por el arreglo en un plano de
simetría; una formulación está basada en la ley de Biot-Savart, y la
otra consiste en una expansión multipolar magnética. Se hace una
comparación entre los resultados teóricos y los experimentales y se
encuentra que el arreglo es muy sensible a errores de construcción.
CENTRO DE INVESTIGACION CIENTIFICA Y DE
EDUCACION SUPERIOR DE ENSENADA.
·C. I. C. E. S. E.
DIVISION DE FISICA APLICADA.
DEPARTAMENTO DE OPTICA.
DISEÑO, CONSTRUCCION Y CALIBRACION DE BOBINAS DE
STOREY-PURCELL PARA ESTUDIOS DE QUIMIO Y BIO
LUMINISCENCIA.
TESIS
que para cubrir parcialmente los requisitos necesarios
para obtener el grado de MAESTRO EN CIENCIAS presenta:
SAUL ALONSO ZAVALA ORTIZ.
Ensenada, Baja California, México. Julio de 1994.
DEDICATORIA
A:. L :. G :. D:.G :.A:. D :. U:.
A mi esposa e hijo
Ana Maria y Sergio Roman.
A mis padres Clemente y
Graciela del Carmen.
A mis hermanos Alejandro,
Esther y Carlos.
A mi tierra natal Ensenada
la bella cenicienta.
AGRADECIMIENTOS.
A mi director de tesis Dr. David Hotz Padgett, por su valiosa colaboración, entrega y paciencia ál trabajo de esta tesis.:
A los Drs. Javier Mendieta, Helmut Maske y al M.C. David Salazar por su colaboración y comentarios.
Un especial agradecimiento al Dr. Eugenio Méndez por todos sus comentarios y por la revisión constante de la redacción de esta tesis.
A Adriana López Vi llegas, técnico del laboratorio de Bio-luminiscencia, por su valiosa ayuda en pasar los dibujos y gráficas de esta tesis al programa Amipro.
A Paulo Gonzales, técnico del Departamento de Ciencias de la tierra, por cooperar valiosamente en la elaboración de los planos del diseño del arreglo de Storey-Purcell en el programa Autocad 11.0.
compañeros y amigos, su amistad y el
A todos mis maestros, hecho sentir el calor de continuar con este trabajo.
por que han animo para
Al Centro de Investigación Científica y de Educación Superior de Ensenada.
Al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología.
Al personal del taller de mecánica fina, por su
cooperación para la elaboración de las piezas del arreglo de
Storey-Purcell.
A la Facultad de Ciencias de la Universidad Autónoma de Baja California.
Y a todas las personas que de una u otra manera contribuyeron para que este trabajo saliera adelante.
, ,
I
II
CONTENIDO.
INTRODUCCION.
LEY DE BIOT-SAVART.
II.1LF.2
II. 3II. 4
Formulación del problema. Espira de alambre con corriente circulante. El arreglo de Helmholtz. Arreglo de Storey-Purcell.
III EXPANSION MULTIPOLAR DEL ARREGLO DE STOREY-
Página. 1
5
5
6
11 15
PURCELL. ·� 21
IV
V
III.1III.2
III.3
Expansión multipolar para una espira. La expansión multipolar del arreglo de Helmholtz. Expansión multipolar para el arreglo de Storey-Purcell .'
DISEÑO Y CONSTRUCCION.
IV.1 Parámetros experimentales del diseño.
CALIBRACION.
V.1V.2v. 3
Método de medición. Calibración. Perfil de sensibilidad.
VI ANALISIS DE ERRORES.
VII CONCLUSIONES.
LITERATURA CITADA.
21
29
31
36
36
44
44 48 49
53
59
61
LISTA DE FIGURAS.
Figura Página
1 Esquema teórico de la corriente circulante
2
3
4
5
6
7
8
I sobre el elemento de alambre df que produce
.,un campo magnético Ben el punto P.
Espira con corriente circulante I y radio a.
Par de bobinas concéntricas separadas una distancia b y de radio a, con el mismo sintido en la corriente circulante I.
Dos pares de bobinas de tipo Helmholtz concéntricas y en antifase, a este arreglo le llamamos de Storey-Purcell.
Espira de alambre con corriente circulante y centro desplazado del origen una distancia z.
Bobina con corriente circulante, cuyo centro está desplazado una distancia sobre el eje z.
Bobina con corriente circulante, cuyo centro está desplazado una distancia -z.
Arreglo de Helmholtz.
6
7
12
12
23
27
29
31
LISTA DE FIGURAS(Continuación)
Figura
9 Arreglo externo de Helmholtz.
10 Arreglo de Storey-Purcell.
11 Flujo Mútuo entre dos espiras de alambre con corriente estacionaria I en el circuito
12
dos causando un flujo �12
a través del circuito uno.
Fuente dipolar con corriente circulante I y espesor dz, cercana al circuito uno.
13 Balance de las area-vueltas de cada bobina
mostradas como µ1, µ2, µ3y µ4.
Página
32
33
45
47
53
LISTA DE GRAFICAS.
Gráfica
1
2
3
4
Componente en z del campo externo calculado por la ley de Biot-Savart. Los valores graficados están normalizados al valor central
1
de la componente en z.
Componente en z del campo externo calculado por la expansión multipolar. Los valores graficados estan normalizados al valor central de la componente en z.
Perfil de sensibilidad �edido con el arreglo de Storey-Purcell. Los datos de cada punto son tornados cada 0.1 unidades a lo largo de z, desde z=O.O a 10.0 para valores constantes enteros de x, desde x=O.O a 10.0. El dominio x<3, z<3 se omitió.
Componente en z del campo externo calculado por la expansión multipolar con un desvalance del 3%.
Página
20
34
52
58
LISTA DE FOTOGRAFIAS.
Fotografía
1
2
3
4
Bobina de Storey-Purcell, vista frontal. El diámetro medio de la bobina interior es de 30 cm. El diámetro medio de las exteriores es de 60 cm.
Bobina de Storey-Purcell, vista lateral. La separación media entre centros del par interior es de 15 cm y del par exterior. de 30 cm.
Bobina de Storey-Purcell, vista a 45 °. Se muestra el tablero de conexiones.
Arreglo completo de Storey-Purcell, vista frontal. Se mestran las bobinas canceladoras del campo magnético terrestre.
5 Arreglo completo de Storey-Purcell, vista lateral. Se muestra el tablero de conexiones para el arreglo.
6
7
Arreglo completo de Storey-Purcell, vita a 45 °.
Bobina utilizada cdrno fuente exitatríz dipolar montada en una caja de aluminio.
Página
40
41
41
42
42
43
51
LISTA DE TABLAS.
Tabla Página
r Variaciones del radio y sus respectivos valores normalizados del campo magnético Por razones prácticas se elige el radio de 15 cm para el arreglo interior y por consiguinte de 30 cm para el arreglo
II
III
'exterior.
Tabla con los datos requeridos para los conductores AWG No. 14 y No. 26.
Tabla con los datos necesarios para construir las respectivas bobinas.
37
38
39
DISEÑO, CONSTRUCCION Y CALIBRACION DE BOBINAS DE
STOREY-PURCELL PARA ESTUDIOS DE QUIMIO Y BIO
LUMINISCENCIA.
I. INTRODUCCION:
La influencia del campo magnético sobre la emisión
luminiscente es de gran interés en estudios experimentales
de químio y bio-luminiscencia. Para poder realizar
mediciones confiables en estas áreas experimentales es de
suma importancia
campo magnético
uniformidad de.l
tener un al to nivel de control sobre el
en la muestra sujeta a estudio. La
campo o su total cancelación (Bernard
[1983], Murgatroyd (1991]) nos permite ampliar las
investigaciones en el estudio del comportamiento de las
moléculas bio-luminiscentes (Raymond, F. et ·a1 (1988]), así
como en otras áreas de investigación como la químio-
luminiscencia (Plant, A. [1986]). Normalmente se procura
tener un control del campo magnético que envuelve la muestra
emisora luminiscente, ya que este puede ser un factor
importante de ruido en las mediciones.
Existen diversas técnicas para reducir esa influencia.
Entre otras podemos mencionar (Storey [1983]):
- Mallas magnéticas, que son efectivas pero muy costosas.
2
_ Procesado de señales, con lo que se intenta resaltar la
señal magnética de interés sobre la interferencia o el
ruido.
_ Laboratorios aislados magnéticamente, los cuales son muy
efectivos si se tienen a la mano.
Aunque todas estas técnicas ayudan a disminuir el ruido,
no proporcionan ningún control sobre él. Este trabajo de
tesis está enfocado sobre la solución de este problema.
,. ..
Reportamos la construcción y caracterización de un arreglo
de bobinas de tipo Helmholtz siguiendo las indicaciones de
J.R. Storey (1983] y E.M. Purcell (1989]. Debido a esto, les
hemos llamado bobinas de Storey-Purcell. Con argumentos
basados en el principio de reciprocidad podemos mostrar que
debido a que el campo generado por el arreglo en la región
externa es muy debil, el campo en la parte interior es
prácticamente insensible a la influencia de fuentes
distantes. Uno de los propósitos de este arreglo es,
entonces, el de aislar, de manera efectiva, una muestra
luminiscente que se encuentre en la parte interior del
arreglo, mediante la cancelación de la influencia de todos
los momentos magnéticos externos arriba del quinto orden. De
este modo, los efectos que produce el campo externo sobre la
región interior del arreglo es muy pequeña.
Otra ventaja importante de estas bobinas para los
estudios de luminiscencia, es que podemos modificar el campo
magnético que actúa sobre la muestra emisora.
3
Para caracterizar el arreglo contruido, hemos calculado
las componentes del campo exterior en un plano de simetría
(x-z), empleando la ley de Biot-Savart y una expansión
multipolar magnética. Estos cálculos han sido comparados
con los valores medidos en un mapeo del campo externo a
nuestro arreglo.
En el capítulo II de esta tesis se describe la
formulación matemática de la ley de Biot-Savart aplicada a
nuestro instrumento. Se presenta el análisis realizado, y se
resultados concernientes a la sensibilidad obtienen
magnética, que se definirá mas adelante. En el capítulo III .,, '••
se presenta un análisis similar, empleando un análisis
basado en una expansión multipolar magnética.
En el capítulo IV se describe el diseño del instrumento
construido para llevar a cabo los estudios exploratorios de
químio y bio-luminiscencia en condiciones de campo magnético
controlado.
Como complemento, en el capítulo V se presenta un
desarrollo matemático empleando principios de inductancia
mútua, que fue tomado como base para la calibración de las
bobinas de Storey-Purcell. Se describe también la
calibración del instrumento, y se muestra la gráfica de
sensibilidad detectada por nuestro arreglo.
4
En el capítulo VI se presenta un análisis de los errores
en el diseño y las posibles maneras de minimizarlos. Se
presenta la curva de sensibilidad magnética de nuestro
arreglo sujeta a posibles errores de construcción.
En el capítulo VII se presentan las conclusiones de este
trabajo.
5
II. LEY DE BIOT-SAVART:
Uno de los principios clásicos de la física en el área
del electromagnetismo, es la ley de Biot-Savart que explica
de manera muy sencilla, mediante una integral vectorial,
corno obtener directamente el campo magnético producido por
alambres por los que circula una corriente eléctrica
(Feynrnan [1972], pag. 14-15, 14-16).
En este capítulo se describe el análisis teórico del
comportamiento interno y externo del campo magnético en el
arreglo de Storey-Purcell aplicando la ley de Biot-Savart.
II.1 Formulación del Problema.
El principio de funcionamiento del arreglo se basa en la
ley de Biot-Savart (Halliday-Resnick [1975], pag. 1119-
1120). Esta ley nos permite calcular el campo magnético B
en un punto cualquiera debido a una distribución de
corriente I que circula por un alambre de longitud dt (ver
figura 1).
- -. - - x'
di
Figura No. 1: La corriente I que circula sobre el elemento de alambre df produce una contribución al campo magnético Ben el punto P.
6
Empleando esta ley, podemos expresar el campo magnético
total Ben el punto P debido a la corriente que circula por
el alambre como (en el sistema MKS):
B = µo I
J df X r'
4n r3
( 1)
donde µ0 es la constante de permeabilidad, I la corriente
circulante en el elemento de alambre dé' y r el vector de
posición del punto P.
II.2 Espira de alambre con corriente circulante.
Similarmente, de acuerdo con la ley de Biot-Savart, para
una espira de alambre {ver ft,gura 2) , el campo magnético
total generado por la corriente que circula por la espira
puede expresarse por:
7
( 2 )
donde ds es el elemento de longitud del alambre de la espira
por donde circula la corriente I, y R es el vector que
parte desde el elemento de espira ds al punto P sobre el
plano X-Z, esto es, la diferencia entre el vector de
posición r y el vector -,
r ' ver figura 2. -
Figura 2: Espira con una corriente circulante I
y radio a.
Con las definiciones de la figura 2 podemos ver que:
ds = ad<¡> cp.
R = (r - r').
( 3)
( 4)
donde r' es el vector de posición al elemento de espira ds,
r es el vector dé_ posición al punto P y a es el radio de la
espira.
..
Por consiguiente:
ds X R = adcp
o bien:
i
-sencp
p -a cos cp
J k
cos cp o ,
-a sencp z
<ls x R = a<lq,[(zcosq,)i + (zsenq,)} + (a - pcosq,)k].
Dado que:
3
R3 = (p2 + z2 + a 2 -2apcoscp)i,
( 5)
( 6)
( 7)
donde a es el radio de la espira, p es la distancia radial
al punto P, y cp el ángulo azimutal sobre el plano X-Y.
Sustituyendo estos resultados en la expresión de la ley
de Biot-Savart ( ecuación 2) , encontramos la siguiente
expresión para el campo B:
21t 21t 21t( ) B- µ01 J
cos cp dcp -:- µ01 J
sencp dcp -: µ 0I f a - p cos cp dcp k-
= -a z ----1+-az ---'------'-J+-a ------41t R3 41t R 3 41t R 3 o o o
( 8)
evaluando la integral de la componente magnética en Y con
dirección J, resulta que se cancela, por lo tanto el campo
magnético total es la suma de las otras dos componentes:
8
9
(9)
donde Bx
es la componente magnética en dirección del eje x y
Bz es la componente magnética en dirección del eje z.
Empleando la simetría del integrando, las magnitudes de
estas componentes también se pueden escribir como:
_ µ 0I J
cos cp dcp Bx - 21t
a z R3 '
B = µ0I
aJ7t
(a - pcosq>)dcp z 21t o R3 '
( 1 O)
( 11)
Las ecuaciones de las componentes magnéticas ( 1 O) y ( 11)
pueden ser generalizadas a el caso de una bobina, que consta
de una serie de espiras consecutivas o vueltas unidas entre
sí, quedando expresadas dichas ecuaciones como:
7t
µ0
NI J
cos <p d<pa z 3 ,
2n O R
_ µ0 NI
J1t (a - p cos cp)dq>
Bz - a 3 ' 2n
O R
· ....
donde N es el número de espiras o vueltas de la bobina.
(12)
( 13)
10
De estas expresiones podemos ver que en el centro de la
bobina, esto es p = O y z = O, las componentes del campo
toman los valores:
1 µ0 NI
2 a
( 14)
( 15)
Por otro lado, tomando la ecuación ( 13), con p = O y z-:¡; O,
obtenemos el campo magnético a lo largo del eje Z:
( 16)
Si expandemos la ecuación (16) en función de Z podremos
observar el comportamiento del campo cercano de la bobina,
entonces tenemos:
(17)
podemos notar que el primer término esta dado por la
ecuación (15), por lo que para distancias Z pequeñas es este
término el que predomina sobre los demás.
11
Si hacemos ahora una expansión de la ecuación (16) en
potencias inversas de Z para observar el comportamiento
asintótico del campo magnético de la bobina obtenemos:
{ 18)
donde el primer término es llamado comunmente campo axial de
un momento dipolar {Halliday-Resnick [1975], pag. 1123-1124)
a partir del centro u origen de la bobina; el segundo
término es llamado campo axial del momento octupolar, y así
consecutivamente. Es decir, en general, podemos decir que el
comportamiento del campo magnético distante de una fuente
con distribución de corriente estacionaria, es una
superposición de momentos magnéticos. Esto es, dipolo,
octupolo, • • • f 2 k -polo, con k impar.
Una fuente con 2 k -polos se caracteriza por un campo
lejano que decae como r-<k+2), donde r es la distancia a la
fuente.
II. 3 El arreglo de Helmholtz:' · ...
El arreglo de Helmholtz consisten en dos bobinas
idénticas y separadas una distancia b. Como se muestra en la
figura 3.
b/2
-b/2b
12
Figura No. 3: Diagrama esquemático de dos bobinas concétricas separadas una distancia by de radio a. Se ilustra el caijp en el cual las corrientes giran en el mismo sentido (en fase).
Una gran ventaja que tienen dichas bobinas para nuestros
propósitos es que con una apropiada separación entre ellas
se puede lograr una alta homogeneidad del campo magnético
central, y un momento octupolar magnético igual a cero
(Purcell (1989]).
Para examinar el campo axial producido por el arreglo en
la figura 3, empleamos el resultado representado por la
ecuación (16) aplicado a las dos bobinas (Reitz-Milford
(1979], pag. 170-171):
donde b es la distancia entre los centros de las dos
bobinas.
Si expandemos la ecuación (19) en función de Z podremos
obtener el comportamiento del campo cercano del arreglo de
Helmholtz:
13
En esta expresión, el primer término representa un momento
dipolar magnético, el segundo uno octupolar, y así
consecutivamente (2k-polos, con k impar)
si hacemos que la separación entre centros sea igual al
radio I de la bobina, b = a, podemos observar que el campo
axial del momento octupolar se hace cero quedando la
ecuación anterior como:
8 µ0 NI
5-Js a
1152 µ 0 NI 4 157696 µ 0 NI 6 --= ---'---Z + -----=----'-- Z
625../5 a 5 78125../5 a 7 ( 21)
Debido a que, para distancias Z pequeñas, el término dipolar
es el predominante, podemos aproximar el campo magnético
central del arreglo de Helmholtz por la expresión:
( 22)
donde hemos utilizado la ecuación (15). Podemos observar que
el campo magnético en el origen del arreglo, B00, difiere
del campo magnético, B0, para una sola bobina, por una
constante.
14
Para obtener el campo lejano producido por el arreglo de
Helmholtz, se realiza una expansión en potencias inversas de
Z de la ecuación (19). Obtenemos que:
µ 0 Nia 2 3µ 0 Nia2 (a 2 -b 2 ) ¡5µ0
Nla 2 (2a4 -6a 2 b 2 +b4 ) = ----=----- + ------- + ----------- + .. · (23)
z3 2 z 5 16 z 7
El primer término es conocido como el campo axial del
momento dipolar magnético; el segundo como el campo axial
del mÓmento octupolar magnético y así consecutivamente. Se
observa que el campo axial del momento octupolar tambien se
anula si b =a. Esto es, si la separación entre las bobinas
es igual al radio de las mismas. En este caso la ecuación
(23) queda como (Lucas [1985)):
45 µ0
NI a 6 77 µ NI a 8---- + --º---
16 z 7
16 z9
( 2 4)
En general podemos decir que el comportamiento del campo
magnético distante de una fuente con distribución de
corriente estacionaria, es una superposición de momentos
magnéticos. Esto es, dipolo, octupolo, ... ,
impar.
2 k -polo, con k
Una fuente con 2 k -polos se caracteriza por un campo
. -(k+2) d d 1 . . 1 leJano que decae como r , on e r es a distancia a a
fuente (Srnith [1980), Storey [1983))
15
II.4 Arreglo de Storey-Purcell.
Ahora describiremos y analizaremos el arreglo de Storey
Purcell. Dicho arreglo consiste en dos pares de bobinas de
Helmholtz con ejes de simetría coincidentes, y separaciones
entre centros igual a sus radios ( Storey [ 19 83] , Purcell
[ 1989] ) . El par exterior tiene un radio de dos veces el
radio del par interior, y las corrientes de un par viajan en
sentido contrario al del otro par (antifase). Esta situación
se muestra esquemáticamente en la figura 4.
z
Nl/4
Figura 4: Dos pares de bobinas de Helmholtz concéntricas y en antifase, a este arreglo le llamamos bobinas de Stor'ey-Purcell.
El campo lejano del par de bobinas interior está dado por
la ecuación (24). Esto es:
( 25)
donde N1 es el número de espiras o vueltas del par interior.
16
El campo lejano del par exterior de bobinas, ,,
tomando en
cuenta que es el doble en las dimensiones del par interior,
está dado por:
( 2 6)
donde N2 es el número de espiras o vueltas del par exterior.
Al superponer los dos pares,
magnético lejano total es:
resulta que el campo
Para poder cancelar el campo lejano del primer término,
conocido como campo axial del dipolo magnético, necesitamos
que N1
- 4 N2
=O, por consiguiente:
1 N, =-N
1• -
4 ( 28)
tomando esta condición tenemos que la ecuación (27) se
reduce a:
( 2 9)
17.
donde el primer término es el campo axial del momento de
quinto orden (25 -polo) que decae como r- 7. Por esta razón
Storey [1983] le llamó arreglo de Helmholtz de quinto orden.
El campo cercano del par de bobinas interior esta dado
por la ecuación (21). Esto es:
1152 µ0 N 1 I 4 157696 µ 0 N 1 I 6 ------z +-------z -···
625Js a 5 78125J5 a 7 ( 30)
Por otro lado, el campo cercano del par de bobinas exterior,
tomando en cuenta que es doble en las dimensiones del par
interior, esta dado por:
Sustituyendo la condición dada por la ecuación ( 2 8) ,
obtenemos que el campo cercano del par exterior se reduce a:
(32)
Al superponer los dos pares, resulta que el campo cercano
total del arre�lo esta dado por:
18
1143 µ0 N 1 1 4
157388 µ 0 N 1 1 6 --- ---z + ---- ---,-� z
625J5 a 5 78125J5 a 7( 3 3 )
donde podernos observar que para regiones cercanas el primer
término es el que predomina sobre los demás.
Otro punto interesante es que de las ecuaciones ( 3 O) y
(33) se puede calcular el efecto del campo del par externo
sobre el del par interno. Considerando sólo los términos
dipolares, encontrarnos que:
( 3 4)
Esta expresión muestra que el arreglo exterior reduce el
campo magnético central del arreglo en un 12.5%.
De las ecuaciones (12) y (13), normalizadas con respecto
al valor
1 z
z = -.
del campo magnético central, y haciendo
5✓5
a=--,
141t tenernos:
19
� = Jrr (1-p'cos(cp))dcp + J
rr (1 -p'cos(cp))dcp _aB, º[( 1 )2 li º[( 1 ) 2 liz'-
2 + (p') 2 + I - 2p'cos(<p) z•+
2 + (p') 2 + I - 2p'cos(<p)
_!_Jrr (2 -p'cos(cp))d<p _ _!_J!t (2 -p'cos(cp))dcp3 ,· (35) 2 [ . ? ]- 2 [ ?
].:.0 (z'-.lt + (p')2 + 4- 4p'cos(<p) 2 0 (z'+l)- + (p')2 + 4 -4p'cos(<p) 2
(z';')J cos(<p)d<p �
-(\+l)J cos(<p)d<p 2
. (36)0 [(z'-1) 2 + (p') 2 + 4- 4p'cos(cp)] 2 0 [(z'+1) 2 + (p') 2 + 4 - 4p'cos(<p)] 2
Definimos ahora la sensibilidad del campo magnético a lo
largo del eje Z y del eje x como:
( 37)
( 3 8)
20
Graficando el logaritmo de la sensibilidad magnética de
la componente en z correspondiente a nue$tro arreglo
obtenemos la gráfica No. 1:
Gráfica No. 1: Componente z del campo externo calculado por la ley de Biot-Savart. Los valores graficados están normalizados al valor
central de la componente z.
III. EXPANSION MULTIPOLAR DEL ARREGLO DE STOREY
PURCELL.
Una de las aproximaciones más utilizadas para tratar
potenciales o campos es la llamada expansión multipolar
(Smith [1980]). Esta se utiliza para conocer el
comportamiento de un potencial en un punto alejado.
Frecuentemente, en el análisis de dichos campos las
distriJ::,uciones involucradas son tales que los términos de
orden superior., se consideran despreciados o de poca
importancia con respecto al primero.
En este capítulo se presenta, a manera de comparación,
un análisis de la expansión multipolar magnética para el
estudio del comportamiento del campo magnético externo
producido por nuestro arreglo.
III.1 La expansión multipolar para una espira.
En general, el campo magnético producido por una
distribución de corriente estática en un punto p(r,9),
satisface las ecuaciones (Smith [1980], Storey (1983],
Murgatroyd [1983]):
V-B = o, ( 3 9)
VxB=O, ( 40)
22
Es posible, entonces, definir un potencial escalar magnético
�m a través de la expresión:
B = -Vcp m , ( 41)
· donde �m debe satisfacer la ecuación:
(42)
Así, la variación espacial de �m debe ser armónica, es
decir, de la misma forma en que varía el potencial escalar
para el caso eléctrico. La expresión para el potencial
magnético está dado por:
µo � Mt ( ) <P m = --�-! pl COS0
41t r t=O r
( 43)
donde µ0
es la constante de permeabilidad, r es el vector de
posición al un punto p(r,0), Pe(cos0) son los polinomios de
Legendre y Me es la expansión multipolar magnética que está
definida como (J.B. Jackson (1963], pag. 557, Smith (1980]):
(44)
23
donde r' es el vector de posición al punto p' (r',0' ), J es
la densidad de corriente y Pt (cos8') son los polinomios de
Legendre.
o
p'(r',e)
( J ��dv' () _ _;;;;;.-,-ªW -. r
, . ,
Figura 5: Espira de alambre con corriente circulante y centro desplazado una distancia Z del origen.
El momento magnético de la corriente en la espira de
radio a desplazada del origen una distancia z, se deriva de
la ecuación (41). En el elemento de volumen dv' en el punto
P' (r' ,0' ,<p'); (ver figura 5). La densidad de corriente la
definimos como
[1980));
(J.D. Jackson
i S(r' -a ese a) S(8' -a) J = -------<¡>,
r'
Por consiguiente:
[1963), pag. 141, Smith
(45)
24
r 9' Al
<p
r' xJ = r' o o ( 46)
o o i 8(r' -a ese a)8(0' -a)
r'
o bien,
r' xJ = -i o(r' -a ese a)8(0' -a) 9' . (47)
Empleando esta expresión obtenemos:
i8(r' -a ese a)V• r' xJ = -----[8(0' -a)cos0' +sen0' 8' (8' -a)].
r' sene' ( 48)
Por otro lado, el diferencial de volumen, en coordenadas
esféricas, está dado por:
dv' = ( r' )2 scn0' dr' de' d<p' . ( 49)
Sustituyendo (48) y (49) en la ecuación (44), tenemos que:
- Jt "
M 1 =- e: 1J(r')1 +1 8(r'-acsca)dr'f[cos0'8(0'-a)+sen0'8'(0'-a)]P1 (cos0')d0' f dcp'. (50) o o -7!
25
Aplicando ahora la propiedad de la delta de Dirac:
+=
f 8(x - a) f (x) dx = f (a) en la ecuación ( 5 O) , obtenemos:
La integral que aparece en esta expresión se puede evaluar
integrando por partes. Encontramos que:
f [ sene' 8' (0' -a)] Pe(cos 0') d0' = sen 2a Pe (cos a) - cosa Pt(cos a). ( 52 l
Incorporando este resultado en la ecuación (51) encontramos:
21ti(
)t+I 2 ( ) M1
= -- a esca sen aP; cosa . f+l
( 53)
Definimos ahora µ=nia 2, dondeµ es conocido como el momento
dipolar magnético. Entonces podemos escribir el resultado
para Me en la forma:
M 2 µ ( )e-1 '( ) e= -- acsca Pe cosa .C+l
( 54)
donde:
.Ja2 + z2esca=---
ª2
z cosa=--;====
.Ja2 + z2
tan a= -
26
( 5 5)
En la figura 6 obsevamos que el campo magnético tiene
dos componentes, una en dirección del eje radial y la otra
perpendicular a ésta, (eje Z) . Estas pueden ser expresadas
como:
Bx = Br sene + Be cose I ( 5 6)
( 57)
donde las componentes radial y angular están dadas por:
Br
- acp rn
ar(58)
_ ..!_ acp m Be ae
Sustituyendo ahora Me
, de la ecuación (54) en la ecuación
(43), obtenemos:
donde:
v = cosa.
u= cosez u=r
sena. = ✓1 - v2
Ni
o
- - - - - - - - _X_ - - - - - - -
r
Br
Ba
( 59)
(60)
Figura 6: Bobina con corriente circulante, cuyo centro está desplazado una distancia sobre el eje z.
Sustituyendo la ecuación (59) en la ecuación (68)
encontramos:
B = µµ0 �(-ª-)t-l Pí(v)Pe(u)1
r 21t L.,¿ sena. rt+z
l=O
( 61)
27
B _µµºLoo 1 ( a )
t-lP'() eP;(u) a - -- -- -- t v sen --,21t e+ 1 sena rt+2 l=O
28
( 6 2)
que son las componentes magnéticas radial y angular de una
espira con corriente circulante.
Estos resultados se pueden generalizar facilmente para
el cas? de una bobina, que consta de una serie de espiras.
Empleando la definición (15), y las ecuaciones (61) y (62),
obtenemos:
"° l ( . )e-1 P' ( ) ··
Ba = Bo a3 ¿-- --ª- ll+� P;( V) sene,t=O f.. + 1 sena f
Normalizando con respecto al radio a, obtenemos:
B = B �(-1-)t-t P;(v)Pe(u) rl O ,L a pt+2 't=o sen
00 1 ( 1 )t-t P;(u) , Ba1 = Bo I-- -- ------r+'f'" pl (V) sene ,
i=O f.. + 1 Sena p
( 63)
( 64)
( 65)
(66)
donde: r
p = - .
29
Las ecuaciones (65) y (66) representan las expansiones para
las componentes radial y angular del campo magnético para
una bobina. Se observa que el campo decae como r-<k+i), con k
impar.
III.2 La expansión multipolar del arreglo de Helmholtz.
El 1
arreglo de Helmholtz consta de dos bobinas
concéntricas separadas entre sí una determinada distancia.
Para completar el análisis del arreglo de Helmholtz
consideramos el análisis que se hizo para la bobina anterior
pero ahora con una bobina que esta desplazada de su centro
de simetría una distancia -Z, como se observa en la la
figura 7:
Ni
-z
- - - - - - - - -
Be
Br
Figura 7: Bobina con corriente circulante cuyo centro está desplazado una distancia -z.
de la figura 7 podemos apreciar que:
cos 'V = - cosa = -v}•sen 'V = sen a de aquí que:
Br2 = Bo �(-l-)e-1 Pé(-v)Pe(u), -"-' sena p e+2
l=O
_ = 1 ( 1 ) e-i Pé ( u) , B92 - B0 I-- -- �Pe(-v)sen8, f=O e + l sena p
30
(67)
( 68)
( 69)
que son las componentes magnéticas radial y angular de una
bobina con corriente circulante desplazada del origen una
distancia -z.
Para el arreglo de Helmholtz de la figura 8, la
resultante del campo magnético total radial y total angular
es tan dadas por la superposición de las ecuaciones ( 65),
(68), (66) y (69) obteniendo:
( 7 O)
( 71)
31
z
NI X
P(r. e)
-z
Figura 8: Arreglo de Helmholtz.
por consiguiente:
- limpar(HJf-1 Pé(v)Pe(u)Br H - 2Bo L t+2 '
l=I 4 p
fimpar l (HJl-1 Pé(u) , B9H = 2B0
¿ -- - -----¡;-:¡-Pt ( v) sen8,
t=l f, + l 4 p
donde r
p = - y se aprecia de nuevo que el
decae como r-Ck+2
), con k impar.
( 72)
( 7 3)
campo magnético
III.3 Expansión multipolar para el arreglo de Storey
Purcell.
El arreglo de Storey-Purcell, como ya se vió en el
capítulo II sección II.3, consiste en dos pares de bobinas
32
de Helmholtz con ejes de simetría coincidentes y
separaciones entre centros iguales a sus radios ..
Para el segundo arreglo externo de Helmholtz, ver figura 9,
tenernos que su radio es dos veces el radio del arreglo
interno y la corriente circula en sentido contrario a la
corriente del par interior. Por consiguiente, Siguiendo el
análisis de la sección III.2, obtenernos las componentes
magnéticas radial total y angular total del par de bobinas
externas:
B = _ _!_
B l�
ar
2 t+2 (HJe-1 P;(v)Pe(u)
rH2 4
O _¿_,¿4
t+2 ' l=l .p
1 limpar 2 t+2 (HJL-t P'(u)B 9H2 = -- B 0 ¿ -- - ¼P;(v)sen8,
4 l=l f.+ 1 4 p
,,
-1/ 4 NI
1 a
o -a
2a
2 2a
-1/4 NI
Figura No. 9: Arreglo externo de Helmholtz.
(85)
( 86)
33
Finalmente, si superponemos los dos arreglos para tener
nuestro arreglo de Storey-purcell, como se muestra en la
figura 10, las componentes radial y angular totales están
dadas por:
Br,
NI/4
Be1
l N
I
2a l
2a
Nl/4
Figura No. 10: Arreglo de Storey-Purcell.
y aplicando la ecuación (33) las podemos expresar por:
Be1 - 5-Js timpar (1- 2 t+2 ) (.Js)t-1 P;(u) ,3 1 - -- L ---- l+2
Pe(v)sene,B t e z;tO 7 l=5 e + 1 2 p
p=O
( 87)
{ 88}
(89)
34
donde e ernpiesa desde 5 por que se cancelan las
contibuciones magnéticas abajo de este valor, siendo ésta
una contribución del quinto orden, y el campo decae como p-7
para este valor de e, donde, de igual manera, se puede
apreciar que en general para una fuente con 2k-polos, con k
impar, se caracteriza por un campo que decae a lo lejos,
una distancia r de la fuente, corno (Srnith [1980],
Sto rey [ 19 83] )
Graf icando la componente,, magnét.i.ca en z dada por la
ecuación ( 5 7 ) , en donde Br y Be están dadas por las
ecuaciones (88) y (89); obtenemos las siguiente gráfica:
Grafica No. 2: Componente en z del campo externo calculado por la expansión multipolar. Los valores graficados están normalizados �l valor central de la componente en z.
40
Con los datos de diseño de las bobinas presentados en la
tabla III, se imprimieron los planos del modelo final en el
centro de cómputo, y se procedió a la construcción de las
bobinas y su respectivo embobinado en el taller de mecánica
fina del CICESE. A continuación se muestran las fotografías
de nuestro arreglo.
Fotografía No. 1: Bobinas de Storey-Purcell, .vista frontal. El diámetro medio de las bobinas interiores es de 30 cm. El diámetro medio de las bobinas exteriores es de 60 cm.
35
Como podemos observar, comparando la grafica 1 obtenida por la ley de Biot-Savart, y la grafica 2 obtenida por la expansión multipolar, los resultados coinciden perfectamente para valores mayores de tres veces el radio de las bobinas internas. Para valores menores, los resultados numericos obtenidos carecen de sentido en la expansión multipolar, esto se explica debido a que dicha expansión está diseñada para análisis del campo lejano. por otro lado, con la ley de Biot-Savart puede utilizarse ,para analizar tanto el campo cercano como el lejano.
IV.- DISEÑO Y CONSTRUCCION.
Después de los análisis teóricos sobre el comportamiento
del campo magnético de la bobina de Storey-Purcell vistos en
los dos capítulos precedentes ahora abordaremos el problema
de construir físicamente dichas bobinas de acuerdo a
nuestras restricciones experimentales tales
dimensiones, tipo de conductor eléctrico,
transv�rsal de la bobina, etc.�
IV .1 PARAMETROS EXPERIMENTALES DEL DISEÑO.
como:
sección
Lo primero que se hizo fue decidir sobre un diámetro
conveniente para nuestro arreglo con el fin de lograr un
campo magnético uniforme sobre una muestra de prueba de 1
cm3• Para hacer lo anterior se normalizó la ecuación ( 19)
con respecto a la ecuación ( 22) haciendo b =a, y se tuvo
que:
(90)
donde B2/B
00 es el campo magnético en z normalizado del par
de bobinas interiores del arreglo de Storey-Purcell.
Suponemos que nuestra muestra será colocada en el centro
del arreglo, y entonces debemos analizar la uniformidad del
campo magnético al movernos en z, hasta valores de ±0.5 cm.
Para esto, y debido a la simetría del campo alrededor de
37
z=0, sólo es necesario evaluar el campo magnético en +0.5 cm
en términos del radio a de las bobinas. Estos cálculos,
basados en la ecuación (90) se muestran en la tabla I:
Tabla I. Valores del radio y los respectivos valores relativos del campo magnético
a Bz/Boo
5 0.946031 10 0.9999928 15 0.9999986 20 0.9999996 25 0.9999998 30 0.9999999 35 0.9999999 50 1
Por razones prácticas, elegimos un radio de 15 cm para las
bobinas internas y de 30 cm para las externas. Como se ve en
la tabla, dichos radios deben traducirse en una buena
uniformidad del campo sobre la muestra.
Queremos crear, con el arreglo de Storey-Purcell,
diferentes magnitudes del campo magnético hasta un límite de
52 Gauss a lo largo del eje z. Por otro lado, para los ejes
x y y necesitamos diseñar unos canceladores magnéticos
(arreglos de Helmholtz) que generen 1/4 y 1/2 Gauss
respectivamente. Esto es con el fín de nulificar el campo
magnético terrestre y disminuir el ruido magnético en
nuestras mediciones (Murgatroyd [1983], Donnelly [1990]). En
la zona de Ensenada, la magnitud del campo magnético es de
0.5 Gauss, con una inclinació� de 59° dirección Norte-Sur.
Estos datos fueron proporcionados por el departamento de
38
Ciencias de la Tierra del C.I.C.E.S.E. (Enríquez et al
[1991])
Con los datos de los radios de los pares de bobinas
interior/exterior y los datos de las magnitudes magnéticas
deseadas, calculamos la cantidad de corriente eléctrica
necesaria para generarlos y buscamos la información sobre
que típos de conductores eléctricos necesitamos para el
diseño.
Usamos los manuales de las industrias MWS y Conductores
Monterrey S.A. , donde encontramos que los conductores
requeridos son los mostrados en la tabla II:
Tabla II. Datos requeridos para los conductores AWG #14 y #26
Conductor Sección Corriente Diámetro Peso Resistencia AWG transversal Máxima del cable aproximado ohms/1000 20°c circular Amperes en mm lb/1000 ft (R)
No. Mills ( Im) (<jH) (W) (CM)
14 4109 4.109 1.628 12.4 2. 572
26 252.8 0.2528 0.4049 0.769 42.07
Con los datos de la tabla II y los radios de las bobinas,
podemos encontrar la cantidad de alambre que necesitamos, la
sección transversal de las bobinas y la cantidad de energía
disipada por cada bobina, utilizando para ello las siguiente
ecuaciones (Gieck (1981], pag. S21-S22):
e = N 1tD i , ( 9 2 i
S = <p ¡ .JN. ( 93 l
ft
39
donde P es la potencia disipada, e es la longitud del
conductor alrededor de una bobina, R la resistencia
eléctrica, Di es el diámetro interno de la bobina, N el
número de espiras, S el espesor de las capas de las espiras
y$¡
el diámetro del conductor.
Con toda la información obtenida y recabada podernos
escribir la siguiente tabla III:
Tabla III. Datos necesarios para construir las bobinas.
Bobina Bobina interna/externa X / y
Conductor AWG @ 200c 14 26
Sección transversal 4109 252.8
en Circular Mills
Ampacidad máxima en 4.109 0.2528
Amperes ( Im) Diámetro del
alambre (q>i) l. 628 0.4049
Peso apróximado
lb/1000 ft 12.4 0.769 (W)
Resistencia Ohrns/1000 ft 2.570 / 0.985 42. 07
(R) Número de espiras (N) 256 / 64 144
Espesor lado cuadrado en cm 2.605 / 1.302 0.5
(S)
Longitud del cable en m 241. 3 / 120.64 177.7 / 203.7
( e )
Diámetro del carrete en cm 30 / 60 39.28 / 45.02
(Di) Potencia máxima consumida Watts 32.8 / 16.64 l. 064
( P) Campo magnético. generado en gauss 53. 96 1.458 / 1.272
(Bsp)
V. CALIBRACION.
Varios métodos de medición utilizados en la calibración
de sensores magnéticos (Baule-Mcfee [1965), Mallinson
( 19 6 6] ) , antenas, etc. , están basados en el teorema de la
inductancia mútua, que es una herramienta para calcular el
acoplamiento magnético entre dos o más circuitos.
En este capítulo se presenta un breve desarrollo teórico
sobre los principios de dicho teorema y, posteriormente, su
aplicación en la calibración del arreglo de Storey-Purcell.
V.1 Método de medición.
El principio de reciprocidad para la inductancia mútua
surge de la simetría del acoplamiento del flujo entre dos
circuitos (E. M. Purcell [1985), pag. 276-280) como se
muestra esquemáticamente en la figura 11. El flujo que los
enlaza es generado por el circuito que lleva la corriente.
� ���-Fotografía No. 2: Bobinas de Storey-Purcell, vista lateral.
La separación media entre centros de las bobinas internas es de 15 cm. La separación media entre centros de las bobinas externas es de 30 cm.
Fotografía No. 3: Bobinas de Storey-Purcell, vista a 45 ° .
41 �
Se muestra el tablero de conexiones donde las bobina internas son conectadas en serie entre sí y las bobinas externas son conectadas en serie entre sí pero en sentido contrario de las bobinas internas.
Fotografía No. 4: Arreglo completo de Storey-Purcell, vista frontal. Se muestran las bobinas canceladoras del campo magnético terrestre.
Fotografía No. 5: Arreglo completo de Storey-Purcell, vista lateral. Se muestra el tablero de conexiones para el arreglo.
42
43
Fotografía No. 6: Arreglo completo de Storey-Purcell, vista
a 45 ° .
Figúra No. 11: La corriente I en el circuito 2 causa un
cierto flujo �12 a través del circuito l.
El flujo está definido como: ,,
�12 = J B2 · dA1 , ( 9 4)
Al
45
donde B2
representa el campo magnético generado por una
corriente circulante, que permanece constante, en el
circuito 2 y dÁ 1 es el elemento de área del circuito l.
La ecuación (94) también puede ser escrita como:
�12 = J b2 ' l dA1 , ( 95)
A,
donde b2 indica la inducción por unidad de corriente debida
al circuito 2.
46
De manera análoga, si el circuito 1 es el que lleva la
corriente eléctrica de manera constan te, entonces el f 1 uj o
puede escribirse como:
cpz1 = J B 1 . dA 2 , (96)
A,
o bien_;
cp21 = J b 1 · Y dA 2 , ( 9 7)
A2
donde b1
indica la inducción por unidad de corriente debida ;,
al circuito l.
De la ecuación (95) y (97) encontramos que, de manera
general:
cp -=M,I
( 9 8)
donde:
( 99)
47
Esta cantidad es el coeficiente de la inductancia mútua M
entre dos circuitos.
2
....,._
m
Figura No. 12: Fuente dipolar con corriente circulante I y espesor dz, cercana al circuito 1.
Si hacemos que .82
, de la ecuación (94), represente la
inducción debida a una fuente dipolar magnética de momento
m, cercana al circuito 1 (ver figura 12), el flujo acoplado
puede ser escrito como (Mallinson [1966], Storey [1980)):
(100)
A, v,
donde M es el vector de magnetización y dV1 es el elemento
de volúmen del circuito l.
De manera general la ecuación (100) puede escribirse
como:
48
<p=b-m, (lOll
donde b es la inducción por unidad de corriente debida al
arreglo en la localización del dipolo, y m es el momento
magnético del dipolo, dado como:
Iñ = J M-clV¡
. (102) v,
V.2 Calibración.
Aplicando los conceptos anteriores a la calibración de
nuestro arreglo de Storey-Purcell el flujo detectado por
dicho arreglo es una medición de la componente del campo del
dipolo en la dirección del vector m . Si consideramos el
arreglo como un sensor de flujo, nosotros podemos relacionar
a <p como su capacidad de respuesta o sensibilidad.
Considerese el dipolo en la posición (x,z), orientado
paralelamente al eje de simetría (z) del arreglo de Storey
Purcell y oscilando como cos (cot), como se muestra en la
figura 10. El voltaje inducido en el arreglo es:
dcp - dlñE(t) = -- = -b · - ,
dt dt (103)
como el dipolo oscila en forma cosenoidal, entonces la
ecuación enterior se reduce a:
49
E ( t ) = ú) <j> sen ( ú) t) = ro <j> cos ( ú) t - n/ 2) . (104)
Definirnos la sensibilidad de nuestro arreglo corno una
función de la posición del dipolo relativo al arreglo:
Erm� _ jb2 ( X, z)j
E0 b2 (0,0) . (105)
Esto nos provee de un método conveniente para mapear el
campo del arreglo, usándolo corno sensor de flujo que detecta
una oscilación externa dipolar. El mapeo resultante de los
valores relativos de bz sobre el dominio (x, z) es llamado
perfil de sensibilidad.
V.3 Perfil de sensibilidad.
La expansión multipolar nos dá valores exactos del campo
externo para distancias radiales grandes del arreglo.
También evaluarnos el campo directamente de la ley de Biot-
Savart para comparar con los datos de la expansión
multipolar y para encontrar los valores del campo en el
interior del arreglo de Storey-Purcell. El método de la
expansión multipolar coincide muy bien con la ley de Biot
Savart para p (= r/a) valores mayores e iguales a 3. Aquí r
es la distancia radial del centro del arreglo y a es el
radio base de las bobinas interiores. La componente en z del
campo del arreglo fue mapeada de acuerdo con la ecuación
50
(105) usando las bobinas de Storey-Purcell como detectores
del flujo debido a una fuente externa dipolar oscilante a
una frecuencia de 4. 7 kHz. Un Lock-in Amplifier (Candado
Amplificador marca Stanford Research Systems SR510) fué
usado para medir componentes en fase y en cuadratura del
voltaje inducido en el arreglo de Storey-Purcell debido al
dipolo. Estas cantidades dependieron de la posición y
orientación del dipolo. Combinando estas dos componentes
obtenemos la magnitud del voltaje rms inducido en el arreglo
el cual es proporcional a la unidad de corriente inducido en
la ubicación del dipolo.
El voltaje inducido es normalizado al valor obtenido
cuando el dipolo fue colocado en el centro del arreglo de
Storey-Purcell. La bobina dipolar diseñada cuenta con 1200
vueltas de alambre de cobre del #2 6 tipo AWG, sobre un
carrete de acrílico montado en una caja de aluminio con el
fin de minimizar el acoplamiento capacitivo entre circuitos
(ver fotografía No. 7).
51
Fotografía No. 7: Bobina utilizada como fuente exitatriz dipolar montada en una caja de aluminio.
La bobina fue sincronizada en serie con un capacitar para
hacerla resonar y obtener una máxima corriente y flujo
dipolar.
El voltaje oscilante encontrado a través de una
resistencia de 27 Q conectada en serie con la bobina, fué
usado para proporcionar al Lock-in Amplifier la frecuencia
de referencia con la cual garantizar que dicha frecuencia
está en fase con el flujo en ·el arreglo de Storey-Purcell.
El comportamiento del valor absoluto de la componente
magnética calculada para el 25-polo se caracteriza por tener
tres valles angostos y rectos en el primer cuadrante donde
la componente de z cambia de signo cuando pasa a través de
cero.
La gráfica de la sensibilidad medida con nuestro arreglo
donde el eje del dipolo es paralelo al eje de éste se
muestra en la gráfica No. 3:
52
Gráfica No. 3: Perfil de sensibilidad medido con el arreglo de Storey-Purcell. Los datos de cada punto son tornados cada 0.1 unidades a lo largo de z, desde z=0.0 a 10.0 para valores constantes enteros de x, desde x=0.0 a 10.0. El dominio x<3, z<3 se omitió.
Nuestros valores medidos muestran el mismo perfil que el
teórico de la gráfica No. · 2 del capítulo III hasta una
distancia de 5 unidades de radio. Después de esta distancia,
la componente en z cambia a un patrón característico de un
campo dipolar debido al resultado de un desbalanceo de los
respectivos momentos dipolares entre las bobinas pares
internas y externas del arreglo. Más específicamente, el
producto de las área-vueltas está desbalanceado debido a
errores en la construcción.
,,
VI. ANALISIS DE ERRORES.
Se hizo un análisis teórico del error cometido en la
construcción en el balance de las área-vueltas de cada
bobina, esto es, errores en el corte del carrete construido
afectando las áreas laterales de las bobinas y errores en el
enrollamiento del alambre o número de vueltas en cada
carrete; nuestro énfasis en el análisis teórico del
desbalanceo de las área-vueltas es un sustituto conveniente
del ariálisis del balance o acoplamiento del flujo entre los
pares de bobinas interior y exterior.
Utilizamos la expansión multipolar con un énfasis en los
efectos del desbalanceo de las área-vueltas. Enumeramos las
bobinas de Storey-Purcell con respecto a sus área-vueltas de
µ1 hasta µ4, como se muestra en la figura 13.
z
µ4 Nl/4
µ2 0.5 NI
o X
µ1 NI
2a
µ3 Nl/4
Figura No. 13: Area-vueltas de cada bobina mostradas como µ1, µ2, µ3 y µ4.
54
Empleando la expansión multipolar presentada en el
capítulo III (ecuaciones (58) y (59)), encontramos que las
componentes radial Br
y angular B0 para el par interior de
Helmholtz están dadas por:
(105)
Por otro lado, para el par exterior de Helmholtz se
encuentra que las componentes radial y angular son:
(106)
Superponiendo las respectivas componentes radiales y
angulares se obtienen las componentes correspondientes para
el arreglo de Storey-Purcell. Se encuentra que:
55
B, = �; 'f ( ';f' �'��) Pí( v){µ, + (-l) l+l µ, - z t -1 [µ, + (-1) 1+1 µ,])'
(107)
Empleando la ecuación (107) y la ecuación (57) del
capí tu1o III, podemos encontrar el campo magnético en la
dirección del eje z:
B e impar
_z =µa _¿T(e) Bo t=I
donde:
(108)
(109)
(110)
(111)
(112)
56
donde � representa el desbalanceo de las área-vueltas yµ el
área-vuelta promedio de las cuatro bobinas.
De la ecuación (108) encontramos que:
B _z =µa{T(l)+T(5)+·••}, Bo
(113)
entonces, la suma de los cinco primeros términos en la
expansión de B2
, relativo a µ, es proporcional a la suma de
los términos T ( 1) +T ( 5) , los cuales representan las
contribuciones del dipolo (2 1-polo) y el polo de quinto
orden (2 5 -polo) respectivamente. La razón evaluada en el
plano ecuatorial nos dá:
para primer orden en el desbalance relativo de las area
vueltas. De este resultado podemos estimar que (�/µ) no debe
ser mayor de 500 partes por millón (ppm) en orden de que la
contribución del 2 5 -polo sea 10 veces mayor que la
contribución dipolar en p =10 en el plano ecuatorial. En
trabajos precedentes (Willianson-Kaufman [1981]) han
discutido las dificultades y cuidados que se requieren para
llevar a cabo un desvalanceo de las área-vueltas menor de
57
1000 ppm. La gráfica 2 del capítulo III calculada por la
expansión multipolar asume un desvalance de 500 ppm por
consiguiente muestra el dominio del 25 -polo.
El desbalance actual cometido en nuestra construcción
aparece alrededor de 2.5% o 2��00 pp�. Esto es obtenido del
valor medido T ( 1) +T ( 5) el cual es alrededor de seis veces
mayor que el valor de T(S) calculado por la expansión
multipolar. Un perfil de sensibilidad calculado asumiendo un
desbalance del 3% se muestra en la gráfica 4 para
comparación de la detectada en la gráfica 3. Son muy
semejantes el cual indica que el desvalanceo llevado a cabo
en nuestra técnica de construcción fue alrededor del 3%
(Hotz et al [1994]).
Gráfica No. 4: Componente en z del campo externo calculado por la expansión multipolar con un desbalanceo del 3%.
58
VII.- CONCLUSIONES.
Se ha diseñado, construido y calibrado un arreglo de
bobinas tipo Storey-Purcell para hacer investigación de los
efectos que producen los campos magnéticos en muestras bio y
químio-luminiscentes. El arreglo produce un campo magnético
central y controlado sobre un volumen de 1 cm3 en el centro
del arreglo.
El arreglo de Storey-Purcell es útil porque nos permite
tener un control directo del campo magnético estático sobre
la muestra emisora de luz, mientras responde como un sensor
acoplado cerrado de flujo alterno en el espacio de la
muestra; sin embargo es relativamente insensible a fuentes
externas de flujo alterno.
Se ideó un método para medir la densidad
magnético del arreglo sobre un rango de 120 dB
del flujo
( 6 décadas)
en amplitud, basado en el principio de reciprocidad para la
inductancia mútua.
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El perfil de sensibilidad del arreglo es susceptible a
errores en el balanceo de las área-vueltas o del flujo entre
los pares de bobinas interior y exterior. El desbalanceo es
ocacionado por errores de construcción. La colocación de
tabletas compensadoras de flujo (flux tabs) para ajustar el
balance del flujo es muy usado en sensores magnéticos
llamados SQUID (Willianson-Kaufman [1981]) y quizás pudieran
ser útiles en nuestro caso para compensar . los errores de
construcción. Sin embargo, en este trabajo no se contempló
el uso de métodos compensadores.
La comparación del perfil de sensibilidad medido en
nuestro arreglo con el calculado por la expansión multipolar
indica que nuestro desbalance fue del orden de 2 a 3%.
El perfil de sensibilidad medido muestra el
comportamiento polar de 2 5-polo a lo largo de una separación
del centro del arreglo de 5 veces el radio medio de la
bobina interior, y más allá de esta distancia el campo
magnético toma la forma dipolar (2 1 -polo).
Con la terminación de estas bobinas, es posible usarlas
para aplicar campos magnéticos a las sustancias Bio-
luminiscentes, y realizar trabajos de la investigación en
esta área.
61
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