Revista internacional de Ingeniería de estructurasugi.espe.edu.ec/.../2014/07/REVISTA-ING.-ESTRUCTURAS-VOL-19.pdf2 Arturo Tena Colunga y José Antonio Cortés Benítez as special

Revista internacional de

Ingeniería de estructuras

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Valle de los Chillos, Ecuador

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M. Ordaz Instituto de Ingeniería UNAM

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Revista Internacional de

Internacional de Estructuras

Sumario

Volumen 19, número 1, 2014

Impacto de la redundancia estructural en el

comportamiento sísmico de marcos dúctiles de concreto

reforzado.

Arturo Tena Colunga y José Antonio Cortés Benítez

Análisis sísmico de una estructura con aisladores FPS de

primera y segunda generación y elastoméricos con núcleo

de plomo

Roberto Aguiar Falconí, Fernanda Vergara, Byron Guaygua y Juan

Pablo Monge

Determinación de la carga de agrietamiento en losas de

concreto reforzado.

Gelacio Juárez-Luna

Revista Semestral de la Universidad de Fuerzas Armadas, ESPE.

Quito, Ecuador.

Revista Indexada a LATINDEX

ISSN 1390-1117

2014 ESPE, Quito – Ecuador

ESPE, Quito – Ecuador

1

91

35

Revista Internacional de Vol. 19,1, 1-34 (2014) Ingeniería de Estructuras

Recibido: Julio de 2013 Aceptado: Octubre de 2013

IMPACTO DE LA REDUNDANCIA ESTRUCTURAL EN EL COMPORTAMIENTO SÍSMICO DE MARCOS

DÚCTILES DE CONCRETO REFORZADO Arturo Tena Colunga Profesor, Departamento de Materiales, Universidad Autónoma Metropolitana-Azcapotzalco, Edificio P4, 3er Piso, Av. San Pablo # 180, 02200 México, D.F. Correo electrónico: [email protected]. José Antonio Cortés Benítez Ingeniero estructural, ICA Ingeniería, México, DF, Correo electrónico: [email protected]

RESUMEN

En este trabajo los autores presentan los resultados de un estudio paramétrico dedicado a evaluar el impacto que tiene el aumentar la redundancia estructural en edificios con base en marcos dúctiles de concreto reforzado de distintos niveles, al aumentar el número de crujías, utilizando análisis no lineales con carga monótonamente creciente (“pushover”), y así poder definir o evaluar numéricamente al factor de redundancia ( ). Los edificios fueron analizados y diseñados como marcos dúctiles de concreto reforzado conforme a las recomendaciones del Apéndice A de las NTCS-2004 y a las NTCC-2004. Los marcos en estudio tienen las siguientes características: a) marcos con un mismo claro L=7 m y altura de entrepiso H=3.5 m, con alturas de 4, 8, 12 y 16 niveles. Para cada marco antes descrito, se varió el número de crujías de 1, 2, 3 y 4, b) marcos con una altura de entrepiso H=3.5 m y una longitud total fija LTOT=12 m. Los marcos son de 4, 8, 12 y 16 niveles, en los cuales se varió el número de crujías de 1, 2, 3 y 4. En los análisis no lineales se utilizó un modelado de plasticidad concentrada y se definió que los elementos vigas y columnas presentaran una no linealidad dominada por flexión. Con base en los resultados del presente estudio y de estudios previos reportados en la literatura especializada, se concluye que, en aras de la transparencia en el diseño sismorresistente de marcos dúctiles de concreto reforzado y otros sistemas estructurales, sí se justifica que la redundancia estructural sea tomada en cuenta directamente en el diseño mediante un factor de reducción por redundancia ( ), como lo proponen y hacen normas internacionales como el ASCE-7 o IBC, y nacionales como el Manual de Obras Civiles (MOC-2008).

ABSTRACT

In this paper the authors present the results of a parametric study devoted to assess the impact of increasing the structural redundancy in ductile reinforced concrete (RC) moment framed buildings. Among the studied variables were the number of stories and the number of bays. Buildings were analyzed and designed

mailto:[email protected]


2 Arturo Tena Colunga y José Antonio Cortés Benítez

as special moment-resisting RC frames (SMR-RCMFs) according to the Appendix A of the seismic (NTCS-2004) and reinforced concrete (NTCC-2004) guidelines of Mexico´s Federal District Code. The studied models have the following characteristics: a) 4, 8, 12 and 16-story frames with a story height H=3. 5 m and 1, 2, 3 or 4 bays with a bay-width L=7 m, b) 4, 8, 12 and 16-story frames with a story height H=3. 5 m and a fixed length LTOT=12m, were 1, 2, 3 or 4 bays have to be located. Nonlinear static analyses (“pushover”) were used to evaluate numerically the redundancy factor (). A lumped plasticity modeling dominated by bending was used for beams and columns. Based on the results of this research and previous studies reported in the literature, it can be concluded that, for the sake of transparency in the seismic design of SMR-RCMFs and other structural systems, it is justified to account directly in the design the structural redundancy using a redundancy factor (), as done in international codes such as ASCE-7 or IBC and national codes as MOC-2008). 1 INTRODUCCIÓN

Para validar los modelos constitutivos de daño y de plasticidad, definidos

respectivamente en En la actualidad, las demandas y tendencias arquitectónicas en cuanto a grandes espacios libres, necesarios para la optimización de áreas de construcción, el alto costo de los predios en las zonas financieras o de negocios de la ciudades y las malas estructuraciones por parte de los arquitectos e ingenieros, en especial en edificios con base en marcos rígidos, han provocado que se construyan edificios con grandes claros y muy pocas crujías en alguna dirección, lo que redunda en estructuras con un grado de hiperestaticidad relativamente bajo.

Las experiencias que han dejado los sismos pasados, estudios

experimentales y analíticos, señalan que la ductilidad y redundancia estructural han resultado ser los medios más efectivos para proporcionar seguridad contra el colapso y daños excesivos, especialmente si los movimientos resultan más severos que los anticipados por el diseño, pues en el momento en que sucede un sismo de gran intensidad, la respuesta global de la estructura deja de ser lineal e incursiona en su intervalo no lineal, lo que produce irremediablemente algún tipo de daño en elementos. Debido a que el diseño sismorresistente contempla la posibilidad de daño en algunos elementos estructurales durante la ocurrencia de algún sismo fuerte, la estructura debe de ser capaz de acomodar todo este daño sin experimentar colapso.

Un buen detallado en una estructura de concreto reforzado aumenta su

capacidad de deformación y le permite desarrollar la máxima resistencia de sus elementos, hasta que éstos no pueden aportar más rigidez ni resistencia y se formen articulaciones plásticas. El número de articulaciones plásticas necesarias para causar la inestabilidad de la estructura, y por consiguiente el colapso, depende del número de elementos estructurales resistentes a la carga, o mejor dicho, de la redundancia de la estructura. Por lo tanto, el grado de redundancia aumenta la capacidad de la estructura para incursionar en el intervalo no lineal. Esto se debe a que en la estructura se redistribuyen las solicitaciones de los

Impacto de la redundancia estructural en el comportamiento sísmico… 3

elementos más demandados, o elementos que entraron en su intervalo no lineal por la formación de articulaciones plásticas, a elementos con menor solicitación.

La redundancia se refiere a la existencia de una gran cantidad de líneas

de defensa continuas y resistentes a la carga, que causa un alto grado de hiperestaticidad. Una de las características más importantes que se debería buscar en una estructura desde el punto de vista de diseño sísmico es la redundancia, ya que cuando se cuenta con un número reducido de elementos, como es el caso de estructuras poco redundantes, la falla de alguno de éstos puede causar el colapso de la estructura. Por esto, un buen diseño sismorresistente debe tratar de distribuir las cargas laterales producidas por terremotos de gran intensidad entre el mayor número de elementos posibles, para permitirle a la estructura desarrollar su máxima resistencia y aprovechar la disipación de energía producida por histéresis.

El olvido del concepto de redundancia ha causado el uso de

estructuraciones vulnerables en edificios urbanos, donde en muchas ocasiones se estructura en una dirección corta marcos con una sola crujía, lo que favorece además dos condiciones de irregular estructural: plantas alargadas y/o esbeltez. Ejemplos de lo anterior se han dado varios, por citar algunos casos, los edificios Petunia (figura 1a) y Laguna Beach (figura 1b) durante el sismo de Caracas del 29 de julio de 1967 (Web Berkeley 2010, Tena 2010), el multifamiliar Juárez durante el sismo de Michoacán del 19 de septiembre de 1985, que era un conjunto de edificios de considerable altura que además contaban con plantas alargadas y esbeltas (figura 2a), y cuya estructuración en la dirección esbelta, donde finalmente colapsó (figura 2b), era poco redundante (figura 2a).

a) Edificios Petunia, con una

línea de defensa (muros) en la dirección corta, esbeltos y planta alargada

b) Edificio Laguna Beach, con marco de una crujía con muros diafragma en la dirección corta, esbelto y con planta alargada

Figura 1 Edificios poco redundantes en la dirección corta que presentaron daño estructural durante el sismo de Caracas (fotos de la colección de Karl Steinbrugge, Web-Berkeley

2010).


a) Estructuración de los multifamiliares

Juárez

b) Colapso del Edificio C-4

Figura 2 Colapso del edificio C-4 del multifamiliar Juárez durante sismo del 19 de septiembre de 1985. (fotos e imágenes de http://www.arqred.mx/blog/tag/multifamiliar-

juarez)

Otro ejemplo de lo vulnerable que son estructuras poco redundantes se ilustra con la figura 3a, donde se aprecia el colapso parcial de un edificio esbelto de acero estructural de una crujía en una dirección y dos crujías en la dirección ortogonal durante el sismo de Kobe del 17 enero de 1995. Como se observa, el edificio falló en la dirección con menor grado de redundancia.

Aunque un poco menos claro que el caso anterior, por su colindancia con casas-habitación en distintos niveles, se observó en el sismo de Pisco del 15 de agosto de 2007, donde se presentó el colapso de un edificio de sólo tres niveles, pero que contaba con demasiadas irregularidades y malos conceptos de estructuración, entre ellos una baja redundancia (marcos de una sola crujía) en la dirección esbelta (figura 3b), lo que junto con el choque estructural aparente en la dirección poco redundante, causó el colapso de las columnas en el segundo nivel.

Con base en lo anteriormente ilustrado, se considera sí se debe tomar en

cuenta de manera transparente la redundancia estructural en el diseño sísmico de edificios, pues en sismos anteriores se ha demostrado que estas estructuras son vulnerables, no importando que sean de poca altura (figura 3) o de mediana a gran altura (figuras 1 y 2).


a) Colapso de edificio poco

redundante en la dirección esbelta durante el sismo de Kobe. (http://www.eqe.com/publications/kobe/kobe.htm)

b) Colapso de edificio poco

redundante en la dirección esbelta durante el sismo de Pisco. Foto cortesía de Javier Piqué

Figura 3 Colapso de edificios poco redundantes (una sola crujía en la dirección corta), durante los sismos de Kobe, Japón de 1995 y de Pisco, Perú de 2007.

2 DEFINICIÓN DE REDUNDANCIA

La definición de redundancia ante cualquier patrón de carga se describe en función del número de regiones críticas, llamadas articulaciones plásticas, necesarias para causar la inestabilidad o colapso de la estructura.

Los beneficios de la redundancia estructural se pueden ilustrar con

estructuras muy sencillas, como las vigas con diferentes grados de indeterminación estática que se muestran en la figura 4. Para cada viga se realizó un análisis plástico paso a paso, considerando las propiedades de un material elasto-plástico. El análisis se hizo bajo la suposición de condiciones ideales, es decir, se calculó la carga que causa la formación de una articulación plástica y también la deflexión asociada a esta carga (por ejemplo, Bruneau et al. 1998). Los resultados del análisis demuestran que al incrementar el grado de redundancia, la rigidez del sistema aumenta, así como la capacidad de carga y su ductilidad (figura 5).

Los resultados del análisis plástico paso a paso de las vigas se pueden

extrapolar a estructuras más complejas para entender la redistribución de daño entre sus elementos, como se observa en la figura 4a. Al formarse una articulación plástica en una estructura isostática, inmediatamente después sucede el colapso. Ahora, si consideramos estructuras con algún grado de redundancia (figuras 4b y 4c), al formarse la primera articulación plástica la estructura tiene la capacidad de recuperarse, puesto que conforme crece el grado de redundancia se necesita un mayor número de articulaciones plásticas para causar la inestabilidad de la estructura.


La definición de redundancia ante carga laterales como las producidas por los sismos se describe en función del número de articulaciones plásticas necesarias para causar la inestabilidad o colapso de la estructura bajo la acción de cargas laterales y gravitacionales. En este caso, el grado de redundancia ante la carga lateral no sólo depende de las propiedades geométricas estructurales, refuerzo y detallado, sino también del comportamiento dinámico de la estructura, y del patrón de cargas laterales (Bertero y Bertero 1999).

Figura 4 Análisis plástico paso a paso de vigas con distintos grados de indeterminación

estática

Figura 5 Capacidad de carga contra deflexión de vigas con diferentes grados de

hiperestaticidad En las figuras 6a y 6d se presentan dos marcos con el mismo grado de indeterminación estática (ne=6). En las figuras 6b, 6c, 6e y 6f se representan los mecanismos de colapso teóricos que definen el grado de indeterminación ante cargas sísmicas, ns. En las figuras 6b y 6e se muestran los mecanismos de colapsos deseados reglamentariamente, los que pueden obtenerse con un buen detallado estructural que favorezca el mecanismo de viga débil – columna fuerte. En las figuras 6c y 6f se ilustran mecanismos de colapso indeseables por primer piso suave. Lo que cabe destacar aquí es demostrar que, conforme a la teoría, un marco con menos crujías es siempre menos redundante ante carga lateral que un marco que tenga el mismo grado de indeterminación estática, pero más crujías. Se aprecia que el marco de la figura 6a, de dos crujías, siempre tiene una mayor redundancia ante carga lateral con respecto al marco de una crujía de la figura 6d,

-Articulación formada -Articulación existente

a) Isostática � =

b) n=1 � = c) n=2 � =

P

2.5 m1.5 m 1.5 m 2.5 m

P

1.5 m 2.5 m

P

P P P

P P

P

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Ca

rga

P

(MP/EI) ΔDEFLEXION

Isostatica n=1 n=2


ya sea que el mecanismo de colapso corresponda a viga débil – columna fuerte (ns=7 vs ns=6) o a un piso suave (ns=6 vs ns=4).

Bertero y Bertero (1999) enfatizan que la redundancia produce varios efectos benéficos sobre la respuesta estructural como: a) evita la concentración de daño al aumentar la disipación de energía entre varios elementos, b) disminuye los desplazamientos laterales y la demanda de ductilidad debida a torsión inelástica, y, c) permite la obtención de elementos menos robustos en comparación a edificios menos redundantes. Por lo anterior, cada uno de estos efectos debería ser considerado en el lugar correspondiente en el diseño sísmico, con un factor de redundancia, y no debería ser incluido de manera indirecta en otros factores.

Figura 6 Diferencias entre indeterminación estática y redundancia ante cargas laterales

(adaptado de Bertero y Bertero, 1999)

Estas observaciones generales que realizaron en su estudio Bertero y Bertero (1999) pueden ser ilustradas con modelos sencillos de marcos de una y dos crujías (figura 7) analizados al límite (análisis plástico) y considerando condiciones ideales. En los resultados del análisis se observa que al agregar una crujía extra, la capacidad de carga del marco aumenta 54.5%. Además de aumentar su capacidad de incursionar en su intervalo no lineal por la formación de una mayor cantidad de articulaciones plásticas, en estructuras reales esto aumenta la disipación de energía por histéresis, evita la acumulación de daño en los elementos y disminuye la demanda de ductilidad debida a torsión inelástica. Ahora, si consideramos que los elementos de los dos marcos tienen las mismas secciones al considerar que el momento plástico Mp en las dos estructuras es idéntico, se puede justificar reducir las secciones del marco de la figura 7b para obtener una capacidad de carga semejante a la del marco de la figura 7a, lo que demuestra que se pueden obtener secciones menos robustas en estructuras más redundantes.

a) ne=6 b) ns=7 c) ns=6

d) ne=6 e) ns=6 f) ns=4

Articulación plástica



3 INVESTIGACIÓN PREVIA

A pesar de su importancia en el desempeño de las estructuras ante sismos intensos, la redundancia estructural ha sido relativamente poco estudiada. La mayor parte de los estudios disponibles tienen un enfoque probabilista (Feng y Moses 1986, Frangopol y Curley 1987, Fu y Frangopol 1990, Paliou et al. 1990, Bertero y Bertero 1999) o mixto (Husain y Tsopelas 2004, Tsopelas y Husain 2004, Fallah et al. 2009). De los pocos estudios recientes disponibles, los investigadores que los realizaron no están de acuerdo en combinar sus efectos con otras variables, como se hace hasta la fecha en algunos reglamentos vigentes (por ejemplo, Bertero y Bertero 1999, Tsopelas y Husain 2004). Por su relación con la investigación reportada en Cortés (2012), destacan los estudios de Bertero y Bertero 1999, Husain y Tsopelas 2004 y Tsopelas y Husain (2004).

Figura 7 Análisis plástico de marcos de una y dos crujías

Bertero y Bertero (1999) analizaron los efectos de la redundancia en la probabilidad de falla estructural, haciendo hincapié en las relaciones que existen con la ductilidad y la sobrerresistencia. Los autores enfatizan las dificultades que existen para definir y cuantificar los efectos de la redundancia en el contexto particular de diseño sismo-resistente y proponen dos definiciones diferentes de redundancia basadas en la probabilidad de falla del sistema estructural. Conforme a los resultados obtenidos en su estudio, ellos concluyen que aunque la redundancia puede ocasionar varios efectos benéficos en las respuestas ante sismos, el componente del factor de reducción R (Q´ en los reglamentos mexicanos) debido a la redundancia (RR) no puede establecerse independientemente de la sobrerresistencia y la ductilidad del sistema estructural. También concluyen que para tomar ventaja de la redundancia desde un punto de vista probabilístico es necesario, entre otros aspectos: a) reducir el coeficiente de variación de la demanda con respecto al coeficiente de variación de la capacidad suministrada, b) aumentar la sobrerresistencia, c) aumentar la capacidad de rotación plástica en función de la ductilidad y, d) garantizar una rotación plástica mínima en todos los elementos que componen al sistema estructural de manera que puedan seguir el patrón de deformación de la estructura sin fallas repentinas y

a) � =

� b) � = �



así permitan a otros elementos disipar la energía de entrada del sismo, es decir, permitan redistribuir el daño.

Husain y Tsopelas (2004a) presentaron un método basado en análisis

estáticos no lineales ante carga lateral monótona creciente (“pushover”) para cuantificar los efectos deterministas y probabilistas de la redundancia en la resistencia lateral de sistemas estructurales por medio de dos índices, el índice de resistencia por redundancia (rS) y el índice de variación por redundancia (rv), cuyo objetivo principal fue desarrollar un método simple para evaluar el factor de reducción por redundancia RR (Tsopelas y Husain 2004). El estudio se hizo con base en marcos planos de concreto reforzado, donde se hizo variar el número de niveles de los marcos de 3, 5, 7 y 9, además del número de crujías de 1, 2, 4 y 6. Para tomar en cuenta el efecto de la ductilidad, se diseñaron genéricamente las vigas con ductilidades teóricas de 1.5 a 16.

El índice de resistencia por redundancia (rS) captura la capacidad de un

sistema estructural de redistribuir cargas de los elementos donde se formaron articulaciones plásticas hacia elementos menos demandados. El índice es calculado con la ecuación 1, donde Vu es el cortante basal máximo alcanzado por la estructura con características redundantes, y VnR es el cortante basal máximo desarrollado de un sistema no redundante. Este cortante basal máximo desarrollado por la estructura no redundante, puede ser representado por el cortante en la base de la misma estructura en análisis hasta la formación de la primera articulación plástica.

(1)

El índice rV, se calcula con la ecuación 2, deducida a partir de marcos de

concreto en dos dimensiones. Este factor puede variar desde cero, que corresponde a una estructura con mucha redundancia, hasta uno, que describe a una estructura isostática. En la ecuación 2, n es el número de articulaciones plásticas necesarias para causar el mecanismo de colapso, y ̅ es el coeficiente de correlación promedio de las deformaciones. √ ̅ (2)

El factor de redundancia RR se calcula a partir de los dos índices descritos

antes (ecuación 3), donde k es el factor de forma de la resistencia y toma valores entre 1.5 y 2.5, y ve es el coeficiente de variación de las fuerzas y su valor varía entre 0.08 y 0.014. En el producto kve puede ser usado con razonable exactitud un valor de 0.2. (3)

Husain y Tsopelas (2004) concluyen que el factor de redundancia RR depende de: a) el número de crujías, b) las longitudes de los claros de las crujías, c) el número de niveles, d) los patrones de cargas laterales, e) las cargas


distribuidas sobre las vigas y f) la ductilidad local de los elementos. Entre los efectos más significativos que observaron en su estudio al variar las propiedades de la estructura, se encuentran los siguientes: Un aumento de la ductilidad local de las vigas de 1.5 a 3.0 mejora

significativamente el factor de redundancia de los marcos, pero para ductilidades mayores a 10 el factor de redundancia ya no aumenta de manera apreciable.

El factor por redundancia para marcos dúctiles de una crujía aumenta notablemente añadiendo crujías extras; sin embargo, este efecto ya no es tan pronunciado para marcos con cuatro o más crujías.

La flexibilidad de las vigas calculadas por la relación de claro a peralte de la viga causa un aumento en el factor de redundancia. Este efecto positivo puede interpretarse como consecuencia de la capacidad de deformación de las vigas con relaciones altas de claro a peralte, lo que mejora la distribución de cargas a elementos menos demandados.

Las cargas de gravedad distribuidas sobre las vigas aumentan considerablemente el factor de redundancia. Esto es consecuencia de que los momentos causados por las fuerzas de gravedad aumenta el momento flexionante en un extremo de la viga y disminuye el del otro extremo, esto causa la formación temprana de la articulación en un extremo de la viga y retrasa la formación de la articulación en el otro extremo. Este comportamiento de la estructura causa el retraso de la formación del mecanismo de colapso.

El método presentado por Husain y Tsopelas es robusto. Sin embargo,

desde el punto de vista de la práctica profesional, tiene la desventaja que las variables necesarias para la obtención del factor de redundancia RR, deben obtenerse con base en análisis no lineales ante carga monótona creciente (pushover), lo que aún hoy en día no es práctica común en los despachos de diseño estructural de México. En la actualidad este tipo de factores deben de ser transparentes para los ingenieros estructuristas, y estar en función de variables sencillas de identificar como el número de crujías resistentes en la dirección de análisis.

Finalmente, Tena-Colunga (2004) evaluó deterministamente el impacto que tiene aumentar una línea de defensa más a dos edificios con base en marcos dúctiles de concreto reforzado, irregulares en elevación (escalonados y esbeltos en una dirección), que son dinámicamente similares y que fueron diseñadas conforme a las NTCS-95 (1995). El edificio original consta de marcos de una crujía en la dirección corta (figura 8a), mientras que el edificio dinámicamente consta de marcos con dos crujías en esa misma dirección (figura 8b).


Figura 8 Edificios irregulares con base en marcos dúctiles de concreto reforzado

diseñados conforme a las NTCS-95 para ser dinámicamente similares

Figura 9 Envolvente de las articulaciones plásticas y fluencias de los marcos en la dirección corta de los edificios de la figura 8 cuando se sujetan al registro de aceleración SCT85-EW

Al realizar simulaciones numéricas con registros acelerométricos

compatibles con el espectro de diseño sísmico empleado, se obtuvo que mientras el edificio con marcos de una sola crujía en la dirección esbelta experimentaría teóricamente su colapso total por desarrollar articulaciones plásticas tanto en vigas como columnas en todos los niveles (figura 9a), el edificio que dispone de marcos de dos crujías en la dirección esbelta desarrollaría principalmente rotaciones plásticas en las vigas y fluencias en algunas columnas de entrepisos intermedios. El estudio ilustró puntualmente la importancia de la redundancia en el comportamiento de las estructuras, y cómo al aumentar la redundancia estructural, aunque sea la inclusión de una línea de crujías extra, puede proteger a los edificios de posibles colapsos, aún a los que son irregulares.

4 REGLAMENTACIÓN VIGENTE Hasta donde saben los autores, la primera propuesta reglamentaria para introducir un factor de reducción por redundancia () fue hecha por el reglamento UBC-97 (1997) y desde ese entonces el concepto ha evolucionado en las recomendaciones de diseño sísmico más recientes de los Estados Unidos (ASCE-7 2010). ASCE-7

a) Marcos de una crujía en la dirección esbelta

b) Marcos de dos crujías en la dirección esbelta

a) Marcos de una crujía

b) Marcos de dos crujías


En el documento ASCE-7 (2010), el factor de corrección por redundancia estructural, ρ, se toma en cuenta en las combinaciones de carga utilizadas durante el análisis de la estructura mediante la consideración de los efectos sísmicos E: (4)

(5)

donde E es el efecto combinado de fuerzas horizontales y verticales inducidas por el sismo; D es el efecto de la carga muerta, QE es el efecto de la fuerza sísmica horizontal y SDS es la aceleración del espectro de diseño para periodos cortos.

Se tomará ρ=1.0 cuando se cumplan las siguientes características:

Estructuras asignadas a la categoría de diseño sísmico B o C En el cálculo de distorsiones de entrepiso y efectos P- Diseño de componentes no estructurales Diseño de estructuras que no sean similares a edificios Cargas de diseño de diafragmas Estructuras con sistemas de amortiguamiento

Para estructuras asignadas a la categoría de diseño D, E o F, ρ=1.3, a no ser que una de las condiciones siguientes se cumpla, por lo cual se permite que ρ=1.0:

a) Estructuras que son regulares en planta y elevación que son provistas con un sistema de resistencia ante carga lateral que consiste de al menos dos crujías perimetrales en cada lado de la estructura y en cada dirección ortogonal de cada entrepiso. El número de crujías para muros de cortante va a ser calculado como la longitud del muro dividido por la altura de entrepiso o dos veces la longitud del muro dividido entre la altura de entrepiso para estructuras de marcos ligeros.

b) Cada entrepiso de la estructura resiste más del 35% del cortante basal.

En el ASCE-7 con el factor ρ se toma en cuenta el riesgo sísmico de la zona donde se construirá la estructura, que se considera en la asignación de la categoría de diseño sísmico, ya sea por periodos cortos (SDS) o periodos de un segundo (S1). Además, considera la importancia de la construcción, castigando a estructuras que necesitan estar en funcionamiento después de algún sismo o desastre natural; esto se hace considerando el uso de la estructura en la asignación de las categorías de diseño sísmico. Por último, con el factor ρ se castiga a estructuras donde gran parte de su resistencia depende de un solo elemento, por ejemplo, cuando un elemento proporciona más del 33% de la resistencia de un entrepiso.


5 MOC-2008

El Manual de Obras Civiles (MOC-2008 2009) de Comisión Federal de Electricidad es la primera normatividad de México en introducir un factor de reducción por redundancia (MOC-2008 2009, Tena-Colunga et al. 2009), pero la manera en que se toma en cuenta es distinta a como lo hacen los reglamentos de Estados Unidos referidos anteriormente.

En el MOC-2008 (2009) se proponen modificar las aceleraciones del

espectro de diseño, además de en función de la ductilidad (Q´) y la sobrerresistencia (R), por la redundancia () del sistema estructural (figura 10):

(6)

Figura 10 Reducción del espectro elástico de diseño del MOC-2008 por concepto de ductilidad (Q´), sobrerresistencia (R) y redundancia ()

El factor de redundancia, ρ, se toma en cuenta para cada dirección ortogonal de análisis de la manera siguiente:

ρ=0.8 en estructuras con al menos dos marcos o líneas de defensa paralelas en la dirección de análisis, cuando se disponga de marcos de una sola crujía o estructuraciones equivalentes (un solo muro por línea de defensa paralela, etc.). ρ=1.0 en estructuras con al menos dos marcos o líneas de defensa paralelas en la dirección de análisis y que cada marco o línea de defensa disponga de al menos dos crujías o estructuraciones equivalentes. ρ=1.25 en estructuras con al menos tres marcos o líneas de defensa paralelas en la dirección de análisis y que cada marco o línea de defensa disponga de al menos tres crujías o estructuraciones equivalentes.

Con la introducción del factor de redundancia en el MOC-2008, se

reconoce directamente que la estabilidad, la capacidad de deformación y la resistencia adicional de las estructuras aumentan a medida de que éstas son más redundantes. El propósito de es premiar con reducciones mayores el diseño de estructuras más redundantes (de mejor comportamiento) y castigar o desincentivar

a

a0

b c

TTa

Tb

Tc

Elástico

Inelástico

Q´R p

a0

R p Desplazamiento

Fuerza

Sistema inelástico (EPP)

Sistema elástico

Q´R

QR r

r


el diseño de los sistemas menos redundantes, de comportamiento más incierto, propensos a concentrar las deformaciones inelásticas y, con ello, a desarrollar menor ductilidad y/o resistencia adicional.

La propuesta de corrección por redundancia considera que ésta ya ha sido

de alguna manera tomada en cuenta indirectamente en los valores del factor de comportamiento sísmico Q y del factor de reducción por sobrerresistencia, R, por lo que se requieren hacer ajustes para los sistemas más redundantes y menos redundantes. En todos los casos, se enfatiza que cualquier estructura debe poseer al menos dos marcos o líneas de defensa paralelas en la dirección de análisis, por lo que no será aceptable estructurar edificios con una sola línea de defensa en la dirección de análisis, como pudiera ser, por ejemplo, una estructuración tipo péndulo invertido.

Las estructuraciones donde se propone ρ=1.0 corresponden

esencialmente a aquéllas con la tipología más generalmente utilizada en estudios en los que se basan algunas de las propuestas de los factores de reducción por sobrerresistencia. Se solicita además un mínimo de dos crujías por marco, con base en los resultados de los estudios presentados por Husain y Tsopelas (2004), Tsopelas y Husain (2004) y Tena-Colunga (2004). Se propone ρ=1.25 para sistemas redundantes, con base en estudios relativamente recientes, donde se ha comprobado que este tipo de sistemas son capaces de desarrollar demandas de deformación y factores de sobrerresistencia mayores a los propuestos en su diseño (Tena-Colunga et al. 2008). Se propone ρ=0.8 para los sistemas poco redundantes, como los marcos de una sola crujía tomando en cuenta lo siguiente: (a) la vulnerabilidad de este tipo de estructuraciones manifestada en sismos anteriores, particularmente si tienden a ser esbeltas, como se ilustró en la introducción, (b) esta estructuración tiende a concentrar la plasticidad y a que se formen mecanismos frágiles de piso débiles o mixtos con plasticidad concentrada en columnas (por ejemplo, Tena-Colunga 2004) y, (c) algunos estudios conducidos en marcos de concreto reforzado de una sola crujía para estimar factores de sobrerresistencia han reportado valores de R=1.5 o inferiores. 6 ALCANCE DEL ESTUDIO

El objetivo principal del estudio presentado con detalle en Cortés (2012) fue determinar el impacto en el factor de redundancia () de aumentar el número de crujías en edificios con marcos dúctiles de concreto reforzado de distintos niveles, utilizando análisis no lineales con carga monótonamente creciente (pushover), y así poder valorar qué tan acertada o no es la propuesta del MOC-2008 (2009), pues como se señala en los comentarios de dicho documento: “Aunque la propuesta se basa en los resultados de varios estudios, también está basada en la intuición y la experiencia, por lo que es susceptible de revisión y de mejoras que se verán reflejadas en futuras revisiones de este cuerpo normativo”.


7 MODELOS ESTRUCTURALES

Para alcanzar los objetivos planteados en este trabajo de investigación, el primer paso consistió en diseñar edificios con base en marcos dúctiles de concreto reforzado regulares en planta y elevación ante un cortante basal V/W=0.1. El diseño se realizó conforme a las Normas Técnicas Complementarias para Diseño de Estructuras de Concreto vigentes (NTCC-04 2004). Los marcos en estudio tienen las siguientes características:

Marcos con un mismo claro L=7 m y altura de entrepiso H=3.5 m (figura 11), con alturas de 4, 8, 12 y 16 niveles. En cada marco antes descrito se varió el número de crujías: 1, 2, 3 y 4. A estos modelos se les identifica más adelante como “modelos acoplados”

Marcos con una altura de entrepiso H=3.5 m y una longitud total fija LTOT=12 m (figura 12), con alturas de 4, 8, 12 y 16 niveles en los cuales se varió el número de crujías: 1 2, 3 y 4. A estos modelos se les identifica más adelante como “modelos de longitud constante”

Las cargas vivas máximas e instantáneas de diseño se tomaron de las

Normas Técnicas Complementarias sobre Criterios y Acciones para el Diseño Estructural de las Edificaciones (NTCCA-04 2004). En entrepisos se utilizaron las cargas correspondientes a uso de oficinas y en el último nivel se tomaron las cargas de azoteas con pendiente no mayor a 5%. Para las cargas muertas se cuantificó el peso de cada elemento estructural y no estructural que comúnmente se encuentran actuando en una oficina. Las cargas se supusieron uniformemente distribuidas sobre la losa. En el análisis y diseño de los marcos se consideraron las combinaciones de carga permanentes 1.4(CMUE + WMAX) y acciones accidentales 1.1(CMUE +WINS).


Figura 11 Planta tipo de los edificios diseñados con crujías con claros de L=7m

Dado que por simplicidad para la comparación de la respuesta de los

distintos modelos se fijo el cortante basal de diseño al 10% del peso total del edificio (V=0.10W), los edificios se diseñaron mediante el método estático conforme a las NTCS-04 (2004), el cual toma en cuenta la participación de modos superiores en el patrón de carga lateral para estructuras de periodo largo (en la rama descendente del espectro). Conforme al método estático de las NTCS-04, la distribución de fuerzas laterales se hace de la siguiente manera: ∑ (7) (8)

[ ] ∑ ∑ (9)

7 ∑ ∑ (10)

L

L

L L

LL

L L L

LL

L

L

L

L L

LL

L L L

LL

L

a) Marco acoplado de una crujía b) Marco acoplado de dos crujías

L

L

L L

LL

L L L

LL

L

L L L L

LL

LL

LLLLL

LL

LL

L

c) Marco acoplado de tres crujías d) Marco acoplado de cuatro crujías

Dirección del análisis



Donde Fi, Wi y hi son la fuerza lateral, el peso y la altura del i-ésimo nivel de la estructura sobre el terreno, respectivamente, T es el periodo de la estructura y Tb es el periodo característico que define el final de la meseta y el inicio de la rama descendente del espectro de diseño.

Figura 12 Planta tipo de los edificios diseñados con una longitud total fija LTOT=12m

El análisis de los modelos se hizo con el programa SAP 2000 (CSI-2005

2005), bajo las siguientes hipótesis: 1) un empotramiento perfecto en la base de las columnas de todos los modelos, 2) se consideraron las inercias brutas de las secciones vigas y columnas, por las razones que se explican con detalle en otros trabajos (Tena-Colunga et al. 2008 y Tena et al. 2012), 3) una rigidez infinita de los nudos viga-columna igual al 50% de sus dimensiones nominales y 4) el concreto tiene las siguientes propiedades índice: f´C = 250 kg/cm2, √ , y .

En el diseño de los marcos se intentó llegar a la distorsión de entrepiso

límite de 0.03 (3%) que se establece en el Apéndice A de las NTCS-04 (2004). Las distorsiones de entrepiso de diseño se obtuvieron multiplicando las distorsiones obtenidas de los análisis elásticos, por el factor de comportamiento sísmico (Q=4) y por el factor de sobrerresistencia (R) correspondientes según las mismas NTCS-04. Las envolventes de distorsiones de entrepiso de diseño se presentan con detalle en Cortés (2012). Las distorsiones de entrepiso máximas de diseño para cada modelo se resumen en las tablas 1 y 2. En dichas tablas se aprecia que las


12 m

6 m 6 m a) Marco de longitud constante de una crujía b) Marco de longitud constante dos crujías

4 m 4 m 4 m

3 m 3 m 3 m 3 m c) Marco de longitud constante de tres crujías d) Marco de longitud constante de cuatro crujías



distorsiones máximas de diseño de los modelos de 4 niveles son las más bajas, debido a que en estos modelos rigieron el diseño de muchos elementos las combinaciones de cargas verticales. En general, las distorsiones de diseño más altas se obtuvieron para los modelos menos redundantes (con menos crujías), lo cual es más notorio en los modelos definidos como de longitud constante (tabla 2), ya que al aumentar el número de crujías, se reduce su claro (figura 12), y por tanto, son cada vez más rígidos.

Tabla 1 Resumen de los diseños para los modelos acoplados (L=7m)

Modelo max (%)

+vigas

(%) -

vigas (%)

columnas (%) Modelo

max (%)

+vigas

(%)

-

vigas (%)

columnas (%)

M1-4ACO 1.4 0.79-

1.01 0.44-0.51

1.0-1.3 M1-12ACO 2.5 0.92-

1.13 0.69-0.80

1.2-1.3

M2-4ACO 1.3 0.82-

1.04 0.42-0.52

1.2-1.3 M2-12ACO 1.85 0.83-

1.14 0.50-0.76

1.2-1.3

M3-4ACO 1.2 0.82-

1.04 0.42-0.52

1.2-1.3 M3-12ACO 1.85 1.04-

1.20 0.62-0.82

1.2-1.3

M4-4ACO 1.2 0.82-

1.04 0.42-0.52

1.2-1.3 M4-12ACO 1.85 0.99-

1.21 0.66-0.73

1.2-1.3

M1-8ACO 2.2 1.04-

1.15 0.59-0.69

1.2-1.3 M1-16ACO 2.8 0.83-

1.20 0.67-0.95

1.2-1.3

M2-8ACO 2.0 1.06-

1.18 0.58-0.70

1.2-1.3 M2-16ACO 2.5 1.00-

1.39 0.78-1.09

1.2-1.3

M3-8ACO 1.9 0.91-

1.12 0.52-0.66

1.2-1.3 M3-16ACO 1.7 0.79-

1.12 0.53-0.83

1.2-1.3

M4-8ACO 1.85 0.91-

1.12 0.52-0.66

1.2-1.3 M4-16ACO 1.6 0.79-

1.12 0.53-0.83

1.2-1.3

Tabla 2 Resumen de los diseños para los modelos de longitud constante (LTOT=12m)

Modelo max (%)

+vigas

(%) -

vigas (%)

columnas (%) Modelo

max (%)

+vigas

(%) -

vigas (%)

columnas (%)

M1-4LC 1.65 0.81-

1.10 0.41-0.58

1.0-1.3 M1-12LC 2.8 1.10-

1.25 0.44-0.76

1.2-1.5

M2-4LC 1.3 0.59-

0.69 0.33-0.35

1.2-1.4 M2-12LC 1.85 1.01-

1.19 0.79-0.95

1.2-1.3

M3-4LC 0.9 0.46-

0.63 0.32-0.42

1.3 M3-12LC 1.8 0.95-

1.09 0.87-0.99

1.2-1.5

M4-4LC 0.9 0.64-

0.73 0.52-0.58

1.3 M4-12LC 1.2 0.97-

1.17 0.93-1.13

1.2-1.5

M1-8LC 2.5 0.94-

1.18 0.48-0.66

1.0-1.3 M1-16LC 2.95 1.00-

1.24 0.54-0.89

1.2-1.3

M2-8LC 1.4 0.76-

0.92 0.42-0.58

1.0-1.3 M2-16LC 2.2 1.09-

1.29 0.88-1.21

1.0-1.5

M3-8LC 1.2 0.76-

1.03 0.51-0.85

1.2-1.3 M3-16LC 1.75 0.93-

1.22 0.83-1.19

1.2-1.6

M4-8LC 1.2 0.79-

1.04 0.69-0.92

1.2-1.3 M4-16LC 1.35 0.92-

1.22 0.92-1.12

1.2-2.2


Los diseños de los modelos se realizaron siguiendo las disposiciones para marcos dúctiles que establecen de las NTCC-04 (2004). El diseño se hizo siguiendo los pasos establecidos en las NTCC-04 para obtener un mecanismo de falla columna fuerte-viga débil conforme a principios de diseño por capacidad. Para fines de diseño, se consideró el cambio de las secciones de vigas y columnas como se indica esquemáticamente con colores en la figura 13. Se distinguió además en el diseño (refuerzos) a columnas exteriores de interiores y a vigas exteriores de interiores. Los detalles de los diseños (secciones, armados, detallado, capacidades nominales, etc.) se presentan en Cortés (2012). En las tablas 1 y 2 se presentan los intervalos en los que variaron los cuantías de refuerzo a flexión de vigas y columnas, donde se aprecia que, en efecto, se tuvo el cuidado que estas fueran razonables (menores o cercanas al 1% a tensión en vigas y lo más cercanas al 1%-1.5% en columnas) para garantizar un comportamiento dúctil de dichos elementos.

Para ilustrar un poco el impacto en las secciones transversales requeridas

por los diseños, en los “modelos acoplados” (tabla 1), las columnas exteriores de los primeros niveles variaron de 60x60 cm (M1-4ACO) y 80x80 cm (M4-4ACO) para los modelos de 4 niveles a 120x120 cm (M1-16ACO y M4-16ACO) para los modelos de 16 niveles; en cambio, para los modelos de longitud constante (tabla 2), las columnas exteriores de los primeros niveles variaron de 80x80 cm (M1-4LC) y 60x60 cm (M4-4LC) para los modelos de 4 niveles a 140x140 cm (M1-16LC) y 110x110 (M4-16LC) para los modelos de 16 niveles. Extrapolando esta información, las cuantías de refuerzo para las columnas respectivas identificadas en las tablas 1 y 2, más la geometrías de los modelos (figuras 11 y 12), se comprueba que, a medida que aumenta la altura, los marcos menos redundantes de una crujía (modelos M1-) requieren de mayores secciones de columnas para poder satisfacer tanto los requisitos de rigidez lateral (porque aumenta más significativamente la esbeltez en el caso de los modelos acoplados), como de resistencia (por la progresiva axialización de las columnas exteriores ante carga lateral). En contraste, mientras más líneas de defensa existan (marcos M4-), el cambio requerido de secciones por rigidez y resistencia es más gradual.

a) 16 niveles b) 12 niveles c) 8 niveles d) 4 niveles

Figura 13 Cambios de secciones transversales de vigas y columnas considerados en los modelos, indicados esquemáticamente con el cambio de colores


8 ANÁLISIS NO LINEALES

Se realizaron análisis no lineales ante carga monótona creciente (“pushover”) con el programa DRAIN-2DX (Prakash et al. 1992). En el modelado de los marcos se hicieron las mismas consideraciones que en el modelado elástico con el SAP-2000, que fueron las siguientes: 1) inercias brutas para definir las rigideces elásticas, 2) 50% del nudo viga-columna se modeló como zona de rigidez infinita, 3) condición de empotramiento perfecto en la base, 4) las cargas gravitacionales fueron incluidas, 5) el sistema de piso se comporta como un diafragma rígido y, 6) se utilizaron los mismos patrones de cargas laterales que se emplearon para realizar los diseños.

Para asegurar que existiera compatibilidad dinámica entre las estructuras

modeladas en el software SAP-2000 y DRAIN-2DX, se compararon los periodos elásticos fundamentales de la estructura, ya que en función de este periodo se obtuvo el patrón de cargas laterales (cargas sísmicas). En las tablas 3 y 4 se presentan las comparaciones entre periodos obtenidos con SAP2000 y DRAIN-2DX, donde se concluye que las diferencias, debidas principalmente a la diferencia que existe en la modelación de las zonas de rigidez infinita entre el SAP-2000 (tridimensional) y el DRAIN-2DX (plano), son despreciables para fines prácticos, más tomando en consideración que los análisis no lineales a realizar son estáticos.

Para los análisis no lineales propiamente dichos, las vigas y columnas se

modelaron con el elemento tipo viga-columna de su librería que considera la posibilidad de formar rótulas plásticas en sus extremos, definiendo en cada caso las superficies de falla conforme lo recomienda dicho programa para estructuras de concreto reforzado y con base en los armados obtenidos y que se presentan con detalle en Cortés (2012). La acción de la losa como diafragma rígido se modeló a partir de elementos elásticos infinitamente rígidos, teniendo como única función transmitir las fuerzas cortantes entre cada uno de los marcos, sin posibilidad de disipar energía por comportamiento inelástico ni por amortiguamiento. Se consideraron los efectos P-.

Tabla 3 Periodos fundamentales elásticos calculados para los modelos acoplados (L=7m)

Modelo T (s) SAP-2000

T (s) DRAIN-

2DX

Diferencia (%) Modelo

T (s) SAP-2000

T(s) DRAIN-

2DX

Diferencia (%)

M1-4ACO 0.676 0.664 1.77 M1-12ACO 1.321 1.329 0.60 M2-4ACO 0.640 0.637 0.46 M2-12ACO 1.229 1.211 1.46 M3-4ACO 0.640 0.647 1.08 M3-12ACO 1.210 1.214 0.33 M4-4ACO 0.612 0.612 0 M4-12ACO 1.227 1.231 0.32 M1-8ACO 1.094 1.094 0 M1-16ACO 1.457 1.441 1.09 M2-8ACO 1.101 1.082 1.72 M2-16ACO 1.467 1.458 0.61 M3-8ACO 1.045 1.041 0.38 M3-16ACO 1.321 1.301 1.51 M4-8ACO 1.059 1.023 3.40 M4-16ACO 1.301 1.309 0.61


Tabla 4 Periodos fundamentales elásticos calculados para los modelos de longitud constante (LTOT=12m)

Modelo T (s) SAP-2000

T (s) DRAIN-

2DX

Diferencia (%) Modelo

T(s) SAP-2000

T(s) DRAIN-

2DX

Diferencia (%)

M1-4LC 0.670 0.680 1.47 M1-12LC 1.460 1.470 0.68 M2-4LC 0.592 0.595 0.50 M2-12LC 1.223 1.239 1.29 M3-4LC 0.509 0.500 1.77 M3-12LC 1.079 1.093 1.28 M4-4LC 0.516 0.509 1.36 M4-12LC 1.007 0.991 1.59 M1-8LC 1.138 1.139 0.09 M1-16LC 1.608 1.588 1.24 M2-8LC 0.882 0.886 0.45 M2-16LC 1.446 1.442 0.28 M3-8LC 0.828 0.834 0.72 M3-16LC 1.264 1.276 0.94 M4-8LC 0.800 0.813 1.60 M4-16LC 1.144 1.132 1.05

En la definición de las superficies de falla de todos los modelos en estudio,

se determinaron las resistencias a flexión de las trabes y a flexocompresión y flexotensión de las columnas de cada modelo considerando: El área real provista de refuerzo, incluyendo la aportación del refuerzo a

compresión de las vigas.

La curva esfuerzo-deformación “real” del concreto reforzado utilizando el modelo de Kent y Park modificado para tomar en cuenta el confinamiento provisto (Park et al. 1982).

La curva esfuerzo-deformación real del acero de refuerzo empleando el modelo de Rodríguez y Botero (1995) para aceros de refuerzo mexicanos.

El patín equivalente de la losa según NTCC-2004 así como el acero de refuerzo contenido dentro de esta porción de losa, al ser diseñadas de inicio las vigas como T

Los análisis estáticos no lineales ante carga monótona creciente se

controlaron por incrementos de desplazamientos y para cada modelo en estudio se dejaron correr hasta que la estructura presentaba inestabilidad numérica. Posteriormente, los resultados obtenidos fueron revisados para determinar si el nivel de deformación último de la estructura era realista. Esto se hizo monitoreando las rotaciones plásticas de las vigas y columnas con los diagramas momento-curvatura obtenidos a partir del software BIAX (Wallace y Moehle 1989). Se procesaron entonces los resultados de los análisis no lineales considerando solamente hasta el paso de integración (incremento de desplazamiento) donde se asegura que las rotaciones plásticas obtenidas no excedieran en demasía las rotaciones plásticas máximas calculadas para cada sección en función de su geometría, armado y detallado, es decir, se cortaron (truncaron) algunos puntos calculados numéricamente, pero que ya no eran congruentes con el modelo estudiado. Se verificó entonces que el mecanismo de colapso exhibido por la estructura fuera dominantemente del tipo columna fuerte-viga débil (por ejemplo, figura 14), y entonces se trazaron las curva de capacidad global de la estructura (cortante basal vs distorsión entre la base y la azotea) además de sus curvas globales primarias (idealizaciones bilineales de las curvas obtenidas del análisis).


Figura 14 Mapeo de fluencias inelásticas al instante del colapso teórico de algunos de los

modelos en estudio

8.1 Curvas globales cortante-distorsión

Las curvas globales de capacidad (cortante basal vs distorsión global base-azotea) obtenidas se muestran en las figuras 15 y 16. En estas figuras se observa claramente que la rigidez de los sistemas aumenta al aumentar el número de líneas de defensa (crujías), pero presentadas de esta manera es difícil evaluar cualitativamente el impacto de la redundancia y la altura de las estructuras en su capacidad relativa de deformación (ductilidad).

Por ello, se decidió normalizar a las curvas globales de capacidad de la

siguiente manera. Las abscisas (distorsiones) se normalizaron con respecto a la distorsión de la primera fluencia o donde termina el límite proporcional teóricamente (y o DistorsiónLP), y las ordenadas (cortante basal) se normalizaron con respecto al cortante basal de diseño. Con esta doble normalización es más fácil comparar el comportamiento entre estructuras de una misma altura, así como entre estructuras de diferentes alturas y, con ello, valorar el impacto de la redundancia tanto en la ductilidad como en la resistencia.

a) Modelo M3-16LC

b) Modelo M4-16LC

Exterior Interior

c) Modelo M3-16ACO


Figura 15 Curvas globales cortante-distorsión para los modelos acoplados (L=7m)

En las figuras 17 y 18 se presentan las curvas globales de capacidad

normalizadas, agrupadas por niveles y tipo de estructuración (marcos analizados como acoplados o marcos analizados como individuales).

Para los modelos acoplados (figuras 11 y 17) se pueden hacer las

siguientes observaciones. Se aprecia que para alturas entre 4 y 12 niveles (figuras 17a a 17c), los modelos de una crujía fluyen primero y desarrollan una mayor ductilidad que los modelos de más crujías; sin embargo, la resistencia lateral normalizada por los modelos de una crujía es menor que para los modelos de más crujías (salvo para 8 niveles, donde es similar, figura 17b). Las curvas globales de capacidad normalizadas de los modelos más redundantes (dos, tres y cuatro crujías) son muy parecidas entre 4 y 12 niveles. Sin embargo, para la altura de 16 niveles (figura 17d) es cuando se comienza a ver un efecto más favorable de la redundancia, pues la ductilidad y la resistencia lateral normalizada desarrolladas por los modelos más redundantes (3 y 4 crujías) es mayor que para los modelos menos redundantes (1 y 2 crujías). Dado que en los modelos acoplados estudiados básicamente la relación entre el área en planta por cubrir y el claro de la crujía es una constante (figura 11), quizá este hecho haga que el impacto de la redundancia no sea tan importante en estructuras de poca a mediana altura y, por lo tanto, quizás no sean los mejores modelos para evaluar la redundancia estructural.

a) 4 Niveles

b) 8 Niveles

c) 12 Niveles

d) 16 Niveles

0 1 2 3 4 5 6 7 8

x 10-3

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

DistorsiónAZOTEA

VB (

ton)

Pushover M1-4ACOPushover M2-4ACOPushover M3-4ACOPushover M4-4ACO

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.0120

500

1000

1500

DistorsiónAZOTEA

VB (

ton)


0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.0140

500

1000

1500

2000

2500

DistorsiónAZOTEA

VB (

ton)


0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.0160

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

DistorsiónAZOTEA

VB (

ton)



Figura 16 Curvas globales cortante-distorsión para los modelos de longitud constante (LTOT=12m)

Figura 17 Curvas globales normalizadas cortante-distorsión para los modelos acoplados

(L=7m) Para los modelos de longitud constante, que son más representativos de

las elecciones que pueden tomar en conjunto arquitectos e ingenieros al momento de decidir cuántos marcos emplean para darle solución a la estructura de un

a) 4 Niveles

b) 8 Niveles

c) 12 Niveles

d) 16 Niveles

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.0160

10

20

30

40

50

60

70

80

90

DistorsiónAZOTEA

VB (

ton)

Pushover M1-4LCPushover M2-4LCPushover M3-4LCPushover M4-4LC

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.0140

50

100

150

DistorsiónAZOTEA

VB (

ton)


0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.0120

50

100

150

200

250

DistorsiónAZOTEA

VB (

ton)


0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.0180

50

100

150

200

250

300

350

400

DistorsiónAZOTEA

VB (

ton)


a) 4 Niveles

b) 8 Niveles

c) 12 Niveles

d) 16 Niveles

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.5

1

1.5

2

2.5

3

DistorsiónDRAIN2DX

/ DistorsiónLP

Vb D

RA

IN2D

X / V

b DIS

EÑ

O


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

DistorsiónDRAIN2DX

/ DistorsiónLP

Vb D

RA

IN2D

X / V

b DIS

EÑ

O


0 1 2 3 4 5 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

DistorsiónDRAIN2DX

/ DistorsiónLP

Vb D

RA

IN2

DX /

Vb D

ISE

ÑO


0 1 2 3 4 5 6 70

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

DistorsiónDRAIN2DX

/ DistorsiónLP

Vb D

RA

IN2D

X / V

b DIS

EÑ

O



predio dado (figura 12), se pueden hacer las siguientes observaciones con base en los resultados presentados en la figura 18. Para los modelos de 4 niveles (figura 18a), se aprecia que el modelo menos redundante, de una sola crujía (M1-4LC), tiene una adecuada ductilidad y resistencia, es más, éstas son mayores que la de los modelos de dos y tres crujías (M2-4LC y M3-4LC). Aquí cabe señalar que el modelo M1-4LC logró desarrollar estas capacidades debido a que los momentos flexionantes producidos por las cargas gravitacionales son relativamente grandes. Estas cargas gravitacionales hicieron que los momentos flexionantes de diseño obtenidos en el análisis con la combinación de carga debida al sismo, fueran negativos en un extremo de la viga y en el otro extremo sean negativos o valores positivos relativamente bajos. Para marcos dúctiles, las NTCC-04 restringen la relación de momentos resistentes positivos a negativos a 0.5, por lo que las vigas del modelo M1-4LC quedaron sobrediseñadas por momento positivo.

Figura 18 Curvas globales normalizadas cortante-distorsión para los modelos de longitud constante (LTOT=12m)

Es a partir de ocho niveles (figuras 18b, 18c y 18d), donde en todos los modelos dominaron las combinaciones de cargas accidentales con verticales, donde se aprecia claramente el efecto benéfico de aumentar la redundancia de los marcos. Para los modelos de 8 niveles (figura 18b) se aprecia que es principalmente la ductilidad la que aumenta de manera más notable a medida que aumenta el número de crujías seleccionadas, aunque también existen incrementos de la resistencia normalizada. Sin embargo, a medida que aumenta el número de niveles, es más notorio que la capacidad de deformación, la ductilidad y la resistencia van en aumento a medida que aumenta el número de crujías.

Considerando que estos modelos representan (figura 12) las elecciones

que pueden tomar ingenieros y arquitectos al momento de decidir si en el edificio

a) 4 Niveles

b) 8 Niveles

c) 12 Niveles

d) 16 Niveles

0 1 2 3 4 5 6 7 80

0.5

1

1.5

2

2.5

3

DistorsiónDRAIN2DX

/ DistorsiónLP

Vb D

RA

IN2

DX /

Vb D

ISE

ÑO


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

DistorsiónDRAIN2DX

/ DistorsiónLP

Vb D

RA

IN2D

X / V

b DIS

EÑ

O


0 1 2 3 4 5 6 7 80

0.5

1

1.5

2

2.5

DistorsiónDRAIN2DX

/ DistorsiónLP

Vb D

RA

IN2D

X / V

b DIS

EÑ

O


0 2 4 6 8 10 120

0.5

1

1.5

2

2.5

DistorsiónDRAIN2DX

/ DistorsiónLP

Vb D

RA

IN2D

X / V

b DIS

EÑ

O



que están diseñando utilizarán marcos de una, dos, tres o cuatro crujías, podemos concluir que para el nivel del cortante basal de diseño seleccionado, es a partir de estructuras de mediana altura cuando es mejor proveer de crujías extras, pues el incremento de una crujía, aunque sea percibido como mínimo, influirá satisfactoriamente en el comportamiento de las estructuras.

8.2 Ductilidades y sobrerresistencias desarrolladas

Dado que en la sección anterior se estableció que los modelos más representativos para evaluar el efecto de la redundancia son los modelos de longitud constante, en esta sección y las subsiguientes sólo se presentarán los resultados obtenidos para estos modelos.

En la figura 19a se reportan las ductilidades globales desarrolladas, que

conforme a las NTCS-04 y al MOC-2008 corresponderían también al factor de comportamiento sísmico (Q) que estos modelos pudieran desarrollar. En la figura se observa claramente que a excepción del marco de cuatro niveles y una crujía (M1-4LC), con el aumento del número de crujías en la dirección del análisis se incrementa la capacidad de deformación de la estructura. Al comparar las diferencias entre las ductilidades de los modelos de una crujía y cuatro crujías, observamos que esta diferencia crece al aumentar la altura de los modelos, y se hace evidente que la falta de redundancia comienza a afectar a los modelos de una crujía a medida que aumenta la altura. Parte de este aumento de ductilidad se debe a que al aumentar el número de crujías, la relación de momentos resistente positivos a negativos en las vigas se acerca a la unidad, por lo que al aumentar el número de crujías, las cuantías de acero positivas y negativas tienden a ser iguales (ρ’ ≈ ρ). Estas relaciones de acero causan que la capacidad de rotación de las vigas aumente, ya que la profundidad del bloque de esfuerzos a compresión se reduce, y causa que la deformación en el acero en tensión aumente. Si se analizan los mapeos de las fluencias (por ejemplo, figura 20), se observa que en los modelos de una crujía el daño se acumula en ciertos elementos claves para la estabilidad de la estructura. Por el contrario, en los modelos de dos, tres y cuatro crujías, el daño se distribuye entre un mayor número de elementos, permitiéndole a otros elementos seguir rotando y aumentar la capacidad de deformación global de la estructura.

Figura 19 Ductilidad global (Q) y sobrerresistencia (R) desarrolladas para los modelos de longitud constante (LTOT=12m)

a) Ductilidad global (Q)

b) Sobrerresistencia (R)

0 4 8 12 16 201

2

3

4

5

6

7

8

9

Numero de niveles

Duc

tilid

ad,

Q

Marcos de una crujíaMarcos de dos crujíasMarcos de tres crujíasMarcos de cuatro crujías

0 4 8 12 16 201.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

2.6

2.8

Numero de niveles

Sob

rerr

esis

tenc

ia,

R

Marcos de una crujíaMarcos de dos crujíasMarcos de tres crujíasMarcos de cuatro crujías


Las sobrerresistencias que desarrollaron los modelos se calcularon con base en las curvas de capacidad. El factor de sobrerresistencia, R, se calculó como el cociente del cortante basal último obtenido del análisis estático no lineal ante carga monótona creciente (“pushover”) y el cortante basal de diseño, y se presenta en la figura 19b. Se aprecia de dicha figura que, a excepción del modelo de cuatro niveles y una crujía (M1-4LC), existe un patrón bien definido, pues el factor de sobrerresistencia disminuye a medida que: a) aumenta el número de niveles y, b) disminuye el número de crujías, es decir, disminuye la redundancia. Cabe señalar que la diferencia entre la sobrerresistencia desarrollada por los modelos de una y cuatro crujías es más grande a medida que aumenta la altura de los modelos. También cabe señalar que la mayor sobrerresistencia que desarrollan los modelos de 4 niveles se debe al dominio de las combinaciones por cargas verticales en el diseño por flexión de las vigas, algo que ya es reconocido tanto en las NTCS-04 como en el MOC-2008, donde la sobrerresistencia es mayor para las estructuras de periodo corto (generalmente de pocos niveles).

Figura 20 Mapeo de fluencias inelásticas al instante del colapso teórico de los modelos de 8 niveles de longitud constante (LTOT=12m)

9 DETERMINACIÓN DEL FACTOR DE REDUNDANCIA

Los resultados obtenidos de los análisis estáticos no lineales para los modelos de longitud constante muestran que el efecto de aumentar la redundancia estructural impacta tanto en la resistencia como en la capacidad de deformación de los modelos. En el MOC-2008 (2009) ya se toma en cuenta este efecto, al considerar que la redundancia repercute en la resistencia y ductilidad global de la estructura, reduciendo los espectros de diseño en función de Q’, R y ρ, e incrementando las deformaciones obtenidas del análisis elástico multiplicándolas por Q R y ρ (figura 10).

Por lo tanto, para evaluar el efecto de la redundancia con la altura de los

modelos, se obtuvieron dos factores de redundancia: ρCD, que toma en cuenta el aumento en la capacidad de deformación, y ρR, que toma en cuenta el aumento de

a) M1-8LC

b) M2-8LC

c) M3-8LC d) M4-8LC


la resistencia. Para definir estos dos factores de redundancia (ρCD y ρR), se tomaron como punto de partida la propuesta actual del MOC-2008 (2009), asignando entonces un valor de ρCD y ρR igual uno a los modelos que tienen dos crujías en la dirección del análisis.

Para obtener el factor de redundancia ρR, se normalizaron las

sobrerresistencias de los modelos de una, tres y cuatro crujías en función de la sobrerresistencia que desarrolló el modelo de dos crujías: � � � � � (11)

Para obtener el factor de redundancia ρCD, se normalizaron las ductilidades de los modelos de una, dos y tres crujías en función de la ductilidad que desarrolló el modelo de dos crujías: � � � � � (12)

En la figura 21 se presentan los factores de reducción por redundancia ρR

calculados, y se observa que el factor de redundancia ρR se incrementa en los modelos de tres y cuatro crujías, mientras que en los modelos de una crujía, disminuye al aumentar la altura de éstos. Con excepción del modelo de una crujía y cuatro niveles, el comportamiento obtenido en los modelos es el que se esperaba, que en los modelos de tres y cuatro crujías los factores de reducción por redundancia fueran mayores a uno, mientras que en los modelos de una crujía estos factores deberían ser menores a la unidad.

Si se comparan los valores obtenidos con la propuesta del MOC-2008, se

aprecia que para los modelos de tres y cuatro crujías, a los cuales el MOC-2008 les asigna un factor de reducción por redundancia ρ=1.25, no alcanzan este valor. De hecho, quienes están más cercanos a lograrlo son los modelos de cuatro crujías, donde ρR, se incrementa de 1.13 para los modelos de 8 niveles a 1.20 para los modelos de 16 niveles. Para los modelos de una crujía, en el MOC-2008 se propone castigar su diseño utilizando ρ=0.8. Sin embargo, se aprecia que para una crujía, ρR disminuye de 0.94 para los modelos de 8 niveles a 0.90 para los modelos de 16 niveles. Del análisis de los resultados presentados en la figura 21 se concluye que, para los sistemas en estudio, el impacto de la redundancia estructural en la resistencia lateral es un poco menor a lo que se propone actualmente en el MOC-2008, pero que conceptualmente se está en el rumbo correcto.


Figura 21 Factor ρR calculado para los modelos de longitud constante

En la figura 22 se presentan los factores de reducción por redundancia ρCD

calculados, y se observa que el factor de redundancia ρCD sigue el mismo patrón que el factor ρR, pero los efectos en cuanto capacidad de deformación se refiere son mayores a los que se proponen en el MOC-2008. Para los modelos de una crujía, el factor ρCD calculado es menor al factor ρ=0.8 propuesto en el MOC-2008 para los modelos de más de 8 niveles, que son en los que dominaron en el diseño las combinaciones de cargas accidentales y gravitacionales y, por ende, son más representativos.

Figura 22 Factor ρCD calculado para los modelos de longitud constante

Para los modelos de tres crujías se aprecia que el factor ρCD calculado es

cercano o superior a ρ=1.25 propuesto en el MOC-2008, mientras que para los modelos de cuatro crujías el factor ρCD calculado es siempre superior a ρ=1.25. En el MOC-2008 se propone utilizar un factor por reducción de redundancia igual a

0 4 8 12 16 200.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

1.05

1.1

1.15

1.2

1.25

1.3

Numero de niveles

Red

unda

ncia

, R

Marcos de una crujíaMarcos de dos crujíasMarcos de tres crujíasMarcos de cuatro crujías=1.25 (MOC-2008)=1.00 (MOC-2008)=0.80 (MOC-2008)

0 4 8 12 16 200.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

Numero de niveles

Red

unda

ncia

, CD

Marcos de una crujíaMarcos de dos crujíasMarcos de tres crujíasMarcos de cuatro crujías=1.25 (MOC-2008)=1.00 (MOC-2008)=0.80 (MOC-2008)


1.25, mientras que el promedio de este factor de redundancia asociado a la capacidad de deformación es de 1.41 para los modelos de tres y cuatro crujías. 10 CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

En presente artículo se presentó un estudio sobre el impacto que tiene el aumentar la redundancia estructural en edificios con base en marcos dúctiles de concreto reforzado de distintos niveles, utilizando análisis no lineales con carga monótonamente creciente (“pushover”). Estos marcos fueron analizados bajo las recomendaciones del Apéndice A de las NTCS-04, y diseñados como marcos dúctiles de concreto reforzado con las recomendaciones de las NTCC-04. En los análisis no lineales se utilizó un modelado de plasticidad concentrada y se definió que los elementos vigas y columnas presentaran una no linealidad dominada por flexión. Con base en estas limitaciones y con los resultados de este estudio se concluye lo siguiente: En los modelos acoplados no se observó alguna tenencia que indique que

la redundancia afecto a la ductilidad que desarrollan estas estructuras; sin embargo, en cuanto resistencia se refiere, en los modelos de 12 y 16 niveles sí se observa una disminución en la resistencia que desarrollan los modelos de una crujía. En los modelos de longitud constante, se observó que la redundancia estructural juega un papel importante en el diseño de marcos dúctiles de concreto reforzado. Si consideramos que estos marcos son la opción que tienen los diseñadores al momento de estructurar un edificio, el aumento de una crujía, aunque sea percibida como mínima, sí mejora el comportamiento global de la estructura. En virtud de las dos observaciones anteriores, se concluye a-posteriori que quizá no fue lo más acertado considerar modelos acoplados con distintas áreas en planta, como se hizo en este trabajo, y que para evaluar el impacto favorable de la redundancia estructural, se deberían valorar exclusivamente estructuraciones con la misma longitud y/o las mismas áreas en planta. Este último aspecto deberá evaluarse en estudios futuros, comparar el factor de redundancia de estructuras acopladas que, de inicio, resuelven exclusivamente la misma área en planta. En cuanto al efecto de aumentar el número de crujías en las estructuras, se concluye que en estructuras de baja altura es menos significativo el proveerlas de una limitada redundancia estructural, pero toma importancia conforme la altura de los modelos aumenta. Esto se debe a que, para el coeficiente sísmico de diseño considerado (c=V/W=0.10), las combinaciones por carga vertical generalmente dominan los diseños para los marcos de poca altura, mientras que su importancia disminuye a medida que las estructuras tienen más niveles. Las hipótesis generales hechas en el MOC-2008, donde se considera que el aumento de la redundancia estructural aumenta tanto a la resistencia


como a la capacidad de deformación de las estructuras, se cumplen razonablemente para los modelos donde las combinaciones de cargas accidentales con gravitaciones rigieron el diseño (8 a 16 niveles). Cuando las combinaciones de cargas gravitacionales rigieron el diseño de vigas (modelos de 4 niveles), no se observó lo mismo y, para ese tipo de estructuras, la redundancia estructural no tuvo el impacto esperado.

Al analizar los factores de reducción por redundancia obtenidos en este estudio, se concluye que al parecer, para marcos dúctiles de concreto reforzado, la redundancia estructural afecta de manera diferente a la resistencia y capacidad de deformación, siendo más importante su impacto en la capacidad de deformación. En la propuesta actual del MOC-2008, se propone que la reducción por redundancia afecte de la misma manera la resistencia como la capacidad de deformación. También es importante recalcar que al parecer, para marcos dúctiles de concreto reforzado, a medida que aumenta el número de niveles de los edificios, los factores de reducción por redundancia tienden a dejar de crecer y a mantenerse constantes, es decir, a alcanzar un límite. Al comparar los factores de redundancia () propuestos en el MOC-2008 con los factores de redundancia calculados en este estudio, se aprecia que, para marcos dúctiles de concreto reforzado: a) para el factor que toma en cuenta el aumento en la resistencia al aumentar el número de crujías, ρR , los valores de propuestos en el MOC-2008 subestiman a los modelos de una crujía y sobrestiman a los modelos de tres y cuatro crujías y, b) para el factor que toma en cuenta el aumento en la capacidad de deformación al aumentar el número de crujías, ρCD , los valores de propuestos en el MOC-2008 sobrestiman a los modelos de una crujía y subestima a los modelos de cuatro crujías.

Con base en los resultados de este estudio y los de estudios previos citados en este trabajo, se considera que, en aras de la transparencia en el diseño sismorresistente de marcos dúctiles de concreto reforzado y otros sistemas estructurales, sí se justifica que el efecto de la redundancia estructural sea tomado directamente en cuenta mediante un factor de reducción por redundancia.

La propuesta actualmente contenida en el MOC-2008 está

conceptualmente en el rumbo correcto, pero como se reconoce en los comentarios de ese documento: “aunque la propuesta se basa en los resultados de varios estudios, también está basada en la intuición y la experiencia, por lo que es susceptible de revisión y de mejoras que se verán reflejadas en futuras revisiones de este cuerpo normativo”. Por ello, parece que la discusión sobre los ajustes necesarios a hacerse son, entre otros temas: (1) ¿se debe proponer con base en el mínimo valor obtenido entre resistencia ó capacidad de deformación, o un promedio ponderado?, (2) ¿se debe tomar en cuenta el posible dominio de cargas verticales en el diseño a la hora de definir , como una excepción a la regla? y, (3) ¿se debe afinar cuál es el número de líneas de defensa mínimas para obtener el máximo valor de que establezca un reglamento? Estas son obviamente


asignaturas pendientes que requieren de estudios adicionales que permitan aclarar el panorama en este sentido. AGRADECIMIENTOS

Los autores agradecen a la Dirección de Obras del Gobierno del Distrito Federal por su patrocinio parcial en la fase final de esta investigación. José Antonio Cortés Benítez agradece la beca otorgada por el Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología de México (Conacyt), que le permitió involucrarse en este proyecto de investigación en el desarrollo de su tesis de maestría en el Posgrado en Ingeniería Estructural de la UAM Azcapotzalco.

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http://nisee.berkeley.edu/images/servlet/EqiisListQuake


Recibido: Diciembre de 2013 Aceptado: Febrero de 2014

ANÁLISIS SÍSMICO DE UNA ESTRUCTURA CON AISLADORES FPS DE PRIMERA Y SEGUNDA

GENERACIÓN Y ELASTOMÉRICOS CON NÚCLEO DE PLOMO

Roberto Aguiar Departamento de Ciencias de la Tierra y la Construcción Universidad de Fuerzas Armadas, ESPE Av. Rumiñahui s/n. Valle de los Chillos, Ecuador, [email protected] Fernanda Vergara Departamento de Post Grado en Ingeniería Estructural Universidad Central del Ecuador Av. América, s/n, Quito, Ecuador Byron Guaygua Departamento de Post Grado en Ingeniería Estructural Universidad Central del Ecuador Av. América, s/n, Quito, Ecuador Juan Pablo Monge Departamento de Ciencias de la Tierra y la Construcción Universidad de Fuerzas Armadas, ESPE Av. Rumiñahui s/n. Valle de los Chillos, Ecuador,

RESUMEN

Se presenta el marco teórico sobre el diseño propiamente dicho de aisladores FPS (Frictional Pendulum System) de la primera y segunda generación y de aisladores elastoméricos con núcleo de plomo; de acuerdo a las investigaciones desarrolladas en la Universidad de Buffalo al 2011. Posteriormente se realiza, en forma detallada, el análisis sísmico de una estructura de tres pisos con estos tres tipos de dispositivos de control pasivo y se comparan los resultados.

Palabras Claves: Aisladores sísmicos, Espectros, Cojinete, Microzonificación.

ABSTRACT

The theoretical framework is presented to completely design the FPS (Frictional Pendulum System) isolator of the first and second generation and elastomeric isolators with lead core, according to research conducted at the University of Buffalo in 2011. Subsequently, the seismic analysis of a three floor structure with three types of passive control devices is performed and the results are compared.

Keywords: Seismic isolators, Spectrum, Bearing, microzonification.


36 Roberto Aguiar, Fernanda Vergara, Byron Guaygua y Juan Pablo Monge

1 INTRODUCCIÓN

Todo evento sísmico deja a su paso pérdidas humanas y materiales, por tal razón la humanidad ha desarrollado en los últimos años sistemas de protección que ayudan a mitigar los efectos destructivos de una estructura durante un sismo, como son los sistemas de disipación pasiva, sistemas de disipación activa, sistemas híbridos y sistemas semi-activos, ver figura 1.

Figura 1 Sistemas de Protecciones Sísmicas

Hoy en día los sistemas más utilizados para mitigar los efectos de un

sismo es el aislamiento sísmico (elemento de disipación pasiva); el aislamiento sísmico es una estrategia de diseño basada en la premisa de que es posible separar una estructura de los movimientos del suelo mediante la introducción de elementos flexibles entre la estructura y su fundación. Los aisladores reducen notablemente la rigidez del sistema estructural, haciendo que el periodo fundamental de la estructura aislada sea mucho mayor que el de la misma estructura con base fija.

Por ésta razón, los edificios con aislamiento sísmico tienen un mejor comportamiento que los edificio que no cuentan con dispositivos aisladores de base, cumpliendo el objetivo fundamental de la aislación sísmica que es el de mantener la respuesta dentro de los límites de seguridad, servicio y confort humano.

2 MARCO TEÓRICO GENERAL

En una estructura con aisladores se debe realizar el análisis sísmico para dos sismos denominados: de diseño “DE” que tiene periodo de retorno de 475 años y para un sismo máximo considerado “MCE” cuyo período de retorno es de 2475 años. El proyectista estructural puede cambiar estos períodos de retorno de acuerdo a la importancia de su estructura y porque no decirlo a la sismicidad de la

SISTEMAS HIBRIDOS SISTEMAS SEMI-ACTIVOS

SISTEMAS DE PROTECCION SISMICA

Aislamiento activo

Oscilador Hibrido

HMD

Disipadores de Orificio

Variable

Dispositivos de Friccion

Variable

Disipadores Fluido

Controlables

Aislamiento

Sismico

Disipadores de

Energia

Oscilador

Resonante TMD

Arriostres Activos

Tendones Activos

Oscilador Activo

AMD

SISTEMAS PASIVOS SISTEMAS ACTIVOS

Análisis sísmico de una estructura con aisladores FPS y elastoméricos… 37

región. Lo importante es destacar que en el análisis se deben considerar dos sismos DE, y MCE.

El período de retorno de 475 años está asociado a una vida útil de la estructura de 50 años con una probabilidad de ser excedidas las aceleraciones sísmicas del 10%. En cambio el período de retorno de 2475 años está asociado a una vida útil de 50 años con una probabilidad de excedencia del 2%.

Las normativas sísmicas presentan espectros para 475 años de período de retorno y no determinan mediante un estudio de peligrosidad sísmica el espectro para 2475 años, lo que hace es multiplicar las ordenadas espectrales del sismo de diseño por 1.5. Existe variación en la determinación de las propiedades de los materiales por lo que no se recomienda trabajar con el valor medio si no que hay que definir dos límites un inferior y un superior. Al nivel inferior se denomina LB (lower level) y al nivel superior UB (upper level).

En los siguientes apartados se va a presentar el marco teórico para los aisladores FPS de la primera generación; de la segunda generación y elastoméricos con núcleo de plomo, en este orden; pero no se hará referencia al sismo de análisis ni al nivel de material. Destacando que el análisis comprende en cada uno de los sismos considerar los dos niveles de materiales.

2.1 AISLADORES FPS DE PRIMERA GENERACIÓN

Los aisladores FPS trabajan en forma de un péndulo invertido autocentrante. Por lo tanto el período de vibración se halla con la siguiente ecuación:

√

Siendo el radio de curvatura del aislador; la aceleración de la gravedad. En la figura 2 se presenta un aislador de la primera generación en la cual se define el radio efectivo .

En este apartado se presenta en forma susíntota: i) obtención del diagrama de histéresis; ii) análisis sísmico espacial de una estructura con los aisladores modelados como elementos cortos; iii) análisis estático para diferentes combinaciones de carga de la estructura tendientes al diseño del aislador.

(1)


Figura 2. Radio de curvatura y radio efectivo .

2.1.1 Diagrama de Histéresis.

Para los aisladores FPS de la primera generación el diagrama de histéresis es el indicado en la figura 3, donde es la resistencia característica; es la rigidez tangente que es igual al peso sobre el aislador dividido para el radio efectivo; es la rigidez secante.

Figura 3 Curva constitutiva de un aislador de la primera generación, Fenz y Constantinou 2008.

RefR

Punto Pivote

Kd

F

Ff 2Ff Kef*q

q

Kef

WRef


Siendo el coeficiente de fricción del aislador el mismo que se calcula en

la forma indicada posteriormente. es el peso que gravita en el aislador; es el radio efectivo que se encuentra en base al radio de curvatura del aislador; es el desplazamiento esperado en el aislador que se halla en forma interactiva. Aguiar (2013); es la fuerza máxima esperada en un ciclo de histéresis. Es importante notar en la figura 3 que la rama de descarga es vertical y tiene un valor de .

Como se dijo anteriormente el cálculo de se realiza de forma interactiva de la siguiente manera: primero se obtiene el radio efectivo ya que las restantes variables que intervienen en su formulación están definidas. Después se encuentra el factor de amortiguamiento efectivo

Siendo la energía disipada que no es más que el área encerrada en la curva de histéresis; es la energía almacenada elásticamente; que se obtienen con las siguientes ecuaciones:

Con lo que al remplazar en la ecuación (6) y simplificar términos se encuentra.

)

Con el se encuentra el factor para reducir el espectro elástico.

(6)

(7)

(8)

(9)

(2)

(3)

(4)

(5)


Con el período objetivo impuesto se halla en el espectro de desplazamiento inelástico (reducido por ) el desplazamiento de la estructura, el mismo que se compara con el impuesto. Si es aproximadamente igual ya se habrá determinado las propiedades del diagrama de histéresis caso contrario se repite el cálculo.

(

2.2 Análisis Sísmico Espacial

Se considera un modelo de losa rígida con tres grados de libertad por planta: dos componentes de desplazamiento y una rotación de piso. Por otra parte se va a trabajar con coordenadas absolutas de esta manera se numeran los desplazamientos de abajo hacia arriba, primero en la dirección X; luego en la dirección Y, finalmente la rotaciones de piso, como se indica en la figura 4. Cuando se trabaja con coordenadas relativas primero hay que numerar las coordenadas de la superestructura y después las coordenadas del sistema de aislación; y en el caso de tener subestructura estas se enumeran al final. Castillo y Pazmiño (2014).

Figura 4. Grados de libertad en el Centro de Masa

4

8

12

3

7

11

2

6

10

1

5

9

(10)

(11)


Existen varias escuelas para la parte numérica una de ellas es la desarrollada en la Universidad Católica de Chile, en que trabajan con coordenadas relativas y presentan metodologías de análisis muy específicas como la denominada de Masa equivalente por citar una de ellas. Almazán (2001). Seguin (2007). En este artículo no se aplican estas metodologías si no lo que se hace es encontrar un elemento corto que representa al aislador, el mismo que se desarrolla en el siguiente apartado.

Retomando el modelo numérico de cálculo indicado en la figura 4 se obtiene la matriz de rigidez en coordenadas de piso , la misma que tiene la siguiente forma:

[ ] Siendo: ∑ ∑ ∑

∑ ∑

Donde , son las distancias desde el Centro de Masas, C.M, al pórtico y tiene signo; serán positivas si la rotación positiva del pórtico rota en sentido antihorario con respecto al C.M. La matriz de masas tiene la siguiente forma:

[ ] [ ] [ ]

Una vez definidas las dos matrices se obtienen las propiedades dinámicas de la estructura resolviendo el problema de valores y vectores propios. Finalmente se aplica el método de superposición modal para encontrar las respuestas máximas probables. Aguiar (2012).

(12)

(13)

(15)

(14)

(16)


2.2.1 Elemento Aislador

A la izquierda de la figura 5 se muestra las coordenadas en el centro de gravedad del aislador denominadas coordenadas locales; y a la derecha de la figura 5 las coordenadas en el extremo del elemento denominadas coordenadas globales. La distancia se mide desde el centro de gravedad del aislador hasta el centro de gravedad de la cimentación y la distancia se mide desde el centro de gravedad del aislador hasta el centro de gravedad de la viga del sistema de aislación.

Figura 5. Coordenadas locales y globales de un elemento aislador.

En la figura 6 se presenta un aislador colocado sobre una viga de cimentación y se define la longitud del elemento corto como la suma de las longitudes , respectivamente.

Figura 6 Distancias que definen el modelo del aislador.

lj

li

NUDO j

NUDO i

3

6

5

4

2

1

1

2

Viga de losa de ailación

Viga de cimentación

lj

li


4m 4m 4m 4m 4m 4m4m 4m 4m 4m 4m 4m

Para pasar de coordenadas locales a globales se debe determinar la matriz de paso que se indica a continuación.

[ ] Hay dos formas de análisis para el sistema de aislación, la primera es

trabajar con rigidez tangente y la segunda es trabajar con la rigidez secante denominada , en este caso se va a trabajar con la última de las rigideces. La matriz de rigidez en coordenadas locales, del elemento aislador , es:

[ ] Donde es la rigidez efectiva horizontal; es la rigidez vertical del

aislador.

Donde es igual al módulo de elasticidad del acero dividido para dos; es el área de la sección transversal del deslizador o cojinete y es la altura total del aislador

2.2.2 Matriz de Rigidez Lateral

Para el análisis sísmico en coordenadas de piso se debe determinar en primer lugar la matriz de rigidez lateral de cada uno de los pórticos, con la hipótesis de que las vigas son axialmente rígidas, de tal manera que se tiene un grado de libertad lateral por piso.

Figura 7. Coordenadas totales y laterales de un pórtico

(17)

(18)

(19)


A la izquierda de la figura 7 se presenta uno de los pórticos de la estructura de tres pisos que se está analizando con todos los grados de libertad, en la cual se a numerado en primer lugar las coordenadas laterales y posteriormente las coordenadas y giros de cada uno de los nudos. Para hallar la matriz de rigidez lateral se encuentra en primer lugar la matriz de rigidez completa de la estructura por ensamblaje directo y posteriormente se condensa esta matriz a las coordenadas laterales. Aguiar (2012).

Donde es de orden ( , ), es de orden ( , ), y es de orden ( , ), siendo el número de coordenadas laterales, y el número de grados de libertad. En el modelo de los pórticos, el elemento aislador está representado como una columna corta en la figura 7. Se destaca que el modelaje del pórtico debe considerar la mampostería de existir mediante una diagonal equivalente.

Una vez determinada la matriz de rigidez lateral de los pórticos se encuentra la matriz de rigidez en coordenadas de piso y se realiza el análisis sísmico, el mismo que concluye con la determinación de los desplazamientos y fuerzas laterales en coordenadas de piso.

Se debe controlar que el desplazamiento lateral del sistema de aislación sea menor al desplazamiento que se halló cuando se determinó el modelo de histéresis.

2.2.3 Análisis Estático de los Pórticos

Para el diseño del aislador como tal se debe encontrar la fuerza vertical y momento que llegan al aislador al igual que el desplazamiento lateral y giro en la cabeza del aislador para las siguientes combinaciones de carga:

Carga Vertical Carga Vertical más sismo

(20)

(21)

(22)


2.3 Diseño del aislador

Básicamente se debe encontrar el espesor de la placa en la parte central cuando no existe desplazamiento lateral y el espesor de la placa en el borde cuando existe desplazamiento lateral. Adicionalmente se determina el diseño del cojinete. Estos temas se presentan a continuación en este apartado.

Espesor de la placa en el centro

Se aplica el método de la columna equivalente que consiste en considerar al deslizador como una columna con dos placas de acero en sus extremos sometida a una carga axial , como se aprecia en la parte superior de la figura 8. Por efecto de esta carga se genera una presión denominada en un círculo de diámetro que vale:

√

Pero también es igual a:

Donde el factor 1.7 está relacionada con el confinamiento del hormigón un factor de minoración de esfuerzos que vale 0.65 y la resistencia del hormigón.

En la figura 8 se ha identificado con la variable al diámetro del deslizador, sí es menor que habrá que colocar el espesor mínimo recomendado para placas de 1.5 in caso contrario se debe determinar el momento en el borde del deslizador como una viga empotrada sometida a una carga, de la siguiente manera:

(23)

(24)

(25)

(26)

'7.1 ccb ff

31

2

21

2 rbbfrfM bbU

21 bbr


Figura 8. Método de la columna equivalente

La ecuación para determinar el momento de flexión es aproximada ya que se ha considerado una carga uniforme más una cargar triangular como se indica en la parte central de la figura 9 en lugar de considerar la distribución de presiones que está indicada a la izquierda de ésta figura. Para corregir ésta simplificación a la derecha se presenta unas curvas de corrección propuestas por Constantinou (2011). A ésta gráfica se ingresa con el factor sobre y se halla un factor de corrección que será multiplicado al momento hallado con la ecuación (25). Finalmente el espesor de la placa en el centro se encuentra con la ecuación:

AREA DE PRESIÓNEN LA PLACAb

b1

b

t

r

b1 l

Pu

(27)

9.0

4

b

yb

u

fMt


Figura 9. Distribución de presiones y factor de corrección del momento

Espesor de la placa en el borde

Para el borde se procede con el desplazamiento lateral hallado en el análisis sísmico para uno de los dos sismos. Éste desplazamiento debe sumarse al desplazamiento lateral encontrado para cargas verticales sin sismo; estrictamente se debe considerar el 50% del desplazamiento lateral sin

FORMA EXACTA FORMA APROXIMADA

b1

2

b2

M Mf b f b

t

b + b2

1

t

Mf b

f bb1

2 1

b1

b

CorreccionFactorSimplifiedTheory

ExactTheory

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.20.0 0.4 0.6 0.8 1.0b

1b

Mbf 1b2

ll

FORMA EXACTA FORMA APROXIMADA

b1

2

b2

M Mf b f b

t

b + b2

1

t

Mf b

f bb1

2 1

b1

b

CorreccionFactorSimplifiedTheory

ExactTheory

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.20.0 0.4 0.6 0.8 1.0b

1b

Mbf 1b2

ll


Área de presiónfuera de la placa

Área elíptica de lafuerza de presiónsobre la placa

r

Pu

b1

a1

CL

sismo para el sismo DE y el 25% de desplazamiento lateral para el sismo MCE.

En la figura 10 se ilustra el proceso de cálculo, a la izquierda se presenta el diagrama de presiones con la carga actuando en la posición desplazada se aprecia que una parte del diagrama de presiones queda afuera de la placa del aislador y esto no puede darse, por lo que Constantinou et al (2011) recomienda mantener la misma área de distribución de presiones pero alargándola en el sentido contrario como se observa en la parte central de la figura 10, éste alargamiento conduce a tener una distribución de presiones en forma elíptica con eje menor y eje mayor .

La determinación del eje menor está dada por la geometría del aislador y por el desplazamiento esperado.

(

El eje mayor se encuentra con la siguiente expresión Finalmente se calcula el momento último con la distribución de presiones que está en el eje más largo (área achurada de figura 10). Se procede en forma similar al anterior, es decir, se encuentra un factor de corrección por la distribución de presiones y se determina el espesor de la placa .

Figura 10. Presiones en la placa ante desplazamiento horizontal

(28)

(29)



r

Pu

b1

a1

CL



r

Pu

b1

a1

CL


Diseño del cojinete

Para el diseño del cojinete, de acuerdo a la teoría propuesta por

Constantinou et al (2011) se necesitan los siguientes datos del estado de carga : que es la carga vertical en (KIP); , que son los giros en radianes en sentido longitudinal y transversal; que son los desplazamientos laterales del aislador en pulgadas.

Para el estado de carga se necesita la siguiente

información: que es la fuerza vertical debido al estado de carga indicado para el sismo de diseño en (KIP); que son los giros en radianes en sentido longitudinal y transversal; que son los desplazamientos laterales del aislador en pulgadas.

Con esta información se procede al cálculo de la geometría del cojinete

que se indica en la figura 11 de la siguiente manera: √

Donde es la longitud indicada en la figura 11 se ha considerado un

esfuerzo promedio � . Donde es el área en plata del cojinete, de igual manera se consideró � . Se debe controlar que: √ Donde es la dimensión en planta del cojinete. Ahora se procede al

cálculo del radio indicado en la figura 11.

(30)

(31)

(32)

(33)


Figura 11. Diámetro permisible y longitud de la cuerda cóncava

� (

Donde � es el ángulo indicado en la figura 11; es el mayor de los dos giros encontrados para el estado de carga vertical . Ahora se calcula en forma provisional el radio de curvatura del cojinete.

El valor del ángulo Constantinou recomienda que sea igual a 0.06, con éste valor se calcula en primer lugar la altura indicada en la figura 11 y figura 12.

R

Y

C m

D m

Mm

TminTmin

HHactHact DB act

H

PD

ß

�

� � sin

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

(39)


Ahora una vez encontrado el valor de se recalcula despejando de la ecuación (39). Se procede a calcular el diámetro del cojinete de la siguiente manera:

Donde , están indicados en la figura 11. Se recalcula el valor de con el valor de .

Constantinou et al (2011) recomienda.

El significado de las variables: están indicadas en las figuras 11 y 12.

(

�� +

√

7 ( � +0.09375 (in)

7

(40)

(41)

(42)

(43)

(44)

(45)

(46)

(47)


LcpDm

Lcp

0.0375"

0.0375"

c

c= 18" mínima

a la máxima rotación

Figura 12. Dimensionamientos de la altura del cojinete

Finalmente el diámetro de cojinete .

√

Ahora se calcula la longitud de la placa cóncava cuadrada que se indica en la figura 13 y la dimensión vertical mínima

Figura 13. Longitud de placa cóncava y dimensión vertical mínima

Resta calcular el espesor del cojinete, el mismo que se realiza en forma similar al cálculo de las placas inferior y superior.

(48)

7 7

(49)

(50)

Tmin Tmax

H Hact

75'

D m

Mm

YR

DBact2


2.4 AISLADORES FPS DE SEGUNDA GENERACIÓN.

Se va a indicar únicamente lo que cambia con respecto al análisis y diseño sísmico del aislador FPS de la primera generación. En este contexto se debe manifestar que lo que cambia es el diagrama de histéresis el mismo que se indica en la figura 13.

Figura 13. Diagrama de histéresis para un aislador de la segunda generación de FPS, Fenz y Constantinou (2008).

El aislador de la segunda generación tiene dos superficies cóncavas; cuando se inicia el sismo trabaja únicamente en una superficie (régimen de desplazamiento I, ver figura 13 en líneas entrecortadas) llegando a una resistencia característica .

Siendo el coeficiente de fricción de uno de los aisladores. Por efecto de sismo empieza a trabajar el otro aislador cuando se supera la resistencia . La rigidez tangente se obtiene considerando resortes en serie de las dos rigideces de los aisladores al trabajar en forma individual. Es decir tenemos un aislador con una rigidez tangente igual a y al trabajar la otra superficie

cóncava la rigidez tangente es , al considerar que estas dos trabajan en serie

se obtiene la rigidez tangente indicada en la figura 13 que es igual a .

KF

KF*q

Ff1

ueWFf2

2Ff1

2Ff2

F

WRef1+Ref2

q* 2q*

q

WRef1


En la descarga nótese que primero se mantiene el comportamiento del aislador de la primera generación con una magnitud igual a y después

adquiere la rigidez tangente de éste superficie cóncava que es . La suma de la

componente vertical en la descarga vale . En la figura 13 se aprecia también que la descarga tiene una componente horizontal de magnitud , siendo . Para que trabaje en régimen dos el desplazamiento tiene que ser mayor que . 2.4.1 Factor de amortiguamiento efectivo

En la figura 14 se presenta en forma achurada el área que se debe evaluar para encontrar la energía disipada ; la misma que se obtiene encontrando el área completa del paralelograma que es igual a Siendo el desplazamiento máximo encontrado en un ciclo de histéresis. A ésta área hay que restar el área de dos triángulos cuyo lado vale , con ésta acotación se presenta el cálculo de .

Figura 14. Cálculo de la energía disipada .

[ ] [ ( ]

Ff1

ueWFf2

2Ff1

2Ff2

F

WRef1+Ref2

q* 2q*

q

WRef1

ED

(51)


Por otra parte la energía elástica se obtiene en base al diagrama indicado en la figura 15.

Figura 15. Cálculo de la energía elástica .

Pero también es igual a . Finalmente el factor de amortiguamiento efectivo se halla con la siguiente expresión:

Ff1

ueWFf2

2Ff1

2Ff2

F

WRef1+Ref2

q* 2q*

q

WRef1

KF*q

EL

KF

(52)

(53)

(54)

(55)


(

La ecuación (58) es una forma aproximada de calcular el amortiguamiento efectivo de un aislador FPS de la segunda generación, pero que genera buenos resultados al momento de realizar los diferentes análisis.

2.4.2 Rigidez efectiva

La rigidez efectiva se halla con la relación entre la fuerza para el desplazamiento lateral máximo.

Estrictamente habría que considerar también la tercera fase en que trabaja el aislador cuando experimenta un desplazamiento lateral que llega al tope del mismo, con lo que se incrementaría ligeramente la rigidez efectiva. Fenz y Constantinou (2008).

2.4.3 Coeficiente de Fricción.

A continuación se presenta el cálculo del amortiguamiento siguiendo la propuesta de Constantinou et al (2007), que tiene un respaldo analítico y experimental.

Para el valor inferior LB se tiene:

Se destaca que es el coeficiente de fricción en el tercer ciclo de carga, pero a la vez es el coeficiente de fricción para el nivel inferior del material es la

(56)

(57)

(58)

(59)

(60)

(61) )(015.001.0122.03 KSIPC


presión normalizada que a continuación se indica su cálculo en . El término 0.015 está relacionado con la velocidad a la que se desplaza el deslizador.

La presión normalizada es igual a la presión debido a la carga axial con respecto a la dimensión de la placa del aislador y ésta a su vez se debe dividir para el área del deslizador.

Donde es la carga axial que llega a un aislador; es la longitud de la placa cuadrada; b es el diámetro del deslizador.

Ahora para el valor superior se tiene que considerar los siguientes factores: envejecimiento ; contaminación , desplazamiento lateral acumulado esperado del deslizador ; temperatura en el lugar donde va a funcionar el aislador .

En Constantinou et al (2007), se indican las tablas que conducen al cálculo de los factores y están en función del tipo de recubrimiento del deslizador; de la protección lateral del mismo (en el sentido de que si está sellado o no sellado; del lugar en el que van a funcionar y del modo de colocación de los aisladores).

2.5 AISLADORES ELASTOMÉRICOS CON NÚCLEO DE PLOMO

2.5.1 Descripción de aislador elastoméricos

Los aisladores elastoméricos con núcleo de plomo están conformados por láminas de caucho natural intercaladas con placas de acero, las cuales son vulcanizadas entre sí y poseen un núcleo de plomo que aumenta su capacidad de amortiguamiento. El amortiguamiento que se logra con la inclusión del núcleo de plomo es mayor al 20%. Estos dispositivos son fabricados a medida para cada proyecto, de acuerdo a la rigidez horizontal, rigidez vertical, desplazamiento, capacidad de carga y capacidad de amortiguamiento requerida.

Sea el espesor de la goma y el espesor de la placa de acero, la suma de los espesores de goma se denomina y en base a esta dimensión se determina la rigidez al corte del aislador;

En la parte exterior se tienen dos placas de mayor espesor que en la figura 16 se han identificado como �, la superior y �, la inferior. Estas placas deben

(62)

(63)

(64)


ser capaces de soportar la carga axial que llega al aislador. Si el espesor de la placa exterior es muy grande se puede colocar una placa de ancho � en la parte interior del aislador.

Figura 16 Dimensiones de un aislador con núcleo de plomo

Figura 17 Aislador elastoméricos con núcleo de plomo

Las tablas que se presentan a continuación tabla 1 y tabla 2 resultan de mucha utilidad para iniciar el diseño de los aisladores elastoméricos con núcleo de plomo ya que proporcionan una buena aproximación de las dimensiones finales de los mismos y son el punto de partida de dicho diseño, estas tablas son proporcionadas por los fabricantes de los aisladores.

http://www.sismica.cl/?portfolio=aisladores-elastomericos-con-nucleo-de-plomo-lrb

http://www.sismica.cl/?portfolio=aisladores-elastomericos-con-nucleo-de-plomo-lrb


Consiste en determinar la carga axial total del edificio que gravita sobre cada uno de los aisladores para en función de esta determinar las dimensiones aproximadas de los componentes del aislador.

Tabla 1 Dimensiones del aislador y placas de montaje

Tabla 2 Propiedades, desplazamiento y carga axial en función del diámetro del aislador

2.5.2 Diagrama de la curva de histéresis

En la figura 18 se presenta el comportamiento histerético de un aislador elastomérico se destaca que el modelo no contempla degradación de rigidez en la descarga. Este modelo es bastante aproximado a los obtenidos experimentalmente.

A continuación se describe en forma rápida los parámetros que definen la relación entre la fuerza aplicada al aislador y el desplazamiento obtenido los mismos que están presentados en la figura 18.

kd Qd kv(T/m) (kg) (T/m) qmax (mm) Pmax (kg)

305 20-40 0-6500 > 5000 150 45000355 20-40 0-6500 > 10000 150 70000405 30-50 0-11000 > 10000 200 90000455 30-70 0-11000 > 10000 250 115000520 40-70 0-18000 > 20000 300 135000570 50-90 0-18000 > 50000 360 180000

Propiedades del aisladorDo

(mm)

Desplazamiento Maximo Carga Axial

Do H Di L t orificio φ A B(mm) (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) (mm) (mm)305 125-280 4-14 0-100 355 25 4 27 50 -355 150-305 5-16 0-100 405 25 4 27 50 -405 175-330 6-20 0-125 455 25 4 27 50 -455 175-355 6-20 0-125 510 25 4 27 50 -520 205-380 8-24 0-180 570 25 8 27 50 50570 205-380 8-24 0-180 620 25 8 27 50 50

# capas de goma

# de orificios

TAMAÑO DEL AISLADOR DIMENSIONES DE PLACAS DE MONTAJE


Figura 18 Comportamiento histerético de un aislador elastoméricos.

Para un aislador con núcleo de plomo el valor de Qd se halla con la siguiente expresión:

Donde es el área de la sección transversal del núcleo de plomo y es el esfuerzo de corte del plomo a nivel de fluencia.

Donde G es el módulo de corte de la goma; A es el área de la sección transversal del aislador que trabaja al corte; Tr es la sumatoria de la altura de la goma del aislador.

La fuerza de fluencia cuando el aislador empieza a trabajar en el rango no lineal es:

La rigidez elástica , y la rigidez efectiva son:

(65)

(66)

(67)

(68)

(69)


Donde q es el desplazamiento lateral del sistema de aislación. Lo importante en las estructuras con aislación sísmica es incrementar el factor de amortiguamiento de la misma; para las estructuras con aisladores elastoméricos se obtiene a partir de la figura 18 que el factor de amortiguamiento efectivo, es el siguiente.

(

En forma práctica se recomienda proceder de la siguiente manera para encontrar el diagrama de histéresis.

Se determina el peso total que llega al sistema de aislación, el cual considera el peso de la losa de aislación y los aisladores, se debe definir el número de aisladores N a utilizar; se puede colocar un aislador en cada columna del edificio.

En estas condiciones, se obtiene multiplicando los parámetros que definen la curva de histéresis por el número de aisladores N.

2.5.3 Proceso de cálculo de la curva de histéresis

A continuación se presenta en forma resumida como se obtiene la curva de histéresis para un aislador.

1. Desplazamiento Inicial

Se impone un desplazamiento que se supone va a desarrollar el sistema de aislación q.

2. Propiedades dinámicas

Determinada la rigidez efectiva mediante la ecuación 69 y se halla el periodo y factor de amortiguamiento.

(70)

(71)


(72)

(73)

(74)

√

(

Dónde: es el peso total que gravita en el sistema de aislación; g es la aceleración de la gravedad; es la rigidez efectiva; q es el desplazamiento lateral; es el desplazamiento de fluencia; es el periodo efectivo; es el factor de amortiguamiento efectivo.

3. Espectro reducido

Se obtiene dividiendo el espectro de 5% de amortiguamiento para el valor de B.

4. Calculo de desplazamiento

Ingresamos con el periodo efectivo al espectro de desplazamiento y se obtiene el desplazamiento del sistema de aislación, este debe ser parecido o igual al desplazamiento impuesto si no coincide se repite el proceso desde el numeral 1.

Si se trabaja con el espectro de aceleración, con el periodo efectivo se encuentra la aceleración espectral y después mediante la definición del pseudo espectro se halla el desplazamiento.

(

2.5.4 Elemento aislador

El análisis sísmico de estructuras con aisladores elastoméricos es similar a lo presentado cuando la estructura tiene aisladores FPS razón por la cual no vuelve a describir su procedimiento de cálculo. Pero se va a indicar con detalle cómo se trabaja con el elemento aislador destacando que es aplicable a los aisladores FPS aquí utilizados.

Lo que difiere respecto a los aisladores FPS, cuando se utiliza el método de la rigidez efectiva, es la determinación de la rigidez vertical . La matriz de rigidez en coordenadas locales del elemento aislador viene dado por la siguiente expresión:

(75)


[ ] Donde es la rigidez efectiva horizontal; es la rigidez vertical del

aislador. ya fue determinado anteriormente y viene dado por la siguiente expresión:

[ ]

Donde A es el área transversal del aislador; es la sumatoria de los espesores de las gomas ; S es la relación entre el área de la planta de una goma con relación al área lateral de la goma; k es el modulo volumétrico de la goma.

Para un aislador circular con o sin núcleo de plomo el factor de forma se encuentra con la siguiente ecuación.

Donde , son los diámetros exterior e interior del aislador; es el espesor de una goma, como se observa en la figura 19, es importante observa las relaciones de área.

Figura 19 Geometría de una goma

Finalmente, la matriz de rigidez del elemento aislador en coordenadas globales se halla de la siguiente forma.

Donde es la matriz de paso:

[ ]

(76)

(77)

(78)

(79)

(80)


2.5.5 Mosaico de cargas

En las estructuras con los aisladores anteriores no se tuvo la suficiente prolijidad en determinar el ancho de banda cooperante para trabajar con carga uniforme distribuida por este motivo en este apartado se presenta en primer lugar el mosaico de cargas considerando que las mismas distribuyen a los pórticos con ángulo de 45° teniendo por tanto que sobre las vigas gravita una carga trapezoidal o una carga triangular como se muestra en la figura 20.

Figura 20 Distribución por mosaico de cargas

Para no trabajar con carga triangular o trapezoidal se puede encontrar carga uniforme distribuida empleando el siguiente formulario:

Distribución triangular:

Distribución trapezoidal:

Dónde: q carga actuante sobre unidades de superficie; s es la dimensión

del lado menor del tablero contribuyente; m es la relación entre la dimensión menor y la dimensión mayor del tablero contribuyente; l es la dimensión del lado mayor del tablero contribuyente.

1 2 3

A

B

C

(81)

(82)


2.5.6 Control del espesor de la goma

Una vez realizado el análisis sísmico del sistema de aislación y de la estructura completa considerando tres grados de libertad por planta, se determinan las fuerzas estáticas equivalentes y se continua con la determinación de los desplazamientos y giros en los nudos; fuerzas y momentos en cada uno de los aisladores para las combinaciones de carga estipuladas por NEC-11 y tomando en cuenta las recomendaciones de Constantinou et al. 2011 las cuales fueron ya expuestas anteriormente, para el control de los espesores de la goma y de las láminas de acero de los aisladores.

Figura 21 Cargas, desplazamientos y giro actuando en un aislador

Área reducida de una goma

El área que trabaja al corte se ha denominado A; ahora cuando se deforma lateralmente como se indica en la parte derecha de la figura 22, se tiene un área reducida a compresión que se denomina Ar, la misma que se calcula de la siguiente manera:

(

(83)

P

CL

M

CL


Figura 22 Área reducida de un aislador elastoméricos

Deformaciones angulares

Cuando actúa la carga axial Pu, la máxima deformación angular por compresión se halla con la siguiente ecuación:

Se debe verificar que únicamente para el estado de cargas verticales, sin sismo. Con sismo puede ser mayor a 3.5, más adelante se indicara todos los controles que debe satisfacerse.

El facto f1 se presenta en la tabla 3 para un aislador circular

TABLA 3 Valores de f1 para un aislador circular

S k/G 2000 4000 6000 ∞

5,0 1,02 1,01 1,01 1,00 7,5 1,05 1,03 1,02 1,00 10,0 1,10 1,05 1,03 1,00 12,5 1,15 1,08 1,05 1,00 15,0 1,20 1,11 1,07 1,00 17,5 1,27 1,14 1,10 1,00 20,0 1,34 1,18 1,13 1,00 22,5 1,41 1,23 1,16 1,00 25,0 1,49 1,27 1,19 1,00 27,5 1,57 1,32 1,23 1,00 30,0 1,66 1,37 1,26 1,00

Para encontrar el valor de f1 se necesita conocer el factor de forma S y la relación k/G, siendo k el modulo volumétrico de la goma y G el módulo de corte de la goma.

(84)


La deformación angular por rotación se halla con la siguiente expresión:

Donde θ es la rotación en el aislador para el estado de cargas verticales, sin sismo; f2 es el factor que afecta al corte el cual se presenta en la tabla 4

TABLA 4 Valores de f2 para un aislador circular

S k/G 2000 4000 6000 ∞

5,0 0,37 0,37 0,37 0,37 7,5 0,36 0,36 0,37 0,37 10,0 0,34 0,36 0,36 0,37 12,5 0,33 0,35 0,36 0,37 15,0 0,32 0,34 0,35 0,37 17,5 0,30 0,33 0,34 0,37 20,0 0,28 0,32 0,33 0,37 22,5 0,27 0,31 0,32 0,37 25,0 0,25 0,29 0,32 0,37 27,5 0,24 0,28 0,31 0,37 30,0 0,23 0,27 0,30 0,37

La deformación angular por corte es:

Para que el espesor de la goma sea adecuado, se debe verificar lo detallado en la tabla 5 para los estados de carga que se indican, si para algún estado de carga no cumple se debe incrementar el espesor de la goma

TABLA 5 Controles que debe cumplir el espesor de la goma Estado de carga Control

7

(85)

(86)


2.5.7 Calculo del espesor de placa shim

En Constantino et al (2011) y en Aguiar (2013) se tiene en inglés y español respectivamente el marco teórico que conduce a la obtención de la siguiente ecuación con la cual se determina el espesor de las placas intermedias que van intercaladas con la goma en los aisladores elastoméricos.

Donde α=1.65; es el espesor de la goma; es el límite de fluencia de la placa de acero; es el área reducida; P la carga axial. Se destaca que el espesor mínimo de estas placas denominadas shim es de 1.9mm.

Las normas AASHTO (2010) recomiendan que el valor de α=3 para placas de acero con orificios. De tal manera que α=1.65 se utiliza para placas sin orificios.

2.5.8 Control del Pandeo

Según Kelly (1993) la carga crítica de pandeo en una posición no desplazada del aislador es:

√

Donde λ=2, para aisladores circulares y λ=2.25 para aisladores rectangulares; G es el módulo de corte de la goma; S es el factor de forma de la goma, A es el área del aislador que trabaja al corte; r es el radio de giro; Tr es la sumatoria de los anchos de las gomas, el radio de giro se obtiene con la siguiente ecuación. √

Donde I es el momento de inercia; A es el área. Para un aislador circular sin orificio ; el factor de forma , y el área que trabaja al corte es y D es el diámetro del aislador sin orificio; tr es el ancho de una goma. Remplazando y las ecuaciones que definen r, S, A, entonces obtenemos:

Para aisladores con o sin núcleo de plomo pero con orifico en la mitad.

(87)

(88)

(89)

(90)


(91)

La carga critica de pandeo cuando el aislador tiene un desplazamiento lateral, se halla con la siguiente ecuación.

Mientras más desplazamiento lateral tiene el aislador el área reducida Ar es menor y por lo tanto la carga critica , disminuye, para restringir el desplazamiento lateral se debe cumplir la siguiente expresión:

Caso contrario se debe rediseñar el aislador.

Adicionalmente se debe verificar los siguientes controles

Para cargas verticales

Para cargas verticales más sismo MCE

2.5.9 Placas exteriores

Para determinar el espesor de las placas exteriores de un aislador utilizamos el método del área reducida desarrollado por DeWolf y Ricker (1990) figura 23, el cual remplaza al aislador por una columna rectangular equivalente de dimensiones 7 y cuyas variables quedan definidas por las siguientes ecuaciones:

Donde L es la longitud de la placa cuadrada del aislador; es el recubrimiento de la goma; es el área reducida del aislador obtenida en función

(92)

(93)

(94)

(95)

(96)


del desplazamiento lateral. Es importante tomar en cuenta que el núcleo de plomo contribuye para soportar la carga axial, por lo que el área del aislador es completa.

El espesor de la placa se denomina t figura 23 el cual queda definido por las siguientes expresiones:

Figura 23 Método del área reducida (figura reproducida de Constantinou et al.2011)

Placa inferior

Placa superior

Donde y son los espesores de las placas metálicas exteriores inferior y superior respectivamente; y es el espesor de la placa que inmersa en el aislador.

El modelo establece un esfuerzo fb que es igual a: 7 Donde es la resistencia del hormigón a compresión (losa de

cimentación); 1.7 es el incremento de resistencia por confinamiento; factor de minoración de esfuerzo, para el sismo DE tiene un valor de 0.65 y para sismo MCE 1.00.

Finalmente el espesor de la placa de acero queda determinada mediante la siguiente ecuación:

(97)

(98)

(99)


√

Factor de minoración de esfuerzo, para el sismo DE tiene un valor de 0.90 y para sismo MCE 1.00.

3 ESTRUCTURA DE ANÁLISIS Y SISMOS DE DISEÑO

La estructura de análisis es la presentada en la figura 4 la misma que tiene columnas de 45x45 cm y vigas de 30x40 cm para los pisos del uno al tres, las vigas del sistema de aislación son de 30x50 cm. Se considera que se encuentra ubicada en el antiguo Quito Tenis cuyos factores de sitio obtenidos del estudio de microzonificación sísmica de Quito Aguiar (2013) son los siguientes: , 7 , 7 . A continuación se resumen los resultados más importantes del análisis sísmico realizado.

3.1 Aisladores FPS de la primera generación

En la tabla 6 se presenta los parámetros que definen el modelo de histéresis para el aislador de la primera generación de la estructura que se está analizando, considerando que el período objetivo de la estructura es de 2 segundos. El cálculo se ha realizado para un coeficiente de fricción de 0,10 y 0,20 que son los esperados para LB y UB.

Tabla 6. Parámetros del diagrama de histéresis

PROPIEDADES DINAMICAS UNIDADES

ESPECTRO DE ACELERACIONES ERN-12

SISMO DE SISMO MCE SISMO DE SISMO MCE cm 17,7625 29,359 15,528 24,7581 % 22,83 16,09 35,73 28,34 kg/cm 582,5438 500,0369 851,5403 673,383 kg/cm 373,6615 373,6615 373,6615 373,6615 cm 99,2948 99,2948 99,2948 99,2948 kg 10347 14681 13223 16672 kg 3710,3 3710,3 7420,5 7420,5

(100)


Con las rigideces efectivas indicadas se procedió en primer lugar a encontrar la matriz de rigidez lateral en los pórticos; para ello el aislador fue modelado como un elemento corto con rigidez horizontal igual a la rigidez efectiva y con rigidez vertical encontrada suponiendo que el deslizador tiene un diámetro de 20 cm y la altura del aislador es de 20 cm que son los datos que se requieren para calcular .

Posteriormente se obtuvo la matriz de rigidez espacial en coordenadas de piso y se halló las respuestas máximas probables para cada uno de los sismos y para los dos niveles del material, empleando el método de superposición modal; los resultados encontrados son los siguientes, ver tabla 7 y tabla 8.

Tabla 7. Períodos de vibración PERIODOS DE VIBRACIÓN

DE MCE DE MCE

1,6357312 1,7603034 1,366043 1,52637663 1,6357312 1,7603034 1,366043 1,52637663 1,26703194 1,36352515 1,05813236 1,18232625 0,2359825 0,23659486 0,23400224 0,23531097 0,2359825 0,23659486 0,23400224 0,23531097 0,18279126 0,18326559 0,18125735 0,1822711 0,09775674 0,09778721 0,09765703 0,09772314 0,09775674 0,09778721 0,09765703 0,09772314 0,07572205 0,07574565 0,07564481 0,07569602 0,0553574 0,05535974 0,05534976 0,05535483 0,0553574 0,05535974 0,05534976 0,05535483 0,04287966 0,04288147 0,04287374 0,04287766

Tabla 8. Resultado del Análisis Sísmico espacial

DE MCE DE MCE

PISO Desplaza. Lateral en C.M. (m)

Fuerza Lateral en C.M.

(T)

Desplaza. Lateral en C.M. (m)


(T)



(T)



(T)

1 0,1389 34,4718 0,2504 53,3750 0,0995 35,9179 0,1811 51,8735

2 0,1431 31,5756 0,2569 48,8365 0,1039 33,0868 0,1874 47,5958

3 0,1471 32,4142 0,2631 49,9643 0,1082 34,3267 0,1934 49,0384

4 0,1496 33,5297 0,2670 51,4058 0,1108 36,0315 0,1972 50,9954


5.8582 T/m

5.8582 T/m

5.8582 T/m

6.6133 T/m

8.38 T

4.9782 T/m

5.7333 T/m

8.10 T

7.89 T

8.62 T

12.85 T

4.7782 T/m

5.5333 T/m

4.7782 T/m

4.7782 T/m

12.49 T

12.21 T

13.34 T

4.9782 T/m

4.9782 T/m

5.8582 T/m

5.8582 T/m

5.8582 T/m

6.6133 T/m

4.9782 T/m

5.7333 T/m

12.75 T

4.7782 T/m

5.5333 T/m

4.7782 T/m

4.7782 T/m

12.26 T

11.90 T

12.97 T

4.9782 T/m

4.9782 T/m

9.01 T

8.58 T

8.27 T

8.98 T

Una vez que se obtuvo los desplazamientos laterales en coordenadas de piso, éstos fueron comparados con los indicados en la tabla 6 para el aislador, encontrando en todos los casos que los resultados con el método de superposición modal son menores, lo cual es correcto.

Con las fuerzas obtenidas en el centro de masas se halló las fuerzas a nivel de los pórticos repartiendo proporcionalmente a su rigidez lateral y se procedió al análisis estático de los mismos para diseñar el aislador propiamente dicho, las combinaciones de carga que se consideraron se indican a continuación.

Valor LB para

Valor LB para

Los resultados encontrados se indican en la tabla 9


Tabla 9. Fuerza axial, desplazamientos y giros en aisladores

CARGA VERTICAL (1.2 D+1.6L) DE SISMO DE SISMO MCE

Aislador Pu (kg) u (cm) θ (rad) Pu (kg) u (cm) Pu (kg) u (cm)

Externo 46966,7 0 0,0052 52667,3 15,29 57869,1 27,17

Interno 98173,3 0 0,0050 85412,8 14,62 82989,6 26,16



Externo 46966,8 0 0,0052 53475,2 11,43 57583,7 20,22

Interno 98173,2 0 0,0050 85507,7 10,72 82952,0 19,22

Finalmente se determina el espesor de las placas tanto en el centro como en los bordes. Estos resultados se muestran en la tabla 10 los mismos que son iguales para y .

Tabla 10 Resultados para el espesor de la placa

1.2D+1.6L 1.2D+0.5L+1.0SDE 1.2D+0.25L+1.0SMCE

Aislador

Placa exterior centro (cm)

Placa exterior desplazamiento

(cm)



(cm)



(cm)

Externo (fept) 0 0 0 0 0 0 Interno (fept) 0,0246 0,0246 0 0 0 0

Las dimensiones del diseño del cojinete se muestran el la tabla 11

Tabla 11 Resultados para el dimensionamiento del cojinete

PROPIEDADES UNIDADES =0.20 cm 17 cm 18,5 cm 3,6 cm 1,9 cm 3,5 cm 0,8 cm 25,7


Figura 24. Diseño del cojinete.

Por lo que el diseño del aislador FPS de la primera generación se muestra en la figura 25

Figura 25. Diseño del aislador de la primera generación

3.2 Aisladores FPS de la segunda generación

Se va a indicar los resultados obtenidos del análisis y diseño del aislador FPS de la segunda generación, considerando que los parámetros utilizados para el cálculo son los mismos que los aisladores FPS de la primera generación, ver tabla 12, tabla 13 y tabla 14.

Tabla 12. Parámetros del diagrama de histéresis PROPIEDADES

DINAMICAS UNIDADES ESPECTRO DE ACELERACIONES ERN-12

SISMO DE SISMO MCE SISMO DE SISMO MCE cm 7,8126 12,4898 7,1991 11,1763 cm 7,789 12,4378 7,1692 11,1298 cm 15,6106 24,9277 14,3683 22,3062 % 0,3510 0,2768 46,31 40,25 kg/cm 431,1306 342,2959 709,907 526,1219 Kg/cm 193,4549 193,4549 193,4549 193,4549 cm 99,2948 99,2948 99,2948 99,2948 kg 6730,2 8532,6 10200 11736 kg 3710,3 3710,3 7420,5 7420,5

Cm=18.50 cm

C=0

.80c

m

Hac

t=3.

60cmR =25.70 cm

DISEÑO DEL COJINETE

Dm = 17 cm

Tmin

=1.

90 c

m

Tmax

=3.

50 c

m

3.81 cm

10.8

cm

Péndulo de Primera Generación

3.81 cm

14.72 cm

30 cm 20 cm

80 cm

30 cm


5.8582 T/m

5.8582 T/m

5.8582 T/m

6.6133 T/m

4.9782 T/m

5.7333 T/m

9.00 T

4.7782 T/m

5.5333 T/m

4.7782 T/m

4.7782 T/m

8.79 T

8.65 T

9.53 T

4.9782 T/m

4.9782 T/m

6.32 T

6.13 T

6.02 T

6.61 T

Tabla 13. Períodos de vibración PERIODOS DE VIBRACIÓN

DE MCE DE MCE

1,89107178 2,11555049 1,4885425 1,71772079

1,89107178 2,11555049 1,4885425 1,71772079

1,4648179 1,63869836 1,15302006 1,33054081

0,23710801 0,23777185 0,23504177 0,23640101

0,23710801 0,23777185 0,23504177 0,23640101

0,18366307 0,18417728 0,18206257 0,18311544

0,09781261 0,09784529 0,09770961 0,09777758

0,09781261 0,09784529 0,09770961 0,09777758

0,07576532 0,07579064 0,07568554 0,07573819

0,0553617 0,05536421 0,05535379 0,055359

0,0553617 0,05536421 0,05535379 0,055359

0,04288299 0,04288493 0,04287686 0,0428809

Tabla 14. Resultado del Análisis Sísmico espacial

Valor LB para

DE MCE DE MCE

PISO Desplaza. Lateral en C.M. (m)


(T)



(T)



(T)



(T) 1 0,1426 26,4579 0,2586 38,1200 0,1013 30,7639 0,1853 41,8728 2 0,1458 24,0622 0,2632 34,6169 0,1051 28,1545 0,1903 38,1562 3 0,1488 24,5395 0,2675 35,1698 0,1086 29,0402 0,1951 39,0672 4 0,1507 25,2717 0,2702 36,0150 0,1109 30,3634 0,1982 40,4543


5.8582 T/m

5.8582 T/m

5.8582 T/m

6.6133 T/m

7.59 T

4.9782 T/m

5.7333 T/m

7.26 T

7.04 T

7.69 T

10.11 T

4.7782 T/m

5.5333 T/m

4.7782 T/m

4.7782 T/m

9.77 T

9.54 T

10.47 T

4.9782 T/m

4.9782 T/m

Valor LB para

Los resultados encontrados se indican en la tabla 15.




Externo 46966,6 0 0,0052 49297,8 15,39 52141,4 27,49

Interno 98173,4 0 0,0050 84336,8 14,89 82296,2 26,78



Externo 46966,8 0 0,0052 51096,8 11,43 53704,6 20,31

Interno 98173,2 0 0,0050 84552,4 10,83 82483,5 19,51

Tabla 16. Resultados para el espesor de la placa

1.2D+1.6L 1.2D+0.5L+1.0SDE 1.2D+0.25L+1.0SMCE

Aislador



(cm)



(cm)



(cm)

Externo (fept) 0 0 0 0,4956 0 0

Interno (fept) 0,0246 0,0246 0 3,5820 0 0


1.2D+1.6L 1.2D+0.5L+1.0SDE 1.2D+0.25L+1.0SMCE

Aislador



(cm)



(cm)



(cm)

Externo (fept) 0 0 0 0 0 3,8470

Interno (fept) 0,0246 0,0246 0 1,0598 0 5,1612

El diseño del cojinete se muestra en la tabla 17, como se muestra en la figura 24.

Tabla 17. Dimensionamiento del cojinete

PROPIEDADES UNIDADES cm 17 cm 18,5 cm 3,6 cm 1,9 cm 3,5 cm 0,8 cm 25,7

Por lo que el diseño del aislador FPS de la segunda generación se muestra en la figura 26

Figura 26. Diseño del aislador de la segunda generación Péndulo de Segunda Generación

12.5cm 12.5cm20cm45 cm

3.5 cm3.6 cm

15.9

cm

3.81 cm


3.3 Aisladores elastoméricos.

Se consideró un aislador elastomérico con diámetro exterior , diámetro interior del núcleo de plomo . El aislador tiene 24 capas de goma, cada una de ellas tiene un espesor de 5 mm; el espesor de la placa Shim es de 2mm. La longitud de la placa cuadrada es de 40 cm; el espesor de las placas exteriores es de 2.5 cm. Por otra parte en la tabla 18 se indican las propiedades del material.

Tabla 18. Propiedades del material Nombre Límite Inferior Límite Superior Unidades

Módulo efectivo de corte de goma, 5.95 8.05 Kg/cm2

Módulo Volumétrico de

Goma, 2000 2000 MPa.

Módulo de corte del Plomo, 127.5 172.5 MPa.

Esfuerzo de corte del Plomo, 85 115.0 Kg/cm2

En la tabla 18 se presenta los parámetros que definen el modelo de histéresis para el aislador elastoméricos de la estructura que se está analizando.

Tabla 19. Parámetros del diagrama de histéresis

PROPIEDADES DINAMICAS UNIDADES

ESPECTRO DE ACELERACIONES ERN-12 SISMO DE SISMO MCE

LB UB LB UB q= cm 11,257 9,065 20,419 16,333

Alead= cm2 636,173 636,173 636,173 636,173 A= cm2 926,181 926,181 926,181 926,181

Qd= T 86,519 117,060 86,519 117,060 Kd= T/m 734,77 994,10 734,77 994,10 Fy= T 104,890 141,910 104,890 141,910 Kef= T/m 1503,300 2285,400 1158,500 1710,800

betaef= % 25,320 26,050 20,430 22,590 B= 1,627 1,641 1,526 1,572

Tef= s 1,302 1,056 1,483 1,221


Tabla 20. Periodos de vibración

MODOS SISMO DE SISMO MCE TLB TUB TLB TUB

1 1,350 1,115 1,525 1,271 2 1,350 1,115 1,525 1,271 3 1,046 0,864 1,181 0,985 4 0,243 0,239 0,245 0,241 5 0,243 0,239 0,245 0,241 6 0,188 0,185 0,190 0,187 7 0,101 0,101 0,101 0,101 8 0,101 0,101 0,101 0,101 9 0,078 0,078 0,078 0,078 10 0,058 0,057 0,058 0,057 11 0,058 0,057 0,058 0,057 12 0,045 0,045 0,045 0,045

Tabla 21. Resultados del análisis sísmico espacial SISMO DE

GDL MATERIAL LB MATERIAL UB qt (m) f (T) f c/p (T) qt (m) f (T) f c/p (T)

1 0,108 40,836 10,21 0,085 48,018 12,00 2 0,113 40,090 10,02 0,092 47,918 11,98 3 0,119 41,761 10,44 0,098 50,825 12,71 4 0,122 44,027 11,01 0,102 54,599 13,65

SISMO MCE GDL MATERIAL LB MATERIAL UB

qt (m) f (T) f c/p (T) qt (m) f (T) f c/p (T) 1 0,132 38,785 9,70 0,104 44,534 11,13 2 0,137 37,857 9,46 0,110 43,963 10,99 3 0,142 39,104 9,78 0,116 46,030 11,51 4 0,146 40,783 10,20 0,120 48,714 12,18


SISMO DE MATERIAL LB SISMO DE MATERIAL UB

SISMO MCE MATERIAL LB SISMO MCE MATERIAL UB

Figura 27. Espectros elásticos e inelásticos el cual esta reducido por R para la superestructura y B para el sistema de aislación.




Figura 28. Desplazamientos laterales por piso y del sistema de aislación.


1.2D+1.6L

1.2D+0.25L+1.0S(MCE)-LB

Figura 29. Combinaciones de carga para cada caso

1.2D+0.5L+1.0S(DE)-UB

1.2D+0.25L+1.0S(MCE)-UB



AISLADOR CARGA VERTICAL (1.2D+1.6L) LB UB

Pu U Θ Pu U θ EXTERNO 26,77 -3,99E-05 -0,00030 26,58 -3,85E-05 -0,00029 INTERNO 52,11 -1,39E-05 -1,99E-05 52,30 -1,32E-05 -1,21E-05

AISLADOR COMBINACION (1.2D+0.5L+1.0S(DE)) LB UB

Pu U Θ Pu U θ EXTERNO 38,18 0,111 -0,00171 41,64 0,089 -0,00200 INTERNO 44,28 0,111 -0,00090 44,84 0,089 -0,00108

AISLADOR COMBINACION (1.2D+0.25L+1.0S(MCE)) LB UB

Pu U Θ Pu U θ EXTERNO 36,10 0,136 -0,00160 38,71 0,108 -0,00182 INTERNO 42,24 0,136 -0,00084 42,73 0,108 -0,00098

Tabla 23. Control de deformaciones angulares

COMB. CARGA AISLADOR DEFORMACION ANGULAR LB UB

1,2D+1,6L EXTERIOR ϒc+ϒr+ϒs ≤ 6 0,70 0,61 INTERIOR 1.01 0,84

1,2D+0,5L+1,0S(DE) EXTERIOR ϒc+ϒr+0,5ϒs ≤ 7 1,89 1,51 INTERIOR 2,01 1.55

1,2D+0,25L+1,0S(MCE) EXTERIOR ϒc+ϒr+0,25ϒs ≤ 9

2,10 1,60 INTERIOR 2.25 1.66

Tabla 24. Calculo de la placa shim

COMB. CARGA AISLADOR VALOR

CALCULADO VALOR MINIMO VALOR

ADOPTADO LB(cm) UB(cm) LB(cm) UB(cm) LB(cm) UB(cm)

1,2D+1,6L EXTERIOR 0,16 0,16 1,90 1,90 2,00 2,00 INTERIOR 0,32 0,32 1,90 1,90 2,00 2,00

1,2D+0,5L+1,0S(DE) EXTERIOR 0,39 .38 1,90 1,90 2,00 2,00 INTERIOR 0,46 0,41 1,90 1,90 2,00 2,00

1,2D+0,25L+1,0S(MCE) EXTERIOR 0,33 0,30 1,90 1,90 2,00 2,00 INTERIOR 0,39 0,33 1,90 1,90 2,00 2,00


Tabla 25. Control del pandeo

COMB. CARGA AISLADOR CONTROL VALORES OBTENIDOS LB UB

1,2D+1,6L EXTERIOR 8,42 11,47

INTERIOR 4,32 5,83

1,2D+0,25L+1,0S(MCE) EXTERIOR 3,27 4,87

INTERIOR 2,80 4,41

Tabla 26. Placas exteriores

COMB. CARGA AISLADOR Ar (cm2) ttp (mm) LB UB LB UB

1,2D+0,5L+1,0S(DE) EXTERIOR 143,97 157,01 25 25 INTERIOR 166,97 169,08 25 25

1,2D+0,25L+1,0S(MCE) EXTERIOR 88,48 94,88 25 25 INTERIOR 103,53 104,73 25 25

Los valores calculados son mínimos por lo que se adoptan las recomendaciones del fabricante.

Figura 30. Aislador elastomérico diseño final


4 COMPARACIÓN DE RESULTADOS

En este apartado se resumen las dimensiones de los diferentes aisladores encontrados para el edificio de tres pisos que ha sido analizado. Ver figura 31.

Figura 31. Dimensiones de los tres tipos de aisladores

3.81 cm

10.8

cm

Péndulo de Primera Generación

3.81 cm

14.72 cm

30 cm 20 cm

80 cm

30 cm

Péndulo de Segunda Generación

12.5cm 12.5cm20cm45 cm

3.5 cm3.6 cm

15.9

cm

3.81 cm


5 COMENTARIOS Y CONCLUSIONES

Se ha presentado con bastante detalle el marco teórico que conduce al diseño de aisladores FPS de la primera y segunda generación y de aisladores elastoméricos con núcleo de plomo; de acuerdo a las investigaciones desarrolladas en la Universidad de Buffalo al año 2011.

Posteriormente se analizó y diseño los aisladores sísmicos para una estructura de tres pisos, todo esto con el propósito de ayudar al lector a comprender el diseño de estos dispositivos de control pasivo.

Se aspira haber aportado a la socialización del diseño de estructuras con aisladores sísmicos, habida cuenta que es una muy buena opción para estructuras situadas en zonas de alta peligrosidad sísmica.

REFERENCIAS

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5. Aguiar (2012) Dinámica de Estructuras con CEINCI-LAB. Centro de Investigaciones Científicas. Escuela Politécnica del Ejército, 416 p., Quito.

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en Ciencias de la Ingeniería. Universidad Católica de Chile, 288 p., Santiago de Chile.

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13. Cueto J., (2013), Curso de Aislación Sísmica. XIX Curso Internacional de Estructuras. Universidad de Fuerzas Armadas EPE, Quito Ecuador.

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Recibido: Noviembre de 2013 Aceptado: Febrero de 2014

DETERMINACIÓN DE LA CARGA DE AGRIETAMIENTO

EN LOSAS DE CONCRETO REFORZADO

Gelacio Juárez-Luna Profesor-Investigador, Departamento de Materiales, Ciencias Básicas e Ingeniería, Universidad Autónoma Metropolitana, San Pablo 180, Col. Reynosa Tamaulipas, Azcapotzalco, CP 02200, México D.F. Correo electrónico: [email protected]

RESUMEN Se estudia numéricamente el inicio y las trayectorias de agrietamiento de

losas rectangulares de concreto armado sujetas a cagas de colapso. Se utilizan elementos finitos sólidos para discretizar el concreto y elementos barras para el acero de refuerzo, ambos tipos de elementos se conectan en sus nodos. Una superficie de daño, con diferentes umbrales en tensión y en compresión, representa el comportamiento constitutivo del concreto, mientras que el endurecimiento del acero de refuerzo se idealizó con una superficie de Von Mises. Se desarrolla una ecuación con base en la teoría del esfuerzo principal máximo para determinar la carga en la que inicia el agrietamiento. Se presentan ejemplos numéricos de una prueba experimental de una losa reportada en la literatura, así como de una losa cuadrada y una rectangular.

Palabras clave: Losas; agrietamiento; daño; elementos finitos.

ABSTRACT The start and growth of cracking in reinforced concrete rectangular slabs

under collapse loads is studied. Solid finite elements were used for modelling concrete and bar elements for steel reinforcement; both kinds of elements were connected in the nodes. A failure surface, with different threshold values under tension and compression, represented the constitutive behaviour of concrete, whereas the hardening of the steel reinforcement was idealized with a Von Mises surface. An equation to compute the initial crack load, based on the maximum principal stress theory, was developed. Numerical examples of an experimental test of a slab reported in the literature, as well as a quadrilateral and a rectangular slab were presented.

Keywords: Slabs; cracking; damage; finite element.

92 Gelacio Juárez-Luna

1 INTRODUCCIÓN El agrietamiento de elementos de concreto es de interés en la ingeniería,

particularmente el determinar la carga en la que éste inicia, así como su evolución. En el concreto, el agrietamiento se presenta primeramente en las zonas que se encuentran en estados de esfuerzo a tensión, antes que las zonas de compresión, puesto que la magnitud de la resistencia del concreto en compresión es de 10 a 20 veces mayor a la resistencia en tensión, como se muestra en resultados experimentales como los de Kupfer y Gerstle (1973). En elementos de concreto reforzado se tiene primeramente un comportamiento elástico lineal, posteriormente se presenta el agrietamiento y, finalmente, plastificación del acero. Particularmente, en las losas de concreto reforzado empotradas, el agrietamiento inicia en los bordes de la cara superior, posteriormente en el centro de la parte inferior, propagándose al incrementar la carga; mientras que en las losas simplemente apoyadas inicia en el centro del claro en la cara inferior, propagándose hacia los bordes (Juárez-Luna y Caballero-Garatachea 2014).

Para determinar las trayectorias de agrietamiento, así como los

coeficientes de momentos en losas rectangulares, se han realizado pruebas de laboratorio, de las primeras que se tienen reportadas son las realizadas por Bach y Graf (1915), quienes probaron 52 losas simplemente apoyadas sobre sus bordes, así como 35 franjas apoyadas como vigas, las cuales fueron cargadas hasta la falla. En estas pruebas se obtuvieron los desplazamientos en algunos puntos de las losas y las pendientes en los centros de los bordes; además del registró el desarrollo de las grietas, como el que se muestra en la Figura 1 (Westergaard y Slater 1921). Posteriormente se realizaron otras pruebas como las reportadas por Mayes et al. (1959), Hatcher et al. (1960), Hatcher et al. (1961), Vanderbilt et al. (1961), Gamble et al. (1961), Jirsa et al. (1962), Girolami et al. (1970), Foster et al. (2004), Casadei et al. (2005) y Galati et al. (2008), entre otros. Es de interés señalar que las referencias antes mencionadas son la base de las investigaciones y aplicaciones que se realizan actualmente en el análisis y diseño de losas rectangulares.

a) b)

Figura 1. Trayectorias de agrietamiento en losa cuadrada de 2 m en la parte: a)

superior y b) inferior (adaptada de Bach y Graf 1915)

Determinación de la carga de agrietamiento en losas de concreto reforzado 93

Respecto al modelado de losas de concreto reforzado, de Borst y Nauta (1985) utilizaron el modelo de agrietamiento distribuido para modelar una losa axisimétrica sujeta a penetración por cortante, mostrando las trayectorias de agrietamiento, el cual inició en la parte inferior de la losa. Posteriormente, Kwak y Filippou (1990) modelaron una losa cuadrada apoyada en sus esquinas con una carga concentrada en el centro, obteniendo resultados de la gráfica de carga contra el desplazamiento al centro, los cuales fueron congruentes con los experimentales reportados por McNeice (1967) y Jofriet y McNeice (1971); en los resultados de Kwak y Filippou (1990) no se muestran el inicio ni propagación del agrietamiento. Existen otras propuestas para el modelado de losas de concreto reforzado como las de Hand et al. (1973), Lin y Scordelis (1975), Gilbert y Warner (1978), Hinton et al. (1981), Wang et al. (2013), entre otros.

Entre los software comerciales para modelar elementos de concreto

reforzado se enlistan ANSYS, DIANA, ATENA (Kabele et al. 2010), ABAQUS (abaqus 2011), NLFEAS (Smadi y Belakhdar 2007), entre otros. Estos software utilizan principalmente el método de los elementos finitos, con el modelo de agrietamiento distribuido para el comportamiento constitutivo del concreto, el cual está equipado con una superficie de falla con diferente umbral en tensión y compresión para determinar el inicio y propagación del agrietamiento. Sin embargo, el modelo de agrietamiento distribuido tiene problemas numéricos de atoramiento de esfuerzo y modos cinemáticos falsos (Roots 1988), los cuales son superados por factores heurísticos de retención de esfuerzo.

En este artículo se aplica la mecánica computacional en losas de concreto

reforzado para determinar la carga en la que inicia el agrietamiento, así como las trayectorias en las que éste se propaga. Se utiliza un modelo de daño con superficie de falla diferente tensión-compresión para el concreto y una superficie de fluencia de Von Mises para el acero, el modelo de daño no presenta los problemas numéricos que tiene el modelo de agrietamiento distribuido. Se modela una losa cuadrada apoyada en sus esquinas, cuya prueba experimental está reportada en la literatura, con la finalidad de validar los resultados numéricos con los experimentales; además, se modela una losa cuadrada y una rectangular sujetas a carga uniformemente distribuida hasta agrietarse completamente en la parte superior e inferior. La carga en la que inicia el agrietamiento se compara entre los resultados obtenidos numéricamente entre análisis no lineales y una formulación analítica simplificada basada en el criterio de falla de Rankine.

2 MODELOS CONSTITUTIVOS

Para modelar el comportamiento del concreto se utilizó un modelo de daño

con diferente umbral en tensión, ut, y en compresión, uc, formulado e implantado por Méndez-Martínez y Juárez-Luna (2012), congruente con el comportamiento constitutivo experimental reportado en la literatura, como el que se muestra en Figura 2a. Además, se considera el ablandamiento por deformación después de alcanzar el esfuerzo último como se muestra en la Figura 2b. Este modelo de daño diferente tensión-compresión (MDDTC) se define como:


0

0

0

0

Densidad de energía libre de Helmholtz

Variable de daño

Ecuación constitutiva

Ley de evolución de daño

, 1

1 ; ,0 ; 0,1

1 :

,

Criterio de

daño ,q q

u

d dq r

d q r dr

d

r rr

rE

g r

C

ò

01

0

Regla de endurecimiento/ablandamiento

Condiciones de carga y descarga

Condición de persistencia

,;

0 ; ´ 0

0; 0; , 0

, 0

, 0

d d

q q

q q

r rr q

t r rq H r H q r

r g r

g r si g r

: C :ò

(1)

Donde la variable de daño d es función de la variable de

endurecimiento/ablandamiento q, la cual a su vez depende del parámetro de endurecimiento/ablandamiento H. El factor , conocido como multiplicador de daño, determina las condiciones de carga y descarga, la función de daño g(q,r) delimita el dominio elástico que define la superficie de daño en el espacio de deformaciones y r0 es el valor umbral que limita el dominio elástico inicial.

En la formulación del MDDTC, el módulo tangente CT es un operador que

relaciona la razón de cambio entre los esfuerzos y las deformaciones, que se calcula con la ecuación (2) en términos incrementales para los casos de carga:

(2)

Donde el tensor constitutivo tangente CT, para el intervalo de carga

inelástica se define con la ec. (3).

23 21

dT q r Hd

r r C C C:ε ε :C (3)

Mientras que para el caso de carga elástica y descarga ( d =0) se define con la ec. (4).

1T d C C (4)


a)

uc1

C Elastic

-1

Elá

stic

o

r 0ut

r0

0

2

q q

q

Elástico

ut

ut

uc

b)

u

ou

Figura 2. Modelo constitutivo del concreto: a) superficie de falla y b) ablandamiento por deformación

En la ecuación (3), el parámetro afecta únicamente al segundo

sumando, el cual es diferente al que obtiene Linero (2006), quién descompone el producto diádico como una sumatoria de los esfuerzos multiplicada por otros parámetros. El parámetro , propuesto por Lubliner et al. (1989), se define como:

1n (5)

Donde es un factor de peso que depende del estado de esfuerzos

principales definido como:

3

1 3

1

ii

ii

(6)

en la que i son los esfuerzos principales, el numerador corresponde a la

sumatoria del operador de Macaulay (< >) e indica que sólo se consideran los esfuerzos principales positivos, el denominador corresponde a la sumatoria del valor absoluto de cada uno de los esfuerzos principales. Así, los valores extremos que puede tomar el factor son [0,1], cero para el caso de compresión triaxial, (0>1>2>3), y uno para el caso de tensión triaxial, (1>2>3>0). Entonces, los valores extremos del parámetro , definido en la ec. (5), son [1,1/n], uno para el caso de tensión triaxial y 1/n para el caso de compresión triaxial.

El parámetro escala los esfuerzos de compresión (1/n) veces para que

éstos se comparen contra el valor del umbral de daño, como el que se muestra en Figura 2a, que es función del esfuerzo último a tensión del material, de esta manera se determina si existe falla del material en compresión. Es importante mencionar que el caso de elementos donde sólo se presentan estados de esfuerzos en tensión, el parámetro del MDDTC es uno, recuperándose automáticamente un modelo de daño igual tensión-compresión.

Para modelar el acero de refuerzo se utilizó un modelo de plasticidad con

superficie de fluencia de Von Mises, en el cual se asume la misma magnitud umbral en tensión y compresión, como se muestra en la Figura 3a; el


endurecimiento del acero, después de alcanzar el esfuerzo de fluencia y, se idealizó como una función bilineal como se muestra en la Figura 3b.

a)

1

2

b)

y

y

Figura 3. Modelo constitutivo del acero: a) superficie de falla y b) endurecimiento Los modelos no lineales se resolvieron en el programa FEAP (Taylor

2008), acrónimo de su nombre en idioma Inglés, Finite Element Analysis Program. El concreto se discretizó con el elemento finito sólido hexaedro de ocho nodos mostrado en la Figura 4a, el cual tiene la capacidad de simular el agrietamiento en tensión y aplastamiento en compresión con base en el MDDTC, en tanto que el acero se discretizó con el elemento finito unidimensional lineal mostrado en la Figura 4b, al que se le asignó el modelo de plasticidad con superficie de fluencia de Von Mises. Ambos elementos finitos tienen tres grados de libertad por nodo, así como la capacidad de representar deformaciones grandes.

a) b)

x

Figura 4. Elementos finitos: a) hexaedro y b) unidimensional

3 EJEMPLOS NUMÉRICOS

3.1 Validación Para validar los modelos constitutivos de daño y de plasticidad, definidos

respectivamente en la sección anterior, se realizó el modelado de uno de los especímenes reportados por Girolami et al. (1970). El espécimen consistió en una losa de 1.829 x1.829 m y 0.044 m de espesor, en el que se aplicó únicamente


cargas verticales como se muestra en la Figura 5a. Cada carga vertical se aplicó sobre cuatro gatos y distribuida sobre 16 placas de distribución de carga, mediante cuatro arboles de carga como se muestra en la Figura 5. Cada placa de distribución se centró sobre los huecos del espécimen de la losa. Las placas de distribución de cargas eran cuadradas de 0.2038 m por lado y de 0.0254 m de ancho. El concreto tenía un módulo de Young Ec=19.90 GPa y su esfuerzo último a compresión era de uc31.026 MPa, el acero de refuerzo tenía un módulo de Young Ea=206 GPa y un esfuerzo de fluencia σy=330.95 MPa. El sistema de losa y vigas perimetrales tenía acero en la parte superior e inferior, diseñado para soportar una carga uniformemente distribuida de 7.182 kPa. La distribución del acero de refuerzo de la losa se muestra en la Figura 6a y el de las vigas en la Figura 6b.

a)

b)

1.829 0.229

0.559

0.559

0.152

0.076

0.044 0.108

0.4570.457 0.457

Figura 5. a) Modelo geométrico del experimento y b) cargas en el experimento

a)

Acero superior

Acero inferior

3#2

3#2

16#3@4"-5/16"

16#3@4"-5/16"

0.4826 m

0.8763#2

3#210#7 @ 6.35cm7.62cm

66.68 cm4#210#7 @ 5.08cm

15.24 cm

57.15 cm

b)

11.7

9 cm

13.5

8 cm

13.5

4 cm

#2 #2

4#2

15.2

4 cm

7.62 cm

Figura 6. Distribución de acero de refuerzo en: a) losa y b) vigas perimetrales El análisis no lineal de esta losa se realizó considerando los dos ejes de

simetría del espécimen para reducir el costo computacional. La malla de acero de refuerzo de la losa se muestra en la Figura 7a, la malla del concreto, losa y vigas, con el acero de refuerzo embebido se muestra en la Figura 7b, los nodos del acero


de refuerzo coinciden con los nodos de los elementos sólidos. En éste y en el resto de los ejemplos numéricos de este artículo se consideró acoplamiento perfecto entre el acero y el concreto.

a)

b)

Figura 7. Malla de elementos finitos: a) acero de refuerzo de la losa y b) concreto reforzado

En la Figura 8 se comparan las curvas de desplazamiento en el centro de

la losa contra la carga entre la prueba experimental y la obtenida con el método de los elementos finitos (MEF), se puede observar que en la trayectoria ab coinciden ambos resultados; sin embargo, en la trayectoria bc de los resultados experimentales se observa una recuperación del desplazamiento, el cual se puede atribuir a un corrimiento de los dispositivos de medición, pues al incrementarse la carga sobre la losa difícilmente se recuperaría el desplazamiento al centro. En el punto d se muestra una intersección de ambas curvas. En la Figura 9 se presenta la evolución del agrietamiento, que inicia en el centro de la parte inferior, propagándose hacia los bordes; mientras que, en la parte superior, éste inicia en la esquina, propagándose hacia los bordes, lo cual es congruente con los resultados experimentales reportados por Girolami et al. (1970). Es de interés mencionar que este mismo ejemplo lo realizaron Juárez-Luna y Caballero-Garatachea (2014) para calibrar los modelos constitutivos para el concreto y el acero del software de elementos ANSYS. En el que se utilizó un modelo de agrietamiento distribuido en el concreto que no permite proporcionar la energía de fractura, al cual se debe proporcionar factores de retención de transmisión de esfuerzos a cortante para evitar atoramiento.

0

10

20

30

40

50

0 0.6 1.2 1.8 2.4 3

w (k

Pa)

d(cm)

ExperimentalMEFb

ed

a

c

Figura 8. Comparación entre curva experimental y numérica


a)

b) Figura 9. Evolución del agrietamiento en parte: a) superior e b) inferior

3.2 Losas rectangulares En esta sección se presentan una losa cuadrada y una rectangular con las

dimensiones en planta mostradas en la Figura 10, las cuales tienen un espesor de 10 cm. Ambas losas se analizaron mediante incremento de carga uniformemente distribuida sobre la superficie, considerando dos condiciones de apoyo en sus bordes: simple y empotrada. El concreto tenía un módulo de Young Ec=14.71GPa, esfuerzo último a compresión de uc=28.635 MPa y esfuerzo ultimo a tensión ut28.635 MPa, el acero de refuerzo tenía un módulo elástico Ea=196.133 GPa, relación de Poisson =0.3, esfuerzo de fluencia σy=411.879 MPa y módulo de endurecimiento H=2.871 GPa.


4m

4m

4m

2m

a) b)

Figura 10. Geometría de losas: a) cuadrada y b) rectangular

El acero de refuerzo de ambas losas consiste en barras del número 3, separadas cada 20 cm en ambos sentidos. Como se muestra en la Figura 11, el acero en color rojo se colocó en la parte superior desde los bordes hasta un cuarto del claro, el cual mediante un columpio o bayoneta se integra al armado inferior en el centro de la losa, el acero en color azul cruza completamente las losas por su parte inferior y los bastones en color verde, sólo se colocaron en los extremos de la losa para completar el armado superior; en el centro de la losa sólo se colocó acero en la parte inferior.

a)

b)

Figura 11. Distribución de acero de refuerzo en losa: a) cuadrada y b) rectangular El acero de refuerzo se discretizó con elementos barras y el concreto con

elementos sólidos como se muestra en la Figura 12; al igual que los modelos anteriores, las barras se colocan a lo largo de los bordes de los elementos sólidos, cuyos nodos de ambas coinciden para que exista compatibilidad. Se consideró sólo un cuarto del modelo por tener dos ejes de simetría, lo que disminuye el costo computacional de los análisis.


a)

b)

Figura 12. Mallas de elementos finitos de losa: a) rectangular y b) cuadrada

Las curvas de carga distribuida contra desplazamiento al centro de cada

losa se muestran en la Figura 13, observándose que se necesita una mayor carga cuando la losa está empotrada en sus extremos para lograr el mismo desplazamiento al centro que una losa simplemente apoyada, lo cual se debe a los efectos de membrana que actúan en la losa al estar empotrada en las caras de sus bordes.

a)

0

10

20

30

40

50

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025

w(kP

a)

d(m)

EmpotradaS. Apoyada

b)

0

20

40

60

80

100

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007

w(kP

a)

d(m)

EmpotradaS. Apoyada

Figura 13 Curva de carga distribuida contra desplazamiento en losa: a) cuadrada

y b) rectangular En la losa cuadrada empotrada en sus bordes, el agrietamiento inicia

simultáneamente en la parte superior de los bordes, propagándose hacia el centro hasta formar un anillo, como se muestra en la Figura 14a, mientras que en la parte inferior, el agrietamiento inicia en el centro en forma de cruz, propagándose hacia las esquinas y los bordes, como se muestra en la Figura 14b. En la losa simplemente apoyada en sus bordes, el agrietamiento inicia en las esquinas y en el centro de la parte inferior, propagándose como se muestra en la Figura 15b; en la parte superior, éste también inició en las esquinas y se propaga al centro, como se muestra en la Figura 15a.

En la losa rectangular empotrada, el agrietamiento inicia simultáneamente

en la parte superior a lo largo de los bordes largos, posteriormente en los bordes cortos, propagándose hacia el centro hasta formar un anillo, como se muestra en la Figura 16. En la parte inferior, el agrietamiento inicia sobre una banda en el


centro, paralela a los bordes largos, propagándose hacia las esquinas y los bordes, como se muestra en la Figura 17. Las trayectorias de agrietamiento de la parte inferior son parecidas a las reportadas por el método de las líneas de fluencia mostradas en la Figura 18, así como a las reportadas experimentalmente por Bach y Graf (1915).

a)

b)

Figura 14. Evolución del agrietamiento de losa cuadrada empotrada en parte: a) superior e b) inferior


a)

b)

Figura 15. Evolución del agrietamiento de losa cuadrada simplemente apoyada en parte: a) superior e b) inferior

a)

b)

Figura 16. Evolución del agrietamiento de losa rectangular empotrada en parte: a)

superior e b) inferior


a)

b)

Figura 17. Evolución del agrietamiento de losa rectangular simplemente apoyada en parte: a) superior e b) inferior

a)

b) Figura 18. Mecanismos de falla de líneas de fluencia en losas: a) cuadrada y b)

rectangular

4 CARGAS DE AGRIETAMIENTO En esta sección se propone un procedimiento para determinar la carga en

la que inicia el agrietamiento, bajo el supuesto que la losa es de un material isotópico, que las secciones trasversales se mantienen planas y que el centroide coincide con el centro geométrico de la sección transversal. El procedimiento se describe a continuación:

1. Construcción de un modelo simplificado de la losa con elementos finitos placa

sujeta a la acción de una carga uniformemente distribuida w. 2. Ubicación en el modelo de la magnitud del momento, mm, correspondiente al

máximo del valor absoluto de los momentos principales m1 y m2, i.e., 1 2max ,mm m m (7)

Su localización corresponde a la zona de concentración del esfuerzo con mayor magnitud donde iniciaría el agrietamiento. Los momentos y direcciones


principales se pueden obtener a partir de los momentos, mx, my y mxy, mostrados respectivamente en la Figura 19, mediante:

2

21,2 2 2

x y x yxy

m m m mm m

(8)

1 21 tan2

xym

x y

mm m

(9)

a)

y

mx

x

mxy ym

z

mxy

b)

m

x

y

1

o

m 2

Figura 19. Momentos: a) cartesianos y b) principales

3. Determinación del esfuerzo máximo en la cara de la losa. Considerando una

distribución lineal, el esfuerzo está dado por:

312( ) mmz zt

(10)

Que tiene un valor máximo en z=t/2,

26 m

mmt

(11)

La magnitud de m corresponde al máximo del valor absoluto de los esfuerzos principales, max[|1|,|2|], tal que si |m1|>|m2| su valor en tensión se localiza en la cara inferior de la losa o si |m1|<|m2| entonces se localiza en la cara superior.

4. Cálculo de la carga de agrietamiento, wc. Se considera que el agrietamiento inicia cuando el esfuerzo principal máximo alcanza el valor umbral del esfuerzo último a tensión con base en la teoría del esfuerzo principal máximo de Rankine, por lo que la carga de agrietamiento se determina con la expresión:

tuc

m

ww (12)

Sustituyendo el valor de m de la ec. (11) en la ec. (12), se tiene la carga en función del momento.

2

6tu

cm

ww tm (13)


El agrietamiento ocurre en dirección perpendicular a mm, de tal forma que si |m1|>|m2| éste inicia en la cara inferior de la losa, de otra forma, si |m1|<|m2| entonces inicia en la cara superior.

Para validar la ec. (13) propuesta para calcular la carga en la que inicia el

agrietamieto, se realizaron los modelos de la losa reportada por Girolami et al. (1970), la cuadrada y la rectangular mostradas respectivamente en las Figuras 5 y 10, las cuales se discretizaron con elementos finitos placa en el software SAP2000, considerando sólo un cuarto de los modelos para reducir el costo computacional, en el que se restringieron los giros perpendiculares a los ejes de simetría. Se aplicó una carga uniformemente distribuida w= 10 kPa a las placas, que tiene un módulo de Young Ec=21.708 GPa y una relación de Poisson v=0.2. La distribución de momentos principales en un cuarto de los modelos descritos anteriormente, se muestran respectivamente en las Figuras 20, 21 y 22, donde se observa que, para las losas de Girolami et al. (1970) y las simplemente apoyadas, las magnitudes mayores de m1 se localizan en el centro de la losa, donde se supone iniciará el agrietamiento en dirección perpendicular a m1, i.e., 45° y 0°, respectivamente; para las losas empotradas, las magnitudes mayores |m2| se localizan en los bordes, donde iniciará el agrietamiento a 00 y 900, respectivamente, en la losa cuadrada el agrietamiento se presenta simultáneamente en los bordes, pero en la rectangular éste se presenta primeramente paralelo al lado largo. Puesto que en las losas simplemente apoyadas |m1|>|m2|, el agrietamiento inicia al centro, en la parte inferior de la losa, pero en las losas empotradas |m1|<|m2|, por lo que el agrietamiento inicia en la parte superior de losa, lo cual es congruente con los modelos sólidos de elementos finitos descritos en la sección anterior.

Figura 20. Distribución de momentos principales (kNm/m) en losa de Girolami et al. (1970)

agrietamiento


a)

b)

Figura 21. Distribución de momentos principales (kNm/m) en losa cuadrada: a) simplemente apoyada y b) empotrada

a)

b)

Figura 22. Distribución de momentos principales (kNm/m) en losa rectangular: a)

simplemente apoyada y b) empotrada Las magnitudes de las cargas distribuidas en las que el concreto comienza

a agrietarse, wc, calculadas con los modelos de elementos finitos no lineales y modelos simplificados, ec. (12), se proporcionan en la Tabla 1, donde se observa que para la losa de Girolami et. al. (1970) la carga de agrietamiento de 6.57 kPa es 9.25% veces menor a la carga de diseño reportada de 7.182 kPa. Para los modelos no lineales la magnitud de wc es mayor el 3.8% en las losas cuadradas empotradas y el 12.21% para la rectangular, atribuido a que se tiene otra distribución de esfuerzos y al efecto de membrana; sin embargo, con el análisis simplificado esta tendencia es distinta en la losa cuadrada, donde se tiene una magnitud menor en la condición simplemente apoyada. Se observa que entre los análisis no lineal y los simplificados existe una diferencia entre el 3.79% y 24.63%, siendo siempre menores los obtenidos simplificadamente, lo cual se debe a que en los primeros existe una redistribución de esfuerzos debido al acero de refuerzo embebido en el concreto; además, como es común en los elementos finitos, los esfuerzos se suavizan, por lo que se requiere una carga mayor para alcanzar la superficie de falla. En general, en las losas empotradas, el agrietamiento inicia en los bordes en la parte superior, mientras que en las losas simplemente apoyadas, éste inicia en el centro.

agrietamiento

agrietamiento

agrietamiento

agrietamiento

agrietamiento


Tabla 1. Carga en la que inicia el agrietamiento Geometría Apoyo wc (kPa) Diferencia

Análisis no lineal

Análisis Simplificado

%

Experimento Esquinas 6.57 5.68 15.66 Cuadrada Simple 6.99 6.74 3.79

Empotrada 7.26 5.82 24.63 Rectangular Simple 13.81 11.90 16.09

Empotrada 15.5 14.50 6.93

5 CONCLUSIONES El comparar la curva de carga contra desplazamiento de los resultados

numéricos con los experimentales reportados en la literatura se válida el MEF y los modelos constitutivos utilizados para el estudio de losas rectangulares, pues a pesar de que la curva experimental muestra una recuperación de desplazamiento, se considera que éste posiblemente se debió a un deslizamiento de los instrumentos de medición, pues ante una carga vertical incremental como la del experimento no puede presentarse una recuperación de desplazamientos al centro.

Se descarta el método de líneas de fluencia para determinar las

trayectorias de agrietamiento y la carga de colapso, pues a pesar de que este método proporciona trayectorias de agrietamiento, no proporciona si éste ocurre en la parte superior o inferior de la losa; además, estos métodos proporcionan un valor de la carga de colapso, que puede ser mayor o menor a la carga real de colapso; sin embargo, en este artículo se busca la carga en la que inicia el agrietamiento. Por lo anterior se utilizó la mecánica numérica, que proporciona el inicio y evolución del agrietamiento.

En las gráficas de carga distribuida contra desplazamiento al centro de la

losas, se observó que la carga distribuida sobre las losas con apoyo simple es aproximadamente el 20% de la magnitud de la carga sobre las losas empotradas en sus apoyos para desarrollar un mismo desplazamiento en el centro de la losa.

Se observa que entre los análisis no lineal y los simplificados existe una

diferencia entre el 3.79% y 24.63%, siendo siempre menores los obtenidos simplificadamente, lo cual se debe a que en los primeros existe una redistribución de esfuerzos debido al acero de refuerzo embebido en el concreto; además, como es común en los elementos finitos, la magnitud de los esfuerzos se suaviza, razón por lo que se requiere una carga mayor para alcanzar la superficie de falla.

En general, el agrietamiento en las losas empotradas inicia en los bordes

de la cara superior, posteriormente en el centro de la parte inferior, propagándose al incrementar la carga; mientras que en las losas simplemente apoyadas inicia en el centro del claro en la cara inferior, propagándose hacia los bordes.


AGRADECIMIENTOS A la Universidad Autónoma Metropolitana por las facilidades

proporcionadas a la realización de este trabajo y al patrocinio proporcionado por el Programa de Mejoramiento del Profesorado. Se agradece al proyecto 182736, “Análisis y diseño de losas de concreto” auspiciado por la Secretaría de Educación Pública (SEP) y al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACyT). Además se agradece la revisión de estilo a Jocelyn Tatiana Hernández Bautista.

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