Capitolul 6

Încovoierea barelor drepte

6.1. Încovoierea pură. Formula lui Navier

Analiza tensiunilor produse într-o bară dreaptă (fig. 6.1) în condiţiile când acţionează numai un moment încovoietor, celelalte eforturi fiind nule (încovoiere pură) se va baza pe următoarele ipoteze:

- sistemul de axe ypCzp este central şi principal;- solicitarea este produsă prin încovoiere cu moment constant de-a lungul axei

barei;- solicitarea este elastică deci legea lui Hooke este valabilă;- lungimea l a barei este mult mai mare decât înălţimea h a secţiunii (l>7·h);- este valabilă ipoteza secţiunii plane (Bernoulli).

Fig. 6.1. Deformarea barei la încovoiere pură

Deoarece unghiurile drepte nu se modifică, nu apar tensiuni tangenţiale ci numai tensiuni normale x . Experimentele au arătat că axa barei se curbează dar nu îşi modifică lungimea. De aceea, Cx este numită fibră neutră a barei. De fapt, există o suprafaţă neutră care intersectează secţiunea pe axa Cyp care este numită axă neutră a secţiunii.

Arcele de curbă a1b1 şi m1n1 se aproximează cu arce de cerc de raze , respectiv +zp . Având în vedere ipotezele de lucru se pot scrie relaţile

, (6.1)

. (6.2)

Deformaţia specifică a fibrei curente mn este

. (6.3)

Având în vedere legea lui Hooke, se deduce

. (6.4)

O ecuaţie de echivalenţă exprimă egalitatea dintre efortul Myp şi suma momentelor forţelor interioare în raport cu axa Cyp , adică

. (6.5)

Rezultă

, (6.6)

şi din (6.4) se deduce formula lui Navier

. (6.7)

Fig. 6.2. Solicitarea punctuală la încovoiere simplă

Fig. 6.3. Variaţia tensiunilor normale la încovoiere pură

Tensiunea de modul maxim apare în punctul secţiunii periculoase situat la cea mai mare distanţă faţa de axa neutră, deci

, (6.8)

unde

, (6.9)

este modulul de rezistenţă al secţiunii.În cazul materialelor cu rezistenţe apropiate la tracţiune şi compresiune, pentru

verificare, dimensionare sau stabilirea sarcinii admise se impune condiţia , unde este tensiunea admisibilă.

6.2. Încovoierea simplă a barelor drepte

Se analizează cazul când acţionează simultan eforturile Tzp şi Myp .Deşi ipoteza secţiunilor plane nu este valabilă (fig. 6.4), tensiunile normale produse de momentul încovoietar Myp vor fi calculate aproximativ cu formula lui Navier.

În plus, se va stabili o formulă pentru evaluarea tensiunilor tangenţiale datorate forţei tăietoare Tzp . Tensiunile sunt maxime pe fibra neutră unde şi lunecarea specifică este maximă. Se accceptă ipoteza de lucru propusă de Juravski: tensiunile asociate forţei tăietoare Tzp se consideră constante pe segmente paralele cu axa neutră din secţiunea studiată. Pentru simplificarea scrierii se va renunţa la indicele suplimentar p, precizând însă că demonstraţia ce urmează se face în sistem de axe centrale şi principale ( , ).

Fig. 6.4. Ipoteza secţiunilor plane nu se respectă la încovoiere simplă

Fig. 6.5. Schema de calcul pentru stabilirea formulei lui Juravski

Se scrie o condiţie de echilibru pentru elementul de volum haşurat în figura 6.5 şi anume, suma forţelor ce acţionează pe direcţie longitudinală

, (6.10)în care dNl este forţa de lunecare longitudinală ce acţionează pe faţa superioară a elementului de volum unde const. conform ipotezei lui Juravski

, (6.11)

unde b* este lăţimea secţiunii măsurată pe o paralela la axa neutră Cy, unde se calculează tensiunile tangenţiale de forfecare.

Sub această paralelă situată la distanţa z faţă de axa neutră, se află o parte din secţiunea barei, având aria A* şi centrul de greutate la distanţa z* faţă de axa Cy .

În fapt, volumul haşurat este o prismă dreaptă cu aria bazei A* şi înălţimea dx. Forţele N şi N+dN se determină din relaţii de echivalenţă

, (6.12)

. (6.13)

Substituind (6.11) – (6.13) în (6.10) şi având în vedere că

şi , (6.14)

rezultă succesiv

,

,

,

. (6.15)

Relaţia (6.15) este cunoscută drept formula lui Juravski. Pentru că într-o secţiune aleasă pentru studiu raportul Tz/Iy este constant, variaţia tensiunilor tangenţiale produse de forţa tăietoare Tz în funcţie de z depinde de variaţia raportului .

În cazul barelor masive monobloc (dintr-o bucată) efectul forţelor tăietoare este neglijabil în comparaţie cu cel al momentelor încovoietoare. Se va evidenţia acest fapt în cazul unei console cu secţiune dreptunghiulară cu = 10 (fig. 6.6).

Secţiunea periculoasă este încastrarea, unde şi .

Fig. 6.6. Bară în consolă solicitată la încovoiere simplă

Având în vedere că modulul de rezistenţă axial este

,

se calculează tensiunea normală maximă cu formula lui Navier

.

Deoarece , momentul static este

.

Substituind în formula lui Juravski se obţine tensiunea de forfecare

.

Pentru z=0, rezultă

.

unde este aria secţiunii barei.Se calculează raportul tensiunilor normale şi tangenţiale maxime

.

Concluzie: În cazul barelor masive se poate neglija efectul lui Tz faţă de cel al lui My deoarece şi în fibrele unde tensiunea normală ia valori extreme tensiunea tangenţială este nulă.

În cazul barelor suprapuse şi asamblate prin sudare, lipire sau nituire trebuie verificat dacă forţele de lunecare longitudinală induc tensiuni de forfecare acceptabile în elementele de îmbinare.

Pentru o mai uşoară înţelegere a metodologiei de calcul se va analiza un caz concret (fig. 6.7), un profil I cu tălpi de dimensiuni diferite. Cedarea sudurilor la forfecare s-ar putea produce fie la interfaţa inimă – talpă inferioară, fie în elementele de conexiune dintre inimă şi talpa superioară. Forţele de lunecare longitudinală ce acţionează în aceste zone de trecere se notează cu şi .

Din (6.11) şi (6.15) deducem

, (6.16)

Într-o bară cu lungimea L, forţa de lunecare NL ce acţionează într-un plan paralel cu xCy se calculează prin integrarea expresiei forţei dNl , adică

. (6.17)

Dacă bara are secţiune constantă, atunci şi raportul este constant. Un calcul mai simplu şi acoperitor se bazează pe înlocuirea diagramei Tz reale cu una în care se consideră . Astfel, din (6.17) rezultă

. (6.18)

În cazul particular al barei din fig. 6.7, pentru calculul forţelor şi se introduc în (6.18) momentele statice ale tălpilor superioară şi inferioară

, şi . (6.19)

Fig. 6.7. Parametrii geometrici ai unei bare compuse

Tensiunile de forfecare din elementele de îmbinare se calculează convenţional, pe baza ipotezei că sunt constante pe suprafeţele de minimă rezistenţă ale cordoanelor de sudură inferioare ( ) şi superioare ( ). Pentru că la capetele fiecărui cordon pot să apară defecte (cauzate de amorsarea şi ruperea arcului electric) ariile de calcul ale cordoanelor se consideră diminuate

şi . (6.20)

Asamblarea inimă-talpă inferioară este constituită din cordoane, fiecare cu arie convenţională de calcul Ai , iar la nivelul superior există cordoane de arie As .

Ţinând seamă de relaţiile (6.18)-(6.20), tensiunile de forfecare din suduri se calculează cu formulele

, . (6.21)

Dacă s-a stabilit o valoare admisibilă a tensiunii de forfecare în sudură , verificarea se face pe baza condiţiei de rezistenţă

. (6.22)

6.3. Încovoierea dublă a barelor drepte

6.3.1. Încovoiere simultană cu momente My şi Mz

Momentele M y şi M z au vectorii dirijaţi în sensurile pozitive ale axelor principale din secţiunea periculoasă. După cum rezultă din figura 6.2, într-un punct de coordonate pozitive (x, y) momentul My generează o tensiune de întindere, în timp ce Mz produce

compresiune. Aplicând formula lui Navier şi suprapunând efectele se obţine expresia tensiunii din punctul curent al secţiunii periculoase

. (6.23)

Locul geometric al punctelor din secţiune în care tensiunea este nulă ( =0) este un segment aparţinând dreptei de ecuaţie

. (6.24)

Această dreaptă (fig. 6.8) este o axă centrală (trece prin centrul de greutate al secţiunii) şi are panta

. (6.25)

Tensiunea variază liniar între valorile înregistrate în punctele L şi M extrem depărtate faţă de axa neutră (fig. 6.8)

, . (6.26)

Dacă materialul are rezistenţe diferite la tracţiune şi compresiune atunci se impune ca dintre tensiunile şi cea pozitivă să nu depăşească valoarea admisibilă la tracţiune , iar cea negativă să aibă modul cel mult egal cu tensiunea admisibilă la compresiune .

Dacă , atunci condiţia de rezistenţă se scrie sub forma

. (6.27)

Fig. 6.8 Fig. 6.9

6.3.2. Încovoiere dublă şi solicitare cu forţă axială

Expresia tensiunii se obţine introducând contribuţia solicitării axiale în (6.23)

. (6.26)

Axa neutră ( ) este o dreaptă de ecuaţie , (6.27)

care se poate reprezenta prin tăieturi (fig. 6.9). Tăieturile sunt două puncte Q şi R de coordonate

, şi , , (6.28)

unde

, , . (6.29)

6.3.3. Cazul barelor având secţiune cu douǎ axe de simetrie, înscrisǎ în dreptunghi cu material în colţuri

Acesta este un caz particular des întâlnit în practica de proiectare. Secţiuni precum cea din figura 6.10, profile I, H sau cheson (ţeavǎ dreptunghiularǎ) se încadreazǎ în aceastǎ categorie în timp ce o secţiune în formǎ de cruce nu respectǎ condiţia de a avea material în colţurile dreptunghiului în care se înscrie.

Diagramele de tensiuni evidenţiazǎ efectele separate ale eforturilor My, Mz şi N. Valori extreme ale tensiunilor , , , , (care se însumeazǎ algebric în colţurile dreptunghiului în care este înscrisǎ secţiunea) se calculeazǎ cu relaţiile

, , . (6.30)

unde

, . (6.31)

Este evident cǎ într-un colţ al dreptunghiului tensiunea rezultantǎ atinge valoarea maximǎ care se poate evalua cu formula

. (6.32)

Fig. 6.10

6.3.4. Cazul barelor cu secţiune circularǎ sau inelarǎ

Deoarece şi orice axǎ centralǎ este şi axǎ principalǎ a secţiunii, se poate înlocui încovoierea dublǎ cu My şi Mz cu o încovoiere simplǎ cu momentul rezultant.

Ca urmare relaţia pentru calculul tensiunii maxime este de forma

. (6.33)

În relaţiile (6.32) şi (6.33) trebuie introduse eforturile My, Mz şi N din secţiunea periculoasǎ a barei. Prin impunerea condiţiei de rezistenţǎ se pot rezolva probleme de verificare şi de dimensionare sau se poate stabili sarcina maximǎ admisǎ.

Notǎ: Este important de reţinut cǎ relaţiile prezentate în §6.3 sunt valabile dacǎ sistemul de referinţǎ yCz este central şi principal.