Upload
gmd28
View
412
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
8/8/2019 Rezistenta Materialelor Teori de Rezistenta
1/15
6.TEORII DE REZISTEN. SOLICITRI
COMPUSE
6.1 Variaia tensiunilor n jurul unui punct
Un corp asupra cruia acioneaz fore exterioare se deformeaz, iar ninteriorul su iau natere tensiuni. n capitolul 1 s-a artat c dac se izoleaz dininteriorul corpului un cub de laturi dx, dy, dz pe fiecare fa a cubului vor aciona o
tensiune normal i dou tensiuni tangeniale. Starea de tensiune n punctul dincare a fost izolat cubul este determinat de tensorul tensiune:
=
zzyzx
yzyyx
xzxyx
T
.
Fig. 6.1 Fig. 6.2
Starea de tensiune poate fi: monoaxial (fig. 6.1), atunci cnd numai unadin tensiunile normale, de exemplu,
x 0, situaie studiat n capitolul 2, plan
8/8/2019 Rezistenta Materialelor Teori de Rezistenta
2/15
ELEMENTE DE REZISTENA
MATERIALELOR
(fig. 6.2), atunci cnd x 0, z 0, xz = zx 0 i general, dac toatecomponentele tensorului tensiunilor sunt diferite de zero.
Determinarea tensiunilor dup o direcie nclinat fa de axe, n cazulstrii plane (fig. 6.3) se face scriind ecuaiile de echilibru a forelor pe direciiletensiunilor i , pentru un element prismatic cu baza triunghiular.
Notnd aria seciunii nclinate (ABdy) cu A rezult ariile OBdy=Acosi OAdy=Asin.
Ecuaiile de echilibru pentru elementul prismatic sunt:
.0AsinAcos-cosAsin-sinAcos+A
0,=cosAsin-cosAsinsinAAcos-A
2
zx
2
xzzx
zxxz2
z2
x
=+
innd seama c ij = ji se obine:
,cos2+sin22
,sin2cos222
xzzx
xzzxzx
=
+
++
=(6.2)
relaii care dau tensiunile ntr-o seciune nclinat nfuncie de tensiunile dup direcia axelor decoordonate i de unghiul de nclinare a seciunii.
Direciile pe care tensiunea este maximsau minim, numite direcii principale i expresiilerespective ale lui , numite tensiuni principale,rezult din anularea derivatei tensiunii n raport cu:
Fig. 6.3
20cos22)sin2(d
dxzzx ==+= ,
deci pe direciile principale, tensiunile tangeniale sunt nule.
Se obinezx
xz
=
22tg
, (6.3)
sau ),k2
arctg(2
1
zx
xz
+
=
92
8/8/2019 Rezistenta Materialelor Teori de Rezistenta
3/15
6. TEORII DE REZISTEN. SOLICITRI COMPUSE
existnd dou soluii care difer ntre ele prin2
i deci dou direcii principale
perpendiculare ntre ele. nlocuind aceste valori n relaia (6.1), rezult cele doutensiuni principale,
( ) ,42
1
2
2
xz
2
zxzx
1,3
++
= (6.4)
unde 1= max i 3= min.
Procednd analog pentru determinarea maximelor i minimelor lui , seobine,
( ) ,0sin22cos2d
dxzzx ==
avnd soluia ,tg
1
2tg2
xz
211
=
= (6.5)
i deci direciile 2 i 21 sunt perpendiculare ntre ele, tensiunile tangenialefiind maxime la 45 fa de direciile principale. Dac se nlocuiete expresia (6.5)a lui 1 n (6.2) se gsete
.2
31
minmax
= (6.6)
Tensorul tensiunilor n cazul strii plane are forma ,0
0T
3
1
=
(6.7)
iar n cazul strii generale ,
00
00
00
T
3
2
1
=
(6.8)
unde 1> 2> 3.ntr-un punct din corpul solicitat poate exista o stare de deformaii cu
direciile principale de deformaii care coincid cu direciile principale de tensiuni.Tensorul deformaiilor n cazul strii plane exprimat n funcie de deformaiilespecifice principale este
=3
1
0
0T
, (6.9)
i n cazul strii generale de deformaii, cnd 1>2>3, tensorul deformaiilor este
93
8/8/2019 Rezistenta Materialelor Teori de Rezistenta
4/15
ELEMENTE DE REZISTENA
MATERIALELOR
,
00
00
00
T
3
2
1
=
(6.10)
6.2 Legea lui Hooke generalizat
Stabilirea legturii ntre tensiuni i deformaii specifice, n cazul general,se face lund un cub de latur unitate pe ale crui fee acioneaz tensiunileprincipale 1, 2, 3, ca n figura 6.4, a.
Fig. 6.4
n cazul strii monoaxiale de tensiune s-a vzut c exist legea lui Hooke, = E , iar deformaia transversal are expresia, tr= .
Dac se aplic cubului trei stri de tensiune, ca n figura 6.4,b,c i d, seobin deformaiile specifice corespunztoare fiecrei stri monoaxiale, astfel:
- pentru 1 0, 2= 0, 3= 0,
;E
,E
,E
1'
31'
21'
1
===
94
8/8/2019 Rezistenta Materialelor Teori de Rezistenta
5/15
6. TEORII DE REZISTEN. SOLICITRI COMPUSE
- pentru 1= 0, 2 0, 3= 0,
- pentru 1= 0, 2= 0, 3 0,
Dac 1 0, 2 0, 3 0, deformaiile specifice au expresiile:
( )[ ]
( )[ ]
( )[ ]2133
1322
3211
E
1
)11.6(,E
1
,E
1
+=
+=
+=
Dac direciile principale nu coincid cu direciile axelor de coordonate x,y, z, relaiile (6.11) se pot stabili n mod analog, sub forma:
( )[ ]
( )[ ]
( )[ ].E
1
,E
1
,E
1
yxzz
xzyy
zyxx
+=
+=
+=
(6.12)
Axele x, y, z nefiind axe principale, lunecrile specifice sunt:
.
G
,
G
,
Gzx
yz
yz
xy
xyzx
=== (6.13)
Relaiile (6.12) i (6.13) reprezint legea lui Hooke generalizat.
n cazul strii plane de tensiune, pentru care y = xy = yz = 0, legea luiHooke generalizat este:
( ) ( ) ( ) .G
,E
1,
E,
E
1 xzxzxzzxzyzxx
==+== (6.14)
sau, fa de direciile principale:
95
;E
,E
,E
2''
32''
22''
1
===
1
3
2
3
3
3''' ''' ''', , .= = =E E E
8/8/2019 Rezistenta Materialelor Teori de Rezistenta
6/15
ELEMENTE DE REZISTENA
MATERIALELOR
( )
( )
( ).E
1
,E
,E
1
133
132
311
=
+=
=
(6.15)
6.3 Energia de deformaie
Sub aciunea forelor exterioare corpul se deformeaz, iar forele sedeplaseaz, efectund astfel un lucru mecanic care este acumulat de corp sub formaenergiei de deformaie.
Dac o for F, se deplaseaz pe direcia ei de aciune cu , atunci lucrul
mecanic efectuat este L =
0
.dF
ntre forele exterioare aplicate static i deformaiile pe care le produc
exist relaia de proporionalitate F=k , astfel c
L = k =
0
2
2
F
2
k=d . (6.16)
Dac forele nu sunt aplicate static, nu exist proporionalitate ntreforele aplicate i deformaiile produse, rezultnd
L=F . (6.17)
Lucrul mecanic al forelor exterioare este egal cu lucrul mecanic alforelor interioare. Dac se izoleaz un element de volum dintr-un corp supus unei
stri liniare de tensiune, ca n figura 6.5, atunci lucrul mecanic efectuat de foraprodus de x este egal cu energia de deformaie nmagazinat de element, adic
dU= dV2
1=dxdydz
2
1xxxx .
Energia de deformaie raportat la unitatea de volum poart numele deenergie specific de deformaie fiind dat de expresia,
U1= ,2
1
dV
dUxx= (6.18)
96
8/8/2019 Rezistenta Materialelor Teori de Rezistenta
7/15
6. TEORII DE REZISTEN. SOLICITRI COMPUSE
i poate fi exprimat prin aria haurat din figura 6.6.
Fig. 6.5 Fig. 6.6
Pentru starea general de solicitare, energia specific de deformaie este
U1= ( )zyzyxzxzxyxyzzyyxx2
1 +++++ . (6.19)
Folosind relaiile de legtur dintre tensiuni i deformaii specifice,relaiile (6.12) i (6.13), se obine
( )[ ]
( ).2G
1
22E
1
2
zx
2
yz
2
xy
zzyyx
2
z
2
y
2
x1
+++
+++++=x
U
(6.20)
Dac starea de tensiune este definit prin direciile principale i tensiunileprincipale, situaie n care tensiunile tangeniale sunt nule, atunci
U1= ( )[ ]1332212
3
2
2
2
1 22E
1 ++++ . (6.21)
Corpul prin deformare i modific att volumul ct i forma, astfel c sepoate considera c o parte a energiei servete la modificarea volumului i alt partela modificarea formei:
U1=U1v+U1f. (6.22)
Elementul de volum (fig. 6.7) i modific volumul dac este solicitat pe
toate feele cu aceeai tensiune medie, p= ( )3213
1 ++ . Atunci x = y = z
= p, xy = yz = zx = 0, rezultnd:
U1v=( )
( ) 23212
6E
2-1p
2E
2-13
++= , (6.23)
97
8/8/2019 Rezistenta Materialelor Teori de Rezistenta
8/15
ELEMENTE DE REZISTENA
MATERIALELOR
U1f=U1-U1v = ( ) ( ) ( )[ ]2132
32
2
216E
1
++
+. (6.24)
Energia total de deformaie pentruun corp este
U= .dVU1 (6.25)
Fig. 6.7
6.4 Teorii de rezisten
La solicitarea de ntindere simpl, tensiunea 1 produce ruperea, cndatinge starea limit 1= r. n Rezistena materialelor, dimensionarea pieselor seface astfel ca starea de tensiune care ia natere n timpul funcionrii s nu ajungla o anumit stare limit, care poate fi limita de elasticitate sau rezistenaadmisibil, pn la care se consider aplicabile relaiile Teoriei elasticitii.ncercrile n laborator efectuate pe epruvete solicitate la ntindere au artat c nmomentul ruperii, tensiunile normale i tangeniale i , deformaia specific i energia specific de deformaie U1 ating simultan valori corespunztoareruperii materialului respectiv. De aceea, la solicitarea de ntindere simpl, pentru adefini o stare limit este suficient s fie definit doar unul dintre cei patru factori,ceilali rezultnd implicit.
n cazul unei stri generale ( 1> 2> 3) se constat c dac unul dincei patru factori ( , , ,U1) atinge o stare limit, ceilali au valori diferite de celecare caracterizeaz aceast stare limit la solicitarea de ntindere simpl. Se puneatunci ntrebarea: ce relaie ntre tensiunile 1, 2, 3 poate duce la starealimit? Relaiile matematice ntre tensiunile principale 1, 2, 3corespunztoare atingerii unei strii limit, au fost numite teorii de rezisten.Considernd drept stare limit, rezistena admisibil a materialului la ntindereasimpl, teoriile de rezisten stabilesc pentru starea general de solicitare o tensiuneechivalent, care se compar cu rezistena admisibil, deci
ech= F( 1, 2, 3) a.
98
8/8/2019 Rezistenta Materialelor Teori de Rezistenta
9/15
6. TEORII DE REZISTEN. SOLICITRI COMPUSE
Corespunztor celor patru parametri, care definesc o stare limit, au foststabilite urmtoarele teorii de rezisten:
-teoria tensiunii normale maxime, conform creia o stare limit esteatins ntr-un corp, cnd tensiunea principal maxim din corp atinge valoareatensiunii corespunztoare aceleiai stri limit de la solicitarea de ntindere simpl:
ech = 1 a, (6.26)
-teoria deformaiei specifice maxime, conform creia o stare limit esteatins ntr-un corp, cnd deformaia specific maxim din corp atinge valoareadeformaiei specifice corespunztoare aceleiai stri limit de la solicitarea dentindere simpl.
n cazul strii generale de deformaie definit prin 1> 2> 3 se poatescrie,
max = 1, sau 1= ( )[ ]EE
1 a321
+ .
Rezult c .)( 321ech a += (6.27)
-teoria tensiunii tangeniale maxime, conform creia o stare limit esteatins ntr-un corp, cnd tensiunea tangenial maxim din corp atinge valoareatensiunii tangeniale corespunztoare aceleiai stri limit de la solicitarea dentindere simpl. Relaia (6.6) arat c
,2
31max
= iar la ntinderea simpl
2
1max
= .
Admind drept stare limit rezistena admisibil la solicitarea dentindere simpl, rezult:
,22
31max
a
= sau ech = 1 3 a . (6.28)
-teoria energiei specifice de deformaie, conform creia o stare limit
este atins ntr-un corp, cnd energia specific de deformaie atinge valoareaenergiei specifice de deformaie corespunztoare aceleiai stri limit de lasolicitarea de ntindere simpl.
Folosind relaia (6.21) pentru starea general de tensiune i apoi pentrusolicitarea de ntindere simpl, unde 1= a, se scrie
( ) ( )2EE2E
12
a133221
2
3
2
2
2
1
++++
sau
99
8/8/2019 Rezistenta Materialelor Teori de Rezistenta
10/15
ELEMENTE DE REZISTENA
MATERIALELOR
( ) .2 a1332212
3
2
2
2
1ech ++++= (6.29)
-teoria energiei specifice de variaie a formei, conform creia o starelimit este atins ntr-un corp, cnd energia specific de variaie a formei arevaloarea energiei specifice de variaie a formei corespunztoare aceleiai strilimit de la solicitarea de ntindere simpl.
Prin aplicarea relaiei (6.24) pentru starea general de tensiune i apoipentru solicitarea de ntindere simpl, unde 1= a, se scrie
( ) ( ) ( )[ ] ,26E1
E6
1a
2
13
2
32
2
21
+++
+sau
( ) ( ) ( )[ ] .2
1a
2
13
2
32
2
21ech ++= (6.30)
Rezultatele calculelor de rezisten efectuate prin aplicarea acestor teoriide rezisten difer de la o teorie la alta, ncercrile de laborator verificndu-lenumai n anumite cazuri. Astfel,
-teoria tensiunii normale maxime (teoria I) se verific n cazul ntinderiimaterialelor casante i mai puin pentru materiale tenace;
-teoria deformaiei specifice maxime (teoria II) nu se verific pentrumateriale tenace, cum sunt oelurile moi;
-teoria tensiunii tangeniale maxime (teoria III) a fost confirmat pentrumaterialele tenace i la ncercrile de compresiune pe toate direciile pentrumateriale casante;
-teoria energiei specifice de deformaie (teoria IV-a) a fost verificat
pentru materiale tenace numai n cazul n care p = ( ) 03
1321 ++ ;
-teoria energiei specifice de variaie a formei (teoria IV-b) a fostverificat pentru materiale tenace.
Se poate aprecia c teoria tensiunii tangeniale maxime i cea a energieispecifice pentru variaia formei sunt recomandate pentru materiale tenace, iarteoriile tensiunii normale maxime i a deformaiei specifice maxime pentrumateriale fragile.
n cazul strii plane de tensiune ( 2=0), relaiile care dau tensiunileechivalente devin:
100
8/8/2019 Rezistenta Materialelor Teori de Rezistenta
11/15
8/8/2019 Rezistenta Materialelor Teori de Rezistenta
12/15
ELEMENTE DE REZISTENA
MATERIALELOR
Fig. 6.8
Tensiunile echivalente (6.32) sunt n acest caz:
.M4
3M
W
1
;M2
1M
W
1
;MMW
1
;MM2
1M
2
1
W
1
;MM2
1
2
M
W
1
2
t
2
i
y
b-IV
ech
2
t
2
i
y
a-IV
ech
2
t
2
i
y
III
ech
2
t
2
ii
y
II
ech
2
t
2
ii
y
I
ech
+=
++=
+=
+++=
++=
(6.33)
Relaiile (6.33) pot fi scrise sub forma
,W
M
y
ech
ech = (6.34)
unde Mech (numit moment echivalent) se calculeaz dup teoriile de rezisten, curelaiile:
102
8/8/2019 Rezistenta Materialelor Teori de Rezistenta
13/15
6. TEORII DE REZISTEN. SOLICITRI COMPUSE
.M43MM
;M2
1MM
;MMM
;MM2
1M
2
1M
;MM2
1
2
MM
2t
2i
b-IVech
2
t
2
i
a-IV
ech
2
t
2
i
III
ech
2
t
2
ii
II
ech
2
t
2
iiI
ech
+=
++=
+=
++
+
=
++=
(6.35)
Cu relaia (6.34) se pot face calcule de dimensionarea
ech
y
MW
nec = , (6.36)
i de determinarea capacitii de ncrcare Mcap=Wy a. (6.37)
Aplicaia 1
Un motor electric avnd puterea P=10KW i turaia n=150rot/minantreneaz un arbore pe care se gsete o roat, care acioneaz un mecanism decomand, ca n figura 6.9. S se dimensioneze arborele din oel, cu seciuneacircular. Se d a= 60 MPa.
Fig. 6.9
103
8/8/2019 Rezistenta Materialelor Teori de Rezistenta
14/15
ELEMENTE DE REZISTENA
MATERIALELOR
Rezolvare
Momentul de rsucire preluat de arbore este
Mt= kNm.637,0150
1030=
Prin reducerea forei F de la periferia roii pe arbore rezult o forconcentrat i un moment de rsucire care echilibreaz momentul de rsucirepreluat de arbore, ca n figura 6.9, adic
Mt= FR =0,637, rezultnd F = 5,30,12
0,637
= kN.
Arborele este deci solicitat la ncovoiere i rsucire, diagramele M i i M tfiind trasate pe figura 6.9, seciunea periculoas a arborelui este n dreptul roii,unde momentul de ncovoiere echivalent calculat prin teoria a III-a de rezisteneste
Mech= 829,0637,053,0 22 =+ kNm.
Diametrul arborelui rezult:
Wy nec= ,mm1081,1360
10829,0 336
=
de unde
d 3
32 138 10
3
= ,, d = 52 mm.
Aplicaia 2
Arborele din figura 6.10, confecionat din oel cu seciunea inelar(d=0,8D) primete prin roata 1 puterea P1= 35 kW de la un motor electric itransmite la dou maini de lucru prin roile 2 i 3 puterile P 2 = 20 kW i P3 =15kW,turaia arborelui fiind n = 400 rot/min. S se dimensioneze arborele dup teoria aIV-a de rezisten. Se d a= 100 MPa.
Rezolvare
Momentele de rsucire care solicit arborele sunt:
33
3-1
t RTn
P30M ==
, de unde 79,1
2,0400
1530T3 =
=
kN,
MP
nT R
t
1-2
2 2= =
30
, de unde 39,2
2,0400
2030T2 =
=
kN.
Momentul de rsucire preluat prin roata 1 este
104
8/8/2019 Rezistenta Materialelor Teori de Rezistenta
15/15
6. TEORII DE REZISTEN. SOLICITRI COMPUSE
111
t RTn
P30M ==
, de unde T1 =
=30 35
400 0 42 09
,, kN.
Fig. 6.10
Arborele este solicitat n plan vertical prin fora concentrat 3T1, iar nplan orizontal prin forele 3T2 i 3T3, ca n figura 6.10. Diagramele momentelorncovoietoare n plan vertical, n plan orizontal i de rsucire sunt trasate n desen.
Momentul ncovoietor rezultant i seciunea periculoas a arborelui dindreptul roii 1 este:
77,125,125,1MMM 222iH2
iVi =+=+= kNm.
Momentul echivalent calculat prin aplicarea teoriei a IV-b-a este
Mech= 82,1477,04
377,1 22 =+ kNm.
Modulul de rezisten axial este Wy =182 10
100 321 0 8
6
4,
( , )
= D 3
, de
unde D = 68 mm, d = 55 mm.
105