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Risolvere Sistemi Matriciali con Metodo di Gauss, sia con pivoting parziale che totale
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1
Sistemi lineari
Metodo di eliminazione di
Gauss
Motivazioni
Molti problemi si possono rappresentare mediante un sistema
lineare
La soluzione di un sistema lineare costituisce un sottoproblema di
moltissime applicazioni del calcolo
scientifico
Obiettivo
Studiare algoritmi per il calcolo della soluzione numerica di sistemi lineari
Numeri di macchina
Il problema
2
Ipotesi su A Teorema di esistenza e
unicit
Metodi per il calcolo della soluzione
DIRETTI: con un numero finito di operazioni si calcola la soluzione.
ITERATIVI: si costruisce una successione di vettori che allinfinito si avvicina alla soluzione del sistema.
SISTEMI FACILI: diagonali
3
SISTEMI FACILI: triangolari
inferiore superiore
Si pu dimostrare che linversa di una matrice triangolare inferiore (superiore) ancora una matrice triangolare inferiore (superiore)
Algoritmo di sostituzione allavanti
Algoritmo di sostituzione
allindietro Complessit computazionale degli
algoritmi di sostituzione allavanti e allindietro
Divisioni e
prodotti Somme
4
Sistemi qualunque
Calcolo dell inversa:
(floating point con =10, t=6)
Sistemi qualunque
Metodo di Cramer : esempio
Complessit computazionale del metodo di Cramer
Se 1 nsec per eseguire il prodotto e
Metodo di eliminazione
*
+
5
Metodo di eliminazione
*
+
Metodo di eliminazione
*
+
Metodo di eliminazione
Sistema triangolare equivalente (= ha le
stesse soluzioni del sistema iniziale)
Strategia:
Costruire un sistema equivalente pi semplice
Combinazioni lineari delle righe della matrice (= equazioni del
sistema)
I coefficienti della combinazione lineare si dicono moltiplicatori
6
Cambiamo punto di vista
Le combinazioni lineari delle righe di una matrice si possono esprimere
come prodotti matrice-matrice.
Esempio
Esempi
1.
2.
Propriet delle matrici di
trasformazione
Hanno determinante uguale a 1.
Sono matrici non singolari.
Metodo di eliminazione
7
Metodo di eliminazione Trasformazioni di Gauss
Trasformazione elementare
di
Gauss applicata
alla 1 colonna
1 Passo 2 Passo
8
k Passo
Se
Dopo n-1 passi Se la trasformazione elementare di
Gauss definita e
Dopo n-1 passi
dove triangolare superiore
9
Si dimostra che: Dimostrazione (1/4)
Dimostrazione (2/4) Dimostrazione (3/4)
Si verifica
k-esimo elemento
di
10
Dimostrazione (4/4) Fallimento dellalgoritmo L algoritmo ben definito se tutti i perni sono non nulli
Esistono matrici non singolari su cui lalgoritmo fallisce, poich si incontrano perni nulli.
Condizione sufficiente
Se i minori principali di A sono non nulli, tranne al pi lultimo, allora lalgoritmo ben definito Definizione: il k-esimo minore principale
di A
Inoltre si dimostra che
Dimostrazione per induzione(1/2)
Per k=1
Per k=2
poich la trasformazione di Gauss triangolare si ha luguaglianza
11
Dimostrazione per induzione(2/2)
Hp di induzione:
Th:
poich le trasformazione di Gauss
triangolare si ha luguaglianza
Th
Riassumendo
Teorema
Se tutti i minori principali di A sono non
nulli, tranne al pi lultimo, allora esistono una matrice L triangolare inferiore con
diagonale unitaria ed una matrice
triangolare superiore R tali che
Inoltre
FATTORIZZAZIONE DI A
Unicit
Se A non singolare e ammette la fattorizzazione LR, allora essa unica
Dimostrazione:
triangolare inferiore con diagonale unitaria
triangolare superiore
diagonale unitaria
=
Viceversa
Se A ammette la fattorizzazione,
allora tutti i minori principali sono
non nulli.
12
Algoritmo di fattorizzazione di Gauss
Si sovrascrivono gli elementi della matrice;
Elemento
perno o pivot
Complessit computazionale
Calcolo
moltiplicatori
Aggiornamento
degli
Passo Divisioni Somme e prodotti
1
2
k
n-1 1 1
Complessit computazionale della fattorizzazione di Gauss
Soluzione di un sistema
Sostituzione allavanti
Sostituzione allindietro
13
Esempio