١

:فرانسيل و مشتقات جزئييمعريف معادالت د

اگر معادله اي شامل جند متغري و مشتقات آا باشد، آن معادله يك معادله ديفرانسيل ناميده مـي معادله ديفراسيل با مشتقات جزئي معادله اي است كه شامل يك تابع و مـتغري هـاي آن و .شود

فرم كلي معادالت ديفرانسيل با مشتقات جزئي به صورت رابطه .جزئي مربوط مي باشدمشتقات

:مي باشد)١( ):١(رابطه

كه در آن

:مثال

كي چازبني اين جمموعه تنها خبش كو.يك جمموعه معادالت ناحمدود مي باشد PDEجمموعه معادالت .داراي كاربردهاي خاص مي باشد

))٢(رابطه (فرمهاي حماسبايت مطرح مي شوند داراي PDEربردهاي غالب مسائلي كه در كا

0,......),,......,,,,.......,,,( )()()( =+ jixy

myyyy

nxxxx uuuuuuuuG

yxuuu

yu

xyu xyyx ∂∂

∂==

∂∂

∂∂

=2

⎪⎩

⎪⎨⎧

=∂∂

+∂∂

=+

0

0),(),(

3

3

3

3

yu

xu

yxuyxu yyyxxx

٢

.هستند PDEضرايب معادله A , B , ….., Gكه در آن .مي باشند :)٢(رابطه

.از مشتقات جزئي مي نامند ٢اين معادله را فرم استاندارد معادله درجه خطي ناميده مي شود ويل چنانچه ٢ه باشند، معادله ي درج x , yتوابعي از A , B , ….., Gچنانچه

A , B , ….., G تابعي ازU معادله ي غري خطي ناميده مي شود ، باشد. دومعادله غري خطي درجه : مثال

دو معادله خطي درجه: مثال

در حوزه ي ٢معادله ديفرانسيل با مشتقات جزئي خطي درجه در بسياري .صفحه و يا فضا تعريف مي شوند ديفرانسيل با مشتقات جزئي روي خط ، تمعادال

در برخي كاربردها نيز.معلوم مي باشد يا روي خطر در مرز ناحيه يا فضاUاز كاربردها ،مقادميتغري Boundary valueمسـائل گـروه اول .معلوم مي باشد زمان و مكان در نقطه شروع U ر تابعادمق

Problems )وم را و مسائل گروه د) مسائل با مقادر مرزيInitional Value Problems حالـت .ميناميميك معادله ديفرانسيل،خطي ناميده مي شود وقـيت .تركييب از مقادير مرزي و اوليه نيز وجود دارد

.مرزي آن خطي باشدمقاديركه معادله و شرايط اوليه يا آن مهگن باشند ناميده مي شود وقيت معادله و شرايط Homogenusمهگن يا PDEمعادله ديفرانسيل

در وجـود , يك معادلـه براي روش هايي كه در اين درس ارائه مي شود ،خطي و مهگن بودن ه دليل به حل معادالت مشتقات جزئـي چبراي توضيح اينكه به .نقش اساسي دارد جواب معادله

نيازمند PDEا به حل يك معادله آائي را در فيزيك مطرح مي كنيم كه حل دقيق مثاهل .نيازمندمي ن آر بيشتر كاربرد اين درس براي حل مسائلي است كه در زير منونه هائي ازگبه عبارت دي.است . ورده شده استآ

:حل مساَله سيم نوسان كننده ايل جرم چگو داراي سيم را باريك.شده باشد Fixدر دو نقطه Lفرض مي كنيم سيمي به طول . طويل يكنواخت فرض مي كنيم

. با سرعت است yداراي حركت در راستاي سيم

:حركت ندارمي بنابراين xاز آجنا كه در راستاي

0),(),(),(),(),( =++++++ GyxFuyxEuyxDuyxCuBuyxAu yxyyxyxx

0)(sin =+ uyxx uu

10),(),(),( 2 =++ yxueyxuxyyxzu xyyxx

),,( zyxu

( )txxv .∆+

( ) ( ) ( ) lxtctetxHtxxHtvH <<∀=→∆+= 0,,,

( ) ( )H

txvH

txxv−

−=

∆+=

,tan,tan βα

٣

دارميyبراي يك املان طول سيم و در راستاي نريوباقرار دادن معادله

رفته شده مي باشد و در صوريت كه گكمان اجياد شده توسط املان در نظر ∆sكه در ان

):٤(رابطه .كشش سيم مي باشدHو مقادير ثابيت هستند جرم واحد طول سيم

:ديفرانسيل حاكم بر سيم نوسان كننده به فرم كه معادلهادمي نشان د

باشد چناجنه نريويي بر سيم tو زمان xدر نقطه و yي در راستا سيم احنراف y(x,t) كه در آن

: خواهد بود )٥(رابطه وارد منائيم معادله نريو بصورت ):٥(رابطه

. يدآبدست مي )٣(زين كردن رابطه گاين رابطه از جاي

:بنابراين

:بنابراين

:با در نظر گرفنت مساَله وزن خواهيم داشت

مي دانيم كه نريوي اصطكاك اجسام متحـرك ;باشد م در حميط داراي اصطكاكبراي حاليت كه سي )٦(رابطه.متناسب است هم در هوا، گازها و سياالت با سرعت حركت

( ) ( )txytxxy xx −=∆+= ,tan,tan βαmaF =∆

( ) ( ) ( )txystxvtxxv tt ,..,, ∆=−∆+⇒ δ

( ) ( ) ( )txyx

txvtxxvsx tt ,,, δ=∆

−∆+⇒∆=∆

( ) ( ) ( )txyx

txytxxyH tt

xx ,,,

δ=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛∆

−∆+

( ) ( ) ( ) ( )txytxyHtxytxHy ttxxttXX ,,,, =⇒= δδH,δδ:

( ) ( )txyHtxy xxtt ,, δ=

( ) ( )( ) ( ) xFtxytxxyHtxxy xxtt ∆+−∆+=∆ ,,,δ

( ) ( ) ( )δδ

fx

txytxxyHtxy xxtt +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∆−∆+

=,,,

( ) ( ) δδftxyHyxy XXtt += ,,

( ) ( ) ( )( ) xgtxytxxyHtxxy xxtt ∆−−∆+=∆ ,,,δ

( ) ( ) gtxyHyxy xxtt −= ,, δ

٤

ضريب اصطكاك : b): ٦(رابطه :بنابراين

شرايط اوليه يا مرزي به صورت كامل قابل حل نيستند بنابراين وقـيت معادالت ديفرانسيل بدون .ن نيز مشخص باشدآكامل است كه شرايط اوليه يا مرزي

:شرايط مرزي سيم نوسان كننده . حاليت كه سيم داراي احنراف اوليه است و حتت احنراف اوليه رها مي شود

:اه دارميگنآ

.يه استمنحين احنراف اول f(x)ن آكه در

وقيت كه سيم حتت يك ضربه داراي سرعت اوليه:شرايط مرزي سري دوم :مي شود

.در حلظه صفر مي باشد xسرعت نقطه g(x)كه در ان

.مدلسازيهاي مربوط به مسايل نوسان با يكي از دو صورت فوق اجنام مي شود مساَله ميله نوسان كننده

گرييدكه را تابعي در نظربy(x,t).رييدگنريو قرار دارد در نظر ب يك ميله قابل ارجتاع كه حتت يكميزان جاجبايي .نسبت به مكان اوليه حماسبه مي كند tرا در زمان Xه نقط ميزان جاجبايي

XXنقطه XXبرابر با مكان اوليه نقطه +∆ نريوي وارده بر ميله.مي باشد+∆F(X,t) ريمي كه نريوي وارد بر واحد طول مي باشدگمد نظر مي .

( )txbyf t ,−==

( ) ( ) ( )txbytxyHtxy txxtt ,,, −= δ

( )( )

( ) ( ) l<<===

xxfxytlyty

00,0,0,0

( ) 0,0 =ty( ) 0, =ty l

( ) 00, =xy

( ) ( )xgxyt =0,

٥

مشخص مـي شـود )v(و با توجه به روابط تنش ميزان تغيري طول با رابطه از روي قانون هوك : بدست مي آيد

A : سطح مقطع ميله B:(رابطه )گيان(مدول االستيسيتهv(

.ه از حالت االستيك خارج نشودمقدار نريو به صوريت است كه ميل :پس

دارمي xبراي نقطه

:است ) ٨(يك املان طويل ازميله به صورت رابطه معادله نريو برايA: ٨(رابطه سطح مقطع( طول: طولجرم واحد

معادله ميله نوسان كننده):٩(رابطه

:براي يك صفحه نوسان كننده دارمي .ميباشدt در حلظه yوxاف نقطه ميزان احنر Zttكه در آن

:مساَله انتقال حرارتمي خواهيم بـا .بگرييددر نظر tدر حلظه x,yرا در دماي نقطه R u(x,y,z,t)براي يك حجم

استفاده از قوانني ترمو ديناميك معادله ديفرانسيل براي هر نقطه را به صورت تابعي اززمان بدست .اورمي

صفحه عبور مي كند با رابطه زير مشخص مـي املانيت كه از يك شار حرارمهانطور كه ميدانيم بردار عمود بر سطح املان صفحه مورد نظر مي باشدnكه .شود بردار عمود بر سطح:nرسانايي :kشار :

: بدست مي ايد) ١٠(به صورت روابط zوyوx حمورهاي مثالً حرارت انتقايل در راستاي

( ) ( )txyxxyF ,−∆+=

( ) ( ) ( )( )txytxxyx

EtxF ,,, −∆+∆

=

( ) ( )txAEytxF x ,, =

( ) ( )txEytxF x ,, −=

( ) ( )txxAEytxxF x ., ∆+=∆+

( ) ( ) ( )txxyAtxFtxxF tt ,,, ∆=−∆+ δ

∆

δ

( ) ( ) ( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∆−∆+

=⇒x

txytxxyA

AEtxytt,,,

δ

( ) ( )txyEtxy xxtt ,,δ

=

( ) ( ) ( )( )tyxZtyxZHtyxZ yyxxtt ,,,,,, += δ

φdnduK−=φ

dxduK−=1φ

٦

)١٠(روابط :yايل در راستاي حمور و حرارت انتق

.را به به صورت مجع شارها معريف مي كنيم yجريان حراريت

nJدر هر راستا به صورت φبه اين صورت .=φ بدست مي ايد .: yzصفحه شار عبوري از:مثال

:ت حراريت جسم مورد نظر بگريمي، با رابطه زير مشخص مي شوداگر برابر كل تغيريا

)و يب حراريت(شار حراريت .ث تغيري انرژي حراريت ناحيه ميگرددعاز طريف شاري كه از سطح ناحيه خارج مي شود با

:كل شار حراريت خارج شده ازناحيه انتگرال زير مشخص مي شود

):دارمي از رياضيات:(ابراينبن

از آجنايي كه اين روابط براي هر حجم برقرار مي باشد بنابراين ) :وقيت در داخل ناحيه منبع حراريت ندارمي(بامالحظه فيزيك مساَله دارمي

.كمييت پيوسته است ، بنابراين الزم است Uبرقرار است و Rچون اين معادله براي هر ناحيه ي

dyduK−=2φ

dtduK−=3φ

∧∧∧

++= KJIJ 321 φφφ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

−=∧∧∧

KzuJ

yuI

xukJ

( )ukJ ∆−=

dxdukjj −==φ

udvI R δ01 ∫∫∫=

1I1I

dAJI R .1 ∫∫=

( ) ∫∫∫∇=∫∫∫=R

R dVJdvdivjI )(2

∫∫∫ ∇−=∇−∫∫∫= udVkJdvkI R2

2 .

21 II =

( ) ( )( ) 0021 =−∫∫∫⇒=− dvvukuuII tR δ

( ) ukUvkuu tut20 ∇=∆⇒==δ

( ) ∧∧∧

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇ kzuj

yui

xuuztyxu ν,,,

٧

:ميربا تركيب موارد فوق دا

:پس

معادله انتقال حرارت

ن دهيم مسائل و رفتارهايي در فيزيك و واقعيـت ائه شده اين است كه نشاهدف از حبث هاي ار PDEا احتياج به روشهاي آمنايش دادو حل PDEوجود دارند كه مي توان آا را به فرم معادالت

E دارد P D E مساًله انتقال حرارت ديدمي كه رابطه كلي انتقال حرارت در هر ناحيه بوسيله رابطه در

.زير مشخص مي شد

:بررسي شرايط مرزي در معادله انتقال حرارت :چنانچه از يك مرز ناحيه شار ثابت حراريت وارد شود، در اين صورت

:زير است كه صورت به اگر مز عايق باشد داراي شرايط مرزي اگر عايق باشد شرط مرزي صفر است

:چنانچه مرز به يك دماي ثابت متصل باشد آنگاه انتقال رارت بصورت زير مي باشد

ر حميط رسانا باشد انتقال حرارت به صورت رسانايي مي باشد و دارميگا

∧∧∧

++= kMjMiMu 3211

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

=∧∧∧∧∧∧

kMjMiMkz

jy

ix

U M 321. zM

yM

xM

∂∂

+∂∂

+∂∂

= 321

Uu=µ

( )tzyxuzu

yu

xuK t ,,,2

2

2

2

2

2

δ=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+∂∂

+∂∂

( ) ( ) ( )2

2

2

2

2

2 ,,,,,,,,,z

tztxuy

tzyxx

tzyxu∂

∂+

∂∂

+∂

∂ ( )tzyxtu

k,,,

∂∂∂

=

tzzyyxx uk

uuu δ=++

tuk

u ∂=∇ 2? 222

2

xyx ∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇

0φ=dnduk

0=dxdu

( )uThdnduk −= 0

٨

الت انتقال حراريت روي هر مطلوب است معاد.يك ورق فلزي به صورت زير در نظر مي گريمي -

: نقطه از ورق

معادله براي هر نقطه از نوار فلزي

) روي ورق.(براي حل معادله نياز به شرايط مرزي دارمي.حال بايد شرايط مرزي را اعمال كنيم ١( ١مرز

٢( ٢مرز

٣( ٣مرز

ريمي گدر نظر مي u(x,y,0)=f(x)دماي اوليه صفحه را نيز بصورت 222معاىله نوسان tuu ∂∂=∇

را السـني پتابع حتت الuمعادالت بر فرم را معادالت الپالس مي گوئيم و تابع هارمونيك

كاربرد اين معادالت در مباحث سياالت ، ترموديناميك ، الكترو مغناطيس ،موج ،.مي نامند ..بيولوژي و ارتعاشات ، خبوم ،آكوستيك ،

باشند ، آنگاه را تركيب خطي Rاگر دو تابع و دو ضريب در .مي ناميم

-e را يك اپراتور خطي مي ناميم وقيت :براي مثال انتگرال گري يك اپراتور خطي است

tu

kyu

xu

tu

ku

∂∂

=∂∂

+∂∂

⇒∂∂

=∇δδ

2

2

2

22

( ) lxtoxuodxduk x <<== 00,,

( ) 0,, 00 >== ytyoKudxduk x φφ

( ) ( )( )oyuhtyKUxuohdxduk >−== ,,0),

0, =<< ylxo

0,0 >= yx

0, >= yex

( )tzyxuu ,,,,2 δ=∇

12 ,uu12 , cc2211 ucuc −

12 uوu{ } { } { }22112211 uecuecucuce +=+

{ } { } ( ) =+∫=+→∫= duucucucuceudtue 22112211

٩

:خواص اپراتور خطي

:نيز يك اپراتور خطي باشد، در اين صورت Mاگر

:مهانطور كه قبالً حبث شد، معادالت مورد توجه فرم

.مي باشد eحال اپراتور .است ، مباين حل معادالت مي باشد G=0اين معادالت مهگن كه در آن از بني ،

:را بصورت زير تعريف مي كنيم

بصورت eتور حال بيان معادله مهگن با اپرا ) برابر است با والتاژ، دما،مكان ،پتانسيل،فشار يك سيالu .(مي باشد

خواهد بودو مي توان نشان حال مي توان نشان داد كه معادله غري مهگن به صورت يعين:داد چنانچه جواا معادله مهگن باشد

در اين صورت كا.معادله مهگن باشند،هر تركيب خطي آا جواب معادله مهگن است اگر جوااي:نتيجه

.يب ايت جواب بدست خواهد آمد.يف آن در يك ضرب شود- .اگر جواب معادله مهگن باشد و جواب معادله نامهگن ، در اين صورت

.واهد بود مهگن خريكه جواب معادله غ uدر اين صورت هر تابع

زير را در نظر بگرييد سيم مرتعشمساًله :مثال

duucduucduucduuc 22112211 ∫+∫=∫+∫

{ } 00 =e

{ }kk

n

kkk

n

kuecuce

11 ==∑=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ∑

{ }{ } { }{ } { }ueMueMuMe ==

( ){ } { } { }uMueuMe +=+

( ) ( )yxGyxFuyuE

xuD

yuc

xyuB

xuA ,,2

22

2

2

=+∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

Fy

Ex

DyuC

xyB

xAe +

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

= 2

22

2

2

{ } 0=ue

{ } Gue =

21 ,uu{ } { } 00 21 == ueue

{ } { } { } 022112211 =+=+ ucuceuecuec21 ,uu

1u2u{ } { } Gueue == 21 0

21 ucuu +={ } { } { } Gueuceucue =+=+ 2121

( ) ( )txKutxu xxt ,, =

١٠

:شرايط مرزي اين است

در اين صورت جواب معادله مهگن به فرم

tمشتق تابع نسبت به

است kتفاوتشان در

سپس مي توان نتيجه گرفت كه

.نيز جواب معادله فوق خواهد بود معادالت به فرم

باشند x , y , tتابعي از Fتا Aهستند وقيت ٢خطي درجه .با ضريب ثابت مي ناميم٢عدد ثابيت باشند،معادله را معادله خطي درجه F-Aچنانچه ضرايب

گوئيم و اگر باشد معادله H yperbolicحال اگر معادله هذلويل يا ).Parabolic.(واگر باشد سهمي گوئيمگويند Ecllipite را بيضوي يا

:انواع معادالت الپالسروي مرز دانسه uمساَله الپالس را مساَله ديريشله يا نوع اول گويند اگر در شرايط مرزي مفدار

.شود .روي خبشي از مرز داده شده باشد uمساَله الپالس نوع را نيومن گوينداگر مقدار مشتق

.شده باشد دادهمساًله ي الپالس را نوع سوم گويند اگر روي مرز مقدار گويند اگر معادله الپالس شامل ترمهاي باشد و) كوشي(مساَله الپالس را نوع چهارم

.يا در حلظه صفر دانسته شده باشد uمقدار

:بيان خمتصاا كارترين به استوانه اي

( ) 0, =toux

( ) 0, =tcux

( ) ( ) ,......2,1cosexp,21, 2

22

0 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−== n

cxnt

ckntxUtxu n

ππ

( )cxnt

ckn

ckntxut

πππ cosexp, 2

22

2

22

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

cxnkt

cn

cnu xx

πππ cosexp 2

22

2

22

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

( )txukuxx ,=

nnoo ucucucu +++= .....11

GFuEuDuCuBuAu yxyyxyxx =+++++

042 >− AcB042 =− AcB

042 >− AcB

dnduKu +

ttt uu ,

tu

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

zzpypx

φφ

sincos

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=

+=

zzx

yArc

yxp

tan

22

φ

١١

كروي انه اي استو

دكاريت كروي

استوانه اي كروي

كروي كارتزين

:بيان معادله الپالس در خمتصات استوانه اي

.بصورت خواهد بود uدر اينصورت تابع :حل

:قرار مي دهيم* در عبارت uبه جاي

zpr += 2

φφ =

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛= z

pArc tanθ

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

θφθφθ

rCoszSinrSinyCosrSinx

⎪⎩

⎪⎨

⎧

==

=

θφφ

θ

rCosz

rSinp

222 zyxr ++=

xyArcTan=φ

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ +=

zyx

ArcTanz22

00 2

2

2

2

2

22 =

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇zu

yu

xuu

( )zpu ,,φ

xz

zu

xu

xp

pu

xu

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

=∂∂ ... φ

φ

∗∂∂

−∂∂

=∂∂

−∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

∂∂

++∂

∂=

φφφ

φφ

φu

pSin

puCosu

pSin

px

pu

yxyu

yxx

pu .. 2222

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

∂∂

=∂∂

xu

xxu2

2

١٢

:حماسبه ي

:در ايت

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

∂∂

=∂∂

xu

pSin

xu

pCos

xu

φφφ

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

∂∂

=∂∂

φφ

φφ

φφ

φφφ u

pSinuCos

pSinu

pSin

puCoc

pCos

xu2

2 `

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂ℑ−

∂∂

+∂∂

=∂∂

⇒pu

pSinu

pSin

puCosCos

xu

φφφφφ

2

22

2

2

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

−∂∂

∂+

∂∂

− 2

22

φφ

φφ

φφφφ u

pSinu

pCos

uuCos

puSin

pSin

−∂∂

+∂∂

∂−

∂∂

+∂∂

=pu

pSin

pu

pSinCosu

pSinCos

puCos

u φφ

φφφ

φφφ2

2

22

⇒∂∂

+∂∂

+∂∂

∂2

22

2

2

φφ

φφφ

φφφ u

pSinu

pCosSin

pu

pCosSin

2

2

2

222

22

22 22

φφφ

φφφ

φφφφ

∂∂

+∂∂

+∂∂

∂−

∂∂

+∂∂ u

pSin

pu

pSin

pu

pSinCosu

pCosSin

ppCos

2

2

yu

∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂=

∂∂

⇒∂∂

+∂∂

=∂∂

yu

pCos

yu

pSinyuu

pCos

puSin

yu

φφφ

φφφ 2

2

pu

pCosu

pCos

pu

pCosSin

puSin

yu

∂∂

+∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

=∂∂ φ

φφ

φφφφ

2

2

2

2

22

2

22

2

2 2

φφφ∂∂

−u

pCos2

sin2

( ) 0,, 22

2

2

2

=∇∂

∂=

∂∂ u

zzyx

zu

⇒=∂∂

+∂∂

+∂∂

→=∇ 00 2

2

2

2

2

22

zu

yu

xuu

0112

2

2

2

22

2

=∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

zuu

ppu

ppu

φ

١٣

:بيان معادله الپالس در خمتصات استوانه اي

:ثابت باشد Zاگر مساَله در راستاي

:معادله زير يك معادله الپالس درخمتصات استوانه اي است

)معادله الپالس در فرم كروي.(معادله الپالس را به معادله كروي تبديل منائيد:مترين

:در ايت

:روش ديگر منايش

:روش ديگر منايش

:اگر مساَله مستقل از باشد

حل معادله :فصل دومروش حل معادله به وسيله معادله مهگن و بدست آوردن يك جواب اختصاصي براي مساله مـي

Sepration).ي براي حل معادالت الپالس ،روش جداسازي متغريها ميباشدرديك روش كارب.باشد

of Vauiable)

02

22

2

2

2

22 =

∂∂

∂∂

+∂∂

+∂∂

zupp

pup

puP

φ

02

22

2

2

2

22 =

∂∂

∂∂

+∂∂

+∂∂

zupp

pup

puP

φ02

2

=∂∂zup

02

2

22 =

∂∂

+∂∂

+∂∂

+ yu

xux

xux π20 <<

∞<<yxo

01120 22

2

22

2

222

22 =

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

⇒=∇θ

θφφθ

ur

Cosur

uSinrr

urr

uu

( ) ( )θφφ θθθθ

SinuSinr

uSinr

ruru rr 2222 111 ++=∇

( ) ( )rrrrr ruuuruu ++→+

φ( ) ( )θθφφ θ

θθSinu

Sinru

Sinrurr

ru r 222

22

2 111++=∇

( ) ( ) uSinuSinr

urr

r rr2

22

2

11∇=+ θθ θ

θ

Gu =∇ 2

١٤

:بري توضيح اين روش از يك مثال استفاده مي كنيم

شرايط مرزي

.خواهيم رسيد f(x)در ايت به متوسط يعين اگر جواب هاي معادله فوق باشند نيز جوايب بـراي ):١قضيه

.مساَله است .گراي يكنواخت باشد سري جواب به ازاي مهگرا واهد بودپيوسته و مه uاگر ):٢قضيه .جوايب كه در حالت كلي بدست مي آيد يكتاست):٣قضيه

.را مي خواهيم

روش جداسازي متغريها

تابعي از زمان=تابعي از كان

.اين تساوي در صوريت برقرار است كه نسبت كسرها ثابت باشد

عدد ثابت

1 معادله

٢معادله .معادالت اشتروم ليوويل گويند ١،٢به معادالت .جواب بدست خواهد آمد ٢و١با حل معادالت

:حنوي اعمال شرايط مرزي

),(),( txutxKu txx = 00 ><< tcx

)()0,( xfxu =

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

===

=

)()0,(0),(0),0(

),(),(

xfxutcutu

txutxKu

x

x

txx

1......... uu n∑= kk ucu

∞=n

),( txu( ) ( ) ( )tTxXtxu =,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )tTtT

xXxXKtTxXtTxXK

′=

′′→′=′′

( )( )

( )( ) →=′

=′′

λtTtT

KxXxX 1

( ) ( ) 0=−′′ xXxX λ

( ) ( ) 0=−′ tKTtT λ

( )( )

( )( ) λλ =′

=′

tKTtT

xXxX

١٥

:سه حالت در نظر مي گريمي: حنوي حل معادله

.صفر است پس جوايب اجياد مني كند u (x,t)صفر باشد X(x)گر ا

در اين حالت

.واضح است ثابت باشد در اين صورت f (x )پس اگر

( ) ( ) ( ) ( ) 01 =′=′ tTcXtToX

( ) ( ) ( ) 0,0 1 =′=′≠⇒ cXooXtT

( ) ( )( )( )⎪

⎩

⎪⎨

⎧

=′=

=−′

00

0

cXoX

xxxX λ ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) tktk AetTeAtTtk

AtTCos

CosAtktCosTktTtTttktT

λλλ

λλλ

=⇒=⇒=⇒

+=⇒=′

⇒=−′ 0

( ) ( ) 00)(0)1 21 >+=⇒=−′′> − λλλ λλ xx eaeaxXxXxX

( ) ( ) ( ) axax BeAexXxaxXaفرض −+=⇒×=′′⇒= 22λ

( ) axax BaeAaexX −−=

( )( ) 0,0

0000

==⇒⎩⎨⎧

=−⇒=′=−⇒=′− BA

BeAecXBAoX

acac

0>λ

( ) ( ) BAxxXxX +=⇒=′′= 00)2 λ

( ) 00 =⇒=′ AoX

( ) 00 =⇒=′ AcX

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) BAtTxXtxuAtTBxX ., −===

( ) ( ) ( )xfABxfoxu =⇒=,

( ) ftxu =,

0)3 <λ2a−=λ

( ) ( ) ( ) BSinaxACosaxxXxXaxX +=⇒−=′′ 2

( ) 00

00 ==

=+−⇒=′ Bx

aBCosaxAaSinacoX

١٦

پس سري زيـر نيـز در .متامي ها در معادله ي و شرايط مرزي اش صدق مي كند :ه ي شرايط مرزي صدق مي كندمعادل

:پس نقط كايف ضرايب را بدست آوريد حماسبه ضرايب با استفاده از شرط مرزي

.مهگرا باشد f (x)سري بايسيت به :براي حماسبه به موارد زير توجه بشود

طبيعي اند n,mn,mفرض كنيم

( )c

nanacSinacAaSinacoX ππ =⇒=→=⇒=−⇒=′ 000

( ) ,......1,0=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= nx

cnCosxX π

( ) ,...1,02

222

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=== −− nt

cneeetT ktkatk πλ

( ) ( ) ( )

( ) ,.....1,0,

,

2

22

2

22

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

=

+== −

ncxnCos

cknetxu

cxnCos

cnetTxXtxu

n

k

ππ

ππ

nutxx uku =

na

( ) ( )xfxu =0,

∑ cxnCosan

η

na

( )txuau nn

n ,1∑∞

=

=

( )cxnCoseatxu

ktcn

nn

ππ2

22

1,

−∞

=∑=

⎩⎨⎧

==

==∫ 0,........2.1

00 nc

nocxnSin

ncdx

cxnCos

c ππ

π

( ) ( )∫∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −++=

cc

dxc

nmnCoscxmnCosdx

cxmCos

cxnCos

002

1 ππππ

( ) ( )xfcxnCosaxu

nn == ∑

∞

=

π1

0,

⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

=

≠∀

==

02

,0,.....2,1,......2,1

ncnmnm

mn

( ) ( )∑∞

=

=++++==0

210 .........2n

nn xfcxnCosa

cxCosa

cxnCosaaxf

cxnCosa ππππ

١٧

:دراينصورت.بگريمي cتا 0براي حماسبه كايف از دو طرف انتگرال از

.ضرب كرده و انتگرال مي گريمي)ضريب خودش(براي حماسبه

:ترتيببه مهني

مسَآله انتقال حرارت :دماي اوليه نقطه

.تابعي بصورت زير باشد f ( x )فرض كنيد كه :مثال .جواب هر معادله را بدست آوريد

( )∫ ∫ ∫=+++c c c

dxxfdxcnxCosadxa

0 0 010 ..............

( ) ( )∫∫ =⇒=cc

dxxfcadxxfca0

00

01

∫ ∫ ++c c

dxcnxCos

cnxCosadx

cnxCosa

0 010 ...........

( ) ( )∫ ∫=== dxcxcCosxfcadxxf

cnxCos i

η2

( )∫=c

dxcxCosxfca

01

22 η

( )∫ =∀=c

n ndxc

xnCosxfca0

,........2,12 η

txx uKu = ( ) ( ) 0,0,0 == tcutu xx

( ) ?0, =xu

( ) xcxxf 1010 ==

( )c

xnCoseatxukt

cn

nn

ηπ2

22

0,

−∞

=∑=

حجمواحدجرمحجمواحدحرارتيظرفيت

k =

( )∫ ∫==C c

n dxcxnCosxfadxxa

0 00 10

210101 π

dxcxnCosxaمتوسطa nπ

∫==10

00 1010

250

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−== ∫∫ dx

cxnSin

ncxnSin

nudxxnCosxa

c

nπ

ππ

ππ 10

0

100

0

101010

21010

2

( )( )112004000

2222

−−=⎪⎩

⎪⎨⎧

−=

=n

nn

n

naيا

naفرد

aزوج

ππ

1aدرcnxCos

١٨

f ( x )شرايط اوليه جواب مساَله انتقايل حرارت با

.ترين روش براي حل معادالت با مشتقات جزئي مي باشد Sepration od Voualleyروش سوايل كه مطرح است اين است كه .با روش فوق الذكر ، جوايب براي معدال الپالس ارائه منودمي

آيا جواب بدست آمده يكتاست يا خري ؟ .واب پيشنهادي به اين روش استكتاب چرچيل ،اثبات يكتايي ج ١٥فصل

:P D Eروش هاي ديگر حل معادالت اين روش ها صرفاً براي حـاال .را مي توان با روش هاي مبتكرانه حل منود PDEبرخي از مسائل

.خاص برقرارند :مثال

ويل ممكن است ثابت باشد

روش ديگر

:براي مثال

:براي حل معادله از تبديل زير استفاده مي كنيم:لح

( )120010

1010

222

100

2

−=⇒⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= π

ππ

πCosn

naxnCos

na nn

( ) ( )( )1010

1120050,22

122

xnCostknen

txu n

n

πππ

−−−+= ∑

∞

=

( ) ( ) ( ) 1,1,00, 2 === yuyyuyxuxx

∞<<∞−<< yx 10

( ) ( ) ( )yyxuyxu xxx φ=⇒= ,0, ( ) ( ) yhxyyxu +=⇒ φ,

( ) ( ) ( )( )0,0 22 ×=⇒= yyyhyyu φ

( ) ( ) ( ) ( ) 211,1 yyyhyyu −=⇒=+= φφ

( ) ( ) 221, yxyyxu +−=

( ) ( )txytxya ttxx ,,2 =

( ) ( ) ∞<<∞−= xxhxy 0,

( ) 00, >= toxyt

⎩⎨⎧

−=+=

atxvatxu

١٩

نوشت ( x , t )يا ( v , u )يعين مغريها را مي توان برحسب

PDEبا جاگذاري در معادله

:يك تابع پيشنهادي بصورت زير است

پس جواب به صورت

( ) ( )vuytxytu

vy

tu

uy

ty ,,.. →

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

=∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

∂∂

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

∂∂

=∂∂

⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

∂∂

=∂∂

vya

uya

va

vya

uya

ua

ty

ty

tty

2

2

2

2

.

( )vya

uyaa

vua

uy

∂∂

−∂∂

=−∂∂

+∂∂ ..

2

22

22

22

2

22

2

2

uya

vuya

vuya

uya

ty

∂∂

+∂∂

∂−

∂∂∂

−∂∂

=∂∂

⇒

2

22

22

2

22 2

vya

vua

uya

∂∂

+∂∂

∂−

∂∂

⇒

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

∂∂

=∂∂

xy

xxy2

2

vy

uy

xv

vy

xu

uy

xy

∂∂

+∂∂

=∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

=∂∂ ..

2

22

2

2

2

2

2u

yvuy

uy

vy

uy

uvy

xy

xxy

∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

∂∂

=∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

∂−

∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

2

22

2

22

2

22

2

22 2

uy

vuy

uya

uy

vuy

uya

( ) ( )( ) ( )⎩

⎨⎧

==

⇒=∂∂

∂⇒=

∂∂∂

vqvuyuhvuy

vuy

vuy

v

n

,,

00422

( ) ( ) ( ) ( ) 0, →′+= ufvgufvug

( ) ( ) ( )vgufvuy +=,

٢٠

است و جايگذاري

: از شرايط مرزي دارمي

:ساير روش هاي مورد استفده عبارتند از

تبديل انتگرايل فوريه)٣تبديل الپالس )١ نگاشت كانتورمال)٤تبديل فوريه )٢

معادله الپالس زير را حل كنيد؟:مثال

ضرييب است كه به a , cطول تار .تامسر نقش است مهانطور كه مي دانيم اين معادله نوسان .جنس تار و جرم واحد طول بستگي دارد

جداساري متغريها:روش حل

vatxuatx

=−=+

( ) ( ) ( )atxgatxftxy −+= ,,

( ) ( ) ( ) ( )xgxfxagxfa ′=′⇒=−′ 0

( ) ( ) cياkxgxf +=

( ) ( ) ( ) ( )( )cxhxfcxhxf +=⇒+= 212

( ) ( ) ( ) ( )( )cxhxgcxhxg −=⇒−= 212

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )atxhatahatxgatxftxyپس −++=−+= 21,,

( ) ( )txyatxy xxtt ,, 2=

( ) ( ) 10,, == tcytoy

( ) ( ) ( ) 300,0, == xyxfxy t

( ) ( ) ( )tTxXtxy =,

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( ) ⎪

⎩

⎪⎨

⎧

−=

′′=

′′⇒′′=′′

2

2

22 01

λ

λ

tTtT

axXxXtTxXatTxX

( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )tTatTtTtT

XXXxxXxX

الف222

22

λλ

λλ

=′′→=′′

=′′⇒=′′

٢١

:پس يب ايت جواب دارمي

بايد صفرباشد

.اين تركيب خطي جواب است فقط بايد را بدست آورمياز شـرط اوليـه .الزم است كه ضـرايب حماسـبه شـوند y(x,t)برنامه اي حماسبه اي دقيق

g(x,0)=f(x) كه .اسنفاده مي كنيمf(x) به جاي .(احنراف اوليه تاراستt ارميصفر مي گز(

( )( )⎩

⎨⎧

=⇒==⇒=

00000

AcXBX

مرزيشرايط

( )( )⎩

⎨⎧

+=+=

−

−

tata

xx

DeCetTBeAetX

λλ

λλ

( ) 0001 =+⇒=⇒ BAX

( ) 00 =+⇒= − tc BeAecX λλ

0,0 ==⇒ BA

ققغ ..( )( )

( )( )⎩

⎨⎧

+=+=

=′′=′′

⇒=DCttTBAxxX

tTxX

ب00

0)λ

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )⎩

⎨⎧

++=⇒−=′′+=⇒−=′′

<tCosDSinaCtTtTatT

xCosAxSinBxXxXxXجλλλλλλ

λ 22

2

0)

( ) 0001 =⇒=→ AX

( ) ,.....1,000 =∀=⇒=⇒=⇒= ncnnccBSincX πλπλλ

( ) xc

nSinxX nλ

=

( ) ∗+++=c

anDCosc

anCSintTnππ

( ) ( ) 00:3 =′TxX

( ) CTn ⇒=′⇒=∗ 000

( )T

CanCostTn π=

( ) ( ) tcxaCostT

cxnSinxXبنابراين nn

ππ== ,:

( ) tcxaCos

cxnSintxYپس n

ππ=,

( ) tcxaCos

cxnSinbtxyپس

nn

ππ∑∞

=

=1

,

nb

( ) ( )∑∞

=

==1

0,n

n xfcxnSinbxy π

( )∫∫ −−=−=cc

Cosnnc

cxnCos

ncdx

cxnSin

00

1ππ

ππ

π ( )( ) ( )( )nn

nc

nc 1111 1 −−=+−= +

ππ

∑∞

=1nn c

xnCosb π

٢٢

:با ضرب رابطه در و گرفنت انتگرال دارمي

:تابع روبرو باشد f(x)مثال

:فصل سوم سري هاي فوريه :معريف توابع قطعه اي پيوسته

طه اي حمدود قابل مشارش پيوسته باشد،به آن تابع ،به جز چند نق [a,b] در فاصله f(x)اگر تابع

( )∑ ∫ ∫∞

=

=1 0n

c

o

c

n dxc

xmSinxfdxc

xmSinc

xnSinb πππ

( )∑ = xfcxnSinbn

π

cxnSin π

⎪⎩

⎪⎨⎧

=≠

=∫ mncmn

dxc

xmSincxnSin

c

2

0

0

ππ

( ) ( )∫∫ =⇒=c

m

c

m dxc

xmSinxfcbc

xmSinxfbc00

22

ππ

( )( )⎩

⎨⎧

<<+−=<<=

201042.01002.0xxxf

xxxf

( ) ( )∫ ∫ ∫⎢⎣

⎡+−+==

20

0

10 20

10 20420

22010

220

22020

2o

n dxxnSindxxnSinxdxxnSinxfb πππ

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−= ∫ dxxnCos

nxnCos

nx

2020

2020

102

202

10

0

100

ππ

ππ

( ) ⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

−+−+ ∫

20

10

200 10

22020

204202 dx

cxnCos

nxcCos

nx π

ππ

π

∫∫ +−

+20

10

20

10 204

20202........ dxxnSindxxnxSin ππ

.........20

2042020

2 2010

20

10

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

×+= ∫

xnCosn

dxxnxSin ππ

π

٢٣

.تابع قطعه اي پيوسته مي گويند نقاط ناپيوستگي كه

نيز الزم است تا حدود زير موجود باشند

:مثال

),(),(كه (c,d)انتگرال تابع قطعه اي پيوسته را در فاصله badc مـي بصورت زير تعريـف ⊃ :شود

.توابع پيوسته حالت خاصي از توابع قطعه اي پيوسته اندفوريه براي تقريب توابع در يك بازه از سري هاي سينوسي و كسينوسي استفاده كرد كه مي توان

اي را كـه قطعـه پيوسـته f (x) با تقريب مناسب از هر دقت دخلواه كه خبواهيم تـابع هاي سينوسي و كسينوسي تقريب زد و دو سري ارائه ،توسط سري [a,b]در فاصله (است،

.كرد كه به سري هاي سينوسي فوريه و كوسينوسي فوريه معروف هستند يشنهاد فوريه براي بسط كسينوسي بصورت روبرو استپ :سري كسينوسي فوريه

.استفاده مي شود Cتا 0قطه اي پيوسته در فاصله f(x) از اين سري براي تقريب توابع .را توسط سري كسينوسي تقريب بزنيد كه f(x)تابع :مثال

:براي حماسبه ضريب دارمي

nxxx ,........., 21

bxxxa n <<<< ...................21

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+−+−+−nn xfxfxfxfxfxf ,,........,,, 2211

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

<≤<<−−<−−

=15.01

5.05.05.011

xxa

Mxxf

( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫ ∫+

−

+++=d

c

x

c

x

x

d

x

M M

M r

dxxfdxxfdxxfdxxf1

1

.........

∑∞

=

+=1

2)(n

no

cxnCosaaxf π

η<< x0

na

( ) ∑∞

=

+≈1

2n

no xnCosaaxf

ππ

( ) ( )∑ ∫ ∑ ∫ ∫∞

=

∞

=

=+⇒=+1 0 1 0 0

22n n

no

no dxxfdxnxCosadxaxfCosnxaa

η η η

٢٤

بنابراين در كل

:بسط سري سينوسي را توسط f(x)مي توان .باشد و بصورت قطعه اي پيوسته باشد [c,0 ]يك تابع در فاصله f(x)اگر

.وريه تقريب زديك سري سينوسي ف

.به يب ايت ميل كند ،تقريب تا حدود دخلواه دقيق مي شود nچنانچه

:مطلوب است ها :توجه شود كه f(x)براي حماسبه

پس با ضريب طرفني در سينوس و انتگرال جواهيم داشت

:ثقريب بزنيد با بسط سينوسي فوريه را در فاصله f(x)=xتابع :مثال

( ) ( )( ) ( )∑ ∫ ∫∞

= ⎢⎢⎣

⎡=+−−

12

1n o o

n dxmxCosxfdxxmnnCosxmnCosaη η

( )∫=η

πo

n dxnxCosxfa 2

( ) ∑∞

=

≅1n

n cxnSinbxf π

( )∫ ∫=c

o

c

o

dxc

xmSinxfdxc

xmSincxnSin πππ

( ) ∑∞

=

≅1n

n cxnSinbxf π

nb

cxmπ

( )∑ ∫ ∫∞

=

=1n

c

o

c

on dx

cxmSinxfdx

cxbSin

cxnSinb πππ

( )π,o

( ) ( )∫ ∫=⇒=c

o

c

om dx

cxmSinxfcbmdx

cxmSinxfcb ππ 2

2

( ) ( ) ∑∑∞

=

∞

=

=⇒≅11 n

nn

n xSinbxfcxnSinbxf ππ

∫ ∫ ∫+−

==π π π

πo o o

n dxnxCosnnxCosnxdxnxxSinb 12

( ) ( ) ( )nn

Sinxnon

nn

o

n11

21 1221112

+++ −

=×⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ×−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−= ∫ π

πππ

π

( ) ( )∑∞

=

+

+−=×−

=1

1

............3322221

n

n

xSinxSinSinXnxSinn

xf

( ) ( )∫ ∫=⇒=+×=η η

ππo o

oo dxxfadxxfoa 2

2

∫ ∑ ∫∞

=

=+η η

o n on

o dxmxCosnxCosadxmxCosa1

2 ( )∫η

o

dxmxCosxf

( ) ( )( ) ( )∑ ∫ ∫∞

= ⎢⎢⎣

⎡=+−−

12

1n o o

n dxmxCosxfdxxmnnCosxmnCosaη η

٢٥

و نيز به دليل .در خارج ازاين فاصه بسط سينوسي اوالً داراي پريور است

.اينكه فرد است بنابراين هم فرد است .شكل روبرو بسط تابع و خود تابع را مشخص مي كند

ني تابع را توسط كسينوسي فوريه بيان مي كردمي داراي خواص زير بودالبته اگر مه

)ك،م،م(بسط داراي پريور -١:خواص .بسط به دليل اينكه از مجالت كسينوسي تشكيل شده زوج است-٢

. تواند باشد ييك تابع ثابت هر عددي م دپريو:نكته

مهانطور كه مي دانيم هر تابع )-c،c(در فاصله ي فرض كنيد كه يك تابع قطعه اي پيوسته

.را مي توان بصورت مجع در تابع زوج و فرد نوشت

با بسط كسينوسي تقريب ) ٠،c(تابع يك تابع زوج است بنابراين چنانچه را درفاصله

.تقريب زده خواهد شد) -c،c(بزنيم ،تابع در ناحيه

پس

. حال بايد ضرايب را پيدا منائيم.مي باشد) -c،c(كه اين بسط تابع فوريه در فاصله

∑ nxSinbn

nxSin∑∞

=1nn nxSinb

( )xfπ2

π2

( )xf

( )xh( )xh

( )xh

( )xf

( ) [ ]π,0xxf =

( ) ∑+= Cosnxanaxf o2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xhxhxgxgآهxgxhxf =−−=−+= ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22

xfxfxgxfxfxh −−=

−+=

( ) ∑∞

=

+=1

2n

no

cxnCosaaxh π ( )∫=

c

on dx

cxnCosxhca π2

( ) ( ) ( ) ( )ccxgxhxf ,−+=

( ) ( )ccxآهcxnSinb

cxnCosaaxf

n nnn

o ,21 1

−∈++= ∑ ∑∞

=

∞

=

ππ

( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

−+=

c

o

c

o

c

on dx

cxnCosxfdxt

cxnCosxfcdx

cxnCosxfxf

ca πππ 12

2

( ) ( ) ( )∫∫ ∫−−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=

c

c

c

o

o

c

dxcxnCosxfcdx

cxnCosxfdx

cxnCosxfc

πππ 11

٢٦

.بنابراين در فاصله با بسط زير مشخص مي شود

:تابع زير را بسط فوريه بدهيد: مثال

بنابراين را حماسبه مي كنيم

=يا مقدار متوسط

اگر تابع يك تابع قطعه اي پيوسته در فاصله ي باشد و بسط :قضيه .فوريه باشد،خواهيم داشت

( )xf( )cc ,−

( )ππ,−←x

( ) ∑∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=

1

02

nnn c

xnSinbc

xnCosaaxf ππ

( ) ( )∫ ∫− −

==c

c

c

cnn dx

cxnSinxfcbdx

cxnCosxfca ππ 11

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<<

<<−

−<<−

ππ

ππ

ππ

x

x

x

xf

2022120

( ) ( )∑=

++=N

nnn nxSinbnxCosaaxf

1

02

( ) ( )∫ ∫− −

==π

π

π

π ππ

ππ dxxnSinxfbdxnxCosxfa nn11

∫ ∫− −

×=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +==×

π

π

π

π

ππ

πππππ

2

2

2221

221111 nSinn

nSinnSinn

nxSinndxnxCos

∫−

=2

2

01:π

ππ dxnxSinbحال n

( )xf

( )xf( )xf

( ) ∑∞

=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛+=

12

21n

nxCosnSinnxf ηπ oa∫

−

=2

2

11π

π

dx

( )ππ ,−

( ) ( )∑∞

=

++=1

0

2 nnn nxSinbdxnxCosa

axf

( ) ( )∫∫−−

==π

π

π

π ππdxnxSinxfbdxCosnxxfa nn

1,1

٢٧

.قطه ناپيوستگي تابع باشد و با توجه به اين كه تابع پيوسته استحال چنانچه يك ن :مقدار بوسيله رابط زير مشخص مي شود

.كه به قضيه متوسط جام موسوم است .اين قضيه دومل رياضي اثبات مي شود

.را تست كنيد تابع در فاصله بسط داده و قضيه متوسط آن:مثال

:يك تابع فرد است پس

پس

پس

باشد در غري اينصورت در نقطه ناپيوستگي متوسط تابع fنقطه پيوستگي xوقيت

f مي شود. نقاط ناپيوستگي

.كه اين با متوسط مقادير جام برابر است

( )xf( )xf( )oxf

( ) xxf =( )ππ ,

( )xf

( ) ( )xfxf =

f:,ππ−

( ) ( )∑∞

=

+−=

1

112n

n

nxSinn

xf

( ) ( ) ++1== SinnxbCosnxaaxfxxf nno

( )∫−

=π

ππ dxnxCosxfa n

1 ( )∫−

=π

ππ dxnxCosxfbn

1

0=na

∫ ∫ ∫−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−===

π

π

π π

ππππo o

n CosxxdxnxSindxxSinxb 221

( ) ( )∫ ∫

+−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡++

−−=+

π ππ

πηπ

o

nn

nonxSinnodxnxCos

1

2121121

( ) ( )∑∞

=

+−≅

1

112n

n

nxSinn

xf

( ) ( )∑∞

=

+−=

1

112n

n

nxSinn

xf

( ).........44133

12212 +−+−= xSinxSinxSinSinx

( ) ( ) 00 ==− ππ FF

٢٨

:خواص ضرايب سري فوريه

:اگر آنگاه دارمي

:ر حماسبه مي شودنيز انتگرال به صورت زي

:حال براي حالت سينوسي دارمي

دارمي

لذا

:براي هر دو حالت دارمي

به اين صورت مي نويسيم تابعي قطعه اي پيوسه است كه به صورت سنوسي يا fاز آجنا كه

كسينوسي بسط فوريه داده مي شود و با توجه به اينكه تابع در فاصله حمدود :است ، لذا عبارت از

:حماسبه مقدار عبارت )قطعه اي است حمدود(

( ) ∑=

+=N

nn

oN nxCosaaxS

12

( )∫ =π

πo

nN anxCosxS2

( )( )∫π

πo

N dxxS 22

( ) ( ) ( )∑ ∫∫∫ ∑ +=+πππ

πππo

Nno

NNo

no dxnxCosxSadxxSadxxSCodnxaa 2

22)2(2 0

∑ ∑∫= =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=×+=

N

n

N

nn

on

o

o aaadxa1 1

22

22

222

42 π

ππ

π

( ) ∑∞

=

=1n

nN nxSinbxS

( ) ∑=

+=N

nnN CosnxaaxS

1

02

∑ ∫ ∑= =

=×=N

n

N

nnNn bSinnxdxXSb

1 0 1

2)()(2π

π

∫ ≥−=π

π0

2 0))()((2 dxXSxfE N

( ) ( ) ( ) ( )( )2

00

2

0

242 dxxSxSxfdxxf NN ∫∫∫ +πππ

ηηπ

( )2

0

dxxf∫π

( ) ( )0

2 dxxSxf N∫π

π

( )xf( )π,0ηتا0

∫ =π

π0

)(2mN bSinmxdxXS

∫ ∑ ∫=

=π π

ππ0 1 0

2 )(2)]([2N

nnNN SinnxdxbXSdxXS

٢٩

:براي حالت كسينوسي دارمي

:براي حالت سينوسي دارمي

قضيه پارسوال :در حالت كسينوسي براي حالت نامساوي دارمي

)به يب ايت ميل كند Nمن مجله زماين كه (قرار استبر Nاين نامساوي به ازاء هر :پس

:سري يك سري با مجالت مثبت و مقدار حمدود است پس :براي حالت سينوسي دارمي

.پس مهواره دنباله هاي در سري فوريه به مست ميل خواهند كرد :بع كه در بازي تعريف شده بود بصورتقبالً گفتيم كه بسط فوريه تا

:بود و با ضرايب زير تعريف مي شد

( ) ( ) ( )1 010

0

0

22

22

2 Cosnxdxfadxxfa

dxCosnxaa

xf n

N

nn

o ∫∑∫∫=

+×=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ +πππ

πππ

2

1

20

2 n

N

naa ∑

=

+=

( ) ( ) 2

10100

22n

N

n

N

nn bSinnxdxxfbndxSinnxbxf ∑∫∑∫∫

==

=×=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ πππ

ππ

( ) ( )22

1

22

0 22

nnn

o baadxxf ++= ∑∫=

ππ

π

( ) 2

1

2

02

2⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+≥ ∑∫

=n

N

n

o aadxxfπ

π

∫∑=

≥+π

π0

2

1

20 )(22 dxxfaa N

nn

∫∑ ≤=

π

π0

2

1

2 )(2 dxxfbN

nn

1=

22

+2 n

oo aa

0n

aLim n =

0)(2)(21

2

0 1

2 ≥+×≥ ∑∫ ∑==

N

nn

N

nn abxf

π

π

∫∑=

≤π

π0

2

1

2 )(2 dxxfbN

nn

0n

bLim n =

nn ba ,

( )xf( )nn,−

( )∑∞

=

++=1

02)(

nxnm SinnbCosxaaxf

٣٠

و گفتيم كه تابع بايسيت قطعه اي پيوسته باشد در اين صورت بسط فوريه تابع كه در ناپيوسته است نقاطي كه پيوسته است به مهگرا است و در نقاطي كه

.پس مهواره بسط فوريه مهگراست.با متوسط جام برابر است :طبق قضيه نشان دارمي كه

:و نيز نشان دارمي كه

:گرا استمهنشان دهيد كه سري :قضيه :اگر ضرايب بسط فوريه ي باشند دارمي:اثبات

:را به صورت زير تعريف مي كنم حال ضرايب

:با انتگرال گريي جزء به جزء دارمي

حال براي نشان دادن مهگرايي مقدار را بصورت زير تعريف .مي كنيم

:مهگراست Nنشان مي دهيم كه به ازاء هر مقدار

.حال بايد اين نامساوي توجيه شود

( )xf( )xf

( )xf( )xf( )xf

( )∫−=n

nn Cosdxxfn

a 1 ( )∫ −=n

nn Sinnxdxxfn

b 1

0lim,0lim == bxax

∑ ∫= −

≥≤+N

n

R

Rn dxCosxfRaa

1

220 1)(12

2

∑ ∫= −

≤N

n

R

Rn dxxCosfRb

1

22 )(1

∑∞

=

+1

22

nbxax

nn ab ,( )xf

( ) ( )∫ ∫− −

==π

π

π

π

βπβπ nxdxxbCosnxxa nn sin1,1

nn αβ ,

( ) ( )∫∫−−

′=′=π

π

π

ππβπα Sinnxdxxfnxdxxf nn

1,cos1

nnnn nbna =×= βα ,

2

1

22 ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+= ∑

=

N

nnnN baS

NS ∑∞

=

+1

22n

nm ba

NS

( ) =⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= ∑∑

==

2

1

21

2

2

2

22

1

21

22N

n

nnN

nnnN nn

baSβα

( ) ( )⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛<⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= ∑∑∑

===

N

nnn

N

n

N

nnnN nbanS

1

22

12

2

1

21

222

1)1( βα

∑=

N

n n12

1( )∑=

+N

nnn

1

22 βα

٣١

البته تر است بگوئيم.مهگرا هستند ٢و١اما مهگراست و هم طبق

.سپس سري مهگراست.بنابراين نز حمدود مي باشد.حمدود هستند

طبق اين قضيه انرژي متوسط در فاصله بر حسب ضرايب بسط:قضيه پارسوال

.يه قابل حماسبه استفور

پس) از خواص بسط فوريه(

:مشتق پذيري و انتگرال بسط فوريه :تابع قطعه اي پيوسته در فاصله باشد و داراي بسط فوريه زير باشد f(x)اگر

:بصورت زير حماسبه مي شود f (x)آنگاه انتگرال تابع

.يعين انتگرال بسط فوريه مهواره قابل حماسبه است :اشته باشيمدر فاصله تعريف شده باشد و د f (x)براي مشتق پذيري بسل الزم است كه

:آنگاه در نقاطي كه موجود است با مشق بسط فوريه برابر خواهد بود

( ) 21

1

22∑=

+N

nnn βα

( )ππ ,− ( )xf

( ) ( ) dxnxbnCosbxamaxfdxxfn

o

1

2 sin211

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++= ∑∫∫

=−−

π

π

π

πππ

( ) ( ) ( )1 1

0 112

1η

η

η

η

η

ηηηη

= =

++=n n

nn SinnxdxxfbCosnxdxtxfadxxfa

( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++×= ∫∑∫∫ ∑

−

∞

=−

η

η

η

ηηηη dxcxSinxfbdxnxCosxfandxxfa

nn

1)1(12

1

0

∑ ∑∞

=

∞

=

++=1 1

222

2 n n

o bnana

( ) ( )∑∫∞

=−

++=1

222

2

21

n

o bnana

dxxfη

ηη

( )ηη,−

∑ ∑∞

=

∞

=

++1 1

02

n nnn nxSinbnxCosaa

( ) ( ) dxnxSinxfbdxnxCosxfa nn ∫∫−−

==π

π

π

πππ

1,1

[ ]ππ ,−

( ) ( ) ( )( )( )1

1

0 112

+∞

=−

−−++= ∑∫ nnn

nnxtCosbnxSinaxaduxf ππ

π

π

( ) ( )xfxf =′

( )xf ′′ ( )xf ′

( ) ( )∑ +−=′ nxCosnbnxSinanxf nn

٣٢

در فصل قبل حل معادالت الپالس به روش جداسازي متغريها آورده شد

:معادالت به فرم زير را به راحيت مي توان حل كرد

:ي گريميرا بصورت زير در نظر مf (x) براي حل معادالت

)نوسان صفحه(حل معادله الپالس در صفحه

:شرايط مرزي

:جدا سازي متغريها:روش

:بنابراين دارمي :مهانطور كه قبالً گفتيم اين معادله صرفاً براي برقرار است

0<λ

( ) ( )( ) ( )][2+++= xyZxyZaxytU yyxxtt

0,00 >+<<<< byax

( ) ( ) ( ) 0,0,0,,0,,0 === txZtyaZtyZ

( ) ( ) ( )yxfyxZtbxZ ,0,,0,, ==

( ) )().().(,, tTyYxXtyxZ =

( )yy

xx

TaTTYXytxaTXY

′′+

′′=

′′⇒′′+′′=′′ 2

2

22 λ−=′′Ta

T

TaT 22λ−=′′

( )( ) ⎪⎩

⎪⎨⎧

−

+=−

′′−=

′′→−=

′′+

′′

2

2

22 0η

ηλλ

yy

XX

yy

xxxX

( )txyay xxt ,2=

( ) ( ) ( ) ( )xfoxytcytay ==→= ,0,0,

( ) ( )txuatxy xxt ,, 2=

( ) ( ) ( )xhaxhxa 22 10 −=′′→=+′′ φφ

( ) ( )txuatxu xxt ,, 2=

( ) ( ) ( )xtzutxU φ+= ,,

( ) ( ) ( )xhtxuatxU xxt += ,, 2

( ) ( ) ( )( ) ( )xhxtxuatxu xxt +′′+ φ,, 2

( ) ( ) ( ) ( )txuatxudtdvtha

x xxt ,,1 22 =

−= ∫∫φ

٣٣

:پس دارمي

مرزيشرايط : حل

.پس براي اينكه اين رابطه جواب داشته باشد ،مطابق باال بايد ضرايب منفي باشد

.پس بدست مي آيند :مطلوب است اگر -١

)ج) ب) الف :فرم قطيب اعداد خمتصات زير را نشان دهيد-٢

λλλ 2123 123 =−=−= zZZ

i+−1i31+i3

( ) ( )( ) ( )⎩

⎨⎧

====

000000

byyaxx

( ) xACosxBSinXXxXXX ηηηη +=⇒−=′′⇒−=′′ 22

22 ηλ −

λη,

( ) 00 =→= AaX

( )a

nxaaBSinoaX ηηηηη =⇒=⇒=→= 0

( ) xa

nSinX xn )( η

==⇒

( )yyyy

yy 222222 ηληληλ −=′′⇒−=

′′⇒−=−

′′

( )( ) 0

00==

byy

( )yny 22λ−=′′

yDSinyncy 2222 ληλ −+−=

222

22222 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⇒⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=−⇒=−

bm

an

bm

bm ηηληληηλη

2

2

2

2

bm

an

−=⇒ ηλ

yb

mSinm ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

ηγ

٣٤

)ج) ب) الف :مطلوب است اگر -٣

)ج) ب) الف را بيابيد مقدار ود با استفاده از قانون-٤ :نشان دهيد روابط زير برقرار است-٥

)ب) الف )د )ج :جمموعه نقاطي را پيدا كنيد كه در شرايط زير صدق كنند-٦

الف( ب(

.از آا صفر است يكياگر ثابت كنيد حداقل -٧ :ريشه معادالت زير را پيدا كنيد-٨

) ج) ب) الف .نوشت نشان دهيد هذلوي را مي توان بصوت -٩ فرمول چند مجله اي متقابلبا استقراء -١٠

.عددي صحيح و مثبت است بيابيد nرا كه در آن را به طريق برداري

.مشخص كنيد الف(

ب( :نشان دهيد-١٢ :ثابت كنيد-١٣ :را بيابيدهرگاه argzيك مقدار از -١٤

ππ

iui

eZeZseZ 2,2, 13

23 ===

3

1

ZZ

21ZZ

i+−1i31+i3

θθ 3,3 SinCos

( ) ziz ImRe −=( ) ziz ReIm =

ziiz −=iziZ 33 −=+

( ) ziz =−Re

iziz +=−

021 =ZZ

042 =+Z0332

=+ iZ

042 24 =+− zZ

( ) ( ) ( )( ) ( ) nxn zzki

knnnnzi

nnzinz ++

+−+−−+

−++=+ .....1.....21.....

2111 2

122 =− yx222 =+ −zz

2121 , zzzz +−

( ) ( )4,11,3 21 =−== zz

112111 iyxziyxz −= =+=

( )( ) 523252 +=−+ ziz

zzz 2ImRe <+

iZ

312

+−

=i

iZ22 −−

=

٣٥

)ب) الف

ردار بصورت زير باشنددو ب : g , fاز خواص مربوط به فضاي برداري داشتيم كه اگر

:در اين صورت خواص زير را دارمي

:اگر جمموعه برداري ارتوگونال باشند يعين

.جمموعه بردارهاي ارتونرمال هستند در اين صورت بردارهاي چون در غري اين صورت يكي .ستقل باشند اً الزم است كه بردارهاي از هم ميجتر

.را بر حسب ديگري مي توان نوشت و صفر داخلي آا صفر خنواهد شدمي توان با تركيب خطي از اين بردارها بدست را هر بردار در فضاي اجياد شده بوسيله اين بردار

.آورد

:حنوي حماسبه ضرايب بصورت زير است

:استنتاج براي فضاي توابع ،چنانچه فاصله را به) pwc(پيوسته باشد–و به فرم قطعه اي ) a,b(توابعي در فاصله f , gگر ا

:هاي كوچك تقسيم كنيم ،خواهيم داشت

( ) ( )321321 ,,:,, bbbgaaaf→→

=

23

22

21

2332211 .. aaafffbababagf ++==++=

→→

( ) ( ) ( )( ) 21

332

222

11... bababagfCosgfgf −+−+−=−=→→→→→→

θ

ffgfgfبردارنرمال =⇒==⇒+→→

10.

12 ,,........, φφφn

2,0, iiiJi φφφφφ >=<>=<

1

1

2

2 ,.,,.........φφ

φφ

φφ

n

n

1,........,φφn

nncccf φφφ ,,.........2211 +=

><=>⇒>=<< kk

kkkkK fCfC φφ

φφφ ,1.

x∆

( )( )n

n

ggggffff

,........,,,........,,

21

21

==

٣٦

: f , gضرب برداري را بصورت زير تعريف مي كنيم كه

.كه اين تعريف ضرب داخلي براي توابع مي باشد يا بازه ي اساسي Fundamental intervalمي شودرا ضرب داخلي روي آن تعريف a ,bناحيه .مينامند

:خواص زير براي ضرب داخلي توابع برقرار است

:مثال

:نرمال هستند زيراارتوحال دسته توابع دسته توابعي از

نرمال ارتودسته توابع دسته توابع :مثال .هستند دسته توابع :مثال

.هستند (C,C-)ونرمال درارتدسته توابع از : روش كلي فوريه براي بسط توسط توابع ارتونرمال

( ) ∑ ∆= KKK xgfgf ,

( ) ( ) ( )dxxgxfgfLimb

ax ∫ −=→∆

,0

( ) ( )fggf ,, =

( ) ( ) ( )gfgfhgf ,,, +=+

( ) ( )gfcgcf ,, =

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=→≥= ∫

b

a

dxxfffff 220,

( )∫ −=−b

a

dxgfgf 22

( ) gfgf +⇒= 0,

( ) ⇒=1, gf

( )cxnSinxcx nπ

=Ψ<<0( )( ) ( )jicxx jiji ,2, δ>=ΨΨ<>=ΨΨ<

cxnSin

ciπφ 2

=

( )cc

xnCoscc

xnSinc

xn 2

1,1,1020 1===

−φπφπφ

cx <<0

( ) ( )cxnCos

cx

cx n

πφφ 2,10 ==

nnkk ccccf φφφφ +++++= ................1100

( ) ( )∫==>=<b

akkkk dxxxfCkfCآه φφ ,.....,1,0.

f نرمال مي باشد

٣٧

:حماسبه ضرايبمثال از

.كه مهان ضرايب سري فوريه است

:نرمال باشد،يعينارتوقضيه اگر توابع از

و يك تركيب خطي از توابع ارتوگونال باشد،

يك تابع در مهان بازه ي توابع ارتوگونال باشد، آنگاه تعريف مي كنيم ترين f (x)ر و نيز اگ باشد ،تابعي مهانند است به طوري كه k=1,2,……..nتوسط ها كه f (x)ختمني تابع

. ضرايب مهان ضرايب فوريه باشدباشـد الزم f f (x)دخلواهي باشد و تابع ختمني اگر فرض كنيم اعداد:اثبات

مينيمم شود خطا است تا اندازه .اين مقدرا بانام خطا يعين ناميده مي شود

پس

يعـين .انچه متغيري است است .شود Minكردن بايد مست راست تابع Minبراي

ساخته شده با ضرايب وقيت ترين ختمني است كه ضرايب مهان ضرايب فوريه

( ) ..........2

12

121

210 +++=cxnSinC

cxnCosC

cCxf ππ

( ) ( ) dxcxnCosxf

ccxnCos

cxfC

c

ck

ππ∫−

>==<11.

( )∫−

==c

ck dx

cxnCosxfcc

cka π1

( ) ( ) ( )xxxn 12 ,,....., φφφ

( ) ( ) ,.....2,1,1

0. 2 =

⎩⎨⎧

==≠

>=< mkmkcmk

xxk

km φφ

( )xφ( ) ( )xxn 1,.......φφ

( ) ( ) ( )xxx nnφδφδφ ++= .......11

kφ( )xφ

( ) ( )xxf φ−

12 ,,....... δδδ n( )xφ

( ) ( )xxf φ−

( ) ( ) ( ) ( )2

1

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−= ∫

b

a

dxxxfxxfE φφ

( ) ( ) ( )( ) ( )∫ −=−= dxxxfxxfE 222 φφ

( ) ( ) ( )∫∫∫ +−b

a

b

a

b

a

dxxdxxfdxxf 22 2 φ

( ) ( ) ( ) ( ) dxxdxxxfxfb

a

n

k

b

a

n

kkkkk

2

1 1

2 2∫ ∑ ∫ ∑= =

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+−= φδφδ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∑∑∫∑= ==

+−=b

a

n

k

n

kkkk

b

a

n

kk dxxxdxxxfxf

1 11

2 2 llφδφδφδ

( )∑ ∑ ∑= =

−+−+=−+n

k

n

kkkkkkkkk cccfcf

1 1

222222 22 δδδδ ( )∑ ∑= =

−−+=⇒n

k

n

kkkk CcfE

1 1

2222 δ

2Ekδ

( )xφxδkδ

٣٨

.باشند

پس

:پس)انتگرال از يك تابع مثبت( و چون

.به نامساوي فوق نامساوي بسل گويند به عباريت سري به ازاء به مست lim Cn=0 وقيت مي توان نشان داد كه

:يعين. مهگرا مي شود

:داشته باشيم (a,b)با دامنه fرا كامل گوئيم اگر براي هر تابع ) a,b(جمموعه روي

=0يعين خطا .ونرمال كامل به خطاي صفر مي اجنامدارتبنابراين ختمني با جمموعه اي از

:جمموعه اي توابع ارتونرمال هندسي:مثال

.اين توابع روي كامل هستند

C ضرايب :جهاي زو C ضرايب:هاي فرد

:انواع ديگر ارتوگوناليسيت ارتوگونال است اگر p(x)با وزن (a , b)گوئيم توابع در

( ) ( )∑ ∑= =

+−=n

k

n

kkkKcxf

1 1

22 12 δδ

ckk =δ

( ) ( ) >=< xxfc kk φ

∑=

−=⇒=n

kkkk CfEc

1

222δ

02 >E

( ) NCxf n

n

kk ∈∀≥∑

=1

22

∞→n∑=

n

kck

1

2∞→n

( ) 2xf( ) ∑

=

=n

kkCxf

1

22

( ){ }xkφ

∑=

=n

kk fC

1

22

( ) ( ) nxSinxnxCosx nn πφ

πφ

πφ 1,1,

21

2120 === −

( )ππ ,−

nb

na

( )xkφ

( ) ( ) ( )⎩⎨⎧

=≠

=∫ kmctekm

dxxxxP mk

b

a

0φφ

)=n∞لذا وقيت كه(

٣٩

به مثالً توابع بسل .اين ارتوگونايسيت را مي توان معادل با ارتوگوناليسيت توابع گرفت اراي دومتغيري هستند نيز مي توان حتت توابع پايه اين صورت تعريف مي شوند و توابعي كه د

.بسط داد به گونه اي كه ضرب داخلي مربوط به صورت سطحي زير تعريف شود

.بسط داد حال هر تابع را مي توان بر حسب توابع .ختمني وقيت ينه است كه ضرايب مهان فوريه باشند

.تلف نيز مي توان ارتوگوناليسيت تعريف منودبراي توابع خم

:حال ضرب داخلي را بصورت زير تعريف مي كنيم

.گويند داخلي هرمتيككه آن را ضرب

صحبت (2,2-)تاحبال در مورد بسط فوريه براي توابع پريوديك در فاصله :انتگرال فوريه .در فضاي هندسي موچود است نشان دادمي كه ختمني ينه اي براي توابع.اميكرده

:با جايگذاري دارمي كه

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++ ∫∫∑∫

−−

∞

=−

dscxn

csnsfds

cxn

csnsf

cdssf

c

c

c

c

cn

c

c

ππππ sinsin)(coscos)(1)(21

1

( ) ( )xxp kφ

( )yxmn ,φ

( ) ( )∫ ∫⎩⎨⎧

==≠≠

=R

mnekmn knemc

knemdxdyyxyx

,,0

,, 2φφ

( )yxmn ,φ

ivu +=ω

( ) ( ) ( )∫∫∫ +=b

a

b

a

b

a

dxtvidttudttω

( ) ( ) ( )tivtut −=ω

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )∫ ∫⎪⎩

⎪⎨

⎧

+

≠=>=<

b

a mmkmkm dttvtu

kmdttttt 22

0., ωωωω

( )c

xnSinbc

xnCosaaxf nn

nηη

++= ∑∞

=1

02

( ) ( )∫∫ ==−

dxc

xnCosxfcadxxfca n

c

c

η110

( ) dxc

xnSinxfcbc

cn

η∫−

= 1

٤٠

.سري فوريه است ايكه منايش جديدي بر :يك تابع از باشد و مطلقاً انتگرال پذير باشد يعين f(x)حال چنانچه

:حمدود باشد

.مي خواهيم ببينيم در شرايط فوق ،بسط فوريه به چه فرم جديدي تبديل مي شود :براي اين منظور تعريف مي كنيم

:حتت شرايط آورده شده ،بسط فوريه به صورت زير تبديل مي شود

بنابراين در حاليت كه بسط فوريه به فرم فوق كه با نام انتگرال فوريه ناميده مي شود ميل

:مي كند

مطلوب است حماسبه ضرايب : مثال

( ) ( ) ( )∫ ∑ ∫−

∞

= −

−+=c

c n

c

c

dxxsc

nCossfcdssfc1

12

1 η

( )∞∞− ,

( )∫∞

∞−

dssf

cηα =∆

( ) ( )( ) ( ) ( )( )∑ ∫∑ ∫∞

=

+∞

∞−=

+∞

∞−

−∆∆=−∆11

11n

n

n

dssxnCossfdssxnCossfc ααηα

( )∑∞

=

∆∆1

1n

xnf αη

( ) ( )∑ ∫∞

=

==∆∆1n

x

o

dxxfxnf α

( ) ( ) ( )( )∫ ∫∫∞ ∞

∞−

∞

−==0

1,11 ααηααη dsdsxCossfdxFo

∞→c

( ) ( ) ( ) ∞<<∞−−= ∫ ∫∞ ∞

∞−

xdsdxxsCossfxf αη0

1

( ) ( ) ( )( )∫∞

+=0

xSinBxCosAxf αααα

( ) ( ) ( ) ( )∫∫∞

∞−

∞

∞−

== sdsSinsfBsdsCossfA αηααηα 11

( ) xexf 2−=( ) ( )αα AB ,

nn bc

xnSinbc

xnSinbnMnbn ≤→→<ηη44

∑ ∑∞

=

=≤≤1

44

1n

n nM

nMb

∫∞+

∞−= uduufA απ

α cos)(1)( ∫∞+

∞−= uduB απ

α sin1)(

٤١

:انتگرال فوريه را بنويسيد روش حل دوم:

.مقدار انتگرال را بدست آوريد:مترين :براي اين منظور است كه

:مساَله انتقال حرارت زير را حل كنيد

∫ −=+

52 21

52 eRdxx

xCosR

xeRdxx

xCosR =→=

+∫ − α52 21

52

∫∞

+021

2 dxx

xSin π

( ) ππ 2

200 −

−

−

=⎩⎨⎧

<−>−

= eجوابxexe

xf x

x

( ) ( ) ( )∫∞

+=0

000 ααααα dxSinBxCosAxf

∫ =→=+

− xedCos απααα 52 21

5

xe−

( ) ( ) ( )( )∫ += dxxSinBCosxAxf ααα

( ) ( ) ( ) ( )∫∫∞

∞−

∞

∞−

== xdxSinxfBdxxCosxfA αηααηα 1,1

( ) ∞<<∞−= − xexf x

( ) ( ) ( )( )∫∞

+=0

dxxSinBxCosAxf αααα

( ) dxxCoseA x αηα ∫ −= 1

( ) ∫∞

∞−

−= dxxSineB x αηα 1

( ) ( ) ∫∞

−==0

2,0 xdxCoseAB x αηαα∫∞

−

o

xixee αRe

( )[ ]21112 ηαααηη ×−×= A

( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) 212

1122

2ηααηαααηα AAAA −=⇒−=⇒

( ) ( )122 +

=⇒αη

αA

( )∫∞

− ⇒+

=0

2 12 dxxCose x α

αη

٤٢

ين روش حل از تبديل در بنابرا. ايت استيبتا x مهانطور كه مشاهده مي شود حوزه تغيريات .شد بدست خواهد آمدمي باسري فوريه كه مهان انتگرال فوريه

انتگرال فوريه

:معريف توابع بسل و كاربردهاي آهنا :درفرم معادله اي استوانه اي معادله الپالس دارمي

:دهيم دارميچنان چه در اين معادله به جاي تغيري متغيري

:اين معادله را معادله ديفرانسيل به نام معادله بسل مي شناسيم

( ) ( )txkutxu xxt ,, =

( ) ( ) ( ) 00,0,0 >>== txxFoxutu

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( ) ⎪

⎩

⎪⎨

⎧

⇒−

=′′

=′

→ ققغx

xXxX

tkttTtTxXtxu ..0,

2

2

λ

( ) ( ) 0001 =→= XxU

( ) )sin()cos( xBxAxX λλ +=

( ) xxX λsin=

( ) zktetT λ−=

( ) ( ) ( )∫ ∫∞ ∞

∞−

+− =⇒=

0

, sin)(, xfxdBdxxSineBtxU k λλλλλ λ

( ) ( )∫∞

∞−

= xdxxfRB λλ sin2

( ) 0222

222 =−++=∆ yvp

dpdup

dpdupu λ

px λ=

2

2

2

2

.px

pux

∂∂

∂∂

×λ

epex

px

xu

ppu

ppu ..2

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

=∂∂

⇒

2

2

xu

xu

x ∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

= λλλ

( ) 0.. 222

22

=−++⇒ yvxdxdyx

dxydx λ

λλ

λ

٤٣

.روش حل اين گونه معادالت با استفاده از سريها بود :سري پيشنهادي بصورت زير است

يك نقطه تكني منظم است x = 0علت پيشنهاد اين اين جواب اين است كه در معادله نقطه ي

:چون

.يك نقطه تكني است x=0مي شود نقطه كه مشاهده

در حاليت كه

در ايت

مي توان متام روابط در نتيجه توسط رابطه بازگشيت :چون.سري را بدست آورد

( )( ) 21−

+++−−

=⇒∗ kk aknrknr

a

( )( ) 21−

+++−−

=⇒∗ kk aknrknr

a

( )( ) 21−

+++−−

=⇒= kk aknrknr

anr

( ) 0222

22 =−++⇒ yvx

dxdyx

dxydx( ) ∑

∞

=

=0k

kk

r xaxxy

( ) 010 2

22222 =

−+′+′′−−+′+′′ y

xvxyxyyvxyxyx

( ) ( )( )∑∞

=

+ =−+++0

22 01k

krk xakrkrvxt

( )( ) ( ) ( )∑ ∑∞

=

∞

=

−+−+ ++−++0 0

122 1k k

krk

krk xakrxxakrkrx

nvn == ,.......,2,1

( )( ) ( )( )∑ ∑ =+−++−++ +++++ 01 22 krkrkrkr akxakxnakxkrxavkrkr

( )( ) ( )( ) 01 22

0

=+−++−++∑∞

=

+ akxaknkrkrkrxk

kr

( )( ) ( )( ) ( )( )( )∑ =−++++−++++−++− 0211: 10k

kk xaaknrknrxanrnranrnr

( )( ) 0011 1 ==+−+− a ياnrnr

( )( ) 00 =++⇒ nrnrياa

٤٤

.هاي زوج عدد غري صفر مي باشد kكه براي

اما و :در ايت فرم كلي جواب

براي اينكه بتوان فرم ساده شده اي براي جواب پيشنهاد كرد ،مقدار را به صورت زير :انتخاب مي كنيم

:فرم زير است پس جواب به

.به مقدار اين جواب گويند

. ام بسل مي نامند nرا تابع مرتبه

.مي باشد nاين تابع حل معادله ديفرانسيل مرتبه

:حل معادله بسل مرتبه صفر:براي مثال

:شكل به صورت زير مي باشد .انداخنت در آب مناد است

.جواب معادله مهگن در هرنقطه تابع استقضيه

:خاصيت تابع بسل

00 ≠a

0a

( )xyn

01, 2,31 =+maaa

( ) ( )( )( )2222241,

2221

402 ++=

+−

=nn

aan

a

( )( )( )( ) k

k

k knnnkia 22 221

1+++

−=

nna

2!1

0 =( )

( ) kn

k

k knka 22 2!!

1++

−=

( )( ) ( )∑

∞

=

+

+−

0

2

2!!1

k

knkx

knk

( ) ( )( ) ( )∑

∞

=

+

+−

=0

2

2!!1

k

knk

nx

knkxy

( ) ( )xyyynxyxyx n=→=−+′+′′ 0222

( )xyn

( ) ( )( )

( )∑∞

=

−==→=+′+′′

0

2

2022

2!10

k

kkx

kxyyyxyxyx

( )xy 0

0y( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ...........2!3

12!2

121

624

2

2

0xxxxy ++−=

٤٥

:خواص توابع بسل

پس دارمي

٣(در حالت كلي با توجه به اينكه

.به صورت زير مي باشد y0(x)تابع

....)31

211(

64)

211(

4)]()

3[(log2)( 222

6

22

4

2

4

00 +++++−+−=x

xxx

xxxJxxY ν

π

:خواص توابع بسل

( ) ( )

tt VVv

vRVR

11

1

−→−→

+=

( ) min223 == nV

( ) ( ) ( )( ) ( )∑∞

=

−++=1

11)1n

nn

o CosxyxyxSinCos φθ

( ) ( )( ) ( )∑∞

=

−−=1

11)2n

nn SinxyxSinSin φθ

( ) ( ) ( )( ) ( )∑∞

=

−++=1

11)1n

nn

o CosxyxyxSinCos φθ

( ) ( )( ) ( )∑∞

=

−−=1

11)2n

nn SinxyxSinSin φθ

( ) ( ) ( )∫ −=R

n dxSinxSinSinRxy0

1212 φφφ

( ) ( )∫ −=R

n dxSinnCosRxy0

1 φφφ

( ) ( ) ( )∑∞

=

+

+−

=0

2

2!!1

k

knk

nx

kxKxy

( ) ( ) ( )∑∞

=

−

+−

=0

2

2!!1

21

k

kk

nnn x

knkxyx

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )∑∞

=

−−−−−− ++

−+−=

0

121

2.22

!!1)4

k

knkn

nn

nn xxn

knkxxynxxyxdx

d

( ) ( ) ( )xyyپسxyx nn

11 0 −=′− +−

٤٦

پس دارمي

٣(در حالت كلي

با توجه به اينكه

:روابط زير از خواص توابع بسل مي باشند

:صفرهاي تابع بسل بررسي .كه در مكان هاي مشخص هستند)از نظر تعداد(تابع داراي ريشه هاي ناحمدود است

},....,,{ }10 Ann ααα=ريشه ها

.ديدمي كه شكل تابع از انداخنت سنگ در آب ناشي مي شد

( ) ( ) ( )∫ −=R

n dxSinxSinSinRxy0

1212 φφφ

( ) ( )∫ −=R

n dxSinnCosRxy0

1 φφφ

( ) ( ) ( )∑∞

=

+

+−

=0

2

2!!1

k

knk

nx

kxKxy

( ) ( ) ( )∑∞

=

−

+−

=0

2

2!!1

21

k

kk

nnn x

knkxyx

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )∑∞

=

−−−−−− ++

−+−=

0

121

2.22

!!1)4

k

knkn

nn

nn xxn

knkxxynxxyxdx

d

( )xyn

( ) →= 0xyn

( ) 0=→ niyaه n αφ

( ) ( ) ( )xxyxnyxxy nnn 1)1 +−=

( ) ( ) ( )xxyxnyxxy nnn 1)2 −+−=

( ) ( ) 11 2 ++ −= nnn xyxnyxxy

oy

( ) ( ) ( )xyyپسxyx nn

11 0 −=′− +−

( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

−−=

c

o

c

o

c

on dx

cxNSinxfdx

cxNSinxfcdx

cxNSinxfxf

cb ηηη 12

2

dxdxxx −=−=

( ) ( )∫ −c

o

dxc

xNSinxf η

٤٧

و فرض كنيد كه .استπ2 ددر خارج ازاين فاصه بسط سينوسي اوالً داراي پريو

مهانطور كه مي دانيم هر تابع را مـي تـوان )-٢،٢(يك تابع قطعه اي پيوسته در فاصله ي .بصورت مجع در تابع زوج و فرد نوشت

با بسط كسينوسي تقريب ) ٢،٠(است بنابراين چنانچه را در فاصله تابع يك تابع زوج

).و كينوس هر دو زوج اند.( تقريب زده خواهد شد) -٢،٢(بزنيم ،تابع در ناحيه س پ

. حال بايد ضرايب را پيدا منائيم.مي باشد) -٢،٢(كه اين بسط تابع فوريه در فاصله

از نواحي مشخص ناحيه اي بصورت زير باشد و بغري Cفرض كنيد ناحيه شده حتليلي باشد آنگاه انتگرال

.فوق برابر صفر است Dروي ناحيه

گوئيم انتگرال مستقل از ميسر است اگر

( )Zβ

( )Zβ

( )∫ =+C qZZ

Zd φ22

( )∫ =B

ZdZ 0β

( )∫ ZdZβ

( ) ( ) ( )( ) ( )( )∫ ∫ −==C

b

a

aZFbZFZdZZdZ ββ

( )0

=`2η

bmSinmxdxxSNη

∑ nxSinbn

( )xh( )xh

( )xh( )xh

( )xf

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xhxhxgxgآهxgxhxf =−−=−+= ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22

xfxfxgxfxfxh −−=

−+=

( ) ∑∞

=

+=1n

no

cxnCosaaxh η

η ( )∫=c

on dx

cxnCosxhca η2

( ) ( ) ( ) ( )ccxgxhxf ,−+=

( ) ( )ccxآهc

xnSinbc

xnCosaaxfn n

nno ,2

1 1−∈++= ∑ ∑

∞

=

∞

=

ηη

( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+=

−+=

c

o

c

o

c

on dx

cxnCosxfdx

cxnCosxfcdx

cxnCosxfxf

ca ηηη 12

2

( )xf

٤٨

است اگر بنام ولداي تابع اوليه رياز مسالبته مي توان گفت يك نام ولداي انتگرال مستقل :مثال. باشد

انتگرال كوشي

جتليلي نباشد آنگاه Cباشد و تنها در نقطه در Cاگر يك تابع حتليلي در

:مثال

:مثال بصورت هاي زير تا ازانتگرال ؟

( )Zβ

( ) ( )3

32 ZcZFZcZ →β

( )∫+

++=i

iZZ1

0

32 131

( )∫ ∫− −

=−−==i

i

i

i

tuiiizZZd2

2

2

2

2log2loglog

( ) ( )00

2 ZZZ

izdZ

c

βπβ∫ −

=

( )Zβ

( )( )∫−

=+

=−−c q

iiiZZq

zdZ102

12 ππ

( ) ( )∫ ∫=c c

ZdZZZdZz ββ 00

( )( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫+=+c c c

ZdZgZaZZdtgZ ββ

( ) ( )( )dtZtZdxZac

′≤ ∫∫ ββ

∫1

2

C

ZdZIc

iI3

1132

1 +=

iI3

1132

2 +=

( ) ( )00

2 ZiZZ

zdZ

c

βπβ∫ =

−

٤٩

ي طبق قضيه كوش

ناحيه بسته باشد و حتليلي باشد Cبا توجه به اينكه اگر حـد رو و حـد اي كه Cقضيه اگر حتليلي باشد انتگرال آن روي هر ناحيه طبق لذا

Cدرون حتليلي باشد برابر با صفر است

:مفهوم انتگرال

:مثال

:خواص

؟!

( )Zβ

( )Zβ

( )Zβ

∫ ∫ ∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

=+C R

dxdyyR

XQQdyPdx

∫C

ZdZIc 2

( )∫ ∫ ∫ ++−=C C

udyXdxiVdyNdxdZ δβ

∫ ∫ ∫ ∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂∂−

=R R

dxdyyx

yuidxdy

xn

yu

X

yx

VXyvu−==

( ) ( ) ( )tiytXt +=ω

( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫++b

a

b

a

b

a

dttyodttXdtω

∫ += 4232 idttiθ

( ) ( )∫∫ ∫ =b

a

b

a

dttZdtt ReRe ω

( ) ( )∫ ∫=b

a

tZdttZ ωω

( ) ( )( ) ( )( )∫ ∫ ∫ −−⇒= dttecrياdttedtter ou ωωω θθθ 000 1

0 Re

( ) ( )∫∫ ≤b

a

b

a

dttdttX ω

٥٠

Line Integral) ١انواع انتگرال

.با فرض اينكه روي يك خط حركت مي منايد

:اندرلژحل معادله . معادله را با نام معادله ثراندر مي شناسيم

اين بنام حد فاصله تعريف مي شود .با حل معادله فوق با روش سري ها دارمي توااي معادله به صورت زير هستند

ورت تعريف مي كنيم كه در آن را به ص nبنام ثراندر از مرتبه

( ) ( )∫ ∫C

z

Z

dttياdtt2

1

ββ

Z

( )tZZ =

( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )∫ ∫ ′+′+=b

a

Z

Z

dtydXdtytxivtxudtZ1

1

1,/β

( ) ( )dtxVyuiyVxUtZ

tZ∫ ′+′+′−′=

1

0

/

/

( ) ( )∫ ∫ ′+′+′+′=1

0

1

0

t

t

t

t

dtxVyUdtyVxU

( ) ( )∫ ∫−

−C C

ZdZZdZ ββ

( ) 021 2 =+′−′′− yyxyx

∑∞

−

×+=1

201 2h

hhaay

∑∞

−+ +×+=

11212 12

hh haxay

( )xP n( )1+= nnλ

( ) ( ) ( )( ) ( )∑ =

+−−−

− −

•

,....1,02!

!22121 2 nX

xnhhnhhnxP hn

x

nn

( ) 10 =xP( ) XxP =1

( ) ( )1321 2

2 −= xxP

٥١

خواص دارمي كه جواا به صورت اگر حل معادله؟!

.مي باشد اندرلژتوابع

.مشتقات جزئي در خمتصات كروي مي باشدكاربرد ثراندر درحل مسائل معادالت با

باجداسازي به معادله .ثراندر مي رسيم

( ) ( )3321

3 −= SxP

( ) ( )3304321 2

4 +−×= xsxP

( ) ( ) ( )xPxP nn 1−=−( ) ( ) 013 ==+′×−− ynnyyxi ng

( ) ( ) nmmndxPxP nm ≠=×+∫ ∫−

1

1

( ) ( )( ) ( ){ }x

xPxP

x nn

nn φφ →=

1

( ) ( )nn

nn xnd

dn

xP 1121 2

1 −×

=

( ) ( )1,!2

211 −==− −

+ xuuDn

nxpxP nnnnn

( ) ( ) ( ) ( )xPnxnPxP nn 1211 +=−′−′+

( ) ( ) ( )xPnxn

xP nnn 212

12211 +

=→+

= φ

( ) πθ

θθθ

<∂<<<=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

+∂∂ 0,001

2

2

crvSinSin

rur

r

( ) ( )θFcV =∂,

( ) ( )∑∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

0,

nn

n

n CosPcrArV θθ

( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫∞

= −

+=⇒=

0

1

1212

nnnnn dxxPxnAxPAx ββ

( ) ( ) ( )∫∫ ∫−−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+==

c

c

c

o

o

c

dxc

xnCosxfcdxc

xnCosxfdxc

xnCosxfcηηη 11