RobotokIranyitasa.pdf

99

ROBOTOK IRÁNYÍTÁSA

8. DECENTRALIZÁLT HÁROMHURKOS KASZKÁD-SZABÁLYOZÁS

Ebben a fejezetben bemutatjuk, hogyan lehet alkalmazni a klasszikus lineáris szabályozástechnika eredményeit kis teher és viszonylag lassú működésű robotok esetén. A módszer a nemlineáris hatásokat zavaró jelnek tekinti, amelyek hatását a szabályozásnak kell lecsökkenteni vagy eliminálni. Gyors működés és jelentős teher esetén azonban tapasztalat szerint a pontosság leromlik, ezért az irányítást korszerű irányítási módszerekkel kell felváltani.

8.1 Az egyenáramú motor dinamikus modellje Tekintsük az állandó mágnessel gerjesztett, homogén mágneses térben forgó motort (8.1 ábra).

8.1. ábra. Az egyenáramú motor szerkezeti vázlata

Jelölje rR és rL a forgórész ellenállását és induktivitását, ri a rotoráramot és

u a motor kapocsfeszültségét. A Lenz-törvény szerint a forgás hatására a mágneses térben a motor kapocsfeszültségével szembeható ϕ&1c belső feszültség indukálódik, ahol ϕ& a motor szögsebessége. Másrészt a Biot–Savart-törvény szerint a rotorban

u

ri rR rL

ϕ

qLΘ

ri rR rL

LΘ

100 Lantos: ROBOTOK IRÁNYÍTÁSA folyó áram hatására az árammal arányos erő keletkezik, amely a motor tengelyén

rm ic ⋅= 2τ nyomatékot hoz létre. Itt 21 , cc a motorra jellemző állandók. A forgó-résznek a motor tengelyére vett tehetetlenségi nyomatéka legyen rΘ . A motor a LΘ tehetetlenségi nyomatékú terhet (angolul load) ν áttételen keresztül hajtja. Az átté-tel a szögsebességet redukálja. Jelölje az áttétel teherrel megegyező oldalán a szög-sebességet ,q& akkor

./ q&&ϕν = (8.1)

Ha a motor veszteségmentes, akkor az áttétel két oldalán a teljesítmények meg-egyeznek. Mivel az N teljesítmény a nyomaték és a szögsebesség szorzata, ezért

.mmm qNN τνττϕτ =⇒=⇒= && (8.2)

Vegyük észre, hogy míg az áttétel a motoroldali szögsebességet tipikusan csök-kenti a teher oldalon, addig a motoroldali nyomatékot megnöveli a teher oldalon.

Tételezzük fel, hogy a veszteség a viszkózus súrlódásból származik és arányos a szögsebességgel. Akkor a motor oldalán ϕ&mf a viszkózus súrlódásból (csapágysúr-lódásból) eredő súrlódónyomaték, a teher oldalán pedig qf &átt a súrlódónyomaték (ha a súrlódást az áttételben a teher oldalra redukáltuk). Tegyük fel továbbá, hogy a teher változik, és a változó teher hatása a ∗τ zavaró jellel vehető figyelembe.

Mivel jól ismert, hogy a tehetetlenségi nyomaték megszorozva a szöggyorsulás-sal egyenlő a meghajtónyomatékkal, a rotor ellenállásán és induktivitásán eső fe-szültség összege pedig egyenlő a kapocsfeszültség és a belső feszültség különbségé-vel, ezért az egyenáramú motor dinamikus viselkedése a következő egyenletekkel írható le:

.

,

1

2átt

ϕ

νϕνϕΘντΘ

&

&&&&&&

cutdid

LiR

icfqfq

rrrr

rrL

−=+

=++++ ∗

(8.3)

Osszuk el (8.3) első egyenletét ν -vel, és térjünk át a motoroldali mennyiségekre ( νϕνϕ /,/ &&&&&& == qq ), akkor

.)()( 22átt

2 ντϕ

νϕ

νΘ

Θ∗

−=+++ rrL

r icf

f &&& (8.4)

Vezessük be a

2átt

2 /:és/: ννΘΘΘ fff rLr +=+= (8.5)

8. DECENTRALIZÁLT HÁROMHURKOS KASZKÁD-SZABÁLYOZÁS 101 jelöléseket (redukáljuk a tehetetlenségi nyomatékokat és a súrlódásokat a motor ol-dalra), akkor az egyenáramú motor dinamikus modellje a következő alakra hozható ( u a bemenet, ϕ a kimenet és ∗τ zavaró jellemző):

.

,

1

2

ϕ

ντϕϕΘ

&

&&&

cutdid

LiR

icf

rrrr

r

−=+

−=+∗

(8.6)

Laplace-transzformálva és bevezetve az rr sLR + operátoros impedanciát meg-kapjuk az egyenáramú motor hatásvázlatát (8.2 ábra).

8.2. ábra. Az egyenáramú motor hatásvázlata

Vezessük be az Trix ),,(~ ϕϕ &= állapotvektort, legyen ϕ=y a kimenőjel, és

álljon a bemenet a hasznos u motor kapocsfeszültségből és a ∗τ zavaró jelből, azaz legyen ,),(~ Tuu ∗= τ akkor (8.6) a következő alakra hozható:

[ ] .~~001

,~~~

01

10

00

~

0

0

010~

1

2

xCxy

uBxAu

L

x

LR

Lc

cftdxd

rr

r

r

==

+=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−=ΘνΘΘ (8.7)

Az egyenáramú motor karakterisztikus egyenlete

urR/1

rr RLs /1+ri

2c

τ∗

ν/1

sΘ

ϕ&

sν

q

f

1c

+− − 1 1

− rR/1

rr RLs /1+ri

2c

/1

s

&

f

1c

102 Lantos: ROBOTOK IRÁNYÍTÁSA

,)/(/0

/)/(001

)(det

1

2

rrr LRsLccfs

sAsI

+−+

−=− ΘΘ

ahonnan a determinánst kifejtve kapjuk, hogy az egyenáramú motor harmadfokú karakterisztikus polinomja

))((

],[

])()[()(det

21

212

21

sssssL

ccRfs

LRLf

ss

Lcc

LR

sfssAsI

r

r

r

rr

rr

r

−−=

++

++=

=+++=−

ΘΘΘ

ΘΘ

(8.8)

a sajátértékek (pólusok) pedig

.0

,2

)1(4)()(

2)(4)()(

3

212

212

2,1

=

+−+±+−

=

=+−+±+−

=

sTT

TTfR

ccTTTT

LLccRfRLfRLf

s

em

emr

emem

r

rrrrrr

ΘΘΘΘ

(8.9)

A pólusok megadásakor bevezettük a fTm /Θ= mechanikai és rre RLT /= villa-mos időállandókat.

Vegyük észre, hogy a motor 21 , cc konstrukciós adatainak értékétől függően a sajátértékek (pólusok) konjugált komplexek is lehetnek.

Vezessük be az )(det

/: 2

AsIc

a−

=Θ

jelölést, akkor a motorfeszültség bemenet és

szögelfordulás kimenet közötti átviteli függvény:

8. DECENTRALIZÁLT HÁROMHURKOS KASZKÁD-SZABÁLYOZÁS 103

[ ]

[ ]

[ ] ⇒=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡∗∗=

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

∗∗∗∗∗∗

∗∗=

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−=

rr

r

r

La

La

L

a

LAsIuW

/100

/100

001

/100

1)(001,ϕ

.)(det,

2

AsIL

c

uW r

−

⋅=

Θϕ (8.10)

Innen következik, hogy ϕ& szögsebesség kimenet és u kapocsfeszültség bemenet

esetén az egyenáramú motor átviteli függvénye

,21))((, 22

21

2

sTTsA

ssssL

c

uW r

++=

−−

⋅=

ξΘ

ϕ& (8.11)

amely 1≥ξ esetén kéttárolós tagra, 1<ξ esetén pedig kéttárolós lengőtagra vezet. A gyakorlatban a motor konstrukciós adataitól függően mindkét eset lehetséges.

8.2 Háromhurkos kaszkád-szabályozás tervezése A háromhurkos kaszkád-szabályozás belső áramszabályozásból ( i ), középső sebes-ség-szabályozásból (más néven fordulatszám-szabályozásból, n ) és külső pozíció-szabályozásból (más néven szögelfordulás-szabályozásból, q ) áll, lásd 8.3. ábra. Nem foglalkozunk a szabályozás teljesítmény-elektronikai megvalósításával, de fel-tesszük, hogy az áramszabályozás impulzusszélesség-modulációval (PWM, pulse width modulation) van megvalósítva, amelynek chopper-frekvenciája legalább 10kHz. Ezért megengedhető a PWM hatásának elhanyagolása, ha az áramszabályo-zási kört nem gyorsítjuk fel jobban, mint 0.5 ms.

Mindhárom hurokban analóg szabályozókat feltételezünk, bár a legtöbb gyakor-lati megvalósításban a pozíció-szabályozás mintavételes. A vizsgálatoknál felhasz-náljuk a lineáris szabályozástechnika eredményeit. Mivel a műveleti erősítők fe-szültségjeleket dolgoznak fel, az érzékelők is feszültség kimenőjelet szolgáltatnak,


amelyeket “hullámmal” jelölünk: ,~rii γ= ,~ nn β= .~ qq α= A PID pozíció-

szabályozó mintavételes megvalósításának elvét későbbi pontban tárgyaljuk..

8.3. ábra. Háromhurkos kaszkád-szabályozás felépítése

8.2.1 A belső áramszabályozási hurok megtervezése Az áramszabályozás PI szabályozójának beállítását úgy határozzuk meg, mintha a ϕ&1c belső feszültség “zavaró jel” lenne, és a PI szabályozónak az lenne a feladata,

hogy az egytárolós szakaszt felgyorsítsa, lásd 8.4. ábra. Ez nyílvánvalóan egy köze-lítés, hisz a belső feszültség hatása az egyenáramú motor működési elvének egyik alapját képezi. Később meg fogjuk vizsgálni, hogyan viselkedik a szabályozás e nél-kül a közelítés nélkül az így megtervezett szabályozóval.

8.4. ábra. Közelítő módszer az áramszabályozás tervezéséhez

A közelítés mellett a felnyitott kör átviteli függvénye

,1

/11)(0 γ⋅

+⋅

+⋅=

e

riI

iI

pii sT

RssT

TA

sW (8.12)

ahol rre RLT /= a villamos időállandó. Kézenfekvő a eiI TT =: választás, amely után a felnyitott kör egy integráló tag lesz, a zárt kör pedig egytárolós tag:

s

KsRT

AsW i

riI

pii :1)(0 =⋅=

γ, (8.13)

+−

+−

+ ROBOTDC+u

− sν

riϕ& q

αβ

γ

PID (n)PI (i)PIaq~ an~ ai~

ROBOTDC sri&

(n)PI (i)PIaq an ai

+ − e

r

sTR

+1/1+

−

γ

ai~

riu

ϕ&1c

(i)PIe

r

sTR

+1/1ai ri

ϕ&1c

(i)PI


.1

/11

/1:/1

/1)(eiii

i TsasTKssW

+=

+=

+=

γγγ (8.14)

A gyorsítás érdekében eeii TTaT <=: és ezért 1<ia , de a gyorsításnak határt szab

a PWM chopper-frekvenciája. A PI szabályozó erősítése .γir

pi aR

A =

Tekintsük ezután az áramszabályozást a megtervezett PI szabályozóval, de most már közelítés nélkül. Mivel a 8.2. ábra szerint

,/

11

/1

22 fc

sTii

sTfc m

rrm

+=⇒

+=ϕ& (8.15)

ezért ha felhasználjuk a (8.8) és (8.9) összefüggéseket és ϕ& kimenetet választunk, akkor a belső szabályozási kör a 8.5. ábra szerinti alakra hozható, ahol a ξT -tag az egyenáramú motor uWϕ& átviteli függvénye. A gyökhelygörbe alakját a 8.6. ábra mutatja, ha a körerősítés változhatna.

8.5. ábra. Az áramszabályozás a megtervezett PI szabályozóval közelítés nélkül

Számítva arra, hogy nagy körerősítést sikerült a tervezéskor beállítani, a zárt

rendszer pólusai a “négyszöggel” megjelölt helyekre esnek a gyökhelygörbén. Más-részt eT/1− zérushelye a zárt körnek is, ezért a közelébe eső zárt rendszer pólussal egymást gyakorlatilag kejtő P/Z párt alkot, és ezért elhanyagolható. A negatív valós

tengelyen a végtelenhez tartó ágon lévő pólus eiTa

1−≈ , a megtervezett gyors pólus.

Másrészt viszont a felnyitott kör mT/1− zérushelye nem zérushelye a zárt rendszer-

nek ϕ& kimenet esetén, mert a visszacsatoló ágban van, ezért a közelébe eső ∗− mT/1

zárt rendszer pólus közelében nem lesz zérushelye a zárt rendszernek, ezért ∗− mT/1 lesz a zárt rendszer domináns pólusa ϕ& kimenet esetén.

+ −

ϕ&ai~

(i)PI 2221 sTTsA++ ξ

)1(2

msTcf

+γ

&ai

(i)PI 2221 sTTsA++ ξ

)1(2

msTcf

+


8.6. ábra. A gyökhelygörbe alakja a megtervezett PI szabályozóval, ha a körerősítés változna

Összefoglalva, a középső hurok szabályozásának tervezéséhez a belső hurok eredője jól approximálható a

.:,)1)(1(

)( 2~f

cA

sTsTA

sW iim

iia γϕ =

++≈

∗& (8.16)

átviteli függvénnyel.

8.2.2 A középső sebesség-szabályozási hurok megtevezése A középső fordulatszám-szabályozási kör tervezésekor kéttárolós taghoz kell PI szabályozót tervezni. A felnyitott kör és ∗= mnI TT : választás esetén a zárt rendszer átviteli függvénye a következő lesz:

.

)1)(1(/1)(

,)1()1)(1(

1)(

21

0

sTsTsW

sTsK

sTsTA

ssT

TA

sW

n

i

n

im

inI

nI

pnn

++≈

+=⋅

++⋅

+⋅≈

∗

β

β (8.17)

A zárt rendszer karakterisztikus egyenlete az 0)(1 0 =+ sWn feltétel alapján

.02 =++ ni KsTs (8.18)

Aperiodikus határesetre törekedve a fordulatszám- (sebesség-) szabályozási körnél, következik

kiesik≈

eiTa1

−≈

eT1

−2

1T

−1

1T

−mT1

−

∗−

mT1

skiesik

eiTa1

−≈

eT1

−2

1T

−1

1T

−mT1

−

∗−

mT1


.241

2411

2,12,1 ii

ni

in TTT

KT

TKs =⇒=⇒

−±−=

8.2.3 A külső pozíció-szabályozási hurok megtervezése A pozíció-szabályozás felnyitott körének átviteli függvénye a PID szabályozó átvi-

teli függvényének, a belső szabályozási hurok eredő átviteli függvényének, az sν1

integráló tagnak és az érzékelő α átviteli tényezőjének szorzata:

.:,:,

)1)(1()1)(1(

1)1)(1(

)1)(1()(

212

21

21

210

ναττ

αν

ττ

n

I

p

n

I

p

AA

TAA

KsTsTs

ssK

ssTsTA

sss

TA

sW

==++

++=

=⋅⋅++

⋅++

⋅=

(8.19)

Feltesszük, hogy ,21 TT ≥ és bár a középső szabályozási hurok tervezésekor 21 TT = választással éltünk, két esetet fogunk vizsgálni (ebből a második tartalmazza a

21 TT = esetet). Mindkét esetben aperiodikus tranziensre törekszünk a zárt rendszer-

ben, ezért kb. o75 fázistöbblet elérésére fogunk törekedni.

I. Legyen .10 21 TT >

8.7. ábra. A felnyitott kör PID szabályozóval jelentős időállandó különbségek esetén

Mivel o5)1.0arctan( ≈ és o85)10arctan( ≈ , ezért választható a kompenzált felnyi-tott kör számára a 8.7. ábra szerinti aszimptotikus amplitúdó-jelleggörbe az ott meg-adott T,, 21 ττ és cω értékekkel, amely biztosítja a kívánt

cω1ω

111 10/1 T== ωτ 12 T=τ

1/1 Tc =ω o75≈tϕ

11.0 TT =

ω

1

1.0T 1

1T 1

10T 2

1T

cω

-40

-40

-20

-60

1ω

111 10/1 T== ωτ 12 T=τ

1/1 Tc =ω o75≈tϕ

11.0 TT =

1

1.0T 1

1T 1

10T 2

1T


oooooooo 7555859090180)(180 ≈−−+−−≈+= ct ωϕϕ (8.20) fázistöbblet. ( pA beállítását a második esetnél tárgyaljuk). II. Legyen .10 21 TT <

A kompenzált felnyitott kör számára választható a 8.8. ábra szerinti aszimptotikus amplitúdó-jelleggörbe és az ott megadott T,, 21 ττ és cω értékek, amely biztosítja

a kívánt o75≈tϕ fázistöbbletet.

8.8. ábra. A felnyitott kör PID szabályozóval hasonló nagyságrendű időállandók esetén

A PID szabályozó integrálási és differenciálási ideje meghatározható a PID sza-

bályozó két alakjának összevetésével (8.19) alapján:

.)(

,

2121

2121

TT

TTTT

TTTT

IDDI

II

−=⇒+=

−+=⇒+=+ττ

ττ

ττττ (8.21)

A 8.8. ábra szerint meghatározható a szabályozó erősítése is IT ismeretében:

AT

AT

AAAKAK

AA

Icp

I

pc

cc

11

21112

1

111

1 ,/1

ωωωωω

ω

ωωωω

=⇒===⇒=

=⇒=

(8.22)

cω1ω

12 T=τ 11.0 TT =211 100/1 T== ωτ

2/1.0 Tc =ω o75≈tϕ

ω

2

01.0T 2

1.0T

1

1T

2

1T 1

10T

cω

-40

-40

-20

-60

1ω

12 T=τ 11.0 TT =211 100/1 T== ωτ

2/1.0 Tc =ω o75≈tϕ

2

01.0T 2

1.0T

1

1T

2

1T 1

10T

8. DECENTRALIZÁLT HÁROMHURKOS KASZKÁD-SZABÁLYOZÁS 109 A teljes szabályozási rendszer gyökhelygörbéjét (a jónak ítélhető közelítések mel-

lett) a 8.9. ábra mutatja.

8.9. ábra. A gyökhelygörbe alakja a megtervezett PID szabályozóval, ha a körerősítés változna

A gyökhelygörbéből látható, hogy a o75≈tϕ fázistöbblet miatt a közel egyfor-

ma két domináns pólus mellett a zárt rendszer tartalmazni fog egy egymást csaknem

kiejtő alacsonyfrekvenciás (tehát lassan lecsengő) P/Z párt, amely miatt a zárt rend-

szer átmeneti függvényének kb. %5≈v∆ túllövése várható annak ellenére, hogy a

tranziens aperiodikus. Ez azonban pl. robotoknál előny is lehet, mert ezeknél a rend-

szereknél az alapjel tipikusan nem ugrásszerűen, hanem folytonos függvény szerint

változik.

8.2.4 A pozíciószabályozó mintavételes közelítése Az analóg PID szabályozó jól közelíthető mintavételes PID szabályozóval, például

az egységugrás-ekvivelens közelítést felhasználva. Ekkor először is az analóg PID

szabályozó tervezésekor figyelembe kell venni, hogy a mintavételes szabályozó után

álló DAC átalakító is hozzájárul a satatikus erősítéshez. Legye a DAC átalakító fe-

szültségtartománya DAU± Volt, a bitszáma pedig DAbitszam , akkor a statikus át-

viteli tényezőnek az analóg PID szabályozó tervezésekor használt értéke módosul:

s


ναnDA Au

A ⋅=−1DAbitszam2

: . (8.23)

A mintavételes PID szabályozó választható

2

21

10

22

110)(

−−

−−

++

++=

zpzppzqzqq

zDPID , (8.24)

alakúnak, ahol T mintavételi idő esetén

( )cc

cc

TT

c

DTT

Ip

TT

c

D

I

TTp

c

Dp

epTT

eTTAq

epTT

TTeAq

pTT

Aq

/2

/2

/1

/1

00

1

12

1

11

−−

−−

=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

+−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+−=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

(8.25)

Ha e jelöli a szabályozó bemenőjelét (hibajel) u a szabályozó kimenőjelét

(amely a fordulatszám szabályozási kör an~ alapjele DAC átalakítás után), akkor

(8.24) alapján a mintavételes szabályozó processzorának a következő számítást kell

megvalósítania:

( )2211022110

1: −−−− +++−−= kkkkkk eqeqequpupp

u (8.26)

Ne feledjük azonban, hogy szoftver eszközökkel biztosítani kell azt is, hogy pl.

DAbitszam=12 esetén a ± 2048 működési tartományt nem szabad elhagyni. A telí-

téses jelleggörbe megvalósítása tehát a szoftver részét képezi.

9. KORSZERŰ ROBOTIRÁNYÍTÁSI MÓDSZEREK 111

9. KORSZERŰ ROBOTIRÁNYÍTÁSI MÓDSZE-REK

Ebben a fejezetben néhány elterjedt korszerű robotirányítási módszerrel ismerke-dünk meg, amelyek alkalmasak a robot elvárt pontosságának biztosítására gyors működés és jelentős teher esetén is. Az irányítások alapját a robot dinamikus mo-delljének felhasználása képezi, amelyet valósidőben tipikusan msT 1= mintavételi gyakorisággal kell meghatározni.

9.1 A kiszámított nyomatékok módszere A módszert szokás nemlineáris szétcsatolásnak nevezni a csuklóváltozók terében. Elterjedt angol megnevezése Computed Torque Technique (CTT). Az elnevezés on-nan származik, hogy a szabályozási törvény nyomaték kimenetű. A valóságban a nyomaték megvalósítható az alacsony hierarchia szinten áramszabályozással, hiszen DC motorok esetén a nyomaték arányos a rotorárammal. Felhasználjuk, hogy a

)(qH általánosított inercia mátrix pozitív definit, ezért )(1 qH −∃ inverze. Az u jel a szabályozó belső jele, melyet a pályakövetés biztosítására és stabilizálásra fogunk használni. Robot (szabályozott szakasz): τ=+ ),()( qqhqqH &&& (9.1) Nemlineáris szabályozó: ),()(: qqhuqH &+=τ (9.2) Zárt rendszer: ),()(),()( qqhuqHqqhqqH &&&& +=+ (9.3a) miuquq ii ,,1, K&&&& ==⇔= (9.3b) Jól láthatóan a kompenzált rendszer szétesett a szabadságfokkal megegyező számú szétcsatolt kettősintegrátorokra. Mivel a rendszernek a megtervezett előírt pályán kell mozognia, továbbá a teher és a paraméterek változásakor robusztusnak is kell lennie, ezért a szabályozó belső jeleit képezhetjük a következő decentralizált szabá-lyozókkal: Decentralizált szabályozók:

( ) ( ) ( )iaiDiiaiIiiaiPiaiaii qqkdtqqkqqkqPIDqu &&&&&& −+−+−+=+= ∫ (9.4)

Ne feldjük, hogy a pályatervezéskor nemcsak a pályát, hanem annak első és máso-dik deriváltját is megtervezzük. A decentralizált szabályozókban szükséges


aiaiai qqq &&& ,, tehát a pályatervezéskor előáll, a ii qq &, értékeket pedig az érzékelők mérik.

Hátra van még a decentralizált szabályozó paramétereinek megválasztása. Abból indulhatunk ki, hogy a

( ) ( ) ( )iaiDiiaiIiiaiPiaiii qqkdtqqkqqkquq &&&&&& −+−+−+== ∫ (9.5)

alakból átrendezéssel és deriválással következik 0)()()()( =−+′−+′′−+′′′− iaiIiiaiPiiaiDiiai qqkqqkqqkqq , (9.6) tehát a rendszer az )( iaii qqe −= hibajelben egy gerjesztetlen lineáris rendszer, amelynek karakterisztikus egyenlete

023 =+++ IiPiDi Ksksks (9.7) és amelyet stabillá és gyorssá kell tenni.

Választható tehát egy 0)1( 3 =+ sT mintarendszer, amelynek T időállandójával a kívánt működési sebességet beállíthatjuk. Például mivel az első három csukló ro-busztusabb, választható számukra msT 50= , míg az utolsó három, miniatűrebb csukló számára a gyorsabb működést biztosító msT 25= . Átalakítások után

01330331)1(32

2333223 =+++⇒=+++=+T

sT

sT

sTsTssTsT , (9.8)

ahonnan kapjuk, hogy az alkalmas decentralizált szabályozóbeállítás:

32

1,1,1T

kT

kT

k IiPiDi === (9.9)

Meg kell azonban jegyezni, hogy a centralizált nemlineáris szabályozóban hasz-nált nemlineáris robot dinamikus modell rendszerint eltér a valóditól, mivel üzem közben a megváltozott teher stb. nem mindig ismeretes, ezért valójában csak a no-minális ),(ˆ),(ˆ qqhqH & áll rendelkezésre, ezért a zért rendszer csak közelítően szét-csatolt:

uHHhhHqhuHhqH ˆ)ˆ(ˆˆ 11 −− +−=⇒+=+ &&&& (9.10)


9.2 Ekvivalens erők és nyomatékok számítása Ha nemcsak a robot mozgását, hanem a tárgy és a környezet kölcsönhatásakor a kontaktuspontban kifejtendő erőt és nyomatékot is kell szabályozni, akkor erő/nyomaték érzékelőt is célszerű alkalmazni, amely tipikusan az utolsó szegmens és a szerszám között helyezkedik el, tehát máshol, mint ahol szabályozni akarunk. Másrészt a térbeli irányításkor a térben kifejtendő erőt és nyomatékot tervezi meg az irányítási törvény, amelyet azonban a csuklók szintjén a csuklónyomatékokkal lehet megvalósítani. Szükség van a tehát az áttérésre közöttük.

9.2.1 Erő és nyomaték transzformáció erő/nyomaték érzékelők esetén Mérjen az erő/nyomaték érzékelő a saját sK koordináta-rendszerében sf erő és

sN nyomaték vektorokat, és keressük a velük ekvivalens erőt és nyomatékot a szer-számközéppontban (TCP) vagy a kontaktuspontban. Mivel a két eset hasonló, korlá-tozódjunk a szerszámközéppont esetére (a kontaktuspont felfogható a tárggyal ki-egészített absztrakt szerszám szerszámközéppontjának).

Helyezzünk el egy nulla erőt a szerszámközéppontban sf± alakjában, és legyen a helyvektor a sK origójából a EK végberendezés origójába, azaz a szerszám-középppontba, Esp , . Akkor keletkezik egy sf erő a szerszámközéppontban, és az

sN nyomaték megnő a sK origójánan lévő sf+ és a EK origójában lévő sf− erők által képzett erőpár nyomatékával. Az erőkar alkalmas ϕ -vel

)90sin()cos( ϕϕ += osEsE pp , ezért az erőpár nyomatéka irányhelyesen

sEs pf × . Bázisfüggetlen alak:

sEssE

sE

pfNNpp

×+==

(9.11)

Bázisfüggő alak:

( )sEssTsEEs

sTsEEs

Es

pfNANNfAff

KT

K Es

×+==

⎯⎯ →⎯ ,

(9.12)

Átalakítások után kapjuk, hogy

( ) sT

sEsEsTsEs

TsE

TsEs

TsEssE

TsEs

TsEE fApNAfpANAfpANAN ][][][ ×+=×+=×−= ,

114 Lantos: ROBOTOK IRÁNYÍTÁSA ahonnan a következő transzformációs szabályhoz jutunk:

( ) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

×=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

s

sTsE

TsEsE

TsE

E

E

Nf

AApA

Nf

][0 (9.13)

A transzformációs szabály általánosítható tetszőleges két 21 , KK koordináta-rendszer és a közöttük lévő 2,1T homogén transzformáció esetére, ha az erő támadáspontja is megváltozott:

( ) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

×=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

1

1

121212

12

2

2

][0

Nf

AApA

Nf

TT

T (9.14)

Ha az erő támadáspontja nem változik meg, akkor nincs erőpár, és csak TA12 szerepel a blokk-diagonálisban a koordináta-transzformáció (báziscsere) miatt.

9.2.2 Ekvivalens csuklónyomatékok számítása Vonjuk össze a szerszámközéppontban specifikált erőt/nyomatékot egy F , a kere-sett ekvivalens csuklónyomatékokat egy τ , valamint a pozíciót és orientációt a Rodriguez-képlet alapján egy x vektorban:

62

1

6 ,, Rtp

xRRNf

F m

m

E

E ∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=∈

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

ϕτ

ττ

τM

(9.15)

Legyen a robot Jacobi-mátrixa 0K -tól EK -ig J , akkor qJxqJx δδ =⇒= && felhasz-nálásával, ekvivalens munkavégzést feltételezve kapjuk, hogy

>>=<>=<>=<< qFJqJFqxF T δδδτδ ,,,, (9.16)

ahonnan következik, hogy az F általánosított erővel ekvivalens csuklónyomaték a következő: FJ T=τ (9.17)

9.3 A robot dinamikus modellje Descartes-koordinátákban A robot modellje csuklóváltozókban: τ=+ hqH && (9.18a) Specifikált erő/nyomaték a TCP-ben: F (9.18b) Robot Jacobi-mátrixa a TCP-ig: J (9.18c)

9. KORSZERŰ ROBOTIRÁNYÍTÁSI MÓDSZEREK 115 Végezzük el a következő átalakításokat és vezessük be közben az α vektort:

( )

( )FHJJhJxHJJ

FJhxHJ

xJqdtdJxJq

qJqJqdtdJqJx

qJx

TTT

T

=−+

=+−

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=+=

=

−−−−−

−

−−

11

1

11

&&

&&

&&&&&&&

&&&&&&&&&

&&

α

α

αΦΘ

Bevezetve a

α∗−∗−−∗ −== HhJhHJJH TT :,: 1 (9.19)

jelöléseket, a robot dinamikus modelljét Descartes-koordinátákban a következő alakban kapjuk:

FhxH =+ ∗∗ && (9.20)

A robot kinetikus energiája most is a ∗H kvadratikus alakja az x& változóban, következésképp fizikai megfontolás alapján ∗H pozitív definit és ezért 1)( −∗∃ H .

9.4 A szabad mozgás nemlineáris szétcsatolása Descates-koordinátákban Az irányítási törvényt Descartes-koordinátákban fogalmazzuk meg, realizálni pedig a csuklónyomaték (rotoráram) szabályozások bevonásával fogjuk. A módszer ha-sonlít a kiszámított nyomatékok módszeréhez csuklóváltozókban, de most a nemli-neáris szétcsatolás a térben történik. Felhasználjuk, hogy 1−∗∃H . A módszer alapját fogja képezni a hibrid pozíció/erő szabályozásnak is megfelelő korrekciók után. Robot (szabályozott szakasz): FhxH =+ ∗∗ && (9.21) Nemlineáris szabályozó: ∗∗∗ += huHF : (9.22) Zárt rendszer: ∗∗∗∗∗ +=+ huHhxH && (9.23a) 6,,1, K&&&& ==⇔= ∗∗ iuxux ii (9.23b)

116 Lantos: ROBOTOK IRÁNYÍTÁSA Jól láthatóan a kompenzált rendszer szétesett 6 darab szétcsatolt kettősintegrátor-

ra. A hat irány a báziskoordináta-rendszerben a tengelyek irányában való haladás és a tengelyek körüli forgások iránya, amely mozgások a térben szétcsatolttá váltak. Mivel a rendszernek a megtervezett előírt térbeli pályán kell mozognia, továbbá a teher és a paraméterek változásakor robusztusnak is kell lennie, ezért a szabályozó belső jeleit képezhetjük a következő decentralizált szabályozókkal: Decentralizált szabályozók:

( ) ( ) ( )iaiDiiaiIiiaiPiaiaii xxkdtxxkxxkxPIDxu &&&&&& −+−+−+=+= ∫∗ (9.24)

Ne feldjük, hogy a pályatervezéskor Descartes-koordinátákban nemcsak a pályát, hanem annak első és második deriváltját is megtervezzük. A decentralizált szabá-lyozókban szükséges aiaiai xxx &&& ,, tehát a pályatervezéskor előáll, az ii xx &, értékeket pedig az érzékelők mérik és/vagy számítják a geometriai és a sebesség modellek be-vonásával.

Hátra van még a decentralizált szabályozó paramétereinek megválasztása. Abból indulhatunk ki, hogy a

( ) ( ) ( )iaiDiiaiIiiaiPiaiii xxkdtxxkxxkxux &&&&&& −+−+−+== ∫∗ (9.25)

alakból átrendezéssel és deriválással következik 0)()()()( =−+′−+′′−+′′′− iaiIiiaiPiiaiDiiai xxkxxkxxkxx , (9.26) tehát a rendszer az )( iaii xxe −= hibajelben egy gerjesztetlen lineáris rendszer, amelynek karakterisztikus egyenlete

023 =+++ IiPiDi Ksksks (9.27) és amelyet stabillá és gyorssá kell tenni.

Választható tehát egy 0)1( 3 =+ sT mintarendszer, amelynek T időállandójával a kívánt működési sebességet beállíthatjuk. Például mivel a tengelyek irányában va-ló haladás nagyobb tömegeket mozgat és ebben az értelemben robusztusabb, vá-lasztható számukra msT 50= , míg a tengelyek körüli forgatásokra a gyorsabb mű-ködést biztosító msT 25= . Átalakítások után

01330331)1(32

2333223 =+++⇒=+++=+T

sT

sT

sTsTssTsT , (9.28)

9. KORSZERŰ ROBOTIRÁNYÍTÁSI MÓDSZEREK 117 ahonnan kapjuk, hogy az alkalmas decentralizált szabályozóbeállítás:

32

1,1,1T

kT

kT

k IiPiDi === (9.29)

Az irányítási törvényt a csuklónyomatékok szintjén implementáljuk. Ennek során

figyelembe vesszük, hogy a szabályozóban csak a robot nominális dinamikus mo-dellje (például névleges teher esetén) áll rendelkezésre. Implementálás:

huJH

HJhuJHhuHJFJ TT

ˆ)(ˆ

ˆˆ)ˆˆ(1

11

+−=

−+=+==∗−

−∗−∗∗∗

ατ

ατ (9.30)

9.5 Hibrid pozíció és erő irányítás Tekintsük azt a tipikus esetet, amikor egy altérben előírt mozgást kell megvalósítani (például a táblára egy karaktert kell felírni), miközben az altérre merőleges komp-lemens térben előírt erőt kell kifejteni (például a táblára merőleges irányban az irásra használt krétával előírt erőt kell kifejteni annak érdekében, hogy a karakter írása ne a levegőbe történjen a mozgás irányítási hibája miatt, ugyanakkor az erő ne is legyen nagy, nehogy a kréta eltörjön).

9.5.1 Általános feladatspecifikációs mátrixok Feltehetjuk tehát, hogy a megfogó egy tárgyat tart, és például a szerszámközép-pontban (TCP) egy előírt af irányú és nagyságú erőt kell kifejteni, miközben moz-gást kell megvalósítani az af -ra merőleges altérben. Mivel az af irány általános helyzetű lehet a oK operációs térben (a világkoordináta-rendszerben), hasonlóan a mozgás komplemens tere is, ezért a módszert operációs tér módszernek is nevezik. Az af -ra merőleges altérben mozgást szabályozunk, míg az af irányban erőt.

A feladatot formalizálhatjuk a következő módon. Választunk egy fK koordiná-

ta-rendszert, amelynek origója a TCP-ben van, de amelynek fz tengelye párhuza-

mos af -val )||( af fz . Válasszunk egy diagonális fΣ pozíció specifikációs mátrix-ot,

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

z

y

x

f

σσ

σΣ

000000

, 1=xσ , ha szabad mozgás lehet az fx irányban, stb. (9.31)


( 0=zσ tipikusan, kivéve a teljes szabad mozgás esetét, amelyet nem zárunk ki)

Vegyük észre, hogy fΣ egy maszk mátrix, ahol 1 áll, ott mozgást irányítunk. Ha-

sonlóan definiálhatunk egy fΣ~ komplemens maszk mátrixot az erő irányítások számára:

ff I ΣΣ −=~ (9.32)

A koordináta-rendszerek közötti kapcsolatatot (csak koordináta-transzformációt fel-tételezve) a következőképp írhatjuk le:

ffooffof

f rAArKKA 1,, −==⎯⎯→⎯ ρρ (9.33)

Az eljárást megismételhetjük a tengelykörüli forgatások altere és az arra merőle-ges nyomatékszabályozások komplemens altere tekintetében, bevezetve a aτ speci-fikált nyomatékot, a τK koordinátatendszert, a τΣ diagonális orientáció specifiká-ciós mátrixot, annak komplemensét, a ττ ΣΣ −= I~ diagonális nyomaték specifiká-ciós mátrixot, valamint a τK és oK közötti koordináta-transzformációt leíró τA orientációs mátrixot.

Az irányítási feladat leírására bevezetjük az alábbi általános feladatspecifikációs mátrixokat:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡= −

−

−

−

ττττττ ΣΣ

ΣΣ

AAAAS

AAAAS ffffff ~0

0~~,0

01

1

1

1

(9.34)

Ezek segítségével a következő szabályozástechnikai feladatok egyszerűen elvégez-hetők: 1. xxa − és FFa − pozíció/orientáció és erő/nyomaték hibák mérése oK -ban 2. A hibák áttranszformálása τKK f , -ba

3. Az agyes alterekben nem szabályozható hibák elhagyása (nullázása) 4. A megmaradt hibák visszatranszformálása oK -ba A négy lépés egyszerűen megvalósítható )( xxS a − és )(~ FFS a − segítségével.


9.5.2 A hibrid pozíció/erő irányítási törvény Az irányítási törvényt magas szintű centralizált nemlineáris és alacsony szintű de-centralizált lineáris részekre bontjuk a fizikai elv figyelembevételével. A mozgás il-letve az erő szabályozásának megvalósítási korlátait az egyes alterekben az S il-letve az S~ általános feladatspecifikációs mátrixokkal vesszük figyelembe.

A decentralizált szabályozások nem figyelik a fizikai korlátokat, úgy működnek, mintha a teljes mozgás és erő irányítás korlátozások nélkül megvalósítható lenne.

Az erő irányítást aktív részre és csillapításra bontjuk. Az aktív rész decentralizált

szabályozója PI elvű, mivel a gyakori oszcilláció miatt előnytelen lenne az osz-cillációkat kiemelő D hatás bevonása. Az oszcillációk hatásának csökkentésére se-bességfüggő csillapítást alkalmazunk. Mivel a kinetikus energia ∗H kvadratikus alakja, ezért a sebességfüggő csillapítás súlyozásában részt vesz ∗H is. Nemlineáris centralizált szabályozások:

∗∗∗

∗

∗∗

+=

=

=

++=

scsillapítáaktívaktív

ccgf

mozgásmozgás

aktívccgfmozgás

uSHuSF

hF

SuHF

FFFF

~ˆ~ˆ

ˆ (9.35)

Decentralizált szabályozások:

( ) ( ) ( )

xKu

dtFFKFFkFPIFu

xxkdtxxkxxkxPIDxu

VFscsillapítá

aIFaPFaaaktív

iaDiiaIiiaPiaamozgás

&

&&&&&&

−=

−+−+=+=

−+−+−+=+=

∗

∗

∗

∫∫

)()( (9.36)

Implementáció:

ccgfaktívT

scsillapítámozgésT huSJuSSuJHFJ ˆ~~ˆ 1 ++−+== ∗∗∗− ατ (9.37)

A τ nyomatékot most is a decentralizált áramszabályozások valósítják meg az alsó hierarchiaszinten, amelyek τ -val arányos ai

~ alapjelet kapnak.


9.6 Robotok önhangoló adaptív irányítása A robotok dinamikus modelljében szereplő inercia paraméterek (tömegek, tömegkö-zéppontok, tehetetlenségi nyomatékok) rendszerint nem ismertek, ezért a dinamikus modellen alapuló korszerű robotirányítási algoritmusok megvalósításakor szükség van ezek megbízható becslésére. Egy lehetséges megoldás a robotok önhangoló adaptív irányítása (selftuning adaptive control), lásd 9.1. ábra.

9.1. ábra. Önhangoló adaptív irányítás (STAC) elvi sémája

Rendszerint választhatók olyan független K,, 21 αα paraméterek, amelyek a ro-

bot dinamikus modelljében lineárisan fordulnak elő. Például a kétszabadságfokú ro-botkar esetén (az ott szereplő jelölésekkel) paraméterként választható

.),(

,

,,)(

225

12114

22223

2122

2122

212

2111

c

c

c

c

cc

lgmlmlmg

Ilm

llmIIllmlm

=+=

+=

=++++=

ααα

αα

(9.38a)

Ezek a paraméterek lineárisan fordulnak elő a robotkar modelljének Lagrange-féle alakjában:

cu

u y

Estimation

ProcessControllercu

Design

Controllerparameters


.,

,0,

,,0,

,,2

5122

512411

222221212

22211

12212122112

111

322

2122312

22111

ααα

αα

ααααα

CDCCD

DDDSD

DDSDDD

DCDCD

=+=

====

==−==

==+=

+=

(9.38b)

Itt az elterjedt rövidített jelöléseket alkalmaztuk, például )cos( 2112 qqC += , ahol

iq az i -edik csuklóváltozó. Írjuk fel a dinamikus modellt

iikk j

jijkk

kik DzqDzD τ=++ ∑ ∑∑ &&&& )( (9.39)

alakban, ahol kz később kerül megválasztásra. A fenti paraméterválasztással a di-namikus modell a következő alakú lesz:

),()())(()()2(

)()(

512412222

21212222231221

12212211121212111112121111

αααααααα

τ

CCzqSqzzqSzCzC

DzqDqDzqDqDzDzD

++−+++−++++=

=++++++=

&&

&&&&&&&&

&&&&&&&&&&

(9.40a)

.)()()()(

5121122231223

22222212121222112112221212

ααααατ

CzqSzzCDzqDqDzqDqDzDzD

++++==++++++=

&&&&&&

&&&&&&&&&& (9.40b)

Az így kapott dinamikus modellt felírhatjuk paraméterektől független ijY jelekből

álló Y mátrix és jα paraméterekből álló α paramétervektor szorzataként:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

2

1

5

4

3

2

1

2524232221

1514131211

ττ

ααααα

YYYYYYYYYY

, (9.41)

ahol


.,0

,,

,0,

,,

),()2(,

1225

24

2123

1121222

21

1215

114

213

222121221212

111

CYY

zzYzqSzCY

YCYCYzY

zqqzzqSzzCYzY

==

+=+=

====

++−+==

&&&&

&&&&

&&

&&&&&&&&&&

&&

(9.42)

A robot dinamikus modelljét az irányítási törvény és az adaptációs törvény levezeté-sekor háromféle alakban is fogjuk használni: τ=+ ),,()( zqqhzqH &&&& , (9.43a)

τ=++ )(),()( qDzqqCzqH &&&& , ahol ∑==j

jijkikik qqDCCC &)(],[ , (9.43b)

τα =),,,( zzqqY &&&& . (9.43c)

Válasszuk meg a konstans Λ mátrixot úgy, hogy 0)det( =+ ΛsI is gyökeire teljesüljön 0Re <is . Jelölje )(),(),( tqtqtq ddd &&& a csuklóváltozó előírt (desired) alapjel időfüggvényét és deriváltjait a robot megtervezett pályája esetén. Akkor ha az qqe d −= hibajel kielégíti az 0=+ ee Λ& differenciálegyenletet, akkor 0)( →te exponenciálisan Λ megválasztásával befolyásolható sebességgel. Az alapjel idő-függvény helyett bevezetjük annak a hibaintegrál Λ -val súlyozott értékével korri-gált értékét, amelyet referenciajelnek fogunk nevezni:

).(),(

,)(:

qqqqqqqq

dtqqqq

ddr

ddr

ddr

&&&&&&

&&

−+=−+=

−+= ∫

ΛΛ

Λ

(9.44)

Vegyük észre, hogy az

eeqqqqqqs ddr ΛΛ +=−+−=−= &&&&& )(: (9.45)

választással elegendő biztosítani az irányítási törvénnyel, hogy 0=s állandósuljon, mert akkor 0)( →te exponenciális sebességgel, ami azt jelenti, hogy eltünik a


)(tqd és a )(tq közötti hiba egy tranziens után. A következő irányítási törvénnyel, amely felfogható a kiszámított nyomatékok módszere (nemlineáris szétcsatolás a csuklók terében), a csúszó szabályozás (sliding control) és a PID szabályozás ötvö-zetének, egy tranziens után 0)( ≡ts biztosítható. Megjegyezzük, hogy az irányítási törvény ugyan közvetlenül csak PD komponenst mutat a szabályozóban, de ez csak látszólagos, mert az I komponens megtalálható rq -ben. Az irányítási törvény nyo-maték kimenetű, amelyet az alsó irányítási hierarchia szinten gyors tranziensű áram-szabályozásokkal lehet megvalósítani (DC motorok esetén az áram arányos a nyo-matékkal). Az irányítási törvény felhasználja a robot paraméterek aktuális α becs-lését. Irányítási törvény:

)0,0(

)(ˆ),,,(

)()(ˆ),(ˆ)(ˆ:

>>

+−+=

=+−+++=

Dp

Drprr

Drprr

KK

sKqqKqqqqY

sKqqKqDqqqCqqH

α

τ&&&&

&&&&

(9.46)

A zárt rendszer az irányítási törvénnyel

sKqqKqDqqqCqqHqDqqqCqqH Drprr +−+++=++ )()(ˆ),(ˆ)(ˆ)(),()( &&&&&&&& ,

ahonnan következik

).()ˆ()ˆ(ˆ

)(ˆˆˆ0

321&&&&&

4434421&&&&&&&&

s

rrr

rrrr

qqCDDqCCqH

qCqCDqCDqCqHqH

−+−+−+=

=−+−−++=

(9.47)

Megmutatjuk, hogy a zárt rendszer Ljapunov-értelemben stabil. Ljapunov-függvényként válasszuk a rq -hez képest értelmezett hiba "kinetikus és potenciális

energiáját" annak analógiájára, hogy a robot kinetikus energiája >< qqH &&,21 , egy k

rúgóállandójú rúgó potenciális energiája pedig 2

21 kx :

>−−<+>−−<+><= ααααΓ ˆ),ˆ(21),(

21,)(

21: qqqqKssqHV rrp . (9.48)

A Ljapunov függvény 0>Γ súlyozó mátrixszal bünteti az αα ˆ− paraméterbecslé-si hibát is. A Ljapunov függvény deriváltja


>−−<+

+>−−<+><+><=

ααααΓ ˆ),ˆ(

),(,21,

&&

&&&& qqqqKssHssHdtdV

rrp . (9.49)

Mivel qHqHsH r &&&&& −= , ezért (9.47) felhasználásával kapjuk, hogy

CssKqqKDDqCCqHHsH Drprr −−−−−+−+−= )()ˆ()ˆ()ˆ( &&&& , (9.50)

ahonnan következik

.)ˆ(,ˆ,)2(21,

ˆ),ˆ(),(,21

,)()ˆ()ˆ()ˆ(

0

)ˆ(

>−+−<+>−<+><−=

>=−−<+>−−<+><+

+>−−−−−+−+−<=−

ααΓαα

ααααΓ

αα

&&44 344 21

&

&&&&&

444444 3444444 21&&&

sYssCHssK

qqqqKssH

sCssKqqKDDqCCqHHdtdV

TD

rrp

Drp

Y

rr

(9.51)

Felhasználtuk, hogy CH 2−& antiszimmetrikus mátrix, ezért kvadratikus alakja tet-szőleges változó, így s esetén is azonosan nulla. Ezért választható

0)ˆ( =−+ ααΓ &&sY T , ahonnan const=α valódi robot paraméterek esetén 0ˆ =α& miatt a következő adaptációs törvényt kapjuk a robotparaméterek hangolására: Adaptációs törvény:

sqqqqYdtd

rrT ),,,(

ˆ 1 &&&&−= Γα . (9.52)

Mivel ekkor

><−= ssKdtdV

D , (9.53)

negatív, ha 0≠s , ezért V addig csökken, amíg 0=s be nem következik, de ekkor a hiba exponenciálisan nullához tart. Megjegyzés: i) Minden alkalommal, amikor a robot megfog egy tárgyat (CLOSE), vagy elenged

egy tárgyat (OPEN), a robot valódi α paramétervektora új konstans értéket vesz fel a következő mozgásperiódusra, és az önhangoló adaptív irányításnak egy rö-vid tranziens után meg kell találnia a jó α becslést.

10. MOBILIS ROBOTOK IRÁNYÍTÁSA 125

ii) Bár pK nincs hatással a stabilitásra (kiesik dtdV / -ben), az α tranziensére ha-tással van. Általában a nagy hibák miatt a rotoráram korlátozások megszólalhat-nak, ha még semmiféle információnk sincs a robot paramétereiről. Kezdetben ezért célszerű kikapcsolni pK -t a hiba hatásának csökkentése érdekében a τ

beavatkozó jelben, és 0=pK mellett elő-identifikálni a robot szegmensek isme-retlen inercia paramétereit (nulla vagy névleges teher esetén).

iii) Később, amikor már csak a változó teher miatti kisebb paraméterváltozásokra kell reagálni és ezért a hiba is kisebb, pK -t célszerű bekapcsolni a paraméter-hangolás tranziens idejének csökkentése érdekében.


10. MOBILIS ROBOTOK IRÁNYÍTÁSA Egy kerekeken guruló, kormányozható mobilis robot (mobilis platform) vázlatos felépítését mutatja a 10.1. ábra.

10.1. ábra. Mobilis robot vázlatos felépítése

A mobilis robot tömegközéppontjának koordinátáit jelölje ),( yx a bázis koordi-

náta-rendszerben, orientációját pedig a bázis koordináta-rendszer bx tengelyéhez képest jelölje ϑ . Legyen a mobilis robot lineáris sebessége v , szögsebessége pedig ω . A mobilis robot kinematikai modellje

uzGzv

SC

yx

vyvx

uz

)(1000

sincos

=⇔⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⇔

===

&&&

&

&&

&

&

ωϑωϑ

ϑϑ

ϑ

ϑ

. (10.1)

Feltesszük, hogy az irányítás alacsonyabb hierarchiaszintjén sebesség szabályo-zások vannak megvalósítva, ezért az irányítás vizsgált szintjén v és ω tekinthetők vezérlő (beavatkozó) jelnek, amelyek alapjelként (referencia jelként) szolgálnak az alacsonyabb hierarchiaszint sebesség szabályozásai számára.

Vizsgáljuk meg, vajon lehet-e a 0,0 == uz egyensúlyi pont környezetében line-áris állapot-visszacsatolással stabilizálni a mobilis robotot, és ha nem, akkor mi ja-vasolható. Ha a rendszert a ),( uzfz =& alakban képzeljük el, akkor a BuAzz +=& linearizált rendszer a )0,0( egyensúlyi pont környékén a következő módon határoz-ható meg:

bx

by

y

x

v

bx

by

ϑ


,:100001

1000

,:000000000

0000000

),(

)0,0(

)0,0(

1

1

2

1

1

BSC

f

AuCuS

fu

uSuC

uzf

u

z

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=′

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=′⇒

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

ϑ

ϑ

ϑ

ϑ

ϑ

ϑ

uz⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

100001

& .

Világos, hogy a linearizált rendszer irányíthatósági mátrixa

zMrankM cc dim32000010000000000001

=<=⇒⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡= ,

ezért a mobilis robot még a )0,0( egyensúlyi helyzet környezetében sem stabilizál-ható állapot-visszacsatolással. Ezért nemlineáris )(zku = , vagy nemlineáris és idő-ben változó ),( tzku = visszacsatolás javasolható irányítási stratégiaként az egyen-súlyi pont körüli helyzetszabályozásra (position control) vagy egy előírt pálya köve-tő szabályozására (tracking control). Mint látni fogjuk, nem biztos, hogy a helyzet-szabályozás a követő szabályozás speciális eseteként fogható fel, mert bizonyos sta-bilitási követelmények az álló (nyugalmi) helyzetet kizárhatják.

10.1 Mobilis robot irányítása statikus visszacsatolással Legyen adott egy referencia robot pályája az

rr

rr

rr

r

r

Svy

Cvx

ωϑϑ

ϑ

=

=

=

&

&

&

(10.2)

alakban, és legyen a szabályozási hiba definíciója

rrr yyyxxx ϑϑϑ −=−=−=~,~,~ . (10.3)

128 Lantos: ROBOTOK IRÁNYÍTÁSA Vezessük be a következő (globális) hibatranszformációt:

,)(~~~

,~~~

)(~~~

10000

:

3

2

1

3

2

1

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

eee

Ryx

yx

Ryx

CSSC

eee

T ϑϑ

ϑϑ

ϑϑθ

ϑϑ

(10.4)

ahol ),(Rot)( ϑϑ zR T= , ami jól kihasználható lesz a későbbiekben, mert TRR =−1

és ω][1 ×=− kRR& . Határozzuk meg a transzformált hiba állapotegyenletét:

.0000000

)()()()(

][

10000

][

)()()(~~~

)(~~~

)(

3

3

3

2

1

3

2

1

3

2

1

3

2

11

3

2

1

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−+−−−+−

+⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛×=

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛×=

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

+⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

r

er

er

r

rr

rr

r

r

r

r

r

r

SvCvv

eee

SvvSCCvvCSSvvSSCvvCC

eee

k

SvvSCvvC

CSSC

eee

k

SvvSCvvC

Reee

RRyx

Ryx

Reee

rr

rr

r

r

r

r

ωωω

ω

ωωω

ωωω

ωωϑϑϑ

ϑϑ

ϑϑ

ϑϑϑϑϑθ

ϑϑϑϑϑϑ

ϑϑ

ϑϑ

ϑθ

ϑϑ

ϑϑ

ϑϑ&

&

&

&

&

&

&

&

(10.5)

Hajtsunk végre bemenőjel transzformációt is:

.:

,:

2

1 3

r

er

u

Cvvu

ωω −=

−= (10.6)

A transzformált hiba állapotegyenlete a következő alakban adható meg:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

2

1

3

2

1

3

2

1

100001

0

0

0000000

3 uu

vSeee

eee

reωω

&

&

&

. (10.7)

10. MOBILIS ROBOTOK IRÁNYÍTÁSA 129 Linearizálás az e=0, u=0 egyensúlyi helyzet környékén

Feltesszük, hogy a referencia robot rv és rω sebessége konstans. A (10.7) állapot-egyenletet ),( uefe =& alakban elképzelve a linearizálás a következő eredményt adja az )0,0(),( =ue egyensúlyi helyzet környékén:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=⇒

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=′

0000

00:

00000

000

0000000

),(3 rr

r

ree vAvCuef ωω

ωω

, (10.8)

Buefu :100001

),( =⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=′ . (10.9)

Ekkor

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=

00000

0

0000

00

0000

002

2

2r

rrr

rr

r

rr

r vvvA ω

ωωω

ωω

ω (10.10)

felhasználásával a linearizált rendszer ][ 2 BAABBM c = irányíthatósági mátrixa

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −−=

0000100000

0001 2

rr

rrr

c vv

M ωωω

, (10.11)

ezért

eMrank c dim3 == , feltéve, hogy rω vagy rv nemnulla. (10.12)

Ha )12.10( teljesül (ami csak követő szabályozás esetén lehetséges, álló helyzetben, pl. dokkoláskor nem), akkor lehetséges lineáris állapot-visszacsatolással stabilizálni a mobilis robotot konstans vagy lassan változó referencia robot sebesség esetén. Lineáris állapot-visszacsatolás

.)(sign:

,:

33222

111

ekevkueku

r −−=−=

(10.13)

130 Lantos: ROBOTOK IRÁNYÍTÁSA A választott állapot-visszacsatolással a zárt rendszer állapotegyenlete

1121 ekee r −−= ω& , 312 evee rr +=ω& , 33223 )(sign ekevke r −−=& miatt a következő lesz:

eAekvk

vk

e

r

rr

r ~:)(sign0

00

32

1

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−= ω

ω& , (10.14)

ahonnan következik

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−−

+=−

32

1

)(sign0

0~

ksvkvs

ksAsI

r

rr

r

ωω

,

)()()()~det( 3231 ksvkkssksAsI rrr +++++=− ωω . (10.15) Válasszuk a következő paramétereket az állapot-visszacsatolásban:

r

r

va

kakk22

213 :;2::ω

ξ−

=== , (10.16)

akkor a zárt rendszer karakterisztikus egyenlete a következő lesz:

)2)(2()()~det( 22221

21 aasasvksksksAsI rr +++=++++=− ξξω . (10.17)

A zárt rendszernek ezért egy domináns konjugált komplex póluspárja (csillapítá-

sa ξ és csillapítatlan sajátfrekvenciája a=0ω , valós része 0ξω− ) és egy ennél gyorsabb valós pólusa lesz )2( 0ξω− . Vegyük azonban észre, hogy ebben a formá-ban az irányítás a helyzetszabályozás céljára nem alkalmazható, mivel ekkor

0== rrv ω miatt a linearizált rendszer nem irányítható. Sebesség skálázás A fenti problémán a lineáris rendszerek elméletére alapozva kíván segíteni a sebes-ség skálázás. Ez egyrészt robusztusabbá teszi az irányítást lassan változó rr v,ω esetén, másrészt 0== rrv ω esetén is használható beavatkozást eredményez:


.2:

,:

,2:

,0,:

122

3

22222

2

221

22

kbvk

vbv

bvv

ak

bvk

bbva

rr

rr

rrr

r

r

rr

rr

=+=

=−+

=−

=

+=

>+=

ωξ

ωωω

ωξ

ω

(10.18)

Vegyük észre, hogy az irányítás definiált minden rrv ω, esetén, speciálisan 0== rrv ω esetén 0321 === kkk , és ezért 021 == uu , tehát 0==ωv , ami álló

helyzetben az elvárt beavatkozás.

10.2 Mobilis robot irányítása nemlineáris állapot-visszacsatolással

A fenti módszerek a linearizált modellen alapultak, ezért csak lokális stabilitást eredményeznek, és nyitva hagyják, hogyan fog viselkedni a rendszer nagy hiba ese-tén. Vizsgáljuk ezért meg, nem lehet-e az állapot-visszacsatolás alakját lényegében megtartva, de nemlineárissá téve és kicsit korrigálva rajta, a globális stabilitásról va-lamit mondani. Erre pozitív válasz adható a Barbalat-lemmára alapozva bizonyos feltételek teljesülése esetén, amelyek azonban kizárják a helyzetszabályozást. Nemlineáris visszacsatolás

,),(:

,),(:

3323

42

111

3 evkeeS

vku

evku

rre

r

rr

ω

ω

−−=

−=

(10.19)

ahol )(),( 31 ⋅⋅ kk folytonos és szigorúan pozitív függvények, 04 >k konstans. Mint azt később látni fogjuk, a módszer csak

0)(lim ≠∞→

tvrt és 0)(lim ≠

∞→trt

ω (10.20)

együttes teljesülése esetén használható (tehát helyzetszabályozás céljára nem).

Legyen a Ljapunov-függvény

23

22

21

4

21)(

2)( eee

keV ++= , (10.21)

akkor a transzformált hiba (10.7) nemlineáris állapotegyenlete alapján


.0

)()(

)()(

233

2141

3323

4312411214

231241214

3

3

3

≤−−=

=−−+++−−=

=++++−=

ekekk

ekeeS

vkeSveekekeek

ueSveekueekdtdV

erer

er

ωω

ωω

(10.22)

A Barbalat-lemma felhasználásával megmutatható, hogy

0)( 22 →+ irr ev ω , ha ∞→t , (10.23) de ebből csak akkor következik, hogy az )(tei hiba tart nullához, ha teljesül (10.20).

10.3 Mobilis robot irányítása időben változó dinamikus visszacsatolással A mobilis robotok irányítására eddig bemutatott módszerek vagy nem tudják a glo-bális stabilitást biztosítani, vagy pedig nem használhatók egyszerre követő és hely-zetszabályozásra. Létezik azonban olyan módszer, amely időben változó dinamikus állapot-visszacsatolással a problémát meg tudja oldani.

Induljunk ki a 10.1. ábrán bemutatott mobilis robot (10.1-3) egyenletekkel adott kinematikai modelljéből, a referencia robot pályájából és a szabályozási hiba definí-ciójából, de vezessünk be egy alkalmasabb hibatranszformációt, amely ugyan bo-nyolultabb, de előnyösebb irányítástechnikai tulajdonságú transzformált modellt eredményez. Legyen az TTTT zwzzwyx ),(),,()~,~,~( 21 =→ϑ hibatranszformáció a következő:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −−+−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

ϑϑ

ϑϑ

ϑϑ

ϑϑϑϑ

~~~

:~~~

010002~2~

2

1 yx

Ayx

SC

CSSC

zzw

. (10.24)

Mivel

2det −=A és ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+−−−−

=020

2~02~0

ϑϑϑ

ϑϑϑ

ϑϑ

SCCCSS

Aadj ,

ezért az inverz hibatranszformáció


⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

+

=−

010

)2(210

21

)2(210

21

1

1

1ϑϑϑ

ϑϑϑ

SCzC

CSzS

A . (10.25)

Legyen vv =:1 és ω=:2v . Alkalmazzuk a következő TT uuuvvv ),(),( 2121 =→= bemenőjel transzformációt:

.~~110

ahol,

,)~~(,

1~1

21

~1212

221

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

−+−+=−=

−−

ϑϑϑ

ϑϑϑ

CySxT

Cvv

vTu

CvvCySxvuvvu

r

r

r

r

(10.26)

Az inverz bemenőjel transzformáció, amely szükséges lesz a realizációhoz, mivel az irányítást u -ban fogjuk megtervezni, a következő:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

011~~

ahol,~1

2 ϑϑ

ϑ

CySxT

Cvv

TuTvr

r . (10.27)

Vegyük észre, hogy 1Rw∈ és 2,, Rvuz ∈ . Határozzuk meg a mobilis robot transzformált állapotegyenletét:

,~~

,~,~)2~(~)2~(

2

1

ySxCzz

yCSxSCw

ϑϑ

ϑϑϑϑ

ϑ

ϑϑ

+==

−−++−=

(10.28a)

,~~~~,~

,~)2~(~)2~~(

2~)2~(~)2~~(

2

1

ySyCxCxSz

z

yCSySCS

SxSCxCSCw

&&&&&

&&

&&&&

&&&&&

ϑϑϑϑ

ϑϑϑϑϑ

ϑϑϑϑϑϑ

ϑϑ

ϑ

ϑϑϑϑϑ

ϑϑϑϑϑ

+++−=

=

−−++−−+

+++−+++−=

(10.28b)

.~,~,~

22

11

11

rr

rr

rr

vv

SvSvyyy

CvCvxxx

r

r

−=−=

−=−=

−=−=

ϑϑϑ

ϑϑ

ϑϑ

&&&

&&&

&&&

(10.28c)

134 Lantos: ROBOTOK IRÁNYÍTÁSA (10.28a-c) felhasználásával kapjuk, hogy

1221~ uvvz r =−==ϑ&& ,

,)~~(

)()~~(

)(~)(~

2~121

121

1121122

uCvvyCxSv

SSCCvvyCxSv

SvSvSyvCCvCvCxvSz

r

r

rr

rr

rr

=−+−+=

=+−+−+=

=−++−+−=

ϑϑϑ

ϑϑϑϑϑϑ

ϑϑϑϑϑϑϑϑ&

⇒−−

−+−+−+−

−++−−=

=−−−+−+−+

+++−++−−=

)(2

~)()~~(

)~~](2)([

))(2~())(2~(

)~~(2~)~~()~~)((

1

121

222

1111

2222

rr

rr

rr

SCCSv

SSCCvvyCxSv

ySxCvvv

SvSvCSCvCvSC

ySxCvyCxSvySxCvvw

r

r

r

rr

r

ϑϑϑϑ

ϑϑϑϑϑϑ

ϑϑ

ϑϑϑϑϑϑϑϑ

ϑϑϑϑϑϑ

ϑ

ϑϑ

ϑ&

).(2

)~~(2

~)~~()~~)((

11221221

~12

~12122

zrr

rr

rr

Svzvzuzu

SvySxCv

CvvyCxSvySxCvvw

−+−=

=−++

+−+−+−+−=

ϑϑϑ

ϑϑϑϑϑ ϑ&

Vezessük be a következő jelöléseket:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

0110

:J antiszimmetrikus, kvadratikus alakja ξξξ ∀>≡< ,0,J , (10.29a)

1122:)( zrr Svzvzf −= , (10.29b)

akkor a transzformált dinamikus modell a következő egyszerű alakot ölti:

.

),(,uz

zfzuJw=

+>=<&

& (10.30)

Irányítási algoritmus Mérjük z hibáját egy később megválasztásra kerülő és időben változó 2Rzd ∈ -höz képest: zzz d −=:~ . A transzformált beavatkozó jelet időben változó, nemlineáris, dinamikus állapot-visszacsatolással állítjuk elő, amelynek paraméterei ki kell, hogy elégítsék a 0,,, 1021 >ααkk és 121 ,min α>kk feltételeket később indokolandó stabilitási megfontolásokból. Az időben változást

)(exp:)( 10 ttd ααδ −= (10.31a)

fogja okozni az irányítási algoritmusban. Vegyük észre, hogy


1110 )()(

)exp()( αδδ

αααδ −=⇒−−=tt

ttd

dd

&& konstans. (10.31b)

A szabályozót a következő komponensek alkotják:

.:

),0(:)0(

,:

,:

,:

21

21

22

121

121

2

dd

d

dd

dd

dd

dd

ddd

a

a

fwkwk

z

zJwfwkzz

zzJfwku

zkuu

δδδ

Ω

δ

Ωδδ

δ

Ωδ

+++=

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

++=

++

=

−=

&

&& (10.32)

A dinamikus részt a szabályozóban dz képviseli, állapotainak száma kettő és idő-ben változó. Problémát okozhatna 0)( →tdδ miatt, ha az )(tu irányításban az alábbi kritikus jelek nem maradnának korlátosak, ezért a stabilitás mellett ezek kor-látosságát is bizonyítani kell:

.)(

,)(

, 21

2

21

21

dd

dd

dd

zJfwkw

zfwkw

zJfwk

δδδ+++

(10.33)

A három kritikus jel közül az első au -ban, a második 1Ω -ben és a harmadik 1Ωw révén dz& -ban fordul elő.

A dinamikus rész választását a következő motiválja:

,,2

,2,2, 121

><=

>=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

++<>=<>=<

ddd

d

dd

dd

dddddd

zz

zJwfwk

zzzzzzdtd

δδ

Ωδδ

δ

&

&&

mivel 11,, Rfw ∈Ω és J kvadratikus alakja minden változóban, így dz -ben is

azonosan nulla. Ezért írható, hogy

d

d

d

d

dd

dd ddt

zzzzd

δδ

δδ 2

2,,

==><>< &

,

ahonnan integrálás után kapjuk, hogy


)]0(ln[2)]([ln2)0(),0(ln)(),(ln dddddd tzztztz δδ −>=<−>< ,

innen pedig következik

)()( 22 ttz dd δ= és )0()0( 22ddz δ= . (10.34)

Mivel )(2 1122 zrr Svzvf −= és zzz d~−= , ezért )34.10( felhasználásával a követ-

kező becslés adható:

)~(442 1122 zzvzvzvzvf drrrr +≤≤+≤ . (10.35)

A becslést a későbbi vizsgálatoknál fogjuk felhasználni. Tekintsük ezután a zárt szabályozási kört, tehát a transzformált modellt a szabályozási algoritmussal, és használjuk ki (10.34)-et és a J mátrix tulajdonságait, így az antiszimmetriát és azt, hogy JJ T −= , IJJ T = és IJ −=2 .

Zárt szabályozási kör állapotegyenlete

,,~

,,~

,,~,,~~,

~)],~([,

1

21

121

2

wkuzJ

fzzJJfwk

uzJ

zzJfwk

zJuzJ

fuzJuzJfzzuJ

fzzzzkuJfzuJw

a

ddT

da

ddd

da

adada

dda

−>=<

=+><+

−>=<

>=++

<−>=<

=+><−>=<+>−=<

=+>−−−=<+>=<

δ

Ωδ

&

.~

~

)~(

~

2

121

2

2121

121

121

a

ddd

dddd

dd

dd

d

dd

dd

dd

uJwzk

zzJfwk

wJzk

zzkzzJfwk

zJwfwk

z

uzJwfwk

zzzz

+−=

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

++−=

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−+

+−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

++=

=−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

++=−=

Ωδ

Ωδ

Ωδδ

δ

Ωδδ

δ

&

&&&&

A z~ állapotváltozóra áttérve a zárt rendszer állapotegyenlete a következő egyszerű alakot ölti:


.~~

,,~

2

1

a

a

uwJzkz

uzJwkw

+−=

><+−=&

& (10.36)

Ezután már elvégezhetjük a stabilitásvizsgálatot Ljapunov direkt módszerével. Ehhez egy alkalmas V Ljapunov-függvényt választunk és megmutatjuk, hogy bizo-nyos feltételek betartása mellett a nemlineáris rendszer exponenciálisan stabilis lesz. Stabilitásvizsgálat

><+= zzwV ~,~21

21: 2 ,

,2,min

~,~

~,~),~(~,~

21

22

1

21

Vkkzzkwk

uwJzkzuzJwkwzzwwdtdV

aa

−≤≤><−−=

>=+−<+><+−>=<+= &&

tkkVtVdtkkVdV ,min2)0(ln)(ln,min2 2121 −≤−⇒−≤ ,

),min2exp()0()( 21 tkkVtV −≤ . (10.37)

Legyen 3)~,(: Rzw TT ∈=ψ , akkor 2/2ψ=V , és ezért gyököt vonva

).,minexp()0()( 21 tkkt −≤ ψψ (10.38)

Következmény: i) ∞∈ Ltztw )(~),( ( ∞L a lényegében korlátos függvények tere). ii) zzz d −=~ és ∞∞ ∈⇒∈= LzzLttz ddd ,)()( δ .

iii) ∞∞−

∞ ∈⇒∈⇒∈ LttytxLtALtwtz )(~),(~),(~)()(),( 1 ϑ iv) (10.34), (10.35), (10.38) és )exp()( 10 ttd ααδ −= miatt 121 ,min α>kk

esetén léteznek alkalmasan megválasztott 0,,, 3210 >ξξξξ konstansok, hogy teljesül

],[minexp 121021 tkkzJ

fwkd

d

αξδ

−−≤+

,

],min2[exp)(

121221 tkkz

fwkwd

d

αξδ

−−≤+

,


],min3[exp)(

121321

2

tkkzJfwkw

dd

αξδ

−−≤+

,

következésképp ∞∈ Ltuttztu da )(),(),(),( 1Ω& . v) Feltehető, hogy ∞∈ Ltvr )( , ezért a fentiek alapján és a T mátrix alakja miatt

∞∈ Ltv )( is teljesül, amiből következik, hogy ∞∈ Lttytx )(),(),( ϑ&&& .

vi) )exp(),minexp()0(~1021 ttkkzzz d ααψ −+−≤+≤ miatt létezik

00 >γ , hogy )exp()(~,)(~,)(~00 tttytx γβϑ −≤ , ahol 0β kezdeti állapot függő

és 0γ nem függ a kezdeti állapottól.

Összefoglalva megállapítható, hogy a rendszer exponenciálisan stabilis, és az összes jel a rendszerben és a szabályozóban korlátos marad. Az irányítási törvény mind helyzetszabályozás, mind követő szabályozás esetén alkalmazható. A módszer továbbfejleszthető, kis módosítással a dinamikus modellre alapozva is megadható hasonló elvű globálisan stabilis irányítás.

Documents

RobotokIranyitasa.pdf