Rodrigo Andres Mendez Gasca Memoria de grado

1

i. Modelo de extracción óptima del recurso petrolero: el caso del campo Rubiales en el Meta.

ii. Rodrigo Andrés Méndez Gasca

iii. Estudiante de la Universidad de los Andes

iv. Correo: [email protected]

v. Resumen:

Este estudio examina el modelo de optimización dinámica de Hotelling de extracción de recursos

no-renovables, para analizar la respuesta de la firma petrolera Pacific Rubiales bajo la

internalización de externalidades. Los datos de plan de producción del proyecto petrolero son

utilizados como insumos para desarrollar un modelo teórico. Dicho modelo ajustado se compara

con un modelo que internaliza las externalidades ambientales considerando cuatro escenarios.

Nuevos costos para el proyecto campo Rubiales significarían menores niveles de ganancia en el

mediano y largo plazo. Por consiguiente, la firma optará por incrementar la tasa de extracción

acortando el horizonte de tiempo del proyecto petrolero para continuar maximizando sus

beneficios. Los resultados producidos podrán ser usados para generar política de uso y

explotación eficientes del recurso.

vi. Palabras claves: Modelo de extracción óptima, Campo Rubiales, Petróleo.

vii. Clasificación del Journal of Economic Literature (JEL).

viii. Reconocimientos: Juan Carlos Mendieta, Leonardo García.

ix. Fecha: 24 de mayo del 2013

x. CC. 1026274756

xi. Versión: Documento de trabajo

xii. Restricciones en el uso del documento: Comentarios son bienvenidos

2

Tabla de contenidos

I. Introducción 3

II. Revisión de literatura 5

III. Marco teórico 9

IV. Marco empírico 12

V. Conclusiones 19

VI. Bibliografía 22

VII. Las gráficas y las tablas 19

3

I. Introducción

Pacific Rubiales es la empresa independiente de exploración y producción de petróleos más

grande de Colombia. Esta empresa tiene presencia en Perú, Guatemala, Brasil y Colombia, siendo

ésta última de donde proviene la mayor proporción de producción de Pacific. El campo Rubiales

es el campo petrolero más grade en producción de la empresa con unos 171.851 BPDC según el

promedio de la ANH a septiembre del 20121, siendo el campo en Colombia que más produce

barriles de petróleo al día. La empresa META PETROLEUM LIMITED de propiedad de Pacific

Rubiales en un 100%, es la actual empresa encargada de la explotación del campo en los llanos

orientales con el contrato Piriri / Rubiales2, este campo fue descubierto el 1982 y empezó a

producir a mediados del 2002. Las reservas probadas al 31 de diciembre del campo Rubiales son

de 2,259 (Mbbl), la producción anual es de 334(Mbbl) y la incorporación anual es de 535

(Mbbl)3.

Según la ANH en su reporte de Cifras ESTADISTICAS A 2012 Colombia tiene petróleo para 8.4

años en las actuales condiciones, este número revela la importancia económica del manejo de

recursos no renovables como el petróleo, que a pesar de que exista el reciclaje como una medida

para disminuir la presión sobre los recursos naturales, en un momento se agotará para siempre, ya

que en el caso del petróleo no es posible reciclar gran parte de sus derivados. Una teoría de

manejo de los recursos no renovables cobra fuerza, basado en la problemática de utilización de

los recursos presentes y la no disponibilidad de esos recursos en el futuro, esto implica que el

recurso se explotará hasta el agotamiento, pues es de gran importancia para la demanda mundial

y Colombiana, y debido a la dependencia energética actual hace relevante el manejo

económicamente óptimo del recurso, volviendo esto un tema de gran importancia.4 En este caso

se analizará el campo Rubiales de la compañía Pacific Rubiales y se analizarán cómo afecta la 1 [en línea], Ministerio de Minas y Energía, “Estadísticas de Producción”, disponible en: http://www.minminas.gov.co/minminas/hidrocarburos.jsp?cargaHome=3&id_categoria=158&id_subcategoria=214, consultado el 24 de enero de 2013.

2[en línea], Pacific Rubiales Energy, “acerca de nosotros”, disponible en: http://www.pacificrubiales.com.co/corporate/about-‐us.html, consultado el 23 de febrero del 2013 3 [en línea], Ministerio de Minas y Energía, “Cifra y Estadísticas a 2012”, disponible en: http://www.anh.gov.co/es/index.php?id=8, consultado el 3 de marzo del 2013 4 C.-‐Y. Cynthia Lin, Published online: 2 November 2012. Insights from a Simple Hotelling Model of the World Oil Market. Natural Resources Research, Vol. 18, No. 1, March 2009. Recuperado el 18 de Febrero de 2013, en http://link.springer.com/article/10.1007%2Fs11053-‐008-‐9085-‐6?LI=true.

4

senda óptima de extracción del recurso no renovable, los nuevos costos por externalidades

generadas por el proyecto.

El objetivo es encontrar la reducción de la senda de extracción óptima de petróleo, con la

internalización de los costos de externalidades ambientales generadas por la explotación del

proyecto petrolero campo Rubiales. Se espera que al incluir los costos por las externalidades

como nuevos costos para el proyecto, signifiquen menores niveles de ganancia en el mediano y

largo plazo. Por consiguiente, la firma optará por incrementar la tasa de extracción acortando el

horizonte de tiempo del proyecto petrolero.

La metodología usada para abordar el problema será el modelo de Hotelling de optimización

dinámica que nos permitirá hallar la senda óptima de extracción y determinar por medio de un

análisis costo – beneficio, si la senda actual corresponde a la óptima o existe una distorsión. Este

análisis se hará para dos escenarios: el primero no tendrá en cuenta las externalidades y el

segundo las incluirá como parte del análisis.

Los datos necesarios a usar son extraídos del sistema de información energética del Ministerio de

Minas y Energía, dirección de hidrocarburos, donde se extraen la producción fiscalizada por

campo de barriales por día (calendario-BPDC) del campo Rubiales. Los precios de venta por

barril y costos, los cuales son trimestrales (desde el 2008 hasta el tercer semestre trimestral del

2012), se extraen de los informes de gestión publicados por la empresa Pacific Rubiales.

La estructura del documento consta de una revisión de literatura del modelo de Hotelling, donde

se analizan documentos que se basan en este modelo. De esta forma se evidencia la validez del

modelo a partir de su desarrollo y su expansión vertical, donde se haga explícito la importancia

de una externalidad ambiental, la cual es una variante en un campo petrolero como campo

Rubiales. Se continúa con un marco teórico donde se exponen los supuestos al modelo que se

hacen y se demuestran cuáles son las limitaciones del mismo. Así mismo se compara el modelo

teórico con los datos de producción del campo, con y sin externalidad, donde si el modelo

desarrollado establece que la conducta maximizadora de beneficios de la empresa, con nuevos

costos para el proyecto campo Rubiales, signifiquen menores niveles de ganancia en el mediano y

largo plazo. Por consiguiente, la firma optará por incrementar la tasa de extracción acortando el

5

horizonte de tiempo del proyecto petrolero y los resultados producidos podrán ser usados para

generar políticas de uso y explotación eficientes del recurso.

II. Revisión de la literatura

La optimización dinámica de Hotelling como medida de manejo de los recursos no renovables, en

el caso de campo Rubiales en el Meta. El objetivo es encontrar la senda óptima de extracción que

maximizan la firma sin externalidades e incluyendo las como parte del análisis. Los supuestos es

plantear un modelo que toma la firma como monopolio y las reservas de petróleo no cambian en

el tiempo. Para incluir las externalidades se plantean 4 diferentes escenarios.

Existen pocos autores que hayan abordado esta aproximación con externalidades. El más cercano

es un caso Colombiano es el elaborado por Ana María Jaramillo (2010). El análisis del modelo de

Hotelling se realiza para carbón en el Cesar. Los problemas que representa la utilización empírica

de este modelo ya ha sido abordada y solucionada. En la revisión de literatura de Cynthia Lin

(2012) expone un grupo más amplio de modelos de Hotelling ampliados, con el fin de realizar

una mejor aproximación.

“El problema de la extracción óptima de los recursos no renovables se examinó por

primera vez por Hotelling (1931), cuyo modelo básico predijo que el precio sombra del

stock de recursos, que es una medida económica de la escasez del recurso, debe crecer a

una tasa de interés. Desde entonces, los economistas han ampliado marco teórico básico

de Hotelling para permitir características más realistas, tales como los costos de

extracción crecientes (Hanson, 1980; Solow y Wan, 1976), ilimitadas reservas potenciales

(Pindyck, 1978), exploración (Pesaran, 1990; Pindyck, 1978), las imperfecciones del

mercado (ver Cremer y Salehi-Isfahani, 1991 y referencias allí citadas; Khalatbari, 1977;

Stiglitz, 1976; Sweeney, 1977), Nash-Cournot comportamiento (Salant, 1976; Ulph y

Folie, 1980), la OPEP (Cremer y Weitzman, 1976; Hnyilicza y Pindyck, 1976; Pindyck,

1976; Lin, 2008a), progreso tecnológico (Farzin, 1992, 1995; Lin y otros, 2008; Lin y

6

Wagner, 2007), hacia el exterior que cambia la demanda (Chapman , 1993; Chapman y

Khanna, 2000), y la incertidumbre (Hoel, 1978; Pindyck, 1980)”5. (Lin, 2012, p. 19).

A continuación se analiza más a fondo unos estudios que permiten demostrar la relevancia del

estudio del manejo de recursos no renovales del petróleo y así fundamentar la validez de este

artículo. Adicionalmente se analiza cómo los artículos buscan ampliar el marco teórico con el fin

de aproximar el modelo a la realidad. El primer modelo encontrado que resuelve el problema de

asignación óptima de explotación del recurso no renovable, como el carbón, incorporando

internalización de las externalidades, es Ana María Jaramillo (2010). El segundo evalúa el caso

empírico para Arabia saudita demostrando distorsiones en la senda óptima de explotación del

recurso petrolero. El tercero incorpora cambios en el progreso tecnológico endógeno de

extracción y revela la no tendencia de los precios del petróleo para mejorar el ajuste del modelo.

El cuarto incorpora cambios en la reservas de petróleo con cambios marginales decreciente y

contempla el agotamiento. El quinto desarrolla un modelo con demanda creciente y luego

decreciente, el segundo punto es precios altos. Por ultimo contempla un modelo busca replicar

producción y exploración en EEUU.

El documento que incluye las externalidades en el modelo de extracción dinámica de Hotelling es

el expuesto para la industria carbonífera en el Departamento del César, en Colombia. Este

modelo es programado bajo las técnicas de programación dinámicas de Bellman y con modelos

de decisión de Markov. El modelo agrega seis firmas principales que ejecutan su actividad

productiva en el departamento. La información que se utilizó para el análisis fue información

financiera sobre costos de extracción con datos panel. Las externalidades evaluadas son

ambientales y sociales generadas por la actividad. Las externalidades fueron internalizadas en el

modelo como un costo fijo. Las evidencias empíricas a las que llego es que las firmas

carboníferas extraen las reservas en el menor tiempo posible incentivado por el tiempo límite de

la concesión. (Jaramillo, 2010). Es modelo es muy interesante y relevante como único modelo

que incorpora las externalidades. Los problemas aquí resueltos al enfrentarse a este estudio son la

base para solucionar los problemas de encontrar la senda óptima para este trabajo.

5 C.-‐Y. Cynthia Lin, Published online: 2 November 2012. Insights from a Simple Hotelling Model of the World Oil Market. Natural Resources Research, Vol. 18, No. 1, March 2009. Recuperado el 18 de Febrero de 2013, en http://link.springer.com/article/10.1007%2Fs11053-‐008-‐9085-‐6?LI=true.

7

Según Sickles y Hartley (2011), propone demostrar que la extracción para los campos de Arabia

Saudita están bajo influencias de factores políticos que afectan la producción óptima. El modelo

utilizado es uno de ingeniería dinámica de la producción de petróleo en un marco de optimización

económica. La conclusión es que el nivel de producción de Arabia Saudita está por debajo del

nivel óptimo de producción, según la maximización de beneficios6. Este estudio concuerda con el

anterior en que existen choques en la senda de extracción, pero en este caso no son externalidades

ambientales y sociales, sino decisiones de política que afectan la maximización.

Por otra parte el artículo, de (C.-Y. Cynthia Lin, Haoying Meng, Tsz Yan Ngai, Valeria

Oscherov, and Yan Hong Zhu, 2008), utiliza otra aproximación para mejorar el modelo de

Hotelling. El primer problema es que los precios de los minerales no parecen mostrar una

tendencia definida en el tiempo, tal como ha sido demostrado por (Krautkraemer, 1998; Ling,

2008; Lin y Wagner, 2007, citados por Lin et al., 2008). El segundo problema se soluciona con

modelo la incorporación de progreso tecnológico endógeno agregando una función de precios

como medida de ajuste al modelo inicial. El cambio hace que el mercado de precios se comporte

en forma de U, donde el precio del periodo inicial es bajo y en los periodos posteriores con

reservas finitas aumentan los costos por encima del progreso tecnológico.7

En el modelo desarrollado por Pindyck (1978), expone un precio que asume la existencia de una

base de reserva fija para ser explotados en el tiempo, pero de hecho, con incentivos económicos

las reservas pueden aumentar. Las reservas potenciales son limitadas y la actividad exploratoria

crece cada vez en una proporción más pequeñas, lo cual genera un agotamiento. Se determinan

las tasas óptimas de actividad de exploración y producción. Se soluciona este problema para los

mercados competitivos y monopolísticos, demostrando que si la dotación inicial de reserva es

pequeña el precio reflejará una forma de U. La producción aumentará a medida que las reservas

se vayan desarrollando, y más tarde la producción disminuirá a medida que la actividad

exploratoria caiga.

6 SICKLES, ROBIN C.; HARTLEY, PETER, 2011. A Model of Optimal Dynamic Oil Extraction: Evidence From a Large Middle Eastern Field. Journal of Productivity Analysis, 15, 59–71 (2001). Recuperado el 18 de febrero de 2013, en http://link.springer.com/article/10.1023%2FA%3A1026547923853?LI=true 7 C.-‐Y. Cynthia Lin, Haoying Meng, Tsz Yan Ngai, Valeria Oscherov, and Yan Hong Zhu, 2008. Hotelling Revisited: Oil Prices and Endogenous Technological Progress. Natural Resources Research, Vol. 18, No. 1, March 2009. Recuperado el 18 de febrero de 2013, en http://link.springer.com/article/10.1007%2Fs11053-‐008-‐9086-‐5

8

El modelo expuesto por (Chapman Duane, 1994), busca incorporar varias críticas de Adelman al

modelo de Hotelling. La primera es la crítica que hace Adelman (1989, 1990a, 1990b, 1992;

Watkins, 1992, citados por Chapman, 1994) a los precios bajos. La segunda está basada en la

creciente demanda mundial del petróleo, lo cual muestra que la realidad difiere de la implicación

teórica expuesta por Hotelling. Para ajustar el modelo de Hotelling con la realidad Chapman

sugiere cambiar la demanda estática a una creciente en un periodo de 50 años, lo cual está

soportado por el crecimiento de la población mundial. La caída de la demanda se realizó en los

50 años posteriores donde se introdujo un posible sustituto del recurso, como el etanol, donde las

proyecciones llevarán la producción de petróleo hasta el agotamiento y/o la sustitución.

En el artículo elaborado por Alfred Greiner, Willi Semmler y Tobias Mette en el 2011, se

desarrolla un modelo teórico sobre la explotación y exploración, el cual busca replicar datos de

precios del petróleo y explotación del recurso para EEUU. El modelo de estos autores considera

una firma monopólica que solo conoce una parte de las reservas, pero en cada momento de

tiempo descubre a un ritmo determinado una parte del recurso no renovable. Cuando las reservas

iniciales son pequeñas, se logra demostrar que la senda de extracción óptima tiene una forma de

U invertida en el tiempo, sin embargo en el caso donde las reservas iniciales son grandes, la

velocidad de extracción y los precios, son decrecientes con respecto al tiempo.

“Además de los efectos bien documentados de contaminación de las aguas, las

operaciones mineras pueden tener un gran impacto sobre las vías hidrológicas y el

régimen de flujo en las cuencas aguas abajo. En este trabajo se documenta a largo plazo

(1923-2008) los cambios en las áreas de drenaje de superficie y las características de

escorrentía en dos pequeñas a medianas (100-1.000 km2) Los ríos que drenan parte del

yacimiento de petróleo de esquisto Ordovician, al noreste de Estonia. A través de análisis

de acoplamiento del régimen de caudales con los registros mineros (tasas de descarga y

lugares funcionamientos) el impacto de la expansión de la minería en el aceite de esquisto

a través de la segunda mitad del siglo XX en el flujo aguas abajo se evalúa. Durante las

fases de intenso flujo de base minera, el invierno y el verano es entre un 53 y un 72%

superior a largo plazo del flujo de base promedio en la cuenca Purtse y entre el 66 y el

92% más alto en el menor captación Pu ̈ hajo gi donde la importancia volumétrica de las

descargas de las minas es mayor. La contribución de bombeo de agua subterránea más

9

profunda a la superficie de escorrentía se muestra para el control de los mayores

incrementos de media anual de escorrentía. Si bien el aumento de flujo es el efecto más

común hidrológico de las operaciones mineras, las fases de deshidratación también se

reconocen en los arroyos donde transversal cuencas transferencias reducen el área de

influencia efectiva. Implicaciones del régimen de caudales del río cambió en la calidad y

las opciones de gestión se consideran.” (Vaht, Mayes, Luud, 2011)

De la revisión de literatura realizada se evidencia que el manejo de los recursos no renovables es

un tema de gran relevancia. El petróleo como uno de los más importantes por su característica de

fuente energética importante a nivel mundial. Los documentos aquí expuestos demuestran los

cambios que se han realizado al modelo original de Hotelling para mejor la aproximación a la

realidad. El presente modelo para el caso del campo Rubiales propone encontrar la senda de

extracción óptima sin y con externalidades. El mejor modelo para realizar la estimación es el

caso de monopolio basado en el documento de Jaramillo (2010). Para incluir las externalidades se

plantean 4 diferentes escenarios, los cuales serán incorporados al modelo como costos fijos y

este.

III. Marco teórico

La relevancia económica del manejo de recurso como el petróleo, gas y demás minerales se

basan a las características de recursos no renovables. El reciclaje es una medida de disminuir la

presión sobre los recursos naturales, pero en el caso del petróleo no es posible reciclar gran parte

de sus derivados. Es por esta razón la aplicación de una teoría de manejo de los recursos no

renovables cobra fuerza, basado en la problemática de utilización de los recursos presentes y la

no disponibles de esos recursos en el futuro. Esto implica que el recurso se explotará hasta el

agotamiento. La demanda mundial y su dependencia energética hacen relevante el manejo

económicamente óptimo del recurso de gran importancia.8

La economía del manejo de los recursos busca encontrar la senda óptima de extracción del

recurso no renovable, (Conrad, J., M., 2010). Para resolver este problema de optimización

8 C.-‐Y. Cynthia Lin, Published online: 2 November 2012. Insights from a Simple Hotelling Model of the World Oil Market. Natural Resources Research, Vol. 18, No. 1, March 2009. Recuperado el 18 de Febrero de 2013, en http://link.springer.com/article/10.1007%2Fs11053-‐008-‐9085-‐6?LI=true.

10

dinámica es necesario desarrollar una programación dinámica para encontrar las decisiones

óptimas de la firma. Se encuentran las decisiones basado en el principio de optimalidad de

decisiones, donde si una decisión es óptima en el estado inicial, por propiedad, las siguientes

decisiones serán óptimas bajo los resultados de la primera decisión (Bellman, 1957). Con los

resultados encontrados bajo el anterior modelo de programación dinámica se podrá hallar la

senda óptima de extracción de petróleo para el campo Rubiales.

La decisiones de conservación depende de la escasez del recurso, (Alfred Greiner, Willi

Semmler, Tobias Mette, 2011). Cuando las reservas iniciales son pequeñas, se logra demostrar

que la senda de extracción óptima tienen una forma de U invertida en el tiempo donde el precio y

la velocidad de extracción son crecientes. Sin embargo en el caso donde las reservas iniciales son

grandes, la velocidad de extracción y los precios son decrecientes con respecto al tiempo. Para el

caso de encontrar la senda optima de extracción de campo rubiales vamos a suponer que las

reservas no cambian en el tiempo.

Modelo de extracción de petróleo como recurso no renovable para la firma petrolera Pacific

Rubiales: basado en el libro de Conrad (2010), se plantea un problema de maximización de los

beneficios futuros traídos a valor presente. El problema se analizará para una firma monopolista.

(NOTA: decir por qué monopolio) Los costos aumentan a una tasa (𝛿), según el lema de

Hotelling (1931), a medida que se disminuyen las reservas.

𝑈 𝑞! = 𝑝!𝑞! − 𝐶(𝑞! ,𝑅!) (1)

Restricción

𝑅!!! = 𝑅! − 𝑞! , 𝑡 > 0 (1.1)

La función que representa los beneficios de la firma petrolera Pacific Rubiales

𝑀𝑎𝑥! 𝜌!𝑈 𝑞! 𝑠𝑎: 𝑅! = 𝑅! − 𝑞!

!!!

!!!

, 𝑡 > 0.!

!!!

𝐿 = 𝜌!𝑈 𝑞!!!!! + 𝜇![𝑅! − 𝑅! + 𝑞!!!!

!!! ]!!!! (2)

Donde

𝛿! = !!!!!

(2.1)

La ecuación 1, muestra la utilidad que depende de los ingresos (𝑝!𝑞!). Los son precios denotados

(𝑝!) y las cantidades con (𝑞!). Los costos restan los ingresos y son los costos de extracción que

11

dependen negativamente del nivel de reservas 𝑟!. La ecuación 2 representa la restricción que

depende de las reservas, donde muestra la variación en las reservas de petróleo para el período

siguiente (𝑟!!!). La tasa de descuento es 𝛿!, con el cual se trae a valor presente los flujos futuros

desde el tiempo T.

La firma maximiza sus beneficios depende de variables estados como los costos de extracción.

Los cuales tienen una relación negativa con la cantidad de existencias de las reservas. La función

de costos de la firma son los costos de explotación del recurso petrolero y adicionalmente se

busca incorporan una externalidad ambiental al modelo. La externalidad se adicionará como un

costo. El lagrangiano (𝐿) muestra la senda optima de extracción para cada período del tiempo y

el ponderador 𝜇 es el precio sombra del petróleo.

Condiciones de primer orden: !"!!!

= 0 (2.2) !"!!!

= 0 (2.3) !"!"= 0 (2.4)

Las condiciones anteriores de lagrangiano muestran el cambio con razón a la extracción de

petróleo, la disminución de las reservas y la variación del precio sombran. Estas son las

condiciones para cada uno de los anteriores variables en cada momento del tiempo.

[!!!`!]![!!!!!`!]

[!!!!!�`!]= 𝛿 + !`!

[!!!!!!`!] (3)

Donde 𝑐`! son las derivadas de los costos totales de producción de petróleo para el

correspondiente nivel de extracción, en el tiempo y 𝑐`! es la cantidad de reservas de petróleo

para cada momento del tiempo.

La anterior formula muestra la maximización de los beneficios descontados, donde el punto de

maximización de los beneficios para la empresa Pacific Rubiales es cuando los ingresos

marginales son iguales a los costos marginales. De acuerdo a la regla de Hotelling (1931), se da

una condición de optimalidad de que si cumple las condiciones de primer orden se converge en

un punto donde se maximiza las ganancias por la extracción del recurso petrolero.

[!!!`!]![!!!!!`!]

[!!!!!!`!]> 𝛿 + !`!

[!!!!!!`!] (3.1)

Condición de esperar a extraer mañana una unidad de recurso para obtener mayores beneficios.

12

[!!!`!]![!!!!!`!][!!!!!!`!]

< 𝛿 + !`![!!!!!!`!]

(3.2)

“De esta manera, el lado izquierdo de la ecuación cuatro muestra la tasa de crecimiento de

esta renta para cada momento 𝑡. Como un todo, esta ecuación es conocida como la

condición de optimalidad convergiendo a la regla de Hotelling (1931) cuando Cq= 0 y

Cr= 0, que busca la maximización del bienestar derivado de la extracción de un recurso

no renovable. Sí [!!!`!]![!!!!!`!][!!!!!!`!]

> 𝛿 + !`![!!!!!!`!]

, es mejor no extraer una unidad de carbón

durante ese periodo y esperar al siguiente para obtener mayores beneficios. Cuando [!!!`!]![!!!!!`!]

[!!!!!!`!]< 𝛿 + !`!

[!!!!!!`!] “es mejor extraer esa unidad de recurso ahora, venderla y

destinar ese a la actividad alternativa que renta ρ7”. Para evidenciar lo anterior, en el

marco metodológico se encuentra expuesta la técnica en recursos naturales no renovables

que permite analizar las posibles decisiones de políticas a tomar por parte de un

empresario a través del principio de optimalidad de Bellman y los modelos de decisión de

Markov”. (Jaramillo, 2010, pp. 10)

IV. Marco empírico

El fin de este texto es encontrar la senda óptima de extracción para el campo Rubiales de la

empresa petrolera Pacific Rubiales. Para realizar la estimación por Hotelling es necesario los

datos de producción, reservas, costos, precios de venta del recurso y 𝛿 = 11.5, así que se usará la

base de datos de el “sistema de información energética del ministerio de minas y energía”, junto

con los datos de los informes de gestión publicados por la empresa Pacific Rubiales. En los

informes anteriores se extraen los datos de producción de barriles por día (calendario-BPDC) del

campo desde enero del 2009 hasta diciembre del 2012. Adicionalmente del informe del

Ministerio de Minas y Energía de las cifras y Estadísticas a 2012, se encuentra las reservas

probadas de todo el crudo pesado de la compañía Pacific Rubiales al 31 de diciembre que son

374.3 (Mbbl). Los costos y precios de venta se localizan de los informes de gestión, estos datos

especificados están dados en una periodicidad trimestral (2009-2012).

La especificación de la función de costos se realiza por series de tiempo con los datos de

producción de extracción para 3 años (2009-2012), los cuales serán deflactados a precios

13

constantes del 2011. De las ecuaciones especificadas de programación dinámica de Hotelling, se

estima los costos de producción a partir de los datos anteriores. Los escenarios de externalidades

son supuestos del 10%, 20%, 30%, 40% como crecimiento de los costos, esto implica que en

cada escenario se internalizan los nuevos costos.

“De este modo, se cuenta con la información y datos necesarios para evidenciar, mediante

estimaciones de datos panel con efectos aleatorios y ecuaciones de Bellman con

programación dinámica discreta empleando recursión hacia atrás como algoritmo de

solución, el componente teórico expuesto en la asignación inter-temporal eficiente de

recursos naturales no renovables.” (Jaramillo, 2010, pp. 12)

Con lo anterior y la ecuación de máximo valor de Bellman se permitirá encontrar la senda óptima

de extracción de petróleo para Pacific Rubiales. A continuación las Estadísticas descriptivas:

Media

Desviación

Estándar Mínimo Máximo

Número de

Observaciones

Producción 133.6536042 44.68751668 49.158 201.804 45

Costos 34.52 10.46760114 18.95 52.86 20

Precios 84.711 24.1966435 38.72 123.3 20

Reservas 374.3E+06 1

Resultados adquiridos por medio de la metodología de series de tiempo, ecuaciones de

Bellman y programación dinámica discreta:

La estimación de la función de costos se realizó a partir de los costos de producción de petróleo

de la empresa por medio de la metodología de series de tiempo. La función de producción

estimada es la siguiente:

𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜𝑠 = 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙!" !"#$%&&'ó!!!

!"#"$%&'!! (4)

Cuadro 2: Estimación de la función de costos

(1) (2) (3)

VARIABLES lncostos ARMA sigma

D.lnproduccion 0.1173681

14

(0.189425)

D.lnreservas -4.585154

(11.87726)

L.ar 0.7033364*

(0.320)

Constant 0.0171303 0.173***

(0.143489) (0.047)

Observations 15 15 15

Standard errors in parentheses

*** p<0.01, ** p<0.05, * p<0.1

El anterior cuadro es la estimación de los costos de producción para la firma petrolera. Se realizó

una estimación con los datos de la empresa Pacific Rubiales para la estimación de la función de

costos para el campo Rubiales. La estimación calculada determina que cuando crece la

producción en uno porciento de barril, los costos aumentan en 0.1173681 con las demás

variables constantes, en Céteris Párobus. En el caso de que crezca en uno porciento de las

reservas genera que disminuyan los costos en 4.585154 en Céteris Párobus. El intercepto

significa para la estimación son los costos fijos para la compañía petrolera en el período que

comprende del año 2009 al 2012.

Programación dinámica discreta y ecuación de Bellman para la senda de extracción

excluyendo externalidades.

La función de valor óptimo de la firma de Bellman para la compañía petrolera Pacific Rubiales

en el campo Rubiales es la gráfica 1, la estimación fue programación con Matlab (ver Anexo II),

en el período a analizar la actividad productora es de 30 años sin incluir las externalidades

ambientales que se pueden llegar a tener, derivándose de las actividades, que corresponde a la

ecuación 5, mientras que los costos vienen dados en la ecuación 4.

𝑉! 𝑡 = 𝑀𝑎𝑥!"#$%&&'ó!"#[𝑝!𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖ó𝑛!" − 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙!" 𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖ó𝑛!!

𝑅𝑒𝑐𝑒𝑟𝑣𝑎𝑠!!

+ 𝛿𝑉!!! (𝑅𝑒𝑐𝑒𝑟𝑣𝑎𝑠!" − 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖ó𝑛!")

(5)

15

Gráfica 1: Función de Valor óptimo

La pendiente de la grafica es positiva a lo largo del horizonte de proyección. Donde el efecto del

incremento positivo de la función de valor óptimo dado en miles de millones de dólares, se

genera por la relación inversa entre las reservas y los costos. El anterior efecto esta basado en los

valores de la estimación que muestra el cuadro 2, donde el coeficiente que acompaña la

producción es negativo con 0.1173681.

Gráfica 2: Nivel óptimo de extracción para Pacific Rubiales

En la anterior gráfica se muestra el nivel óptimo de extracción del recurso no renovable para el

campo Rubiales, con el fin de maximizar los beneficios económicos por la actividad productiva

por parte de Pacific Rubiales. Donde las reservas iniciales probadas de crudo pesado de la

Compañía petrolera es de 374.3E+06 barriles. En consecuencia el atributo de las reservas

iniciales permite que la compañía posea bajos costos de extracción y los altos precios

Función de Valor Óptimo

Valores en dólares

Reservas en millones de barriles

Extracción óptima

Extracción barriles por año

Reservas en millones barriles

16

internacionales del petróleo. Por ende, la decisión óptima de la firma es extraer el recurso

explotable en el período de los 30 años que se realiza el análisis.

Gráfica 3: Cantidad Optima del recurso no renovable.

En la última gráfica muestra la pendiente negativa generada por la estrategia óptima, con el fin

de optimizar los beneficios económicos de la firma donde la compañía extraerá todo el recurso

antes que se acabe el periodo de explotación. Un efecto del comportamiento es disminuir la oferta

del bien y genera externalidades ambientales, que en este caso de proyección la firma no asume.

Programación dinámica discreta y ecuación de Bellman para la senda de extracción

internalizando externalidades.

Se analizarán 4 escenarios de externalidades donde los costos aumenten en 10%, 20%, 30%,

40%, esto implica que en cada escenario se internalizan los nuevos costos. Las externalidades

generan que los valores estimados en el cuadro dos, cambien con respecto a cada escenario

(véase anexos III). Entonces la función a estimar en costos es 4 con los nuevos costos y

posteriormente la estimación de la función de valor óptimo de Bellman para el campo Rubiales

de la compañía Pacific Rubiales incluyendo externalidades para cada escenario.

Gráfica 4: Función de Valor óptimo

Stock Optimo

Reservas de Petróleo

Año

Función de Valor Óptimo Función de Valor Óptimo Función de Valor Óptimo

Reservas en millones de barriles Reservas en millones de barriles Reservas en millones de barriles

Valores en dólares

Valores en dólares

Valores en dólares

Escenario 1 Escenario 2 Escenario 3

17

En las anteriores gráficas se evidencia que continua con el comportamiento positivo en la

relación entre el nivel de reservas y el aumento de la función de valor (beneficios económicos).

En los cuatro diferentes escenarios de externalidades, la empresa petrolera internaliza estos

nuevos costos y afecta la función de valor, para que el efecto sea mas evidente la actual gráfica es

el escenario con un choque de 40% en los costos. Pacific bajo esta situación la pendiente de la

gráfica es menor que en el caso de no incluir los costos de externalidades, donde las ganancias

del sector disminuyen al incluir estos nuevos costos de producción pero sigue siendo viable la

actividad productiva.

Gráfica 5: Nivel óptimo de extracción para Pacific Rubiales

En las anteriores gráficas se muestra el nivel óptimo de extracción del recurso no renovable para

Extracción óptima Extracción óptima Extracción óptima

Extracción óptima







Reservas en millones barriles Reservas en millones barriles

Función de Valor Óptimo

Valores en dólares

Reservas en millones de barriles

Escenario 4

Escenario 1

Escenario 2 Escenario 3

Escenario 4

18

el campo Rubiales, con el fin de maximizar los beneficios económicos por la actividad productiva

por parte de Pacific Rubiales. Donde las reservas iniciales probadas de crudo pesado de la

Compañía petrolera es de 374.3E+06 barriles. En consecuencia el atributo de las reservas

iniciales permite que la compañía posea bajos costos de extracción y los altos precios

internacionales del petróleo.

La cantidad óptima de extracción de petróleo para el campo Rubiales en el caso de inclusión de

externalidades, es que al incluir el choque en los costos de producción la empresa es cero por

debajo de 2 millones de barriles de reservas. La senda óptima de extracción es que la decisión de

la firma petrolera, es extraer por encima de 2 Millones de barriles y continuar la extracción sin

agotar el recurso hasta que culmine el período de concesión.

Gráfica 6: Cantidad Óptima del recurso no renovable.

La pendiente negativa de la anterior gráfica muestra que en el campo Rubiales la empresa

petrolera extenderá a más de 30 años reservando mayor cantidad del mineral para la clausura del

contrato de concesión, a diferencia de la gráfica 3 que no incluía la externalidad lo óptimo es

terminar de explotar el recurso antes de los 30 años.

Stock Optimo Stock Optimo Stock Optimo

Stock Optimo





Año

Año

Año

Año

Escenario 4

Escenario 1 Escenario 2 Escenario 3

19

V. Conclusiones

El objetivo de investigación del presente artículo es encontrar la senda de extracción del campo

Rubiales de la compañía Pacific Rubiales, sin inclusión de externalidades y cuatro escenarios

incluyéndolas. Los cuatro escenarios de externalidades son supuestos del 10%, 20%, 30%, 40%

como crecimiento de los costos. Con la utilización de series de tiempo y la optimización

dinámica de Hotelling, con el fin de encontrar la senda optima se usa la programación dinámica

discreta de Bellman. Los datos utilizados son una serie de tiempo de la producción, reservas,

costos, precio de venta, un tasa de descuento que fue de 𝛿 = 11.5. Estos datos fueron obtenidos

del “sistema de información energética del ministerio de minas y energía”, junto con los datos de

los informes de gestión publicados por la empresa Pacific Rubiales. Adicionalmente en el

informe del Ministerio de Minas y Energía de las cifras y Estadísticas a 2012, se utiliza la cifra de

reservas probadas del total de crudo pesado que posee la empresa Pacific Rubiales al 31 de

diciembre que son 374.3 (Mbbl). Los datos de costos y precios son desacuerdo al período de

análisis que es 2009 al 2012.

Se estima la función de costos para la empresa petrolera Pacific Rubiales (ver cuadro 2 anexo II).

La estimación permite encontrar que cuando aumenta en uno porciento de barriles los costos

aumentan en 0.1173681 dejando las demás variables constantes. En caso de una variación

positiva en uno porciento de las reservas provoca una disminución en los costos de 4.585154 en

Céteris Párobus. La variable estimada intercepto significa los costos fijo para la compañía

petrolera en el periodo 2009 al 2012.

Aplicando la programación dinámica de Bellman se encuentran las estimación de la senda de

extracción. En la gráfica uno, se encuentra una relación positiva entre el crecimiento de las

reservas petroleras y la maximización de los beneficios económicos. La pendiente positiva de la

función de valor 𝑉!(𝑡), se debe que a la relación inversa entre cantidad encontrada del mineral

con respecto a los costos de extracción. Teniendo en cuenta lo anterior los altos niveles de

reservas iniciales 374.3E+06 barriles que cuenta la compañía Pacific en crudo pesado, le permite

tener costos bajos en la producción en el campo y dado a los altos precios de petróleo por el

actual entorno internacional de los commodities. La estrategia óptima a tomar por la empresa

petrolera poseedora de la concesión es extraer todo el recurso en el menor tiempo posible, sin

dejar pasar el plazo de los 30 años.

20

En el caso de inclusión de externalidades se evidencia en la grafica cuatro donde los niveles de

reservas de petróleo al igual que en la grafica uno tiene un efecto positivo en la función de valor

𝑉!(𝑡) en miles de millones de dólares. La tendencia en este caso cambia disminuyendo a medida

que la externalidad crece en los cuatro escenarios. Donde en el último escenario la firma incurre

en perdidas cuando produce por debajo de 2 mil millones de barriles, a partir de ese punto los

benéficos económicos empieza a ser positivos. La pendiente cambia y se vuelve inferior a medida

que la externalidad crece. En conclusión a pesar de los choques en los aumentos de los costos,

debido por las externalidades el proyecto continúa siendo rentable.

En la gráfica cinco se encuentra la senda de extracción de barriles para el campo rubiales para la

empresa Pacific Rubiales con el objetivo de maximizar sus beneficios económicos. Entonces

partiendo del estado donde no se incluye las externalidades se poseen altos niveles de reservas

que permite que los costos sean bajos, cuando se incluyen estos nuevos costos afectan al óptimo

de extracción porque la pendiente cambia siendo inferior a medida que aumente la externalidad.

A partir de los más 2 millones de barriles de reservas empiezan a ser los retornos positivos.

Entonces la mejor decisión de extracción para la firma es extraer las reservas a un nivel superior a

los 2 millones de barriles, donde se prolongue el tiempo de extracción sin llegar al agotamiento

antes de que se acabe el periodo de concesión. El nivel de la pendiente negativa cambia de

acuerdo a la gráfica 6, en medida que se aumenten los costos internalizados por la externalidad

genera que se prolongue la extracción dejando niveles más alto para los últimos años y la

culminación del contrato en comparación al estado inicial que se evidencia en la gráfica 3.

Los resultados obtenidos expresan las externalidades ambientales, son un suceso que ocurre

durante la actividad productiva de explotación petrolera, es así que en el proyecto campo

Rubiales de la empresa Pacific Rubiales ve afectado su función de valor o beneficios económicos

cuando internaliza estos costos dentro de su función de costos. Este análisis de manejo de los

recursos es importante para determinar la viabilidad del proyecto y así evitar distorsiones al no

ser incluidos, permitiendo así especificar los valores económicos por las externalidades y si estos

montos mitigan los daños causados. Es un aspecto relevante establecer planes de manejos

ambientales que se basen en estas herramientas, con el fin de determinar si la compensación

económica alcanza para restaurar los bienes y servicios ambientales, por lo cual se logra

comprender que las externalidades no son exclusivamente ambientales sino también sociales.

21

Adicionalmente, la empresa petrolera Pacific Rubiales percibe grandes ganancias provenientes a

su actividad productiva en el campo, por los aspectos de coyuntura económica global de altos

precios del petróleo y posee bajos costos de producción. Es de esta forma que el comportamiento

de la empresa es acelerar su explotación como lo ha venido haciendo en el periodo analizado

entre el 2009 al 2012. La problemática que parte de los problemas ocasionados por el

comportamiento es el agotamiento del recurso el cual no estará disponible en el futuro.

Definitivamente, la estimación efectuada con la programación dinámica de Bellman permite

analizar el manejo de los recursos no renovables como el petróleo y que se deben hacer estudios

que complemente la otra parte del análisis de este entorno como es el lado del gobierno. Donde el

agente gubernamental con los cobros de regalías y decepcionar las compensaciones de

externalidades debe analizar si estos montos permiten hacer frente a los daños y problemáticas

realizados por el proyecto en la zona.

22

VI. Bibliográficas

- Alfred Greiner, Willi Semmler, Tobias Mette, 2011. An Economic Model of Oil Exploration and Extraction. Springer Science+Business Media, LLC. 2011, pp. 388-399.

-Bellman. (1957). “Dynamic programing”. Princeton, N.Y.: Princeton University press.

-Chapman, D. (1987). “Computation Tecniques for intertemporal allocation of natural resources”. American journal Agricultural Economics, pp. 134-142.

- Chapman, Duane, 1994. World Oil: Hotelling Depletion or Accelerating Use?. Publish by: Cornell University, Ithaca, New York 14853, USA.

-Chapman, D., 1993, World oil: Hotelling depletion or accelerating use: Nat. Resour. Res., v. 2, no. 4, p. 331–339.

-Chapman, D., and Khanna, N., 2000, World oil: the growing case for international policy: Contemp. Econ. Policy, v. 18, no. 1, p. 1–13.

-Conrad, J., M., (2010). “Resources Economics”. Second Edition. Cambridge University Press

-Cremer, J., and Salehi-Isfahani, D., 1991, Models of the oil market: Harwood Academic Publishers, New York.

-Cremer, J., and Weitzman, M. L., 1976, OPEC and the monopoly price of world oil: Eur. Econ. Rev., v. 8, p. 155–164.

- C.-Y. Cynthia Lin, Published online: 2 November 2012. Insights from a Simple Hotelling Model of the World Oil Market. Natural Resources Research, Vol. 18, No. 1, March 2009, pp. 19-28.

- C.-Y. Cynthia Lin, Haoying Meng, Tsz Yan Ngai, Valeria Oscherov, and Yan Hong Zhu, 2008. Hotelling Revisited: Oil Prices and Endogenous Technological Progress. Natural Resources Research, Vol. 18, No. 1, March 2009, pp. 29-38.

-[en línea], Ministerio de Minas y Energía, “Estadísticas de Producción”, disponible en: http://www.minminas.gov.co/minminas/hidrocarburos.jsp?cargaHome=3&id_categoria=158&id_subcategoria=214, consultado el 24 de enero de 2013.

-[en línea], Ministerio de Minas y Energía, “Cifra y Estadísticas a 2012”, disponible en: http://www.anh.gov.co/es/index.php?id=8, consultado el 3 de marzo del 2013

-[en línea], Pacific Rubiales Energy, “acerca de nosotros”, disponible en: http://www.pacificrubiales.com.co/corporate/about-us.html, consultado el 23 de febrero del 2013

-[en línea], Pacific Rubiales Energy, “Management Discussion and Analysis”, disponible en:

23

-Farzin, Y. H., 1992, The time path of scarcity rent in the theory of exhaustible resources: Econ. J., v. 102, p. 841–851. Farzin, Y. H., 1995, Technological change and the dynamics of resource scarcity measures: J. Environ. Econ. Manag., v. 29, p. 105–120.

-Hanson, D. A., 1980, Increasing extraction costs and resource prices: some further results: Bell J. Econ., v. 11, no. 1, p. 335–342.

-Hnyilicza, E., and Pindyck, R. S., 1976, Pricing policies for a two-part exhaustible resource cartel: the case of OPEC: Eur. Econ. Rev., v. 8, p. 139–154.

-Hoel, M., 1978, Resource extraction, uncertainty, and learning: Bell J. Econ., v. 9, no. 2, p. 642–645.

-Hotelling, H. (1931). “The Economics of exhaustible resources”. Journal of political economy.

-Http://www.pacificrubiales.com.co/investor-relations/reports.html, consultado el 25 de enero de 2013.

-Khalatbari, F., 1977, Market imperfections and the optimum rate of depletion of natural resources: Economica, v. 44, no. 176, p. 409–414.

-Lin, C.-Y. C., and Wagner, G., 2007, Steady-state growth in a Hotelling model of resource extraction: J. Environ. Econ. Manag., v. 54, p. 68–83.

-Lin, C.-Y. C., 2008a, An empirical dynamic model of OPEC and Non-OPEC. Working paper: University of California at Davis.

-Lin, C.-Y. C., Meng, H., Ngai, T. Y., Oscherov, V., and Zhu, Y. H., 2008, Hotelling revisited: oil prices and endogenous technological progress. Working paper: University of California at Davis.

-Perdomo Calvo, Jorge Andrés; Jaramillo Pérez, Ana María; Mendieta López, Juan Carlos. Estimación de la senda óptima de extracción para un recurso natural no renovable: caso de estudio para la actividad carbonífera a cielo abierto en el centro del departamento del Cesar, Colombia. Serie Documentos Cede, 2010-9 ISSN 1657-7191.

-Pesaran, M. H., 1990, An econometric analysis of exploration and extraction of oil in the U.K. Continental Shelf: Econ. J., v. 100, no. 401, p. 367–390.

-Pindyck, Robert S., 1978. The Optimal Exploration and Production of Nonrenewable Resources. Journal of Political Economy, Vol. 86, No. 5 (Oct., 1978), pp. 841-861. Published by: The University of Chicago Press.

-Pindyck, R. S., 1978, The optimal exploration and production of nonrenewable resources: J. Polit. Econ., v. 86, no. 5, p. 841–861.

-Pindyck, R. S., 1976, Gains to producers from the cartelization of exhaustible resources. MIT Energy Lab working paper (No. MIT-EL 76-012WP).

24

-Pindyck, R. S., 1980, Uncertainty and exhaustible resource markets: J. Polit. Econ., v. 88, no. 6, p. 1203–1225.

-Salant, S. W., 1976, Exhaustible resources and industrial structure: a Nash-Cournot approach to the world oil market: J. Polit. Econ., v. 84, no. 5, p. 1079–1094.

- SICKLES, ROBIN C.; HARTLEY, PETER, 2011. A Model of Optimal Dynamic Oil Extraction: Evidence From a Large Middle Eastern Field. Journal of Productivity Analysis, 15, 59–71 (2001) , pp. 60-71.

-Solow, R. M., and Wan, F. Y., 1976, Extraction costs in the theory of exhaustible resources: Bell J. Econ., v. 7, no. 2, p. 359–370.

-Stiglitz, J. E., 1976, Monopoly and the rate of extraction of exhaustible resources: Am. Econ. Rev., v. 66, no. 4, p. 655–661.

-Sweeney, J. L., 1977, Economics of depletable resources: market forces and intertemporal bias: Rev. Econ. Stud., v. 44, no. 1, p. 124–141.

-Ulph, A. M., and Folie, G. M., 1980, Exhaustible resources and cartels: an intertemporal Nash-Cournot model: Can. J. Econ., v. 13, no. 4, p. 645–658.

- Vaht Riina, Mayes William, Luud Aarne, 2011. Impact of Oil Shale Mining on Flow Regimes in Northeast Estonia. Mine Water Environ, Vol. 30, No. 1, 24 September 2011, pp. 284–295.

Error! Reference source not found.. Las gráficas y las tablas Anexo I:

Escenario Inicial: Estimación de la función de costos

(1) (2) (3) VARIABLES Lncostos ARMA sigma D.lnproduccion 0.117 (0.189) D.lnreservas -4.585 (11.877) L.ar -0.703** (0.320) Constant 0.017 0.173*** (0.143) (0.047) Observations 15 15 15

Standard errors in parentheses *** p<0.01, ** p<0.05, * p<0.1

Escenario 1: Estimación de la función de costos con externalidad del 10%

25

(1) (2) (3) VARIABLES lncostos ARMA sigma D.lnproduccion 0.117 (0.189) D.lnreservas -4.585 (11.877) L.ar -0.703** (0.320) Constant 0.017 0.173*** (0.143) (0.047) Observations 15 15 15






(1) (2) (3) VARIABLES lncostos ARMA sigma D.lnproduccion 0.117 (0.189) D.lnreservas -4.585 (11.877) L.ar -0.703** (0.320) Constant 0.017 0.173*** (0.143) (0.047)

26

Observations 15 15 15 Standard errors in parentheses

*** p<0.01, ** p<0.05, * p<0.1 Escenario 4: Estimación de la función de costos con externalidad del 40%



Anexo 2: Programación en Stata tsset ao, yearly

gen lncostos=ln( costos)

gen lnproduccin=ln(produccin)

gen lnreservas=ln( reservas)

arima lncostos lnproduccin lnreservas

outreg2 using escenario1234.doc

Anexo 3: Programación en Matlab

clc

%% parámetros del modelo

precio =52220000;

sbar = 374.3;

tasadesc = 0.115;

alfa = 7.493427;

27

beta = 1.548706;

gama = 123.6314;

delta = 0.897;

%% construcción de espacios de estado

S = (0:sbar)';

X = (0:sbar)';

n = length(S);

m = length(X);

%% construcción de la función de recompensa

f = zeros(n,m);

for i = 1:n

for k = 1:m

if X(k) <= S(i)

f(i,k) = (precio*X(k)) - (gama*X(k).^beta)/(S(i).^alfa);

else

f(i,k) = - inf;

end

end

end

%% construcción función de transición de estado

g = zeros(n,m);

for i = 1:n

for k = 1:m

snext = S(i) - X(k);

g(i,k) = getindex(snext,S);

28

end

end

%% empaquetamiento del modelo

clear model

model.reward = f;

model.transfunc = g;

model.discount = delta;

%% solución del modelo

[v,x,pstar] = ddpsolve(model);

%% gráficas

figure(1)

plot(S,v);

figure(2)

plot(S,X(x));

%% senda óptima del recurso a 30 años

sinic = max(S);anhos = 30;

spath = ddpsimul(pstar,sinic,anhos);

%% gráfica senda óptima variable de estado del recurso

figure(3)

plot(0:anhos,S(spath))

Documents

Rodrigo Andres Mendez Gasca Memoria de grado