หนงสอเรยนรำยวชำพนฐำน

ผเรยบเรยงนำงกนกวล อษณกรกล

นำงสำวปำจรย วชชวลค

ดร. สเทพ บญซอน

ผตรวจนำงจนดำ อยเปนสข

นำยรณชย มำเจรญทรพย

นำยสกจ พทธชำตเสว

บรรณาธการรศ.ดร. อ�ำพล ธรรมเจรญ

สงวนลขสทธตามพระราชบญญตปทพมพ 2561

พมพครงท 1 จานวนพมพ 10,000 เลมISBN : 978-616-203-758-0

รหสสนคา 2116014

คณตศำสตร ตำมมำตรฐำนกำรเรยนรและตวชวดกลมสำระกำรเรยนรคณตศำสตร (ฉบบปรบปรง พ.ศ. 2560)ตำมหลกสตรแกนกลำงกำรศกษำขนพนฐำน พทธศกรำช 2551

ชนมธยมศกษำปท 1 เลม 2ม.1เลม 2

สมกำรเชงเสนตวแปรเดยว

นกเรยนไดเรยนเรองสมการเชงเสนตวแปรเดยวมาแลวจะพบวา ประโยค “สองเทาของ

จ�านวนจ�านวนหนงบวกดวย 3 เทากบ 7” เมอก�าหนดให x แทนจ�านวนนน ซงนกเรยนสามารถ

เขยนประโยคขางตนเปนประโยคสญลกษณ ไดเปน 2x + 3 = 7

เรยกประโยคสญลกษณ 2x + 3 = 7 วา สมกำรเชงเสนตวแปรเดยว ซงจะสงเกตเหนวา

เปนสมการทมตวแปรหนงตว คอ ตวแปร x และมเลขชก�าลงของตวแปรเปน 1

สมการทอยในรป ax + b = 0 เมอ a, b เปนจ�านวนใด ๆ และ a ≠ 0 เรยกวา “สมการเชงเสนตวแปรเดยว”

ค�ำตอบของสมกำรเชงเสนตวแปรเดยว

จงพจารณาสมการ 2x + 3 = 7 ถาแทนคา x ดวย 2 ใน 2x + 3 = 2(2) + 3 จะได = 4 + 3

= 7 ท�าใหสมการเปนจรง

เรยก 2 วา เปนค�าตอบของสมการ 2x + 3 = 7

เรยกจ�านวนทแทนคาของตวแปร x ในสมการแลวท�าใหสมการเปนจรงวา

“ค�ำตอบของสมกำร”

สมการเชงเสนตวแปรเดยว สามารถจดตามลกษณะค�าตอบของสมการได 3 แบบ ดงน

1. สมการทมจ�านวนบางจ�านวนเปนค�าตอบ

เชน x + 4 = 14 มค�าตอบของสมการ คอ 10

2x - 1 = 9 มค�าตอบของสมการ คอ 5

2. สมการทมจ�านวนทกจ�านวนเปนค�าตอบ

เชน x + 5 = 5 + x มค�าตอบของสมการ คอ จ�านวนใด ๆ ทกจ�านวน

x + x = 2x มค�าตอบของสมการ คอ จ�านวนใด ๆ ทกจ�านวน

3. สมการทไมมจ�านวนใดเปนค�าตอบ

เชน x + 3 = x + 4 ไมมค�าตอบของสมการ

x - 2 = x - 3 ไมมค�าตอบของสมการ

ควรรกอนเรยน

103

ขนท 3  ด�าเนนการตามแผนทวางไว

ใชการคณไขวและการแกสมการ

จาก a540=

10030

จะได a = 10030 ×540

= 1,800

นนคอลงค�ามทดนทงหมด1,800ตารางวา

ขนท 4 ตรวจสอบค�าตอบ

ถาลงค�ามพนททงหมด1,800ตารางวาแบงพนทเพอใชในการท�านา

เปนจ�านวน540ตารางวา

อตราสวนของพนททงหมดตอพนทในการท�านาเปน1,800:540

หรอ100:30ซงเปนไปตามทโจทยก�าหนด

ดงนนลงค�ามทดนทงหมด1,800ตารางวา ตอบ

1.   พอวางแผนปลกตนล�าไยและตนลนจในสวน โดยใหจ�านวนตนล�าไยตอจ�านวนตนลนจ

  เปน 6 : 9 เมอพอปลกเสรจปรากฏวามตนลนจจ�านวน 72 ตน จงหาวาพอปลกตนล�าไย  

  จ�านวนกตน

2.  รปสามเหลยมรปหนงมอตราสวนของดานทงสามเปน 5 : 12 : 13 ถาเสนรอบรปของ   

  รปสามเหลยมรปนยาวเทากบ 90 เซนตเมตร จงหาความยาวของดานทสนทสด

ลองท�าด

จากโครงการเกษตรทฤษฎใหม1ตามแนวพระราชด�ารของพระบาทสมเดจพระเจาอยหวภมพล-

อดลยเดชบรมนาถบพตร(รชกาลท9)ในตวอยางท10ถาลงค�ามทดนทงหมด1,800ตารางวา

นกเรยนคดวาลงค�าใชพนทสรางบอกกเกบน�ารวมกบพนทสรางบานเรอนและถนนทงหมดกตารางวา

Thinking Time

จากล�าดบขนตอนการแกโจทยปญหาเกยวกบสดสวน ซงแสดงในตวอยางท 9 และ 10

เมอนกเรยนฝกจนช�านาญแลว อาจแสดงวธท�าโดยไมตองแสดงรายละเอยดในแตละขนตอนได

ดงตวอยางตอไปน

1  ทฤษฎใหม.สบคนเมอ18ตลาคม2560,จากhttp://www.chaipat.or.th/site_content/922-2010-06-02-07-43-39/1301-2010-06-03-05-40-47.html

17

Thinking Timeค�ำถำมกระตนใหผเรยนคดตอยอดจำกเนอหำทเรยน

ควรรกอนเรยน ทบทวนควำมรเดม เพอเชอมโยงเขำสเนอหำใหม

ค�ำแนะน�ำในกำรใชสอ

องคประกอบตำงๆ ในแตละหนวย

ตวชวด•เขาใจและประยกตใชอตราสวนสดสวนและรอยละในการแกปญหาคณตศาสตรและปญหาในชวตจรง (ค 1.1 ม.1/3)

สาระการเรยนรแกนกลาง• อตราสวนของจ�านวนหลายๆ จ�านวน• สดสวน•การน�าความรเกยวกบอตราสวนสดสวนและรอยละไปใชในการแกปญหา

อตราสวนหนวยการเรยนรท

1

  หองนอนหองหนงมพนทประมาณ 35  ตารางเมตร  โดย

ในหองจะมเฟอรนเจอรตาง ๆ  เชน เตยงนอน ตเสอผา โตะวางทว 

หรอโตะเครองแปง เปนตน

ถาเตยงนอนมพนท

 3.6 ตารางเมตร พนท

ของเตยงนอนจะคดเปน

ÍѵÃÒʋǹ»ÃÐÁҳ෋ÒäÃของพนทหองนอนทงหมด

Q.

ค�ำถำมประจ�ำหนวย กำรเรยนร ทครอบคลมตวชวดสงสดในหนวยกำรเรยนร

สำระกำรเรยนร แกนกลำง ขอบขำยเนอหำ ในหนวยกำรเรยนร

ตวชวด ทสอดคลองกบเนอหำ ในหนวยกำรเรยนร

หนงสอเรยนรายวชาพนฐาน คณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 1 เลม 2 จดท�ำขน

ส�ำหรบใชประกอบกำรเรยนกำรสอนชนมธยมศกษำปท 1 โดยด�ำเนนกำรจดท�ำใหสอดคลอง

ตำมมำตรฐำนกำรเรยนรและตวชวด กลมสำระกำรเรยนรคณตศำสตร (ฉบบปรบปรง พ.ศ. 2560)

ตำมหลกสตรแกนกลำงกำรศกษำขนพนฐำน พทธศกรำช 2551 ทกประกำร เพอสงเสรมทกษะ

ทจ�ำเปนส�ำหรบกำรเรยนรในศตวรรษท 21 ทงทกษะดำนกำรคดวเครำะห กำรคดอยำงมวจำรณญำณ

กำรแกปญหำ กำรคดสรำงสรรค กำรใชเทคโนโลย กำรสอสำร และกำรรวมมอ เพอใหผเรยนรเทำทน

กำรเปลยนแปลงของระบบเศรษฐกจ สงคม วฒนธรรม และสภำพแวดลอม สำมำรถแขงขนและ

อยรวมกบประชำคมโลกได

หนงสอเรยนกลมสำระกำรเรยนรคณตศำสตรในระดบชนมธยมศกษำปท 1 น

คณะผเรยบเรยงไดจดแบงออกเปน 2 เลม ดงน

หนงสอเรยนรายวชาพนฐาน คณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 1 เลม 1 หนวยการเรยนรท 1 - 5

หนงสอเรยนรายวชาพนฐาน คณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 1 เลม 2 หนวยการเรยนรท 1 - 4

แบบฝกทกษะ 2.1 กระดบ พนฐาน

ระดบ กลาง

1. จงเปรยบเทยบสวนของเสนตรงแตละคตอไปนวามความยาวเทากนหรอไม

โดยใชการสรางพนฐาน

1) 2) 3)

2. ก�าหนดaแทนความยาวของสวนของเสนตรงดงรป

a

จงสรางรปสามเหลยมดานเทาPQRใหมดานแตละดานยาวเทากบa

3. ก�าหนดสวนของเสนตรงซงมความยาวaหนวยและbหนวยดงรป

1) จงสรางสวนของเสนตรงทมความยาว2aหนวย a

b 2) จงสรางสวนของเสนตรงทมความยาว2a+2bหนวย

4. ก�าหนดจดAเปนต�าแหนงของหมบานตลาดแคและจดBเปนต�าแหนงของหมบานวงมวง

ถาตองการสรางโรงเรยนในต�าแหนงทอยหางจากหมบานทงสองเปนระยะทางเทากนจะตอง

สรางหมบานทต�าแหนงใด

5. ถานกเรยนตองการแบงสวนของเสนตรงเปนสวนๆ ใหแตละสวนมความยาวเทากน

โดยการแบงครงสวนของเสนตรงนกเรยนจะสามารถแบงเปนสวนทยาวเทากนไดกสวนบาง

พรอมทงยกตวอยางประกอบ3ตวอยาง

ระดบ ทาทาย

J

K

EF

M N

X

Y

P

Q

RS

Bมาตราสวน1ซม.:500ม.

A

47

แบบฝกทกษะ แบงระดบควำมยำกงำยเหมำะสมกบระดบกำรเรยนรของผเรยน

คณตศำสตรในชวตจรง เชอมโยงควำมรคณตศำสตร ไปใชในชวตจรง

สรปแนวคดหลก โดยรวมของทงหนวยกำรเรยนร เพอทบทวนควำมรใหแกผเรยน

แบบฝกทกษะประจ�ำหนวย กำรเรยนร เพอประเมนควำมรควำมเขำใจของผเรยนประจ�ำหนวยกำรเรยนร

กะทะลอ เปนชนสวนหนงของรถยนตทมไวยดยางรถยนตกบดมลอ ในอดตกะทะลอนน

จะเปนเหลกพนสซงอาจเกดสนมไดงายและดไมสวยงามในปจจบนจงมการพฒนาจากกะทะลอ

เปนลอแมกซซงมน�าหนกทเบา ระบายความรอนไดด และมความสวยงามกวากะทะลอ โดย

ลอแมกซแตละชนกจะมลกษณะแตกตางกนไปขนอยกบแมพมพของลอแมกซชนดนนๆ

ใหนกเรยนออกแบบลอแมกซรถยนต พรอมสรางลายลอแมกซโดยใชการสรางพนฐานทาง

เรขาคณต

คณตศาสตรในชวตจรง

94

จากอตราสวนทก�าหนดใหสามารถน�ามาเขยนเปนสดสวนไดดงน

5:7=x:63หรอ57=x63

เมอหาคาของ x ในสดสวน 57 =x63 กจะทราบวาปาชายเลนแหงนมตนโกงกางจ�านวน

กตน

การแกโจทยปญหาเกยวกบสดสวนในทนเสนอแนวการแกปญหาโดยใชแนวคดของโพลยา

ซงม4ขนตอนดงน

ขนท 1 ท�าความเขาใจโจทยปญหา โดยพจารณา

1) สงทโจทยถาม

2) สงทโจทยก�าหนด

ขนท 2 วางแผนแกปญหา

น�าจ�านวนทโจทยก�าหนดและจ�านวนทโจทยถามเขยนสดสวนแสดงอตราสวนโดย

ใหจ�านวนในแตละอตราสวนมล�าดบเดยวกนดงน

ขนท 3 ด�าเนนการตามแผนทวางไวเพอหาคาตวแปร

โดยใชความรเรองสดสวนและการแกสมการ

ขนท 4 ตรวจสอบค�าตอบ

¢ŒÍ¤ÇÃÃÐÇѧ จ�านวนไขไกตอจ�านวนไขเปดเปน5:3ถามจ�านวนไขไก30ฟองจะมจ�านวน

ไขเปดกฟอง

จากอตราสวนทก�าหนดใหสามารถน�ามาเขยนเปนสดสวนไดดงน

5:3=x:30 5:3=30:xเมอxแทนจ�านวนไขเปด เมอxแทนจ�านวนไขเปด

✘ ✔

จ�านวนทหนง(สงเดยวกน)

จ�านวนทสอง(สงเดยวกน)

=

14

การตงค�าถามทางสถต

ค�าถามทางสถตหมายถงค�าถามทมค�าตอบหรอคาดวาจะไดรบค�าตอบมากกวา1ค�าตอบ

ตามสภาพความเปนจรง หรอค�าถามทถามความคดเหนของผตอบแตละคน รวมถงค�าถามท

ตองการค�าตอบซงไดจากการรวบรวมขอมลพนฐานบางอยางแลวน�ามาจดจ�าแนกค�านวณหรอ

วเคราะหเพอใชตอบค�าถามนนซงแบงเปนประเภทไดแก

1. ค�าถามขนพนฐานเปนค�าถามทท�าใหไดชดของค�าตอบมา1ชด

2. ค�าถามเชงสรปเปนค�าถามเพอหาขอสรปเปนภาพรวม

3. ค�าถามเชงเปรยบเทยบเปนค�าถามทตองใชค�าตอบอยางนอย2ชดมาเปรยบเทยบกน

4. ค�าถามเชงความสมพนธเปนค�าถามทตองใชค�าตอบอยางนอย2ชดมาหา

ความสมพนธกน

การเกบรวบรวมขอมล

ขอมล หมายถง ขอเทจจรง หรอสงทยอมรบวาเปนขอเทจจรงของเรองทสนใจซงไดจาก

การเกบรวบรวมอาจเปนไปไดทงขอความและตวเลข

ในกระบวนการเกบรวบรวมขอมลมการด�าเนนการไดหลายวธเชน

1. การบนทกขอมล เปนการเกบรวบรวมขอมลทผเกบรวบรวมขอมลตองลงมอปฏบตใน

เรองใดเรองหนง

2. การสงเกตเปนการเกบรวบรวมขอมลทผเกบรวบรวมขอมลไมตองลงมอปฏบตแตจะใช

การดฟงและท�าความเขาใจในสงทเกดขนแลวบนทกผลทไดจากการสงเกต

3. การสอบถามเปนการเกบรวบรวมขอมลทผเกบรวบรวมขอมลไมไดมการพดคยกบผตอบ

ค�าถามแตจะใชการท�าแบบสอบถามแทน

4. การสมภาษณ เปนการเกบรวบรวมขอมลทผเกบรวบรวมขอมลมการตงค�าถามเปน

ขอๆ ไวแลวน�าไปถามผตอบค�าถามดวยตนเอง

สรปแนวคดหลก

203

รานขายเครองใชไฟฟาซอเครองท�าน�าอนมาในราคา 3,000 บาท และตองการขายเครองท�า

น�าอนนใหไดก�าไร  8%  รานคาจงก�าหนดราคาขายโดยคดภาษมลคาเพมอก  7%  ของราคา

ทขายไดก�าไร  8%  จงหาวารานขายเครองใชไฟฟาจะตองก�าหนดราคาขายเครองท�าน�าอนน

กบาทจงจะไดก�าไรตามทตองการ

ลองท�าด

เมอฝากเงนไวกบธนาคารธนาคารจะใหดอกเบยโดยก�าหนดอตราดอกเบยเปนรอยละตอปแตอาจ

ก�าหนดวาระทครบก�าหนด เปน 3, 6, 12 เดอนหรอมากกวา การคดดอกเบยทถกตองจะตองคดปละ

365วน (ทงนไมวาปปฏทนทฝากนนจะม365หรอ366วนกตาม)ในกรณฝากเงนเปนเวลา3หรอ

6เดอนใหใชจ�านวนวนใน3เดอนหรอ6เดอนมาค�านวณเชน

การคดดอกเบยของเงนฝาก4,000บาทในระยะเวลา3เดอน(91วน)อตราดอกเบยรอยละ0.90

ตอปค�านวณดอกเบยไดดงน

ดอกเบยทไดรบเปนเงน4,000บาท× 91วน× 0.90365วน× 100

≈8.98บาท

ทมา:การค�านวณดอกเบยเงนฝากประจ�า3เดอนโดยไมหกภาษดอกเบยของธนาคารไทยพาณชย ณวนท30กนยายน2560

¤³Ôµน‹ารÙ

1. รานคาซอโทรศพทมอถอมาในราคาเครองละ3,000บาทและตดราคาขายโทรศพท

มอถอเครองละ 6,000 บาท แตเนองจากยอดจ�าหนายโทรศพทมอถอไมดรานคาแหงน

จงประกาศลดราคาโทรศพทมอถอเหลอ4,800บาทและลดราคาอกครงเหลอ3,840บาท

แตยงขายโทรศพทมอถอไมได จงลดราคาอกครงโดยการลดราคาครงนมรอยละของราคา

ทลดเทากบรอยละของการลดราคาสองครงทผานมาอยากทราบวาการลดราคาครงนจะยงคง

ไดก�าไรหรอขาดทนหรอเทาทน

2. สทน ด�ารงค และอภสทธ ไดฝากเงนกบคณครไวจ�านวนหนง โดยอตราสวน

จ�านวนเงนของสทนตอด�ารงคตออภสทธเปน7:5:3ตอมาสทนไดขอเงนคนจากคณคร

19บาทด�ารงคไดฝากเงนเพม39บาทและอภสทธไดฝากเงนเพม9บาทท�าใหอตราสวน

ของจ�านวนเงนสทนตอด�ารงคตออภสทธเปน9:13:6จงหาวาในตอนแรกสทนด�ารงค

และอภสทธฝากเงนกบคณครรวมกนเปนจ�านวนเงนกบาท

ค�าถามทาทายการคดขนสง

33

แบบฝกทกษะประจ�าหนวยการเรยนรท 1

 1. จงแสดงใหเหนวาอตราสวนทก�าหนดใหในแตละขอตอไปนเปนอตราสวนทเทากนหรอไม

1) 12:13และ6:7

3) 16:17และ8:3

2) 15:17และ45:51

4) 19:20และ58:60

 2. จงเขยนอตราสวนซงเทากบอตราสวน36:64มาอก5อตราสวน

3. ก�าหนดx:y=7:3และy:z=18:36จงเขยนอตราสวนของx:y:z

 4. จงหาวาจ�านวนใดเปนรอยละ37ของ250

5. จงหาวา64เปนรอยละเทาใดของ160

6. จงหาวา75เปนรอยละ15ของจ�านวนใด

 7. ถาp-58 =74แลวคาของp+2เทากบเทาใด

 8. ฟารมแหงหนงเลยงสตวไว3ชนดคอเปดไกและววเปนอตราสวนดงนจ�านวนเปดตอ

จ�านวนไกเปน 7 : 8 และจ�านวนววตอจ�านวนไกเปน 5 : 6 ถาฟารมแหงนเลยงสตว

ทงสามชนด4,745ตวจงหาวาฟารมแหงนเลยงเปดมากกวาววกตว

 9. รปสเหลยมคางหมรปหนงมอตราสวนของความสงตอความยาวของดานคขนานสองดาน

เปน2:3:5ถารปสเหลยมคางหมรปนมความสง10เซนตเมตรพนทของ

รปสเหลยมคางหมรปนเทากบกตารางเซนตเมตร

 10. แทงไมทรงสเหลยมมมฉากอนหนง มอตราสวนของความยาวตอความกวางเปน 3 : 2

และอตราสวนของความกวางตอความสงเปน3:5ถาปรมาตรของแทงไมนเทากบ4,320

ลกบาศกเซนตเมตรจงหาความกวางความยาวและความสงของแทงไมน

 11. พอคาตดราคาโทรทศนไว8,500บาทถาพอคาลดราคาใหผซอเงนสด10%แลวยงคงได

ก�าไร20%พอคาซอโทรทศนเครองนมาราคากบาท

 12. รานขายเครองใชไฟฟาตดราคาขายตเยนเปนเงน5,564บาทซงราคาทตดไวรวมกบภาษ

มลคาเพม7%ของราคาตเยนจงหาวา

1) ผซอจะตองจายเปนคาภาษมลคาเพมกบาท

2) ถาตนทนของตเยนเปนเงน4,000บาทรานขายเครองใชไฟฟาจะไดก�าไรกเปอรเซนต

39

กจกรรม คณตศาสตร

ใหนกเรยนแกโจทยปญหาโดยใชบารโมเดล (Bar model)

ตวอยาง รานขายเครองใชไฟฟาตดราคาขายตเยนไว 18,900 บาท ถาลดราคาใหผซอ 10%

รานขายเครองใชไฟฟายงคงไดก�าไร 5% อยากทราบวาราคาตนทนของตเยนนเทากบกบาท

จากภาพท 1 จะไดวา

100 หนวย เทากบ 18,900 บาท

1 หนวย เทากบ 18,900100 = 189 บาท

ดงนน ราคาขายตเยนหลงลดราคาใหผซอ 10% คอ

90 หนวย เทากบ 189 × 90 = 17,010 บาท

จากภาพท 2 จะไดวา

105 หนวย เทากบ 17,010 บาท

1 หนวย เทากบ 17,010105 = 162 บาท

ดงนน ราคาตนทนของตเยนน คอ

100 หนวย เทากบ 162 × 100 = 16,200 บาท

ค�าถาม

รานขายเครองใชไฟฟาตดราคาขายเครองซกผาเครองหนงไว 33,900 บาท ผานมา 2 ป

ยงขายเครองซกผาไมได จงประกาศลดราคาขาย 15% เมอขายไดแลวพบวา รานขายเครองใช

ไฟฟาขาดทน 5% จงหาวาราคาตนทนของเครองซกผานเทากบกบาท

ราคาขายตเยนหลงลดราคา

ราคาขายตเยนหลงลดราคา

18,900 บาท

ราคาตนทน

ลด10%

90%

105%

100%

100%

0%

0%

ภาพท 1

ภาพท 2

ก�าหนดให

แทน 100 หนวย

ขอตกลง

0% 100%

34 การแกโจทยปญหาเกยวกบการค�านวณก�าไรและขาดทน

แนะแนวคดเทคนคตำง ๆ ทชแนะวธกำรแกโจทยทำงคณตศำสตร

จงสรางรปสเหลยมจตรสABCDใหเสนทแยงมมยาวa

a

วธสราง การสรางรปสเหลยมจตรสABCDใหเสนทแยงมมยาวaจะสรางไดดงน

ขนท1 ลากAX

XA

ขนท2 บน AXสราง AC ใหมความยาวเทากบa

XA C

ขนท3 แบงครง AC ทจดE

X

X

Y

A CE

ตวอยางท 8

จงสรางรปสเหลยมจตรสWXYZทแตละดานยาวaหนวยa

ลองทาด

เสน·แยงมม·éงสองเสนของรปสเหลยมจตรสมคÇามยาÇเ·ากน และแบงครง«งกนและกน

แนะแนวคด

67

กจกรรมคณตศำสตร เพอสงเสรมกำรเรยนรแบบ Active Learning

QR Code รองรบกำรเรยนร ผำนสอดจทอล

H.O.T.S. ค�ำถำมทำทำยกำรคดขนสง

ตำมทฤษฎกำรเรยนรของบลม (Bloom’s Taxonomy)

ขอควรระวง อธบำยในสงทผเรยนมกเขำใจผด

หรอคลำดเคลอน

ลองท�ำดเพอใหผเรยนไดฝกท�ำจนเกด ควำมช�ำนำญ

คณตนำร เสรมควำมร หรอขอสงเกตทไดจำกเนอหำ

สำรบญ คณตศำสตร ชนมธยมศกษำปท 1 เลม 2

อตรำสวน 2

1.1 อตรำสวนของจ�ำนวนหลำย ๆ จ�ำนวน 4 1.2 สดสวน 12 1.3 กำรน�ำควำมรเกยวกบอตรำสวน สดสวน และรอยละ ไปใชในชวตจรง 21

คณตศาสตรในชวตจรง 36

สรปแนวคดหลก 37

แบบฝกทกษะประจาหนวยการเรยนรท 1 39

กำรสรำงทำงเรขำคณต 40

2.1 กำรสรำงพนฐำน 42 2.2 กำรสรำงรปเรขำคณตสองมต โดยใชกำรสรำงพนฐำน ทำงเรขำคณต 702.3 กำรน�ำควำมรเกยวกบกำรสรำงพนฐำนทำงเรขำคณต ไปใชในชวตจรง 88

คณตศาสตรในชวตจรง 94

สรปแนวคดหลก 95

แบบฝกทกษะประจาหนวยการเรยนรท 2 99

หนวยกำรเรยนรท

หนวยกำรเรยนรท

1

2

สมกำรเชงเสนสองตวแปร 102

3.1 กรำฟของควำมสมพนธเชงเสน 104 3.2 สมกำรเชงเสนสองตวแปร 1333.3 กำรน�ำควำมรเกยวกบกรำฟของควำมสมพนธเชงเสน ไปใชในชวตจรง 148

คณตศาสตรในชวตจรง 154

สรปแนวคดหลก 155

แบบฝกทกษะประจาหนวยการเรยนรท 3 156

หนวยกำรเรยนรท

3

บรรณำนกรม 212

สถต 158

4.1 กำรตงค�ำถำมทำงสถต 160 4.2 กำรเกบรวบรวมขอมล 1654.3 กำรน�ำเสนอและกำรแปลควำมหมำยขอมล 168 4.4 กำรน�ำควำมรเกยวกบสถตไปใชในชวตจรง 198

คณตศาสตรในชวตจรง 202

สรปแนวคดหลก 203

แบบฝกทกษะประจาหนวยการเรยนรท 4 205

หนวยกำรเรยนรท

4

ตวชวด •เขาใจและประยกตใชอตราสวนสดสวนและรอยละในการแกปญหาคณตศาสตรและปญหาในชวตจรง(ค1.1ม.1/3)

สาระการเรยนรแกนกลาง• อตราสวนของจ�านวนหลายๆ จ�านวน• สดสวน•การน�าความรเกยวกบอตราสวนสดสวนและรอยละไปใชในการแกปญหา

อตราสวนหนวยการเรยนรท

1 ความสมพนธทแสดงการเปรยบเทยบปรมาณสองปรมาณ ซงอาจมหนวยเดยวกน หรอ

ตางกนกไดนนเรยกวา“อตราสวน”

จงพจารณารปภาพตอไปน

หองนอนหองหนงมพนทประมาณ35 ตารางเมตร โดย

ในหองจะมเฟอรนเจอรตางๆ เชนเตยงนอนตเสอผาโตะวางทว

หรอโตะเครองแปงเปนตน

ถาเตยงนอนมพนท

3.6ตารางเมตรพนท

ของเตยงนอนจะคดเปน

ÍѵÃÒʋǹ»ÃÐÁҳ෋ÒäÃของพนทหองนอนทงหมด

Q.

ควรรกอนเรยน

จากรป จะเหนวาครอบครวนมจ�านวน

ทงหมด6คนเปนเดกจ�านวน

2คนและผใหญจ�านวน4คน

กลาวไดวา อตราสวนของจ�านวนเดกตอ

จ�านวนผใหญเปน2ตอ4

เขยนแทนดวย2:4หรอ24

อตราสวนaตอbเขยนแทนดวยa:bหรอabอานวาaตอb

เรยกจ�านวนaในอตราสวนa:bวาจ�านวนแรกหรอจ�านวนทหนง

และเรยกจ�านวนbในอตราสวนa:bวาจ�านวนหลงหรอจ�านวนทสอง

จงพจารณาขอความตอไปน

1. การไปทศนศกษาของโรงเรยนแหงหนงจดใหครจ�านวน1คนดแลนกเรยนจ�านวน

15คน

2. ตนกลาซอไสกรอกจ�านวน2ถงราคา84บาท

3. ลงค�าท�าน�าหมกชวภาพโดยใชกากน�าตาลปรมาณ250ลกบาศกเซนตเมตร

ใชน�า8ลตร

จากขอความดงกลาวสามารถเขยนอตราสวนแสดงความสมพนธของแตละขอไดดงน

1. อตราสวนของจ�านวนครตอจ�านวนนกเรยนเปน1:15

2. อตราสวนของจ�านวนไสกรอกเปนถงตอราคาเปนบาทเปน2:84

3. อตราสวนของปรมาณกากน�าตาลเปนลกบาศกเซนตเมตรตอน�าเปนลตรเปน250:8

การเขยนอตราสวนทแสดงการเปรยบเทยบปรมาณสองปรมาณทมหนวยเดยวกน และม

ความชดเจนวาเปนหนวยของสงใด ไมนยมเขยนหนวยก�ากบไว แตการเขยนอตราสวนทแสดง

การเปรยบเทยบปรมาณสองปรมาณทมหนวยตางกนจะตองเขยนหนวยก�ากบไวทค�าอธบาย

3

1.1 อตราสวนของจานวนหลาย ๆ จานวน

1. อตราสวนทเทากน

1)การหาอตราสวนทเทากบอตราสวนทกาหนดให

รานสหกรณของโรงเรยนแหงหนงขายน�าราคาขวดละ5บาทซงสามารถเขยนแสดง

ความสมพนธระหวางจ�านวนน�าเปนขวดและราคาเปนบาทดงตารางตอไปน

จานวนนา(ขวด) 1 2 3 4 5

ราคา(บาท) 5 10 15 20 25

จากตารางสามารถเขยนอตราสวนไดหลายอตราสวนดงน

1:5,2:10,3:15,4:20,5:25

หรอ15,210,

315,

420,

525

อตราสวนขางตน ไดมาจากการซอน�าในราคาเดยวกน คอ น�า 1 ขวด ราคา 5 บาท

และกลาวไดวาอตราสวนเหลานนเปนอตราสวนทเทากน

จากอตราสวนทเทากนในสถานการณขางตนสามารถเขยนแสดงไดดงน

1:5=2:10=3:15=4:20=5:25

หรอ15=210=

315=

420=

525

จะเหนวาอตราสวนทเทากนดงกลาวมความเกยวของกนกบอตราสวน15ดงน

จงหาอตราสวนทเทากบอตราสวน4:9มาอก3อตราสวน

ลองท�าด

รานคาขายไขไกราคาแผงละ85บาทถาตะวนตองการซอไขไกจานวน6ฟองจากรานแหงน

ตะวนตองจายเงนทงหมดกบาท(ไขไก1แผงม30ฟอง)

วธทา รานคาขายไขไกราคาแผงละ85บาท

เขยนอตราสวนของจ�านวนไขไกเปนฟองตอราคาเปนบาทเปน30:85หรอ 3085 ถาตะวนซอไขไกจ�านวน6ฟอง

จะได3085=30÷ 585÷ 5=

617

ดงนนตะวนตองจายเงนทงหมด17บาท ตอบ

จงหาอตราสวนทเทากบอตราสวน3:7มาอก3อตราสวน

วธทา อตราสวน3:7เขยนแทนดวย37 จะได 3

7=3 × 27 × 2=

614 นนคอ3:7=6:14

37=

3 × 37 × 3=

921 นนคอ3:7=9:21

37=

3 ×47 ×4=

1228 นนคอ3:7=12:28

ดงนน อตราสวน6:14,9:21และ12:28เปนอตราสวนทเทากบ

อตราสวน3:7 ตอบ

ตวอยางท 2

ตวอยางท 1

นกเรยนสามารถเขยนอตราสวน

ตางๆ ใหอยในรปเศษสวนได

¤³Ôµน‹ารÙถาก�าหนดอตราสวนa:bและcเปนจ�านวนใดๆ

ทไมเทากบศนยแลวจะไดวา

a:b=ab=a×cb×cและa:b=

ab=

a÷cb÷c

คณดวยจานวนเดยวกน หารดวยจานวนเดยวกน

15=

1 × 25 × 2=

210

15=

1 × 35 × 3=

315

15=

1 ×45 ×4=

420

15=

1 × 55 × 5=

525

210=

2 ÷ 210÷ 2=

15

315=

3 ÷ 315 ÷ 3=

15

420=

4÷420÷4=

15

525=

5 ÷ 525 ÷ 5=

15

นนคอ เมอก�าหนดอตราสวนมาให นกเรยนสามารถหาอตราสวนทเทากบอตราสวน

ทก�าหนดใหไดโดยใชหลกการตอไปน

1) หลกการคณ เมอคณแตละจ�านวนในอตราสวนใดดวยจ�านวนเดยวกน โดยท

จ�านวนนนไมเทากบศนยจะไดอตราสวนใหมทเทากบอตราสวนเดม

2) หลกการหาร เมอหารแตละจ�านวนในอตราสวนใดดวยจ�านวนเดยวกน โดยท

จ�านวนนนไมเทากบศนยจะไดอตราสวนใหมทเทากบอตราสวนเดม

4 5

รานคาขายปากกาลกลนราคาโหลละ96บาทถาตนกลาจายเงนซอปากกาทรานแหงน

24บาทจงหาวาตนกลาซอปากกาลกลนกดาม

ลองท�าด จงพจารณาอตราสวนabและcd

เรยกabวาเปนอตราสวนท1และcdวาเปนอตราสวนท2

จาก ab=

a× db× d=

adbd

cd=

c×bd ×b=

bcbd

จงพจารณาadbdและbcbdดงน

1)ถาadbd=bcbdแลวad=bc2)ถา

adbd ≠

bcbdแลวad≠bc

ซงadและbcเปนผลคณของจ�านวนจากอตราสวนทงสอง

โดยaเปนจ�านวนท1ของอตราสวนท1 dเปนจ�านวนท2ของอตราสวนท2

และbเปนจ�านวนท2ของอตราสวนท1 cเปนจ�านวนท1ของอตราสวนท2

ซงนกเรยนสามารถจดadและbcโดยใชหลกการคณไขวดงนab cd

จงตรวจสอบวาอตราสวนแตละขอตอไปนเทากนหรอไม

1) 6:22และ24:80 2) 5:0.3และ100:6

ลองท�าด

2)การตรวจสอบการเทากนของอตราสวน

นกเรยนทราบมาแลววาการหาอตราสวนทเทากบอตราสวนทก�าหนดให ตองใชหลก

การคณหรอหลกการหารในการตรวจสอบ แตถาตองการตรวจสอบวา อตราสวนสองอตราสวน

เทากนหรอไมนกเรยนสามารถใชหลกการคณหลกการหารหรอใชการคณไขวเพอท�าใหจ�านวน

หลงของแตละอตราสวนเทากนแลวจงเปรยบเทยบจ�านวนแรกซงมรายละเอยดดงตอไปน

จงพจารณาวธการตรวจสอบการเทากนของอตราสวน59และ1527ดงตอไปน

แบบท1 ใชหลกการคณ59=5 × 39 × 3=

1527

ดงนน59และ1527เปนอตราสวนทเทากน

แบบท2 ใชหลกการหาร1527=15 ÷ 327 ÷ 3=

59

ดงนน59และ1527เปนอตราสวนทเทากน

แบบท3 ใชการคณไขว

พจารณาการน�าอตราสวน59และ1527มาท�าใหจ�านวนหลงเทากนดงน

59 =

5 × 279 × 27 และ1527 =15 × 9

27 × 9

=135243 =135243

นกเรยนจะพบวา243เปนผลคณของ9กบ27ซงทงสองจ�านวนเปนจ�านวนหลงของ

แตละอตราสวนและยงพบอกวา5×27และ15×9ไดมาจากการคณไขวดงน

59 1527

ซงผลคณ5×27และ15×9ทไดจะเปนจ�านวนแรกของอตราสวนทงสองและมคา

เทากนคอ135จงใหผลสรปวาอตราสวนทงสองเทากน

ดงนน59และ1527เปนอตราสวนทเทากน

จงตรวจสอบวาอตราสวนแตละขอตอไปนเทากนหรอไม

1) 5:9และ25:44 2) 1.5:4และ3:8

วธทา 1) พจารณาผลคณไขวของอตราสวน59และ2544

จะได 5 × 44=220และ25 × 9=225

นนคอ 5 × 44 ≠ 25 × 9

ดงนน 5:9และ25:44เปนอตราสวนทไมเทากน

2) พจารณาผลคณไขวของอตราสวน1.54 และ38

จะได 1.5 × 8=12และ3 × 4=12

นนคอ 1.5 × 8 = 3 × 4

ดงนน 1.5:4และ3:8เปนอตราสวนทเทากน ตอบ

ตวอยางท 3

ใชหลกการคณไขว59 2544

ใชหลกการคณไขว1.54 38

ก�าหนดใหabและcdเปนอตราสวนสองอตราสวนโดยทa,b,cและd

เปนจ�านวนบวก

ถาa×d=c×bแลวab=cdและถาa× d ≠c×bแลวab ≠

cd

6 7

2. อตราสวนของจานวนหลาย ๆ จานวน จงพจารณาอตราสวนตอไปน

จ�านวนสมตอจ�านวนมะมวง เทากบ7:10

จ�านวนมะมวงตอจ�านวนมงคด เทากบ15:17

จะเหนวา อตราสวนทงสองชดมจ�านวนมะมวงเกยวของกบจ�านวนสมและจ�านวนมงคด

ซงในทนจะเรยกจ�านวนมะมวงวาตวรวม

ถานกเรยนใชความรเพอท�าอตราสวนใหเทากน โดยใชหลกการคณในอตราสวนแตละชด

ดงน

7:10=14:20=21:30=28:40และอนๆ

15:17=30:34=45:51และอนๆ

จะเหนวาอตราสวน7 :10และ15 :17 เทากบอตราสวน21 :30และ30 :34

ตามล�าดบซงอตราสวน21:30และ30:34ตางกมจ�านวนมะมวงเทากน

นกเรยนจงสามารถเขยนอตราสวนเปรยบเทยบจ�านวนสมตอจ�านวนมะมวงตอจ�านวน

มงคดไดเปน21:30:34เรยกอตราสวนนวาอตราสวนของจานวนหลายๆ จานวน

เมอพจารณา10,15และ30ทเปนจ�านวนมะมวงและเปนตวรวมของอตราสวนทงสองชด

จะเหนวา30เปนค.ร.น.ของ10และ15

กลาวไดวาการเขยนอตราสวนของจ�านวนหลายๆ จ�านวนตองใชการเทากนของอตราสวน

เพอท�าใหจ�านวนทเปนตวรวมในอตราสวนทงสองเทากน ซงเปน ค.ร.น. ของจ�านวนทงสอง

นนเอง

เมอมอตราสวนสองอตราสวนใดๆ แสดงการเปรยบเทยบปรมาณของทมากกวา

สองชนดขนไป หรอเปรยบเทยบจ�านวนหลายจ�านวน สามารถเขยนอตราสวนของ

จ�านวนหลายๆ จ�านวนจากอตราสวนทงสองไดดงน

1)พจารณาจ�านวนทปรากฏในอตราสวนทละคเฉพาะในสวนทเปนตวรวม

2)ถาจ�านวนทเปนตวรวมในขอ1)เทากนเขยนอตราสวนของจ�านวน

หลายๆ จ�านวนไดทนท

3)ถาจ�านวนทเปนตวรวมในขอ1)ไมเทากนตองท�าตวรวมนนใหเทากน

โดยใชหลกการคณหลกการหารหรอค.ร.น.รานคาขายไขไกไขเปดและไขนกกระทาโดยทอตราสวนของจานวนไขเปดตอจานวนไขไก

เปน3:5อตราสวนของจานวนไขนกกระทาตอจานวนไขไกเปน2:3จงเขยนอตราสวน

ของจานวนไขเปดตอจานวนไขไกตอจานวนไขนกกระทาของรานคาแหงน

ตวอยางท 5

คณยาจะทาขนมเมดขนนไวใหหลานๆ ทานจงไดเตรยมสวนผสมหลกเพอทาขนมดงน

ถวเขยวเลาะเปลอก450กรมนาตาลทราย200กรมนากะท400กรมและไขเปด

5ฟอง(ใชเฉพาะไขแดง)

จงเขยนอตราสวนของสวนผสมในการทาขนมเมดขนนตอไปน

1) ถวเขยวเลาะเปลอกเปนกรมตอน�าตาลทรายเปนกรมตอน�ากะทเปนกรมตอไขเปดเปนฟอง

2) ถวเขยวเลาะเปลอกผสมน�าตาลทรายผสมน�ากะทเปนกรมตอไขเปดเปนฟอง

ลองท�าด

รสาทาขนมตาลเพอนาไปขายซงมสวนผสมหลกในการทาขนมตาลดงน

เนอลกตาล 170กรม

นากะท 520กรม

แปงขาวจาว235กรม

นาตาลทราย275กรม

จงเขยนอตราสวนของสวนผสมในการทาขนมตาลตอไปน

1) เนอลกตาลตอน�ากะทตอแปงขาวจาวตอน�าตาลทราย

2) เนอลกตาลผสมแปงขาวจาวตอน�ากะทผสมน�าตาลทราย

3) เนอลกตาลตอเนอลกตาลผสมน�ากะทผสมแปงขาวจาวผสมน�าตาลทราย

ตอบ 1) อตราสวนของเนอลกตาลตอน�ากะทตอแปงขาวจาวตอน�าตาลทราย

เทากบ170:520:235:275

2) อตราสวนเนอลกตาลผสมแปงขาวจาวตอน�ากะทผสมน�าตาลทราย

เทากบ405:795

3) อตราสวนเนอลกตาลตอเนอลกตาลผสมน�ากะทผสมแปงขาวจาวผสมน�าตาลทราย

เทากบ170:1,200

ตวอยางท 4

8 9

กาหนดใหABCDเปนรปสเหลยมดานไมเทาทมอตราสวนของความยาวดานดงน

AB:BC=2:2.5,AB:DC=1:2และDA:AB=3:4จงหาอตราสวนของ

AB:BC:DC:DA

ลองท�าด

แบบฝกทกษะ 1.1ระดบ พนฐาน

ระดบ กลาง

1. จงหาอตราสวนทเทากบอตราสวนทก�าหนดใหอกขอละ3อตราสวนโดยใชหลกการคณ

1) 2:7 2) 5:12 3) 9:7

2. จงหาอตราสวนทเทากบอตราสวนทก�าหนดใหอกขอละ3อตราสวนโดยใชหลกการหาร

1) 64:32 2) 54:90 3) 72:24

3. จงตรวจสอบวาอตราสวนในแตละขอตอไปนเทากนหรอไม

1) 3.5:1.5และ5:2 2) 8:9และ96:108

4. จงเตมเครองหมาย=หรอ≠ ลงใน ทก�าหนดใหในแตละขอเพอใหประโยคเปนจรง

1) 8:4 12:6 2) 6:7 9:11

5. จงหาอตราสวนa:b:cจากอตราสวนทก�าหนดใหในแตละขอตอไปน

1) a:b=11:8และb:c=6:5 2) a:b=1.5:9และb:c=7:4.3

6. ถาจ�านวนเงนรายไดเพอใชในการแขงขนกฬาสทนกเรยนสตางๆ หาไดเปนดงน

จ�านวนเงนรายไดของสฟาตอจ�านวนเงนรายไดของสเขยวเปน 7:8

จ�านวนเงนรายไดของสเขยวตอจ�านวนเงนรายไดของสเหลองเปน7:8

จ�านวนเงนรายไดของสชมพตอจ�านวนเงนรายไดของสเหลองเปน3:4

จงเขยนอตราสวนเปรยบเทยบจ�านวนเงนรายไดของสฟาตอจ�านวนเงนรายไดของสชมพ

7. สวนสตวแหงหนงมอตราสวนของจ�านวนนกตอจ�านวนยราฟเปน11:2อตราสวนของ

จ�านวนลงตอจ�านวนยราฟเปน31:3และอตราสวนของจ�านวนยราฟตอจ�านวนเสอเปน

4:11จงเขยนอตราสวนเปรยบเทยบจ�านวนนกตอจ�านวนสตวทงสชนดรวมกน

8. ก�าหนดอตราสวนa:b=34:2และb:c=12:

13จงหาอตราสวนทเทากบอตราสวนa:b,

b:cและa:b:c

9. ก�าหนดอตราสวนp:q=0.75:0.90และq:r=13:15จงหาอตราสวนของp:q:r

10. ก�าหนดอตราสวนa:b=114:23และa:c=1

37:

56จงหาอตราสวนของa:b:c

ระดบ ทาทาย

วธทา เนองจาก อตราสวนของจ�านวนไขเปดตอจ�านวนไขไกเปน3:5

อตราสวนของจ�านวนไขนกกระทาตอจ�านวนไขไกเปน2:3

มจ�านวนไขไกเปนตวรวมคอ5และ3ซงค.ร.น.ของ5และ3เทากบ15

จะได จ�านวนไขเปดตอจ�านวนไขไกเปน 3 × 3:5 × 3=9:15

จ�านวนไขนกกระทาตอจ�านวนไขไกเปน 2 × 5:3 × 5=10:15

ดงนน อตราสวนของจ�านวนไขเปดตอจ�านวนไขไกตอจ�านวนไขนกกระทา

เทากบ9:15:10 ตอบ

รานขายปากกาแหงหนงขายปากกาสแดงสดาและสนาเงนโดยทอตราสวนของจานวน

ปากกาสแดงตอจานวนปากกาสดาเปน8:3อตราสวนของจานวนปากกาสดาตอจานวน

ปากกาสนาเงนเปน4:5จงหาอตราสวนของจานวนปากกาสแดงตอจานวนปากกาสดาตอ

จานวนปากกาสนาเงนของรานขายปากกาแหงน

ลองท�าด

กาหนดใหATMเปนรปสามเหลยมดานไมเทาทมอตราสวนของความยาวดานดงน

AT:TM=3:4และTM:AM=10:8

จงเขยนอตราสวนของความยาวดานตอไปน

1) AT:TM:AM 2) ความยาวดานTMตอความยาวของเสนรอบรป

วธทา 1) เนองจาก AT:TM=3:4และTM:AM=10:8

มความยาวของTMเปนตวรวมคอ4และ10ซงค.ร.น.ของ4และ10

เทากบ20

จะได AT:TM =3 × 5:4 × 5 =15:20

TM:AM =10 × 2:8 × 2 =20:16

ดงนนอตราสวนของความยาวดานAT:TM:AMเทากบ15:20:16

2) ความยาวของเสนรอบรปเทากบ15+20+16=51หนวย

ดงนน อตราสวนของความยาวดานTMตอความยาวของเสนรอบรปเทากบ

20:51 ตอบ

ตวอยางท 6

10 11

1.2 สดสวน จงพจารณาอตราสวน2:5และ6:15

จะเหนวาผลการคณไขวของจ�านวนแรกกบจ�านวนหลงของ25และ615คอ

2 ×15 = 30และ5×6=30

จะไดวา 25 =

615

นนคอ 2:5 = 6:15

เรยกประโยคทแสดงการเทากนของอตราสวนสองอตราสวนวา“สดสวน”

ประโยคทแสดงการเทากนของอตราสวนสองอตราสวนเรยกวาสดสวน

นกเรยนทราบมาแลววาการหาอตราสวนทเทากนสามารถท�าได โดยใชหลกการคณ

หลกการหาร หรอการคณไขว ดงนนในกรณทมตวแปรซงแทนจ�านวนทไมทราบคาในสดสวน

จะสามารถหาจ�านวนทแทนตวแปรในสดสวนโดยใชวธการดงกลาวขางตนดงตวอยางตอไปน

จงหาคาของmในสดสวน67 =30m

วธทา วธท1 หาอตราสวนทเทากนโดยใชหลกการคณ

จาก 67=

6× 57 × 5=

3035

จะได 30m = 30

35

m = 35

ดงนนคาของmคอ35

วธท2 ใชการคณไขวและการแกสมการ

จาก 67 =

30m

จะได6×m = 7×30

m = 7 ×306

m = 35

ดงนนคาของmคอ35 ตอบ

ตวอยางท 7

การแกโจทยปญหาโดยใชสดสวน

จงพจารณาโจทยปญหาตอไปน

ชาวบานและนกเรยนกลมหนงตองการปลกตนโกงกางและตนล�าพในปาชายเลนแหงหนง

โดยใหจ�านวนตนโกงกางตอจ�านวนตนล�าพเปน5:7เมอปลกตนโกงกางและตนล�าพเสรจแลวพบวา

มจ�านวนตนล�าพทงหมด63ตนอยากทราบวาชาวบานและนกเรยนกลมนปลกตนโกงกางทงหมด

กตน

จากอตราสวน5:7ทโจทยก�าหนดเปนการเปรยบเทยบระหวางจ�านวนตนโกงกางกบจ�านวน

ตนล�าพ

ดงนน หากตองการทราบวาชาวบานและนกเรยนกลมนปลกตนโกงกางกตน สามารถหา

จ�านวนตนโกงกางได โดยใชหลกการคณหรอใชสดสวน แตในทนจะใชสดสวนในการหาจ�านวน

ตนโกงกางดงน

ก�าหนดใหจ�านวนตนโกงกางมxตน เมอมจ�านวนตนล�าพทงหมด63ตน

จะไดอตราสวนจ�านวนตนโกงกางตอจ�านวนตนล�าพเปนx:63

จงหาคาของxในสดสวน49=16x

จงหาคาของaในสดสวน5:3=a:4.5

ลองท�าด

ลองท�าด

จงหาคาของmในสดสวน3:5=m:2.5

วธทา จาก 3:5 = m:2.5

จะได 35 =

m2.5

3 × 2.5 = 5 × m

m = 3 × 2.55

m = 1.5

ดงนนคาของmคอ1.5 ตอบ

ตวอยางท 8

12 13

จากอตราสวนทก�าหนดใหสามารถน�ามาเขยนเปนสดสวนไดดงน

5:7=x:63หรอ57=x63

เมอหาคาของ x ในสดสวน 57 =x63 กจะทราบวาปาชายเลนแหงนมตนโกงกางจ�านวน

กตน

การแกโจทยปญหาเกยวกบสดสวนในทนเสนอแนวการแกปญหาโดยใชแนวคดของโพลยา

ซงม4ขนตอนดงน

ขนท1 ทาความเขาใจโจทยปญหาโดยพจารณา

1) สงทโจทยถาม

2) สงทโจทยก�าหนด

ขนท2 วางแผนแกปญหา

น�าจ�านวนทโจทยก�าหนดและจ�านวนทโจทยถามเขยนสดสวนแสดงอตราสวนโดย

ใหจ�านวนในแตละอตราสวนมล�าดบเดยวกนดงน

ขนท3 ดาเนนการตามแผนทวางไวเพอหาคาตวแปร

โดยใชความรเรองสดสวนและการแกสมการ

ขนท4 ตรวจสอบคาตอบ

ลงคาวางแผนเพอปลกตนเขมกบตนแกวเปนแนวรวโดยปลกสลบกนเปนอตราสวน5:2เมอ

ลงคาปลกเสรจปรากฏวามตนเขมจานวน95ตนจงหาวาลงคาปลกตนแกวทงหมดจานวนกตน

วธทา ขนท1 ทาความเขาใจโจทยปญหาโดยพจารณา

1) สงทโจทยถามคอจ�านวนตนแกวทลงค�าปลก

2) สงทโจทยก�าหนด คอ อตราสวนของตนเขมกบตนแกวเปน 5 : 2 และ

จ�านวนตนเขมทลงค�าปลกทงหมดม95ตน

ขนท2 วางแผนแกปญหาโดยใชสดสวน

จากจ�านวนทโจทยถามและจ�านวนทโจทยก�าหนดจะไดวา

ใหลงค�าปลกตนแกวทงหมดaตน

เมอลงค�าปลกตนเขม95ตน

น�าจ�านวนตนเขมทปลกเสรจตอจ�านวนตนแกวทปลกเสรจกบอตราสวน5:2

มาเขยนสดสวนโดยจ�านวนตนแกวเปนจ�านวนทหนงและจ�านวนตนเขมเปน

จ�านวนทสองของอตราสวนทงสองชดดงน

จ�านวนตนแกว

จ�านวนตนเขม

a

95

2

5=

ขนท3 ดาเนนการตามแผนทวางไว

ใชการคณไขวและการแกสมการ

จาก a95=

25

จะได a = 25 × 95

= 38

นนคอลงค�าปลกตนแกวทงหมด38ตน

ขนท4 ตรวจสอบคาตอบ

ถาลงค�าปลกตนเขม95ตนและปลกตนแกว38ตน

อตราสวนเปรยบเทยบจ�านวนตนเขมตอจ�านวนตนแกว

เปน95:38หรอ5:2ซงเปนไปตามทโจทยก�าหนด

ดงนนลงค�าปลกตนแกวทงหมด38ตน ตอบ

ตวอยางท 9

¢ŒÍ¤ÇÃÃÐÇѧ จ�านวนไขไกตอจ�านวนไขเปดเปน5:3ถามจ�านวนไขไก30ฟองจะมจ�านวน

ไขเปดกฟอง

จากอตราสวนทก�าหนดใหสามารถน�ามาเขยนเปนสดสวนไดดงน

5:3=x:30 5:3=30:xเมอxแทนจ�านวนไขเปด เมอxแทนจ�านวนไขเปด

✘ ✔

จ�านวนทหนง(สงเดยวกน)

จ�านวนทสอง(สงเดยวกน)

=

14 15

โครงการเกษตรทฤษฎใหม1ตามแนวพระราชดารของพระบาทสมเดจพระเจาอยหวภมพล-

อดลยเดช บรมนาถบพตร (รชกาลท 9) จะจดสรรททากนใหเหมาะสม โดยแบงพนทในการ

ทานาตอพนทปลกพชสวนและพชไรตอพนทสรางบอกกเกบนาตอพนทสรางบานเรอนและถนน

เปน30:30:30:10ถาลงคาดาเนนตามโครงการนและใชพนทในการทานา540ตารางวา

จงหาวาลงคามจานวนทดนทงหมดกตารางวา

วธทา ขนท1 ทาความเขาใจโจทยปญหาโดยพจารณา

1) สงทโจทยถามคอจ�านวนทดนทงหมดของลงค�า

2) สงทโจทยก�าหนดคอพนทในการท�านาตอพนทปลกพชสวนและพชไร

ตอพนทสรางบอกกเกบน�าตอพนทสรางบานเรอนและถนนเปน

30:30:30:10และลงค�าใชพนทในการท�านา540ตารางวา

ขนท2 วางแผนแกปญหาโดยใชสดสวน

จากอตราสวนพนทในการท�านาตอพนทปลกพชสวนและพชไรตอพนท

สรางบอกกเกบน�าตอพนทสรางบานเรอนและถนนเทากบ30:30:30:10

จะไดอตราสวนพนทในการท�านาตอพนทปลกพชสวนและพชไรตอพนท

สรางบอกกเกบน�าตอพนทสรางบานเรอนและถนนตอพนททงหมด

เทากบ30:30:30:10:100

จากจ�านวนทโจทยถามและจ�านวนทโจทยก�าหนดจะไดวา

ใหลงค�ามทดนทงหมดaตารางวา

เมอลงค�าใชพนทในการท�านา540ตารางวา

น�าจ�านวนทโจทยถามตอจ�านวนทโจทยก�าหนดกบอตราสวนพนทใน

การท�านาตอพนททงหมดเขยนสดสวนโดยพนททงหมดเปนจ�านวนทหนง

และพนททใชในการท�านาเปนจ�านวนทสองของอตราสวนทงสองชดดงน

พนททงหมด

พนททใชในการท�านา

= 10030

a540

ตวอยางท 10 ขนท3 ดาเนนการตามแผนทวางไว

ใชการคณไขวและการแกสมการ

จาก a540=

10030

จะได a = 10030 ×540

= 1,800

นนคอลงค�ามทดนทงหมด1,800ตารางวา

ขนท4 ตรวจสอบคาตอบ

ถาลงค�ามพนททงหมด1,800ตารางวาแบงพนทเพอใชในการท�านา

เปนจ�านวน540ตารางวา

อตราสวนของพนททงหมดตอพนทในการท�านาเปน1,800:540

หรอ100:30ซงเปนไปตามทโจทยก�าหนด

ดงนนลงค�ามทดนทงหมด1,800ตารางวา ตอบ

1. พอวางแผนปลกตนลาไยและตนลนจในสวนโดยใหจานวนตนลาไยตอจานวนตนลนจ

เปน6:9เมอพอปลกเสรจปรากฏวามตนลนจจานวน72ตนจงหาวาพอปลกตนลาไย

จานวนกตน

2. รปสามเหลยมรปหนงมอตราสวนของดานทงสามเปน5:12:13ถาเสนรอบรปของ

รปสามเหลยมรปนยาวเทากบ90เซนตเมตรจงหาความยาวของดานทสนทสด

ลองท�าด

จากโครงการเกษตรทฤษฎใหม1ตามแนวพระราชด�ารของพระบาทสมเดจพระเจาอยหวภมพล-

อดลยเดชบรมนาถบพตร(รชกาลท9)ในตวอยางท10ถาลงค�ามทดนทงหมด1,800ตารางวา

นกเรยนคดวาลงค�าใชพนทสรางบอกกเกบน�ารวมกบพนทสรางบานเรอนและถนนทงหมดกตารางวา

Thinking Time

จากล�าดบขนตอนการแกโจทยปญหาเกยวกบสดสวน ซงแสดงในตวอยางท 9 และ 10

เมอนกเรยนฝกจนช�านาญแลว อาจแสดงวธท�าโดยไมตองแสดงรายละเอยดในแตละขนตอนได

ดงตวอยางตอไปน

1 ทฤษฎใหม.สบคนเมอ18ตลาคม2560,จากhttp://www.chaipat.or.th/site_content/922-2010-06-02-07-43-39/1301- 2010-06-03-05-40-47.html

1 ทฤษฎใหม.สบคนเมอ18ตลาคม2560,จากhttp://www.chaipat.or.th/site_content/922-2010-06-02-07-43-39/1301-2010-06-03-05-40-47.html

16 17

นาแตงโมมสวนผสมของเนอแตงโม นาเชอม และนาเปลาตมสก โดยมอตราสวนของนาหนก

ดงนอตราสวนของเนอแตงโมตอนาเชอมเปน 10:3

อตราสวนของนาเชอมตอนาเปลาตมสกเปน1:10

อยากทราบวาถาใชนาเชอม45กรมจะไดนาแตงโมกกรม

วธทา อตราสวนของเนอแตงโมตอน�าเชอมเปน 10:3

อตราสวนของน�าเชอมตอน�าเปลาตมสกเปน 1:10

จะเหนวามน�าเชอมเปนตวรวมคอ1และ3ซงค.ร.น.ของ1และ3เทากบ3

จะได อตราสวนของน�าเชอมตอน�าเปลาตมสกเปน1×3:10×3=3:30

ดงนน อตราสวนของเนอแตงโมตอน�าเชอมตอน�าเปลาตมสกเปน10:3:30

จากอตราสวนของเนอแตงโมตอน�าเชอมตอน�าเปลาตมสกจะไดน�าแตงโมทงหมด

10+3+30=43กรม

ถาใชน�าเชอม45กรมจะไดน�าแตงโมทงหมดaกรม

เขยนสดสวนไดดงน

a45 =

433

a = 433 ×45

= 645

ดงนนจะไดน�าแตงโม645กรม ตอบ

ตวอยางท 11

นาเสาวรสมสวนผสมของเนอเสาวรสนาเชอมและนาเปลาตมสกโดยมอตราสวนของนาหนก

ดงน อตราสวนของเนอเสาวรสตอนาเชอมเปน 3:7

อตราสวนของนาเชอมตอนาเปลาตมสกเปน2:5

อยากทราบวาถาใชนาเชอม42ถวยตวงจะไดนาเสาวรสทงหมดกถวยตวง

ลองท�าด

กาหนดใหมาตราสวนของแผนผงตอไปนเทากบ1:12,000

สถาน�ตำรวจโรงเรยน โรงพยาบาล

วด

บาน

อยากทราบวามนตราเดนทางจากบานไปสถานตารวจตามแนวเสนประในแผนผงทกาหนดให

เปนระยะทางประมาณกกโลเมตร(ตอบเปนคาประมาณใกลเคยงทศนยม 1 ตาแหนง)

วธทา มาตราสวน1:12,000เปนอตราสวนของระยะทางในแผนผงตอระยะทางจรง

หมายความวาถาระยะทางในแผนผงยาว1เซนตเมตรระยะทางจรงยาว12,000

เซนตเมตร

วดระยะทางในแผนผงจากบานถงสถานต�ารวจตามแนวเสนประยาวประมาณ12.3

เซนตเมตร

ใหระยะทางจรงจากบานถงสถานต�ารวจเทากบxเซนตเมตร อตราสวนของระยะทางในแผนผงตอระยะทางจรงเปน12.3:x

เขยนสดสวนไดดงน

12.3x = 1

12,000

x = 12.3×12,000

= 147,600เซนตเมตร

เนองจาก 100 เซนตเมตร เทากบ 1เมตร

จะได 147,600 เซนตเมตร เทากบ 147,600100 =1,476เมตร

เนองจาก 1,000 เมตร เทากบ1กโลเมตร

จะได 1,476 เมตร เทากบ 1,4761,000 =1.476กโลเมตร

ดงนนบานอยหางจากสถานต�ารวจประมาณ1.5กโลเมตร ตอบ

ตวอยางท 12

น�าแตงโมมสวนผสมของเนอแตงโมน�าเชอมและน�าเปลาตมสกโดยมอตราสวนของน�าหนกดงน

อตราสวนของเนอแตงโมตอน�าเชอมเปน 6:3

อตราสวนของน�าเชอมตอน�าเปลาตมสกเปน4:13

อยากทราบวาถาใชเนอแตงโม550กรมและน�าเชอม450กรมจะไดน�าแตงโมกกรม

Thinking Time

5.6ซม.

2ซม.

0.5ซม.3.4ซม.

0.8ซม.

18 19

แผนผงของโรงเรยนแหงหนงกาหนดมาตราสวน1:3,000ถาระยะทางทวดไดในแผนท

จากสนามฟตบอลไปอาคารAเทากบ10เซนตเมตรจงหาวาระยะทางจรงเทากบกเมตร

ลองท�าด

แบบฝกทกษะ 1.2ระดบ พนฐาน

ระดบ กลาง

1. จงหาคาตวแปรในสดสวนของแตละขอตอไปน

1) 7x=

2133

4) a2.5=

415

2) 67=30m

5) 4.8y =68

3) 12y =278

6) 4.54 = n28

2. บรษทแหงหนงมเครองจกรเครองหนงผลตอปกรณคอมพวเตอรได 190 ชน ในเวลา 2

ชวโมงอยากทราบวาถาบรษทแหงนตองการผลตอปกรณคอมพวเตอร2,500ชนโดยใช

เครองจกรนจะตองใชเวลากชวโมง

3. โรงเรยนแหงหนงเสยคาน�าประปาตอคาไฟฟาในเดอนมกราคม2560เปนอตราสวน2:7

ถาในเดอนมกราคมนโรงเรยนเสยคาไฟฟาเปนเงน 350,000 บาท จงหาวาโรงเรยนแหงน

เสยคาน�าประปาเปนเงนกบาท

4. กลองใบหนงมอตราสวนของความสงตอความยาวตอความกวางเปน1:3:2ถากลองใบน

กวาง10เซนตเมตรกลองใบนมความจกลกบาศกเซนตเมตร

5. แผนผงของสถานททองเทยวแหงหนงก�าหนดมาตราสวน1ซม.:20ม.ถาระยะทางทวด

ไดในแผนผงจากอาคารAไปอาคารBเทากบ9เซนตเมตรจงหาระยะทางจรงทมหนวย

เปนกโลเมตร

6. อตราสวนอายของชตตออายของโชคเปน3 : 4อตราสวนอายของโชคตออายของชยเปน

4:5อยากทราบวาชตอายเทาไรเมอชยอาย35ป

7. ก�าหนดใหรปสามเหลยมFBIมอตราสวนของความยาวดานFB:BI:IFเปน7:5:3

จงหาวาดานBIยาวกเซนตเมตรถารปสามเหลยมนมความยาวรอบรป60เซนตเมตร

8. ก�าหนดใหรปสามเหลยมABCมอตราสวนของความยาวดานAB:BC:CAเปน2:7:6

ถารปสามเหลยมนมความยาวรอบรป75เซนตเมตรความยาวแตละดานเทากบเทาไร

9. รสาสรางแปลงปลกดอกไมเปนรปสามเหลยมโดยใหความยาวของดานทงสามเปนอตราสวน

ดงน ดานทหนงตอดานทสองเทากบ 4 : 5 และดานทสองตอดานทสามเทากบ 9 : 12

ถาความยาวรอบแปลงปลกดอกไมเทากบ60เซนตเมตรจงหาวาแตละดานของแปลงปลก

ดอกไมมความยาวเทากบกเซนตเมตร

ระดบ ทาทาย

10.ก�าหนดใหรปสเหลยมABCDมอตราสวนความยาวของดานดงนAB:BC=4:3,

BC:CD=2:3และCD:DA=3:1ถาดานCDยาว4.5เซนตเมตรอยากทราบวา

ความยาวเสนรอบรปของรปสเหลยมABCDนเทากบกเซนตเมตร

1.3 การนาความรเกยวกบอตราสวน สดสวน และรอยละไปใชในชวตจรง

1. อตราสวนและรอยละ จงพจารณาแผนปายตอไปน

จากแผนปายสวนลดราคาสนคาทระบวา

ส�าหรบสมาชกรบสวนลด 15% หมายความวา

ราคาทประกาศขาย100บาทลดราคาให15บาท

หรอกลาววาสมาชกจายเงน85บาท

เขยนเปนอตราสวนไดดงน

อตราสวนของจ�านวนเงนทลดราคาตอราคาทประกาศขายเปน 15:100

และ อตราสวนของจ�านวนเงนทสมาชกจายตอราคาทประกาศขายเปน85:100

เรยกการเปรยบเทยบจ�านวนใดจ�านวนหนงกบ100วารอยละหรอเปอรเซนต

เชน 15:100หรอ 15100แทนดวยรอยละ15 หรอ15%

4.5:100หรอ 4.5100แทนดวยรอยละ4.5หรอ4.5%

นกเรยนสามารถเขยนรอยละaหรอa%ในรปอตราสวนไดเปนa:100หรอ a100

BOOK

ส�าหรบสมาชกรบสวนลด15%

20 21

การเขยนอตราสวนใดๆ ใหอยในรปรอยละจะใชความรเรองการหาอตราสวนทเทากน

โดยใชหลกการคณหรอหลกการหาร เพอท�าใหจ�านวนหลงของอตราสวนเปน 100 และจะได

จ�านวนแรกของอตราสวนเปนคาของรอยละทตองการเชน

7 :20 = 35 :100กลาวไดวา 7เปนรอยละ 35ของ20

3.4 :25 =13.6:100กลาวไดวา3.4 เปนรอยละ13.6ของ25

8 :200= 4 :100กลาวไดวา 8เปนรอยละ 4ของ200

จงเขยนอตราสวน9:20ใหอยในรปรอยละ

วธทา 9:20 =9×5:20× 5

=45:100

=45%หรอรอยละ45

ดงนน9:20เขยนใหอยในรปรอยละไดเปนรอยละ45 ตอบ

จงเขยนอตราสวน23ใหอยในรปรอยละ(ประมาณเปนทศนยมสองตาแหนง)

วธทา 23 =

2 ×1003 ×100

=200300

=200÷ 3300÷ 3

≈ 66.67100

=66.67%หรอรอยละ66.67

ดงนน23เขยนในรปรอยละไดประมาณรอยละ66.67 ตอบ

ตวอยางท 13

ตวอยางท 14

จงเขยนอตราสวน3:4ใหอยในรปรอยละ

จงเขยนอตราสวน87ใหอยในรปรอยละ(ประมาณเปนทศนยมสองตาแหนง)

ลองท�าด

ลองท�าด

จงเขยนรอยละในแตละขอตอไปนใหอยในรปอตราสวน

1) 12% 2) 5 12 % 3) 5.75%

วธทา เนองจากรอยละเปนอตราสวนทมจ�านวนหลงเปน100จะไดวา

1) 12% = 12100หรอ

325

ดงนน12%เขยนในรปอตราสวนไดเปน 12100หรอ325หรอ3:25

2) 5 12 % =112 %=112100 หรอ 11

200 ดงนน5 12%เขยนในรปอตราสวนไดเปน 11200หรอ11:200

3) 5.75% =5.75100 =575

10,000 หรอ23400

ดงนน5.75%เขยนในรปอตราสวนไดเปน 57510,000หรอ

23400หรอ23:400

ตอบ

จงหาวาจานวนใดเปนรอยละ19.5ของ300

วธทา ใหaเปนรอยละ19.5ของ300

เขยนเปนสมการไดดงน

a=19.5100 ×300

a=58.5

ดงนน58.5เปนรอยละ19.5ของ300 ตอบ

ตวอยางท 15

ตวอยางท 16

จงเขยนรอยละในแตละขอตอไปนใหอยในรปอตราสวน

1) 15% 2) 3 34% 3) 2.25%

ลองท�าด

จงหาวาจานวนใดเปนรอยละ30ของ380

ลองท�าด

22 23

จงหาวา68เปนรอยละเทาใดของ204

วธทา ให68เปนรอยละaของ204

เขยนเปนสมการไดดงน

68= a100 ×204

เขยนสดสวนไดดงน

68204 =

a100

a =68 × 100204

a =3313

ดงนน68เปนรอยละ33 13ของ204 ตอบ

จงหาวา60เปนรอยละ25ของจานวนใด

วธทา ให60เปนรอยละ25ของa

เขยนเปนสมการไดดงน

60= 25100 ×a

เขยนสดสวนไดดงน

60a =25100

a =60 × 10025

a =240

ดงนน60เปนรอยละ25ของ240 ตอบ

ตวอยางท 17

ตวอยางท 18

จงหาวา32เปนรอยละเทาใดของ400

จงหาวา18เปนรอยละ30ของจานวนใด

ลองท�าด

ลองท�าด

แบบฝกทกษะ 1.3 กระดบ พนฐาน

ระดบ กลาง

1. จงเขยนอตราสวนในแตละขอตอไปนใหอยในรปรอยละ

1) 7:25 2) 13:30 3) 28.5:40 4) 74

2. จงเขยนรอยละในแตละขอตอไปนใหอยในรปอตราสวน

1) 0.075% 2) 42% 3) 150% 4) 1434%

3. จงหาวาจ�านวนใดเปนรอยละ54ของ120

4. จงหาวาจ�านวนใดเปนรอยละ28ของ600

5. จงหาวา16เปนรอยละเทาใดของ80

6. จงหาวา12.5เปนรอยละเทาใดของ500

7. จงหาวา23เปนรอยละ40ของจ�านวนใด

8. จงหาวา3015เปนรอยละ25ของจ�านวนใด

พลอยซอกลองดนสอกลองหนงราคา80บาทแลวนามาขายตอในราคา100บาทอยากทราบวา

พลอยขายกลองดนสอไดกาไรรอยละกบาท

วธทา ขนท1 ทาความเขาใจโจทยปญหาโดยพจารณา

1) สงทโจทยถามคอขายกลองดนสอไดก�าไรรอยละกบาท

2) สงทโจทยก�าหนดคอราคาทนของกลองดนสอเปนเงน80บาท

และขายกลองดนสอไปในราคา100บาท

ตวอยางท 19

2. การนาความรเกยวกบอตราสวน สดสวน และรอยละไปใชในชวตจรง ในชวตจรงหรอชวตประจ�าวน นกเรยนจะพบสถานการณทเกยวของกบรอยละอยเสมอ

ซงนกเรยนสามารถแกปญหาเกยวกบรอยละไดโดยใชอตราสวนทเทากนหรอสดสวนดงตอไปน

โจทยปญหาเกยวกบการคานวณกาไรและขาดทน

24 25

อมพรขายเครองคดเลข80เครองเปนเงน28,600บาทไดกาไร10%จงหาวาเครองคดเลขน

มตนทนราคาเครองละกบาท

วธทา ขนท1 ทาความเขาใจโจทยปญหาโดยพจารณา

1) สงทโจทยถามคอราคาตนทนของเครองคดเลขแตละเครอง

2) สงทโจทยก�าหนดคอขายเครองคดเลข80เครองเปนเงน28,600บาท

และไดก�าไร10%

ขนท2 วางแผนแกปญหาโดยเขยนสดสวน

ใหเครองคดเลขมราคาตนทนเครองละaบาท

วธท1

ขายเครองคดเลข80เครองไดเงน28,600บาท

จะไดวาขายเครองคดเลขเครองละ28,60080 =357.50บาท

อตราสวนราคาตนทนตอราคาขายเครองคดเลขเปนa:357.50

เมอขายไดก�าไร10%

หมายความวาราคาตนทนเปน100บาทไดก�าไร10บาท

อตราสวนราคาตนทนตอราคาขายเครองคดเลขเปน

100:110

เขยนสดสวนไดดงน

ราคาตนทน(ตอเครอง)

ราคาขาย(ตอเครอง)

= 100110

a357.50

วธท2

ราคาตนทนทงหมดของเครองคดเลข80เครองเทากบ80aบาท

อตราสวนราคาตนทนทงหมดตอราคาขายทงหมดเปน80a:28,600

เมอขายไดก�าไร10%

หมายความวา ราคาตนทน100บาทไดก�าไร10บาท

อตราสวนราคาตนทนตอราคาขายเปน100:110

ตวอยางท 20 ขนท2 วางแผนแกปญหาโดยใชสดสวน

ใหขายกลองดนสอไดก�าไรรอยละaเมอขายไปราคา100บาท

อตราสวนก�าไรตอราคาทนเปนa:100

และเมอพลอยซอกลองดนสอราคา80บาท

จะไดวาถาขายกลองดนสอจะไดก�าไรเปนเงน100-80=20บาท

อตราสวนของก�าไรตอราคาทนเปน20:80

เขยนสดสวนไดดงน

ก�าไร

ราคาทน

= 2080

a100

ขนท3 ดาเนนการตามแผนทวางไว

จาก a100 = 20

80

จะได a = 2080 ×100

a = 25

นนคอขายกลองดนสอไดก�าไรรอยละ25

ขนท4 ตรวจสอบคาตอบ

ถาการขายครงนไดก�าไร25%

จะไดก�าไรคดเปนเงน 25100 ×80=20บาท

เงนจ�านวนนเทากบเงนก�าไรทค�านวณจาก100-80=20บาท

ตามทโจทยก�าหนด

ดงนนพลอยขายกลองดนสอไดก�าไรรอยละ25 ตอบ

นสารตนนาเงนมาลงทนขายลกชนปงจานวน 520 บาท เมอนสารตนขายลกชนปงหมดแลว

ไดรบเงนทงหมด910บาทอยากทราบวานสารตนขายลกชนปงไดกาไรรอยละเทาไร

ลองท�าด

26 27

เขยนสดสวนไดดงน

ราคาตนทนทงหมด

ราคาขายทงหมด

= 100110

80a28,600

ขนท3 ดาเนนการตามแผนทวางไว

วธท1

จาก a357.50 = 100110

จะได a = 100×357.50110

a = 325

นนคอเครองคดเลขนมตนทนราคาเครองละ325บาท

วธท2

จาก 80a28,600 = 100110

จะได a = 100×28,600110×80

a = 325

นนคอเครองคดเลขนมตนทนราคาเครองละ325บาท

ขนท4 ตรวจสอบคาตอบ

ถาราคาตนทนเครองละ325บาทและขายในราคาเครองละ357.50บาท

จะไดก�าไรเปนเงน357.50-325=32.50บาท

คดเปนก�าไรรอยละ32.50×100325 =10ตามทโจทยก�าหนด

ดงนนเครองคดเลขนมตนทนราคาเครองละ325บาท ตอบ

นธศขายรองเทาวงหนงคเปนเงน4,500บาทไดกาไร5%จงหาวานธศซอรองเทาวงมาคละ

กบาท

ลองท�าด

จากล�าดบขนตอนการแกโจทยปญหารอยละซงแสดงในตวอยางท19และ20เมอนกเรยน

ฝกจนช�านาญแลว อาจแสดงวธท�าโดยไมตองแสดงรายละเอยดของแตละขนตอนได ดงตวอยาง

ตอไปน

รานคาขายโทรศพทเครองหนงราคา4,500บาทขาดทน10%ถาตองการขายใหไดกาไร10%

จะตองขายโทรศพทเครองนราคากบาท

วธทา ใหโทรศพทเครองนมราคาตนทนเครองละaบาท

ขายราคาเครองละ4,500บาท

อตราสวนราคาตนทนตอราคาขายโทรศพทเปนa:4,500

แตขายขาดทน10%

หมายความวา ราคาตนทนเปน100บาทขาดทน10บาท

อตราสวนของราคาตนทนตอราคาขายโทรศพทเปน100:90

จะได a4,500 =

10090

a = 100×4,50090

a = 5,000

นนคอโทรศพทเครองนมราคาตนทนเครองละ5,000บาท

ตองการขายใหไดก�าไร10%

หมายความวา ราคาตนทนเปน100บาทไดก�าไร10บาท

อตราสวนของราคาตนทนตอราคาขายโทรศพทเปน100:110

ใหขายโทรศพทราคาเครองละyบาท

อตราสวนของราคาตนทนตอราคาขายโทรศพทเปน5,000:y

จะได 5,000y = 100

110

y = 5,000×110100

y = 5,500

ดงนนจะตองขายโทรศพทราคาเครองละ5,500บาทจงจะไดก�าไร10% ตอบ

ตวอยางท 21

รานคาขายคอมพวเตอรเครองหนงราคา27,000บาทขาดทน20%ถาตองการขายใหไดกาไร

10%จะตองขายคอมพวเตอรเครองนราคากบาท

ลองท�าด

28 29

ตะวนซอเครองคดเลขเครองหนงไดสวนลด5%ของราคาทตดไวซงคดเปนเงนสวนลด

ทงหมด30บาทจงหาราคาทตดไว

ลองท�าด

โจทยปญหาเกยวกบการลดราคา

สภกษรซอโทรศพทเครองหนงไดสวนลด15%ของราคาทตดไวซงคดเปนเงนสวนลดทงหมด

750บาทจงหาราคาทตดไว

วธทา ใหตดราคาโทรศพทเปนเงนaบาท

ไดรบสวนลดทงหมด750บาท

อตราสวนของราคาทตดไวตอเงนสวนลดเปนa:750

ไดรบสวนลด15%ของราคาทตดไว

หมายความวา ตดราคาวทยไว100บาทจะไดรบสวนลด15บาท

อตราสวนของราคาทตดไวตอเงนสวนลดเปน100:15

จะได a750 =

10015

a = 100×75015

a = 5,000

นนคอตดราคาโทรศพทไว5,000บาท ตอบ

รานเพชรรตนตดราคาขายพดลมไว2,000บาทถาลดราคาใหผซอ5%รานเพชรรตนยงคง

ไดกาไร10%จงหาราคาตนทนของพดลม

วธทา ใหขายพดลมราคาaบาท

ตดราคาขายพดลมไว2,000บาท

อตราสวนของราคาขายตอราคาขายทตดไวของสนคานเปนa:2,000

ขายพดลมโดยลดราคา5%

หมายความวา ตดราคาขายพดลมไว100บาทจะขายพดลมไป95บาท

อตราสวนของราคาขายตอราคาทตดไวของพดลมเปน95:100

ตวอยางท 22

ตวอยางท 23

รานนาใสตดราคาขายเครองกรองนาเครองหนงไว3,000บาทถาลดราคาใหผซอ6%

รานนาใสยงคงไดกาไร20%จงหาราคาตนทนของเครองกรองนาน

ลองท�าด

โจทยปญหาเกยวกบการคานวณภาษมลคาเพม

รานสขใจยนตกาหนดราคาขายจกรยาน โดยคดจากราคาทตงไวบวกกบภาษมลคาเพม 7%

ของราคาทตงไวถาราคาทตงไวของจกรยานเทากบ2,400บาทรานจะตองกาหนดราคาขาย

จกรยานกบาท(ตอบเปนคาประมาณใกลเคยงจานวนเตมรอย)

วธทา ก�าหนดใหราคาขายจกรยานเทากบaบาท

ราคาทตงไวคอ2,400บาท

อตราสวนของราคาขายตอราคาทตงไวเปนa:2,400

เนองจากคดภาษมลคาเพม7%ของราคาทตงไว

หมายความวา ราคาทตงไว100บาทคดภาษมลคาเพม7บาท

อตราสวนของราคาขายตอราคาทตงไวเปน107:100

ตวอยางท 24

จะได a2,000 = 95

100

a = 95 ×2,000100

a = 1,900

นนคอขายพดลมราคา1,900บาท

ใหราคาตนทนของพดลมเทากบyบาท

อตราสวนของราคาตนทนตอราคาขายเปนy:1,900

การขายสนคานไดก�าไร10%

หมายความวา ราคาตนทนเปน100บาทไดก�าไร10บาท

อตราสวนของราคาตนทนตอราคาขายเปน100:110

จะได y1,900 =

100110

y = 100×1,900110

y ≈ 1,727.27

ดงนน ราคาตนทนของพดลมประมาณ1,727.27บาท ตอบ

30 31

จะได a2,400 =

107100

a = 107×2,400100

a = 2,568

≈ 2,600

ดงนนรานจะตองก�าหนดราคาขายจกรยานประมาณ2,600บาท ตอบ

รานยงยงสปอรตตดราคาขายเสอตวหนงไว550บาทแตราคาขายจรงจะตองบวกภาษ

มลคาเพม7%ของราคาทตดไวจงหาวารานยงยงสปอรตจะตองขายเสอตวนในราคากบาท

ลองท�าด

รานนานาภณฑซอกระเปาเดนทางมาในราคา 2,000 บาท และตองการขายกระเปาเดนทางน

ใหไดกาไร10%รานจงกาหนดราคาขายโดยคดภาษมลคาเพมอก7%ของราคาทขายไดกาไร

10%จงหาวารานจะตองกาหนดราคาขายกระเปาเดนทางนกบาทจงจะไดกาไรตามทตองการ

วธทา ใหราคาทยงไมรวมภาษมลคาเพมเปนxบาทและกระเปาเดนทางมราคาทน 2,000บาทตองการขายใหไดก�าไร10%ของราคาทน

จะได x2,000 =

110100

x = 110×2,000100

x = 2,200 นนคอราคาทยงไมรวมภาษเทากบ2,200บาท

ใหราคาขายทรวมภาษแลวเปนyบาทเมอคดภาษมลคาเพมอก7%

จะได y2,200 =

107100

y = 107×2,200100

y= 2,354

ดงนน ถาตองการก�าไร10%รานจะตองก�าหนดราคาขายกระเปาเดนทางน

เทากบ2,354บาท ตอบ

ตวอยางท 25

รานขายเครองใชไฟฟาซอเครองทานาอนมาในราคา3,000บาทและตองการขายเครองทา

นาอนนใหไดกาไร 8% รานคาจงกาหนดราคาขายโดยคดภาษมลคาเพมอก 7% ของราคา

ทขายไดกาไร 8% จงหาวารานขายเครองใชไฟฟาจะตองกาหนดราคาขายเครองทานาอนน

กบาทจงจะไดกาไรตามทตองการ

ลองท�าด

เมอฝากเงนไวกบธนาคารธนาคารจะใหดอกเบยโดยก�าหนดอตราดอกเบยเปนรอยละตอปแตอาจ

ก�าหนดวาระทครบก�าหนด เปน 3, 6, 12 เดอนหรอมากกวา การคดดอกเบยทถกตองจะตองคดปละ

365วน (ทงนไมวาปปฏทนทฝากนนจะม365หรอ366วนกตาม)ในกรณฝากเงนเปนเวลา3หรอ

6เดอนใหใชจ�านวนวนใน3เดอนหรอ6เดอนมาค�านวณเชน

การคดดอกเบยของเงนฝาก4,000บาทในระยะเวลา3เดอน(91วน)อตราดอกเบยรอยละ0.90

ตอปค�านวณดอกเบยไดดงน

ดอกเบยทไดรบเปนเงน4,000บาท× 91วน× 0.90365วน× 100

≈8.98บาท

ทมา:การค�านวณดอกเบยเงนฝากประจ�า3เดอนโดยไมหกภาษดอกเบยของธนาคารไทยพาณชย ณวนท30กนยายน2560

¤³Ôµน‹ารÙ

1. รานคาซอโทรศพทมอถอมาในราคาเครองละ3,000บาทและตดราคาขายโทรศพท

มอถอเครองละ 6,000 บาท แตเนองจากยอดจ�าหนายโทรศพทมอถอไมดรานคาแหงน

จงประกาศลดราคาโทรศพทมอถอเหลอ4,800บาทและลดราคาอกครงเหลอ3,840บาท

แตยงขายโทรศพทมอถอไมได จงลดราคาอกครงโดยการลดราคาครงนมรอยละของราคา

ทลดเทากบรอยละของการลดราคาสองครงทผานมาอยากทราบวาการลดราคาครงนจะยงคง

ไดก�าไรหรอขาดทนหรอเทาทน

2. สทน ด�ารงค และอภสทธ ไดฝากเงนกบคณครไวจ�านวนหนง โดยอตราสวน

จ�านวนเงนของสทนตอด�ารงคตออภสทธเปน7:5:3ตอมาสทนไดขอเงนคนจากคณคร

19บาทด�ารงคไดฝากเงนเพม39บาทและอภสทธไดฝากเงนเพม9บาทท�าใหอตราสวน

ของจ�านวนเงนสทนตอด�ารงคตออภสทธเปน9:13:6จงหาวาในตอนแรกสทนด�ารงค

และอภสทธฝากเงนกบคณครรวมกนเปนจ�านวนเงนกบาท

ค�าถามทาทายการคดขนสง

32 33

กจกรรม คณตศาสตร แบบฝกทกษะ 1.3 ขระดบ พนฐาน

ระดบ กลาง

1. หางสรรพสนคาประกาศลดราคาสนคาทกชนด15%ถาวนยไดรบสวนลดเมอซอพดลม

คดเปนเงน450บาทจงหาวาหางสรรพสนคาแหงนตดราคาขายพดลมเครองนกบาท

2. ในพ.ศ.2559บรษทผลตชนสวนของรถยนตไดรบผลก�าไรนอยกวาพ.ศ.2560อย12%

ถาใน พ.ศ. 2560 ไดรบผลก�าไร 23,000,000 บาท จงหาวา พ.ศ. 2559 บรษทแหงน

ไดรบผลก�าไรกบาท

3. แมคาซอไขไกมารอยละ 210 บาท ขายไขไกหมดไปฟองละ 3 บาท แมคาจะไดก�าไร

กเปอรเซนต

10. รานขายนาฬกาตดราคาขายนาฬกาเรอนหนงเปนเงน1,926บาทซงราคาทตดนเปนราคา

ทรวมกบภาษมลคาเพมทคดจาก7%ของราคานาฬกาเมอออมซอนาฬกาเรอนนในราคา

ทตดไวเงนจ�านวนนคดเปนราคานาฬกากบาท และเปนภาษมลคาเพมกบาท ถาตนทน

การผลตนาฬกาเรอนนเปนเงน1,406.25บาทรานขายนาฬกาจะไดก�าไรกเปอรเซนต

4. พอคาตดราคาขายตเยนหลงหนงเปนเงน7,800บาทโดยคดก�าไร30%ถาพอคาลดราคา

ตเยนหลงนให10%ของราคาทตดไวจงหาวาพอคาจะยงคงไดก�าไรกเปอรเซนต

5. สนสามน�าเกลอ 10% โดยน�าหนก จ�านวน 3,000 กรม ถาสนสาตองการน�าเกลอ 6%

จะตองเตมน�าอกกกรมจงจะไดน�าเกลอตามทตองการ

6. รานหนงสอตดราคาหนงสอต�ารากบขาวไวสงกวาตนทน20%แตถาลดราคาขายลง35บาท

รานคาจะไดก�าไรเพยง10%จงหาวาราคาตนทนของหนงสอต�ารากบขาวนเทากบกบาท

7. แมคาตดราคาทเรยนไวสงกวาตนทน25%แตตอมาลดใหผซอ120บาทซงขาดทน5%

ถาแมคาตองการก�าไร10%จะตองขายทเรยนกบาท

8. ตนทนโทรศพทมอถอราคาเครองละ6,000บาทรานคาจะตองตดราคาขายโทรศพทมอถอ

เครองนในราคาเครองละกบาทเมอลดใหผซอ20%แลวยงคงไดก�าไร30%

9. ในการตดราคาขายเครองคดเลขเครองหนงราคาทตดไวจะเปนราคาทไดจากราคา

เครองคดเลขทตงไวรวมกบภาษมลคาเพมทคดจาก7%ของราคาเครองคดเลขทตงไว

ถาตงราคาไว450บาทรานคาจะตองตดราคาขายสนคานกบาท

ระดบ ทาทาย

ใหนกเรยนแกโจทยปญหาโดยใชบารโมเดล (Bar model)

ตวอยาง รานขายเครองใชไฟฟาตดราคาขายตเยนไว 18,900บาทถาลดราคาใหผซอ 10%

รานขายเครองใชไฟฟายงคงไดก�าไร5%อยากทราบวาราคาตนทนของตเยนนเทากบกบาท

จากภาพท1จะไดวา

100หนวย เทากบ 18,900บาท

1หนวย เทากบ18,900100 =189บาท

ดงนนราคาขายตเยนหลงลดราคาใหผซอ10%คอ

90หนวย เทากบ189×90=17,010บาท

จากภาพท2จะไดวา

105หนวย เทากบ17,010บาท

1หนวย เทากบ17,010105 =162บาท

ดงนนราคาตนทนของตเยนนคอ

100หนวย เทากบ162×100=16,200บาท

ค�าถาม

รานขายเครองใชไฟฟาตดราคาขายเครองซกผาเครองหนงไว33,900บาทผานมา2ป

ยงขายเครองซกผาไมได จงประกาศลดราคาขาย15% เมอขายไดแลวพบวา รานขายเครองใช

ไฟฟาขาดทน5%จงหาวาราคาตนทนของเครองซกผานเทากบกบาท

ราคาขายตเยนหลงลดราคา

ราคาขายตเยนหลงลดราคา

18,900บาท

ราคาตนทน

ลด10%

90%

105%

100%

100%

0%

0%

ภาพท1

ภาพท2

ก�าหนดให

แทน100หนวย

ขอตกลง

0% 100%

34 35การแกโจทยปญหาเกยวกบการค�านวณก�าไรและขาดทน

สรปแนวคดหลก

อตราสวน

อตราสวนaตอbเขยนแทนดวยa:bหรอabอานวาaตอb

เรยกจ�านวนaในอตราสวนa:bวาจ�านวนแรกหรอจ�านวนทหนง

เรยกจ�านวนbในอตราสวนa:bวาจ�านวนหลงหรอจ�านวนทสอง

อตราสวนทเทากน

การหาอตราสวนทเทากบอตราสวนทก�าหนดใหโดยใชหลกการคณหรอหลกการหารดงน

ก�าหนดอตราสวนa:bและcเปนจ�านวนใดๆ ทไมเทากบศนยแลวจะไดวา

a:b=ab=a×cb×c และa:b=

ab=

a÷cb÷c

การตรวจสอบการเทากนของอตราสวน

ก�าหนดอตราสวนabและcdเมอa,b,cและdเปนจ�านวนบวกสามารถตรวจสอบโดยใช

การคณไขวดงน

ab cd

พจารณาผลคณa×dและc×bวาเทากนหรอไมดงน

1. ถาa×d=c×b แลวab=cd

2. ถาa× d ≠c×b แลวab ≠ cd

อตราสวนของจานวนหลายๆ จานวน

เมอมอตราสวนสองอตราสวนใดๆ แสดงการเปรยบเทยบปรมาณของทมากกวาสองชนด

ขนไปหรอเปรยบเทยบจ�านวนหลายจ�านวนสามารถเขยนอตราสวนของจ�านวนหลายๆ จ�านวน

จากอตราสวนทงสองไดดงน

1. พจารณาจ�านวนทเปนตวรวมในอตราสวนทละค

2. ถาจ�านวนทเปนตวรวมในขอ1.เทากนเขยนอตราสวนของจ�านวนหลายๆ จ�านวนได

ทนท

3. ถาจ�านวนทเปนตวรวมในขอ1.ไมเทากนตองท�าตวรวมนนใหเทากนโดยใชหลกการคณ

หรอหลกการหารหรอค.ร.น.

อตราสวนทอง(goldenratio)1

ประมาณ2,000ปทผานมาสถาปนกและศลปนไดคนพบรปสเหลยมผนผาซงมคณสมบต

คอ หากแบงรปสเหลยมผนผาออกเปน 2 สวน โดยทสวนแรกเปนรปสเหลยมจตรสและสวน

ทสองเปนรปสเหลยมผนผา จะพบวา รปสเหลยมผนผาสวนทสองมอตราสวนระหวางความยาว

ตอความกวาง เทากบอตราสวนระหวางความยาวตอความกวางของรปสเหลยมผนผาเดม เปน

1.618033:1(1.618033เปนคาประมาณ)เรยกอตราสวนดงกลาววาอตราสวนทองและเรยก

รปสเหลยมผนผาทมอตราสวนระหวางความยาวตอความกวางเปนอตราสวนทองวา รปสเหลยม

ผนผาทองรปสเหลยมผนผาทองนยมน�าไปใชในการออกแบบตางๆ ดงตวอยางตอไปน

นอกจากน นกคณตศาสตรยงไดตงขอสงเกตวา สดสวนของรางกายมนษยใกลเคยงกบ

อตราสวนทองอกดวยเชน

1. ความยาวของนวชหารดวยความยาวจากปลายนวชถงขอทสองของนวช

2. ความยาวจากไหลถงปลายนวมอหารดวยความยาวจากขอศอกถงปลายนวมอ

3. ความสงตงแตศรษะถงพนหารดวยความสงจากสะดอถงพน

4. ความยาวจากสะโพกถงพนหารดวยความยาวจากหวเขาถงพน

นกเรยนคดวาขอสงเกตดงกลาวขางตนเปนจรงหรอไมและใหยกตวอยางสงของเครองใช

ในชวตประจาวนทใกลเคยงกบอตราสวนทองมา3อยางพรอมทงอธบายคาตอบ

คณตศาสตรในชวตจรง

1 ความมหศจรรยของเลขฟโบนกชตอนท2:1.618สดสวนมหศจรรยแหงธรรมชาต.สบคนเมอ18ตลาคม2560, จากhttp://www.scimath.org/article_mathematics/item/7583-2-1-618

การออกแบบสถาปตยกรรมประตมากรรมเชนวหารพารเธนอนในกรงเอเธนสประเทศกรซ

36 37

สดสวน

ประโยคทแสดงการเทากนของอตราสวนสองอตราสวนเรยกวาสดสวน

การแกโจทยปญหาเกยวกบสดสวน

การแกโจทยปญหาเกยวกบสดสวนโดยใชแนวคดของโพลยาม4ขนตอนดงน

ขนท1 ทาความเขาใจโจทยปญหาโดยพจารณา

1) สงทโจทยถาม

2) สงทโจทยก�าหนด

ขนท2 วางแผนแกปญหา

น�าจ�านวนทโจทยก�าหนดและจ�านวนทโจทยถามเขยนสดสวนแสดงอตราสวนโดยให

จ�านวนในแตละอตราสวนมล�าดบเดยวกนดงน

จ�านวนทหนง(สงเดยวกน)

จ�านวนทสอง(สงเดยวกน)

=

ขนท3 ดาเนนการตามแผนทวางไวเพอหาคาตวแปร

โดยใชความรเรองสดสวนและการแกสมการ

ขนท4 ตรวจสอบคาตอบ

อตราสวนและรอยละ

การเปรยบเทยบจ�านวนใดจ�านวนหนงกบ100เรยกวารอยละหรอเปอรเซนต

นกเรยนสามารถเขยนรอยละaหรอa%ในรปอตราสวนไดเปนa:100หรอ a100

การนาความรเกยวกบอตราสวนสดสวนและรอยละไปใชในชวตจรง

นกเรยนสามารถแกปญหาเกยวกบรอยละในชวตจรงหรอชวตประจ�าวนได โดยใชอตราสวน

ทเทากนหรอใชสดสวน

แบบฝกทกษะประจาหนวยการเรยนรท 1

1. จงแสดงใหเหนวาอตราสวนทก�าหนดใหในแตละขอตอไปนเปนอตราสวนทเทากนหรอไม

1) 12:13และ6:7

3) 16:17และ8:3

2) 15:17และ45:51

4) 19:20และ58:60

2. จงเขยนอตราสวนซงเทากบอตราสวน36:64มาอก5อตราสวน

3. ก�าหนดx:y=7:3และy:z=18:36จงเขยนอตราสวนของx:y:z

4. จงหาวาจ�านวนใดเปนรอยละ37ของ250

5. จงหาวา64เปนรอยละเทาใดของ160

6. จงหาวา75เปนรอยละ15ของจ�านวนใด

7. ถาp-58 =74แลวคาของp+2เทากบเทาใด

8. ฟารมแหงหนงเลยงสตวไว3ชนดคอเปดไกและววเปนอตราสวนดงนจ�านวนเปดตอ

จ�านวนไกเปน 7 : 8 และจ�านวนววตอจ�านวนไกเปน 5 : 6 ถาฟารมแหงนเลยงสตว

ทงสามชนด4,745ตวจงหาวาฟารมแหงนเลยงเปดมากกวาววกตว

9. รปสเหลยมคางหมรปหนงมอตราสวนของความสงตอความยาวของดานคขนานสองดาน

เปน2:3:5ถารปสเหลยมคางหมรปนมความสง10เซนตเมตรพนทของ

รปสเหลยมคางหมรปนเทากบกตารางเซนตเมตร

10. แทงไมทรงสเหลยมมมฉากอนหนง มอตราสวนของความยาวตอความกวางเปน 3 : 2

และอตราสวนของความกวางตอความสงเปน3:5ถาปรมาตรของแทงไมนเทากบ4,320

ลกบาศกเซนตเมตรจงหาความกวางความยาวและความสงของแทงไมน

11. พอคาตดราคาโทรทศนไว8,500บาทถาพอคาลดราคาใหผซอเงนสด10%แลวยงคงได

ก�าไร20%พอคาซอโทรทศนเครองนมาราคากบาท

12. รานขายเครองใชไฟฟาตดราคาขายตเยนเปนเงน5,564บาทซงราคาทตดไวรวมกบภาษ

มลคาเพม7%ของราคาตเยนจงหาวา

1) ผซอจะตองจายเปนคาภาษมลคาเพมกบาท

2) ถาตนทนของตเยนเปนเงน4,000บาทรานขายเครองใชไฟฟาจะไดก�าไรกเปอรเซนต

38 39