Roman Kubínek

Sbírka příkladůz

elektřiny a magnetismu

Tato sbírka příkladů slouží k procvičení učiva přednášeného v rámci přednášek KEF/EMGElektřina a magnestimus.

K U P O

Obsah1. Elektrostatika 2

1.1. Řešené příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2. Neřešené příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2. Stacionární elektrický proud 212.1. Řešené příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2. Neřešené příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3. Stacionární magnetické pole 363.1. Řešené příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.2. Neřešené příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4. Nestacionární elektromagnetické pole 434.1. Řešené příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.2. Neřešené příklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

verze z 30. října 2011 © volně šířitelný text

Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republikyv rámci projektu Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky (CZ.1.07/2.2.00/07.0018).

1. Elektrostatika1.1. Řešené příkladyPříklad 1.1 Jakou silou by na sebe působily dvě koule ve vzdálenosti 1 km, má-li každá náboj 1 C?

rFF

QQ

1221

1 2

ŘešeníQ1 = Q2 = 1C F = k Q1Q2

r2

r = 103 m F = 9 · 109 1106 = 9 · 103 N

Příklad 1.2 Jaká je odpudivá síla, která by působila mezi atomovým jádrem atomu zlata a jádrem atomuhélia (částice α) při vzájemné vzdálenosti r = 10−14 m? Určete zrychlení částice α .

r a

HeAu79 2

ŘešeníQ1 = −79e = −1,266 · 10−17 C F = k Q1Q2

r2

Q2 = −2e = −3,204 · 10−19 C F = 9 · 109 1,266·3,204·10−36

10−28 = 365 Nr = 10−14 m a = F

mα

mα = 6,64 · 10−27kg a = 3656,64·10−27 = 5,5 · 1028 m · s−2

Příklad 1.3 V Bohrově modelu atomu vodíku obíhá elektron po kruhové dráze o poloměru r = 5,28 ·10−11 m kolem protonu. Vypočtěte:

• počet oběhů kolem jádra za 1 s,

• jaká je obvodová rychlost pohybu elektronu na této dráze.

r

p+

e-

Fd

Řešeníe = 1,602 · 10−19 C Fe = Fdostřme = 9,109 · 10−31 kg k e2

r2 = m v2

r

r = 5,28 · 10−11 m v = e√

kmr

v = 1,602 · 10−19√

9·109

9,109·5,28·10−42 = 2,19 · 106 m · s−2

f = v2πr

f = 2,19·106

2·3,14·5,28·10−11 = 6,6 · 1015 Hz

2

Příklad 1.4 Dva bodové náboje 1,5·10−7 C opačných znamének jsou vzdáleny 10 cm. Vypočtěte intenzituelektrického pole v bodě, který je od kladného náboje vzdálen 20 cm a od záporného 15 cm.

r

E

+Q-Q

r1

r2

E1

E2

ŘešeníQ = 1,5 · 10−7 C r2 = r2

1 + r22 − 2r1r2 cos α

r = 0,1m cos α = r21+r2

2−r2

2r1r2

r1 = 0,2m cos α = 0,04+0,0225−0,010,06 = 0,875

r2 = 0,15m E1 = k Qr2 = 9 · 109 1,5·10−7

0,04 = 3,375 · 104 V·m−1

E2 = k Qr2 = 9 · 109 1,5·10−7

0,0225 = 6 · 104 V·m−1

E =√

E21 + E2

2 − 2E1E2 cos αE =

√3,3752 · 108 + 62 · 108 − 2 · 3,375 · 6 · 108 · 0,875 = 3,457 · 104 V · m−1

Příklad 1.5 Intenzita elektrického pole mezi dvěma rovnoběžnými deskami nabitými nesouhlasnýmináboji je E = 10V·m−1. Je-li plocha každé desky S = 10−2 m2, určete jejich náboje (nepřihlížejte k rozptylusiločár na okrajích desek a uvažujte homogenní pole).

S

E

-Q

+Q

S

ŘešeníE = 10V·m−1 E = σ

ε0S = 10−2 m2 Q = Sσ = SEε0

Q = 10−2 · 10 · 8,854 · 10−12 = 8,854 · 10−13 C

Příklad 1.6 Ve vertikálním homogenním elektrickém poli deskového kondenzátoru, mezi jehož deskamije napětí U = 6 000V, se vznáší záporně nabitá kapka oleje o hmotnosti m = 10−8 g. Je-li vzdálenostdesek d = 2cm, vypočtěte:

• náboj kapky,

• počet volných elektronů v kapce.

F

d U

g

Fm

mq

3

ŘešeníU = 6 000V Fe = FGm = 10−11 kg QE = mg, E = U

dd = 0,02m Q = mgd

UQ = 10−11·9,81·0,02

6000 = 3,33 · 10−15 C

n = Qe = 3,33·10−15

1,602·10−19 = 2 083

Příklad 1.7 Tenký drát je stočený do tvaru kružnice o poloměru R = 5 cm a nabit rovnoměrně rozlože-ným nábojem Q = 6 · 10−7 C. Vypočtěte:

• intenzitu elektrického pole na kolmici k rovině závitu vztyčené ve středu závitu v bodě vzdáleném10 cm od středu závitu,

• jaká je intenzita ve středu závitu,

• v kterém bodě na výše uvedené kolmici má intenzita největší hodnotu.

R

Q

E

rx

y

z

d

dl

ŘešeníQ = 6 · 10−7 C −→r = −→i x − −→j y − −→k zR = 5 · 10−3 m r =

√x2 + R2

d = 0,1m y = R cos α, z = R sin αdl = Rdα−→dE = 1

4πε0τdl

(x2+R2)32

(−→i x − −→j y − −→k z)

−→dE = 14πε0

τRdα(x2+R2)

32

(−→i x − −→j R cos α − −→k sin α)

−→E =∫ 2π

0−→dE = 1

4πε0τR

(x2+R2)32

∫ 2π0

(−→i x − −→j R cos α − −→k R sin α)

dα−→E = 1

4πε0τR

(x2+R2)32

−→i 2πx = −→i 14πε0

Q(x2+R2)

32x

E(x = d) = 9 · 109 6·10−7

(0,12+0,052)320,1

.= 3,86 · 105 V · m−1

E(x = 0) = 0 V · m−1

dEdx = Q

4πε0ddx ( x

(x2+R2)32) = Q

4πε0−2x2+R2

(x2+R2)52

dEdx = 0 ⇔ x = R√

2 m

Příklad 1.8 Mezi dvěma rovnoběžnými deskami vzdálenými od sebe d = 2 cm je napětí U = 1 000V.Vypočtěte, jakou rychlostí by dopadl na kladnou desku elektron, který vystoupil ze záporné deskys nulovou počáteční rychlostí.

d UF

m

-q

4

Řešeníd = 0,02m E = U

d , F = eE, a = Fm

U = 1 000V a = eUmd

d = 12 at2, v = at

v = eUmd

√2da =

√2eUm

v =√

2·1,602·10−19·103

9,109·10−31 = 1,88 · 107 m · s−1

Příklad 1.9 Plocha tvaru polokoule o poloměru R je nabita kladným nábojem rozloženým s konstantníplošnou hustotou σ . Vypočtěte intenzitu a potenciál elektrického pole ve středu polokoule.

R

E rdS[x’,y’,z’]

x

y

z

Řešeníσ −→r = −→i x ′ + −→j y′ + −→k z′

R x′2 + y′2 + z′2 = R2

sférické souřadnice: x′ = R cos α, y′ = R sin α cos β, z′ = R sin α sin βdQ = σdSdS = R2αβ−→dE = 1

4πε0

dQr3

−→r = 14πε0

σdSR3

(−→i x′ + −→j y′ + −→k z′)

−→dE = 14πε0

σR2dαdβR3

(−→i R cos α + −→j R sin α cos β + −→k R sin α sin β)

−→E =∫ ∫ −→dE = σ

4πε0

∫ π2

0∫ 2π

0

(−→i cos α + −→j sin α cos β + −→k sin α sin β)

dαdβ−→E = −→i σ

2ε0

dϕ = 14πε0

dQr = 1

4πε0σRdαdβ

ϕ =∫ ∫

dϕ = σR4πε0

∫ π2

0∫ 2π

0 dαdβ = π4ε0

σR

Příklad 1.10 Záporný bodový náboj −Q je umístěn v bodě o souřadnicích (0, −a, 0), kladný bodovýnáboj +Q je umístěn v bodě (0, +a, 0). Vypočtěte tok Φe vektoru elektrické intenzity plochami kruhu opoloměru R se středem v počátku souřadné soustavy a ležícím v rovině (x, 0, z).

+Q

-Q

dS

r

r1

r2

E1

E2

E

x

y

z

5

ŘešeníQ E = −j2E1 sin α = −j2 1

4πε0

Qr2

1

ar1

= −j 12πε0

Qa

(a2+r2)32

a dS = −jrdrdαdΦe = E · dS = 1

2πε0Qa rdrdα

(a2+r2)32

Φe = 12πε0

Qa∫ R

0rdr

(a2+r2)32

∫ 2π0 dα = Qa

ε0

∫ √a2+R2

adtt2 = a −

√a2 + R2 = a

(1 −

√1 +

(Ra)2)

Příklad 1.11 Tenký, velmi dlouhý, přímý drát je nabit nábojem rozloženým s konstantní lineární hus-totou τ . Pomocí Gaussovy elektrostatické věty vypočtěte intenzitu elektrického pole ve vzdálenosti r oddrátu.

t

E

r

ŘešeníGaussova plocha (válec) ∆S = 2πr∆l

Qc = τ∆lE∆S = Qc

ε0E = τ

2πrε0

Příklad 1.12 Velmi dlouhá, válcová plocha o poloměru R je nabitá nábojem rovnoměrně rozloženýms konstantní plošnou hustotou σ . Pomocí Gaussovy elektrostatické věty vypočtěte intenzitu elektrickéhopole ve vzdálenosti r od osy válcové plochy.

E

r

R

Řešení∆S = 2πr∆l ∆Φ = ∆Q

ε0

∆Φ = E∆S = 2πr∆lE 2πr∆lE = 2πR∆lσε0

∆Q = σ2πR∆l E = σRε0r

Příklad 1.13 Jak velký by musel být poloměr osamocené vodivé koule, která by se elektrickým nábojemQ = 5 · 10−6 C nabila na potenciál ϕ = 104 V?

r

Q f

Řešeníϕ = 104 V ϕ = 1

4πε0

Qr

Q = 5 · 10−5 C r = 14πε0

Qϕ

r = 9 · 109 5·10−6

104 = 4,5 m

6

Příklad 1.14 Z vodivé mýdlové bubliny poloměru R = 2 cm a nabité na potenciál ϕ1 =1 000V vzniknepo prasknutí kapka o poloměru R2 = 0,05 cm. Jaký je potenciál kapky?

R

Q C1

1R

Q C2

2

ŘešeníR1 = 0,02m ϕ1 = k Q

r1, ϕ2 = k Q

r2

R2 = 5 · 10−4 m ϕ2 = ϕ1R1R2

ϕ1 = 103 V ϕ2 = 103 2·102

5·10−4 = 4 · 104 V

Příklad 1.15 Vzduchový kondenzátor se skládá ze dvou rovnoběžných blízkých desek a má kapacituC = 1 000 pF. Náboj každé desky je Q = 1 µC. Vypočtěte:

• jaké je napětí mezi deskami,

• zůstává-li náboj stejný, jaké bude mezi deskami napětí, jestliže jejich vzdálenost zdvojnásobíme,

• jakou práci musíme vykonat, aby bylo dosaženo zdvojnásobení vzdálenosti desek.

C

U

-Q

+Q

d

C

U

-Q

+Q

2d2

2

1

1

ŘešeníC1 = 10−9 F C = Q

UQ = 10−6 C U = Q

C1= 10−6

10−9 = 103 VC1 = ε0

Sd , C2 = ε0

S2d = C1

2U2 = Q

C2= 2 Q

C1= 2 · 103 V

W = E2 − E1, E = 12

Q2

CW = 1

2 Q2( 1C2

− 1C1

) = 12 Q2( 2

C1− 1

C1) = 1

2 Q2 1C1

W = 12 10−12109 = 5 · 10−3 J

Příklad 1.16 Desky kondenzátoru o ploše 20 cm2 jsou ve vzdálenosti 1mm. Mezi deskami kondenzátoruje napětí 400V. Jak velká přitažlivá síla působí mezi deskami?

d UF

12

S

F21

7

ŘešeníS = 2 · 10−3 m2 w = 1

2 ED = 12 ε0E2 = 1

2 ε0U2

d2

d = 10−3 m dW = wdV = wSdx = 12 ε0

U2

d2 SdxU = 400V F = dW

dx = 12 ε0

U2

d2 SF = 1

2 8,85 · 10−12 16·104

10−6 2 · 10−3 = 1,42 · 10−3 N

Příklad 1.17 Kondenzátor o kapacitě C1 = 20 µF byl nabit na napětí 1 000V a pak byl připojen paralelněk nenabitému kondenzátoru o kapacitě C2 = 5 µF. Vypočtěte:

• celkový náboj na soustavě kondenzátorů,

• konečné napětí na každém kondenzátoru,

• úbytek energie po připojení nenabitého kondenzátoru.

C

U1

1C

U2

2

U

C

U

ŘešeníC1 = 2 · 10−5 F Q = C1U = 2 · 10−5103 = 2 · 10−2CC2 = 5 · 10−6 F C = C1 + C2 = 2,5 · 10−5FU = 103 V U1 = U2 = Q

C = 2·10−2

2,5·10−5 = 800 VE = 1

2 CU21 = 1

2 2,5 · 10−56,4 · 105 = 8 JE1 = 1

2 C1U2 = 12 2 · 10−5106 = 10 J

∆E = E1 − E2 = 10 − 8 = 2 J

Příklad 1.18 Jak velká je výsledná kapacita soustavy kondenzátorů C1 = 1 200 pF, C2 = 600 pF, C3 =300 pF, C4 = 200 pF, C5 = 500 pF zapojených podle obrázku.

C1

C2

C3

C4

C5

ŘešeníC1 = 1,2 · 10−9 F C ′ = C3 + C4 = 5 · 10−10 FC2 = 6 · 10−10 F C ′′ = C1C2

C1+C2= 1,2·6·10−19

1,2·10−9+6·10−10 = 4 · 10−10 FC3 = 3 · 10−10 F C ′′′ = C ′C5

C ′+C5= 5·5·10−20

(5+5)10−10 = 2,5 · 10−10 FC4 = 2 · 10−10 F C = C ′′ + C ′′′ = (4 + 2,5)10−10 = 6,5 · 10−10 F= 650 pF

C5 = 5 · 10−10 F

8

Příklad 1.19 Vypočtěte hustotu polarizačních nábojů na povrchových rovinách slídové destičky (εr = 6)o tloušťce 2mm, která je izolátorem v rovinném kondenzátoru nabitém na napětí 400V.

d U

+ ++

-- -

ŘešeníU = 400V E = U

d = 4002·10−3 = 2 · 105 V·m−1

d = 2 · 10−3 m D = ε0E + P, D = ε0εrEεr = 6 P = (εr − 1)ε0E = σp

σp = 5 · 8,85 · 10−122 · 105 = 8,85 · 10−6 C · m−2

Příklad 1.20 Dvě rovnoběžné vodivé desky, každá o ploše 2·10−2 m2 jsou ponořeny do petroleje (εr = 2)ve vzájemné vzdálenosti 4mm. Určete sílu, kterou na sebe působí, je-li mezi nimi napětí U = 200V.

d UF

12

F21

ŘešeníU = 200V E = U

d = 2·102

4·10−3 = 5 · 104 V · m−1

S = 2 · 10−2 m2 w = 12 εE2, dV = Sdx, dW = wdV

d = 4 · 10−3 m F = dWdx = 1

2 ε0εrU2

d2 Sεr = 2 F = 1

2 8,85 · 10−122 4·104

16·10−6 2 · 10−2 = 4,42 · 10−4 N

Příklad 1.21 Bodový náboj q se nachází ve vzdálenosti a od nekonečné vodivé desky (uzemněné).Vypočtěte:

• plošnou hustotu náboje indukovaného na vodivé rovině,

• celkovou velikost indukovaného náboje na vodivé rovině,

• jakou práci vykonáme, vzdálíme-li náboj q do nekonečna.

+q

-

-

- a

-

Řešeníq E = − 1

2πε0

qa

(a2+r2)32

a σ = ε0E = − 12π

qa

(a2+r2)32

dQ = σdS = − 12π

qa

(a2+r2)32rdrdα

Q = − 12π qa

∫∞0

rdr

(a2+r2)32

∫ 2π0 dα = −ga

∫∞0

rdr

(a2+r2)32

= −qa∫∞

hdtt2 = −q

Wp =∫ a

∞1

4πε0

q2

4h2 dh = − 14πε0

q2

4h

9

Příklad 1.22 Dvě rovnoběžné desky jsou nabity náboji opačných znamének. Desky jsou odděleny die-lektrikem o relativní permitivitě εr = 5. Intenzita elektrického pole v dielektriku je 2·105 V·m−1. Vypočtěte:

• elektrickou indukci D v dielektriku,

• plošnou hustotu volného náboje na deskách,

• velikost vektoru polarizace P dielektrika,

• plošnou hustotu vázaného polarizačního náboje na povrchu dielektrika,

• složku intenzity elektrického pole E0 od volného náboje,

• složku intenzity elektrického pole Ep od vázaného náboje.

Ei

ŘešeníEi = 2 · 105 V·m−1 D = ε0εrE = 8,85 · 10−125 · 2 · 105 = 8,85 · 10−6 C · m2

εr = 5 E = σε0εr

, σ = ε0εrE = D = 8,85 · 10−6 C · m2

D = ε0E + P, P = 8,85 · 10−6 − 8,85 · 10−122 · 105 = 7,08 · 10−6 C · m−2

σp = P = 7,08 · 10−6 C · m−2

E0 = εrE = 5 · 2 · 105 = 106 V · m−1

Ep = σpε0

= Pε0

= 7,08·10−6

8,85·10−12 = 8 · 105 V · m−1

Příklad 1.23 Rovinný deskový kondenzátor je zpola zaplněn dielektrikem o relativní permitivitě εr podleobrázku. Určete kapacity v obou případech, je-li kapacita nezaplněného kondenzátoru rovna C0.

ŘešeníC0 C0 = Q

U0= Q

E0dεr C1 = Q

U = QE0

d2 + E0

εrd2

= QE0d

112 + 1

2εr= C0

2εrεr+1

C2 = C02 + εr

C02 = C0

1+εr2

Příklad 1.24 Mezera mezi deskami rovinného kondenzátoru má šířku d a je vyplněna dvěma dielek-triky. První má šířku d1 a relativní permitivitu εr1, druhé εr2. Plocha každé desky je S. Určete kapacitukondenzátoru.

er1

er2

S

d

d1

Ce

r1

er2

S

d

d1

C

2

C

1

2S

10

ŘešeníS C0 = Q

U0= Q

E0d

d, d1 U = E1d1 + E2(d − d1) = E0εr1

d1 + E0εr2

(d − d1) = E0

(d1εr1

+ d−d1εr2

)

εr1, εr2 C = QU = Qd

E0d1

d1εr1

+ 1εr2

(d−d1)= C0

dεr1εr2εr1d1+εr2(d−d1)

Příklad 1.25 Válcový kondenzátor o poloměrech elektrod r1 = 1mm, r2 = 5mm se vzduchovým dielek-trikem je nabitý na napětí U = 500V. Určete:

• náboj připadající na délkovou jednotku kondenzátoru,

• plošnou hustotu náboje na každém z válců,

• jaké budou tyto hodnoty, bude-li prostor mezi válci vyplněn dielektrikem o relativní permitivitěεr = 5 a kondenzátor bude opět nabit na napětí U = 500V.

r1

r2

U

er

ŘešeníU = 500V C1 = 2πε0

ln r2r1

r1 = 10−3 m Q1 = C1U = 2π8,85·10−12

ln 5 5 · 102 = 1,73 · 10−8 Cr2 = 5 · 10−3 m S1 = 2πr1l, S2 = 2πr2ll = 1m σ1 = Q1

S1= 1,73·10−8

6,28·10−3 = 2,75 · 10−6 C · m−2

εr1 = 1 σ2 = Q1S2

= 1,73·10−8

3,14·10−2 = 5,5 · 10−7 C · m−2

εr2 = 5 C2 = εr2C1Q′

1 = C2U = εrC1U = εrQ1 = 5Q1

σ ′1 = Q′

1S1

= 5σ1

σ ′2 = q′

1S2

= 5σ2

1.2. Neřešené příkladyCoulombův zákon

Příklad 1.26 Dvě kuličky mají náboje Q1 = 2 · 10−5 C, Q2 = −4 · 10−5 C. Jak velkou silou se přitahují,jsou-li ve vakuu ve vzdálenosti 4cm od sebe?

Příklad 1.27 Jak velký je elektrický náboj na každé z kuliček, které se po dotyku odpuzují ve vakuu zevzdálenosti r = 6 cm silou F = 0, 1N?

Příklad 1.28 Jak velké náboje Q je třeba umístit na dvě stejné kuličky o hmotnostech m = 10 g, abygravitační síly, kterými se kuličky navzájem přitahují, byly v kompenzovány elektrickými silami?

Příklad 1.29 Na dvou stejných kapkách vody je po jednom volném elektronu, přičemž síla elektrickéhoodpuzování je stejná jako gravitační síla, kterou se přitahují. Jaké jsou poloměry kapek?

Příklad 1.30 Dvě malé kuličky, každá o hmotnosti m = 3 · 10−5 kg jsou zavěšeny na vláknech délkyl = 20 cm ve společném bodě. Mají-li kuličky stejné souhlasné náboje, je jejich vzdálenost r = 5 cm.Určete náboj kuličky.

11

Příklad 1.31 Dvě malé vodivé kuličky jsou zavěšeny na dlouhých nevodivých nitích na jednom háčku.Kuličky jsou nabity stejnými náboji a jsou ve vzdálenosti r = 5 cm od sebe. Co se stane, když jednaz kuliček ztratí náboj?

Příklad 1.32 Dvě kuličky zanedbatelného průřezu jsou od sebe vzdáleny 1m. Jedna z nich je nabitanábojem 1 · 10−3 C, druhá nábojem −3 · 10−3 C. Určete:

• jak velkou silou se budou kuličky přitahovat,

• jak velkou silou na sebe budou kuličky působit, jestliže se před umístěním do předepsané vzdále-nosti dotkly.

Příklad 1.33 Ve vrcholech čtverce o straně a jsou stejné náboje e. Jaký náboj Q opačného znaménkamusíme umístit doprostřed čtverce, aby síly působící na každý náboj byly rovny nule? Je tato rovnováhastabilní?

Příklad 1.34 V jistém dielektriku působí na sebe dva bodové náboje Q1 a Q2 vzdálené od sebe rvzájemnou silou stejně velkou, jako na sebe působí ve vzduchu, změníme-li jejich vzdálenost o ∆r. Určeterelativní permitivitu dielektrika, znáte-li relativní permitivitu vzduchu.

Příklad 1.35 Dvě stejně velké kuličky s náboji Q1, Q2, zavěšené na společném závěsu, se přitahují vevzájemné vzdálenosti r1 silou F1. Dotknou-li se, budou se odpuzovat ve vzdálenosti r2 silou F2. Vypočítejtevelikost nábojů kuliček.

Příklad 1.36 Na tenkých dlouhých nevodivých vláknech jsou na témže závěsu zavěšeny dvě stejnékuličky, nabité stejnými elektrickými náboji. Vzdálenost středů kuliček je r. Jedné kuličce odejmemenáboj. Jaká bude potom vzdálenost mezi kuličkami?

Příklad 1.37 Dvě stejně velké kovové kuličky jsou elektricky nabité náboji Q1 = 20 · 10−6 C a Q2 =−16 ·10−6 C. Jaký bude elektrický náboj na kuličkách po jejich dotyku a jaká síla bude mezi nimi působit,bude-li jejich vzdálenost po dotyku 6 cm?

Příklad 1.38 Dva stejně velké bodové náboje ve vakuu ve vzdálenosti 0, 2 cm působí na sebe určitousilou F0. Do jaké vzdálenosti by bylo potřeba umístit tyto náboje v oleji o relativní permitivitě εr = 5,aby na sebe působily stejnou silou?

Příklad 1.39 Tři kuličky nabité stejným nábojem Q jsou ve vakuu rozmístěny ve vrcholech pravoúhléhotrojúhelníku s přeponou AC. Vzdálenost kuliček A a B je a = 2√

3 cm a kuliček B a C b = 1 cm. Víte-li, žekulička C působí na kuličku B silou FCB = 4 · 10−6 N, vypočítejte:

• náboj Q na kuličce,

• velikost síly FAB, kterou působí kulička A na B

• výslednou sílu FB působící na kuličku B

Příklad 1.40 Dva stejné bodové náboje 2 · 10−6 C působí na sebe ve vzduchu silou 4N. Ponoříme-li jedo oleje, síla působící mezi nimi bude 1N. Jaká je vzdálenost nábojů a jaká je relativní permitivita oleje?

Příklad 1.41 Dvě uhlíkové kuličky o hmotnosti m = 1 g jsou nabity záporným nábojem Q a jsou po-věšeny v jednom bodě na nitích délky l = 0, 1m. Silové působení má za následek, že nitě budou svíratúhel α = 60. Určete

• jakou elektrickou silou působí na sebe kuličky,

• jaký náboj je na kuličkách,

• jakou gravitační silou působí na sebe kuličky.

12

Příklad 1.42 Ve vrcholech A, B, C rovnostranného trojúhelníka se stranou a jsou umístěny stejné nábojeQ = 1,73 · 10−8 C. Jaký náboj Q′ je třeba umístit do středu trojúhelníka, aby výsledná síla působící nanáboje ve vrcholech trojúhelníka byla nulová?

Příklad 1.43 Jak velké náboje Q je třeba dát na dvě stejné kuličky o hmotnosti m = 10 g, aby elek-trostatické síly, kterými budou navzájem na sebe působit, kompenzovaly gravitační síly, kterými na sebekuličky působí.

Příklad 1.44 V jaké vzdálenosti se ve vakuu přitahují dva bodové náboje Q1 = 2·10−5 C a Q2 = −5·10−4 Csilou 10N?

Příklad 1.45 Dvě stejně velké kuličky jsou nabité náboji Q1 = 3,2 · 10−6 C a Q2 = −5,4 · 10−6 C. Určete:

• jakou silou se přitahují ze vzdálenosti 6 cm,

• jakou silou se budou odpuzovat po vzájemném dotyku ve vzdálenosti 8 cm.

Intenzita elektrostatického pole

Příklad 1.46 Určete velikost intenzity elektrického pole v bodě, který leží uprostřed mezi dvěma nábojiQ1 = 5 · 10−5 C, Q2 = 7 · 10−5 C, které jsou od sebe vzdáleny d = 0,2m.

Příklad 1.47 Ve dvou vrcholech rovnostranného trojúhelníka o straně r = 0, 5m jsou umístěny nábojeQ1 = 25 · 10−9 C a Q2 = −25 · 10−9 C. Určete velikost intenzity elektrostatického pole ve třetím vrcholu.

Příklad 1.48 Určete elektrickou intenzitu pole v bodě, který je ve vzdálenosti r1 = 0,4m od nábojeQ1 = −4 · 10−7 C a r2 = 0,3m od náboje Q2 = 5 · 10−7 C, je-li vzájemná vzdálenost nábojů r = 0,5m.

Příklad 1.49 Dva bodové opačné náboje 2 · 10−7C jsou od sebe vzdáleny r = 0,1m. Jaká je intenzitaelektrického pole v bodě, který je ve vzdálenosti r1 = 0,2m od prvního náboje a r2 = 0,15m od druhéhonáboje?

Příklad 1.50 Vypočtěte intenzitu elektrického pole v bodě na ose elektrického dipólu.

Příklad 1.51 Vypočtěte intenzitu elektrostatického pole v bodě na přímce kolmé k ose dipólu.

Příklad 1.52 Elektron vlétne počáteční rychlostí v0 = 107 m·s−1 do homogenního pole mezi dvěmarovnoběžnými deskami. Elektron vstupuje do pole uprostřed mezi deskami. Určete elektrickou intenzitumezi deskami za předpokladu, že elektron vystupuje z pole na okraji spodní desky. Délka desek jel = 2 cm, vzdálenost desek je d = 1 cm.

Příklad 1.53 Vypočtěte intenzitu elektrického pole vybuzeného nábojem rozděleným rovnoměrně nanekonečně dlouhém přímém vodiči. Lineární hustota náboje je τ .

Příklad 1.54 Vypočtěte intenzitu elektrického pole v bodě na ose kruhového prstence nabitého rovno-měrně s lineární hustotou náboje τ .

Příklad 1.55 Prstenec o poloměru 5 cm je rovnoměrně nabit nábojem Q = 5 · 10−8 C. Vypočtěte:

• elektrickou intenzitu E v bodě na ose prstence ve vzdálenosti 10 cm od středu,

• ve kterém bodě je E maximální a jakou má hodnotu.

Příklad 1.56 Vypočtěte intenzitu elektrického pole v okolí nekonečné roviny nabité s plošnou hustotouσ .

13

Příklad 1.57 Kulička o hmotnosti m = 0,1 g má náboj Q = 6 · 10−9 C a je zavěšena na vláknu, jehoždruhý konec je připevněn k velké svislé desce nabité s hustotou náboje σ = 25 · 10−7 C · m−2. Jaký úhelsvírá vlákno se svislým směrem?

Příklad 1.58 Kruhová destička o poloměru a = 8 · 10−2 m je rovnoměrně nabitá s plošnou hustotouσ = 2 · 10−5 C · m−2. Určete:

• elektrickou intenzitu v bodě na ose ve vzdálenosti b = 6 · 10−2 m od středu desky,

• dokažte, že odvozený vztah přejde ve vzorec pro intenzitu elektrického pole nekonečné roviny prob → 0 a ve vzorec pro intenzitu bodového náboje pro b → ∞, b ≪ a.

Příklad 1.59 Dva bodové náboje Q a −Q jsou umístěné ve vzájemné vzdálenosti 2a. Vypočtěte tokintenzity elektrického pole kruhovou plochou o poloměru R , jejíž střed leží na poloviční vzdálenostinábojů a plocha je kolmá na spojnici nábojů.

Příklad 1.60 Pomocí Gaussovy věty elektrostatiky odvoďte:

• elektrickou intenzitu v okolí nekonečně dlouhého nabitého vodiče,

• elektrickou intenzitu v okolí nekonečné nabité roviny.

Příklad 1.61 V bodech A, B jsou po řadě umístěny 2 bodové náboje −Q1, Q2 vzdáleny od sebe o délkur. V bodě C, vzdáleném od A o délku r1 a od bodu B o délku r2, zkoumáme intenzitu elektrického polev případě, že:

• body A, B, C tvoří pravoúhlý trojúhelník s přeponou AB,

• body A, B, C tvoří kosoúhlý trojúhelník,

• výslednou práci, kterou je nutno vykonat k přenesení kladného bodového náboje Q3 ze středustrany AB do bodu C.

Příklad 1.62 Vypočtěte intenzitu elektrického pole v okolí kovové kulové plochy nabité rovnoměrněrozděleným nábojem.

Příklad 1.63 Určete intenzitu elektrického pole a velikost náboje Q1, který ve vakuu elektrické polevytvořil, víte-li, že ve vzdálenosti 10 cm od náboje Q1 působí síla 10−2 N na náboj velikosti 10−8 C.

Příklad 1.64 Dva bodové náboje 2 · 10−8 C a 8 · 10−8 C jsou ve vakuu uloženy ve vzdálenosti 21 cm.Vypočtete, ve kterém místě na jejich spojnici bude intenzita elektrického pole nulová?

Příklad 1.65 V homogenním elektrickém poli E = 11,4 V · m−1 se nachází elektron. Vypočítejte:

• zrychlení elektronu, je-li jeho počáteční rychlost nulová,

• jeho kinetickou energii v čase t = 10−5 s,

• napětí v místech, kterými projde za t = 10−5 s.

Příklad 1.66 Mezi dvěma svislými rovinnými vodivými deskami, jejichž vzdálenost je 8mm padá rov-noměrně kapka o hmotnosti m = 9 · 10−14 kg, nabitá elektrickým nábojem 1, 6 · 10−17 C. Pokud není nadeskách U , padá kapka svisle dolů. Po připojení U = 450V padá pod úhlem α od svislého směru. Určetevelikost úhlu za předpokladu, že rychlost kapky je úměrná působící síle.

Příklad 1.67 Jak velké zrychlení získá proton, jestliže se pohybuje v homogenním elektrickém polis intenzitou E = 36 400 V · m−1 a jakou dráhu urazí za čas t = 10−8 s, byla-li jeho počáteční rychlostnulová?

14

Příklad 1.68 Jak velkou práci je třeba vykonat, aby se v homogenním elektrickém poli intenzity E =5 · 105 V · m−1 posunul náboj Q = 1C o vzdálenost l = 0,1m je směru odchýleném o úhel α = 60 odsměru E?

Příklad 1.69 Tenký kovový kroužek o poloměru R byl ve vakuu nabit kladným, rovnoměrně rozloženýmnábojem Q. Rotační osa kroužku nechť je osou x vztažné soustavy s počátkem umístěným ve středukroužku. Vypočítejte:

• elektrickou intenzitu v libovolném bodě osy x,

• ve kterých bodech osy x bude E největší a určete její velikost,

• jak velkou počáteční rychlost v0 musíme udělit kladně nabité částici o náboji q, hmotnosti m, kteráse nachází na ose x ve značné vzdálenosti od středu kroužku, aby dosáhla středu kroužku; conastane, bude-li počáteční rychlost nepatrně větší nebo menší než vypočtená hodnota.

Potenciál elektrostatického pole

Příklad 1.70 Dva náboje Q1 = 8 · 10−6 C a Q2 = 4 · 10−6 C jsou ve vzájemné vzdálenosti d = 24 cm odsebe. Ve kterém bodě na jejich spojnici jsou potenciály buzené oběma náboji stejné?

Příklad 1.71 Každá ze dvou vodivých koulí o poloměru r1 = 1 cm a r2 = 2 cm má náboj Q = 1,5 · 10−8 C.Jaký je výsledný náboj a potenciál na každé z koulí, spojíme-li je vodivým drátem?

Příklad 1.72 Koule o poloměru r1 = 1 cm má náboj Q = 10−8 C a je připojena vodivým drátem ke kouli opoloměru r2 = 9 cm, která byla původně bez náboje. Vypočtěte náboj obou koulí po vyrovnání potenciálůa potenciál.

Příklad 1.73 Jakou kapacitu má těleso, které se nábojem Q = 6 · 10−3 C nabije na potenciál ϕ = 3 kV?Jaký by musel být poloměr koule, aby měla stejnou kapacitu?

Příklad 1.74 Desky kondenzátoru mají plošný obsah 2 m2 a jsou od sebe vzdáleny 5mm. Desky jsou vevakuu. Na kondenzátoru je napětí 104 V. Vypočtěte kapacitu kondenzátoru, náboj každé desky, plošnouhustotu náboje a intenzitu mezi deskami.

Příklad 1.75 Kondenzátor o kapacitě C = 1 µF je nabit na napětí U = 200V. Vypočtěte energii elek-trického pole kondenzátoru.

Příklad 1.76 Kondenzátor se skládá ze dvou rovnoběžných desek a má kapacitu C1 = 1 000 pF. Nábojkaždé desky je 1 µC. Určete:

• napětí mezi deskami,

• napětí, jestliže při stálém náboji vzdálenost desek zdvojnásobíme,

• práci, která je zapotřebí ke zdvojnásobení vzdálenosti desek.

Příklad 1.77 Desky rovinného kondenzátoru s plochou S = 500 cm2 vzdálené od sebe d1 = 1 cm jsounabité na potenciálový rozdíl U1 = 5 000V. Jakou práci musíme vykonat, chceme-li desky oddálit navzdálenost d2 = 4 cm?

Příklad 1.78 Tři kondenzátory mají kapacity C1 = 2 µF, C2 = 4 µF, C3 = 4 µF. Jaká je výsledná kapacita,spojíme-li je:

• vedle sebe,

• za sebou.

Příklad 1.79 Tři kondenzátory o kapacitách C1 = 2 µF, C2 = 4µF, C3 = 6 µF jsou zapojeny do série apřipojeny na baterii o napětí 220V. Vypočtěte náboj a napětí na každém kondenzátoru.

15

Příklad 1.80 Kondenzátory o kapacitách C1 = 2 µF, C2 = 3 µF, C3 = 5 µF, C4 = 10 µF jsou zapojenypodle obrázku. Určete výslednou kapacitu soustavy.

C1

C2

C3

C4

Příklad 1.81 Tři kondenzátory o kapacitách C1 = 2 µF, C2 = 4 µF jsou zapojeny podle obrázku. Určetevýslednou kapacitu soustavy.

C1

C2

C

C1

C2

C2 2

Příklad 1.82 Kondenzátory o kapacitách C1 = 6 µF, C2 = 3 µF, C3 = 2 µF jsou zapojeny podle obrázku.Určete kapacitu soustavy.

C1

C1

C1

C3

C2

C2

Příklad 1.83 Kondenzátory o kapacitách C1 = 12 µF, C2 = 6 µF, C3 = 3 µF, C4 = 2 µF, C5 = 5µF jsouzapojeny podle obrázku. Určete kapacitu soustavy.

C1

C2

C5

C3

C4

Příklad 1.84 Elektron se pohyboval v elektrickém poli elektronky tak, že v určitém bodě P1, ve kterémměl elektrický potenciál hodnotu 5V měla jeho rychlost velikost 4 · 105 m · s−1. V bodě P2 své dráhy mělelektron rychlost 9 · 105 m · s−1. Určete:

• přírůstek kinetické energie na úseku dráhy P1P2,

• práci elektrické síly působící na elektron v tomto úseku,

• elektrické napětí mezi body P1 a P2,

• potenciál ϕ2 v bodě P2.

Příklad 1.85 Jak velký náboj jsme přenesli z jednoho izolovaného vodiče na druhý, je-li při přenesenívykonaná práce 8 · 10−5 J? Potenciály obou vodičů vzhledem k zemi jsou −18V a 62V.

16

Příklad 1.86 Dva bodové náboje Q1, Q2 opačné polarity jsou umístěny ve vakuu ve vzájemné vzdálenostid. Pro jejich velikost platí |Q1| = k|Q2|, k > 1. Zjistěte, jakou křivku tvoří body nulového potenciáluelektrického pole, tvořeného náboji v libovolné rovině obsahující uvedené náboje.

Příklad 1.87 Vypočtěte potenciál, na který lze nabít vodivou kulovou plochu o poloměru r = 0,1m, abynebyla překročena dielektrická pevnost vzduchu 3 · 106 V · m−1.

Příklad 1.88 Vypočtete, jak velký náboj je dodán kouli Van de Graaffova generátoru. Při každém výbojije napětí mezi koulemi U , jejich vzdálenost l a poloměr r. Jaký náboj je kouli dodáván za sekundu, je-lifrekvence výbojů 0,1 s−1?

Příklad 1.89 Vypočtete potenciál elektrického pole dipólu o délce l v bodě P(x, y) v rovině xy.

Příklad 1.90 Vypočtěte potenciál elektrického pole v okolí velmi dlouhého tenkého drátu, nabitéhorovnoměrně rozděleným nábojem o délkové hustotě τ .

Příklad 1.91 Vypočtěte potenciál elektrického pole na ose kovového prstence s rovnoměrně rozdělenýmnábojem.

Příklad 1.92 Vypočtěte potenciál elektrického pole v okolí rozlehlé kovové roviny nabité rovnoměrněrozděleným nábojem.

Příklad 1.93 Vypočtěte potenciál elektrického pole v okolí kovové vodivé kulové plochy nabité rovno-měrně rozděleným nábojem.

Příklad 1.94 Vypočtěte potenciál v mezeře mezi dvěma rovnoosými dutými válci o poloměrech R1, R2a potenciálech ϕ1, ϕ2.

Příklad 1.95 Elektrický dipól je umístěn v homogenním elektrickém poli intenzity E tak, že osa dipóluje kolmá ke směru elektrických siločár. Vypočtěte velikost otáčivého momentu M, kterým působí polena dipól, a práci, kterou vykoná pole při natočení dipólu do směru čar pole. (p = 1,8 · 10−28 C · m,E = 5 · 104 V · m−1)

Příklad 1.96 Mezi dvěma bodovými náboji Q1, Q2 je vzdálenost d. Najděte ekvipotenciální hladinunulového potenciálu elektrického pole těchto nábojů ve vakuu. (Q1 = −3 · 10−6 C, Q2 = 2 · 10−6 C,d = 5 · 10−2 m)

Příklad 1.97 Dvě rovnoběžné kolmé desky vzdálené od sebe d tvoří homogenní elektrické pole, v němžse pohybuje nabitá kapka vody o hmotnosti m. Určete náboj kapky, jestliže při potencionálním rozdíluU padá kapka pod úhlem α k vertikálnímu směru. (m = 2 · 10−9 kg, U = 800V, α = 715′, d = 6 · 10−6 m)

Příklad 1.98 Dva bodové náboje Q a −Q jsou umístěné ve vzájemné vzdálenosti 2d. Vypočtěte tokintenzity elektrického pole procházející kruhovou plochou o poloměru R kolmou na spojnici nábojů aprocházející středem této spojnice.

Příklad 1.99 V rovině xy jsou lokalizovány kladné náboje Q v bodě A(0,d), B(0,−d) a záporný náboj−2Q v počátku souřadné soustavy. Vypočtěte potenciál v bodě P(x, y, z).

Příklad 1.100 Jakou práci je třeba vykonat při přenesení kladného náboje Q = 3 · 10−8 C z bodu A,v němž je potenciál elektrického pole ϕA = 300V do bodu B ϕB = 1 200V.

Příklad 1.101 Jak velký poloměr musí mít koule, která by se nábojem Q = 5 ·10−6 C nabila na potenciálϕ = 105 V?

Příklad 1.102 Jak velký je potenciál ve vzdálenosti 10 cm od povrchu koule o poloměru 5 cm, je-li koulenabita nábojem 2 · 10−7 C?

17

Kapacita, spojování kondenzátorů

Příklad 1.103 Čtyři stejné kondenzátory tvoří soustavu podle obrázku. Vypočtěte výslednou kapacituv obou případech a podmínku, za níž lze dosáhnout při nezměněném zapojení rovnosti kapacit soustav,užijeme-li 4 různé kondenzátory.

C1

C2

C3

C4

C1

C3

C2

C4

Příklad 1.104 Z kulové povrchové vrstvičky Země o objemu 1 cm3 odebereme všechny elektrony. Určetezměnu elektrického potenciálu Země a sílu, která by pak působila na jednotkový náboj blízko povrchuZemě. Předpokládejte, že povrch Země je zcela tvořen vodou.

Příklad 1.105 Na jaký potenciál by se nabila Země nábojem 1C, jestliže ji pokládáme za kouli opoloměru 6 378 km?

Příklad 1.106 Mezi deskami rovinného kondenzátoru je homogenní elektrické pole intenzity E = 2 ×106 V · m−1. Plošný obsah desky kondenzátoru je 7,2 dm2 a tloušťka dielektrika je 2mm. Dielektrikum máεr = 2. Určete:

• kapacitu deskového kondenzátoru,

• plošnou hustotu náboje na deskách,

• velikost náboje na každé z desek,

• napětí mezi deskami kondenzátoru.

Příklad 1.107 Jaká musí být plocha polepů rovinného kondenzátoru s izolační skleněnou vrstvoutloušťky 1mm, aby kapacita kondenzátoru byla 150 pF? (εr = 7)

Příklad 1.108 Dvě rovnoběžné desky o ploše 1m2 mají stejné náboje 30 µF opačného znaménka. Prostormezi nimi je vyplněn dielektrikem o εr = 1,7. Vypočtěte:

• intenzitu elektrického pole v dielektriku,

• plošnou hustotu polarizačního náboje v dielektriku,

• složku intenzity buzenou volným nábojem,

• složku intenzity buzenou polarizačním nábojem.

Příklad 1.109 Kondenzátor, jehož dielektrikum má relativní permitivitu εr = 5, má kapacitu C1 = 500 pFa je nabitý na napětí U1 = 5 000V. Jak se změní napětí na kondenzátoru, odstraníme-li dielektrikum?Jaká práce je třeba k odstranění dielektrika?

Příklad 1.110 Dielektrikum v deskovém kondenzátoru má εr = 3. Intenzita elektrického pole v dielek-triku E = 106 V · m−1. Vypočtěte:

• elektrickou indukci D,

• plošnou hustotu volného náboje σ0,

• velikost vektoru polarizace P,

• plošnou hustotu vázaného náboje σi,

• složku intenzity volného náboje E0,

• složku vázaného náboje Ei.

18

Příklad 1.111 Vypočtěte kapacitu deskového kondenzátoru s plochou desek S = 200 cm2, je-li mezideskami sklo o tloušťce d1 = 1mm z obou stran pokryté vrstvou parafinu o tloušťce d2 = 0,2mm. Prosklo εr = 7, parafín εr = 2.

Příklad 1.112 Rovinný deskový kondenzátor o ploše desek S a jejich vzdálenosti d je připojen na napětíU . Do kondenzátoru vložíme dvě desky z dielektrik εr1, εr2 tloušťky d1, d2 a plochy S. Vypočtěte:

• intenzitu elektrických polí a napětí v obou dielektrikách,

• kapacitu a hustotu náboje na deskách.

Příklad 1.113 Dielektrikum mezi deskami kondenzátoru se skládá ze dvou vrstev. První vrstvu tvořívzduch tloušťky 0,4mm, druhou plexisklo o tloušťce 2mm, jehož εr = 3,4. Určete kapacitu kondenzátoru,je-li plošný obsah jedné desky 2 dm2.

Příklad 1.114 Dva kondenzátory s kapacitami 1 µF a 10 µF jsou zapojeny do série. Na svorky konden-zátorové baterie přiložíme napětí 200V. Určete:

• výslednou kapacitu,

• napětí U1, U2 na kondenzátorech C1, C2,

• energii Ee každého z kondenzátorů.

Příklad 1.115 Vzduchový kondenzátor s rovinnými deskami má kapacitu 10 pF a vzdálenost desek 1 cm.Do středu mezi desky vložíme plech tloušťky 1mm. Jaká bude nová kapacita kondenzátoru?

Příklad 1.116 Dva kondenzátory o stejné kapacitě zapojíme jednou do série, podruhé paralelně. Rozdílv kapacitách obou kombinací je 3 µF. Určete kapacitu těchto kondenzátorů.

Příklad 1.117 Jaké napětí musí být připojené na kondenzátor s kapacitou 0,2 µF, aby jeho elektricképole mělo energii 2 J? Jaký bude náboj na deskách kondenzátoru?

Příklad 1.118 Určete výslednou kapacitu zapojení podle obrázku. (C = 10 µF, C1 = 6 µF, C2 = 2 µF,C3 = 1 µF, C4 = 3 µF)

C4

C2

C1

C3

C C C

C

C

C

Příklad 1.119 Kondenzátorová baterie má dvě paralelní větve. V každé je jeden kondenzátor s kapacitou20 pF a jeden kondenzátor s proměnnou kapacitou od 20 pF do 500 pF. V jakém rozsahu lze měnit kapacitubaterie?

Příklad 1.120 Záporně nabitá kapka oleje hustoty ρ = 0,955 · 103 kg · m−3 a poloměru r = 10−3 mmse vznáší v homogenním elektrickém poli deskového kondenzátoru, mezi jehož vodorovnými deskamivzdálenými od sebe d = 4,1 · 10−2 m je napětí U = 103 V. Určete:

• jaký je celkový počet volných elektronů na kapce a která z desek má záporný náboj,

• jak je třeba změnit napětí na kondenzátoru, aby se kapka po ztrátě 1 elektronu opět nehybněvznášela.

19

Příklad 1.121 Na jaký potenciál se nabije kulový vodič, který má kapacitu C = 2 µF, nábojem Q =100 µC a jaký je jeho poloměr?

Příklad 1.122 Kondenzátor s kapacitou C = 5µF je připojen ke zdroji napětí U = 220V. Jak velký jenáboj nabitého kondenzátoru a jakou má energii?

Příklad 1.123 Vypočtěte kapacitu 3 paralelně zapojených Leydenských lahví (válcových kondenzátorů)o vnějších poloměru b, vnitřním poloměru a a výšce polepů l. Odvoďte vztah pro kapacitu válcovéhokondenzátoru a pak numericky pro b = 0,08m, a = 0,075m, l = 0,2m, εr = 6.

Příklad 1.124 Vypočtěte kapacitu dvou rovnoběžných válcových vodičů, vzájemně izolovaných, o délcel, je-li jejich poloměr r a vzájemná vzdálenost a.

Příklad 1.125 Mějme k dispozici dvě rovnoběžné, opačně nabité desky o ploše S, vzdálené r, nesoucínáboj Q. Vypočítejte:

• sílu, kterou se desky přitahují,

• jaké napětí musíme přiložit k deskám, aby se vzdálenost desek neměnila.

Příklad 1.126 Určete náboje Q1, Q2, Q3 na kondenzátorech zapojených podle obrázku, známe-li napětíUAB.

C2

C3

C1

A B

Příklad 1.127 Rovinný deskový kondenzátor o ploše desek S a jejich vzdálenosti d, je připojen na napětíU . Do kondenzátoru vložíme dvě desky z dielektrik o relativních permitivitách εr1, εr2 a tloušťkách d1,d2 a ploše S. Vypočítejte:

• intenzitu elektrických polí a napětí v obou dielektrikách,

• kapacitu a hustotu náboje na deskách kondenzátoru.

Příklad 1.128 Deskový kondenzátor o kapacitě C s dielektrikem o εr je nabitý na napětí U . Jakou prácimusíme vykonat k odstranění dielektrika z kondenzátoru?

Příklad 1.129 Vypočtěte kapacitu deskového kondenzátoru o ploše S, je-li jeho dielektrikum složenéze 3 vrstev?

Příklad 1.130 Vnitřní koule o poloměru R1 kulového kondenzátoru je polepena vrstvou dielektrika otloušťce d a relativní permitivitě εr. Zbylý prostor mezi tímto dielektrikem a vnější koulí poloměru R2 jevyplněn vzduchem εr0. Vypočtěte kapacitu kulového kondenzátoru.

Příklad 1.131 Deskový kondenzátor o kapacitě C0 a ploše desek S byl připojen ke zdroji napětí U0. Ponabití nábojem Q byl kondenzátor odpojen od zdroje a byl zcela vyplněn dielektrikem, čímž jeho kapacitavzrostla na hodnotu C . Vypočítejte intenzitu pole v dielektriku a napětí mezi elektrodami kondenzátoru,pokud:

• kondenzátor není připojen ke zdroji napětí,

• kondenzátor je připojen ke zdroji napětí, stanovte hustotu volného náboje na elektrodách.

Příklad 1.132 Rovnoběžné vodivé roviny A, B, C tvoří deskový kondenzátor. Na rovině B je hustotanáboje σ . Roviny A a C jsou vodivě spojeny a nenabity. Určete plošné náboje na vnitřních plochách rovinA a C.

20

2. Stacionární elektrický proud

2.1. Řešené příkladyPříklad 2.1 Měděným vodičem o průřezu S = 1mm2 prochází proud I = 5A. Vypočítejte průměrnourychlost vp pohybu elektronů ve vodiči za předpokladu, že počet volných elektronů v 1m3 je n0 = 8,5·1028.Řešení

I = 5A I = dQdt , dQ = n0edV , dV = Sdx

S = 10−6 m2 I = n0eS dxdt = n0eSvp

n0 = 8, 5 · 1028 vp = In0eS = 5

8,5·1028·10−6·1,602·10−19

.= 3,672 · 10−4 m · s−1

Příklad 2.2 Uhlíková tyč o průřezu S = 10mm2 má délku l = 0,1m a je připojena na napětí U = 10V.Určete:

• intenzitu stacionárního elektrického pole Est v tyči,

• hustotu elektrického proudu J,

• celkový odpor R tyče,

• proud I v tyči.

Měrná vodivost uhlíku je γ = 1,6 · 104 Ω−1m−1.Řešení

U = 10V Est = Ul = 10

0,1 = 100 V · m−1

S = 10−5 m2 J = γEst = 1,6 · 104 · 102 = 1,6 · 106 A · m−2

l = 0,1m R = 1γ

lS = 10−1

1,6·104·10−5 = 0,625 ΩI = JS = 1,6 · 106 · 10−5 = 16 A

Příklad 2.3 Určete změnu ∆R paralelního spojení odporů R1 a R2 způsobenou změnou odporu R2 o∆R2.

ŘešeníR1 R = R1R2

R1+R2

R2 R ′ = R1(R2+∆R2)R1+(R2+∆R2) = R1R2+R1∆R2

R1+R2+∆R2

R2 + ∆R2 ∆R = R ′ − R = (R1R2+R1∆R2)(R1+R2)−R1R2(R1+R2+∆R2)(R1+R2+∆R2)(R1+R2)

∆R = R21 ∆R2

(R1+R2+∆R2)(R1+R2)

Příklad 2.4 Jakou změnu odporu (způsobenou změnou rozměrů vodiče) můžeme očekávat, když napnememěděný drát tak, že se prodlouží o 0,1 % své délky?Řešení

V =konst Sl = S′l′

l′ = 1,001l S′ = Sll′ = S

1,001R ′ = ρ l′

S′ = ρ 1,001lS

1,001= (1,001)2ρ l

S = (1,001)2RR ′ .

= 1,002R

21

Příklad 2.5 Na svorky zdroje o napětí U = 100V je měděným dvoudrátovým vedením připojen spotřebičo příkonu P1 = 100W při napětí 100V. Vedení má délku l = 100m a průřez drátu S = 1mm2. Měrnýodpor mědi je ρ = 1,7 · 10−8 Ω·m. Určete:

• napětí na svorkách spotřebiče,

• napětí na svorkách spotřebiče, připojíme-li k němu paralelně další spotřebič, který při napětí 100Vmá příkon P2 = 200W.

U

Rv

P1

U

Rv

P1

P2

ŘešeníU = 100V Rv = ρ l

S = 1,7 · 10−8 2·10010−6 = 3,4 Ω

P1 = 100W R1 = U2

P1= 104

102 = 100 ΩP2 = 200W I = U

R = URv +R1

= 100103,4

.= 0,967A

ρ = 1,7 · 10−8 Ω·m R = Rv + R1 = 103,4 Ωl = 100m U1 = R1I

.= 100 · 0,967 = 96,7 V

S = 10−6 m2 R2 = U2

P2= 104

200 = 50 ΩR ′ = Rv + R1R2

R1+R2= 3,4 + 103,4·50

103,4+50.= 37,1 Ω

I′ = UR ′

.= 100

37,1.= 2,70A

U ′1 = I′ R1R2

R1+R2

.= 2,70 100·50

100+50 = 90 V

Příklad 2.6 Metodou postupného zjednodušování řešte elektrickou síť na obrázku, kde Ue = 22V,R1 = 5 Ω, R2 = 15 Ω a R3 = 10 Ω.

U

R1

R2

R3

e

I1

I2

I3

ŘešeníUe = 22V R ′ = R2R3

R2+R3= 15·10

15+10 = 6 ΩR1 = 5 Ω R = R1 + R ′ = 5 + 6 = 11 ΩR2 = 15 Ω I = I1 = Ue

R = 2211 = 2 A

R3 = 10 Ω I2 = I R3R2+R3

= 2 1015+10 = 0,8 A

I3 = I R2R2+R3

= 2 1515+10 = 1,2 A

Příklad 2.7 Jak velké je napětí Us na svorkách spotřebiče, zapojeného na odbočku děliče napětí podleobrázku?

R1

R2

Rs

I

U

Us

22

ŘešeníU = 300V R ′ = R1Rs

R1+Rs= 3·5·107

(30+5)103

.= 4,286 · 103 Ω

R1 = 3 · 104 Ω R = R2 + R ′ .= (2 + 4,286)103 = 6,286 · 103 Ω

R2 = 2 · 103 Ω I = UR

.= 300

6,286·103

.= 4,773 · 10−2 A

Rs = 5 · 103 Ω U2 = R2I.= 2 · 103 · 4,773 · 10−2 = 95,46V

Us = U − U2.= 300 − 95,46 = 204,54 V

Příklad 2.8 Na spotřebitelskou síť o napětí U = 220V jsou připojeny dvě žárovky zapojené v sérii nanapětí 110V. Vypočtěte napětí na každé ze žárovek, jestliže první je 25W a druhá 100W.Řešení

U = 220V R1 = U ′2

P1= 1102

25 = 484 ΩU ′ = 110V R2 = U ′2

P2= 1102

100 = 121 ΩP1 = 25W R = R1 + R2 = 484 + 121 = 605 ΩP2 = 100W I = U

R = 220605

.= 0,364A

U1 = R1I.= 484 · 0,364

.= 176 V

U2 = R2I.= 121 · 0,364

.= 44 V

Příklad 2.9 Připojíme-li ke svorkám baterie rezistor o R1 = 10 Ω, protéká obvodem proud I1 = 3A.Je-li na svorky téže baterie připojen rezistor o odporu R2 = 20 Ω, prochází obvodem proud I2 = 1,6A.Vypočtěte elektromotorické napětí a vnitřní odpor baterie.

Ue

Ri

R

I1

1U

e

Ri

R

I2

2

ŘešeníR1 = 10 Ω U1 = R1I1 = 10 · 3 = 30VR2 = 20 Ω U2 = R2I2 = 20 · 1,6 = 32VI1 = 3A U = Ue − RiII2 = 1,6A Ri = U2−U1

I1−I2 = 32−303−1,6

.= 1,43Ω

Ue = U1 + I1Ri.= 30 + 3 · 1,4

.= 34,3V

Příklad 2.10 Odpor vlákna žárovky při teplotě t0 = 0 C je R0 = 35 Ω. Připojíme-li žárovku ke zdroji onapětí U = 220V, bude teplota vlákna t = 2 000 C. Vypočítejte:

• odpor vlákna žárovky při teplotě t1 = 2 000 C, je-li závislost jeho odporu na teplotě dána konstan-tou B = −815K;

• jaký bude výkon elektrického proudu, připojíme-li žárovku na napětí U = 220V;

• jaká je okamžitá hodnota proudu bezprostředně po jejím připojení ke zdroji o napětí U = 220V;

• jaká by vyšla hodnota odporu vlákna žárovky při teplotě t = 2 000 C, kdybychom uvažovali lineárnízávislost odporu na teplotě s teplotním součinitelem odporu αT = − B

T 2 .

Řešenít0 = 0 C R1 = R0eB( 1

T − 1T0

) = 35e−815( 12 273 − 1

273 ) .= 484 Ω

t1 = 2 000 C P = U2

R1

.= 2202

484 = 100 WR0 = 35 Ω I0 = U

R0= 220

35.= 6,29 A

U = 220V αT = − BT 2

1= 815

2 2732

.= 1,577 · 10−4

R ′1 = R0 + αT (T1 − T0) = 35 + 1,577 · 10−4(2 273 − 273)

.= 35,32 Ω

23

Příklad 2.11 Za jak dlouho ohřeje ponorný vařič 2 litry vody 20 C teplé na teplotu 90 C? Vařič jepřipojen na napětí U = 220V, jeho odpor R = 100 Ω. Účinnost je 75 % (změnu odporu vařiče s teplotouzanedbejte).Řešení

m = 2 kg Q = mc∆t∆t = 70 C W = ηPτU = 220V τ = mc∆tR

ηU2 = 2·4 186·70·1000,75·2202

.= 1 614 s

.= 26,9min

R = 100 Ωη = 0, 75c = 4 186 J·kg−1·K−1

Příklad 2.12 Ke zdroji Ue = 100V a vnitřním odporu Ri = 5 Ω je připojena paralelní kombinace pro-měnného odporu R a pevného odporu R1 = 10 Ω. Nalezni takovou hodnotu odporu R , aby výkon dodanýzdrojem do tohoto odporu byl 100W.

Ue

Ri

R

I

1R

ŘešeníUe = 100V R ′ = RR1

R+R1

Ri = 5 Ω I = UeR ′+Ri

= Ue(R+Ri)Ri(R+R1)+RR1

R1 = 10 Ω U = Ue − RiI = Ue(1 − RiR+RiR1RiR+RiR1+RR1

) = UeRR1

R(Ri+R1)+RiR1

P = 100W P = U2

R = U2e

RR21

[R(Ri+R1)+RiR1 ]2

R2P(Ri + R1)2 + R [2P(Ri + R1)RiR1 − U2eR2

1 ] + PR2i R2

1 = 02,25 · 104R2 − 8,5 · 105 + 2,5 · 105 = 09R2 − 340R + 100 = 0R = 340±

√3402−4·9·100

2·9.= 340±334,66

18.= 37,48 Ω

Příklad 2.13 Zdroj Ue = 100V má vnitřní odpor Ri = 10 Ω. Vypočtěte:

• jaký proud bude procházet odporem R = 90 Ω připojeným ke svorkám zdroje a jaké bude svorkovénapětí zdroje,

• nahraďte zdroj Ue ekvivalentním zdrojem proudu (určete proud zdroje Iz a jeho vnitřní vodivost Gi),

• vypočtěte proud, který by procházel odporem R = 90 Ω připojeným ke svorkám zdroje proudu,určete též v tomto případě napětí na svorkách zdroje proudu.

Ue

Ri

R

I1

1I

zG

iR

I1

1

24

ŘešeníUe = 100V I1 = Ue

Ri+R = 100100 = 1 A

Ri = 10 Ω U1 = Ue − RiI = 100 − 1 · 10 = 90 VR1 = 90 Ω Iz = Ue

Ri= 100

10 = 10 AGi = 1

Ri= 0,1 S

I = Iz RiR+Ri

= 10 1090+10 = 1 A

Ii = Iz RR+Ri

= 10 9090+10 = 9A

U = RI = 9 · 10 = 90 V

Příklad 2.14 Řešte elektrickou síť znázorněnou na obrázku:

• pomocí Kirchhoffových zákonů,

• metodou smyčkových (obvodových) proudů,

• změňte hodnotu odporu R5 (zapojeného mezi body A a B) tak, aby výkon na tomto odporu bylmaximální (doporučení: elektrickou síť vzhledem k A, B nahraďte náhradním zdrojem napětí),

R2

R4 A

B

I1

I2

R5

I3

Ue1

Is1

Is2

Ue2

R1

R3

ŘešeníUe1 = 10V KZ I1 + I2 = I3Ue2 = 6V I1(R1 + R2) − I2R3 = Ue1 − Ue2R1 = 10 Ω I2R3 + I3(R4 + R5) = Ue2R2 = 6 Ω 16I1 − 8I2 = 4

` R3 = 8 Ω 20I1 + 28I2 = 6R4 = 5 Ω I1

.= 0,263 A, I2

.= 0,026 A, I3

.= 0,289 A

R5 = 15ΩSP Is1(R1 + R2 + R3) − Is2R3 = Ue1 − Ue2

−Is1R3 + Is2(R3 + R4 + R5) = Ue224Is1 − 8Is2 = 4−8Is1 + 28Is2 = 6

D =∣∣∣∣

24 −8−8 28

∣∣∣∣ = 608

D1 =∣∣∣∣

4 −86 28

∣∣∣∣ = 160

D2 =∣∣∣∣

24 4−8 6

∣∣∣∣ = 176

Is1 = 160608

.= 0,263 A

Is2 = 176608

.= 0,289 A

I1 = Is1.= 0,263 A

I2 = Is2 − Is1.= 0,026 A

I3 = Is2.= 0,289 A

TV Ri = R4 + (R1+R2)R3R1+R3+R3

Ri = 5 + (10+6)810+6+8

.= 10,3 Ω

R ′5 = Ri

.= 10,3 Ω

25

Příklad 2.15 Na obrázku je znázorněn nevyvážený Wheatstoneův můstek. Vypočtěte:• metodou smyčkových proudů proudy ve větvích,

• nahraďte můstek vzhledem k A, B a vypočtěte proud miliampérmetrem s R5 = 1 Ω,

• jaký proud by procházel galvanometrem o vnitřním odporu R ′5 = 500 Ω, který by byl zapojen

v můstku místo miliampérmetru.

R3

R4A

BI1

I2

I6

mA R5

I3

I4

I5

Ue

Is1

Is2

Is3

R2

R1

ŘešeníR1 = 14 Ω SP Is1(R1 + R3 + R5) − Is2R5 − Is3R1 = 0R2 = 15 Ω −Is1R5 + Is2(R2 + R4 + R5) − Is3R2 = 0R3 = 15 Ω −Is1R1 − Is2R2 + Is3(R1 + R2) = 2R4 = 14 Ω 30Is1 − Is2 − 14Is3 = 0R5 = 2V −Is1 + 30Is2 − 15Is3 = 0

−14Is1 − 15Is2 + 29Is3 = 2

D =

∣∣∣∣∣∣

30 −1 −14−1 30 −15−14 −15 29

∣∣∣∣∣∣= 13 021 D1 =

∣∣∣∣∣∣

0 −1 −140 30 −152 −15 29

∣∣∣∣∣∣= 870

D2 =

∣∣∣∣∣∣

30 0 −14−1 0 −15−14 2 29

∣∣∣∣∣∣= 928 D3 =

∣∣∣∣∣∣

30 −1 0−1 30 0−14 −15 2

∣∣∣∣∣∣= 1 790

Is1 = D1D = 870

13 021.= 0,0668A

Is2 = D2D = 928

13 021.= 0,0713A

Is3 = D3D = 1 790

13 021.= 0,1381A

I1 = Is3 − Is1.= 0,713 A I2 = Is3 − Is2

.= 0,0668 A

I3 = Is1.= 0,668 A I4 = Is2

.= 0,0713 A

I5 = Is1 − Is2.= −0,0045 A I6 = Is3

.= 0,1381 A

R3

R4A

B

Ri

R2

R1

R3

R4A

BI’

I’

Ue

R2

R1

Uen

TV Rin = R1R2R1+R2

+ R3R4R3+R4

= 2 14·1514+15

.= 14,48Ω

I′ = UeR1+R3

= 214+15

.= 0,0690A

I′(R3 − R1) = UenUen

.= 0,0690(15 − 14) = 0,0690V

I5 = UenRin+R5

.= 0,0690

14,48+1.= 4,46 · 10−3 A

I′5 = Uen

Rin+R ′5

.= 0,0690

14,48+500.= 1,34 · 10−4 A

26

Příklad 2.16 Dva stejné rezistory o odporu R1 = R2 = 10 kΩ jsou zapojeny v sérii a připojeny kesvorkám zdroje o napětí Uz = 100V. Vypočtěte:

• napětí na každém rezistoru,

• jaký bude údaj voltmetru o vnitřním odporu Rv1 = 105 Ω připojeného ke svorkám jednoho R ,

• jaký bude údaj voltmetru o vnitřním odporu Rv2 = 104 Ω připojeného ke svorkám jednoho R .

R

R

Rv

V

Uz

R

R

Uz

1 1

2 2

ŘešeníR1 = R2 = 104 Ω U1 = U2 = Uz

R1R1+R2

= UzR2

R1+R2= 100 104

104+104 = 50 VUz = 102 V R ′

1 = R2Rv1R2+Rv1

= 105104

105+104

.= 9,09 · 103 Ω

Rv1 = 105 Ω I1 = UzR1+R ′

1

.= 100

104+9,09·103

.= 5,2 · 10−3 A

Rv2 = 104 Ω Uv1 = I1R ′1

.= 5,2 · 10−3 · 9,09 · 103 .

= 47,3 V

R ′2 = R2Rv2

R2+Rv2= 104104

104+104 = 5 · 103 ΩI2 = Uz

R1+R ′2

= 100104+5·103

.= 6,7 · 10−3 A

Uv2 = I2R ′2

.= 6,7 · 10−35 · 103 = 33,5 V

Příklad 2.17 Napětí na neznámém rezistoru Rx měříme paralelně připojeným voltmetrem o vnitřnímodporu Rv = 1 000 Ω na rozsahu 20V. Třída přesnosti je 2. Proud v obvodu měříme ampérmetrem třídypřesnosti 1 na rozsahu 0,1 A. Vypočtěte:

• jaká je hodnota Rx neznámého odporu, je-li údaj voltmetru U = 10V a údaj ampérmetru I = 0,03A,

• stanovte chybu naměřené hodnoty odporu Rx .

Rv

Rx

V

A

Ue

IA

Ix

IV

ŘešeníUV = 10V IA = Ix + IVIA = 0,03A IV = UV

RV, Ix = UV

Rx

RV = 103 Ω Rx = UVIA− UV

RV

= 100,03− 10

103= 500 Ω

Uăm = 20V δV = UmUV

pV = 2010 2 = 4 %

Im = 0, 1A δA = ImIA pA = 0,1

0,03 1 = 3 %pV = 2 δR = δV + δA = 4 % + 3 % = 7 %pA = 1 Rx = (500 ± 35) Ω

Příklad 2.18 Vypočtěte, v jakém poměru budou hustoty nasyceného emisního proudu z wolframovékatody při teplotách T1 = 2 500K a T2 = 3 000K. Výstupní práce elektronů pro W je Wv = 4,54 eV.Řešení

T1 = 2 500K J = BT 21 e Wv

kT

T2 = 3 000K J2J1

= T 22

T 21e− Wv

k ( 1T2

− 1T1

)

Wv = 7,26 · 10−19 J J2J1

= 3 0002

2 5002 e− 7,26·10−191,38·10−23 ( 1

3 000 − 12 500 ) .

= 48

27

Příklad 2.19 Vypočtěte, za jak dlouho se vytvoří při galvanickém pokovování ve vodním roztoku CuSO4na rovinné katodě vrstva mědi tloušťky d = 0,01mm, je-li hustota proudu J = 1 A · m−2.(ρ = 8 900 kg · m−3, Mm = 63,5 · 10−3 kg · mol−1)Řešení

J = 1A·m−2 m = MmzF Iτ, I = JS

d = 10−5 m m = Sdρρ = 8,9 · 103 kg·m−3 τ = dρzF

MmJMm = 6,35 · 10−2 kg·mol−1 τ = 10−5·8,9·103·2·9,6487·104

6,32·−2·1.= 2,7 · 105s

.= 75 h

F = 9,6487 · 104 C·mol−1

z = 2

Příklad 2.20 Poniklování kovového předmětu, který má plochu S = 120 cm2, trvalo 5 hod při elektrickémproudu I = 0,3A. Nikl je dvojmocný, molární hmotnost niklu Mm = 58,69 · 10−3 kg · mol−1, hustotaρNi = 8 800 kg · m−3. Vypočtěte tloušťku d niklové vrstvy.Řešení

I = 0,3A m = MmzF Iτ

S = 1,2 · 10−4 m−2 m = Sdρτ = 1,8 · 104 s d = Mm

zFIτSρ

ρ = 8,8 · 103 kg·m−3 d = 58,69·10−3

2·9,6487·1040,3·1,8·104

1,2·10−2·8,8·103

.= 1,55 · 10−5 m = 15,5 µm

Mm = 58,69 · 10−3 kg·mol−1

F = 9,6487 · 104 C·mol−1

z = 2

2.2. Neřešené příkladyElektrický odpor, Kirchhofovy zákony

Příklad 2.21 Jak velký elektrický náboj projde průřezem vodiče za dobu 1min

• při stálém proudu 1A,

• roste-li proud rovnoměrně od 0A do 1A.

Příklad 2.22 Proud ve vodiči se mění s časem podle vztahu I(t) = 4 + 3t2 [A]. Určete, jak velký nábojprojde vodičem za čas od t1 = 5 s do t2 = 10 s a jaká je střední hodnota proudu v tomto časovém intervalu.

Příklad 2.23 Jakou rychlostí se pohybují elektrony v měděném drátu o průřezu S = 1mm2, prochází-lijím proud I = 6A? Počet volných elektronů v 1m3 je n = 8,5 · 1028.

Příklad 2.24 Na vytvoření elektrického vedení bylo spotřebováno 400m měděného drátu o průřezu6mm2. Jaký odpor má vedení, je-li měrný odpor ρCu = 1,8 · 10−8 Ω · m?

Příklad 2.25 Měděné vedení má průřez S1 = 20mm2. Jaký průřez musí mít vedení Al stejné délky, abymělo stejný odpor? (ρCu = 1,8 · 10−8 Ω · m, ρAl = 2,7 · 10−8 Ω · m)

Příklad 2.26 Určete rychlost elektronů v drátu o l = 10m, S = 1mm2, ρ = 1,7 · 10−8 Ω · m, U = 2,3V av 1 cm3 drátu je 8,5 · 1022 volných elektronů.

Příklad 2.27 Měděné vedení má při teplotě 15 C odpor 20Ω. Jaký je odpor vedení při teplotě 30 C,je-li teplotní součinitel odporu α = 4 · 10−3 K−1?

Příklad 2.28 Elektrický vařič má při provozní teplotě 750 C odpor 46 Ω. Jaký je jeho odpor při teplotě0 C, je-li α = 2 · 10−4 K−1?

Příklad 2.29 Cívka navinutá z měděného drátu má při teplotě 20 C odpor 8Ω. Jaká je teplota cívky,byl-li v provozu změřen její odpor R = 14,4 Ω? Teplotní součinitel odporu α = 4 · 10−3 K−1

28

Příklad 2.30 Žárovkou zapojenou na U = 220V prochází při teplotě vlákna t = 2 500 C proud I = 0,27A.Jak velký je nárazový proud při teplotě 0 C, pokud α = 4,5 · 10−3 K−1?

Příklad 2.31 Dvě žárovky určené pro totéž napětí mají výkony P1 = 100W, P2 = 60W. Je-li odpor prvnížárovky R1 = 480 Ω, jaký je odpor R2?

Příklad 2.32 Svíčková žárovka na vánoční stromeček má příkon P = 9,8W a R = 20 Ω. Kolik svíček jenutné zapojit do série při zapojení na U = 220V?

Příklad 2.33 Žárovka s W vláknem má údaje 40W/220V. Jak velký je odpor vlákna zastudena a jaký jeproud zastudena a za provozu, je-li provozní teplota vlákna 2 500 C? (α = 4 · 10−4 K−1)

Příklad 2.34 Odpory R1 = 1 Ω, R2 = 2 Ω, R3 = 3 Ω, R4 = 4 Ω jsou zapojeny:

• sériově,

• paralelně

Vypočtěte výsledný odpor.

Příklad 2.35 Jaký je výsledný odpor zapojení podle obrázku, jsou-li odpory R1 = 10 Ω, R2 = 30 Ω,R3 = 60 Ω, R4 = 100 Ω, R5 = R6 = R7 = 90 Ω?

R1

R2

R3

R4

R5

R6

R7

Příklad 2.36 Jak velký je odpor zapojení podle obrázku, jsou-li odpory R1 = 3 Ω, R2 = 30 Ω, R3 = 4 Ω,R4 = 60 Ω, R5 = 12 Ω, R6 = 6 Ω?

R3

R4

R5

R6

R2

R1

Příklad 2.37 Síť tvořena 9 vodiči téhož odporu R , které tvoří strany a úhlopříčky šestiúhelníka. Určeteodpor mezi dvěma protějšími vrcholy.

Příklad 2.38 Odebíráme-li proud z baterie I1 = 3A, je její svorkové napětí U1 = 24V. Odebíráme-liproud I2 = 4A, je svorkové napětí U2 = 20V. Určete vnitřní odpor zdroje a elektromotorické napětíbaterie.

Příklad 2.39 V zapojení podle obrázku určete proud tekoucí každým odporem a napětí mezi body A aB. Elektromotorické napětí Ue = 12V, vnitřní odpor zdroje Ri = 1 Ω, vnější odpory R1 = 4 Ω, R2 = 6 Ω,R3 = 12 Ω, R4 = 8 Ω, R5 = 1 Ω.

29

R1

R2

R3

R5

R4

Ri

Ue

A

B

Příklad 2.40 Voltmetr s vnitřním odporem RV = 3 000 Ω má rozsah 12V. Jaký předřadný odpor je nutnopřipojit, aby se rozsah voltmetru zvětšil na 60V?

Příklad 2.41 Ampérmetr má vnitřní odpor RA = 0,02 Ω a rozsah 1,2 A. Jaký musí být odpor bočníku, abyse rozsah ampérmetru zvětšil na 6A?

Příklad 2.42 Vodičem o odporu 15 Ω prošel za 2min náboj 30C. Kolik elektronů prošlo vodičem, jakvelké bylo napětí na koncích vodiče a jaký proud prošel vodičem?

Příklad 2.43 Rezistory o odporech R1 = 1 kΩ, R2 = 4 kΩ, R3 = 2 kΩ jsou zapojeny podle obrázku apřipojeny ke zdroji Ue = 14V. Určete celkový odpor a proudy procházející jednotlivými rezistory, pokud:

• klíč je sepnut,

• klíč je rozpojen

R3

R1

R2

Ue

Příklad 2.44 Rezistory zapojené podle obrázku R1 = 50 Ω, R2 = 150 Ω, R3 = 50 Ω, R4 = 80 Ω. Napětímezi body AB je 240V. Jaké je napětí mezi body CD, jaký proud prochází rezistory?

R3

R1

R2

R2

A B

CD

Příklad 2.45 Ke kondenzátoru C = 10 µF je připojen akumulátor o Ue = 2V přes odpor R = 1 000 Ω.Za jak dlouho se kondenzátor nabije na U = 1,98V? Vnitřní odpor akumulátoru je zanedbatelný.

Příklad 2.46 Zdroj Ue = 36V má Ri = 4 Ω. Zdroj je připojen k vnějšímu odporu R = 2 Ω. Vypočtěte:

• proud,

• proud, jsou-li k R připojeny 4 zdroje zapojené sériově,

• proud, jsou-li k R připojeny 4 zdroje zapojené paralelně.

30

Příklad 2.47 Tři galvanické články o Ue1 = 1,3V, Ue2 = 1,5V, Ue3 = 2V mají Ri = 0,2 Ω a jsou zapojenypodle obrázku. Vnější odpor R = 0,55 Ω. Vypočtěte proudy v jednotlivých větvích.

Ri

Ri

Ri

R

Ue

Ue

Ue

Příklad 2.48 Jak velké proudy procházejí jednotlivými odpory v obvodu zapojeném podle obrázku, je-liUe1 = 2V, Ue2 = 4V, R1 = 5 Ω, R2 = 2 Ω, R3 = 10 Ω. Vnitřní odpory jsou zanedbatelně malé.

R1

Ue1 R

2

R3

Ue2

Příklad 2.49 V obvodu znázorněném na obrázku jsou Ue1 = 20V, Ue2 = 18V, Ue3 = 7V, Ri = 1 Ω,R1 = 6 Ω, R2 = 4 Ω, R3 = 2 Ω. Vypočtěte proudy ve větvích.

R1

Ue1

R2

R3

Ue2

Ri

Ri

Ri

Ue3

Příklad 2.50 Vypočtěte proudy jdoucí jednotlivými odpory v obvodu podle obrázku. (Ue1 = 8V, Ue2 = 6V,Ue3 = 5V, R1 = 20 Ω, R2 = 10 Ω, R3 = 5 Ω)

R1

Ue1

R2

R3

Ue2

Ue3

Příklad 2.51 Čtyři žárovky, každá o odporu R . Reostat je nastaven na hodnotu Rp a svorkové napětízdroje je U . Na jakou hodnotu odporu Rx je potřeba nastavit reostat při vypálení jedné žárovky, abybyly proudy v ostatních žárovkách stejně velké jako předtím?

31

Rp

Ue

R

R

R

R

Příklad 2.52 Odpor Rx rezistoru jsme měřili voltmetrem a ampérmetrem. Voltmetr měl rozsah 120Va vnitřní odpor 500Ω. Ampérmetr měl rozsah 3A a vnitřní odpor 4Ω. Když byl voltmetr zapojen podleprvního schématu, naměřené hodnoty byly 98,2V a 0,75A. Určete:

• neznámý odpor Rx rezistoru,

• Ue zdroje,

• údaje voltmetru a ampérmetru, pokud je obvod zapojen podle druhého schématu.

Příklad 2.53 V homogenním kovovém vodiči délky 5m a průměru 1,2mm, jehož konce jsou připojeny kesvorkám zdroje s Ue = 4,5V, je stálý proud 5A. Určete:

• směr pohybu elektronů ve vodiči a jejich počet n, který projde průřezem vodiče za 1ms,

• odpor R a měrný odpor ρ vodiče.

Příklad 2.54 Drát délky 8m má průměr 0,5mm a elektrický odpor 2 Ω. Jakou délku musí mít drát zestejného materiálu o průměru 0,4mm, aby jeho odpor byl 2,5Ω?

Příklad 2.55 Vláknem wolframové žárovky o teplotě 0 C prochází při napětí 10 V proud 0,3 A. Určeteteplotní součinitel odporu wolframu, bude-li po připojení žárovky na napětí 220V procházet proud 0,5 Aa vlákno se ohřeje na 2,5 · 103 C.

Příklad 2.56 Ue zdroje je 1,1 V. Po připojení spotřebiče s odporem 5 Ω je svorkové napětí jen 0,6 V. Jakýje vnitřní odpor zdroje a jaký proud prochází obvodem?

Příklad 2.57 Svorkové napětí baterie má při vnějším zatěžovacím odporu 17 Ω hodnotu 4,4 V a při 9 Ωhodnotu 4,3 V. Jaké je Ue a Ri zdroje?

Příklad 2.58 Mezi dvěma body silnoproudého vedení z měděného drátu o průřezu 70 mm2 vzdálenýmiod sebe 6m bylo naměřeno napětí U = 0,23V. Jaký proud prochází vedením? Měrný odpor mědi je1,78 · 10−8 Ω · m

Příklad 2.59 Vypočtěte, jak velký je vnitřní odpor akumulátoru, jestliže voltmetrem změříme naprázdnoUe = 13,1V a při zatížení akumulátoru spotřebičem o odporu Rs = 4,5 Ω je napětí na svorkách Us =12,9V.

Příklad 2.60 Stanovte podmínku pro odpory R1, R2 zapojené podle obrázku, aby proud rezistorem R0byl nulový.

R1

Ue1

R2

Ue2R

0

32

Příklad 2.61 Tenký rovinný prstenec o poloměrech R1, R2 a tloušťky h na jedné straně rozřízneme ak plochám řezu přiložíme kontakty zdroje. Je-li znám materiál prstence, vypočtěte jeho odpor.

Příklad 2.62 Na kolik n stejných částí je potřeba rozřezat drát, který má odpor R = 192 Ω, abychompři paralelním zapojení všech těchto n částí dostali výsledný odpor R = 3 Ω?

Příklad 2.63 Vypočtěte proudy v jednotlivých větvích elektrického obvodu na obrázku, kde odporyrezistorů jsou R1 = 10 Ω, R2 = 6 Ω, R3 = 5 Ω a elektromotorická napětí zdrojů jsou Ue1 = 6V, Ue2 = 2V,Ue3 = 3V.

R1

R2

R3

Ue2

Ue3

Ue1

Příklad 2.64 Soustava čtyř rezistorů s odpory R1 = 100 Ω, R2 = 200 Ω, R3 = 200 Ω, R4 = 400 Ωzapojených podle obrázku je připojena k baterii s elektromotorickým napětímUe = 18V. Určete:

• celkový odpor rezistorů R a celkový proud I v elektrickém obvodu,

• proudy procházející jednotlivými rezistory.

Příklad 2.65 Tři odpory R1, R2, R3 jsou zapojeny do odporového trojúhelníku. Vypočtěte hodnoty ná-hradních odporů Ra, Rb, Rc, změníme-li odporový trojúhelník v odporovou hvězdu.

Příklad 2.66 Síť na obrázku je tvořena třemi stejnými zdroji o Ue a čtyřmi rezistory R1, R2 = 2R1,R3 = 4R1, R4 = 8R1. Uzel A je uzemněný. Určete:

• proudy, které procházejí jednotlivými rezistory a elektrický potenciál uzlu E (U = 60V, R1 = 1 kΩ),

• jak bychom museli změnit odpor rezistoru R3, aby rezistorem R2 neprocházel proud; jaké proudybudou v tomto případě procházet rezistory R1, R3 a R4.

R1

Ue R

2

R3

Ue

R4

Ue

Příklad 2.67 Kostka ve tvaru krychle se skládá ze stejných vodičů (hran) téhož odporu R . Vypočtěteodpor krychle, přiložíme-li zdroj stejnosměrného napětí ke dvěma protějším vrcholům.

Příklad 2.68 Vytvořme elektrickou síť tak, že postupně spojujeme trojice za sebou zapojených od-porů stejných hodnot R . Bude-li počet takových trojic nekonečně velký, pak se poměry v síti nezmění,odpojíme-li za sítě jednu či konečný počet trojic. Vypočtěte proud v síti, je-li k ní připojen zdroj o Ue avnitřním odporu Ri.

33

Faradayovy zákony

Příklad 2.69 Jaký proud protékal roztokem skalice modré CuSO4, jestliže se za 15min vyloučilo z roz-toku 3 g mědi? (Mm = 63,54, v = 2)

Příklad 2.70 Předmět plochy S = 20 dm2 je třeba postříbřit vrstvou tloušťky d = 0,2mm. Kolik stříbra semusí vyloučit a jak dlouho bude pokovování trvat, je-li možné 1 dm2 zatížit proudem 0,4 A? (ρ = 10,5 ·103,v = 1, α = 108)

Příklad 2.71 Vypočtěte elektrochemický ekvivalent Cu, prochází-li coulometrem na měď proud I =4 · 10−1 A a vyloučí-li se za půl hodiny 2,36 · 10−4 kg mědi.

Příklad 2.72 Jestliže víme, že v coulometru na stříbro se nábojem 1C vyloučí 1,118·10−3 kg Ag, vypočtětevelikost proudu procházejícího coulometrem po dobu n minut, jestliže se vyloučila hmotnost m Ag.

Příklad 2.73 Vypočtěte energetickou spotřebu při elektrolytickém pokrytí plochy S vrstvou Ag přinapětí U .

Příklad 2.74 Vypočtěte množství stříbra, které se vyloučí z roztoku AgNO3 proudem 1,3 A za dvě hodiny.(AAg = 1,118 · 10−6 kg · C−1)

Příklad 2.75 Poniklování kovového předmětu, který má povrch 120 cm2, trvalo 5 hodin při elektrickémproudu 0,3 A. Vypočtěte množství vyloučeného niklu a tloušťku vrstvy, která se na předmětu vytvořila.Hustota niklu je 8,8 · 103 kg · m3 a molární hmotnost niklu je 58,69 · 10−3 kg · mol−1. Nikl je dvojmocný.

Příklad 2.76 Baterie n galvanických článků, každý o elektromotorickém napětí Ue a vnitřním odporuRi, je vytvořena zapojením p paralelních skupin po q v sérii. Ve vnějším obvodu je odpor R . Vypočtětemnožství mědi vyloučené z roztoku CuCl při zapojení po dobu t. Řešte pro Ue = 0,09V, Ri = 0,6 Ω,n = 30, p = 5, q = 6, R = 200 Ω, t = 8,3min, α = 63,57 kg · mol−1.

Elektrická práce, výkon

Příklad 2.77 Vypočtěte práci proudu v části obvodu, ve které nejsou zdroje Ue a která má odporR = 12 Ω, jestliže se elektrický proud po dobu t = 5 s rovnoměrně zvětšuje od I1 = 2A do I2 = 10A.

Příklad 2.78 Na vařiči s elektrickým příkonem 800W jsme ohřáli 4 l vody z teploty 20 C na 100 C za30min. Jaká je účinnost vařiče? Měrné teplo vody je 4,2 · 103 J · kg−1K−1.

Příklad 2.79 Žárovka s údaji 12V a 40W se má zapojit tak, aby pracovala s výkonem, na který bylazhotovena. K dispozici máme reostat a dvě stejné baterie, ze kterých každá má Ue = 12V a Ri = 0, 5 Ω.Odpor spojovacích vodičů zanedbáme. Určete:

• s jakým výkonem by žárovka pracovala, kdybychom ji připojili jen k jednomu ze zdrojů,

• hodnotu odporu reostatu, který musíme do obvodu zapojit, když žárovku připojíme k oběma bateriímzapojeným do série a požadujeme, aby žárovka pracovala s předepsanými hodnotami.

Příklad 2.80 V elektrickém obvodu, který je připojený ke zdroji napětí 220V, jsou do série zapojenydva spotřebiče: žárovka s údaji 220V/100W a elektrický vařič. Na žárovce jsme naměřili napětí 200V.Jaký odpor má vařič?

Příklad 2.81 Ke zdroji o Ue = 24V a vnitřním odporu Ri = 1 Ω máme připojit žárovku s předepsanýmihodnotami 12V/60W. Určete:

• jaký odpor musíme zapojit do série se žárovkou, aby bylo na žárovce předepsané napětí a mělapředepsaný výkon,

• jaké bude svorkové napětí a výkon zdroje.

34

Příklad 2.82 Polním telefonem s pracovním napětím 24V telefonujeme na vzdálenost 6 km. Kabel jehliníkový. Určete:

• jaká je střední rychlost elektronu v kabelu,

• za jak dlouho elektron „doletí“ z jednoho konce na druhý (jak je možné, že lze telefonovat).

35

3. Stacionární magnetické pole

3.1. Řešené příkladyPříklad 3.1 Vypočtěte magnetickou indukci B ve středu S čtvercového závitu o straně a = 0,05m,kterým prochází proud I = 10A.

Sa

d1 2

I

ŘešeníI = 10A B = 4B1a = 0,05m B1 = µ0

4πId (cos α2 − cos α1)

B1 = µ04π

Ia2

(cos 45 − cos 135) = µ02π

Ia

√2

B = µ0π

Ia 2

√2 = 4π·107

π10

5·10−2 2√

2 = 2 · 10−4 T

Příklad 3.2 Podle Bohrova modelu atomu vodíku obíhá elektron kolem jádra po kruhové dráze o po-loměru a = 5,3 · 10−11 m. Frekvence oběhů elektronu je f = 6,6 · 1015 Hz. Pohyb elektronu kolem jádrapředstavuje elektrický proud kruhovým závitem. Vypočtěte hodnotu magnetické indukce v místě jádraatomu.Řešení

a = 5,4 · 10−11 m I = Qt = ef

f = 6,6 · 1015 Hz B = µ02

Ia = µ0

2efa

B = 4π·10−7

21,6·10−196,6·1015

5,3·10−11 = 10 T

Příklad 3.3 Vodič má tvar znázorněný na obrázku a protéká jím proud I = 10A. Vzdálenost a = 0,05m.Určete velikost a směr magnetické indukce v bodě S.

S

Ia

ŘešeníI = 10A B = 1

6 B1a = 0,05m B1 = µ0

2Ia

α = 60 B = 4π·10−7

1210

5·10−2 = 2 · 10−5 T

Příklad 3.4 Vodič má tvar znázorněný na obrázku. Úseky AA′ a CC ′ jsou velmi dlouhé, body A, B, C, Djsou vrcholy čtverce o straně a, bod S je střed čtverce. Vodičem prochází proud I. Určete velikost a směrmagnetické indukce:

• v bodě S,

• v bodě D.

36

S

Ia

D

A

B

CA’ C’

ŘešeníI BS = 2B1a B1 = µ0

4πId (cos α2 − cos α1) = µ0

2πIa

√2

BS = µ0π

Ia

√2

BD = 2 (BAA′ + BAB)BAA′ = µ0

4πId (cos α2 − cos α1) = µ0

4πI

a√

22

(cos 135 − cos 180) = µ04π

Ia

(√2 − 1

)

BAB = µ04π

Ia (cos α2 − cos α1) = µ0

4πIa (cos 45 − cos 90) = µ0

4πIa

√2

2BD = 2 µ0

4πIa

(√2 − 1 +

√2

2

)= µ0

4πIa

(3√

2 − 2)

Příklad 3.5 Dvě identické částice se stejnými náboji q se pohybují vedle sebe ve vzdálenosti r stejnýmikonstantními rychlostmi v .

• Dokažte, že se částice odpuzují elektrickými silami Fe a že se přitahují magnetickými silami Fm;vypočtěte obecně tyto síly,

• vypočtěte poměr FmFe

q

q

rF

m

Fe

Fe

Fm

v

vi

j

k

Řešení

q dB = µ04π

I(dl×r)r3 = µ0

4π

dQdt (dl×r)

r3 = µ04π

dQ(

dldt ×r

)

r3 = µ04π

dQ(v×r)r3

v B = µ04π

q(v×r)r3 = µ0

4πqvr2 k

r Fm = qv × B = − µ04π

q2vr2 j

Fe = 14πε0

q2

r3 r = 14πε0

q2

r2 j

FmFe

=µ04π

q2vr2

14πε0

q2r2

= µ0ε0v2 = v2

c2

Příklad 3.6 V rovině čtvercového závitu o straně a = 0,1m je umístěn ve vzdálenosti d = 0,05m odjedné jeho strany přímý dlouhý vodič s proudem I1 = 10A. Čtvercovým závitem protéká proud I2 = 5A.Vypočtěte výslednou magnetickou sílu působící na závit s proudem.

37

F2

F4

I1

a

d I2

F1

F3

Řešenía = 0,1m F3 = −F4d = 0,05m F = F1 − F2 = µ0

2π I1I2a( 1

d − 1d+a)

= µ02π I1I2 a2

d(d+a)I1 = 10A F = 4π10−7

2π 10 · 5 10−2

7,5·10−3 = 1,3 · 10−5 NI2 = 5A

Příklad 3.7 Dlouhým přímým vodičem ve tvaru tyče s kruhovým průřezem o poloměru r = 10mmprochází proud I = 100A. Vypočtěte hodnotu magnetické indukce:

• uvnitř vodiče ve vzdálenosti r2 od osy tyče,

• na povrchu vodiče (ve vzdálenosti r od osy tyče),

• vně vodiče ve vzdálenosti 2r od osy tyče.

ŘešeníI = 100A Ampérův zákon:

∮l B · dl = µ0

∫S J · dS, l kružnice s poloměrem a

r = 0,01m LS =∮

l B · dl = B∮

l dl = 2πaBPS = µ0

∫S J · dS = µ0J

∫S dS = µ0πa2J

B = µ0πa2J2πa = µ0a

2 JB(a = r

2)

= µ0a2

1πa2

a2

r2 I = µ0I4πr = 10−3 T

B (a = r) = µ0a2

Iπa2 = µ0I

2πr = 2 · 10−3 TB (a = 2r) = µ0a

2I

πa2 = µ0I4πr = 10−3 T

Příklad 3.8 Vypočtěte magnetickou indukci na ose Helmholtzových cívek (dvě velmi krátké cívky opoloměru a ve vzdálenosti a, každá o N závitech, zapojených tak, že magnetická indukce od obou cívekse sčítá)

• v bodě S (uprostřed mezi cívkami),

• v bodě P (v rovině jedné z cívek).

Počet závitů každé cívky je N = 100, poloměr a = 0,1m, proud cívkami I = 1A.

a

N

I

S P

N

a

38

ŘešeníI = 1A B1 (d) = µ0

2 I a2

(a2+d2)32

N = 100 BS = 2NB1(a

2)

= 2N µ02 I a2(

a2+ a24

) 32

= µ0NIa

85√

5

a = 0,1m BS = 4π10−7 1000,1

85√

5 = 9 · 10−4 T

BP = N (B1 (a) + B1 (0)) = µ0NI2

(a2

(a2+a2)32

+ a2

(a2)32

)= µ0

NI2a

2√

2+12√

2

BP = 4π10−7 1002·0,1

2√

2+12√

2 = 8,5 · 10−4 T

Příklad 3.9 Dvěma dlouhými přímými vodiči, vedenými rovnoběžně ve vzdálenosti d, prochází stejnéproudy I. Určete hodnotu a směr magnetické indukce v bodě P:

• jsou-li směry obou proudů ve vodičích souhlasné,

• jsou-li směry obou proudů ve vodičích opačné.

d

I I

P

d

d

d

I I

P d

d

B

B

ŘešeníI B1 = µ0

2πId

d Bs = 2B1 cos 30 =√

3 µ02π

Id

Bo = 2B1 cos 60 = µ02π

Id

Příklad 3.10 V rovině čtvercového závitu o straně a = 0,1m je umístěn dlouhý přímý vodič s proudemI = 10A ve vzdálenosti d = 0,05m od jedné jeho strany. Čtvercovým závitem neprochází proud. Určetemagnetický indukční tok Φm plochou závitu.

I a

d

dS

dxx

ŘešeníI = 10A dΦm = BdS = µ0

2πIx adx

a = 0,1m Φm = µ02π Ia

∫ d+ad

dxx = µ0

2π Ia (ln (a + d) − ln d) = µ02π Ia ln a+d

dd = 0,05m Φm = 4π10−7

2π 10 · 0,1 ln 3 = 2,2 · 10−7 Wb

Příklad 3.11 V homogenním magnetickém poli o magnetické indukci B = 0,2T je umístěna plocháobdélníková cívka s počtem závitů N = 50. Rozměry cívky jsou a = 5 cm, b = 3 cm. Magnetické poleje rovnoběžné s kratší stranou cívky. Jak velký je moment dvojice sil působících v magnetickém poli nacívku, jestliže jí prochází proud I = 5A?

39

ŘešeníB = 0,2T D1 = BIS sin αI = 5A D = ND1 = NBIS sin αN = 50 D = 50 · 0,2 · 5 · 0,0015 = 7,5 · 10−2 N · mS = 0,0015m2

α = 90

Příklad 3.12 Dvěma dlouhými přímými vodiči prochází stejné proudy I = 200A opačnými směry. Vzdá-lenost mezi vodiči je d = 0,1m. Určete velikost a směr síly, působící na délku a = 10m každého z vodičů.

I

I

d a

Fm

Fm

ŘešeníI = 200A F = µ0

I1I22πd a

d = 0,1m F = 4π10−7 2002

2π0,1 10 = 0,8 Na = 10m

3.2. Neřešené příkladyMagnetická indukce, magnetický indukční tok, síly v magnetickém poli

Příklad 3.13 Jaká síla působí na vodič délky l = 30 cm v homogenním magnetickém poli o indukciB = 0,8T, protéká-li jím proud 10A, přičemž vodič je kolmý k magnetické indukci.

Příklad 3.14 V homogenním magnetickém poli o indukci B = 0,2T je obdélníkový závit o rozměrecha = 6 cm a b = 4 cm. Magnetické pole je rovnoběžné s kratší stranou závitu. Jak velký je moment dvojicesil působících na závit, protéká-li jím proud I = 10A?

Příklad 3.15 Kruhová smyčka o poloměru r = 0,1m je umístěna v homogenním magnetickém poli oindukci B = 1,4T. Vypočtěte magnetický indukční tok smyčkou, je-li její rovina:

• kolmá k vektoru magnetické indukce,

• svírá s vektorem magnetické indukce úhel α = 60.

Příklad 3.16 Vypočtěte magnetickou indukci a intenzitu magnetického pole ve vzdálenosti a = 5 cmod velmi dlouhého přímého vodiče, kterým teče proud I = 5A.

Příklad 3.17 Vodičem kruhového tvaru o poloměru a = 0,1m protéká proud I = 2A. Vypočtěte velikostvektoru magnetické indukce:

• ve středu vodiče,

• v bodě na ose vodiče ve vzdálenosti b = 0,1m od středu.

Příklad 3.18 Dlouhým vodičem, který je ohnut do pravého úhlu, prochází proud I = 40A. Vypočtětemagnetickou indukci v bodě P, je-li a = 2 cm.

Příklad 3.19 Vypočtěte magnetickou indukci ve středu závitu tvaru čtverce o straně a = 0,1m, kterýmprotéká proud I = 5A.

40

Příklad 3.20 Závitem tvaru šestiúhelníka o straně a = 0,1m protéká proud I = 5A. Vypočtěte magne-tickou indukci ve středu závitu.

Příklad 3.21 Kolik závitů má solenoid délky l = 30 cm, jestliže se průchodem proudu I = 0,5A v dutiněvytvořilo magnetické pole o intenzitě H = 833 A · m−1?

Příklad 3.22 Elektron vlétne do magnetického pole o indukci B = 10T rychlostí v = 3 · 107 m · s−1 vesměru kolmém k poli. Vypočtěte sílu, kterou pole působí na elektron.

Příklad 3.23 Elektron vlétne rychlostí v = 4,8 · 107 m · s−1 do magnetického pole o indukci B = 0,01Tkolmo k indukčním čarám. Vypočtěte poloměr dráhy elektronu.

Příklad 3.24 Elektron vlétne do magnetického pole kolmo k indukčním čarám a koná kruhový pohybs periodou T = 10−8 s. Vypočtěte magnetickou indukci pole. Jaký poloměr má dráha elektronu, získá-lirychlost potenciálovým rozdílem U = 3 000V?

Příklad 3.25 Elektron, který byl urychlen potenciálovým rozdílem U = 320V a vlétl kolmo do homo-genního magnetického pole o indukci B = 6 ·10−4 T, opisuje kruhovou dráhu o poloměru r = 0,1m. Určeteměrný náboj elektronu.

Příklad 3.26 Jaká je intenzita homogenního magnetického pole, v němž je přímý vodič o délce l = 0,15m,kolmý na směr magnetické indukce, vytlačován silou F = 0,2N, protéká-li vodičem proud I = 10A?

Příklad 3.27 Jakou silou přitahuje vodič protékaný proudem I1 = 25A délky 20 cm rovnoběžný vodič,jímž teče proud I2 = 30A, je-li vzdálenost vodičů 1 cm?

Příklad 3.28 Jaká je rychlost elektronů, jestliže současného vlivu elektrického pole o intenzitě E =34 · 104 V · m−1 a magnetického pole o indukci B = 2 · 10−3 T nenastává výchylka elektronů, přičemž oběpole jsou kolmé vzájemně i ke směru pohybu elektronů? Jaký bude poloměr dráhy elektronů, jestližeelektrické pole odstraníme?

Příklad 3.29 Vypočtěte velikost přitažlivé síly na délku 30 cm mezi dvěma dlouhými rovnoběžnýmivodiči, jimiž prochází stejný proud 50A, je-li vzájemná vzdálenost vodičů 5 cm?

Příklad 3.30 Při zasunutí jádra do solenoidu vzrostla magnetická indukce z hodnoty B1 = 2,5 · 10−3 Tna hodnotu B2 = 1,25T při nezměněném proudu. Určete relativní permitivitu jádra.

Příklad 3.31 Určete magnetický indukční tok v železe o průřezu S = 4 cm2, je-li intenzita magnetickéhopole H = 8 000 A · m−1

Příklad 3.32 Dvěma dlouhými přímými mimoběžnými vodiči tečou proudy 12A a 8A. První vodič pro-chází osou x kartézské souřadné soustavy, druhý je rovnoběžný s osou y, ale je od roviny xy posunutve směru osy z o vzdálenost 50mm. Vypočtěte:

• magnetickou indukci pole buzeného vodičem V1 v bodě P,

• magnetickou indukci výsledného pole v bodě P, jestliže bod P leží na ose z ve vzdálenosti 85mmod počátku soustavy (ve vakuu).

Příklad 3.33 V rozvodu nízkého napětí jsou přímé sběrné vodiče upevněné vedle sebe rovnoběžně vevzdálenosti 10 cm. Při krátkém spojení prochází nimi zkratový proud 104 A. Jakou silou se při zkratupřitahují dva sousední vodiče?

Příklad 3.34 V homogenním magnetickém poli je vložený přímý vodorovný vodič kolmý na indukčníčáry. Délková měrná hmotnost vodiče je 10 kg · m−1. Vodičem protéká proud 2A. Vypočtěte, jaká musíbýt indukce magnetického pole, aby vodič nepadal, ale vznášel se?

41

Příklad 3.35 Deuterium probíhá kruhovou dráhu o R = 40 cm v magnetickém poli o indukci B =1,5 Wb · m2. Určete:

• rychlost deuteria,

• za jakou dobu vykoná polovinu oběhu,

• jakého napětí by bylo třeba k urychlení, aby získal tuto rychlost.

Příklad 3.36 Svazek elektronů urychlených napětím U = 2 000V a pohybujících se ve směru osy xvstupuje do příčného elektrického pole o intenzitě E = 3 ·104 V·m−1 (vektor E má směr osy y) a současnědo příčného magnetického pole o magnetické indukci B (vektor B má směr osy z). Určete:

• při jaké hodnotě magnetické indukce B nedojde k vychýlení svazku elektronů od původního směru,

• poloměr kružnice, po níž se budou elektrony pohybovat, odstraníme-li elektrické pole,

• o jaký úhel se svazek elektronů odchýlí od osy x v případě, že odstraníme magnetické pole arozlehlost elektrického pole ve směru osy x je l = 50mm (délka vychylovacích destiček).

q Bv

Fmq

B

v

Fm

Fe

E q v

Fe

E

v

42

4. Nestacionární elektromagnetické pole

4.1. Řešené příkladyPříklad 4.1 Kovová tyč AB délky l = 0,5m se vodivě dotýká dvou rovnoběžných drátů, které jsou najednom konci spojeny. Homogenní magnetické pole o magnetické indukci B = 0,5T je kolmé k rovinědrátů.

• vypočtěte velikost indukovaného napětí v tyči AB, pohybuje-li se tyč rychlostí v = 4m·s−1,

• určete, jak velká vnější síla udrží tyč v pohybu, je-li v daném okamžiku odpor celého obvoduR = 0,2 Ω,

• porovnejte výkon vnější síly s výkonem elektrického proudu v obvodu.

Tření ve všech případech zanedbejte.

Bv

l

B

A

ŘešeníB = 0,5T dΦm = BdS = Blvdtv = 4m·s−1 Ui = dΦm

dt = Blv = 0,5 · 0,5 · 4 = 1 Vl = 0,5m Fv = Fm = BIl = B Ui

R l = 0,5 10,2 0,5 = 1,25 N

R = 0,2 Ω Pe = U2i

R = 10,2 = 5 W

Pv = Fvv = 1,25 · 4 = 5 W

Příklad 4.2 Kovový kotouč o poloměru R rotuje s frekvencí f v homogenním magnetickém poli o mag-netické indukci B, která je kolmá k rovině kotouče. Jaké bude indukované napětí mezi středem a okrajemkotouče?

B

v

r

ŘešeníB dUi = Bvdr = Bωrdr = B2πfωrdrR Ui =

∫dUi = Bω

∫ R0 rdr = 1

2 BωR2

f

Příklad 4.3 Na železné obruči čtvercového průřezu s vnějším poloměrem r1 a vnitřním poloměrem r2 jehustě navinutá jednovrstvá toroidní cívka o N závitech. Předpokládejme, že µr železa je konstantní a žer1 − r2 ≪ r2.

• Vypočtěte vlastní indukčnost L toroidní cívky za předpokladu, že magnetická indukce B má v celémprůřezu jádra konstantní hodnotu.

• Vypočtěte vlastní indukčnost L toroidní cívky v případě, že velikost magnetické indukce B se budeměnit se vzdáleností od středu toroidní cívky.

43

(Návod: Pro výpočet B v jádře cívky využijte Ampérova zákona celkového proudu)Řešení

µr µ0µrNI =∮

l Bdl = B∮

l dlN délka střední indukční čáry l = 2π r1+r2

2 = π(r1 + r2)r1, r2 B = µ0µr

πNI

r1+r2

plocha průřezu jádra S = (r1 − r2)2Φm1 = BS = µ0µr

πNI

r1+r2(r1 − r2)2

Φm = µ0µrπ N2I (r1−r2)2

(r1+r2) = LIL = µ0µr

π N2 (r1−r2)2r1+r2

µ0µrNI = 2πrBB = µ0µr

2πNIr

Φm1 =∫

S BdS = µ0µr2π NI (r1 − r2)

∫ r2r1

drr = µ0µr

2π NI (r1 − r2) ln r1r2

Φm = NΦm1 = LIL = µ0µr

2π N2 (r1 − r2) ln r1r2

Příklad 4.4 Velmi krátká kruhová cívka o 50 závitech má průřez 4 cm2 a je umístěna ve středu velmikrátké kruhové cívky s poloměrem 20 cm a se 100 závity. Osy obou cívek splývají. Určete:

• jaká je vzájemná indukčnost cívek,

• jaká bude hodnota indukovaného napětí v první cívce, jestliže proud v druhé cívce klesne rovno-měrně za 2 s o 10A.

ŘešeníN1 = 50 B = µ0

2Ia

N2 = 100 B2 = µ02

Ir2

N2S1 = 4 · 10−4 m2 Φm1 = B2S1N1 = µ0

2N1N2

r2S1I = MI

r2 = 0,2m M = µ02

N1N2r2

S1 = 4π10−7

250·100

0,2 4 · 10−4 = 6,28 µH

∆I = 10A, ∆t = 2 s Ui = M ∆I∆t = 6,28 · 10−6 10

2 = 3,14 · 10−5 V

Příklad 4.5 Délka střední kružnice toroidní cívky je l = 50 cm, počet závitů N = 1 000 a příčný průřezS = 4 cm2. Jádro cívky má relativní permeabilitu µr = 5 000. Vypočtěte:

• koeficient vlastní indukčnosti cívky,

• energii magnetického pole Wm, prochází-li vinutím cívky proud I = 10A,

• napětí indukované v cívce, jestliže při vypnutí zdroje proud ve vinutí cívky klesne na nulovouhodnotu za dobu t = 0,01 s.

ŘešeníI = 10A B = µ0µr

NIl

N = 1 000 Φm = BSN = µ0µrN2

l SI = LIµr = 5 000 L = µ0µr

N2

l S = 4π10−75 000 1 0002

0,5 4 · 10−4 = 5,026 H

l = 0,5m Wm = 12 BHV = µ0µr

2N2I2

l S = 4π10−75·103

2106102

0,5 4 · 10−4 = 251,3 J

S = 4 · 10−4 m2 Ui = L I∆t = 5 10

0,01 = 5 000 V∆t = 0,01 s

Příklad 4.6 Cívka má odpor vinutí RL = 1 Ω a indukčnost L = 1H. Určete:

• časovou konstantu obvodu,

• proud v obvodu v čase t = 1 s od připojení obvodu ke zdroji Ue = 10V,

• ustálenou hodnotu proudu v obvodu,

44

• napětí, indukované v cívce, jestliže po odpojení zdroje klesne proud z ustálené hodnoty na nulu zadobu ∆t = 0,01 s.

ŘešeníL = 1H τ = L

RL= 1

1 = 1 sRL = 1 Ω I = I0

(1 − exp

(− t

τ))

= UeRL

(1 − exp

(− t

τ))

= 101 (1 − exp (−1)) = 6,32 A

Ue = 10V I0 = UeRL

= 101 = 10 A

t = 1 s Ui = −L ∆I∆t = −1 10

0,01 = 1 000 V∆t = 0,01 s

Příklad 4.7 Kondenzátor o kapacitě C = 10 µF je připojen přes odpor R = 1MΩ ke zdroji elektromo-torického napětí Ue = 100V. Vypočtěte:

• časovou konstantu obvodu,

• nabíjecí proudy v časech t1 = 0 s, t2 = 5 s, t3 = 20 s, t4 = 30 s od připojení obvodu ke zdroji napětí,

• napětí na kondenzátoru v časech t1 až t4,

• vybíjecí proud kondenzátoru přes odpor R = 1MΩ v časech t1 až t4 od odpojení zdroje poté, cobyl nabit na napětí 100V,

• určete napětí UC na kondenzátoru v časech t1 až t4.

ŘešeníC = 10−5 F τ = RC = 10610−5 = 10 sR = 106 Ω In = I0 exp

(− t

τ)

= UeR exp

(− t

τ)

Ue = 100V In1 = 100106 exp (0) = 10−4 A In2 = 100

106 exp(− 5

10)

= 6 · 10−5 AIn3 = 100

106 exp(− 20

10)

= 10−5 A In4 = 100106 exp

(− 30

10)

= 5 · 10−6 AUn = Ue

(1 − exp

(− t

τ))

Un1 = 100 (1 − exp (0)) = 0 V Un2 = 100(1 − exp

(− 5

10))

= 39 VUn3 = 100

(1 − exp

(− 20

10))

= 86,5 V Un4 = 100(1 − exp

(− 30

10))

= 95,0 V

Iv = I0 exp(− t

τ)

= UeR exp

(− t

τ)

Iv1 = 100106 exp (0) = 10−5 A Iv2 = 100

106 exp(− 5

10)

= 6 · 10−5 AIv3 = 100

106 exp(− 20

10)

= 1 · 10−5 A Iv4 = 100106 exp

(− 30

10)

= 5 · 10−6 AUv = U0 exp

(− t

τ)

= Ue exp(− t

τ)

Uv1 = 100 exp (0) = 100 V Uv2 = 100 − exp( 5

10)

= 60,6 V

Uv3 = 100 exp( 20

10)

= 13,5 V Uv4 = 100 exp( 30

10)

= 5,0 V

Příklad 4.8 Rámeček o stranách a = 10 cm, b = 20 cm ovinutý N = 100 závity drátu se otáčí v homo-genním magnetickém poli o indukci B = 0,5T kolem osy rovnoběžně se stranou b jdoucí středem stranya. Přitom koná 50 ot

s . Jaká je amplituda napětí indukovaného v závitu?Řešení

N = 100 Φm = NBS cos (ωt)S = 0,02m2 Ui = − dΦm

dt = NBSω sin (ωt)B = 0,5T Um = NBSω = NBS2πf = 100 · 0,5 · 0,02 · 2π50 = 314 Vf = 50Hz

Příklad 4.9 Ke zdroji stejnosměrného napětí Uef = 220V frekvence f = 50Hz je připojeno elektrickézařízení, které má činný příkon P = 500W. Zařízení se skládá z činného odporu R a indukčnosti L.Ampérmetrem naměříme proud Ief = 2,5A. Jaká je hodnota R a L?

45

ŘešeníUef = 220V P = UI cos ϕf = 50Hz ϕ = arccos P

UI = arccos 500220·2,5 = 24,6

P = 500W UR = U cos ϕIef = 2,5A UL = U sin ϕ

R = URI = U cos ϕ

I = 220 cos 24,6

2,5 = 80 ΩLω = UL

IL = UL

ωI = U sin ϕ2πfI = 220 sin 24,6

2π50·2,5 = 0,117 H

Příklad 4.10 V cívce s odporem vinutí RL = 10 Ω vznikne při frekvenci připojeného napětí f = 50Hzfázový posun ϕ = 60. Jaká je indukčnost cívky?Řešení

RL = 10 Ω tan ϕ = ULUR

= ωLIRLI = ωL

RL

f = 50Hz L = RLω tan ϕ = 10

2π50 tan 60 = 0,055 Hϕ = 60

Příklad 4.11 Vypočítejte ztráty výkonu na elektrickém vedení z elektrárny ke spotřebiči za těchtopodmínek:

• přenášený výkon P = 100 kW, napětí na svorkách zdroje U = 22 kV, odpor vedení Rv = 10 Ω, fázovýposun napětí vzhledem k proudu ϕ = 30,

• jaké by byly ztráty výkonu, bude-li napětí U = 220V a ostatní podmínky zůstanou stejné.

ŘešeníP = 105 W P = UI cos ϕU = 2,2 · 104 V I = P

U cos ϕRv = 10 Ω Pv = RvI2 = Rv

P2

U2 cos2 ϕ = 10 1010

2,22·108 cos2 30 = 275,5 W

ϕ = 30 P ′v = RvI′2 = Rv

P2

U ′2 cos2 ϕ = 10 1010

2202 cos2 30 = 2,75 MWU ′ = 220V

Příklad 4.12 Jaký proud bude procházet kondenzátorem o kapacitě C = 20 µF a odporu R = 150 Ω,které jsou zapojené do série a připojeny ke zdroji napětí Uef = 110V? Jaké napětí bude na kondenzátorua na odporu při frekvenci f = 50Hz?Řešení

Uef = 110V Z =√

R2 +( 1

ωC)2 =

√1502 +

( 12π502·10−5

)2 = 219 Ωf = 50Hz Ief = Uef

Z = 110219 = 0,5 A

R = 150 Ω UR = RIef = 150 · 0,5 = 75 VC = 2 · 10−5 F UC = I

ωC = 0,52π50·2·10−5 = 79,6 V

Příklad 4.13 Cívkou a kondenzátorem o kapacitě C = 10 µF, které jsou zapojeny do série, procházíproud I = 1A při f = 50Hz. Odpor cívky je RL = 120 Ω, napětí zdroje je U = 120V. Jaký je koeficientvlastní indukčnosti cívky?Řešení

U = 120V Z = UI =

√R2

L +(ωL − 1

ωC)2

I = 1A L = 1ω

(√U2

I2 − R2L + 1

ωC

)= 1

2π50

(√1202

12 − 1202 + 12π50·10−5

)= 1,01 H

f = 50HzRL = 120 ΩC = 10−5 F

46

Příklad 4.14 Ke zdroji střídavého napětí U = 120V, f = 50Hz je připojen kondenzátor o kapacitěC = 20 µF a cívka o indukčnosti L = 0,5H a odporu vinutí RL = 100 Ω. Kondenzátor a cívka jsouzapojeny paralelně. Vypočítejte proud kondenzátorem, proud cívkou a celkový proud.Řešení

U = 120V ZL =√

R2L + (ωL)2 =

√1002 + (2π50 · 0,5)2 = 186 Ω

f = 50Hz ZC = 1ωC = 1

2π50·2·10−5 = 159 ΩL = 0,5H Z = ZLZC

ZL+ZC= 186·159

186+159 = 85,7 ΩRL = 100 Ω I = U

Z = 12085,7 = 1,4 A

C = 2 · 10−5 F IL = ZCZL+ZC

I = 159186+159 1,4 = 0,65 A

IC = ZLZL+ZC

I = 186186+159 1,4 = 0,54 A

Příklad 4.15 Spotřebič, jenž představuje RL zátěž, má příkon P = 3 kW a účiník cos ϕ = 0,6 a jepřipojený na elektrickou síť s napětím U = 220V o frekvenci f = 50Hz. Jak velký kondenzátor je třebapřipojit paralelně ke spotřebiči, aby cos ϕ2 = 1?Řešení

P = 3 · 103 W P = UI1 cos ϕ1cos ϕ1 = 0,6 I1 = P

U cos ϕ1

U = 220V IC = I1 sin ϕ2 = PU cos ϕ1

sin ϕ2

f = 50Hz IC = UZC

= UωCC = IC

Uω = 1Uω

PU cos ϕ1

sin ϕ2 = 1220·2π50

3·103

220·0,6 1 = 329 µF

Příklad 4.16 Sériový obvod složený z kondenzátoru o kapacitě C = 8 µF, indukčnosti L = 2H a rezistoruo odporu R = 30 Ω je připojený ke zdroji o napětí U = 100V a frekvenci f = 50Hz. Stanovte impedanciobvodu, proud obvodem, napětí na kondenzátoru, indukčnosti a rezistoru a účiník cos ϕ.Řešení

U = 100V Z =√

R2 +(ωL − 1

ωC)2 =

√302 +

(2π50 · 2 − 1

2π50·8·10−6

)2 = 232,38 Ω

f = 50Hz I = UZ = 100

232,38 = 0,43 A

R = 30 Ω UR = RZ U = 30

232,38 100 = 12,9 V

L = 2H UL = ZLZ U = ωL

Z U = 2π50·2232,38 100 = 270,4 V

C = 8 · 10−6 F UC = ZCZ U =

1ωCZ = 1

2π50·8·10−6232,38 100 = 171,2 V

cos ϕ = RZ = 30

232,38 = 0,13

Příklad 4.17 Sériový obvod RLC se skládá z RL = 40 Ω, L = 1H, C = 0,5 µF. Vypočtěte:

• rezonanční frekvenci obvodu,

• proud v obvodu při rezonanci, je-li napájen napětím U = 100V,

• napětí na kondenzátoru a cívce při rezonanci.

ŘešeníU = 100V fr = 1

2π√

LC = 12π

√5·10−7 = 225 Hz

RL = 40 Ω Ir = URL

= 10040 = 2,5A

L = 1H UL = ZLI =√

R2L + (ωL)2I =

√402 + (2π225)22,5 = 3,5 kV

C = 5 · 10−7 F UC = ZC I = IωC = 2,5

2π225·5·10−7 = 3,5 kV

Příklad 4.18 K cívce o indukčnosti L = 0,1H a odporu vinutí RL = 20 Ω je paralelně připojen konden-zátor o kapacitě C = 1 µF. Určete:

• rezonanční frekvenci obvodu,

47

• impedanci obvodu při rezonanci,

• proud cívkou a kondenzátorem, je-li obvod napájen napětím U = 100V.

ŘešeníU = 100V fr = 1

2π√

LC = 12π

√0,1·10−6

= 503 Hz

RL = 20 Ω ZL =√

R2L + (ωL)2 =

√202 + (2π503 · 0,1)2 = 316 Ω

L = 0,1H ZC = 1ωC = 1

2π503·10−6 = 316 ΩC = 10−6 F Z = ZLZC

ZL+ZC= 158 Ω

IL = UZL

= 100316 = 0,32 A

IC = UZC

= 100316 = 0,32 A

Příklad 4.19 K rezistoru R = 1 000 Ω je paralelně připojen kondenzátor o kapacitě C1 = 5 µF a do séries touto paralelní kombinací je zapojen kondenzátor C2 = 2 µF. Určete komplexní impedanci obvodu, je-linapájen střídavým napětím s frekvencí 50Hz.Řešení

R = 103 Ω ZR = R = 103 ΩC1 = 5 · 10−6 F ZC1 = − 1

ωC1j = − 1

2π50·5·10−6 j = −636,6j ΩC2 = 2 · 10−6 F Z ′ = ZR ZC1

ZR +ZC1= −636,6·103 j

103−636,6j = 636,6·103

636,6+103 j = (4,0 − 63,4j) ΩZC2 = − 1

ωC2j = − 1

2π50·2·10−6 j = −1591,5j ΩZ = Z ′ + ZC2 = 4,0 − 63,4j − 1591,5j = (4,0 − 1654,9j) Ω

Příklad 4.20 Vypočtěte délky elektromagnetické vlny příslušející vlastním kmitům v paralelním LCobvodu v těchto případech:

• indukce cívky L = 1mH, kapacita kondenzátoru C = 3·10−2 µF a odpor vinutí cívky je zanedbatelněmalý,

• stanovte totéž v případě, že L = 2 µH a C = 50 pF.

ŘešeníL1 = 1 · 10−3 H fr1 = 1

2π√

L1C1= 1

2π√

10−3·3·10−8 = 2,91 · 104 HzC1 = 3 · 10−8 F λ1 = c

fr1= 3·108

2,91·104 = 1,03 · 104 m

L2 = 2 · 10−6 H fr2 = 12π

√L2C2

= 12π

√2·10−6·5·10−11 = 1,59 · 107 Hz

C2 = 5 · 10−11 F λ2 = cfr2

= 3·108

1,59·107 = 18,9 m

4.2. Neřešené příkladyIndukčnost

Příklad 4.21 Vodič ve tvaru kruhového závitu o poloměru r = 10 cm je v homogenním magnetickém polio indukci B = 1T a jeho rovina je kolmá k vektoru magnetické indukce. Jaké indukované napětí vznikneve vodiči, jestliže magnetické pole rovnoměrně vymizí za dobu t = 0,5 s?

Příklad 4.22 Závit o plošném obsahu S = 500 cm2 se otáčí v homogenním magnetickém poli o indukciB = 0,8T s frekvencí f = 50Hz. Osa otáčení je kolmá k B a leží v rovině závitu. Určete maximální hodnotuindukovaného elektromotorického napětí v závitu.

Příklad 4.23 Vypočtěte Ue, které se indukuje v cívce s indukčností L = 0,6H, jestliže v ní proud rosterovnoměrně tak, že se za ∆t = 1 s zvýší o ∆I = 1A.

Příklad 4.24 Dva obvody mají vzájemnou indukčnost M = 1,8H. Jak velké napětí se indukuje v jednomz obvodů, jestliže proud ve druhém obvodu klesne z hodnoty I = 35A na nulu během doby t = 0,7 s?

48

Příklad 4.25 Určete indukčnost cívky, která má průřez S = 1,25 · 10−3 m2, délku l = 0,08m a početzávitů N = 400, je-li relativní permeabilita jádra µr = 4 000.

Příklad 4.26 Cívka s 500 závity má délku 20 cm a průřez 4 cm2. Indukčnost cívky s jádrem je 0,8H.Určete µr jádra.

Příklad 4.27 Kolik závitů má cívka délky 0,2m s průřezem 10 cm2, jestliže se v ní rovnoměrnou změnouproudu o 10A za 1 s indukuje napětí 0,014 V a cívka je bez jádra?

Příklad 4.28 Vypočtěte energii magnetického pole cívky, jejíž indukčnost L = 60mH, prochází-li cívkouproud I = 0,5A.

Příklad 4.29 Jaký proud prochází tlumivkou o indukčnosti L = 4H, má-li magnetické pole energiiEm = 50 J?

Příklad 4.30 Cívka má odpor 1 Ω a indukčnost 0,1H. Určete časovou konstantu cívky a vypočtěteokamžitou hodnotu proudu v čase t = 0,5 s po odpojení cívky od napětí Ue = 10V.

Příklad 4.31 Prstencové jádro o středním poloměru 0,1m, průřezu 5 · 10−4 m2 a relativní permeabilitěµr = 800 je ovinuto 1 500 závity, jejichž odpor je 2 Ω. Určete časovou konstantu obvodu.

Příklad 4.32 Rovinný kondenzátor s parafínovým papírem jako dielektrikem ztratil z původního nábojeQ0 za dobu t = 10 s náboj Q = 0,1Q0. Za předpokladu, že ztráty nastaly vedením v papíru, vypočtěteměrný odpor parafínu.

Příklad 4.33 Kruhová cívka C1 o 50 závitech jemného drátu má průřez S1 = 4 cm2 a je umístěna vestředu kruhové cívky C2 o délce 20 cm, mající 100 závitů. Osy obou cívek splývají. Určete:

• jaká je vzájemná indukčnost cívek,

• jaké je indukované elektromotorické napětí v cívce C1, když proud v cívce C2 klesne o 40A za 1 s.

Příklad 4.34 Přímá tyč o délce 20 cm se otáčí kolem jednoho svého konce v rovině kolmé k indukčnímčarám homogenního magnetického pole o indukci 1 T. Jak velké je indukované napětí mezi oběma koncityče, otočí-li se 10krát za sekundu?

Příklad 4.35 Obdélníkový vodič se otáčí 1200krát za minutu ve stejnorodém magnetickém poli o indukciB = 0,5T. Indukční čáry jsou kolmé k ose otáčení. Konce vodiče jsou připojeny ke dvěma sběrnýmkroužkům. Určete napětí na kroužcích a jeho maximum, je-li a = 60 cm, b = 30 cm.

Příklad 4.36 Prstenec z lité oceli má střední průměr 150mm a průřez 20 × 20mm2. V jednom místě jeproříznut mezerou 1mm širokou. Jak velký proud musí procházet 1 000 závity, jimiž je prstenec ovinut,má-li se v něm vzbudit indukční tok 540 µWb?

Příklad 4.37 Podkovový elektromagnet o délce 1m s jádrem z měkké oceli, jehož magnetické vlastnostijsou dány (µr = 1 250), má průřez 20 cm2 a 200 závitů drátu, jímž prochází proud 5A. Určete magnetickouenergii v jádře.

Příklad 4.38 Kovová tyč se pohybuje stálou rychlostí v = 2 m · s−1 rovnoměrně s dlouhým přímýmdrátem, jímž prochází proud I = 40A. Vypočtěte indukované elektromotorické napětí v tyči. Který konectyče je na vyšším potenciálu?

Příklad 4.39 Mezi póly elektromagnetu je homogenní magnetické pole o indukci B = 0,5T. Jaké napětíse indukuje ve vodiči délky l = 0,1m, který je kolmý k vektoru magnetické indukce a pohybuje serychlostí v = 1 m · s−1 ve směru kolmém k B i ke své délce?

49

Příklad 4.40 Vodivá tyč je v homogenním magnetickém poli o indukci B = 0,5T. Určete velikost induko-vaného elektromotorického napětí v tyči, pohybuje-li se rychlostí v = 4 m · s−1. Určete proud procházejícíobvodem, je-li odpor obvodu R = 2 Ω a sílu, která působí na pohybující se tyč. Vzájemná vzdálenost drátůje l = 0,5m.

Příklad 4.41 Ve kterých okamžicích je v kmitajícím obvodu energie elektrického pole kondenzátorustejně velká jako energie magnetického pole cívky?

Střídavý proud

Příklad 4.42 Určete efektivní hodnotu harmonického střídavého proudu a napětí.

Příklad 4.43 Určete střední hodnotu harmonického střídavého proudu.

Příklad 4.44 Vypočtěte výkon střídavého proudu.

Příklad 4.45 Vypočtěte průběh proudu v obvodu s indukčností L napájeném harmonickým střídavýmnapětím.

Příklad 4.46 Vypočtěte průběh proudu v obvodu s kapacitou C napájeném harmonickým střídavýmnapětím.

Příklad 4.47 Jaká je indukčnost cívky se zanedbatelným odporem, jestliže po zapojení na střídavénapětí 110V a 50Hz propouští proud 10A?

Příklad 4.48 Jakou kapacitanci představuje kondenzátor o kapacitě 8 µF po připojení na střídavé napětío frekvenci 50Hz?

Příklad 4.49 Při jakém napětí bude procházet cívkou, která má odpor 35Ω a indukčnost 0,1H proud3A při frekvenci 50Hz?

Příklad 4.50 Jaký proud protéká obvodem s L = 4H, C = 16 µF, které jsou paralelně spojeny a připojenyna zdroj střídavého napětí s U = 220V a f = 50Hz?

Příklad 4.51 Kondenzátor o kapacitě C = 16 µF a rezistor o odporu R = 200 Ω jsou zapojeny do sériea připojeny ke zdroji střídavého napětí U = 220V, f = 50Hz. Určete impedanci obvodu, proud v obvodu,fázový posuv mezi proudem a napětím, napětí na kondenzátoru a na odporu.

Příklad 4.52 V obvodu střídavého proudu jsou zapojeny za sebou odpor 400 Ω, cívka o indukčnosti 0,1Ha kondenzátor o kapacitě 0,5 µF. Vypočtěte impedanci a fázový posuv v obvodu pro frekvenci 1 000 Hz.

Příklad 4.53 Sériový obvod složený z cívky s odporem R = 0,2 Ω, indukčností L = 50 µH a z konden-zátoru o C = 300 pF je připojen na střídavé napětí U = 4V. Vypočtěte rezonanční frekvenci, rezonančníproud a napětí na indukčnosti a kapacitě při rezonanci.

Příklad 4.54 Odpor R = 3 Ω a kondenzátor o kapacitanci XC = 5 Ω jsou spojeny paralelně a připojenyke zdroji střídavého napětí U = 10V, f = 50Hz. Vypočtěte impedanci obvodu, proud jdoucí kondenzáto-rem a proud jdoucí odporem, celkový proud a fázový posuv mezi proudem a napětím.

Příklad 4.55 Na střídavé napětí U = 100V, f = 50Hz jsou paralelně zapojeny odpor R = 20 Ω, cívka oinduktanci XL = 25 Ω a kondenzátor o kapacitanci XC = 50 Ω. Určete proud v obvodu, proud v jednotlivýchvětvích a fázový posuv mezi proudem a napětím.

Příklad 4.56 Na zdroj střídavého napětí je připojen otevřený kabel, který představuje válcový kon-denzátor o velké kapacitě. Generátor představuje indukčnost L. Celý obvod má určitý odpor jako obvodRLC . Nechť je vrcholové napětí generátoru 6 000V, celková indukčnost obvodu L = 2

3 H, kapacita kabeluC = 1,5 µF, kmitočet proudu f = 50Hz a celkový odpor vedení 2 Ω. Určete napětí při rezonanci.

50

Příklad 4.57 Ke zdroji střídavého napětí 220 V s frekvencí f = 50Hz je připojen kondenzátor s kapa-citou 6 pF. Vypočítejte, jaký proud teče obvodem a jaký proud by procházel, kdyby se frekvence zvýšiladesetinásobně.

Příklad 4.58 Jak velké je výsledné střídavé napětí v obvodu, v němž jsou zapojeny za sebou dva zdrojestřídavého napětí U1 = 30V, U2 = 40V, jestliže U1 předbíhá U2 o fázový úhel 60. Jak velká je hodnotanapětí v okamžiku, když U1 je maximální?

Příklad 4.59 Určete fázový posuv a velikost proudu, který dodává zdroj do dvou paralelních větví, mají-lijednotlivé proudy velikost I1 = 3A, I2 = 4A a fázové posuvy ϕ1 = 30, ϕ2 = 60.

Příklad 4.60 Při otáčení závitu v homogenním magnetickém poli je amplituda střídavého napětí 100 Va perioda 0,02 s. Určete okamžitou hodnotu napětí v časech 0,005 s, 0,01 s, 0,015 s, 0,02 s.

Příklad 4.61 Maximální hodnota střídavého napětí je 300V, frekvence je 50Hz. Za jaký čas po nulovéhodnotě dosáhne okamžitá hodnota napětí 30 V, respektive 150V?

Příklad 4.62 V obvodu střídavého napětí 500 V, 50Hz jsou zařazeny za sebou činný odpor 300 Ω, in-duktivní odpor 400 Ω a kapacitní odpor 500 Ω. Určete:

• indukčnost a kapacitu,

• impedanci,

• proud v obvodu,

• fázový posuv mezi proudem a napětím,

• jak velká musí být kapacita, aby nastala rezonance a jaký proud protéká obvodem v tomto případě.

Příklad 4.63 Solenoid o délce l = 50 cm, průřezu S = 10 cm2 s počtem závitů N = 3 000 a odporemR = 20 Ω je zapojen na střídavé napětí 100V. Vypočtěte hodnotu proudu, je-li frekvence 50Hz, 250Hz a500Hz.

Příklad 4.64 Jaký proud bude procházet kondenzátorem C = 20 µF a odporem R = 150 Ω, které jsouspojeny za sebou, je-li na nich napětí U0 = 110V při frekvenci 50Hz? Jaké napětí bude na kondenzátorua jaké na odporu?

Příklad 4.65 Na papírový válec dlouhý l = 50 cm o průměru d2 = 6 cm je navinuto N = 500 závitůměděného drátu o průměru d1 = 0,05mm. Při jaké frekvenci f je impedance takové cívky 2krát větší nežodpor samotného drátu?

Příklad 4.66 Primární cívka nezatíženého síťového trafa má N závitů a je připojena k síťovému napětío efektivní hodnotě U a frekvenci f . Cívkou prochází magnetizační proud o efektivní hodnotě I. Jádrotransformátoru složené z magneticky měkkých ocelových plechů má průřez S a délku střední indukčníčáry l. Určete:

• indukčnost primární cívky trafa,

• amplitudu Bm kmitů magnetické indukce v jádře transformátoru,

• relativní permitivitu jádra.

(N = 900, U = 220V, I = 115mA, S = 10,5 cm2, l = 41 cm)

...PoděkováníAutor textu děkuje studentu Marku Nedvědovi za převod rukopisu do elektronické formy.

51