7
Search for minimal paths in modi®ed networks Wei-Chang Yeh * Department of Industrial Engineering, Feng Chia University, P.O. Box 67-100, Taichung 407, Taiwan, ROC Received 14 July 2001; accepted 24 September 2001 Abstract The problem of searching for all minimal paths MPs) in a network obtained by modifying the original network, e.g. for network expansion or reinforcement, is discussed and solved in this study. The existing best-known method to solve this problem was a straightforward approach. It needed extensive comparison and veri®cation, and failed to solve some special but important cases. Therefore, a more ef®cient, intuitive and generalized method to search for all MPs without an extensive research procedure is proposed. In this presentation, ®rst we develop an intuitive algorithm based upon the reformation of all MPs in the original network to search for all MPs in a modi®ed network. Next, the computational complexity of the proposed algorithm is analyzed and compared with the existing methods. Finally, examples illustrate how all MPs are generated in a modi®ed network based upon the reformation of all of the MPs in the corresponding original network. q 2002 Elsevier Science Ltd. All rights reserved. Keywords: Reliability; Modi®ed network; Shortest path; Minimal paths 1. Introduction In recent years, in order to validate, verify the designs and evaluate the performance, many real world systems, such as computer and communication systems [1±3], power trans- mission and distribution systems [4,5], transportation systems [6,7], oil/gas production system [7,8], etc. are ®rst modeled as networks. Reliability is then usually one of the most important indexes of this network. To evaluate reliability, all MCs minimal cuts) or MPs of the system must be known in advance. However, both the problems in locating all MCs/MPs and computing the system reliability in terms of the known MCs/MPs are NP-hard [4,5,9±24]. There is generally a need to evaluate only a few of the modi®cations in an existing network for expansion or reinforcement without locating all MPs or MCs. In many cases, modi®cation of an existing network for network expansion or reinforcement planning is often necessary [19±23]. Such problems have been posed and solved recently for MCs [19,22] and MPs [23], separately. Nevertheless, for the MP problem, the best-known method proposed by Nahman [23] was a straightforward approach that required extensive comparison and veri®cation. This method failed to solve some special but important cases in a modi®ed network. The need for a more ef®cient, intuitive and generalized method to search for all MPs without an extensive research procedure thus arose. The main purpose of this article is to present an ef®cient method to search for all of the MPs in a modi®ed network. This proposed algorithm is very effective and ef®cient when compared to the best-known method. This paper is organized as follows. Section 2 describes the notation, nomenclature and assumptions required. Some important lemmas and theorems are discussed in Section 3. Section 4 discusses the best-known algorithm, then presents the proposed method in detail, together with a discussion of the time complexity and a comparison of the ef®ciency between our method and the best-known algorithm. Two illustrative examples are included in Section 5 to show how to generate all of the MPs in a modi®ed network through our algorithm. Concluding remarks are given in Section 6. 2. Notation, nomenclature and assumptions 2.1. Notation GV, E) an original network with the set of nodes V, the set of undirected arcs E, and the weight of each arc in E is equal to 1 s, t s; t [ V is the speci®ed source node and sink node, respectively Reliability Engineering and System Safety 75 2002) 389±395 0951-8320/02/$ - see front matter q 2002 Elsevier Science Ltd. All rights reserved. PII: S0951-832001)00128-4 www.elsevier.com/locate/ress * Corresponding author. Tel.: 1886-4-2321-6168; fax: 1886-4-2208- 4168. E-mail address: [email protected] W.-C. Yeh).

Search for minimal paths in modified networks

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Search for minimal paths in modified networks

������ ��� ��� ���� � ����� ��������

�������� ����

���������� ��� ������ ������������ ���� ���� ����������� ���� �� � !"##� $��%� �� &# � $��'��� (��

������� �� ��� !""�# ���� ��� !� �� ��$�� !""�

��������

%�� ��$�� �� �������� ��� ��� ��� ���� &'(�) � � ������� �$����� $ ��� �� ��� ������ �������* �+�+ ��� ������� �, �����

�� �����������* � �������� ��� ������ � ��� ���� + %�� �,���� $��������� ����� �� ����� ��� ��$�� ��� � ��������������

� �����+ -� ������ �,������ �� ����� ��� ���������* ��� ����� �� ����� ��� � ���� $�� ������ �����+ %��������* � ��� �������*

������ ��� �������.�� ����� �� ������ ��� ��� '(� ������ �� �,������ �������� �������� � �� ����+ -� ��� ����������* ���� ��

������ �� ������ ������� $���� � �� ��� ��������� �� ��� '(� � ��� ������ ������� �� ������ ��� ��� '(� � � ����� �������+

/�,�* ��� �� �������� �� ��,� �� ��� �� ���� ������� � ���� .�� ��� �� ���� ��� ��� �,���� ������+ 0���� * �,� ���

��������� ��� ��� '(� ��� ��������� � � ����� ������� $���� � �� ��� ��������� �� ��� �� ��� '(� � ��� ������ ����� ������

�������+ � !""! 1������ ������ 2��+ 3�� ����� ��������+

)��'���4 ����$�� # '����� �������# �������� ���# '��� ����

� ���� ������

-� ������ ����* � ����� �� �������* ���� ��� ������ ���

�������� ��� ���������* �� ���� ����� � ����* ���� ��

�� ���� ��� ��������� � ���� 5�678* ���� ������

���� ��� ����$���� � ���� 5�*98* ����� �������

� ���� 5:*;8* ��<��� �������� � ��� 5;*=8* ���+ ��� ����

������ �� ��������+ ����$�� � ���� ������ ��� �� ���

��� ������ ���,�� �� ��� �������+

%� �������� ����$�� * ��� '�� &��� ����) �� '(� ��

��� � ��� ��� $� ����� � �������+ >������* $��� ���

��$��� � ������� ��� '��<'(� ��� �� ���� ��� � ���

����$�� � ���� �� ��� ����� '��<'(� ��� /(�����

5�*9*?6!�8+ %���� � �������� � ���� �� �������� ��� � ���

�� ��� ��������� � �� �,���� ������� ��� �, ����� ��

����������� ������ ������� ��� '(� �� '��+

-� �� �����* �������� �� �� �,���� ������� ���

������� �, ����� �� ����������� ������ � �����

�������� 5�?6!78+ ���� ��$��� ���� $��� ���� ���

������ ������� ��� '�� 5�?*!!8 ��� '(� 5!78* �� ������ +

/�����������* ��� ��� '( ��$��* ��� $��������� �����

�� ���� $ /���� 5!78 ��� � �������������� � �����

���� ��@���� �,������ �� ����� ��� ���������+ %��

����� ����� �� ����� ��� � ���� $�� ������ ����� �

� ����� �������+ %�� ���� ��� � ��� �������* ������

��� �������.�� ����� �� ������ ��� ��� '(� ������ ��

�,������ �������� �������� ���� �����+ %�� �� �� ���

�� ��� ������ � �� ������ �� ������� ����� �� ������ ���

��� �� ��� '(� � � ����� �������+ %�� �� ����

������� � ��� �������� ��� ������� ���� �� ���� ��

��� $��������� �����+

%�� � �� � �����.�� �� �������+ ������ ! �����$��

��� �������* ����������� ��� ���� ���� ��@����+ ���

������ ���� ��� ������� ��� �������� � ������ 7+

������ � �������� ��� $��������� �������* ���� �������

��� �� ���� ����� � �����* �������� ��� � �������� ��

��� �� �� ��,� ��� � �� ����� �� ��� �������

$������ ��� ����� ��� ��� $��������� �������+ %��

���������� �,� ��� ��� ������� � ������ 9 �� ����

��� �� �������� ��� �� ��� '(� � � ����� �������

������� ��� �������+ ��������� ������ ��� ���� �

������ :+

� ��������� ������������ �� �����������

*�"� +�����

,&-* �) �� ������ ������� ��� ��� ��� �� ����� -* ��� ���

�� ��������� ���� �* ��� ��� ����� �� ���� ��� �

� � �@��� �� �

�* � �� � � - � ��� � ����� ������ ���� ��� ��� ����*

��� ������

����$�� 1�������� ��� � ��� ����� ;9 &!""!) 7=?67?9

"?9��=7!"<"!<A � ��� ����� ����� � !""! 1������ ������ 2��+ 3�� ����� ��������+

(--4 �"?9��=7!"&"�)""�!=��

���+�������+��<������<����

� ������ ����� ������+ %��+4 �==:���!7!��:�:=# ��,4 �==:���!!"=�

��:=+

�!���� �������. �� ��B���+���+�� &�+��+ ���)+

Page 2: Search for minimal paths in modified networks

��� ��� �� ��� �/� 0� � � ��� ��� ��� ���� / ��� 0*

����� ����� / ��� 0 ��� ��� � -

1�� 1�� � 1�� � � $����� �����* +�+ � ���* ����

$������ ���� � ��� ���� � ��� C��� ��� ����

�� ��� ���&�) � 1��D� - � C�� �D ��� 1�� � � � ��

�* � � � � � - ��� ��� ������ ��� ���� �� � $�����

�����

,�- ��� � 1�� ��� ����� ������� ����� ������� � $�����

����� 1�� � ,&-* �)* ����� 1�� � � � � ��� C���

��� ���� �� ��� ���&�) � 1��D� - � C�� �D�

� � �� � � �� � C��� ��� ���� �� ��� ������ � �D� C���

��� ���� �� ��� ������ � ��D � - � ����� � ��� ��

��� ��� ���� &���� �� ����)

'(&'�) � ��� ��� &'() &���) $������ ��� ������

���� � ��� ��� ��� ���� �

� ��� ��� �� ��� '(�+

��� � ��$��� �� � ���� ����� ������� ����� � ���<�� � �

,&-* �)

���� ��� ��� �� ��� ��������� '(� ���� ��� �������

����� � ���<�� � � ,�- ��� � 1����E� � ��$��� �� ��� ���� ����� ������� ���� � $�� ���

���� �

���� � ��$��� �� ��� ��� ���� ����� ������� ���� �

$����� ����� ������� ���� �

�2� ��� ��$�� �� ������� � ��� ��� 2

���&�) ��� ��$ ��� ��� ���� � �� ���� � � ��� ��� �

���&�") ��� ��� �� ���� ���� ��� ��� ��� ���� � �� ���� �

� �"* ����� �" � �

2 � $ 2 � $ � $ � 2

����/

C2� � $/D� � 2 � � ��� $ � �

�� � 2 � � �� $ � �

�����

����� ��� ��� 2� � 2* $/ � $ � 2� � $/ � �� ���

2�$ � ��

2� ��$ 2 ��� $ � 2 ��� $ � 2 � $ � C1��D� �����

2�$ � ��

*�*� +���%��� ��

F����� �����4 � $����� ����� � � ��������� ��� ��� ��

����� ��� ��� $������ ��� ������ ������� �����*

��� �,� �� � ��� � 5�?*!!*!78+ 3�� �����* �,�� �

����� � ��� �* �������� � ��� ����� $����� �����

���� ������ !+ 0�� �,� ��* 1�7 � C��"� �"7D � �

$����� ����� � 0�+ ! ��� � ����� ��� ���

������� � 0�+ �+

'����� �������4 � ����� ������� � �� � �����

������� ����� ������� � $����� ����� $������

��� ����� � ��� ������ �������+

'(<'�4 �� ��� ��� ���� ���� � �� ��� � ������ ��� ���

���* ���� ��� ������ ��� � �� ������ � '(<'�+

*�3� 4�� ������

%�� ������� ��� ����� ��� �������� ���� ����

5�?*!!*!784

�+ 1��� ���� � ������� ����$��+

!+ %�� ������� ��� � � ���������+

7+ %���� ��� �� ���������� �������+

�+ %���� ��� �� ������� $�������+

9+ G������ �� ��� ������� ����� ��� �� ����� !* �,�� � ��� ���

������ ���� � ��� ��� ���� �+

� �������������

3 � ���� �� ��� � ��������� ����* ���� � � �

�����+ -� �������� ������� �������� $ ������ ��

$������� �� �������4

������� � 4�� 5� � �� ,�- ��� �� ��� � 5� �� ���

���6�� ���'�0 ���� ������� ,�- ��� 1� ������� �

1���%� ������ 1��� � ��� ��� � � � 1�� � C�� �D�

0�� %����� �* ��� ��������� �� '(� ��� ������

��������� ��� $ H��� �������� ��� '(� ��������� ��� ���

������ $����� 5!78+ %��������* �� ��� ��� ����� �� ���

�������� �� ��� ������ ������� $ ������� � $�����

����� ��������� ��� ������ ����� � ��� ������� �� ���

���� +

������� � 4�� 5� �� ,�- ��� �� ��� �� 5� ����

������� ,�- ��� 1� ��������� � 1���%� ������ 1��'���

�' ����+

����� 3���� ���� �� � ������� ��� ��� ������� ��� ���

�� ��� ���� ��� ���� � �� ���� �+ �

0�� %����� !* �� ������� ��� ��� '(� ����� ������

�� � $����� ����� ��������� ��� ������ ����� � ��� ��

��� �� ��������� ��� '(� �� � ����� �������+ 0�������

���* ��� ���'(� � ��� ����� ������� ��� ������� �� ���

'(� ����� ������� ���� � ���<�� � � ,&-* �)+ %��������*

��� �� ��� '(� �,&-* �) ���� ����� ������� ���� � ���<�� �

��� �� ������ ��� ���� ��H��� ��$���� �� � 2�� �+

7�!�� 8�� 9 (����1����� ����������� ��� 2����� 2���� : ;*##*< 3=>?3>:7?"

0�+ �+ 3� �,� �� �������+

0�+ !+ 3 ����� ������� ����� ������� � $����� ����� $������ ����� �

��� 7 � 0�+ �+

Page 3: Search for minimal paths in modified networks

����� � ��� � ��@� � ��@� � ���� � ���� ��� ���

�������%��� ��� �' ��@�� ��@�� ����� ��� ���� ���

�����+

����� 0������ ������ ��� ��� �������� �� ���

���� ���� �������+ �

%�� %����� 7* ������ ��� ������� ���@� � ����� � ���� ���@� � ����� � �� � ���� �� ���� � ���+ 5!78 �� ���

��� �� '(� � ��� ����� �������+ -�� ���� ��� $� ����� �

���+ 5!78* ��� � ����� ����+

������� � � ���@� � ����� � � ��� ���@� � ����� � ��

���� ��� ��' ��������� 5�� �� ,�- ��� � 1�� ��� ���� �

���� ���@� � ����� ��� ��� ���@� � ������ � ���� ���@� ������ ��� ������@� � ������� ��� ���

��� � ����@��������������@��� �������� ����@��� �����������@��� ��������

%����� 7 � � �������������� ����� $�� ���� �������

$������ ���� ��� ��������� '( � ���� ��� �� �� ��

������ ��� ��� ����������� �� ��� ��� '(� ��� $� ����

���+ -� ������* %����� 7 ���� ���� �� ������ ��� ��� ���

'(� � ��� ����� ������� ���� ���@� � ����� � � ��

���@� � ����� � �� 0�� �,� ��* ������� � � ���� $��

������� ��$�� �� ��� ������� ����� � 0�+ 7+

/� '(� ��� ������� ���� � � ��� ������ ��� �+ F��*

����� ������� ��7*C��!* �!7* �7�* ���* ���D ��� ��� '( �����

������� ���� �+ %��������* � ���@� � ����� � � �� ���@� ������ � �� ���� %����� 7 � ��� ����+ >����* ��� $����

����� ������� �� ���� � ���+ 5!78 ����� ��� �����

��� ������� �� ���@� � ����� � � ��� ���@� � ����� � �+

%� ������� ��� �$��� ��$��� �� ��� $��������� �����

��� �� ���� � ���+ 5!78* ��� ��� ������ ����� ���

�������� �� �, ��� ��� '( ���������+

%�� ��������� $������ � ��� $����� ����� ��� �� '(

� �������� �� �������+

������� � � 5� �� ������ ��� �� ��� � ��� 5� �!������ ��� �� ��� � �� ,�- ��� � 1��� ������� ����� ����

1�� � ������� � C�D ��� 1�� � �����!� � C�D�

����� 3�� �� ��� ���� � 1�� ��� ��� �� ��� �� ��� ���� � �+

%��������* ��� ���� �������+ �

3� '(* �� �* ��� $� �� ������ ��� ��� ���� ������ ���������� ����� ���� � � �� ������ � � ��� ��� ���� � ��

���� �* ��� ������ � � ��� ��� ���� � �� ���� �+ '�������*

������ ����� &���) ������� ���� �* � ��� ��� � � ������� � ��@��� ��� ������ ����� &���) ������� ���� �* �

��� ��� � � � ������ � ��@��� I������ ����� � ������ ��

�������+

����� � � �� � 5� �� ���� � � � �* � ��� ��� �

������ � ������ � C�D� '���� � � - � C�� �D�

����� -� � � ������� ������ � �� +�+ ����� �������

���� �* ���� � � ����� ���� � ��� $� �� ������ ��� ���

���� ������ ��� ������ ��� ������ � ������ � C�D� �����

� � - � C�� �D� -� ������ � ������ � C�D� ���� ������������� � � ��� ��� ���� � �� ���� � ����� �������

���� �+ %�� ��������� ��� ����+ �

%�� %����� 9 � � �������.���� �� 2�� !* ��� �� �

�� ������ ���� � ��� �������� ������� ��� ����+

������� � � ��� ��� � ������ � ������ � C�D� ������ ������� � � ��� ������ � ������ � C�D� ���� � �� � ���� ��

���� � � � � � � �� '���� � � ����

3 � ���� ������� �� ��� ���� �� ��� ��$ ���� �� ���

'(� � ���� �� '( � �����$�� �� �������+

������� � A�� � ��� �� 1� �' 5�� ��� 1�� ����

��� �� ��� �+ $��� ������� ������� �� �� 5� � ���

��� � ������ � ������� � C�D�

����� -� �J � ������� ������� � �� '(* ���� �����J� ������� ��� �����J� � �������� 0�� 2�� !* �����J� ������J� � C�D� +�+ ������ � ������� � C�D� K� ��� �����

����* � ������ � ������� � C�D� ���� ������ ��� ���������� ��� ��H��� ����+ >����* ������ � ��� ���� � ��

���� � � � ��� ������� � ��� ���� � �� ���� � � ���

%���* ������� ������� � � ��� ��� ���� � �� ���� �* �

������ � ������� � C�D� �

%����� ; ����� ���� � � � ���� ��� ������ � �� ������ � $ 1��� ���� ��� ��� ��� � ���� �� '( � ,�- ��� �1���

������� � � �� � 5� �� ���� � � � � � � ��

����� � ����� ���� ������� 1�� � ������ � �����

����� 0�� %����� �* �� ���� ������ � 1�� � C�D ���

������ � 1�� � C�D� -� � � ������� ������� ������ ������ ���� ������ � ������ � � $ %����� 9+ >����*

������� 1�� � ������ � ����� �

%�� ��������� �����$�� � %����� 7 � �������� � �

� �� �� �� �������+

7�!�� 8�� 9 (����1����� ����������� ��� 2����� 2���� : ;*##*< 3=>?3>: 7?�

0�+ 7+ 3� �,� �� ������� ��� ���@� � ����� � �� ����� � � � ���

� � 7�

Page 4: Search for minimal paths in modified networks

������� ! � ���@� � ����� � � ��� ���@� � ����� ��� ���� ��� ��' ��������� 5�� �� ,�- ��� � 1�� ��� �

��� �

����/ C�������� �����/�� 1��D�� ��0�� C�����0�� ��������1��D�� '���� � ��� ��* �/* �0* �� � �� �������� �����/�� �����0���� ������� ��� ��� �� ����� ����� ��� �� � �/ � �0 � �� ���

����� -� � �����+ �

%�� ������� ��� ���� � ��� ������� �� ��� ������

��� �������� �� � �� ��� ��������� � %����� =+ ��

��� ���� ������ ��� ��� � ���� ������� ���� ��� ������

'(� ��� � �� �� �� ������ ��� '(� � ,�- ��� � 1���

����� � A�� �� � ���� � ��@�� �! � ���� � ��@��

������� � �����!� � �� ��� � 1� � ���� 1��'��� ���� �

��� �+ � ������� � � � C�D ��� �����!� � � � C�D� ����

�������� 1�� � �����!� � ��� C�������� �������� 1��D��'���� �� � �����

����� ���� ������� � �����!� � �� � ������� � �" �C�D ��� �����!� � �" � C�D� ���� �� ���� �������������!�� � � ���� &��� %����� �)+ >����* � ���� C�������� �������� 1��D� &��� %����� =)* �����

�� � ����� �

%�� �������� � � � �����@����� �� 2�� 7+

"�������# � A�� ��* �! � ����� ��� ������� � �����!� ��� � ������� � �����!� � C�D� ���� �������� �����!�������!� � ���� ��� �������� 1�� � �����!� � ��� C���

����� �������� 1��D�� '���� �� � �����

����� � A�� �� � ����� �! � ���� � ��@� ���

������� � �����!� � �� � ������� � �����!� � C�D� ����

������� � ������@���

����� -� ������� � �����!� � C�D� ���� ����� � � ����

����� � ������� � �����!�� ���� ���� ������� � �����!� �C�D ��� �������� �������� �����!� � ��@�� +�+ ������� �������@��� %���* ��� ������ �������+ �

���� �� 2�� �* �� ���� ��� �������� ��� �������+

����� � A�� �� � ���� � ��@�� �! � ����� ���

������� � �����!� � �� � ������� � �����!� � C�D� ����

�����!� � ������@���

0�� 2��� 769* �� ���� ��� �������� ������

�������+

"�������# � A�� ��* �! � ����� ��� ������� � �����!� ��� � ������� � �����!� � C�D ��� ������� � �����!� � C�D�

���� �������� 1�� � �����!� � �������@�� ��� ������@����

"�������# � A�� �� � ����� �! � ��@� ��� ������� ������!� � �� � ������� � �����!� � C�D� ���� ��������1�� � �����!� � �������@�� ��� ������@����

"�������# � A�� �� � ��@�� �! � ���� ��� ������� ������!� � �� � ������� � �����!� � C�D� ���� ��������1�� � �����!� � �������@�� ��� ������@����

0������� ��� ���������� !6�* �� ���� ��� ������

2�� :+

����� � � � � ���� ��� � ������ ��� �� ��� �* ����

� � ��� C�������� �������� 1��D�� �������@�� ���

������@���� '���� �� � �����

����� %�� ������ ������� ������ ��� ����������

!6�+ �

����� � � � ���� ��� � ������ ��� �� ��� �* ����

� � ��/ C�����/�� �����/�� 1��D�� �������@�� ���

������@���� '���� �/ � �����

����� %�� ���� � ���� �� 2�� :+ �

0�� 2��� : ��� ;* ��� ��/ C�����/�� �����/��1��D�� �������@�� ��� ������@��� ��� ��� C���������������� 1��D�� �������@�� ��� ������@��� ��� ��� ��$����

�� ����� ����� �� � ���� ��� �/ � ����� �� ���� %����� ?

������� $ � ���@� � ����� � � ��� ���@� � ����� ��� ���� ��

�� � ��� C�������� �������� 1��D�� �������@����� ������@���� ��/ C�����/�� �����/�� 1��D�� ���� ���@

�� ��� ������@���� '���� � ��� �� � ����� ��� �/ � �����

5�����* ������ � ������� ������� ���@��

!���@��!�

%����� ? ��� $� � �� �� �� ������ ��� ��� ��� ������

���� '(� � ��� ����� ������� �������� + -� ������ ���

$��� �� ��� ������� ��� � �������.�� � %����� �"+

%����� �" � ��� ������ ������� � ��� ������� ���

$����� ��� ��������� '(� �� ��� ����� �������+ -� �

��� � �� $�� ��� ������� ���� ��� ����� $���������

������� ��� ��������� ��� '(� � � ����� �������+

F�����* ��� ������� ��� ���� �� ��� ������� ����� �

%����� ?+

������� �% � ��@� � ���� � �� ���� ��� ��� B 1� ���

�+ �����'���� ��� B 1� � ��� �� �B@� � �B�� � �� �

���B � ��@B � �� ���� ��� ��� 8 1� ��� �+ �����'����

��� ��� 8 � B 1� � ��� �� �8�B � �8@B � �� A�� �B8 �C1��D � B � � ��� 8 � �� ����'��� ��� �B8 � C

���/ C�� �

�/DD� � 1��� '���� �� � C��� ����� �� ��� B �� ���� �D*

�/ � C��� ����� �� ��� 8 � ��� �D ��� �� � �/ � ��

$���* �C�� C��B����� �8�����DD � �B8 �� ���B��B@8 � ��8���8@B� � �B8 �� �C�/ C��8 ��/�� �B���/�� 1B8DD� ��

7�!�� 8�� 9 (����1����� ����������� ��� 2����� 2���� : ;*##*< 3=>?3>:7?!

Page 5: Search for minimal paths in modified networks

�8 ��8@B� � �B���B@8 � � �B8 � ��� ��� ��' 5�� �� ,�- ��� �1��� '���� �� � �B�8 ��� �/ � �8�B �

����� 0����� ������ ��� %����� ?+ �

� ��� ������� ��&������

%� �� ��� ��� ������� �� ��� $��������� �����

�������� � ���+ 5!78* ��� ���������� �������� �� ���

$��������� ����� � ����� ���� $ ���������� � ���

��� ��������4

��&������ %

�4 �� ����� ��� '(� ���� ��� ������� ���� � ���<�� ����

� ��� ��E�* ��E�* ����� �� �����

�4 2�� �� � �������� � ��@�� ��� �������� � ��@����4 2�� �! � �������� � ��@�� ��� �������� � ��@����4 �� �� � �! � ��� ��� �� '(� � ,�- ��� � 1���

-� ��� �$��� ��������* ��� ������� ���� �� ��� ���

'(�* ���� ����� ��� �� '(� ��� ���� � �� ���� � �����

������� ���� � �� ���� � &��� ��� �,� �� � ������ 7)+

/�,�* ��� ������� &3������ �) $���� �� %����� �"

��� $� �� ���� �� �������� ��� '(� ����� ������� �

$����� ����� �� � �������+

��&������ �

�4 -� ��@� � ���� � �� ���� B � � ��� �� �� �%1( 7+

K�������* ��� � �������� ��� ��� ���� � �� ���� � &�

� ���� ��� �,��* ���� ��� � �������� ��� ��� ���� � ��

���� � ������)+ 2�� ���� B $� ��� ���� ������� �� ���� �

� ��� �������� ��� ���� ���� ����� � � ��� ��� ���� � ��

���� � ������� ���� B+

�4 -� ��@� � ���� � �� ���� 8 � � ��� �� �� �%1( 7+

K�������* ��� � �������� ��� ��� ���� � �� ���� � &�

� ���� ��� �,��* ���� ��� � �������� ��� ��� ���� � ��

���� � ������)+ 2�� ���� 8 $� ��� ���� ������� �� ���� �

� ��� �������� ��� ���� ���� ����� � � ��� ��� ���� � ��

���� � ������� ���� 8+

�4 �� ����� ��� '(� ���� ��� ������� ���� B ���<�� ����

8 ��� �BE8* �8EB* �B�8 ��� �8�B �

�4-� B � � ��� 8 � �� ��� �B8 � C1��D� K�������* ���

�B8 � C�

��/ C�� � �/DD � 1��� ����� �� � C��� ����

��� ���� B �� ���� �D* �/ � C��� ���� ��� ���� 8 ��

���� �D ��� �� � �/ � ��

�4 0�� ���� C��B����� �8�����D� � �B8 �� ����B��B@8 �� �8���8@B�� � �B8 �� ����� ��� ��� �� � �B�8 �

�4 0�� ���� C��8 ����� �B�����D� � �B8 ��� ����8 ��8@B�� �B���B@8 �� � �B8 �� ����� ��� ��� �� � �8�B �

4 3�� '(� � ,&-* �) ��� ��� '(� ���� ��������� ���

��� � � ��� � ��� ��� �� ��� '(� � ,�- ��� � 1���

������� �� 4������� � �%���� ��� ��� 5�� �� �

���6�� ���'�0� � ��� 5�� ��� ��� 0�'� �� ��� %���!

������� ������� ���'�0 �� �����%�+

����� 0����� ������ ��� %����� �"+ �

������� �� 4������� � �� ��� �6%���� ��� ��%����

���� 4������� "+

����� ���� 3������ " ����� ��� ����� ���@� ������ � � ��� ����� � ��@�� � �� 3������ � � ���

�������� ���� 3������ "+ '�������* ����� ��� �������

���@� � ����� � � ��� ����� � ��@�� � �� ��� ��$�� ��

��� ��������� '(� $����� ������� ��� �� ������� �

,�- ��� � 1�� �� 3������� " ��� � ��� �@��� �� �� ����

���� ����@��� �����������@��� �������� ����@��� �����������@��� ������� &��� %����� 7) ��� ������� ����������@��

!���@��!&��� %����� ?)* ��� ������ + %��������* �

� ����� ���� ��� �H�� �� �� ��,� �� 3������ � �

� ��� ���� ���� �� 3������ "+ �

� '(������

1,� �� �* ���� � ������� ��� ���+ 5!78* ����������

��� ������� ��� ��� '( ��$�� � � ����� �������

����� ��� ������� ���� ���@� � ����� � � ��� ����� ���@�� � ��

'(����� � ������� ��� ������� � 0�+ !* ���� ���

����� $ ������� � $����� ����� C��"* �"7D ��� ���

�,� �� ������� � 0�+ �+ -� ����� � ��� � ��� ��� ������

��� ��� �����* ��� ������ * ���� ��� �� ��� '(� � 0�+ � ���

�� �������4

�� � C���� ���� ���D� �! � C���� ���� �7�� �7�D� �7

� C���� ��!� �!7� �7�D� �� � C���� ��!� �!7� �7�� ���D� �9

� C��!� �!7� �7�D� �: � C��!� �!7� �7�� ���D� �;

� C��!� �!�� ���� ���D� �= � C��!� �!�� ���� �7�� �7�D�

L�� 3������ � �� ��� ��� �� ��� '(� � ��� �����

������� ����� � 0�+ !+

2� ���4

3������� �� ��� �������* ������ ��� '(� ��� ���

�������� ���� �4

��@7 � C��� �;D� �7@� � C�9� �:D� ���7

� C�!� �7� ��� �=D ��� �7�� � ��

���� ���@7 � ���7� � � ��� ��7@� � �7��� � �� ���

������@7� � CC���D� C��!� �!�DD� ������@7� � CC���� ���DD�

��7��7@�� � CC��!� �!7DD� �7���7@�� � CC�7�D� C�7�� �7�DD�

�������7� � CC���D� C��!� �!�DD� �7�����7� � CC�7�D C�7��

7�!�� 8�� 9 (����1����� ����������� ��� 2����� 2���� : ;*##*< 3=>?3>: 7?7

Page 6: Search for minimal paths in modified networks

�7�DD� ��� ��7��7��� � �����7��� � �� �� ����

������@7� ��7 �7���7@�� � CC���� �7�� ��"� �"7D� C���� �7��

�7�� ��"� �"7D� C��!� �!�� �7�� ��"� �"7D� C��!� �!�� �7�� �7�� ��"�

�"7DD ��� ��7��7@�� ��7 ������@7� � CC��!� �!7� ���� ���� ��"�

�"7DD�

F�����* ��� C�������� �7������ 1��D� � ��/ C��7��/�������/�� 1��D� � �� ����� ��� ��� �� � ���7� ������� �������@7�� �7����� � �7���7@�� ��� �/ � �7��� %��������* ���

��� �� ���'(� � 0�+ ! � C��� �!� �7� ��� �9� �:� �;� �=� C���� �7��

��"� �"7D� C���� �7�� �7�� ��"� �"7D� C��!� �!�� �7�� ��"� �"7D� C��!�

�!�� �7�� �7�� ��"� �"7D� C��!� �!7� ���� ���� ��"� �"7DD+

-� 1,� �� !* �� ��� ���� ��� 3������ � ����� �

��@� � ���� � � ���<�� ���� � ��@� � ��

'(����� � ������� ��� �,� �� ������� � 0�+ 7* �

����� � ��� � ��� ��� ������ ��� ��� �����* ��� ������ *

��� ��� �� ��� '(� � 0�+ 7 ��� �� � C��!� �!7� �7�D ��� �! �C��!� �!7� �7�� ���D� L�� 3������ � �� ��� ��� '(� � ���

����� �������* ���� ��� ����� $ ������� � $�����

����� C��7D+

2� ���4

�4 ���� ����� � �� ��� ��� ���� � �� ���� � �������

���� �* ��� ��� ������� ���� �� ���� � � ��� �������� ���

C��!* �!7* �7�* ���D ��� ���� � �� ���� � � ���� �* ��� B ���

!4 ���� ����� � � ��� ��� ���� � �� ���� � ������� ����

7* ��� 8 � 7�

74 F ��� ������� � ������ !* �� ���� �7@� � C��D�

�7�� � C�!D� ��� ��@7 � ���7 � ��

�4 ���� B � � � �� ��� ��7 � CC���� ��7D� C��9� �9�� ��7DD�

94 ���� ������@7� ��

� C�������� �7�����D � �� ���

�7���7@�� � CC�7�DD� ����� �� � ���7� �� ����

���� C�������� �7�����D� � ��7�� ��������@7� � �7� ��7@��� � ��7� � �� ����� �� � ���7�

:4 ���� ��7��7@�� � CC��!� �!7DD� ������@7� � �� ����� C��7 ���� � ��� ����D � C��7��!� � �����!�D � CC��!�

�!7� ���DD� ����� �� � �7����� ���� ���� C��7����� ���

����D� � �7��� ����7��7@�� � ������@7�� � �7�� � CC��!�

�!7� ���� ���� ��7D� C��!� �!7� ���� ��9� �9�� ��7DD� ����� �� ��7���

;4 %�� '(� ����� ������� $����� ����� C��7D � 0�+ 7 ���

�� � C��!� �!7� �7�D� �! � C��!� �!7� �7�� ���D� C��!� �!7� �7��

���� ���D� ��� C��!� �!7� ���� ��9� �9�� ��7D�

� "����������

/������ ����$�� ����� ��� $��� � ��� �,������� �

�� ���������� � ����+ %���* � ��� ����$�� �� �

������ ����� � ��� ����� ����� 5=8+ %�� ����$��

��������� �� � ������� � +������ $�� ������� 5�*9*?6!78+

'��� �� ����� ������ ��� ��������� � ���� �� �����

'�� �� '(� 5?6��8+ >������* �� ������ ��� ��� '�� ��

'(� � ���� � +������ ��$�� 5?6��8+ '�������* � � �

��� ��$����� ��� ���������� ���� � ��� �� ��� '(�

� ��� ����� ������� ��� $� ������+

%�� �,���� � ������� ��� ��� ��������� �� '(� �

����� �������� ��� ������� $�� ������+ F������ * �����

� ���� ������ ��� ��� '(� � � �������������� �������

��� �������� ���� ����� ��� ����� ��� � ���� �����+

%��������* ��� �� �� ��� �� ��� ������ � �� ������ �

��� ������� ��� �������� ������� �� ����� ���� �

��$��+

F �, ����� ��� '( ��������� � ��� ������ �������*

��� �� ���� ������� ��� ��� ��@���� ����� �����������

�� �������� ��� '(� � ��� ����� �������* $�� � ����

��� �������� � ���� ������� � ��� ����� �������+

>����* ��� ����� � ��� �������� ��� ������� ����

�� ���� �� ��� �,���� ������+

��)��*�� &������

- ��� �� ����� $��� ��� ����� ��� �������� ��� ����

����������� ������ ��� ������������* ���� ����

��������� ����� ��� ���������� �� ��� � ��+ %��

�������� ��� �� ����� � ��� $ ��� /������ ������

������ �� %����* �K� ����� ����� /���=?�!!�7�1�

"79�"�;+

+���������

5�8 3������� MM* � ��* �� ��+ 3 � �� ����� ��� ����$�� �������

��� �� � ��������� � ���+ -111 %���� ���� �?;9#�K'�

!749:769+

5!8 M�$�� (+ 1������ �� ����$�� ��� ���������<�� ����

�������� �������<���� ���� � �����+ -111 %���� ����

�?=?#7;4?!;677+

578 ���� '3+ 3� ������� ������� ��� ����������� ������� '(�

�� ���� �� ���� �� � ��������� �������+ '����������� ����$

�?=;#!;4�7;6��+

5�8 ���� ��* 2� ��* ���� �+ ����$�� ��������� �� � �����N��

������� � ���� �� '� ����+ -111 %���� ����$ �??7#���!479�6:�+

598 ��� ��* ������ 3+ 2� ������������ ������� �� ������ ��� ���

��� ���� �� � �����N�� �� ��� �������+ -111 %���� ����$

�??=#�:4�7:6�!+

5:8 G�����.* ��������� 1+ %���� ������� ������� ��� ����� ���

�� �����+ �3-�K* ���� K � ��� �?;!#74�96:"+

5;8 3��� %+ 3����$�� ��������� �� ��<��� �������� ��� ����� �����

��� � ����+ ����$ 1���� �?=;#�=4796��+

5=8 3��� %+ ��� ������������ �� ����$�� ����� ��� �� � ����

����+ ����$ 1���� � �� ��� �?==#!�4!�96!7+

5?8 I��� '�* ������� G�+ �� ����� ��� �������$�� 4 � ���� �� ���

����� �� /(���������+ /�� ����4 0�����* �?;?+

5�"8 O����� 2I+ %�� �� ��,� �� ��������� ��� ����$�� ��$���+

�-3' � �� �� �?;?#=&7)4��"6!�+

5��8 (����� ��* F��� 'K+ %�� �� ��,� �� ������� ���� ��� �� �� ���

�� ��� ��$�$�� ���� � ��� � � ���������+ �-3' � �� ��

�?=7#�!&�)4;;;6==+

5�!8 3������� 3* F����� �1+ 3 ����� �� ������� ����$�� ��� �����

��� ����� + K � ��� �?=�#!!4�;=6?!+

5�78 F��� 'K+ �� �������� �� ��,� �� ������� ����$�� ���� ��4

�� �������+ -111 %���� ����$ �?=:#794!7"6?+

7�!�� 8�� 9 (����1����� ����������� ��� 2����� 2���� : ;*##*< 3=>?3>:7?�

Page 7: Search for minimal paths in modified networks

5��8 2�� �>+ ����$�� ��������� �� � N�� �������+ -111 %���� ����$

�?="#��!?4!�6!:+

5�98 P�� �+ K� �������� � ��� ���� ��+ -111 %���� ����$ �?=9#��7�4

7!?67;+

5�:8 3��� %+ ����$�� ��������� �� �������� � ���� ��� ��������

�� ������+ -111 %���� ����$ �?=9#��7�4�;76?+

5�;8 ��� ��+ 3 � �� � ����� �� ������ ��� ��� ��'�� �� � �����N��

�������+ ����$ 1���� � �� ��� !""�#;�4�96?+

5�=8 ��� ��+ ������ ��� ��� ������� �� � �����N�� �������+ �� ��

K � ��� !""�* � ����+

5�?8 ��� ��+ ������ ��� '� � ����� ��������+ �� �� K � ���

!""�#!=4�;;6=�+

5!"8 ��� ��+ ������ ��� ��� '�� ��� ������$�� �����+ �� �� K � ���

!""�#!=4�;;6=�+

5!�8 ��� ��+ 3 � �� ������� �� ������ ��� ��� ��'(� ��� ������$��

�����+ ����$ 1���� � �� ��� !""�#;74�?69�+

5!!8 /���� �'+ 1�������� �� ��� ���� �� ����� ��������+

'����������� ����$ �??;#7;4�=769+

5!78 /���� �'+ 1�������� �� '(� �� ����� ��������+ '����

�������� ����$ �??�#7�4�;96=�+

5!�8 3��H� �M* '������ %2* K��� �F+ /������ N���Q����� *

��������* ��� � �������+ 1�������� �����* /�4 (�������>���

-�����������* �??7+

7�!�� 8�� 9 (����1����� ����������� ��� 2����� 2���� : ;*##*< 3=>?3>: 7?9