SEIM III Sedmica 2010 2011 Mjere Varijacije i Oblika Distribucije Za Web

Statistika u ekonomiji i menadžmentu

1

III sedmica

Mjere disperzije, oblika

distribucije i koncentracije

Statistika u ekonomiji i menadžmentu 2

2.5.1. Apsolutne mjere disperzije 67

2.5.1.1. Raspon varijacije 67

2.5.1.2. Interkvantilno apsolutno odstupanje 67

2.5.1.3. Box Plot 67

2.5.1.4. Srednje apsolutno odstupanje 69

2.5.1.5. Varijansa 71

2.5.1.6. Standardna devijacija 74

2.5. MJERE DISPERZIJE ILI VARIJACIJE 66


2.5.2. Relativne mjere disperzije 75

2.5.2.1. Interkvantilna relativna odstupanja 75

2.5.2.2. Koeficijent kvartilne devijacije 76

2.5.2.3. Koeficijent varijacije 76

2.5.2.4. Standardizovane varijable 76


Raspon varijacije

Raspon varijacije:

RV = xmax-xmin


Interkvantilna odstupanja su :

•Interdecilno odstupanje ID : D9-D1

•Interkvartilno odstupanje IQ : Q3-Q1

•Intercentilno odstupanje IC : C99-C1


Box plot

25% 25%

Q1 Q3 x min x max Me

25% 25%


0,1,0,3,1,1,2,1,1,0,1

N

i

i xxN

MAD1

1

N

i

i xxN

MAD1)(

)(

1

Srednje absolutno odstupanje

Formula za neureĎenu ( negrupisanu)seriju

Formula za rangiranu, ureĎenu seriju


0,1,0,3,1,1,2,1,1,0,1

J

j

jj xxfN

MAD1

1

(ili 100)

J

j

jj xxpMAD1

J

j

jfN1

gdje je

gdje je

J

j

jp1

1

Za statističku distribuciju frekvencija

Za statističku distribuciju relativnih frekvencija


0,1,0,3,1,1,2,1,1,0,1

N

i

iX xxN 1

22 1

Varijansa

Za neureĎenu (negrupisanu) seriju:


0,1,0,3,1,1,2,1,1,0,1

gdje

(ili 100%)

J

j

jjX xxfN 1

22 1

J

j

jjX xxp1

22

J

j

jfN1

J

j

jp1

1gdje

Za statističku distribuciju frekvencija:

Za statističku distribuciju relativnih frekvencija:


0,1,0,3,1,1,2,1,1,0,1

N

i

ii

N

i

iX xxxxN

xxN 1

22

1

22 211

Razvijena formula varijanse – prema König-u

N

i

N

i

N

i

iiX xN

xN

xx

N 1 1

2

1

22 121

N

i

iX xNN

xNN

xx

N 1

222 121

N

i

iX xxxN 1

2222 21


2

1

22 1xx

N

N

i

ix

222 xxx


Dokažite da su razvijene formule varijanse

za statističku distribuciju frekvencija i

relativnih frekvencija jednake:

2

1

22 1xxf

N

J

j

jjx

22

1

2 xxp j

J

j

jx


0,1,0,3,1,1,2,1,1,0,1

Formalizacija osobina varijanse

VarXabaXVar

VarXaaXVar

VarXbXVar

2

2

)(

)(

)(


0,1,0,3,1,1,2,1,1,0,1

Standardna devijacija

N

xxN

i

i

XX

1

2

2

)(

Standardna devijacija predstavlja prosječno odstupanje

vrijednosti numeričke varijable od njene aritmetičke sredine.


n

i

iXX

n

i

iXX

xxN

xxN

1

222

1

22

1

1


Interkvantilno relativno odstupanje

Relativne mjere disperzije ili varijabiliteta

1

3....

1

9....

1

99

Q

Q

D

D

C

C


Interkvartilno odstupanje se može

definisati i na slijedeći način

1

13

Q

QQ


Koeficijent kvartilne devijacije

10,13

13

QDQD k

QQ

QQk


Koeficijent varijacije

xkV

Koeficijent varijacije je neimenovani broj i

izražava se u %


Standardizovane varijable

Za utvrĎivanje relativnog položaja numeričke vrijednosti varijable u seriji primjenjuje se standardizirana vrijednost varijable.

N2,..., 1,i ,

xxz i

i


N

i

i

N

i

iN

i

i

xxNN

xx

N

z

z1

11 01


1 11

1

1

1

1

2

2

1

2

1

2

1

22

N

i

i

N

i

iN

i

i

N

i

iz

xxN

xx

Nz

Nzz

N

2


Prema teoremi Čebiševa u nekoj distribuciji

ima najmanje 211 k

observacija koje se nalaze izmeĎu aritmetičke

sredine i manje ili više k puta standardna

devijacija, dakle u intervalu kx

1k ,1

1)(2

k

kxXkxP

ili

Istovremeno tumačenje aritmetičke sredine

i standardne greške: Čebiševa teorema


0,1,0,3,1,1,2,1,1,0,1

840;460952650 kx

%752

11

11

22

kPrema teoremi Čebišev-a najmanje 75% plata

ove distribucije se nalaze u intervalu izmeĎu 460 i

840 KM.

Primjer : Raspodjela neto mjesečnih plata

• prosječna plata : 650 KM

• standardna devijacija : 95 KM

• izbor : k=2


2.6. MJERE OBLIKA DISTRIBUCIJE 80

2.6.1. Momenti distribucije frekvencija 80

2.6.2. Mjere asimetrije 81

2.6.3. Parametri spljoštenosti 84


NxxfN

r

j

J

j

jr ,...,1,0r ,1

1

NxxN

r

i

N

i

r ,...,1,0r ,1

1

Centralni moment r-tog reda

Mjere oblika distribucije frekvencija


Mjere oblika distribucije frekvencija

Mjere asimetrije

Mjere zaobljenosti ili

spljoštenosti

i


Polazna veličina za mjerenje asimetrije je treći

momenat oko sredine.

Za negrupisane podatke moment trećeg reda

je jednak:

N

xxN

i

i

1

3

3


Za grupisanu distribuciju frekvencija treći

moment oko sredine je jednak:

J

1j

j

1

3

3 fN ,N

xxfJ

j

jj


asimetrija lijeva 0

asimetrija desna 0

simetrija 0

3

3

3


Ficher-ov koeficijent asimetrije:

3

33


[-2;+2].

asimetrija lijeva 0

asimetrija desna 0

simetrija 0

3

3

3

Ovaj koeficijent predstavlja relativnu

mjeru smjera i veličine asimetrije.


Pearsonov koeficijet:

je predstavljen kao standardizirano odstupanje

moda od aritmetičke sredine.

Najčešća vrijednost ovog koeficijenta se nalazi

u intervalu [-3;+3]

O

k

MxS


Mo = Me = x

; 00 33

Simetrična distribucija

jf

jx

0kS


Asimetrična distribucija

desna asimetrija

Me < Mo < x

; 00 33 jf

jx

0kS


Asimetrična distribucija

lijeva asimetrija

< Me < Mo x

;00 33

jx

jf 0kS


Parametri zaobljenosti

Četvrti moment oko sredine:

J

j

jj

N

i

i

xxfN

xxN

1

J

1j

j

4

4

1

4

4

fN ,)(1

1


•Pearsonov koeficijent zaobljenosti:

Ficherov koeficijent zaobljenosti je

jednak:

4

44

34

44


0 ;3 44

0 ;3 44

0 ;3 44

Normalna distribucija

jf

jxx



Ocjena xj Frekvencije fj

6 4

7 8

8 7

9 6

10 9

Ukupno 34

Primjer 8.


Mean 8,24

Standard Error 0,24

Median 8,00

Mode 10,00

Standard Deviation 1,39

Sample Variance 1,94

Kurtosis -1,29

Skewness -0,09

Range 4,00

Minimum 6,00

Maximum 10,00

Sum 280,00

Count 34,00

Confidence

Level(95,0%) 0,49

Tabela 15. Rezultat dobijen primjenom Excela


2.7. MJERE KONCENTRACIJE 87

2.7.1. Lorenzova kriva 87

2.7.2. Ginijev koeficijent 91

2.7.2.1. OdreĎivanje Ginijevog koeficijenta metodom

trapeza 92

2.7.2.2. OdreĎivanje Ginijevog koeficijenta metodom

trouglova 93

2.7.3. Medijala 95


Mjere koncentracije

Najpoznatije su dvije mjere koncentracije:

1. Lorenzova kriva ili kriva koncentracije

2. Ginijev koeficijent.


111

1

N

j

j

N

j

j

N

j

jj

jj

j

j

j

xx

jj

xx

jj

qp

fx

fxq

N

fp

qQ

pF

j

j


A

Fj 1 0

A 1 B

Qj

Jednaka raspodjela

Površina koncentracije

S

C

Lorenzova kriva


totalna jednakost

totalna nejednakost


Godišnja

potrošnja per capita

% udjela u

stanovništvu

% udjela u

stanovništvu - kumulativno

% udjela u

potrošnji

% udjela u

potrošnji - kumulativno

0 - 1830 10% 10% 2,39% 2,39%

1830 - 2390 10% 20% 5,15% 7,54%

2390 - 2778 10% 30% 6,23% 13,77%

2778 - 3185 10% 40% 7,17% 20,94%

3185 - 3637 10% 50% 8,19% 29,13%

3637 - 4148 10% 60% 9,35% 38,48%

4148 - 4803 10% 70% 10,67% 49,15%

4803 - 5670 10% 80% 12,53% 61,69%

5670 - 7128 10% 90% 15,09% 76,78%

7128 - 24581 10% 100% 23,22% 100,00%

Tabela 13. Raspodjela potrošnje per capita u BiH za 2003. g.


0,0%

10,0%

20,0%

30,0%

40,0%

50,0%

60,0%

70,0%

80,0%

90,0%

100,0%

0,0%

10,0

%

20,0

%

30,0

%

40,0

%

50,0

%

60,0

%

70,0

%

80,0

%

90,0

%

100,

0%

Lorencova

kriva za BiH

Potpuna

jednakost

Grafik 3. Lorencova kriva potrošnje per capita u BiH za 2003. g.

30027,0Gini


Ginijev koeficijent je relativna mjera

koncentracije.

Definisan je kao odnos površine

koncentracije i površine trougla koji se

nalazi ispod dijagonale koja predstavlja

pravac jednake raspodjele.

Ginijev koeficijent


0

20

40

60

80

100

0 20 40 60 80 100

Ginijev koeficijent = 2 puta površina

koncentracije

Kumulativna frekvencija

u %

Kumulativni agregat

u %

Površina koncentracije

b B

h

Fj-1 Fj

Qj-1

Qj 2

)( hBb


Formula za računanje Ginijevog

koeficijenta metodom trapeza:

2

)(

2

12

hBbG

22

12

11 jjjj FFQQG

jjj QQpG 11

)(10

11 14 jjj QQpG

ili ako koristimo relativne frekvencije izražene u %.


Ginijev koeficijent G

Ginijev koeficijent kreće se u intervalu

[0;1].

Dva granična slučaja su vrijednosti

koeficijenta 0 i 1.

SS

G 25,0OAC trouglaPovršina

ijekoncentrac Površina


Kada je Ginijev koeficijent jednak 0

koncentracija je jednaka nuli i postoji

perfektna jednakost u raspodjeli

agregata.

Ako je G jednak jedinici koncentracija je

maksimalna i postoji maksimalna

nejednakost u raspodjeli ukupne mase

primanja.


OdreĎivanje Ginijevog koeficijenta

metodom trouglova

1

1

11

J

j

jjjj QFQFG


Medijala

Medijala je vrijednost varijable pridružena

relativnoj kumulativnoj rastućoj globalnoj

vrijednosti

OdreĎivanje medijale:

-izračunati globalne vrijednosti fjxj

-izračunati relativne globalne vrijednosti qj

- izračunati relativne kumulativne rastuće

globalne vrijednosti

-odrediti medijalnu klasu

- izračunati vrijednost medijale

%50jQ

jQ


Odstupanje medijala-medijana:

nam daje prvu informaciju o koncentraciji: ako

je odstupanje veće i koncentracija je veća.

l

ld

lld xxQxQ

xQxxMle

)()(

)(,500

MeMleM

Documents

SEIM III Sedmica 2010 2011 Mjere Varijacije i Oblika Distribucije Za Web