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Escribe aquí el tema de la clase Pág. 01
TEOREMA DE THALES Y PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS
RAZÓN DE SEGMENTOS
Es el cociente de sus longitudes expresado en
una misma unidad de medida; entonces de
acuerdo a lo mencionado la razón de CDyAB
es el número CD
AB
Ejemplo:
Si AB = 10 cm y CD = 15 cm, entonces la razón
de AB y CD es CD
AB=
3
2
cm15
cm10
SEGMENTOS PROPORCIONALES
Dos segmentos CDyAB son proporcionales a
otros dos, RTyPQ , si:
CD
AB =
RT
PQ
Ejemplo:
AB = 2cm, CD = 4cm y PQ = 3cm, RT = 6cm,
como CD
AB=
2
1 y
RT
PQ=
2
1, entonces CDyAB son
proporcionales a RTyPQ .
TEOREMA DE THALES
Tres o más rectas paralelas, determinan en
una recta secante a ellas, segmentos que son
proporcionales, a los segmentos determinados
por las mismas rectas paralelas en cualquier
otra secante a ellas.
Si: 321 L//L//L
Entonces: EF
DE
BC
AB
También: EF
DF
BC
AC
DE
DF
AB
AC
TEMA:
SEMEJANZA – PROPORCIONALIDAD Y
RELACIONES MÉTRICAS
A
B
C
D
E
F
L1
L2
L3
Escribe aquí el tema de la clase Pág. 02
COROLARIO
Si: 321 L//L//L por Tales: NC
BN
MA
BM
En el ABC: si AC//MN se cumple:
NC
BN
MA
BM
TEOREMA DE LA BISECTRIZ INTERIOR
En todo triángulo, los lados concurrentes con
una bisectriz interior son proporcionales a los
segmentos determinados por dicha bisectriz
en el lado al cual es relativa.
En el ABC:
n
m
a
c
TEOREMA DE LA BISECTRIZ EXTERIOR
En todo triángulo, los lados concurrentes con
una bisectriz exterior son proporcionales a los
segmentos determinados por dicha bisectriz
en el lado al cual es relativa.
En el ABC:
n
m
a
c
TEOREMA DEL INCENTRO
En todo triángulo el incentro determina en la
bisectriz segmentos proporcionales a la suma
de los lados adyacentes al ángulo bisecado y
el tercer lado.
En el ABC “I”:
incentro
b
ca
n
m
A
B
C
M
L1
L2
L3
N
A
B
C D
a c
m n
A
B
C D
c a
m n
A
B
C
I
c
b
a m
n
Escribe aquí el tema de la clase Pág. 03
SEMEJANZA DE FIGURAS GEOMÉTRICAS
Definición: Dos figuras geométricas son
semejantes si tienen igual forma y tamaños
diferentes. En dos figuras geométricas
semejantes sus elementos homólogos son
proporcionales.
SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
Definición: Dos triángulos son semejantes si
sus ángulos interiores tienen igual medida
respectivamente y sus lados homólogos son
proporcionales.
Los lados homólogos en triángulos
semejantes, son aquellos lados opuestos a
ángulos de igual medida.
Notación: ABC MNQ
Símbolo de semejanza: se lee “es
semejante” Pares de lados homólogos:
MQyAC;NQyBC;MNyAB
Se cumple: KMQ
AC
NQ
BC
MN
AB
Donde: K es razón de semejanza
Casos de semejanza de triángulos
Dos triángulos son semejantes, si dos
ángulos del primer triángulo son de igual
medida que dos ángulos del segundo
triángulo respectivamente
Si: mBAC = mNMQ y mACB = mMQN
Entonces: ABC MNQ
Dos triángulos son semejantes, si un
ángulo del primer triángulo es de igual
medida que un ángulo del segundo y los
lados que los determinan son
proporcionales respectivamente.
Si: mBAC = mNMQ y MQ
MN
AC
AB
Entonces: ABC MNQ
Dos triángulos son semejantes si los tres
lados del primer triángulo son
respectivamente proporcionales a los tres
lados del segundo triángulo.
M Q
N
A
B
C
A
B
C
N
M Q
M Q
N
c
b A
B
C
ck
bk
Escribe aquí el tema de la clase Pág. 04
Si: MQ
AC
NQ
BC
MN
AB
Entonces: ABC MNQ
Algunos casos de Semejanza
1.
MBN ABC
2.
ABHAHC ABC
3.
ABC PBQ
PROPIEDADES
1. L: Lado del cuadrado PQRS
2. ABCD : Trapecio, AD//PQ//BC
3.
x = ba
ab
M Q
N
a c
b A
B
C
ck
bk
ak
A
B
C
M N
B
A
C H
C A
B
P
Q
A
B
C
Q R
P S
L
b
h bh
hbL
A
B C
D
P Q
a
b
PQ = ba
ab2
x a
b
Escribe aquí el tema de la clase Pág. 05
4. ABCD : Rombo
PQRS : Cuadrado de lado “L”
RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO Y EN LA
CIRCUNFERENCIA
PROYECCIÓN ORTOGONAL
La proyección ortogonal de un punto sobre una
recta es el pie de la perpendicular trazada
desde dicho punto hacia la recta. Además la
proyección ortogonal de un segmento sobre
una recta es el segmento que une las
proyecciones ortogonales de los extremos del
segmento dado.
Proyección ortogonal de P sobre L : P´
Proyección ortogonal de AB sobre L : ´B´A
TEOREMAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO
AH : proyección ortogonal de AB sobre AC
HC : proyección ortogonal de BC sobre AC
Teoremas
1. c2 = bm a2 = bn
2. a2 + c2 = b2 3. ac = bh 4. h2 = mn
RELACIONES MÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA
TEOREMA DE LAS CUERDAS
En la figura, las cuerdas AB y CD se intersecan
en P, entonces: ab = xy
A
B
C
D
P
Q R
S
d
D
L = dD
Dd
A´
B
P
L
A
B´ P´
A
B
C
a
b
c h
H
m n
A
B
C
D
P
a
b
x
y
Escribe aquí el tema de la clase Pág. 06
TEOREMA DE LAS SECANTES
En la figura; por el punto P se trazan las rectas PBA y PDC secantes a la circunferencia, entonces:
ab = mn
TEOREMA DE LA TANGENTE
En la figura, por el punto P se trazan la
tangente PA y la secante PBC , entonces:
m2 = ab
A
B
D
b
a
m
n
P
C
A
B
C
b
a
m
P
Escribe aquí el tema de la clase Pág. 07