Seminario 7 estadistica tics 2011 20120

Estadística y TICs – Grado en Enfermería

Ejercicios de probabilidad simple.

Ejercicios de probabilidad condicionada.

Ejercicios de aplicación del teorema de Bayes.

Seminario 7

Cuando se realiza un experimento aleatorio diversos resultados son posibles. El conjunto de todos los resultados posibles se llama espacio muestral (S).

Se llama suceso o evento a un subconjunto de dichos resultados.

Se llama evento complementario de un suceso A, al formado por los elementos que no están en A y se denota Ac

S espacio muestral

S espacio muestral

AAc

S espacio muestral

A

B

Probabilidad: Eventos o Sucesos

Se llama evento unión de A y B, AB, al formado por

los resultados experimentales que están en A ó en B

(incluyendo todos los que están en ambos).

Se llama evento intersección de A y B, A∩B al

formado por los elementos que están en A y B

Probabilidad: Eventos o Sucesos

S espacio muestral

A

B

S espacio muestral

A

B

Unión

Intersección

REGLAS BÁSICAS DE PROBABILIDAD (Simple)Unión e intersección de sucesos

Si dos o más sucesos son mutuamente excluyente o incompatibles:

Es decir, que no puedan darse a la vez; simultáneamente o al mismo tiempo. La ocurrencia de uno impide de manera automática la ocurrencia del otro.

La ó significa lo uno o lo otro.

Por ejemplo:

• Si un bebé es masculino, no puede ser femenino• Si un niño es positivo para E. histolytica, no puede ser negativo

La probabilidad de que ocurran eventos mutuamente excluyentes o incompatibles es la probabilidad de que ocurra uno u otro, y es igual a la suma de sus

probabilidades.

Es la regla aditiva especial de la probabilidad

S espacio muestral

AB

( ) ( ) ( )P A B P A P B

Probabilidad del complemento de un evento A es el evento donde A no ocurre , en

otras palabras es la suma de todos los eventos simples donde A no ocurre.

La suma de un evento con su complementario es igual a 1.

P(A) + P(AC) = 1; P(A) = 1 – P(AC)

Si la probabilidad de que un acontecimiento suceda es p, la que suceda su

complementario (A’ o AC ) es q = 1-p.

Ejemplo:

Si la probabilidad de que un niño vacunado entre las semanas 9 y 13 contra VHB de

contraer la enfermedad es de 0.04, la probabilidad de estar adecuadamente

protegido (o de no contraer la enfermedad) es 1-0.04= 0.96

(datos simulados)

S espacio muestral

AAc

REGLAS BÁSICAS DE PROBABILIDAD:Regla del Complemento

REGLAS BÁSICAS DE PROBABILIDADUnión e intersección de sucesos

Si dos o más sucesos NO son mutuamente excluyente o son compatibles:

Es decir, que puedan darse a la vez o al mismo tiempo.

La ocurrencia de uno no impide la ocurrencia del otro.

La “o” significa lo uno, lo otro o quizás ambos.

La probabilidad de que ocurra uno de ellos o ambos se calcula sumando las probabilidades individuales de que ocurra una u otra circunstancia, pero restando la probabilidad de que ocurra la común por estar contabilizada dos veces.

A y B tienen puntos comunes que incluiríamos dos veces si en el cálculo los sumamos por separado. Es la regla aditiva de la probabilidad

( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B

S espacio muestral

A

B

unión

Probabilidad clásica o “a priori ”

Frecuencia relativa o “a posteriori”

En un experimento se han utilizado dos tratamientos (A y B) para la curación de una determinada enfermedad. Los resultados obtenidos son los siguientes:

Ejercicios de probabilidad simple.

1. Considerando a todos los enfermos, calcula la probabilidad de curación (c)

P(c)= 200 / 400 = 0,5

Curados No curados Total

Tto. A 120 30% 180 45% 300 75%

Tto. B 80 20% 20 5% 100 25%

Total 200 50% 200 50% 400 100%

Ejercicio de probabilidad:

En una residencia de personas mayores, el 15 % de ingresados presenta falta de

autonomía para alimentarse (A), el 25% falta de movilidad (B) y el 5%

presenta falta de autonomía para alimentarse y moverse.

1. Calcular la probabilidad de que un individuo elegido al azar padezca A ó B

2. Calcular la probabilidad de que un individuo elegido al azar no padezca A ni B

3. Representa la situación en un diagrama de Venn y explícalo

0,00 0,000,00

0,00


En una residencia de personas mayores, el 15 % de ingresados presenta

falta de autonomía para alimentarse (A), el 25% falta de movilidad (B) y el

5% presenta falta de autonomía para alimentarse y moverse.

A partir de los datos del problema (porcentajes), se deducen probabilidades:

• A = “Individuos con falta de autonomía para alimentarse” = 15%

P(A) = CF/CP = 15/100 = 0,15.

• B = “Individuos con falta de autonomía para moverse” = 25% P(B) = 0,25.

• (AB) = “Individuos con falta de autonomía para alimentarse y moverse” = 5%

P(AB) = 0,05.

0,1 0,20,05

0,65


• A = “Individuos con falta de autonomía para alimentarse” = 15% P(A) = CF/CP = 15/100 = 0,15.

• B = “Individuos con falta de autonomía para moverse” = 25% P(B) = 0,25.

• (AB) = “Individuos con falta de autonomía para alimentarse y moverse” = 5% P(AB) = 0,05.

1.- Calcular la probabilidad de que un individuo elegido al azar padezca falta de autonomía para alimentarse (A) ó para moverse (B) :

La P(x) de que un individuo padezca A ó B, cualquiera de las dos, es la unión de A y B, y se calcula aplicando la regla general de la adición:

P(AυB) = P(A)+P(B)-P(A∩B) = 0,15 + 0,25 – 0,05 = 0,35

Lo cual significa que el 35% de los residentes padecen falta de autonomía para alimentarse ó para moverse.

0,1 0,20,05

0,65


2.- Calcular la probabilidad de que un individuo elegido al azar no padezca ni A ni B

La P(x) de que un individuo NO padezca A ó (ni) B, es la probabilidad del suceso contrario de la unión de A y B:

P(AB) =1 - P(AB) = 1 - 0,35= 0,65

Lo cual significa que el 65% de los residentes NO padecen falta de autonomíapara alimentarse ni para moverse

Datos del problema:P(A) = 0,15P(B) = 0,25P(AB) = 0,05P(AB) = 0,35

0,1 0,20,05

0,65


2.- Calcular la probabilidad de que un individuo elegido al azar no padezca ni A ni B

La P(x) de que un individuo NO padezca A ó (ni) B, es la probabilidad del suceso

contrario de la unión de A y B:

P(AB) =1 - P(AB) = 1 - 0,35= 0,65

Lo cual significa que el 65% de los residentes NO padecen falta de autonomía

para alimentarse ni para moverse

Datos del problema:P(A) = 0,15P(B) = 0,25P(AB) = 0,05P(AB) = 0,35

0,1 0,20,05

0,65


3.- Representa la situación en un diagrama de Venn y explícalo:

El conjunto AZUL representa SOLO a los residentes con falta de autonomía para

alimentarse (pero no para moverse (10%)] y su P = 0,10

El conjunto VERDE representa SOLO a los residentes con falta de autonomía para

moverse (pero no para alimentarse y su P = 0,20)

Datos del problema:P(A) = 0,15P(B) = 0,25P(AB)= 0,05P(AB)= 0,35P(AB)= 0,65

0,1 0,20,05

0,65

Probabilidad compuesta:Sucesos dependientes e independientes



1. Considerando a todos los enfermos, calcula la probabilidad de curación (c)

P(c)= 200 / 400 = 0,5


Tto. A 120 30% 180 45% 300 75%

Tto. B 80 20% 20 5% 100 25%

Total 200 50% 200 50% 400 100%



2. Calcula las probabilidades condicionadas a los tratamientos, teniendo en cuenta solamente los enfermos sometidos a cada uno de ellos.

( )( | )( )

P A BP A BP B


Tto. A 120 30% 180 45% 300 75%

Tto. B 80 20% 20 5% 100 25%

Total 200 50% 200 50% 400 100%


2. Calcula las probabilidades condicionadas a los tratamientos, teniendo en cuenta solamente las frecuencias de los enfermos sometidos a cada uno de ellos.

( )( | )( )

P A BP A BP B

P(C/A)= 120 / 300=0,4 Probabilidad de ser curado con el tratamiento A

P(C/B)= 80 / 100 =0,8 Probabilidad de ser curado con el tratamiento B


Tto. A 120 30% 180 45% 300 75%

Tto. B 80 20% 20 5% 100 25%

Total 200 50% 200 50% 400 100%


3. Calcula las probabilidades condicionadas a los tratamientos, teniendo en cuenta solamente las probabilidades de los enfermos sometidos a cada uno de ellos.

P(A)=300/400=0,75 y P(B)=100/400=0,25

P(AC)=120/400=0,3 y P(BC)= 80/400=0,2

Aplicando las fórmulas:

P(C/A)= P(AC)/P(A)= 0,3/0,75 =0,4

P(C/B)= P(BC)/P(B)=0,2/0,25 = 0,8

Se obtienen los mismos valores con las probabilidades que antes, utilizando las frecuencias observadas.


Tto. A 120 30% 180 45% 300 75%

Tto. B 80 20% 20 5% 100 25%

Total 200 50% 200 50% 400 100%


Sean los pacientes:A = Con tratamiento AB = Con tratamiento B = Ac

C = CuradosNC = No Curados = Cc

1. P(CB) = P(BC) / PB = 0,2 / 0,25 = 0,8

2. P(NCB) = P (BNC) / PB = 0,05 / 0,25 = 0,2

3. P(CA) = P (CA) / PA = 0,3 / 0,75 = 0,4

4. P(NCA) = P (CA) / PA = 0,45 / 0,75 = 0,6


Tto. A 120 30% 180 45% 300 75%

Tto. B 80 20% 20 5% 100 25%

Total 200 50% 200 50% 400 100%


Una enfermera en su consulta diagnostica a 60 pacientes con antecedentes de caídas, de “ansiedad” (A) y a 140 de “temor” (T), de los cuales, 20 y 40 respectivamente habían recibido una intervención educativa (EpS), y los restantes no.

• ¿Cuál es la P de que padezca A habiendo recibido la intervención educativa?

• ¿Cuál es la P de que padezca A, NO habiendo recibido la intervención educativa?

• ¿Cuál es la P de que padezca T habiendo recibido la intervención educativa?

• ¿Cuál es la P de que padezca T, NO habiendo recibido la intervención educativa?

E = Recibe Intv.edu NE = No recibe Intv.edu(Ec)

Totales

DxE_A = Ansiedad 20 10% 40 20% 60 30%

DxE_T =Temor=(Ac) 40 20% 100 50% 140 70%

Totales 60 30% 140 70% 200 100%


Una enfermera en su consulta diagnostica a 60 pacientes con antecedentes de caídas, de “ansiedad” (A) y a 140 de “temor” (T), de los cuales, 20 y 40 respectivamente habían recibido una intervención educativa (EpS), y los restantes no.

¿Cuál es la P de que padezca A habiendo recibido E?

P(A│E) = P(AE)/P(E) = 0,1/0,3 = 0,333

¿Cuál es la P de que padezca A, NO habiendo recibido E?

P(A │NE) = P(ANE)/P(NE) = 0,2/0,7 = 0,28

¿Cuál es la P de que padezca T habiendo recibido E?

P(T│E) = P(TE)/P(E) = 0,2/0,3 = 0,666

¿Cuál es la P de que padezca T, NO habiendo recibido E?

P(T│NE) = P(TNE)/P(NE) = 0,5/0,7 = 0,72

E = Recibe Intv.edu NE = No recibe Intv.edu(Ec)

Totales

DxE_A = Ansiedad 20 10% P=0,1 40 20% P=0,2 60 30%

DxE_T =Temor=(Ac) 40 20% P=0,2 100 50% P=0,5 140 70%

Totales 60 30% P=0,3 140 70% P=0,7 200 100%

Ejemplo de aplicación del Teorema de Bayes

A una enfermera le interesa conocer (OREM):

¿Cuál es la P(x) de que una persona diabética (W) tenga un DA en la Alimentación (A) Es decir la P(AW)

A,B y C son personas que pueden presentar DA en tres necesidades:

A: personas con DA en Alimentación

B: personas con DA en Eliminación

C: personas con DA en Higiene

W: conjunto de personas diabéticas

La P(x) condicionada de que se cumpla A sabiendo que ocurre W

En el gráfico es el área WA

Todo el rectángulo es la unión de A, B y C = “personas con déficit de autocuidados” (DA).WA

Teorema de Bayes

Se basa en las leyes aditiva y multiplicativa, y en la probabilidad condicional.

Permite p.e. el cálculo de la probabilidad de que un paciente padezca una

determinada enfermedad una vez dado un o unos síntomas concretos.

Como condición para su aplicación es que ha de tratarse de sucesos

mutuamente excluyente que cubran todas las posibilidades (exhaustivos); y

cuando dos sucesos no son independientes se puede usar la regla de la

multiplicación a condición de que la p(Á) y p(B) no sean iguales a cero.

A1 A2

A3 A4

B

Si conocemos la probabilidad de B en cada uno

de los componentes de un sistema exhaustivo y

excluyente de sucesos (incompatible dos a dos), entonces

podemos calcular la probabilidad total de B (suceso

compatible con todos ellos) como la suma de todas las

intersecciones.

P(B) = P(B∩A1) + P(B∩A2 ) + P( B∩A3 ) + P( B∩A4 ) =

P(B) = P(A1) P(B|A1) + P(A2) P(B|A2)+ …

P(B∩A) = P(B|A) X P(A)

Ocurrenciade un Suceso

A1

A2

A3

A4

B

B

B

B

P(A1)

P(A2)

P(A3)P(A4)

P(B|A1)

P(B|A2)

P(B|A3)

P(B|A4)

Teorema de la probabilidad total

Teorema de Bayes

A1 A2

A3 A4

B

Si conocemos la probabilidad de B en cada uno de los componentes de un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos, entonces…

…si ocurre B, podemos calcular la probabilidad (a posteriori) de ocurrencia de cada Ai.

P(B) se puede calcular usando el teorema de la probabilidad total:

P(B)=P(B∩A1) + P(B∩A2 ) + P( B∩A3 ) + ( B∩A4 ) = P(B|A1) P(A1) + P(B|A2) P(A2) + …

P(B)Ai) P(B B)|P(Ai

Teorema de la probabilidad total

j

ijj

iii

)).P(AAP(B

)).P(AAP(BB)AP( =

Teorema de Bayes

j

ijj

iii

)).P(AAP(B

)).P(AAP(BB)AP(Ó




La enfermera averigua por la historia clínica las P(x) contrarias a las buscadas:

La P(WA) ó P(x) de ser diabético sabiendo que presenta un DA en Alimentación

La P(WB) ó P(x) de ser diabético sabiendo que presenta un DA en Eliminación

La P(WC) ó P(x) de ser diabético sabiendo que presenta un DA en Higiene

También averigua la:

P(A) de presentar un DA en Alimentación .

P(B) de presentar un DA en Eliminación.

P(C) de presentar un DA en Higiene.

A: Personas con DA. AlimentaciónB: Personas con DA. EliminaciónC: Personas con DA. HigieneW: Conjunto de personas diabéticas

WA




Con estos datos puede aplicar el Teorema de Bayes:


WA

( / ) ( )( / )( / ) ( ) ( / )́ ( )́

P B A xP AP A BP B A xP A P B A xP A





( / ) ( )( / )( / ) ( ) ( / )́ ( )́

P B A xP AP A BP B A xP A P B A xP A

P(AW) =P(A) P(WA)

[P(A) P(WA) + P(B) P(WB) + P(C) P(WC)]

Ejercicio de probabilidad para el blog:

Documéntate buscando en la bibliografía sobre los déficit de autocuidados en

alimentación , higiene y eliminación que tiene los pacientes con DM II.

1. Calcular la probabilidad de P(AW) que un individuo elegido al azar.

2. Calcular la probabilidad de averiguar: P(BW) y P(CW).

3. Representa la situación en un diagrama y explícalo.

4. Cuélgalo en tu blog portafolio.

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Seminario 7 estadistica tics 2011 20120