Univerzitet u SarajevuEkonomski fakultet u Sarajevu

SEMINARSKI RADiz predmeta matematika za ekonomiste

Tema: Kriva indiferencije. Veza konveksnosti (i konkavnosti) s drugim izvodom funkcije.

Mentor: Kandidat:

Sadržaj

Sadržaj.........................................................................................................................................2

Uvod............................................................................................................................................3

Kriva indiferencije......................................................................................................................4

Primjer iz ekonomije...............................................................................................................5

Veza sa funkcijom indiferencije.................................................................................................6

Konveksne i konkavne funkcije..............................................................................................7

Veza konveksnosti i konkavnosti sa drugim izvodom funkcije..............................................8

Pojam prevojne tačke..............................................................................................................8

Primjeri.......................................................................................................................................9

Zaključak...................................................................................................................................13

Literatura i korišteni izvori.......................................................................................................14

2

Uvod

Pojedinci se veoma razlikuju po preferencijama i različite mogućnosti zadovoljavanja želja rangiraju prema kriteriju „sviđati – ne sviđati“. Međutim, ovo rangiranje ne znači da je to izbor u pogledu stvarnog zadovoljavanja želja, jer se svaki pojedinac suočava sa budžetskim ograničenjem i cijenom robe/usluga.Ekonomski razlozi nas prisiljavaju da se često naš izbor razlikuje od preferencija. Nalazeći se kontinuirano između preferencija i mogućnosti stalno smo prisiljeni da rangiramo alternativne kombinacije robe ili usluga, ali se dešava i da nam različite kombinacije pružaju isti nivo zadovoljenja želja, odnosno da nam je svejedno koju kombinaciju dvije ili više roba ili usluga kupimo.Dakle, kada se suočimo sa dvije kombinacije robe ili usluge, možemo preferirati jednu ili drugu kombinaciju ili biti indiferentni.1

Pri tome, ne podrazumjevamo da možemo izmjeriti intenzitet preferencije, već je dovoljno da osjećamo koju kombinaciju ustvari - preferiramo.U okviru toga, logična je pretpostavka da ćemo uvijek preferirati kombinaciju koja uključuje više roba/usluga.Kada govorimo o tome da li je funkcija konveksna ili konkavna, mi zapravo govorimo o obliku grafika posmatrane funkcije. Veoma je teško, na osnovu same definicije konveksnosti odnosno konkavnosti funkcije na segmentu provjeriti kakvog je oblika funkcija. Da li je ispunjena jednakost ili nejednakost – komplikovano je razmatrati. Jednostavnije je koristiti drugi izvod funkcije (ukoliko je funkcija diferencijabilna)2 .Ukratko možemo reći da:Ukoliko se dobra X i Y supstituti, kriva indiferencije je konveksna.Ukoliko dobra X i Y nisu supstituti, kriva indiferencije je konkavna.

1 Esad Vilogorac „Uvod u ekonomiju“ – 3.izdanje – Sarajevo: Ekonomski fakultet, 2008. – ( IX), str 98 od 428.str.

2 Smajlović dr. Lejla „Matematika za ekonomiste“ – Sarajevo „Ekonomski fakultet“ – 2010; str 180 od 372

3

Kriva indiferencije

Niz kombinacija dvije robe koje nam daju istu korisnost možemo predstaviti i grafički - funkcijom indiferencije:

Slika 1.

Ili, u drugačijem kontestu rečeno:

Ukoliko imamo na raspolaganju dvije robe (npr. X i Y) koje se mogu supstituirati tj. da se robe X i Y mogu zajedno konzumirati, pa se određena količina robe X može supstituirati robom Y, tada se potrošač nalazi na istoj razini zadovoljstva tj. potrošač je indiferentan jer mu sve robe pružaju istu korisnost.

Matematički posmatrano:

Ukoliko količinu dobara X povećamo za neko ∆X, tada odgovarajuću količinu dobara Y možemo smanjiti za ∆Y a da potrošač ostane na istoj razini zadovoljstva.Odnosno – kriva koja spaja parove X,Y količina dobara X i Y za koje smo na istoj razini zadovoljstva zove se kriva indiferencije.

4

Primjer iz ekonomije

Pretpostavimo da postoje samo dvije robe; meso i sir, koje čine različite kombinacije potrošnje u odgovarajućem periodu (npr.mjesec dana)Ove dvije robe pojavljuju se u sljedećim kombinacijama:

KOMBINACIJE POTROŠNJE

kg/MJESECMESO SIR

A 8 2B 6 4C 5 5D 3 7

Pretpostavimo da je potrošač indiferentan u odnosu na ove četiri kombinacije potrošnje mesa i sira (svaka kombinacija zadovoljava želju potrošača u istom stepenu). Dakle, imamo niz alternativnih mogućnosti potrošnje mesa i sira u odnosu na koje smo indiferentni (ne dajemo prednost nijednom od njih) i koje čine niz kombinacija koje nam pružaju istu korisnost.

Slika 2.

5

Veza sa funkcijom indiferencije

Zamislimo da je kriva indiferencije sa slike 2 data kao grafik funkcije Y=f (x).Tačke (a, f(a)) i (b, f(b)) se nalaze na krivoj indiferencije pa je potrošač podjednako zadovoljan količinom i dobra X i dobra Y.

U našem primjeru, potrošač će ipak biti najzadovoljniji sa količinom C jer je ona aritmetička sredina dobara X i Y.

Dakle, potrošač će biti zadovoljniji sa količinom od dobra X i

dobra Y.

Slika 3.

Drugim riječima, ukoliko je sa y= f(x) data kriva indiferencije potrošača prema dobrima koja se mogu supstituirati, tada je

.

Analogno, možemo zaključiti da bi potrošač bio zadovoljniji sa količinom od

dobra X i dobra Y nego sa polaznim količinama dobara.

6

Nastavljajući ovo razmišljanje dalje, možemo zaključiti da, ukoliko je sa data kriva

indiferencije potrošača prema dobrima koja se mogu supstituirati, tada za svaki broj

vrijedi nejednakost

.

7

Konveksne i konkavne funkcije

Za funkciju defenisanu na segmentu kažemo da je konveksna na tom segmentu

ukoliko je sa svaki broj ispunjena nejednakost

, kao na slici 3.

Ukoliko za svaki broj vrijedi nejednakost

tada je funkcija konkavna na segmentu

Slika 4.

To se dešava kada dobra X i Y nisu supstituti, tj. ne konzumiramo ih skupa.Naprimjer, dobra X mogu predstavljati čokoladu, a dobra Y supu i pretpostavimo da potrošač konzumira oboje. Međutim, umjesto da potrošač bude zadovoljan podjednakom količinom i supe i čokolade on će biti zadovoljniji sa malom količinom supe i većom količinom čokolade i obratno što pokazuje slika broj 4.

Ukoliko je vrijedi

8

Veza konveksnosti i konkavnosti sa drugim izvodom funkcije

Da li je funkcija konveksna ili konkavna odnosno da li vrijedi nejednakost (slika 3.) ili nejednakost (slika 4.) komplikovano je diskutovati. Zbog toga ćemo koristiti drugi izvod funkcije. Funkcija je konveksna ako je

za sve

a funkcija je konkavna ukoliko je

za sve .

Pojam prevojne tačke

Prevojna tačka jeste tačka u kojoj funkcija mijenja konveksitet. Drugim riječima rečeno:

Neka je funkcija definisana u nekoj okolini tačke . Tačka je prevojna tačka funkcije

ukoliko se nalazi lijevo od i tada je funkcija konveksna (konkavna) a ukoliko je desno od

tada je funkcija konkavna (konvkesna).

Da bi postojala prevojna tačka potreban uvjet jeste da a dovoljan uslov jeste da

mijenja znak u okolini tačke .

9

Primjeri

Primjer 1.

Naći intervale konkveksnosti i konkavnosti i prevojne tačke.

Nema prevojnih tačaka jer je brojnik pozitivan

kad je pozitivan

za

kad je

10

Primjer 2.

Odrediti intervale konveksnosti i konkavnosti i prevojne tačke funkcije

-∞ 7 +∞

- +

∩ ⋃

Na osnovu tabele vidimo da funkcija pri prelasku preko tačke mijenja znak, pa je

apscisa prevojne tačke. Kako je , to je tačka prevojna tačka ove

funkcije.

11

Primjer 3.

Data je funkcija zadovoljstva . Ispitati da li se ova dobra mogu

supstituirati na nivou zadovoljstva 5.

za tj. za

količina → →

Kriva indiferencije je konveksna pa slijedi da se dobra mogu supstituirati.

12

Primjer 4.

Odrediti prevojne tačke funkcije

Kao prvo određujemo definiciono područje date funkcije. Treba da vrijedi

1

Zaključujemo da je funkcija definisana za sve

Zatim određujemo prvi izvod:

Sada računamo drugi izvod:

Kako je nazivnik pozitivan za sve vrijednosti iz definicionog područja, znak funkcije isti

je kao znak nazivnika, odnosno izraza . Također je za jedina moguća

prevojna tačka. Međutim, pa ona ne može biti prevojna tačka ove

funkcije, jer u toj tački funkcija nije definisana. Dakle, ova funkcija nema prevojnih tačaka.

Kako je za funkcija je konveksna na intervalu , dok je na

intervalu funkcija konkavna (tu je ).

13

Zaključak

Svakodnevno, i na bilo koji drugi način – ljudi se susreću sa različitim izazovima, odabirom, ali i mogućnostima zadovoljavanja želja i potreba.Često nam se nameće i način odabira po raznim kriterijima: ekonomski isplativo, pouzdano, kvalitetno i sl. Osim toga smo također mnogo puta u prilici da biramo tzv. “ili – ili” drugačije rečeno, “sviđa – ne sviđa”.

Upravo zbog toga, kao temu našeg seminarskog rada smo uzeli “funkciju indiferencije” kao funkciju koja pokazuje kombinacije različitih roba koje potrošaču daju isti nivo korisnosti, tj.koje potrošaču pružaju isti nivo zadovoljstva.

Funkcija indiferencije ne predstavlja samo “još jednu u nizu ekonomski posmatranih pojava grafički predstavljenu, za većinu ljudi ´običnu krivulju´ na koju će zaboraviti već u sljedećem poglavlju” to je kriva koja, dakle, pokazuje kako i različite robe mogu potrošaču pružiti isti nivo zadovoljstva.S obzirom na to da funkcija indiferencije može biti konveksna i konkavna, možemo to najjednostavnije objasniti kayo pojavu u kojoj potrošač bira na način “više preferiram – manje preferiram” (kada je funkcija indiferencije konkavna) i “svejedno koja roba” (kada je funkcija indiferencije konveksna).

Potrebno je naglasit da se mjesto u kojoj se mijenja konveksitet funkcije naziva prevojna tačka, kao i to da zbog lakšeg određivanja nejednakosti funkcije koristimo drugi izvod.

S tim u vezi, ako je za sve funkcija je konveksna i ukoliko je za sve

funkcija je konkavna.

14

Literatura i korišteni izvori

Esad Vilogorac „Uvod u ekonomiju“ – 3.izdanje – Sarajevo: Ekonomski fakultet, 2008. – ( IX), str 98 od 428.str.

Smajlović dr. Lejla „Matematika za ekonomiste“ – Sarajevo „Ekonomski fakultet“ – 2010; str 180 od 372

www.hrcak.srce.hr/file/40478 www.scindeks-clanci.nb.rs/data/pdf/0048-5705/1997/0048-57059702049P.pdf http://www.h3s.org/pocela/grafovi/ http://www.grad.hr/itproject_math/Links/vera/matematika1/taylorov/HTMLLinks/

index_6.html

15