Slide 1
SEMINARSKI RADREALNE FUNKCIJE.GRANINA VREDNOST I NEPREKIDNOST
FUNKCIJA. REALNE FUNKCIJEU nekom algebarskom, geometrijskom ili
fizikalnom zadatku mogu se pojaviti dve vrste veliina: veliine koje
imaju uvek istu vrednost i veliine koje mogu poprimiti razliite
vrednosti. Prve se nazivaju konstantama, druge
varijablama.-konstante se oznaavaju prvim slovima alfabeta: a, b,
c, ..., a varijable poslednjim: x, y, z,... .U matematici, ali esto
i u svakodnevnom ivotu, susreemo se sa situacijom u kojoj jednaod
dve ili vie varijabli, ima tano odreenu vrijednost im je data
vrednost onih drugih.Realna funkcija predstavlja osnovni pojam u
matematikoj analizi i centralni objekat svih njenih razmatranja.Za
realnu funkciju f : D R, kaemo da je neprekidna u taki a D ako je
zadovoljen jedan od sledeih uslova(1) a je izolovana taka skupa
D;(2) a je taka nagomilavanja skupa D. Funkcija f je neprekidna na
skupu D ako je neprekidna u svakoj taki tog skupa. U tom sluaju
piemo f CD. Denicija neprekidnosti u taki slina je, ali ne i
jednaka sa denicijom granine vrednosti funkcije u toj taki. Najpre
taka a, u kojoj je funkcija f : D R neprekidna, pripada skupu D i
ne mora biti njegova taka nagomilavanja. Taka a D moe, ak biti i
izolovana taka skupa D.Taka (broj) b je granina vrednost ili
granica funkcijey = f(x) u taki x = a (ili kad x tei a) ako za
svaki pozitivan broj postoji pozitivan broj , koji zavisi od , tako
da je za sve vrednosti argumenta x koje zadovoljavaju nejednakost 0
< |x a| < , zadovoljena nejednakost|f(x) b| < .
-Neprekidnost funkcija-Neka je funkcija f (x) definisana u taki x0
i nekoj njenoj okolini. Funkcija f (x) je neprekidna u taki x0 ako
i samo ako za svako x>0 postoji = ( ) > 0 takvo da vai|x x0|
< |f (x) f (x0) |.Neprekidnost se moe definisati i pomou granine
vrednosti. Naime, funkcija f (x) je neprekidna u taki x0 ako i samo
ako u toj taki ima graninu vrednost i ako je pri tomelim f (x) = f
(x0 ).xx0Ako je funkcija neprekidna u svakoj taki intervala (a, b)
kae se da je neprekidna u intervalu (a, b).Ako je funkcija
definisana u taki x0 i ako ima desnu graninu vrednostf (x0 + 0) i
ako je pri tome f (x0) = f (x0 + 0) onda je funkcija neprekidna
Na primer:Oznaimo li sa x duinu stranice nekog kvadrata a sa y
njegovu povrinu, vrednost varijable y je potpuno odreena vrednou
varijable x, to zapisujemo, kao to je poznato, formulom: y = x 2
.Slino, oznaimo li sa x i y duine stranica nekog pravougaonika a sa
z njegovu povrinu, vrednost varijable z je potpuno odreena
vrednostima varijabli x i y, to zapisujemo formulom: z = x y .
3. Neka se automobil giba konstantnom brzinom od 60 km/h.
Oznaimo li sa x put, ukilometrima, koji je automobil preao, a sa y
vreme, izraeno u satima, koliko je dugo putovao, dobiemo poznate
formule:
y = x / 60
i x = 60 y .4. Ako hipotenuza pravouglog trougla ima duinu 5,
duina y jedne katete potpuno je odreena vrednou x druge katete,
tj.
y = 25 x 2 ,ne raspravljajui na ovom mestu za koje vrednosti od
x varijabla y prima realne vrednosti.U gornjim primerima emo rei da
je povrina kvadrata funkcija duine njegove stranice,povrina
pravougaonika funkcija duina njegovih stranica,itd.Dakle,pomou
funkcija moemo posmatrati kako se menja jedna veliina zavisno od
druge i time opisati zakonitosti nekih pojava u taki x0 . Analogno,
ako je funkcija definisana u taki x0 i ima levu graninu vrednost f
(x0 0) i ako je f (x0) = f (x0 0) funkcija je neprekidna sleva u
taki x0. Potreban i dovoljan uslov da je funkcija neprekidna u taki
x0 je da je neprekidna sleva i neprekidna sdesna.Ako funkcija f (x)
u taki x0 nije neprekidna kae se da u toj taki ima prekid. Ako
postoje f (x0 0) i f (x0 + 0) prekid je prve vrste, a u protivnom
prekid je druge vrste. Prekid prve vrste kada je f (x0 0) = f (x0 +
0) naziva se otklonjiv prekid.Prekid nastaje jer funkcija nije
definisana za x = 0. Ako se funkcija definie tako da je njena
vrednost u 0 jednaka f (0) = 1, onda ona postaje neprekidna u 0,
dakle prekid je otklonjen.Ako su funkcije f i g neprekidne u taki
x=0 onda su neprekidne i funkcije f + g, f g, f g, kao i funkcija f
, ali samo pod uslovom da je g(x0) = 0.
-Zadaci-
5. Izracunati granicne vrednosti sledecih funkcija:
6. Izracunati granicne vrednosti sledecih funkcija
7. Izracunati granicne vrednosti sledecih funkcija:
8. Ispitati neprekidnost funkcije
9. Odredite skup A C R na kome je funkcija f neprekidna ako
je:
10. Odrediti paramatre A i B tako da funkcija f bude neprekidna
u svim tackama definisanosti ako je:
Reenja:
1.
2.
3.
4..
5.
6.
7.
8.
9.
10.
