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Relaciones, Preordenes
Silvio Reggiani
Complementos de Matematica II (LCC)Facultad de Ciencias Exactas, Ingenierıa y Agrimensura
Universidad Nacional de Rosario
11 de septiembre de 2018
Repaso de relacionesUna relacion R entre un conjunto A y un conjunto B es unsubconjunto del producto cartesiano AĆ B
R ā AĆ B (el orden importa)
I La relacion R nos dice con que elementos de B (posiblementeninguno) se ārelacionaā cada elemento de A
I Si a ā A, b ā B, significan lo mismo:I a esta relacionado con bI (a, b) ā RI aRb
Ejemplos triviales
I R = ā ā AĆ B (ningun elemento de A se relaciona conningun elemento de B)
I R = AĆ B (todos los elementos de A se relacionan con todoslos elementos de B)
Relacion funcional
(a, b), (a, c) ā R =ā b = c (funcion parcial)
Dominio e imagen de una relacion R ā AĆ B
I domR := {a ā A : āb ā B, aRb}I imR := {b ā B : āa ā A, aRb}
Ejemplo
Una funcion (total) f : Aā B es una relacion funcional ātotal aizquierdaā, es decir dom f = A:
(a, b) ā f ā AĆ B
I āa ā A,ā!b ā B, afb
I b := f (a) (notacion)
Operaciones con relaciones
InversionSi R es una relacion entre A y B se define la relacion inversa entreB y A por
Rā1 := {(b, a) ā B Ć A : aRb}
Proposicion
Sea f una relacion funcional. Entonces f ā1 es una relacionfuncional sii f es inyectiva.
Demostracion.
ā bf ā1a ā§ bf ā1aā² =ā a = aā²
ā afb ā§ aā²fb =ā a = aā²
Union
RāŖ S ā AĆ B
(solo funciona cuando R y S son ambas relaciones entre A y B)
Ejemplo
I R = ā < ā = {(a, b) : a < b} ā RĆ RI S = ā = ā = {(a, a) : a ā R} ā RĆ RI ā < ā āŖ ā = ā = ā ā¤ ā
Interseccion
Rā© S = {(a, b) : aRb ā§ aSb}
Diferencia, etc. . .
Composicion
I R relacion entre A y B
I S relacion entre B y C
I S ā¦ R := {(a, c) ā AĆ C : āb ā B, aRb ā§ bSc}
Ejemplo
Si f : Aā B y g : B ā C son funciones, entonces g ā¦ f (como loacabamos de definir) es una funcion:
I Dado a ā A, ā!b ā B, afb [b = f (a)]
I ā!c ā C , bgc [c = g(b) = g(f (a))]
I Luego, dado a ā A, ā!c ā C , a(g ā¦ f )c . Es decir, g ā¦ f es unarelacion funcional.
La composicion de relaciones coincide con la composicion defunciones en el sentido usual.
Restriccion
I R relacion entre A y B
I Aā² ā A, B ā² ā B
I La restriccion de R a Aā² Ć B ā² es
R|Aā²ĆBā² := {(a, b) : a ā Aā², b ā B ā², aRb}
Restriccion de funcionesSi f : Aā B, Aā² ā A,
f |Aā² = f |Aā²ĆB
Relacion en un conjuntoI Un caso muy interesante es cuando R ā AĆ A relaciona los
elementos del conjunto A entre sı. Esto tambien se llama unarelacion en A.
I Las relaciones en A se pueden representar con grafos dirigidos:
I Vertices: elementos de AI aRaā² se representa con una flecha aā aā²
Igualdad
0 1 2 3
Menor (o igual)
0 1 2 3
Tipos de relaciones
Reflexiva: āa ā A : aRaLa igualdad es la menor relacion reflexiva
Simetrica: āa, b ā A : aRb =ā bRa
a b
Antisimetrica: āa, b ā A : aRb ā§ bRa =ā a = b
a b a b a b
Transitiva: āa, b, c ā A : aRb ā§ bRc =ā aRc
a b c (importante en categorıas)
Tipos de relaciones
Ejercicio
Las propiedades anteriores se heredan cuando restringimos larelacion a un subconjunto de A.
Relaciones de equivalencia
I Notacion: R = ā¼I ā¼ reflexiva
I ā¼ simetrica
I ā¼ transitiva
Las relaciones de equivalencia son importantes porque nospermiten āetiquetarā los elementos de un conjunto sinambiguedades o repeticiones.
Ejemplos de relaciones de equivalencia
I ā=ā Ejemplo trivial (muchas etiquetas)
I Congruencia modulo 2 en Z:
m ā¼ n āā m ā n ā” 0 mod 0
Etiquetas: āparā, āimparā
ĀæQue significa etiquetar?
I ā¼ relacion de equivalencia en A
I a = {b ā A : a ā¼ b} es la clase de equivalencia u orbita dea ā A
I a 6= ā (a ā a)
I Dados a, b ā A, o bien a = b o bien a ā© b = ā I A es union disjunta de la clases de equivalencia de ā¼I Conjunto cociente:
A/ā¼ := {a : a ā A} ā P(A)
es una particion de A. Es decir,I A =
āXāA/ā¼ X
I āX ā A/ā¼,X 6= ā I āX ,Y ā A/ā¼ : X 6= Y =ā X ā© Y = ā
TeoremaHay una correspondencia biyectiva entre relaciones de equivalenciaen A y particiones de A.
Demostracion.
I Ya vimos que una relacion de equivalencia induce unaparticion
I Recıprocamente, dada una particion P ā P(A) definimos
a ā¼ b āā āX ā P : a, b ā X
(verificar como ejercicio que ā¼ es una relacion deequivalencia)
I Estas dos construcciones son recıprocas
Ejemplo 1 (importante)
Dada una funcion f : Aā B,
ker f := {(a, aā²) : f (a) = f (aā²)}
es una relacion de equivalencia en A (volveremos sobre esto masadelante)
Ejemplo 2
Dada una relacion de equivalencia ā¼ en A, podemos construir laproyeccion al cociente
Ļ : Aā A/ā¼, Ļ(a) = a
Se tiene que ker Ļ =ā¼. Luego Toda relacion de equivalencia es elkernel de una funcion (tambien volveremos sobre esto)
Teorema (de factorizacion)
Si ā¼ es una relacion de equivalencia en A y f : Aā B es unafuncion tal que a ā¼ b =ā f (a) = f (b), entonces existe una unicafuncion f : A/ā¼ ā B tal que f = f ā¦ Ļ.
A B
A/ā¼
f
Ļ ā!f
Demostracion.Ejercicio. Definir f (a) = f (a) y probar que esta definicion nodepende del representante elegido.
Conjuntos preordenados
Un preorden en un conjunto A es una relacion que establecejerarquıas entre sus elementos (con mınimos requisitos)
Definicion formalUna relacion ā¤ en A es un preorden si es
I reflexiva (a ā¤ a) y
I transitiva (a ā¤ b, b ā¤ c =ā a ā¤ c)
a b cā¤
ā¤
ā¤
ObservacionUn preorden puede tener ciclos
a b c es un preorden valido
Ejemplo
ĀæCuantos preordenes hay en A = {a, b}? Rta: 4
a b a b a b a b
Ejercicio
ĀæCuantos preordenes hay en A = {a, b, c}? Rta: 29
Ejercicio*
ĀæCuantos preordenes hay en un conjunto con n elementos? Rta:muchos
Ejemplo
I Una relacion de equivalencia en A es un preorden.
I ĀæCuantas relaciones de equivalencia hay en A = {a, b, c}?I Relaciones de equivalencia en A āā Particiones de A
I P1 = {{a, b, c}}I P2 = {{a, b}, {c}}I P3 = {{a, c}, {b}}I P4 = {{b, c}, {a}}I P5 = {{a}, {b}, {c}}
I |Relaciones de equivalencia| = 5ļæ½ 29 = |Preordenes|I |Relaciones en A| = |P(AĆ A)| = 29 = 512
Ejercicio
Graficar los preordenes asociados a las relaciones de equivalenciaanteriores.
Ejemplo
I A = {Piedra,Papel,Tijera}I Piedra . Papel, Papel . Tijera, Tijera . Piedra
I No es un preorden (Āæpor que?)
Ejemplo/Ejercicio
Construccion de un preorden a partir de una relacion cualquiera Ren un conjunto A.
I R= = RāŖ {(a, a) : a ā A} (clausura reflexiva)
I R< = RāŖ {(a, c) : ā un camino de a a c con flechas de R}=
āSāR
S transitiva
S (clausura transitiva)
I (R=)< = (R<)= es el menor preorden que contiene a R.
Mas ejemplos
I AĆ A es un preorden en A
I ā no es un preorden en A (si A 6= ā )
I El orden (menor o igual) en la recta R es un preorden y sehereda a cualquier subconjunto: N, Z, Q, . . .
I Importante: a | b (a divide a b) es un preorden en Z.Recordar: a | b āā āc ā Z : b = ac
Ā· Ā· Ā· ā2 ā1 0 1 2 Ā· Ā· Ā·
I No es antisimetrico:n ā¤ ān ā¤ nI Hay maximo: ān, n ā¤ 0I Hay āmınimosā: ān, 1 ā¤ n, ān,ā1 ā¤ n
Jerarquıas
I a es elemento maximal si
āx , a ā¤ x =ā x ā¤ a
Nadie le gana a a
I a es un maximo si
āx , x ā¤ a
a le gana a todos
I a es elemento minimal si
āx , x ā¤ a =ā a ā¤ x
a no le gana a nadie
I a es un mınimo si
āx , a ā¤ x
Todos le ganan a a
Ejercicio
I Maximo =ā Maximal
I Mınimo =ā Minimal
Ejemplos
I (Z,ā¤) no tienen elementos maximales ni minimalesI (Z, | )
I 0 es maximoI Ā±1 son los mınimos
I ā ā¤ ā = AĆ A: todo elemento es maximo y mınimo
I ā = ā = ā = (clausura reflexiva de la relacion vacıa): todoelemento es minimal y maximal a la vez; no hay maximos nimınimos si |A| ā„ 2
Cotas superiores/inferiores, supremos/ınfimos
Sean (A,ā¤) un conjunto preordenado, B ā A y a ā A. Decimosque
I a es cota superior de B si āb ā B, b ā¤ a. Si existe una cotasuperior de B decimos tambien que B esta acotadosuperiormente
I a es cota inferior de B si āb ā B, a ā¤ b. Si existe una cotainferior de B decimos tambien que B esta acotadoinferiormente
I a es un supremo de B si A es un mınimo de
{c ā A : c es cota superior de B}
I a es un ınfimo de B si a es un maximo de
{cinA : c es cota inferior de A}
Axioma del supremo
Axioma del supremo
Todo subconjunto no vacıo y acotado superiormente (de unconjunto preordenado) tiene supremo.
Ejemplo
I (R,ā¤) satisface el axioma del supremo.
I (Q,ā¤) no satisface el axioma del supremo. Por ejemplo
{q ā Q : q2 ā¤ 2}
es acotado superiormente pero no tiene supremo.
I Luego el axioma del supremo no es una propiedad hereditaria.
Ejemplo/Ejercicio importante
I X conjunto (dato)
I (P(X ),ā) es un conjunto preordenado
I X es maximo
I ā es mınimo
I Luego, todo subconjunto no vacıo B ā P(X ) es acotadosuperior/inferiormente (B es un conjunto de subconjuntosde X )
I sup B =ā
B
I ınf B =ā
B
ObservacionSea (A,ā¤) un conjunto preordenado y B ā A
I a cota superior de B y a ā B =ā a elemento maximal de B
I a ā B elemento maximal 6=ā a cota superior de B
ā¢ ā¢
ā¢ ā¢
ā¢
a
b bā²
Orden inverso
I Si (A,ā¤) es un conjunto preordenado, el orden inverso ā„ sedefine como
a ā„ b āā b ā¤ a (relacion inversa)
I (A,ā„) es un conjunto preordenado y todas las definiciones sedualizan:I a elto. maximal en (A,ā¤) āā a elto. minimal en (A,ā„)I a cota superior en (A,ā¤) āā a cota inferior en (A,ā„)I a supremo en (A,ā¤) āā a ınfimo en (A,ā„)I Axioma del supremo en (A,ā¤) āā Axioma del ınfimo en
(A,ā„)
I El grafo del preorden (A,ā„) es el mismo grafo de (A,ā¤) peroinvirtiendo el sentido de las flechas
Ejercicio
(A,ā¤) satisface el Axioma del supremo āā (A,ā¤) satisface elAxioma del ınfimo (Ā”el mismo preorden!).