8/17/2019 simplex.doc

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Resumo do método simplex

max  z  =c.x

s. a.  Ax = b (c1×n, Am×n, bm×1, xn×1)

 x ≥ 0

(com b ≥ 0)

1. Obtenha uma base viável B, através da Fase I. O sistema pode ser escrito, ento, como

   Bx Nx b B Bx B Nx B b Ix Ax b B N B N B N + = ⇒ + = ⇒ + =− − −1 1 1

 N  N  B N  B N  N  N  B N  N  B B   xc z  x N  Bccb Bc xc Nx Bb Bc xc xc z    +=−+=+−=+=   −−−− )()(   1111

Ou se!a"

 x a x a x b

 x a x a x b

 z c x c x z 

m m n n

m m m m mn n m

m m n n

1 1 1 1 1 1

1 1

1 1

+ + + =

+ + + =

− + + + = −

+ +

+ +

+ +

,

,

...

...

...

...

...

Ou ainda"

-z x1 ...   xr  ...   xm   xm#1 ... xs ...   xn

 x1 0 1 ... 0   a m1 1,   +   a  s1   a n1   b1

...

 xr  0 0 ... 1 0   ar m,   +1   ars   ar n   br 

...

 xm 0 0 ... 1   am m,   +1   ams   amn   bm

 $  z  1 0 ... 0 0   cm+1

c s   cn − z 

%. &e c  j  ≤ 0 para todo j, a solu'o atual é otima. &eno, selecione uma coluna s tal ue c

 s  0.

*. &e ais ≤  0   para todo i, o problema é ilimitado. &eno selecione uma linha r  tal ue

b

a

b

aar 

rs

i

isis= >

min " 0

+. Fa'a as opera'es elementares necessárias no sistema para trans-ormar 

a

a

a

c

 s

rs

ns

 s

1

...

...

 

 

 

 

   

     

  em

0

1

0

0

...

...

 

 

 

 

   

     

(ou se!a a aa a

aij ij

is rj

rs

← − , c cc a

a j j

 s rj

rs

← − , b ba b

ai i

is r 

rs

← −  )

rsa ...

 ...

rj

isij

a

aa↓

→

. /á para %.

Observação" Implementa'es e-icientes do aloritmo simplex exploram a usual esparsidade do sistema Ax = b. o invés de arma2enar suas sucessivas -ormas como uma matri2, arma2enam somente  B31 (ue

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também pode ser atuali2ada pelas mesmas opera'es elementares) e s4 calculam uma coluna   ja•  

uando necessário (isto é, uando a variável correspondente entra na base).