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2008. Simulation pour les nanotechnologies : de la physique quantique au transistor. François Triozon. Résumé. Théorie semi-classique du transport électronique Fondements, illustrations Succès pour la simulation des transistors Théorie quantique du transport Bref historique - PowerPoint PPT Presentation
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2007
Forum Théorie 2008 - F. Triozon
Simulation pour les nanotechnologies : de la physique quantique au transistorFrançois Triozon
2008
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2007
Forum Théorie 2008 - F. Triozon
Résumé
Théorie semi-classique du transport électroniqueFondements, illustrationsSuccès pour la simulation des transistors
Théorie quantique du transportBref historiqueExemples illustratifs
Développements actuelsExemple : transport dans les nanotubes de carboneDifficultés théoriques
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2007
Forum Théorie 2008 - F. Triozon
Partie IThéorie semi-classique du
transport électronique
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2007
Forum Théorie 2008 - F. Triozon
Pourquoi « semi-classique » ?
La nature ondulatoire des électrons domine les propriétés des molécules et des solides
Pourtant, le transport électronique est souvent bien décrit par des modèles particulaires dits « semi-classiques »
Les paramètres de ces modèles particulaires contiennent (cachent) l’aspect ondulatoire
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2007
Forum Théorie 2008 - F. Triozon
Semi-conducteurs et métaux
Electrons dans un solide cristallin :
états stationnaires = ondes de Bloch relations de dispersion En(k) (= ħnk)→ bandes d’énergies permises
propagation balistique + diffusion sur défauts du cristal
statistique de Fermi-Dirac
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2007
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Exemple 1 : Cuivre
vecteur d’onde k
G. Onida et al., Rev. Mod. Phys. 2002
niveau de
Fermi
Dernière bande partiellement remplie → métal
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2007
Forum Théorie 2008 - F. Triozon
Exemple 2 : Silicium
vecteur d’onde k
Y.M. Niquet et al., Phys. Rev. B 2000
bande interdite 1.1 eV
états vides
états occupés
Bande complète → semi-conducteur ou isolant
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2007
Forum Théorie 2008 - F. Triozon
Remarques
Electrons dans un cristal = problème à N corps
Ici on se limite aux liquides de Fermi. Les états excités du système de N électrons se comportent comme des fermions admettant des relations de dispersion En(k) : quasiparticules (électrons et trous)
Pourquoi une bande totalement remplie ne conduit-elle pas ?
Comme nous allons le voir, c’est un phénomène ondulatoire.
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2007
Forum Théorie 2008 - F. Triozon
Ondes de Bloch
potentiel périodique vu par un électron dans un cristal parfait
Equation de Schrödinger stationnaire :
Théorème de Bloch : les états stationnaires sont de la forme :
vecteur d’ondes
indice de bande ( plusieurs états à donné)
a la périodicité du cristal
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2007
Forum Théorie 2008 - F. Triozon
Relations de dispersion
états identiques1ère zone de Brillouin
largeur 2/a
a = distance interatomique
dynamique de l’électron
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2007
Forum Théorie 2008 - F. Triozon
Paquets d’ondes et vitesse de groupe
« Vitesse » d’un électron dans l’état de Bloch ?
opérateur courant
paquet d’ondes2 méthodes :
Fourier W >> distance interatomique
k << 1ère zone de Brillouin
Vitesse de groupe :
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2007
Forum Théorie 2008 - F. Triozon
Illustration : evolution d’un paquet d’ondes
Hamiltonien 2D discrétisé sur réseau carré
(a = pas du réseau, t = 1 eV)
Evolution à pas de temps égaux :
kx
E
Bas de bande : m* « masse effective »
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2007
Forum Théorie 2008 - F. Triozon
Effet d’un champ électrique
0
-2 eV
Bande complète compensation entre e- accélérés et ralentis
pas de courant
kx
E (eV)
a
b
a
b
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2007
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Effet d’une impureté ionisée
-e
(E. Sarrazin,
CEA/LETI)
Théorème d’Ehrenfest
→ mouvement classique du centre du paquet d’ondes
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2007
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Aspect probabiliste
impureté
Vision plus correcte : diffusion quantique
Pour améliorer la description semi-classique, on ajoute
un caractère probabiliste aux collisions.
Les probabilités de diffusion peuvent être :• ajustées sur des expériences• calculées dans un modèle quantique (règle d’or de Fermi)
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2007
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Formulation de la théorie semi-classique
Relations de dispersion ou masses effectives
vitesse, réponse à un champ électrique
Sections efficaces de collision sur défauts et phonons Collisions indépendantes (pas de cohérence de phase) Equation de Boltzmann pour la fonction de distribution
f(n,k,r) des électrons :
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2007
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Exemple : transistor MOSFET
SourceSource DrainDrain
GrilleGrille
BOXBOX
Impuretés, défauts … Impuretés, défauts … Electron Electron (S. Martinie, CEA/LETI)
Metal-Oxyde-Semiconductor Field Effect Transistor
oxyde < 1 nm
LG = qq. dizaines de nm
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2007
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Diagramme de bandes
« Source »
silicium dopé N
bande interdite
1.1 eV
bande de valence
bande de
conduction
« Drain »
silicium dopé N
S
D
e-
canal controlé par l’électrode de « grille »
silicium pur ou dopé P
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2007
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Diagramme de bandes
« Source »
silicium dopé N
bande interdite
1.1 eV
bande de valence
bande de
conduction
« Drain »
silicium dopé N
canal controlé par l’électrode de « grille »
silicium pur ou dopé P
S
D
e-
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2007
Forum Théorie 2008 - F. Triozon
Simulation (logiciel commercial)
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16
x (m)
V (
Vo
lt)
VGS = 0.05 V
potentiel
-eV(x)
en eV
VDS = 0.7 V
VDS = 0.05 V
VGS = 0.7 V
transport diffusif
(impuretés, phonons)
(S. Martinie, CEA/LETI)
e-
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2007
Forum Théorie 2008 - F. Triozon
Simulation (logiciel commercial)
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16
V (
Vo
lt)
x (m)
VGS = 0.05 V
potentiel
-eV(x)
en eV
VDS = 0.7 V
VDS = 0.05 V
VGS = 0.7 V
transport balistique
(S. Martinie, CEA/LETI)
e-
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2007
Forum Théorie 2008 - F. Triozon
Aperçu de la simulation pour l’électronique
TCAD : Technology Computer-Aided Design Transport électronique dans le dispositif unique
(transistor, diode) Procédés (implantation de dopants, lithographie, …) Simulation de circuits : quelques transistors plusieurs
milliers Electromagnétisme (couplages parasites)
Forte compétence au CEA-LETI. Lien avec les dispositifs
réalisés en salle blanche.
Longueur des transistors étudiés : < 20 nm
la théorie semi-classique atteint ses limites
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2007
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Partie IIThéorie quantique du transport
électronique
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2007
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Pour décrire quels phénomènes ?
Transport dans des matériaux non massifs : interfaces entre matériaux (exemple :
électrode/canal)dimensions nanométriques
Cohérence quantique :basse température et/ou dimensions nanométriques
Mêmes phénomènes quantiques que précédemment, mais on ne peut plus les cacher dans quelques paramètres.
Ces phénomènes dépendent fortement du système :
matériaux, géométrie, …
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2007
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Bref historique
Effet tunnel à travers une couche mince isolante (années 60)
Conductance d’un système 1D connecté à des réservoirs formule de Landauer, quantum de conductance (1957)
Fonctions de Green hors-équilibre (Keldysh, 1965) appliquées au transport : Caroli et al., J. Phys. C 1971
Conductance « multi-canaux » de Landauer-Büttiker :
M. Büttiker et al., Phys. Rev. B 1985
Idée : système petit et/ou quantiquement cohérent
connecté à des réservoirs (électrodes de mesure)
Intérêt fondamental. Physique « mésoscopique ».
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2007
Forum Théorie 2008 - F. Triozon
Canal 1D idéal connecté à des réservoirs
Energie
S
D
S D
Courant ?limité par le principe de Pauli
=-eV
contacts « transparents »
compensation
du courant
V
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2007
Forum Théorie 2008 - F. Triozon
Calcul du courant
k
E(k)
SD
/a /a
Densité d’états de vitesse > 0 par unité
de longueur et d’énergie :
(vitesse)avec
Densité par unité de longueur, dans l’intervalle
d’énergie [D,S] :
D’où le courant :
Quantum de conductance
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2007
Forum Théorie 2008 - F. Triozon
Où a lieu la dissipation ?
Canal idéal (balistique)
l’électron n’y cède pas d’énergieE
S
D
e-
trou
La dissipation a lieu dans les réservoirs
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2007
Forum Théorie 2008 - F. Triozon
Généralisation
mode n mode m
Tmn
(S)
L R
Système (S) = canal + une partie des réservoirs
Tmn coefficient de transmission du mode n au mode m
Conductance de Landauer-Büttiker :
Conductance maximale = nb. de modes x
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2007
Forum Théorie 2008 - F. Triozon
Illustration
Gaz d’électrons confiné sur une bande de largeur
nanométrique. Analogue à un guide d’ondes.
1 énergie 1 ou plusieurs modes transverses
k
E(k)A cette énergie :
3 modes de
vitesse positive
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2007
Forum Théorie 2008 - F. Triozon
Barrière tunnel
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Barrière tunnel
T1-T
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Diffusion sur un défaut
k
E(k)
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Diffusion sur un défaut
k
E(k)
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2007
Forum Théorie 2008 - F. Triozon
Formalisme adapté : fonctions de Green
Calcul de la transmission des différents modes
recherche des états de diffusion :
onde incidente ondes transmises et réfléchies
RSL
état incident dans L, d’énergie E
état de diffusion associé, d’énergie E aussi
Lippmann-Schwinger :
fonction de Green retardée
hamiltonien de couplage entre (S) et les électrodes
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2007
Forum Théorie 2008 - F. Triozon
Calcul du courant et de la charge
On remplit les états de diffusion venant de L selon
le potentiel chimique L.
Idem pour ceux venant de R.
La contribution de tous ces états donne le courant et la répartition de charge dans le système.E
L
R
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2007
Forum Théorie 2008 - F. Triozon
Interactions
Il existe un formalisme plus général (fonctions de Green hors-équilibre, « NEGF ») qui permet en principe de traiter les interactions dans le canal :
électron-phonon
électron-électron
Introduit par Caroli et al., J. Phys. C 1971 pour
calculer les courants tunnel.
C’est une méthode perturbative.
Nombreuses variantes selon le système étudié.
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38
2007
Forum Théorie 2008 - F. Triozon
Partie IIIDéveloppements actuels
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39
2007
Forum Théorie 2008 - F. Triozon
Nanotubes de carbone : introduction
(5,5)
k
E Nombre de canaux :
métallique
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2007
Forum Théorie 2008 - F. Triozon
Nanotubes de carbone : introduction
k
E
(8,0)
Nombre de canaux :
semi-conducteur
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2007
Forum Théorie 2008 - F. Triozon
Simulation d’un transistor FET à nanotube
Equation de Poisson potentiel électrostatique V(r)→ modification du hamiltonien→ calcul de la densité de charge (r)
(Schrödinger méthode Green)Une fois l’autocohérence atteinte, on calcule le courant
grille coaxiale
source draine-
nanotube
semi-conducteur
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42
2007
Forum Théorie 2008 - F. Triozon
Exemple : FET à contacts Schottky
VDS = 0.5 V VG = 0.2 V
(modèle simple pour les contacts)
B
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43
2007
Forum Théorie 2008 - F. Triozon
Exemple : FET à contacts Schottky
électrons
VDS = 0.5 V VG = 0.6 V
Remarque : forte dispersion des données expérimentales :
la hauteur de barrière dépend du contact et de son
environnement (cf. expériences DRECAM)
B
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2007
Forum Théorie 2008 - F. Triozon
Quelques difficultés théoriques
Besoin d’hamiltoniens réalistes pour les interfaces (contacts métal/nanotube), les dopants, les défauts…
apport des calculs de structure électronique ab initio (fonctionnelle de la densité : DFT)
Transistor fort champ électrique modification non triviale de la structure électronique
Couplage électron-phonon calculs lourds Système hors-équilibre la DFT n’est pas fiable.
Recherches théoriques sur la « Time-Dependent DFT »
appliquée au transport
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2007
Forum Théorie 2008 - F. Triozon
Simulation de contacts métal/nanotube
Tra
nsm
issi
on
Calculs ab initio DFT, C. Adessi (LPMCN, Lyon)et X. Blase (Institut Néel, Grenoble)
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46
2007
Forum Théorie 2008 - F. Triozon
Effet d’un dopant unique sur le courant
(C. Adessi, S. Roche, X. Blase, PRB 2006)
nanotube métallique nanotube semi-conducteur
Perspectives : fonctionnalisation des nanotubes par greffage
moléculaire capteurs chimiques ou optiques.
Lien avec travaux expérimentaux du DRECAM
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2007
Forum Théorie 2008 - F. Triozon
Couplage électron-phonon
L. Foa Torres et S. Roche, PRL 2006
(DSM/INAC)
Les phonons optiques ouvrent un gap dans les nanotubes
métalliques forte influence sur la conductance non traitable par une méthode perturbative lourd !
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2007
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Nanofils de silicium
Effet de la rugosité de surface sur le transport
A. Lherbier, et al. PRB 2008
(collab. INAC et LETI)
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Et bien d’autres thématiques…
Calculs ab initio d’interfaces métal-oxyde-semi-conducteur (activité au LETI : Ph. Blaise)
Dynamique moléculaire : diffusion de dopants (INAC/L_Sim), croissance de nanotubes (DRECAM)
Chimie quantique Etats excités, spectroscopie, propriétés optiques des
nano-objets
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Conclusion
Les logiciels de simulation actuels deviennent limités pour l’électronique aux petites dimensions
Diversité des nouveaux matériaux + complexité de la physique
les logiciels pour la nano-électronique sont difficiles à mettre au point
Les données expérimentales deviennent nombreuses bons tests pour les modèles. Il faut faire de la science.
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Prévoyez de nous rejoindre à
la 10e Annual Review du Leti du 24 au 25 juin 2008 à Minatec
Pour en savoir plus : www.leti.fr