Single Variable Calculusแคลคลูสัของฟังกช์ัน่ตวัแปรเดียว

Chapter 18

สาระของแคลคลูสัเบือ้งต้นมีอะไร? จะใช้งานอย่างไร?

2017

-1668

= 349

อนพุนัธ ์(Derivative)

• แปลตรงๆ คอื ค ำทีแ่ยกมำ หรอื วตัถทุ ีไ่ดม้ำ (จำกฝ่ิน)

จำก e-Dictionary ส. เศรษฐบตุร

• อำจเรยีกวำ่ Differentiation หมำยถงึ

• อตัรำสว่น (กำรเปรยีบเทยีบดว้ยกำรหำร) ระหวำ่ง

ผลตำ่งของตวัแปรไมอ่สิระ ตอ่

ผลตำ่งทีน่อ้ยทีส่ดุของตวัแปรอสิระ

• อำจหมำยถงึ ผลทีเ่กดิจำกตวัแปรอสิระเปลีย่นไป

มคีำ่เป็นกีเ่ทำ่ของ ตวัแปรอสิระทีเ่ปลีย่นไป

โดยกำรเปลีย่นไปของตวัแปรอสิระมคีำ่นอ้ยทีส่ดุ

(เมือ่ตวัแปรอสิระเปลีย่นคำ่ไป จะท ำใหต้วัแปรไมอ่สิระเปลีย่นคำ่)

dxdy = lim

Dx 0 DxDy=y’

นยิำมของอนุพนัธ ์(Derivative)

Derivative or Differentiation

• y’ (y-prime) หรอื dy/dx (d-y by d-x)

เป็นสญัลกัษณท์ำงแคลคลูสั ไมใ่ชต่วัแปร

• dx เป็นสญัลกัษณ ์หมำยถงึ Dx ทีม่คีำ่นอ้ยทีส่ดุ

• dy เป็นสญัลกัษณ ์หมำยถงึคำ่ y ทีเ่ปลีย่นไปเกดิจำก dx

• สมกำร y’ คอื อตัรำกำรเปลีย่น (เปรยีบเทยีบดว้ยกำรหำร)

ของสิง่ทีเ่ปลีย่น (Dy) เทยีบกบัสิง่ทีท่ ำใหเ้ปลีย่น (Dx)

โดยสิง่ทีท่ ำใหเ้ปลีย่น (Dx) มคีำ่นอ้ยทีส่ดุเทำ่ทีจ่ะนอ้ยได้

• สญัลกัษณล์มิติ (Limit หรอื lim) ในสมกำร หมำยถงึให้

Dx มคีำ่นอ้ยทีส่ดุ คอื เขำ้ใกลค้ำ่ 0 (ศนูย)์

dxdy = =lim

Dx 0 DxDy limDx 0 f(x + Dx) – f(x)

Dx=y’

สมกำรคณติศำสตร์ ควำมหมำย

y = f(x) ตวัแปรไมอ่สิระ (y) ขึน้อยูก่บัตวัแปรอสิระ (x)

y + Dy = f(x+Dx)

• x เปลีย่นไปเป็น x + Dx(Dx จะมคีำ่เป็นบวกหรอืลบก็ได)้

• x มกีำรเปลีย่นแปลงไป ท ำให้ y เปลีย่นแปลงดว้ยโดย y เปลีย่นไปเป็น y + Dy

• Dx เป็นสิง่ทีท่ ำใหเ้ปลีย่นแปลง (x เปลีย่นไป)• Dy เป็นผลทีเ่ปลีย่นแปลงไป

Dy = f(x+Dx) – y

= f(x+Dx) – f(x)

• ยำ้ย y ไปอยูข่ำ้งขวำมอื กลำยเป็น - y[เพิม่ – y ท ัง้ 2 ขำ้ง ท ำใหข้ำ้งซำ้ยกลำยเป็น Dyและขำ้งขวำกลำยเป็น f(x + Dx) – y]

• แทนคำ่ y ดว้ย f(x) จำกสมกำร y = f(x)• สมกำรใหม:่ ผลทีเ่ปลีย่นไป (Dy) คอืผลใหม่ ลบดว้ย ผลเดมิ

Dy f(x+Dx) – f(x)• หำรดว้ย Dx (สิง่ทีท่ ำใหเ้ปลีย่น) ท ัง้ 2 ขำ้ง - ซำ้ยกลำยเป็น Dy หำรดว้ย Dx- ขวำกลำยเป็น f(x+Dx) – f(x) หำรดว้ย Dx

• สมกำร คอื อตัรำกำรเปลีย่น (Rate of Change)[ผลทีเ่ปลีย่นไป ตอ่ ส ิง่ทีท่ ำใหเ้ปลีย่น]

DxDx =

dxdy = =lim

Dx 0 DxDy lim

Dx 0f(x + Dx) – f(x)

Dx=y’

อนพุนัธก์บักรำฟ (Derivative & Graph)

อนุพนัธ ์(Derivative) ในเชงิของกรำฟ• หมำยถงึ คำ่ควำมลำดชนัของกรำฟ (Slope)• เสน้ตรง (หรอื Linear Fn.) มคีวำมลำดชนัคงที่

• ยกเวน้เสน้ตรงทีข่นำนแกน y (Not exist)

• ทศิทำงเสน้ตรงจะก ำหนดคำ่บวกลบของ Slope

• กรำฟทีไ่มใ่ชเ่สน้ตรง คำ่ควำมลำดชนัแตล่ะจดุบนกรำฟจะมคีำ่ตำมควำมดิง่หรอืควำมชนั

• ทศิทำงแบบชนัขึน้หรอืดิง่ลงของกรำฟ จะก ำหนดคำ่บวกลบของ Slope ของแตล่ะจดุบนกรำฟ

• คำ่ Slope ของจดุน ัน้ มคีำ่เทำ่กบัเสน้สมัผสั (Tangent Line) ทีเ่ป็นเสน้ตรงของแตล่ะจดุ

• คำ่อนุพนัธส์ำมำรถจะหำคำ่ Slope ของทีจ่ดุใดๆ ไดอ้ยำ่งแมน่ย ำกวำ่กำรใชค้ำ่เฉลีย่

y

x

อตัรำกำรเปลีย่นคำ่ y เทยีบกบั x เป็นแบบ -

y

x

x ไมส่ำมำรถเปลีย่นคำ่ได ้

คำ่ควำมลำดชนั (Slope) ของเสน้ตรง

x

อตัรำกำรเปลีย่นคำ่ y เทยีบกนั x เป็น 0

y

x

อตัรำกำรเปลีย่นคำ่ y เทยีบกบั x เป็นแบบ +

y Increasing Function(ฟังก์ช่ันแบบเพิ่ม)

Decreasing Function(ฟังก์ช่ันแบบลด)

m = 0 m = +

m = - m หาค่าไม่ได้

Slope ของเสน้ตรงหรอื Linear Fn. กบัอนพุนัธ์

• กำรหำคำ่ Slope โดยสรำ้งสำมเหลีย่มมมุฉำกของจดุ 2 จดุบนเสน้ตรง คอื กำรหำอตัรำสว่นของ• ควำมสงูแนวดิง่ (Dy) ตอ่• ควำมยำวแนวนอน (Dx)

• กรณีเสน้ตรง สตูรหำ Slope คอื สตูรอนพุนัธ ์(กำร Diff)• เสน้ตรงมคีำ่ Slope คงที่• ทกุจดุบนเสน้ตรงมคีำ่

Slope เทำ่กนั

xP1 (x1, y1)

P2 (x2, y2)

y

DyDx

DxDym = x2 - x1

y2 - y1= dxdy=

Slope ของ Non-Linear Curve (เสน้กราฟโคง้)

• กำรหำ Slope ทีจ่ดุ P1 โดยใชว้ธิ ีสรำ้ง 3 เหลีย่มมมุฉำกบนเสน้ กรำฟ เชน่ ก ำหนดจดุ (P2)

• ถำ้ P2 อยูไ่กล P1 มำก ก็อำจจะไดค้ำ่ Slope คลำดเคลือ่นมำก/นอ้ยตำมลกัษณะกรำฟ

• แตถ่ำ้ P2 ยิง่ใกล ้P1 มำกเทำ่ไรSlope (ที ่P1) จะแมน่ย ำเทำ่น ัน้

• เสมอืนสรำ้ง 3 เหลีย่มมมุฉำกยิง่เล็กยิง่ด ี ทำงคณติศำสตร ์คอื กำรก ำหนดใหฐ้ำนเล็กทีส่ดุ (ใกล ้0 ใหม้ำกทีส่ดุ) ใชส้ญัลกัษณว์ำ่“ Limit ของ Dx เขำ้ใกล ้0 ”

xP1 (x1 , y1)

P2 (x2 , y2)

y

DyDx

DxDyf’(x) = = lim

dxdySlope = Dx 0y’ =

ตวัอยำ่งทีม่ำของสตูรอนุพนัธ์

dxdy = =lim

Dx 0 DxDy limDx 0 f(x + Dx) – f(x)

Dx=y’

y = k ; k = constant

f(x + Dx) – f(x)Dx = k – k

Dx =dxdk = lim

Dx 0 limDx 0

limDx 0

0Dx = 0

อธบิำยเพิม่เตมิ

y = k

เขยีนในรปู Fn. ไดว้า่ f(x) = k

f(x+Dx) = k แทนคา่ x ดว้ย x+Dx

f(x+Dx) – f(x) = k – k = 0

f(x+Dx) – f(x) 0

limDx 0

0Dx = 0

Dx Dx=

ดังนัน้

ตวัอยำ่งทีม่ำของสตูรอนุพนัธ ์(ตอ่)

dxdy = =lim

Dx 0 DxDy limDx 0 f(x + Dx) – f(x)

Dx=y’

y = x หรอื f(x) = x

(x+Dx) – xDxdx

dx = limDx 0

limDx 0

DxDx = 1=

y = x3 หรอื f(x) = x3

=

(x+Dx)3 – x3Dxdx

dx3= lim

Dx 0

= 3x2

= x3+3x2Dx+3x(Dx)2+(Dx)3 – x3

DxlimDx 0

[3x2+3x(Dx)+(Dx)2] limDx 0

y = x2 หรอื f(x) = x2

=

(x+Dx)2 – x2Dxdx

dx2= lim

Dx 0

= 2x

= x2+2xDx+(Dx)2 – x2Dxlim

Dx 0

[2x+(Dx)] limDx 0

Function Differentiation Formula ควำมหมำย

y = k = 0• k = คำ่คงที่ (Constant)• กำร Diff คำ่คงที่ = 0

y = x = 1• กำร Diff x = 1• เป็นสตูร (ไมใ่ชก่ำรตดักนั)

y = ax = a• a = สปส.ของ x• ไมต่อ้ง Diff สปส.ของ x

y = xn = nxn-1 • ดงึก ำลงัลงมำเป็นตวัคณู• แลว้ก ำลงัลดลง 1

y = u(x) + v(x) =• ถำ้มี Term บวกหรอืลบกนั• ให้Diff ทลีะ Term

y = u(x)n = nun-1• ดงึก ำลงัลงมำเป็นตวัคณู• แลว้ก ำลงัลดลงไป 1• และคณูดว้ย Diff ตวัฐำน

y = u(x) x v(x) =• ผลคณู: ให้Diff แตล่ะterm คณูกบัอกี term

• แลว้น ำมำบวกกนั

dxdk

dxdx

dxd(ax)

dxd(xn)

dxd(u+v)

dxdu + dv

dx

dxd(un)

dxdu

dxd(uv)

dxudv +

dxvdu

สตูรอนพุนัธ ์(Differentiation Formula)

Forms of Differentiation Formula(Differentiation) (Differential) (Differentiation)

= 0 = 0 = 0

= 1 = 1 = 1

= a = a = a

= nxn-1 = nxn-1 = nxn-1

= = =

= nun-1 = nun-1 = nun-1

= + = =

dk

dx

d(ax)

d(xn)

du + dv

d(un) du

d(uv) udv +vdu

d(u+v)

dxdk

dxdx

dxd(ax)

dxd(xn)

dxd(un)

dxd(uv)

dxudv

dxvdu

dxdu + dv

dxdxd(u+v)

dxdu

k’

x’

(ax)’

(xn)’

u’ + v’

(un)’ u’

(uv)’ uv’+ vu’

(u+v)’

Function Derivative

y = 5x + 10 y’ = 5

y = 3x4 + 4x2 – 5 y’ = 12x3 + 8x

P = 24 - 12Q P’ = -12

= 3Q2 -7Q - 6 ’ = 6Q – 7

y = (x2 - 1)2(x - 1) y’ = 5x4 – 4x3 – 6x2 + 4x + 1

y = mx + c y’ = m

y = ax2 + bx + c y’ = 2ax + b

TR = PQ = aQ – bQ2 TR’ = a - 2bQ

Examples of Differentiation

กำรประยกุตค์ำ่อนพุนัธ ์(Application of Derivative)

• x, y เป็น Dummy (ตวัแปร/หุน่) เมือ่น ำไปประยกุตใ์ชก้บัเร ือ่งอืน่ก็สำมำรถจะเปลีย่นใหเ้ป็นตวัแปรเรือ่งน ัน้ๆ เชน่• Total Revenue: TR = aQ - bQ2

• Total Costs: TC = a + bQ - cQ2 + dQ3

• Profit: = -a + bQ + cQ2 – dQ3

dxdy = =lim

Dx 0 DxDy limDx 0 f(x + Dx) – f(x)

Dx=y’

• กำร Diff ตวัแปรในทฤษฏทีำงเศรษฐศำสตร์ จะเรยีกสมกำรอนพุนัธว์ำ่เป็น Marginal ของตวัแปรน ัน้ เชน่• Marginal Revenue: MR = TR’ = dTR/dQ• Marginal Costs: MC = TC’ = dTC/dQ

• Marginal Profit: MP = ’ = d/dQ

Marginal มคีวำมหมำยวำ่อะไร?

ควำมหมำยของสมกำรอนุพนัธ ์(Diff. Equation)

กำรตคีวำมหมำย สมกำรอนพุนัธห์รอืผลจำกกำร Diff. ทีน่ำ่จะน ำไปเป็นแนวประยกุตใ์ชใ้นทำงปฏบิตัไิด ้ ตวัอยำ่งเชน่

ก ำหนดสมกำรตน้ทนุรวม (คำ่ a, b, c, d คอื คำ่คงที)่

Total Costs: TC = a + bQ - cQ2 + dQ3

Marginal Costs: MC = TC’ = b - 2cQ + 3dQ2

• สมกำร MC อธบิำยวำ่ ตน้ทนุ (TC) เปลีย่นไปกีเ่ทำ่ของปรมิำณกำรผลติ (Q) ทีเ่ปลีย่นไป

• กำรค ำนวณ MC จะเป็นคำ่เป็นเทำ่ไหร ่ ตอ้งแทนคำ่ Q ในสมกำร MCจงึจะไดต้น้ทนุทีเ่ปลีย่นไปจำกจดุน ัน้ เป็นกีเ่ทำ่ของ Q ทีเ่ปลีย่นไป

• มองอกีมมุ MC ก็คอื Unit variable costs (มหีนว่ยตำมคำ่ TC/Q)

• กรณีขอ้มลูหรอืโจทย ์TC เป็นเสน้ตรง MC หรอื Slope ก็มคีำ่คงที่

Derivative and Marginal Meaning

Marginal คอื อนพุนัธ ์(Derivative) ของกรำฟหรอืฟงักช์ ัน่• เป็นควำมลำดชนั (Slope) ของจดุตำ่งๆ บนกรำฟ• กรณีกรำฟเสน้ตรง คำ่ Slope เป็นคำ่คงที ่(เทำ่กนัทกุจดุ)• กรณีกรำฟเสน้โคง้ คำ่ Slope แตล่ะจดุบนกรำฟไมเ่ทำ่กนัหำคำ่ไดจ้ำกกำรแทนคำ่จดุน ัน้ในสมกำรอนพุนัธ ์(dy/dx)

• คำ่ Slope เสมอืนเป็นอตัรำสว่นของสว่นสงูตอ่ควำมยำวฐำนของ 3 เหลีย่มมมุฉำกทีม่ขีนำดเล็กทีส่ดุ

ตวัอยำ่ง กำร Diff. มองเป็นคำ่ Slope Meaning

MR dTR/dQของกรำฟ TR กบั Q

รำยไดร้วม (TR) เปลีย่นไปเป็นกีเ่ทำ่ของ ปรมิำณกำรบรโิภคหรอืขำย (Q) ที่เปลีย่นไป

MC dTC/dQของกรำฟ TC กบั Q

ตน้ทนุรวม (TC) เปลีย่นไปเป็นกีเ่ทำ่ของ ปรมิำณกำรผลติ (Q) ทีเ่ปลีย่นไป

MP d/dQของกรำฟก ำไรกบั Q

ก ำไรเปลีย่นไปเป็นกีเ่ทำ่ของปรมิำณกำรบรโิภคทีเ่ปลีย่นไป

Marginal สำมำรถจะประยกุตใ์ชง้ำนจรงิไดอ้ยำ่งไร?

Second Differentiation (Second Order Derivative)

DxDyf’(x) = = lim

dxdySlope =

Dx 0y’ =

x

y

-+

0

ควำมหมำย• เมือ่คำ่ x เปลีย่นแปลงคำ่ไป

Slope จะเปลีย่นไปเทำ่ไหร่

• Slope ของกรำฟแตล่ะจดุ

คอื Slope ของเสน้สมัผสั

(Tangent Line) ทีจ่ดุน ัน้ๆ

=dxd (y)

f’’(x) = =dx2d2y

DxD(y’)lim

Dx 0y’’ =dxd

dxdy( ) =

Examples of Second Differentiation

Function 1st and 2nd Order Derivative

y = 5x + 10 y’ = 5 , y’’ = 0

y = 3x4 + 4x2 – 5 y’ = 12x3 + 8x , y’’ = 36x2 + 8

P = 24 - 12Q P’ = -12 , P’’ = 0

= 3Q2 -7Q - 6 ’= 6Q – 7 , ’’= 6

y = (x2 - 1)2(x - 1)y’ = 5x4 – 4x3 – 6x2 + 4x + 1,y’’ = 20x3 – 12x2 – 12x + 4

y = mx + c y’ = m , y’’ = 0

y = ax2 + bx + c y’ = 2ax + b , y’’ = 2a

TR = PQ = aQ – bQ2 TR’ = a - 2bQ , TR’’ = -2b

Higher Order Derivative:• สำมำรถท ำได ้Diff ไดท้ ำนองเดยีวกบั Second Diff.• เชน่ จำกตวัอยำ่ง TR ขำ้งตน้ TR’’’ = -2, TRIV = 0• จะท ำกำร Diff ซ ำ้กีค่ร ัง้ก็ได ้ แตอ่ำจไมม่ปีระโยชนท์ีน่ ำไปใชง้ำน

• คำ่สงูสดุ/ต ำ่สดุสมับรูณ์ (Absolute Max & Min)หมำยถงึ คำ่สงูสดุ/ต ำ่สดุจรงิๆ

• คำ่สงูสดุ/ต ำ่สดุสมัพทัธ์ (Relative Max & Min)- เป็นคำ่สงูสดุ/ต ำ่สดุเมือ่เทยีบกบัรอบขำ้ง (คำ่ y สงู/ต ำ่สดุ)- จดุสงูสดุสมัพนัธ์ (Maxima) มี Slope ลดลงเมือ่ x เพิม่ข ึน้- จดุต ำ่สดุสมัพนัธ์ (Minima) มี Slope เพิม่ข ึน้เมือ่ x เพิม่ข ึน้

คำ่สงูสดุ/ต ำ่สดุสมัพทัธ ์(Relative Maximum & Minimum)

x

y

-+

0

Maximax

y

- +

0

Minima

อตัรำกำรเปลีย่น Slope เทยีบกบั x เป็นแบบ -

อตัรำกำรเปลีย่น Slope เทยีบกบั x เป็นแบบ +

• จำกกรำฟ จดุสงูสดุ/ต ำ่สดุ (Relative Max & Min)จะมคีำ่ Slope เป็น 0

• จดุสงูสดุสมัพทัธ์ (Relative Max.)• อตัรำกำรเปลีย่น Slope (เทยีบกบั x) จะเป็นลบ• คำ่ x ยิง่เพิม่ข ึน้ คำ่ Slope ยิง่ลดลง (รอบจดุ Max.)

• จดุต ำ่สดุสมัพทัธ์ (Relative Min.)• อตัรำกำรเปลีย่น Slope (เทยีบกบั x) จะเป็นบวก• คำ่ x ยิง่เพิม่ข ึน้ คำ่ Slope ยิง่เพิม่ข ึน้ (รอบจดุ Min.)

x

y

-+

0

Maximumx

y

- +

0

Minimum

อตัรำกำรเปลีย่น Slope เทยีบกบั x เป็นแบบ -

อตัรำกำรเปลีย่น Slope เทยีบกบั x เป็นแบบ +

dx2d2y < 0

dx2d2y > 0

1. เขยีนสมกำรทีต่อ้งกำรจะหำคำ่สงูสดุ/ต ำ่สดุ2. Diff สมกำรและให้= 0 แกส้มกำร3. Second diff สมกำร แลว้แทนคำ่ตวัแปรจำกขอ้ 2. แทนคำ่4. ถำ้ Second diff มคีำ่เป็น + คอืจดุต ำ่สดุ ถำ้เป็น – คอืจดุสงูสดุ5. ค ำนวณหำคำ่ทีต่อ้งกำร

หลกักำรค ำนวณคำ่สงูสดุ/ต ำ่สดุสมัพทัธ์

ตวัอยำ่ง y = x3 + x2 – x + 3 หำคำ่สงูสดุ/ต ำ่สดุสมัพทัธ์Step 2: y’ = 3x2 + 2x - 1

ให้ y’ = 0 : 3x2 + 2x – 1 = 0(3x – 1)(x + 1) = 0 ; x = -1, 1/3

Step 3: y’’ = 6x + 2Step 4: ทดสอบคำ่ต ำ่สดุ/สงูสดุ

y’’(-1) = - , y”(1/3) = +Step 5: ที่ x = -1 ใหค้ำ่สงูสดุ y(-1) = -1 + 1 + 1 + 3 = 4

ที่ x = 1/3 ใหค้ำ่ต ำ่สดุ y(1/3) = 1/27 + 1/9 – 1/3 +3= 2.8148

กำรผลติและสนิคำ้ของโรงงำนแหง่หนึง่มคีวำมสมัพนัธต์ำมสมกำรดงัตอ่ไปนี้Demand function: Q – 90 + 2P = 0

และ Average cost function: AC = Q2 – 8Q + 57 + 2/Qใหห้ำปรมิำณสนิคำ้และคำ่ Optimization ของ รำยได้ ตน้ทนุ และก ำไร

ตวัอยำ่งกำรหำคำ่เฉลีย่และ Marginal

หำรำยไดส้งูสดุ (TR max.)Step 1. จะหำคำ่ Max, Min ตอ้งสรำ้งสมกำร TR

จำก Q – 90 + 2P = 0 P = 45 – 0.5Q

TR = P*Q TR = (45-0.5Q)Q = 45Q – 0.5Q2

Step 2. จะหำคำ่ทีจ่ะท ำใหเ้กดิ Max, MinMR = TR’ = 0 MR = 45 – Q = 0 Q = 45

Step 3 & 4. ทดสอบคำ่ Max, Min ดว้ย Second Diff.Step 5. ค ำนวณคำ่ Max, Min ทีต่อ้งกำร

MR’ = TR’’ MR’ = –1 TR”(45) = ลบ (จดุสงูสดุสมัพทัธ)์

TR(45) = 45*45 – 0.5*452 = 1,012.5

หำตน้ทนุต ำ่สดุ (TC min.)TC = AC*Q TC = Q3 – 8Q2 + 57Q + 2

MC = TC’ = 0 MC = 3Q2 – 16Q + 57 = 0

Q = (16 + sqr(16*16 – 4*3*57))/(2*3)= หำคำ่ไมไ่ด้ (ไมม่จีดุตน้ทนุต ำ่สดุสมัพนัธ)์

หำก ำไรสงูสดุ ( max.)

= TR – TC = -Q3 + 7.5Q2 - 12Q – 2

’ = MR – MC = 0 ’ = -3Q2+ 15Q – 12 = 0 Q = 1, 4

’’ = -6Q + 15 ’’(1) = + (จดุต ำ่สดุสมัพทัธ์ ไมส่นใจ)

’’(4) = – (จดุสงูสดุสมัพทัธ)์

(4) = –43 + 7.5*42 – 12*4 – 2 = 6

ขอ้ควรทรำบ ทำงเศรษฐศำสตรน์ยิมใช้ “ก ำไรสงูสดุ คอื จดุที่MC = MR”ดงัน ัน้ 3Q2 - 16Q + 57 = 45 – Q

3Q2 - 15Q + 12 = 0Q = 1, 4

ท ำไมจดุที ่MC = MR จงึไดก้ ำไรสงูสดุสมัพทัธ?์

= TR – TC ’ = MR – MC = 0 MC = MR

สตูรจำกสมกำรก ำลงั 2 บทที ่17

กำรใช ้Calculus กบัเร ือ่ง: Demand Function

0 Qx

Px

กรำฟเพือ่กำรค ำนวณ Px = f(Qx)

P = a - bQ

a

ab

ตอ้งกำรท ำให ้TR = f(Q) ตวัแปรตวัเดยีวTR = PQ = (a - bQ)Q = aQ – bQ2 (เป็น Quadratic fn.)

• สมกำรก ำหนดใหเ้ป็น –b เพรำะ Slope เป็นลบ (P เพิม่ Q ลด)

• ท ำใหก้ำรพจิำรณำคำ่ b เป็นตวัเลข +

0

บำท

Q

TR ตำม Demand Fn.

วธิกีำรโดย Calculus

TR = aQ – bQ2

เป็น Quadratic Fn. กรำฟรปู Parabola

MR = a – 2bQ

MR = 0 a - 2bQ = 0

Q = a/2b

• MR’ = -2b = - [หรอื <0]At Q = a/2b is Maximum.

• TRmax

= a(a/2b) – b(a/2b)2

= a2/2b – a2/4b= 2a2/4b – a2/4b= a2/4b

0

TR (บำท)

Qa

2b

0

P (บำท)

Q

4ba2

TR = PQ = aQ – bQ2

P = a - bQ

ab

ค ำถำมทีน่ำ่สนใจชวีติประจ ำวนั/งำนทีผ่ำ่นมำ ไมเ่ห็นตอ้งใช ้Diff. จะประยกุตค์ำ่อนุพนัธ์ในชวีติจรงิหรอืงำนอยำ่งไร?

ตวัอยำ่ง ตำมทฤษฎี กำรประยกุต์(ให ้DQ นอ้ยทีส่ดุ)

ควำมหมำย

MR dTR/dQ DTR/DQเป็นรำยไดร้วม (TR) ทีเ่ปลีย่นไป เมือ่กำรบรโิภคหรอืขำย (Q) เปลีย่นไป 1 หนว่ย (ทีเ่ล็กทีส่ดุในทำงปฏบิตั)ิ

MC dTC/dQ DTC/DQเป็นตน้ทนุรวม (TC) ทีเ่ปลีย่นไป เมือ่ปรมิำณกำรผลติ (Q) เปลีย่นไป 1 หนว่ย

MP d/dQ D/DQเป็นก ำไรทีเ่ปลีย่นไป เมือ่กำรบรโิภคเปลีย่นไป 1 หนว่ย