Basic Tools 1 เครองมอพนฐาน 1

Chapter 1

พนฐานอะไรทควรร - เคยมองขาม? จะใชงานอยางไร?

ความหมายของการบวก ลบ คณ หาร

• การบวก (+)คอ การรวมกน หรอ ผลรวม หรอ การเพม

• การลบ ( - )คอ ผลตาง หรอ ความแตกตาง หรอ การหกออก

• การหาร ( / , :)คอ การแบงตวตงตามจ านวนตวหารใหเทาๆกน และตวเลขทเทากนนน เรยกวา ผลหาร

• การคณ ( x หรอ )คอ การบวกตวตงซ ากนเทาจ านวนตวคณ หรอจ านวนเทา (times)

.

ตวอยางของการบวก ลบ คณ หาร

• การบวก (+)4 + 5 = 9 , (-5) + (-4) = -9

• การลบ ( - )10 - 4 = 6 , 5 - 8 = -3

• การคณ ( x )5 x 3 หรอ 5 x 3 = 5 + 5 + 5 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 155 x 3 = 15 , 5 x (-3) = -15 , (-5) x (-3) = 15, -(-3) = (-1)x(-3) = 3

• การหาร ( / )20/5 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 4 (คอ 20 หารดวย 5)อกดานหนง คอ 4 x 5 = 205

การเปรยบเทยบขอมลทใชบอย

• การเปรยบเทยบขอมลมากกวา 2 ตวมหลายวธ แตทงายและใชบอย คอ การลบและการหาร

• การลบ (–) เชน a – bท าใหรวา คาขอมลใดมากกวา/นอยกวาตวใด เปนคาเทาไหร

- ถา a = b แลว ผลตาง = 0- ถา a > b แลว ผลตาง = +- ถา a < b แลว ผลตาง = –

• การหาร ( / , :) เชน a/b หรอ a:b- การเปรยบเทยบขอมลดวยการหาร มกจะเรยกวา อตราสวน (Ratio)

[ให a และ b เปนเลขบวกท งค]- ถา a = b แลว อตราสวน (หรอผลหาร) = 1- ถา a > b แลว อตราสวน > 1- ถา a < b แลว อตรสวน < 1

- ความหมายของการหาร (a/b หรอ a:b) ทนยมใชอกอยางหนง คอa เปนกเทาของ b

เชน a:b = 5 ความหมายคอ a เปน 5 เทาของ bหมายเหต ขอหามของการหาร คอ ตวหารหามเปน 0 (ท าไม?)

ตวอยาง (ตอ) ของการบวก ลบ คณ หาร

ก าหนดใหขายสนคา A 10,000 บาท และสนคา B 20,000 บาทดงนน รายไดรวม = 10,000 + 20,000 = 30,000 บาท

ก าหนดใหตนทนสนคา A 5,000 บาท และสนคา B 21,000 บาทดงนน• ตนทนรวม = 5,000 + 21,000 = 26,000 บาท• ก าไร = 30,000 - 26,000 = 4,000 บาท• สนคา A ก าไร = 10,000 - 5,000 = 5,000 บาท• สนคา B ก าไร = 20,000 - 21,000 = -1,000 บาท

หรอ = สนคา B ขายขาดทน 1,000 บาท

ตวอยาง (ตอ) ของการบวก ลบ คณ หาร

สนคา A จ าหนายไดชนละ P1 บาท จ านวน Q1 ชนสนคา B จ าหนายไดชนละ P2 บาท จ านวน Q2 ชนรายไดรวม = P1Q1 + P2Q2 บาท

ราคาเฉลย = รายไดรวม = P1Q1 + P2Q2 บาท

ความหมายราคาเฉลย คอราคากลางของสนคาแตละชนมไดหมายความวา สนคาแตละชนจะตองมราคาเทากบราคาเฉลยการหาคาเฉลยมหลายวธ

จ านวนสนคารวม Q1 + Q2

รอยละ (Percentage หรอ %)

• เปอรเซนต หรอรอยละ เปนสงทใชมากในชวตประจ าวน เพราะชวยใหท าความเขาใจงาย

• % ของขอมล หมายถง สวนจากการแบงขอมลเตมทงหมดเปน 100 สวน

• สงส าคญของการคด % คอ ตองก าหนดฐานของขอมลทจะคด % ใหถกตอง

• วธคดงายๆในการค านวณ % คอการใชบญญตไตรยางค (Rule of Three in Arithmetic)

• การหารของบางอตราสวนทนยมใช มกจะการคดเปน % ได โดยใช“ อตราสวนคณดวย 100 จะกลายเปนคา % ”

ตวอยาง การคดรอยละ (%)

ขายสนคาชนดหนงได 200,000 บาท ตนทนสนคา คอ 150,000 บาท ใหคด % ก าไรคดจากตนทนสนคา (Cost) เปนฐาน โดยใชบญญตไตรยางค

ตนทน 150,000 บาท ไดก าไร 200,000 - 150,000 = 50,000 บาทตนทน 100 บาท ไดก าไร 50,000 x 100 = 33.33 บาท

150,000

ยอดเงน 150,000 บาท คดเปน 100%ยอดเงน (200,000 – 150,000) บาท คดเปน 100 x 50,000 = 33.33 %

150,000คดแบบสดสวนก าไร = 50,000 x 100 = 33.33 %

150,000

ตวอยาง (ตอ) การคดรอยละ (%)

คดจากราคาขาย (Price) เปนฐาน โดยคดแบบบญญตไตรยางคราคาขาย 200,000 บาท ไดก าไร 200,000 - 150,000 บาทราคาขาย 100 บาท ไดก าไร 50,000 x 100 = 25 บาท

200,000

จากตวอยาง% ของก าไรม 2 แบบคอ

- 33.33% ของตนทน- 25% ของราคาขาย

ดงนน ตองระวงในการใชงานวาจะใชอะไรเปนฐานในการคด

ตวอยาง (ตอ) การคดรอยละ (%)

สนคาชนดหนงซอมา 100,000 บาท ก าหนดราคาขายโดยคดก าไร 10% จากราคาซอ (Mark-up 10%) มลกคาตอรองวาจะซอทนทหากลดราคาขาย 10%ผมอ านาจตดสนใจการลดราคาจะตดสนใจอยางไรด

ตนทนสนคา 100,000 บาทก าไร 10% ของตนทนคอ 100,000 x (10%) = 10,000 บาทดงนน ราคาขาย คอ 100,000 + 10,000 = 110,000 บาท

ลดจากราคาขาย 10% คอ 110,000 x (10%) = 11,000 บาทราคาลดแลว คอ 110,000 - 11,000 = 99,000 บาทดงนน จะขาดทน 100,000 - 99,000 = 1,000 บาท

คาสมบรณ หรอ คาสมบรณ (Absolute Value)

• คาสมบรณ (Absolute) หรอ สญลกษณ | | หมายถง การคดเฉพาะเครองหมายบวก (+) ของขอมลนนๆ โดยไมคดเครองหมายลบ

• คาสมบรณมประโยชนส าหรบกรณทไมคดคาเครองหมายของขอมลนนๆ

• | 4 | = 4 (อานวา คาสมบรณของ 4 คอ 4)• | -3 | = 3 , | 0 | = 0

| a | =a ; a > 0

- a ; a < 0

ตวอยางคาสมบรณ (Absolute Value)

ขายสนคา A ชนละ 20 บาท สนคา B ชนละ 30 บาท ราคาตางกนเทาใด

ราคาทตางกนคอ 20 - 30 = -10 บาท (A มราคาต ากวา B = 10 บาท)หรอ 30 - 20 = 10 บาท (B มราคาสงกวา A = 10 บาท)

หากใชคาสมบรณ (Absolute) คอ| 20 - 30 | = | 30 - 20 | = 10 บาท

หมายถงราคาสนคา A และ B มความแตกตางกน 10 บาท

หนงในวธการท าตวเลขใดๆ ใหมคาเปน + คอ การยกก าลง 2 ของตวเลขนนๆ แลวถอดรากท 2 เขยนไดเปน a2 = a

ผลรวม (Summation หรอ Sigma)

X1 = ขอมลตวท 1 , X2 = ขอมลตวท 2 , …, Xn = ขอมลตวท n

(เครองหมาย Sigma) เปนสญลกษณทางคณตศาสตร หมายถง ขอมลทบวกกน

x1 + x2 + x3 + x4 + .... + xn = xi หรอ Xi = 1

n

เลขยกก าลง (Exponential No.)

• 10 6 = 10.10.10.10.10.10 = 1,000,000 = 1 M (Million)[อานวา 10 ยกก าลง 6 หรอ 10-power-6 ]10 เรยกวา Base, 6 เรยกวา Exponent หรอ Index

เลขยกก าลง หมายถง ฐาน (Base) ยกก าลงดวยเลขก าลง (Exponent)

• 103 = 10x10x10 = 1,000 = 1K (Kilo) ใชในชวตประจ าวน• 210 = 2x2x2x2x2x2x2x2x2x2 = 1,024 = 1K (Kilo) ทาง Computer • 106 = 10x10x10x10x10x10 = 1,000,000 = 1M (Million-ลาน) • 220 = 1024x1024 = 1,048,576 = 1M (Mega)• 230 = 1024x1024x1024 = 1,048M = 1T (Tera) • 10X5 = 10 คอ สมประสทธคณกบ X ยกก าลง 5• 100(1+ i)10 = 100 คอ คาสมประสทธ (Coefficient) ของ (1 + i)10

รากท 2 (Square Root)

Square Root (SQR) ของเลขใดๆ หมายถง การแบงเลขตวนนใหเปนผลคณเทาๆกน 2 ตวแลวเลอกออกมา 1 ตว

รากท 2 ของ 25 = 5x5 = 5 หรอ 52 = 5 ความหมาย คอ รากท 2 ของ 25 คอ 5 หรอ 5x5 = 52 = 25

2 = 1.41421x1.41421 = 1.41421

ความหมาย คอ รากท 2 ของ 2 คอ 1.41421 หรอ (1.41421) 2 = 2

ลอกการทม (Logarithms)

Logarithms เปนขบวนการยอนกลบ (Inverse Function) ของเลขยกก าลงการค านวณสามารถใชเครองคดเลขวทยาศาสตรหรอเครองคอมพวเตอร

ตวอยาง:• คา log x = 2 หมายถง x = 102

• คา log 50 = 1.69897 ไดจากการกดเครองคดเลขหรอเปดตาราง Log. หมายถง 101.69897 = 50

อธบายงายๆ: คา Log ของขอมลใด คอ คาทน าไปเปนก าลงของฐาน Logนน แลวจะไดเทากบขอมลนน

ล าดบและอนกรม (Sequence and Series)

ล าดบ (Sequence)• ล าดบหรอเลขกาวหนา (Progression) หมายถง ตวเลขทเรยงกนอยางม

แบบแผนในตวมนเอง ซงแบบแผนมอยหลายชนด• เชน 2, 4, 6, 8, 10 เรยกวา ล าดบ (Sequence) แบบ Finite term• เชน 2, 4, 8, 16, 32, ...... เรยกวา ล าดบแบบ Infinite term

อนกรม (Series)• อนกรม (Series) หมายถง ผลรวมของตวเลขล าดบ (Sequence)

• เชน ผลรวมของ 2 + 4 + 6 + 8 + 10 เรยกวา อนกรม = 30• อนกรมมประโยชนชวยหาผลรวมของตวเลขทเปนล าดบไดงายขน

• อนกรมประยกตใชเรอง การคดดอกเบย คาเงนปจจบนคาเงนอนาคตบางลกษณะ

อนกรมเลขคณต (AP-Arithmetic Progression)

• S6 = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 = ผลรวมพจนท 1 ถง 6• AP คอ ชดเลขทเรยงกนโดยมผลตางระหวางกนเทากน

(Common Difference หรอผลตางรวม)

เทอมทวไป (General Term) ของ AP หรอ an คอa, a + d, a + 2d, a + 3d, a + 4d, .......,a + (n – 1)d

สตรของ AP คอ1. พจนท n หรอ a n = a + ( n – 1 )d2. ผลรวมพจนท 1 ถง n (Sn)

= n [ 2a + (n – 1)d ] หรอ n ( a + an )2 2

อนกรมเรขาคณต (GP-Geometric Progression)

• S 7 = 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + ...... = ผลรวมพจนท 1 ถง 7• GP คอ ชดเลขทเรยงกน โดยมอตราสวนรวม (Common Ratio)ระหวางกนเทากน (ค าวา เรขาคณตในทนหมายถงทวคณ)

เทอมทวไป (General Term) ของ AP หรอ an คอa, ar, ar2 , ar3 , ar4 , ......., arn-1

สตรของ GP คอ1. พจนท n หรอ an = arn-1

2. ผลรวมพจนท 1 ถง n หรอ Sn = a ( 1 – rn )1 - r

ตวอยางการคดดอกเบยกบอนกรมเรขาคณตฝากเงนกบสถาบนการเงนแหงหนงตกลงวาฝากทกตนเดอนๆละ 100 บาทจะไดดอกเบยแบบทบตนทกเดอนๆละ 1.50% ครบ 2 ปจะไดเงนเปนเทาใดตวอยางวธคด เดอนท 24, 23, 22, …. , 2, 1 มระยะเวลาการคดดอกเบยเมอครบ 2 ปเตมเปน 1, 2, 3, …. , 23, 24 เดอนตามล าดบ• งวดท 24 มระยะเวลา 1 เดอน เงนรวม = 100(1 + .015) • งวดท 23 มระยะเวลา 2 เดอน เงนรวม = 100(1 + .015)2

• งวดท 2 มระยะเวลา 23 เดอน เงนรวม = 100(1 + .015)23

• งวดท 1 มระยะเวลา 24 เดอน เงนรวม = 100(1 + .015)24

S24 = 100(1.015) + 100 (1.015)2 + 100 (1.015)3 .... + 100 (1.015)24

= 101.5 + 101.5(1.015) + 101.5 (1.015)2 + .... + 101.5 (1.015)23

= 101.5 [1 – (1.015)24 ] = 101.5 (-0.430) = 2,909.67 บาท1 – 1.015 -0.015

เลขนยส าคญ (Significant Number)

• ขอมลทเปนตวเลขทมผลตอการตดสนใจ จะขนอยกบความส าคญและคาทเปลยนไปของตวเลขนน

• หากขอมลใดเปนตวเลขทเปลยนคาไปแลว มผลท าใหการตดสนใจเปลยนแปลงไปดวยจะถอวาขอมลนนเปนตวเลขทมนยส าคญ(Significant Number) หรอ เปนตวเลขทมผลกระทบตอการตดสนใจ

• ยอดขาย 100 ลานบาท หากยอดขายทจะเปลยนไป 10,000 บาทถอวาไมมผลกระทบหรอนยส าคญตอยอดขาย เพราะเปนปรมาณหรอขนาดทนอยมากเมอเทยบกบยอดขาย

• ตนทนในการผลตสนคาชนดหนง คอ 0.75 บาทตอชน หากตนทนเปลยนไป 0.15 บาทตอชน คาทเปลยนไปมผลมาก (มความส าคญ)ตอตนทนการผลตสนคา

• รอยละเปนเครองมอชวยในการพจารณาถงนยส าคญไดทงงายและด